Page 1
Prof.univ.dr.Argentina FILIP
Cuprinsul cărţii:
Capitolul 1 ALGEBRA LINIARA1. Spatii si subspatii liniare (vectoriale)2. Sisteme de vectori liniari dependenti, independenti. Baza a unui spatiu vectorial. Metoda Gauss-Jordan3. Sisteme de ecuatii si inecuatii liniare. Solutii de baza ale unui sistem de ecuatii liniare4. Operatori liniari. Vectori proprii5. Functionale liniare, biliniare, patratice6. Probleme propuse
Capitolul 2 OPTIMIZARI LINIARE1. Multimi convexe2. Rezolvarea pe cale grafica a unei P.P.L. (problema de programare liniara)3. Algoritmul simplex. Metoda penalizarii. Problema duala. Algoritmul dual-simplex4. Reoptimizari5. Probleme de transport (P.T.)6. Probleme propuse
Capitolul 3 ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA1. Serii de numere1.1-1.3 Probleme rezolvate1.4 Probleme propuse2. Serii de functii2.1-2.5 Probleme rezolvate2.6 Probleme propuse3. Functii de mai multe variabile3.1 Probleme rezolvate3.2 Probleme propuse4. Extremele functiilor de mai multe variabile4.1 Probleme rezolvate4.2 Probleme propuse5. Metoda celor mai mici patrate5.1 Probleme rezolvate5.2 Probleme propuse6. Calcul integral6.1 Integrale generalizate (improprii)6.2 Probleme propuse6.3 Integrale duble6.4 Probleme propuse7. Ecuatii diferentiale7.1 Ecuatii diferentiale de ordinul întâi7.2 Probleme propuse7.3 Ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti omogene7.4 Ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti neomogene7.5 Probleme propuse
BIBLIOGRAFIE
Biblioteca digitala - detalii carte http://www.biblioteca-digitala.ase.ro/biblioteca/carte2.asp?id=19...
1 of 1 11.11.2011 06:17
Page 2
1. Spaţii şi subspaţii liniare (vectoriale)
1.1
Să se arate că mulţimea M m,n(ℝ) a matricilor de ordinul (m,n) cu elemente reale
formează spaţiul liniar peste ℝ.
Rezolvare
Fie ( )n,1jm,1ijiaA
=== , ( )
n,1jm,1ijibB
=== , ∈jia ℝ, ∈jib ℝ.
Definim cele două operaţii ale spaţiului vectorial:
( )n,1jm,1ijiji baBA
==+=+ şi ( )
n,1jm,1ijiaA
==α=α .
Verificăm întâi proprietăţile de grup:
G1. Asociativitatea Trebuie să arătăm că: (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C
( )∀ A,B,C∈ M m,n(ℝ).
Avem: (A + B) + C = ( ) ( ) ( )n,1jm,1ijijiji
n,1jm,1iji
n,1jm,1ijiji cbacba
==
==
== ++=++
( ) ( ) ( )n,1jm,1ijijiji
n,1jm,1ijiji
n,1jm,1iji cbacba)CB(A
==
==
== ++=++=++ .
G2. Elementul neutru este matricea nulă ( )n,1jm,1i0O
===
ALGEBRĂ LINIARĂ
1
≶
Page 3
G3. Elementul simetric
( ) ( ) ∈=∀==
n,1jm,1ijiaA M m,n(ℝ) ( ) ( ) ∈−=−∃
==
n,1jm,1ijiaA M m,n(ℝ)
a.î. A + (-A) = (-A) + A = O
G4. Comutativitatea
( ) ∈∀ B,A M m,n(ℝ) avem: ( )n,1jm,1ijiji baBA
==+=+
( )n,1jm,1ijiji abAB
==+=+
deci: A + B = B + A ( ) ∈∀ B,A M m,n(ℝ).
Verificăm acum proprietăţile legii externe:
1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AaaAn,1jm,1iji
n,1jm,1iji αβ=αβ=βα=βα
==
== ( ) ( ) ∈=∀
==
n,1jm,1ijiaA
∈ M m,n(ℝ) ( ) ∈βα∀ , ℝ.
2) ( ) AAA β+α=β+α ( ) ∈∀ A M m,n(ℝ), ( ) ∈βα∀ , ℝ
Avem: ( ) ( ) ( )( ) ( ) =β+α=β+α=β+α
==
==
==
n,1jm,1ijiji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji aaaa
( ) ( ) ( ) ( ) AAaaaan,1jm,1iji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji β+α=β+α=β+α=
==
==
==
== .
3) ( ) BABA α+α=+α , ( ) ∈∀ B,A M m,n (ℝ), ( ) ∈α∀ ℝ.
Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) .BAbabaBAn,1jm,1iji
n.1jm,1iji
n,1jm,1ijiji α+α=α+α=+α=+α
==
==
==
4) ( ) ∈∀=⋅ AAA1 M m,n(ℝ).
( ) ( ) Aaa1A1n,1jm,1iji
n,1jm,1iji ==⋅=⋅
==
== .
Notă
1 este scalarul cunoscut din ℝ.
Page 4
1.2
Să se arate că mulţimea S a şirurilor de numere reale convergente formează spaţiu
vectorial peste ℝ.
Rezolvare
Fie { } { } ∗∗ ∈∈ NnnNnn b,a două şiruri din S. Avem:
{ } { } { } Sbaba nnnnnnn ∈+=+
{ } { } ∈α∈α=α ,Saa nnnn ℝ
deoarece şi şirurile { }nnn ba + şi { }nnaα sunt convergente.
Se verifică uşor proprietăţile spaţiului vectorial, elementul neutru fiind {0}, iar
simetricul lui { }nna este şirul { }nna− .
1.3
Să se arate că mulţimea 0S a şirurilor de numere reale convergente către zero
formează un subspaţiu al lui S (vezi 1.2).
Rezolvare
Faptul că SS0 ⊂ este evident.
Fie { } { }nnnn y,x două şiruri din S0 adică { } { } .0y,0x nnnn →→
Rezultă: { } 0yx nn →+ şi { } 0xn →α , deci { } 0nn Syx ∈+ , { } 0nn Sx ∈α . Cum 0S conţine şi
şirul {0}, rezultă că 0S este subspaţiu vectorial al lui S.
1.4
Fie C [a,b] mulţimea funcţiilor reale de variabilă reală definite şi continue pe [a,b]
⊂ℝ. Să se arate că C [a,b] formează spaţiu vectorial peste ℝ.
Rezolvare
Definim cele două operaţii astfel:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (∀) f,g ∈ C [a,b] şi (∀) x ∈ [a,b].
Page 5
( ) ( ) ( )xfxf α=⋅α (∀) f ∈ C [a,b], (∀) x ∈ [a,b] şi (∀) α∈ℝ.
Funcţiile f + g, α f ∈ C [a,b] fiind şi ele definite şi continue pe [a,b]. Proprietăţile G1 - G4 se
verifică uşor. Elementul neutru este funcţia O unde O(x) =0 (∀) x ∈ [a,b], iar opusul lui f
este – f, unde
(- f) (x) = - f(x) (∀) x ∈ [a,b].
Vom verifica proprietăţile legii externe:
1) ( ) ( ) ff ⋅αβ=β⋅α (∀) f ∈ C[a,b] şi ( ) ∈βα∀ , ℝ.
Fie x ∈ [a,b]. Avem: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ).xfxfxf αβ=αβ=β⋅α
2) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ]b,axundexgxfxgxfxgf ∈α+α=+⋅α=+α .
Deci: α (f+g)=αf + αg (∀) f,g ∈ C [a,b] şi (∀) x ∈ [a,b], (∀) α ∈ ℝ.
3). ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf β+α=⋅β+α=⋅β+α (∀) x ∈ [a,b].
Deci: fff)( β+α=β+α (∀) f ∈ C [a,b] şi ( ) ∈βα∀ , ℝ.
4). ff1 =⋅ (∀) f ∈ C [a,b].
1.5
Să se arate că ( ){ ∈= − it
1n21 x/0,x,...,x,xX ℝ, }1n,1i −= este un subspaţiu liniar al lui
(ℝn,ℝ).
Rezolvare
Este evident că ⊂X ℝn. Avem:
( ) ( ) =+=+ −−t
1n21t
1n21 0,y...,y,yo,x,...,x,xyx ( )t1n1n2211 0,yx,...,yx,yx −− +++=
( ) ( )t1n21t
1n21 0,x,...,x,x0,x,...,x,xx −− ααα=α=α
Deci: x + y ∈ X, αx ∈ X (∀) x,y ∈ X şi α ∈ ℝ.
Elementul neutru O=(0,0,…0,0)∈X deci X este subspaţiu al lui (ℝn,ℝ).
Page 6
2. Sisteme de vectori liniari dependenţi, independenţi. Bază a unui spaţiu vectorial. Metoda Gauss-Jordan
Metoda Gauss-Jordan sau regula dreptunghiului poate fi prezentată schematic
astfel:
unde am notat cu pivotul, adică elementul în locul căruia vrem să obţinem 1 (desigur el
trebuie să fie ≠ 0). Linia pivotului se împarte la iar pe coloana pivotului punem zero
(în locul pivotului se obţine 1).
Să se studieze natura sistemului de vectori:
2.1
=
=
−=
12
v,02
v,21
v 321 .
Rezolvare
Fie
−=
102221
A . Deoarece rA =2< numărul vectorilor, re-zultă că vectorii sunt
liniar dependenţi (am notat rA rangul matricii A).
Fie : av1 + bv2 + cv3 = 0 ⇒
=
+
+
−⇒
00
12
c02
b21
a
∈−
−=−=⇒
=+=++−
⇒ c,4
c5b,2ca
0ca20c2b2a ℝ
Relaţia devine: 0cvv4c5v
2c
321 =+−−
Pentru c ≠ 0 obţinem dependenţa liniară : 0v4v5v2 321 =−+
2.2
−=
−
=
−=
=
22
v,11
v,13
v,03
v 4321
. .
x .
+ .x
-.
+
.
x
-
.+
x - .
+
, , ,
Page 7
Rezolvare
Vectorii sunt liniar dependenţi deoarece =<= 42rA numărul vectorilor.
Fie relaţia: av1 + bv2 + cv3 + dv4 = 0 ⇒
=+−=−+−
⇒0d2cb0d2cb3a3
Varianta 1: Rezolvând sistemul în mod obişnuit obţinem:
( ) ∈α=β−α=β−α= c,2b,232a ℝ , ∈β=d ℝ , adică:
( ) ( ) 0v3v3v23v22 4321 =β+α+β−α+β−α
Varianta 2: Aplicăm metoda Gauss-Jordan. Sistemul se scrie:
−=−=−
d2cbcd2b3a3
-3 cd2 −
0 1 cd2 +−
1 -1 3
cd2 −
0 -2d+c
1 0
0
1
3c2d4 +−
-2d+c
Considerând: c = α∈ℝ , d = β∈ℝ, obţinem:
β=α=β−α=β−α
= d,c,2b,3
42a
2.3
−−
=
−=
−=
−=
1121
v,1011
v,1202
v,0311
v 4321
Rezolvare
3
1
Page 8
Avem patru vectori în M 2,2(ℝ). Fie: av1 + bv2 + cv3 + dv4 = 0
Rezultă:
=−+=−+=++−=+−−
0dcb0db2a30d2ca0dcb2a
Fie A matricea sistemului. Avem:
013011123320
0011102330201121
1110102321011121
A ≠=−
−−
−
−−
−−−
=
−−
−−−
=
Rezultă că sistemul are doar soluţia banală: a = b = c = d = 0, deci vectorii sunt liniar
independenţi.
Deoarece dim M 2,2(ℝ) = 4 vectorii daţi formează o bază în M 2,2(ℝ).
2.4
Fie în ℝn vectorii a,b,c liniar independenţi. Să se stabilească natura sistemului de
vectori {3a-2b+c, 2a+b, a+2b}.
Rezolvare
Fie scalarii γβα ,, din ℝ astfel încât:
( ) ( ) ( ) 0b2aba2cb2a3 =+γ++β++−α
Rezultă: ( ) ( ) 0cb22a23 =α+γ+β+α−+γ+β+α .
Vectorii a,b,c fiind liniar independenţi, trebuie să avem:
=α=γ+β+α−=γ+β+α
0022023
⇒ ⇒=γ=β=α 0 vectorii daţi sunt liniar independenţi.
2.5
Fie vectorii:
=
−=
−=
011
v,110
v,221
v 321
Putem determina scalarii α,β∈ℝ astfel încât: v1 = αv2 + βv3 ?
Page 9
Rezolvare
Varianta 1:
Fie
−−=
012112101
A . Avem: ==⇒≠= 3r.01A A numărul vectorilor.
Rezultă că vectorii sunt liniar independenţi deci ∌ α,β∈ℝ astfel încât să aibă loc relaţia
dată.
Varianta 2:
⇒
=α−−=β+α
=β⇒
β+
−α=
−⇒β+α=
22
1
011
110
221
vvv 321
⇒sistem incompatibil ⇒ ∌ α,β∈ℝ a.î. să aibă relaţia dată.
2.6
Fie vectorii :
=
=
=
=
3
24
3
23
3
22
3
21
ddd1
v,
ccc1
v,
bbb1
v,
aaa1
v , a,b,c,d∈ℝ.
Ce condiţii trebuie să îndeplinească a,b,c,d astfel încât vectorii să fie liniar dependenţi?
Rezolvare
Fie A matricea vectorilor.
Avem: ==
3333
2222
dcbadcbadcba1111
A
)cd)(bd)(bc)(ad)(ac)(ab( −−−−−−=
Pentru ca vectorii să fie liniar dependenţi trebuie ca rA < 4 adică 0A = . Aceasta are loc
dacă: ba = sau ca = sau da = sau cb = sau db = sau cd = .
2.7
Fie vectorii:
−=
−=
−−=
−=
636
v,212
v,642
v,321
v 4321
Page 10
Formaţi toate bazele posibile în ℝ3 cu aceşti vectori.
Rezolvare
Putem forma cel mult 4C34 = baze în ℝ3 cu vectorii daţi.
Pentru { }321 v,v,v avem: ⇒=−
−−−
0263142221
vectorii sunt liniar dependenţi ⇒ nu
formează bază în ℝ3.
Pentru { }421 v,v,v avem: ⇒=−
−−−
0663342621
nu formează bază în ℝ3.
Pentru { }431 v,v,v avem: ⇒=−−−
0623312621
nu formează bază în ℝ3.
Pentru { }432 v,v,v avem: ⇒=−
−−− 0626314622
nu formează bază în ℝ3.
Rezultă că nici un triplet din cei 4 vectori nu poate forma bază în ℝ3.
2.8
Să se studieze natura sistemului de vectori:
=
=
=
m11
v,11m
v,1m1
v 321 , m∈ℝ.
Rezolvare
Dacă
=
m1111m1m1
A , avem ( ) ( )2m1mA 2 +−−= .
Discuţie
Page 11
I) Dacă m∈ℝ\{-2,1} atunci 0A ≠ deci vectorii sunt liniar independenţi şi formează bază
în ℝ3.
II) 1m = ⇒ ⇒<=⇒
= 31r
111111111
A A vectori liniar dependenţi.
Avem: v1 = v2 = v3
III) 2m −= ⇒ ⇒=⇒
−−
−= 2r
211112121
A A vectori liniar dependenţi.
Fie combinaţia liniară:
⇒
=−+=++−=+−
⇒=++0c2ba0cba20cb2a
0cvbvav 321 a = b = c = α ∈ ℝ ⇒
⇒ dependenţa vectorilor este 0vvv 321 =++ .
2.9
Fie
−
−=
221302111102
A şi fie 4,1i,ai = vectorii coloană din A.
Care afirmaţie este adevărată?
a) { }4321 a,a,a,a formează bază în ℝ3.
b) { }432 a,a,a nu formează bază în ℝ3.
c) { }431 a,a,a formează bază în ℝ3.
d) { }321 a,a,a formează bază în ℝ3.
e) Vectorul a2 se poate scrie ca combinaţie liniară de a1, a3, a4.
f) Cu vectorii { }4321 a,a,a,a putem forma cel puţin 34c baze în ℝ3.
Rezolvare
a) O bază în ℝ3 nu poate fi formată din 4 vectori, deci afirmaţia e falsă.
Page 12
b) Fie .221021110
B
−= Avem: ==≠= 3r,02B B numărul vectorilor ⇒ vectorii sunt
liniar independenţi ⇒ formează bază
în ℝ3 ⇒ afirmaţie falsă.
c) Fie
−
−=
223021112
B cu ⇒≠−= 02B vectori liniar independenţi ⇒ afirmaţie
adevărată.
d) Fie ⇒≠=⇒
−
−= 04B
213211102
B afirmaţie adevărată.
e) Fie A matricea vectorilor { }4321 a,a,a,a .
Avem: rA = 3 < numărul vectorilor ⇒ { }4321 a,a,a,a liniar dependenţi ⇒ există scalarii
α, β, γ, δ astfel încât: 0aaaa 4321 =δ+γ+β+α ⇒
⇒
=δ+γ+β+α=γ+β+α−=δ+γ−α
02230202
δ−=γ+β+α=γ+β+α−
δ−=γ−α⇒
22302
2 ⇒
⇒ 2δ
−=β=α , γ = 0, δ ∈ ℝ.
Obţinem relaţia: a2 = 2a4 – a1 ⇒ afirmaţie adevărată.
f) Cu vectorii { }4321 a,a,a,a se pot forma cel mult 34C baze în ℝ3 deci afirmaţia dată este
falsă.
2.10
Fie vectorii:
−
=
−
=
−=
−
=
1211
v,
a010
v,
0121
v,
01a1
v 4321 , a∈ℝ.
Pentru ce valori ale lui a vectorii nu formează bază în ℝ4.
Page 13
Rezolvare
Fie =
−−−
−+=
−−
−−
=
1a1120331111a1000
1a002011112a1011
A
( ).2aa3a11033111a
+=−
−−+
−=
Pentru ca vectorii să nu formeze bază în ℝ4 trebuie să fie liniar dependenţi deci
0A = adică { }.0,2a −∈
2.11
Să se exprime vectorul
−=
0121
v în baza unitară şi apoi în baza B = {v1, v2, v3,
v4} unde:
−
=
−=
−
=
−
=
1211
v,
0121
v,
0131
v,
3010
v 4321 .
Rezolvare
Avem:
⋅+
⋅−
⋅+
⋅=
−1000
0
0100
1
0010
2
0001
1
0121
deci coordonatele lui v în baza unitară {e1, e2, e3, e4} sunt 1, 2, -1, 0.
Observăm că vectorul v face parte din baza B şi se poate scrie:
4321 v0v1v0v0v ⋅+⋅+⋅+⋅= deci are coordonatele 0, 0, 1, 0 în baza B.
2.12
Fie B = {v1, v2} bază în ℝ2 unde:
=
=
43
v,21
v 21 .
Page 14
Să se exprime vectorii
−=
=
11
b,13
a în această bază.
Rezolvare
Dacă notăm cu A matricea bazei avem: aB b,aA 1−= B bA 1−= .
Aplicăm metoda Gauss-Jordan: A a b
3
2 4
3
1
-1
1
1 3
0
3
-5
-1
3
1 0
0 1
-9/2
5/2
7/2
-3/2
Deci: a B
−=
2/52/9 , bB
−
=2/32/7 .
Verificare : .a13
43
25
21
29
=
=
+
−
.b11
43
23
21
27
=
−=
−
2.13
Fie în ℝ3 baza B = {v1, v2, v3} unde:
.153
v,310
v,112
v 321
=
=
−=
Determinaţi vectorul v ∈ ℝ3 care are în baza dată coordonatele
vB =
416
.
Rezolvare
Din vB vA 1−= rezultă v = AvB unde A este matricea bazei.
1
-2
Page 15
Rezultă: .131524
416
131511302
v
=
−=
Verificare : .v131524
153
4310
1112
6 =
=
⋅+
⋅+
−⋅
2.14
Fie în ℝ3 bazele: B { }321 a,a,a= , B1 { }321 b,b,b= unde:
=
−=
=
−=
−=
=
513
b,021
b,241
b,202
a,011
a,542
a 321321 .
a) Să se verifice că B, B1 sunt baze în ℝ3.
b) Să se afle coordonatele lui
=
312
v în fiecare din aceste baze.
c) Să se determine matricea de trecere C de la baza B1
la baza B.
d) Să se afle coordonatele vectorilor a1, a2, a3 în baza B1.
Rezolvare
a) Fie A, respectiv B matricile bazelor B respectiv B1.
Avem: 016502124311
B,022205014212
A ≠=−
=≠=−−
=
Rezultă că ambele sisteme de vectori formează baze în ℝ3.
b) vAv 1−=B , .vBv 11
−=B aplicăm metoda Gauss-Jordan:
A v
-1 -2
4 1 0
5 0 2
2
1
3 2
Page 16
3
B v 1 -1 3
4 2 1
2 0 5
2
1
3
1 -1 3
0 -11
0 2 -1
2
-7
-1
1 0 7/6
0 1 -11/6
0 0
5/6
-7/6
4/3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/4
-1/4
1/2
Deci: vB
−=
2/313
6
111 , vB1
−=
211
41 .
Propunem cititorului să verifice că:
+−
+−=
321
321
b21b
41b
41
a223a
1113a
116
v .
c) Din: vBv
vAv1
1
1
−
−
=
=
B
B ⇒
1BB BvAv 1−=
Ştim pe de altă parte că vB = C-1vB1 unde C este matricea de trecere de la B1 la B. Trebuie
să avem: C-1 = A-1B, deci: C = B-1A. Avem: B A
-1 3
4 2 1
2 0 5
2 -1 -2
4 1 0
5 0 2
1 -1 3
0 -11
0 2 -1
2 -1 -2
-4 5 8
1 2 6
1 -1/2 -1
0 4
0 5/2 7
1
-3
-2
1 0 -1/3
0 1 4/3
0 0
1/2
-1
1/2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6/11
-13/11
3/22
11/3
6
8/3
1
6
6
Page 17
1 0 7/6
0 1 -11/6
0 0
4/3 -1/6 -2/3
-2/3 5/6 4/3
7/3 1/3 10/3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5/16 -5/16 -17/8
15/16 17/16 29/8
7/8 1/8 5/4
Deci:
−−=
202145817153455
161C
d) Matricea de trecere C de la baza B1 la B are prin definiţie drept coloane, coordonatele
vectorilor 321 a,a,a din B în baza B1. Avem deci:
−=
−=
−=
=
102917
81
205834
161a,
217
5
161a,
1415
5
161a 321 111 BBB
Propunem cititorului să verifice că: ,b1614b
1615b
165a 3211 ++=
32133212 b8
10b829b
1817a,b
162b
1617b
165a ++−=++
−= .
2.15
Fie în ℝ4 baza B = {v1, v2, v3, v4} unde:
=
−
=
−
=
−
=
1001
v,
0112
v,
1120
v,
1111
v 4321 şi fie
−
=
4243
vB .
Determinaţi vectorul v ∈ ℝ4 ale cărui coordonate în baza B sunt vB.
Rezolvare
Din formula vAv 1−=B unde A este matricea bazei,
rezultă BvAv ⋅= .
8/3
Page 18
Avem:
−
=
+++−−−−++
=
−
⋅
−
−−=
111
1311
443243283443
4243
1011011101211201
v .
2.16
Fie în ℝ2 baza B = {a,b}.
a) Dacă: c = 3a – b, d = 4a + b, să se arate că vectorii c,d formează de asemenea o bază
B1 = {c,d} în ℝ2.
b) Fie x ∈ ℝ2 astfel încât
=
35
xB . Să se afle coordonatele vectorului x în baza B1.
Rezolvare
a) Trebuie să arătăm că vectorii c,d ∈ ℝ2 sunt liniar independenţi.
Fie ∈βα=β+α ,,0dc ℝ. Avem:
( ) ( ) ( ) ( ) 0ba430ba4ba3 =β+α−+β+α⇒=+β+−α .
Deoarece vectorii a,b formează bază în ℝ2 rezultă că sunt liniar independenţi,
deci:
=β+α−=β+α
0043
de unde α = β = 0
b) Varianta 1
Fie C matricea de trecere de la B la B1, adică matricea care
are pe coloane coordonatele vectorilor c,d în baza B. Rezultă că:
−
=1143
C . Ştim că BB1xCx 1−= .
Aplicând metoda Gauss-Jordan obţinem:
C Bx
4
-1 1
5
3
6
Page 19
1 4/3
0
5/3
14/3
1 0
0 1
-1
2
Deci:
−=
21
x1B .
Varianta 2:
Fie α,β coordonatele vectorului x în baza B1.
Avem: ( ) ( ) ( ) ( )ba43ba4ba3dcx β+α−+β+α=+β+−α=β+α=
Dar:
=
35
xB . Rezultă sistemul: 2,13543
=β−=α⇒
=β+α−=β+α
.
2.17
Fie ( )xnP spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali. Fie
vectorul ( ) ( )xnn
n10 xa...xaaxP P∈+++= .
a) Determinaţi coordonatele lui P(x) în baza B = {1,x,…,xn}.
b) Determinaţi coordonatele lui P(x) în baza B1 = {1,x-a,…,(x-a)n}
a ∈ ℝ.
Rezolvare
a) Coordonatele lui P(x) în baza B sunt chiar coeficienţii polinomului: n10 a,...,a,a .
b) Fie n10 b,...,b,b coordonatele lui P(x) în baza B1. Avem:
nn10 )ax(b...)ax(bb)x(P −++−+=
1nn21 )ax(nb...)ax(b2b)x(P −−++−+=′
2nn32 )ax(b)1n(n...)ax(b23b2)x(P −−−++−⋅⋅+=′′
3nn
43
)ax(b)2n)(1n(n
...)ax(b234b23)x(P−−−−+
++−⋅⋅⋅+⋅⋅=′′′
ΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ
n)n( b12)...2n)(1n(n)x(P ⋅⋅−−= .
Făcând în relaţiile de mai sus x = a, obţinem:
7/3
Page 20
!n)a(Pb,...,
!k)a(Pb
,,!3
)a(Pb,!2
)a(Pb),a(Pb),a(Pb
)n(
n
)k(
k
3210
==
′′′=
′′=′== Κ
Rezultă că avem:
n)n(
2 )ax(!n
)a(P...)ax(!2
)a(P)ax)(a(P)a(P)x(P −++−′′
+−′+= .
3. Sisteme de ecuaţii şi inecuaţii liniare. Soluţii de bază ale unui sistem de ecuaţii liniare
Facem întâi o scurtă prezentare teoretică.
Fie sistemul de ecuaţii liniare AX = b unde:
( ) =
=
====
n
2
1
m
2
1
n,1jm,1iji
x
xx
X,
b
bb
b,aAΜΜ
matricea necunoscutelor.
Presupunem mrA = şi nm < . Putem detaşa deci din A o matrice B cu 0B ≠ . Fie S
matricea rămasă. Partajăm şi matricea X în BX şi SX unde BX conţine necunoscutele
principale, iar SX pe cele secundare.
Avem: AX = b ⇒( ) ⇒=+⇒=
bSXBXb
XX
S/B SBS
B
s11
B SXBbBX −− −=⇒ .
Această formulă dă necunoscutele principale în funcţie de cele secundare.
Pentru 0XS = obţinem bBX 1B
−= (formula care dă soluţia de
bază BX ).
Notă
Sistemul are cel mult mnC soluţii de bază.
Page 21
3.1
a) Să se determine 3 soluţii de bază ale sistemului:
=
−
+
−10
xx
2113
xx
0312
4
3
2
1 .
b) Aflaţi coordonatele vectorilor 4,1i,ai = în baza B }a,a{ 43= unde ia reprezintă
coloanele necunoscutelor ix din sistem.
Rezolvare
a) Sistemul de ecuaţii liniare este:
=+−=++−
1x2xx30xx3xx2
431
4321
Fie
−=
0312
B cu 03B ≠= şi
−
=2113
S .
Sistemul are cel mult 6C24 = soluţii de bază.
nec. pr. Baza 1a 2a 3a 4a b
1x
2x
1a
2a
-1 3 1
3 0 -1 2
0
1
1 -1/2 3/2 1/2
0 -11/2 1/2
0
1
1 0 2/3
0 1 -11/3 1/3
1/3
2/3
3x
2x
3a
2a
-3 0 1 -2
-11 1 0
-1
-3
3x
4x
3a
4a
1/7 -2/7 1 0
11/7 -1/7 0 1
-1/7
3/7
Avem:
−=
−−
=
=
7/37/1
00
X,
0130
X,
00
3/23/1
X 321
Propunem cititorului să afle soluţiile corespunzătoare bazelor:
{ } { } { }314241 a,a,a,a,a,a
2
3/2
-1/3
-7
Page 22
b) Coordonatele vectorilor ia în baza { }43 a,a=B sunt date de coloanele din ultima
iteraţie, adică:
=
=
−−
=
=
10
a,01
a,7/17/2
a,7/117/1
a 4321 BBBB .
Verificăm doar pentru vectorii 1a şi 2a :
143 a32
21
711
13
71a
711a
71
=
=
+
−
=+
243 a01
21
71
13
72a
71a
72
=
−=
−
−
−=−− .
3.2
Fie sistemul de inecuaţii:
−≥++−≥−+−
≤+−
1x2x2x3xxx2xxx2
321
321
321.
a) Scrieţi sistemul de ecuaţii ataşat, aflaţi trei soluţii de bază ale lui şi soluţiile
corespunzătoare sistemului de inecuaţii.
b) Fie: :f ℝ3→ℝ, ( ) 321321 x4x3x5x,x,xf −+= .
Pentru ce soluţie de bază de la a) f îşi atinge minimul?
Rezolvare
a) Înmulţim relaţia a doua şi a treia cu (-1) şi adăugăm variabilele de compensare
.0y,0y,0y 321 ≥≥≥ Obţinem:
=+−−−=++−+=++−
1yx2x2x3yxxx2yxxx2
3321
2321
1321 .3,2,1i0yi =≥
Page 23
nec.
pr. Baza 1a 2a 3a 4a 5a 6a b
1y
2y
3y
4a
5a
6a
2 -1 1 1 0 0
-1 +1 0 1 0
-1 -2 -2 0 0 1
2
3
1
==
0
0
0
X,
1
3
2
0
0
0
X 11
1y
1x
3y
4a
1a
6a
0 1 -1 1 -2 0
1 -1 1 0 1 0
0 -1 0 1 1
-4
3
4
=−
=
0
0
3
X,
404003
X 22
1y
1x
2x
4a
1a
2a
0 0 -4/3 1 -5/3 1/3
1 0 4/3 0 2/3 -1/3
0 1 1/3 0 -1/3 -1/3
-8/3
5/3
-4/3
−=−
−
=03/43/5
X,
003/803/43/5
X 33
Soluţiile de bază 32 X,X nu corespund deoarece au 0y1 < .
b) Avem de calculat doar valoarea lui f pentru soluţia X1.
Avem: ( ) ( ) 00,0,0fXf 1 == .
3.2
Fie sistemul de inecuaţii:
≥−≤+
1xx23x2x
21
21 .
a) Să se scrie sistemul de ecuaţii ataşat, să se afle toate soluţiile de bază ale sistemului
de ecuaţii şi soluţiile corespunzătoare sistemului de inecuaţii.
b) Fie f:ℝ2↦ℝ, ( ) 2121 xx5x,xf += . Să se afle pentru ce soluţie de bază f îşi atinge
maximul.
Rezolvare
a) Sistemul de ecuaţii ataşat este:
=−−=++
1yxx23yx2x
221
121 , 0y,0y 21 ≥≥ .
1
-3
Page 24
nec. pr. Baza 1a 2a 3a 4a b
1y
2y 3a
4a
1 2 1 0
2 -1 0
3
1
2 1 0 -2 1 0 1
3
-1
1X
=
−
=0
0X;
1300
1
nu corespunde pentru că are y2 = -1 < 0
1x
2y
1a
4a
1 2 1 0
0 5 1
3
5 2X
==0
3X;
5003
2
1x
1y
1a
3a
1 0 -1/2
0 5/2 1 1/2
1/2
5/2 3X
==0
2/1X;
02/5
02/1
3
2x
1y
2a
3a
-2 1 0 1
5 0 1
-1
5 4X
−=
−=
1
0X;
0510
4
2x
2y
2a
4a
1/2 1 1/2 0
0 -1/2 1
3/2
-5/2 5X
=
−
=2/3
0X;
2/50
2/30
5
nu corespunde: y2 = -5/2 < 0
2x
1x
2a
1a
0 1 2/5 1/5 1 0 1/5 -2/5
1 1
6X
==1
1X;
0 6
0
11
b) Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) 6xf,1xf,2/5xf,15xf 6432 =−=== .
Pentru
=
03
X2 funcţia f îşi atinge maximul. Soluţia 2X este degenerată deoarece
are o componentă nulă.
4. Operatori liniari. Vectori proprii
4.1
Care dintre următorii operatori sunt liniari?
-1
-1
2
-1/2
-2
-5/2
Page 25
a) U: ℝ2 ↦ℝ4, U(x)
+−
+
=
21
21
1
21
x4xxx3
xxx2
, unde ∈
=
2
1
xx
x ℝ2
b) U: ℝ2 ↦ℝ2, U(x)
−+=
21
221
xxx2x , unde ∈
=
2
1
xx
x ℝ2
c) U: ℝ3↦ℝ3, U(x)
+
+−=
2
31
321
x3xx2x4xx
, unde ∈
=
3
2
1
xxx
x ℝ3
d) U: ℝ3↦ℝ2, U(x)
−
+++=
32
321xx
4x2x3x, unde ∈
=
3
2
1
xxx
x ℝ3
Rezolvare
Reamintim că dacă X,Y sunt două spaţii vectoriale definite pe acelaşi corp de
scalari K, aplicaţia U:X↦Y este operator liniar dacă:
( ) ( ) Xy,x)y(U)x(UyxU ∈∀+=+
( ) ( ) K,Xx)x(U)x(U ∈α∀∈∀α=α
sau:
( ) ( ) ( ) K,,Xy,x),y(U)x(UyxU ∈βα∀∈∀β+α=β+α .
a) Fie: ∈
=
2
1
xx
x ℝ2, ∈
=
2
1
yy
y ℝ2.
Avem: ( ) =
β+α+β+αβ−α−β+α
β+αβ+α+β+α
=
β+αβ+α
=β+α
2211
2211
11
2211
22
11
y4x4yxyxy3x3
yxyxy2x2
yxyx
UyxU
,)y(U)x(U
y4yyy3
yyy2
x4xxx3
xxx2
21
21
1
21
21
21
1
21
β+α=
+−
+
β+
+−
+
α=
( ) ∈∀ y,x ℝ2 ( ) ∈βα∀ , ℝ.
Rezultă că U este operator liniar.
Page 26
b)
( ) =
β+αβ+α
=β+α22
11yxyx
UyxU
β−α−β+αβ+α+αβ+β+α=
2211
221121
221
2
yxyxy2x2yx2yx
β−β+α−αβ+β+α+α=
=
−+β+
−+α=β+α
2121
2212
21
21
221
21
221
yyxxy2yx2x
yyy2y
xxx2x)y(U)x(U
Deoarece: ( ) U)y(U)x(UyxU ⇒β+α≠β+α nu este operator liniar.
c)
( )
=
β+α
β+α+β+αβ+α+β−α−β+α
=
=
β+αβ+αβ+α
=β+α
22
3311
332211
33
22
11
y3x3yxy2x2y4x4yxyx
yxyxyx
UyxU
)y(U)x(Uy3
yy2y4yy
x3xx2x4xx
2
31
321
2
31
321β+α=
++−
β+
++−
α= ,
( ) ∈∀ y,x ℝ3, ( ) ∈βα∀ , ℝ.
U este operator liniar.
d)
( )
β−α−β+α
+β+α+β+α+β+α=
=
β+αβ+αβ+α
=β+α
3322
332211
33
22
11
yxyx4y2x2y3x3yx
yxyxyx
UyxU
Page 27
β−β+α−α
β+β+β+β+α+α+α+α=
=
−
+++β+
+
−
+++α=β+α
3232
321321
32
321
32
321
yyxx4y2y3y4x2x3x
yy4y2y3y
xx4x2x3x
)y(U)x(U
Deoarece ( ) U)y(U)x(UyxU ⇒β+α≠β+α nu este operator liniar.
4.2
Fie operatorul liniar:
U:ℝ3↦ℝ2, ∈
=
++−−+
=
3
2
1
321
321
xxx
x,x2xxx4xx3
)x(U ℝ3.
a) Scrieţi matricea operatorului corespunzătoare bazelor canonice.
b) Calculaţi U(x) pentru
−=
625
x .
c) Calculaţi U(x) pentru
−
=24
x .
Rezolvare
a) Fie B }ee,e{ 3,21= , B1 }e,e{ 21 ′′= bazele canonice (unitare) din ℝ3 respectiv ℝ2.
Varianta1:
( )
2133
2122
2111
e2e4)e(U24
100
U)e(U
ee)e(U11
010
UeU
ee3)e(U13
001
U)e(U
′+′−=⇒
−=
=
′+′=⇒
=
=
′−′=⇒
−
=
=
⇒
−
−=
241113
A
Page 28
Varianta 2:
U(x) se mai poate scrie v sub forma:
−
−=
3
2
1
xxx
211413
)x(U .
Ştim că dacă A este matricea corespunzătoare bazelor canonice avem: xA)x(U t= .
Rezultă că:
−
−=
211413
At deci
−
−=
241113
A
b) Avem:
−=
++−+−
=
−
1937
122524215
625
U .
c) U(x) nu are sens deoarece: ∉
−
=24
x ℝ3.
4.3
Operatorul U:ℝ2↦ℝ3 are matricea corespunzătoare bazelor unitare
−
−=
130612
A . Să se calculeze U(v) unde
−
=45
v .
Rezolvare
−=
−
−
−=⇒=
261710
45
163102
)v(UvA)v(U t .
4.4
Fie operatorii liniari U, V:ℝ3↦ℝ2,
+++
=
−
−+=
31
321
21
321x3xx4xx2
)x(V,xx2
xxx)x(U
a) Care este operatorul U + V ?
b) Dacă A,B,C sunt matricile corespunzătoare bazelor unitare din ℝ3 respectiv ℝ2,
stabiliţi legătura dintre A,B,C.
Page 29
Rezolvare
a) Prin definiţie: (U + V)(x) = U(x) + V(x) (∀) x ∈ ℝ3.
Deci:
+−++
=
=
+++
+
−
−+=+
321
321
31
321
21
321
x3xx3x3x2x3
x3xx4xx2
xx2xxx
)x)(VU(
b) U(X)
−−=⇒
−
−=011121
A
xxx
012111
xA
3
2
1
t
=⇒
=340112
B
xxx
301412
xB
)x(V
3
2
1
t
−=⇒
−
=+331233
C
xxx
313323
xC
)x)(VU(
3
2
1
t
Observăm că: C = A + B.
4.5
Fie operatorii liniari U,V: ℝ2↦ℝ2,
−−
=
+−−
=21
21
21
21x4x2x3x
)x(V,x2xx5x3
)x(U
a) Calculaţi operatorul W = U‧V.
b) Fie A,B,C matricele lui U,V,W corespunzătoare bazelor canonice.
Ce relaţie există între A,B,C?
c) Există U-1, V-1? Dacă da, care sunt?
d) Dacă A1, B1, C1 sunt matricele lui U-1, V-1, W-1 corespunzătoare bazelor canonice, ce
relaţie există între A1, B1, C1?
Page 30
Rezolvare
a) ( )[ ] =
−−
==⋅=21
21x4x2x3x
UxVU)x(VU)x(W
−+−
=
−++−
+−−=
21
21
2121
2121x5x3x11x7
x8x4x3xx20x10x9x3
b)
−
−=⇒
−
−=2513
Axx
2153
xA)x(U
2
1
t
−−
=⇒
−−=
4321
Bxx
4231
xB)x(V
2
1
t
−
−=⇒
−
−=51137
Cxx
53117
xC)x(W
2
1
t
Avem: [ ] xBA]xB[U)x(VU)x(W ttt ⋅⋅=== .
Rezultă: ABCBAC ttt ⋅=⇒⋅= .
Verificare : C51137
2513
4321
AB =
−
−=
−
−
−−
=⋅ .
c) Un operator liniar U se poate inversa dacă şi numai dacă nucleul său:
Ker U { }0)x(U/x n =∈=
conţine doar vectorul 0.
Pentru U avem: Ker U = {x∈ℝ2/ 0x2x,0x5x3 2121 =+−=− .
Deoarece sistemul omogen:
=+−=−
0x2x0x5x3
21
21 are determinantul ≠ 0≠ ⇒ are doar soluţia
banală, deci ( ) 1U}0{UKer −∃⇒= .
Fie U-1(y) = x unde ∈
=
2
1
yy
y ℝ2.
Rezultă: U(x) = y adică:
ℝ
Page 31
( ) yAxyxAyx2xyx5x3 1tt
221
121 −=⇒=⇒
=+−=−
, unde A este matricea operatorului U
corespunzătoare bazelor canonice.
Avem: ( )
=−
3152
A 1t
Deci
++
=
=−
21
21
2
11x3xx5x2
xx
3152
)x(U
Notă
Dacă A este matricea lui U atunci A-1 este matricea lui U-1 (considerând bazele
canonice).
Pentru operatorul V avem:
Ker V = {x ∈ ℝ2/ V(x) = 0} ⇒ 0xx0x4x20x3x
2121
21 ==⇒
=−=−
⇒
⇒ Ker V = {0} ⇒ ( ) 1V−∃ .
Fie V-1(y) = x.
Atunci: ( ) ( ) .yBxyxByx4x2yx3x
y)x(V1tt
221
121 −=⇒=⋅⇒
=−=−
⇒=
Dar: ( )
−−
=⇒
−−
=−
1234
21B
4321
B1t
Rezultă: ( )
+−+−
=
−−
=⋅=−−
21
21
2
11t1xx2x3x4
21
xx
1234
21)x(B)x(V .
d) Dacă =
−
−=
2513
A matricea lui U, atunci
== −
3512
AA 11 = = matricea lui U-1.
Dacă =
−−
=4321
B matricea lui V, atunci
=
−−== −
2/12/312
BB 11 matricea lui V-1.
Avem:
( ) =
++
=⋅= −−−
21
21111x3xx5x2
V)x(VU)x(W
Page 32
−−−−
=
++−−++−−
=21
21
2121
2121x7x3x11x5
21
x3xx10x4x9x3x20x8
21
şi are matricea
−−−−
=71135
21C1 .
Dacă operatorul W = U‧V are matricea C = B‧A atunci W-1 are matricea
1111 BACC −−− == .
Propunem cititorului să verifice această relaţie
4.6
Fie operatorul U:ℝ3↦ℝ2,
+
+−=
21
321xx2
x2xx5)x(U . Să se afle matricea
operatorului U corespunzătoare bazelor B ={a1, a2, a3} din ℝ3 şi B1 ={e1, e2}, unde:
,011
a,102
a,111
a 321
−=
=
−=
=
=
10
e,01
e 21 .
Rezolvare
Avem: 211 ee818
12215
111
U)a(U +=
=
−
++=
−= .
212 e4e124
124
210
102
U)a(U +=
=
+=
= .
213 ee616
1215
011
U)a(U +=
=
−+
=
−= .
Rezultă: =
=
1641218
A matricea lui U corespunzătoare celor două baze.
Page 33
4.7
Fie U:ℝ2↦ℝ2 un operator liniar care are matricea corespunzătoare bazelor
canonice
−=
3012
A . Să se determine spectrul şi vectorii proprii ai lui U. Există o bază
în ℝ2 în care matricea operatorului U să fie diagonală?
Rezolvare
Prin spectrul unui operator U înţelegem mulţimea valorilor proprii ale lui U. Valorile
proprii sunt rădăcinile ecuaţiei:
0A =Ιλ− unde Ι este matricea unitate. Avem:
⇒=+λ−λ⇒=λ−
−λ−⇒=Ιλ− 0650
3012
0A 2
3,2 21 =λ=λ⇒ .
Vectorii proprii se găsesc rezolvând ecuaţia x)x(U λ= .
Cazul I: x2)x(U2 =⇒=λ .
Ştiind că xA)x(U t= rezultă:
=+−=
⇒
=
− 221
11
2
1
2
1x2x3xx2x2
x2x2
xx
3102
Dacă x1 = a ∈ ℝ atunci vectorii proprii sunt
∈
}0{\a,aa .
Cazul II: ax0x
x3x3
xx
3102
x3)x(U32
1
2
1
2
1==
⇒
=
−
⇒=⇒=λ ∈ℝ.
Vectorii proprii sunt ∈
a,a0 ℝ, }0a ≠ .
Deoarece spectrul lui U este format din două valori distincte 3,2 21 =λ=λ , rezultă că
vectorii proprii sunt liniar independenţi şi formează o bază în ℝ2.
De exemplu pentru a = 1, vectorii:
10
,11
formează bază în ℝ2.
Matricea diagonală a lui U este:
3002
.
ℝ
Page 34
4.8
Fie operatorul liniar U: ℝ3↦ ℝ3,
+−++−+−
=
21
321
321
xxxx2xxxx2
)x(U .
a) Să se determine valorile şi vectorii proprii ai lui U.
b) Să se găsească o bază în ℝ3 în care matricea operatorului să fie diagonală.
Rezolvare
a) Avem: ⇒=Ιλ−
−
−−= 0A,
011121112
A
( )
( )( ) 3,1,0031
02011
121112
321
2
=λ=λ=λ⇒=λ−−λλ⇒
⇒=λ+λ−λ−⇒=λ−
λ−−−−λ−
⇒
valorile proprii.
Cazul I: ⇒
=+−=++−=+−
⇒=⇒=λ0xx0xx2x0xxx2
0)x(U0
21
321
321
⇒ ax
axx
3
21
−=
==, a ∈ ℝ
Deci vectorii proprii corespunzători lui 01 =λ sunt
∈
−}0{\a,
aaa
.
Cazul II: ⇒
=+−=++−=+−
⇒=⇒=λ
321
2321
1321
xxxxxx2xxxxx2
x)x(U1
⇒=
∈==⇒
=−+−=++−=+−
⇒0x
axx
0xxx0xxx0xxx
3
21
321
321
321
⇒ mulţimea vectorilor proprii este
∈
}0{\a,
0aa
.
ℝ
ℝ
ℝ
Page 35
Cazul III: ⇒
=+−=++−=+−
⇒=⇒=λ
321
2321
1321
x3xxx3xx2xx3xxx2
x3)x(U3
axa,a2x
ax
0x3xx0xxx0xxx
3
2
1
321
321
321
=∈=
−=⇒
=−+−=+−−=+−−
⇒ ℝ.
Mulţimea vectorilor proprii este:
∈
−}0{\a,
aa2a
Având 321 λ≠λ≠λ , vectorii proprii sunt liniar independenţi şi formează bază în ℝ3.
Rezultă că vectorii:
−
− 121
,011
,111
formează bază în ℝ3 şi matricea lui U corespunzătoare
acestei baze e matricea diagonală:
300010000
.
4.9
Să se determine o bază în care operatorul U: ℝ4↦ ℝ4,
=
4
1
1
xx0x
)x(U are matricea
diagonală.
Rezolvare
Vom căuta să găsim o bază formată din vectorii proprii. Ecuaţia caracteristică este:
( ) ,0010
10000000000101
2122 =λ=λ⇒=λ−λ⇒=
λ−λ−
λ−λ−
143 =λ=λ .
Pentru 0=λ din U(x) = 0 obţinem: x1 = x4 = 0, x2 = a∈ℝ, x3 = b∈ℝ.
ℝ
Page 36
Vectorii proprii sunt:
≠+∈
0ba,b,a,
0ba0
22 .
Pentru ∈=
∈===
⇒
=
⇒=λbx
axx0x
xxxx
xx0x
1
4
31
2
4
3
2
1
4
1
1
ℝ.
Vectorii proprii sunt
≠+∈
0ba,b,a,
ba0a
22 .
Vectorii:
=
=
=
=
1000
e,
0101
e,
0100
e,
0010
e 4321 formează o bază în ℝ4 şi U(e1) = U(e2) =
0, U(e3) = e3, U(e4) = e4 şi matricea
corespunzătoare acestei baze este:
1000010000000000
.
5. Funcţionale liniare, biliniare, pătratice
5.1
Să se cerceteze dacă următoarele funcţionale sunt liniare:
a) f: ℝ4↦ℝ, f(x) 4321 xx4xx5 ++−=
b) f: ℝ3↦ ℝ, f(x) 3221 x4xx2 −+=
c) f: ℝ2↦ ℝ, f(x) 7xx6 21 −+= .
ℝ
ℝ
ℝ
Page 37
Rezolvare
a) Verificăm dacă: ( ) ∈βα∈∀β+α=β+α ,,y,x),y(f)x(f)yx(f 4 ℝ.
Avem: ( ) =
β+αβ+αβ+αβ+α
=β+α
44
33
22
11
yxyxyxyx
fyxf
( ) ( ))y(f)x(f
yy4yy5xx4xx5yxy4x4yxy5x5
43214321
44332211
β+α=
=++−β+++−α=
=β+α+β+α+β−α−β+α=
Rezultă că f este funcţională liniară.
b) ( ) +αβ+α+β+α=
β+αβ+αβ+α
=β+α 2222
211
33
22
11yx2xy2x2
yxyxyx
fyxf
3322
2 y4x4y β−α−β+
( ) ( ) =−+β+−+α=β+α 32213
221 y4yy2x4xx2)y(f)x(f
32213
221 y4yy2x4xx2 β−β+β+α−α+α=
Cum ( ) ⇒β+α≠β+α )y(f)x(fyxf f nu e funcţională liniară.
c) ( ) 7yxy6x6yxyx
fyxf 221122
11 −β+α+β+α=
β+αβ+α
=β+α .
( ) ( ) =−+β+−+α=β+α 7yy67xx6)y(f)x(f 2121
⇒β−β+β+α−α+α= 7yy67xx6 2121 f nu e funcţională liniară.
5.2
Fie f:ℝ4↦ ℝ, ∈
=+−+=
4
3
2
1
4321
xxxx
x,x3xx5x2)x(f ℝ4.
a) Să se arate că f este funcţională liniară.
b) Să se determine matricea A corespunzătoare bazei canonice.
ℝ
Page 38
Rezolvare
a) +β+α−β+α+β+α=β+α )yx()yx(5)yx(2)yx(f 332211
)y(f)x(f)y3yy5y2()x3xx5x2()yx(3 4321432144
β+α=
=+−+β++−+α=β+α+
b) Varianta 1:
Fie B = {e1,e2,e3,e4} baza canonică în ℝ4.
Avem: 1
0100
f)e(fa5
0010
f)e(fa,2
0001
f)e(f 33221 −=
===
===
=
3
1000
f)e(fa 44 =
== .
Rezultă că:
−=
3152
A .
Varianta 2:
( )
−=⇒−=⇒
−=
3152
A3152A
xxxx
)3152(
xA
)x(f t
4
3
2
1
t
.
5.3
Fie ℝ3↦ ℝ, ∈
=+−=
3
2
1
321
xxx
x,x2xx4)x(f ℝ.
a) Să se arate că f este funcţională liniară.
b) Să se afle matricea A corespunzătoare bazei canonice
B = {e1, e2, e3}.
Page 39
c) Să se afle matricea B corespunzătoare bazei B1 = {v1, v2, v3} unde:
=
=
=
110
v,011
v,101
v 321 .
Rezolvare
a) =β+α+β+α−β+α=β+α )yx(2)yx()yx(4)yx(f 332211
∈∀β+α=+−β++−α= y,x)(,)y(f)x(f)y2yy4()x2xx4( 321321 ℝ.
b) Varianta 1:
( )
−=⇒−=⇒
−
=214
A214A
xxx
)214(
xA
)x(f t
3
2
1
t
Varianta 2:
c) Varianta 1:
Fie C matricea de trecere de la B la B1 adică:
=
101110011
C
Matricea C are pe coloane coordonatele vectorilor din B1 în baza B.
Atunci: ACB t= adică:
=
−
=
136
214
110011101
B .
−=
=⇒=
==
−=
===
==
214
aaa
A2100
f)e(fa
,1010
f)e(fa,4001
f)e(fa
3
2
1
33
2211
Page 40
Varianta 2:
Avem:
=
=⇒
=
==
=
==
=
==
136
bbb
B
1110
f)v(fb
3011
f)v(fb
6101
f)v(fb
3
2
1
33
22
11
5.4
Să se stabilească natura sistemului de funcţionale liniare:
3213
3212
3211
xx2x)x(fxx2x)x(fx2xx3)x(f
++−=
−+=
+−=
, f:ℝ3↦ℝ.
Rezolvare
Fie:
=+−=++−=−+
⇒=++0cba20c2b2a0cba3
0)x(cf)x(bf)x(af 321
Determinantul sistemului fiind ≠ 0 ⇒ sistemul are doar soluţia banală a = b = c = 0 ⇒
funcţionalele sunt liniar independente.
5.5
Fie: f: ℝ2 x ℝ2↦ ℝ, 221221 yx6yx2yx5)y,x(f +−= ,
∈
=
2
1
xx
x ℝ2, ∈
=
2
1
yy
y ℝ2
a) Arătaţi că f este o funţională biliniară.
b) Scrieţi matricea A a lui f în baza canonică B = {e1, e2}
c) Scrieţi matricea B a lui f în baza B1 = {a, b} unde:
=
−
=21
b,13
a .
Page 41
Rezolvare
a) Arătăm întâi liniaritatea în raport cu primul argument:
∈∀β+α=β+α z,y,x)().z,y(f)z,x(f)z,yx(f ℝ2, α, β ∈ ℝ.
Avem: −β+α=
β+αβ+α
=β+α 21212
1
22
11 zy5zx5zz
,yxyx
f)z,yx(f
++−α=β+α+β−α− )zx6zx2zx5(zy6zx6zy2zx2 22122122221212
)z,y(f)z,x(f)zy6zy2zy5( 221221 β+α=+−β+ .
Liniaritatea în raport cu al doilea argument:
∈∀β+α=β+α z,y,x)(,)z,x(f)y,x(f)zy,x(f ℝ2, α, β ∈ ℝ.
Avem: −β+α=
β+αβ+α
=β+α 212122
11
2
1 zx5yx5zyzy
,xx
f)zy,x(f
).z,x(f)y,x(f)zx6zx2zx5()yx6yx2yx5(zx6yx6zx2yx2
221221
22122122221212
β+α=+−β+++−α=β+α+β−α−
b) Varianta 1:
Dacă A este matricea corespunzătoare bazei unitare, atunci: yAx)y,x(f t= .
Pe de altă parte putem scrie:
.yy
6250
)x,x()y,x(f2
121
−
= Rezultă:
−
=6250
A .
Varianta 2:
⇒
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
==
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
==
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
==
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
==
611601210510
,10
f)e,e(fa
201611200501
,10
f)e,e(fa
510600211510
,01
f)e,e(fa
000610201501
,01
f)e,e(fa
2222
1221
2112
1111
−
=⇒6250
A
c) Varianta 1:
Fie
=
2221
1211bbbb
B matricea lui f corespunzătoare bazei B1.
Page 42
Avem:
3022612221521
,21
f)b,b(fb
29)1(26322)1(1513
,21
f)a,b(fb
202)1(61)1(223521
,13
f)b,a(fb
3)1)(1(63)1(2)1(3513
,13
f)a,a(fb
22
21
12
11
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
==
−=−⋅⋅+⋅⋅−−⋅⋅=
−
==
=⋅−⋅+⋅−⋅−⋅⋅=
−
==
−=−−⋅+⋅−⋅−−⋅⋅=
−−
==
Rezultă:
−−
=3029203
B .
Varianta 2:
Dacă C este matricea de trecere de la B la B1, atunci: ACCB t= .
Rezultă:
−−
=
−
−+
=
−
−
−=
3029203
2113
17492
2113
6250
2113
B
5.6
Fie funcţionala biliniară:
f: ℝ3 x ℝ3 ↦ℝ, 33322131 yx4yx6yx2yx5)y,x(f ++−=
a) Determinaţi matricea A corespunzătoare bazei canonice
B = {e1, e2, e3}.
b) Determinaţi matricea B corespunzătoare bazei B1 = {v1, v2, v3} unde:
=
=
−=
021
v,110
v,213
v 321
Page 43
Rezolvare
a) Avem:
−=⇒
−=
400600520
A
yyy
400600520
)x,x,x(
yAx
)y,x(f
3
2
1
321
t
.
b) Fie C matricea de trecere de la B la B1 adică matricea care are pe coloane
coordonatele vectorilor v1, v2, v3 în baza unitară B.
Avem:
−=
012211103
C .
Din relaţia: CACB t= rezultă:
⇒
−
−
−=
−
−
−=
012211103
172010001760
012211103
400600520
021110213
B
−
−=⇒
415360102061140
B
Verificăm de exemplu elementele bii, i = 1, 2, 3 lăsând cititorului celelalte elemente:
402242)1(6)1(3223521
3,
21
3f)v,v(fb 1111 =⋅⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅⋅=
−−==
10114116102105110
,110
f)v,v(fb 2222 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
==
4004026212015021
,021
f)vv(fb 3333 −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
== Să se aducă la
forma canonică următoarele funcţionale pătratice şi să se stabilească natura lor.
Page 44
5.7
∈
=−−+−=
3
2
12332
2221
21
xxx
x,xxx6x3xx2x)x,x(f ℝ3.
Rezolvare
Metoda Jacobi Matricea funcţionalei pătratice este:
−−−−
−=
130331011
A .
Minorii principali sunt:
011A,023111
,01,01 3210 ≠−==∆≠=−
−=∆≠=∆≠=∆ .
Ştiind că dacă toţi 3,2,1i,0i =≠∆ avem:
23
3
222
2
121
1
0 yyy)x,x(f∆∆
+∆∆
+∆∆
= rezultă: 23
22
21 y
112y
21y)x,x(f −+=
Funcţionala este nedefinită.
Metoda Gauss 2332
22
221 xxx6x2)xx()x,x(f −−+−= .
Făcând transformarea :
==
−=
33
22
211
xyxyxxy
care este nedegenerată (are determinantul
01 ≠= ), obţinem:
23
2
3221
23
23
2
3221
2332
22
21
2332
22
21
y211y
23y2yyy
49y
23y2y
y)yy3y(2yyyy6y2y)x,x(f
−
−+=−
−
−+=
=−−+=−−+=
.
Facem transformarea nedegenerată:
33
322
11
yz
y23yz
yz
=
−=
=
şi obţinem: 23
2z
21 z
211z2z)x,x(f −+= .
Page 45
Notă
Observăm că indiferent de calea pe care s-a ajuns la forma canonică, numărul
coeficienţilor pozitivi (respectiv negativi) este constant (teorema inerţiei).
5.7
∈
=+−=
3
2
1
313221
xxx
x,xx4xxxx3)x,x(f ℝ3.
Rezolvare
Metoda Jacobi nu poate fi explicată deoarece:
−−=
02/122/102/322/30
A are minorul principal 01 =∆ .
Metoda Gauss
Fie transformarea:
=−=+=
33
212
211
yxyyxyyx
Rezultă: =+++−−= 3231323122
21 yy4yy4yyyyy3y3)y,y(f
=+−+=++−= 322231
213231
22
21 yy5y3)yyy(3yy5yy3y3y3
3222
23
2
31 yy5y3y41y
21y3 +−
−
+=
Făcând transformarea:
==
+=
33
22
311
yzyz
y21yz
rezultă:
=−
−−=−+−= 2
33222
21
2332
22
21 z
43zz
35z3z3z
43zz5z3z3)z,z(f
23
23
2
3221 z
43z
3625z
65z3z3 −
−
−−= .
Page 46
Fie:
33
322
11
zu
z65zu
zu
=
−=
=
Rezultă: 23
22
21 u
34u3u3)u,u(f +−= .
Matricea formei canonice este matricea diagonală:
−=
3400030003
A
şi are minorii principali: 012,09,03 321 <−=∆<−=∆>=∆ .
Rezultă că f este nedefinită.
Notă
Am văzut că 323122
21 yy5yy3y3y3)y,y(f ++−= .
Matricea acestei funcţionale este:
−=
02/52/32/5302/303
B cu:
012,09,03,1 3210 ≠−=∆≠−=∆≠=∆=∆ .
Aplicând metoda Jacobi obţinem forma canonică:
23
22
21 z
43z
31z
31)z,z(f +−= .
5.9
Fie funcţionala pătratică:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 2331
2221
21 x3xx2xxx4ax)x,x(f ++++= .
Să se determine valorile lui a ∈ ℝ astfel încât funcţionala să fie pozitiv definită.
Rezolvare
Matricea formei pătratice este:
=
30101212a
A .
Page 47
Punem condiţia:
0A,04a122a
,0a 321 >=∆>−==∆>=∆ .
Rezultă: 3
13a > .
6. Probleme propuse Stabiliţi natura următoarelor sisteme de vectori şi în caz de dependenţă să se determine
relaţia respectivă:
6.1
−=
−=
503
v,412
v 21 în ℝ3.
6.2
=
−
=
−=
40
v,23
v,14
v 321 în ℝ2.
6.3
−=
=
−=
111
v,213
v,120
v 321 în ℝ3.
6.4
−=
−
=68
v,34
v 21 în ℝ2.
Page 48
6.5
−−=
−=
−=
13m
v,102
v,1
m1
32v1 în ℝ3 , m∈ℝ
6.6
=
−
=
−
=
−=
2010
v,
1100
v,
2102
v,
1111
v 4321 în ℝ4.
6.7
Fie vectorii:
−=
−=
−=
507
v,212
v,123
32v1.
Determinaţi scalarii α, β ∈ ℝ astfel încât: 312 vvv β+α= .
6.8
Fie vectorii a, b, c, d liniar independenţi . Care este natura sistemului de vectori
}db2,dcba,d4a,c2a3{ −++++− ?
6.9
Fie vectorii
=
=
=
23
22
21
cc1
v,bb1
v,aa1
v , a, b,c ∈ ℝ.
Ce condiţii trebuie să îndeplinească a, b, c pentru ca vectorii să fomeze o bază în ℝ3?
6.10
Fie matricea:
−
−−=
312020122431
A şi fie 4,1i,ai = vectorii coloană.
Care afirmaţie este adevărată?:
a) Vectorii a1, a2, a3, a4 formează o bază în ℝ4.
Page 49
b) Vectorii a1, a3, a4 nu formează o bază în ℝ3.
c) Vectorii a1, a2, a3, a4 sunt liniar dependenţi.
d) Vectorii a1, a2, a3 sunt liniar independenţi.
e) Vectorii a2, a3, a4 formează o bază în ℝ3.
6.11
Fie bi, i = 1, ,2, 3 vectorii linie din A în exerciţiul 6.10 .
Care afirmaţie este adevărată?:
a) }b,b{ 31 sunt liniar dependenţi.
b) }b,b,b{ 321 sunt liniar independenţi.
c) }b,b{ 32 sunt liniar independenţi.
6.12
Fie vectorii:
=
−
=
=
−
=
4321
v,
2011
v,
12a3
v,
1102
v 4321 , a∈ℝ
Determinaţi parametrul real a astfel încât v3 să fie dependent de v1, v2, v4.
6.13
Pentru ce valori ale lui a ∈ ℝ, vectorii din 6.12 formează bază în ℝ4?
6.14
Fie B }v,v,v{ 321 bază în ℝ3.
Este şi B1 }vv,vv,vv{ 213231 ++−= bază în ℝ3?
6.15
Fie în M2,2 (ℝ) vectorii:
−
=
−
=
−
=
−=
5121
v,2103
v,1112
v,3021
v 4321
=
4321
v
Page 50
Formează }v,v,v,v{ 4321 bază în M2,2 (ℝ)? Dacă da, aflaţi coordo-natele lui v în această
bază.
6.16
Fie B },v,v{ 21= bază în ℝ2 unde:
=
=
20
v,53
v 21 .
Aflaţi coordonatele lui
=
1110
v în această bază.
6.17
Fie vectorii:
=
=
=
−=
412
v,101
v,120
v,521
v 321 .
Aflaţi coordonatele lui v în baza B = }v,v,v{ 321 .
6.18
Fie vectorii:
−=
−=
−=
=
013
v,111
v,102
v,cba
v 321
Determinaţi a, b, c ∈ ℝ astfel încât coordonatele lui v în baza
B = }v,v,v{ 321 să fie chiar a, b, c.
6.19
Fie:
−
−=
−
=
−=
−
=
−
−
=
2211
v,
1210
v,
2203
v,
1021
v,
2111
v 4321
a) Arătaţi că }v,v,v,v{ 4321 formează bază în ℝ4.
b) Determinaţi coordonatele lui v în baza canonică.
c) Determinaţi coordonatele lui v în baza B = }v,v,v,v{ 4321 .
d) Care este matricea de trecere de la baza canonică la baza B?
Page 51
6.20
Fie vectorii:
=
−=
−
=
=
40
d,12
c,11
b,23
a .
a) Arătaţi că B = {a, b}, B1 ={c, d} sunt baze în ℝ2.
b) Aflaţi coordonatele vectorului
−−
=14
v în bazele B, B1.
c) Aflaţi legătura dintre vB, vB1 .
d) Care este matricea de trecere de la B la B1?
e) Care este matricea de trecere de la B1 la B?
6.21
Care este baza unitară în M2,3(ℝ)? Dar în M3,2(ℝ)?
6.22
Fie
−−
−−
=
321002111m312102
A , m ∈ ℝ.
a) Determinaţi parametrul m astfel încât vectorii coloană din A să formeze bază în ℝ4.
b) Aflaţi valorile lui m pentru care vectorii linie din A formează bază în ℝ4.
c) Pentru valorile lui m de la a), b) matricea A este inversabilă?
6.23
Aflaţi soluţiile de bază ale sistemului:
=+−+−−=−+−
0x2xx3x1xxxx2
4321
4321
6.24
Fie ai vectorii necunoscutelor xi din sistemul:
−=++=−+−=+−+−
1x2xx30xx3xx2xxx2x
432
4321
4321
a) Arătaţi că B = }a,a,a{ 321 formează bază în ℝ3.
Page 52
b) Găsiţi soluţia de bază corespunzătoare lui B.
6.25
Fie sistemul de ecuaţii:
=++−+−=−++−
1xx4xxx2xxx2xx3
54321
54321
Găsiţi soluţia de bază care are x1 = x2 = x3 = 0 .
6.26
Fie sistemul de inecuaţii:
≤++−≥+−
2x2xx20xx2x
321
321
Scrieţi sistemul de ecuaţii ataşat. Aflaţi soluţiile de bază ale acestuia şi soluţiile
corespunzătoare sistemului de inecuaţii.
6.27
Care dintre următorii operatori este liniar:
a) U: ℝ2 ↦ ℝ3,
++−−
−=
3x4x9x2
x3x5)x(U
21
1
21, x ∈ ℝ2
b) U: ℝ2 ↦ ℝ2,
−
+−=
21
21xx3x6x2
)x(U , x ∈ ℝ2
c) U: ℝ3 ↦ ℝ2,
−−+−=
31
3221
xx4xx2x)x(U , x ∈ ℝ3
d) U: ℝ2 ↦ ℝ4,
+
−=
2
2
1
1
21
xx
x2
xx5x4
)x(U , x ∈ ℝ2
6.28
Fie operatorii liniari U, V: ℝ3 ↦ ℝ3,
−+++−
=
++−
+−=
21
32
321
32
31
321
x4xxxx7xx2
)x(V,xxxx2x2xx
)x(U
Page 53
a) Determinaţi matricile A, B ale lui U respectiv V în bazele canonice.
b) Calculaţi U‧V şi matricea lui C în bazele canonice.
c) Calculaţi V‧U şi matricea lui D în bazele canonice.
d) Ce legătură există între A, B, C, D?
6.29
Fie operatorii liniari U, V de la 6.28 cu matricile A, B în bazele canonice. Să se afle
operatorul U-V. Dacă C este matricea lui U-V corespunzătoare bazelor canonice, să se
afle legătura dintre A, B, C.
6.30
Fie operatorul U: ℝ2 ↦ ℝ2,
++
=21
21x4xx6x2
)x(U
a) Este U operator liniar?
b) Există U-1(x). Dacă da, calculaţi-l.
c) Dacă A, B sunt matricile lui U respectiv U-1, ce legătură există între A şi B?
6.31
a) Să se afle valorile şi vectorii proprii ai operatorului U de
la 6.30.
b) Există o bază în ℝ2 în care matricea lui U să fie diagonalizată?
6.32
Fie operatorul liniar U: ℝ3 ↦ ℝ3,
+−+−+
=
21
31
321
xxx3xxxx2
)x(U
a) Scrieţi ecuaţia caracteristică a operatorului U.
b) Ce reprezintă soluţiile ei?
6.33
Care dintre următoarele funcţionale sunt liniare:
a) f: ℝ3 ↦ ℝ, 5x2x6x2)x(f 3221 −+−= , x ∈ ℝ3.
b) f: ℝ4 ↦ ℝ, 4321 x2xx9x12)x(f −++−= , x ∈ ℝ4.
c) f: ℝ2 ↦ ℝ, 321 xx6)x(f −= , x ∈ ℝ2.
d) f: ℝ3 ↦ ℝ, 321 x9xx5)x(f +−= , x ∈ ℝ3.
Page 54
6.34
Fie f: ℝ5 ↦ ℝ, 54321 x12xx6x3x2)x(f ++++−= , x ∈ ℝ5.
a) Arătaţi că f este funcţională liniară.
b) Scrieţi matricea lui f în baza unitară.
6.35
Fie f: ℝ3 ↦ ℝ, 321 x9xx6)x(f +−= .
a) Arătaţi că f este funcţională liniară.
b) Scrieţi matricea lui f în baza canonică.
c) Scrieţi matricea lui f în baza B = }v,v,v{ 321 unde:
−−−
=
=
−=
111
v,101
v,112
v 321 .
6.36
Determinaţi natura sistemului de funcţionale liniare:
3213
3212
3211
xxx2)x(fxxx)x(fx6x2x3)x(f
−+=+−−=
++=, fi: ℝ3 ↦ ℝ, i = 1, 2, 3.
6.37
Care este legătura dintre următoarele funcţionale liniare:
214
213
212
211
xx)x(fx9x2)x(fxx6)x(fxx3)x(f
−−=+=−=+−=
, fi: ℝ2 ↦ ℝ, 4,1i = .
6.38
Care dintre următoarele funcţionale sunt biliniare:
a) f: ℝ3 x ℝ2 ↦ ℝ, 21321 x6yxyx2)y,x(f +−= b) f: ℝ2 x ℝ2 ↦ ℝ, 221211 yx14yx9yx3)y,x(f +−= . c) f: ℝ2 x ℝ3 ↦ ℝ, 12322
21 yx4yxyx)y,x(f +−=
Page 55
6.39
Fie funcţionala biliniară:
f: ℝ3 x ℝ3 ↦ ℝ, 23221231 yx2yx4yxyx3)y,x(f ++−= .
a) Aflaţi matricea ei A în baza canonică.
b) Aflaţi matricea ei B în baza B = }c,b,a{ unde:
−−=
−−
=
−
−=
110
c,011
b,101
a .
c) Care este legătura între A şi B?
6.40
Fie funcţionala biliniară:
f: ℝ2 x ℝ3↦ℝ, 11211231 yx2yx6yx5yx3)y,x(f −++= , x∈ℝ2, y∈ℝ3
a) Să se afle matricea A corespunzătoare bazelor canonice din ℝ2 respectiv ℝ3.
b) Să se afle matricea B corespunzătoare bazelor B = }a,a{ 21
din ℝ2 şi B1 = }b,b,b{ 321 din ℝ3 unde:
=
=
=
−
=
−=
110
b,101
b,011
b,23
a,12
a 32121
c) Care este legătura între A şi B?
Indicaţie
b) ( )3,2,1j
2,1ijibB=== unde ),b,a(fb jiji = , i=1,2; j=1,2,3.
Se obţine:
−−−=
27132218713
B .
c) Dacă C este matricea de trecere de la baza canonică din ℝ2 la
baza B iar C1 este matricea de trecere de la baza canonică din ℝ3 la B1, atunci: B = Ct
A C1.
6.41
Scrieţi matricea funcţionalei pătratice:
f: ℝ4 ↦ ℝ, 4324
2332
224231
21 xx5xxxx8x12xx9xx6x4)x,x(f +−+−++−= , x∈ℝ4.
Page 56
6.42
Fie funcţionala pătratică:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 3222
2131 xx6xxxx2)x,x(f −+−= .
Stabiliţi natura ei aducând-o la forma canonică.
6.43
Stabiliţi natura funcţionalei pătratice:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 322131 xxxx2xx6)x,x(f +−= .
6.44
Aduceţi la forma canonică şi stabiliţi natura următoarei funcţionale pătratice:
f: ℝ2 ↦ ℝ, 21xx4)x,x(f =
6.45
Fie funcţionala pătratică:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 3223
222131
21 xx2xx3xx6xx4ax)x,x(f −+−+−= , a∈ℝ.
Pentru ce valori ale lui a funcţionala este pozitiv definită? Dar negativ definită?
Page 57
1. Mulţimi convexe
1.1
Să se demonstreze că intersecţia unei familii de mulţimi convexe este o mulţime
convexă.
Rezolvare
Ştim că mulţimea nC ⊂ se numeşte convexă dacă pentru orice două puncte
CX,X 21 ∈ , segmentul care le uneşte este inclus în C. Altfel spus: dacă X1,X2 ∈ C atunci
CX)1(XX 21 ∈λ−+λ= unde ]1,0[∈λ .
Fie Iii }A{ ∈ o familie de mulţimi convexe şi fie iIiAA
∈= Ι .
Fie X1,X2 ∈ A. Rezultă că X1 ∈ Ai, X2 ∈ Ai (∀) i∈I.
Cum Ai este mulţime convexă, rezultă că Ii)(AX,X i21 ∈∀⊂ am notat cu 21 X,X
segmentul ce uneşte pe X1 cu X2). Rezultă că AAXX iIi
21 =⊂∈Ι deci A e o mulţime
convexă.
1.2
Care din mulţimile de mai jos sunt convexe?
a) ∈= )y,x{(X ℝ2/ }4yx1 22 ≤+≤
b) ∈= )y,x{(X ℝ2/ }9yx 22 =+
c) ∈= )y,x{(X ℝ2/ }0y,36y4x9 22 ≥≤+
OPTIMIZĂRI LINIARE
2
( ) ( )xfopt
∑∑= =
m
1i
n
1jijijxC
ℝ
Page 58
d) ∈= )y,x{(X ℝ2/ }0x,xy 2 ≥≥
e) ∈= )y,x{(X ℝ2/ }0y,0x,1xy ≤≤≤
Rezolvare
a) X este coroana circulară haşurată în graficul de mai jos:
Se vede că dacă am alege
punctele A,B ∈ X, segmentul
XAB ⊄ deci mulţimea X nu este
convexă.
b) Mulţimea X este formată din punctele de pe circumferinţa
cercului cu centrul în origine şi rază 3.
Unind punctele A, B de pe
circumferinţă, AB nu aparţine lui X
deci mulţi mea nu este convexă.
c) X este mulţimea haşurată de mai jos:
X este dată de intersecţia a două
mulţimi convexe: interiorul elipsei
19y
4x 22
=+ şi semiplanul y ≥ 0 deci este o mulţime convexă.
Se vede de asemenea că (∀) A,B∈X XAB ⊂⇒ .
d)
X este convexă deoarece este intersecţia a două mulţimi convexe: interiorul
parabolei y = x2 şi semiplanul x ≥ 0.
e) X nu este mulţime convexă după
cum reiese din unirea punctelor
A şi B.
y
x 0 A
B
A B
0 3 x
3 y
y
x
3
A B 0 2
y=x2
x
y
0
1/2
y
x A
B
1
2
0
Page 59
1.3
Să se arate că mulţimea:
∈= )y,x{(X ℝ2 }0y,0x,3yx,6y2x3/ ≥≥≤+≤− este convexă şi să i se determine
vârfurile.
Rezolvare
X apare ca intersecţia a 4 semiplane deci este o mulţime convexă.
Vârful A apare ca intersecţia dreptei (d1): 3x – 2y = 6 cu axa ox de ecuaţie y = 0. Avem
deci A (2,0).
Coordonatele lui B sunt date de soluţia sistemului:
=+=−
3yx6y2x3
Avem deci:
53,
512B .
)3,0(C3yx
0x)d()oy( 2 ⇒
=+=
⇒Ι .
Mai avem evident: O (0,0).
1.4
Să se arate că mulţimea soluţiilor unui sistem de inecuaţii liniare este convexă.
Rezolvare
Fie sistemul de inecuaţii liniare scris sub formă algebrică
( )
=
==≤==
n
2
1
m
2
1
n,1jm,1iji
x
xx
X,
b
bb
b,aA,bAXΜΜ
.
(d2) A
B
C
0 x
y
(d1)
Page 60
Notă
O relaţie cu ≥ se transformă în ≤ prin înmulţire cu (-1) iar o egalitate se transformă
în două inegalităţi de sens contrar. Mulţimea ∈= X{T ℝn }bAX/ ≤ se mai numeşte
tronson.
Fie X1, X2 ∈T. Avem: AX1 ≤ b, AX2 ≤ b.
Fie ]1,0[,X)1(XX 21 ∈λλ−+λ= .
Avem: bb)1(bXA)1(XAXA 21 =λ−+λ≤λ−+λ= deci X∈T.
Rezultă că tronsonul (mulţimea soluţiilor sistemului de inecuaţii liniare) este o mulţime
convexă.
2. Rezolvarea pe cale grafică a unei P.P.L. (problemă de programare liniară)
Să se rezolve următoarele P.P.L prin metoda grafică:
2.1
(max) f(x) = 4x1 + 7x2
0x4x4x
12x3x23xx
2,1
21
21
21≥
≤−≤+−≥−
Rezolvare Reprezentăm întâi grafic dreptele: (d1) x1 – x2 = -3, (d2) 2x1 + 3x2 = 12, (d3) x1 – 4x2 = 4. Poligonul convex al mulţimii soluţiilor posibile este mulţimea haşurată de mai jos:
;114,
1160B)d()d();0,4(A)ox()d( 3213
⇒⇒ ΙΙ
X1
X2
(d2)
A
B
CD
0 (d1)
(d3)
Page 61
)3,0(D)x0()d(;5
18,5
3C)d()d( 2121 ⇒
⇒ ΙΙ .
Maximul funcţiei de eficienţă f se află într-unul din vârfurile poligonului. Avem:
,11
268114,
1160f)B(f,16)0,4(f)A(f =
===
0)0(f,21)3,0(f)D(f,5
1385
18,53f)C(f ====
=
rezultă că (max) f5
138=
2.2 (min) f = 3x1 + 5x2
≥≤−≤+−
2x6x3x4xx2
2
21
21
0x1 ≥
Rezolvare
Mulţimea soluţiilor posibile este haşurată în graficul de mai jos obţinut după
reprezentarea dreptelor: (d1): -2x1 + x2 = 4,
(d2): x1 - 3x2 = 6, (d3): x2 = 2.
)4,0(C)x0()d();2,12(B)d()d(;)2,0(A)x0()d( 213213 ⇒⇒⇒ ΙΙΙ
Avem: f(A) = 10, f(B) = 46, f(C) = 20, deci: (min)f = 10.
2.3
(max) f = 4x1 + 10x2
≤−≤+≤+−
6x3x20x5x2
3xx
21
21
21 0x 2,1 ≥
X2
A B
C
0
(d1)
(d3)
X1
(d2)
Page 62
Rezolvare
Fie (d1): -x1 + x2 = 3, (d2): 2x1 + 5x2 = 20, (d3): x1 – 3x2 = 6.
Mulţimea soluţiilor posibile este poligonul convex haşurat de vârfuri:
o (0,0), A (6,0), ( )3,0D,726,
75C,
118,
1190B
.
Avem: f(0) = 0, f(A) = 24, f(B) = 40, f(C) = 40, f(D) = 30
Rezultă: (max) f = 40 şi este atins atât în vârful B cât şi în C.
Problema are optim multiplu şi orice punct de pe segmentul BC este o soluţie optimă.
2.4
(min) f = -2x1 + 3x2
≥+≤+
24x4x34x2x
21
21
0x 2,1 ≥
Rezolvare
(d1): x1 + 2x2 = 4, (d2): 3x1 + 4x2 = 24.
Observăm că mulţimea soluţiilor posibile este vidă deci problema nu are soluţie
(intersecţia mulţimilor haşurate de mai sus este mulţimea vidă).
A
CB
D
0
(d3) y
x
X2
X1
(d2)
0
(d2) (d1)
(d1)
Page 63
3. Algoritmul simplex. Metoda penalizării. Problema duală. Algoritmul dual-simplex.
3.1
Să se rezolve următoarea P.P.L.:
(max) f = 4x1 + 7x2
≤−≤+
−≥−
4x4x12x3x23xx
21
21
21
0x 2,1 ≥
Rezolvare
După ce înmulţim prima relaţie cu (-1), aducem P.P.L. la forma standard prin
adăugarea variabilelor de compensare y1, y2, y3.
32121 y0y0y0x7x4f(max) ⋅+⋅+⋅++= .
=+−=++=++−
4yx4x12yx3x23yxx
321
221
121
0y,0x 3,2,12,1 ≥≥ .
Observăm că matricea sistemului conţine matricea unitate de ordinul trei, deci putem
aplica algoritmul simplex (spunem că avem P.P.L. sub formă standard de lucru).
4 7 ↓ 0 0 0 Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 0θ
← a3
a4
a5
0
0
0
3
12
4
-1
2
1
3
- 4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3 : 1 = 3
12 : 3 = 4
-
j∆ =
fj Cj -fj
0
*
0
4
↓
0
7
0
0
0
0
0
0
a2
← a4
a5
7
0
0
3
3
16
-1
-3
1
0
0
1
-3
4
0
1
0
0
0
1
-
3/5
-
fj
21
*
-7
11
7
0
7
-7
0
0
0
0
1
5
Page 64
Întrucât toţi 5,1j,0j =≤∆ , am obţinut soluţia optimă:
5138f(max),
589y,0yy,5/18x,5/3x 32121 ======
(vezi 2.1 )
Deoarece 0y,0yy 321 ≠== rezultă că primele două relaţii sunt egalităţi iar a treia este
inegalitate strictă.
3.2
(max) f = 4x1 + 10x2
≤−≤+≤+−
6x3x20x5x2
3xx
21
21
21
0x 2,1 ≥
Rezolvare
Forma standard este: (max) f = 4x1 + 10x2
=+−=++=++−
6yx3x20yx5x2
3yxx
321
221
121
0y0x 3,2,12,1 ≥≥ .
Notă
Variabilele de compensare 3,2,1i,0yi =≥ , capătă în funcţia de eficienţă f
coeficienţii zero.
j∆
a2
a1
a5
7
4
0
18/5
3/5
89/5
0
1
0
1
0
0
2/5
-3/5
11/5
1/5
1/5
3/5
0
0
1
fj
j∆
138/5
*
4
0
7
0
2/5
-2/5
11/5
-11/5
0
0
Page 65
În iteraţia a treia s-a obţinut soluţia optimă:
==
7/26x7/5x
:X2
11 .
Deoarece am găsit 03 =∆ , vectorul a3 nefiind în bază, algoritmul s-a continuat şi am
obţinut încă o soluţie optimă:
=
=
11/8x1190x
:X2
12 .
Problema are soluţie multiplă dată de relaţia:
]1,0[,X)1(XX 21 ∈λλ−+λ= .
şi (max) f = 40. (vezi 2.3 )
4 ↓ 10 0 0 0 Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 0θ
← a3
a4
a5
0
0
0
3
20
6
-1
2
1
5
-3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
24
-
j∆ =
fj Cj -fj
0
*
0
↓ 4
0
10
0
0
0
0
0
0
a2
← a4
a5
10
0
0
3
5
15
-1
-2
1
0
0
1
-5
3
0
1
0
0
0
1
-
5/7
-
j∆ =
fj
Cj -fj
30
*
-10
14
10
0
10
↓-10
0
0
0
0
a2
a1
←a5
10
4
0
26/7
5/7
115/7
0
1
0
1
0
0
2/7
-5/7
1/7
1/7
2/7
0
0
1
13
-
115/11
fj
j∆
40
*
4
0
10
0
0
0
2
-2
0
0
a2
a1
a3
10
4
0
8/11
90/11
115/11
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1/11
3/11
2/11
-2/11
5/11
7/11
fj
j∆
40
*
4
0
10
0
0
0
2
-2
0
0
1
7
11/7
Page 66
3.3
(min) f = -2x1 + 3x2
≥+≤+
24x4x34x2x
21
21
0x 2,1 ≥
Rezolvare
Prin introducerea variabilelor de compensare 2,1i,0yi =≥ , restricţiile devin:
=−+=++
24yx4x34yx2x
221
121 .
Deoarece lipseşte al doilea vector unitar, la restricţia a doua adăugăm o variabilă artificială
(de penalizare) z1 care în funcţia f capătă coeficientul λ .
Avem: (min) f = 121 zx3x2 λ++− .
=+−+=++
24zyx4x34yx2x
1221
121
0z,0y,0x 12,12,1 ≥≥≥
-2 ↓ 3 0 0 λ Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 0θ
← a3
a5
0
λ
4
24
1
3
4
1
0
0
-1
0
1
2
6
j∆
fj = fj - cj
24λ
*
3λ
↓ 3λ +2
4λ
4λ -3
0
0
-λ
-λ
λ
0
←a2
a5
3
λ
2
16
1
1
0
1/2
-2
0
-1
0
1
4
16
fj
j∆
16λ +6
*
λ +23
λ +27
3
0
-2λ +23
-2λ +23
-λ
-λ
λ
0
a1
a5
-2
λ
4
12
1
0
2
-2
1
-3
0
-1
0
1
fj
j∆
12λ -8
*
-2
0
-2λ -4
-2λ -7
-3λ -2
-3λ -2
-λ
-λ
λ
0
2
1/2
Page 67
Întrucât toţi 5,1j,0j =≤∆ am obţinut iteraţia optimă.
Deoarece în ultima bază a rămas vectorul de penalizare a5 cu valoarea 012 ≠ pe coloana
lui XB (adică z1 = 12), P.P.L. nu are soluţie (vezi 2.4 ).
3.4
O întreprindere urmăreşte minimizarea cheltuielilor totale de producţie la patru
produse P1, P2, P3, P4 ţinând cont de consumurile specifice la două materii prime
principale M1, M2.
Datele sunt furnizate de următorul tabel: Produse
Materii prime P1 P2 P3 P4 Disponibil
M1
M2
6 4 8 4
0 2 4 6
600
160
Cheltuieli unitare de
producţie 10 8 4 8
Planul la cele patru produse este de 100 unităţi. Datorită necesităţilor interne ale
întreprinderii, produsul P3 trebuie să fie de cel puţin 20 unităţi. Cum trebuie organizată
producţia întreprinderii astfel încât planul să fie îndeplinit sau depăşit iar consumul total de
materii prime să fie conform disponibilului existent?
Rezolvare
Fie xi cantitatea care se produce din 4,1i,Pi = . Modelul matematic al P.P.L. este:
(min) f = 10x1 + 8x2 + 4x3 + 8x4
≥≥+++≤++≤+++
20x100xxxx160x6x4x2600x4x8x4x6
3
4321
432
4321
4,1i0xi =≥
Primele două restricţii se referă la materiile prime iar ultimele două sunt restricţii de plan.
Pentru a micşora numărul de restricţii, putem face translaţia: 20xt 33 −= adică
20tx 33 += .
Page 68
Observăm de asemenea că putem simplifica cu 2 primele două restricţii. Obţinem
următoarea P.P.L.:
(min) f = 10x1 + 8x2 +4t3 +8x4 +80
≥+++≤++≤+++
80xtxx40x3t2x
220x2t4x2x3
4321
432
4321
0x,0t,0x,0x 4321 ≥≥≥≥
Introducând variabilele de compensare yi≥0, i = 1, 2, 3 şi variabila de penalizare z1≥0
obţinem:
(min) f = 10x1 + 8x2 + 4t3 + 8x4 + 1zλ
=+−+++=+++=++++
80zyxtxx40yx3t2x
220yx2t4x2x3
134321
2432
14321
0z,3,2,1i0y,0t,0x,0x,0x 1i3421 ≥=≥≥≥≥≥
10 ↓8 4 8 0 0 0 λ
Baza CB XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
0θ
a5
←a6
a8
0
0
λ
220
40
80
3
0
1
2
1
4
2
1
2
2
3
1
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
1
110
40
80
j∆ =
fj
fj – cj
80λ
*
λ
↓λ -10
λ
λ -8
λ
λ -4
λ
λ -8
0
0
0
0
-λ
-λ
λ
0
a5
a2
←a8
0
8
λ
140
40
40
3
0
0
1
0
0
2
-1
-4
3
-2
1
0
0
-2
1
-1
0
0
-1
0
0
1
140/3
-
40
fj
j∆
40λ +320
*
λ
λ -10
8
0
16-λ
12-λ
24-2λ
16-2λ
0
0
8-λ
8-λ
-λ
-λ
λ
0
←a5
a2
a1
0
8
10
20
40
40
0
0
1
0
1
0
2
-1
2
3
-2
1
0
0
1
1
-1
3
0
-1
-3
0
1
20/3
20
-
fj
j∆
720
*
10
0
8
0
6
2
4
-4
0
0
-2
-2
-10
-10
10
10-λ
1
1
3
Page 69
a3
a2
a1
4
8
10
20/3
80/3
140/3
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2/3
5/3
-4/3
1/3
-2/3
1/3
1/3
1/3
-2/3
1
-2
0
-1
2
0
yj
j∆
2120/3
*
10
0
8
0
4
0
8/3
-16/3
-2/3
-2/3
-8/3
-8/3
-12
-12
12
12-λ
Soluţia optimă este:
,3
802032020tx,
380x,
3140x 3321 =+=+===
0zyyy,0x 13214 ===== şi 3
2360803
2120f(min) =+=
3.5
Două întreprinderi A şi B trebuie să primească un minim de investiţii şi anume:
60 u.m. întreprinderea A
120 u.m. întreprinderea B.
Se ştie că:
fondul total de investiţii este 220 u.m.
producţia globală la 1 u.m. investiţii este 1,2 respectiv 1,4 u.m.
cheltuielile materiale la 1 u.m. producţie globală sunt
0,4 respectiv 0,5 u.m.
cele două întreprinderi trebuie să obţină o producţie globală de cel puţin 265
u.m.
Cum trebuie repartizat fondul de investiţii pe cele două întreprinderi astfel încât cheltuielile
materiale totale să fie minime?
Rezolvare
Fie xi fondul de investiţii ce trebuie repartizat întreprinderii
i, i = 1,2. Modelul matematic al problemei este:
21 x4,15,0x2,14,0)x(f(min) ⋅+⋅=
≥≥≥+≤+
120x60x
265x4,1x2,1220xx
2
1
21
21
0x 2,1 ≥
Putem face transformările: 0120xt,060xt 2211 ≥−=≥−= .
Page 70
adică: 120tx,60tx 2211 +=+= .
P.P.L. devine:
21 t7,0t48,0g(min) +=
≥+≤+
⇒
≥+≤+
125t7t640tt
25t4,1t2,140tt
21
21
21
21
0t 2,1 ≥ 0t 2,1 ≥
Introducem variabilele de compensare şi de penalizare:
121 zt7,0t48,0g(min) λ++=
=+−+=++
125zyt7t640ytt
1221
121
0z,0y,0t 12,12,1 ≥≥≥
Soluţia optimă este:
0t,6/125t 21 == adică: .m.u8,80606
125x1 ≅+= x2 = 120 u.m. şi (min)g = 10.
Fondul de investiţii se repartizează astfel: întreprinderea A primeşte 80,8 u.m., iar B
primeşte 120 u.m. Cheltuielile materiale minime necesare realizării producţiei globale de
265 u.m. se ridică la:
0,48 0,7 0 0 λ Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 0θ
a3
←a5
0
λ
40
125
1
6
1
1
0
0
-1
0
1
40
125/7
j∆ =
fj fj- Cj
125λ
*
6λ
↓ 6λ -0,48
7λ
7λ -0,7
0
0;
-λ
-λ
λ
0
a3
←a2
0
0,7
155/7
125/7
1/7
0
1
1
0
1/7
-1/7
-1/7
1/7
155
125/6
fj
j∆
12,5
*
0,6
0,12
0,7
0
0
0
-0,1
-0,1
0,1
0,1-λ
a3
a1
0
0,48
115/6
125/6
0
1
-1/6
7/6
1
0
1/6
-1/6
-1/6
1/6
fj
j∆
10
*
0,48
0;
0,56
-0,14
0
0
-0,08 -0,08
0,08
0,08-λ
7
6/7
Page 71
80,122101207,06048,0 =+⋅+⋅ u.m.
3.6
a) Să se rezolve următoarea P.P.L.
(min) f = x1 + 3x2 -2x3
=++−≥++
2x4x3x3xxx2
321
321
3,2,1i,0xi =≥
b) Aflaţi coordonatele vectorilor 3,2,1i,ai = în baza optimă.
Rezolvare
a) 21221 zzx2x3xf(min) λ+λ+−+=
=+++−=+−++
2zx4x3x3zyxxx2
2321
11321
0z;0y;3,2,1i,0x 2,11i ≥≥=≥
1 3 ↓-2 0 λ λ Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 a6 0θ
a5
←a6
λλ
3
2
2
-1
1
3
1
-1
0
1
0
0
1
3
1/2
j∆ = fj
fj - Cj
5λ
*
λ
↓ λ -1;
4λ ;
4λ -3
5λ
5λ +2
-λ ;
-λ
λ
0
λ
0
←a5
a3
λ
-2
5/2
1/2
-1/4
1/4
3/4
0
1
-1
0
1
0
-1/4
1/4
10/9
-
fj
j∆
2
25 −λ
*
429 +λ
429 −λ
46−λ
4
18−λ
-2
0
-λ
-λ
λ
0
42−λ−
425 −λ−
a1
a3
1
-2
10/9
7/9
1
0
1/9
7/9
0
1
-4/9
-1/9
4/9
1/9
-1/9
2/9
fj
j∆
-4/9
*
1
0;
-13/9
9
40−
-2
0
-2/9
-2/9
2/9
92
-λ
35
−
λ−−3
5
4
9/4
Page 72
Soluţia optimă: 0zz;0y;97x,0x,
910x 211321 ======
94f(min) −= .
Deoarece y1 = 0 rezultă că pentru soluţia optimă prima relaţie este satisfăcută cu egal.
b) Varianta 1:
Baza optimă este B = {a1, a3}. Coordonatele vectorilor ai, i = 1,2,3 în B (reamintim că ai
este vectorul coloană al necunoscutei xi din
sistemul de restricţii) sunt coloanele lui ai din iteraţia optimă, adică:
=
=
=
10
a,9/79/1
a,01
a B3B2B1 .
Varianta2:
Fie
−
=4112
B matricea bazei B = {a1, a3}.
Ştim că B-1 se află în iteraţia optimă sub vectorii unitari din baza iniţială, adică sub a5, a6.
Avem deci:
−=−
2114
91B 1 .
Avem: a1B
=
−
−== −
01
12
2114
91aB 1
1 .
a2B
=
−== −
71
91
31
2114
91aB 2
1 .
a3B
=
−== −
10
41
2114
91aB 3
1 .
3.7
Să se rezolve următoarea P.P.L.:
321 x4x2xf(max) +−=
Page 73
≤++−=+−≥−+
1xx2x3x2xx2xxx2
321
321
321
3,2,1i0xi =≥ .
Rezolvare
Transformăm inegalităţile în egalităţi:
=+++−=+−=−−+
1yxx2x3x2xx2yxxx2
2321
321
1321
Deoarece lipsesc primul şi al doilea vectori unitari, adăugăm variabilele de penalizare z1
respectiv z2; ele capătă în f coeficientul λ− . Problema devine:
21321 zzx4x2xf(max) λ−λ−+−=
=+++−=++−=+−−+
1yxx2x3zx2xx2zyxxx2
2321
2321
11321
0z,0y,0x 2,12,13,2,1 ≥≥≥ .
↓1 -2 4 0 0 -λ -λ
Baza CB XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
0θ
←a6
a7
a5
-λ
-λ
0
2
3
1
1
-1
1
-1
2
-1
2
1
-1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
3
-
j∆ =Cj
fj
– fj
-5λ
*
-3λ
3λ +1
0
-2
-λ
↓λ +4
λ
-λ
0
0
-λ
0
-λ
0
a1
←a7
a5
1
-λ
0
1
2
2
1
0
0
1/2
-3/2
5/2
-1/2
5/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
0
0
1
1/2
-1/2
1/2
0
1
0
-
4/5
4
fj
j∆
1-2λ
*
1
0
2
31 λ+
2
35 λ−−
2
51 λ−−
2
59 λ+
2
1 λ−−
2
1 λ+
0
0
2
1 λ+
2
13 −λ−
-λ
0
a1
a3
←a5
1
4
0
7/5
4/5
8/5
1
0
0
1/5
-3/5
14/5
0
1
0
-2/5
1/5
-3/5
0
0
1
2/5
-1/5
3/5
1/5
2/5
-1/5
7
-
4/7
2
Page 74
fj
j∆
23/5
*
1
0
-11/5
1/5
4
0
2/5
-2/5
0
0
-2/5
5
2+λ−
9/5
5
9−λ−
a1
a3
a2
1
4
-2
9/7
8/7
4/7
1
0
0
0
0
1
0
1
0
-5/14
1/14
-3/14
-1/14
3/14
5/14
5/14
-1/14
3/14
3/14
5/14
-1/14
fj
j∆
33/7
*
1
0
-2
0
4
0
5/14
-5/14
1/14
-1/14
-5/14
14
5+λ−
25/14
14
25−λ−
Soluţia optimă: ;0yy;7/8x,7/4x,7/9x 21321 =====
733f(max);0zz 21 === .
Notă
Toate relaţiile sunt satisfăcute cu egal pentru soluţia optimă.
3.8
Se face un amestec din ingredientele I1, I2, I3, I4 cu scopul obţinerii unui produs finit
în cantitate de cel puţin 1000t. Ingredientele conţin substanţele nutritive S1, S2, iar
amestecul trebuie să conţină cel puţin 20 000gr. din S1 şi 24 000gr. din S2.
Datele sunt prezentate în următorul tabel:
Ingrediente
Substanţe Conţinutul în grame pe tonă I1 I2 I3 I4
Necesar grame
S1
S2
30 20 10 20
10 30 20 10
20 000
24 000
Cost unitar 6 4 5 3
Cum trebuie făcut amestecul pentru a avea un cost total minim?
Rezolvare
Notând cu xi cantitatea din ingredientul 4,1i,Ii = care intră în amestec, modelul
matematic este:
(min) f = 6x1 + 4x2 + 5x3 +3x4
Page 75
≥+++≥+++≥+++
1000xxxx24000x10x20x30x1020000x20x10x20x30
4321
4321
4321
4,1i,0xi =≥
Rezolvare
Împărţind cu 10 primele două relaţii, restricţiile devin:
≥+++≥+++≥+++
1000xxxx2400xx2x3x2000x2xx2x3
4321
4321
4321
4,1i,0xi =≥
Dacă am aplica algoritmul Dimplex primal, ar trebui să extindem problema cu 3 variabile
de compensare şi încă 3 de penalizare.
Vom rezolva problema duală:
(max) g = 2000u1 + 2400u2 + 1000u3
⇒
≤++≤++≤++≤++
3uuu25uu2u4uu3u26uuu3
321
321
321
321
3,2,1i,0ui =≥
=+++=+++=+++=+++
⇒
3yuuu25yuu2u4yuu3u26yuuu3
4321
3321
2321
1321
4,3,2,1j,0y;3,1i,0u ji =≥=≥
2000 ↓2400 1000 0 0 0 0
Baza CB UB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
0θ
a4
←a5
a6
a7
0
0
0
0
6
4
5
3
3
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
6
4/3
5/2
3
j∆ =
Cj – gj
0
↓2000
2400
1000
0
0
0
0
3
Page 76
a4
a2
a6
←a7
0
2400
0
0
14/3
4/3
7/3
5/3
7/3
2/3
-1/3
4/3
0
1
0
0
2/3
1/3
1/3
2/3
1
0
0
0
-1/3
1/3
-2/3
-1/3
0
0
1
0
0
0
0
1
2
2
-
5/4
gj
j∆
3200
*
1600
400
2400
0
800
↓200
0
0
800
-800
0
0
0
0
a4
a2
a6
←a1
0
2400
0
2000
7/4
1/2
11/4
5/4
0
0
0
1
0
1
0
0
-1/2
0
1/2
1
0
0
0
1/4
1/2
-3/4
-1/4
0
0
1
0
-7/4
-1/2
1/4
3/4
-
-
11/2
5/2
gj
j∆
3700
*
2000
0
2400
0
1000
0
0
0
700
-700
0
0
300
-300
a4
a2
a6
a3
0
2400
0
1000
3
1/2
3/2
5/2
1
0
-1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1/2
-1/2
1/2
0
0
1
0
-1
-1/2
-1/2
3/2
gj
j∆
3700
*
2000
0
2400
0
1000
0
0
0
700
-700
0
0
300
-300
Problema duală are soluţie multiplă.
Citirea soluţiilor Problema duală are soluţiile optime:
===
===
2/5u2/1u0u
:U,0u2/1u4/5u
:U
3
2
1
2
3
2
1
1 .
Soluţia optimă sub formă generală este: [ ]1,0,U)1(UU 21 ∈λλ−+λ=
Soluţia optimă a problemei primale se află în iteraţia optimă pe linia lui gj în dreptul
vectorilor de compensare:
====
300x0x
700x0x
:X
4
3
2
1
Avem desigur (max) g = (min) f = 3700.
1/2
Page 77
3.9
Să se arate că următoarea P.P.L.: nu are soluţii posibile
(min) f = x1 + 3x2 +5x3
≤++≥−−−
10x2xx20xxx2
321
321
3,2,1i0xi =≥
Rezolvare
Varianta 1:
Din prima inecuaţie a sistemului de restricţii şi din condiţia 3,2,1i,0xi =≥ ar rezulta
020 ≤ deci sistemul este incompatibil.
Varianta 2:
Înmulţind prima relaţie cu (-1) şi adăugând variabilele de compensare 2,1i,yi = , obţinem
P.P.L.:
(min) f = x1 + 3x2 + 5x3
=+++−=+++
10yx2xx20yxxx2
2321
1321
0y,0x 2,13,2,1 ≥≥
Având toţi 5,1j,0j =≤∆ şi o componentă negativă pe coloana soluţiei XB, trebuie să
aplicăm algoritmul dual-simplex. Trebuie să scoatem din bază vectorul a4. Pentru a găsi
vectorul care intră în bază, urmărim pe linia vectorului a4 componentele negative, facem
rapoartele dintre j∆ corespunzătoare şi aceste elemente şi alegem raportul minim. Cum
pe linia lui a4 nu există elemente negative, rezultă că P.P.L. nu are soluţie.
1 3 5 0 0 Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 0θ
a4
a5
0
0
-20
10
2
1
1
1
1
2
1
0
0
1
j∆ =fj
fj - Cj
0
*
0
-1
0
-3
0
-5
0
0
0
0
Page 78
Varianta 3:
Aducem P.P.L. la forma standard de lucru:
1321 zx5x3xf(min) λ+++=
=+++=+−−−−
10yx2xx20zyxxx2
2321
11321
0z,0y,0x 12,13,2,1 ≥≥≥
Întrucât toţi 6,1j,0j =≤∆ , algoritmul simplex nu se poate continua. Deoarece în baza
optimă a rămas vectorul de penalizare a6 cu 020z1 ≠= , P.P.L. nu are soluţie.
3.10
Pentru întocmirea unei diete, se pot folosi alimentele A1,…,A5 care conţin vitaminele
V1, V2, V3. Să se alcătuiască dieta optimă (cu cel mai mic preţ de cost) care să conţină 20
unităţi din V1, cel puţin 15 unităţi din V2 şi cel puţin 20 unităţi din V3. Costul unitar al
alimentelor şi conţinuturile lor specifice în unităţi de vitamine sunt date mai jos:
AlimenteVitamine
A1 A2 A3 A4 A5
V1 V2 V3
1 0 1
2 1 1
1 0 0
3 3 2
0 1 2
Preţ unitar 2 8 4 70 10
Rezolvare
Fie ix cantitatea din alimentul iA , 5,1i = care intră în alcătuirea dietei. Obţinem
următorul model matematic:
(min) f = 2x1 + 8x2 +4x3 +70x4 + 10x5
≥+++≥++=+++
20x2x2xx15xx3x20x3xx2x
5421
542
4321
1 3 5 0 0 λ Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 a6 0θ
a6
a5
λ
0
20
10
-2
1
-1
1
-1
2
-1
0
0
1
1
0
j∆ =fj
fj - Cj
20λ
*
-2λ
-2λ -1
-λ
-λ -3
-λ
-λ -5
-λ
-λ
0
0
λ
0
Page 79
5,1i,0xi =≥
Putem transforma egalitatea în două relaţii de sens contrar:
≥+++≥++≥+++≤+++
20x2x2xx15xx3x20x3xx2x20x3xx2x
5421
542
4321
4321
5,1i,0xi =≥
Înmulţim ultimele trei inecuaţii cu (-1), introducem variabilele 0yi ≥ , 4,1i = şi aplicăm
algoritmul dual-simplex următoarei P.P.L.:
(min) f = 2x1 + 8x2 + 4x3 + 70x4 + 10x5
−=+−−−−−=+−−−−=+−−−−
=++++
20yx2x2xx15yxx3x20yx3xx2x20yx3xx2x
45421
3542
24321
14321
5,1i,0xi =≥ ;
4,1j,0y j =≥ .
2 8 4 70 10 0 0 0 0
Baza CB XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 0θ
a6
←a7 a8 a9
0 0 0 0
20 -20 -15 -20
1 -1 0 -1
2 -2 -1 -1
1 -1 0 0
3 -3 -3 -2
0 0 -1 -2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
j∆
=fj-cj 0
-2
-8
-4
-70
-10
0
0
0
0
23
70,14,
28,
12min =
−−
−−
−−
−−
a6 a1 ←a8 a9
0 2 0 0
0 20 -15 0
0 1 0 0
0 2 -1 1
0 1 0 1
0 3 -3 1
0 0 -1 -2
1 0 0 0
1-1 0-1
0 0 1 0
0 0 0 1
j∆ fj
= fj -cj 40 *
2 0
4 -4
2 -2
6 -64
0 -10
0 0
-2-2
0 0
0 0
41
10,
364
,14
min =−
−
−
−
−
−
a6 a1 a2 ←a9
0 2 8 0
0 -10 15 -15
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 -3 3 -2
0 -2 1 -3
1 0 0 0
1 -10 -1
0 2 -1 1
0 0 0 1
fj
j∆ 100
*
2
0
8
0
2
-2
18
-52
4
-6
0
0
-2
-2
-4
-4
0
0 2
12
,36
,2
52min =
−
−
−
−
−
−
Page 80
2 8 4 70 10 0 0 0 0
Baza CB XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
0θ
←a6
a1
a2
a7
0
2
8
0
-15
5
15
15
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
-1
-2
-1
3
2
-3
1
1
3
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
-1
-1
1
-1
0
-1
fj
j∆
130
*
2
0
8
0
0
-4
22
-48
10
0
0
0
0
0
-6
-6
-2
-2
03
0,
2
48min =
−−
−
a5
a1
a2
a7
0
2
8
0
5
0
10
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1/3
1/3
1/3
0
2/3
-5/3
7/3
0
1
0
0
0
1/3
1/3
1/3
1
0
0
0
1
1/3
4/3
2/3
0
1/3
2/3
1/3
0
fj
j∆
130
*
2
0
8
0
0
-4
22
-48
10
0
0
0
0
0
-6
-6
-2
-2
Soluţia optimă:
130f(min);4,1i,0y,5x,0xx,10x,0x i54321 ========
Rezultă că dacă se folosesc 10 unităţi din alimentul A2 şi 5 unităţi din A5, dieta se
realizează la un preţ de cost minim în valoare de
130 u.m.
4. Reoptimizări
4.1
Fie P.P.L.:
(min) f = 10x1 + 5x2 + x3
≥−+≥−−≥++
4x2x3x1xxx25xxx
321
321
321
3,1i,0xi =≥
a) Aflaţi soluţia optimă.
b) Cum se modifică soluţia optimă pentru
=
361
b~ ?
Page 81
c) Cum se modifică soluţia optimă pentru ( )1,2,3c~ = ?
d) Cum se modifică soluţia optimă pentru ( )4,2,1c~ = ?
Rezolvare
a) Pentru a aplica algoritmul simplex ar trebui să introducem 3 varia-bile de compensare
şi 3 de penalizare deci problema s-ar extinde cu 6 variabile. Este mai simplu să rezolvăm problema duală:
(max) g = 5u1 + u2 + 4u3
⇒
≤−−≤+−≤++
1u2uu5u3uu
10uu2u
321
321
321
3,2,1i,0ui =≥
=+−−=++−=+++
⇒1yu2uu5yu3uu
10yuu2u
3321
2321
1321
3,2,1j,0y;3,2,1i,0u ji =≥=≥
5 1 4 0 0 0 Baza CB UB a1 a2 a3 a4 a5 a6
0θ
a4 a5 ←a6
0 0 0
10 5 1
1 1 1
2 -1 -1
1 3 -2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
10 5 1
j∆ =Cj-gj
0
5
1
4
0
0
0
a4 ←a5 a1
0 0 5
9 4 1
0 0 1
3 0 -1
3 5 -2
1 0 0
0 1 0
-1 -1 1
3 4/5 -
gj
j∆
5
*
5
0
-5
6
-10
14
0
0
0
0
5
-5
←a4 a3 a1
0 4 5
33/5 4/5
13/5
0 0 1
3 0 -1
0 1 0
1 0 0
-3/5 1/5 2/5
-2/5 -1/5 3/5
11/5 - -
gj
j∆
81/5
*
5
0
-5
6
4
0
0
0
14/5
-14/5
11/5
-11/5
a2 a3 a1
1 4 5
11/5 4/5
24/5
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1/3 0
1/3
-1/5 1/5 1/5
-2/15 -1/5 7/15
gj
j∆
147/5 *
5 0
1 0
4 0
2 -2
8/5 -8/5
7/5 -7/5
Page 82
Soluţia optimă a problemei duale: ,54u,
511u,
524u 321 === 0yyy 321 === .
Soluţia optimă a problemei primale se află în iteraţia optimă pe linia lui gj în dreptul
vectorilor de compensare:
x1 = 2, x2 = 8/5, x3 =7/5. Desigur: (min) f = (max) g = 147/5.
b) Reoptimizarea lui b din problema primală, induce reoptimizarea lui C în problema
duală; vom copia iteraţia optimă a dualei unde modificăm: coeficienţii de deasupra
tabelului, coloana CB, gj, j∆ .
Problema duală are soluţie optimă multiplă.
Fie:
===
=
===
=0u5u0u
U,7/20u7/25u0u
U
3
2
1
2
3
2
1
1 două soluţii optime.
Soluţia optimă sub formă generală este: 21 U)1(UU λ−+λ= , ]1,0[∈λ şi (max) g = 30.
Soluţia optimă a problemei primale este
===
=0x0x3x
X
3
2
1
şi (min) f = 30.
c) Modificarea vectorului C din problema primală este echivalentă cu modificarea lui b din
problema duală.
1 6 3 0 0 0 Baza BC~ UB a1 a2 a3 a4 a5 a6
0θ
a2 a2 ←a1
6 3 1
11/5 4/5
24/5
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1/3 0
1/3
-1/5 1/5 1/5
-2/15 -3/15 7/15
- -
72/7
j~∆ = jC~
g~ - g~
102/5
*
1
0
6
0
4
0
7/3
-7/3
-2/5
2/5
-14/15
14/15
a2 ←a3 a6
6 3 0
25/7 20/7 72/7
2/7 3/7 15/7
1 0 0
0 1 0
3/7 1/7 5/7
-1/7 2/7 3/7
0 0 1
- 10 24
g~
j~∆
30
*
3
-2
6
0
3
0
3
-3
0
0
0
0
a2 a5 a6
6 0 0
5 10 6
1/2 3/2 3/2
1 0 0
1/2 7/2 -3/2
1/2 1/2 1/2
0 1 0
0 0 1
g~
j~∆
30
*
3
-2
6
0
3
0
3
-3
0
0
0
0
Page 83
Fie B matricea bazei optime din problema duală. Ştim că B-1 se află în iteraţia optimă
sub vectorii care au format prima bază unitară.
Deci:
−−−
=−
735330235
151B 1 .
Din: b~BU~ 1B
−= rezultă:
=
⋅
−−−
=28
37
151
123
735330235
151U~B .
Cum toate componentele lui BU sunt pozitive, rezultă că soluţia optimă a problemei duale
este: 51u,
157u,
1528u 321 === şi
553
514
157
15285g(max) =++⋅= .
Soluţia optimă a primalei rămâne:
57x,
58x,2x 321 === şi
553g(max)f(min) == .
d) Avem în problema duală:
=
421
b~ deci
−−
=
−−−
=⇒= −
1323
51
421
735330235
151U~b~BU~ B
1B .
Întrucât atunci când avem o reoptimizare pentru b se modifică doar soluţia de bază iar
diferenţele j∆ rămân neschimbate, rezultă că în acest caz avem soluţie dual-realizabilă şi
aplicăm algoritmul dual simplex. Vom copia ultima iteraţie a algoritmului din cazul a) în
care înlocuim coloana lui BB U~cuU .
5 1 4 0 0 0 Baza CB UB a1 a2 a3 a4 a5 a6
0θ
←a2 a3 a1
1 4 5
-3/5 -2/5 13/5
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1/3 0
1/3
-1/5 1/5 1/5
-2/15-3/157/15
j∆ =Cj gj -gj
54/5
* 5
0 1
0 4
0 2
-2 8/5
-8/5 7/5
-7/5
8
15/2
5/7,
5/1
5/8min
=
=−
−
−
−
a5 ←a3 a1
0 4 5
3 -1 2
0 0 1
-5 1 1
0 1 0
-5/3 1/3 2/3
1 0 0
2/3 -1/3 1/3
gj
j∆
6
*
5
0
9
-8
4
0
14/3
-14/3
0
0
1/3
-1/3
Page 84
Soluţia optimă a problemei duale: u1 = 1, u2 = u3 = 0, (max) g = 5. Soluţia optimă a
problemei primale: x1 = 5, x2 = x3 = 0, (min) f = 5.
4.2
O unitate economică fabrică produsele P1, P2, P3, utilizând resursele: forţa de
muncă (F.M.), mijloace de muncă (M.M.) şi materii prime (M.P.). În tabelul de mai jos se
dau consumurile specifice, cantităţile disponibile şi preţurile unitare de vânzare ale
produselor:
Produse Resurse
P1 P2 P3 Disponibil (unităţi fizice)
F.M.
M.M.
M.P.
1 3 4
2 5 1
4 1 2
15
10
25
Preţ vânzare
(u. m.) 3 2 6
Se ştie că forţa de muncă trebuie utilizată în întregime şi că volumul producţiei planificate
al produsului P2 trebuie să fie cel puţin egal cu
o unitate fizică.
a) Să se scrie modelul matematic al P.P.L. şi să se aducă la forma standard de lucru.
b) Să se determine soluţia corespunzătoare bazei
B = {a3, a1, a5, a2} şi să se stabilească natura ei.
c) Care este soluţia optimă pentru )3,1,5(C~ = .
d) Care este soluţia optimă pentru
=
2301520
b~
a5 a6 a1
0 0 5
1 3 1
0 0 1
-3 -3 2
2 -3 1
-1 -1 1
1 0 0
0 1 0
gj
j∆
5
*
5
0
10
-9
5
-1
5
-5
0
0
0
0
Page 85
Rezolvare
a) (max) f = 3x1 + 2x2 + 6x3
≥≤++≤++=++
1x25x2xx410xx5x215x4x3x
2
321
321
321
3,1i,0xi =≥
A aduce P.P.L. la forma standard de lucru, înseamnă să avem toate restricţiile cu „=” şi
matricea unitate de ordinul 4.
Avem: 21321 zzx6x2x3f(max) λ−λ−++= .
=+−=+++=+++=+++
1zyx25yx2xx410yxx5x215zx4x3x
232
2321
1321
1321
0z,z;3,2,1j,0y;3,2,1i,0x 21ji ≥=≥=≥
b) Fie B matricea bazei B. Avem:
−−−−−
=⇒
= −
700063114017041
1012
71B
1000114250213014
B 1
Soluţia corespunzătoare acestei baze este:
bBX 1B
−= adică:
=
⋅
−−−−−
=
114
7/87/19
1251015
700063714017041
1012
71XB
Soluţia XB având toate componentele ≥ 0 este o soluţie realizabilă de bază. Pentru a
vedea dacă este soluţie optimă trebuie să întocmim tabelul simplex corespunzător. Pentru
aceasta aflăm coordonatele tuturor vectorilor ai în baza B folosind formula
aiB = B-1 ai, 8,1i = .
Obţinem tabelul simplex:
Baza CB XB 3 2 6 0 0 0 λ− λ− 0θ
Page 86
Întrucât toţi 8,1j,0j =≤∆ , am obţinut chiar soluţia optimă:
x1 = 8/7, x2 = 1, x3 = 19/7, y1 = y3 = 0, y2 = 14, z1 = z2 = 0 şi 7
152f(max) =
c) Avem de făcut o reoptimizare în care vectorul C = (3, 2, 6) devine )3,1,5(C~ = . Vom
copia iteraţia optimă a problemei iniţiale în care modificăm coeficienţii Cj de deasupra
tabelului, vectorul CB, cantităţile fj şi 8,1j,j =∆ .
Întrucât toţi 8,1j,0~j =≤∆ , rezultă că soluţia optimă a problemei iniţiale este optimă şi
pentru noua problemă. Se modifică doar optimul funcţiei şi anume 7
104f(max) = .
d) Calculăm: b~BX~ 1B
−= şi obţinem:
=
−−−−−
=
218
7/67/23
2301520
700063714017041
1012
71X~B
Întrucât toate componentele lui BX~ sunt 0≥ , am obţinut soluţia optimă:
723x,2x,
76x 321 === şi
7184
723622
763f(max) =⋅+⋅+⋅= .
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
a3 a1 a5 a2
6 3 0 2
19/7 8/7 14 1
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
-1/7 4/7 -2 0
0 0 1 0
1/7 17/7 -9 -1
2/7 -1/7
0 0
-1/7 -17/7
9 1
j∆ =Cj
fj
-fj
152/7
*
3
0
2
0
6
0
6/7
-6/7
0
0
43/7
-43/7
9/7
79
−λ−
743
−
743
+λ−
5 1 3 0 0 0 λ− λ− Baza BC~ XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
0θ
a3 a1 a5 a2
3 5 0 1
19/7 8/7 14 1
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
-1/7 4/7 -2 0
0 0 1 0
1/7 17/7 -9 -1
2/7 -1/7
0 0
-1/7 -17/7
9 1
j~∆ = jC~
jf~
- jf~
104/7
*
5
0
1
0
3
0
17/7
-17/7
0
0
81/7
-81/7
1/7
71
−λ−
781
−
7
81+λ−
Page 87
4.3
a) Să se arate că punctele A (12, 0), B (0, 4) sunt optimale pentru cuplul de probleme
duale:
(max) f = 4x1 + 3x2 (max) g = 6u1 + 12u2
≤+≤+−
12x3x6x2x3
21
21
≥+≥+−
3u3u24uu3
21
21
0x 2,1 ≥ 0u 2,1 ≥
b) Care sunt soluţiile optime dacă în problema primală luăm ( )7,2C~ = şi în duală
=
72
b~ .
c) Să se afle soluţia optimă a dualei dacă )4,2(C~ = şi
=
13
b~ .
d) Să se afle soluţia optimă a dualei pentru )9,4(C~ = .
Rezolvare
a) Varianta 1: Propunem cititorului să rezolve cele două probleme pe cale grafică.
Varianta 2:
Este suficient să rezolvăm problema primală:
(max) f = 4x1 +3x2
=++=++−
12yx3x6yx2x3
221
121
0y,0x 2,12,1 ≥≥
Soluţia optimă a problemei primale este: x1 = 12, x2 = 0 şi
(max) f = 48.
4 3 0 0 Baza CB XB a1 a2 a3 a4
0θ
a3 ←a4
0 0
6 12
-3 1
2 3
1 0
0 1
- 12
j∆ =Cj
-fj
0
4 3 0 0
a3 a1
0 4
42 12
0 1
11 3
1 0
3 1
fj
j∆
48
*
4
0
12
-9
0
0
4
-4
Page 88
Soluţia optimă a problemei duale: u1 = 0, u2 = 4, (min) g = 48.
b) Este suficient să facem reoptimizarea problemei primale pentru )7,2(C~ = .
Soluţia optimă a problemei primale: 11
306f(max),1142x,
116x 21 ===
Soluţia optimă a problemei duale: 11
306g(min),1125u,
111u 21 === .
c) Deoarece se modifică simultan C şi b, vom relua problema primală de la început:
(max) f = 3x1 + x2
=++=++−
⇒
≤+≤+−
4yx3x2yx2x3
4x3x2x2x3
221
121
21
21
0x 2,1 ≥ 0y,0x 2,12,1 ≥≥
Notă
Am ţinut seama că modificarea lui C respectiv b din problema duală, implică
modificarea lui b respectiv C în problema primală.
Avem:
2 7 0 0 Baza BC~ XB a1 a2 a3 a4
0θ
←a3 a1
0 2
42 12
0 1
11 3
1 0
3 1
42/11 4
jC~j~ =∆
jf~
- jf~
24 *
2
0
6
1
0 0
2
-2
a2 a1
7 2
42/11 6/11
0 1
1 0
1/11 -3/11
3/11 2/11
jf~
j~∆
11306
*
2
0
7
0
1/11
-1/11
25/11
-25/11
3 1 0 0 Baza CB XB a1 a2 a3 a4
0θ
a3 ←a4
0 0
2 4
-3 1
2 3
1 0
0 1
- 4
j∆ =Cj
-fj
0
3
1
0
0
a3 a1
0 3
14 4
0 1
11 3
1 0
3 1
fj
j∆
12
*
3
0
9
-8
0
0
3
-3
Page 89
Soluţia optimă a problemei primale: x1 = 4, x2 = 0, (max) f = 12.
Soluţia optimă a problemei duale: u1 = 0, u2 = 3, (min) g = 12.
d) Considerăm că în problema primală termenul liber b devine
=
94
b~ .
Dacă B este matricea bazei optime B = {a3, a1}, atunci:
=−
1031
B 1 şi
=
=⇒= −
931
94
1031
X~b~BX~ B1
B şi BX~
reprezintă soluţia optimă a problemei primale, adică: x1 = 9, x2 = 0.
Avem: (max)f = 4‧9 +3‧0 = 36.
Întrucât prin modificarea lui b în problema primală diferenţele j∆ nu se schimbă, rezultă că
soluţia optimă a problemei duale este tot:
u1 = 0, u2 = 4, dar (min) g = 36.
5. Probleme de transport (P.T.)
5.1
Trei oraşe O1, O2, O3 se aprovizionează cu ulei vegetal din localităţile L1, L2, L3, L4.
Costurile unitare de transport de la Li la Oj, 4,1i = , 3,1j = , disponibilul localităţilor şi
necesarul oraşelor, sunt date în tabelul de mai jos.
Oj
Li O1 O2 O3 Disponibil (D)
L1 2 1 3 200
L2 1 4 2 150
L3 5 2 1 250
L4 3 1 1 100
Necesar (N) 400 175 125
700
700
Cum trebuie organizat transportul astfel încât să fie acoperit tot necesarul oraşelor şi
distribuit tot disponibilul cu un cost total minim?
Rezolvare
Page 90
Vom nota cu xi j cantitatea ce se transportă de la Li la Oj iar cu Ci,j costul unitar de
transport de la Li la Oj , 4,1i = , 3,1j = . Vom aplica metoda potenţialelor.
Etapa I Observăm că P.T. este echilibrată (N = D = 700).
Căutăm o soluţie iniţială de bază folosind de exemplu metoda costului minime pe
linie.
Oj Li
O1 O2 O3 (D)
L1 2
25
1
175
3 200
L2 1
150
4 2 150
L3 5
125
2 1
125250
L4 3
100
1 1 100
(N) 400 175 125 700
700
Pe prima linie, costul minim este 1; transportăm în căsuţa respectivă min {175, 200} = 175.
Tot pe prima linie a rămas costul minim 2; transportăm în căsuţa respectivă min {200-175
= 25, 400} = 25. Prima linie fiind saturată, se trece la linia a doua cu acelaşi procedeu
ş.a.m.d.
Soluţia iniţială de bază este: x11 = 25, x12 = 175, x21 = 150, x31 = 125, x33 = 125, x41 = 100.
ea este nedegenerată deoarece are m + n – 1 =
= 4 + 3 – 1 = 6 componente diferite de zero.
Costul iniţial de transport este:
.m.u142510031251125515011751252C0 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= Urmărim să găsim o
altă repartiţie a transportului, astfel încât costul total să fie mai mic.
Etapa II
Introducem variabilele 3,1j,4,1iv,u ,ji == care au proprietăţile: ui + vj = Cij, unde
Cij sunt costurile din căsuţele bazice (unde avem xi,j ≠ 0).
vj
ui v1 = 0 v2 =-1 v3 =-4
u1 = 2 2 1
u2 = 1 1
Page 91
u3 = 5 5 1
u4 = 3 3
Alegem iniţial un ui sau vj egal cu 0 ( vezi teoria!!). Am ales de exemplu v1 = 0. Deoarece
u1 + v1 = 2, rezultă u1 = 2. Din u2 + v1 = 1 rezultă u2 = 1, ş.a.m.d.
Pentru căsuţele nebazice, vom determina cantităţile jiC (au rolul lui fj de la P.PL.) care
verifică de asemenea relaţiile: jiji vuC += .
Întocmim tabelul pentru jiC ( jiC coincid cu jiC în căsuţele bazice):
vj
ui v1 = 0 v2 =-1 v3 =-4
u1 = 2 2 1 -2
u2 = 1 1 0 -3
u3 = 5 5 4 1
u4 = 3 3 2 -1
Am haşurat jiC din căsuţele bazice.
Etapa III
Facem un nou tabel cu diferenţele jijiji CC −=∆ (la P.P.L., într-o problemă de
minim, făceam diferenţele jjj Cf −=∆ şi o alegeam pe cea mai mare pozitivă pentru a
găsi vectorul care intră în bază).
0 0 -5
0 -4 -5
0 2 0
0 1 -2
jijiji CC −=∆
Etapa IV
Alegem diferenţa ji∆ cea mai mare pozitivă (în cazul nostru 2). Întocmim un tabel
cu soluţia precedentă şi pe locul cu ji∆ cea mai mare pozitivă punem o valoare θ care
deocamdată este nedeterminată. Anihilăm apoi pe θ pe linii şi coloane obţinând un anumit
ciclu:
25 + θ 175 - θ 150 50
150 150
125 - θ θ 125 125 125
100
⇒
100
Page 92
Facem 125}175,125{min ==θ şi găsim o nouă soluţie de bază.
Notând cu C1 costul transportului pentru noua soluţie, avem:
117521251425max.CC ji01 =⋅−=∆θ−= u.m.
Etapa V Încercăm să vedem dacă noua soluţie de bază mai poate fi îmbunătăţită, calculând
pentru ea ui, vj, jiC etc.
Algoritmul se termină când toţi 0CC jijiji ≤−=∆ (la P.P.L. toţi 0Cf jjj ≤−=∆ ).
Vom prezenta calculele mai departe considerând tabelele legate între ele:
vj
ui
v1 = 0 v2 =-1 v3 =-2
u1 = 2 2 1 0 0 0 -3 150+θ 50-θ 200
u2 = 1 1 0 -1 0 -4 -3 150 150
u3 = 3 3 2 1 -2 0 0 125 125 125 125
u4 = 3 3 2 1 0 1 0 100-θ θ 50 50
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 50}100,50min{ ==θ
Costul de transport pentru noua soluţie este:
11255011175maxCC ji12 =⋅−=∆⋅θ−= u.m.
vj ui
v1 = 0 v2 =-2 v3 =-3
u1 = 2 2 0 -1 0 -1 -4
u2 = 1 1 -1 -2 0 -5 -4
u3 = 4 4 2 1 -1 0 0
u4 = 3 3 1 0 0 0 -1
jiji vuC += 0CC jijiji ≤−=∆
Rezultă că ultima soluţie de bază este soluţia optimă:
x11 = 200, x21 = 150, x32 = 125, x33 = 125, x41 = 50, x42 = 50 şi costul minim este C2 = 1125
u.m.
Page 93
5.2
Trei magazine de mobilă M1, M2, M3 achiziţionează mobila de la două fabrici F1 şi
F2. Costurile unitare de transport de la Fi, i =1,2 la Mj, j = 1,2,3, disponibilul fabricilor şi
necesarul magazinelor sunt date în tabelul următor. Cum trebuie organizat transportul
pentru a obţine un cost total minim?
Mj Fi
M1 M2 M3 D
F1 3 5 2 20F2 4 1 3 20
N 10 15 25 40
50
Rezolvare
Varianta 1:
Problema fiind neechilibrată (D < N) extindem tabelul cu o fabrică fictivă F3 căreia îi
afectăm costurile de transport O (la P.P.L. variabilele de compensare capătă coeficienţii 0
în f) şi disponibilul egal cu N – D = 10. Mj
Fi M1 M2 M3 D
F1 3 5 2 20 20
F2 4 4
153
5 20
F3 0
10 0 0 10
N 10 15 25 50
50 Am aflat soluţia iniţială de bază prin metoda costului minim pe linie. Observăm că soluţia
este degenerată deoarece are 51nm4 =−+< componente diferite de zero. Pentru a
înlătura degenerarea, adăugăm câte un 0>ε la fiecare disponibil şi ε3 la ultimul
necesar. Căutăm apoi soluţia iniţială de bază prin metoda costului minim pe linie. În final,
după ce obţinem soluţia optimă, facem 0=ε .
Mj Fi
M1 M2 M3 D
F1 3
5
2 ε+20
ε+20
F2 4
1 15
3 ε+5
ε+20
F3 0
10 0
0 ε ε+10
N 10 15 ε+ 325 ε+50
Page 94
Soluţia iniţială este:
εε=ε === ++= 3331232213 x,1051520x x,x,x, şi are 5 componente nenule.
Costul iniţial de transport este:
εεεε +=⋅+⋅+++⋅++= 5700100)5(3151)20(2C0 .
Aplicăm în continuare metoda potenţialelor. vj
ui v1 = 0 v2 =-2 v3 =0
u1 = 2 2 0 2 -1 -5 0
u2 = 1 3 1 3 -1 0 0
u3 = 4 0 -2 0 0 -2 0
jiji vuC += 0CC jijiji ≤−=∆
Soluţia optimă este: x13 = 20, x22 = 15, x23 = 5, x31 = 10 cu costul
C0 = 70 u.m.
Întrucât 0x31 ≠ rezultă că magazinul M1 trebuie să se aprovizioneze de la altă fabrică cu
necesarul său de mobilă.
Varianta 2:
După ce echilibrăm problema, vom afla soluţia iniţială de bază prin metoda colţului
N-V. Vom vedea că este necesar să parcurgem mai multe iteraţii, în schimb soluţia iniţială
nu este degenerată.
Mj Fi
M1 M2 M3 D
F1 3
10 5
102
20
F2 4
1 5
3 15
20
F3 0
0
0 10
10
N 10 15 25 50
Soluţia iniţială: x11 = 10, x12 = 10, x22 = 5, x23 = 15, x33 = 10 care este nedegenerată dă un
cost iniţial C0 = 30 + 50 + 5 + 45 = 130 u.m. vj
ui v1 = 3 v2 =5 v3 =7
u1 = 0 3 5 7 0 0 5 10 10-θ θ 10 10
u2 = -4 -1 1 3 -5 0 0 5+θ 15-θ 15 5
u3 = 7 -4 -2 0 -4 -2 0 10 10
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 10}15,10min{ ==θ
Page 95
Costul transportului pentru noua soluţie este:
80510130maxCC j,i01 =⋅−=∆⋅θ−= u.m.
vj
ui v1 = 3 v2 =0 v3 =2
u1 = 0 3 0 2 0 -5 0 10-θ 10+θ 20
u2 = 1 4 1 3 0 0 0 15 5 15 5
u3 = -2 1 -2 0 1 -2 0 θ 10-θ 10 0
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 10}10,10min{ ==θ
Soluţia obţinută fiind degenerată am pus un zero într-una din căsuţele (1,1)sau (3,3) unde
au dispărut simultan componente. Costul total de transport este:
7011080maxCC j,i12 =⋅−=∆⋅θ−= u.m.
vj ui
v1 = 3 v2 =1 v3 =3
u1 = -1 2 0 2 -1 -5 0
u2 = 0 3 1 3 -1 0 0
u3 = -3 0 -2 0 0 -2 0
jiji vuC += jijiji CC −=∆
S-a obţinut aceeaşi soluţie optimă cu acelaşi cost total minim de transport.
5.3
Patru şantiere 4,1j,A j = , se aprovizionează cu ciment de la trei depozite
3,1i,Di = . Costurile unitare de transport, necesarul şantierelor precum şi disponibilul
depozitelor se dau în următorul tabel.
Aj Di
A1 A2 A3 A4 D
D1 3 3 3 5 800
D2 2 3 4 5 200
D3 4 3 3 2 300
N 600 350 250 100 1300
Să se determine planul optim de aprovizionare al şantierelor.
Page 96
Rezolvare
P.T: fiind echilibrată, determinăm o soluţie iniţială de bază. Vom aplica metoda
costului minim pe coloană.
Aj Di
A1 A2 A3 A4 D
D1 3
400 3
3503
505
800
D2 2
200 3 4 5
200
D3 4
3
3 200
2 100
300
N 600 350 250 100 1300
Soluţia iniţială de bază este nedegenerată (are m + n -1 = 6 componente ≠ 0). Costul
iniţial de transport este:
C0 = 1200 + 1050 +150 +400 +600 +200 = 3600 u.m.
vj
ui v1=3 v2=3 v3=3 v4=2
u1=0 3 3 3 2 0 0 0 -3 400 350- θ 50+ θ 400 150 250
u2=-1 2 2 2 1 0 -1 -2 -4 200 200
u3=0 3 3 3 2 -1 0 0 0 θ 200- θ 100 200 100
jiji vuC += 0CC jijiji ≤−=∆ 200}350,200min{ ==θ
Pentru noua soluţie de bază avem costul
360002003600maxCC ji01 =⋅−=∆⋅θ−= u.m.
vj
ui v1 = 3 v2 =3 v3=3 v4 =2
u1 = 0 3 3 3 2 0 0 0 -3
u2 = -1 2 2 2 1 0 -1 -2 -4
u3 = 0 3 3 3 2 -1 0 0 0
jiji vuC += 0CC jijiji ≤−=∆
Observăm că pentru soluţia iniţială de bază am obţinut toţi 0ji ≤∆ însă în căsuţa
nebazică (3,2) avem 032 =∆ . La fel ca la P.P.L. conchidem că P.T. are soluţie optimă
multiplă. Se obţine încă o soluţie optimă punând θ în tabelul soluţiei pe locul (3,2). Avem
soluţiile optime:
Page 97
100x,200x,200x,50x,350x,400x:X 3433211312111 ======100x,200x,200x,250x,150x,400x:X 3432211312112 ======
Ambele dau costul minim 3600 u.m.
Soluţia optimă sub formă generală este:
]1,0[,X)1(XX 21 ∈λλ−+λ= şi este dată de matricea:
λλ−
λ−+λλ−+λ
100200200)1(00002000250)1(50150)1(350400
:X .
Notă
Pentru 1=λ obţinem X1 şi pentru 0=λ obţinem X2.
5.4
Două fabrici de pâine F1, F2 se aprovizionează cu făină de la trei depozite D1, D2,
D3. Cunoscând disponibilul depozitelor, necesarul fabricilor şi costurile unitare de
transport, să se determine planul optim de transport. Datele problemei sunt prezentate în
tabelul următor:
Fj Di
F1 F2 D
D1 5 3 50
D2 2 1 275
D3 4 2 125
N 100 200
450
300
Rezolvare
Avem N < D. Echilibrăm problema prin introducerea unei noi coloane cu costurile
de transport zero şi necesarul D – N = 150.
Fj Di
F1 F2 F3 D
D1 5
3 0
5050
D2 2
1
1750
100275
D3 4
100 2
250
125
N 100 200 150 450
Page 98
Am determinat soluţia iniţială de bază prin metoda costului minim pe linie. Soluţia este
nedegenerată şi avem:
C0 = 175 + 400 +50 = 625 u.m. pentru soluţia X0 : x13 = 50, x22 = 175, x23 = 100, x31 = 100,
x32 = 25.
vj
ui v1 = 4 v2 =2 v3 =1
u1 = -1 3 1 0 -2 -2 0 50 50
u2 = -1 3 1 0 1 0 0 θ 175-θ 100 100 75 100
u3 = 0 4 2 1 0 0 1 100-θ 25+θ 125
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 100}175,100min{ ==θ
Avem: 5251100625C1 =⋅−= u.m. pentru soluţia X1 : x13 = 50,
x21 = 100, x22 = 75, x23 =100, x32 = 125.
vj
ui v1 = 2 v2 =1 v3 =0
u1 = 0 2 1 0 -3 -2 0 50 50
u2 = 0 2 1 0 0 0 0 100 75+θ 100-θ 100 175
u3 = 1 3 2 1 -1 0 1 125-θ θ 25 100
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 100}100,125min{ ==θ
Pentru soluţia de bază X2 : x13 = 50, x21 = 100, x22 = 175, x32 =25,
x33 = 100 avem costul 4251100525maxCC ji12 =⋅−=∆⋅θ−= u.m.
vj
ui v1 = 2 v2 =1 v3 =-1
u1 = 1 3 2 0 -2 -1 0
u2 = 0 2 1 -1 0 0 -1
u3 = 1 3 2 0 -1 0 0
jiji vuC += 0CC jijiji ≤−=∆
Soluţia optimă este X2 cu costul total de transport C2 = 425 u.m.
Deoarece x13 =50 ≠ 0, x23 = 100 ≠ 0 rezultă că depozitul D1 nu-şi poate transporta făina
nici la F1, nici la F2 iar depozitul D2 rămâne cu o cantitate de 100 unităţi fizice
netransportate. Trebuie deci ca D1 şi D2 să-şi mai caute o altă fabrică unde să-şi
transporte făina.
Page 99
5.5
Trei staţii de benzină P1, P2, P3 se aprovizionează de la rafinăriile R1, R2,R3.
Costurile unitare de transport, disponibilul rafinăriilor precum şi necesarul staţiilor de
benzină se află în tabelul:
Pj Ri
P1 P2 P3 D
R1 5 4 2 90
R2 2 6 3 70
R3 3 1 6 140
N 50 60 40
300
150
Care este planul optim de transport în ipoteza că din cauza unor lucrări de reparaţii,
drumurile de la R2 la P2 şi de la R2 la P3 nu pot fi folosite?
Rezolvare
Avem o P.T. cu rute interzise. În căsuţele (2,2), (2,3) vom înlocui costurile unitare 6
u.m. respectiv 3 u.m. cu un cost notat cu M unde M este un număr foarte mare. Raţiunea
acestei înlocuiri este evitarea celor două rute interzise.
Observăm de asemenea că P.T. este neechilibrată. Extindem tabelul cu o coloană cu
costuri nule şi necesarul 150.
Pj Ri
P1 P2 P3 P4 D
R1 5
4 2 0
9090
R2 2
10 M M 0
6070
R3 3
40 1
606
400
125
N 50 60 40 150 300
Am aplicat metoda costului minim pe linie pentru obţinerea soluţiei iniţiale de bază X0 : x14
= 90, x21 = 10, x24 = 60, x31 =40, x32 = 60,
x33 = 40. Avem: C0 = 20 +120 +60 + 240 = 440 u.m.
vj ui
v1=3 v2=1 v3=6 v4=1
u1=0 2 0 5 0 -3 -4 3 0 θ 90- θ 10 80
u2=-1 2 0 5 0 0 -M 5-M 0 10- θ 60+ θ 70
u3=0 3 1 6 1 0 0 0 1 40+ θ 60 40- θ 50 60 30
Page 100
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 10}90,40,10min{ ==θ
Costul acestei soluţii este 410310440C1 =⋅−= .
vj ui
v1=3 v2=1 v3=6 v4=4
u1=-4 -1 -3 2 0 -6 -7 0 0 10+ θ 80- θ 40 50
u2=-4 -1 -3 2 0 -3 -3-M 2-M 0 70 70
u3=0 3 1 6 4 0 0 0 4 50 60 30- θ θ 50 60 30
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 30}80,30min{ ==θ
Costul acestei soluţii de bază este:
290430410maxCC ji12 =⋅−=∆⋅θ−= u.m.
vj ui
v1=3 v2=1 v3=2 v4=0
u1=0 3 1 2 0 -2 -3 0 0 40 50 40 50
u2=0 3 1 2 0 1 1-M 2-M 0 θ 70- θ 50 20
u3=0 3
1 2 0 0 0 -4 0 50- θ 60 30+ θ 60 80
jiji vuC += jijiji CC −=∆ 50}70,50min{ ==θ
Costul de transport corespunzător acestei soluţii este:
24050290maxCC ji23 =−=∆⋅θ−= u.m.
vj
ui v1 = 2 v2 =1 v3 =2 v4=0
u1 =0 2 1 2 0 -3 -3 0 0
u2 =0 2 1 2 0 0 1-M 2-M 0
u3 =0 2 1 2 0 -1 0 -4 0
jiji vuC += 0CC jijiji ≤−=∆
Soluţia optimă este: x13 = 40, x21 = 50, x32 = 60, x14 = 50, x24 = 20,
x34 = 80 şi costul optim este 240 u.m. Observăm că în aceste condiţii rafinăriile nu-şi
epuizează cantităţile de benzină deci pot distribui şi altor beneficiari.
Propunem cititorului să constate că dacă am fi ales soluţia iniţială de bază după regula
costului minim pe coloană am fi obţinut chiar soluţia optimă.
Page 101
Notă
Dacă avem o P.T. de maxim atunci soluţia iniţială de bază se alege prin metoda
costului (beneficiului) maxim pe linie sau coloană iar diferenţele ji∆ sunt jiji CC − ;
algoritmul se termină când toţi 0ji ≤∆ . În cazul rutelor interzise în problemă de maxim
punem 0 drept cost (beneficiu) pe rutele interzise.
6. Probleme propuse
6.1
Să se rezolve grafic următoarele P.P.L.:
6.1.1 (max) f(x) = 7x1 – 3x2
≤+≥+
7x5x516x7x6
21
21
0x 2,1 ≥
6.1.2 (min) f(x) = 9x1 + 11x2
≤−≤+≤4xx
17x8x711
21
21
0x 2,1 ≥
6.1.3 (opt) f(x) = 3x1 + 4x2
≤−≤+≤−
8xx212x3x4x2x
21
21
21
0x 2,1 ≥
Indicaţie Trebuie aflat (min) f(x) şi (max) f(x).
6.1.4 (max) f(x) = 9x1 -7x2
≤+−≥+≤+
5x4x27x6x5
11x5x6
21
21
21
0x 2,1 ≥
Page 102
6.1.5 (min) f(x) = -4x1 -6x2
≤+≤+−≤−
12x4x36x4x37x5x4
21
21
21
0x ,2,1 ≥
6.2
Aplicând algoritmul simplex, să se rezolve următoarele P.P.L.:
6.2.1 (min) f(x) = 3x1 + 2x2 – x3
≤+−=++
4x3x28xxx
21
321
0x 3,2,1 ≥
6.2.2 (min) f(x) = 8x1 + 4x2
≤≤≥≤−≥+
1x02x0x2x5xx
2
1
21
21
6.2.3 (opt) f(x) = 4x1 + 5x2
≥+−≤+≥+
12x4x36xx24x2x
21
21
21
0x 2,1 ≥
6.2.4 (min) f(x) = 2x1 – x2 + 4x3 +3x4
=−+=++−
1x4xx36xx2x
321
421
4,1i,0xi =≥
6.2.5 (max) f(x) = x1 +2x2 +3x3 + x4
≥++=++−≤−+−
1xx4x2xx2x3xxxx3
321
421
4321
3,1i,0xi =≥
Page 103
6.2.6 (min) f(x) = 3x1 + x2 + 2x3
≥++−≥+−
4x2x4x31xx2x
321
321
0x 3,2,1 ≥
6.2.7 (min) f(x) = 3x1 – x2
≤−≤+
−≥+−≥−
12xx48x4x2xx23x3x
21
21
21
21
0x 2,1 ≥
6.2.8 (min) f(x) = - 3x1 + 4x2 -2x3
=+=−+=++
1x2x36xxx24xxx
21
321
321
0x 3,2,1 ≥
6.2.9 (max) f(x) = 2x1 + x2 -2x3
=++≤−=++
1x4xx24xx2x3x2x
321
31
321
0x 3,2,1 ≥
6.2.10 (min) f(x) = x1 + 3x2 + 4x3
−≤−−−≤−−−−≤+−−
12x4xx28xx2x4x2xx
321
321
321
0x 3,2,1 ≥
Page 104
6.2.11 (min) f(x) = 3x1 - 5x2 - x3 + 4x4 - 2x5
−=−++−≥++++
2xx2xx3xxxx3x
4321
54321
5,1i,0xi =≥
6.2.12
a) (min) f(x) = 4x1 + x2 + 2x3
≥−+≥+−
2xxx33xx2x
321
321
3,1i,0xi =≥
b) Care este soluţia optimă pentru
=
14
b~ ?
c) Care este soluţia optimă pentru ( )5,1,2c~ = ?
6.2.13
a) (max) f(x) = 4x1 +5x2 + x3
≤−−≤++≤+−
1x2xx4xx2x6x3xx
321
321
321
3,1i,0xi =≥
Completaţi următorul tabel simplex şi aflaţi soluţia optimă:
4 5 1 0 0 0 Baza CB XB
a1 a2 a3 a4 a5 a6 0θ
a4
a2
a1
0
5
4
0
0
1
0
1
0
1
0
0
b) Reoptimizaţi pentru ( )4,2,3C~ = .
c) Reoptimizaţi pentru
=
469
b~ .
Page 105
6.2.14
a) (min) f(x) = 2x1 + 6x2 +x3 + x4
=++=++=++
10x4xx40xx2x20x2xx
421
321
432
4,1i,0xi =≥
b) Care este soluţia optimă pentru ( )2,1,3,4C~ = ? Dar pentru ( )1,2,4,6C~ = ?
c) Care este soluţia optimă pentru
=
16
12b~ ? Dar pentru
=
201040
b~ ?
6.2.15
a) (max) f(x) = 8x1 + 3x2 + 2x3
=+=+=++
200x2x350x4x
100xxx2
31
31
321
3,1i,0xi =≥
Completaţi următorul tabel simplex şi determinaţi soluţia optimă a problemei.
8 3 2 λ− λ−Baza CB XB a1 a2 a3 a4 a5
0θ
a2
a4
a3
3
λ−
2
1
0
0
0
0
1
0
1
0
b) Reoptimizaţi pentru ( )8,2,3C~ = .
c) Reoptimizaţi pentru
=
203010
b~ .
6.2.16
a) (min) f(x) = 2x1 + 3x2 +5x3 + 6x4
−≤+−+−≥+++
1x3xxx2xx3x2x
4321
4321
4,1i,0xi =≥
Page 106
b) Care este soluţia optimă pentru
=
24
b~ ?
c) Care este soluţia optimă pentru ( )2,6,1,4C~ = ?
6.3
Rezolvaţi problemele de transport (de minim) corespunzătoare următoarelor tabele:
6.3.1
Bj Ai
B1 B2 D
A1 3 1 10
A2 2 4 15
A3 6 2 45
N 20 30
6.3.2
Bj Ai
B1 B2 B3 D
A1 2 1 3 30
A2 4 2 6 20
N 15 25 35
6.3.3
Bj Ai
B1 B2 B3 D
A1 5 2 1 10
A2 1 4 3 20
A3 6 2 2 60
N 20 10 40
6.3.4
Bj Ai
B1 B2 B3 B4 D
A1 4 1 3 2 400
A2 6 4 2 4 300
N 100 300 200 100
Page 107
6.3.5
Bj Ai
B1 B2 B3 D
A1 3 5 2 25
A2 2 4 1 35
A3 6 3 4 10
N 15 5 50
Presupunem ruta (A3, B2) interzisă.
Page 108
1. Serii de numere
1.1
Să se studieze natura seriilor de termen general un şi în caz de convergenţă să se
calculeze suma lor:
1.1.1 1n,)2n()1n(n
1n3un ≥++
+=
Rezolvare
Putem stabili natura seriei aplicând criteriul III de comparaţie:
12pentru),0()2n()1n(n
)1n3(nlim
n1
ulimLn
nn
>=α∞∈++
+==
α
∞→α
∞→.
Seria este convergentă.
Fie 2n
C1n
BnA
)2n()1n(n1n3un +
++
+=++
+=
Rezultă: ,25C,2B,
21A −=== adică:
+−
++=
2n5
1n4
n1
21un
Avem:
−+=
3521
21u1
−+=
45
34
21
21u2
−+=
55
44
31
21u3
ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
#3
∬dxdy
D
∑∞
=1nnu
Page 109
ΚΚΚΚΚΚΚΚΚ
+−+
−=− 1n
5n4
1n1
21u 1n
+−
++=
2n5
1n4
n1
21un
+−
+−=
2n5
1n1
27
21Sn
serieisuma47SlimS
nn ===
∞→.
1.1.2 3n,)2n()1n(n
1n3un ≥++
+=
Rezolvare
Ştim că natura unei serii nu se schimbă prin înlăturarea unui număr finit de termeni
deci seria este convergentă (vezi 1.1.1 ).
Suma seriei va fi:
2419
247
32
47uuSS 211 =−−=−−= .
1.1.3 1n,7
463u 1n
nn
n ≥−⋅
= +
Rezolvare
n
1n
n
1n1nn 7
471
76
73u ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
=
Seriile ∑∑∞
=
∞
=
1n
nn
1n 74,
76 sunt convergente (serii geometrice cu raţiile
174q0,1
76q0 21 <=<<=< ) şi au sumele:
Page 110
34
741
174S,6
761
176S 21 =
−⋅==
−⋅= .
Suma seriei date va fi: 2150
34
716
73S =⋅−⋅= .
1.1.4 1n,n
1nlnu 3n ≥+
=
Rezolvare
Avem: [ ],nln)1nln(31un −+=
deci:
[ ]02ln31u1 −=
[ ]2ln3ln31u2 −=
[ ]3ln4ln31u3 −=
ΚΚΚΚΚΚΚΚ
[ ])1nln(nln31u 1n −−=−
[ ]nln)1nln(31un −+=
)1nln(31Sn +=
⇒∞==∞→n
nSlimS serie divergentă.
1.2
Să se stabilească natura seriilor de termene general un:
1.2.1 1n,53
n1u
n
n ≥
=
Rezolvare
Page 111
Dacă considerăm ( ) 1n;n1
53
n1u
n
n ≥∀<
= , cum seria majorantă ∑
∞
=1n n1 este
divergentă, comparaţia nu este concludentă.
Fie: ( ) 1n,53
53
n1u
nn
n ≥∀
≤
= . Seria majorantă
n
1n 53∑
∞
=
fiind convergentă rezultă că
şi ∑∞
=1nnu este convergentă (criteriul I de comparaţie).
1.2.2 1n,n1sinu 5n ≥=
Rezolvare
Deoarece ( )∞∈=∞→
,01
n1n1sin
lim5
5
n, conform criteriului III de comparaţie seria dată
are aceeaşi natură cu ∑∞
=1n5n1 deci este convergentă.
1.2.3 1n,
n13
nu n
2
n ≥
+
=
Rezolvare
Aplicând criteriul rădăcinii (Cauchy), obţinem:
⇒<=+
==∞→∞→
131
n13
1limulimLn
nnn
serie convergentă.
Notă
Ştim că 1nlim nn
=∞→
.
1.2.4 1n,na!nu
n
n ≥
=
Page 112
Rezolvare
Aplicăm criteriul raportului (d’Alembert):
ea
1nnalim
uulimL
n
nn
1nn
=
+==
∞→+
∞→.
Discuţie
Dacă ⇒<< ea0 serie convergentă.
Dacă ⇒> ea serie divergentă.
Dacă n
n ne!nuea
=⇒= . Avem: 1
n11
e
n1n
eu
unn
n
1n >
+
=
+
=+
Şirul termenilor fiind crescător rezultă că seria este divergentă.
1.2.5 0a,1n,n
1nnaun
2
2n
n >≥
++⋅=
Rezolvare
Aplicând criteriul rădăcinii rezultă:
an
1nnlimaulimL 2
2
nn
nn=
++==
∞→∞→
Discuţie
Dacă ⇒<< 1a0 serie convergentă.
Dacă ⇒> 1a serie divergentă.
Dacă n
2
2
n n1nnu1a
++=⇒=
Avem: 0een
1nnlimulim1
n1nnnlimn
2
2
nnn
2
2
n≠==
++=
−
++
∞→∞→
∞→
Deoarece ⇒≠∞→
0ulim nn seria este divergentă.
Page 113
1.2.6 cd,ab,0c,0a,1n,dcnbanu
n
n −>−>>>≥
++
=
Rezolvare
Aplicăm criteriul rădăcinii.
ca
dcnbanlimulimL
nn
nn=
++
==∞→∞→
Discuţie
Dacă ⇒<< ca0 serie convergentă.
Dacă ⇒> ca serie divergentă.
Dacă n
n canbanuca
++
=⇒= .
( )⇒≠===
−+−
−
++
∞→∞→∞→ 0eeeulim a
cbcancbnlim1
canbannlim
nnnn serie divergentă.
1.2.7 ( ) ba,0b,0a,1n,)nb()1b(b)na(1aaun <>>≥
++++
=ΚΚ
Rezolvare
Deoarece: 1nb1na
uu
n
1n++++
=+ aplicând criteriul raportului rezultă L = 1. Aplicăm
criteriul Raabe-Duhamel:
ab1na
n)ab(lim1uunlimL
n1n
nn
−=−+
−=
−=
∞→+∞→.
Discuţie
Dacă 1ab >− , seria este convergentă.
Dacă 1ab0 <−< , seria este divergentă.
Dacă 1ab =− , criteriul este neconcludent. Avem în acest caz
1ana
)n1a()na()2a()1a()na()2a()1a(aun ++
=+++++
+++=
ΚΚ .
Aplicăm criteriul III de comparaţie:
Page 114
),0(1an
anlimLn
∞∈++
=α
∞→ pentru α = 1 deci seria este divergentă.
1.2.8 0a,1n,n
nlnaun
n >≥=
Rezolvare
Aplicăm criteriul raportului:
( ) anlna
n1n
1nlnalimu
ulimL n
1n
nn
1nn
=⋅+
+==
+
∞→+
∞→
Discuţie
Dacă ⇒<< 1a0 serie convergentă.
Dacă ⇒> 1a serie divergentă.
Dacă ⇒>=⇒=n1
nnlnu1a n serie divergentă
(am majorat seria cu o serie divergentă).
1.2.9 1n,!)!n2(
!)!1n2(un ≥−
=
Rezolvare
Se ştie că: n)1n(321!n ⋅−⋅⋅⋅⋅= Κ
( ) )n2()2n2(642!!n2 ⋅−⋅⋅⋅⋅= Κ
)1n2()3n2(531!)!1n2( −⋅−⋅⋅⋅⋅=− Κ
Deoarece !)!1n2(
!)!n2(!)!2n2(!)!1n2(
uu
n
1n−
⋅++
=+ , nu putem aplica criteriul
raportului (obţinem L = 1); vom aplica criteriul Raabe-Duhamel:
⇒<=+
=
−
++
=
−=
∞→∞→+∞→1
21
1n2nlim1
1n22n2nlim1
uunlimL
nn1n
nn
⇒ seria este divergentă.
Page 115
1.2.10 0a,1n,au nlnn >≥=
Rezolvare
Criteriul raportului nu se poate aplica deoarece:
1alima
alimu
ulimL n1nln
nln
)1n(ln
nn
1nn
====+
∞→
+
∞→+
∞→.
Aplicăm criteriul Raabe-Duhamel:
=
−=
−= +
∞→+∞→1anlim1
uunlimL 1n
nln
n1n
nn
alne1lnaln
1nnlnlimaln
1nnlnn
1nnln
1alimn
n
1nnln
n−=⋅=
+⋅=
+⋅
+
−=
∞→
+
∞→
Discuţie
Dacă 1aln >− adică e1a < seria este convergentă.
Dacă 1aln <− adică e1a > seria este divergentă.
Dacă 1aln =− adică e1a = avem
n1
e1u nlnn == deci seria este divergentă.
1.2.11 1n,)n2(642
)1n2(531u3
n ≥
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅=
ΚΚ
Rezolvare
Observăm că:
3
n
3
1n 2n21n2u
)2n2)(n2(642)1n2)(1n2(531u
++
⋅=
+⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅
=+ ΚΚ deci:
12n21n2lim
uulimL
3
nn
1nn
=
++
==∞→
+∞→
.
Criteriul raportului nu este concludent; aplicăm criteriul
Raabe-Duhamel:
=
−
++
=
−=
∞→+∞→1
1n22n2nlim1
uunlimL
3
n1n
nn
Page 116
( )1
812
1n2)7n18n12(nlim 3
2
n>=
+
++=
∞→.
Seria este convergentă.
1.2.12 1n,51u,
21u nn2n1n2 ≥==−
Rezolvare
Avem seria: ΛΛ +++++++=∑∞
=nn22
1nn 5
121
51
21
51
21u
Observăm că: n
1n2
n2n
n2
1n252
uu;
25
21
uu
=
=
−
+ . Rezultă că şirul kk
1ku
u
+ are două
puncte limită (∞ respectiv 0) deci nu are limită; criteriul raportului nu se poate aplica.
Seria dată se poate scrie: ∑∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=+=
+
1nn
1n 1nnnn 5
121
51
21 .
Cum ∑∑∞
=
∞
= 1nn
1nn 5
1,21 sunt convergente cu sumele 1 respectiv
41 , rezultă că şi seria dată
este convergentă şi are suma 45
411 =+ .
1.2.13 0a,1n,an
1nu nn
n
2
>≥⋅
+
= .
Rezolvare
ean11limaulimL
n
nn
nn=
+==
∞→∞→.
Discuţie
Dacă: ⇒<<e1a0 serie convergentă.
Dacă: ⇒>e1a serie divergentă.
Page 117
Dacă: n
n
n e1
n11u
e1a
2
⋅
+=⇒= .
Cum: 1n)(en11
1n≥∀>
+
+
, rezultă că: nnn
en11
2
>
+
+
, deci: nn
n11
1u
+
> . Rezultă
că: 0e1
n11
1limulim nnnn>=
+
≥∞→∞→
, deci: 0ulim nn≠
∞→. Seria este divergentă.
1.2.14 0a,a4343u n
n
1n1n
nn
n >⋅
++
= ++
Rezolvare
4a
143
143
lim4a
4343limaulimL 1n
n
n1n1n
nn
nn
nn=
+
+
=++
== +∞→++∞→∞→
Discuţie
Dacă: ⇒<< 4a0 serie convergentă.
Dacă: ⇒> 4a serie divergentă.
Dacă: ( ) 1n1n
n
n 433nlim
nn
n
1n1n
nn
n eulim43
443u4a ++∞→ +
⋅
∞→++ =⇒
+⋅+
=⇒= .
Cum: ⇒≥⇒=>⇒>+⋅
∞→+
++++∞→ 1ulim1ee0
433n
nn043
3nlim
1n1n
n1n1n
n
n ⇒ serie divergentă.
1.2.15 ( )( )
1n,42n2n1u n
21n
n ≥++
−= −
Rezolvare
Având o serie alternată, aplicăm criteriul lui Leibniz:
Page 118
10 Arătăm că şirul
++
n
2
4)2n(2n este descrescător:
( )( )
1)2n(43n2n
3n)2n(42n)3n2n(
2n4)2n(
4)3n(2)1n(
uu
2
2
2
2
2
n
1n
2
n
1n
<+++
<
<+++++
=+
+⋅
+++
= ++
20 Deoarece 1n)(n4 2n ≥∀> rezultă: )2n(n
1n4)2n(2n0 2
2
n
2
++
<++
< .
Trecând la limită obţinem:
0)1n(n
1nlim4)2n(2nlim0 2
2
nn
2
n=
++
≤++
≤∞→∞→
deci 04)2n(2nlim n
2
n=
++
∞→.
Seria dată este convergentă. Studiem şi seria modulelor: ∑∞
= ++
1nn
2
4)2n(2n , folosind criteriul
raportului:
⇒<=+
+⋅
++++∞→
141
2n4)2n(
4)3n(2)1n(lim 2
n
1n
2
n seria dată este absolut convergentă.
1.2.16 1n,3
1)1(u 1n1n
n ≥⋅−= −−
Să se afle natura şi suma seriei şi să se estimeze aproximaţia pe care o reprezintă suma
primilor zece termeni.
Rezolvare
Verificăm condiţiile din criteriul lui Leibniz:
10 Deoarece n1n1nn 31u,
31u == +− rezultă 1n)(uu 1nn ≥∀> + deci şirul { }nnu este
descrescător.
20 03
1limulim 1nnnn== −∞→∞→
Seria este convergentă.
Page 119
Seria modulelor ∑∑∞
=−
∞
==
1n1n
1nn 3
1u fiind seria geometrică cu raţia )1,0(31q ∈= , este şi ea
convergentă. Seria alternată este deci absolut convergentă. Observăm că seria dată este
seria geometrică cu raţia 31q −= deci are suma: 75,0
43
311
1S ==+
= .
Suma primilor zece termeni este:
749987,031
31
311S 9210 =−−+−= Λ .
Eroarea făcută la înlocuirea sumei seriei cu 10S este:
00001693,03100001271,0SS 1010 =<=− .
1.2.17 1n,n)1(u 3
1n
n ≥−
=−
Rezolvare
Fiind o serie alternată, verificăm condiţiile din criteriul lui Leibniz.
10 { }nu este evident descrescător.
20 0n1limulim 3nnn
==∞→∞→
⇒ seria este convergentă.
Seria modulelor ∑∞
=1n3 n1 fiind seria armonică generalizată cu 1
31<=α este divergentă.
Seria dată este semiconvergentă.
1.2.18 1n,5
1u,4
1u 1n2n21n1n2 ≥−== −−− .
Rezolvare
Avem de fapt seria:
ΛΛ +−++−+−+− −− 1n21n523 51
41
51
41
51
41
511
deci este o serie alternată.
Studiem monotonia şirului { }nnu .
Page 120
Avem: 1455
45
uu 1n
n1n
1n2
n2
1n2 >
⋅==
−
−
−− deci: n21n2 uu >− .
154
51
54
uu n
1n1n2
n
1n2
n2 <
⋅== −−
+ deci: 1n2n2 uu +< .
Cum şirul termenilor { }nnu nu este monoton, nu putem aplica criteriul lui Leibniz.
Observăm că seria modulelor termenilor este:
=+++++++++ −− ΛΛ 1n21n523 51
41
51
41
51
41
511 .
∑ ∑∑∞
=
∞
=−−
∞
=−−
+=
+=
1n 1n1n21n
1n1n21n 5
14
15
14
1
Seriile ∑∑∞
=−
∞
=−
1n1n2
1n1n 5
1,4
1 sunt convergente fiind serii geometrice cu raţiile
)1,0(251q,)1,0(
41q 21 ∈=∈= .
Deoarece seria modulelor termenilor este convergentă, rezultă că seria alternată dată este
absolut convergentă.
Propunem cititorului să arate că suma seriei date este 89 .
1.2.19 1n,)5n2(1197)2n3(741)1(u 1n
n ≥+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
−= −
Λ
Rezolvare
Avem o serie alternată în care şirul modulelor este crescător pentru 6n >
deoarece: 17n21n3
uu
n
1n >++
=+ pentru 6n > .
Fiind un şir crescător de numere pozitive, nu poate converge la zero. Condiţia necesară de
convergenţă nefiind îndeplinită, seria este divergentă.
1.3
Un utilaj cu valoarea de achiziţionare A = 80 000 u.m. necesită cheltuieli de
exploatare anuale de a = 4 200 u.m.
Page 121
Considerând procentul de dobândă anuală p = 5%, să se afle valoarea totală a cheltuielilor
necesitate de achiziţionarea şi exploatarea utilajului, evaluate la momentul achiziţionării
dacă:
a) durata de viaţă prevăzută a utilajului este n = 20 ani;
b) durata de funcţionare a utilajului este nelimitată.
Rezolvare
a) Fie 05,0100
5i == dobânda unitară (dobânda dată de 1 u.m. pe un an).
u = 1 + i =1,05 factorul de fructificare.
05,11uv 1 == − factorul de actualizare.
Valoarea cheltuielilor totale evaluate în momentul actualizării este:
iv1aA
v1v1avAavavavAC
2020202 −
+=−−
+=++++= Λ adică:
47,23516705,005,11200400080C
20=
−+=
− u.m.
b) Dacă durata de funcţionare se consideră nelimitată,
avem:iaA
v11avAavavAC 2 +=−
⋅+=+++= Λ (avem o serie geometrică
convergentă deoarece are raţia )1,0(05,11vq ∈== ).
Rezultă: 00016405,0
200400080C =+= u.m.
1.4
Probleme propuse
Să se stabilească convergenţa şi să se calculeze suma seriilor de termen general un în
următoarele cazuri:
1.4.1 1n,!n
nu2
n ≥=
Indicaţie ⇒−
+−
=+−
=!)1n(
1!)2n(
1!n
n)1n(n!n
n2
Page 122
∑∑∑∞
=
∞
=
∞
= −+
−=⇒
1n2n1nn !)1n(
1!)2n(
1u
Folosind faptul că e!n
1
0n=∑
∞
= rezultă că ==∑
∞
=e2u
1nn suma seriei.
1.4.2 1n,1n4
1u 2n ≥−
= . R. 21S = .
1.4.3 1n,)2n()1n(n
3n2un ≥++
+= R.
47S = .
1.4.4 1n,1n21n2
1un ≥−++
= R. ∞=S ,
serie divergentă.
1.4.5 1n,2
1n2u nn ≥−
= R. S = 3.
1.4.6 1n,)1n3()2n3(
1un ≥+−
= R. 31S = .
1.4.7 1n,2
)1(u 1n
1n
n ≥−
= −
− R.
32S = .
Să se studieze natura seriilor de termen general un:
1.4.8 1n,!)n2(
)!n(u2
n ≥= R. convergentă.
1.4.9 1n,n
!n5u n
n
n ≥⋅
= R. divergentă.
1.4.10 0a,2n,)nln(
1u an >≥= R. divergentă.
Page 123
1.4.11 1n,nxcos1un ≥−= R. convergentă.
Indicaţie Conform criteriului III de comparaţie avem:
),0(2x
n1
nxcos1
limL2
2n
∞∈=−
=∞→
.
1.4.12 1n,!!)n2(
!!)1n2(n1un ≥
−⋅= R. convergentă.
1.4.13 1n,11n
1u,11n
1u n21n2 ≥++
=−+
=− R. divergentă.
1.4.14 0a,1n,65
au nn
n
n >≥+
= R. divergentă5a
ăconvergent)5,0(a≥∈
.
1.4.15 0a,1n,n
!nau n
n
n >≥⋅
= R. [ ) divergentă,eaăconvergent)e,0(a
∞∈∈
.
2. Serii de funcţii
2.1
Să se determine mulţimea de convergenţe C a următoarelor serii de puteri:
2.1.1 ∑∞
=1nn
n
8nx
Rezolvare
Avem: 81
8)1n(8nlim
aalim 1n
n
nn
1nn
=+
==ω +∞→+
∞→, deci:
81R =ω
= .
Rezultă că: ]r,r[x)(ăconvergentuniformserie)8,0(r)(
divergentăserie),8()8,(x)(ăconvergentabsolutserie)8,8(x)(
−∈∀⇒∈∀⇒∞−−∞∈∀
⇒−∈∀Υ
Page 124
Pentru x = 8 seria devine ∑∞
=1n n1 care este divergentă.
Pentru x = - 8 seria devine ∑∞
=⋅−
1n
nn1)1( care este semiconvergentă.
Rezultă C = [-8,8).
2.1.2 ∑∞
=
−
+1n2
n21n
)1n5(x3
Rezolvare
Avem 1n)(0aa,)1n5(
3a 1n202
1n
n2 ≥∀==+
= −
−.
Aplicând teorema Cauchy-Hadamard, obţinem:
=+
⋅⋅=+
==ω∞→∞→
−−
∞→∞→∞→
nnnn
n21nlim
n22
1n
nn nn
n511
1limn5
1lim3)1n5(
3limalim n 3= deci raza de
convergenţă 31R = .
Pentru 31x = şi
31x −= obţinem seria cu termeni pozitivi ∑
∞
= +1n2)1n5(3
1 care este
convergentă (se compară cu seria convergentă
∑∞
=1n2n1 . Aplicând teorema lui Abel
obţinem
−=31,
31C .
2.1.3 [ ]∑∞
=−+
1n
nnn x)1(2n
Rezolvare
1n2a,3n2a 1n2n2
n2 −=⋅= − .
11n2lim;33n2limalim 1n2n
n2 n2n
n2n2n
=−=⋅= −
∞→∞→∞→. (am folosit limita 1nlim n
n=
∞→).
Conform teoremei Cauchy-Hadamard, rezultă: 31
alim1Rn nn
==
∞→
.
Page 125
Pentru 31x = obţinem, seria cu termeni pozitivi [ ]∑
∞
=⋅−+
1nn
nn
31)1(2n unde:
−=
==
1k2ndacă3n
k2ndacănu
nn .
Deoarece şirul nn}u{ nu tinde la zero, seria este divergentă.
Pentru 31x −= obţinem seria alternată [ ]∑
∞
=⋅−+−
1nn
nnn
31)1(2n)1( în care de asemenea
termenul general nu tinde la zero deci este divergentă. Rezultă că
−=
31,
31C .
2.1.4 ∑∞
=+
−+
1n
nnn
)1x(n
)3(4 .
Rezolvare
Avem o serie Taylor. Notând y = x + 1, obţinem seria de puteri ∑∞
=
−+
1n
nnn
yn
)3(4 .
Avem: =−+
⋅+−+
==ω++
∞→+
∞→ nn
1n1n
nn
1nn )3(4
n1n
)3(4lima
alim
4
4314
4314
1nnlim
nn
1n1n
n=
−+
−+
⋅+
=
++
∞→ adică
41R = .
Pentru 41y = obţinem seria cu termeni pozitivi ∑
∞
=⋅
−+
1nn
nn
41
n)3(4 pe care o comparăm
cu seria ∑∞
=1n n1 .
Avem: ),0(14
)3(4lim
n1
ulim n
nn
nn
n∞∈=
−+=
∞→∞→ deci seria este divergentă.
Pentru 41y −= obţinem seria alternată ∑
∞
=
−+−
1nn
nnn
4n)3(4)1( .
Page 126
Se verifică uşor că şirul modulelor termenilor este descrescător şi tinde la zero deci,
conform criteriului lui Leibniz, seria este convergentă. Deoarece seria modulelor termenilor
este cea de mai sus şi este divergentă, seria alternată este semiconvergentă.
Seria de puteri în y are deci mulţimea de convergenţă
−
41,
41 .
Cum x = y - 1 rezultă =
−−=
43,
45C mulţimea de convergenţă a seriei date.
2.1.5 0b,0a,ba
x
1nnn
n>>
+∑∞
=
Rezolvare
≥
<=
++
==ω ++∞→+
badacăa1
badacăb1
babalim
aalim 1n1n
nn
nn
1n
Deci }b,a{max1R =ω
= .
Pentru }b,a{maxRx == obţinem seria cu termeni pozitivi ∑∞
= +1nnn
n
baR în care:
01
Rb
Ra
1limba
Rlimulim nnnnn
n
nnn≠=
+
=+
=∞→∞→∞→
Pentru x = - R obţinem seria alternată ∑∞
= +−
1nnn
nn
baR)1( unde de asemenea 0ulim nn
≠∞→
deci ambele serii sunt divergente. Rezultă că C = (-R, R) unde }b,a{maxR = .
2.2
Să se dezvolte în serie Mac-Laurin următoarele funcţii:
2.2.1 ∈α−>+= α ,1x,)x1()x(f ℝ.
Rezolvare
f(x) este indefinit derivabilă pe ),1( ∞− şi avem:
n)n( )x1()1n()1()x(f −α++−α−αα= Λ .
Page 127
)1n()1()0(f )n( +−α−αα= Λ .
Seria Mac-Laurin este )0(f!n
x )n(
0n
n
∑∞
= adică:
=+−α−αα
+=+= ∑∞
=
α n
1nx
!n)1n()1(1)x1()x(f Λ
ΛΛ
Λ ++−α−αα
++−αα
+α
+= n2 x!n
)1n()1(x!2
)1(x!1
1
Se vede uşor că seria este convergentă pentru x ∈ (-1, 1).
Notă
a) Dacă α ∈ N obţinem binomul lui Newton; de aceea seria se mai numeşte seria
binomială.
b) Dacă α = -1 obţinem:
ΛΛ +−++−+−=+
nn32 x)1(xxx1x1
1
c) Înlocuind x cu - x, pentru α = - 1, obţinem:
ΛΛ +++++=−
n32 xxx1x1
1
2.2.2 →
−
−−= 3,
21\:f,
3x5x21)x(f 2 ℝ.
Rezolvare
Descompunem f(x) în fracţii simple:
+−
−=
1x22
3x1
71)x(f
Fie: )1x2(7
2)x(f,)3x(7
1)x(f 21 +−=
−=
Avem:
+++++−=
−⋅
⋅−= ΛΛ n
n
2
2
1 3x
3x
3x1
211
3x1
137
1)x(f , serie convergentă pentru
13x
< adică 3x < .
( )ΛΛ +−+−+−−=+
⋅−= nnn222 x2)1(x2x21
72
x211
72)x(f ,
ℝ
Page 128
serie convergentă pentru 1x2 < adică 21x < .
Din )x(f)x(f)x(f 21 += unde mulţimea de convergenţă a funcţiei f(x) este pentru 21x < ,
obţinem:
+
−+++
−+
+−= +
+ ΛΛ n1nn1n
22 x2)1(
31x2
312
31
71)x(f .
2.2.3 1x,)x1ln()x(f −>+=
Rezolvare
Avem: ΛΛ +−++−+−=+
=′ nn32 x)1(xxx1x1
1)x(f
convergentă pentru 1x < .
ΛΛ +−+−+−=′=+= −∫ nx)1(
3x
2xxxd)x(f)x1ln()x(f
n1n
32, 1x <
2.2.4 →+
= :f,x1
1)x(f 2 ℝ.
Rezolvare
Din seria binomială pentru α = -1 şi înlocuind x cu x2 obţinem:
,x)1(xx1x1
1 n2n422 ΛΛ +−+−+−=
+ 1x < .
2.2.5 ,xtgarc)x(f = →:f ℝ.
Rezolvare
,x)1(xx1x1
1)x(f n2n422 ΛΛ +−+−+−=
+=′ 1x < ⇒
⇒ ΛΛ ++
−+−+−+=+
==+
∫ 1n2x)1(
5x
3xxC
x1dxxtgarc)x(f
1n2n
53
2 , 1x < .
Cum f(0) = 0 rezultă C = 0 adică ∑∞
=
+
+−==
1n
1n2n
1n2x)1(xarctg)x(f , 1x < .
ℝ
ℝ
ℝ
Page 129
2.2.6 →−
= }1{\:f,)x1(
1)x(f 2 ℝ.
Rezolvare
Fie: ΛΛ +++++=−
= n2 xxx1x1
1)x(g , 1x < .
ΛΛ ++++=−
=′= −1n2 xnx21
)x1(1)x(g)x(f , 1x < .
2.2.7 ∈
++= x,x1xln)x(f 2 ℝ.
Rezolvare
222 x1
1
x1
x1x1x
1)x(f+
=
++⋅
++=′ .
Înlocuind în seria binomială x cu x2 şi făcând 21
−=α , obţinem:
( ) +−⋅⋅
+⋅
−=+=′−
Λ42
221
2 x!22
31x!12
11x1)x(f ΛΛ
+⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅−+ n2
nn x
!n2)1n2(531)1(
convergentă pentru 1x < .
Prin integrare, obţinem:
+−⋅⋅
⋅+
⋅⋅−+= Λ5
23 X
!22531x
!1231xC)x(f
ΛΛ
+⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅
−+ +1n2n
n x!n2)1n2(
)1n2(531)1( pentru 1x < .
Cum f(0) = 0, rezultă C = 0, adică:
1n2x
!n2!!)1n2()1(xx1xln)x(f
1n2
n1n
n2+⋅
−−+=
++=
+∞
=∑ , 1x < .
2.3
Să se dezvolte funcţia 3x
1)x(f,}3{\:f+
=→− în serie Taylor în punctul a =
- 2.
ℝ ℝ
Page 130
Rezolvare
Varianta 1: Avem: )2(f!n
)2x()x(f )n(
0n
n−
+= ∑
∞
=.
!n)1()2(f)3X(
!n)1()x(f
!3)2(f)3x(
32)x(f
2)2(f)3x(
2)x(f
1)2(f)3x(
1)x(f
1)2(f3x
1)x(f
n)n(1n
n)n(
4
3
2
−=−+
−=
−=−′′′+⋅
−=′′′
=−′′+
=′′
−=−′+
−=′
=−+
=
+
ΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ
Rezultă n
0n
n )2x()1(3x
1)x(f +−=+
= ∑∞
=
Varianta 2: )2x(1
1)x(f++
=
Notând x + 2 = y observăm că pentru x = - 2 avem y = 0.
Vom dezvolta funcţia y1
1)y(f+
= în serie Mac-Laurin:
∑∞
=−=+−+−+−=
0n
nnnn2 y)1(y)1(yy1)y(f ΛΛ
Revenind la variabila x găsim: ∑∞
=+−=
0n
nn )2x()1()x(f .
2.4
Să se dezvolte funcţia 1x2x5x)x(f 23 −+−= după puterile binomului x + 1.
Rezolvare
4n)(0)1(f0)x(f
6)1(f6)x(f16)1(f10x6)x(f15)1(f2x10x3)x(f
9)1(f1x2x5x)x(f
)n()n(
2
23
≥∀=−=
=−′′′=′′′−=−′′−=′′
=−′+−=′
−=−−+−=
Page 131
Rezultă:
3223 )1x(!3
6)1x(!2
16)1x(!1
1591x2x5x +++−++−=−+−
adică:
3223 )1x()1x(8)1x(1591x2x5x +++−++−=−+− .
2.5
Să se scrie primii patru termeni nenuli din dezvoltarea în jurul originii a funcţiei
.xcose)x(f x=
Rezolvare
Se arată uşor că ∑∑∞
=
∞
=−==
0n
n2n
0n
nx
!)n2(x)1(xcos,
!nxe .
Avem:
+−+−
++++== ΛΛ
!6x
!4x
!2x1
!3x
!2xx1xcose)x(f
64232x
Se obţin de aici primii patru termeni.
2.6
Probleme propuse
Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţiile:
2.6.1 x1x1ln)x(f
−+
= , 1x < R. ∑∞
=
+
+=
0n
1n2
1n2x2)x(f , 1x < .
2.6.2 4x1x1ln)x(f
−+
= , 1x < R. ∑∞
=
+
+=
0n
1n2
1n2x
21)x(f , 1x < .
2.6.3 2x2x1x)x(f−+
= ,
−∈ 1,
21\x
R. ∑∞
=
+ ⋅−+=
0n
nn1n
x3
2)1(1)x(f , 21x < .
ℝ
Page 132
2.6.4 6x5x
x)x(f 2 ++= , }2,3{\x −−∈
R. nnn
0n
1n x31
21)1()x(f
−−= ∑
∞
=
+ , 2x < .
2.6.5 xcos)x(f 3= , ∈x ℝ
R. n2
0n
n2n x
!)n2(33)1(
41)x(f ∑
∞
=
+−= , ∈x ℝ
Indicaţie Folosim formula 4
xcos3x3cosxcos3 += şi dezvoltarea în serie Mac-Laurin a
funcţiei cos x.
2.6.6 xsinarc)x(f = , 1x <
R. 1n2
x!!)n2(
!!)1n2(x)x(f1n2
1n +−
+=+∞
=∑ , 1x < .
Indicaţie 2x1
1)x(f−
=′ şi folosim seria binomială înlocuind x
cu - x2 şi luând 21
−=α .
2.6.7 Să se calculeze tdt
tcosIx
0∫= folosind dezvoltarea în serie Mac-Laurin a funcţiei
de sub integrală.
Indicaţie: ⇒−=⇒−= ∑∑∞
=
−∞
= 0n
1n2n
n2
0n
n!)n2(
t)1(t
tcos!)n2(
t)1(tcos
⇒ !)n2()n2(
x)1(In2
1n
n⋅
−= ∑∞
=, 0x > .
2.6.8 xsin)x(f = , ∈x ℝ. R. !)1n2(
x)1()x(f1n2
0n
n+
−=+∞
=∑ .
2.6.9 xcos)x(f 2= , ∈x ℝ R. !)n2(
x2)1()x(fn21n2
0n
n−∞
=∑ −= , ∈x ℝ.
ℝ
Page 133
Indicaţie Folosim formula: 2
x2cos1xcos2 += şi faptul că:
!)n2(
)x2()1(x2cosn2
0n
n∑∞
=−= , ∈x ℝ.
2.6.10 2xe)x(f = , ∈x ℝ R. ∑
∞
==
0n
n2
!nx)x(f , ∈x ℝ.
Să se dezvolte în serie Taylor în jurul punctului a, funcţiile:
2.6.11 2x3x
1)x(f 2 ++= , 4a,}1,2{\x −=−−∈ .
R. n
0n1n1n )4x(
31
21)x(f +
−= ∑
∞
=++ pentru )2,6(x −−∈ .
2.6.12 xe)2x()x(f += , ∈x ℝ, a = 1
R. n
0n)1x(
!n3ne)x(f −
+= ∑
∞
=, ∈x ℝ.
2.6.13 )1x3(ln)x(f −= , 31x > , a = 1
R. !n
)1x(23)1(2ln)x(f
nn
1n
1n −
⋅−+= ∑
∞
=
− , 31x > .
2.6.14 3x4x
1)x(f 2 ++= , 2a,}1,3{\x =−−∈
R. n
1n1n1n
n )2x(5
13
1)1(21)x(f −
−−= ∑
∞
=++ .
ℝ
ℝ
Page 134
3. Funcţii de mai multe variabile
3.1
Domeniu de definiţie. Limite. Continuitate. Derivate parţiale. Diferenţiabilitate
Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiilor:
3.1.1 →⊂ 2D:f ℝ, 22 yx4)y,x(f −−=
Rezolvare
Punem condiţia: 4yx0yx4 2222 ≤+⇒≥−− .
Rezultă: =≤+∈= }4yx/)y,x{(D 222 mulţimea punctelor din interiorul cercului cu
centrul în origine şi rază 2, inclusiv punctele de pe frontieră.
3.1.2 →⊂ 2D:f ℝ, 22 yx4
1)y,x(f−−
= .
Rezolvare
Din condiţia 4yx 22 <+ rezultă: =<+∈= }4yx/)y,x{(D 222
= punctele din interiorul cercului de mai sus fără punctele de pe frontieră.
3.1.3 →⊂ 2D:f ℝ, xy53xcosarc)y,x(f +=
Rezolvare
3x313x
≤≤−⇒≤
≥≥
⇒≥0y0x
0yx sau
≤≤
0y0x
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
Page 135
D este partea haşurată din graficul de mai jos:
3.1.4 Să se studieze continuitatea funcţiei:
=+
≠++=
0yxdacă0
0yxdacăyx
xy6)y,x(f
44
4444
3
Rezolvare
Dacă îl fixăm pe y avem: 0yx
xy6lim 44
3
0x=
+→ şi 0)y,0(f = deci funcţia este continuă
în origine în raport cu x; în celelalte puncte este continuă fiind funcţie elementară.
Dacă îl fixăm pe x avem 0yx
xy6lim 44
3
0y=
+→ şi 0)0,x(f = deci funcţia este continuă în raport
cu y din considerente similare.
Funcţia nu este continuă în (0,0) în raport cu ansamblul variabilelor deoarece în (0,0) limita
nu există. Într-adevăr pentru şirul de puncte
na,
n1 care converge către (0,0) avem:
4
3
a1a6
na,
n1f
+=
deci limita şirului valorilor funcţiei depinde de parametrul a.
3.1.5 Pentru funcţia de la 3.1.4 să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi în
(0,0).
Rezolvare
00limx0lim
0x)0,0(f)0,x(flim)0,0(f
0x0x0xx ===−−
=′→→→
00limy0lim
0y)0,0(f)y,0(flim)0,0(f
0y0y0yy ===−−
=′→→→
x3-3
y
0
Page 136
3.1.6 Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi în (a, b) folosind definiţia pentru:
f(x,y) = sin x + y2ln x.
Rezolvare
=−
−−+=
−−
=′→→ ax
alnbasinxlnbxsinlimax
)b,a(f)b,x(flim)b,a(f22
axaxx
abacos
axalnxlnlimb
axasinxsinlim
2
ax2
ax+=
−−
⋅+−−
=→→
.
=−
−−+=
−−
=′→→ by
alnbasinalnyasinlimby
)b,a(f)y,a(flim)b,a(f22
bybyy
( ) alnb2by
alnbylim22
by=
−−
=→
.
3.1.7 Să se studieze diferenţiabilitatea funcţiei 2yx)y,x(f += în punctul (1,2).
Rezolvare
Trebuie să avem:
⋅−+−+−′+−′=− 22yx )2y()1x()2y()2,1(f)1x()2,1(f)2,1(f)y,x(f
)y,x(ω⋅ unde )y,x(ω este continuă pe o vecinătate a lui (1,2) şi
0)2,1()y,x(lim)2,1()y,x(
=ω=ω→
.
Avem: 4)2,1(f,1)2,1(f,5)2,1(f yx =′=′= .
Rezultă:
)y,x()2y()1x()2y(4)1x(5yx 222 ω⋅−+−+−+−=−+ ,
de unde: 22
2
)2y()1x(
)2y()y,x(−+−
−=ω .
Observăm că:
2222
22)2y()1x(
)2y()1x(
)2y()1x()y,x(0 −+−=−+−
−+−≤ω≤
adică:
0)y,x(lim0)y,x(lim0)2,1()y,x()2,1()y,x(
=ω⇒≤ω≤→→
.
Page 137
Rezultă că f(x,y) este diferenţiabilă în (1,2) şi avem:
)2y(4)1x()2,1;y,x(fd −+−= .
3.1.8 Pentru funcţia 0y,x,ylnxy)y,x(f >∞<<∞−= , să se arate folosind definiţia că:
).1,1(f)1,1(f xyxy ′′=′′
Rezolvare
Avem: 1y
)1,1(f)y,1(flim)1,1(f xx1yxy −
′−′=′′
→.
Însă: ylny1x
ylnyylnxylim1x
)y,1(f)y,x(flim)y,1(f1x1xx =
−−
=−−
=′→→
01x
)1,1(f)1,x(flim)1,1(f1xx =
−−
=′→
.
Deci: 1)1y(lnlim1yylnylim)1,1(f
1y1yxy =+=−
=′′→→
.
Similar: 1x
)1,1(f)1,x(flim)1,1(f yy
1xyx −
′−′=′′
→, unde:
x1yylnylimx
1yylnxylim
1y)1,x(f)y,x(flim)1,x(f
1y1y1yy =−
=−
=−−
=′→→→
11yylnylim
1y)1,1(f)y,1(flim)1,1(f
1y1yy =−
=−−
=′→→
Rezultă: 11x1xlim)1,1(f
1xyx =−−
=′′→
.
Folosind formulele obişnuite, să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi în raport
cu toate variabilele care intervin pentru funcţiile următoare:
3.1.9 yx)y,x(f = , 0x > .
Rezolvare
1yx yx)y,x(f −=′ ; xlnx)y,x(f y
y =′
3.1.10 x)xy3()y,x(f += , 0xy3 >+ .
Page 138
Rezolvare
=+⋅++⋅+=′ − )xy3(ln)xy3(y)xy3(x)y,x(f x1xx
)]xy3ln()xy3(xy[)xy3( 1x ++++= −
1x2y
1xy )xy3(x)xy3()xy3(x)y,x(f −− +=′+⋅+=′ .
3.1.11 zyx)z,y,x(f = , 0y,0x >> .
Rezolvare
( ) xlnyzxy)x(lnx)z,y,x(f;xy)z,y,x(f 1zyy
zyy
1yzx
zzz −− =′
⋅=′=′ ;
( ) ylnxlnyxy)x(lnx)z,y,x(f zyz
zyz
zz=
′⋅=′ .
Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi doi pentru funcţiile:
3.1.12 4xy5yx2yx3)y,x(f 4432 ++−=
Rezolvare
y5yx8xy6)y,x(f 433x +−=′ ; ⇒+−=′ x5yx8yx9)y,x(f 3422
y
⇒ dy)x5yx8yx9(dx)y5yx8xy6()y,x(fd 3422433 +−++−= .
( ) 423xxx yx24y6f)y,x(f 2 −=′′=′′ ; ( ) 5yx32xy18f)y,x(f 332
yxxy +−=′′=′′
( ) ⇒−=′′=′′ 242yyy yx24yx18f)y,x(f 2
⇒ ( ) ( ) ++−+−= dydx5yx32xy182dxyx24y6)y,x(fd 33224232
( ) 2242 dyyx24yx18 −+ .
3.1.13 yxyx)y,x(f
−+
= în punctul (2,1)
Rezolvare
2)yx(
y2)1,2(f )1,2(2x −=−−
=′ ; ⇒=−
=′ 4)yx(
x2)1,2(f )1,2(2y
⇒ )1y(4)2x(2)1,2;y,x(fd −+−−= .
Page 139
4)yx(
y4)1,2(f )1,2(3x2 =−
=′′ ; 6)yx(
)yx(2)1,2(f )1,2(3xy −=−+−
=′′ ;
8)yx(
x4)1,2(f )1,2(3y2 =−
=′′ .
Rezultă că: 222 )1y(8)1y)(2x(12)2x(4)1,2;y,x(fd −+−−−−= .
3.1.14 zyxxyzzxyyzx)z,y,x(f 222 +++++= în punctul (1,1,1).
Rezolvare
( ) 51yzzyxyz2)1,1,1(f )1,1,1(22
x =+++=′
( ) 51xzxyz2zx)1,1,1(f )1,1,1(22
y =+++=′
( ) 51xyz2xyyx)1,1,1(f )1,1,1(22
z =+++=′
2yz2)1,1,1(f )1,1,1(x2 ==′′ ;
2xz2)1,1,1(f )1,1,1(y2 ==′′ ;
2xy2)1,1,1(f )1,1,1(z2 ==′′
( ) 5zyz2xz2)1,1,1(f )1,1,1(2
xy =++=′′
( ) 5yz2yxy2)1,1,1(f )1,1,1(2
zx =++=′′
( ) 5xz2xy2x)1,1,1(f )1,1,1(2
zy =++=′′
Rezultă: )1z(5)1y(5)1x(5)1,1,1;z,y,x(fd −+−+−= .
+−+−+−= ])1z()1y()1x[(2)1,1,1;z,y,x(fd 2222
[ ])1z)(1y()1z)(1x()1y)(1x(10 −−+−−+−−+ .
3.1.15 Să se scrie polinomul Taylor de gradul trei pentru ysine)y,x(f x= în punctul
),0( π .
Rezolvare
Ştim că: !3
),0(fd!2
),0(fd!1
),0(fd),0(f)y,x(T32
3π
+π
+π
+π=
Avem: 1ycose),0(f;0ysine),0(f,0),0(f ),0(x
y),0(x
x −==π′==π′=π ππ
Page 140
0ysine),0(f ),0(x
x2 ==π′′ π ; 1ycose),0(f ),0(x
xy −==π′′ π ;
0ysine),0(f ),0(x
y2 =−=π′′ π
0ysine),0(f ),0(x
x3 ==π′′′ π ; 1ycose),0(f ),0(x
yx2 −==π′′′ π ;
0ysine),0(f ),0(x
xy2 =−=π′′′ π ; 1ycose),0(f ),0(x
y3 =−=π′′′ π .
Rezultă: )y()0y)(,0(f)0x)(,0(f),0(fd yx π−−=−π′+−π′=π .
+−−π′′+−π′′=π )0y)(0x)(,0(f2)0x)(,0(f),0(fd xy2
x2
2 )y(2)y)(,0(f 2y2 π−−=π−π′′+
+π−π′′′+π′′′=π )y(x),0(f3x),0(f),0(fd 2yx
3x
323
33y
2xy )y()y(3)y)(,0(f)y(x),0(f3 32 π−+π−−=π−π′′′+π−π′′′+
de unde:
=π−−π−
−π−
−π−−=!3
)y()y(x3!2
)y(x2)y()y,x(T32
3
6)y(
2xx1)y(
32 π−+
++−π=
3.1.16 Să se arate că dacă F (x,y) este o funcţie omogenă de gradul întâi, suma
elasticităţilor parţiale în raport cu x şi y este 1.
Rezolvare
Ştim că F(x,y) este omogenă de gradul întâi dacă
F(tx,ty) = t F(x,y).
Pentru x1t = rezultă:
=
=
xyfx
xy,1Fx)y,x(F .
Elasticitatea parţială a lui F în raport cu x este:
=
∂∂
⋅
=∂
∂=
xyfx
xxyf
1x
)y,x(F)y,x(F
x)y,x(FEx
′
−=
+=
−
′+
=
xyf
xyf
xy1
xyflnx1
xy
xyfx
xyf
xyf
1 '
x2
Elasticitatea parţială a lui F în raport cu y este:
Page 141
=
∂∂
=∂
∂=
xyfx
yxyfx
yy
)y,x(F)y,x(F
y)y,x(FEy
'
x2
2
xyflnx
xy
xyf
xy
xyf
xy
x1
xyfx
xyfx
y
−=
−⋅
−⋅
′
⋅=⋅
′⋅⋅
= .
Rezultă: 1)y,x(FE)y,x(FE yx =+ .
3.1.17 Fie xy
1 eyxA)y,x(fβ−α−α= funcţia Cobb-Douglas genera-lizată, unde x reprezintă
volumul agregat al forţei de muncă şi y volumul agregat al fondurilor de producţie.
Să se determine elasticităţile parţiale în raport cu factorii x şi y ale acestei funcţii de
producţie.
Rezolvare
=∂
∂⋅=
x)y,x(f
)y,x(fx)y,x(fEx
xye
xyxexyA
eyxA
x xy
2xy
11
xy
1
β+α=
β+α⋅=
β−αβ−−αα−
β−α−α
=∂
∂⋅=
y)y,x(f
)y,x(fy)y,x(fEy
xy1e
xyey)1(xA
eyxA
y xy
1xy
xy
1
⋅β−α−=
β⋅−α−⋅=
β−α−β−α−α
β−α−α
cu condiţia:
1xy0 ≤β+α≤ .
Notă
10 Observăm că 1)y,x(fE)y,x(fE yx =+ .
20 Funcţia Cobb-Douglas generalizată are elasticităţile producţiei în raport cu factorii ce o
determină lineare în raport cu xy , indicatorul de înzestrare tehnică a muncii.
3.1.18 Să se determine elasticităţile parţiale ale funcţiei de producţie: α−α= 1yxA)y,x(f .
Rezolvare
Este cazul particular al funcţiei Cobb-Douglas cu 0=β .
Page 142
Se va obţine: α−=α= 1)y,x(fE,)y,x(fE yx .
Deci elasticităţile în raport cu forţa de muncă x respectiv fondurile de producţie y sunt
constante adică vitezele variaţiei relative a producţiei pentru o variaţie relativă de o unitate
a forţei de muncă, respectiv a fondurilor de producţie sunt constante.
Notă
Deoarece f(x,y) este omogenă de gradul întâi ( ) )y,x(ft)ty,tx(f = avem:
)y,x(fE1)y,x(fE xy −= .
3.1.19 Fie F(x,y) o funcţie de producţie omogenă de gradul întâi.
(x reprezintă volumul agregat al forţei de muncă, y volumul agregat al fondurilor de
producţie). Să se exprime norma de substituire a factorilor precum şi elasticitatea normei
de substituire a factorilor în funcţie de indicatorul de înzestrare tehnică a muncii xy .
Rezolvare
F(x,y) omogenă de gradul întâi
=⇒
xyfx)y,x(F
(vezi 3.1.16). Viteza de variaţie a producţiei în raport cu forţa de muncă (productivitatea
diferenţială a muncii) este:
′−
=
∂∂
=αxyf
xy
xyf
x)y,x(F)y,x(x .
Viteza de variaţie a producţiei în raport cu fondurile de producţie (eficienţa diferenţială a
fondurilor de producţie) este:
′=
∂∂
=αxyf
y)y,x(F)y,x(y .
Norma de substituire a funcţiei este:
γ=−
′
=
′
′−
=αα
=βxy
xy
xyf
xyf
xyf
xyf
xy
xyf
)y,x()y,x()y,x(
y
x .
Elasticitatea normei de substituire a factorilor este:
Page 143
=
−
′
′′
−
′
⋅
−
′
=
γ′
γ
=
γ 1
xyf
xyf
xyf
xyf
xy
xyf
xyf
xy
xy
xy
xy
xyE 2
2
xy
−
′
′
′′
=
xyf
xyf
xy
xyf
xyf
xyf
xy
.
Dacă definim coeficientul de substituţie prin:
yxFF
yF
xF
2
∂∂∂
⋅
∂∂
⋅∂∂
=δ se verifică imediat că:
δ=
γ
1xyE
xy .
3.1.20 Să se calculeze diferenţiala de ordinul n a funcţiei: byaxe)y,x(f += .
Rezolvare
Avem: byaxy
byaxx bef,eaf ++ =′=′ de unde:
)dybdxa(e)y,x(df byax += + .
byaxxy
byax2x abef;eaf 2
++ =′′=′′ ; byax2y ebf 2
+=′′ de unde:
( ) ( )2byax2222byax2 bdyadxedybdydxab2xdae)y,x(fd +=++= ++ .
Observând că: byaxkkn)n(yx
ebaf kkn+−=− ( ) nk0,n ≤≤∈∀ se deduce uşor că:
( )nbyaxn dybdxae)y,x(fd += + .
3.1.21 Să se scrie polinomul Taylor de gradul trei pentru ,x)y,x(f y= 0y,0x >> . Să
se calculeze valoarea aproximativă pentru 2,11,1 .
Rezolvare
Avem: 1xy)1,1(f )1,1(1y
x ==′ − ; 0xlnx)1,1(f )1,1(y
y ==′
ℕ
Page 144
0x)1y(y)1,1(f )1,1(2y
x2 =−=′′ − ; ( ) 1xlnyxx)1,1(f )1,1(1y1y
xy =+=′′ −− ;
0xlnx)1,1(f )1,1(2y
y2 ==′′ ; 0x)2y)(1y(y)1,1(f )1,1(3y
x3 =−−=′′′ − ;
1)1,1(f yx2 =′′′ ; 0)1,1(f 2xy =′′′ ; 0)1,1(f 3y =′′′ ; 1)1,1(f = .
Rezultă: =−−⋅+−−⋅+−+= )1y()1x(3!3
1)1y)(1x(2!2
1)1x(!1
11)y,x(T 23
)1y()1x(21)1y)(1x()1x(1 2 −−+−−+−+= .
Punând: x = 1,1, y = 1,2 obţinem:
1021,12,01,0212,01,01,011,1 22,1 =⋅⋅+⋅++≈ .
3.1.22 Fie funcţia
=
xyf)y,x(F unde funcţia f este derivabilă.
Să se calculeze d F(x,y).
Rezolvare
Avem: dy)y,x(Fdx)y,x(F)y,x(dF yx ′+′= .
Notăm: xy)y,x(u = pentru 0x ≠ .
Avem: )u(fxy
xu
uF)y,x(F 2x ′−=
∂∂
⋅∂∂
=′ .
)u(fx1
yu
uF)y,x(Fy ′=
∂∂
⋅∂∂
=′ .
Rezultă: )u(f)dxydyx(x1)y,x(dF 2 ′−= .
3.1.23 Fie )xy(x3
y)y,x(f2
α+= unde α este o funcţie derivabilă.
Să se arate că: 0y)y,x(fxy)y,x(fx 2yx
2 =+′−′ .
Rezolvare
Notăm u = xy.
Avem: uyx3yu
x3y)y,x(f 2
2
x2
2
x ′+−
=′⋅α′+−
=′
Page 145
uxx3y2u
x3y2)y,x(f yy ′+=′⋅α′+=′ .
0yuyxy32uyx
3yy)y,x(fxy)y,x(fx 2222
22
yx2 =+′−−′+−=+′−′ .
3.1.24 Fie funcţia:
=
yx,xyf)y,x(F . Să se calculeze )y,x(Fxy′′ .
Rezolvare
Notăm: u = xy, yxv = şi vom avea )v,u(f)y,x(F = .
Avem: yux =′ , xuy =′ , 0u 2x =′′ , 1uxy =′′ , 0u 2y =′′
y1vx =′ , 2y y
xv −=′ , 0v 2x =′′ , 2xy y1v −=′′ , 3y y
x2v 2 =′′ .
vuxvxux fy1fyvfuf)y,x(F ′+′=′⋅′+′⋅′=′
( ) yvv2yuuxy fy1f
y1)f(yf)y,x(F ′′+′−′′+′=′′ .
Deoarece: ( ) uv2uyuvyuyu fyxfxvfuff 22 ′′−′′=′⋅′′+′⋅′′=′′ .
( ) 22 v2vuyvyvuyv fyxfxvfuff ′′−′′=′⋅′′+′⋅′′=′′ , obţinem:
22 v3vuv2uvuuxy fyxf
yxf
y1f
yxfxyf)y,x(F ′′−′′+′−′′−′′+′=′′ .
3.2
Probleme propuse
Să se calculeze limitele următoare:
3.2.1 1y3xy4lim
y5x +
−
∞→→
R. 20
3.2.2 yxy2x5lim
2y3x +
+
→→
R. 5
19
Page 146
3.2.3 11xy
xylim0y0x −+
→→
R. 2
3.2.4 yxysinlim
0y3x
→→
R. 3
3.2.5 yxyxlim
22
0y0x +
+
→→
R. 0
3.2.6 1yx
yx2x1lim2
22
1y2x ++
+++
→→
R. 2
Să se arate că următoarele funcţii nu au limită în origine:
3.2.7 yxyx)y,x(f
−+
= , yx ≠
3.2.8 x3yx3y)y,x(f 2
2
−+
= , x3y2 ≠
3.2.9 22 yxxy5)y,x(f+
=
3.2.10 Să se arate că funcţia:
=+
≠++=
0yxpentru0
0yxpentruyx
xy)y,x(f
22
2222
are derivatele parţiale )0,0(fx′ , )0,0(fy′ dar nu este continuă în (0,0).
3.2.11 Să se arate că funcţia: xy)y,x(f = are derivatele parţiale )0,0(f,)0,0(f yx ′′ dar nu
este diferenţiabilă în (0,0).
Page 147
3.2.12 Să se arate că funcţia:
=
∈+=
)0,0()y,x(pentru0
)}0,0{(\)y,x(pentruyx
xy)y,x(f
222
este continuă în origine, are derivate parţiale în origine, dar nu este diferenţiabilă în
origine.
3.2.13 Fie
=
≠+−
=)0,0()y,x(pentru0
)0,0()y,x(pentruyxyxxy)y,x(f 22
22
.
Să se arate că )0,0(f)0,0(f yxxy ′′≠′′ .
Să se calculeze diferenţialele de ordinul unu şi doi pentru funcţiile:
3.2.14 9yxyx2yx5)y,x(f 22332 −+−= .
3.2.15
+=
yx1ln)y,x(f în punctul (1,1).
3.2.16 yzx)z,y,x(f = , 0z,0y ≠≠ .
Să se scrie polinoamele Taylor de gradul doi şi trei pentru funcţiile:
3.2.17 ycose)y,x(f x= în (0,0).
3.2.18 ycosxcos)y,x(f = în punctul ),0( π .
3.2.19 x)1y()y,x(f += în punctul (1,0).
3.2.20 Fie )czbyax1ln()z,y,x(f +++=
Să se calculeze )0,0,0;z,y,x(fdn . R. n1n )czbyax(!)1n()1( ++−− −
Să se determine elasticităţile parţiale ale funcţiilor:
ℝ
Page 148
3.2.21
γ
γβ
−α−α= x
y1 eyxA)y,x(f (cvasi Cobb-Douglas).
R. )y,x(fE1)y,x(fE;xy)y,x(fE xyx −=
γβ
+α=γ
.
3.2.22 33
22
xyyx
A1)y,x(f
+α= (Sato).
R. )y,x(fE1)y,x(fE;xyxy2)y,x(fE xy33
33
x −=+α−α
= .
Să se arate că următoarele funcţii verifică identităţile scrise în dreptul lor:
3.2.23 )y,x(f)y,x(fy)y,x(fx;yx
x)y,x(f yx22 −=′+′+
=
3.2.24 0)y,x(fx)y,x(fy;)yx(tgarc)y,x(f yx22 =′−′+=
3.2.25 ;xyln)y,x(f = 0)y,x(fy)y,x(fx yx =′+′
3.2.26 ;)yx(f)y,x(F 22 += 0)y,x(Fx)y,x(Fy yx =′−′ , f fiind funcţie derivabilă.
3.2.27 ;)y,x(fx)y,x(F += x)y,x(Fy)y,x(Fx yx =′−′ , f fiind funcţie derivabilă.
3.2.28 ;)zy,yx(f)z,y,x(F −−=
0)z,y,x(F)z,y,x(F)z,y,x(F zyx =′+′+′ unde f este o funcţie derivabilă.
3.2.29 )zyx(tgarc)z,y,x(f 222 ++= ; zyx fxy2fzxfzy ′=′+′
xzy fyz2fyxfzx ′=′+′
yzx fxz2fyxfzy ′=′+′ .
Page 149
3.2.30 ,xyz
xzy
yzx)z,y,x(f ++= 0z,y,x ≠ ; ffzfyfx zyx =′+′+′ .
4. Extremele funcţiilor de mai multe variabile
4.1
Probleme rezolvate
Să se afle extremele funcţiilor:
4.1.1 y2
x4xy)y,x(f ++= , 0y,0x ≠≠ .
Rezolvare
I. Aflăm punctele staţionare:
=−=′
=−=′
0y2x)y,x(f
0x4y)y,x(f
2y
2x 1y,2x 00 ==⇒
II. 3yxy3x y4)y,x(f;1)y,x(f,
x8)y,x(f 22 =′′=′′=′′
III. 1yx
32)y,x( 33 −=∆
IV. )1,2(03)1,2( ⇒>=∆ este punct de extrem local.
Deoarece: )1,2(01)1,2(f 2x ⇒>=′′ punct de minim local şi 6)1,2(f)y,x(f(min) == .
4.1.2 20y12x15xy3x)y,x(f 23 +−−+=
Rezolvare
I.
=−=′=−+=′
012xy6)y,x(f015y3x3)y,x(f
y
22x
==+⇒
2xy5yx 22
Obţinem punctele staţionare: A (1,2), B (2,1), C (-1,-2), D (-2,-1).
Page 150
II. x6)y,x(f 2x =′′ , x6)y,x(f 2y =′′ , y6)y,x(fxy =′′
III. )yx(36)y,x( 22 −=∆ .
IV. 0108)2,1( <−=∆ , 108)2,1( −=−−∆ ⇒ punctele (1,2),
(-1,-2) sunt puncte şa.
)1,2(012)1,2(f,0108)1,2( 2x ⇒>=′′>=∆ punct de minim local.
)1,2(012)1,2(f,0108)1,2( 2x −−⇒<−=−−′′>=−−∆ punct de maxim local.
Avem: (min) f(x,y) = f(2,1) = -8
(max) f(x,y) = f(-2,-1) = 48.
4.1.3 22 )1y()2x()y,x(f −+−= unde 4yx 22 =+ .
Rezolvare
Având un extrem condiţionat considerăm funcţia:
)4yx()1y()2x(),y,x(F 2222 −+λ+−+−=λ unde λ este multiplicator al lui Lagrange.
I.
=−+=λ′
=λ+−=λ′=λ+−=λ′
λ 04yx),y,x(F
0y2)1y(2),y,x(F0x2)2x(2),y,x(F
22y
x
,1
2xλ+
=⇒ ,1
1yλ+
= 45)1( 2 =λ+ .
Pentru 251 1 =λ+ obţinem
554
54x1 == ,
552
52y1 == .
Pentru 251 2 −=λ+ obţinem
554x2 −= ,
552y2 −= .
II. )1(2),y,x(F 2x λ+=λ′′ , ,)1(2),y,x(F 2y λ+=λ′′ 0),y,x(Fxy =λ′′
III. ⇒>λ+=λ∆ 0)1(4),y,x( 2 ambele puncte sunt extreme locale.
IV.
⇒>=λ′′
552,
55405),y,x(F 111x2 minim local.
−−⇒<−=λ′′
552,
55405),y,x(F 222x2 maxim local.
4.1.4 22 yx)y,x(f += unde 13y
2x
=+
Page 151
Rezolvare
Fie
−+λ++=λ 1
3y
2xyx),y,x(F 22 .
I.
=−+=λ′
=λ
+=λ′
=λ
+=λ′
λ 013y
2x),y,x(F
03
y2),y,x(F
02
x2),y,x(F
y
x
137201
188
6y,
4x
−=λ⇒=−λ
−λ
−
λ−=
λ−=⇒
Punctul staţionar este
1312,
1318A .
II. 2),y,x(F 2x =λ′′ , ,2),y,x(F 2y =λ′′ 0),y,x(Fxy =λ′′
III. 4)y,x( =∆
IV. 01312,
1318
>
∆ ⇒ A extrem; ⇒>=
′′ 02
1312,
1318F 2x
⇒ A punct de minim local şi 1336)y,x(f(min) = .
4.1.5 z2
yz
x4yx)z,y,x(f
22+++= , 0z,0y,0x >>>
Rezolvare
I.
=−=′
=−=′
=−=′
0z2
yz2)z,y,x(f
0yz
x2y)z,y,x(f
0x4
y1)z,y,x(f
2z
2
2
y
2
2
x
=
=
=
⇒
yz
xz2y
x4y
3
23
22
=
=
=
⇒
x2z
xz2x8
x2y
3
23
=
=
=
⇒
1z1y21x
0
0
0
.
II. 3
2
x x2y)z,y,x(f 2 =′′ , 2xy x2
y)z,y,x(f −=′′ , 0)z,y,x(fxz =′′
Page 152
3
2
y yz2
x21)z,y,x(f 2 +=′′ , 2yz y
z2)z,y,x(f −=′′ , 3z z4
y2)z,y,x(f 2 +=′′
III. Calculăm derivatele parţiale de ordinul doi în
1,1,
21A :
4)A(f 2x =′′ , 1)A(fxy −=′′ , 0)A(fxz =′′ ,
3)A(f 2y =′′ , 2)A(fyz −=′′ , 6)A(f 2z =′′
IV. Fie matricea hessiană:
′′′′′′′′′′′′′′′′′′
=)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f)z,y,x(f
)z,y,x(H2
2
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Calculăm
−−−
−=
620231014
)A(H şi minorii principali: 041 >=∆ ,
0113114
2 >=−
−=∆ , 050)A(H3 >==∆ .
Întrucât toţi 0i >∆ , i = 1,2,3, punctul
1,1,
21A este punctul de minim local şi
41,1,21f)z,y,x(f(min) =
= .
4.1.6 3z2xy6zyx)z,y,x(f 232 −++++= .
Rezolvare
I.
=+=′
=+=′
=+=′
02z2)z,y,x(f0x6y3)z,y,x(f
0y6x2)z,y,x(f
z
2y
x
⇒
Există punctele staţionare: A(0,0,-1), B(-18,6,-1).
II. 2)z,y,x(f 2x =′′ , 6)z,y,x(fxy =′′ , 0)z,y,x(fxz =′′ ,
y6)z,y,x(f 2y =′′ , 0)z,y,x(fyz =′′ , 2)z,y,x(f 2z =′′ .
Page 153
III. Calculăm derivatele parţiale de ordinul doi în punctele A şi B:
2)A(f 2x =′′ , 6)A(fxy =′′ , 0)A(fxz =′′ ,
0)A(f 2y =′′ , 0)A(fyz =′′ , 2)A(f 2z =′′
2)B(f 2x =′′ , 6)B(fxy =′′ , 0)B(fxz =′′
36)B(f 2y =′′ , 0)B(fyz =′′ , 2)B(f 2z =′′ .
IV. Calculăm hessianul şi minorii principali în fiecare caz:
=
200006062
)A(H )1,0,0(A,072,036,02
3
21
−⇒<−=∆
<−=∆>=∆⇒
punct şa.
=
2000366062
)B(H )1,6,18(B,072
,036,02
3
21
−−⇒>=∆>=∆>=∆⇒
punct de minim local.
4.1.7 zy2x2)z,y,x(f ++−= pentru 9zyx 222 =++
Rezolvare
Fie ( )9zyxzy2x2),z,y,x(F 222 −++λ+++−=λ
I. Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului:
=++
=λ+=λ′
=λ+=λ′=λ+−=λ′
9zyx
0z21),z,y,x(F0y22),z,y,x(F
0x22),z,y,x(F
222z
y
x
2114
94111
21z,1y,1x
2
222
±=λ⇒=λ⇒
⇒=λ
+λ
+λ
⇒
⇒λ
−=λ
−=λ
=⇒
Pentru
1z,2y,2x21
1z,2y,2x21
2222
1111
==−=⇒−=λ
−=−==⇒=λ)1,2,2(B),1,2,2(A −−−⇒
puncte staţionare.
Page 154
II. λ=λ′′ 2),z,y,x(F 2x , 0),z,y,x(Fxy =λ′′ , 0),z,y,x(Fxz =λ′′ ,
λ=λ′′ 2),z,y,x(F 2y , 0),z,y,x(Fyz =λ′′ , λ=λ′′ 2),z,y,x(F 2z .
III. 1)A(F 2x =′′ , 0)A(Fxy =′′ , 0)A(Fxz =′′ ,
1)A(F 2y =′′ , 0)A(Fyz =′′ , 1)A(F 2z =′′ .
1)B(F 2x −=′′ , 0)B(Fxy =′′ , 0)B(Fxz =′′ ,
1)B(F 2y −=′′ , 0)B(Fyz =′′ , 1)B(F 2z −=′′ .
IV. Avem:
=
100010001
)A(H , )1,2,2(A,01
,01,01
3
21
−−⇒>=∆>=∆>=∆⇒
punct de minim şi 9)1,2,2(f)z,y,x(f(min) −=−−= .
−−
−=
100010001
)B(H , )1,2,2(B,01
,01,01
3
21
−⇒<−=∆>=∆<−=∆⇒
punct de maxim şi 9)1,2,2(f)z,y,x(f(max) =−=
4.1.8 Să se arate că dimensiunile optime ale unui bazin paralelipipedic de volum dat a3
sunt: baza un pătrat şi adâncimea egală cu jumătatea laturii bazei.
Rezolvare
Fie x,y,z lungimea, lăţimea, respectiv adâncimea bazinului. Suprafaţa bazinului va fi
xy)yzxz(2)z,y,x(f ++= , iar volumul 0a,axyz 3 >= . Propunem cititorului să afle
extremele funcţiei f(x,y,z) cu condiţia 0a,axyz 3 >= , aplicând metoda multiplicatorilor lui
Lagrange.
Din : 3axyz = avem: xyaz
3= . Trebuie să aflăm extremele funcţiei:
0y,0x,xyy1
x1a2xy
xy)yx(a2)y,x(g 3
3≠≠+
+=+
+= .
Din:
=+−=′
=+−=′
0xya2)y,x(g
0yxa2)y,x(g
2
3
y
2
3
x rezultă:
22az
2ay,2ax3
0
30
30
=⇒
⇒==.
Page 155
Avem: 3
3
x xa4)y,x(g 2 =′′ , 3
3
y ya4)y,x(g 2 =′′ , 1)y,x(gxy =′′ .
1yxa16)y,x( 33
6−=∆
031a4a16)y,x( 6
6
00 >=−=∆ ⇒>==′′⇒ 02a2a4)y,x(g 3
3
00x2
⇒ (x0, y0) este punctul de minim local.
4.1.9 O întreprindere realizează produse în cantităţile x şi y. Cheltuielile totale de
producţie sunt y4x410)y,x(c −+= .
Preţurile unitare ale celor două produse depind de nivelul producţiei
astfel: y28p,x16p 22
1 −=−= . Să se determine în ce cantităţi trebuie să fie fabricate
produsele şi la ce preţuri astfel încât beneficiul total să fie maxim.
Rezolvare
Beneficiul total este:
=−+= )y,x(cypxp)y,x(f 21
( ) ( ) y4x410y28yx16x 2 +−−−+−= adică:
0y,0x,10y12x12y2x)y,x(f 23 >>−++−−= .
Avem:
=+−=′=+−=′
012y4)y,x(f012x6)y,x(f
y
x
=
=⇒
3y2x
0
0 punct staţionar.
6)y,x(f 2x −=′′ , 4)y,x(f 2y −=′′ , 0)y,x(fxy =′′ .
024)3,2( >=∆ , )3,2(06)3,2(f 2x ⇒<−=′′ punct de maxim local.
Rezultă:
Beneficiul maxim 24)3,2(f == pentru 2p,12416p 21 ==−= .
4.1.10 O fabrică de mobilă realizează două produse pentru export cu cheltuieli unitare
fixe de producţie de 4 u.m. şi 5 u.m. Cererile pe piaţa externă ale celor două produse sunt:
)pp(2x 121 −= , 8p10p3x 212 +−= unde p1 şi p2 reprezintă preţurile de vânzare ale
produselor. Să se determine preţurile p1 şi p2 astfel încât beneficiul realizat din vânzarea
celor două produse să fie maxim.
Page 156
Rezolvare
Beneficiul este:
=−−+= 21221121 x4x4xpxp)p,p(f
40p50p7pp5p10p2 212122
21 −+−+−−= .
Avem:
=++−=′
=−+−=′
050p5p20)p,p(f
07p5p4)p,p(f
1221p
2121p
2
1
=
=⇒
3p
2p0
0
2
1
4)p,p(f 21p21
−=′′ , 20)p,p(f 21p22
−=′′ , 5)p,p(f 21pp 21=′′
[ ] 055)3,2(f)3,2(f)3,2(f)3,2( 2pppp 212
221
>=′′−′′⋅′′=∆ ; 04)3,2(f 21p <−=′′ .
Rezultă (2,3) este punct de maxim şi 28)3,2(f)p,p(f(max) 21 == .
4.2
Probleme propuse
Să se afle extremele funcţiilor:
4.2.1 33266 yx4y5y4x)y,x(f −++= R. (0,0) punct de minim.
4.2.2 5xy3yx)y,x(f 33 +++= R. (0,0) punct şa.
(-1,-1) punct de maxim.
4.2.3 ( )22 yxe)yx()y,x(f +−+= R.
21,
21 maxim.
−−
21,
21 minim.
4.2.4 4y3x2yx)y,x(f 32 ++−+= R. nu are puncte staţionare.
4.2.5 4y3x2yx)y,x(f 32 +−−+= R. (1,1) minim;
(1,-1) punct şa.
4.2.6 z2xxyzyx)z,y,x(f 222 −+−++= R.
−− 1,
31,
32 minim.
Page 157
4.2.7 13y
2xundeyx)y,x(f 22 =++= R.
1312,
1318 minim.
4.2.8 1yxundexy)y,x(f =+= R.
21,
21 maxim.
4.2.9 12zyxundezxy)z,y,x(f 32 =++= R. (2,4,6) maxim.
4.2.10 Se consideră funcţia de producţie: y4
x212)y,x(f −−= , unde x şi y sunt nivelele
factorilor (materii prime, energie etc.).
Dacă factorii au costurile unitare 2, respectiv 4 u.m., iar preţul unitar al produsului finit este
9 u.m., să se determine structura producţiei astfel încât beneficiul să fie maxim.
Indicaţie Beneficiul total este:
0y,0x,y4x2y
36x
18108y4x2)y,x(f9)y,x(B >>−−−−=−−=
R. (3,3) punct de maxim.
5. Metoda celor mai mici pătrate
5.1
Probleme rezolvate
5.1.1 Producţia dintr-o anumită ramură exprimată în milioane lei a înregistrat între anii
1994 - 2000 următoarea evoluţie:
Ani 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 vol. prod. 2,3 6,3 9,2 12,8 24,6 15,9 17,9
Să se ajusteze datele după o dreaptă şi după o parabolă de gradul doi. Să se facă în
ambele cazuri prognoza pentru anul 2001.
Page 158
Rezolvare
Avem:
ix iy 2ix 3
ix 4ix ix iy 2
ix iy
-3
-2
-1
0
1
2
3
2,3
6,3
9,2
12,8
24,6
15,9
17,9
9
4
1
0
1
4
9
-27
-8
-1
0
1
8
27
81
16
1
0
1
16
81
-6,9
-12,6
-9,2
0
24,6
31,8
53,7
20,7
25,2
9,2
0
24,6
63,6
161,1
∑ :0
89
28
0
196
81,4
304,4
a) Ajustarea după dreapta: y = ax + b
Avem sistemul de ecuaţii normale:
⇒
=+
=+
∑∑∑
∑∑
===
==7
1iii
7
1ii
7
1i
2i
7
1ii
7
1ii
yxxbxa
yb7xa ⇒
==
4,81a2889b7
7,12b
9,2a==
Deci: 7,12x9,2)x(fy +== .
Prognoza pentru 2001 este: 3,247,1249,2)4(f =+⋅= milioane lei.
b) Ajustarea după parabola:
⇒++= cbxaxy 2 ⇒
=++
=++
=++
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
= = = =
= = = =
= = =
7
1i
7
1i
7
1i
7
1ii
2i
2i
3i
4i
7
1i
7
1i
7
1i
7
1iiii
2i
3i
7
1i
7
1i
7
1iii
2i
yxxcxbxa
yxxcxbxa
yc7xbxa
⇒
=+==+
⇒4,304c28a1964,81b28
89c7a28
⇒1,15x9,2x6,0)x(fy
1,15c,9,2b,6,0a2 ++−==
==−=.
Prognoza pentru 2001 este 3,181,1549,2166,0)4(f =+⋅+⋅−= .
Page 159
5.1.2 La un magazin de desfacere a unui anumit produs, procentul de produse nevândute
a scăzut ca urmare a îmbunătăţirii calităţii produsului conform tabelului: 7
Ani 1994 1995 1996 1997 1998 1999 procent 20 15 12,5 9 8,5 6,2
a) Să se determine tendinţa de scădere a procentului produselor nevândute.
b) Să se facă extrapolarea pentru anul 2000.
Rezolvare
a) Grafic avem:
Putem considera că se poate face o ajustare după hiperbola echilateră de ecuaţie:
xay = .
Parametrul a se determină din ecuaţia:
∑∑==
=6
1i i
i6
1i2i x
yx1a
ix
iy
ix/1
2ix/1
i
iy
x
1
2
3
4
5
6
20
15
12,5
9
8,5
6,2
1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1
1/4
1/9
1/16
1/25
1/36
20
7,5
4,17
2,25
1,70
1,03
:∑ 21
7,12
1,49
36,65
Avem: 6,24a65,36a49,1 =⇒= .
x
y
15 20
0
10 5
Page 160
Curba de ajustare este: x
6,24)x(fy == .
b) Prognoza pentru anul 2000 este: 5,37
6,24)7(f == .
5.1.3 Producţia unei întreprinderi (exprimată în unităţi valorice convenţionale) timp de 9
ani consecutiv, a avut următoarea evoluţie:
x (anii) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y (producţia) 7 8 10 13 19 29 47 60 82
Să se stabilească funcţia de ajustare care dă eroarea medie minimă şi să se facă
prognoza pentru următorii trei ani.
Rezolvare
Reprezentând grafic datele, avem:
Se pot considera drept curbe de ajustare: parabola de gradul doi sau trei sau curba
exponenţială. Vom calcula dispersia reziduală: ( )
n
yyD
n
1i
21i
r
∑=
′−= în fiecare caz şi vom
alege pentru prognoză curba care dă dispersia reziduală minimă.
a) Propunem cititorului să facă prognoza după parabola de gradul doi. Se va obţine
curba: 178,13x24,6x534,1y 2 +−= şi dispersia reziduală 2532,2D )1(r = .
b) Ajustarea după parabola de gradul trei: dctbtaty 23 +++= conduce la sistemul de
ecuaţii normale:
y
x1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 20 30 40 50 60
80 70
0
Page 161
=+++
=+++
=+++
=+++
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
i i i i ii
3i
3i
4i
5i
6i
i i i i ii
2i
2i
3i
4i
5i
i i i i iiii
2i
3i
4i
i i i iii
2i
3i
yttdtctbta
yttdtctbta
yttdtctbta
yd9tctbta
unde am făcut translaţia: 5xt ii −= , 9,1i = .
Avem:
xi
ti
yi 2it 3
it 4it
6it
ti yi2it yi
3it iy′ iy′ iyiy −′ ( )2iyiy −′
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
7
8
10
13
19
29
47
60
82
16
9
4
1
0
1
4
9
16
-64
-27
-8
-1
0
1
8
27
64
256
81
16
1
0
1
16
81
256
4096
729
64
1
0
1
64
729
4096
-28
-24
-20
-13
0
29
94
180
328
112
72
40
13
0
29
188
540
1312
-448
-216
-80
-13
0
29
376
1620
5248
7,632
7,275
9,068
13,317
20,328
30,407
43,860
60,993
82,112
0,632
0,725
0,932
0,317
1,328
1,407
3,140
0,993
0,112
0,399424
0,525625
0,868624
0,100489
1,763584
1,979649
9,859600
0,986049
0,012544
0 275 60 0 708 9780 546 2306 6516 16,495588
Din sistemul
=+=+=+=+
6516c708a97802306d60b708
546c60a708275d9b60
Rezultă: a = 0,051, b = 1,534, c = 8,494, d = 20,328 şi curba:
328,20)5x(494,8)5x(534,1)5x(051,0)x(fy 23 +−+−+−== adică:
.833,9x021,3x769,0x051,0)x(fy 23 +−+==
Notă
În tabel am calculat 9,1i,)x(fy ii ==′ .
Dispersia reziduală este: .8328,19
495588,16D )2(r ==
c) Pentru ajustarea după o curbă exponenţială considerăm:
0b,a,aby x >⋅=
Page 162
Avem: alogxblogylog += .
Notând: blogB,alogA,ylogz === rezultă ecuaţia: z = Ax + B, deci s-a redus la
ajustarea după o dreaptă. Sistemul de ecuaţii normale este:
=+
=+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
i i iiii
2i
i iii
zxxBxA
zB9xA
Avem:
Rezultă:
=+=+
42924,68B45A28596730,11B9A45
⇒ 613638,0B14321,0A
==
.
Prin antilogaritmare obţinem: a = 1,3906; b =4,108 deci curba este
x3906,1108,4)x(fy ⋅== .
Dispersia reziduală este: 4225,698026,57D )3(
r == .
Se observă că dispersia reziduală minimă s-a obţinut în cazul ajustării după parabola de
gradul trei. În acest caz prognozele pentru următorii trei ani sunt:
523,107)10(f = ; 532,137)11(f = ; 445,172)12(f = .
5.2
Probleme propuse
5.2.1 Volumul vânzărilor la un articol în sezoanele toamnă-iarnă în cadrul unui magazin
de specialitate este:
xi
yi
zi
xi zi 2ix iy′ iyiy −′ ( )2iyiy −′
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
8
10
13
19
29
47
60
82
0,84509
0,90309
1,00000
1,11394
1,27875
1,46239
1,67209
1,77815
1,91381
0,84509
1,80618
3,00000
4,45576
6,39375
8,77434
11,70463
14,22520
17,22429
1
4
9
16
25
36
49
64
81
5,71
7,94
11,04
15,36
21,36
29,70
41,31
57,44
79,88
1,29
0,06
1,04
2,36
2,36
0,70
5,69
2,56
2,12
1,6641
0,0036
1,0816
5,5696
5,5696
0,4900
32,3761
6,5536
4,4944
∑: 45
11,96730
68,42924
285
57,8026
Page 163
Luna Sept. Oct. Nov. Dec. Ian. Febr. Martie Vol. vânzări 20 40 50 70 50 30 10
a) Să se determine tipul curbei de ajustare cu ajutorul reprezentării grafice.
b) Să se determine trendul vânzărilor în vederea stabilirii stocurilor lunare pentru aceeaşi
perioadă a anului următor.
R. 9,58x8,1x1,5)x(fy 2 +−−==
5.2.2 Producţia dintr-o anumită ramură, exprimată în milioane lei, a înregistrat între anii
1993-1998 evoluţia următoare:
Anii 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Mil. lei 36,1 41,5 47,2 53 57,5 62,8
Folosind metoda celor mai mici pătrate, să se facă ajustarea după o dreaptă şi să se
calculeze erorile care se comit în fiecare an.
R. 68,49x68,2)x(fy +== .
5.2.3 La un magazin de desfacere a produselor din piele, în decursul unei perioade de 5
ani, procentul de produse nevândute a scăzut odată cu creşterea calităţii produselor astfel:
20, 18, 14, 10, 6.
a) să se determine tendinţa generală (trendul) de scădere a procentului de produse
nevândute.
b) Să se facă o extrapolare pentru al şaselea an.
R. 26,4)6(f;x
6,25)x(fy === .
5.2.4 Situaţia vânzărilor la un produs alimentar în perioada
1994-2000 este următoarea:
Anii 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Vol. vânzări 14,4 11,8 15 18,3 18,8 18,4 20,3
Să se facă ajustarea după funcţia exponenţială şi parabola de gradul doi. Să se afle
prognoza pentru anul 2001.
R. x081,122,16)x(fy ⋅== ; 145,22081,122,16)4(f 4 =⋅=
8,16x2,1x01,0)fx(y 2 ++−== ; 4,21)4(f = .
Page 164
6. Calcul integral
6.1
Integrale generalizate (improprii)
Să se calculeze integralele:
6.1.1 ∫∞
++=
3 )3x()2x(xdI
Rezolvare
=
+−
+=
++= ∫∫ ∞→∞→
xd3x
12x
1lim)3x()2x(
xdlimIA
3A
A
3A
=++
=
∞
∞→3
A 3x2xlnlim
65ln
65ln
3A2Alnlim
A−=
−
++
∞→
(integrala este deci convergentă).
6.1.2 ∫∞
∞− += 2x1
xdI
Rezolvare
[ ] π=
π−−
π=−−=
+=
∞→−
∞→ ∫ 22)A(arctgAarctglim
x1xdlimI
A
A
A2A
6.1.3 ∫ +=
1
023 x4x
xdI
Rezolvare
∫ε
→ε +=
1
20 )4x(xxdlimI .
Page 165
Deoarece:
++−=
+ 4x1
x1
x4
161
)4x(x1
22 , rezultă:
ε→ε
ε ε ε→ε
++−−=
++−= ∫ ∫ ∫
1
0
1 1 1
20)4xln(xln
x4lim
161
4xxd
xdx
xxd4lim
161I =
−∞=
ε+
ε+ε
−−=
−
+=
→εε→ε
44ln45lnlim161
x4
x4xlnlim
161
0
1
0
Integrala este deci divergentă.
6.1.4 ∫∞
+=
14x1
xdxI , studiind întâi convergenţa integralei.
Rezolvare
Din: 1x1
xxlim 4x=
+⋅α
∞→ pentru 13 >=α , rezultă că I este convergentă.
Avem: ( ) =−==+
=∞→∞→∞→ ∫ 1arctgAarctglim
21xarctglim
21
x1xdxlimI 2
A1
A2
A
A
14A
84221 π
=
π
−π
= .
6.1.5 ∫=e
1 xlnxxdI
Rezolvare
Funcţia xlnx
1 este integrabilă pe orice interval ( ]e,1]e,1[ ⊂ε+ şi avem:
[ ] 2)1ln(1lim2xlnlim2xlnx
xdlimI01
e
0
e
10=ε+−===
→εε+→εε+
→ε ∫
deci integrala este convergentă şi I = 2.
Page 166
6.1.6 ∫ −=
4
12)x4(
xdI
Rezolvare
Varianta 1: 1)x4(
1)x4(lim 24x=
−⋅− α
↑ pentru 12 >=α deci integrala este
divergentă.
Varianta 2: ∞=
−ε
=−
=−
=→ε
ε−ε−
→ε→ε ∫ 311lim
x41lim
)x4(dxlimI
01
44
1 020
6.1.7 ∫ −+=
3
22 6xx
xdI
Rezolvare
Varianta 1: 1)3x)(2x(
1)2x(lim2x
=+−
⋅− α
↓ pentru α = 1⇒
⇒ integrala este divergentă.
Varianta 2:
=
+−
−=
+−= ∫∫
ε+→ε
ε+→ε
xd3x
12x
1lim51
)3x)(2x(xdlimI
3
20
3
20
⇒∞=
+εε
−=+−
=→εε+→ε 5
ln61lnlim
51
3x2xlnlim
51
02
3
0
⇒ integrala este divergentă.
6.1.8 xdx
xarctgIa
2∫∞
= 0a ≥ .
Rezolvare
I. Presupunem 0a > . Avem: =′
−= ∫∞→
xdxarctgx1limI
A
aA
Page 167
=
++−= ∫∞→
A
a2
a
A
A )x1(xxdxarctg
x1lim
=
+−++−= ∫∞→
A
a2A
xdx1
xx1aarctg
a1Aarctg
A1lim
222A a1
alnaarctga1
a1
alnA1
Alnlimaarctga1
+−=
+−
++=
∞→
Integrala este deci convergentă.
II. Propunem cititorului să arate că I este divergentă pentru
a = 0.
Utilizând funcţiile beta şi gama să se calculeze integralele:
6.1.9 ∫∞
−=0
x27
xdexI .
Rezolvare
=
Γ⋅=
Γ=
Γ=
+Γ=
25
25
27
27
27
291
27I
π=
Γ⋅⋅⋅=
Γ⋅⋅=
16105
21
21
23
25
27
23
23
25
27 .
6.1.10 xde)3x(I x3
3
4 −∞
∫ −= .
Rezolvare
Facem substituţia: y = x – 3 ⇒ ydxd = ⇒
Rezultă: 24!4)5(xdeyI y
0
4 ==Γ== −∞
∫ .
6.1.11 xdexI2x
0
11 −∞
∫= .
x 3 ∞
y 0 ∞
Page 168
Rezolvare
Din: x2 = y ⇒2x dx = dy ⇒ ⇒=2ydxdx ⇒
⇒ 60!521)6(
21ydey
21I y
0
5 =⋅=Γ⋅== −∞
∫ .
6.1.12 xd)x1(xI 631
0
14 −= ∫ .
Rezolvare
Fie substituţia x3 = y. Rezultă: ydxdx3 2 = ⇒ ⇒=3ydxdx2
Rezultă: ==Γ
ΓΓ=β=−= ∫ !11
!6!431
)12()7()5(
31)7,5(
31yd)y1(y
31I 6
1
0
4
6930
1=
6.1.13 ∫∞
+=
06x1
xdI .
Rezolvare
x6 = y
⇒ ⇒= ydxdx6 5 ⇒= 6/5y6ydxd
Rezultă: 3
6sin6
165,
61
61yd)y1(y
61I
0
165
π=
ππ
⋅=
β=+= ∫
∞−−
.
Notă
Am folosit funcţia beta sub forma:
x 0 ∞
y 0 ∞
⇒ x 0 1
y 0 1
x 0 ∞
y 0 ∞
Page 169
yd)y1(y)q,p( )qp(
0
1p +−∞
− +=β ∫ unde 65q,
61p ==
şi proprietatea π
π=−β
psin)p1,p( cu p ∈ (0,1).
6.1.14 xdx1lnI
1p1
0
−
∫
= .
Rezolvare
Fie ⇒ yex1= ⇒ ⇒= −yex ⇒−= − dyedx y
Rezultă: ∫∫∞
−−
∞
−− Γ==−=0
y1p0
y1p )p(ydeyydeyI , 0p > .
6.2
Probleme propuse
Să se calculeze integralele:
6.2.1 ∫=1
0xdxlnI . R. I = -1.
6.2.2 ∫−
=1
02x1
xdI . R. 2
I π=
6.2.3 ∫∞
∞− ++=
9x4xxdI 2 R.
5I π=
6.2.4 ∫−
=2
13 2)1x(
xdI R. 1)1x(
1)1x(lim3 21x
=−
− α
↓
pentru 3I;123
=>=α
⇒ x 0 1
y ∞ 0
x1lny =
Page 170
6.2.5 ∫∞
−=0
xn2 xdexI2
R. π−
= +1n2!!)1n2(I
6.2.6 ∫∞ −
=0
2x
xdeI2
(integrala Euler-Poison). R. 2
I π=
6.2.7 dxx1
xI0
q
1p
∫∞ −
+= , qp,q,p <∈ . R.
π
π=Γ
qpsinq
1
Indicaţie xq = y
6.2.8 ∫ −−+ −=1
0
1b1akK dx)x1(xI , ∈> k,0b,a ℕ.
R. )b,a(ba
a2bak
2ak1bak
1ak)b,ak(IK β+
−−++
−+⋅
−++−+
=+β=
)b,a(I0 β=
)b,a(ba
aI1 β+
= .
6.2.9 ∫∞
+=
023 )x1(x
xdI R. Notăm x2 = y şi găsim 3
I π=
6.2.10 dx)x1(
xI0
24
2
∫∞
+= R. Notăm x4 = y şi găsim
β=
45,
43
41I
6.2.11 ∫∞
−=0
x xdeIn
R.
Γ=n1
n1I
6.2.12 dxx1
xarctgI0
2∫∞
+= R.
8I
2π=
ℕ
Page 171
6.2.13 ∫=2
1 xlndxI R. Divergentă
6.2.14 ∫∞
−=
222 )1x(
dxI R. 3ln41
31I +=
6.2.15 dxx1lnI
1
0∫= R. π=
21I .
Indicaţie
6.3
Integrale duble
Să se calculeze integralele duble:
6.3.1 ∫∫−−
+=5
4y
3
3 2
dx)y2x(dyI .
Rezolvare
Fie =
+=+=
−−∫
4y
525
4y1
22
xy22xdx)y2x(I
y18y22
9y8y)4y5(y22
)4y(25 324
222
+−++−
=+−+−−
=
Rezultă: =+++−−
= ∫−
yd2
9y36y8y4yI3
3
234
5252y9y18y
38y
5y
21
3
3234
5=
+++−−=
−
yx1ln =
Page 172
6.3.2 ∫∫π
=a
xsina
2
0dyydxI .
Rezolvare
Fie: 2
xcosa2yydyI
22
xsina
a2a
xsina1 === ∫
Rezultă: 2a
2x2sinx
4adx
2x2cos1
2adx
2xcosaI
2
0
222
0
22
0
22 π=
+=
+==
πππ
∫∫
6.3.3 ∫∫−
−−=2x1
0
221
0ydyx1xdI .
Rezolvare
Fie ∫−
−−=2x1
0
22 ydyx1I .
Facem substituţia:
Rezultă: tdtcosx1yd 2−= ,
=−=−⋅−= ∫∫
ππ2
0
2222
0
221 tdtcos)x1(tdtcosx1tcos)x1(I
)x1(42
t2sint2x1td
2t2cos1)x1( 2
0
222
0
2 −π
=
+
−=
+−=
ππ
∫
63
1143
xx4
dx)x1(4
I0
131
0
2 π=
−
π=
−
π=−
π= ∫ .
6.3.4 dydxyxID
22∫∫ −= unde D este triunghiul de vârfuri
0 (0,0), A(1,-1), B(1,1).
y 0 2x1 −
t 0 2π
tsinx1y 2−=
Page 173
Rezolvare
Reprezentăm grafic domeniul D:
Rezultă că D este simplu în raport cu y şi avem:
ydyxdxIx
x
221
0∫∫−
−= .
Avem: ydyxIx
x
221 ∫
−
−=
Facem schimbarea de variabilă:
Rezultă: tdtcosxyd = ,
2
2
222
2
2
2
222
1 x22
t2sint2xdt)t2cos1(
2xdttcosxI π
=
+=+==
π−
ππ
π−
π
π−
∫∫
Rezultă: 63
x2
dxx2
I0
131
0
2 π=⋅
π=
π= ∫ .
6.3.5 dydxeID
yx
∫∫= unde D este triunghiul curbiliniu limitat de parabola xy2 = şi
dreptele x = 0, y = 1.
y -x x
t -2π
2π
tsinxy =
y
x 0
1
-1
B(1,1)
A(1,-1) ..
.
1
Ducând o paralelă la 0y
vedem că y variază între -x şi x
(ecuaţiile dreptelor 0A, 0B sunt y =
-x respectiv y=x) iar x variază între
0 şi 1.
Page 174
Rezolvare
Grafic avem:
dxedyI1
0
y
0
yx2
∫ ∫=
Fie )1e(yeydxeI y
0
yyxy
0
yx
1
22
−=== ∫
( ) ( ) =−−=−′
=−= ∫∫ 21eey
2yydeyydyeyI
0
1y
0
1y
0
121
0
y1
0
y
21
211ee =−+−= .
6.3.6 dydxeID∫∫= unde D este limitat de dreapta ce trece prin
A (2,0), B (0,2) şi arcul de cerc cu centrul C(0,1) şi raza 1.
Rezolvare
Ecuaţia dreptei ce trece prin A şi B este:
02yx01201021yx
=−+⇒= .
Ecuaţia cercului cu centrul C şi raza 1 este: 1)1y()0x( 22 =−+− adică:
0y2yx 22 =−+ . Graficul lui D este domeniul haşurat de mai jos:
B(0,1) A(1,1)
0 x
y
(0,1)
(0,2)
2 0
(1,1)
x
y
Page 175
Ducând o paralelă la 0x observăm că x variază între 2 - y şi 2y - y2 iar y între 1 şi 2.
Rezultă că: ∫∫−
−
=
2yy2
y2
2
1dxxydI
Avem:
( ) ( )=
−−−===
−
−−
−∫ 2
y2yy22xdxxI
222
y2
yy22yy2
y21
22
24y4y3y4y 234 −++−
=
=−++−= ∫2
1
234 yd)4y4y3y4y(21I
101y4y2yy
5y
21
1
2234
5=
−++−=
6.3.7 dydxxyID∫∫= unde { }3x2y,xy/)y,x(D 22 +≤≥∈= .
Rezolvare
Domeniul D este haşurat în graficul de mai jos:
Intersecţiile curbelor y = x2 şi
y=2x+3 sunt punctele A(-1,1),
B(3,9).
Domeniul este simplu în raport cu 0y.
Descompunem integrala astfel: ∫∫+
−
=3x2
x
3
1 2
ydydxxI .
Avem: 2
x9x12x42yydyI
42
x
3x223x2
x1
22
−++===
++
∫
3160
6x
2x9x4x
21dx)xx9x12x4(
21I
1
36234
3
1
523 =
−++=−++=
−−∫
6.3.8 dydxeyID
x2
∫∫= unde { }0y,xyx/R)y,x(D 232 ≥≤≤∈=
Rezolvare
Reprezentăm întâi grafic curbele: 332 xyxy ±=⇒= şi xyxy2 ±=⇒= .
ℝ
B(3,9)
y=2x+3
A(-1,1) .
.
x
y
0
Page 176
Domeniul D este porţiunea haşurată de mai jos:
Domeniul D este simplu în raport cu ambele axe dar cum funcţia 2xe nu are primitivă vom
integra întâi în raport cu y.
Avem: ∫∫=x
x
1
0
x
3
2dyydxeI (intersecţia curbelor xy,xy 3 ==
este (1,1)).
Fie: 2
xx2yydyI
3
x
x2x
x
133
−=== ∫ .
( )
−=−= ∫ ∫∫
1
0
1
0
x3xx1
0
3 dxexdxex21dxexx
21I
222
Avem: 2
1e2
edxexI0
1x1
0
x2
22 −
==− ∫ .
Pentru ∫=1
0
x33 dxexI
2 facem substituţia x2 = t ⇒ tddxx2 = ⇒
⇒
Rezultă: ( )21
21eeeet
21tdet
21tdet
21I
0
1t
0
1t
1
0
t1
0
t3 =
+−=
−=
′== ∫∫
Deci: 4
2e21
21e
21I −
=
−
−= .
6.3.9 dydxyxID
2∫∫= unde { }0y,Ryx/)y,x(D 2222 ≥≤+∈= 0R > .
x 0 1
t 0 1
ℝ
xy =
xy −=
3xy −=
3xy =
1 0
1,1
x
y
Page 177
Rezolvare
Grafic avem:
Varianta 1: Domeniul D este simplu în raport cu ambele axe. Vom integra întâi în
raport cu x care variază între 22 yR −− şi 22 yR − pentru y între 0 şi R.
Avem: ∫∫−
−−
=
22
22
yR
yR
R
0
2 dxxydyI .
Avem: 02xI
22
22
yR
yR2
1 ==−−
−
deci I = 0.
Varianta 2: Transformăm domeniul D într-un domeniu dreptunghiular D′ folosind
trecerea de la coordonate carteziene la coordonate polare prin transformarea:
θρ=θρ=
sinycosx
, R0 ≤ρ≤ , π≤θ≤0
Determinantul funcţional al transformării este:
ρ=θρ+θρ=θρθθρ−θ
=
θ∂∂
ρ∂∂
θ∂∂
ρ∂∂
=θρ
22 sincoscossinsincos
yy
yx
),(D)y,x(D .
Rezultă: =θρθρ
⋅θρ⋅θρ== ∫∫∫∫ ′dd
),(D)y,x(DsincosdydxxyI
D22
D2
=
θθθ⋅
ρρ=θρθθρ= ∫∫∫∫
π
′0
2R
0
4D
24 dcossindddcossin
03
sin5
R
0
35=
θ⋅=
π.
y
x -R 0 R
Page 178
6.3.10 ydxdeyxI22 yx
D22 +∫∫ += unde { }0y,x,4yx1/)y,x(D 222 ≥≤+≤∈=
Rezolvare
Trecem la coordonate polare: θρ=θρ=
sinycosx
, 2
0
21π
≤θ≤
≤ρ≤ şi obţinem domeniul
dreptunghiurilor D′ din graficul următor:
Avem: ∫∫∫ ∫∫∫ ρρθ=θρρ=θρθρ
ρ= ρ′
π
ρ′
ρ2
1
2D
2
0
2D
dedddedd),(D)y,x(DeI .
Avem: ( ) =ρ′
ρ−ρ=ρ′ρ= ∫∫ ρρρ de2ed)e(I2
11
22
2
1
21
( ) =−+−−−=
−ρ−−= ρρ e2e2ee22ee4ee2ee4 222
1
2
1
22 ee2 2 −= .
Rezultă: ( ) ( )ee22
dee2I 22
0
2 −π
=θ−= ∫
π
.
6.3.11 dydxyxID
2∫∫= unde
≤≤≤∈=
41xy,xyx/)y,x(D 22
ℝ
ℝ
y
x
D
2 0 1
2
ρ
θ
2π
1 2
D′
0
Page 179
Rezolvare
Domeniul D este porţiunea haşurată de mai jos:
Domeniul D nu este simplu în raport cu nici o axă. Îl vom descompune în două domenii D1,
D2 simple în raport cu oy:
≤≤≤≤∈=
≤≤≤≤∈=
x41yx,
41x
21/)y,x(D
xyx,21x0/)y,x(D
23
22
221
, 21 DDD Υ=
Avem: =+== ∫∫∫∫∫∫ dydxyxdydxyxdyxdyxI21 D
2D
2D
2
∫ ∫∫∫ =+=3
22
4/1
2/1
x4/1
x
2x
x
2/1
0
2 dyydxxdyydxx
=
⋅+
⋅= ∫∫ dx
2yxdx
2yx
2
3
2x
x41
24/1
2/1
22/1
0 x
x22
( )224
14215dxx161dxxx
21 34/1
2/1
62/1
0
643
−=
−+−= ∫∫ .
6.4
Probleme propuse
Să se calculeze următoarele integrale duble:
6.4.1 dydxyx
1ID∫∫ +
= unde
{ }3y2,1x0/)y,x(D 2 ≤≤≤≤∈=
R. 3ln62ln10 − .
ℝ
ℝ
ℝ
y=x2 y=x
2
1,
2
1
D1
3 4
1 2
1
33 16
1,4
1
x
y
0
D2
Page 180
6.4.2 dydx)y3x2(ID∫∫ += unde
{ }0y,0x,1yx/)y,x(D 2 ≥≥≤+∈=
R. 65 .
6.4.3 dydxyxyID
2∫∫ −= unde D este triunghiul de vârfuri
0 (0,0), A (10,1) şi B (1,1). R. 6.
6.4.4 dydxyx
xID 22∫∫ +
= unde D este segmentul de parabolă
limitat de parabola 2xy
2= şi dreapta y = x.
R. ln 2.
6.4.5 dydxyx1ID
22∫∫ −−= unde
{ }1yx/)y,x(D 222 ≤+∈=
R. 32π .
6.4.6 dydxyID∫∫= unde D este semicercul de diametru a cu
centrul
0,
2aC unde 0y ≥ şi 0a > .
R. 12a3
.
6.4.7 dydx)yx(ID
22∫∫ += unde D este domeniul limitat de
circumferinţa ax2yx 22 =+ .
R. 4a23π .
6.4.8 dydxxID∫∫= unde D este domeniul mărginit de parabola
1xy 2 += şi dreptele y = 2x şi x = 0.
R. 121 .
ℝ
ℝ
Page 181
6.4.9 dydxyxID
1q1p∫∫ −−= unde
{ }0y,0x,1yx/)y,x(D 2 ≥≥≤+∈= şi 1q,1p ≥≥ .
R. )1qp(
)q()p(++Γ
ΓΓ .
6.4.10 dydxID∫∫= unde
{ }]1,1[x,x1y1x/)y,x(D 222 −∈−≤≤−∈= .
R. 38 .
7. Ecuaţii diferenţiale
7.1
Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi
Să se integreze următoarele ecuaţii diferenţiale:
7.1.1 yxy −=′ . Să se determine soluţia pentru care y(0) = -1.
Rezolvare
Avem o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile în care funcţia yx este definită
pe ( )}0{\× .
Avem:
⇒+−=⇒−=⇒−=⇒−= ∫ ∫ 2C
2x
2yxdxydyxdxydy
yx
xdyd 222
222 Cxy =+⇒ .
Aceasta este integrala generală a ecuaţiei.
Mai putem scrie: 22 xCy −±= unde )C,C(x −∈ .
Deci curbele integrale sunt semicercuri cu centrul în origine şi rază )0C(C > .
ℝ
ℝ ℝ
ℝ
Page 182
Condiţia C11)0(y −=−⇒−= (în 22 xCy −−= am făcut x = 0 şi y = -1) deci soluţia
căutată este )1,1(x,x1y 2 −∈−−= .
7.1.2 ysinx2y =′ .
Rezolvare
⇒=⇒=⇒= ∫∫ xdx2ysin
ydxdx2ysin
ydysinx2xdyd
2x2 eC2ytgclnx
2ytgln =⇒+=⇒ .
Aceasta este integrala generală a ecuaţiei.
Dacă rezolvăm această ecuaţie în raport cu y obţinem:
=
2xeCarctg2y aceasta fiind
soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale.
7.1.3 22 yxyx2y
+=′ .
Rezolvare
Avem o ecuaţie diferenţială omogenă deoarece membrul drept nu se schimbă dacă
înlocuim pe x şi y cu kx şi ky.
Notând txtyxtytxy
+′=′⇒=⇒= .
Ecuaţia devine: 2t1t2txt
+=+′ care este o ecuaţie cu variabile separabile.
Avem: ( ) x
dxtdt1t
t1
t1
ttxt2
2
2
3=
−
+⇒
+
−=′ .
Descompunând în fracţii simple obţinem:
t1
1t1
1t1
)t1()t1(tt1 2
+−
−+=
+−+ .
Prin integrare avem:
⇒=−
⇒+=+−−− xClnt1
tlnClnxlnt1lnt1lntln 2 xCt1
t2 =
−⇒ .
Page 183
Înlocuind t cuxy obţinem: ( )22 yxCy −= care este integrala generală.
7.1.4 0yy)xy(x 2 =−′− .
Rezolvare
Avem o ecuaţie omogenă. Fie txtyxtytxy
+′=′⇒=⇒= .
Obţinem: ⇒=−+′−⇒=−+′− 0t)txt()1t(0xt)txt()xxt(x 222
⇒+=−⇒=−
⇒=−−⇒ ∫∫ Clnxlntlntxxdtd
t1t0tx
xdtd)1t(
⇒=⇒ Cxtlnt → integrala generală a ecuaţiei.
7.1.5 22 xxx21y
xxx21y
++
=++
−′ .
Rezolvare
Avem o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi. Vom integra întâi ecuaţia
omogenă:
( ) ⇒++=⇒++
=⇒=++
−′ ∫∫ Clnxxlnylndxxxx21
yyd0y
xxx21y 2
22
( )2xxCy +=⇒ .
Aplicăm metoda variaţiei constantei: ( ) )x21(CxxCy 2 +++′=′ .
Înlocuim y şi y′ obţinuţi în ecuaţia iniţială:
( ) ( ) ⇒++
=+⋅++
−+++′ 22
22
xxx21xxC
xxx21)x21(CxxC
( )( ) 1xxKyk
xx1C
xx
x21C 2222
−+=⇒++
−=⇒+
+=′⇒
7.1.6 1xtgxxtgyy +=+′ .
yClnxy=
Page 184
Rezolvare
Având o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi, integrăm la început ecuaţia
omogenă:
∫∫ ⇒+=⇒−=⇒=+′ Clnxcoslnylnxdxtgyyd0xtgyy xcosCy =⇒ .
Prin metoda variaţiei constantei, obţinem: xsinCxcosCy −′=′ .
Rezultă:
⇒+=′⇒+=+−′ 1xtgxxcosC1xtgxxtgxcosCxsinCxcosC
⇒+′
=⇒+=⇒ ∫∫∫∫ ∫ xcos
dxdxxcos
1xCxcos
dxdxxcosxsinxCd 2
⇒+=⇒++−=⇒ ∫∫ Kxcos
xCKxcos
dxxcos
dxxcos
xC
xcosKxy +=⇒ .
7.1.7 yxyx4y =−′ .
Rezolvare
Este o ecuaţie diferenţială de tip Bernoulli cu 21
=α .
Împărţind cu y obţinem: xyx4
yy
=−′ .
Facem subsituţia: xzx4z2
y2yzyzyz 1 =−′⇒′
=′⇒=⇒= α− şi am obţinut o
ecuaţie diferenţială liniară neomogenă.
Ecuaţia omogenă:
⇒=⇒+=⇒=⇒=−′ 2xCzClnxln2zlndxx2
zzd0z
x4z2
⇒=′⇒=−+′⇒+′=′⇒x21CxCx
x4Cx4xC2xC2xCz 222
⇒
+=⇒+=⇒=⇒ ∫∫ xln
21kxzKxln
21C
xdx
21dC 2
24 xln
21kxy
+=⇒ .
Page 185
7.1.8 ( ) y2x
1x2xyy 2 =−
−′ .
Rezolvare
Avem o ecuaţie diferenţială de tip Bernoulli cu α = -1.
Facem substituţia yy2zyzyz 21 ′=′⇒=⇒= α− .
Împărţim ecuaţia dată cu y21 . Rezultă: ⇒=
−−′ xy
1xxyy2 2
2
xz1x
xz 2 =−
−′⇒ .
Fiind o ecuaţie diferenţială liniară, integrăm întâi ecuaţia omogenă:
( ) ⇒+−=⇒−
=⇒=−
−′ ∫∫ Cln1xln21zlndx
1xx
zzd0z
1xxz 2
22 1xCz 2 −=⇒ .
Aplicăm metoda variaţiei constantei: ⇒−
+−′=′1x
xC1xCz2
2
⇒−
=⇒−
=⇒
⇒=−⋅−
−−
+−′⇒
∫ ∫ dx1x
xCd1x
xxdCd
x1xC1x
x
1x
xC1xC
22
222
2
⇒−+−=⇒+−=⇒ 1xK1xzK1xC 222 1xK1xy 222 −+−=⇒ . Aceasta este
integrala generală a ecuaţiei date.
7.1.9 Să se identifice funcţia de producţie omogenă de gradul întâi F(x,y) ştiind că
elasticitatea producţiei în raport cu forţa de muncă este constantă.
Rezolvare
Conform exerciţiului 3.1.16 avem:
′
−=
xyf
xyf
xy1)y,x(FEx unde
=
xyfx)y,x(F .
Din condiţia α=)y,x(FEx rezultă: α=
′
−
xyf
xyf
xy1 .
Page 186
Notând: txy= obţinem ecuaţia cu variabile separabile:
( )( ) ⇒
α−=⇒α−=⇒α=
′−
ttd)1(
ffd1
tdfd
)t(ft
tftft1
⇒
=
⇒=⇒+α−=⇒
α−α−
11
xyC
xyftC)t(fClntln)1(fln
α−
=⇒
1
xyxC)y,x(F (funcţie Cobb-Douglas).
7.1.10 Să se determine funcţia de producţie omogenă de gradul întâi F(x,y) a cărei
elasticitate în raport cu forţa de muncă este: b
xy
cxya
)y,x(FEx+
−
= .
Rezolvare
Avem:
=
xyfx)y,x(F . Notând t
xy= ⇒
⇒ ⇒+−
=′
−bt
)ct(a)t(f)t(ft1 =⇒
+++−
=′
)t(f)t(fd
btcabt)a1(
)t(f)t(ft
⇒+
+++
−=⇒+
++−= ∫∫∫ )bt(t
td)acb(bt
td)a1()t(f)t(fdtd
)bt(tcabt)a1(
⇒+++
−+
++−=⇒ Kln)bt(lnb
acbtlnb
)acb()bt(ln)a1()t(fln
⇒
+
=
⇒+=⇒
+−
++−
+b
)cb(abacb
b)cb(a
bacb
bxy
xyK
xyf)bt(tK)t(f
⇒
+
⋅⋅=⇒
+−
+b
)cb(abacb
bxy
xyxK)y,x(F b
acabac1a )bxy(yxK)y,x(F
−−++⋅⋅=⇒ .
7.2
Probleme propuse
Să se integreze următoarele ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi:
7.2.1 )1y(xyy −=′ . R. 2xeC1
1y−
= .
Page 187
7.2.2 ytgxy 2=′ . R. 3x3
eCycos = .
7.2.3 yexy −=′ . R. y =
+
2xCln
2.
7.2.4 yx
y2y+
=′ . R. yC)xy( 2 =− .
7.2.5 xytg
xyy +=′ . R. xC
xysin = .
7.2.6 3xxxy2y −=−′ . R. 2xeCy
2x2
+= .
7.2.7 1xyyx +=+′ . R. xC1
2xy ++= .
7.2.8 2xexy3yx =+′ . R. ( )
3
x2
x2C2e1xy
2+−
= .
7.2.9 yxxy2y 3=−′ . R.
22
2x
22xeCy
2
+
−= .
Să se determine funcţia de producţie omogenă de gradul întâi F(x,y) pentru care:
7.2.10 xyba)y,x(FEx += . R. x
ybaa1 exyA)y,x(F−−=
(Cobb-Douglas generalizată).
7.2.11 c
x xyba)y,x(FE
+= . R.
c
xy
cb
aa1 exyA)y,x(F
−
−=
(cvasi Cobb-Douglas).
7.2.12 Norma de substituire este constanta a.
R. )axy(A)y,x(F += .
Page 188
Indicaţie Conform exerciţiului 3.1.19 norma de substituire este: xy
xyf
xyf
)y,x( −
′
=β unde
=
xyfx)y,x(F .
7.3
Ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi omogene
Să se determine soluţia generală a următoarelor ecuaţii diferenţiale:
7.3.1 0y6y11y6y =−′+′′−′′′ .
Rezolvare
Notând xrey = obţinem ecuaţia caracteristică:
06r11r6r 23 =−+− cu rădăcinile: r1 = 1, r2 = 2, r3 = 3.
Soluţia generală este: x33
x22
x1 eCeCeCy ++= .
7.3.2 0y4y12y13y6y )4( =+′−′′+′′′−
Rezolvare
Ecuaţia caracteristică este:
0)2r()1r(04r12r13r6r 22234 =−−⇒=+−+− .
Având rădăcinile duble r1 = 1, r2 = 2, lor le corespunde sistemul fundamental de soluţii: x2x2xx ex,e,ex,e pe ),( ∞−∞ .
Soluţia generală a ecuaţiei este:
x24
x23
x2
x1 exCeCexCeCy +++= .
7.3.3 0y18y33y32y18y6y )4()5( =−′+′′−′′′+− .
Page 189
Rezolvare
Ecuaţia caracteristică este:
018r33r32r18r6r 2345 =−+−+−
cu rădăcinile: r1 = 2 (simplă), 2i1r 3,2 ±= (duble) care implică următorul sistem
fundamental de soluţii:
x2sinex,x2cosex
x2sine,x2cose
e
xx
xx
x2
.
Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este:
( ) ( ) x2sinxCCex2cosxCCeeCy 54x
32xx2
1 ++++= .
7.3.4 0yy =+′′′ .
Rezolvare
Ecuaţia caracteristică este:
2
3i1r,2
3i1r,1r01r 3213 −
=+
=−=⇒=+ .
Soluţia generală este:
++= − x
23sinCx
23cosCeeCy 32
2x
x1 .
7.3.5 0yy2yIV =+′′− .
Rezolvare
( ) ( ) ( ) ⇒=−⇒=−−−⇒=+− 01r01r1rr01r2r 2222224
1r,1r 21 −==⇒ rădăcini duble ( ) ( ) x43
x21 exCCexCCy −+++=⇒
7.3.6 0y12y16y7y =−′+′′−′′′ .
Page 190
Rezolvare
⇒=−+− 012r16r7r 23 ⇒=== 2rr,3r 321
⇒ soluţia generală:
( )xCCeeCy 32x2x3
1 ++= .
7.3.7 0y4y4y5y4yIV =+′−′′+′′′− .
Rezolvare
⇒=+−+− 04r4r5r4r 234 ir,ir,2rr 4321 −==== .
Soluţia generală este:
( ) xsinCxcosCexCCy 43x2
21 +++= .
7.3.8 0y8y2y2yIV =+′′−′′′− .
unde se impun condiţiile iniţiale: 2)0(y,0)0(y)0(y,2)0(y −=′′′=′′=′= .
Rezolvare
Ecuaţia caracteristică este:
⇒=+−− 08r2r2r 234 are rădăcinile: 2rr 21 == , i1r 4,3 ±−= .
Soluţia generală este:
( ) ( )xsinCxcosCeexCCy 43xx2
21 +++= − .
Condiţiile impuse conduc la sistemul:
−=+++=−+=+−+=+
2C2C2C12C80C2C4C40CCCC22CC
4321
421
4321
31
care are soluţia: 0C,1C,1C,1C 4321 ==−== .
Soluţia problemei Cauchy este: xcosee)x1(y xx2 −+−= .
7.4
Ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi neomogene
Să se integreze următoarele ecuaţii diferenţiale:
Page 191
7.4.1 1xy2y2y 3 +=+′+′′ .
Rezolvare
Soluţia generală a ecuaţiei este: 10 yyy += unde 0y este soluţia generală a
ecuaţiei omogene iar 1y o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.
Ecuaţia omogenă: 0y2y2y =+′+′′ are ecuaţia caracteristică:
02r2r2 =++ cu i1r 2,1 ±−= , deci: ( )xsinCxcosCey 21x
0 += − .
Căutăm soluţia particulară 1y de forma termenului liber:
dxcxbxay 231 +++= .
Avem: cxb2xa3y 21 ++=′ , b2xa6y1 +=′′ .
Înlocuind în ecuaţia dată obţinem:
1xd2xc2xb2xa2c2xb4xa6b2xa6 3232 +=++++++++
Făcând identificarea coeficienţilor obţinem sistemul:
=++=++
=+=
1d2c2b20c2b4a6
0b2a61a2
( )1x3x3x
21y:adică
,21d,
23c,
23b,
21a:undede
231 ++−=
==−==.
Rezultă:
( ) ( )1x3x3x21xsinCxcosCey 23
21x ++−++= − .
7.4.2 1xy2y 2 +=′′+′′′ .
Rezolvare
Ecuaţia omogenă: 0y2y =′′+′′′ are ecuaţia caracteristică: 0r2r 23 =+ cu
rădăcinile: 2r,0rr 321 −=== deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este:
x23210 eCxCCy −++= .
Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei neomogene de forma:
( ) 234221 xcxbxacxbxaxy ++=++= deoarece ecuaţia dată a avut ultimul termen
care-l conţine pe y ′′ .
Page 192
Avem: b6xa24y
c2xb6xa12y
xc2xb3xa4y
1
21
231
+=′′′++=′′
++=′
.
Înlocuind în ecuaţia iniţială obţinem:
1xc4xb12xa24b6xa24 22 +=++++ , de unde:
⇒
=+=+
=
1c4b60b12a24
1a24
249c,
242b,
241a =−==
Rezultă:
( )9x2x24xeCxCCy 2
2x2
321 +−+++= − .
7.4.3 x2e)1x(yy +=−′′ .
Rezolvare
Ecuaţia omogenă: 0yy =−′′ are ecuaţia caracteristică:
01r2 =− cu 1r,1r 21 −== deci: x2
x10 eCeCy −+= .
Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei neomogene de forma: )bxa(ey x21 += .
Avem: )a4b4xa4(ey
)ab2xa2(eyx2
1
x21
++=′′
++=′.
Rezultă:
)1x(e)bxa(e)b4a4xa4(e x2x2x2 +=+−++ , adică:
1xb3a4xa3 +=++ .
După identificare obţinem: 91b,
31a −== .
Soluţia generală a ecuaţiei va fi:
)1x3(9
eeCeCyx2
x2
x1 −++= − .
7.4.4 xe)1x(yy +=−′′ .
Page 193
Rezolvare
Ecuaţia omogenă 0yy =−′′ are ecuaţia caracteristică: 01r2 =− cu rădăcinile:
1r,1r 21 −== deci are soluţia generală: x2
x10 eCeCy −+= .
Deoarece termenul liber îl conţine pe xe şi 1r1 = este soluţie a
ecuaţiei caracteristice, căutăm 1y de forma: )bxa(exy x1 += adică )xbxa(ey 2x
1 += .
Avem: )a2bax2bxa2xbxa(ey
)bxa2xbxa(ey2x
1
2x1
++++++=′′
+++=′.
Rezultă:
[ ] ( ) x2x2x e)1x(xbxaea2b2x)ba4(xae +=+−++++ , adică:
1xa2b2xa4 +=++ , de unde: 41b,
41a == .
Soluţia generală a ecuaţiei va fi:
)xx(e41eCeCy 2xx
2x
1 +++= − .
7.4.5 xex3siny10y2y +=+′−′′ .
Rezolvare
Ecuaţia omogenă: 0y10y2y =+′−′′ are ecuaţia caracteristică: 010r2r2 =+−
cu i1r 2,1 ±= deci: ( )x3sinCx3cosCey 21x
0 += .
Soluţia particulară este de forma: x1 eCx3cosBx3sinAy ++= .
Avem: x
1
x1
eCx3cosB9x3sinA9y
eCx3sinB3x3cosA3y
+−−=′′
+−=′.
Rezultă: +−+−+−− xx eC2x3sinB6x3cosA6eCx3cosB9x3sina9 xx ex3sineC10x3cosB10x3sinA10 +=+++ .
Făcând identificarea obţinem:
⇒
==+−=+
1C90BA6
1B6A
91C,
376B,
371A === .
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene este:
( ) ( ) x21
x e91x3cos6x3sin
371x3sinCx3cosCey ++++= .
Page 194
7.4.6 2xe2y4y4y x2 +=+′−′′ .
Rezolvare
Ecuaţia omogenă are ecuaţia caracteristică: 04r4r2 =+− cu 2rr 21 == .
Deci: ( ) x2210 exCCy += .
Fie: cxbexay x221 ++= .
Rezultă:
( )( )1x4x2ea2y
bxxea2y2x2
1
2x21
++=′′
++=′.
Înlocuind în ecuaţia iniţială obţinem:
( ) ( )2xe2
c4xb4exa4b4xxea81x4x2ea2x2
x222x22x2
+=
=+++−+−++.
După identificare avem: 81c,
81b,1a === .
Rezultă: ( ) )1x(81exxCCy x22
21 ++++= .
7.4.7 xx eeyy2y −+=+′+′′
Rezolvare
⇒=+′+′′ 0yy2y ⇒=++ 01r2r2 ⇒−== 1rr 21
( ) x210 exCCy −+=⇒ .
Deoarece rădăcina dublă 1r −= se află la un exponent în membrul doi, alegem soluţia
particulară de forma: x2x1 exbeay −+= .
Avem: ( )( )x22xx2ebeay
xx2ebeay2xx
1
2xx1
−++−+=′′
−+=′−
−
.
Înlocuind în ecuaţia dată avem:
=++−+++−+ −−− x2x2xx2xx exbea)xx2(eb2ea2)2x4x(ebea xx ee −+= .
Page 195
⇒=+−++−
=− 1bxbx2bx4b2bx4bx
1a4
ee
222x
x
21b
41a
=
=.
Deoarece: x2x1 ex
21e
41y −+= rezultă că soluţia generală este:
xx221 e
41ex
21xCCy +
++= − .
7.5
Probleme propuse
Să se integreze următoarele ecuaţii diferenţiale:
7.5.1 14y7y8y =+′−′′
R. 2eCeCy x72
x1 ++=
7.5.2 xeyy =−′′ R. xx2
x1 ex
21eCeCy ++= −
7.5.3 x2exy6yy =−′+′′
R. x2x32
x21 e
251
10xxeCeCy
−++= −
7.5.4 2x10x6y6y5y 2 +−=+′−′′
R. 2x32
x21 xeCeCy ++=
7.5.5 x2e6yy =−′′ R. x2x2
x1 e2eCeCy ++= −
Page 196
Bibliografie
1. ALLEN, R.G.D Analiza matematică pentru economişti, Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1971.
2. ACKOFF, R.L. SASIENI, M.W.
Bazele cercetării operaţionale, Bucureşti, Editura Tehnică, 1975.
3. ARAMĂ, L. MOROZAN, T.
Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, Bucureşti, Editura Tehnică, 1964.
4. BELLMAN, R. Introducere în analiza matriceală, Bucureşti, Editura Tehnică, 1969.
5. BOIARSKI, A.I. Matematica pentru economişti, Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1963.
6. BĂDIU, V. RAISCHI, C. şi colectiv
Culegere de probleme de matematici aplicate în economie, Bucureşti, Editura A S E., 1986.
7. CENUŞĂ, Gh. FILIP, A., şi colectiv
Matematici pentru economişti, Bucureşti, Editura Cison, 2000.
8. DEMIDOVITCH, B. Recueil d’exercises et problèmes d’analyse mathématique, Moscow, Edition Mir, 1972.
9. FILIP, A. RAISCHI,C. şi colectiv
Matematici speciale aplicate în economie, Bucureşti, Editura A S E., 1980.
10. FILIP, A. RAISCHI,C. şi colectiv
Culegere de probleme de matematici aplicate în economie, Bucureşti, Editura A S E., 1986.
11. GÜNTHER, N.M. CUZMIN, R.O.
Culegere de probleme de matematici superioare, Bucureşti, Editura Tehnică, 1950.
12. GĂINĂ, S. CÂMPU, E. BUCUR, G.
Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, Bucureşti, Editura Tehnică, 1966.
13. KAUFMANN, A. Metode şi modele ale cercetării operaţionale, Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1967.
14. LANCASTER, K. Analiza economică matematică, Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1973.
15. MIHALYI, M. MOSCOVICI, E. VÂRBAN,L.
Culegere de probleme de matematică, Bucureşti, Editura A S E. , 1981.
16. NĂDEJDE, I. ZIDĂROIU, C. şi colectiv
Probleme de cercetare operaţională, Bucureşti, Editura Academiei, 1971.
17. VĂDUVA, I. şi colectiv
Modele matematice de organizare şi conducerea producţiei, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1974.
