Universitatea “Dunarea De Jos” Galati

Facultatea de Mecanica

Proiect Mecanisme

Student:

Hariton Vladimir

Inginerie Industriala

Grupa: 38022

Indrumator de proiect :

Veresiu Silvia

Cuprins

Pentru mecanismul din figura, se cer:

Cap.I Analiza configuratiei si a cinematicii

I.1. Rezolvarea configuratiei prin metoda grafica si metoda analitica la o rotatie completa a manivelei.

I.2. Rezolvarea cinematicii mecanismului prin metoda analitica pentru o rotatie completa a manivelei.

Cap.II Analiza dinamica

II.1. Calculul momentului de inertie redus, a momentului motor redus si determinarea variatiei energiei cinetice.

II.2. Alegerea motorului electric si a reductorului de viteza.

II.3. Calculul momentului de inertie a volantului pe baza diagramei ΔE(ΔJ1*).

II.4. Analiza miscarii in faza de pornire.

Se cunosc:

-l3=0.8m=160mm

-l4=0.3m=60mm

-distanta intre axa pe care se deplaseaza culisa D si elementul fix B a=0.9m=180mm

-distanta intre axa pe care se deplaseaza culisa D si elementul fix 0 b=0.4m=80mm

-m1=1.5kg -m5=15kg

-m2=2.1kg -l1=0.22m=44mm

-m3=6.4kg -n1=70

-m4=3.1kg -δ =1/8

-F5n=13000N

-Scara de desenare=0.005

Cap.I Analiza configuratiei si a cinematicii

I.1.Rezolvarea configuratiei prin metoda grafica si metoda analitica la o rotatie completa a manivelei.

I.1.1. Gradul de mobilitate si clasificarea mecanismului.

M=3 n-2 C∙ ∙ 5-C4

M=3 5-2 7-0=15-14=1∙ ∙

-mecanism plan; cu bare; de actionare ; din familia a 3-a ; clasa a 2-a ; de ordinul 2.

Vx Vy Vz Ωx Ωy Ωz1 - - - - - x2 x x - - - x3 - - - - - x4 x x - - - -5 x - - - - -

mecanismul face parte din familia 3.

I.1.2. Rezolvarea prin metoda grafica.

Pentru a reprezenta mecanismul in 12 pozitii se procedeaza astfel:

- se alege scara de reprezentare pentru lungimi.(S=marimea reala/marimea pe desen)[mm] S=0.005

- se reprezinta axele x si y- cu varful compasului in 0 si cu raza r1 se traseaza cercul ce reprezinta

traiectoria punctului A.- se imparte cercul in 12 pozitii succesive notandu-se pozitiile a cu

Ai(A1,A2,...).- se reprezinta articulatia fixa din B- se reprezinta traiectoria punctului D(paralela cu axa X, la distanta b)- se traseaza semidreptele BAi si se prelungesc pana la intersectia cu arcul de

cerc avand centrul in B si raza l3, rezultant punctele Ci.- din punctele Ci se construiesc arce de cerc cu centrul in Ci si raza l4 care se

intersecteaza traiectoria lui D in punctele Di.

I.1.3.Rezolvarea configuratiei prin metoda analitica.

Se determina coordonatele punctelor caracteristice si proiectiile pe axe ale elementelor, pe baza urmatoarelor relatii:

OA x=l1⋅cos ϕ 1 OA x=x A−x 0=x A BA x=x A−x B=x A

OA y=l1⋅sinϕ 1 OA y= y A− y 0= y A BA y= y A− y B= y A +0 .5

LBA=√BA x 2+BA y2

; LBA=lungimea variabila a elementului BA.

BC y

OA x=l3L BA

⇒ BC x=l 3⋅OA xL BA BC x= x A−x B=xC

BC y

BA y=l3L BA

⇒ BC y=l 3⋅BA y

L BA BC y= yC− y B⇒ y C=BC y + y B=BC y−0 .5

CD y= y D− yC=0 .4− y C

CD x2+CD y

2=l 42 ⇒CD x=−√l 42−CD y

2

BD x=CD x +BC x

Exemplu de calcul.(pentru pozitia ϕ 1=00)

OA x=l1⋅cos ϕ 1=0 .22⋅cos0=0.19⋅1=0 .22

OA y=l1⋅sin ϕ 1=0 .19⋅sin 0=0 .22⋅0=0

BA x=x A=0 .22 BA y= y A +0 .5=0 .5

L BA=√BA x2+BA y2=√0 .22 2+0 .5 2=0 .54626

BC x= l3⋅OA xL BA

=0 .8⋅ 0 .220 .54626

=0 .32219

BC y=l 3⋅BA y

L BA=0 .8⋅ 0.5

0.54626=0 .73225

CD y=0 .4− y C=0 .4−(0 .73225−0 .5)=0.16775

CD x=−√l 42−CD y2=−√0 .3 2−0.16775 2=−0 .24872

BD x=CD x +BC x=−0.24872+0 .73225=0 .07347

Calculele se sistematizeaza tabelar:

fi1 OAx OAy Bax Bay Lba BCx Bcy CDx Cdy BDx

00.2

2 0 0.22 0.5 0.546260.32219

10.73225

2 -0.24872 0.1677480.07347

3

300.1

9 0.11 0.19 0.61 0.6389050.23790

70.76380

6 -0.2673 0.136194 -0.0294

600.1

1 0.19 0.11 0.69 0.6987130.12594

60.79002

4 -0.27912 0.109976 -0.1531790 0 0.22 0 0.72 0.72 0 0.8 -0.28284 0.1 -0.28284

120

-0.1

1 0.19 -0.11 0.69 0.698713 -0.125950.79002

4 -0.27912 0.109976 -0.40506

150

-0.1

9 0.11 -0.19 0.61 0.638905 -0.237910.76380

6 -0.2673 0.136194 -0.50521

180

-0.2

2 0 -0.22 0.5 0.54626 -0.322190.73225

2 -0.24872 0.167748 -0.57091

210

-0.1

9 -0.11 -0.19 0.39 0.43382 -0.350380.71919

2 -0.23939 0.180808 -0.58977

240

-0.1

1 -0.19 -0.11 0.31 0.328938 -0.267530.75394

2 -0.26204 0.146058 -0.5295727

0 0 -0.22 0 0.28 0.28 0 0.8 -0.28284 0.1 -0.2828430

00.1

1 -0.19 0.11 0.31 0.3289380.26752

80.75394

2 -0.26204 0.1460580.00548

433

00.1

9 -0.11 0.19 0.39 0.433820.35037

60.71919

2 -0.23939 0.1808080.11098

436

00.2

2 0 0.22 0.5 0.546260.32219

10.73225

2 -0.24872 0.1677480.07347

3

I.2. Rezolvarea cinematicii prin metoda analitica pentru o rotatie completa a manivelei.

I.2.1. Calculul vitezelor.

Se scriu ecuatii Euler de conexiune pentru vitezele punctelor importante ale mecanismului. Se proiecteaza pe axe si se obtin sisteme de ecuatii din care vor rezulta marimile cinematice necunoscute.

ϖ 1×O A=|i j k0 0 ωOA x OA y 0

|=− i⋅ω⋅OA y + jω⋅OA x

ω 1⋅O A=ω 1⋅|OA xOA y

|

ω 1=π⋅n30

=3 .14⋅7030

=7 .32

V A=V 0+V A0=ϖ 1×O A⇒V Ax=−ω 1⋅OA y ;

V Ay=ω 1⋅OA x

V A=V A3+V AA 3=ϖ 3×B A+V AA 3⋅B AL BA

⇒ V Ax=−ω 3⋅BA y +V AA 3⋅

BA xL BA

V Ay=ω 3⋅BA x +V AA3⋅

BA yL BA

ω 3=1

L BA2⋅(BA x⋅V Ay−BA y⋅V Ax )

V AA 3=

1

L BA2⋅(BA x⋅V Ax+BA y⋅V Ay )

V C=V B+V CB=ϖ 3×BC⇒ V Cx=−ω 3⋅BC y

V Cy=ω 3⋅BC x

V D=V C + V DC=V C +ω 4×C D⇒ V Dx=V Cx−ω 4⋅CD y=V 5

V Dy=V Cy +ω 4⋅CD x=0 = > ω 4=−

V Cy

CD x

V 5=V Cx +V Cy⋅

CD y

CD x

Exemplu de calcul. (pentru pozitia ϕ 1=00).

V Ax=−ω 1⋅OA y =−7 .32⋅0=0 V Ay=ω 1⋅OA x=7 .32⋅0 .22=1 .6104

V AA 3=1

L BA2⋅(BA x⋅V Ax+BA y⋅V Ay )=

1

0 .54626 2⋅(0 .22⋅0+0 .5⋅1.6104 )=1 .47402

ω 3=1

L BA2⋅(BA x⋅V Ay−BA y⋅V Ax )=

1

0 .54626 2⋅(0 .22⋅1 .6104−0 .5⋅0)=1.18729

V Cx=−ω 3⋅BC y=−1 .18729⋅0 .73225=−0 .8694

V Cy=ω 3⋅BC x =1 .18729⋅0 .32219=0 .38253

ω 4=−V Cy

CD x=− 0 .38253

−0 .24872=1.53803

V 5=V Cx +V Cy⋅CD y

CD x=−0.8694+0 .38253⋅ 0 .16775

−0.24872=−1 .1274

Calculele se sistematizeaza tabelar:

fi1 Vax Vay Vaa3 omg3 Vcx Vcy omg4 V5

0 0 1.61041.47402

31.18729

2 -0.86940.38253

51.53802

6 -1.1274

30 -0.8052 1.39081.08842

41.85062

2-

1.413520.44027

61.64709

9-

1.63784

60 -1.3908 0.80520.57620

2 2.14712-

1.696280.27042

10.96885

1-

1.80283

90 -1.6104 0 02.23666

7-

1.78933 0 0-

1.78933

120 -1.3908 -0.8052 -0.5762 2.14712-

1.69628-

0.27042-

0.96885-

1.58973

150 -0.8052 -1.3908-

1.088421.85062

2-

1.41352-

0.44028 -1.6471-

1.18919

180 0 -1.6104-

1.474021.18729

2 -0.8694-

0.38253-

1.53803 -0.6114

210 0.8052 -1.3908-

1.60297-

0.264480.19021

50.09266

90.38710

20.12022

4

240 1.3908 -0.8052-

1.22394-

3.166142.38708

4 0.847033.23239

41.91496

8

270 1.6104 0 0-

5.751434.60114

3 0 04.60114

3

300 1.3908 0.8052 1.22394-

3.166142.38708

4-

0.84703-

3.232392.85920

1

330 0.8052 1.39081.60296

8-

0.264480.19021

5-

0.09267 -0.38710.26020

6

360 0 1.61041.47402

31.18729

2 -0.86940.38253

51.53802

6 -1.1274

Se reprezinta grafic dependentele : ω 3 ( ϕ 1 );V AA 3 (ϕ 1 );V 5 (ϕ 1 );V 5 ( x D )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

)( 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2)( 13 AAV

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

)( 15 V

-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

)(5 DxV

I.2.2 Calculul acceleratiilor

Se scriu ecuatii Euler de conexiune pentru acceleratii si se proiecteaza pe axe.

a A=−ω 12⋅O A+ε1¿O A⇒

a Ax=−ω 12⋅OA x

a Ay=−ω 1

2⋅OA y

a A= a A3+a AA 3+ A AA 3=ω 32⋅B A+ ε3

¿ B A+a AA 3⋅B AL BA

+2⋅ω 3×V AA 3

a A 3 =componenta de transport

a AA 3 =componenta relative

A AA 3 =componenta corolis

⇒a Ax=−ω 32⋅BA x− ε3

¿ BA y +a AA 3⋅BA xL BA

−2ω 3⋅V AA 3⋅BA y

L BA

a Ay=−ω 3

2⋅BA y + ε3

¿ BA x +a AA 3⋅BA yL BA

+2ω 3⋅V AA3⋅BA xL BA =>

=> a AA 3=

BA xL BA

⋅a Ax +BA yL BA

⋅a Ay +L BA⋅ω 32

; ε3

= 1L BA

(BA xL BA

⋅a Ay−BA yL BA

⋅a Ax−2ω 3⋅V AA 3 )

aC=−ω 32⋅BC+ ε3¿BC⇒

aCx=−ω 32⋅BC x− ε3

¿ BC y

aCy=−ω 3

2⋅BC y− ε3¿ BC x

a D=aC−ω 42⋅C D+ ε4¿C D⇒a Dx=aCx−ω 4

2⋅CD x− ε4¿CD y=a 5

a Dy=aCy−ω 4

2⋅CD y− ε4¿CD x=0

ε4=

ω 42⋅CD y−aCyCD x

Exemple de calcul :

a Ax=−ω 12⋅OA x =−7 .32 2⋅0 .22=−11.7881

a Ay=−ω 12⋅OA y =−7 .32 2⋅0=0

a AA 3=BA xL BA

⋅a Ax +BA yL BA

⋅a Ay +L BA⋅ω 32

= 0 .220 .54626

⋅(−11.7881 )+ 0 .50 .54626

⋅0+0 .54626⋅1 .18729 2=−3 .97749

ε3

= 1L BA

(BA xL BA

⋅a Ay−BA yL BA

⋅a Ax−2ω 3⋅V AA 3 )

= 10 .54626

⋅( 0 .220 .54626

⋅0− 0 .50 .54626

⋅(−11.7881)−2⋅1.18729⋅(−3 .97749 )=13 .3447

aCx=−ω 32⋅BC x− ε3

¿ BC y =−1 .18729 2⋅0 .32219−13 .3447⋅0 .73225=−10 .2258

aCy=−ω 32⋅BC y− ε3

¿ BC x =−1 .18729 2⋅0 .73225−13 .2447⋅0 .32219=−5.33176

ε4=

ω 42⋅CD y−aCyCD x

=1 .53803 2⋅0 .16775−(−5 .33176 )

−0.24872=−23.0324

a Dx=aCx−ω 42⋅CD x− ε4

¿CD y=a 5=−10 .2258−1 .53803 2⋅(−0 .24872 )−(−23 .0324 )⋅0 .16775=−5 .77385Calculele se sistematizeaza tabelar:

fi1 aAx aAy aAA3 eps3=eps2 aCx aCy eps4 a5=aDx

0 -11.7881 0 -3.97749 13.34467 -10.2258-

5.33176-

23.0324 -5.77385

30 -10.1807 -5.89406 -6.46684 6.164827 -5.52352-

4.08254-

16.6553 -2.53

60 -5.89406 -10.1807 -7.76046 2.495229 -2.55192-

3.95637-

14.5445 -0.69037

90 0 -11.7881 -8.1862 0 0-

4.00214-

14.1497 1.414971

120 5.894064 -10.1807 -7.76046 -2.49523 2.551917-

3.95637-

14.5445 4.413468

150 10.18066 -5.89406 -6.46684 -6.16483 5.523519-

4.08254-

16.6553 8.517042

180 11.78813 0 -3.97749 -13.3447 10.22584-

5.33176-

23.0324 14.67783

210 10.18066 5.894064 0.870234 -29.002 20.8825-

10.2119-

42.7708 28.65169

240 5.894064 10.18066 10.92091 -50.7986 40.981-

21.1479-

86.5272 56.3569

270 0 11.78813 21.05023 0 0-

26.4631-

93.5613 9.356134

300 -5.89406 10.18066 10.92091 50.79857 -40.981-

21.1479-

86.5272 -25.6051

330 -10.1807 5.894064 0.870234 29.00198 -20.8825-

10.2119-

42.7708 -13.1133

360 -11.7881 0 -3.97749 13.34467 -10.2258-

5.33176-

23.0324 -5.77385

Se reprezinta grafic dependentele : aAA3(φ1) ; ε3(φ1) ; a5(φ1).

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-10

-5

0

5

10

15

20

25

aAA3(φ1)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-60

-40

-20

0

20

40

60

ε3(φ1)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-60

-40

-20

0

20

40

60

ε3(φ1)

Cap.II Analiza dinamica

II.1.Calculul momentului de inertie redus, a momentului rezistent redus si determinarea variatiei energiei cinetice

II.1.1. Calculul momentului de inertie redus

Momentul de inertie redus este o marime fictiva care produce pe elementul de reducere(manivela 1) o energie cinetica egala cu energia cinetica produsa pe toate elementele cinematice mobile ale mecanismului.

Relatia de calcul este: unde:

-mk=masa elementului k

-VCk=viteza centrului de greutate a elementului k

-JCk=momentul de inertie axial al elementului k fata de o axa perpendiculara pe planul miscarii si care trece prin centrul de greutate al elementului k

-ωk=viteza unghiulara a elementului k

; ; ; ; ;

;

II.1.2.Calculul momentului rezistent redus la elementul conducator

Momentul redus al fortelor aplicate este o marime fictiva care produce pe elementul de reducere (manivela 1) o putere egala cu puterea produsa de fortele aplicate pe toate elementele mobile ale mecanismului.

Relatia de calcul generala este : iar pentru:

a) cursa activa(VD<0):

; ; ;

b) cursa pasiva(VD>0):

;

g=9.81

II.1.3. Determinarea variatiei energiei cinetice ΔE[J]

;

;

ΔE=0

Exemple de calcul:

;

= ; ; ;

;

; ;

;

-pentru cursa activa(VD<0):

=

-pentru cursa pasiva(VD>0):

=

=

Rezultatele calculelor se sistematizeaza tabelar:

fi1 J1* M1* deltaE

0 0.982056 -2010.8 0

30 1.073136 -2916.85 54.20343

60 1.124569 -3206.54 140.141

90 1.14495 -3177.78 233.0034

120 1.124569 -2818.49 315.5672

150 1.073136 -2103.84 369.6295

180 0.982056 -1077.23 377.48

210 0.896494 4.722205 329.3708

240 1.354673 -2.31657 252.7342

270 2.251244 0 176.223

300 1.354673 2.31657 99.58876

330 0.896494 -4.72221 23.07989

360 0.982056 -2010.8 -0.00245

Se reprezinta grafic dependentele: J1*(φ1) ; M1*(φ1) ; ΔE(φ1):

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

1.5

2

2.5

J1*(φ1)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

M1*(φ1)

0 50 100 150 200 250 300 350 400-500

50100150200250300350400

ΔE(φ1):

II.2. Alegerea motorului electric si a reductorului de viteze

Se calculeaza puterea necesara la axul manivelei:

Din catalogul de motoare se adopta un motor electric cu puterea nominala superioara puterii necesare.

- motorul ales: 180L-6 -> Pn=15>P1

Se calculeaza raportul de transmitere a miscarii:

Se alege un reductor de turatie cu 2 trepte avand randamentul

Se calculeaza puterea necesara la axul motorului :

[KW]

Se calculeaza viteza unghiulara de sincronism:

Se calculeaza viteza unghiulara nominala:

Se calculeaza alunecarea specifica nominala:

Se calculeaza momentul nominal al motorului:

[N*m]

Se calculeaza coeficientul de suprasarcina:

Se calculeaza alunecarea specifica critica:

II.4. Calculul momentului de inertie a volantului pe baza

diagramei

Volantul este o masa suplimentara atasata elementului conducator cu scopul uniformizarii miscarii prin acumularea de energie cinetica in cursa pasiva si redarea ei in cursa activa. Volantul permite actionarea mecanismului cu un motor electric avand momentul nominal inferior valorii maxime a momentului rezistent redus si mentine vitezxa unghiulara a elementului conducator intre doua limite impuse de gradul de neuniformitate a miscarii:

Pentru calculul de inertie al volantului se traseaza diagrama astfel: se adopta scarile de reprezentare pentru energia cinetica si pentru momentul de

inertie redus: ;

20 30 40 50 60 70 80-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

deltaE(J1*)

Se construiesc tangentele la grafic inclinate cu unghiurile αmin si αmax si se determina punctele A si B in care acestea intersecteaza axa energiei.

;

20 30 40 50 60 70 80-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

deltaE(J1*)

Se citeste din grafic marimea segmentului =80[mm], si se calculeaza momentul de de inertie necesar al volantului cu relatia:

Tinand cont de faptul ca si alte mase aflate in rotatie(cuplajul, rotorul motorului, rotile si arborii reductoului) produc la axul manivelei momente de inertie constante, se calculeaza momentul de inertie al volantului cu relatia:

unde

deci :

Volantul se adopta constructiv de forma unui disc:

-se adopta de=1m si di=0.6m iar b se calculeaza cu relatia:

II.4.Analiza miscarii in faza de pornire

Pornirea agregatelor se face in mod obisnuit in gol adica fara actiunea sarcinii rezistente utile. Cu agregatul in miscare se cupleaza apoi si dispozitivul ce solicita util mecanismul. Astfel se disting 2 faze ale miscarii tranzitorii:

-faza de pornire in gol

-faza de cuplare a sistemului ce solicita util mecanismul

Sa presupunem ca agregatul porneste in plina sarcina

a) Momentul de inertie redus total este:

b) Momentul motor redus la axul manivelei, in functie de alunecare la motoarele asincrone cu rotorul in scurt-circuit este dat:

c)Viteza unghiulara la arborele comun este:

-pentru j=1 => ;

Rezultatele calculelor se sistematizeaza tabelar pe 60 de pozitii:

fi1 Jt*j omg j Sj M*mj

0 13.86206 12.725 1 4289.084

30 13.95314 25.40819 -2.18998 -14308.2

60 14.00457 4.240138 0.467653 67004.32

90 14.02495 594.7528 -73.6709 -425.335

120 14.00457 595.1583 -73.7218 -425.041

150 13.95314 596.2245 -73.8556 -424.271

180 13.86206 598.1437 -74.0966 -422.891

210 13.77649 599.963 -74.325 -421.592

240 14.23467 589.9595 -73.0691 -428.838

270 15.13124 571.3535 -70.7331 -443

300 14.23467 588.2539 -72.8549 -430.098

330 13.77649 597.6942 -74.0401 -423.213

360 13.86206 595.8113 -73.8037 -424.569

390 13.86206 595.7844 -73.8004 -424.588

420 13.95314 593.8002 -73.5513 -426.027

450 14.00457 592.6789 -73.4105 -426.844

480 14.02495 592.2207 -73.3529 -427.178

510 14.00457 592.6241 -73.4036 -426.884

540 13.95314 593.6854 -73.5368 -426.11

570 13.86206 595.5961 -73.7767 -424.724

600 13.77649 597.4073 -74.0041 -423.419

630 14.23467 587.4461 -72.7535 -430.698

660 15.13124 568.919 -70.4274 -444.923

690 14.23467 585.747 -72.5402 -431.965

720 13.77649 595.1468 -73.7203 -425.05

750 13.86206 593.2715 -73.4849 -426.411

780 13.95314 591.2953 -73.2368 -427.856

810 14.00457 590.1784 -73.0965 -428.677

840 14.02495 589.7218 -73.0392 -429.013

870 14.00457 590.1232 -73.0896 -428.717

900 13.95314 591.1796 -73.2222 -427.941

930 13.86206 593.082 -73.4611 -426.549

960 13.77649 594.8852 -73.6875 -425.239

990 14.23467 584.9657 -72.4421 -432.549

1020 15.13124 566.5165 -70.1258 -446.837

1050 14.23467 583.2731 -72.2296 -433.822

1080 13.77649 592.6328 -73.4047 -426.877

1110 13.86206 590.7651 -73.1702 -428.245

1140 13.95314 588.7969 -72.9231 -429.696

1170 14.00457 587.6844 -72.7834 -430.521

1200 14.02495 587.2293 -72.7263 -430.859

1230 14.00457 587.6287 -72.7764 -430.562

1260 13.95314 588.6803 -72.9085 -429.783

1290 13.86206 590.5743 -73.1462 -428.385

1320 13.77649 592.3695 -73.3716 -427.069

1350 14.23467 582.4916 -72.1315 -434.412

1380 15.13124 564.1201 -69.8249 -448.762

1410 14.23467 580.8054 -71.9198 -435.691

1440 13.77649 590.1252 -73.0899 -428.716

1470 13.86206 588.2651 -72.8563 -430.09

1500 13.95314 586.3049 -72.6102 -431.548

1530 14.00457 585.1967 -72.4711 -432.376

1560 14.02495 584.7432 -72.4142 -432.716

1590 14.00457 585.1405 -72.464 -432.418

1620 13.95314 586.1874 -72.5955 -431.636

1650 13.86206 588.073 -72.8322 -430.233

1680 13.77649 589.8602 -73.0566 -428.911

1710 14.23467 580.0238 -71.8216 -436.286

1740 15.13124 561.7298 -69.5248 -450.699

Se reprezinta grafic variatia vitezei ungiulare a arborelui comun in functie de

φ1: ωj(φ1):

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

100

200

300

400

500

600

700

ωj(φ1):