Caracteristici Geometrice RM

Capitolul 4

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR

PLANE

4.1. Centre de greutate

În relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor produse prin întindere, compresiune sau forfecare secţiunea transversală a barei intervine prin valoarea ariei acesteia.

Pentru solicitările de încovoiere şi torsiune, tensiunile şi deformaţiile depind nu numai de aria, ci şi de forma secţiunii transversale, elemente care vor fi introduse în calcule cu ajutorul unor caracteristici geometrice de ordin superior, momente statice, momente de inerţie şi module de rezistenţă.

Valorile acestora depind atât de mărimea ariei secţiunii, cât şi de forma acesteia.Fie suprafaţa de arie A din figura 4.1. raportată la sistemul de axe zOy.Considerând suprafaţa compusă dintr-o infinitate de elemente de arie dA, coordonatele

centrului de greutate G al suprafeţei se obţin cu relaţiile:

. (4.1)

Dacă secţiunea barei se compune dintr-un număr n de suprafeţe, pentru care se cunosc ariile

acestora şi coordonatele ale centrelor de greutate corespunzătoare, relaţiile

utilizate pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al secţiunii sunt:

. (4.2)

4.2. Momente statice

Se consideră în figura 4.1 secţiunea transversală a unei bare, raportată la un sistem de referinţă zOy.Se admite că suprafaţa de arie A se compune dintr-un număr de elemente de suprafaţă de

mărime infinit de mică de arie dA .Se numeşte moment static al suprafeţei plane A, în raport cu axa Oz, respectiv Oy, suma

produselor dintre ariile dA ale elementelor de suprafaţă şi distanţele acestor elemente la axa considerată.

69

ELEMENTE FUNDAMENTALE DE REZISTENŢA MATERIALELOR_ _

Momentele statice se măsoară în sau , valoarea lor depinde de mărimea, forma suprafeţei şi poziţia axelor.

Fig. 4.1 Suprafaţă plană oarecare de arie A

Momentele statice pot fi pozitive, negative sau nule.Cu ajutorul coordonatelor centrului de greutate al suprafeţei, momentele statice se pot scrie:

. (4.3)În raport cu o axă ce conţine centrul de greutate, momentul static este nul, implicit în raport cu

o axă de simetrie.

4.3. Momente de inerţie

Pentru aceeaşi suprafaţă din figura 4.1, expresii formate din suma produselor dintre aria elementului de suprafaţă dA şi pătratul distanţei la o axă, sau la un punct, respectiv produsul coordonatelor elementului de arie faţă de sistemul de axe se numesc momente de inerţie. Acestea se măsoară în sau .Momentele de inerţie axiale sunt:

. (4.4)

Momentul de inerţie polar este funcţie de pătratul distanţei elementului de arie faţă de un punct denumit pol:

. (4.5)

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale faţă de două axe perpendiculare oarecare, cu punctul de intersecţie polul considerat.

Momentul de inerţie centrifugal este:

. (4.6)

70

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE Capitolul 4

Momentele de inerţie axiale sunt pozitive şi niciodată nule în timp ce momentul de inerţie centrifugal are valori pozitive sau negative şi în unele situaţii poate fi zero.

Momentul de inerţie centrifugal al unei suprafeţe, în raport cu un reper pentru care cel puţin una din axe este axă de simetrie a suprafeţei respective (fig.4.2), este nul:

. (4.7)

Fig. 4.2 Suprafaţă cu axă de simetrie

În unele cazuri se utilizează în calcule razele de inerţie, mărimi convenţionale având dimensiunile unei lungimi, date de relaţiile:

. (4.8)

Dacă axele faţă de care se calculează momentele de inerţie trec prin centrul de greutate al suprafeţei, se obţin momentele de inerţie centrale.

4.4. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele

Fie suprafaţa oarecare de arie A raportată la două sisteme de referinţă cu axele paralele zOy şi (fig.4.3).

71


Fig. 4.3 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paraleleSe consideră cunoscute momentele de inerţie în raport cu axele reperului zOy:

(4.9)

şi cu ajutorul relaţiilor între coordonatele elementului de arie dA faţă de cele două repere:,

se calculează momentele de inerţie faţă de reperul :

(4.10)

72


Fig. 4.4 Suprafaţă raportată la un sistem de axe ce are originea în centrul de greutate

Dacă originea sistemului de referinţă iniţial coincide cu centrul de greutate al suprafeţei plane (figura 4.4), adică axele Oz şi Oy devin axe centrale, atunci în relaţiile (4.10) momentele statice

devin nule şi rezultă formulele lui Steiner:

(4.11)

unde sunt coordonatele centrului de greutate G al suprafeţei A, faţă de reperul .

Se deduce următorul enunţ: momentul de inerţie al unei suprafeţe plane, în raport cu o axă aflată în planul suprafeţei, este egal cu suma dintre momentul de inerţie al suprafeţei în raport cu o axă paralelă cu prima, dar care trece prin centrul de greutate geometric al suprafeţei şi produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre cele două axe.

Rezultă că dintre toate momentele de inerţie ce se pot calcula în raport cu o serie de axe paralele, cel calculat faţă de axa centrală este minim. De asemenea, momentul de inerţie polar, fiind o sumă de momente de inerţie axiale, este minim în raport cu centrul de greutate al suprafeţei.

4.5. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe concurente

Se consideră o suprafaţă plană, oarecare, de arie A. Se cunosc momentele de inerţie

ale suprafeţei faţă de axele unui sistem de referinţă zOy (figura 4.5).

73


Fig. 4.5 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe concurente

Se pune problema de a calcula momentele de inerţie în raport cu axele unui alt sistem de referinţă rotit faţă de zOy cu unghiul :

(4.12)

Din figură rezultă relaţiile dintre coordonatele unui element de suprafaţă dA în raport cu axele celor două sisteme de referinţă:

4.13)

Se determină, utilizând relaţiile (4.12) şi (4.13), momentul de inerţie faţă de axa :

;

;

;

;

. (4.14)

Analog se calculează momentele de inerţie şi :

; (4.15)

. (4.16)

74


Se constată că suma momentelor de inerţie faţă de două axe perpendiculare care se intersectează în acelaşi pol este un invariant :

. (4.17)

Suma momentelor de inerţie axiale, calculate faţă de două axe ortogonale, care trec printr-un pol dat, este constantă, nu depinde de unghiul de rotaţie a sistemului de axe în jurul polului.

Din relaţiile obţinute pentru , rezultă că prin variaţia unghiului momentele de

inerţie faţă de axele rotite îşi schimbă valoarea, ca urmare există o anumită axă, ce trece prin originea sistemului de referinţă considerat, faţă de care momentul de inerţie axial are o valoare maximă. Deoarece suma momentelor de inerţie faţă de două axe ortogonale, care trec printr-un pol este o constantă, înseamnă că în raport cu axa perpendiculară pe prima, momentul de inerţie trebuie să fie de valoare minimă.

Axele faţă de care momentele de inerţie axiale au valori extreme se numesc axe principale de inerţie, direcţiile lor sunt direcţii principale, iar momentele de inerţie calculate faţă de aceste axe se numesc momente principale de inerţie.

Pentru a calcula valoarea maximă a expresiei , se anulează derivata acesteia în raport cu

unghiul :

. (4.18)

Se constată că momentul de inerţie centrifugal în raport cu axele principale de inerţie este egal cu zero.Unghiurile direcţiilor principale se obţin din:

. (4.19)

Ecuaţia are două soluţii şi . Deci cele două axe principale de inerţie, corespunzătoare unghiului , respectiv unghiului sunt perpendiculare. Faţă de una momentul de inerţie este maxim iar faţă de cealaltă este minim.

Pentru unghiurile corespunzătoare direcţiilor principale se exprimă şi în

funcţie de din relaţia (4.19):

; (4.20)

. (4.21)

Înlocuind relaţiile (4.20) şi (4.21) în expresia (4.14) rezultă momentele de inerţie principale:

(4.22)

Convenţional se notează momentul de inerţie maxim cu şi momentul de inerţie minim cu .Dacă suprafaţa are o axă de simetrie, atunci axa de simetrie este totodată şi axă principală de

inerţie, deoarece momentul de inerţie centrifugal în raport cu un sistem de referinţă, pentru care cel puţin o axă este de simetrie, este egal cu zero.

75


În raport cu oricare punct din planul suprafeţei, considerat ca origine a sistemului de axe, se pot determina momente principale de inerţie. În cazul secţiunilor transversale ale barelor interesează momentele principale centrale de inerţie, adică cele calculate în raport cu axele principale care trec prin centrul de greutate al secţiunii.

Din expresia (4.21) se deduce:

, (4.23)

iar momentele de inerţie principale devin:

, (4.24)

în care reprezintă unghiurile de înclinare ale axelor principale de inerţie.

Din analiza expresiei (4.24) rezultă:

- dacă atunci momentul de inerţie este maxim pentru sau ,

adică faţă de axa principală ce trece prin primul cadran al sistemului de referinţă considerat;

- dacă , atunci momentul de inerţie este maxim pentru sau pentru

, adică faţă de axa principală ce trece prin al doilea cadran.

4.6. Calculul momentelor de inerţie principale centrale pentru diferite secţiuni

4.6.1. Secţiune dreptunghiulară

Se împarte suprafaţa dreptunghiului de dimensiuni b, h (fig.4.6), în elemente de arie , paralele cu axa Gz şi se calculează momentele de inerţie axiale aplicând relaţiile de

definiţie (4.4):

;

. (4.25)

Axele Gz şi Gy, fiind axe de simetrie, sunt axe principale centralede inerţie, iar momentul de

inerţie centrifugal este nul.

Momentele de inerţie pentru un pătrat de latură a, în raport cu axele principale centrale, sunt:

. (4.26)

76


Fig. 4.6 Secţiune dreptnghiulară Fig. 4.7 Secţiune circulară

4.6.2. Secţiune circulară

Suprafaţa circulară de rază R (fig.4.7) se împarte în elemente de arie inelare, de rază r şi grosime dr:

.Se calculează momentul de inerţie polar faţă de centrul cercului:

. (4.27)

Momentele de inerţie axiale, faţă de două axe centrale, rezultă:

, (4.28)

în care este diametrul cercului.

4.6.3. Secţiune inelară

Momentele de inerţie principale centrale ale unei secţiuni inelare, cu diametrul exterior D şi diametrul interior d, se calculează ca diferenţă dintre momentele de inerţie corespunzătoare suprafeţelor circulare cu diametrele respective:

(4.29)

4.6.4. Caracteristici geometrice ale profilelor laminate

Profilele laminate cel mai des utilizate în construcţiile metalice şi în construcţiile de maşini sunt: oţel U, oţel I, oţel cornier cu aripi egale şi oţel cornier cu aripi neegale.

Profilele laminate se realizează de obicei din OL 37.Dimensiunile la care se fabrică aceste profile sunt standardizate (fig.4.8). În standardele

respective se precizează denumirea profilului, dimensiunile care determină complet forma acestuia,

77


aria secţiunii, masa pe metru de lungime, poziţia centrului de greutate geometric al secţiunii, poziţia axelor principale de inerţie, momentele de inerţie, razele de inerţie şi modulele de rezistenţă.

În tabelele 4.1 şi 4.2 sunt prezentate (fiind utile în aplicaţii) astfel de caracteristici pentru o o parte dintre profilele U şi I.

Fig. 4.8 Dimensiuni profile laminate

Tabelul 4.1Simbol

Dimensiuni [mm] Ariasecţi-unii

MasaLini-Ară

Mărimi geometrice pentru axele de încovoiere

h d b t R r

z-z y-y

U6,5 65 42 5,5 7,5 7,5 4,0 9,03 7,09 57,5 17,7 2,52 14,1 5,07 1,25 1,42U8 80 45 6 8,0 8,0 4,0 11,0 8,64 106 26,5 3,10 19,4 6,36 1,33 15,9 1,45U10 100 50 6 8,5 8,5 4,5 13,5 10,6 205 41,2 3,91 29,3 8,49 1,47 24,5 1,55U12 120 55 7 9,0 9,0 4,5 17,0 13,4 364 60,7 4,62 43,2 11,1 1,59 36,3 1,60U14 140 60 7 10,0 10,0 5,0 20,4 16,0 605 86,4 5,45 62,7 14,8 1,75 51,4 1,75U16 160 65 7,5 10,5 10,5 5,5 24,0 18,8 925 116 6,21 85,3 18,3 1,89 68,8 1,84U18 180 70 8 11,0 11,0 5,5 28,0 22,0 1350 150 6,95 114 22,4 2,02 89,6 1,92U20 200 75 8,5 11,5 11,5 6,0 32,2 25,3 1910 191 7,70 148 27,0 2,14 114 2,01U24 240 85 9,5 13,0 13,0 6,5 42,3 33,2 3600 300 9,22 248 39,6 2,42 179 2,23U30 300 100 10 16 16,0 8,0 58,8 46,2 8030 535 11,7 495 67,8 2,90 316 2,70

Tabelul 4.2

Simbol

Dimensiuni [mm] Ariasecţi-unii

Masalini-ară

Mărimi geometrice pentru axele de încovoiere

h d t b=R

r

z-z y-y

I8 80 42 5,90 3,9 2,3 7,58 5,95 77,8 19,5 3,20 6,29 3,00 0,91 11,4I10 100 50 6,80 4,5 2,7 10,6 8,32 171 34,2 4,01 12,2 4,38 1,07 19,9I12 120 58 7,70 5,1 3,1 14,2 11,2 328 54,6 4,81 21,5 7,41 1,23 31,8I14 140 66 8,60 5,7 3,4 18,3 14,4 573 81,9 5,61 36,2 10,71 1,40 47,7

78


I16 160 74 9,50 6,3 3,8 22,8 17,9 935 117 6,40 54,7 14,8 1,55 68,0I18 180 82 10,40 6,9 4,1 22,9 21,9 1450 161 7,20 81,3 19,8 1,71 93,4I20 200 90 11,30 7,5 4,5 33,5 26,3 2140 214 8,00 117 26,0 1,87 125I24 240 106 13,10 8,7 5,2 46,1 36,2 4250 354 9,59 221 41,7 2,20 206I30 300 125 16,20 10,8 6,5 69,1 54,2 9800 653 11,9 451 72,2 2,56 381I40 400 155 21,60 14,4 8,6 118 92,6 29210 1460 19,7 1160 149,0 3,13 857

4.6.5. Caracteristici geometrice ale secţiunilor de formă complexă

Secţiunile de formă complexă se descompun, pentru calculul momentelor de inerţie, în suprafeţe simple, pentru care se cunosc relaţiile de calcul sau valorile momentelor de inerţie principale centrale. Folosind aceste expresii şi formulele lui Steiner, pentru fiecare element se determină momentele de inerţie faţă de axele principale centrale ale secţiunii, iar apoi, prin însumarea acestora se obţin momentele de inerţie ale suprafeţei (secţiunii) de formă complexă.

Fig. 4.8 Secţiune de formă complexă

Calculul momentelor de inerţie principale centrale pentru suprafaţa din figura 4.8 cuprinde următoarele etape:

Se determină poziţia centrului de greutate G al secţiunii în raport cu reperul .

, (4.30)

în care sunt coordonatele centrelor de greutate G1, G2 are ariilor A1

respectiv A2 în raport cu reperul . Acesta poate fi ales arbitrar în aşa fel încât să permită determinarea cât mai uşoară a dimensiunilor necesare.

Se determină momentele de inerţie , aplicând formulele lui Steiner pentru fiecare

din suprafeţele :şi :

79


(4.31)

în care:

- sunt momentele de inerţie ale ariei faţă de axele secţuinii ;

- sunt momentele de inerţie ale ariei faţă de axele secţuinii ;

- sunt momentele de inerţie axiale ale ariei A1 faţă de axele proprii ;

- sunt momentele de inerţie axiale ale ariei faţă de axele proprii ;

- sunt coordonatele centrelor de greutate G1 respectiv G2 în raport cu

reperul zGy.Momentele de inerţie centrifugale în raport cu axela proprii ale celor două dreptunghiuri

sunt nule.

Se determină direcţiile principale:

. (4.32)

Se calculează momentele de inerţie principale centrale:

(4.33

În funcţie de semnul pe care îl are momentul de inerţie centrifugal, se stabileşte axa faţă de care momentul de inerţie este maxim.

Dacă secţiunea complexă are mai multe elemente componente, se procedează în acelaşi mod; relaţiile (4.31) pot fi generalizate sub forma:

, (4.34)

în care: - este aria elementului i de suprafaţă ;

- este momentul de inerţie al ariei faţă de axa ;

- este momentul de inerţie al ariei faţă de axa ;

- sunt coordonatele centrului de greutate , al suprafeţei , în raport cu reperul zGy.

4.7. Memorizare

4.7.1. Notaţii

Simbolul Mărimea Unitatea de măsurăCoordonatele centrului de greutate

80


Momente statice în raport cu axele z, y

Momente de inerţie axiale faţă de axele z, y

Moment de inerţie centrifugal

Moment de inerţie polar

Raze de inerţie

Momente de inerţie principale

4.7.2. Relaţii de calcul

Descriere Relaţii de calcul

Coordonatele centrului de greutate

Momentele statice

Formulele lui Steiner

Momentele de inerţie

principale centrale la secţiunea:

dreptunghiulară

pătrată

circulară

inelară

Momentele de inerţie faţă de axele centrale la o secţiune compusă

Unghiurile direcţiilor principale

Momentele de inerţie principale

81


Aleegerea axei cu moment de inerţie maxim

4.8. Aplicaţii

4.8.1 Să se determine direcţiile principale centrale şi momentele de inerţie principale centrale pentru secţiunea simetrică în raport cu o axă, dată în figura 4.9.

Fig. 4.9 Secţiune complexă simetrică

Rezolvare:Secţiunea având o axă de simetrie, axa y, aceasta este una din axele principale, a doua axă

principală de inerţie fiind axa centrală perpendiculară pe axa y.Pentru determinarea poziţiei centrului de greutate şi a momentelor de inerţie, se consideră

secţiunea compusă din următoarele trei suprafeţe:

82


Coordonatele centrului de greutate G al secţiunii în raport cu reperul z1G1y1 sunt:,

;

.

Axele z şi y sunt axe principale centrale de inerţie ale secţiunii. Momentele de inerţie calculate în raport cu aceste axe, sunt momentele de inerţie principale centrale ale secţiunii.

Momentul de inerţie faţă de axa z este:

,

în care:

- sunt momentele de inerţie ale suprafeţelor de arii în raport cu

axele proprii ;

- sunt coordonatele centrelor de greutate ale suprafeţelor de arii

în raport cu axa centrală z a secţiunii; valorile absolute ale acestor coordonate reprezintă distanţele între axa z şi axele .

Cu dimensiunile din figura 4.9 rezultă:

;

.

Axele şi y fiind suprapuse, momentul de inerţie faţă de axa y se calculează cu relaţia:

,

în care - sunt momentele de inerţie ale ariilor şi A în raport cu axele proprii

de simetrie . Deoarece distanţele dintre aceste axe şi axa y a secţiunii sunt nule, al doilea termen din relaţia lui Steiner este nul.

Momentul de inerţie faţă de axa y este :

83


;

.

4.8.2. Să se determine momentele de inerţie principale şi direcţiile principale centrale pentru secţiunea simetrică în raport cu o axă din figura 4.10.

Fig. 4.10 Secţiune compusă cu profile laminate Rezolvare:

Caracteristicile geometice ale profilului U30 (tabel 4.1) sunt:

Caracteristicile geometrice pentru profilul I30 (tabel 4.2) sunt:

84


Secţiunea se compune din:

Axa z fiind axă de simetrie a secţiunii este axă principală de inerţie. A doua axă principală de inerţie este axa centrală perpendiculară pe aceasta.

Se determină poziţia centrului de greutate G al secţiunii în raport cu reperul z1G1y1:

,

.

Înlocuind valorile în formulă rezultă:

;

.

Momentul de inerţie faţă de axa z se calculează cu relaţia:

,

în care:

;

;

.

Momentul de inerţie rezultă:

.

Momentul de inerţie faţă de axa y se calculează cu relaţia:

85


în care:

- sunt momentele de inerţie ale suprafeţelor în raport cu

axele proprii ;

- sunt coordonate ale centrelor de greutate ale suprafeţelor

în raport cu reperul (distanţe între axa y şi axele );

.

Momentul de inerţie rezultă:

Momentele de inerţie principale sunt . Axele

z şi y sunt axe principale centrale de inerţie ale secţiunii, axa z fiind axă de simetrie.

4.8.3. Să se determine momentele de inerţie principale centrale şi direcţiile principale pentru secţiunea din figura 4.13.

Fig. 4.13 Secţiune complexă Rezolvare:

Se consideră secţiunea compusă din:

86


Se determină poziţia centrului de greutate G al secţiunii în raport cu reperul :

;

.

Se determină momentele de inerţie în raport cu axele centrale z şi y:

;

;

;

;

;

.

Poziţia axelor principale centrale de inerţierezultă din relaţia:

;

.

Unghiurile corespunzătoare direcţiilor principale sunt:

;

.

Momentele principale de inerţie sunt:

;

;

.

Momentul de inerţie centrifugal fiind pozitiv, axa principală pentru care se obţine momentul de inerţie maxim este cea din cadranul 2 deci:

.

Măsurat în sens trigonometric, unghiul dintre axa 1 şi axa z este .

87

Date post:	02-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	ioan-bartis
View:	226 times
Download:	0 times

Caracteristici Geometrice RM

Documents