Testul nr. 22

Problema 1 (30 puncte = 3× 10 puncte)

a) Să se calculeze: ( )31 33 :8 3 7+ − ×

b) Să se determine numărul natural a din egalitatea:

( ){ }31 33 :8 3 7 7 : 7 88 97a+ − × + × + =

c) Să se determine numerele naturale nenule a, b și c știind că: ( )2 22a b c× + × = .

Problema 2 (20 puncte = 15 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b))

În urmă cu 5 ani vârsta mamei era de 5 ori mai mare decât vârsta fiului ei şi vârsta tatălui era cu 3 ani mai mare decât vârsta mamei. Peste 2 ani vârsta fiului va fi egală cu o treime din vârsta mamei. Folosind metoda grafică, să se determine: a) vârsta actuală a mamei. b) vârsta actuală a tatălui.

Problema 3 (20 puncte = 2 × 10 puncte) Un ogar urmărește un iepure care se află la distanța de 180 metri de el. Săritura ogarului are lungimea de 3 metri, iar cea a iepurelui are lungimea de o treime de metru. Ogarul face 3 sărituri într-o secundă, iar iepurele face 7 sărituri pe secundă. Să se determine: a) În câte secunde prinde ogarul iepurele; b) Distanța maximă la care poate să se afle ogarul de iepure pentru a putea să-l prindă în 2 minute.

Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Numerele naturale nenule sunt așezate în ordine crescătoare sub forma unui triunghi ca mai jos:

3

7 11

15 19 23

27 31 35 39

43 47 51 55 59

... ... ... ... ... ... ... ... ...

a) Cu ce număr începe linia 33? b) Să se determine numărul situat în mijlocul liniei 33? c) Să se determine linia pe care se găsește numărul 2019. test elaborat de prof. ROMEO ZAMFIR

Rezolvarea testului nr. 22. Soluții prezentate de prof. Romeo Zamfir.

Problema 1. a)

( )

( )

( )

31 33 : 8 3 7

64 : 8 3 7

8 3 7

5 7

35

+ − × =

= − × =

= − × =

= × =

=

b)

( ){ }( )

( )

( )

31 33 : 8 3 7 7 : 7 88 9

35 7 : 7 88 97

35 7 : 7 97 88

35 7 : 7 9

35 7 9 7

35 7 63

7 63 35

7 28

28 : 7

4

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+ − × + × + =

+ × + =

+ × = −

+ × =

+ × = ×

+ × =

× = −

× =

=

=

c) Deoarece 22 1 22 2 11 11 2 22 1= × = × = × = × și 2 2 1 1 3b c+ × ≥ + × = avem următoarele cazuri: Cazul I: 1a = și 2 22b c+ × = Avem că 20b c× = , de unde obținem soluțiile:

1

1

20

a

b

c

=

= =

sau

1

2

10

a

b

c

=

= =

sau

1

4

5

a

b

c

=

= =

sau

1

5

4

a

b

c

=

= =

sau

1

10

2

a

b

c

=

= =

sau

1

20

1

a

b

c

=

= =

Cazul al II-lea: 2a = și 2 11b c+ × = Avem că 9b c× = , de unde obținem soluțiile:

2

1

9

a

b

c

=

= =

sau

2

3

3

a

b

c

=

= =

sau

2

9

1

a

b

c

=

= =

.

Răspuns. Problema admite următoarele soluții:

1

1

20

a

b

c

=

= =

sau

1

2

10

a

b

c

=

= =

sau

1

4

5

a

b

c

=

= =

sau

1

5

4

a

b

c

=

= =

sau

1

10

2

a

b

c

=

= =

sau

1

20

1

a

b

c

=

= =

sau

2

1

9

a

b

c

=

= =

sau

2

3

3

a

b

c

=

= =

sau

2

9

1

a

b

c

=

= =

.

Problema 2.

În urmă cu 5 ani desenul corespunzător este următorul:

Peste 2 ani desenul corespunzător este următorul:

Din egalitatea de la ultimul desen deducem că

2 segmente 7 21

2 segmente 21 7

2 segmente 14

1 segment 14 : 2

1 segment 7

+ =

= −

=

=

=

Rezultă că vârsta actuală a mamei este 5 7 5 40 ani× + = , iar vârsta actuală a tatălui este 40 3 43 ani+ = . Răspunsuri: a) 40 ani

b) 43 ani

Problema 3. a) Avansul ogarului este de 180 metri. Pentru a parcurge 1 metru iepurele trebuie să facă 3 sărituri, deci o săritură a ogarului (3 mteri) este echivalentă ca lungime cu 9 sărituri de iepure, iar avensul ogarului este de 180 3 540× = sărituri ale iepurelui. Distanță: 1 săritură a ogarului ……………………………………….… 9 sărituri ale iepurelui Timp: 3 sărituri face ogarul ……………………………………….. 7 sărituri face iepurele Înmulțind prima relație cu 3 (cea cu distanța) obținem: Distanță: 3 sărituri ale ogarului ……………………………………….… 27 sărituri ale iepurelui Timp: 3 sărituri face ogarul …………………………………………... 7 sărituri face iepurele În concluzie, la fiecare 3 sărituri efectuate de ogar el recuperează 27 7 20− = sărituri ale iepurelui. 540 : 20 27= grupe de sărituri trebuie efectuate. 27 3 81× = sărituri face ogarul până când prinde iepurele 27 7 189× = face iepurele până când este prins de ogar. 81:3 27= secunde are nevoie orarul ca să prindă iepurele. b) Ogarul recuperează 180 metri în 27 secunde (împărțim la 9), deci ogarul recuperează 20 metri în 3 secunde (înmulțim cu 40), de unde obținem că 800 metri recuperează ogarul în 120 secunde = 2 minute. Altfel, 2 minute = 120 secunde În 2 minute ogarul face 120 3 360× = sărituri a căror lungime totală (distanța parcursă de ogar) este 360 3 1080× = metri, iar iepurele face 120 7 840× = sărituri a căror lungime totală (distanța parcursă de iepure) este 840 :3 280= metri. Deci, distanța maximă la care poate să se afle ogarul de iepure pentru a putea să-l prindă în 2 minute este egală cu 1080 280 800− = metri. Răspunsuri: a) 27 secunde

b) 800 metri Problema 4. Considerăm șirul 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, ….. Pentru a calcula numărul de termeni ai unui șir se poate folosi formula: Numărul de termeni = (Ultimul termen – Primul termen) : Rație + 1 a) Pe primele 32 de linii sunt 1 2 3 ... 30 31 32S = + + + + + + termeni ai șirului de mai sus.

Deci,

de 32 ori

1 2 3 ... 30 31 32

32 32 30 ... 3 2 1

2 33 33 33 ... 33 33 33

S

S

S

= + + + + + +

= + + + + + +

× = + + + + + +�������������

Obținem că 2 33 32S× = × 33 32 : 2S = × 528S =

Prin urmare, numărul cu care începe linia 33, notat cu x , este al 529-lea termen al șirului considerat mai sus:

529 termeni

3,7,11,15,..., x�������

.

( )

( )

( )

3 : 4 1 529

3 : 4 529 1

3 : 4 528

3 528 4

3 2112

2115

x

x

x

x

x

x

− + =

− = −

− =

− = ×

− =

=

Altfel, numărul x poate fi determinat cu regula împărțirilor: 3 : 4 0 rest 3= 7 : 4 1 rest 3= 11: 4 2 rest 3= ………………. : 4 rest 3x a= Deoarece numărul termenilor trebuie să fie 529, urmărind coloana câturilor obținem 528a = . Deci, 528 4 3 2115x = × + = b) Pe linia 33 sunt 33 de numere și 33 : 2 16 rest 1= , deci numărul situat pe mijlocul liniei 33, notat cu

y, este ce de-al 17-lea număr de pe linia 33. Avem că: 17 termeni

2115, 2119,..., y�������

( )

( )

( )

2115 : 4 1 17

2115 : 4 17 1

2115 : 4 16

2115 16 4

2115 64

2115 64

2179

y

y

y

y

y

y

y

− + =

− = −

− =

− = ×

− =

= +

=

Altfel, numărul y poate fi determinat cu regula împărțirilor: 2115 : 4 528 rest 3= 2119 : 4 529 rest 3= 2123: 4 530 rest 3= ………………. : 4 rest 3y b= Deoarece numărul termenilor trebuie să fie 17, urmărind coloana câturilor obținem 527 17b − = , adică

544b = Deci, 4 3 544 4 3 2179y b= × + = × + = .

c) Determinăm poziția în șirul 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, . ….. a numărului 2019. Avem că ( )2019 3 : 4 1 2016 : 4 1 504 1 505− + = + = + = . Deci, numărul 2019 este al 505-lea termen al

șirului. Altfel, cu regula împărțirilor obținem: 3 : 4 0 rest 3= 7 : 4 1 rest 3= 11: 4 2 rest 3= ………………. 2019 : 4 504 rest 3= De unde deducem că 2019 este cel de-al 505-lea termen al șirului. Dar, 1 2 3 ... 30 31 496+ + + + + = , de unde rezultă că pe primele 31 linii sunt 496 termeni ai șirului și pe linia următoare vor fi 32 termeni ai șirului. Prin urmare, numărul 2019 este al 9-lea număr de pe linia 32. Răspunsuri: a) 2115

b) 2179 c) Linia a 32-a.