Post on 02-Feb-2017
transcript
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
95
II.3.IV.2. DREAPTA CONCURENTA CU PLAN
II.3.IV.2.1. INTERSECTIA UNEI DREPTE OARECARE CU UN PLAN
OARECARE
D ∩ [P], D = oarecare şi [P] = oarecare
x
[H]
[V]
z
y
[W]
OI [P]
D
Fig.210
REZOLVARE
ETAPA I [Q] ⊃ D unde [Q] = plan proiectant pentru D
(vezi….)
1. [Q] ⊥ [H] ⇒ [Q] ≡ [P4] = vertical
2. [Q] ⊥ [V] ⇒ [Q] ≡ [P5] = de capăt
3. [Q] ⊥ [W]⇒ [Q] ≡ [P6] = fronto-orizontal.
(vezi II.3.II Plane particulare şi
II.3.II.3. Drepte în plane particulare)
ETAPA II [Q] ∩ [P] = E ⇒⇒⇒⇒ E ∈ [P]
ETAPA III E ∩ D = I ⇒⇒⇒⇒ I ∈ E ∈ [P]
I ∈ D
⇓
I = D ∩ [P] OBSERVAŢIE:
Rezolavrea este valabilă pentru orice traseu al dreptei D . Pentru claritatea
imaginilor s-a expus subiectul pentru D în triedrul 1, între H şi V.
Dacă D se află în triedrul 1 între H şi V, există două variante ale
traseului, în funcţie de coordonata “a” (abscisa) a punctelor H şi V.
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
96
VARIANTA A
y
V=v'
x
d'
h'
H=h
D
v
d
O
h"
d''
v"
z
Fig.211
h"
d
h
y
x h'
d'
v
v'v"
O
z
d"
d
h
y
xy h'
d'
v'
Ov
z
Fig.212a Fig.212b
Proiecţie ortogonală
VARIANTA B
y
d'
h'
xv
V=v'
d''
H=h
d
D O
h"
v"
z
Fig213
vd
h
y
v'
x
d'
h'
v"
O
z
d"
vd
h
y
yh" x
v'
d'
h'
z
O
Fig.214a Fig.214b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
97
VARIANTA A
PLANELE PROIECTANTE ALE DREPTEI D = VH
+yx
-y
+z
V=v'
v
v"
h'h"
d
d'
d"
H=h
[Q]
wQ
vQ
hQ ,
D
[V]
[H]
[W]
O
Fig.215
A1.
[Q] = planul proiectant al dreptei D
faţă de [H]
[Q] = [P4]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de
proiecţie)
+y
-z[V]
x
[H]
-y
+z
[W]
V=v'
v
v"
h'h"
d
d'd"
H=h
[Q]
h
v
w
DO
Q
Q ,
Q
Fig.216
A2.
[Q] = planul proiectant al dreptei D
faţă de [V]
[Q] = [P5]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de
proiecţie)
+y
-z
[V]
x
[H]
-y
+z
[W]
V=v'
v
v"
h' h"
d
d'd"
H=h
vQ
hQ
wQ ,
[Q]
DO
Fig.217
A3.
[Q] = planul proiectant al dreptei D
faţă de [W]
[Q] = [P6]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de
proiecţie)
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
98
A1. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [H]
[Q] = [P4]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)
ETAPA I
[Q] = planul proiectant al dreptei D , unde D = VH
[Q] ⊃ D
+yx
-y
+z
V=v'
v
v"
h'h"
d
d'
d"
H=h
[Q]
wQ
vQ
hQ ,
D[W]
[H]
[V]
O
Fig.218
x
y
y
z
d' d"
d
h
h' h"
v
v'v"
vQ
hQ =
wQ
x,Q
Q
x
y
z
v
v'
x,Q
vQ
d'
h
h'
dhQ =
y
O O
Fig.219a Fig.219b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
99
ETAPA II
[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV
+y
x
-y
O
+z
V=v'v"
h'h"
e
e'
e"
H= h
[Q]wQ
vQhQ
vP
hP
wP
[P]
E
1 1
11
1 11
v1
Fig.220
x
y
O y
z
e' e"
=e
vQ
hQ
wQ
xQ
yQ
1v=
1v'
1v"
1h
1h' 1h"
vP
hP
wP
x
y
O
z
e'
xQ1
v=
1v'
1h
1h'
vQ
vP
hP =ehQ
Fig.221a Fig.221b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
100
ETAPA III
D ∩ E = I
x
z
y
O
D
d'd''
d=e
H=h
h'
v=v
h"
V=v'
v"
1h'1h"
1
1v"
H
V
=h1 1
=v'1 1
E
e'
e''
I
i
i'
i"
Fig222
x
y
O y
z
d' d"
h
h'
h"
v=v
v' v"
1v"1v'
1h'1h"
1h
1
d=e
e' e''
x
y
O
z
d'
h
h' v=v
v'
1v'
1h'
1h
1
d=e
e'
i'i' i"
i i
Fig.223a Fig.223b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
101
ETAPELE I + II + III
D ∩ [P] = I
x
+z
+y
wQ
vQ
hQ
vh
w
i
i'
i"
H=h
h'
h"
H=h1 1
1h'
1h"
V =v'
V=v'1 1
v"
1v"
v=v1
[H]
[V]
[W]
D
E
[P][Q]
O
I
P
PP
=d=e
e'
d'
e"
d"
Fig.224 = Fig.218+ Fig.220 + Fig.222
wQ
x
y
O y
z
d' d"
h
h'h"
v=v
v' v"1v"
1v'
1h'1h"
i' i"
i
1h
1
d=e=
e' e'' wP
x
y
z
d'
h
h' v=v
v'
1v'
1h'
i'
i
1h
1
d=e=
e'
vQ
hP
vP
hQ
vQ
hP
vP
hQ
O
Fig.225a Fig.225 = Fig.219 + Fig.221 + Fig.223 Fig.225b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
102
A2. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [V]
[Q] = [P5]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)
ETAPA I
[Q] = planul proiectant al dreptei D , unde D = VH
[Q] ⊃ D
[H]
[V]
[W]
d
d"
=d'vQ
hQ
wQ
H=h
V=v'
h'
h"
v
v"
O
D
[Q]
+y
+z
x
Fig.226
O
d"
d
h
h' h"
v
v'v"
=d'vQ
hQ
wQ
Oh'
d
h
v
v'
=d'vQ
hQ
z
y
x
z
y
y
x
Fig.227a Fig227b
Proiecţia ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
103
ETAPA II
[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV
+z
+y
[H]
[V]
[W]
e
e"
hQ
wQ
O
E
H=h1 1
1h'
1h"
V =v'1 1
1v
1v"
hPvP
wP
Q ,ve'
x
[Q]
[P]
Fig.228
x
y
O y
z
h
vP
1h
1h'1h"
1v
1v'
1v"
e
=e'vQ
e"wP
h
wQ
x
y
O
z
1h
1h'
1v
1v'
e
=e'
hP
vP
vQ
hQ
P
Q
Fig.229a Fig.229b
Proiecţia ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
104
ETAPA III
D ∩ E = I
x
z
y
O
D
E
e
d
d'=e'
e"
d"
H =h
H =h1 1
V =v'
V =v'1 1
h"
1h"v
1v
v"
1v"
h'=h'1
I
i
i'
i"
Fig.230
x
y
y
z
d"
e''
h
h'=h'1h"1h"
1h
v 1v
v'
1v' 1v"
v"
x
y
z
h
h'=h'1
1h
v 1v
v'
1v'
d'=e'
d
e
d'=e'
d
e i
i'
i
i' i"
OO
Fig.231a Fig.231b
Proiecţia ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
105
ETAPELE I + II + III
D ∩ [P] = I
x
+z
+y
[H]
[V]
[W]
hQ
wQ
O
[Q]
[P]E
H =h1 1
1h"
V =v'1 1
1v
1v"
hP
vP
wP
H=h
h"
h'=h'1
D
d
V=v'
v
v"
d"
I
i
i'
i"e"
Qv=d'=e'e
Fig.232 = Fig.226 + Fig.228 + Fig.230
x
y
O y
z
hP
vP
1
h"1v
1
1v"
d
e" wP
hQ
wQ
d"
h
h"
i
i' i"
v
v' v"
e
1
=d'=e'vQx
y
O
z
1
v
1
h
i
i'
v
v'
1
=d'=e'
hP
vP
hQ
vQ
d
e
h'=h'
h
v'
1
h'=h'
v'
1
h
Fig.233a Fig.233 = Fig.227 + Fig.229 + Fig231 Fig.233b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
106
A3. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [W]
[Q] = [P6]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)
ETAPA I
[Q] = planul proiectant al dreptei D , unde D = VH
[Q] ⊃ D
[H]
[V]
[W]
OvQ
hQ
=d"wQ
[Q] Dd
d'
H=h
h'
h"
V=v'
v
v"
x
+z
+y
Fig.234
x
y
y
z
x
y
z
Q
O O
=d"
d
d'
h' v
v'v"
h'
v'vQ
Qh
h
v
h"
Qw
v
hQ
h
d'
d
Fig235a Fig.235b
Proiecţia ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
107
ETAPA II
[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV
x
+z
+y
[H]
[V]
[W]
O
vQ
hQ
wQ
hP
vP
wP
[P]
[Q]
Ee
e'1h"
H=h1 1
1h'
1v"
V=v'1 1
1v
=e"
Fig.236
x
y
y x
y
O
z
e
e'
1
1
Q
Q
z
h'
v v'
v1
1h
Ph
Pv
h
P
Q
Q
1
1
1
1
1
h
v
w
h
w=e"
e
e'
h"
v"
h
v'
v
P
Q
O
v
P
1h'
Fig.237a Fig.237b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
108
ETAPA III
D ∩ E = I
x
+z
+y
O
d"=e"
D
E
d
ed'
e'
I
i
i"
H =h
h'
1h"=h"
H =h1 1
1h'
V =v'
v
1v"=v"
V =v'1 1
1v
i'
Fig.238
x
y
y
z
d"=e"
1h"=h"
1v"=v"
e
e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
x
y
z
d
e
d' e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
d
d'OO
i'i' i"
ii
Fig.239a Fig.239b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
109
ETAPELE I + II + III
D ∩ [P] = I
x
+z
+y
[H]
[V]
[W]
O
vQ
hQ
hP
vP wP[P]
[Q]
D
E
d
ed'
e'
I
i
i'
i"
H=h
h'
1h"=h"
H=h1 1
1h'
V=v'
v
1v"=v"
V=v'1 1
1v
=d"=e"Qw
Fig.240 = Fig.234 + Fig.236 + Fig.238
x
y
O y
hP
vP
wP
hQ
vQ=d"=e"wQ
1h"=h"
1v"=v"
d e
d'e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
i
i'i"
x
y
O
d
e
d' e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
i
i'
hP
vP
hQ
vQ
Fig.241a Fig.241 = Fig.235 + Fig.237 + Fig.239 Fig.241b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
110
VARIANTA B
PLANELE PROIECTANTE ALE DREPTEI D = VH
=h
d"
[Q]
[V]
-z
x
-y
=d
[H]
hQ
v h'
H
=v'V
vQd'
DO
v"
[W]
+z
h"
+y
wQ
Fig.242
B1.
[Q] = planul proiectant al
dreptei D faţă de [H]
[Q] = [P4]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe
planele de proiecţie)
+y
-z
x
O
+z
wQ
=d'vQ
=h
h"
h'
=v'
v"
vD
d
d"
hQ
[Q]
[W]
[H]
[V]
-y
H
V
Fig.243
B2.
[Q] = planul proiectant al
dreptei D faţă de [V]
[Q] = [P5]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe
planele de proiecţie)
V
x
-y
[H]
[V]
-z
[Q]
=d"
hQ
d'v
d
h'
=hH
O h"
Q
=v'
D
v
Qw
v"
+y
[W]
+z
Fig.244
B3.
[Q] = planul proiectant al
dreptei D faţă de [W]
[Q] = [P6]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe
planele de proiecţie)
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
111
B1. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [H]
[Q] = [P4]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)
ETAPA I
[Q] = planul proiectant al lui D , unde D = VH
[Q] ⊃ D
x
+z
+y
O
vQ
wQ
[Q]
D
d'
H=h
h'
h"
V=v'
v
v"
[V]
[W]
[H]
d"
d=Qh
Fig.245
x
y
O y
z
vQwQ
hQ
v' v"
h
h'
v
h"
x
y
O
z
vQ
hQ
v'
h
h'
v
d" d'
d=
d'
d=
Fig.246a Fig.246b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
112
ETAPA II
[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV
x
+z
+y
O
vP
wP
[P]
hP
vQwQ
[Q]
hQ
Ee'
H=h1 1
1h'1h"
V=v'1 1
1v
1v"
[H]
[V]
[W]
e"
e=
Fig247
x
y
O
y
hP
vP
wPvQ wQ
hQ
1v' 1v"
1h
1h'1v
1h"
x
y
O
hP
vP
vQ
hQ
1v'
1h
1h'1v
e' e" e'
e=e=
Fig.248a Fig.248b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
113
ETAPA III
D ∩ E = I
x
+z
+y
D
Ee'
d"
e"
I
i
i'
i"
H =h
H =h1 1h'
1h'
h" 1h"
V =v'
V =v'1 1
1v=v
v"
1v"
d'
d= e
O
Fig.249
x
y
y
z
d'
e'
d"
e"
v'
1v'
v"
1v"
h
1h
1h'h'1v=v
1h"h"
x
y
z
d'
e'
v'
1v'
h
1h
1h'h'1v=v
d=ed=e
i"i'
i
i'
i
O O
Fig.250a Fig.250b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
114
ETAPELE I + II + III
D ∩ [P] = I
x
+z
+y
O
vP
wP
[P] hP
vQ
wQ
[Q]
hQ=
D
Ed'
e'
d"
e"
I
i
i'
i"
H=hH=h
1 1h'
1h'h" 1h"
V=v'
V=v'1 1
1v=v
v"
1v"
[H]
[W]
[V]
d=e
Fig.251 = Fig245 + Fig.247 + Fig.249
x
y
y
z
x
y
z
i'1v'
1h
1
vQv'
vP
v=v
Ph
d=
i
h' h'1
e=Qh
h
e'
P
d'
e'
e"
d'
i"i'1 1
1
1
1
wv w
OO
v'
v'
v"
v"
h
h"h"
Pv
v=v
d"
Ph ih
hQe=d=
1h'h'
Fig.252a Fig.252 = Fig.246 + Fig.248 + Fig.250 Fig.252b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
115
B2. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [V]
[Q] = [P5]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)
ETAPA I
[Q] = planul proiectant al lui D , unde D = VH
[Q] ⊃ D
x
+z
+y
h
dH
h'
h"
V=v'
v
v"
-z
[H]
[W]
[V]
D
[Q]
O
d"
=hQ
Qw
Qv =d'
Fig.251
x
y
O y
z
=d'vQ
h'
hQ
wQh
v' v"
d
d"
x
y
O
z
=d'
h'
h
d
vQ
hQ
v'
vh"v
Fig.252a Fig.252b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
116
ETAPA II
[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV
x
+z
+y
O
vP
wP
hP
hQ
vQ
wQ
H =h1 1
1h'
1h"V=v'
1 1
1v
1v"
-z
[H]
[W]
[V]
[Q]
[P]
=e'
e
e"
E
Fig.253
x
y
O y
z
hP
vP
wP
=e'v
1h'
h
wQ
1h
1h"1v
1v' 1v"
e
e"
x
y
O
z
1h'
1h
1v
1v'
ehP
vP =e'vQ
hQ
Q
Q
Fig.254a Fig.254b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
117
ETAPA III
D ∩ E = I
x
+z
+y
O
d'=e'
E
D
de
d"
e"
H =h
=h1 1
h'=h'
h"
1h"
V =v'
=v'1 1
v
1v
v"
1v"
I
i"
i
i'
H
V
1
Fig.255
x
y
y
z
d'=e'
1h
h
h" 1h"v 1v
v'
1v'
v"
1v"
d
e
d"
e"
x
y
z
d'=e'
1h
h
v 1v
v'
1v'
d
e
i'i"i'
i
h'=h'1 OO
i
h'=h'1
Fig.256a Fig.256b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
118
ETAPELE I + II + III
D ∩ [P] = I
x
+z
+y
O
vP
wP[P]
hP
hQ
Q
E
D
wQ
[Q]
d
e
d"
e"
I
i
i'
i"
H=h H =h1 1
1h' =h'
h"1h"
V=v'
V=v'1
v
1v
v"
1v"
1
[H]
[W]
[V]
-z
=d'=
e'
v
Fig.257 = Fig.251 + Fig.253 + Fig.255
x
y
O y
z
hP
vP
wP
=d'=e'vQ
1h'=h'
hQ
wQ
i"i'
i
1h
h
h" 1h"
v'
1v'
v"
1v"
d
e
d"
e"x
y
O
z
1h'=h'
i'
i
1h
h
v'
1v'
d
ehP
vP
=d'=e'vQ
hQ
v v1 v v1
Fig.258a Fig.258 = Fig.252 + Fig.254 + Fig.256 Fig.258b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
119
B3. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [W]
[Q] = [P6]
(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)
ETAPA I
[Q] = planul proiectant al lui D , unde D = VH
[Q] ⊃ D
x
+z
+y
[H]
[V]
[W]
OvQ
hQ
=d"wQ[Q]
D
d
d'
H=h
h'
h"
V=v'
v
v"
Fig.259
x
y
O y
z
x
y
O
z
Q
d'
h
h' v
v'Qv
=d"w
h"v
v' v"
d'
h'
Q
Qv
h
h
Q
d d
h
Fig.260a Fig.260b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
120
ETAPA II
[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV
x
+z
+y
[H]
[V]
[W]
O
vQ
hQ
=e"w
Q
hP
vP
wP
[P][Q]E
e
e' 1h"H =h1 1
1h'
1v"
V =v'1 1
1v
Fig.261
x
y
O y
z
hP
vP
wP
hQ
vQ
=e"wQ
1h"
1v"
e
e'
1h
1h'1v
1v'
x
y
O
z
e
e'
1
1h'1v
1v'
hP
vP
hQ
vQ
h
Fig.262a Fig.262b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
121
ETAPA III
D ∩ E = I
x
+z
+y
d"=e"
D
E
ed'
e'
H =h
h'
1h"=h"
H =h1 1
1h'
V =v'
v
1v"=v"
V =v'1 1
1v
i"
I
i'
d
i
O
Fig.263
x
y
O y
z
d"=e"
1h"=h"
1v"=v"
e
e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
i
i'i"
x
y
O
z
d
e
d' e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
i
i'
d
d'
Fig.264a Fig.264b
Proiecţie ortogonală
II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN
122
ETAPELE I + II + III
D ∩ [P] = I
x
+z
+y
[H]
[V]
[W]
OvQ
hQ
hP
vP
wP
[P][Q]
D
EI
i
i'
i"
H=h
h'
1h"=h"
H=h1
1
1h'
V=v'
v
1v"=v"
V=v'1 1
1v
=d"=e"
d
ed'
e'
Qw
Fig.265 = Fig.259 + Fig.261 + Fig.263
x
y
O y
z
hP
vP
wP
hQ
vQ=d"=e"
wQ
1h"=h"
1v"=v"
d
e
d'e'
h 1h
h' 1h'v1v
1v' v'
i
i'i"
x
y
O
z
d
e
d' e'
h 1h
h' 1h'v
1v
1v' v'
i
i'
hP
vP
hQ
vQ
Fig.266a Fig.266 = Fig.260 + Fig.262 + Fig.264 Fig.266b
Proiecţie ortogonală