Polinoame

5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 1/20

Referat la Matematică



Cuprins…

I.Mulţimea polinoamelor cucoeficineţi complecşi………………………………………………………3

I.1. Definirea polinoamelor…………………………………………3I.2. Adunarea şi înmulţirea………………………………………….3I.3. Forma algebrică…………………………………………………6I.4. Gradul unui polinom…………………………………………….6I.5 Val pol. într-un punct…………………………………………….7I.6. Împărţirea polinoamelor…………………………………………7I.7. Divizibilitatea polinoamelor……………………………………..9

I.8. Rădăcinile polinoamelor………………………………………..11II. Mulţimea polinoamelor cucoeficienţi reali…………………………………………………………….13III. Multţimea polinoamelor cucoeficienţi întregi şi raţionali………………………………………………14IV. Aplicaţii………………………………………………………………..15

IV.1. Probleme rezolvate……………………………………………15IV.2. Probleme propuse……………………………………………..19

2



Polinoame cu coeficienţi complecşi

I. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi

I.1.Definirea polinoamelor

Fie C[X] mulţimea şirurilor(infinite) de numere(complexe),...),...,,,( 210 naaaa f = , care au numai un număr finit de

termeni ai,nenuli, adică există un număr natural m , astfelîncât ai=0, pentru orice i>m.

De exemplu, şirurile ,...)0,0,2,1,0( −= f ; ,...)0,0,2,,1( i g −= ;,...)0,0,2,100,7,21( −+= ih sunt şiruri infinite care au un număr

finit de termeni nenuli. Şirul g are 3 termeni nenuli, iar hare 4 termeni nenuli. Deci aceste şiruri sunt elemente dinmulţimea C[X].

I.2. Adunarea şi înmulţirea polinoamelor

3



Definim pe mulţimea C[X] două operaţii algebrice:adunarea şi înmulţirea.

• Adunarea polinoamelor:

Fie ,...),...,,,( 210 k aaaa f = , ,...),...,.,( 210 k bbbb g = două elemente dinmulţimea C[X]; atunci definim:

,...),...,,,( 221100 k k babababa g f ++++=+ , N k ∈∀

• Proprietăţile adunării polinoamelor:(C[X],+) se numeşte grup abelian

1. Asociativitatea

)()( h g f h g f ++=++ ,∈∀ h g f ,,

C[X]

Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaa f = , ,...),,( 210 bbb g = şi

,...),,( 210 ccch = atunci avem ,...),,( 221100 bababa g f +++=+ şi deci

,...))(,)(,)(()( 222111000 cbacbacbah g f ++++++=++ .Analog, obţinem că

),...)(),(),(()( 222111000cbacbacbah g f ++++++=++ . Cum adunarea

numerelor este asociativă, avem )()( iiiiii cbacba ++=++ , pentru

orice 0≥i .

2. Comutativitatea

f g g f +=+ , ∈∀ g f , C[X]

Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaa f = şi ,...),,( 210 bbb g = , avem

,...),,( 221100 bababa g f +++=+ , ,...),,( 221100 ababab f g +++=+

Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem

iiiiabba +=+ pentru orice 0≥i . Deci f g g f +=+ .

3. Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,…) este element neutru pentru

adunarea polinoamelor, în sensul că oricare ar fi ∈ f C[X],avem:

f f f =+=+ 00

4



4. Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adică oricare ar fi ∈ f C[X],

există un polinom, notat )( f − , astfel încât:0)()(

=+−=−+f f f f

De exemplu, dacă ,...)0,0,2,2,0,1(−= f este un polinom, atunciopusul său este ,...)0,0,2,2,0,1( −−=− f

• Înmulţirea polinoamelor:

Fie ,...),,( 210 aaa f = , ,...),,( 210 bbb g =

Atunci definim:...,...)...,...,,,( 110021120011000 ++++++=•

−k k babababababababa g f

ck

∑= −= k i ik ik bac

0

• Proprietăţile înmulţirii:

1. Asociativitatea

Oricare ar fi ∈h g f ,, C[X], avem:

)()( h g f h g f ••=••

2. Comutativitatea

Oricare ar fi ∈ g f , C[X],avem:

f g g f •=•

Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaa f = , ,...),,( 210 bbb g = , atunci

notând ,...),,( 210 ccc fg = şi ,...),,( 210 d d d gf = , avem

022110 ... babababac r r r r r ++++=−− şi 0110 ... abababd r r r r +++=

− . Cumadunarea şi înmulţirea numerelor complexe sunt comutative şiasociative, avem cr=dr, pentru orice 0≥r . Deci gf fg = .

3. Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,…) este element neutru pentru

înmulţirea polinoamelor, adică oricare ar fi ∈ f C[X],avem:

f f f =•=• 11

5



4. Elemente inversabile

∈ f C[X] este inversabil dacă există 1− f ,a.î.:

111 =•=• −− f f f f

Singurele polinoame inversabile sunt cele constantenenule: ,...)0,0,0,(a f = , a≠ 0.

5. Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele ∈h g f ,, C[X],are loc relaţia:

fh fg h g f +=+ )(

1.3. Forma algebrică a polinoamelor

Notaţia ,...),,( 210aaa f = introdusă pentru polinoame nu este

prea comodă în operaţiile cu polinoame. De aceea vom folosialtă scriere.

Dacă considerăm ,...)0,0,,...,,( 10 naaa f = , atunci f se va scrie sub

forma: n

n X a X a X aa f ++++= ...2

210 . Au loc notaţiile: ,...)0,0,(aa =

,...)0,0,1,0(= X

,...)0,1,0,0(2= X

,...)0,1,0,...,0,0(=n

X

Exemplu: 2321,...)0,0,3,2,1( X X f ++==

324321,...)0,0,4,3,2,1( X X X g +++==

Atunci:

)43()3342()233241(

)132231(41)4321)(321(

543

2322

•+•+•+•+•+•+

•+•+•++=+++++=•

X X X

X X X X X X X g f

324)33()22(11 X X X g f ++++++=+

I.4. Gradul unui polinom

Fie nn X a X a X aa f ++++= ...2

210 . Se numeşte gradul lui f ,notat prin gradf , cel mai mare număr natural n astfel încât

0≠na .

Exemple: 1. Polinomul X f −=1 are gradul 1;2. Polinomul 53 X X X f −+= are gradul 5;3. Polinomul constant a f = , unde C a∈ ,are

gradul 0.

6



Referitor la gradul sumei şi produsului a două polinoame f şi g , au loc următoarele relaţii:

i) ),max()( gradg gradf g f grad ≤+ ;ii) gradg gradf fg grad +=)( .

I.5. Valoarea unui polinom într-un punct

Fie n

n X a X a X aa f ++++= ...2

210 , atunci funcţia polinomială

asociată polinomului f este:

R R F →: , n

n X a X a X aa X F ++++= ...)( 2

210 .

I.6. Împărţirea polinoamelor

* Teorema de împărţire cu rest:],[, X C g f ∈∀ ∃ ][, X C r q ∈ , r qg f += , cu gradg gradr <

Polinomul f se numeşte deîmpărţit, g împărţitor,q cât,iar rrest.

Vom efectua împărţirea polinomului n

n X a X a X aa f ++++= ...2

210 la

polinomul m

m X b X b X bb g ++++= ...2

210 .

f g

0

1

1 ... a X a X an

n

n

n+++ −

− 0

1

1 ... b X b X bm

m

m

m +++ −−

mn

m

nn

m

mnn

n X b

ba X

b

ba X a

−−− −−−− 011 ...

mn

m

nmn

m

nmn

m

n p p

X b

a X

b

a X

b

a −−− +++ ...11

q

0

1

11 ...1

1

1

1a X a X a f n

n

n

n +++=−

−

mn

m

bnn

m

mnn

n X b

a X

b

ba X a

−−− −−−− 101111

1...

11

0

1

12 ...2

2

2

2a X a X a f

n

n

n

n +++=−

−

…………………………………………………………………………………

0... a X a f p

p

n

n p++=

mn

m

nn

n

p p p

p X

b

ba X a

−−−−0

........

7



01 ...1

1a X a f p

p

n

n p ++= +

++

Acest tabel ne redă regula(algoritmul) de împărţire apolinoamelor, pe care o vom aplica în practică pentruobţinerea câtului şi restului împărţirii.

Exemplu: Fie polinoamele 1852 345 +−−+= X X X X f şi 32 −= X g .

Să determinăm câtul şi restul împărţirii lui f la g.

1852345 +−−+ X X X X 32 − X

52 X − 3

6 X + 3223 +++ X X X

1834 +−+ X X X q

4 X − 23 X +

18323 +−+ X X X

3 X − X 3+

1532 +− X X

23 X − 9+

105 +− X

rDeci câtul este 32 23 +++= X X X q , iar restul 105 +−= X r .Formula împărţirii cu rest se scrie,în acest caz astfel:

).105()32)(3(1852232345 +−++++−=+−−+ X X X X X X X X X

• Împărţirea prin X-a. Schema lui Horner.

Fie 01

1

1 ... a X a X a X a f n

n

n

n ++++= −− . În cele ce urmează ne vom

folosi de schema lui Horner pentru a împărţi polinomul f la

polinomul a X g −= .

n

n

a

X

1

1

−

−

n

n

a

X

2

2

−

−

n

n

a

X ………

1

1

a

X

0

0

a

X

na 1− + nn aba 22 −−+ nn aba ………

11 aba + 00 aba +

8



1−nb 2−nb 3−nb ………0b r

În rândul de sus al tabelului se scriu coeficienţiipolinomului f, iar în rândul de jos coeficienţii 021 ,...,, bbb nn −− ai câtului şi restul r.

Exemplu: Utilizând schema lui Horner, să se determinecâtul şi restul împărţirii polinomului 1852

34 +−−= X X X f şibinomul 2− X .

Deci câtul şi restul împărţirii sunt 122223 −−−= X X X q şi

23−=r .

I.7. Divizibilitatea polinoamelor

Def. ][, X C g f ∈∀ , ][, X C r q ∈∃ aşa încât r q g f +•= , cu gradg gradr < .Spunem că f se divide la g )( g f sau g divide pe f )/( f g ,

dacă 0=r .

• Proprietăţi

1. Reflexivitatea

][,/ X C f f f ∈∀

2. Simetria g f / şi C k f g ∈∃⇒/ , a.î. kg f =

În acest caz spunem că f este asociat cu g )( g f ≈

3. TranzitivitateaDacă g f / şi h f h g // ⇒

2

4 X

5

3

− X

0

2 X

8− X

1

0 X

2 122 5 −=•+− 2)1(20 −=−+ 12)2(28 −=−+− 23)12(21 −=−+

3b

2b

1b

0b r

9



4. Dacă g f / şi )(/ h g f h f +⇒ h g f 21̀/ λ λ +⇒

• Cel mai mare divizor comun

Def. ][, X C g f ∈∀ ),( g f d = = C.m.m.d.c

1. f d / şi g d /2. f d X C d /'],['∈∀ şi d d g d /'/' ⇒

Algoritmul lui Euclid:),(),(...),(),(),( 01211 r r r r r r r g g f nnn =====

−

Cel mai mare divizor comun a două polinoame este unicpână la înmulţirea cu o constantă(asociere).

Dacă 1),( = g f , atunci f şi g sunt prime între ele.

Exemplu: Să se găsească cel mai mare divizor comun alpolinoamelor:

442 234 +−−+= X X X X f şi 323 −++= X X X g .

Vom aplica algoritmul lui Euclid. Împărţim pe f la g.

X X X X

X X X X

3

442

234

234

+−−−

+−−+3

23 −++ X X X

X

432 +−− X X

Pentru a evita coeficienţii fracţionari, vom înmulţi înprealabil pe g cu 3 şi restul împărţirii cu –1. împărţimacum împărţitorul la rest:

X X X

X X X

43

9333

23

23

+−−

−++ 43

2 −+ X X

9722 −+ X X X

Acum, pentru a evita din nou coeficienţii fracţionari,vom înmulţi pe 43

2 −+ X X cu 2 şi continuăm operaţia.

27216

826

2

2

+−−

−+

X X

X X 972

2 −+ X X

3

1919 +− X

Am obţinut restul 1919 +− X . Pentru a evita din noucoeficienţii fracţionari, vom împărţi restul cu –19 şiîmpărţim împărţitorul la rest.

10



X X

X X

22

972

2

2

+−

−+ 1− X

92 + X

99

99

+−

−

X

X

-- -- Ultimul rest nenul este polinomul 1− X şideci 1),( −= X g f .

• Cel mai mic multiplu comun

Def. Fie f şi g două polinoame. Un polinom m se numeşte celmai mic multiplu comun al polinoamelor f şi g dacă verifică

următoarele condiţii:1. m f / şi m g /

2. 'm∀ , '/m f şi '/'/ mmm g ⇒

Dacă d este c.m.m.d.c al lui f şi g, atuncid

fg m = .

I.8. Rădăcinile polinoamelor.

• Teorema lui Bezout:

Fie 0≠ f un polinom. Atunci numărul C a∈ este rădăcină apolinomului f dacă şi numai dacă a X − divide f.

• Teorema fundamentală a algebrei

Orice ecuaţie algebrică 0... 01

1

1 =++++ −− a X a X a X a n

n

n

n de

grad mai mare sau egal cu 1 şi cu coeficienţi complecşiare cel puţin o rădăcină complexă.

• Rădăcini simple şi multiple

Def. Fie ][ X C f ∈ . C a∈ este rădăcină de ordin demultiplicitate m, dacă f a X

m/)( − şi 1

)(+

−m

a X nu divide pe f.Exemple:

f X /1−2

)1( − X nu divide f 1=⇒ X este rădăcină de ordin demultiplicitate 1(răd. simplă).

11



)1)(1()1(23++−= X X X f . Descompunând în factori

ireductibili vom obţine:

))()(1()1(3 i X i X X X f +−+−= , unde:

1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3

i,-i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1

• Teorema de descompunere în factoriireductibili(primi)

Fie ][ X C f ∈ şi n x x x ,...,, 21 rădăcinile sale în C, nuneaparat distincte. Atunci: (în C[X])

pm

n

mm

nnn x X x X x X a x X x X x X a f )...()()())...()(( 21

2121 −−−=−−−= n gradf mmm p

==+++ ...21

Singurii factori ireductibili(primi) în C[X] suntpolinoamele de gradul I.

• Relaţiile lui Francois Viete

Fie 01

1

1 ... a X a X a X a f n

n

n

n ++++=−

− , un polinom de grad n. Dacăn x x x ,...,, 21 sunt rădăcinile lui f, atunci:

12



−

=

−=+++=

−=+++++=

−=+++=

−

+−+−+−

−

−

−

n

n

k

n

k nnk nk nk k k k

n

n

nnn

n

n

n

a

a P

a

aaaa x x x x x x xS

a

a x x x x x x x xS

a

a x x xS

)1(

.................................................................................

)1(.. ... ... ... .

.................................................................................

)1(.. ... .

)1(.. .

0

21112121

2

2

1131212

1

211

0)1(...)1(...)1()1(2

2

1

1 =+−++−++−+−+ −−− P S S S S X nk

k nnnn

II. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali

Fie ][ X R f ∈ şi ecuaţia 0)( = x f .

Dacă bia x +=1 RC −∈ este rădăcină pentru f, atunci

bia x −=2 este rădăcină pentru f, iar x1 şi xx au aceeaşimultiplicitate.

• Demonstraţie0)(0)( 1 =+⇔= bia f x f

011

1

11112 ...)()()( a xa xa xa x f bia f x f n

n

n

n ++++==−=−

−

0)(...1011

1

111==++++⇒=⇒∈ −

− x f a X a X a X a z z R z n

n

n

ne

13



)()()(

)()()(

'

22

11

X g x X x f

X g x X x f

m

m

•−=

•−= '

][

12 mm X R f

x x=⇒

∈

=.

• Teorema de descompunere în factori ireductibili

În R[X]:

!2 )()(mm x xbax f ∏∏ ++•+= γ β α

Singurele polinoame prime din R[X] sunt:1. polinoamele de gradul I2. polinoamele de gradul II cu 0<∆ .

III. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţiraţionali şi respectiv întregi

][][][][ X Z X Q X R X C ⊂⊂⊂

Fie ][ X Q f ∈ . Atunci dacă ba x +=1este rădăcină pentru

f, cu Q RbQbQa −∈∉∈ ,, , atunci ba x −=2este rădăcină pentru

f şi x1 şi x2 au aceeaşi multiplicitate.

Exemplu: 264 234 +++−= X X X X f

2121 21 +=⇒−= x x este rădăcină.

)12(

))(()21)(21(

2

2121

2

−−⇒

++−⇒−−+−⇒

X X f

x x X x x X f X X f

31)22)(12(4,3

22 ±=⇒−−−−= x X X X X f

------------------------

Fie ][ X Z f ∈ şi ecuaţia 0)( = x f

0... 011

1 =++++⇒ −− a X a X a X a nn

nn

Dacă f admite o rădăcină de formaq

p x =

1 , Z q p ∈, , atunci

0/ a p şi naq / . Dacă 1=na , atunci p x =1 .

Exemplu:

14



Fie 04852 234 =++−−= X X X X f admite soluţia

1/,4/1 q pq

p x ⇒= . Deci }4;2;1{

1 ±±±∈⇒ x

Împărţind succesiv polinomul la posibilele radacini,

obţinem: )12)(2)(2(2 −−+−= X X X X f Q R x x x −∈±=−==⇒ 21;2;2 4,321

IV. Aplicaţii

IV.1. Probleme rezolvate

1.Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia022

234 =+++− X mX X X ştiind că admite rădăcina i+1 .

Dacă )1)(1(0)1(0)1( i X i X f i f i f +−−−⇒=−⇒=+

)22()11(22 +−⇔++−−+−+− X X f iiX i X iX X X f

234

234

22

2

X X X

n X mX X X

−+−

+++−222

+− X X

X X X

n X m X X

22

2)2(

23

23

−+−

++−+m X X ++2

mmX mX

nmX

222

2

−+−

+

nmmX +−22

=

=⇒=+−

0

0022

n

mnmm X

Dacă { }i x x x X X xqm ±−∈⇒−==⇒+=⇒= 1;1;01,0)(0 43

2 .

2.Să se arate că polinomul 3424144 +++ +++ d cba X X X X , cu

),,,( N d cba ∈ este divizibil prin 123+++ X X X

))()(1(123

i X i X X X X X −++=+++01111)1()1()1()1()1(

3424144=−+−=−+−+−+−=−

+++ d cba f

15



011

)()()()()()(1)()()()()(342443424144

=+−−=

−−+−−+−−+=−+−+−+−=−+++

ii

iiiiiiiiiii f d cbd cba

011)(3424144 =−−+=+++= +++

iiiiiii f d cba

Dacă )1(0)1(

0)(

0)(233424144

++++++⇒

=− =

=−+++

X X X X X X X f

i f

i f d cba

3. Fie 4332 45212223 −−++−= X X X X X f . Fie 2

23

2

2

2

1 ... x x xS +++= ,

unde i x este rădăcină a lui f. Atunci:1) =S a ; 2) =S b ; 2) −=S c ; 4) −=S d

264322)...(2)...(...2

232221

2

2321

2

23

2

2

2

1 −=−=•−=++−+++=+++ x x x x x x x x x x

R:c)

4.Restul împărţirii lui f la 12 − X este:0)a ; X b) ; 77) − X c ; 135149) + X d .

)1)(1(12

+−=− X X X

r xQ X X X X X X +−=−−++− )()1(4332245212223

Fie α o rădăcină a ecuaţiei 012 =− X 101 22

=⇔=−⇒ α α

77413324)(

)(3)(2)(4332)(

22

10211211245212223

−=−−++−=−−

•+−•=−−++−==

α α α α α

α α α α α α α α α α α f r

Deci restul împărţirii lui f la 12 − X este 77 − X . R:c).

5. Dacă 0,3,],[...2

210 ≠≥∈∈++++= n

n

n an N n X R X a X a X aa P şi

nk aa k k n ,0, ==−

. Atunci relaţia dintre

X

P 1

şi )( X P

este:

( ) *,1

) R x X

P X P a ∈∀

= ; *),(

1) 1 R x X P

X P X b n ∈∀=

−

;

*),(1

) R x X P

X

P X c n ∈∀=

; *),(

1) 1 R x X P

X

P X c n ∈∀=

+.

Dacă nk aa k k n ,0, ==−

atunci:

16



)(

1

0

0

11

0

X P

aank

aak

aak

n

n

n

⇒

=⇒=

=⇒=

=⇒=

−

se mai poate scrie, echivalent, sub

forma:

nnn

nnn a X a X a X a X a X a X P ++++++= −−−−

1

2

2

2

2

1

10 ...)(

n

n X a X

a X

aa X

P ++++=

...

1112210 n X •/

)(1

)(...1 2

2

1

10X P

X P X X P a X a X a X a

X P X n

n

nnnn =

•⇒=++++=

•⇒ −−

R:c).

6. Fie ecuaţia 03)1(23 =+−++ X m X mX , * Rm ∈ fiind

parametru. Mulţimea valorilor lui m pentru care

02

3

2

2

2

1 ≤++ x x x este:

a.

+∞

+∪

−∞−∈ ;

2

31

2

31;m ; b.

−∞−

2

31; ;

c.

+2

31;0 ; d. { }0\

2

31;

2

31

+−.

*,03)1(23 Rm X m X m X ∈=+−++ .

0)1(210)1(21

12

1)(2)(

2

2

323121

2

321

2

3

2

2

2

1

≤−−⇔≤−

−=

=

−

−

−=++−++=++

mmm

m

m

m

m

m x x x x x x x x x x x x

01222 ≥−−⇔ mm

2

31

4

322321284 1

+=

+=⇒=∆⇒=+=∆ m

2

31

2

3222

−=

−=⇒m .

Deci

+∞

+∪

−∞−∈ ;

2

31

2

31;m . R:a).

17



7. Valoarea expresiei:

3

21

2

31

1

32

x

x x

x

x x

x

x x E

++

++

+= ,unde 321 ,, x x x sunt rădăcinile

ecuaţiei 2623 ++− X X X este:

a. –3; b. –1; c. –6; d. 3.

−=

=++

=++

2

1

6

321

322131

321

x x x

x x x x x x

x x x

63332

1636

3111

616

16

16666

321

323121

3213213

3

2

2

1

1

−=−−=−

−

=−

++=

−

++=−+−+−=

−+

−+

−=

x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x

x

x

x

x E

R:c).

8. Fie 19921 ,...,, x x x rădăcinile ecuaţiei 0510199 =−+ X X .

Atunci suma 199

199

199

2

199

1 ... x x xS +++= are valoarea:

a. 1000=S ; b. 995=S ; c. 0=S ; d. 50−=S .

Dacă 19921 ,...,, x x x sunt rădăcini, atunci fiecare din eleverifică ecuaţia:

0510

0510

0510

199

199

199

2

199

2

1

199

1

=−+

=−+

=−+

x x

x x

x x

9959950101995)...(10... 19921

199

199

199

2

199

1 =+•−=•++++−=+++ x x x x x x

R:b).

9. Se consideră funcţia R R f →: , baX X x f ++= 2)( , Qba ∈,

.Suma modulelor radacinilor ecuaţiei 0)( = x f este:

a. a ; b. ba 42 − pentru 0<b ; c. ba 4

2+ pentru 0≥b

d. b .

18



=

−=+

b x x

a x x

21

21 ba x x x x x x 22)( 2

21

2

21

2

2

2

1 −=−+=+ .

( ) 21

2

21

2

2

2

1

22

2

2

1 22 x x x x x xba x x −+=+=−=+⇒

( ) bba x xbba x x 22222

21

22

21+−=+⇒+−=+⇒

Dacă ba x xb 402

21 −=+⇒< . R:b).

10. Restul împărţirii lui n X f = la 22 −−= X X g este:

a. 1+ X ; b. 1− X ; c. 2)14( ++ X n ; d.

3)1(22

3)1(2

nnnn

X −++−− .

)2)(1(22 −+=−− X X X X

baX X X xq X f n ++−+•== )2)(1()( , unde r baX =+ , gradg gradr < .

Pentru ba xn +−=−⇒−= )1(1

Pentru ba xn

+=⇒= 222

=+

−=+−⇒

n

n

ba

ba

22

)1((-)

3

)1(2)1(232)1(3

nnnnnn

aaa−−

=⇒−−=⇔−−=−

3

)1(22

3

)1(22

3

)1(2)1()1(

nnnnnnnn

bab−+=⇒−+=−−+−=+−= .

Deci3

)1(22

3

)1(2nnnn

X r −+

+−−

= . R:d).

IV.2. Probleme propuse

1. Fie 33 +−= X X f cu rădăcinile 321 ,, x x x şi 1

2 ++= X X g cu

rădăcinile 21 , y y .

)()( 21 y f y f + este:

19



a. 5; b. 7; c. 9; d. 1.

2. )()()( 321 x g x g x g ++ este:a. 1; b. 5; c. 7; d. 3.

3.Să se determine Rm∈ , ştiind că ecuaţia 0323

=−−+ X mX X are rădăcinile în progresie aritmetică.

4.Polinomul ][ X Q f ∈ are gradul 5 şi 1)21()1()0( =+=+= f i f f

. Atunci suma rădăcinilor lui f este:a. 0; b. –1; c. 3; d. 4.

5.Se consideră funcţia R R f →: , 9)(2 ++= X X x f . Suma

)50(...)2()1( f f f +++ este :a. 89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000.

6.Se consideră funcţia R R f →: ,

2)1()1()(2 +−−+−= m X m X m x f cu { }1\ Rm ∈ . Soluţiile 1 x şi 2 x ale

ecuaţiei 1)( −= x f , pentru m=2 verifică relaţia α =+ 2004

2

2004

1x x .

Atunci α este:a. 1; b. i; c. 2; d. 1-i.

7.Se consideră polinoamele 33 +−= X X f , cu rădăcinile

321 ,, x x x şi 12 ++= X X g , cu răd. 21 , y y . Restul împărţirii lui)23( X g − la 2− X este:

a. 7; b. 5; c. 1; d. –1.

8. Rădăcina reală a lui f este situată în intervalul:a. )1,0( ; b. )1,2( −− c. )1,1(− ; d. )3,1( .

20

Date post:	08-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	neamtu-costel
View:	66 times
Download:	0 times

Polinoame

Documents