"Natura este scrisă în limbaj matematic"
Galileo Galilei
Transformări geometrice: noțiuni teoretice și modele în natură
"O geometrie nu poate fi mai adevărată decat alta; ea poate fi doar mai comodă.
Or, geometria euclidiană este şi va rămane cea mai comodă“
H. Poincare
•Introducere
•Simetria
•Translația•Rotația•Omotetia
•Aplicații
Transformări geometrice
Transformări geometrice:
noțiuni teoretice
Istoria matematicii consemnează că transformările
geometrice au fost folosite pentru obţinerea
primelor demonstraţii ale unor teoreme de
geometrie a planului şi a spaţiului.
Intuiţia asigură înţelegerea noţiunilor de mişcare,
suprapunere, transformare a figurilor, ceea ce
favorizează înţelegerea ulterioară a unor
concepte fundamentale din geometrie.
Transformări geometrice:
noțiuni teoretice
• Gândim spaţiul fizic obişnuit ca o mulţime de elemente numite puncte, notat cu S. Noţiunea de distanţă are următoarele proprietăţi:
• 1. d(A,B) ≥ 0 şi egal cu zero dacă şi numai dacă A coincide cu B;
• 2. d(A,B)= d(B,A)
• 3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), oricare ar fi punctele A, B, C din S.
Transformări geometrice:
SIMETRIA
• Definiţie: Simetria centrală de centru O în
planul este o transformare a planului
prin care punctul O se transformă în el
însuşi şi orice alt punct A se transformă în
simetricul său A’ în raport cu punctul O.
• Proprietăţi:
• - păstrează distantele;
• - păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonul sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi şi ele în ordinetrigonometrică) ;
• - păstrează unghiurile ;
• - drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele ;
• - are ca punct fix punctul O iar dreptele care trec prin punctul O sunt drepte fixe ;
• - simetrii succesive după centre diferite O1(x1, y1) O2 (x1, y1) sunt o translaţie ;
• - simetriile după un punct nu comută.
• Spunem că o figură F admite ca centru de simetrie
un punct O, dacă simetricul faţă de O al oricărui
punct al figurii F se află în F.
Simetria axială în
plan
Definiţie: Simetria axială de axă d în planul este o transformare a
planului prin care punctele dreptei d se transformă în ele însele şi orice
alt punct A se transformă în simetricul său A’ în raport cu dreapta d.
Simetria axială
în plan
• Proprietăți:• - păstreaza distanțele;
• - nu păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrica, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi în sens invers );
• - păstreaza unghiurile;
• - drepte paralele vor fi transfirmate în drepte paralele;
• - are ca puncte fixe punctele dreptei de simetrie;
• - simetrii succesive după drepte paralele determină o translatie ;
• - simetrii succesive după drepte concurente sunt rotații ;
• - simetriile nu comută.
TRANSLAŢIA
• Translaţia se
defineşte ca o
transformare prin
care toate
punctele se
deplasează în
una şi aceeaşi
direcţie, într-un
sens dat, la
aceeaşi distanţă.
TRANSLAŢIA
• Proprietăți:• - păstrează distanțele;
• - păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonul sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci varfurile corespondențe din poligonul transformat vor fi și ele în ordine trigonometrică);
• - păstrează unghiurile;
• - o dreaptă va fi transformată în altă dreaptă paralelă cu prima;
• - în afară de translația trivială de vector v = (0, 0), această transformare nu are puncte fixe (adica orice punct va fi transformat într-un punct diferit);
• - translații succesive vor determina tot într-o translație (adică dacă vrem să translatăm un punct după v si apoi după v1 atunci obținem același rezultat dacă translatăm direct dupa v + v1);
• -translația este comutativă.
Rotația
Rotația de centru O și unghi u,
transformă punctul P în P’ astfel
încat măsura ungiului P’OP sa fie u.
Rotația
Proprietăți• - pastrează distantele
• - pastrează orientarea poligoanelor
• - pastrează unghiurile
• - drepte paralele vor fi transfirmate în drepte paralele
• - dacă nu este o rotație trivială de unghi 0 atunci are ca punct fix centrul de rotație, nu are drepte fixe, dar are cercuri fixe centrate în centrul de rotație
• - două rotații succesive R1(O1, alfa) și R2 (O2, beta) se compun în o translatie sau o rotație
• R3 (O3, alfa + beta)
• -în general rotatiile nu comută
Omotetia• Se numeşte omotetie de centru O şi raport k aplicaţia h a planului
în el însuși,• care asociază punctului A un punct A’, A, A’ astfel încât
• OA’ = k OA.
• Punctul O se numeşte centru de omotetie, iar k raportul de omotetie
Omotetia
Proprietăţi: • - nu păstrează distanţele
• - păstrează orientarea poligoanelor
• - păstrează unghiurile
• - drepte paralele vor fi transformate în drepte
paralele și transformata unei drepte va fi
paralela cu dreapta data
• - are ca punct fix centrul de omotetie
• -în general omotetiile nu comută .
Aplicaţii
• Problema 1:
• Fie doua puncte A si B în interiorul unui unghi format de semidreptele
d1 si d2 care au capatul comun O. Se cere sa se determine doua
puncte M si N asfel ca M sa apartina lui d1 si N sa apartina lui d2 iar
• suma AM + MN + NB sa fie minimă.
Problema 2:
Dându-se un triunghi ABC
se cere să se determine
un triunghi înscris în
acesta de perimetru
minim.
Tema 1
• Identificaţi aspecte legate de transformări
geometrice în natură
Jocul Haosului
şi
transformările
geometrice
Tema 2
Daţi exemple de transformări geometrice identificate în
imaginea rezultată din jocul haosului
Tema 3
Daţi exemple de transformări geometrice identificate în
urmatoarele demonstratii ale Teoremei lui PITAGORA
a2 =b 2 +c 2
Daţi exemple de transformări geometrice
identificate în urmatoarea demonstratie a
Teoremei lui PITAGORAa2 =b 2 +c 2
Daţi exemple de transformări geometrice identificate în
urmatoarea demonstratie a Teoremei lui PITAGORA
a2 =b 2 +c 2