Metode de calculElev:Boita BiancaCiban CosminaFarcas MihaelaTripon Andreea

Rodina IoanPop Andrei

Prof:Fetea Liuta

Definitia determinantului

Determinantul este un numar.

•Determinanti de ordin 2

- Fie A =   o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii .

         Dacă = = este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci det() =

Determinantul  matricii este numarul      ,   se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2. 

 Termenii ,

 se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.

         Determinantul matricii este numarul  

 

     El se calculeaza astfel:

                                                      

                                                                                     

şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.

                  Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează :

Regula lui SARRUS

524453532

Se copiaza primele doua linii sub determinant

2 3 -5

-3 5 4

Se calculeaza suma produselor de cate trei termeni de pe diagonala principala si cele doua paralele cu ea minus produsele de cate trei termeni de pe diagonala secundara si cele paralele cu ea.

524453532

2 3 -5

-3 5 4

=2*5*5 + (-3)*2*(-5) + 4*3*4 – (-5)*5*4 - 4*2*2 - 5*3*(-3)= 50+30+48 +100- 16 + 45 = 257

•Regula triunghiului

                          Regula triunghiulu 

Determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi

doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus.

  Atât  regula lui Sarrus cât şi  regula triunghiului se aplică numai determinanţilor de ordin 3.

  Exemplu : Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul

 

                                                                                                          

 

REGULA MINORILOR

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Se numeste minor al elementului aij determinantul care se obtine prin eliminarea liniei i si coloanei j din matricea

Minorul il notam d ij

Se numeşte minorul elementului determinantul de ordinul n-1 care se obţine din determinantul matricei A suprimând linia i şi coloana j şi se notează

ija

ijd

.

Numărul se numeşte complementul algebric al elementului

ijji

ij d )1(

ija

TEOREMAUn determinant de ordinul III se poate calcula dezvoltandu-l dupa elementele unei linii sau coloane. Determinantul este egal cu suma produselor dintre elemetele unei linii sau coloane si complementii ei algebrici.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= D

D=a1111+a12 12 +a1313

D=a2121+a22 22 +a2323

D=a3131+a32 32 +a3333

D=a1111+a21 21 +a3131

D=a1212+ a22 22 +a3232

D=a1313+a23 23 +a3313

Dezvoltare dupa linie Dezvoltare dupa coloana

Să se calculeze determinantul matricei:

2322

A

20

11

21

01

50

31

=3

34333231 0)1(03)det( A

Avem: 2

11

)1( 313113

31

dd2

01

531

222

)1( 333333

33 dd

211

531

=12

Aşadar, .3012)1(033)det( A

Exemplu al 2-leaExemplu al 2-lea

Să se calculeze determinantul

2101

d

2101

11

32

24232221 0300 d

Avem:211

)1(3 32 d211

125

Aşadar, d 0)14104101(3

1205

•Determinanti speciali

Determinantul Vandermonde

Determinantul ciclic

Este un determinant care areun determinant care are pe fiecare linie si / sau coloana aceleasi elemente permutate intre ele , de regula circular

Forma generalaForma generala a unui astfel de determinant arata astfel :

aaaa

aaaaaaaaaaaa

nnn

n

nn

121

2143

132

121

..................

...

...

...

Pentru a calcula un astfel de determinant procedam in urmatorul felPentru a calcula un astfel de determinant procedam in urmatorul fel : adunam toate liniile sau coloanele la prima obtinand pe linia sau coloana respectiva un factor comun . Dupa scoaterea factorului comun , pe linia (coloana) pe care acum toate elementele sunt egale cu 1 se pot realiza foarte usor zerouri folosind proprietatile determinantilor mai inainte evidentiate si discutate .