Home >Documents >20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un corp ... -20 - Tema/Unitatea: Polinoame...

20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un corp ... -20 - Tema/Unitatea: Polinoame...

Date post:03-Jan-2020
Category:
View:6 times
Download:2 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    1

    Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

    Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

    Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU

    - 20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un corp

    comutativ

    Expert educaţie: prof. Monoranu Mihaela Doina, Colegiul Tehnic „Mihai Băcescu” Fălticeni

    Breviar teoretic

    Forma algebrică a polinomului cu coeficienţi într-un corp comutativ ( , , )K   este

    1

    1 1 0

    0

    ... , n

    k n n

    k n n

    k

    f a X a X a X a X a 

          cu 0 1, ,..., na a a K şi .0na

    Dacă 0f  ( polinomul nul), spunem că polinomul f are gradul , iar dacă 1

    1 1 0... n n

    n nf a X a X a X a 

         cu 0na spunem că polinomul f are gradul n.

    Operaţii cu polinoame

    Fie , [ ],f g K X  

     m

    i

    i

    i Xaf 0

    şi  

     n

    j

    jbjXg 0

    , m

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    2

    Teorema restului: Dacă [ ]f K X şi a K atunci restul împărţirii polinomului f la ( )X a este egal

    cu ( ).f a

    Divizibilitatea polinoamelor

    Fie , [ ]f g K X . Polinomul f este divizibil prin polinomul g dacă există un polinom [ ]h K X astfel

    încât f g h  . Notăm gf  sau .| fg Teorema lui Bézout. Fie [ ]f K X un polinom nenul şi a K .

    Polinomul f se divide cu ( )X a ( ) 0f a  ( a este rădăcină a polinomului f )

    Rădăcinile polinoamelor

    Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice polinom de grad mai mare

    sau egal cu unu are cel puţin o rădăcină complexă.

    Definiţie:

    a K se numeşte rădăcină pentru [ ]f K X dacă ( ) 0f a  .

    a K se numeşte rădăcină multiplă de ordin p, p  pentru [ ]f K X dacă (X )pf a şi f nu se

    divide cu 1(X )pa  .

    Teoremă: Fie [ ]f K X cu ( )grad f n . Dacă nxxx ,...,, 21 sunt rădăcinile polinomului f , atunci

    ))...()(( 21 nn xXxXxXaf  .

    Teoremă: a K este rădăcină multiplă de ordin p, p  pentru [ ]f K X  ' " ( 1)( ) ( ) ( ) ... ( ) 0pf a f a f a f a     şi

    ( ) ( ) 0pf a  .

    Teoremă: Fie [ ]f X , 0f  şi 1 , , , 0x a ib a b b    o rădăcină complexă a lui f. Atunci:

    1) 2x a ib  este rădăcină a lui f.

    2) 1 2,x x au acelaşi ordin de multiplicitate.

    Teoremă: Fie [ ]f X 0f  şi 1x a b  cu , , , b 0, )a b b Q   o rădăcină a lui f. Atunci:

    1) 2x a b  este rădăcină a lui f.

    2) 1 2,x x au acelaşi ordin de multiplicitate.

    Teoremă: Fie 0 1 ... [ ] n

    nf a a X a X X     , 0na  , iar q

    p  o rădăcină raţională a lui f, ,p q Z

    , .1),(,0  qpq Atunci

    1) p divide termenul liber 0a

    2) q divide coeficientul dominant .na

    Relaţiile lui Viète. Dacă 0 1 ... [ ] n

    nf a a X a X K X     , 1n , 0na  are rădăcinile nxxx ,...,, 21

    atunci: 11 1 2 ... ; n

    n

    n

    a S x x x

    a

         

    2 2 1 2 1 3 1... ;

    n n n

    n

    a S x x x x x x

    a

         

    ....

    0 1 2... ( 1) .

    n

    n n

    n

    a S x x x

    a   

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    3

    Observaţie:  1 2 31 2 3 ... 1 0 nn n n n

    nx S x S x S x S         

    Polinoame reductibile – ireductibile

    Definiţie: [ ]f K X cu ( )grad f n , 1n  este reductibil peste corpul K dacă ( )g, [ ]h K X  , de

    grad strict mai mic decât n, astfel încât f g h  . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste corpul

    K.

    Observaţii:

     [ ]f X este ireductibil  , , , 0f ax b a b a   

     [ ]f X este ireductibil  , , , 0f ax b a b a    sau 2f ax bx c   , cu

    2, , , 0, 4 0a b c a b ac   

    Ecuaţii algebrice de grad superior

    Ecuaţii bipătrate: 4 2 0, , , , 0ax bx c a b c a    

    Observaţii:

     Notăm 2x y şi se obţine ecuaţia 2 0,ay by c   cu soluţiile 1 2,y y

     Se rezolvă ecuaţiile 2 2

    1 2,x y x y  , obţinându-se soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x ale ecuaţiei bipătrate.

    Ecuaţii reciproce: 1

    1 1 0... 0, n n

    n n ia X a X a X a a 

          cu , {0,1,2...,n}k n ka a k  

    Observaţii:

     Orice ecuaţie reciprocă de grad impar admite rădăcina 1 1x   .

     Dacă ecuaţia reciprocă are soluţia  atunci are şi soluţia 1

     .

     Ecuaţia reciprocă de grad patru:

     4 3 2 2 2 22 2

    2 2

    2

    1 1 0 : 0 0 0

    1 1 : 2

    b c ax bx cx bx a x ax bx c a x b x c

    x x x x

    notăm x y deci x y x x

                            

       

        

    Ecuaţia devine: 2 2 0ay by c a    cu soluţiile 1 2,y y 

    Se rezolvă ecuaţiile dar 1 2 1 1

    ,x y x y x x

        obţinându-se soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x ale ecuaţiei

    reciproce.

    Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

    1. Să se scrie sub formă algebrică polinoamele:

    a)     2 2

    1 3 1f X X    ,  f X b)        3

    64 1 3 2 3 .f X X X f X     

    2. Se consideră polinomul  f X , 4 3 2 1f aX bX cX dX     , 0a  . Să se determine a, b,

    c, d pentru care forma algebrică a polinomului   1 1g X X f    este 6 1X 

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    4

    3. Să se determine în funcţie de parametrul real m, gradul polinoamelor  f X :

    a)    3 2 21 1 3 1f m X m X X     

    b)      2 4 2 3 25 6 4 2 3 2f m m X m X m X X         4. Se consideră polinoamele:      3 24 3f a b X a b X c      ,  f X şi

       3 22 2g a b X X a c     ,  g X . Să se determine a,b,c astfel încât f = g.

    5. Se consideră polinoamele  5,f g X ,   23 3 2 2 3f a b X X a b     şi 22 2 3 2g X X a b    . Să se determine a,b 5 astfel încât f = g.

    6. Să se calculeze valoarea  f  a polinomului f în cazurile:

    a) 3 22 4 3, 2f X X X      b)  4 2 54 3 5, , 3f X X X f X       c)

     4 23 2, , 3f X X f X i    

    7. Fie polinomul   3 26 , 2 3f X f X X X     . Calculaţi produsul

               0 1 2 3 4 5f f f f f f     8. Fie polinomul   25 , 2 2f X f X X   . Să se calculeze în 5 suma

             0 1 2 3 4f f f f f    9. Se consideră polinomul  f X , 3 2f X X aX b    . Să se determine a, b ştiind că f(1) =

    0 şi f(-1) = - 4.

    10. Se consideră polinomul  f X ,   1006

    2 20121f X X X    , cu forma algebrică

    2 2011

    0 1 2 2011...f a a X a X a X     . Să se arate că suma 0 2 2011...a a a a    este un număr

    par.

    11. Să se determine polinomul  f X , grad f = 1, ştiind că:    1 8, 2 1f f   

    12. Să se determine polinomul  f X , grad f = 2, ştiind că: f(1) = 0, f(0) = 1, f(2) = 5.

    13. Să se determine polinomul  7f X , 3 2f X aX b   ştiind că  0 5f  şi  1 3f  .

    14.

Click here to load reader

Reader Image
Embed Size (px)
Recommended