INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

1

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU

- 20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un corp

comutativ

Expert educaţie: prof. Monoranu Mihaela Doina, Colegiul Tehnic „Mihai Băcescu” Fălticeni

Breviar teoretic

Forma algebrică a polinomului cu coeficienţi într-un corp comutativ ( , , )K   este

1

1 1 0

0

... , n

k n n

k n n

k

f a X a X a X a X a 

      cu 0 1, ,..., na a a K şi .0na

Dacă 0f  ( polinomul nul), spunem că polinomul f are gradul , iar dacă 1

1 1 0... n n

n nf a X a X a X a 

     cu 0na spunem că polinomul f are gradul n.

Operaţii cu polinoame

Fie , [ ],f g K X  

 m

i

i

i Xaf 0

şi  

 n

j

jbjXg 0

, m

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

2

Teorema restului: Dacă [ ]f K X şi a K atunci restul împărţirii polinomului f la ( )X a este egal

cu ( ).f a

Divizibilitatea polinoamelor

Fie , [ ]f g K X . Polinomul f este divizibil prin polinomul g dacă există un polinom [ ]h K X astfel

încât f g h  . Notăm gf  sau .| fg Teorema lui Bézout. Fie [ ]f K X un polinom nenul şi a K .

Polinomul f se divide cu ( )X a ( ) 0f a  ( a este rădăcină a polinomului f )

Rădăcinile polinoamelor

Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice polinom de grad mai mare

sau egal cu unu are cel puţin o rădăcină complexă.

Definiţie:

a K se numeşte rădăcină pentru [ ]f K X dacă ( ) 0f a  .

a K se numeşte rădăcină multiplă de ordin p, p  pentru [ ]f K X dacă (X )pf a şi f nu se

divide cu 1(X )pa  .

Teoremă: Fie [ ]f K X cu ( )grad f n . Dacă nxxx ,...,, 21 sunt rădăcinile polinomului f , atunci

))...()(( 21 nn xXxXxXaf  .

Teoremă: a K este rădăcină multiplă de ordin p, p  pentru [ ]f K X  ' " ( 1)( ) ( ) ( ) ... ( ) 0pf a f a f a f a     şi

( ) ( ) 0pf a  .

Teoremă: Fie [ ]f X , 0f  şi 1 , , , 0x a ib a b b    o rădăcină complexă a lui f. Atunci:

1) 2x a ib  este rădăcină a lui f.

2) 1 2,x x au acelaşi ordin de multiplicitate.

Teoremă: Fie [ ]f X 0f  şi 1x a b  cu , , , b 0, )a b b Q   o rădăcină a lui f. Atunci:

1) 2x a b  este rădăcină a lui f.

2) 1 2,x x au acelaşi ordin de multiplicitate.

Teoremă: Fie 0 1 ... [ ] n

nf a a X a X X     , 0na  , iar q

p  o rădăcină raţională a lui f, ,p q Z

, .1),(,0  qpq Atunci

1) p divide termenul liber 0a

2) q divide coeficientul dominant .na

Relaţiile lui Viète. Dacă 0 1 ... [ ] n

nf a a X a X K X     , 1n , 0na  are rădăcinile nxxx ,...,, 21

atunci: 11 1 2 ... ; n

n

n

a S x x x

a

     

2 2 1 2 1 3 1... ;

n n n

n

a S x x x x x x

a

     

....

0 1 2... ( 1) .

n

n n

n

a S x x x

a   

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

3

Observaţie:  1 2 31 2 3 ... 1 0 nn n n n

nx S x S x S x S         

Polinoame reductibile – ireductibile

Definiţie: [ ]f K X cu ( )grad f n , 1n  este reductibil peste corpul K dacă ( )g, [ ]h K X  , de

grad strict mai mic decât n, astfel încât f g h  . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste corpul

K.

Observaţii:

 [ ]f X este ireductibil  , , , 0f ax b a b a   

 [ ]f X este ireductibil  , , , 0f ax b a b a    sau 2f ax bx c   , cu

2, , , 0, 4 0a b c a b ac   

Ecuaţii algebrice de grad superior

Ecuaţii bipătrate: 4 2 0, , , , 0ax bx c a b c a    

Observaţii:

 Notăm 2x y şi se obţine ecuaţia 2 0,ay by c   cu soluţiile 1 2,y y

 Se rezolvă ecuaţiile 2 2

1 2,x y x y  , obţinându-se soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x ale ecuaţiei bipătrate.

Ecuaţii reciproce: 1

1 1 0... 0, n n

n n ia X a X a X a a 

      cu , {0,1,2...,n}k n ka a k  

Observaţii:

 Orice ecuaţie reciprocă de grad impar admite rădăcina 1 1x   .

 Dacă ecuaţia reciprocă are soluţia  atunci are şi soluţia 1

 .

 Ecuaţia reciprocă de grad patru:

 4 3 2 2 2 22 2

2 2

2

1 1 0 : 0 0 0

1 1 : 2

b c ax bx cx bx a x ax bx c a x b x c

x x x x

notăm x y deci x y x x

                        

   

    

Ecuaţia devine: 2 2 0ay by c a    cu soluţiile 1 2,y y 

Se rezolvă ecuaţiile dar 1 2 1 1

,x y x y x x

    obţinându-se soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x ale ecuaţiei

reciproce.

Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

1. Să se scrie sub formă algebrică polinoamele:

a)     2 2

1 3 1f X X    ,  f X b)        3

64 1 3 2 3 .f X X X f X     

2. Se consideră polinomul  f X , 4 3 2 1f aX bX cX dX     , 0a  . Să se determine a, b,

c, d pentru care forma algebrică a polinomului   1 1g X X f    este 6 1X 

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

4

3. Să se determine în funcţie de parametrul real m, gradul polinoamelor  f X :

a)    3 2 21 1 3 1f m X m X X     

b)      2 4 2 3 25 6 4 2 3 2f m m X m X m X X         4. Se consideră polinoamele:      3 24 3f a b X a b X c      ,  f X şi

   3 22 2g a b X X a c     ,  g X . Să se determine a,b,c astfel încât f = g.

5. Se consideră polinoamele  5,f g X ,   23 3 2 2 3f a b X X a b     şi 22 2 3 2g X X a b    . Să se determine a,b 5 astfel încât f = g.

6. Să se calculeze valoarea  f  a polinomului f în cazurile:

a) 3 22 4 3, 2f X X X      b)  4 2 54 3 5, , 3f X X X f X       c)

 4 23 2, , 3f X X f X i    

7. Fie polinomul   3 26 , 2 3f X f X X X     . Calculaţi produsul

           0 1 2 3 4 5f f f f f f     8. Fie polinomul   25 , 2 2f X f X X   . Să se calculeze în 5 suma

         0 1 2 3 4f f f f f    9. Se consideră polinomul  f X , 3 2f X X aX b    . Să se determine a, b ştiind că f(1) =

0 şi f(-1) = - 4.

10. Se consideră polinomul  f X ,   1006

2 20121f X X X    , cu forma algebrică

2 2011

0 1 2 2011...f a a X a X a X     . Să se arate că suma 0 2 2011...a a a a    este un număr

par.

11. Să se determine polinomul  f X , grad f = 1, ştiind că:    1 8, 2 1f f   

12. Să se determine polinomul  f X , grad f = 2, ştiind că: f(1) = 0, f(0) = 1, f(2) = 5.

13. Să se determine polinomul  7f X , 3 2f X aX b   ştiind că  0 5f  şi  1 3f  .

14.