Dinamica Navei in Mare Reala

Referat

Iordache Iulian Andrei Grupa: 2131 b

1

CONDIIILE LA LIMIT I ECUAIILE DIFERENIALE GENERALE ALE VALURILOR GRAVITAIONALE

Considerm propagarea valului ntr-un fluid omogen, incompresibil, ideal, limitat inferior de o suprafa rigid (z=-H) orizontal i superior de suprafaa liber a valului (fig. 1).

Fig. 1 Profilul valului ntre cmpul de viteze i potenialul de viteze avem relaia: a) Condiia de fluid incompresibil conduce la ecuaia de continuitate: respectiv funcia potenial de vitez trebuie s satisfac ecuaia lui Laplace. b) Condiia la limit pe fundul acvatoriului (z=-H) este componenta vertical a vitezei nul:

Componenta vertical a vitezei vz a oricrei particule de ap aparinnd suprafeei libere trebuie s fie egal cu viteza de ridicare a acestei suprafee:c) Condiia la limit cinematic pe suprafaa liber a apei

d) Condiia la limit dinamic pe suprafaa liber a apei Pe suprafaa liber presiunea este constant i egal cu presiunea atmosferic po. Folosind ecuaia lui Bernoulli n regim nepermanent i condiia la limit cinematic obinem:

2

ECUAIILE DIFERENIALE DE MICARE ALE VALULUI PLANFacem urmtoarele ipoteze: 1) Sistemul de coordonate OXYZ fix are axa OX orientat n direcia de propagare a valului i axa OZ orientat vertical, planul OXY corespunznd nivelului apei calme (fig.1). 2) Fundul navei se consider neted z=-H . 3) Valul este inclus n planul OXZ i se propag pe direcia OX n sens pozitiv. 4) Valul este staionar. 5) Fluidul n care se propag valul este ideal, incompresibil, omogen, curgerea fiind potenial . Ecuaiile valului plan pentru determinarea potenialului de vitez sunt: a) ecuaia Laplace:

b) condiia pe fundul acvatoriuluic) condiia cinematic pe suprafaa liber a apei

d) condiia dinamic pe suprafaa liber a apei

MODELUL VALULUI CU AMPLITUDINE MIC. POTENIALUL VALULUI LINIARValul de amplitudine mic reprezint valul liniar sinusoidal, model Airy i care satisface condiiile:

innd cont de ipoteza valului de amplitudine mic, ecuaiile difereniale ale valului plan, se liniarizeaz, iar condiiile pe suprafaa liber se pot pune pentru z=0. Se neglijeaz infiniii mici de ordinul II i superiori, rezultnd:

3

i respectiv elongaia valului:

Funcia potenial de vitez satisface ecuaia Laplace i are drept soluie funcii armonice. Presupunem c micarea particulelor n val este periodic i astfel o prim soluie este

O a doua solutie ar fi de forma:

Pentru valul ce se propag n sensul pozitiv al axei OX este soluie i combinaia ,de unde expresia potenialului de vitez pentru valul liniar este: Elongaia valului liniar de pulsaie are expresia: i panta valului (pe direcia de propagare) este:

PULSAIA DE NTLNIRE NAV-VALn fig.2 s-a notat OXoYoZo sistemul fix de axe, OXYZ sistemul de referin al valului i oxyz sistemul mobil legat de nav.

Fig. 2 Sisteme de coordonate nava-val Considerm o nav cu viteza de naintare u s constant n sensul pozitiv al axei OXo, pe valuri regulate, cu amplitudinea aw=h/2, pulsaia i viteza c . Pulsaia de ntlnire nav-val reprezint pulsaia valului relativ fa de sistemul mobil de axe legat de nav i are expresia:

4

Expresia elongaiei valului n sistemul mobil de axe este:

EFECTUL SMITH. VALUL ECHIVALENT

Prezena navei nu influeneaz micarea particulelor din val, respectiv cmpul de presiune din fluid este independent fa de prezena corpului navei. Expresia presiunii din val este: i variaz dup o lege exponenial, reprezentnd efectul Smith. Vom nlocui valul real cu un val echivalent care s conduc la o variaie hidrostatic a presiunii n val (o variaie liniar dup z) i cu acelai efect privind rezultanta presiunii pe corpul navei. Folosind factorul de corecie Smith fs(x) valul echivalent are expresia: Vom determina factorul Smith din condiia ca valul real i cel echivalent s induc la o seciune oarecare x a navei, de lime b(x), pescaj d(x), aceeai for pe unitatea de lungime rezultant, suplimentar din val. Expresia factorului Smith este:

astfel incat valul echivalent are expresia:

Bishop [20] extrapoleaz cazul valului de urmrire sau ntlnire pentru un unghi de cap oarecare, considernd c valul echivalent, corectat cu factorul Smith i raportat la sistemul mobil legat de nav, are expresia:

5

Valul echivalent i mediat pe limea navei are expresia:

Forma complex a valului echivalent mediat pe limea navei are expresia:

CARACTERISTICA DE INTRARE-IEIRE PENTRU PROCESE ALEATOARELum cazul general al unui sistem liniar ce are la intrare funcia Q(t) i la ieire funcia q(t) . Aplicnd transformata Fourier, n spaiul frecvenelor avem relaia: Admitem n cele ce urmeaz c mrimile de intrare Q(t) i de ieire q(t) sunt procese aleatoare ergodice, pentru care integrala lui Duhamel este definit. a) Valoarea medie temporara:

de unde valoarea medie a datelor de ieire este proporional cu valoare medie a datelor de intrare. Obs. La studiul sistemului nav-val vom considera c valorile medii temporare sunt nule. b) funcia de autocorelaie, valoarea medie ptratic temporar

unde Rqq( ), RQQ( ) reprezint funciile de autocorelaie ale proceselor aleatoare de ieire i de intrare. Funcia de autocorelaie are prin transformata Fourier o funcie pereche denumit densitate spectral a valorii medii ptratice, astfel nct pentru mrimile de intrare i de ieire avem relaiile:

6

Din relaiile de mai sus rezult relaia de legtur dintre funcia densitate spectral a valorii medii ptratice pentru mrimea de intrare i cea de ieire cu urmtoarea expresie:Cum funcia de autocorelaie Rqq( ) este real i par rezult c:

Valoarea medie ptratic temporar pentru procesul aleator ergodic de ieire este:

c) funcia de intercorelaie dintre procesele ergodice de intrare Q(t) i ieire q(t) unde SQq( ) este funcia densitate interspectral a mrimilor de intrare-ieire i este o funcie complex.

FUNCIA DENSITATE SPECTRAL A VALULUIProfilul valului regulat ntr-un punct dat are forma: Funcia densitii spectrale este o msur a energiei procesului aleator ergodic, avnd i denumirea de spectrul puterii. Price propune ca marea aleatoare s fie reprezentat ca o sum de valuri regulate, avnd amplitudini, frecvene precizate i diferene de faz aleatoare, astfel nct profilul suprafeei valului este: a) valoarea medie temporar b) valoarea medie ptratic temporar innd cont de proprietatea de ortogonalitate a funciilor trigonometrice, obinem:

c) functia de autocorectie:

de unde suprafaa limitat de curba componentelor mrii unidirecionale.

este o msur a energiei medii totale a tuturor

7

TRANSFORMAREA SPECTRELORDeterminm relaiile de transformare ale spectrului cu coordonatele echivalrii energetice: pe baza

i innd cont de sensul fizic al suprafeei

rezult:

Obs. Se constat c odat cu creterea vitezei us a navei, valoarea maxim a funciei densitate spectral se micoreaz, avnd loc o redistribuire a energiei din val pe frecvene. Obs. Pentru o nav n mar caracteristica de intrare-ieire se modific avnd expresia:

MOMENTELE FUNCIEI DENSITII SPECTRALE

Pe baza relaiei i a proprietilor funciei de autocorelaie a procesului ergodic aleator al elongaiei valului putem defini momentele funciei densitate spectral cu urmtoarele relaii:

respectiv expresia general pentru momentul de ordinul "n" al funciei densitate spectral este:

n cazul valurilor valoarea medie temporar este nul, astfel nct dispersia elongaiei valului este egal cu momentul de ordinul "0" al funciei densitate spectral:

8

DENSITATEA DE PROBABILITATE I CARACTERISTICILE STATISTICE PE TERMEN SCURTConform studiilor de oceanografie se poate admite c nregistrrile valurilor de scurt durat (20 minute) reprezint procese ergodice, avnd benzi de frecven nguste.Considerm cunoscut funcia densitate spectral (spectrul) a valului pentru care s-au calculat momentele spectrale m0 ,m2 ,m4 .

Legea statistic de distribuie de probabilitate a nlimii valului hw este precizat n funcie de valoarea limii de band a spectrului valului dat de expresia: spectru de band larg i se utilizeaz funcia densitate de probabilitate Gauss; spectru de band ngust i se utilizeaz funcia densitate de probabilitate Rayleigh. Obs. n condiii practice pentru