Home >Documents >INELE DE POLINOAME PROPRIETATI

INELE DE POLINOAME PROPRIETATI

Date post:18-Dec-2015
Category:
View:278 times
Download:35 times
Share this document with a friend
Transcript:

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitarINTRODUCERE

Matematica contribuie esential la educarea memoriei, atentiei, vointei, imaginatiei, la amplificarea setei de cunoastere si are un rol important in educatia estetica a celor ce o studiaza. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscand in timp o dezvoltare foarte accentuate. Problematica de care se ocupa a devenit mai vasta si mai variata.Tema acestei lucrari metodico-stiintifice este Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitarIntre teoremele aritmeticii numerelor intregi si unele teoreme ale aritmeticii polinoamelor exista o mare asemanare. Predarea lor prin analogie duce la o intelegere mai profunda a notiunilor.Aritmetica are rol formativ foarte important, dar a fost diminuata prin reforma actuala. Dupa programele actuale se mai predau doar cateva notiuni de aritmetica numerelor naturale prin gimnaziu , mai precis in clasa a VI-a. Pana in clasa a XII-a (cand ar trebui facuta analogia intre aritmetica numerelor intregi si aritmetica polinoamelor), aceste notiuni nu sunt diversificate sau amplificate . In clasele de gimnaziu trebuie predate cunostinte ce inlesnesc formarea unei structuri cognitive operationale si a unei baze acceptabile de modelare intuitiva . Datorita dificultatilor interioare ale aritmeticii asimilare ei nu se poate face direct la nivelul de rigoare dorit si atunci sunt necesare spirale successive pana la sfarsitul clasei a XII-a. Predarea notiunilor se va face intr-o forma succesibila elevilor de liceu apoi se vor da exemple si de alte multimi de numere pentru care se pot da teoreme de impartire cu rest care sa ne permita sa construim si pentru ele o anumita aritmetica. In cadrul acestei lucrari se va arata ca aritmetica numerelor intregi , aritmetica polinoamelor cat si alte aritmetici se pot trata in cadrul invatamantului preuniversitar intr-un mod unitar. Aceasta va genera performante superioare . Un plus de rigoare in scoala determina un plus accentuat in facultate. Lucrarea de fata este structurata pe sase capitole . Primul capitol are ca scop introducerea notinii de inel, a notiunilor de morfisme si izomorfisme de inele, corpuri, subcorpuri , extinderi de corpuri si proprietatile lor. In capitolul al II-lea se prezinta proprietatile aritmetice ale inelelor , urmarindu-se prezentarea unor rezultate utile in teoria algebrica a numerelor . In capitolulal III-lea sunt prezentate inelele de polinoame , modul de constructive al lor, polinoamele de o nedeterminata . In capitolul IV sunt ilustrate proprietatile radacinilor uni polinom, derivate unui polinom, teoria fundamental a algebrei si ecuatiile algebrice. Ultimul capitol cuprinde metode legate depredarea matematicii in general si a polinoamelor in particular . Mai intai sunt trecute in revista principiile didacticii adaptate la matematica, apoi metodele. Se evidentiaza aplicatii metodice, parcurgandu-se cu ajutorul exemplelor , al problemelor, notiunile studiate anterior .Tipurile de exercitii si metodele de rezolvare propuse in acesta lucrare vor adduce cu siguranta o imbunatatire a rezultatelor obtinute de elevi. Problemele sunt deosebit de utile din punct de vedere metodologic, findca determina folosirea de strategii variate si rationamente fine prin cerinte de ordin calitativ. Ele au grade de dificultate variata si deschid noi orizonturi in vederea insusirii matematicii, in particular a inelelor de polinoame, in invatamantul preuniversitar . Paragraful VI.5 evidentiaza etapele in care au fost parcurse in cercetarea realizata . Lucrarea urmareste ca elevii sa capete o deschidere cat mai larga spre studiul sistematic al polinoamelor si ecuatiilor algebrice iar prin aceasta sa le inlesneasca trecera catre studiul unei problematici de nivel mai inalt.

CAPITOLUL I

INELE

I.1 INEL.NOTIUNI INTRODUCTIVE

Multimea Z a numerelor intregi inzestrata cu operatiile de adunare si inmultire a servit ca baza a aritmeticii si algebrei in care, prin preluarea diferitelor proprietati al acestei multimi, s-au construit noi structuri.

Definitia I.1.1 Fie M o multime nevida. O aplicatie :MxMM, (x,y)xy se numeste lege de compozitie interna (pe scurt o lege de compozitie) pe multimea M.

Definita I1.2 Fie o lege de compozitie pe multimea nevida M. Atunci:1) Legea de compozitie este asociativa daca (xy)z=x(yz), pentru oricare x, y, zM2) Legea de compozitie este comutativa daca xy=yx, pentru oricare x, yM3) Legea de compozitie admite element neutru daca exista eM astfel incat xe=ex=x, pentru oricare xM4) Daca legea de compozitie pe multimea M admite elemental neutru e, atunci un element xM se numeste simetrizabil in raport cu , daca exista M, astfel incat x*.Elementul se numeste simetricul elementului x.

Observatia I.1.1 In notatie aditiva, elementul neutru se noteaza cu 0 si se mai numeste elementul nul. In notatie multiplicativa , elementul neutru se noteaza cu 1 si se mai numeste elementul unitate. Daca o lege de compozitie admite un element neutru, acesta este unic determinat. Daca o lege de compozitie este asociativa si cu element, atunci simetricul unui element simetrizabil este unic.

Definitia I.1.3 Fie M o multime pe care este definite o lege de compozitie . O submultime H include M se numeste parte stabile a lui M in raport cu operatia , daca oricare x, yH rezulta xyH. Daca H este o parte stabile a lui M, restrictia operatiei la multimea H se numeste lege de compozitie indusa de pe H. Definitia I.1.4 Fie M o multime, M diferit de si o lege de compozitie pe M. Atunci (M,) se numeste semigrup daca legea de compozitie este asociativa. Daca in plus legea de compozitie este comutativa atunci (M,) se numeste semigrup comutativ.

Definitia I.1.5 Fie M o multime, M diferit de si o lege de compozitie pe M. Atunci (M, ) se numeste monoid daca legea de compozitie satisfice axiomele:1) este asociativa;2) admite element neutru; Daca legea de compozitie satisfice si axioma:3)legea este comutativa, atunci monoidul (M,) se numeste monoid comutativ.

Definitia I.1.6 Fie G o multime nevida si o lege de compozitie pe G. Atunci (G,) se numeste grup daca sunt satisfacute axiomele :1) este asociativa;2) admite element neutru;3)orice element din G este simetrizabil fata de operatia .Daca in plus este satisfacuta axioma:4) este comutativa, spunem ca (G,) este grup comutativ (sau grup abelian).

Definitia I.1.7 Se numeste inel o multime nevida A inzestrata cu doua legi de compozitie notate de obicei aditiv si multiplicativ care satisfice urmatoarele conditii : +:AxAA, (x,y)x+y :AxAA, (x,y)xy1. A are o structura de grup abelian in raport cu legea aditiva;2. A are o structura de semigrup in raport cu legea multiplicativa;3. Legea multiplicativa este distributiva in raport cu legea aditiva, adica x, y, zA x (y+z)=xy+xz; (x+y)z=xz+yz

Observatia I.1.2 Elementul neutru al grupului abelian al unui inel A se noteaza de obicei cu 0 si se numeste elemental zero al inelului; iar opusul fata de adunare al unui element oarecare aA se noteaza deobicei cu a. Daca in plus operatia multiplicativa are element unitate, atunci inelul se numeste inel unitar (sau inel cu unitate). Elementul sau unitate, atunci cand nu exista pericolul unei confuzii, se noteaza cu 1 si se numeste element unitate al inelului.

Definitia I.1.8 Daca A este un inel unitar, atunci elementele lui A care sunt simetrizabile in raport cu operatia multiplicativa se numesc elemente inversbile sau unitati ale inelului A. Inversul (sau simetricul) lui a se noteaza cu .Multimea elementelor inversabile ale inelului A se noteaza cu U(A). U(A) are o structura de grup in raport cu operatia multiplicative. Acest grup, (U(A),) se numeste grup multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului A. Elementul unitate 1, are rol de element neutru pentru grupul (U(a),). Exemple:1) (Z,+,). Multimea numerelor intregi cu operatiile de adunare si inmultire obisnuite, este inel comutativ si unitar.2) Tot inele comutative si unitare sunt si (Q,+,), (R,+,), (C,+,) in raport cu adunarea si inmultirea obisnuite.3) Daca nZ, atunci multimea nZ={nk|kZ} este inel comutativ fata de adunarea si inmultirea obisnuita a numerelor intregi .4) Multimea Zn={} a claselor de resturi modulo nN, n 2, in raport cu adunarea si inmultirea claselor: , , formeaza un inel comutativ si unitar, numit inelul claselor de resturi modulo n.5) Multimea Z[i]={xC|x=a+bi|a,bZ}, in raport cu operatiile de adunare si de inmultire a numerelor complexe formeaza un inel numit inelul intregilor lui Gauss.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, oricare a+bi, c+di Z[i], acestea fiind operatiile induse pe Z[i] de adunarea si inmultirea numerelor complexe.6) Un interes aparte prin aplicatiile pe care la are in domeniul tehnicii il prezinta inelul (,)

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecinte care de obicei sunt numite reguli de calcul intr-un inel.

Propozitia I.1.1 Daca (A,+,) este un inel atunci:1. a0=0a=0, aA;2. (-a) (-b)=ab, a,b A;3. a (b-c)=ab-ac si (a-b)c=ac-bc, a,b,c A;4. a ()=, ()b= , unde nN, iar a, b,,, , A. In particular: a (nb)=n (ab)=(na)b;5. (, fi n, m N, , 6. Daca A este inel comutativ iar a,b sunt elemente din A si natunci are loc formula binomului lui Newton: (a+b

Demonstratie: Din relatia 0+0=0 obtinem, inmultind cu a la stanga , ca a(0+0)=a0a0=a0 si adunand in ambii m

Click here to load reader

Embed Size (px)
Recommended