Home >Documents >privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ......

privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ......

Date post:09-Feb-2020
Category:
View:1 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • Raport ştiinţific sintetic

    privind execuţia proiectului ı̂n perioada ianuarie 2012 – noiembrie 2013

    Cuprins

    1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Reprezentări de algebre Lie nilpotente infinit dimensionale . . . . . . . 1 3. Calcul Weyl-Pedersen pe orbite coadjuncte plate . . . . . . . . . . . . 2 4. Aplicaţii la orbite coadjuncte de tip general . . . . . . . . . . . . . . . 4 5. Vectori diferenţiabili pentru reprezentările contragradiente . . . . . . . 6 6. Algebre de operatori integrali pe grupuri local compacte . . . . . . . . 9 7. Structura algebrelor Lie nilpotente de pas 3 . . . . . . . . . . . . . . . 10 8. Caracterizarea spaţiilor Gelfand-Shilov-Roumieu . . . . . . . . . . . . 11 Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1. Introducere

    În cele ce urmează facem sinteza celor mai importante rezultate obţinute ı̂n cadrul Etapelor I–II (1 ianuarie 2012 – 30 noiembrie 2013) ale proiectului cu codul PN-II-ID-PCE-2011-3-0131, având titlul Operator Calculus for Lie Group Repre- sentations, with Applications to PDE and Quantum Physics.

    Rezultatele prezentate mai jos sunt incluse ı̂n 11 articole accesibile pe internet. Stadiul lor de publicare este următorul:

    • Toate cele 3 lucrări [1], [2] şi [3] realizate in Etapa I (2012) au fost deja publicate sau acceptate spre publicare, două ı̂n reviste cotate ISI iar unul ı̂ntr-un volum apărut la Birkhäuser (Springer). • Dintre cele 9 lucrări [4]–[12] realizate ı̂n Etapa II (2013), arti-

    colele [4], [5], şi [6] a fost deja publicate sau acceptate spre publi- care ı̂n reviste cotate ISI, iar alte 4 sunt ı̂n prezent evaluate de referenţi de asemenea pentru publicaţii cotate ISI.

    Lista acestor articole cu referinţe bibliografice complete poate fi găsită ı̂n partea finală a raportului de faţă.

    2. Reprezentări de algebre Lie nilpotente infinit dimensionale

    În această secţiune prezentăm unele rezultate din articolul [1], acceptat spre publicare ı̂n revista Forum Mathematicum.

    Vom lucra ı̂n cadrul următor:

    • Dacă nu se specifică altfel, g este o algebră Lie nilpotentă local convexă Hausdorff peste K ∈ {R,C}, indexul ei de nilpotenţă fiind notat N + 1, unde N ∈ N. Astfel, dacă definim g(1) = g şi apoi g(j) := [g, g(j−1)] pentru orice j ≥ 2, atunci g(N) 6= {0} = g(N+1).

    • G = (g, ∗) este grupul Lie nilpotent local convex, conex şi simplu conex, asociat lui g, a cărui operaţie de ı̂nmulţire este definită prin formula Baker- Campbell-Hausdorff pe g. Este de observat că pentru acest grup Lie lo- cal convex (̂ın general infinit dimensional) există o aplicaţie exponenţială netedă, care este de fapt aplicaţia identică. De aceea vom utiliza acelaşi

    1

  • 2

    tip de notaţii pentru elementele din g şi G, şi vom utiliza notaţia G doar atunci când este util să fie subliniată structura de grup. • Notăm cu C(g,K) spaţiul funcţiilor continue pe g cu valori ı̂n K, ı̂nzestrat

    cu topologia convergenţei uniforme pe mulţimile mărginite, iar

    λ : G→ End (C(g,K)), (λ(x)φ)(y) = φ((−x) ∗ y)

    este reprezentarea regulată la stânga a lui G. Pentru φ ∈ C(g,K) şi x, y ∈ g, definim

    (2.1) (dλ(x)φ)(y) := lim t→0

    φ((−tx) ∗ y)− φ(y) t

    dacă această limită există. • Pentru orice spaţiu local convex Y peste C şi orice număr ı̂ntreg m ≥ 0

    notăm cu Pm(g,Y) spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale continue de grad ≤ m pe g cu valori ı̂n Y, iar cu Pm(g,Y) subspaţiul format din funcţiile polinomiale omogene de grad m. Spaţiul Pm(g,Y) este ı̂nzestrat cu topolo- gia convergenţei uniforme pe mulţimile mărginite. Avem descompunerea ı̂n sumă directă topologică

    (2.2) Pm(g,Y) = P0(g,Y)u P1(g,Y)u · · ·u Pm(g,Y),

    şi se poate demonstra că Pm(g,Y) este un subspaţiu ı̂nchis al lui C(g,K). Teorema 1 ([1]). Dacă definim

    FG = span (λ(G)g∗)

    atunci au loc următoarele afirmaţii:

    (1) Spaţiul de funcţii FG este un subapaţiu liniar ı̂nchis al lui PN (g,K) care este invariant la reprezentarea regulată şi conţine funcţiile constante.

    (2) Aplicaţia λG : G → End (FG), x 7→ λ(x)|FG este o reprezentare netedă fidelă a grupului Lie G şi pentru orice x ∈ G avem (λG(x)−1)2

    N−1N+1 = 0. (3) Aplicaţia dλG : g→ End (FG), x 7→ dλ(x)|FG este o reprezentare fidelă a

    algebrei Lie g şi pentru orice x ∈ g avem dλG(x)2 N−1N+1 = 0.

    În cazul particular al algebrelor Lie-Banach, teorema anterioară are următorul corolar care dă un răspuns afirmativ la o problemă deschisă dintr-un articol de K.-H. Neeb (Towards a Lie theory of locally convex groups. Japanese J. Math. 1 (2006), no. 2, 291–468). După cum se poate vedea, este vorba de fapt despre o variantă infinit dimensională a teoremei lui Birkhoff de scufundare pentru algebre Lie nilpotente.

    Corolar 2 ([1]). Orice grup Lie-Banach nilpotent, conex şi simplu conex, de index de nilpotenţă N + 1, are o reprezentare fidelă unipotentă normic continuă pe un spaţiu Banach convenabil, cu indexul de unipotenţă cel mult 2N−1N + 1. Orice algebră Lie-Banach nilpotentă, de index de nilpotenţă N + 1, are o reprezentare fidelă mărginită, prin operatori nilpotenţi pe un spaţiu Banach, fiecare dintre aceşti operatori având indexul de nilpotenţă cel mult 2N−1N + 1.

    3. Calcul Weyl-Pedersen pe orbite coadjuncte plate

    În această secţiune prezentăm unele rezultate din articolul [2], acceptat spre publicare ı̂n revista International Mathematics Research Notices.

  • 3

    Să considerăm un grup Lie nilpotent, conex şi simplu conex, notat cu G, cu algebra Lie g al cărei centru este notat z. Fie π : G→ B(H) o reprezentare unitară ireductibilă asociată cu orbita coadjunctă O ⊆ g∗. Definim Diff (O) ca fiind spaţiul tuturor operatorilor diferenţiali liniari D pe O care sunt invarianţi la acţiunea coadjunctă, ı̂n sensul următor:

    (∀g ∈ G)(∀a ∈ C∞(O)) D(a ◦Ad∗G(g)|O) = (Da) ◦Ad ∗ G(g)|O.

    Vom presupune că O este o orbită coadjunctă plată generică. Acest lucru este echivalent cu condiţia dimO = dim g − dim z, ceea ce este echivalent cu faptul că reprezentarea π este de pătrat integrabil modulo centru lui G. Calculul Weyl- Pedersen Op: S ′(O) → L(H∞,H−∞) este un izomorfism liniar topologic, unic determinat prin condiţia că pentru orice b ∈ S(g) avem

    Op(b̌|O) = ∫ g

    π(expGX)b(X)dX,

    unde b̌(ξ) = ∫ g

    ei〈ξ,Y 〉b(Y )dY pentru orice ξ ∈ g∗ iar 〈·, ·〉 : g∗×g→ R este paranteza de dualitate. Mai sus am utilizat de asemenea notaţia H∞ pentru spaţiul Fréchet nuclear al vectorilor diferenţiabili pentru π, H−∞ pentru spaţiul funcţionalelor an- tiliniare continue pe el, iar L(H∞,H−∞) pentru spaţiul operatorilor liniari continui ı̂ntre spaţiile de mai sus (aceşti operatori sunt gândiţi ca operatori liniari, posibil nemărginiţi, ı̂n H), iar S(•) şi S ′(•) sunt spaţiul Schwartz şi respectiv spaţiul distribuţiilor temperate.

    Teorema 3 ([2]). Fie G un grup Lie nilpotent, conex şi simplu conex, ale cărui orbite coadjuncte generice sunt plate. Fie O o astfel de orbită şi fie π : G→ B(H) una dintre reprezentările unitare ireductibile asociate cu ea. În plus să alegem p ∈ {0} ∪ [1,∞] arbitrar. Atunci pentru orice a ∈ C∞(O) următoarele proprietăţi sunt echivalente:

    (1) Pentru orice D ∈ Diff (O) avem Da ∈ Lp(O). (2) Pentru orice D ∈ Diff (O) avem Op(Da) ∈ Sp(H).

    În plus, dacă notăm cu C∞,p(O) spaţiul tuturor simbolurilor cu proprietăţile de mai sus, atunci calculul Weyl-Pedersen defineşte o aplicaţie liniară continuă

    Op: C∞,p(O)→ Sp(H)

    atunci când C∞,p(O) este ı̂nzestrat cu topologia Fréchet definită de familia de seminorme {a 7→ ‖Da‖L∞(O)}D∈Diff (O) sau, echivalent, de familia de seminorme {a 7→ ‖Op(Da)‖Sp(H)}D∈Diff (O).

    În enunţul de mai sus se utilizează spaţiile de funcţii

    Lp(O) =

     {a : O → C măsurab. | ‖a‖∞ := esssup

    O |a|

  • 4

    definite ı̂n raport cu măsura Liouville determinată de structura simplectică a orbitei coadjuncte O, precum şi idealele de operatori

    Sp(H) =

     B(H) dacă p =∞, {T ∈ B(H) | trace |T |p

  • 5

    astfel ı̂ncât D(a◦Θ) = (Dha)◦Θ pentru orice a ∈ C∞(O|h) şi D ∈ Diff (O). În particular, rezultă că pentru p ∈ {0} ∪ [1,∞] obţinem o aplicaţie liniară injectivă

    C∞,p(O) ↪→ C∞,p(O|h), a 7→ a ◦Θ−1.

    Corolar 7 ([3]). Dacă are loc una dintre afirmaţiile echivalente ale Propoziţiei 5 de mai sus şi dacă H-orbita coadjunctă O|h este plată, atunci pentru orice a ∈ C∞b (O) avem Opπ(a) ∈ B(H), şi ı̂n plus calculul Weyl-Pedersen defineşte o aplicaţie liniară continuă Opπ : C∞b (O)→ B(H).

    Este de remarcat că orbita coadjunctă a reprezentării π din Corolarul 7 ar putea să nu fie plată, şi totuşi am obţinut un rezultat de L2-mărginire exact ca şi cel din Teorema 2. Dăm acum un exemplu concret de grup Lie nilpotent de index 3 care ilustrează acest rezultat. Exemp

Click here to load reader

Reader Image
Embed Size (px)
Recommended