No¸tiunea de transformare liniara˘ Transformari...

Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale

Valori si vectori proprii

Transformari

1 Notiunea de transformare liniaraProprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari

2 Transformari liniare între spatii finit dimensionaleMatricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare

3 Valori si vectori propriiDiagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic

Transformari liniare



Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari

Notiunea de transformare liniara

Fie V si W spatii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexeΓ = C.

Definitie

Se numeste transformare (operator) liniara functia f : V →Wdaca satisface

1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.





Proprietati

Propozitie

Daca f este o transformare liniara, atunci au loc1. f (0V ) = 0W2. f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Demonstratie. 1. f (0V ) = f (0 · 0V ) = 0 · f (0V ) = 0W .2. Din u + (−u) = 0V deducem f (u) + f (−u) = 0W , adicaf (−u) = −f (u).





Spatiul transformarilor liniare

Fie V si W spatii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexeΓ = C. Notam

L(V ,W ) = {f : V →W , f transformare liniara}.

TeoremaL(V ,W ) este spatiu liniar peste Γ.

Demonstratie.Definim operatiile

f ,g ∈ L(V ,W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), ∀u ∈ V .

f ∈ L(V ,W ), α ∈ Γ, (α · f )(u) = α · f (u).





Alte operatii cu transformari

TeoremaFie U,V ,W spatii liniare peste Γ si f ∈ L(U,V ), g ∈ L(V ,W ).Atunci g ◦ f ∈ L(U,W )

TeoremaFie f ∈ L(U,V ) o transformare liniara bijectiva. Atunci existaf−1 si f−1 ∈ L(V ,U).





Nucleul si imagine

Definitie

Numim nucleu al transformarii liniare f : V →W multimea

Ker f = {u ∈ V | f (u) = 0W .}

Definitie

Numim imagine a transformarii liniare f : V →W multimea

Im f = {v ∈W | ∃u ∈ V , f (u) = v}.





Proprietati

Propozitie

Fie f : V →W o transformare liniara atunci1. Ker f este subspatiu liniar în V .2. Im f este subspatiu liniar în W.

Propozitie

Fie f : V →W o transformare liniara atunci1. f este injectiva daca si numai daca Ker f = {0V}2. f este surjectiva daca si numai daca Im f = W.





Teorema1. Daca f ∈ L(V ,W ) atunci f transforma un sistem de vectoriliniar dependenti într-un sistem de vectori liniar dependenti.

2. Daca f ∈ L(V ,W ) este injectiva atunci f transforma unsistem de vectori liniar independenti într-un sistem de vectoriliniar independenti.





Demonstratie. 1. Presupunem ca u1,u2, · · · ,un sunt liniardependenti; exista αi ∈ Γ nu toti nuli astfel ca

n∑i=1

αiui = 0V .

Aplicam f si avem

f (n∑

i=1

αiui) =n∑

i=1

αi f (ui) = 0W .

2. Presupunem ca u1,u2, ·,un sunt liniar independenti. Fien∑

i=1

αi f (ui) = 0W ,

care implica

f (n∑

i=1

αiui) = 0W ,

decin∑

i=1

αiui ∈ Ker f . Deoarece f este injectiva ker f = 0V , de

unde αi = 0,∀i = 1, · · · ,n.





Morfisme

Definitie

Fie f : V →W o transformare liniara atunci f se numesteizomorfism daca f este bijectiva.

Daca V = W, atunci f se numeste endomorfism. Notam L(V )multimea tuturor endomorfismelor.

Endomorfismul liniar f : V → V se numeste automorfism, dacaf este bijectiva.





Rangul si defectul unei transformari

Definitie

Numim rangul transformarii f : V →W liniare dimensiuneasubspatiului Im f .

Definitie

Numim defectul transformarii f : V →W liniare dimensiuneasubspatiului Ker f .




Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare

Transformari liniare între spatii finit dimensionale

Fie V ,W doua spatii liniare finit dimensionale, astfel ca

dim V = n, dim W = m, m,n ∈ N.

Fie B1 = {e1,e2, · · · ,en} o baza în V si B2 = {g1,g2, · · · ,gm} obaza în W . Au loc

f (e1) = a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fmf (e2) = a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fm

· · ·f (en) = a1nf1 + a2nf2 + · · ·+ amnfm

.

Relatiile sunt echivalente cu:

f (ei) =m∑

j=1

ajigj , ∀i = 1, · · · ,n. (1)





DefinitieMatricea

A = AB1,B2f = (aji), j = 1, · · ·m, i = 1, · · · ,n

se numeste matricea transformarii în perechea de baze B1,B2.

Observatie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilorf (ei) în baza din W .





Teorema

Între multimea transformarilor liniare L(V ,W ) si multimeamatricelorMm,n(Γ) exista o corespondenta bijectiva.

Demonstratie.⇒ Fie f ∈ L(V ,W ), undedim(V ) = n, dim(W ) = m. Daca folosim notatiile predente,avem pentru orice u ∈ V ,w ∈W

u =n∑

i=1

xiei w =m∑

j=1

yj fj . (2)





Demonstratie.

Au loc

w = f (u) = f (n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xi f (ei) =

=n∑

i=1

xi

m∑j=1

aji fj =m∑

j=1

(n∑

i=1

ajixi)fj

Deducem

yj =n∑

i=1

ajixi , j = 1, · · · ,m (3)





Daca notam Y =

y1y2· · ·ym

X =

x1x2· · ·xn

, relatia (3) devine

Y = A · X . (4)

⇐ Oricare ar fi matriceleA ∈Mm,n(Γ), X ∈Mn,1(Γ), Y ∈Mm,1(Γ), relatia (4)defineste o transformare liniara.





Consecinte

1. Tranformarea identic nula, f : V →W , f (u) = 0W , arematricea Om,n2. Transformarea identica f : V → V , f (u) = u are matriceaA = In.3. Daca f ,g ∈ L(V ,W ) au matricele A,B ∈Mm,n(Γ) atuncif + g are matricea A + B ∈Mm,n(Γ).4. Daca α ∈ Γ, f ∈∈ L(V ,W ), iar f are matricea A ∈Mm,n(Γ),atunci transformarea α · f are matricea α · A ∈Mm,n(Γ).





Compunerea transformarilor

5. Fie U,V ,W spatii liniare peste Γ cudim(U) = n, dim(V ) = m, dim(W ) = p, m,n,p ∈ N.Fie f ∈ L(U,V ), g ∈ L(V ,W ). Are sens compunereag ◦ f ∈ L(U,W ).

f g

U → V → W

↓ ↓

A ∈Mm,n(Γ) B ∈Mp,m(Γ)

.

Atunci transformarii g ◦ f îi corespunde matriceaB · A ∈Mp,n(Γ).





Inversarea unei transfromari

6. Daca V = W si f ∈ L(V ) cu matricea A ∈Mn(Γ) este otransformare inversabila, atunci transformarii f−1 îi corespundematricea A−1.





Relatia dintre rang si defect

Fie V ,W spatii liniare peste Γ cu dim(U) = n si dim(W ) = m.

TeoremaFie f ∈ L(U,W ) atunci are loc

dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n.

Demonstratie. Fie A ∈Mm,n(Γ) matricea lui f într-o perechede baze. Atunci f (u) = w înseamna

A · X = Y .

Daca w ∈ Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibila11x1 + · · ·+ a1n = y1a21x1 + · · ·+ a2n = y2

· · ·am1x1 + · · ·+ amn = ym

.





Sistemul este echivalent cu

C1x1 + · · ·+ Cnxn = Y , (5)

unde C1, · · · ,Cn sunt coloanele matricei A.Relatia (5) exprima faptul ca Y ∈ Sp{C1, · · · ,Cn}.Stim ca rang(A) = dim(Sp{C1, · · · ,Cn}), decirang(A) = dim(Im(f )).

Pe de alta parte ker f reprezinta multimea solutiilor unui sistemliniar omogen, cu dimensiunea n − rang(A), de unde concluzia.





TeoremaFie f ∈ L(V ) cu dim(V ) = n si B = {ei , · · · ,en} o baza în V , încare f are matricea A ∈ Mn(Γ).Fie B′ = {e′i , · · · ,e′n} o alta baza în V , în care f are matriceaA′ ∈ Mn(Γ).Fie C matricea de schimbare de la baza B la B′.Are loc

A′ = C−1 · A · C. (6)





Demonstratie.

Calculam în doua moduri f (e′j ).

f (e′j ) = f (n∑

i=1

cijei) =n∑

i=1

cij f (ei) =

=n∑

i=1

cij

n∑k=1

akiek =n∑

k=1

(n∑

i=1

akicij)ek .

f (e′j ) =n∑

i=1

a′ije′i =

n∑i=1

a′ijn∑

k=1

ckiek =n∑

k=1

(n∑

i=1

ckia′ij)ek .

RezultaA · C = C · A′.




Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic


Definitie

Fie V un spatiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C si f ∈ L(V ).λ ∈ Γ se numeste valoare proprie daca exista u ∈ V , u 6= 0Vastfel ca

f (u) = λu. (7)

Vectorul u se numeste vector propriu.

Multimea tuturor vectorilor proprii se numeste spectruloperatorului si se noteaza cu σ(f ).





TeoremaFie λ ∈ Γ o valoare proprie.1. Multimea Vλ = {u ∈ V |f (u) = λu} este subspatiu liniar în V .2. Oricare ar fi u ∈ Vλ are loc f (u) ∈ Vλ.

Demonstratie. 1. Daca u,u′ ∈ Vλ rezulta ca u + u′ ∈ Vλ. Dacaα ∈ Vλ, u ∈ Vλ atunci αu ∈ Vλ.2. Fie u ∈ V astfel ca f (u) = λu. Rezulta f (f (u)) = λf (u).

Vλ se numeste subspatiu propriu.





TeoremaDaca λ, λ′ ∈ Γ sunt valori proprii distincte, iar u,u′ sunt vectoriiproprii corespunzatori, atunci u si u′ sunt liniar independenti.

Demonstratie. Daca u,u′ ar fi liniar dependenti, ar existaα ∈ Γ, α 6= 0 astfel ca u′ = αu, Aplicând f deducem :

λ′αu = λ′u′ = f (u′) = f (αu) = αf (u) = αλu

De undeα(λ′ − λ)u = 0V

ceea ce antreneaza , prin absurd, λ = λ′.





TeoremaDaca V este spatiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci oricef ∈ L(V ) are cel putin o valoare proprie în Γ.

Demonstratie. Fie A ∈Mn(Γ) matricea transformarii într-obaza fixata B = {e1, · · · ,en}. Daca u = x1e1 + · · ·+ xnen dinconditia f (u) = λu gasim

A

x1x2· · ·xn

= λ

x1x2· · ·xn

.





Ecuatia caracteristica

Se obtinea11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n· · ·an1 an2 · · · ann − λ

x1x2· · ·xn

=

00· · ·0

.

Sistemul are solutie nebanala daca∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n· · ·an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (8)

Ecuatia (8) se numeste ecuatie caracteristica.





Forma diagonala

Definitie

Spunem ca o transformare liniara admite forma diagonala,daca exista o baza în care matricea este diagonala.

TeoremaDaca spatiul liniar V admite o baza de vectori proprii, atunci înaceasta baza transformarea liniara admite forma diagonala.

Demonstratie. Fie λi ∈ Γ valori proprii si {u1, · · · ,un} o bazade vectori proprii. Atunci f (ui) = λiui , adica matricea are pediagonala valorile proprii λi , iar în rest 0.





Lema lui Gersgorin

LemaFie A ∈Mn(C). Pentru orice i = 1, · · · ,n fie

ri =n∑

j=1,j 6=i

|aij | Di = {z ∈ C | |z − aii | ≤ ri}.

Are loc

σ(A) ⊂n⋃

i=1

Di ,

unde σ(A) este spectrul transformarii liniare de matrice A.





Demonstratie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca existaxi , i = 1, · · · ,n nu toti nuli astfel ca

A

x1· · ·xn

= λ

x1· · ·xn

.





Fie i astfel ca |xi | = max(|x1|, · · · , |xn|) de unde xi 6= 0. Ecuatiai este

ai1x1 + · · ·+ (aii − λ)xi + · · ·+ ain = 0.

Deducem

(aii − λ)xi = −n∑

j=1,j 6=i

aijxj ,

de unde

|aii − λ||xi | ≤n∑

j=1,j 6=i

|aij ||xj |.

Urmeaza

|aii − λ| ≤n∑

j=1,j 6=i

|aij ||xj ||xi |≤ ri .





Polinom caracteristic

Definitie

Fie A ∈Mn(Γ). Polinomul

P(λ) = det(A− λIn) (9)

se numeste polinom caracteristic.

TeoremaFie A ∈Mn(Γ) si P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc:1. A si At au acelasi polinom carateristic.2.P(λ) = (−1)nλn + (−1)n−1λn−1(a11 + a22 + · · ·+ ann) + · · ·+ anunde an = det(A).3. Date A,B ∈Mn(Γ) si C ∈Mn(Γ) nesingulara astfel caB = C−1AC atunci A si B au acelasi polinom caracteristic.





Demonstratie

P(λ) = (a11−λ)(a22−λ) · · · (ann−λ)+polinom de grad ≤ n−2 =(−1)nλn + (−1)n−1(a11 + a22 + · · ·+ ann)λn−1 + · · ·+ an.Daca λ = 0 deducem an = det(A).Consecinte.1 λ1 + λ2 + · · ·+ λn = Tr(A)2. λ1 · λ2 · · ·λn = det(A).





Teorema Cayley-Hamilton

TeoremaFie A ∈Mn(Γ) si P polinomul caracteristic. Atunci

P(A) = 0.


Date post:	09-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	48 times
Download:	1 times

No¸tiunea de transformare liniara˘ Transformari...

Documents