Date post: | 11-Jul-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | alincristianioan1732 |
View: | 154 times |
Download: | 2 times |
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 1/336
Aplicaţii economice
alematematicii
MATEMATICI ACTUARIALE
1. AsigurăriNoţiuni teoretice
Noţiunea de asigurare reprezintă un contract care
se încheie între două părţi: instituţia de asigurare şiasigurat şi are ca scop acţiunea de despăgubire aasiguratului la ivirea unor situaţii defavorabile acestuia.
Un contract de asigurare prevede pe de o partenatura asigurării care poate fi de persoane sau de bunuri, clauzele asigurării adică situaţiile care potgenera acţiunea de despăgubire din partea asiguratoruluişi primele de asigurare care reprezintă taxele plătite de
asigurat instituţiei.Primele de asigurare sunt de două feluri: unice -
dacă se plătesc o singură dată, de regulă la începutulasigurării şi periodice - dacă se plătesc cu o anumită periodicitate.
Primele de asigurare se calculează ţinând seamade faptul că fondurile depuse de asigurat intră de regulă în
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 2/336
circuitul economic producând beneficii, acest fenomenconducând fie la micşorarea primelor de asigurare fie la
mărirea sumei de despăgubire.Primele matematice se constituie ca valori mediiale sumelor plătite de asigurat la începutul asigurării.1. Teoremă (a compunerii contractelor ) Fie o asigurarecompusă din primele parţiale P1,...,Pn. Valoarea totală a primei de asigurare este egală cu P1+...+Pn. Demonstraţie. Fie S1,...,Sn valorile actuale ale sumelor plătite de asigurat instituţiei. S=S1+...+Sn reprezintă sumatotală plătită. Este evident că aceste valori sunt generatede variabile aleatoare deoarece ele vor fi plătite numaidacă asiguratul va mai fi în viaţă. Avem acumM(S)=M(S1+...+Sn)=M(S1)+...+M(Sn)=P1+...+Pn decivaloarea totală a primei de asigurare este egală cu P1+...+Pn.
În cadrul teoriei asigurărilor o importanţă foarte
mare o are cea a asigurărilor de viaţă. Acestea se referănu numai la persoane ci şi la bunuri ştiind că orice obiectare o durată limită de existenţă. Vom studia în cele ceurmează asigurările de persoane, acestea fiind şi cele maiîntâlnite.
În calculele ce stabilesc sumele de asigurareintervin în mod esenţial aşa numitele funcţii biometrice.Acestea măsoară intensitatea mortalităţii unei populaţii.
Pentru a fi reale acestea trebuie să ţină seama de vârstă,sex, profesie, regiunea geografică etc. În general,influenţele vârstei sunt predominante faţă de ceilalţifactori de aceea vom găsi în tabelele statistice funcţii biometrice calculate numai în funcţie de aceasta.Aplicaţii
2
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 3/336
1. Fie o asigurare compusă din primele parţialePk =100.000k lei unde k=1,...,10. Să se determine valoarea
totală a primei de asigurare.Soluţie Din teorema compunerii contractelor, rezultă:
P1+...+P10=100.000⋅ 2
1110⋅=5.500.000 lei.
2. Fie o asigurare compusă din primele parţialePk =10.000k 2 lei unde k=1,...,12. Să se determine valoareatotală a primei de asigurare.Soluţie Din teorema compunerii contractelor, rezultă:
P1+...+P10=10.000⋅ 6
251312 ⋅⋅ =6.500.000 lei.
2. Funcţii biometriceNoţiuni teoretice
Fie o populaţie P(x) formată din persoane devârsta x ani. O persoană din P(x) va fi notată cu p∈P(x) şiva fi aleasă arbitrar deoarece nu avem motive sădiscernem între o persoană sau alta. Să considerămevenimentul A(x,y)=”p∈P(x) va fi în viaţă la împlinireavârstei de y ani” unde y>x. Evenimentul contrar este A
(x,y)=”p∈P(x) nu va fi în viaţă la împlinirea vârstei de yani”. Fie P(A(x,y))=p(x,y) şi P(A (x,y))=q(x,y) probabilităţile lui A(x,y) respectiv A (x,y). Cum A(x,y)şi A (x,y) sunt evenimente contrarii, avem:
p(x,y)+q(x,y)=1Fie acum z∈(x,y). Avem A(x,y)=A(x,z)∩A(z,y)de unde ţinând seama de formula probabilităţiicondiţionate:
P(A(x,y))=P(A(x,z)∩A(z,y))=P(A(x,z))PA(x,z)(A(z,y))deoarece pentru ca o persoană să fie în viaţă la împlinireavârstei de y ani trebuie în prealabil să fie în viaţă laîmplinirea vârstei de z ani. Avem deci:
3
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 4/336
p(x,y)=p(x,z)p(z,y)Dacă notăm p(x,x+1)=p(x) şi q(x,x+1)=q(x)
avem: p(x,y)=p(x)p(x+1,y)= p(x)p(x+1)...p(y-1) de unde: p(x,y)=p(x)p(x+1)...p(y-1)q(x,y)=1-(1-q(x))...(1-q(y-1))
Vom mai nota π (x)=p(0,x) adică probabilitateaca o persoană să trăiască x ani şi ω (x)=q(0,x)=1-π (x) - probabilitatea ca o persoană să decedeze înainte deîmplinirea vârstei de x ani.
Fie acum populaţia unei regiuni P= ∞
=0x)x(P şi
n=card P. Fie de asemenea, variabila aleatoare Vx a persoanelor din P care au vârsta de x ani. Avem deci:
Vx=
nk10 p...p...pp
n...k...10
unde pk reprezintă probabilitatea (aici frecvenţa) ca un
număr de k persoane să aibă vârsta x. Este evident căsistemul de evenimente fiind complet, avem ∑
=
n
0kkp =1.
Variabila Vx urmând o lege binomială, avem: pk =
knkk
n)x()x(C −ωπ
Prin urmare, avem:Vx=
πωπωπω −− nknkk
n
1n1
n
n )x(...)x()x(C...)x()x(C)x(n...k...10
Valoarea medie a acestei variabile aleatoare senotează cu l(x) şi se numeşte funcţia de supravieţuire.Avem deci:
4
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 5/336
)x(n))x()x()(x(n
)x()x(C)x(n
)x()x()!1k1n()!1k(
)!1n()x(n
)x()x()!kn(!nk
!kn)x(n
)x()x(kC)V(M)x(l
1n
n
1k
kn1k1k
1n
n
1k
kn1k
n
0k
kn1k
n
0k
knkk
nx
π=ω+ππ
=ωππ
=ωπ+−−−
−π
=ωπ−
π
=ωπ==
−
=
−−−−
=
−−
=
−−
=
−
∑
∑
∑
∑
Prin urmare:l(x)=nπ (x)
sau:
π (x)=n
)x(l
Din relaţia p(0,y)=p(0,z)p(z,y) adică π (y)=π (z)p(z,y)
obţinem: p(z,y)=
)z(l
)y(l
)z(l
n
n
)y(l
)z(
)y(==
ππ
de unde:
−
=
=
)z(l
)y(l)z(l)y,z(q
)z(l
)y(l)y,z(p
În particular, din relaţia de mai sus, obţinem:
5
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 6/336
=+−=+=
+=+=
)x(l)x(d
)x(l)1x(l)x(l)1x,x(q)x(q
)x(l
)1x(l)1x,x(p)x(p
unde d(x) reprezintă numărul persoanelor care au decedatdupă împlinirea vârstei de x ani dar înainte de a împlinivârsta de x+1 ani. Cum 0≤ q(x)≤ 1 rezultă că d(x)≥ 0 deunde l(x)≥ l(x+1)≥ 0. Prin urmare, funcţia desupravieţuire este descrescătoare. Cum l(x)=nπ (x), iar probabilitatea ca o persoană să trăiască x ani tinde la 0atunci când x→∞ rezultă că şi l(x)→0 atunci când x→∞.De aceea, în tabelele actuariale se consideră ca vârstălimită ω =100 ani.
Numim viaţă medie valoarea medie a număruluide ani pe care poate să-i mai trăiască o persoană în vârstăde x ani. Vom nota aceasta cu e(x).
Să presupunem acum că o persoană va deceda înintervalul de timp [x+t,x+t+1). Din cauza distribuţieiregulate a deceselor în timpul unui an, vom considera cădata respectivă este plasată la mijlocul anului. Să notămcu m,nq(x) probabilitatea ca o persoană în vârstă de x anisă decedeze în intervalul de ani: [x+m,x+n). Evenimentulcorespunzător se poate scrie ca intersecţia evenimentelor A=”persoana trăieşte până la vârsta de x+m ani” şiB=”persoana decedează până la vârsta de x+n ani”. Avemdeci: m,nq(x)=P(A)PA(B)=p(x,x+m)q(x+m,x+n)= =
)x(l
)nx(l)mx(l +−+.
Fie variabila aleatoare Dx care reprezintă numărulde ani pe care îi mai poate trăi o persoană de x ani. Avem:
6
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 7/336
Dx=
++
+ ...)x(q...)x(q)x(q
...2
1n...
2
11
2
1
1n,n2,1
de unde:
e(x)=M(Dx)=∑∞
=+
+
0n1n,n )x(q
2
1n =
∑∞
=
++−+
+
0n )x(l
)1nx(l)nx(l
2
1n =
∑∑ ∞
=
∞
=++
+−+
+
0n0n )x(l)1nx(l
21n
)x(l)nx(l
21n =
∑∞
=
+
+
0n )x(l
)nx(l
2
1n - ∑
∞
=
+
−
1n )x(l
)nx(l
2
1n =
=
∑∞
=++
1n
)nx(l)x(l
1
2
1.
Notând R(ω )= ∑∞
+−ω=+
1xn
)nx(l)x(l
1
reprezentând funcţia de supravieţuire a tuturor persoanelor în vârstă de peste ω ani, obţinem:
e(x)= ∑−ω
=++
x
1n
)nx(l)x(l
1
2
1+R(ω )
Prin neglijarea factorului 2
1
se obţine viaţa medieredusă.
Indicatorii calculaţi mai sus se regăsesc întabelele de mortalitate (calculate, de regulă la 100.000
de nou-născuţi) care au următoarea structură:Tabelul de mortalitate a populaţiei României pe
perioada 1990-1992
Vârsta (x) l(x) p(x) q(x) d(x) e(x)7
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 8/336
0 100.000 0,97672 0,02328 2328 69,781 97.672 0,99727 0,00273 267 70,43
2 97.405 0,99828 0,00172 168 69,633 97.237 0,99877 0,00123 120 68,754 97.117 0,99915 0,00085 83 67,835 97.034 0,99934 0,00066 64 66,896 96.970 0,99942 0,00058 56 65,937 96.914 0,99940 0,00060 58 64,978 96.856 0,99947 0,00053 51 64,01
9 96.805 0,99958 0,00042 41 63,0410 96.764 0,99958 0,00042 41 62,0711 96.723 0,99957 0,00043 42 61,0912 96.681 0,99957 0,00043 42 60,1213 96.639 0,99954 0,00046 44 59,1514 96.595 0,99951 0,00049 47 58,1715 96.548 0,99944 0,00056 54 57,2016 96.494 0,99936 0,00064 62 56,2317 96.432 0,99939 0,00061 59 55,2718 96.373 0,99924 0,00076 73 54,3019 96.300 0,99913 0,00087 84 53,3420 96.216 0,99913 0,00087 84 52,3921 96.132 0,99909 0,00091 87 51,4322 96.045 0,99905 0,00095 91 50,4823 95.954 0,99905 0,00095 91 49,53
24 95.863 0,99900 0,00100 96 48,5725 95.767 0,99893 0,00107 102 47,6226 95.665 0,99882 0,00118 113 46,6727 95.552 0,99882 0,00118 113 45,7328 95.439 0,99870 0,00130 124 44,7829 95.315 0,99860 0,00140 133 43,8430 95.182 0,99839 0,00161 153 42,90
31 95.029 0,99830 0,00170 162 41,978
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 9/336
32 94.867 0,99822 0,00178 169 41,0433 94.698 0,99811 0,00189 179 40,11
34 94.519 0,99794 0,00206 195 39,1935 94.324 0,99767 0,00233 220 38,2736 94.104 0,99762 0,00238 224 37,3537 93.880 0,99736 0,00264 248 36,4438 93.632 0,99714 0,00286 268 35,5439 93.364 0,99692 0,00308 288 34,6440 93.076 0,99674 0,00326 303 33,74
41 92.773 0,99636 0,00364 338 32,8542 92.435 0,99596 0,00404 373 31,9743 92.062 0,99546 0,00454 418 31,1044 91.644 0,99531 0,00469 430 30,2445 91.214 0,99510 0,00490 447 29,3846 90.767 0,99462 0,00538 488 28,5247 90.279 0,99404 0,00596 538 27,6748 89.741 0,99355 0,00645 579 26,8349 89.162 0,99284 0,00716 638 26,0050 88.524 0,99241 0,00759 672 25,1951 87.852 0,99176 0,00824 724 24,3852 87.128 0,99114 0,00886 772 23,5853 86.356 0,99035 0,00965 833 22,7854 85.523 0,98941 0,01059 906 22,0055 84.617 0,98876 0,01124 951 21,23
56 83.666 0,98790 0,01210 1012 20,4657 82.654 0,98724 0,01276 1055 19,7158 81.599 0,98610 0,01390 1134 18,9659 80.465 0,98521 0,01479 1190 18,2260 79.275 0,98358 0,01642 1302 17,4861 77.973 0,98256 0,01744 1360 16,7762 76.613 0,98073 0,01927 1476 16,06
63 75.137 0,97916 0,02084 1566 15,369
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 10/336
64 73.571 0,97771 0,02229 1640 14,6865 71.931 0,97530 0,02470 1777 14,00
66 70.154 0,97387 0,02613 1833 13,3467 68.321 0,97108 0,02892 1976 12,6968 66.345 0,96894 0,03106 2061 12,0569 64.284 0,96576 0,03424 2201 11,4270 62.083 0,96189 0,03811 2366 10,8171 59.717 0,95782 0,04218 2519 10,2272 57.198 0,95252 0,04748 2716 9,64
73 54.482 0,95044 0,04956 2700 9,1074 51.782 0,94616 0,05384 2788 8,5575 48.994 0,93956 0,06044 2961 8,0176 46.033 0,93233 0,06767 3115 7,4977 42.918 0,92572 0,07428 3188 7,0078 39.730 0,91742 0,08258 3281 6,5279 36.449 0,90735 0,09265 3377 6,0680 33.072 0,89813 0,10187 3369 5,6381 29.703 0,88611 0,11389 3383 5,2182 26.320 0,86922 0,13078 3442 4,8283 22.878 0,85549 0,14451 3306 4,4684 19.572 0,84120 0,15880 3108 4,1385 16.464 0,82307 0,17693 2913 3,8286 13.551 0,80503 0,19497 2642 3,5387 10.909 0,78586 0,21414 2336 3,27
88 8.573 0,76554 0,23446 2010 3,0289 6.563 0,74402 0,25598 1680 2,8090 4.883 0,72148 0,27852 1360 2,5991 3.523 0,69770 0,30230 1065 2,3992 2.458 0,67290 0,32710 804 2,2193 1.654 0,64692 0,35308 584 2,0494 1.070 0,61963 0,38037 407 1,88
95 663 0,59125 0,40875 271 1,7310
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 11/336
96 392 0,56122 0,43878 172 1,5897 220 0,53182 0,46818 103 1,42
98 117 0,49573 0,50427 59 1,2399 58 0,46552 0,53448 31 0,97100 27 0,44444 0,55556 15 -
Aplicaţii1. Să se determine probabilitatea ca o persoană în vârstăde 50 de ani să fie în viaţă peste 5 ani.Soluţie Avem p(50,55)=p(50)p(51)p(52)p(53)p(54)=0,955865.2. Să se determine probabilitatea ca o persoană săîmplinească vârsta de 3 ani.Soluţie Avemπ (5)=p(0,5)=p(0)p(1)p(2)p(3)p(4)=0,97034 sau altfel:
π (5)=10000
)5(l
=0,97034.3. Calculul primei unice de asigurareNoţiuni teoretice
Să considerăm în cele ce urmează situaţia în careo persoană în vârstă de x ani încheie o asigurare învaloare de S unităţi monetare cu specificaţia că dacă esteîn viaţă suma i se va plăti peste n ani. Fie i dobânda
unitară şi v=i1
1+ . Pentru ca după n ani suma depusă să
fie în valoare de S u.m. ea trebuie să aibă valoarea actualăS’=Svn. Fie variabila aleatoare:
Vx,n,S=
++ )nx,x(q)nx,x(p
0Svn
11
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 12/336
Aceasta reprezintă distribuţia valorii actuale asumei pe care o are de încasat asiguratul peste n ani. Dacă
va fi în viaţă el va primi S’=Svn
u.m. iar dacă nu va mai fiîn viaţă va primi 0 u.m. Prima unică pe care trebuie să o plătească asiguratul va fi P=M(Vx,n,S)=Svn p(x,x+n)=Svn
)x(l
)nx(l +. Vom nota:
E(x,x+n)=vn
)x(l
)nx(l +- factorul de actualizare viager
de unde: P=SE(x,x+n)Observăm că E(x,x+n) reprezintă analogul
factorului de actualizare vn din cazul anuităţilor. Notând de asemenea:
D(x)=vxl(x) - numărul de comutaţieobţinem: E(x,x+n)=
)x(D
)nx(D
)x(lv
)nx(lv
)x(l
)nx(lv
x
xnn +
=
+
=
+ +
deci:
E(x,x+n)=)x(D
)nx(D +
Cu notaţiile introduse, avem:
P=S)x(D
)nx(D +
Aplicaţii
1. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană de 30 ani astfel ca peste 10 ani să primească suma de 10.000.000 lei (dobânda este înaceastă perioadă de 50%).
Soluţie Avem P=S)x(D
)nx(D +unde S=10.000.000, x=30,
n=10. Obţinem deci:
12
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 13/336
P=10.000.000⋅ )30(D
)40(D. Avem însă numărul de
comutaţie D(x)=vxl(x) unde v=i1
1+
=5,11
5,011 =
+=0,6667. Prin urmare, D(40)=v40l(40), D(30)=v30l(30)
deci P=10.000.000⋅ v10⋅ )30(l
)40(l=10.000.000⋅ 0,01735⋅
95182
93076=169.661 lei.
2. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană de 40 ani astfel ca peste 5 ani să primească suma de 1.000.000 lei dacă dobânda este de40%
Soluţie Avem P=S)x(D
)nx(D +unde S=1.000.000, x=40,
n=5 iar v=i1
1
+=
4,1
1
4,01
1=
+ =0,7143. Obţinem deci
P=10.000.000⋅ )40(D)45(D
=1.000.000⋅ v5⋅ )40(l)45(l
=
1.000.000⋅ 0,18595⋅93076
91214=182.230 lei.
4. Calculul primelor de asigurare periodice, viagereNoţiuni teoretice
Primele de asigurare periodice, viagere, sunt plăţi
care se fac fie anticipat, fie posticipat, încasarea acestoraavând loc după o anumită perioadă de timp doar dacă persoana respectivă mai este în viaţă. Un exemplu poatefi considerat sistemul de pensii în care o persoanăcotizează un număr de ani pentru ca la împlinirea vârsteide pensionare să încaseze (dacă este în viaţă) o pensielunară constantă. Procesul de calcul este asemănător cu
cel de la calculul anuităţilor cu deosebirea că anuităţile se13
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 14/336
vor constitui după un număr de ani într-un depozit dupăcare ele vor fi returnate într-un număr de plăţi constante.
Fie deci A - valoarea constantă a primei periodice pe care o va plăti asiguratul timp de n ani, R - valoareaconstantă a anuităţii (mensualităţii) la retragere, n -numărul de ani (luni) de depunere, m numărul de ani deretragere (de la momentul încetării plăţilor), i - dobândaunitară, p - numărul de ani după care se începe plata, r -numărul de ani după care se începe retragerea la sfârşitul plăţilor, α - fracţiunea din an la care se plăteşte prima periodică A şi β - fracţiunea din an la care se plăteşteanuitatea R. Avem evident α ,β∈[ 0,1]. Fie de asemeneau=1+i.
După n ani, suma acumulată este:S=Aun-p-1+1-α +...Au1+1-α +Au1-α =Au1-α (un-p-1+...+u+1) de
unde:
S= i
1u
Au1u
1u
Au
pn1
pn1 −
=−
− −α−
−α−
Această sumă S reprezintă baza de plecare în calcululanuităţii R pentru următorii m ani. Avem:
S=RE(x,x+r+β )+...+RE(x,x+m-1+β )=R
β+−+++
β++)x(D
)1mx(D...
)x(D
)rx(D
de unde:
S=R
β+−+++β++
)x(D)1mx(D...)rx(D
Să notăm acum:
N(x)= ∑∑−ω
=
∞
=+=+
x
0n0n
)nx(D)nx(D +N(ω ) - numărul de
comutaţie
14
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 15/336
unde N(ω )= ∑∑∞
+−ω=
+∞
+−ω=+=+
1xn
nx
1xn
)nx(lv)nx(D .
Avem deci:
S=R )x(D
)mx(N)rx(N β++−β++
Obţinem din aceste calcule:
i
1uAu
pn1 −−
α− =R )x(D
)mx(N)rx(N β++−β++
de unde:
A=R ( )1uui
)x(D)mx(N)rx(N
pn1 −β++−β++
−α−
A. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăÎn acest caz, avem: β =0, r=0 de unde:
A=R ( )1uu
i
)x(D
)mx(N)x(Npn1 −
+−−α−
B. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediată
În acest caz, avem: β =1, r=0 de unde:
A=R ( )1uu
i
)x(D
)1mx(N)1x(Npn1 −
++−+−α−
C. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat
În acest caz, avem: α =0 de unde:
A=R ( )1uu
i
)x(D
)mx(N)x(Npn −
+−−
D. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat
În acest caz, avem: α =1 de unde:
15
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 16/336
A=R ( )1u
i
)x(D
)mx(N)x(Npn −
+−−
E. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat
În acest caz, avem: α =0 de unde:
A=R ( )1uu
i
)x(D
)1mx(N)1x(Npn −
++−+−
F. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat
În acest caz, avem: α =1 de unde:
A=R ( )1u
i
)x(D
)1mx(N)1x(Npn −
++−+−
G. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată
În acest caz, avem: p=0 de unde:
A=R
( )1uu
i
)x(D
)mx(N)x(Nn
−
+−
H. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat şi cu depunere imediată
În acest caz, avem: p=0 de unde:
A=R ( )1u
i
)x(D
)mx(N)x(Nn −
+−
I. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediată
cu plata anticipat şi cu depunere imediatăÎn acest caz, avem: p=0 de unde:
A=R ( )1uu
i
)x(D
)1mx(N)1x(Nn −
++−+
J. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată
În acest caz, avem: p=0 de unde:
16
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 17/336
A=R ( )1u
i
)x(D
)1mx(N)1x(Nn −
++−+
K. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă
În acest caz, avem: n=1 de unde:
A=R u
1
)x(D
)mx(N)x(N +−
L. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă
În acest caz, avem: n=1 de unde:
A=R )x(D
)mx(N)x(N +−
M. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă
În acest caz, avem: n=1 de unde:
A=R u
1
)x(D
)1mx(N)1x(N ++−+
N. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-o
singură tranşăÎn acest caz, avem: n=1 de unde:
A=R )x(D
)1mx(N)1x(N ++−+
O. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuă
În acest caz, avem: m→∞ de unde:
17
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 18/336
A=R )x(uD
)x(N
P. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuă
În acest caz, avem: m→∞de unde:
A=R )x(D
)x(N
Q. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediată
cu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuăÎn acest caz, avem: m→∞de unde:
A=R )x(uD
)1x(N +
R. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuă
În acest caz, avem: m→∞de unde:
A=R )x(D
)1x(N +
Aplicaţii1. Să se calculeze tabelul numerelor de comutaţie D(x) şi N(x) corespunzătoare dobânzii de 15% în funcţie dedatele tabelului de mortalitate a populaţiei României în perioada 1990-1992.
18
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 19/336
Soluţie Avem: D(x)=vxl(x) şi N(x)=∑−ω
=
+x
0n
)nx(D
+N(ω ) unde N(ω )=0. Obţinem deci tabelul:Vârsta (x) l(x) 15%
D(x) N(x)0 100.000 100.000,00000 746.271,562911 97.672 84.932,17391 646.271,562912 97.405 73.652,17391 561.339,389003 97.237 63.934,90589 487.687,21509
4 97.117 55.526,95995 423.752,309195 97.034 48.243,04733 368.225,349246 96.970 41.922,80698 319.982,301917 96.914 36.433,56229 278.059,494938 96.856 31.662,39821 241.625,932659 96.805 27.518,02280 209.963,5344410 96.764 23.918,58090 182.445,51164
11 96.723 20.789,95333 158.526,9307412 96.681 18.070,37019 137.736,9774113 96.639 15.706,53921 119.666,6072214 96.595 13.651,64172 103.960,0680115 96.548 11.865,21676 90.308,4263016 96.494 10.311,80909 78.443,2095417 96.432 8.961,02911 68.131,4004518 96.373 7.787,43172 59.170,3713419 96.300 6.766,55039 51.382,9396120 96.216 5.878,82444 44.616,3892221 96.132 5.107,55827 38.737,5647822 96.045 4.437,33557 33.630,0065123 95.954 3.854,89680 29.192,6709424 95.863 3.348,90515 25.337,7741425 95.767 2.909,17518 21.988,86899
19
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 20/336
26 95.665 2.527,02319 19.079,6938127 95.552 2.194,81587 16.552,67062
28 95.439 1.906,27850 14.357,8547529 95.315 1.655,47978 12.451,5762530 95.182 1.437,53893 10.796,0964731 95.029 1.248,02449 9.358,5575332 94.867 1.083,38864 8.110,5330433 94.698 940,39882 7.027,1444034 94.519 816,19240 6.086,74559
35 94.324 708,26829 5.270,5531936 94.104 614,44899 4.562,2849037 93.880 533,03164 3.947,8359138 93.632 462,28134 3.414,8042739 93.364 400,83319 2.952,5229340 93.076 347,47543 2.551,6897441 92.773 301,16892 2.204,2143142 92.435 260,93188 1.903,0454043 92.062 225,98170 1.642,1135144 91.644 195,61361 1.416,1318145 91.214 169,30067 1.220,5182146 90.767 146,49653 1.051,2175347 90.279 126,70339 904,7210148 89.741 109,52029 778,0176149 89.162 94,62058 668,49733
50 88.524 81,69002 573,8767451 87.852 70,49556 492,1867252 87.128 60,79531 421,6911653 86.356 52,39707 360,8958554 85.523 45,12316 308,4987955 84.617 38,82187 263,3756256 83.666 33,37874 224,55376
57 82.654 28,67391 191,1750120
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 21/336
58 81.599 24,61558 162,5011059 80.465 21,10739 137,88552
60 79.275 18,08281 116,7781361 77.973 15,46593 98,6953362 76.613 13,21406 83,2294063 75.137 11,26912 70,0153464 73.571 9,59500 58,7462265 71.931 8,15749 49,1512266 70.154 6,91823 40,99373
67 68.321 5,85867 34,0755068 66.345 4,94715 28,2168469 64.284 4,16823 23,2696970 62.083 3,50045 19,1014571 59.717 2,92787 15,6010072 57.198 2,43858 12,6731473 54.482 2,01981 10,2345674 51.782 1,66932 8,2147575 48.994 1,37342 6,5454376 46.033 1,12210 5,1720177 42.918 0,90972 4,0499078 39.730 0,73230 3,1401979 36.449 0,58419 2,4078980 33.072 0,46093 1,8237081 29.703 0,35998 1,36277
82 26.320 0,27737 1,0027983 22.878 0,20965 0,7254284 19.572 0,15596 0,5157785 16.464 0,11408 0,3598186 13.551 0,08165 0,2457387 10.909 0,05716 0,1640888 8.573 0,03906 0,10692
89 6.563 0,02600 0,0678621
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 22/336
90 4.883 0,01682 0,0418691 3.523 0,01055 0,02504
92 2.458 0,00640 0,0144893 1.654 0,00375 0,0080894 1.070 0,00211 0,0043395 663 0,00114 0,0022296 392 0,00058 0,0010997 220 0,00028 0,0005198 117 0,00013 0,00022
99 58 0,00006 0,00009100 27 0,00002 0,00003
2. Să se calculeze valoarea constantă a primei periodice pe care o plăteşte, la începutul perioadei, un asigurat învârstă de 40 de ani, timp de 10 ani astfel încât la sfârşitulacestei perioade să înceapă să primească, anticipat, timp
de 20 de ani suma de 10.000.000 lei anual. Dobânda înaceastă perioadă va fi de 15% anual.Soluţie Avem R=10.000.000 lei, n=10, m=20, i=0,15, p=0, r=0, α =0, β =0. Obţinem deci: A=R
( )1uu
i
)x(D
)mx(N)x(Nn −
+−unde u=1+i=1,15. Avem în
final:
A=10.000.000 ( )115,115,115,0
)40(D)60(N)40(N
10 −− =
10.000.000⋅
( )104555,415,1
15,0
47543,347
77813,11668974,2551
−−
=
10.000.000⋅ 7,0074354⋅ 0,042828=3.001.144 lei.
22
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 23/336
3. Să se calculeze valoarea constantă a primei pe care o plăteşte, la începutul perioadei, un asigurat în vârstă de 30
de ani astfel încât să înceapă să primească, posticipat,timp de 50 de ani suma de 20.000.000 lei anual. Dobândaîn această perioadă va fi de 15% anual.Soluţie Avem R=20.000.000 lei, n=1, m=50, i=0,15, p=0,
r=0, α =1, β =0. Obţinem deci: A=R )x(D
)mx(N)x(N +−
=20.000.000⋅)30(D
)80(N)30(N −=
20.000.000⋅53893,1437
82370,109647,10796 −=20.000.000⋅ 7,50
886=150.177.200 lei.4. Să se calculeze valoarea constantă a primei pe care o plăteşte, la începutul perioadei, o persoană în vârstă de 40de ani astfel încât să înceapă să primească, posticipat, pedurată nedeterminată suma de 20.000.000 lei anual.
Dobânda în această perioadă va fi de 15% anual.Soluţie Avem R=20.000.000 lei, n=1, m→∞, i=0,15, p=0,
r=0, α =1, β =0. Obţinem deci: A=R )x(D
)x(N
=20.000.000⋅ )40(D
)40(N=20.000.000⋅
47543,347
68974,2551=
20.000.000⋅ 7,34351=146.870.227 lei.
TEORIA JOCURILOR
23
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 24/336
1. GeneralităţiNoţiuni teoretice
Teoria jocurilor este una din teoriile de mareactualitate practică. Apariţia acesteia se datorează lui J.Von Neumann şi O. Morgenstern care în lucrarea Theory
of Games and Economic Behaviour , Princeton, PrincetonUniversity Press din 1947 au pus bazele teoriei jocurilor.
Ea apare ori de câte ori între două sau mai multe persoane există conflicte de interese. Astfel, dacă maimulţi agenţi economici urmăresc un acelaşi scop esteevident că fiecare doreşte maximizarea profitului dinacţiunile întreprinse de el.1. Definiţie Se numeşte joc un ansamblu (J,R,A,U) undeJ reprezintă o mulţime de jucători, R o mulţime de reguli,A o mulţime de acţiuni şi U o mulţime de utilităţi saucâştiguri astfel încât fiecare jucător din J acţionând înlimitele impuse de regulile R alege într-un număr de
etape succesive, în mod independent de ceilalţi o acţiunedin A urmărind maximizarea sau minimizarea unuielement din U.
Este evident că alegerea unei acţiuni trebuie să fiefăcută în mod raţional deoarece în caz contrar jocul ar avea un caracter haotic (imaginaţi-vă jocul de fotbal, cu
reguli de altfel precise, în care fiecare jucător ar pasa
efectiv la întâmplare).
Fie g:J→A, g(j)=A j⊂A funcţia care asociază jucătorului j mulţimea de acţiuni A j. Vom mai numi oastfel de acţiune şi strategie pură a jucătorului j. Însituaţia repetării unui joc, dacă jucătorul alege cu oanumită frecvenţă una sau alta dintre strategii vom numio astfel de situaţie strategie mixtă. Strategia aleasă de un jucător în scopul maximizării unui câştig sau minimizării
unei pierderi se numeşte strategie optimă.24
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 25/336
De asemenea o strategie pură poate fi liberă dacăutilizarea ei poate fi făcută în orice moment al
desfăşurării jocului (de exemplu jocurile de şah, fotbal,tenis etc.) sau aleatoare dacă ea este aleasă la întâmplare(de exemplu jocurile de table, zaruri etc.).
După cantitatea de informaţie aflată la dispoziţia jucătorilor, jocurile se pot clasifica în jocuri cuinformaţie completă atunci când fiecare jucător cunoaştetotalitatea strategiilor pure ale celorlalţi jucători şi jocuricu informaţie incompletă atunci când există un jucător care nu cunoaşte în totalitate mulţimea strategiilor pureale cel puţin unuia dintre ceilalţi jucători.
Dacă mulţimea A este finită vom spune că joculeste finit în caz contrar numindu-se infinit. Este evidentcă în cazul jocurilor finite şi numărul jucătorilor este finitdeoarece, în caz contrar, dacă fiecare jucător ar avea cel puţin o strategie ar rezulta că şi A este infinită.
Vom considera în cele ce urmează numai jocurifinite. Avem deci card(A j)<∞ ∀ j=1,...,n şi card(J)<∞. Fiedeci J={1,...,n} mulţimea jucătorilor şi:
f j:A1× ...× An→R , (a1,...,an)→f j(a1,...,an), j=1,...,ncâştigul jucătorului j atunci când sunt alese strategiile ai
de către jucătorii i=1,...,n.2. Definiţie Un joc se numeşte cu sumă nulă dacă:
∑=n
1 jn1 j )a,...,a(f =0 ∀ j=1,...,n ∀a1∈A1,...,an∈An
Vom considera în cele ce urmează jocuri cusumă nulă, de două persoane.
Fie deci doi jucători ( grupuri de jucători) α şiβ . Vom nota cu A={a1,a2,...,am} şi B={ b1,...,bn} mulţimeastrategiilor pure ale acestora.
25
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 26/336
Dacă jucătorul α va adopta acţiunea a∈A iar jucătorul β acţiunea b∈B ei vor obţine un câştig f(a,b)
respectiv g(a,b). Dacă jocul este cu sumă nulă atunci:f(a,b)+g(a,b)=0
Avem deci g(a,b)=-f(a,b). În desfăşurarea joculuieste evident că, de exemplu, jucătorul α va dorimaximizarea lui f(a,b) iar jucătorul β maximizarea luig(a,b) adică minimizarea lui f(a,b).
Matricea: C=(cij), cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,n se
numeşte matricea plăţilor. Este evident că indiferent demodul de acţiune al lui β jucătorul α va obţine un câştig
mai mare sau egal decât n,...,1 jmin= cij. Strategia cea mai
bună a lui α va fi ak , cea pentru care:
m,...,1imax= n,...,1 j
min=
cij=n,...,1 j
min=
ckj
altfel spus acea strategie pentru care se obţine cel mai buncâştig în condiţiile cele mai defavorabile. O astfel destrategie se numeşte strategie maximin. Analog, cea mai bună strategie a lui β este b p astfel încât:
n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij=m,...,1i
max=
cip
sau altfel spus cea care oferă lui α cel mai mic câştig încondiţiile cele mai bune de acţiune. Strategia lui β senumeşte strategie minimax.
3. Observaţie Pentru a limita dimensiunile matricei plăţilor se investighează aceasta de două ori. Mai întâi secercetează liniile matricei. Dacă ∃ i,k=1,...,m, i≠ k astfelîncât:
cij≤ ckj ∀ j=1,...,natunci cum jucătorul α urmăreşte să-şi maximizezecâştigul rezultă că strategia i va fi dezavantajoasă faţă de
26
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 27/336
strategia k. Prin urmare, aceasta va putea fi eliminată dinmatricea plăţilor. Dacă ∃ j,k=1,...,n, j≠ k astfel încât:
cij≥ cik ∀i=1,...,matunci cum jucătorul β urmăreşte să-şi minimizeze pierderea rezultă că strategia j va fi dezavantajoasă faţăde strategia k. Prin urmare, aceasta va putea fi eliminatădin matricea plăţilor.
Avem acum: cij≤ m,...,1imax=
cij ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n
de unde:
n,...,1 jmin= cij≤ n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij ∀i=1,...,m.
Dar acum este evident că:
m,...,1imax= n,...,1 j
min=
cij≤n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij
Ca urmare a acestei inegalităţi rezultă că avemdouă situaţii:
1) ∃ckp= m,...,1imax= n,...,1 j
min= cij= n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij. În acest
caz cip≤ ckp≤ ckj ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n. Perechea destrategii (ak ,b p) se numeşte punct de echilibru al jocului iar valoarea ckp-valoarea jocului. În acest cazstrategia ak este strategie maximin iar b p-strategieminimax. Dacă cei doi jucători vor utiliza acestestrategii atunci nici unul dintre ei nu îşi poatemaximiza câştigul prin aflarea strategiei oponentului.
Situaţia devine stabilă şi cele două strategii vor ficonsiderate bune. Metoda aceasta de rezolvare senumeşte metoda maximin (metoda minimax ).
2) Dacă m,...,1imax= n,...,1 j
min= cij< n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij atunci
jocul nu are punct de echilibru.În această situaţie, fiecare jucător poate să-şi măreascăcâştigul prin însuşirea diferenţei:
27
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 28/336
n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij-m,...,1i
max= n,...,1 j
min=
cij
Vom numi strategie mixtă a jucătorului α unvector x=(x1,...,xm)∈R m astfel încât xi este probabilitateacu care este utilizată strategia ai ∀i=1,...,m şi analog pentru β vectorul y=(y1,...,yn)∈R n astfel încât y j este probabilitatea cu care este utilizată strategia b j ∀ j=1,...,n.
Cum xi şi y j sunt probabilităţi iar strategiileformează un sistem complet de evenimente vom avearelaţiile:
=∀≥=
=∀≥=
∑
∑
=
=
n1,..., j0y,1y
m1,...,i0x,1x
j
n
1 j j
i
m
1ii
Vom nota cu X mulţimea strategiilor mixte ale luiα şi cu Y mulţimea strategiilor mixte ale lui β .
Fie X j=
m21
mj j2 j1
x...xx
c...ccvariabila aleatoare
care reprezintă câştigul jucătorului α în situaţia în care jucătorul β alege strategia j=1,…,n şi fie Yi=
n21
in2i1i
y...yy
c...ccvariabila aleatoare care reprezintă
câştigul jucătorului β în situaţia în care jucătorul αalege strategia i=1,…,m.
Avem: M(X j)=∑=
m
1iiijxc ∀ j=1,...,n şi M(Yi)=
∑=
n
1 j jijyc ∀i=1,..,m.
28
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 29/336
Dacă cele două strategii mixte sunt independentenumim câştigul mediu Cm realizat de jucătorul α atunci
când foloseşte strategia x, iar β foloseşte strategia yexpresia:
Cm(x,y)= ∑∑= =
m
1i
n
1 j jiij yxc
O strategie mixtă x0∈X se numeşte strategiemixtă maximin dacă:
Xx
ma∈ Yy
min∈
Cm(x,y)= Yy
min∈
Cm(x0,y)
O strategie mixtă y0∈Y se numeşte strategiemixtă minimax dacă:
Yymin
∈ Xxma
∈Cm(x,y)=
Xxma
∈Cm(x,y0)
Ca în primul caz analizat, avem:
Xxmax
∈ Yymin
∈Cm(x,y)≤
Yymin
∈ Xxmax
∈Cm(x,y)
Dacă Xx
max∈ Yy
min∈ Cm(x,y)= Yy
min∈ Xx
max∈ Cm(x,y) atunci joculse numeşte strict determinat. Există o teoremă a lui
John Von Neumann care afirmă că dacă A şi B suntfinite atunci jocul este strict determinat.Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4,a5, a6} respectiv B={ b1,b2,b3,b4,b5}. Matricea plăţilor este:
C=
89231
61513
86153
103228
51302
65021
29
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 30/336
1) Să se reducă dimensiunile matricei plăţilor;2) Să se studieze dacă jocul are punct de echilibru.
Soluţie 1)Cum linia 1 este mai mică sau egală decât linia4 iar linia 2 este mai mică sau egală decât linia 5 rezultăcă liniile 1 şi 2 pot fi eliminate. Obţinem deci C=
89231
61513
86153
103228
. În noua matrice, coloana 5 este mai
mare sau egală decât coloana 1 iar coloana 4 decâtcoloana 2. Prin urmare, coloanele 4 şi 5 pot fi eliminate.
Rezultă deci matricea C=
231
513
153
228
. Mulţimile
strategiilor care rămân de luat în considerare sunt deci:
A={a3,a4,a5,a6} respectiv B={ b1,b2,b3}. 2)Avem acum: b1 b2 b3 mina3 8 2 2 2a4 3 5 1 1a5 3 1 5 1a6 1 3 2 1
max 8 5 5 5/2
Cum 2= m,...,1imax= n,...,1 jmin= cij< n,...,1 jmin= m,...,1imax= cij=5 rezultăcă jocul nu are punct de echilibru.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
30
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 31/336
C=
29123834
2275
2321
Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în cazafirmativ să se determine strategia de maximin a primului jucător şi valoarea jocului.Soluţie Avem:
b1 b2 b3 b4 min
a1 1 2 3 2 1a2 5 7 2 2 2a3 4 3 8 3 3a4 2 1 9 2 1
max 5 7 9 3 3/3
Cum 3= m,...,1imax= n,...,1 j
min= cij= n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij=3 rezultă
că jocul este echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului
este (a3,b4) valoarea jocului fiind egală cu 5. Prin urmare,strategia de maximin a primului jucător este a3.3. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
C=
5922
59a53416
9521
, a∈R
Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în cazafirmativ să se determine strategia de maximin a primului jucător şi valoarea jocului.Soluţie Avem:
b1 b2 b3 b4 min31
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 32/336
a1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1
a3 5 a 9 5 b=min{5,a}a4 2 2 9 5 2
max 6 c=max{2,a} 9 9 min{6,c}/max{2,b}Pentru ca jocul să fie echilibrat trebuie ca max{2,b}=
m,...,1imax= n,...,1 j
min=
cij=n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij= min{6,c}. Avem
deci mai multe variante:1) a∈(-∞,2)⇒ b=a şi c=2. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 aa4 2 2 9 5 2
max 6 2 9 9 2/2Jocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al
jocului este: (a4,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a4 iar valoarea jocului fiind egală cu 2.2) a∈[2,5)⇒ b=a şi c=a. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 a
a4 2 2 9 5 2max 6 a 9 9 a/aJocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este: (a3,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a3 iar valoarea jocului fiind egală cu a.3) a∈[5,6)⇒ b=5 şi c=a. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1
32
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 33/336
a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5
a4 2 2 9 5 2max 6 a 9 9 a/5
Jocul este echilibrat dacă şi numai dacă a=5, iar punctulde echilibru al jocului este: (a3,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a3 iar valoarea jocului fiind egală cu5.4) a∈[6,∞)⇒b=5 şi c=a. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5a4 2 2 9 5 2
max 6 a 9 9 6/5În acest caz jocul nu este echilibrat.2. Metoda de rezolvare, prin programare liniară,
a jocurilor cu sumă nulă, de două persoaneNoţiuni teoretice
Vom studia acum o metodă practică de rezolvare aacestor probleme cu ajutorul programării liniare.
Fie deci doi jucători α şi β şi A={a1,a2,...,am},B={ b1,...,bn} mulţimea strategiilor pure ale acestora. Fief(a,b) câştigul realizat de jucătorul α atunci când va
adopta acţiunea a∈A iar jucătorul β acţiunea b∈B. Fie,de asemenea, C=(cij), cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,nmatricea plăţilor. Să considerăm de asemenea X mulţimeastrategiilor mixte ale lui α şi Y mulţimea strategiilor mixte ale lui β .
Vom nota în cele ce urmează cu v valoarea jocului. Fie o strategie mixtă arbitrară a jucătorului α :
x=(x1,...,xm)∈R m
şi analog pentru β : y=(y1,...,yn)∈R n
.33
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 34/336
Jucătorul α , prin alegerea strategiei mixte x areşanse de câştig de cel puţin v deoarece M(X j)≥ v
∀ j=1,...,n iar jucătorul β poate pierde cel mult vdeoarece M(Yi)≤ v ∀i=1,...,m. Din teorema Neumann,care afirmă că jocul este strict determinat, rezultă căvaloarea jocului va fi dată de max v pentru jucătorul α şide min v pentru jucătorul β .
Sistemele de condiţii de mai sus pot fitransformate cu ajutorul următoarelor reguli:
i) Dacă se adaugă o constantă c la matricea plăţilor C=(cij) atunci valoarea jocului devine c+v, strategiileoptime rămânând neschimbate;
ii) Dacă înmulţim cu c matricea plăţilor atunci valoarea jocului devine cv, strategiile optime rămânândneschimbate.
În virtutea lui ii) vom presupune în continuare căv>0 în caz contrar înmulţind cu (-1) şi adăugând eventual
1 dacă v=0.Pentru rezolvarea concretă a problemei va fi util
să facem câteva transformări. Fie deci: x’i=v
xi şi y’ j=
v
y j ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n. Din condiţiile:
=∀≥=
=∀≥=
∑∑
=
=
n1,..., j0y,1y
m1,...,i0x,1x
j
n
1 j j
i
m
1ii
obţinem:
34
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 35/336
=∀≥=
=∀≥=
∑
∑
=
=
n1,..., j0y',v
1'y
m1,...,i0x',
v
1'x
j
n
1 j j
i
m
1i
i
Cum funcţia obiectiv pentru jucătorul α este max v
rezultă că ea poate fi înlocuită de min
∑
=
m
1ii'x şi analog
pentru β de max
∑=
n
1 j j'y . Avem deci o pereche de
probleme duale:
≥≥++
≥++≥++
++
0'x,...,'x
1'xc...'xc...
1'xc...'xc
1'xc...'xc
)'x...'xmin(
m1
mmn1n1
m2m112
m1m111
m1
şi
≥≤++
≤++≤++
++
0'y,...,'y
1'yc...'yc...
1'yc...'yc
1'yc...'yc
)'y...'ymax(
n1
nmn11m
nn2121
nn1111
n1
Soluţiile acestor probleme furnizează atât valoareaoptimă a jocului cât şi strategiile mixte ale celor doi jucători. Avem:
v= )'x...'xmin(
1
m1 ++ = )'y...'ymax(
1
n1 ++ , xi=vx’i,y j=vy’ j
∀i=1,...,m ∀ j=1,...,nAplicaţii1. Să se rezolve cu ajutorul programării liniare jocul cusumă nulă, de două persoane, a cărui matrice a plăţilor este:
35
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 36/336
C=
231213
123
321
mulţimea strategiilor primului jucător fiindA={a1,a2,a3,a4}, iar a celui de-al doilea jucător:B={ b1,b2,b3}.
Soluţie Avem b1 b2 b3 min
a1 1 2 3 1a2 3 2 1 1a3 3 1 2 1
a4 1 3 2 1max 3 3 3 3/1
Cum 1= m,...,1imax= n,...,1 j
min= cij< n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij=3 rezultă
că jocul nu are punct de echilibru. Vom determina decimulţimea strategiilor mixte ale primului jucător X={x1,x2,x3,x4} şi strategiile mixte Y={y1,y2,y3} ale celuide-al doilea jucător. Avem deci problema de programare
liniară:
≥≥+++≥+++
≥++++++
0'x,'x,'x,'x
1'x2'x2'x'x3
1'x3'x'x2'x2
1'x'x3'x3'x
)'x'x'x'xmin(
4321
4321
4321
4321
4321
36
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 37/336
Forma standard a problemei este:
≥=−+++=−+++
=−+++
+++
0y,y,y,'x,'x,'x,'x
1y'x2'x2'x'x3
1y'x3'x'x2'x2
1y'x'x3'x3'x
)'x'x'x'xmin(
3214321
34321
24321
14321
4321
Introducând variabilele auxiliare x1a,x2
a,x3a rezultă:
≥=+−+++=+−+++=+−+++
++
0x,x,x,y,y,y,'x,'x,'x,'x
1xy'x2'x2'x'x3
1xy'x3'x'x2'x2
1xy'x'x3'x3'x
)xxxmin(
a
3
a
2
a
13214321
a
334321
a
224321
a
114321
a
3
a
2
a
1
Tabelele simplex pentru prima fază sunt:
VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2a x
1 x1a 1 1 3 3 1 -1 0 0 1 0
1 x2a 1 2 2 1 3 0 -1 0 0 1
1 x3a 1 3 1 2 2 0 0 -1 0 0
z 3 6 6 6 6 -1 -1 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 1
VB VVB
x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2
a
x1a 2/3 0 8/3 7/3 1/3 -1 0 1/3 1 0 -
x2a 1/3 0 4/3 -1/3 5/3 0 -1 2/3 0 1 -
x1’ 1/3 1 1/3 2/3 2/3 0 0 -1/3 0 0 1z 1 0 4 2 2 -1 -1 1 0 0 -
37
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 38/336
VB VV
B
x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2
a x3a
x1a 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 1 -2 1
x2’ 1/4 0 1 -1/4 5/4 0 -3/4 1/2 0 3/4 -1/2x1’ 1/4 1 0 3/4 1/4 0 1/4 -1/2 0 -1/4 1/2z 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 0 -3 0
V
B
VV
B
x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2
a x3a
x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -
1/12-
7/125/12
1/12
7/12
-5/12
x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1
Faza a doua este:V
B
VV
B
x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2
a x3a
x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -
1/12-
7/125/12
1/12
7/12
-5/12
x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 1/2 0 0 0 -1/2 -1/6 -1/6 -1/4 - - -
Soluţia optimă este deci x1’=4
1, x2’=
4
1, x3’=0, x4’=0 iar
min(x1’+x2’+ x3’+x4’)=2
1. Valoarea optimă a jocului
este:2
1
1
=2 iar x1=2⋅4
1=2
1, x2=2⋅
4
1=2
1, x3=0, x4=0.
38
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 39/336
Soluţia duală este dată de: cBB-1=(1,1,1)⋅
−
−−
4
1
4
1
4
112
5
12
7
12
13
1
3
2
3
1
=
6
1
6
1
6
1.
Valoarea optimă a jocului fiind aceeaşi v=2, avem: y1=2⋅
6
1
= 31
, y2=2⋅ 61
= 31
, y3=2⋅ 61
= 31
. Din cele obţinute,rezultă că primul jucător va alege strategia a1 cu
probabilitatea2
1, a doua strategie cu aceeaşi
probabilitate, nealegând niciodată una din strategiile a3
sau a4. Al doilea jucător va alege oricare din strategiile b1,
b2 sau b3 probabilităţile fiind aceleaşi şi anume3
1.
3. Jocuri statisticeNoţiuni teoretice
Jocurile statistice constau în situaţiile conflictualeîn care jucătorul nu mai are informaţii despre strategiaadversarului. Fie deci cei doi jucători α şi β . Vom notacu A={a1,a2,...,am} şi B={ b1,...,bn} mulţimea strategiilor
pure ale acestora şi f(a,b) pierderea realizată de α dacă elva adopta acţiunea a∈A iar jucătorul β acţiunea b∈B.Cum jucătorul α nu are informaţii despre acţiunile luiβ , singurul lucru pe care-l poate face este ca dinexperienţă el să deducă informaţii despre frecvenţele cucare β poate lua o decizie sau alta. Este evident că dacăastfel de informaţii lipsesc el va considera ca egal probabile toate deciziile lui β .
39
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 40/336
Fie acum x=(x1,...,xm)∈R m astfel încât xi este probabilitatea cu care este utilizată de către α strategia ai,
i=1,...,m şi analog y=(y1,...,yn)∈R n unde y j este probabilitatea cu care este utilizată strategia b j, j=1,...,n decătre β .
Considerând, de asemenea matricea: C=(cij),cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,n a plăţilor se poate determina pierderea medie (Pm) pe care o realizează α atunci cândia decizia ai, i=1,...,m cu probabilitatea xi iar β ia decizia
b j, j=1,...,n cu probabilitatea y j. Avem deci:Pm= ∑∑
= =
m
1i
n
1 j jiij yxc
Strategia optimă va fi aceea pentru care avemmin(Pm) numită strategie Bayes.
Să considerăm acum situaţia în care jucătorul αdoreşte informaţii suplimentare despre β făcând o
experienţă. Fie E={e1,...,e p} rezultatele experienţei.Considerând probabilitatea de a obţine rezultatul ei atuncicând jucătorul β a ales strategia b j ca fiind:
pij=p(ei b j)unde p(ei b j) este probabilitatea condiţionată avem deci:
1pp
1iij =∑
= ∀ j=1,...,n
Vom numi (E,B,(pij)i=1,,,.p, j=1,...,m) spaţiul deeşantionaj. Acesta se pune de regulă în evidenţă subforma unui tabel:
pij EB e1 e2 ... ep
b1 p11 p21 ... p p1
b2 p12 p22 ... p p2
... ... ... ... ...40
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 41/336
bn p1n p2n ... p pn
După ce jucătorul α a obţinut ca rezultat al
experienţei pe ei el este pus în situaţia de a lua o decizie.Pentru a stabili un model matematic, vom considera cămodul de a lua o decizie este apriori stabilit. Fie deci:
d:E→{1,...,m}, ei→d(ei)=k ∀i=1,...,pfuncţia de decizie care asociază rezultatului experienţeiei numărul de ordine al strategiei ak a lui A.
Fie acum strategia b j aleasă de β şi funcţia de
decizie d. Avem variabila aleatoare:X j=
pj j2 j1
j)e(d j)e(d j)e(d
p...pp
c...ccp21
Numim funcţie de risc pierderea medie calculată pentru o strategie b j aleasă de β şi o funcţie de decizie dadică valoarea medie a variabilei aleatoare X j.
Avem:
P(b j,d)=∑=
p
1iij j)e(d pc
i
În practică, jucătorul α poate alege diversefuncţii de decizie dintr-o mulţime D={d1,...,ds} cu probabilităţile Z={z1,...,zs}. Numim atunci riscul mediumedia tuturor funcţiilor de risc atunci când d parcurgemulţimea D cu probabilităţile Z. Avem deci:
P(b j,D)= ∑ ∑∑= = =
=s
1k
s
1k
p
1isij j)e(dss j zpcz)d,b(P
is
Principiul minimax pentru alegerea strategieioptime va consta în determinarea funcţiei de decizie dinD pentru care avem:
)d,b(Pmaxmin jn,...,1 jDd =∈
41
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 42/336
Se numeşte risc separat riscul mediu atunci când b j parcurge mulţimea B. Avem deci:
P(B,d)= ∑=
n
1 j j j y)d,b(P
Riscul minimal (riscul Bayes) este dat de: P(B)=)d,B(Pmin
Dd∈ .
Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2} respectiv B={ b1,b2}. Matricea plăţilor este:
C=
46
51
Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primului respectiv celui de-al doilea jucător să sedetermine strategia Bayes pentru obţinerea pierderii mediiminime a primului jucător.
Soluţie Avem Pm=x1y1+5x1y2+6x2y1+4x2y2 cu x1+x2=1,y1+y2=1. Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:
Pm=-6x1y1+x1+2y1+4Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvămsistemul caracteristic:
=∂∂
=∂
∂
0y
P
0x
P
1
m
1
m
Obţinem:
=+−=+−
02x6
01y6
1
1
42
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 43/336
de unde x1=3
1, x2=
3
2, y1=
6
1, y2=
6
5. Pierderea medie
minimă va fi deci Pm(31 ,61 )=
313 .
2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2} respectiv B={ b1,b2}. Matricea plăţilor este:
C=
61
12
Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primului respectiv celui de-al doilea jucător să sedetermine strategia Bayes pentru obţinerea pierderii mediiminime a primului jucător.Soluţie Avem Pm=2x1y1+x1y2+x2y1+6x2y2 cu x1+x2=1,y1+y2=1. Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:
Pm=6x1y1-5x1-5y1+6
Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvămsistemul caracteristic:
=∂∂
=∂∂
0y
P
0x
P
1
m
1
m
Obţinem:
=−=−
05x6
05y6
1
1
de unde x1=6
5, x2=
6
1, y1=
6
5, y2=
6
1. Pierderea medie
minimă va fi deci Pm(6
5,6
5)=6
11.
43
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 44/336
4. Criterii pentru alegerea deciziilor optime însituaţii de incertitudine
Noţiuni teoreticeÎn situaţia în care nu există informaţii asuprastrategiilor lui β se pot aplica diferite criterii pentrualegerea deciziei optime. Problema principală este căaceste criterii nu conduc la aceeaşi soluţie. Din acestmotiv, în practică se aplică mai multe astfel de criterii,soluţiile obţinute conducând la o alegere subiectivă din partea lui α .A. Criteriul lui Hurwicz (optimismului )
Definim optimismul jucătorului α ca fiind un
număr ω∈[ 0,1]. Notăm, de asemenea, ci= ijn,...,1 jcmin
=şi
Ci= ijn,...,1 jcmax
= . Strategia optimă va fi aceea pentru care
avem:[ ]ii
m,...,1i
c)1(Cmax ω−+ω=
B. Criteriul lui Savage (regretelor )Definim regretul jucătorului α ca fiind:
bij= kjm,...,1kcmax
= -cij
acesta exprimând diferenţa între câştigul pe care-lrealizează α în condiţiile în care ia o decizie fără a aveainformaţii despre β şi câştigul pe care l-ar fi realizat α
dacă ar fi avut informaţii complete despre β .Jocul astfel obţinut se rezolvă prin metoda
maximin dacă este echilibrat, în caz contrar, alegându-seo strategie mixtă pentru x în scopul determinării decizieioptime.C. Criteriul Bayes-Laplace
44
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 45/336
În această situaţie, se aleg probabilităţile
acţiunilor lui β ca fiind egale cun
1. Jucătorul α va
alege strategia ai pentru care are loc:
∑==
n
1 jij
m,...,1ic
n
1max
D. Criteriul lui Wald (
pesimismului )În acest caz, dacă jocul este echilibrat, acesta se
rezolvă cu metoda minimax, în caz contrar determinându-
se strategia optimă mixtă x pentru care se obţine:
∑
==
m
1iiij
n,...,1 jxcmax .
Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
C=
4951
4062
84135121
Să se determine strategia optimă folosind:1) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6;2) criteriul lui Savage;
3) criteriul Bayes-Laplace.45
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 46/336
Soluţie 1) Construim următorul tabel: b1 b2 b3 b4 ci=
ijn,...,1 j cmin=
Ci=
ijn,...,1 j cmax=
0,6Ci+0,4ci
a1 1 2 1 5 1 5 3,4a2 3 1 4 8 1 8 5,2a3 2 6 0 4 0 6 3,6a4 1 5 9 4 1 9 5,8
Maximul cantităţilor din ultima coloană este 5,8 decistrategia a4 va fi cea optimă.
2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pefiecare coloană a matricei câştigurilor. Avem:
b1 b2 b3 b4
a1 1 2 1 5a2 3 1 4 8a3 2 6 0 4a4 1 5 9 4
max 3 6 9 8Construim matricea regretelor cu elementele bij=
kjm,...,1kcmax
= -cij:
b1 b2 b3 b4 maxa1 2 4 8 3 8a2 0 5 5 0 5a3 1 0 9 4 9
a4 2 1 0 4 4min 0 0 0 0 0/4Jocul fiind neechilibrat, strategia optimă a primului jucător va fi a4.3) Construim următorul tabel:
46
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 47/336
b1 b2 b3 b4 ∑=
n
1 jijc
4
1
a1 1 2 1 5 9/4a2 3 1 4 8 4a3 2 6 0 4 3a4 1 5 9 4 19/4
Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a4 rezultă că ea va fi cea optimă.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui
mulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
C=
73510
12514
101123
9352
Să se determine strategia optimă folosind:4) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,8;5) criteriul lui Savage;6) criteriul Bayes-Laplace.Soluţie 1) Construim următorul tabel:
b1 b2 b3 b4 ci=
ijn,...,1 jcmin
=
Ci=
ijn,...,1 jcmax
=
0,8Ci+0,2ci
a1 2 5 3 9 2 9 7,6a2 3 2 11 10 2 11 9,2a3 4 1 5 12 1 12 9,8a4 10 5 3 7 3 10 8,6
Maximul cantităţilor din ultima coloană este 9,8 decistrategia a3 va fi cea optimă.2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pe
fiecare coloană a matricei câştigurilor. Avem:47
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 48/336
b1 b2 b3 b4
a1 2 5 3 9
a2 3 2 11 10a3 4 1 5 12a4 10 5 3 7
max 10 5 11 12Construim matricea regretelor cu elementele bij=
kjm,...,1kcmax
= -cij:
b1 b2 b3 b4 mina1 8 0 8 3 0a2 7 3 0 2 0a3 6 4 6 0 0
a4 0 0 8 5 0max 8 4 8 5 4/0Jocul nefiind echilibrat vom aplica criteriul Bayes-Laplace pentru determinarea deciziei optime. Avem deci:
b1 b2 b3 b4 ∑=
n
1 jijc
4
1
a1 8 0 8 3 19/4
a2 7 3 0 2 3a3 6 4 6 0 4a4 0 0 8 5 13/4
Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a1 rezultă că ea va fi cea optimă.3)Construim următorul tabel:
48
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 49/336
b1 b2 b3 b4 ∑=
n
1 jijc
4
1
a1 2 5 3 9 19/4a2 3 2 11 10 13/2a3 4 1 5 12 11/2a4 10 5 3 7 25/4
Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a2 rezultă că ea va fi cea optimă.5. Alegerea deciziilor optime în situaţii de
certitudineNoţiuni teoreticeÎn unele situaţii practice există o multitudine de
informaţii referitoare la acţiunile care trebuie desfăşurateînsă pentru fiecare variantă de acţune există o multitudinede posibilităţi. Problema care se pune este de a găsi o cale prin care să putem discerne între diversele variante posibile.
În acest sens, o metodă clasică este metoda Electre.
Fie deci un număr n de variante de acţiuneV1,V2,...,Vn pentru un decident. Să considerăm, deasemenea, un număr de m criterii C1,C2,...,Cm care au câteun coeficient de importanţă (de regulă stabilit în mod
subiectiv) k 1,k 2,...,k m. Pentru fiecare pereche (Vi,C j)
stabilim o valoare numerică vij (dacă este o aprecierecalitativă de genul: slab, bun, foarte bun etc. o convertimîn numere de ierarhie). Problema constă în determinareavariantei optime de acţiune.
Pentru exemplificarea metodei, fie următoarea:
Problemă
49
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 50/336
Într-o întreprindere se propune fabricarea unui produs. Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de
proces tehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii seconsideră profitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului defabricaţie (C3). Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0,medie cu 1 şi bună cu 2. Tabelul obţinut este:
CriteriuVariantă
C1 C2 C3
V1 1000 0 50V2 800 1 56V3 600 2 60V4 700 1 54V5 500 2 58
Vom acorda celor trei criterii câte un coeficient deimportanţă astfel: k 1=0,4 , k 2=0,4 şi k 3=0,2.Pasul 1 Se stabileşte, mai întâi natura metodei (de
maximizare sau de minimizare). Se adaugă două linii sub
tabel pe care se calculează minimul şi maximulelementelor de pe fiecare coloană C j.Pasul 2 Se determină utilităţile Uij corespunzătoare perechilor (Vi,C j) astfel:♦ pentru problema de maximizare: Uij=
kjn,...,1k
kjn,...,1k
kjn,...,1k
ij
vminvmax
vminv
==
=
−
−;
♦ pentru problema de minimizare: Uij=
kjn,...,1k
kjn,...,1k
ijkjn,...,1k
vminvmax
vvmax
==
=
−
−.
şi se construieşte tabelul respectiv.Pentru problema noastră avem (maximizare):
Criteriu C1 C2 C3
50
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 51/336
VariantăV1 1000 0 50
V2 800 1 56V3 600 2 60V4 700 1 54V5 500 2 58
min 500 0 50max 1000 2 60
Tabelul utilităţilor este:Criteriu
Variantă
C1
(k 1=0,4)
C2
(k 2=0,4)
C3
(k 3=0,2)V1 1 0 0V2 0,6 0,5 0,6V3 0,2 1 1V4 0,4 0,5 0,4V5 0 1 0,8
Pasul 3 Se calculează indicatorii de concordanţă astfel:
c(Vi,V j)=
∑
∑
=
≥=
m
1rr
UUm,...,1p
p
k
k jpip
Pasul 4 Se calculează indicatorii de discordanţă astfel:
d(Vi,V j)= )0,UU(maxip jp
m,...,1p−
=
51
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 52/336
Vom trece indicatorii de concordanţă în stânga, iar cei de discordanţă în dreapta fiecărei celule a unui tabel
care va avea pe linii şi coloane variantele Vi.Avem, în cazul problemei noastre:Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţă
V1 V2 V3 V4 V5
V1 1 0 0,4 0,6 0,4 1 0,4 0,5 0,4 1V2 0,6 0,4 1 0 0,4 0,5 1 0 0,4 0,5V3 0,6 0,8 0,6 0,4 1 0 0,6 0,2 1 0V4 0,6 0,6 0,4 0,2 0,4 0,6 1 0 0,4 0,5V5 0,6 1 0,6 0,6 0,4 0,2 0,6 0,4 1 0
Pasul 5 Se stabilesc două valori p şi q (cu semnificaţie de
probabilităţi complementare) astfel încât p,q∈(0,1) şi p+q=1 care să măsoare limitele admise de concordanţă şicele de discordanţă. Vom spune astfel că o variantă V i
surclasează o variantă V j dacă:
≤
≥q)V,V(d
p)V,V(c
ji
ji
Construim matricea G=(gij)∈M n(R ) astfel: gij=1dacă Vi surclasează pe V j şi 0 în caz contrar. Deasemenea, vom considera gii=1 ∀i=1,...,n deoarecec(Vi,Vi)=1 şi d(Vi,Vi)=0 satisfac întotdeauna condiţiile demai sus.
Dacă există o linie a matricei cu toate elementeleegale cu 1 rezultă că varianta respectivă surclasează toatecelelalte variante deci va fi cea aleasă. Dacă nu există oastfel de linie micşorăm valoarea lui p ( şi evident creştem
valoarea lui q) până când obţinem condiţia cerută.În cazul analizat, avem pentru p=0,4 şi q=0,6:
52
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 53/336
G=
11110
11111
11110
11111
01011
deci oricare din variantele V2 şi V4 este foarte bună.Aplicaţii1. Într-o întreprindere se propune fabricarea unui produs.Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de proces
tehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii seconsideră profitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului defabricaţie (C3). Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0,medie cu 1, bună cu 2 şi foarte bună cu 3. Tabelul obţinuteste:
CriteriuVariantă
C1 C2 C3
V1 700 1 80V2 200 3 100V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70
Coeficienţii de importanţă ai celor trei criteriisunt: k 1=0,4, k 2=0,4 şi k 3=0,2. Să se decidă variantaoptimă de acţiune.
Soluţie
Calculăm mai întâi: Uij=kj
n,...,1kkj
n,...,1k
kjn,...,1k
ij
vminvmax
vminv
==
=
−
−
( problema fiind evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariantă
C1 C2 C3
53
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 54/336
V1 700 1 80V2 200 3 100
V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70
min 100 1 20max 700 3 100
Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariantă
C1
(k 1=0,4)C2
(k 2=0,4)C3
(k 3=0,2)V1 1 0 0,8
V2 0,17 1 1V3 0,33 0,5 0,1V4 0,5 0 0V5 0 1 0,6
Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=
∑
∑
=
≥=
m
1rr
UUm,...,1p
p
k
k
jpip
şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=
)0,UU(max ip jpm,...,1p
−= .
Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5
V1 1 0 0,4 1 0,6 0,5 1 0 0,6 1
54
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 55/336
V2 0,6 0,83 1 0 0,6 0,2 0,6 0,3 1 0V3 0,4 0,67 0,4 0,9 1 0 0,6 0,2 0,4 0,5
V4 0,4 0,75 0,4 1 0,4 0,5 1 0 0,4 1V5 0,4 1 0,4 0,4 0,6 0,3 0,6 0,5 1 0
Fie acum p=0,16 şi q=0,84. Avem:
G=
11110
01101
11101
11111
01101
deci varianta V2 este cea optimă.2. Într-o întreprindere se organizează un concurs pentruocuparea postului de manager. La acest concurs se prezintă cinci candidaţi P1, P2, P3, P4, P5. Pentru selecţiaacestora se consideră drept criterii: competenţa profesională (C1), capacitatea de conducere (C2) şi
referinţele anterioare (C3). Vom aprecia numeric calităţileslabă cu 0, medie cu 1, bună cu 2 şi foarte bună cu 3.Tabelul obţinut este:
CriteriuVariantă
C1 C2 C3
P1 2 2 3P2 3 1 2P3 1 3 2
P4 3 2 1P5 3 1 2
Coeficienţii de importanţă ai celor trei criteriisunt: k 1=0,4, k 2=0,4 şi k 3=0,2. Să se decidă variantaoptimă de acţiune.
55
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 56/336
Soluţie
Calculăm mai întâi: Uij=kj
n,...,1kkj
n,...,1k
kjn,...,1k
ij
vminvmax
vminv
==
=
−
−
( problema fiind evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariantă
C1 C2 C3
P1 2 2 3P2 3 1 2
P3 1 3 2P4 3 2 1P5 3 1 2
min 1 1 1max 3 3 3
Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariantă
C1
(k 1=0,4)C2
(k 2=0,5)C3
(k 3=0,1)P1 0,5 0,5 1P2 1 0 0,5P3 0 1 0,5P4 1 0,5 0P5 1 0 0,5
Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=
∑
∑
=
≥=
m
1rr
UUm,...,1p
p
k
k
jpip şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=
)0,UU(max ip jpm,...,1p
−= .
Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţă
V1 V2 V3 V4 V5
56
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 57/336
V1 1 0 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5V2 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0
V3 0,4 0,5 0,6 1 1 0 0,6 1 0,6 1V4 0,8 1 0,8 0,5 0,4 0,5 1 0 0,8 0,5V5 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0
Fie acum p=0,5 şi q=0,5. Avem:
G=
1101011010
00100
11010
11111
deci varianta P1 este cea optimă.6. Teste recapitulative1. Compartimentul de vânzări de la firma X, în urma unuistudiu de piaţă, elaborează cinci strategii de vânzare,notate V1, V2, V3, V4 şi V5 , ce se află în strânsă
dependenţă de patru stări ale condiţiilor obiective, notateS1, S2, S3 şi S4. Veniturile(în miliarde lei) ce se estimează a se realiza în cadrulfiecărei strategii sunt:
StrategiaStările
V1 V2 V3 V4 V5
S1 10 15 12 11 16S2 9 8 14 12 16
S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11
Aplicând criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6, săse determine ierarhizarea (de la cea mai bună la cea mai
proastă ) strategiilor de vânzare.Soluţie
Strategia V1 V2 V3 V4 V5
57
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 58/336
StărileS1 10 15 12 11 16
S2 9 8 14 12 16S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11
max 12 15 14 13 16min 9 8 10 9 11
max⋅ ω +min⋅ (1-ω )
10,8 12,2 12,4 11,4 14,0
Ierarhia strategiilor de vânzare este: V5, V3, V2,V4, V1.2. O firmă producătoare de autoturisme studiază posibilitatea de reorientare a capacităţii sale de producţie prin introducerea unor modele noi. Pentru acest lucru,sunt analizate patru proiecte ale unor noi modele deautoturisme: A, B, C şi D. Primirea pe piaţă a acestora poate fi: favorabilă, obişnuită sau de respingere parţială.
În acest caz, nivelul previzionat al producţiei anuale(bucăţi), va fi:
ModelulStarea
A B C D
favorabilă 10000 12000 15000 12000obişnuită 8000 9000 12000 10000respingere parţială
3000 6000 2000 4000
58
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 59/336
Aplicând regula minimizării regretelor, să sedetermine ierarhia modelelor de autoturisme (de la cel
mai bun la cel mai slab).SoluţieModelul
StareaA B C D
favorabilă 10000 12000 15000 12000obişnuită 8000 9000 12000 10000respingere parţ
ială3000 6000 2000 4000
max 10000 12000 15000 12000Matricea regretelor este:
ModelulStarea
A B C D
favorabilă 0 0 0 0obişnuită 2000 3000 3000 2000respingere
parţială
7000 6000 13000 8000
max 7000 6000 13000 8000Pentru a obţine ierarhizarea cerută, vom determinamaximele fiecărei coloane şi ordinea va fi dată de nivelulcrescător al regretului. Altfel spus, varianta preferată va ficea cu regretul cel mai mic, iar ultima cea cu regretul celmai mare. Avem deci: B, A, D, C.
3. Compartimentul de marketing al unei firme analizează posibilitatea asimilării în fabricaţie a unui număr de cincitipuri de calculatoare C1, C2, C3, C4 şi C5. În funcţie denumărul de calculatoare vândute, profitul (milioane lei)este următorul:
Planul vânzărilor Tipul decalculator
300 buc. 500 buc. 700 buc.
59
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 60/336
C1 1500 3000 7000C2 3000 6000 8000
C3 2000 4000 6000C4 1000 2000 4000C5 500 1000 2000
Aplicând criteriul Bayes-Laplace, să se determinevarianta optimă de calculator aleasă de către conducereafirmei.
SoluţiePlanulTipul
300 buc. 500 buc. 700 buc. mediaaritmetică
C1 1500 3000 7000 3833C2 3000 6000 8000 5666C3 2000 4000 6000 4000
C4 1000 2000 4000 2333C5 500 1000 2000 1166
Cea mai mare valoare este cea corespunzătoarecalculatorului C2.4. În cadrul unei firme, un grup decizional alcătuit din trei persoane P, P2 şi P3 este chemat să analizeze mai multe proiecte ce sunt caracterizate prin trei criterii de
apreciere: C1 - volumul vânzărilor, C2 – costurile totale şiC3 – rata profitului. Decidenţii au stabilit următoareleniveluri de importanţă acestor criterii de apreciere:
DecidentulCriteriul
P1 P2 P3
C1 1 1 2C2 3 2 1C3 2 3 3
60
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 61/336
Care este ierarhizarea criteriilor de apreciere lanivelul grupului de decizie?
Observaţie Nivelurile de importanţă acordate criteriilor deapreciere reprezintă, în acest caz, nişte “note” acordateacestora, în sensul că acel criteriu cu “nota” cea mai mareeste cel mai important pentru decident ş.a.m.d.
Pe baza acestor niveluri de importanţă, secalculează coeficienţii de importanţă, astfel: k i=
∑∑∑
= =
=3
1 j
3
1k jk
3
1 jij
N
Nunde Nij reprezintă nivelul de importanţă al
criteriului Ci pentru decidentul P j. Ordinea descrescătoarea acestora furnizează ierarhizarea cerută.Soluţie
Avem: k 1= 184
332123211211 =++++++++ ++ =0,22;
k 2=18
6
332123211
123=
++++++++++
=0,33;
k 3=18
8
332123211
332=
++++++++++
=0,44.
Ierarhizarea este: C3, C2, C1.5. În acţiunea de dezvoltare a capacităţii de producţie aunei firme de materiale de construcţii sunt luaţi în calcultrei indicatori: I1: costul investiţiei (miliarde lei), I2:volumul producţiei anuale (tone) şi I3: termenul derecuperare a investiţiei (luni). În cadrul acestei acţiunisunt luate în calcul mai multe direcţii de dezvoltare: D1,D2, D3 şi D4. Acestea sunt caracterizate prin următoareleconsecinţe economice şi niveluri de importanţă ale
indicatorilor menţionaţi:61
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 62/336
IndicatorulDirecţia
I1 I2 I3
D1 10 1000 12D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15
Nivelul de importanţă alindicatorului de apreciere
1 3 2
Aplicând metoda utilităţii globale, care este
ordinea de preferinţă a celor patru direcţii de dezvoltare?ObservaţieÎn situaţia în care în analiza unei probleme apar
mai multe criterii de apreciere (aici indicatori) asupraunor viitoare acţiuni sau decizii se pune problemaarmonizării acestora. Pentru a înlătura semnificaţiile lor diferite s-a introdus noţiunea de utilitate (Von Neumann
& Morgenstern). Astfel, pentru un set de valori (a1,
a2,...,an) se determină utilitatea cantităţii ai ca fiind Ui=
n,...,1 j
j
n,...,1 j
j
n,...,1 j
ji
aminamax
amina
==
=
−
−
. În acest caz, cantităţii celei mai mici
din setul de valori considerat îi va corespunde o utilitatenulă, iar cantităţii maxime una unitară. În cazul problemeide mai sus, se vor determina utilităţile pentru fiecare
coloană în parte. Nivelurile de importanţă acordate indicatorilor
generează coeficienţii de importanţă a acestora,
calculându-se astfel: k j= ∑=
3
1kk
j
N
N
unde N j reprezintă
nivelul de importanţă al indicatorului I j. În final, se
62
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 63/336
calculează utilitatea globală UG a fiecărei direcţii D i prin
formula: UGi=∑=3
1 j ij j
Ukunde Uij reprezintă utilitatea
indicatorului j corespunzător direcţiei i. După aceea, seordonează descrescător utilităţile UGi obţinândierarhizarea cerută.Soluţie Calculăm mai întâi maximele şi minimele fiecăreicoloane:
Indicatoru
lDirecţ
ia
I1 I2 I3
D1 10 1000 12D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15
max 20 2200 20min 10 1000 12
max-min 10 1200 8Tabelul utilităţilor şi al coeficienţilor de
importanţă este următorul:Indicatorul
DirecţiaI1 I2 I3
D1 0 0 0D2 0,5 0,17 0,17
D3 1 1 1D4 0,2 0,33 0,25
Coeficientul deimportanţă
0,17 0,5 0,33
• UG1=0,17⋅ 0+0,5⋅ 0+0,33⋅ 0=0;• UG2=0,17⋅ 0,5+0,5⋅ 0,17+0,33⋅ 0,17=0,226;• UG3=0,17⋅ 1+0,5⋅ 1+0,33⋅ 1=1,000;
63
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 64/336
• UG4=0,17⋅ 0,2+0,5⋅ 0,33+0,33⋅ 0,25=0,282.Ierarhia este deci: D3, D4, D2, D1.
6. În cadrul procesului de retehnologizare a unei firme se pune problema achiziţionării unor utilaje complexe I1, I2,I3 şi I4. În analiza oportunităţii de achiziţie a unuia saualtuia intră doi factori: fiabilitatea ce are o pondere de60% în decizie şi mentenabilitatea cu o pondere de 40%.Fiabilitatea este la rândul ei caracterizată prin douăcriterii: C1: media timpului de bună funcţionare (ore) şiC2: rata căderilor (%), iar mentenabilitatea prin C3:accesibilitatea (%), C4: asigurarea pieselor de schimb (%)şi C5: activitatea de service (%).
FactoriiUtilajele
p1=0,6 p2=0,4
C1 C2 C3 C4 C5
I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7
I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10
Folosind metoda speranţei matematice să sestabilească ordinea de preferinţă a achiziţionării utilajelor.a) I4, I2, I1, I3; b) I2, I4, I1, I3;c) I1, I2, I4, I3;d) I1, I2, I3, I4;e) I4, I1, I2, I3.Observaţie Metoda speranţei matematice constă încalcularea utilităţilor fiecărui criteriu şi apoi calculareanivelului de importanţă al fiecărui utilaj pe baza formulei
NIi=∑=
5
1 jij j
Up unde jp reprezintă ponderea
64
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 65/336
(probabilitatea) criteriului C j. În final, se ordoneazădescrescător după valorile lui NIi.
Soluţie Calculăm, mai întâi, utilităţile:Factorii
Utilajele p1=0,6 p2=0,4
C1 C2 C3 C4 C5
I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10
max 3200 14 92 98 10min 2500 8 84 90 7
max-min 700 6 8 8 3Tabelul utilităţilor:
FactoriiUtilajele
p1=0,6 p2=0,4
C1 C2 C3 C4 C5
I1 0,71 0,33 0,75 0,75 0,33I2 0 0,67 0,38 1 0I3 0,29 0 0 0,25 0,67I4 1 1 1 0 1
• NI1=0,6⋅ 0,71+0,6⋅ 0,33+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,33=0,368;• NI2=0,6⋅ 0+0,6⋅ 0,67+0,4⋅ 0,38+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0=0,705;• NI3=0,6⋅ 0,29+0,6⋅ 0+0,4⋅ 0+0,4⋅ 0,25+0,4⋅ 0,67=0,3
64;• NI4=0,6⋅ 1+0,6⋅ 1+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0+0,4⋅ 1=2,000.Ierarhia este: I4, I2, I1, I3.
65
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 66/336
7. În cadrul acţiunii de retehnologizare a unuicompartiment al unei întreprinderi se pune problema
achiziţionării unor utilaje complexe I1, I2 şi I3. Analizaoportunităţii de achiziţie a unuia sau altuia ţine seama de patru factori: C1: media timpului de bună funcţionare(ore), C2: accesibilitatea (%), C3: asigurarea pieselor deschimb (%) şi C4: activitatea de service (%):
CriteriulUtilajul
C1 C2 C3 C4
I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10
În cadrul întreprinderii, hotărârea de achiziţionareeste luată de un grup decizional format din două persoaneD1 şi D2. Acestea atribuie fiecărui criteriu următoareleniveluri de importanţă:
Criteriul
Decidentul
C1 C2 C3 C4
D1 1 2 3 4D2 2 1 4 3
Folosind metoda calculului majorităţii ca şicompunere de utilităţi individuale, rezultă că ierarhizareaachiziţionării utilajelor este:a) I1, I3, I2; b) I2, I1, I3;c) I2, I3, I1;d) I3, I1, I2;e) I1, I2, I3.Observaţie
Metoda calculului majorităţii ca şi compunere deutilităţi individuale constă în determinarea utilităţii
66
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 67/336
globale pe baza formulei: UGij= ∑=
4
1s jsiskU unde Uis
reprezintă utilitatea corespunzătoare utilajului i şicriteriului s, iar k js reprezintă coeficientul de importanţăcorespunzător decidentului j şi criteriului s. Dacă vomnota cu A matricea corespunzătoare elementelor utilităţilor primului tabel, cu B cea a elementelor coeficienţilor de importanţă ai celui de-al doilea tabel şicu UG matricea corespunzătoare utilităţilor globale,
avem: UG=A⋅ Bt
(Bt
=transpusa matricei B). În final,suma elementelor liniilor matricei UG reprezintă sumautilităţilor globale după fiecare decident. Ordonânddescrescător aceste valori se obţine ierarhizarea cerută.Soluţie
Calculul utilităţilor este:Criteriul
UtilajulC1 C2 C3 C4
I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10
max 2100 98 92 12min 1800 94 86 8
max-min 300 4 6 4
CriteriulUtilajul C1 C2 C3 C4
I1 0,33 1 0 0I2 0 0 0,33 1I3 1 0,5 0 0,5
Calculul coeficienţilor de importanţă:Criteriul
Decidentul
C1 C2 C3 C4
67
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 68/336
D1 0,1 0,2 0,3 0,4D2 0,2 0,1 0,4 0,3
Avem:
UG=
⋅
3,04,0
4,03,0
1,02,0
2,01,0
5,005,01
133,000
00133,0
=
17,025,0
43,050,0
76,053,0
Avem acum:• I1: 0,53+0,76=1,29;• I2: 0,50+0,43=0,93;• I3: 0,25+0,17=0,42.Ierarhia cerută este: I1, I2, I3.
TEORIA GRAFURILOR
1. GeneralităţiNoţiuni teoretice1. Definiţii Se numeşte graf o mulţime X de elemente
numite noduri ( puncte) împreună cu o aplicaţiea:X→ P (X). O pereche (x,y) unde x∈X iar y∈a(x) senumeşte arc. Dacă vom considera perechi de elemente(x,y) vom numi graful ca fiind orientat în caz contrar prin considerarea mulţimilor de forma {x,y} (numite
muchii ) obţinând noţiunea de graf neorientat. Vom notaun graf G=(X,a). Două noduri se numesc adiacente dacăexistă un arc ( sau o muchie la grafuri neorientate) care le
68
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 69/336
uneşte. Două arce ( sau muchii ) distincte se numescadiacente dacă au o extremitate comună.
2. Observaţie Un graf neorientat poate fi gândit ca ungraf orientat în care muchiile {x,y} sunt înlocuite de perechi de arce (x,y) şi (y,x).
Vom reprezenta grafurile ca mulţimi de puncte în plan iar arcele prin arce neorientate (orientate) în cazul
grafurilor neorientate (orientate). În figura 1 avem unexemplu de graf neorientat, iar în figura 2 unul orientat.
Fig.1
69
1
2
x
3x
4x
5x
6x
8x
7x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 70/336
Fig.2Vom nota cu U mulţimea arcelor unui graf
G=(X,a). Vom nota uneori şi G=(X,U). Dacă numărularcelor unui graf este finit (card U<∞) graful se numeştefinit şi infinit în caz contrar. Ne vom ocupa numai de
grafuri orientate finite acestea fiind cele mai întâlnite înaplicaţii economice şi vom presupune implicit căX={x1,...,xn}.
Oricărui graf finit i se poate asocia o matricenumită matricea asociată grafului definită astfel:A=(aij)unde:
aij=
∉
∈
)x(axdaca0
);x(axdaca1
i j
i j
3. ExempluPentru graful din figura 2, avem următoarea
matrice:
70
1
2x
3x
4x
5x
6x
8x
7x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 71/336
A=
10000000
00100000
10000100
00000100
0000001000101000
00010001
00000000
4. Definiţie Fie un graf G=(X,a) şi X'⊂X. Definindaplicaţia a':X'→ P (X'), a'(x)=a(x)∩X' ∀x∈X' perecheaG'=(X',a') se numeşte subgraf al lui G.5. Observaţie Un subgraf se obţine deci dintr-un graf prin considerarea numai a nodurilor din X’ şi a arcelor care se sprijină pe puncte din X’.6. Exemplu Considerând graful din figura 2 şi mulţimeaX’={x1,x2,x3,x4,x5,x8} obţinem subgraful din figura 3.
Fig.37. Definiţie Fie un graf G=(X,a). Definind o aplicaţiea':X→ P (X) astfel încât a'(x)⊂ a(x) ∀x∈X perechea
71
1
2x
3x
4x
5x
8x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 72/336
G'=(X,a') se numeşte graf parţial al lui G. Un graf parţialal unui subgraf se numeşte subgraf parţial.
8. Observaţie Un graf parţial se obţine dintr-un graf prineliminarea unui număr oarecare de arce.9. Exemplu Considerând graful din figura 2 şi eliminândarcele (x6,x3), (x8,x8), (x4,x2) obţinem graful parţial dinfigura 4.
Fig.410. Definiţie Fie un graf G=(X,U) şi o partiţieX=X1∪...∪Xn (Xi∩X j=∅, i,j=1,...,n) a lui X. NotândX={X1,...,Xn} şi U ={(Xi,X j)∃xi∈ Xi, x j∈X j astfel încât(xi,x j)∈U } perechea (X,U ) se numeşte graf redus al lui
G.11. Observaţie Graful redus reprezintă o grupare anodurilor în submulţimi ale mulţimii iniţiale de noduri,arcele fiind submulţimea arcelor iniţiale care fac legăturaîntre noile noduri.
72
1
2x
3x
4x
5x
6x
8x
7x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 73/336
12. Exemplu Considerând graful din figura 2 şi partiţiaX=X1∪ X2∪X3 unde X1={x1,x3,x4}, X2={x2,x5},
X3={x6,x7,x8} avem în figura 5 modul de obţinere agrafului redus iar în figura 6 graful propriu-zis.
Fig.5
Fig.6
73
1x
2x
3x
4x
3
X
2X
1X
5x
6x
8x
7x
3
2X
1X
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 74/336
Considerând un graf G=(X,U) şi o submulţimeY⊂X vom nota ω +(Y)={(x,y)∈Ux∈Y, y∉Y} şi ω -
(Y)={(x,y)∈Ux∉Y, y∈Y}. Altfel spus, ω +(Y) estemulţimea arcelor ce ies din Y iar ω -(Y) este mulţimeaarcelor ce intră în Y. Dacă Y={x}, x∈X vom nota simpluω +(x)=ω +({x}) şi analog ω -(x)=ω -({x}). Un punct x∈X pentru care ω -(x)=∅ (deci în x nu intră nici-un arc) senumeşte punct iniţial al grafului. Un punct x∈X pentrucare ω +(x)=∅ (deci din x nu iese nici-un arc) se numeşte
punct terminal al grafului. Numărul d+(x)=card ω +(x)se numeşte semigrad exterior al lui x (deci numărul
arcelor ce pleacă din punctul x) iar număruld-(x)=card ω -(x) se numeşte semigrad interior al lui x(numărul arcelor ce intră în x). Considerând matricea
asociată grafului avem evident d+(xi)= ∑=
n
1 jija şi d-(x j)=
∑=
n
1iija . Prin urmare, suma elementelor unei linii
reprezintă semigradul exterior al elementului respectiv iar suma elementelor unei coloane reprezintă semigradulinterior al elementului considerat.
Vom numi de asemenea densitatea grafului ca
fiind ρ = ∑=
+n
1i i)x(d
= ∑=
−n
1i i)x(d
(numărul total al arcelor unui graf sau altfel suma tuturor elementelor
matricei asociate grafului).13. Definiţie Considerând un graf orientat cu arcele u j, j=1,...,m definim matricea de incidenţă a grafului astfel:B=(bij) unde:
74
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 75/336
bij=
ω∪ω∉ω∩ω∈ ω−ω∈−
ωω∈
−+
−+
+−
−+
)x()x(udaca0
);x()x(udaca0
);x()x(udaca1
);x(-)x(udaca1
ii j
ii j
ii j
ii j
14. Exemplu Pentru exemplul considerat în figura 2, fieu1=(x2,x1), u2=(x4,x2), u3=(x2,x5), u4=(x5,x3), u5=(x3,x4),u6=(x3,x6), u7=(x6,x3), u8=(x7,x6), u9=(x6,x8), u10=(x8,x8).Avem deci:
B=
−
−−−
−−−
−−
0100000000
0010000000
0111100000
0000001100
0000010010
0001111000
0000000111
0000000001
15. Definiţii Fiind dat un graf orientat (neorientat)G=(X,U) se numeşte drum (lanţ) un şir de arce (muchii)(u1,...,uk ) cu proprietatea că extremitatea unuia coincidecu originea următorului. Dacă în particular extremitatealui uk coincide cu originea lui u1 vom numi drumul(lanţul) circuit (ciclu). Un drum ce trece prin fiecare nod
cel mult o dată se numeşte drum elementar. Un drum cefoloseşte o singură dată un arc se numeşte drum simpluîn caz contrar numindu-se drum compus. Se numeştelungime a unui drum numărul arcelor ce îl compun. Uncircuit de lungime 1 se numeşte buclă. Vom numidistanţă între două noduri minimul lungimii drumurilor ce le unesc dacă acestea există, în caz contrar considerând
75
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 76/336
distanţa infinită. Distanţa de la un nod la el însuşi (chiar
dacă există o buclă în acest nod ) este prin definiţie nulă.
Considerând un graf (G,U) se poate definimatricea distanţelor ca având elementele dij=d(xi,x j). Fiesuma distanţelor de la un nod xi la celelalte noduri: Di=
∑=
n
1 jijd şi D= i
n,...,1iDmin
= . Un nod xk pentru care Dk =D se
numeşte centru al grafului.16. Exemplu Pentru graful din figura 2, arcele (x2,x5),
(x5,x3), (x3,x6) constituie un drum de la x2 la x6. Arcele(x2,x5), (x5,x3), (x3,x4), (x4,x2) constituie un circuit careeste şi drum elementar. Circuitul (x2,x5), (x5,x3), (x3,x6),(x6,x3), (x3,x4), (x4,x2) nu este elementar deoarece trece prin x3 de mai multe ori, dar este drum simplu deoarecefoloseşte fiecare arc o singură dată. Arcul (x8,x8) este o buclă.17. Exemplu Pentru graful din figura 2, avem matricea
distanţelor:
D=
00000000
20153245
10042134
30202134
50420212
20131023
40313201
00000000
Sumele distanţelor de la nodurile xi la celelalte nodurisunt:
76
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 77/336
=
=======
0D
22D
15D
15D
16D
12D
14D
0D
8
7
6
5
4
3
2
1
Avem D= i8,...,1iDmin
= =0. Nodurile x1 şi x8 sunt centre ale
grafului.18. Definiţii Un graf se numeşte complet dacă oricedouă noduri distincte au cel puţin un arc între ele. Ungraf se numeşte simetric dacă (x,y)∈U⇒(y,x)∈U. Ungraf se numeşte conex dacă orice două noduri pot fi unite
printr-un lanţ şi se numeşte tare conex dacă ele pot fiunite printr-un drum. Pentru un nod x∈X vom numicomponenta conexă a lui x mulţimea tuturor nodurilor ce pot fi unite printr-un lanţ cu x.19. Observaţii1) Un graf este complet dacă matricea asociată grafului
are toate elementele egale cu 1 eventual mai puţin celede pe diagonala principală.2) Un graf este simetric dacă matricea asociată grafului
este simetrică.3) Un graf este conex dacă matricea distanţelor pentru
muchii are toate elementele nenule, mai puţin cele de pe diagonala principală.
77
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 78/336
4) Un graf este tare conex dacă matricea distanţelor pentru arce are toate elementele nenule, mai puţin cele
de pe diagonala principală.20. Exemplu Fie graful din figura 2. Acesta nu estecomplet deoarece între nodurile x1 şi x4 nu există nici-unarc. Graful nu este simetric deoarece (x2,x1)∈U dar (x1,x2)∉U. Din matricea distanţelor, rezultă că graful nueste tare conex deoarece x1 nu poate fi unit cu un drum dex2. Considerând matricea distanţelor pentru muchii, seobservă imediat că graful este conex. Dacă în grafulconsiderat eliminăm arcele (x3,x6) şi (x6,x3) rezultă căgraful nu mai este conex iar componentele conexe sunt{x1,x2,x3,x4,x5} şi {x6,x7,x8}.21. Definiţie Numim arbore un graf finit, neorientat
G=(X,U) cu cel puţin două noduri care este conex şi nuare cicluri ( fig.7 ).
Fig.7
78
1
2x
3x
4x
8x
9x 1 0
x 1 1x1
x
1 3x
1 4x
5x
6x
7x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 79/336
22. Propoziţie Fie un graf G=(X,U) cu card X≥ 2.Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
i) G este arbore;ii) card X=n, card U=n-1 iar graful nu are cicluri;iii) Graful G nu are cicluri dar prin adăugarea unei
muchii între orice două puncte neadiacente se creazăun ciclu unic;
iv)Graful G este conex dar prin eliminarea unei muchiioarecare ale sale el devine neconex;
v) Între oricare două puncte ale lui G există un lanţ unic.Dacă A este matricea asociată grafului se arată că
în matricea A p=(a(p)ij), p≥ 1, elementul a(p)
ij semnificănumărul drumurilor de lungime p ce unesc pe xi cu x j.
Aplicaţii1. Fie graful din figura 8.
Fig.81) Să se determine matricea asociată grafului;
79
1
2x
3
x
4x
5x
6x
8x
7x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 80/336
2) Să se determine subgraful corespunzător mulţimii denoduri X’={x1,x2,x3,x4};
3) Să se determine graful redus corespunzător partiţiei:X1={x1,x2, x3,x4,x5}, X2={x6,x7,x8};
4) Să se determine punctele iniţiale şi punctele terminaleale grafului;
5) Să se determine semigradul exterior al lui x2 şisemigradul interior al lui x3;
6) Să se determine densitatea grafului;7) Să se determine matricea de incidenţă a grafului.Soluţie 1) Avem:
A=
00000000
00100000
10000000
00000100
00100110
00000000
00010101
00001000
.
2) Graful din figura 9 este subgraful căutat. 3) Grafulredus este prezentat înfigura 10. 4) Din matricea asociată grafului, coloanelecare au numai zerouri furnizează punctele iniţiale alegrafului iar liniile care au numai zerouri furnizează punctele terminale ale grafului. Avem deci: x7 – punctiniţial al grafului iar x3 şi x8 sunt puncte terminale aleacestuia. 5) Avem d+(x2)=card ω +(x2)=3 (reprezentând
suma elementelor liniei lui x2 din matricea asociată
grafului) ş i d-(x3)=card ω -(x3)=3 (reprezentând sumaelementelor coloanei lui x3 din matricea asociată
80
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 81/336
grafului). 6) Avem ρ = ∑=
+8
1ii )x(d =10. 7) Matricea de
incidenţă a grafului pentru arcele u1=(x2,x1), u2=(x1,x4),u3=(x4,x2), u4=(x4,x3), u5=(x2,x3), u6=(x5,x3), u7=(x2,x5),u8=(x4,x6), u9=(x7,x6), u10=(x6,x8) este:
B=
−
−−−
−
−−−−
−
1000000000
0100000000
1110000000
00011000000010001110
0000111000
0001010101
0000000011
Fig.9
Fig.10
2. Fie graful din figura 11.81
1
2X
1
2x
3x
4x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 82/336
1) Să se determine matricea distanţelor;2) Să se determine centrele grafului dacă acestea există.
Fig.11
Soluţie 1) Avem: D=
00100
1011200000
12101
21220
.
2) Suma distanţelor de la un nod x i la celelalte noduri
este: Di=∑=
5
1 jijd , i=1,...,5. Avem deci:
82
1
2x
3x
4x
5x
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 83/336
=====
1D
5D
0D
5D
7D
5
4
3
2
1
de unde D= i5,...,1iDmin
= =0. Prin urmare nodul x3 este un
centru al grafului.
3. Fie graful din figura 12. x5
x2
x1 x8
x3 x6
x4 x7
Fig.12Să se scrie matricea asociată grafului şi să se
determine densitatea acestuia.Soluţie Matricea asociată este:
83
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 84/336
A=
00100000
10001000
01011000
10000000
0000000100110000
00010100
00000110
Densitatea grafului este reprezentată de suma elementelor matricei A deci ρ =14.
2. Drumuri de lungime minimă într-un graf Noţiuni teoretice
Fiind dat un graf cu nodurile X={x1,...,xn} şi arceleU={u1,...,um} se pune problema determinării drumurilor delungime minimă, în sensul distanţei efective şi nu al celeide mai sus, între două noduri fixate.
Problema aceasta poate fi soluţionată cu ajutorulalgoritmului Bellman-Kalaba. Pentru aceasta vomrenumerota eventual nodurile astfel încât drumul delungime minimă să fie căutat pentru x1 şi xn. Etapele deaplicare a algoritmului sunt următoarele:• Se construieşte matricea distanţelor efective D1=(dij),
dij=d(xi,x j), i,j=1,...,n unde d(xi,x j) este lungimea
arcului ce uneşte pe xi cu x j dacă acesta există,d(xi,x j)=∞ dacă între xi şi x j nu există arc şi d(xi,xi)=0.• Notăm apoi cu λ i
(1) minimul lungimilor drumurilor dela xi la xn formate cu un singur arc. Evident acestea segăsesc pe ultima coloană a matricei.
• Notăm recurent la pasul p cu λ i(p) minimul lungimilor
drumurilor de la xi la xn formate cu cel mult p arce.
Avem λ i
(p)
=min (dik +λ k
(p-1)
) (minimul fiind luat 84
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 85/336
pentru k=1,...,n). Dacă nu va exista un drum între xi şixn cu cel mult p arce vom obţine λ i
(p)=∞. Pentru
aceasta, construim matricea D p obţinută din adunareala fiecare linie a matricei D1 a vectorului λ i
(p-1).Vectorul λ i
(p) se obţine din matricea D p considerândminimul elementelor de pe linia i a acesteia.
• Se continuă procesul până se obţine λ i(p)=λ i
(p-
1),i=1,...,n.Algoritmul determină în final lungimile minime
ale drumurilor de la toate nodurile xi la xn. Lungimeaminimă va fi λ i(p). Dezavantajul acestei metode este că
indică destul de dificil drumul efectiv de lungimeminimă.1. Observaţie Semnificaţia matricelor Di esteurmătoarea: elementul a jk reprezintă minimul lungimiidrumurilor de la xk la x9 trecând prin xk şi având vel mult“i” arce.
2. Observaţie Pentru determinarea drumului efectiv secaută în ultima matrice Dm pe linia nodului de plecarevaloarea distanţei minime. Aceasta se va găsi atât pediagonala principală, cât şi în dreptul coloanei unui altnod xk . În matricea Dm-1 se caută pe linia lui xk elementulegal cu cel aflat la intersecţia diagonalei principale culinia lui xk . Determinarea unui alt element x p conduce laurmătoru pas înapoi ş.a.m.d. Determinarea se încheieatunci când ajungem la nodul final.3. Observaţie Dacă se doreşte determinarea drumurilor de lungime minimă către alt nod terminal, atunci la pasul pentru determinarea lui λ i
(1) se consideră coloanarespectivului nod.Aplicaţii
85
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 86/336
1. Să se determine drumurile de lungime minimă dintre punctele x1 şi x9 pentru graful din figura 13.
Fig.13Fie matricea distanţelor directe:
D1=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
09
010
20
02
01
10
20
8640
5430
Vom construi acum din aproape în aproape untabel cu valorile succesive λ i
(p).Avem astfel:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
λ i (1
)∞ 8 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ 0
λ i (2 11 8 3 1 ∞ ∞ ∞ ∞ 0
86
1x 2x
4x
3x
6x
9x
5x
7x
8x
3 4
2
1
81
2 6
9
45
2
1 0
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 87/336
)
λ i (3
)
11 7 3 1 12 ∞ ∞ ∞ 0
λ i (4
)
10 7 3 1 12 14 ∞ ∞ 0
λ i (5
)
10 7 3 1 11 14 ∞ 24 0
λ i (6
)
10 7 3 1 11 13 26 24 0
λ i (7
) 10 7 3 1 11 13 26 23 0
λ i (8
)
10 7 3 1 11 13 25 23 0
λ i (9
)
10 7 3 1 11 13 25 23 0
unde matricele consecutive sunt:
87
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 88/336
D2=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
0
11
3
88
11
, D3=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
0
12
11
33
878
1111
,
88
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 89/336
D4=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
0
14
1212
11
33
877
1011
, D5=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
023
24
1414
1211
11
33
82077
181010
, D6=
89
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 90/336
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
023
2424
26
1413
1111
11
33
82077
181010
, D7=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
022
24232626
1313
1111
11
33
81977
31171010
,
90
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 91/336
D8=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
022
2323
2526
1313
1111
11
33
81977
31171010
, D9=
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
022
23232525
1313
1111
11
33
81977
30171010
Se observă din tabel că ultimele două linii aletabelului sunt identice deci minimul lungimii drumurilor de la x1 la x9 va fi 10. Mai general, avem:
d(x1,x9)=10, d(x2,x9)=7, d(x3,x9)=3, d(x4,x9)=1,
d(x5,x9)=11, d(x6,x9)=13, d(x7,x9)=25, d(x8,x9)=23.Determinarea drumului de la x8 la x9 (de exemplu)se face astfel:
• în matricea D9 pe linia lui x8 avem valoaread(x8,x9)=23. Pentru a putea găsi legăturaanterioară căutăm pe această linie valoarea 23, dar nu pe diagonala principală. Avem astfel elementulde pe coloana lui x6;
91
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 92/336
• în matricea D8 pe linia lui x6 avem pe diagonala principală valoarea 13 care se mai află şi pe
coloana lui x5;• în matricea D7 pe linia lui x5 avem pe diagonala principală valoarea 11 care se mai află şi pecoloana lui x1;
• în matricea D6 pe linia lui x1 avem pe diagonala principală valoarea 10 care se mai află şi pecoloana lui x2;
• în matricea D5 pe linia lui x2 avem pe diagonala principală valoarea 7 care se mai află şi pecoloana lui x3;
• în matricea D4 pe linia lui x3 avem pe diagonala principală valoarea 3 care se mai află şi pecoloana lui x4;
• în matricea D3 pe linia lui x4 avem pe diagonala principală valoarea 1 care se mai află şi pe
coloana lui x9.În acest moment drumul este determinat: x8, x6, x5,x1, x2, x3, x4, x9.
2. Să se determine drumurile de lungime minimă dintre punctele x1 şi x8 pentru graful din figura 14.
4 x5
2 x2 6
x1
1 5 2 x8
5 2 3
3 x3 x6 4
1 3
x4 1 x7
92
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 93/336
Fig.14Soluţie Fie matricea distanţelor:
D=
∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
03
401
3021
60
03
250
410520
Vom construi acum din aproape în aproape un tabel cuvalorile succesive λ i
(p).Avem astfel:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8λ i
(1
)∞ ∞ ∞ ∞ 6 ∞ 4 0
λ i (2 ) ∞ 10 11 ∞ 6 7 4 0
λ i (3
)
12 10 9 ∞ 6 7 4 0
λ i (4
)
12 10 9 15 6 7 4 0
λ i (5
)
12 10 9 15 6 7 4 0
Minimul lungimii drumurilor de la x1 la x8 va fi 12.
3. Drumuri de lungime maximă într-un graf Noţiuni teoretice
Problema determinării drumurilor de lungimemaximă într-un graf apare în mod uzual la coordonarea proiectelor de mare complexitate. În acestea apar de
93
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 94/336
regulă legături între faze de execuţie, fiecare dintreacestea necesitând un timp de realizare.
Fie deci un graf (X,U) în care X={x0,x1,...,xn} şiU={u1,...,um} în care un arc uk =(xi,x j) între xi şi x j
reprezintă faptul că xi îl precede în realizare pe x j (x0
reprezintă momentul de start al proiectului). Vom asociafiecărui arc o durată tij=t(xi,x j) reprezintând timpulnecesar trecerii de la faza xi la faza x j. Problema concretăcare se pune este de a determina drumurile de lungimemaximă în acest graf deci implicit durata maximă determinare a proiectului.
Problema aceasta poate fi soluţionată cu ajutorulalgoritmului Bellman-Kalaba adaptat pentru drumurilede lungime maximă. Pentru aceasta vom renumerotaeventual nodurile astfel încât drumul de lungime maximăsă fie căutat pentru x0 şi xn.
O altă metodă este cea a drumului critic
(metoda Pert ). Vom prezenta această metodă atât pentrudrumurile de lungime minimă cât şi pentru cele delungime maximă.
Metoda Pert constă în determinarea succesivă adrumurilor de lungime maximă. Astfel, fie T0=0 şi t0=0.Definim prin recurenţă:
T j= )t T(max ijiU)x,x( ji
+∈ , j=1,...,n
unde maximul este luat după arcele care intră în nodul x j.Cantităţile de maximizat reprezintă suma dintre Ti dejacalculaţi şi timpul tij corespunzător arcului (xi,x j).
Fie de asemenea:
t j= )tt(min ijiU)x,x( ji
+∈ , j=1,...,n
unde minimul este luat, de asemenea, după arcele careintră în nodul x j. Cantităţile de minimizat reprezintă suma
94
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 95/336
dintre ti deja calculaţi şi timpul tij corespunzător arcului(xi,x j).
Procedând prin recurenţă, se obţine atât drumulmaxim (minim) cât şi lungimea acestuia.Durata maximă de realizare a proiectului se
numeşte durată critică iar activităţile situate pe drumulcritic (care furnizează durata critică) se numesc activităţicritice.
În legătură cu această metodă trebuie relefatecâteva aspecte. Astfel se pune problema determinăriimomentului maxim la care se poate produce evenimentuli astfel încât acesta să nu modifice durata totală a proiectului. Pentru aceasta fie Mn=Tn. Definim, prin
recurenţă: Mi= )tM(min ij jU)x,x( ji
−∈ . Cantităţile Mi, i=1,...,n
astfel calculate furnizează momentele maxime deamânare.
Intervalele de flotare sunt intervalele [Ti,Mi]adică intervalele de timp în care se poate produceactivitatea xi fără ca să fie perturbată durata totală aacestuia. Intervalele care se reduc la un punct sunt celecorespunzătoare drumului critic. Prin urmare,evenimentele critice trebuie să aibă dată fixă de realizare.
Numim rezerva totală timpul maxim de amânarea unei activităţi (xi,x j) raportat la începutul procesului
astfel încât durata totală a proiectului să nu se modifice.Avem:R t(xi,x j)=M j-Mi-tij
Numim rezerva liberă timpul suplimentar faţă decel preconizat de realizare a unei activităţi (xi,x j) astfelîncât durata totală a proiectului să nu se modifice. Avem:
R l(xi,x j)=T j-Ti-tij
95
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 96/336
Numim rezerva sigură timpul maxim de amânarea unei activităţi a activităţii xi astfel încât chiar dacă x j va
fi întârziat în limitele rezervei libere durata totală a proiectului să nu se modifice. Avem:R s(xi,x j)=T j-Mi-tij
Aplicaţii1. Fie următorul proiect:
Activitatea Activitatea directprecedentă
Durata (zile)
x1 - 2x2 x1 2x3 x1 3x4 x1 2x5 x1 4x6 x2,x3 5x7 x3 1x8 x3,x5 6
x9 x4 2x10 x6,x9 3x11 x7,x8,x10 4
Fie punctul de începere a activităţii x0 şi punctulfinal x11. Se cere:1. Să se traseze reţeaua de activităţi pe arce;2. Să se calculeze termenele minime şi maxime de
producere a evenimentelor reţelei;3. Să se stabilească drumul critic între x0 şi x11 şiactivităţile critice;
4. Să se determine momentele maxime de producere aevenimentelor astfel încât acesta să nu modifice duratatotală a proiectului;
5. Să se determine intervalele de flotare;6. Să se determine rezervele totale, libere şi cele sigure.
96
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 97/336
Soluţie 1) Graful ce reprezintă activităţile prezentate întabel este prezentat în figura 15.
Fig.152) Pentru drumurile de lungime maximă avem:• T0=0;• T1=max(T0+t01)=max(0+2)=2;• T2=max(T1+t12)=max(2+2)=4;• T3=max(T1+t13)=max(2+3)=5;• T4=max(T1+t14)=max(2+2)=4;
• T5=max(T1+t15)=max(2+4)=6;• T6=max(T2+t26,T3+t36)=max(4+5,5+5)=max(9,10)=10;• T7=max(T3+t37)=max(5+1)=6;• T8=max(T3+t38,T5+t58)=max(5+6,6+6)=max(11,12)=1
2;• T9=max(T4+t49)=max(4+2)=6;• T10=max(T9+t9,10,T6+t6,10)=max(6+3,10+3)=max(9,13)
=13
97
0
1x
5x
6x
9x
1 0x
7x
1 1x
8x
3x
4x
2x
2
2
2 3
4
2
3 3
55
1
66
44
4
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 98/336
• T11=max(T7+t7,11,T8+t8,11,T10+t10,11)=max(6+4,12+4,13+4)=max(10, 16,17)=17.
Analog vom proceda pentru drumurile de lungimeminimă:• t0=0;• t1=min(t0+t01)=min(0+2)=2;• t2=min(t1+t12)=min(2+2)=4;• t3=min(t1+t13)=min(2+3)=5;• t4=min(t1+t14)=min(2+2)=4;• t5=min(t1+t15)=min(2+4)=6;• t6=min(t2+t26,t3+t36)=min(4+5,5+5)=min(9,10)=9;• t7=min(t3+t37)=min(5+1)=6;• t8=min(t3+t38,t5+t58)=min(5+6,6+6)=min(11,12)=11;• t9=min(t4+t49)=min(4+2)=6;• t10=min(t9+t9,10,t6+t6,10)=min(6+3,9+3)=min(9,12)=12;• t11=min(t7+t7,11,t8+t8,11,t10+t10,11)=min(6+4,11+4,12+4)=
min(10,15, 16)=10.
3) Drumul critic între x0 şi x11 se obţine astfel:• Durata critică T11 este 17 şi este obţinută din T10+t10,11
deci ultimul arc este (x10,x11);• T10 este obţinută din T6+t6,10 deci arcul anterior este
(x6,x10);• T6 este obţinută din T3+t36 deci arcul anterior este
(x3,x6);• T3 este obţinută din T1+t13 deci arcul anterior este
(x1,x3);• T1 este obţinută din T0+t01 deci arcul anterior este
(x0,x1).Prin urmare drumul critic este: (x0,x1), (x1,x3),
(x3,x6), (x6,x10), (x10,x11).Activităţile critice sunt deci: x1, x3, x6, x10 şi x11.
4) Avem:
• M11=17;98
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 99/336
• M10=min(M11-t10,11)=17-4=13;• M9=min(M10-t9,10)=13-3=10;
• M8=min(M11-t8,11)=17-4=13;• M7=min(M11-t7,11)=17-4=13;• M6=min(M10-t6,10)=13-3=10;• M5=min(M8-t58)=13-6=7;• M4=min(M9-t49)=10-2=8;• M3=min(M6-t36,M7-t37,M8-t38)=min(10-5,13-1,13-
6)=min(5,12,7)=5;• M2=min(M6-t26)=10-5=5;• M1=min(M2-t12,M3-t13,M4-t14,M5-t15)=min(5-2,5-3,8-
2,7-4)=min(3,2, 6,3)=2;• M0=min(M1-t01)=2-2=0.5) Din 2) şi 4) obţinem intervalele de flotare date înurmătorul tabel:
Activitatea Intervalul deflotare
x1 [2,2]x2 [4,5]x3 [5,5]x4 [4,8]x5 [6,7]x6 [10,10]x7 [6,13]
x8 [12,13]x9 [6,10]x10 [13,13]x11 [17,17]
Se observă că intervalele care se reduc la un punctsunt cele corespunzătoare drumului critic. Prin urmareevenimentele critice trebuie să aibă dată fixă de realizare.
99
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 100/336
6) Pentru rezerva totală avem:• R t(x0,x1)=M1-M0-t01=2-0-2=0;
• R t(x1,x2)=M2-M1-t12=5-2-2=1;• R t(x1,x3)=M3-M1-t13=5-2-3=0;• R t(x1,x4)=M4-M1-t14=8-2-2=4;• R t(x1,x5)=M5-M1-t15=7-2-4=1;• R t(x2,x6)=M6-M2-t26=10-5-5=0;• R t(x3,x6)=M6-M3-t36=10-5-5=0;• R t(x3,x7)=M7-M3-t37=13-5-1=7;• R t(x3,x8)=M8-M3-t38=13-5-6=2;• R t(x4,x9)=M9-M4-t49=10-8-2=0;• R t(x5,x8)=M8-M5-t58=13-7-6=0;• R t(x6,x10)=M10-M6-t6,10=13-10-3=0;• R t(x7,x11)=M11-M7-t7,11=17-13-4=0;• R t(x8,x11)=M11-M8-t8,11=17-13-4=0;• R t(x9,x10)=M10-M9-t9,10=13-10-3=0;• R t(x10,x11)=M11-M10-t10,11=17-13-4=0.
Pentru rezerva liberă avem:• R l(x0,x1)=T1-T0-t01=2-0-2=0;• R l(x1,x2)=T2-T1-t12=4-2-2=0;• R l(x1,x3)=T3-T1-t13=5-2-3=0;• R l(x1,x4)=T4-T1-t14=4-2-2=0;• R l(x1,x5)=T5-T1-t15=6-2-4=0;• R l(x2,x6)=T6-T2-t26=10-4-5=1;• R l(x3,x6)=T6-T3-t36=10-5-5=0;• R l(x3,x7)=T7-T3-t37=6-5-1=0;• R l(x3,x8)=T8-T3-t38=12-5-6=1;• R l(x4,x9)=T9-T4-t49=6-4-2=0;• R l(x5,x8)=T8-T5-t58=12-6-6=0;• R l(x6,x10)=T10-T6-t6,10=13-10-3=0;• R l(x7,x11)=T11-T7-t7,11=17-6-4=7;• R l(x8,x11)=T11-T8-t8,11=17-12-4=1;
100
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 101/336
• R l(x9,x10)=T10-T9-t9,10=13-6-3=4;• R l(x10,x11)=T11-T10-t10,11=17-13-4=0.
Pentru rezerva sigură avem:• R s(x0,x1)=T1-M0-t01=2-0-2=0;• R s(x1,x2)=T2-M1-t12=4-2-2=0;• R s(x1,x3)=T3-M1-t13=5-2-3=0;• R s(x1,x4)=T4-M1-t14=4-2-2=0;• R s(x1,x5)=T5-M1-t15=6-2-4=0;• R s(x2,x6)=T6-M2-t26=10-5-5=0;• R s(x3,x6)=T6-M3-t36=10-5-5=0;• R s(x3,x7)=T7-M3-t37=6-5-1=0;• R s(x3,x8)=T8-M3-t38=12-5-6=1;• R s(x4,x9)=T9-M4-t49=6-8-2=-4;• R s(x5,x8)=T8-M5-t58=12-7-6=-1;
• R s(x6,x10)=T10-M6-t6,10=13-10-3=0;• R s(x7,x11)=T11-M7-t7,11=17-13-4=0;• R s(x8,x11)=T11-M8-t8,11=17-13-4=0;• R s(x9,x10)=T10-M9-t9,10=13-10-3=0;• R s(x10,x11)=T11-M10-t10,11=17-13-4=0.
TEORIA STOCURILOR.
TEORIA AŞTEPTĂRII
1. Teoria stocurilor
101
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 102/336
I. IntroducereTeoria stocurilor este de o importanţă aparte în
cadrul proceselor economice. Un stoc reprezintă orezervă de produse economice ce este destinată vânzăriicătre terţi sau utilizării acesteia în cadrul proceselor de prelucrare industrială. Stocurile pot fi de mărfuri, dematerii prime, de piese de schimb etc. Este evident căstocurile apar întotdeauna atunci când producţia(achiziţionarea) mărfurilor, materiilor prime etc.depăşeşte livrarea (vânzarea) acestora. În generalconstituirea de stocuri poate avea mai multe cauze.Stocurile pot fi constituite pentru asigurarea continuităţii producţiei sau, de exemplu, a desfacerii continue demărfuri într-un magazin ceea ce reprezintă un aspect pozitiv al acestora (dacă sunt evident în limite rezonabile)sau se pot constitui din cauza unei proaste politicimanageriale a firmei. Oricum, trebuie remarcat că
stocurile, în general, atât timp cât nu intră în circuit rămânneproductive. Este evident că pentru elaborarea unui planoptim de creare a stocurilor trebuie analizaţi mai mulţifactori esenţiali. Primul ar fi cererea de produs într-oanumită perioadă de timp. Al doilea factor este posibilitatea de aprovizionare cu produsul în cauză într-un anumit interval de timp. Este evident că o producţie prea mare va genera stocuri mari. Al treilea factor este
capacitatea de stocare a firmei respective şi costurile destocare. Dacă, în general, ultimul factor este cunoscut cu precizie el depinzând de spaţiile proprii sau închiriate alefirmei, ceilalţi doi factori sunt de regulă aleatori.Producţia produsului poate fi influenţată de o serie defactori externi cum ar fi blocaje în circuitele economice,dificultăţi financiare ale furnizorilor etc. De asemenea,cererea de produs poate fi aleatoare dar poate fi
102
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 103/336
determinată prin metode statistice. Stocurile prezintă oserie de avantaje şi dezavantaje. Din punct de vedere al
avantajelor acestea au rolul de a regulariza cererile de produse de pe piaţă prin intermediul unor depozitetampon între cerere şi ofertă. Dezavantajele majore alestocurilor rezidă în faptul că ele presupun cheltuieli destocare adică de depozitare, întreţinere etc. De asemenea,în unele cazuri apar pierderi datorită deprecierii bunurilor stocate.
Problema stocurilor este strâns legată de cea a producţiei în cadrul unei întreprinderi. Astfel, din punctde vedere al producţiei propriu-zise, întreprinderiletrebuie să producă un număr cât mai mare de bunuri, dar pe de altă parte din punctul de vedere al desfaceriiacestora pe piaţă trebuie să se ţină seama de cerereaacesteia.
Este evident că stocurile unei întreprinderii sunt
variabile în timp depinzând în mod esenţial de intrările şide ieşirile acestora.Fie în cele ce urmează c(x) costul de producţie
pentru o cantitate x care intră în stoc. Fie de asemeneacostul de stocaj constituit din totalitatea costurilor apărute în urma întreţinerii, depozitării, deprecierii etc.asupra bunurilor stocate.
De asemenea, într-o analiză economică exhaustivă
trebuie să se ţină seama de costurile de penurie carereprezintă cheltuieli suplimentare datorită onorării unor cereri în regim de urgenţă datorate stocurilor insuficiente. II. Model general de stoc
Să presupunem acum că perioada de analiză astocurilor va fi împărţită în n perioade egale de timp.Vom nota în cele ce urmează:
103
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 104/336
• Ik – mărimea stocului la începutul perioadei k ,1≤ k ≤ n;
• Lk – mărimea stocului în perioada k după intrările demărfuri în stoc din această perioadă;
• Sk – stocul intrat în perioada k;• Ck – cantitatea de bunuri ieşite din stoc în perioada k.
Cum Lk este compus din stocul de la începutul perioadei plus stocul intrat în timpul acesteia rezultă că:
Lk =Ik +Sk ∀1≤ k ≤ nDe asemenea, după ieşirea Ck de bunuri în timpul
perioadei k vom avea la începutul perioadei următoarecantitatea Lk -Ck . Avem deci:
Ik+1=Lk -Ck ∀1≤ k ≤ nSă considerăm acum cererea de bunuri în perioada
k pe care o vom nota cu Bk . Dacă Bk ≤ Lk atunci vom presupune că Bk =Ck .
Condiţia ca Bk ≤ Lk ∀1≤ k ≤ n poate fi luată în
consideraţie în cazul unei cereri de produse determinateanterior dar este practic imposibil de determinat dacăaceasta este aleatoare. În cazul în care Bk ≥ Lk vomintroduce costul de penurie P(Bk -Lk ). Avem de asemeneaîn această situaţie:
Ik+1=max(0,Lk -Bk ) ∀1≤ k ≤ nDacă presupunem acum că perioada de analiză a
stocurilor nu poate fi împărţită în perioade egale de timpvom nota în cele ce urmează:• I(t) – mărimea stocului la momentul de timp t;• S(t) – densitatea bunurilor intrate la momentul t;• C(t) – densitatea bunurilor ieşite din stoc la momentul
t.Avem deci:
104
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 105/336
dt
)t(dI=S(t)-C(t)
sau altfel:
I(t)=I(0)+ ∫ −t
0
dx))x(C)x(S(
unde I(0) reprezintă stocul la momentul de timp iniţialt=0. III. Model de stoc pentru o perioadă unică
Vom consideră în cele ce urmează situaţia în care
bunurile stocate pot fi păstrate pe o durată maximă detimp mai mică decât cea luată în considerare (cazul bunurilor perisabile).
Să considerăm deci H(Lk ) costul stocării uneicantităţi de bunuri Lk , cu E(Lk -Bk ) costul de lichidare astocului la sfârşitul perioadei k şi cu P(Bk -Lk ) costul de penurie care poate apărea în cazul unei cereri excedentareşi deci implica o creştere a costurilor pentru satisfacereaacesteia în regim de urgenţă. Considerând preţul unitar devânzare u a bunului stocat vom obţine deci un beneficiuîn perioada k:
Zk =u(Bk -max(0,Bk -Lk ))-c(Sk )-P(Bk -Lk )-H(Lk )-E(Lk -Bk ) Ne propunem determinarea lui Sk astfel încât să se
obţină maximul beneficiului Zk dacă cererea Bk luată înconsideraţie este în cazul unei cereri de produse
determinată anterior. În situaţia unei cereri aleatoare vomconsidera beneficiul mediu corespunzător lui Zk . Notândacum P (Bk -Lk )=P(Bk -Lk )+ u⋅ max(0,Bk -Lk ) obţinem:
Zk =uBk -c(Sk )-P (Bk -Lk )-H(Lk )-E(Lk -Bk )Cum primul termen nu-l conţine pe Sk problema
se reduce la determinarea minimului funcţiei:Pk (Sk ,Ik )=c(Sk )+P (Bk -Lk )+H(Lk )+E(Lk -Bk )
care reprezintă pierderea totală.
105
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 106/336
IV. Modelul Wilson-WhitinNoţiuni teoretice
Vom presupune că livrările de produs au locconstant şi uniform la momente de timp echidistante.Vom mai presupune de asemenea că toate comenzile suntfăcute la momente de timp echidistante şi având acelaşivolum al cererii.
Să notăm cu c costul constant de comandă (cost
specific comenzii şi nu cantităţii comandate), cu h costulde stocare pe unitate de produs (constând din cheltuieli
de depozitare, întreţinere, perisabilităţi etc.) considerat proporţional cu nivelul maxim al stocului şi cu u costulunitar de achiziţie. Fie C comanda totală într-o perioadăde timp T şi x volumul unei comenzi. Avem deci că
numărul comenzilor în timpul T este n=x
C. Timpul scurs
între două comenzi succesive va fi t=n
T=C
Tx. Costul de
stocare va fi deci2
hxT. Costul total al comenzilor
efectuate în timpul T va fi suma dintre costul total de
achiziţie şi costurile de comandă deci: uC+cn=uC+x
cC.
Costul total va fi în final suma dintre costul comenzilor şicel al cheltuielilor de stocare. Avem deci:
C(x)=2
hTx
x
cCuC ++
Problema se reduce la determinarea punctului deminim al funcţiei x→C(x). Calculând derivata C’(x) şianulând-o, obţinem:
hT
cC2x0
2
hT
x
cC)x('C o2
=⇒=+−=
106
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 107/336
numită formula lui Wilson. Obţinem, de asemenea:
c2
hTC
x
Cn
0o
==şi hC
cT2
C
Tx
t
0
o ==Aplicaţii1. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 10.000 de bucăţi. Costul unitar destocaj este 10 lei pe zi. Costul constant de comandă estede 10.000 lei. Să se stabilească timpul optim între douăcomenzi succesive şi volumul unei comenzi.
Soluţie Din formula lui Wilson avem:5,873
1000010
365100002to ==
⋅⋅⋅
= şi
23436510
10000100002xo =
⋅⋅⋅
= .
2. Într-o unitate economică cererea lunară pentru unanumit produs este de 1.000 de bucăţi. Costul unitar de
stocaj este 20 lei pe zi. Costul constant de comandă estede 10.000 lei. Să se stabilească timpul optim între douăcomenzi succesive şi volumul unei comenzi.Soluţie Din formula lui Wilson avem:
5,5100020
30100002to =
⋅⋅⋅
= şi 183020
1000100002xo =
⋅⋅⋅= .
3. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 4.500 de bucăţi. Costul unitar de
stocaj este 1.000 lei pe lună. Costul constant de comandăeste de 10.000 lei. Să se determine volumul unei comenzi.Soluţie Din formula lui Wilson avem:
87121000
4500100002xo =
⋅⋅⋅
= .
V. Model cu cost de penurieNoţiuni teoretice
107
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 108/336
În ipotezele din secţiunea anterioară, vom presupune că în cazul neonorării cererilor de produse din
cauza stocurilor insuficiente apare un cost de penurie p peunitatea de timp.Să considerăm că în perioada de timp [0,T] apare
o întrerupere în stoc până la un moment de timp t.Vom împărţi acum intervalul de timp [0,t] (în care
apare situaţia de penurie) în două părţi: [0,t’] în carenivelul stocului este pozitiv şi [t’,t”] în care acesta devine
negativ. Fie de asemenea x’ maximul stocului înintervalul [0,t’] şi x” maximul cererii în [t’,t]. Pentru ca lamomentul de timp t să obţinem din nou nivelul stoculuix’ va trebui să fie produse x=x’+x” unităţi de produs.
Avem deci: t’=x
'tx, t-t’=
x
t)'xx( −. Costul de stocare în
perioada [0,T] va fi deci de:
x2
'hTx
t2
' Tt
'hx
2
=Costul de penurie în intervalul [0,T] va fi de:
x2
)'xx(pT
t2
)'tt( T)'xx(p
2−=
−−
unde p este costul de penurie pe unitatea de produs.Costul total al comenzilor efectuate în intervalul
de timp [0,T] va fi de:
xcCuC+
Prin urmare, costul total în intervalul de timp [0,T] va fide:
x2
)'xx(pT
x2
'hTx
x
cC)'x,x(C
22 −++=
108
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 109/336
unde neglijăm costul constant al comenzilor uC. Pentruobţinerea punctului de minim rezolvăm sistemul
caracteristic:
=−
−=∂
∂
=−
+−−=∂
∂
0x
)'xx(pT
x
'hTx
'x
)'x,x(C
0x2
)'xx(pT
x2
'hTx
x
cC
x
)'x,x(C2
22
2
2
2
de unde:
=+−=+−0' Tx)ph(pTx
cC2' Tx)ph(pTx 22
în final, obţinând:
+=
+
=
+=+
=
p
h1
hx
cT2t
ph1
1
hT
cC2'x
p
h1
hT
cC2
phT
)ph(cC2x
Aplicaţii1. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 5.000 de bucăţi. Costul unitar de
stocaj este 1.000 lei pe lună. Costul constant de comandăeste de 10.000 lei iar costul de penurie este de 1.000 lei pe bucată. Să se determine maximul stocului în această perioadă, cantitatea comandată şi timpul optim între douăcomenzi consecutive.Soluţie Avem c=10.000 lei, h=1.000 lei/buc., C=5.000 buc., p=1000 lei/buc., T=365zile.Deoarece: x1=
109
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 110/336
p
h1
1
hT
cC2
+
rezultă x1=1000
1000
1
1
3651000
5000100002
+
⋅⋅⋅
=
12 bucăţi. Avem, de asemenea, x=p
h1
hT
cC2+ =
1000
10001
3651000
5000100002+
⋅⋅⋅
=
23 bucăţi. Timpul optim între două comenzi consecutive
este: t= p
h
1hx
cT2
+ = 1000
1000
1231000
365100002
+⋅⋅⋅
=25zile.2. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 10.000 de bucăţi. Costul unitar destocaj este 500 lei pe lună. Costul constant de comandăeste de 20.000 lei iar costul de penurie este de 500 lei pe bucată. Să se determine maximul stocului în această
perioadă, cantitatea comandată şi timpul optim între douăcomenzi consecutive.Soluţie Avem c=20.000 lei, h=500 lei/buc., C=10.000 buc., p=500 lei/buc., T=365zile.Deoarece: x1=
p
h1
1
hT
cC2
+ rezultă x1=500
5001
1
365500
10000200002
+⋅
⋅⋅=
33 bucăţi. Cantitatea comandată este :x= ph1
hTcC2 + =
500
5001
365500
10000200002+
⋅⋅⋅
=66 bucăţi. Avem, de
asemenea, t=p
h1
hx
cT2 + =
110
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 111/336
500
5001
66500
365200002+
⋅⋅⋅
=30 zile.
2. Teoria aşteptării
I. IntroducereTeoria aşteptării este una dintre cele mai
interesante în cadrul fenomenelor de optimizare şi derentabilizare ale unei firme.O situaţie de aşteptare presupune mai mulţi
factori. Pe de o parte, avem un flux de clienţi (solicitanţiai unui serviciu). Putem cita astfel clienţii care stau în faţaunei case de marcat într-un magazin alimentar, avioanelecare aşteaptă aterizarea pe o pistă dintr-un aeroport şimulte altele. De asemenea, trebuie luat în consideraretimpul de serviciu (constant sau aleator) care reprezintădurata de servire a unui client. Capacitatea sistemului deaşteptare reprezintă maximul numărului de clienţi care pot fi serviţi simultan. De asemenea, trebuie luată înconsiderare situaţia în care clientul părăseşte sistemuldupă servire sau trece la un alt punct de serviciu până laepuizarea acestora (servire în serie). Un ultim aspect
general care trebuie tratat este cel al ordinii de servire.Astfel, servirea se poate face după regula “primul sosit, primul servit” sau uneori “ultimul venit, primul servit”.Uneori însă, servirea se poate face aleator.
Fie pentru cele ce urmează următoarele notaţii:• λ - numărul mediu de sosiri în unitatea de timp;• µ - durata medie de servire pentru o staţie de servire;• s - numărul staţiilor de servire;
111
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 112/336
• l - numărul staţiilor de servire libere;• n - numărul clienţilor din sistemul de aşteptare;
• ρ =sµλ - intensitatea de trafic (numărul mediu de
clienţi care sosesc în timpul mediu de servire);• Pn(t) - probabilitatea ca la momentul t să existe n
clienţi în sistemul de aşteptare;
• pn= )t(Plim nt ∞→ - probabilitatea ca să existe n clienţi în
sistemul de aşteptare;
• Ms=∑∞
=0nnnp - numărul mediu de clienţi în curs de
servire sau în aşteptare;
• Ma= ∑∞
=−
snnp)sn( =Ms-s+l - numărul mediu de clienţi
în aşteptare;• Tm - timpul mediu de aşteptare în sistem;• Ts - timpul mediu de aşteptare pentru o staţie de
servire;• V(t) - funcţia de repartiţie a duratelor de timp între
două sosiri consecutive;• S(t) - funcţia de repartiţie a duratelor de timp de
servire;• v(t), s(t) - densităţile de repartiţie ale lui V respectiv S.
II. Model general pentru o singură staţie de serviciuNoţiuni teoretice
Vom considera în cele ce urmează o singură staţiede serviciu (s=1) şi vom presupune că provenienţaclienţilor este dintr-o populaţie infinită. Vom presupune
112
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 113/336
de asemenea că distribuţiile V şi S sunt de tip exponenţialde parametri λ ,µ >0. Avem deci:
v(t)=λ e-λ
t, s(t)=µ e-µ
t ∀t≥ 0Vom presupune acum că în sistemul de aşteptare
sunt n clienţi la momentul t+h, h>0. Fie următoareleevenimente: A=”soseşte un client nou”, B=”un client esteservit”. Avem P(A)=V(h), P(A )=1-V(h), P(B)=S(h),P(B )=1-S(h). În intervalul de timp (t,t+h) avemurmătoarele situaţii:• la momentul t avem în sistem n-1 clienţi şi soseşte un
client nou. Probabilitatea acestui eveniment A∩ B este P(A∩ B )=P(A)P(B )= V(h)(1-S(h));
• la momentul t avem n clienţi în sistem şi nu soseştenici-un client nou. Avem P(A ∩ B )=P(A )P(B)=(1-V(h))(1-S(h));
• la momentul t avem n+1 clienţi în sistem, unul esteservit şi nu soseşte nici-unul. Avem: P(A ∩B)=P(A
)P(B)=(1-V(h))S(h).Prin urmare, probabilitatea ca la momentul t+h să
avem n clienţi în sistemul de aşteptare este:Pn(t+h)=Pn-1(t)V(h)(1-S(h))+Pn(t)(1-V(h))(1-S(h))+Pn+1(t)
(1-V(h))S(h)Avem însă:
λ=
−λ
−=
−=λ==
→
→
λ−
→
λ−
→→→ ∫ ∫
u
1elim
lim
h
elimdte
h
1limdt)t(v
h
1lim
h
)h(Vlim
u
0u
0h
h
0
t
0h
h
0
t
0h
h
00h0h
113
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 114/336
µ=
−µ
−=
−=µ==
→
µ−
→
µ−
→
µ−
→→→ ∫ ∫
u
1elim
h
elim
h
elimdte
h
1limdt)t(s
h
1lim
h
)h(Slim
u
0u
h
0h
h
0
t
0h
h
0
t
0h
h
00h0h
00hlimh
)h(Slim
h
)h(Vlimh
h
)h(S
h
)h(Vlim
h
)h(S)h(Vlim
0h0h0h0h0h=λ µ===
→→→→→
Avem însă:
)t(P)t(P)()t(P
h
)h(S)h(V)h(Slim)t(P
h
)h(S)h(V)h(V)h(Slim)t(P
h
)h(S)h(V)h(Vlim)t(P
h
)t(P)ht(Plim
dt
)t(dP
1nn1n
0h1n
0hn
0h1n
nn
0h
n
+−
→+→
→−→
µ+µ+λ−λ
=−
++−−
+−
=−+
=
Cum 0dt
)t(dPlim n
t=
∞→rezultă că:
λ pn-1-(λ +µ )pn+µ pn+1=0 ∀n≥ 1
Pentru n=0, avem asemănător:-λ p0+µ p1=0
Deoarece 1)t(P0n
n =∑∞
=rezultă că:
1p0n
n =∑∞
=
Avem acum: p1=µλ
p0=ρ p0. De asemenea: λ p0-(λ +µ )p1+µ p2=0 de unde:
p2= 0
2
0010 pp)1(ppp ρ=ρρ++ρ−=µ
µ+λ+
µλ
−
Obţinem prin inducţie că: pn=ρ n p0 ∀n≥ 0. Din condiţia
ca: 1p0n
n=∑
∞
=rezultă:
114
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 115/336
ρ−=ρ= ∑
∞
= 1
1pp1 0
0n0
nde unde: p0=1-ρ . Prin urmare:
pn=ρ n(1-ρ ) ∀n≥ 0
Avem acum Ms=∑∞
=0nnnp =
ρ−ρ
=ρρ−=ρ−ρ ∑∑∞
=
∞
= 1n)1()1(n
0n
n
0n
n,
iar Ma=
∑
∞
=
−sn n
p)sn( =ρ−
ρ
1
2
. Din relaţia Ma=Ms-s+l
rezultă că numărul mediu al staţiilor de serviciuneocupate este l=1-ρ .
De asemenea: Tm=)1(
1
ρ−µ iar Ts =)1( ρ−µ
ρ.
Să considerăm în continuare condiţia suplimentarăca şirul de aşteptare să nu conţină mai mult de m clienţi.
Aceasta se poate rezolva impunând condiţia ca în cazul încare există m clienţi în şirul de aşteptare şi mai soseşteunul, acesta să părăsească şirul fără să mai fie servit.
În acest caz, avem:λ pn-1-(λ +µ )pn+µ pn+1=0 ∀n≥ 1
Pentru n=0, avem asemănător:-λ p0+µ p1=0
Deoarece 1)t(P
m
0nn =∑= rezultă că:
1pm
0nn =∑
=
Avem acum: p1=µλ
p0=ρ p0. De asemenea: λ p0-
(λ +µ )p1+µ p2=0 de unde:
115
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 116/336
p2= 0
2
0010 pp)1(ppp ρ=ρρ++ρ−=µ
µ+λ+
µλ
−
Obţinem prin inducţie că: pn=ρ n p0 ∀n≥ 0. Din condiţia
ca: 1pm
0nn=∑
=rezultă:
ρ−ρ−
=ρ=+
=∑
1
1pp1
1m
0
m
0n0
n de
unde: p0= 1m1
1+ρ−
ρ−. Prin urmare:
pn=ρ n1m1
1+ρ−
ρ− ∀n≥ 0
Avem acum Ms=∑=
m
0nnnp =
∑∑=
+=
+ρ
ρ−ρ−
=ρ−
ρ−ρ
m
0n
n
1m
m
0n1m
n n1
1
1
1n .
Dar ∑=
ρm
0n
nn =ρ +2ρ 2+...+mρ m=(ρ +ρ 2+...+ρ m)+
(ρ 2+...+ρ m)+...+(ρ m-1+ρ m)+ρ m==
ρ−ρ−
ρ+ρ−
ρ−ρ++
ρ−ρ−
ρ+ρ−
ρ−ρ −
−
1
1
1
1...
1
1
1
1 m2
1m1m
2m
( )
2
m
2
2m1m
2
2m1m1m
1mm
1mm2
)1(
)1m(1
)1(
m)1m(
)1(
mm
m1
1
1
1m...
1
1
ρ−+ρ+−
ρ=ρ−
ρ+ρ+−ρ=
ρ−ρ+ρ−ρ−ρ
=
ρ−
ρ−ρ−
ρρ−
=ρ−ρ++ρ+ρρ−
+++++
++
de unde Ms=)1)(1(
m)1m(11m
1mm
+
+
ρ−ρ−ρ+ρ+−
ρ , iar Ma=
∑=
−m
snnp)sn( =
)1)(1(
)1m()m1(m
m1m2
ρ−ρ−ρ−+ρ−
ρ−
.
116
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 117/336
Aplicaţii1. Într-un magazin cu două case de marcat, numărul de
clienţi poate fi arbitrar de mare. Într-o oră, numărulmediu de clienţi care sosesc este de 120, durata medie deservire fiind de 2 minute.1) Să se determine numărul mediu de clienţi în curs de
servire sau în aşteptare;2) Să se determine numărul mediu de clienţi în aşteptare;3) Timpul mediu de aşteptare;4) Timpul mediu de aşteptare pentru o staţie de servire.
Soluţie Avem λ =60
120=2, µ =2 minute, s=2. Avem că
intensitatea de trafic este
ρ =sµλ
=22
2
⋅ =2
1iar l=1-ρ =
2
1=0,5 staţii de servire
libere.
1) Ms= ρ−ρ1 =
2
112
1
−=1. 2) Avem Ma=Ms-s+l=1-2+
21
=-2
1. 3) Tm=
)1(
1
ρ−µ =
−
2
112
1
=1 minut. 4) Ts=
)1( ρ−µ ρ =
−
2
1122
1
=30 secunde.
2. Într-un magazin cu patru case de marcat, numărul declienţi poate fi arbitrar de mare. Într-o oră, numărulmediu de clienţi care sosesc este de 240, durata medie deservire fiind de 2 minute.
117
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 118/336
1) Să se determine numărul mediu de clienţi în curs deservire sau în aşteptare;
2) Să se determine numărul mediu de clienţi în aşteptare;3) Timpul mediu de aşteptare;4) Timpul mediu de aşteptare pentru o staţie de servire.
Soluţie Avem λ =60
240=4, µ =2 minute, s=4. Avem că
intensitatea de trafic este ρ =sµλ
=42
4
⋅=0,5 iar l=1-
0,5=0,5 staţii de servire libere. 1) Ms= ρ−
ρ1 = 5,01
5,0
− =1.
2) Avem Ma=Ms-s+l=1-4+0,5=-2,5. 3) Tm=)1(
1
ρ−µ =
)5,01(2
1
− =1 minut.
4) Ts= )1( ρ−µρ
=)5,01(2
5,0
− =30 secunde.
3. Într-un magazin cu două case de marcat, numărul declienţi care stau la coadă nu poate fi mai mare de 2. Într-ooră, numărul mediu de clienţi care sosesc este de 240,durata medie de servire fiind de 2 minute.1) Să se determine numărul mediu de clienţi în curs de
servire sau în aşteptare;2) Să se determine numărul mediu de clienţi în aşteptare.
Soluţie Avem λ = 60
240
=4, µ =2 minute, s=2, m=2.
Avem că intensitatea de trafic este ρ =sµλ
=42
4
⋅=0,5 iar
l=1-0,5=0,5 staţii de servire libere.
1) Ms=)1)(1(
m)1m(11m
1mm
+
+
ρ−ρ−ρ+ρ+−
ρ =)5,01(5,0
5,025,0315,0
3
32
−⋅⋅+⋅−
=0,57.
118
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 119/336
2) Avem: Ma=)1)(1(
)1m()m1(m
m1m2
ρ−ρ−ρ−+ρ−
ρ−
=
)5,01(5,0
5,05,05,0
2
22
−⋅+−
=-0,17.
ALOCAREA RESURSELOR UMANE
Problemele de alocare apar de obicei în procesul
repartizării sarcinilor de îndeplinit angajaţilor dintr-o întreprindere.
1. Alocarea optimă a angajaţilor pe lucrări deexecutat
Noţiuni teoreticeFie A1,...,An persoanele care sunt desemnate să
execute lucrările L1,...,Lm. Din cauza calificării diferite afiecărui angajat, acesta poate executa numai anumitelucrări.
Problema constă în repartizarea angajaţilor peactivităţi astfel încât să se poată realiza în total cât maimulte lucrări.
Fie deci f:{A1,...,An}→P {L1,...,Lm}, f(Ai)=
k1 ii L,...,L ∀i=1,...,n funcţia care repartizează
angajatului Ai lucrărilek1ii
L,...,L
pe care acesta estecapabil să le execute. Vom presupune ipoteza
suplimentară că n1i
i )A(f =
={L1,...,Lm} sau altfel spus
totalitatea angajaţilor este capabilă să execute totalitatealucrărilor. În caz contrar, vom considera numai lucrările
Li ce fac parte dinn
1ii )A(f
=.
119
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 120/336
Apar acum trei situaţii:1. Dacă n=m atunci fiecărui angajat îi va fi repartizată în
mod unic o lucrare şi deci problema este rezolvată.2. Dacă n>m atunci vor exista angajaţi care nu vor firepartizaţi la nici-o lucrare.
3. Dacă n<m atunci vor rămâne lucrări descoperite şideci se pune problema alocării fiecărui angajat a uneilucrări astfel încât numărul acestora să fie maxim. Nevom ocupa în continuare de această problemă.
Pentru soluţionarea acestei probleme, săconsiderăm graful orientat a cărui mulţime de noduri esteansamblul angajaţilor şi a lucrărilor adică{A1,...,An,L1,...,Lm} şi ale cărui arce sunt date de funcţia f.Vom avea deci un arc de la Ai la L j dacă angajatul i poateexecuta lucrarea j.
Vom exemplifica acest fenomen pe următorul:Exemplu
Fie angajaţii A1,A2,A3,A4,A5,A6 şi lucrărileL1,L2,L3,L4,L5,L6,L7 a căror posibilitate de execuţie estedată în tabelul nr.1.
Tabelul nr.1Angajat Lucrare posibil de
executat
A1 L1,L3,L7
A2 L1,L2,L4
A3 L2,L4,L6
A4 L1,L4,L7
A5 L4,L5
A6 L5,L6
Graful obţinut este dat în figura 16.
120
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 121/336
Un graf analog celui din figura 16 se numeşte graf simplu sau graf bipartit. Mai general, un graf simplu este
un graf G=(X,U) a cărui mulţime de noduri se partiţionează sub forma X=A∪B astfel încât∀(x,y)∈U⇒x∈A, y∈B.
Fig.16Considerând matricea asociată grafului G=(X,U)
unde X={x1,...,xn} definită astfel: M=(aij) unde: aij=
∉∈U)x,(xdaca0
;U)x,(xdaca1
ji
ji
rezultă că graful este simplu dacă
şi numai dacă după o eventuală renumerotare a nodurilor (echivalentă cu permutarea liniilor şi coloanelor
corespondente) matricea M are structura:
121
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 122/336
M=
n
1i
i
1
in1ii
n11i1
n1ii1
x
...
x
x
...
x
0...00...0
..................
0...00...0
a...a0...0
..................
a...a0...0
x...xx...x
+
+
+
+
Astfel graful din fig.16, are următoarea matrice
asociată: M=
7
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
7L6L5L4L3L2L1L 6A5A4A3A2A1A
L
L
L
L
L
L
L
A
A
A
A
A
A
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0110000000000
0011000000000
1001001000000
0101010000000
0001011000000
1000101000000
deci este într-adevăr un graf simplu.Pentru simplificarea lucrurilor se poate considera
submatricea:
122
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 123/336
M'=
i
1
in1ii
n11i1
n1i
x
...
x
a...a
.........
a...a
x...x
+
+
+
.
Pentru graful din fig.16 aceasta devine:
M'=
6
5
4
3
2
1
7L6L5L4L3L2L1L
A
A
A
A
A
A
0110000
0011000
1001001
0101010
0001011
1000101
Fiind dat un graf simplu G=(A∪B,U) vom numi,de asemenea, cuplaj al lui X⊂A pe Y⊂B dacă există o
aplicaţie bijectivă f:X→Y astfel încât (x,f(x))∈U ∀x∈X.Din cauza injectivităţii, rezultă că dacă x≠ y⇒f(x)≠ f(y)deci arcele cuplajului nu sunt adiacente. Arcele unuicuplaj se numesc arce dure, celelalte arce ale grafuluinumindu-se arce fine. Cuplajul cu un număr maxim dearce se numeşte maximal .1. Teoremă ( König-Hall ) Fiind dat un graf simplu
G=(A∪B,U) există un cuplaj de la A la Bdacă şi numai dacă ∀X⊂A rezultăcard{y∈B
(x,y)∈U,x∈X}≥ card X.
Notând δ = AXmax
⊂ (card X-
card{y∈B(x,y)∈U,x∈X})-deficienţa grafului simpluG=(A∪B,U) rezultă, conform teoremei König-Hall căexistă un cuplaj de la A la B dacă şi numai dacă δ ≤ 0.
123
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 124/336
De asemenea, trebuie observat că dacă din fiecarenod al lui A pleacă cel puţin un arc, condiţiile teoremei
König-Hall sunt îndeplinite. Din punct de vederematriceal, teorema König-Hall are soluţie dacă şi numaidacă matricea asociată simplificată M' are cel puţin un 1 pe fiecare linie.
Problema enunţată are soluţie dacă şi numai dacăare loc teoremaKönig-Hall.
Determinarea unui cuplaj se poate face pematricea M' prin metoda colţului de nord-vest (o vomnumi astfel prin analogie cu metoda corespunzătoare problemei de transport din teoria optimizărilor liniare)astfel:Pe prima linie a matricei M' se caută un element egal cu
1. Dacă un astfel de element nu există atunci teoremaKönig-Hall nu este valabilă şi deci problema nu are
soluţie.Dacă am găsit un astfel de element pe linia 1 şi coloana jse taie această linie şi această coloană şi se reia procedeul de la început.
Dacă în final, am obţinut elemente pe toate liniilematricei M' atunci cuplajul este maximal.
În cazul nostru avem elementul de la intersecţialiniei A1 cu coloana L1 egal cu 1 deci arcul (A1,L1) este
dur. După tăierea primei linii şi a primei coloane matriceadevine:
124
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 125/336
M'1=
6
5
4
3
2
7L6L 5L4L 3L2L
A
A
A
A
A
011000
001100
100100
010101
000101
Considerăm acum elementul (A2,L2) care este egalcu 1 şi deci arcul (A2,L2) este dur. Matricea obţinută este:
M'2=
6
5
4
3
7L6L5L 4L3L
A
A
A
A
01100
00110
10010
01010
Următorul element egal cu 1 este (A3,L4) deciacest arc este dur. Avem:
M'3=
6
5
4
7L6L 5L3L
A
A
A
0110
0010
1000
Următorul arc dur este (A4,L7) de unde:
M'4=6
5
6L5L3L
A
A
110
010
Avem acum arcul dur (A5,L5) şi M'5= ( ) 6
6L3L
A10,
iar în final arcul dur (A6,L6) încheie algoritmul.
125
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 126/336
Alocarea angajaţilor pe lucrări este sugerată înfig.17 (cu linii îngroşate).
Considerând acum exemplul din fig.18 şi procedând ca mai sus, obţinem matricea:
126
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 127/336
M'=
6
5
4
3
2
1
7L6L5L4L3L2L1L
A
A
A
A
A
A
0110000
0001000
1001001
0100010
0001011
1000101
.
Fig.17Fig.18
127
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 128/336
şi deci arcele dure: (A1,L1), (A2,L2), (A3,L6), (A4,L4),(A6,L5). Cum lui A5 nu îi este repartizată nici-o lucrare
rezultă că este posibil ca acest cuplaj să nu fie maximal.O altă metodă de determinare a unui cuplaj iniţialconstă în desemnarea arcelor dure pe liniile care au celemai puţine elemente egale cu 1. Este evident că metodaurmăreşte alocarea mai întâi a angajaţilor cel mai puţindiversificaţi, lăsând la urmă pe cei cu pregătire mai vastă.Astfel, în cel de-al doilea exemplu, primul arc dur va fi(A5,L4), apoi (A2,L1), (A4,L7), (A1,L3), (A3,L2) şi (A6,L5).
Cuplajul este deci maximal.Dacă însă nici această metodă nu duce la un
cuplaj maximal, vom proceda la o schimbare arepartizării lucrărilor până când cuplajul va îndeplinicondiţia de maximalitate1.Pasul 1 Fie deci C1 cuplajul obţinut prin metoda colţuluide nord-vest: (A1,L1), (A2,L2), (A3,L6), (A4,L4), (A6,L5).
Pasul 2 Determinăm graful arcelor cuplajului C1 obţinutastfel: nodurile acestuia sunt arcele cuplajului C1, iar întredouă noduri (Ai,L j) şi (Ak ,L p) există un arc dacă există îngraful iniţial arcul (Ai,L p) deci care leagă extremitatea
1 Stancu-Minasian I.M., Studiul problemei de afectarefolosind teoria grafelor , Studii şi cercetări de calculeconomic şi cibernetică economică, 5, 1970
128
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 129/336
iniţială a lui (Ai,L j) de extremitatea terminală a lui(Ak ,L p). Obţinem deci graful din figura 19.
Fig.19Pasul 3 Se determină apoi relativ la mulţimea nodurilor saturate (acele noduri care sunt extremităţi ale arcelor
dure) mulţimile C1+ şi C1- a nodurilor grafului arcelor caresunt extremităţi terminale respectiv iniţiale ale arcelor acestuia ( fig.19).Pasul 4 Există două posibilităţi: dacă între C1+ şi C1- nuexistă nici-un drum atunci cuplajul C1 este maximal şialgoritmul se încheie. Dacă între C1+ şi C1- există un drumatunci se construieşte un lanţ alternat ( succesiune de arce
fine şi dure) cu originea într-unul din nodurile Ai rămasnealocat în cuplajul C1 urmărindu-se determinarea unuicuplaj C2 care să aibă un număr mai mare de arce înraport cu cuplajul anterior. Este evident că dacă C1+∩C1-
≠∅ atunci un astfel de drum există întotdeauna.
În cazul problemei noastre, fie (A2,L2)-(A4,L4)drumul căutat (care aparţine intersecţiei mulţimilor C 1+
şi C 1-). Avem următorul lanţ alternat: (A5,L4), (L4,A4),(A4,L1), (L1,A1), (A1,L7).
Vom considera drept nou cuplaj mulţimeaC2={(A5,L4), (A4,L1), (A1,L7), (A2,L2), (A3,L6), (A6,L5)}obţinută prin considerarea arcelor fine din lanţul alternatşi a arcelor dure rămase din C1.Pasul 5 Procedeul se continuă de la pasul 2 până laobţinerea fie a condiţiei din pasul 4, fie la determinareaunui număr maximal de arce.
În situaţia problemei prezentate, cum numărul dearce este maximal (6), aceasta este complet rezolvată.
Ca o observaţie, trebuie remarcat faptul căalocarea nu este, în general, unică. De asemenea,
algoritmul prezentat mai sus rămâne valabil şi dacă129
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 130/336
numărul angajaţilor este mai mare decât numărullucrărilor de executat.
Aplicaţii1. Fie într-o instituţie un număr de 7 salariaţi care suntdesemnaţi să execute 8 lucrări. Disponibilitateaacestora de a le executa este dată în tabelul nr.2
Tabelul nr.2Angajat Lucrare posibil de
executatA1 L1,L3,L5,L7
A2 L1,L3,L4,L8
A3 L2,L4,L6
A4 L2,L4,L7,L8
A5 L4,L5,L7
A6 L5,L6,L8
A7 L1,L3,L7,L8
Să se efectueze o distribuire a angajaţilor pe
lucrări astfel încât aceştia să execute un număr cât maimare de sarcini.Soluţie
Graful obţinut este dat în figura 20.Matricea M' asociată grafului este:
130
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 131/336
M'=
7
6
5
4
3
2
1
8L
7L
6L
5L
4L
3L
2L
1L
A
A
A
A
A
A
A
11000101
10110000
01011000
11001010
00101010
10001101
01010101
Fig.20
Pentru determinarea unui cuplaj iniţial vom aplicametoda liniilor cu cele mai puţine elemente de 1.Avem astfel pe linia a treia elementul (A3,L2).
Tăind linia şi coloana corespunzătoare, rezultă:
131
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 132/336
M'1=
7
6
5
4
2
1
8L7L6L5L4L3L1L
A
A
A
A
A
A
1100011
1011000
0101100
1100100
1000111
0101011
Următoarea alocare este (A4,L4) de unde:
M'2=
7
6
5
2
1
8L7L6L5L3L 1L
A
A
A
A
A
110011
101100
010100
100011
010111
Pe a treia linie avem numai două elemente egalecu 1 deci alocarea (A5,L5), matricea redusă devenind:
M'3=
7
6
2
1
8L
7L
6L
3L
1L
A
A
A
A
11011
10100
10011
01011
După alocarea (A6,L6) rezultă:
M'4=
7
2
1
8L7L3L1L
A
A
A
1111
1011
0111
Urmează (A1,L1) şi matricea:
132
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 133/336
M'5=
7
2
8L7L3L
A
A
111
101
De pe prima linie rezultă alocarea (A2,L3) şimatricea:
M'6= ( )7
8L7L
A11
iar în final, avem alocarea (A7,L7).
Alocarea angajaţilor pe lucrări este sugerată înfigura 21(cu linii îngroşate).
133
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 134/336
Fig.21Cuplajul obţinut fiind maximal problema este
încheiată.
2. Fie într-o instituţie un număr de 7 salariaţi care suntdesemnaţi să execute 8 lucrări. Disponibilitateaacestora de a le executa este dată în tabelul nr.3
Tabelul nr.3Angajat Lucrare posibil de
executatA1 L1,L3,L6
A2 L2,L3,L4,L5
A3 L5,L7
A4 L5,L6,L8
A5 L2,L3
A6 L2,L3
A7 L1,L3,L5
Să se efectueze o distribuire a angajaţilor pelucrări astfel încât aceştia să execute un număr cât mai
mare de sarcini.134
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 135/336
SoluţieGraful obţinut este dat în figura 22. Matricea M'
asociată grafului este:
M'=
7
6
5
4
3
2
1
8L
7L
6L
5L
4L
3L
2L
1L
A
A
A
A
A
A
A
00010101
00000110
00000110
10110000
01010000
00011110
00100101
Fig.22Pentru determinarea unui cuplaj iniţial vom aplica
metoda liniilor cu cele mai puţine elemente de 1.Avem astfel pe cea de-a treia linie elementul
(A3,L5). Tăind linia şi coloana corespunzătoare, rezultă:
135
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 136/336
M'1=
7
6
5
4
2
1
8L7L6L4L3L2L1L
A
A
A
A
A
A
0000101
0000110
0000110
1010000
0001110
0010101
Următoarea alocare este (A4,L6) de unde:
M'2=
7
6
5
2
1
8L7L4L3L2L 1L
A
A
A
A
A
000101
000110
000110
001110
000101
Pe prima linie avem numai două elemente egalecu 1 deci alocarea (A1,L1), matricea redusă devenind:
M'3=
7
6
5
2
8L7L4L3L 2L
A
A
A
A
00010
00011
00011
00111
După alocarea (A7,L3) rezultă:
136
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 137/336
M'4=
6
5
2
8L7L4L2L
A
A
A
0000
0001
0011
Urmează (A5,L2) şi matricea:
M'5=
6
2
8L7L4L
A
A
000
001
De pe prima linie rezultă alocarea (A2,L4) şi
matricea: M'6= ( ) 6
8L7L
A00.Alocarea angajaţilor pe lucrări
este sugerată în figura 23.Cum lui A6 nu îi este alocată nici-o activitate
rezultă că este posibil ca să nu avem maximalitatea
cuplajului obţinut.Fig.23
137
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 138/336
Vom determina deci graful arcelor cuplajuluiC1={(A3,L5), (A4,L6), (A1,L1), (A7,L3), (A5,L2), (A2,L4)}
( figura 24).Cum C1+∩C1-≠∅ rezultă că există un drum între
ele. Vom căuta deci un lanţ alternat care să măreascănumărul de arce dure din graf.
Fie deci lanţul: (A6,L1), (L1,A1), (A1,L3), (L3,A7),(A7,L5), (L5,A3), (A3,L7).Vom considera drept nou cuplaj mulţimea C2={(A6,L1),
(A1,L3), (A7,L5), (A3,L7), (A2,L4), (A4,L6), (A5,L2)}obţinută prin considerarea arcelor fine din lanţul alternatşi a arcelor dure rămase din C1.
Cum numărul de arce este maximal (7), problema
este complet rezolvată.Fig.24
2. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul devedere al minimizării timpului maxim deexecuţie
Noţiuni teoretice
138
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 139/336
Fie A1,...,An persoanele care sunt desemnate săexecute de la un acelaşi moment de timp lucrările
L1,...,Lm. În execuţia lucrării L j angajatul Ai poate cheltuiun fond maxim de timp de tij unităţi (ore, zile etc.).Presupunând că există angajaţi care pot executa maimulte lucrări se pune în mod natural problema repartizăriisarcinilor astfel încât timpul maxim petrecut în execuţiaacestora să fie minim.
Fie deci f:{A1,...,An}→P {L1,...,Lm}, f(Ai)=
k1 ii
L,...,L ∀i=1,...,n funcţia care repartizează
angajatului Ai lucrărilek1 ii
L,...,L pe care acesta estecapabil să le execute şi tij timpul maxim necesar lui Ai
pentru executarea lucrării L j. Dacă Ai nu este capabil de aexecuta lucrarea L j atunci vom considera tij=∞. Vom presupune, de asemenea, ipoteza suplimentară căn
1i
i )A(f
=
={L1,...,Lm} sau altfel spus totalitatea
angajaţilor este capabilă să execute totalitatea lucrărilor.În caz contrar, vom considera numai lucrările Li ce fac
parte dinn
1ii )A(f
=.
În cele ce urmează, vom prezenta un algoritm derezolvare a acestei probleme datorat lui A. Ducamp2.
Fie deci graful simplu G=(A∪B,U) a căruimulţime de noduri este ansamblul angajaţilor A şi alucrărilor B adică {A1,...,An, L1,...,Ln} şi ale cărui arce suntdate de lucrările pe care le pot executa angajaţii (date de
funcţia f ).
2 Ducamp A., Un probleme d'affectation, Cahiers duCentre d'Etudes de Recherche Operationnelle, 1(8),
1966139
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 140/336
Vom exemplifica acest algoritm pe următorul:Exemplu
Fie angajaţii A1,A2,A3,A4,A5,A6 şi lucrărileL1,L2,L3,L4,L5,L6 a căror posibilitate de execuţie este datăîn tabelul nr.4.Tabelul nr.4
Angajat Lucrare posibil deexecutat
A1 L1,L3,L6
A2 L1,L2,L4,L5
A3 L2,L4,L6
A4 L1,L4,L6
A5 L4,L5
A6 L2,L5,L6
Graful obţinut este dat în figura 25.
Fig.25Timpii maximi de execuţie sunt daţi de matricea:
140
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 141/336
T=
6
5
4
3
2
1
6L 5L 4L 3L 2L 1L
A
A
A
A
A
A
4310
65
1127
1272
9861
1025
∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞
∞∞
∞∞∞
Pasul 1 Se determină mai întâi un cuplaj arbitrar C1 al lui
A pe B.În cazul problemei noastre fie acesta C1={(A1,L3),
(A2,L1), (A3,L2), (A4,L4), (A5,L5), (A6,L6)}.Pasul 2 Se determină apoi M1=max {tij(Ai,L j)∈C1} şiarcul (arcele) (Ai,L j) pentru care se obţine această valoaremaximă, numit arc critic.
În exemplul dat, avem
M1=max{t13,t21,t32,t44,t55,t66}=max{2,1,2,12,6,4}=12. Acestmaxim este corespunzător arcului critic (A4,L4).Pasul 3 Se construieşte apoi un nou graf C'1 obţinut dincel iniţial astfel: se consideră arcele dure ale vechiuluigraf în care inversăm sensul acestora, iar din arcele finese consideră (cu orientarea normală ) numai acelea ce autimpii asociaţi strict mai mici decât M1.
În exemplul prezentat, avem figura 26.
141
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 142/336
Fig.26Se observă că am eliminat arcul (A3,L6) al cărui
timp era mai mare sau egal decât 12.Pasul 4 În graful C'1 se încearcă determinarea unui circuitcare să conţină arcul critic (dacă sunt mai multe atunci se
alege unul dintre acestea). Dacă un astfel de circuit nuexistă atunci cuplajul C1 este optim şi algoritmul este
încheiat. Dacă s-a reuşit determinarea circuitului atunci seconsideră noul cuplaj C2 obţinut din C1 la care se adaugăarcele circuitului eliminându-se acelea care sunt parcurseîn ambele sensuri. Se revine apoi la pasul 2 cu circuitulC2.
În situaţia prezentată avem circuitul (L4,A4),(A4,L6), (L6,A6), (A6,L5), (L5,A5), (A5,L4). Considerămdeci cuplajul C2=C1∪{(L4,A4), (A4,L6), (L6,A6), (A6,L5),(L5,A5), (A5,L4)}={(A1,L3), (A2,L1), (A3,L2), (A4,L4),(A5,L5), (A6,L6)}∪{(L4,A4), (A4,L6), (L6,A6), (A6,L5),(L5,A5), (A5,L4)}= {(A1,L3), (A2,L1), (A3,L2), (A4,L6),(A6,L5), (A5,L4)}.
142
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 143/336
Avem acum M2=max {t13, t21, t32, t46, t65, t54}=max
{2, 1, 2, 1, 3, 5}=5, arcul critic fiind (A5,L4). Graful C'2obţinut este prezentat în figura 27.
Fig.27Arcul critic fiind (A5,L4) se observă că nu poate
genera nici-un circuit deci cuplajul C2 este optim.
Ca o observaţie finală, trebuie să menţionăm că şiacest algoritm nu ţine seama de raportul dintre numărulmuncitorilor şi cel al lucrărilor de executat.Aplicaţii1. Muncitorii unei firme de construcţii sunt detaşaţi la altobiectiv care necesită o finalizare urgentă. Specializareaacestora pe lucrări este redată în tabelul nr.5Tabelul nr.5
Angajat Lucrare posibil deexecutat
A1 L1,L3
A2 L1,L4,L5
A3 L2,L4
143
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 144/336
A4 L1,L6
A5 L4,L5
A6 L2,L5,L6
Timpii maximi de execuţie sunt daţi de matricea:
T=
6
5
4
3
2
1
6L 5L 4L 3L 2L 1L
A
A
A
A
A
A
4313
35
23
84
1152
43
∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
Să se determine o alocare a muncitorilor pe lucrăriastfel încât timpul maxim de execuţie să fie cât mai mic.Soluţie
Graful obţinut pe baza tabelului nr.5 este dat în
figura 28.Fig.28
Vom determina mai întâi un cuplaj arbitrar C1 almulţimii de noduri {A1, A2, A3, A4, A5, A6} pe mulţimea{L1, L2, L3, L4, L5, L6}.
144
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 145/336
Fie deci cuplajul C1={(A1,L3), (A2,L1), (A3,L2),(A4,L6), (A5,L4), (A6,L5)}.
Fie M1=max {t13, t21, t32, t46, t54, t65}=max {4, 2, 4,2, 5, 3}=5 obţinut pentru alocarea (A5,L4) - arc critic.
Fie graful C'1 din figura 29.Pentru determinarea unui circuit care să conţină
arcul critic (L4,A5) ar trebui ca să existe arce cuextremitatea finală în L4. Cum acestea nu există rezultă căC1 este cuplaj optim şi deci durata maximă de execuţie
este 5.
Fig.292. O echipă de traducători este chemată să traducă înlimba română o serie de studii scrise în engleză, franceză,
145
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 146/336
germană, italiană, spaniolă şi rusă. Fiecare traducător cunoaşte mai multe limbi conform tabelului nr.6
Tabelul nr.6 Traducător Limbă cunoscutăT1 engleză, franceză,
germanăT2 engleză, germană,
italiană
146
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 147/336
T3 franceză, italiană,spaniolă
T4 germană, spaniolă, rusăT5 italiană, spaniolă, rusăT6 engleză, franceză, rusă
Timpii maximi de traducere sunt daţi de matricea:
T=
6
5
4
3
2
1
R S I G F E
T
T
T T
T
T
473
135
262528
562
443
∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞
unde am notat cu E - engleza, F - franceza, G - germana, I- italiana, S - spaniola şi R - rusa. Să se determine oalocare a traducătorilor pe lucrări astfel încât timpulmaxim de traducere să fie cât mai mic.Soluţie
Graful obţinut pe baza tabelului nr.6 este dat înfigura 30.
Vom determina mai întâi un cuplaj arbitrar C1 almulţimii de noduri {T1, T2, T3, T4, T5, T6} pe mulţimea {E,F, G, I, S, R }. Matricea simplificată asociată grafului este:
M'=
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
100011
111000
110100
011010
001101
000111RSIGFE
147
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 148/336
Fig.30Vom aplica metoda colţului de nord-vest. Avem
deci alocarea (T1,E) de unde:
M'1=
6
5
4
3
2
T
T T
T
T
10001
1110011010
01101
00110
RSIGF
Urmează alocarea (T2,G) şi matricea:
M'2=
6
5
4
3
T
T
T
T
1001
1110
1100
0111
RSIF
Avem apoi (T3,F) şi matricea rămasă:
148
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 149/336
M'3=6
5
4
T
T
T
100
111
110
RSI
După alocarea (T4,S) obţinem:
M'4=6
5
T
T
10
11
RI
şi în final alocările (T5,I) şi (T6,R).Cuplajul obţinut este deci: C1={(T1,E), (T2,G),(T3,F), (T4,S), (T5,I), (T6,R)}.
Fie M1=max {t1E, t2G, t3F, t4S, t5I, t6R }=max {3, 6, 8,6, 5, 4}=8 obţinut pentru alocarea (T3,F) - arc critic.
Fie graful C'1 din figura 31.
Fig.31Avem următorul circuit: (F,T3), (T3,S), (S,T4),
(T4,G), (G,T2), (T2,E), (E,T1), (T1,F).Cuplajul C2={(T3,S), (T4,G), (T2,E), (T1,F), (T5,I),
(T6,R)} este obţinut din vechiul cuplaj la care s-auadăugat arcele noi obţinute.
149
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 150/336
Avem acum M2=max {t3S, t4G, t2E, t1F, t5I, t6R }=max{5, 2, 2, 4, 5, 4}=5 obţinut pentru alocarea (T3,S) - arc
critic.Graful C'2 este prezentat în figura 32.Circuitul este: (S,T3), (T3,I), (I,T5), (T5,S).Avem deci cuplajul C3={(T3,I), (T5,S), (T4,G),
(T2,E), (T1,F), (T6,R)}.
Fig.32
Avem M3=max {t3I, t5S, t4G, t2E, t1F, t6R }=max {2, 3,2, 2, 4, 4}=4 obţinut pentru alocarea (T1,F) - arc critic.Graful C'3 este prezentat în figura 33.O încercare de determinare de circuit ar fi: (F,T1),
(T1,E), (E,T2) la care drumul se opreşte. Prin urmare,alocarea este optimă şi deci durata minimă de traducereeste de 4 unităţi de timp.
150
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 151/336
Fig.333. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul de
vedere al minimizării timpului total de execuţieNoţiuni teoretice
Fie A1,...,An persoanele care sunt desemnate săexecute lucrările L1,...,Lm. În execuţia lucrării L j angajatulAi cheltuieşte un fond de timp de tij unităţi (ore, zile etc.).
Presupunând că există angajaţi care pot executa maimulte lucrări se pune în mod natural problema repartizăriisarcinilor astfel încât timpul total petrecut în execuţiaacestora să fie minim.
Vom conveni că dacă Ai nu este capabil de aexecuta lucrarea L j să considerăm tij=∞ (în practică vom
atribui lui t ij o valoare foarte mare care va elimina
automat posibilitatea de atribuire).De asemenea, vom conveni că numărul angajaţilor este egal cu cel al lucrărilor, în caz contrar introducândangajaţi sau lucrări fictive cu timpi foarte mari pentru aevita alocarea acestora.
151
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 152/336
În cele ce urmează, vom prezenta un algoritm derezolvare a acestei probleme datorat lui Little3.
Fie deci matricea T=(tij) a timpilor de execuţie. Înalocarea acestor activităţi este evident că modificareaunei linii sau coloane printr-o cantitate aditivă nu vainfluenţa optimul problemei deoarece oricum fiecarelucrare şi fiecare angajat vor avea un timp alocat care seva mări sau micşora cu acea cantitate.
Vom exemplifica acest algoritm pe următorul:Exemplu
Fie angajaţii A1,A2,A3,A4,A5,A5 şi lucrărileL1,L2,L3,L4,L5,L5 a căror timpi de execuţie sunt daţi întabelul nr.7 şi ale cărui valori se constituie în elementelematricei T.Tabelul nr.7
A1 A2 A3 A4 A5
L1 1 2 9 4 5
L2 3 7 ∞ 2 4L3 ∞ 4 1 3 6L4 ∞ ∞ 2 1 9L5 4 1 7 8 ∞
Pasul 1Pasul 1.1 Se calculează minimul cantităţilor de pe fiecarelinie a tabelului;
Pasul 1.2 Se scad aceste valori din linia respectivă;Pasul 1.3 Se calculează minimele valorilor de pecoloanele tabelului astfel obţinut;Pasul 1.4 Se scad minimele obţinute la pasul 1.3 dincoloanele respective.
3 Teodorescu N. ş.a., Metode ale cercetării operaţionaleîn gestiunea întreprinderilor , Ed. tehnică, Bucureşti,
1972152
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 153/336
În cazul problemei prezentate avem succesiv:Pasul 1.1
A1 A2 A3 A4 A5 minL1 1 2 9 4 5 1L2 3 7 ∞ 2 4 2L3 ∞ 4 1 3 6 1L4 ∞ ∞ 2 1 9 1L5 4 1 7 8 ∞ 1
Pasul 1.2
A1 A2 A3 A4 A5
L1 0 1 8 3 4L2 1 5 ∞ 0 2L3 ∞ 3 0 2 5L4 ∞ ∞ 1 0 8L5 3 0 6 7 ∞
Pasul 1.3
A1 A2 A3 A4 A5
L1 0 1 8 3 4
L2 1 5 ∞ 0 2L3 ∞ 3 0 2 5L4 ∞ ∞ 1 0 8L5 3 0 6 7 ∞
min 0 0 0 0 2 Pasul 1.4
A1 A2 A3 A4 A5
153
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 154/336
L1 0 1 8 3 2L2 1 5 ∞ 0 0
L3 ∞ 3 0 2 3L4 ∞ ∞ 1 0 6L5 3 0 6 7 ∞
După pasul 1 observăm că pe fiecare linie saucoloană există câte un element egal cu 0.Pasul 2 Se calculează suma tuturor elementelor scăzutedin linii şi coloane.
Fie aceasta S1=1+2+1+1+1+0+0+0+0+ 2=8.Pasul 3 Pentru fiecare element egal cu 0 din matricea T'(corespunzătoare tabelului redus) se calculeazăcantităţile µ ij=min {tik k ≠ j}+min{t pj p≠ i} sau altfel spussuma minimelor elementelor de pe linia, respectivcoloana cantităţii nule (exceptând-o pe aceasta). Dupăaceasta, se determină maximul acestor valori şi alocareacorespunzătoare acesteia (s,r). Se construieşte un grafic,
de tip arbore, în care nodul iniţial primeşte valoarea S1.Se construieşte apoi o ramificaţie în care se trecactivităţile (s,r) şi non(s,r). Acestea vor primi valorileα sr , respectiv β sr =S1+µ sr .
Avem deci: µ 11=1+1=2, µ 24=0+0=0,µ 25=0+2=2, µ 33=2+1=3, µ 44= 1+0=1, µ 52=3+1=4.Avem deci µ max=max {µ 11, µ 24, µ 25, µ 33, µ 44, µ 52}=
max {2, 0, 2, 3, 1, 4}=4 corespunzătoare alocării (5,2).Avem β 52=8+4=12.
Obţinem deci:
154
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 155/336
Fig.34Pasul 4 Se elimină din tabel linia s şi coloana r şi se procedează ca la pasul 1.
Avem deci:Pasul 4.1
A1 A3 A4 A5 min
L1 0 8 3 2 0L2 1 ∞ 0 0 0L3 ∞ 0 2 3 0L4 ∞ 1 0 6 0
Pasul 4.2
A1 A3 A4 A5
L1 0 8 3 2
L2 1 ∞ 0 0L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6
Pasul 4.3
A1 A3 A4 A5
L1 0 8 3 2L2 1 ∞ 0 0
L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6
min 0 0 0 0 Pasul 4.4
A1 A3 A4 A5
L1 0 8 3 2L2 1 ∞ 0 0
155
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 156/336
L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6
Pasul 5Se calculează S2 ca sumă a elementelor de minim
de pe linii şi coloane. Se modifică indicatorul α sr =S1+S2.În cazul problemei prezentate S2=0 deci
α 52=S1=8.Pasul 6 Dacă matricea T redusă are ordinul 1 algoritmuleste încheiat. În caz contrar, se alege cea mai mică
valoare dintre α sr şi β sr . Dacă valorile sunt egale, sealege α sr corespunzătoare unei alocări şi nu uneirespingeri de alocare.Pasul 7 Dacă valoarea aleasă a fost α sr se revine la pasul3.Pasul 8 Dacă valoarea aleasă este de tip β sr atunci seconsideră în tabelul anterior celui de la pasul 1, tsr =∞, sedetermină elementele minime de pe linia s şi coloana r şise scad acestea din linia respectiv coloanacorespunzătoare. Se revine apoi la pasul 3.
În orice situaţii, la indicatori egali se continuăalgoritmul pe toate ramurile în cauză.
În cazul problemei noastre avem pentru tabelulrămas:
A1 A3 A4 A5
L1 0 8 3 2L2 1 ∞ 0 0L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6
µ 11=2+1=3, µ 24=0+0=0, µ 25=0+2=2, µ 33=2+1=3,µ 44=1+0=1, µ max=max {3, 0, 2, 3, 1}=3 corespunzător
156
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 157/336
alocării (1,1) sau (3,3). Avem deci β 11=8+3=11 şiβ 33=8+3=11.
Pentru alocarea (1,1) succesiunea de tabeledevine:
A3 A4 A5 minL2 ∞ 0 0 0L3 0 2 3 0L4 1 0 6 0
A3 A4 A5L2 ∞ 0 0L3 0 2 3L4 1 0 6
A3 A4 A5
L2 ∞ 0 0L3 0 2 3L4 1 0 6
min 0 0 0
A3 A4 A5
L2 ∞ 0 0L3 0 2 3L4 1 0 6
şi deci α 11=8+0=8.Pentru alocarea (3,3) se obţine analog
α 33=8+0=8.Graficul arborescenţei este următorul:
157
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 158/336
Fig.35Fie acum ultimul tabel:
A3 A4 A5
L2
∞0 0
L3 0 2 3L4 1 0 6
Avem: µ 24=0+0=0, µ 25=0+3=3, µ 33=2+1=3,µ 44=1+0=1 şi deci µ max=3 corespunzător alocării (3,3).Avem deci β 33=8+3=11.
Pentru alocarea (3,3) succesiunea de tabele esteurmătoarea:
A4 A5 minL2 0 0 0L4 0 6 0
A4 A5
L2 0 0L4 0 6
A4 A5
L2 0 0L4 0 6
min 0 0
A4 A5
L2 0 0
158
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 159/336
L4 0 6şi deci α 33=8+0=8.
Noul grafic al arborescenţei este:
Fig.36Considerând, în final, tabelul redus:
A4 A5
L2 0 0
L4 0 6avem: µ 24=0+0=0, µ 25=0+6=6, µ 44=6+0=6 de undeµ max=6 cu alocarea (4,4).
Avem β 44=8+6=14.Tabelul rămas este:
A5
L2 0
şi deci α 25=8+0=8, iar ultima alocare este (2,5).159
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 160/336
Arborescenţa finală este redată în figura 37.Soluţia optimă este deci (A2,L5), (A1,L1), (A3,L3),
(A4,L4), (A5,L2) cu un timp total egal cu 1+1+1+1+4=8.
Fig.37
Aplicaţii1. Într-un atelier auto lucrează mai mulţi muncitori M1,M2, M3, M4, M5 divers specializaţi (mecanică,tinichigerie, vopsitorie, electronică, aprovizionare).Fiecare dintre aceştia are o durată medie (în ore) deexecuţie a unei lucrări conform tabelului nr.8. Se cere săse efectueze o repartizare a muncitorilor pe tipuri delucrări astfel încât timpul total de execuţie să fie minim.
Tabelul nr.8M1 M2 M3 M4 M5
Mecanică - M(1) 1 2 5 4 7Tinichigerie - T(2) 3 7 3 2 4Vopsitorie - V(3) 5 4 1 3 6Electronică - E(4) 2 1 2 1 9Aprovizionare -
A(5)
4 1 7 9 7
160
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 161/336
SoluţiePentru început reducem tabelul astfel încât pe
fiecare linie sau coloană să obţinem câte un element egalcu 0.Vom calcula mai întâi minimul elementelor de pe
fiecare linie:M1 M2 M3 M4 M5 min
M(1) 1 2 5 4 7 1T(2) 3 7 3 2 4 2V(3) 5 4 1 3 6 1E(4) 2 1 2 1 9 1A(5) 4 1 7 9 7 1
Scădem minimele aflate din elementele linieirespective:
M1 M2 M3 M4 M5
M(1) 0 1 4 3 6T(2) 1 5 1 0 2
V(3) 4 3 0 2 5E(4) 1 0 1 0 8A(5) 3 0 6 8 6
Se calculează minimele valorilor de pe coloaneletabelului astfel obţinut:
M1 M2 M3 M4 M5
M(1) 0 1 4 3 6
T(2) 1 5 1 0 2V(3) 4 3 0 2 5E(4) 1 0 1 0 8A(5) 3 0 6 8 6min 0 0 0 0 2
Se scad minimele obţinute din coloanelerespective:
M1 M2 M3 M4 M5
161
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 162/336
M(1) 0 1 4 3 4T(2) 1 5 1 0 0
V(3) 4 3 0 2 3E(4) 1 0 1 0 6A(5) 3 0 6 8 4
Se calculează suma tuturor elementelor scăzutedin linii şi coloane. Fie aceastaS1=1+2+1+1+1+0+0+0+0+ 2=8.
Pentru fiecare element egal cu 0 din tabelul redus
se calculează cantităţile µ ij=min {tik k ≠ j}+min{t pj p≠ i}sau altfel spus suma minimelor elementelor de pe linia,respectiv coloana cantităţii nule (exceptând-o pe aceasta).
Avem deci: µ 11=1+1=2, µ 24=0+0=0,µ 25=0+3=3, µ 33=2+1=3, µ 42=0+0=0, µ 44=0+0=0,µ 52=3+0=3. Avem µ max=max {2, 0, 3, 3, 0, 0, 3}=3obţinut pentru alocarea (2,5). Avemβ 25=S1+µ 25=8+3=11.
Eliminăm linia 2 şi coloana 5 din tabel şi obţinem:M1 M2 M3 M4
M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8
Pentru determinarea lui α 25 avem succesiunea de
tabele:M1 M2 M3 M4 min
M(1) 0 1 4 3 0V(3) 4 3 0 2 0E(4) 1 0 1 0 0A(5) 3 0 6 8 0
M1 M2 M3 M4
162
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 163/336
M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2
E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8
M1 M2 M3 M4
M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0
A(5) 3 0 6 8min 0 0 0 0
M1 M2 M3 M4
M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8
de unde α 25=8+0=8.Arborele obţinut este deci:
Fig.38Pentru tabelul:M1 M2 M3 M4
M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8
163
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 164/336
avem: µ 11=1+1=2, µ 33=2+1=3, µ 42=0+0=0,µ 44=0+2=2, µ 52=3+0=3. Avem µ max=max {2, 3, 0, 2,
3}=3 obţinut pentru alocarea (3,3). Avemβ 33=S2+µ 33=8+3= 11.
Eliminăm linia V(3) şi coloana 3 din tabel şiobţinem succesiunea de tabele:
M1 M2 M4 minM(1) 0 1 3 0E(4) 1 0 0 0
A(5) 3 0 8 0M1 M2 M4
M(1) 0 1 3E(4) 1 0 0A(5) 3 0 8min 0 0 0
M1 M2 M4
M(1) 0 1 3E(4) 1 0 0A(5) 3 0 8
de unde α 33=8+0=8. Arborele obţinut este deci:
Fig.39
164
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 165/336
Pentru tabelul:M1 M2 M4
M(1) 0 1 3E(4) 1 0 0A(5) 3 0 8
avem: µ 11=1+1=2, µ 42=0+0=0, µ 44=0+3=3,µ 52=3+0=3. Avem µ max=max {2, 0, 3, 3}=3 obţinut pentru alocarea (4,4). Avem β 44=S3+µ 44=8+3= 11.Eliminăm linia E(4) şi coloana M4 din tabel şi obţinem
succesiunea: M1 M2 minM(1) 0 1 0A(5) 3 0 0
M1 M2
M(1) 0 1A(5) 3 0
min 0 0
M1 M2
M(1) 0 1A(5) 3 0
de unde α 44=8+0=8.Arborele devine:
165
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 166/336
Fig.40Fie acum tabelul:
M1 M2
M(1) 0 1A(5) 3 0
Avem µ 11=1+3=4 şi µ 52=3+1=4 de undeµ max=max {4,4}=4 obţinut pentru alocarea (1,1). Avemβ 11=S4+µ 11=8+4=12.
Eliminând linia M(1) şi coloana lui M1 din tabel
rezultă α 11=8+0=8 şi în final alocarea (5,2) cuα 52=8+0=8.Arborescenţa finală este reprezentată în figura 41.Soluţia optimă este deci (M5,T), (M3,V), (M4,E),
(M1,M), (M2,A) cu un timp total egal cu 4+1+1+1+1=8.
Fig.41
GRUPAREA ŞI AMPLASAREAUTILAJELOR
166
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 167/336
Problemele de grupare şi amplasare a maşinilor şi
utilajelor în secţii de producţie sunt de o mareimportanţă practică deoarece ele pot scuticonsumuri mari de timp cu deplasarea produselor de prelucrat între diverse faze de producţie.
1. Gruparea utilajelor pe linii tehnologiceNoţiuni teoretice
Să considerăm o mulţime de utilaje U1,...,Un caretrebuie să prelucreze reperele R 1,...,R m. Se pune problemagrupării acestor utilaje în linii tehnologice astfel încâtnumărul de treceri de la o linie tehnologică la alta să fieminim.
Asociem produsului cartezian {U1,...,Un}×{R 1,...,R m} o matrice A=(aij)∈M nm(R ) unde:
aij=
i j
i j
UutilajulpeaprelucreazsenuRuldaca reper0
;UutilajulpeaprelucreazseRuldaca reper1
Vom exemplifica algoritmul pentru următorul:Exemplu
Să considerăm o secţie de producţie în care existăutilajele U1,...,U10 pe care se prelucrează reperele R 1,...,R 6.Posibilitatea de prelucrare este dată în tabelul nr.9(elementele matricei A).Tabelul nr.9
R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6U1 1 0 1 0 0 1U2 0 1 1 0 1 0U3 1 0 0 1 1 0U4 1 1 0 0 0 0U5 0 0 1 0 1 0U6 1 0 0 1 0 0
U7 0 1 0 1 0 1167
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 168/336
U8 1 1 0 0 0 1U9 0 1 1 0 1 1
U10 1 0 1 0 1 0Să notăm cu ai=(ai1,...,aim) liniile matricei A. Este
evident că ai reprezintă ansamblul reperelor ce pot fi prelucrate pe utilajul i.
Considerând două utilaje Ui şi U j se pune mai întâi problema "distanţei" între ele adică, în raport cu pieselece pot fi prelucrate pe ele, cât este diferenţa despecializare a acestora. Pentru acest lucru, vom adunavectorii linie corespunzători ai şi a j şi vom depunerezultatele într-o nouă matrice D=(dij) unde dij=
[ ]∑=
+m
1k jkik 2mod)aa( unde x mod 2 (modulo 2)
reprezintă restul împărţirii lui x la 2. Cum:
aik +a jk =
== ==
==
0asi0adaca0);1(0asi)0(1adaca1
;1asi1adaca2
jkik
jkik
jkik
rezultă că:
(aik +a jk ) mod 2=
======
0asi0adaca0
);1(0asi)0(1adaca1
;1asi1adaca0
jkik
jkik
jkik
Pasul 1 Vom considera deci în dij numărul perechilor deelemente din ai şi a j care nu au simultan aceeaşi valoare.Vom prefera, de asemenea, scrierea matricei într-
un tabel care fiind simetric faţă de diagonala principală(ai+a j=a j+ai) nu se va scrie decât în partea superioară a sa.
Avem deci:a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
a1 0 4 4 3 2 1 3 2 3 2
168
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 169/336
a2 0 4 3 1 5 2 4 1 2a3 0 3 3 1 4 4 5 2
a4 0 4 2 3 1 4 3a5 0 4 5 5 2 1a6 0 3 3 6 3a7 0 2 3 6a8 0 3 4a9 0 3a10 0
Într-adevăr, de exemplu, a4+a7=(1,1,0,0,0,0)+(0,1,0,1,0,1)=(1,2,0,1,0,1) de unde (a4+a7) mod 2=(1,0,0,1,0,1) deci d47=1+1+1=3.
Observăm că într-adevăr 3 reprezintă "distanţa"dintre utilajele U4 şi U7 deoarece singurul reper care poatefi prelucrat pe ambele este R 1 pe când reperele R 1, R 4 şiR 6 se prelucrează ori pe unul ori pe celălalt utilaj.Pasul 2 Construim, mai departe, un tabel în care vom
sintetiza perechile de utilaje ( scrise prescurtat (i,j)) aflatela distanţa d din matricea D.
Avem deci:
Distanţa Perechi de utilaje
0 (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)1 (1,6), (2,5), (2,9), (3,6), (4,8), (5,10)2 (1,5), (1,8), (2,7), (2,10), (3,10), (4,6), (5,9),
(7,8)3 (1,4), (1,7), (1,9), (2,4), (3,4), (3,5), (4,7), (4,10),
(6,7), (6,8), (6,10), (7,9), (8,9), (9,10)4 (1,2), (1,3), (2,3), (2,8), (3,7), (3,8), (4,5), (4,9),
(5,6), (8,10)
169
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 170/336
5 (2,6), (3,9), (5,7), (5,8)6 (6,9), (7,10)
Pasul 3 Construim un graf astfel:Pasul 3.1 Reprezentăm cele 7 niveluri de distanţe (din
tabelul de mai sus) prin linii orizontale de nivel.Pasul 3.2 Pe linia 0 reprezentăm utilajele.Pasul 3.3 Din fiecare nod al grafului va pleca o singurăramură. Pentru ca să marcăm un nod de forma (i1,...,ik ) peun nivel p trebuie ca pe nivelele 1,...,p să se afle toate perechile de forma (ir ,is), r ≠ s, r,s=1,...,k. De asemenea,orice nod de forma (i1,...,ik ) trebuie să includă nodurileanterioare lui şi aflate în ascendenţă directă.
În cazul nostru, avem:Pe nivelul 0 am înscris toate utilajele. Pe nivelul 1
nu avem nimic. Pe nivelul 2 avem toate tripletul (2,5,10)deoarece (2,5), (2,10), (5,10) se găsesc la distanţele 1 şi 2.
Fig.46Pe nivelul 3 avem mulţimea de utilaje (1,4,6,7,8)
deoarece pe nivelele 1,2 şi 3 se găsesc toate perechile de
utilaje: (1,4), (1,6), (1,7), (1,8), (4,6), (4,7), (4,8), (6,7),170
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 171/336
(6,8) şi (7,8). Analog pentru mulţimea (2,5,9,10).Procedând asemănător, se observă că pe nivelul 4 putem
îmbunătăţi mulţimea (1,4,6,7,8) cu utilajul 3 deoareceavem în plus perechile (1,3), (4,3), (6,3), (7,3) şi (8,3). Penivelul 5 nu avem nimic, iar pe nivelul 6 obţinemmulţimea tuturor utilajelor.
În final, cele două ramuri (luate de la nivelul 6 în
jos) furnizează liniile tehnologice.Acestea sunt: L1=(U1,U3,U4,U6,U7,U8) şi
L2=(U2,U5,U9,U10).Considerând din nou tabelul nr.9:
R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6U1-L1 1 0 1 0 0 1U2-L2 0 1 1 0 1 0U3-L1 1 0 0 1 1 0U4-L1 1 1 0 0 0 0U5-L2 0 0 1 0 1 0
U6-L1 1 0 0 1 0 0U7-L1 0 1 0 1 0 1U8-L1 1 1 0 0 0 1U9-L2 0 1 1 0 1 1U10-L2 1 0 1 0 1 0
în care am scris îngroşat operaţiile de pe prima linietehnologică încercăm să determinăm număr de treceri de
pe o linie tehnologică pe alta.Astfel, pentru reperul R 1 avem (mergând în jos pe
coloană ) distribuţia de utilaje pe următoarele liniitehnologice:R 1:(L1,L1,L1,L1,L2) deci 1 trecere.
Analog:R 2:(L2,L1,L1,L1,L2) deci 2 treceri;R 3:(L1,L2,L2,L2,L2) deci 1 trecere;
171
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 172/336
R 4:(L1,L1,L1) deci 0 treceri;R 5:(L2,L1,L2,L2,L2) de unde 2 treceri;
R 6:(L1,L1,L1,L2) deci 1 trecere.În total avem 7 treceri de pe o linie tehnologică pealta.Aplicaţii1. Să considerăm o secţie de producţie în care există
utilajele U1,...,U6 pe care se prelucrează repereleR 1,...,R 6. Posibilitatea de prelucrare este dată întabelul nr.10. Se pune problema grupării acestor utilaje în linii tehnologice astfel încât numărul detreceri de la o linie tehnologică la alta să fieminim.
Tabelul nr.10R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6
U1 1 0 0 1 0 0U2 0 1 0 0 1 0
U3 1 1 1 0 1 0U4 0 0 0 0 0 1U5 1 0 1 0 1 0U6 0 0 0 1 0 0
SoluţieTabelul distanţelor este:
a1 a2 a3 a4 a5 a6
a1 0 4 4 3 3 1a2 0 2 3 3 3a3 0 5 1 5a4 0 4 2a5 0 4
172
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 173/336
a6 0Clasificarea perechilor de utilaje în raport cu
distanţele este:Distanţa Perechi de utilaje0 (1), (2), (3), (4), (5), (6)1 (1,6), (3,5)2 (2,3), (4,6)3 (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (2,6)4 (1,2), (1,3), (4,5), (5,6)
5 (3,4), (3,6)Graful obţinut este:
Fig.43În final, cele două ramuri (luate de la nivelul 5 în
jos) furnizează liniile tehnologice.Acestea sunt: L1=(U1,U4,U6) şi L2=(U2,U3,U5).Considerând din nou tabelul nr.10:
R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6U1 1 0 0 1 0 0U2 0 1 0 0 1 0U3 1 1 1 0 1 0
U4 0 0 0 0 0 1173
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 174/336
U5 1 0 1 0 1 0U6 0 0 0 1 0 0
în care am scris îngroşat operaţiile de pe prima linietehnologică încercăm să determinăm număr de treceri de pe o linie tehnologică pe alta.
Astfel, avem (mergând în jos pe coloană )distribuţia de utilaje pe următoarele linii tehnologice:R 1:(L1,L2,L2) deci 1 trecere;R 2:(L2,L2) deci 0 treceri;R 3:(L2,L2) deci 0 treceri;R 4:(L1,L1) deci 0 treceri;R 5:(L2,L2,L2) de unde 0 treceri;R 6:(L1) deci 0 treceri.
În total avem o trecere de pe o linie tehnologică pealta ceea ce este efectiv optim pentru procesul tehnologicrespectiv.2. Să considerăm o secţie de producţie în care există
utilajele U1,...,U6 pe care se prelucrează repereleR 1,...,R 6. Posibilitatea de prelucrare este dată întabelul nr.11. Se pune problema grupării acestor utilaje în linii tehnologice astfel încât numărul detreceri de la o linie tehnologică la alta să fieminim.
Tabelul nr.11R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6
U1 0 0 0 1 0 0U2 0 0 1 1 1 0U3 1 1 0 0 1 0U4 1 0 0 0 0 1U5 1 0 1 0 1 0U6 0 1 0 1 0 0
Soluţie
174
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 175/336
Tabelul distanţelor este:a1 a2 a3 a4 a5 a6
a1 0 2 4 3 4 1a2 0 4 5 2 3a3 0 3 2 3a4 0 3 4a5 0 5a6 0
Clasificarea perechilor de utilaje în raport cu
distanţele este:Distanţa Perechi de utilaje0 (1), (2), (3), (4), (5), (6)1 (1,6)2 (1,2), (2,5), (3,5)3 (1,4), (2,6), (3,4), (3,6), (4,5)4 (1,3), (1,5), (2,3), (4,6)5 (2,4), (5,6)
Graful obţinut este:
Fig.44
175
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 176/336
În final, cele două ramuri (luate de la nivelul 5 în
jos) furnizează liniile tehnologice.
Acestea sunt: L1=(U1,U2,U6) şi L2=(U3,U4,U5).Considerând din nou tabelul iniţial:R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6
U1 0 0 0 1 0 0U2 0 0 1 1 1 0U3 1 1 0 0 1 0U4 1 0 0 0 0 1U5 1 0 1 0 1 0U6 0 1 0 1 0 0
în care am scris îngroşat operaţiile de pe prima linietehnologică încercăm să determinăm număr de treceri de pe o linie tehnologică pe alta.
Astfel, avem (mergând în jos pe coloană )distribuţia de utilaje pe următoarele linii tehnologice:R 1:(L2,L2,L2) deci 0 treceri;
R 2:(L2,L1) deci 1 trecere;R 3:(L1,L2) deci 1 trecere;R 4:(L1,L1,L1) deci 0 treceri;R 5:(L1,L2,L2) deci 1 trecere;R 6:(L2) deci 0 treceri.
În total avem 3 treceri de pe o linie tehnologică pealta.
176
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 177/336
2. Amplasarea locurilor de muncă-metoda gamelorfictive
Noţiuni teoreticeFie într-o secţie (atelier, laborator etc.) un număr de locuri de muncă L1,...,Ln. La aceste locuri de muncă sefabrică produsele diferite P1,...,Pm ce necesită operaţiile de prelucrare O1,...,O p.
În cadrul etapelor de producere a acestora este posibil uneori ca ele să se reîntoarcă la un loc de muncăanterior pentru diverse operaţii suplimentare (ce ţin de
locul respectiv).Fiecare loc de muncă are un timp lunar afectat
fiecărei operaţii pe care este capabil să o execute deciimplicit solicită un număr de muncitori (relativ la
numărul de ore lunare de muncă stabilit de conducerea
unităţii).Problema care se pune este de a reordona
amplasarea locurilor de muncă astfel încât să se eviteîntoarcerile în cadrul procesului tehnologic şi pe de altă parte de a diminua numărul muncitorilor afectaţi procesului de producţie. Numărul întoarcerilor afectează,în practică, cheltuielile de transport. Este evident, că înurma aplicării metodei, uneori numărul muncitorilor creşte sau cel al întoarcerilor. Dacă totalul cheltuielilor privind salarizările suplimentare (la creşteri de muncitori)
sunt mai mici decât economia realizată prin diminuareatransportului şi reciproc atunci algoritmul îşi dovedeşteeficienţa.
Vom exemplifica acest proces pe următorul:Exemplu
Într-un atelier urmează să se fabrice produsediferite notate P1, P2, P3, P4, P5 a căror fabricaţie necesităfolosirea a 7 tipuri de locuri de muncă notate L1, L2, L3,
177
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 178/336
L4, L5, L6, L7. Gamele de operaţii de fabricaţie (O1, O2,O3, O4, O5, O6, O7, O8) pe fiecare produs, sunt date în
tabelul nr.12 (cifrele reprezentând numărul operaţiei ce se execută la locul de muncă respectiv).Tabelul nr.12
Locuri demuncă Produse fabricate
P1 P2 P3 P4 P5
L1 1 1-6 1 1 1
L2 2-5 2 3 2
L3 3-8 3 2 4 6L4 4 5-7 3 2 3-8L5 6 4 5 6 4L6 7 6 5 5L7 8 4 7 7
Având în vedere timpul necesar fiecărei operaţii, precum şi producţia lunară ce se va realiza, în tabelul
nr.13 se prezintă încărcarea lunară a locurilor de muncă(în ore) unde se consideră timpul de lucru lunar al unuimuncitor de T=200 ore.Tabelul nr.13
Număr de operaţii din gama de operaţii Totalluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8L1
200
100
300 2
L2
150
200
150
500 3
L3
200
60 100
50 200
610 4
L 50 30 90 15 10 40 460 3
178
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 179/336
4 0 0L
5
40 10
0
20
0
340 2
L6
80 100
90 270 2
L7
100
200
40 340 2
Pasul 1 Se determină totalul lunar al timpului afectatoperaţiunilor în fiecare loc de muncă însumând valorileliniei respective.
Avem deci:• Nr ore(L1)=200+100=300• Nr ore(L2)=150+200+150=500• Nr ore(L3)=200+60+100+50+200=610• Nr ore(L4)=50+30+90+150+100+40=460• Nr ore(L5)=40+100+200=340• Nr ore(L6)=80+100+90=270
• Nr ore(L7)=100+200+40=340Pasul 2 Se determină necesarul de locuri de muncă prin
formula Nr locuri(Li)= T
)L(Nr iore ∀i=1,...,n rotunjindu-se la
întregul superior dacă este cazul.Avem deci:
• Nr locuri(L1)=300/200=2
• Nr locuri(L2)=500/200=3• Nr locuri(L3)=610/200=4• Nr locuri(L4)=460/200=3• Nr locuri(L5)=340/200=2• Nr locuri(L6)=270/200=2• Nr locuri(L7)=340/200=2• Nr locuri total=2+3+4+3+2+2+2=18.
179
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 180/336
Pasul 3 Vom reprezenta apoi succesiunea operaţiilor pentru fiecare produs într-un tabel astfel:
Pasul 3.1 Pe linii se trec locurile de muncă (amplasatedupă succesiunea generală a operaţiilor din ramurarespectivă de activitate)Pasul 3.2 Pe coloane se trec produsele fabricate;Pasul 3.3 Pe fiecare coloană se reprezintă operaţiile, subforma unor puncte, începând de la prima până la ultimaadmisă de produs. Două operaţii care se află însuccesiune directă (în raport cu ordinea iniţială a
locurilor de muncă ) se află pe aceeaşi verticală. Douăoperaţii care determină o întoarcere la un loc de muncăanterior implică reprezentarea celei de-a doua pe overticală alăturată. Operaţiile vor fi legate prin săgeţi pentru a putea observa şi fluxul tehnologic ( fig.45).
Observăm din figura 45 că există întoarceri înfluxul tehnologic al fiecărui produs. Astfel, la produsul P1
avem o întoarcere de la locul de muncă L4 la locul L2atunci când se trece de la operaţia O4 la O5. De asemenea,avem o întoarcere de la locul L6 la L3 pentru succesiuneade operaţii O7, O8. Analog avem şi pentru celelalte produse.
Să calculăm, de asemenea, lungimea fluxurilor tehnologice pentru fiecare produs L(Pi) (adunând
lungimile segmentelor calculate ca diferenţă între nivele)
şi lungimea totală L.Avem deci:
♦ L(P1)=1+1+1+2+3+1+3=12;♦ L(P2)=1+1+2+1+3+3+3=14;♦ L(P3)=2+1+3+2+1=9;♦ L(P4)=3+2+1+3+1+2=12;♦ L(P5)=1+2+1+1+3+4+3=15;
♦ L=12+14+9+12+15=62.180
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 181/336
Fig.45Pasul 4 Pentru a diminua numărul de întoarceri, va trebui prin scindări de linii şi translatarea scindării între alte
două linii să transformăm tabelul iniţial (tabelul nr.13) până la o formă cvasidiagonală (cu elemente grupate pe
cât posibil în jurul "diagonalei principale" ).Vom încerca, la noi, să luăm operaţia 6 de la locul
de muncă L1 şi să o mutăm între L6 şi L7 recalculândtotalul lunar şi numărul locurilor de muncă.
Obţinem deci tabelul nr.14.
Luăm apoi operaţiile 6 şi 8 de la L3 şi le mutămîntre liniile L6 şi L1 (cel de-al doilea). Obţinem tabelulnr.15.Tabelul nr.14
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
181
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 182/336
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 20
0
200 1
L2 150
200
150
500 3
L3 200
60 100
50 200
610 4
L4 50 30 90 150
100
40 460 3
L5 40 100
200
340 2
L6 80 100
90 270 2
L1 100
100 1
L7 100
200
40 340 2
Tabelul nr.15
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 20
0
200 2
L2 150
200
150
500 3
L3 200
60 100
360 2
L4 50 30 90 150
100
40 460 3
182
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 183/336
L5 40 100
200
340 2
L6 80 100 90 270 2
L3 50 200
250 2
L1 100
100 1
L7 100
200
40 340 2
Mutăm apoi toate operaţiile de la L7 între liniile L5
şi L6 şi obţinem tabelul nr.16.Operaţiile 7 şi 8 de la L4 vor fi mutate între liniile
L6 şi L3 (cel de-al doilea) rezultând tabelul nr.17Mutăm apoi operaţia 6 de la L1 între L4 şi L3 şi
obţinem tabelul nr.18.Tabelul nr.16
Număr de operaţii din gama de operaţii Totalluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 200
200 2
L2 150
200
150
500 3
L3 200
60 100
360 2
L4 50 30 90 150
100
40 460 3
L5 40 100
200
340 2
183
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 184/336
L7 100
200
40 340 2
L6 80 100 90 270 2
L3 50 200
250 2
L1 100
100 1
Tabelul nr.17
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 200
200 2
L2 150
200
150
500 3
L3 200
60 100
360 2
L4 50 30 90 150
320 2
L5 40 100
200
340 2
L7 100
200
40 340 2
L6 80 100
90 270 2
184
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 185/336
L4 100
40 140 1
L3 50 200250 2
L1 100
100 1
Tabelul nr.18
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 200
200 2
L2 150
200
150
500 3
L3 20
0
60 10
0
360 2
L4 50 30 90 150
320 2
L5 40 100
200
340 2
L7 100
200
40 340 2
L6 80 100 90 270 2
L4 100
40 140 1
L1 100
100 1
L3 50 200
250 2
185
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 186/336
Se observă că numărul de locuri de muncă acrescut cu o unitate fiind egal cu 19. Noua situaţie a
repartizării operaţiilor este redată în tabelul nr.19. Săcercetăm însă diagrama fluxurilor de producţie ( fig.46 ).Avem deci:♦ L(P1)=1+1+1+2+3+1+3=12;♦ L(P2)=1+1+2+3+1+1+2=11;♦ L(P3)=2+1+2+1+2=8;♦ L(P4)=3+2+1+4+2+1=13;♦ L(P5)=1+2+1+2+3+4+2=15;
♦ L=12+11+8+13+15=59 mai mic decât 62.
Tabelul nr.19Locuri de
muncă Produse fabricateP1 P2 P3 P4 P5
L1 1 1 1 1 1L2 2-5 2 3 2L3 3 3 2 4L4 4 3 2 3-8L5 6 4 5 6 4L7 7 8 4 7 7L6 6 5 5L4 5-7L1 6
186
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 187/336
L3 8 6
Fig.46Aplicaţii1. Într-un atelier urmează să se fabrice produse diferite
notate P1, P2, P3, P4, P5 a căror fabricaţie necesită folosireaa 7 tipuri de locuri de muncă notate L1, L2, L3, L4, L5, L6,L7. Gamele de operaţii de fabricaţie (O1, O2, O3, O4, O5,O6, O7, O8) pe fiecare produs, sunt date în tabelul nr.20(cifrele reprezentând numărul operaţiei ce se execută lalocul de muncă respectiv).
187
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 188/336
Tabelul nr.20Locuri de
muncă Produse fabricateP1 P2 P3 P4 P5
L1 1-6 1-7 1-7 1-5 1-5L2 2-5 4 2-4 4 2L3 3 2 2 3L4 4 3-5 3-5 3 4L5 6 6 6 6
L6 7 7L7 8 8 8Având în vedere timpul necesar fiecărei operaţii,
precum şi producţia lunară ce se va realiza, în tabelulnr.21 se prezintă încărcarea lunară a locurilor de muncă(în ore) unde se consideră timpul de lucru lunar al unuimuncitor de T=200 ore.Tabelul nr.21
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 200
100
100
200
600 3
L2 150 200 50 100 200 700 4
L3 200
100
100
400 2
L4 50 80 100
150
380 2
L5 100
90 190 1
188
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 189/336
L6 100
80 180 1
L7 200200 1
Se cere să se reordoneze amplasarea locurilor demuncă astfel încât să se dimnueze întoarcerile în cadrul procesului tehnologic şi numărul muncitorilor afectaţi procesului de producţie.Soluţie
Totalul lunar al timpului afectat operaţiunilor înfiecare loc de muncă este:• Nr ore(L1)=200+100+100+200=600• Nr ore(L2)=150+200+50+100+200=700• Nr ore(L3)=200+100+100=400• Nr ore(L4)=50+80+100+150=380• Nr ore(L5)=100+90=190• Nr ore(L6)=100+80=180
• Nr ore(L7)=200 Numărul de locuri de muncă este dat de:• Nr locuri(L1)=600/200=3• Nr locuri(L2)=700/200=4• Nr locuri(L3)=400/200=2• Nr locuri(L4)=380/200=2• Nr locuri(L5)=190/200=1• Nr locuri(L6)=180/200=1• Nr locuri(L7)=200/200=1• Nr locuri total=3+4+2+2+1+1+1=14.
Tabelul cu fluxurile tehnologice pe fiecare produseste redat în figura 47.
Calculând, de asemenea, lungimea fluxurilor tehnologice pentru fiecare produs L(Pi) (adunând
lungimile segmentelor calculate ca diferenţă între nivele)
şi lungimea totală L obţinem:189
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 190/336
♦ L(P1)=1+1+1+2+1+5+1=12;♦ L(P2)=2+1+2+2+1+4+6=18;
♦ L(P3)=1+2+2+2+1+4=12;♦ L(P4)=2+1+2+1+4+1+1=12;♦ L(P5)=1+1+1+3+4=10;♦ L=12+18+12+12+10=64.
Fig.47Vom lua acum operaţiile 4,5 şi 6 de la locul de muncă L2
şi le vom muta între L4 şi L5 recalculând totalul lunar şinumărul locurilor de muncă. Obţinem tabelul nr.22.
Mutăm apoi operaţiile 5,6 şi 7 de la L1 între liniile L2 şi L5
şi obţinem tabelul nr.23. Se observă că numărul de locuride muncă a rămas constant fiind egal cu 14. Noua situaţie a repartizării operaţiilor este redată întabelul nr.24.
190
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 191/336
Tabelul nr.22
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L1 200
100
100
200
600 3
L2 150
200
350 2
L3 200
100
100
400 2
L4 50 80 100
150
380 2
L2 50 100 200350 2
L5 100
90 190 1
L6 100
80 180 1
L7 200
200 1
Tabelul nr.23
Număr de operaţii din gama de operaţii Tota
lluna
r
Nr.loc.
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
L 20 200 1
191
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 192/336
1 0L
2
15
0
20
0
350 2
L3
200
100
100
400 2
L4
50 80 100
150
380 2
L2
50 100
200
350 2
L1
100
100
200
400 2
L5
100
90 190 1
L6
100
80 180 1
L7
200
200 1
Tabelul nr.24 Locuri de
muncă Produse fabricateP1 P2 P3 P4 P5
L1 1 1 1 1 1L2 2 2 2L3 3 2 2 3
L4 4 3-5 3-5 3 4L2 5 4 4 4L1 6 7 7 5 5L5 6 6 6 6L6 7 7L7 8 8 8
Să cercetăm diagrama fluxurilor de producţie( fig.48).
192
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 193/336
Avem deci:♦ L(P1)=1+1+1+1+1+2+1=8;
♦ L(P2)=2+1+1+1+3+1+3=12;♦ L(P3)=1+2+1+1+3+1=9;♦ L(P4)=2+1+1+1+1+1+1=8;♦ L(P5)=1+1+1+2+1=6;♦ L=8+12+9+8+6=43 mai mic decât numărul
întoarcerilor iniţiale de 64.Fig.48
2. Într-un atelier urmează să se fabrice produse diferitenotate P1, P2, P3, P4 a căror fabricaţie necesită folosirea a5 tipuri de locuri de muncă notate L1, L2, L3, L4, L5.Gamele de operaţii de fabricaţie (O1, O2, O3, O4, O5, O6) pe fiecare produs, sunt date în tabelul nr.25 (cifrele
193
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 194/336
reprezentând numărul operaţiei ce se execută la locul de
muncă respectiv).
Tabelul nr.25Locuri demuncă Produse fabricate
P1 P2 P3 P4
L1 1-3 1-3 1-3 1-3L2 2-5 2-4 2 2L3 4 5 4 4
L4 5 5L5 6 6 6Având în vedere timpul necesar fiecărei operaţii,
precum şi producţia lunară ce se va realiza, în tabelulnr.26 se prezintă încărcarea lunară a locurilor de muncă(în ore) unde se consideră timpul de lucru lunar al unuimuncitor de T=200 ore.
Tabelul nr.26 Locurimuncă Număr de operaţii din gama de
operaţii
Total
lunar
Nr. loc.muncă
O1 O2 O3 O4 O5 O6
L1 200 200 100 100 600 3
L2 300
50 50 150
550 3
L3 200
100
100
400 2
L4 300
300 2
194
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 195/336
L5 150
150 1
Se cere să se reordoneze amplasarea locurilor demuncă astfel încât să se dimnueze întoarcerile în cadrul procesului tehnologic şi numărul muncitorilor afectaţi procesului de producţie.Soluţie
Totalul lunar al timpului afectat operaţiunilor înfiecare loc de muncă este:• Nr ore(L1)=200+200+100+100=600• Nr ore(L2)=300+50+50+150=550• Nr ore(L3)=200+100+100=400• Nr ore(L4)=300• Nr ore(L5)=150
Numărul de locuri de muncă este dat de:• Nr locuri(L1)=600/200=3• Nr locuri(L2)=550/200=3
• Nr locuri(L3)=400/200=2• Nr locuri(L4)=300/200=2• Nr locuri(L5)=150/200=1• Nr locuri total=3+3+2+2+1=11.
195
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 196/336
Tabelul cu fluxurile tehnologice pe fiecare produs
este:Fig.49
Calculând, de asemenea, lungimea fluxurilor tehnologice pentru fiecare produs L(Pi) (adunând lungimile segmentelor calculate ca diferenţă între nivele)
şi lungimea totală L obţinem:♦ L(P1)=1+1+2+1+3=8;♦ L(P2)=1+1+1+1+2=6;♦ L(P3)=1+1+2+1=5;♦ L(P4)=1+1+2+1+1=6;♦ L=8+6+5+6=25.
Vom lua acum operaţiile 5 şi 6 de la locul demuncă L3 şi le vom muta între L4 şi L5 recalculând totalullunar şi numărul locurilor de muncă. Obţinem tabelulnr.27. Mutăm apoi operaţiile 4 şi 5 de la L2 între liniile L3
şi L4. Obţinem tabelul nr.28. Mutăm apoi operaţiile 3 şi 4de la L1 între liniile L2 şi L3. Obţinem tabelul nr.29.
196
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 197/336
Tabelul nr.27 Locuri
muncă Număr de operaţii din gama deoperaţii
Tota
llunar
Nr. loc.
muncă
O1 O2 O3 O4 O5 O6
L1 200
200
100
100
600 3
L2 300
50 50 150
550 3
L3 200
200 1
L4 300
300 2
L3 100
100
200 1
L5 15
0
150 1
Tabelul nr.28Locurimuncă Număr de operaţii din gama de
operaţii
Total
lunar
Nr. loc.muncă
O1 O2 O3 O4 O5 O6
L1
200 200 100 100600 3
L2 300
50 350 2
L3 200
200 1
L2 50 150
200 1
197
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 198/336
L4 300
300 2
L3 100 100200 1
L5 150
150 1
Tabelul nr.29Locurimuncă Număr de operaţii din gama de
operaţii
Total
lunar
Nr. loc.muncă
O1 O2 O3 O4 O5 O6
L1 200
200
400 2
L2 300
50 350 2
L1 10
0
10
0
200 1
L3 200
200 1
L2 50 150
200 1
L4 300
300 2
L3 100 100 200 1
L5 150
150 1
Permutăm ultimele două linii L3 şi L5 şi obţinemtabelul nr.30.
198
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 199/336
Tabelul nr.30Locuri
muncă Număr de operaţii din gama deoperaţii
Tota
llunar
Nr. loc.
muncă
O1 O2 O3 O4 O5 O6
L1 200
200
400 2
L2 300
50 350 2
L1 100
100
200 1
L3 200
200 1
L2 50 150
200 1
L4 30
0
300 2
L5 150
150 1
L3 100
100
200 1
Se observă că numărul de locuri de muncă arămas constant fiind egal cu 11. Noua situaţie arepartizării operaţiilor este redată în tabelul nr.31Tabelul nr.31
Locuri demuncă Produse fabricate
P1 P2 P3 P4
L1 1 1 1 1L2 2 2 2 2L1 3 3 3 3
199
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 200/336
L3 4 4 4L2 5 4
L4 5 5L5 6 6 6L3 5
Să cercetăm diagrama fluxurilor de producţie( fig.50).
Avem deci:♦ L(P1)=1+1+1+1+2=6;♦ L(P2)=1+1+2+3+1=8;♦ L(P3)=1+1+1+2=5;♦ L(P4)=1+1+1+2+1=6;♦ L=6+8+5+6=25 egal cu numărul întoarcerilor iniţiale
de 25.Comparând figurile 49 şi 50, observăm că al
doilea proces este mult mai ordonat chiar dacă numărulde muncitori şi cel al cheltuielilor de deplasare între
locurile de muncă a rămas constant.
200
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 201/336
Fig.50
3. Amplasarea locurilor de muncă - metoda verigilorNoţiuni teoretice
O problemă care se pune foarte des este cea aamplasării locurilor de muncă într-un atelier ( secţie etc.).Astfel, din raţiuni de viteză de lucru, de ergonomicitate,de cheltuieli de transport etc. este ideal să determinăm oamplasare a locurilor de muncă astfel încât distanţeledintre locuri cu o accesare foarte densă să fie cât mai mici posibile.
O metodă care tratează aceste aspecte este metodaverigilor . Ea propune amplasarea locurilor de muncă într-o reţea de triunghiuri echilaterale în care poziţiile centralesunt ocupate de acele locuri de muncă ce au o accesarecât mai deasă. De asemenea, vom ţine seama ca reţeaua
201
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 202/336
de triunghiuri să se încadreze în zona atelierului respectiv(de regulă de formă dreptunghiulară ).
Vom trata întâi această metodă din punctul devedere al ignorării cheltuielilor de transport şi acantităţilor produse.
Exemplificăm algoritmul pe următorul:Exemplu
Într-o întreprindere se pune problema executării atrei tipuri de piese P1, P2, P3, fapt pentru care estenecesară organizezarea unui atelier de producţie. Sănotăm tipurile de operaţii de fabricaţie ale acestor piesecu O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7 corespunzătoare locurilor demuncă ce trebuie amplasate.
Fluxul tehnologic de fabricaţie al celor 3 pieseeste dat în tabelul nr.32.
Tabelul nr.32
P1 P2 P3
O1 O1 O2
O2 O5 O4
O3 O3 O1
O5 O4 O6
O7 O2 O3
O4 O7
O6
Să se determine o amplasare a locurilor de muncăîn atelierul respectiv care să micşoreze durata dedeplasare între respectivele locuri.
202
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 203/336
Pasul 1 Construim, mai întâi, un tabel în care reprezentămoperaţiile fiecărei piese şi verigile de legătură dintre
aceste piese. Tabelul nr.33
P1 P2 P3
Loc demuncă
Verigă Loc demuncă
Verigă Loc demuncă
Verigă
O1 O1 O2
O1O2 O1O5 O2O4
O2 O5 O4
O2O3 O5O3 O4O1
O3 O3 O1
O3O5 O3O4 O1O6
O5 O4 O6
O5O7 O4O2 O6O3
O7 O2 O3
O7O4 O2O7
O4 O7
O4O6
O6
Pasul 2 Se întocmeşte apoi tabelul verigilor astfel:Pasul 2.1 Se scriu pe linie şi coloană toate operaţiile într-o aceeaşi ordine.Pasul 2.2 La intersecţia unei linii L cu o coloană C se
caută veriga respectivă în tabelul de mai sus. Dacă estegăsită o astfel de verigă se trasează în celula respectivă olinie verticală. Din cauza simetriei perechilor (L,C) şi(C,L) vom completa numai o jumătate de tabel şi anume partea de deasupra diagonalei principale.Pasul 2.3 Pe diagonala principală se adună linioarelecoloanei şi liniei respective şi se trece rezultatul.
203
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 204/336
Padul 2.4 În aceeaşi celulă a diagonalei principale setrece, într-o paranteză, rezultatul numărului de celule care
au avut marcaje la punctul anterior, reprezentând numărulde verigi din care face parte operaţia respectivă.Pasul 3 Efectuăm apoi o ierarhizare a locurilor de muncăacordând un indice de importanţă fiecăruia Ii=α il
n +β
ivn unde:• nl – numărul de legături (trecut pe diagonală);• nv – numărul de verigi (trecut pe diagonală în
paranteză);• i – numărul locului de muncă;• α∈ (0,1) - coeficient de importanţă pentru legături;• β∈ (0,1) - coeficient de importanţă pentru verigiunde α +β =1.
Tabelul nr.34
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7
4(4) I I I I O15(4) I II I O2
5(4) I II I O3
6(5) I I O4
4(3) I O5
3(3) O6
3(3) O7
Considerând, în cazul problemei noastreα
=0,7 şiβ =0,3 avem:Tabelul nr.35
Nr.crt.
nl nv 0,7nl 0,3nv I=0,7nl+0,3nv
O1 4 4 2,8 1,2 4,0O2 5 4 3,5 1,2 4,7O3 5 4 3,5 1,2 4,7
204
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 205/336
O4 6 5 4,2 1,5 5,7O5 4 3 2,8 0,9 3,7
O6 3 3 2,1 0,9 3,0O7 3 3 2,1 0,9 3,0
Pasul 4 Se determină valoarea maximă a lui I care vafurniza locul de muncă ce va fi plasat în poziţie centrală.Se determină apoi acel loc de muncă ce are un număr maxim de legături cu locul central ales şi se plaseazăimediat lângă el.
În cazul nostru locul de muncă O4 are valoareamaximă 5,7. Vom amplasa deci pe O4 în poziţie centrală. Numărul maxim de legături ale lui O4 este cu O2
(2 legături) care se va amplasa lângă el.Am obţinut deci amplasamentul iniţial:
Fig.51Pasul 5 Se determină apoi suma dintre numărul
legăturilor aflate între locurile de muncă rămase şi celedeja amplasate. Maximele acestor sume vor furnizaurmătoarele locuri de muncă ce se amplasează învecinătatea primelor.Pasul 6 Se revine la pasul 5 până la epuizarea tutror locurilor de muncă.
Avem:• nl(O1,O2)+nl(O1,O4)=1+1=2;• nl(O3,O2)+nl(O3,O4)=1+1=2;• nl(O5,O2)+nl(O5,O4)=0+0=0;• nl(O6,O2)+nl(O6,O4)=0+1=1;• nl(O7,O2)+nl(O7,O4)=1+1=2
Numărul maxim de legături este realizat de O1, O3
şi O7 care se vor amplasa în vecinătatea lui O2 şi O4.
205
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 206/336
Următorul amplasament va fi:
Fig.52
Pentru amplasarea celorlalte locuri de muncă O5 şiO6 vom calcula distanţele de la acestea la cele amplasatedeja.
Avem pentru perechea (O3,O7):• nl(O5,O3)+nl(O5,O7)=2+1=3;• nl(O6,O3)+nl(O6,O7)=1+0=1
Rezultă de aici că O5 se va afla lângă O3 şi O7.
Cum O6 are câte o legătură cu O1, O3 şi O4 rezultăcă îl vom amplasa pe O6 lângă O1 şi O4. Amplasamentul
final este:Fig.53
A doua problemă care va fi discutată ţine seamade cheltuielile de transport dintre diversele locuri demuncă.
206
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 207/336
Să considerăm deci problema anterioară în carevom considera, suplimentar, numărul de piese de fiecare
tip, numărul piese ce se transportă într-o unitate deambalare (cutii, saci, containere etc.) şi implicit numărulde unităţi de ambalare. Este evident că o amplasareapropiată a locurilor de muncă ce produc cele mai multeunităţi de ambalare va reduce cheltuielile de transport.Tabelul nr.36
Nr.crt.
Semnificaţie P1 P2 P3
1 Cantitatea fabricată lunar 500 300 2002 Capacitate de ambalare 10 20 103 Nr. unităţi de
ambalare=(1)/(2)50 15 20
Pasul 1' este identic cu pasul 1.Pasul 2' Se întocmeşte un nou tabel al verigilor astfel:Pasul 2.1' Se generează un tabel într-un mod identic cu
cel al verigilor în care în loc de linioare verticale se trec piesele ce au verigile corespunzătoare.Pasul 2.2' Se întocmeşte un nou tabel al verigilor în caredin tabelul de ambalare se înlocuieşte piesa cu numărulde unităţi de ambalare respectiv şi se totalizează numereletrecute în aceeaşi celulă. Acest total este trecut în tabelulverigilor.Pasul 3 Pe diagonala principală se adună numărul de
unităţi de ambalare situate pe linia şi coloana elementuluirespectiv.Pasul 4 Se procedează în continuare ca la metodaanterioară prin ierrahizări succesive. Avem deci tabelulverigilor:
Tabelul nr.37
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7
207
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 208/336
P1 P3 P2 P3 O1
P1 P2, P3 P2 O2
P2 P1, P2 P3 O3
P1 P1 O4
P1 O5
O6
O7
Avem acum tabelul verigilor (în care ţinem
seama de transport ):
Tabelul nr.38O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7
105 50 20 15 20 O1
150 50 35 15 O2
150 15 65 20 O3
170 50 50 O4
130 50 O5
90 O6
115 O7
Cea mai mare valoare de pe diagonala principalăeste 170 corespunzătoare lui O4. O4 va fi deci amplasat în poziţie centrală.
Cele mai multe unităţi de ambalare sunt în perechile (O4,O6) sau (O4,O7). Vom considera deci (laalegere) perechea (O4,O6).
Amplasamentul iniţial este deci:
Fig.54Să calculăm acum suma unităţilor de ambalare de
la celelalte locuri de muncă la O4 şi O6. Avem deci:• n(O1,O4)+n(O1,O6)=20+20=40• n(O2,O4)+n(O2,O6)=35+0=35• n(O3,O4)+n(O3,O6)=15+20=35
208
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 209/336
• n(O5,O4)+n(O5,O6)=0+0=0• n(O7,O4)+n(O7,O6)=50+0=50
Cea mai mare valoare este pentru O7 care va fi
amplasat lângă O4 şi O6.Fig.55
Considerând perechea (O4,O7) avem:• n(O1,O4)+n(O1,O7)=20+0=20• n(O2,O4)+n(O2,O7)=35+15=50• n(O3,O4)+n(O3,O7)=15+0=15• n(O5,O4)+n(O5,O7)=0+50=50
Cea mai mare valoare este 50 obţinută pentru O2 şiO5.
Fig.56
Vom amplasa deci locurile de muncă O2 şi O5
lângă O4 şi O7. Cum însă n(O2,O4)>n(O2,O7) vom amplasaO2 lângă O4 şi analog pe O5 lângă O7.
Pentru locurile rămase O1 şi O3 vom remarcafaptul că n(O1,O2)=50 şi n(O1,O5)=15 deci vom amplasa pe O1 între O2 şi O5. Pentru O3 avem n(O3,O5)=65,n(O3,O6)=20 deci vom amplasa pe O3 lângă O5 şi înapropierea lui O6.
209
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 210/336
Amplasarea finală este:
Fig.57Aplicaţii1. Într-o întreprindere se pune problema executării a treitipuri de piese P1, P2, P3, fapt pentru care este necesarăorganizezarea unui atelier de producţie. Să notăm tipurilede operaţii de fabricaţie ale acestor piese cu O1, O2, O3,O4, O5, O6, O7 corespunzătoare locurilor de muncă cetrebuie amplasate.
Fluxul tehnologic de fabricaţie al celor 3 pieseeste dat în tabelul nr.39.
Tabelul nr.39
P1 P2 P3
O1 O1 O2
O3 O5 O1
O2 O2 O3
O4 O4 O6
O7 O3 O5
O5 O7 O4
O6 O6 O7
Să se determine o amplasare a locurilor de muncăîn atelierul respectiv care să micşoreze durata de
210
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 211/336
deplasare între respectivele locuri. Se va consideraα =0,6 şi β =0,4.
SoluţieConstruim mai întâi tabelul de legătură întrelocurile de muncă şi verigile corespunzătoare.
Tabelul nr.40
P1 P2 P3
Locmuncă Verigă Loc demuncă Verigă Loc demuncă Verigă
O1 O1 O2
O1O3 O1O5 O2O1
O3 O5 O1
O3O2 O5O2 O1O3
O2 O2 O3
O2O4 O2O4 O3O6
O4 O4 O6
O4O7 O4O3 O6O5
O7 O3 O5
O7O5 O3O7 O5O4
O5 O7 O4
O5O6 O7O6 O4O7
O6 O6 O7
211
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 212/336
Se întocmeşte apoi tabelul verigilor:Tabelul nr.41
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7
4(3) I II I O1
5(4) I II I O2
6(5) I I I O3
6(4) I II O4
6(5) II I O5
4(3) I O6
5(4) O7Considerând, în cazul problemei noastre α =0,6 şi
β =0,4 avem:Tabelul nr.42
Nr.crt.
nl nv 0,6nl 0,4nv I=0,6nl+0,4nv
O1 4 3 2,4 1,2 3,6O2 5 4 3,0 1,6 4,6O3 6 5 3,6 2,0 5,6O4 6 4 3,6 1,6 5,2O5 6 5 3,6 2,0 5,6O6 4 3 2,4 1,2 3,6O7 5 4 3,0 1,6 4,6Valoarea maximă este 5,6 care se obţine pentru O3
ce va fi plasat în poziţie centrală. Se determină acum
locul de muncă ce are un număr maxim de legături cu O3
şi se plasează imediat lângă el. Numărul maxim delegături ale lui O3 este cu O1 (2 legături) care se vaamplasa lângă el.
Am obţinut deci amplasamentul iniţial:
Fig.58
212
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 213/336
Pentru locurile neamplasate O2, O4, O5, O6 şi O7
avem:
• nl(O2,O1)+nl(O2,O3)=1+1=2;• nl(O4,O1)+nl(O4,O3)=0+1=1;• nl(O5,O1)+nl(O5,O3)=1+0=1;• nl(O6,O1)+nl(O6,O3)=0+1=1;• nl(O7,O1)+nl(O7,O3)=0+1=1.
Numărul maxim de legături este realizat de O2
care se va amplasa în vecinătatea lui O3 şi O1.Următorul amplasament va fi:
Fig.59Avem pentru perechea (O2,O3):
• nl(O4,O2)+nl(O4,O3)=2+1=3;• nl(O5,O2)+nl(O5,O3)=1+0=1;• nl(O6,O2)+nl(O6,O3)=0+1=1;• nl(O7,O2)+nl(O7,O3)=0+1=1.
Rezultă de aici că O4 se va afla lângă O2 şi O3.
Fig.60Pentru perechea (O3,O4) avem:
• nl(O5,O3)+nl(O5,O4)=0+1=1;• nl(O6,O3)+nl(O6,O4)=1+0=1;
• nl(O7,O3)+nl(O7,O4)=1+2=3.213
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 214/336
Rezultă de aici că O7 se va amplasa lângă O3 şi O4.Amplasamentul devine cel din figura 61.
Locurile O5 şi O6 vor fi amplasate astfel:• nl(O6,O3)=1 şi nl(O6,O7)=1 implică faptul că O6 se vaamplasa lângă O3 şi O7.
• nl(O5,O6)=2 şi nl(O5,O1)=1 implică faptul că O5 se vaamplasa lângă O6 şi O1.
Fig.61
Obţinem deci amplasamentul final:Fig.62
2. Într-o întreprindere se pune problema executării a treitipuri de piese P1, P2, P3, fapt pentru care este necesarăorganizezarea unui atelier de producţie. Fie tipurile deoperaţii de fabricaţie ale acestor piese: O1, O2, O3, O4, O5,
214
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 215/336
O6, O7 corespunzătoare locurilor de muncă ce trebuieamplasate.
Fluxul tehnologic de fabricaţie al celor 3 pieseeste dat în tabelul nr.43.Tabelul nr.43
P1 P2 P3
O1 O1 O2
O3 O5 O1
O2 O2 O3
O4 O4 O6
O7 O3 O5
O5 O7 O4
O6 O6 O7
iar capacitatea de ambalare în tabelul nr.44.Tabelul nr.44
Nr. crt. Semnificaţie P1 P2 P3
1 Cantitatea fabricată lunar 400 200 600
2 Capacitate de ambalare 20 25 153 Nr. unităţi de ambalare=(1)/
(2)20 8 40
Să se determine o amplasare a locurilor de muncăîn atelierul respectiv care să micşoreze cheltuielile detransport între acestea.Soluţie
Construim mai întâi tabelul de legătură întrelocurile de muncă şi verigile corespunzătoare.Tabelul nr.45
P1 P2 P3
Locmuncă
Verigă Loc demuncă
Verigă Loc demuncă
Verigă
O1 O1 O2
O1O3 O1O5 O2O1
215
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 216/336
O3 O5 O1
O3O2 O5O2 O1O3
O2 O2 O3
O2O4 O2O4 O3O6
O4 O4 O6
O4O7 O4O3 O6O5
O7 O3 O5
O7O5 O3O7 O5O4
O5 O7 O4
O5O6 O7O6 O4O7O6 O6 O7
Primul tabel al verigilor este:Tabelul nr.46
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7
P3 P1, P3 P2 O1
P1 P1, P2 P2 O2
P2 P3 P2 O3
P3 P1, P3 O4
P1, P3 P1 O5
P2 O6
O7
Tabelul verigilor ce ţine seama de depozitare este:Tabelul nr.47
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7
108 40 60 8 O1
96 20 28 8 O2
136 8 40 8 O3
136 40 60 O4
136 60 20 O5
108 8 O6
96 O7
216
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 217/336
Cea mai mare valoare de pe diagonala principalăeste 136 corespunzătoare lui O3, O4 şi O5. Vom lua de
exemplu O3 care va fi amplasat în poziţie centrală.Cele mai multe unităţi de ambalare sunt în perechea (O3,O1). Vom considera deci perechea (O3,O1)drept bază de amplasare.
Amplasamentul iniţial este:
Fig.63
Să calculăm acum suma unităţilor de ambalare dela celelalte locuri de muncă la O3 şi O1. Avem deci:• n(O2,O3)+n(O2,O1)=20+40=60;• n(O4,O3)+n(O4,O1)=8+0=8;• n(O5,O3)+n(O5,O1)=0+8=8;• n(O6,O3)+n(O6,O1)=40+0=40;• n(O7,O3)+n(O7,O1)=8+0=8.
Cea mai mare valoare este pentru O2 care va fi
amplasat lângă O3 şi O1.Considerând perechea (O2,O3) avem:
• n(O4,O2)+n(O4,O3)=28+8=36;• n(O5,O2)+n(O5,O3)=8+0=8;• n(O6,O2)+n(O6,O3)=0+40=40;• n(O7,O2)+n(O7,O3)=0+8=8.
Fig.64Cea mai mare valoare se înregistrează pentru O6
deci vom amplasa pe O6 între O2 şi O3.
217
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 218/336
Fig.65Pentru perechea (O2,O6) avem:
• n(O4,O2)+n(O4,O6)=28+0=28;• n(O5,O2)+n(O5,O6)=8+60=68;• n(O7,O2)+n(O7,O6)=0+8=8.
Cea mai mare valoare este înregistrată pentru O5
care va fi amplasat între O2 şi O6.Avem deci amplasamentul:
Fig.66În final, pentru locurile de muncă O4 şi O7 avem:
• n(O4,O5)=40 şi n(O4,O2)=28 deci O4 va fi între O2 şiO5.
• n(O7,O4)=60 deci O7 va fi amplasat lângă O4. Aici secuvine o precizare: dacă am amplasa pe O7 între O4 şi
218
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 219/336
O5 cu care are cele mai mari valori s-ar obţine oarhitectură mai complicată a structurii atelierului. Din
acest motiv, vom amplasa pe O7 lângă O4, O2 şi O1.Amplasamentul final este:Fig.67
SUCCESIUNEA OPERAŢIILOR ÎN FLUXURILEDE PRODUCŢIE
Problemele de succesiune a operaţiilor în cadrulfluxurilor de producţie se pun în practică pentrudiminuarea timpului de aşteptare a utilajelor atunci când mai multe repere folosesc aceeaşilinie tehnologică în aceeaşi direcţie de parcurs.
1. Succesiunea a două utilaje fără termene deeliberare iniţială
Noţiuni teoreticeFie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează n pieseP1,...,Pn (n≥ 2) în aceeaşi ordine (mai întâi U 1 şi apoi U 2).Vom considera că utilajele U1 şi U2 sunt disponibile pentru execuţie chiar de la începutul procesului analizat şică perioada de aşteptare a intrării utilajului U2 în execuţiaunei anumite piese nu implică costuri suplimentare. În plus, vom presupune că piesele nu au un termen limită de
terminare.Să notăm cu tij durata de prelucrare a unei piese j
pe utilajul i.Problema revine la stabilirea unei ordini de
lansare a execuţiei pieselor astfel încât durata de aşteptarea utilajului U2 să fie minimă.
Fie deci matricea T=(tij)∈M 2n(R ) a timpilor de
prelucrare. Algoritmul constă în următorii paşi:219
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 220/336
Pasul 1 Se alege cel mai mic element de pe prima linie.Acesta va furniză piesa ce se lansează prima în execuţie.
Pasul 2 Se taie coloana anterioară şi se alege cel mai micelement de pe cea de-a doua linie. Piesa respectivă va fiultima în execuţie.Pasul 3 Se taie coloana anterioară şi se revine la pasul 1.Piesa aleasă va fi a doua, iar la pasul 2, piesa aleasă va fi penultima etc. Procedeul continuă până la terminareatuturor pieselor.
Exemplificăm algoritmul de mai sus pe următorul
ExempluFie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează pieseleP1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 şi P10. Duratele de prelucrare sunt date în tabelul nr.48.
Tabelul nr.48PiesaUtil.
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
U1 2 5 7 3 4 6 1 6 3 4U2 1 3 6 4 7 2 3 5 4 2
Cel mai mic element de pe prima linie este 1 şideci prima piesă lansată în execuţie este P7. Tăindcoloana P7 obţinem:
PiesaUtil.
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P8 P9 P10
220
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 221/336
U1 2 5 7 3 4 6 6 3 4
U2 1 3 6 4 7 2 5 4 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şideci ultima piesă lansată în execuţie va fi P1. Avem decisecvenţa P7, P1. Tăind coloana P1 obţinem:
PiesaUtilajul
P2 P3 P4 P5 P6 P8 P9 P10
U1 5 7 3 4 6 6 3 4
U2 3 6 4 7 2 5 4 2Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şi
deci a doua piesă lansată în execuţie este P4. Avem decisecvenţa P7, P4, P1. Tăind coloana P4 obţinem:
PiesaUtilajul
P2 P3 P5 P6 P8 P9 P10
U1 5 7 4 6 6 3 4
U2 3 6 7 2 5 4 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şi
deci penultima piesă lansată în execuţie va fi P6. Avemdeci secvenţa P7, P4, P6, P1. Tăind coloana P6 obţinem:
PiesaUtilajul
P2 P3 P5 P8 P9 P10
U1 5 7 4 6 3 4U2 3 6 7 5 4 2
Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şideci a treia piesă lansată în execuţie este P9. Avem decisecvenţa P7, P4, P9, P6, P1. Tăind coloana P9 obţinem:
221
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 222/336
PiesaUtilajul
P2 P3 P5 P8 P10
U1 5 7 4 6 4
U2 3 6 7 5 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şi
deci antepenultima piesă lansată în execuţie va fi P10.Avem deci secvenţa P7, P4, P9,P10, P6, P1. Tăind coloanaP10 obţinem:
PiesaUtilajul
P2 P3 P5 P8
U1 5 7 4 6
U2 3 6 7 5Cel mai mic element de pe prima linie este 4 şideci a patra piesă lansată în execuţie este P5. Avemsecvenţa P7, P4, P9, P5, P10, P6, P1. Tăind coloana P5
obţinem:Piesa
UtilajulP2 P3 P8
U1 5 7 6U2 3 6 5
Cel mai mic element de pe a doua linie este 3 şideci a patra piesă de la sfârşit lansată în execuţie va fi P 2.Avem secvenţa P7, P4, P9, P5, P2, P10, P6, P1. Tăind coloanaP2 obţinem:
Piesa
Utilajul
P3 P8
222
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 223/336
U1 7 6
U2 6 5Cel mai mic element de pe prima linie este 6 şideci a cincea piesă lansată în execuţie este P8. Piesarămasă este P3 care se va lansa în execuţie după P8.Obţinem deci succesiunea finală:
P7, P4, P9, P5, P8, P3, P2, P10, P6, P1
Ilustrarea grafică a intrărilor în execuţie a pieselor pe cele două utilaje se poate face prin intermediul
diagramelor Gantt :Fig.68
Durata de aşteptare a utilajului U2 este de t16-
t2,10=6-2=4.Aplicaţii1. Fie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează piesele P1, P2,
P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 şi P10 în ordinea U1 şi U2.Duratele de prelucrare sunt date în tabelul nr.49.
Tabelul nr.49Piesa
Util. P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
223
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 224/336
U1 4 2 1 5 3 7 2 3 1 6
U2 2 1 5 4 3 2 1 7 3 2Să se stabilească o succesiune a intrării pieselor la prelucrare astfel încât timpul total de aşteptare săfie minim. Să se alcătuiască de asemeneadiagrama Gantt.
SoluţieCel mai mic element de pe prima linie este 1 şi
deci prima piesă lansată în execuţie este P3. Tăindcoloana P3 obţinem:PiesaUtil.
P1 P2 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
U1 4 2 5 3 7 2 3 1 6
U2 2 1 4 3 2 1 7 3 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şi
deci ultima piesă lansată în execuţie va fi P2. Avem decisecvenţa P3, P2. Tăind coloana P2 obţinem:
PiesaUtilajul
P1 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
U1 4 5 3 7 2 3 1 6
U2 2 4 3 2 1 7 3 2
Cel mai mic element de pe prima linie este 1 şideci a doua piesă lansată în execuţie este P9. Avem decisecvenţa P3, P9, P2. Tăind coloana P9 obţinem:
PiesaUtilajul
P1 P4 P5 P6 P7 P8 P10
224
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 225/336
U1 4 5 3 7 2 3 6
U2 2 4 3 2 1 7 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şideci penultima piesă lansată în execuţie va fi P7. Avemdeci secvenţa P3, P9, P7, P2. Tăind coloana P7 obţinem:
PiesaUtilajul
P1 P4 P5 P6 P8 P10
U1 4 5 3 7 3 6
U2 2 4 3 2 7 2Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şi deci atreia piesă lansată în execuţie este P5. Avem deci secvenţaP3, P9, P5, P7, P2. Tăind coloana P5 obţinem:
PiesaUtilajul
P1 P4 P6 P8 P10
U1 4 5 7 3 6
U2 2 4 2 7 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şi
deci antepenultima piesă lansată în execuţie va fi P1.Avem deci secvenţa P3, P9, P5, P1, P7, P2. Tăind coloana P1
obţinem:Piesa
UtilajulP4 P6 P8 P10
225
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 226/336
U1 5 7 3 6
U2 4 2 7 2Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şideci a patra piesă lansată în execuţie este P8. Avemsecvenţa P3, P9, P5, P8, P1, P7, P2. Tăind coloana P8
obţinem:Piesa
UtilajulP4 P6 P10
U1 5 7 6U2 4 2 2
Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şideci a patra piesă de la sfârşit lansată în execuţie va fi P 6.Avem secvenţa P3, P9, P5, P8, P6, P1, P7, P2. Tăind coloanaP6 obţinem:
Piesa
Utilajul
P4 P10
U1 5 6
U2 4 2Cel mai mic element de pe prima linie este 5 şi
deci a cincea piesă lansată în execuţie este P4. Piesarămasă este P10 care se va lansa în execuţie după P4.Obţinem deci succesiunea finală:
P3, P9, P5, P8, P4, P10, P6, P1, P7, P2
Diagrama Gantt este:
226
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 227/336
Fig.69Durata de aşteptare a utilajului U2 este de t16-
t2,10+t14-t27=7-2+5-1=9.
2. Fie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează piesele P1, P2,P3, P4, P5 în ordinea U1 şi U2. Duratele de prelucrare sunt date în tabelul nr.50.
Tabelul nr.50Piesa
UtilajulP1 P2 P3 P4 P5
U1 5 1 3 2 4
U2 4 2 1 3 5
Să se stabilească o succesiune a intrării pieselor la prelucrare astfel încât timpul total de aşteptare săfie minim. Să se alcătuiască de asemeneadiagrama Gantt.
SoluţieCel mai mic element de pe prima linie este 1 şi
deci prima piesă lansată în execuţie este P2. Tăind
coloana P2 obţinem:PiesaUtilajul
P1 P3 P4 P5
227
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 228/336
U1 5 3 2 4
U2 4 1 3 5Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şideci ultima piesă lansată în execuţie este P3. Ordineatemporară este: P2, P3. Tăind coloana P3 obţinem:
PiesaUtilajul
P1 P4 P5
U1 5 2 4
U2 4 3 5Cel mai mic element de pe prima linie este 2 şi
deci a doua piesă lansată în execuţie este P4. Ordineadevine: P2, P4, P3. Tăind coloana P4 obţinem:
PiesaUtilajul
P1 P5
U1 5 4
U2 4 5Cel mai mic element de pe a doua linie este 4 şi
deci penultima piesă lansată în execuţie este P1. Piesarămasă fiind P5 ea va fi a treia piesă lansată în execuţie.
Succesiunea finală este deci:P2, P4, P5, P1, P3
Durata de aşteptare a utilajului U2 este de t15-t24=4-
3=1.
Diagrama Gantt este:Fig.70
228
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 229/336
2. Succesiunea unor utilaje cu termene de eliberareiniţială
Noţiuni teoreticeFie n utilaje U1,...,Un care prelucrează m pieseP1,...,Pm (n,m≥ 2) în aceeaşi ordine (U 1 , U 2 ,...,U n). Fiecareutilaj Ui are un termen de eliberare iniţială notat ei ceconstă în durata de la începutul procesului considerat până când acesta devine disponibil pentru prelucrări (el
fiind angajat în alte procese anterioare de producţie). Deasemenea, să considerăm timpii tij de prelucrare de cătreutilajul i a piesei j (dacă piesa j nu se poate prelucra pe
utilajul U i vom considera t ij=0) şi costurile c j de prelucrare a pieselor P j.
Vom considera, de asemenea, că nu existătermene limită de prelucrare a pieselor.
Problema constă în stabilirea unei ordini delansare a execuţiei pieselor astfel încât durata de aşteptare
totală a utilajelor să fie minimă.Vom exemplifica algoritmul care urmează peurmătorul:Exemplu
Într-un atelier se prelucrează cu ajutorul a 4 utilajeU1, U2, U3, U4 un număr de 5 piese: P1, P2, P3, P4, P5.Timpii de eliberare a utilajelor, timpii de prelucrare şicosturile pieselor sunt date în tabelul nr.51.
Tabelul nr.51Piesa
UtilajulP1 P2 P3 P4 P5 ei
U1 3 1 5 4 2 6U2 2 6 1 3 4 5
229
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 230/336
U3 8 2 3 1 7 13U4 1 8 6 2 1 16
Cost 100 200 150 300 200 -Vom prezenta în cele ce urmează algoritmul
numit al programării secvenţiale6 pe care, însă, îl vomsistematiza pentru simplificarea calculelor.
Fie matricea T=
12681
71328
43162
24513
a timpilor de
prelucrare şi matricea E=
16
13
5
6
a timpilor de eliberare a
utilajelor. Construim plecând de la E matricea completată
E'=
1616161616
1313131313
55555
66666
.
Să notăm de asemenea pentru o matrice X cu X(i)linia corespunzătoare utilajului Ui a matricei şi cu X[ j]coloana corespunzătoare piesei P j a acesteia.Pasul 1 Construim matricea A1 ale cărei componente sunt
termenele de începere a prelucrării pieselor. AvemA1(1)=E'(1) deoarece primul intră utilajul U1 care aretermenul de eliberare (acelaşi pentru fiecare piesă ) dat de prima linie a matricei E'. Următoarele linii se construiescrecursiv, astfel: A1(i)=max {A1(i-1)+T(i-1),E'(i)}
6 Teodorescu N. ş.a., Metode ale cercetării operaţionaleîn gestiunea întreprinderilor , Ed. tehnică, Bucureşti,
1972230
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 231/336
∀i=2,...,n. Justificarea acestei construcţii este că termenulde începere a prelucrării pentru utilajul i este egal cu
suma dintre termenul de începere a prelucrării pentruutilajul anterior şi timpul de prelucrare anterior dacăaceastă sumă nu este inferioară termenului de eliberare autilajului i (este evident că dacă acesta este încă ocupat
se va produce o aşteptare pentru lansarea în execuţie).Avem, în cazul problemei noastre:
A1=
2016161621
1313131313
8101179
66666
Pasul 2 Construim matricea B1 ale cărei componente suntduratele de aşteptare a utilajului Ui pentru intrarea înexecuţia piesei P j. Este evident că avem B1=A1-E'.
La problema noastră avem:
B1=
2016161621
1313131313
8101179
66666
-
1616161616
1313131313
55555
66666
=
40005
00000
35624
00000
Pasul 3 Se calculează vectorul linie S1 a sumeielementelor coloanelor lui B1 adică suma tuturor timpilor de aşteptare pentru fiecare piesă.
Avem deci:S1= ( )75629
231
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 232/336
Pasul 4 Cea mai mică dintre aceste componente vafurniza prima piesă ce va intra în execuţie. Fie aceasta
piesa P j.În cazul prezentat piesa P2 va intra prima înexecuţie.Pasul 5 Se recalculează matricea E a termenelor deeliberare astfel: E=A1[ j]+T[ j] deoarece noile termene deeliberare sunt date de suma dintre timpul de aşteptare afiecărui utilaj cu timpul de prelucrare efectivă a piesei cea intrat deja în execuţie. Se elimină din matricea Tcoloana piesei ce a intrat deja în execuţie (determinată la
pasul 4) şi se revine la pasul 1.
Avem deci E=
24
15
13
7
. Eliminând coloana 2 a
matricei T obţinem:
T=
1261
7138
4312
2453
şi E'=
24242424
15151515
13131313
7777
corespunzătoare pieselor P1, P3, P4 şi P5.
Avem acum: A2=
24242424
17161515
13131313
7777
şi B2=A2-
E' de unde:
232
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 233/336
B2=
2424242417161515
13131313
7777
-
2424242415151515
13131313
7777
=
0000
2100
0000
0000
.
Suma elementelor coloanelor lui B2 este S2=( )2100 de unde rezultă că minimul este atins
pentru piesele P1 şi P3.Pasul 6 Dacă la pasul 4 sunt mai multe piese cefurnizează acelaşi minim pentru Si atunci se calculeazătimpii de aşteptare ale pieselor respective astfel:
Se calculează mai întâi matricea A'3 după modelulmatricelor Ai. Se construieşte o nouă matrice C astfel:
prima linie a matricei C este E'(1); următoarele linii seconstruiesc prin recurenţă astfel: C(i)=max {C(i-1),A'3(i-1)}+T(i-1) ∀i≥ 2.
După această construcţie se determină matriceaB'3=A'3-C.
Se construieşte vectorul linie S'3 al sumelor de pecoloane, se înmulţesc componentele acestuia cu costurileaferente pieselor obţinându-se un vector S"3 şi sedetermină minimul componentelor lui S"3
corespunzătoare pieselor ce furnizau acelaşi minimanterior.
Dacă există o singură piesă care furnizează acestminim ea va fi următoarea piesă ce va intra la prelucrare.
233
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 234/336
A'3=
2015162013141312
9111210
7777
, C=
2015162013141312
9111210
7777
, B'3=
0000
0000
0000
0000
, S'3= ( )0000 ,
S"3= ( )2000300015001000 ×××× de undeminimul căutat este obţinut din nou pentru ambele pieseP1 şi P3.Pasul 7 Dacă în situaţia de la pasul 5 există în continuaremai multe piese ce furnizează minimul atunci se alege piesa care are costul maxim. Dacă sunt mai multe înaceeaşi situaţie se alege, în final, una arbitrară.
În cazul nostru avem că piesa P3 are cost mai mare
de prelucrare şi anume 150 deci ea va intra la prelucraredupă piesa P2.Revenim la pasul 1.
Avem E=A2[3]+T[3]=
30
18
14
12
, iar matricea T devine
T=
121
718
432243
.
234
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 235/336
Matricea E'=
303030181818
141414
121212
este corespunzătoare
pieselor P1, P4 şi P5.
Avem acum: A3=
303030
181918
141615
121212
, B3=A3-E'=
303030
181918
141615
121212
-
303030
181818
141414
121212
=
000
010
021
000
, S3= ( )031 de unde
rezultă că minimul este atins pentru piesa P5 care va intraurmătoarea în execuţie.
Revenim iar la pasul 1.
Avem E=A3[5]+T[5]=
31
25
18
14
, iar matricea T devine
T=
21
18
32
43
.
235
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 236/336
Matricea E'=
31312525
1818
1414
este corespunzătoare
pieselor P1 şi P4.
Avem acum: A4=
3133
2525
1818
1414
, B4=A4-E'=
3133
2525
1818
1414
-
3131
2525
1818
1414
=
02
00
00
00
, S4= ( )02 de unde
rezultă că minimul este atins pentru piesa P4 care va intraurmătoarea în execuţie.
Avem E=A4[4]+T[4]=
33
26
21
18
, iar matricea T devine
T=
1
8
2
3
. Matricea A5=
34
26
21
18
. B5=A5-E=
34
26
21
18
-
33
26
21
18
=
1
0
0
0
deci timpul de aşteptare al ultimei piese ce va intra
în execuţie: P1 este egal cu 1.
236
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 237/336
Avem în final E=A5[1]+T[1]=
3534
23
21
timpii finali
de eliberare a utilajelor.Ordinea de prelucrare finală este: P2, P3, P5, P4, P1.Timpul total de aşteptare este suma minimelor
obţinute pentru Si şi anume: S=2+0+0+0+1=3.
Diagrama de tip Gantt a succesiunii obţinute este:
Fig.71Aplicaţii1. Într-un atelier se prelucrează cu ajutorul a 4 utilaje U1,U2, U3, U4 un număr de 5 piese: P1, P2, P3, P4, P5. Timpiide eliberare a utilajelor, timpii de prelucrare şi costurile pieselor sunt date în tabelul nr.52.Tabelul nr.52
PiesaUtilajul
P1 P2 P3 P4 P5 ei
U1 5 2 4 9 4 7U2 3 1 5 6 8 9
237
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 238/336
U3 10 1 5 8 7 15U4 2 6 9 1 7 25
Cost 100 400 200 500 300 -Să se stabilească o ordine de lansare a execuţiei
pieselor astfel încât durata de aşteptare totală a utilajelor să fie minimă.Soluţie
Fie matricea T=
71962785110
86513
49425
a timpilor
de prelucrare şi matricea E=
25
15
9
7
a timpilor de eliberare
a utilajelor. Fie de asemenea matricea completată:
E'=
2525252525
1515151515
9999977777
Avem acum A1=
2630252525
1922161515
111611912
77777
,
238
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 239/336
B1=
26302525251922161515
111611912
77777
-
25252525251515151515
99999
77777
=
15000
47100
27203
00000
Calculăm apoi vectorul linie S1 a sumeielementelor coloanelor lui B1 adică suma tuturor timpilor de aşteptare pentru fiecare piesă. Avem deci:
S1= ( )719303
Cea mai mică dintre aceste componentefurnizează prima piesă ce va intra în execuţie adică piesaP2.
Recalculăm acum matricea E a termenelor de
eliberare astfel:
E=A1[2]+T[2]=
25
15
9
7
+
6
1
1
2
=
31
16
10
9
Eliminăm acum coloana a doua din matricea T şiaceasta devine:
T=
7192
78510
86534945
239
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 240/336
De asemenea, matricea completată E'=
31313131
1616161610101010
9999
are coloanele corespunzătoare
pieselor P1, P3, P4 şi P5.
Avem acum: A2=
31323131
21241817
13181314
9999
şi B2=A2-E'
de unde:
B2=
31323131
21241817
13181314
9999
-
31313131
16161616
10101010
9999
=
0100
5821
3834
0000
.
Suma elementelor coloanelor lui B2 este S2=( )81655 de unde rezultă că minimul este atins
pentru piesele P1 şi P3.Pentru a discerne între cele două piese calculăm
mai întâi matricea A'3 după modelul matricelor Ai. Avemdeci:
A'3=
31323131
21241817
13181314
9999
Construim apoi matricea C:
240
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 241/336
C=
2832232721241817
13181314
9999
În final, se construieşte matricea B'3=A'3-C adică:
B'3=
31323131
21241817
13181314
9999
-
28322327
21241817
13181314
9999
=
3084
0000
0000
0000
Se construieşte vectorul linie S'3 al sumelor de pecoloane:
S'3= ( )3084
se înmulţesc componentele acestuia cu costurile aferente pieselor obţinându-se un vector S"3:
S"3= ( )90001600400
şi se determină minimul componentelor lui S"3
corespunzătoare pieselor P1 şi P3. Cum piesa P1 este ceacare furnizează minimul ea este cea de-a doua piesă ce vaintra în fabricaţie.
Avem acum E=A2[1]+T[1]=
31
17
149
+
2
10
35
=
33
27
1714
,
iar matricea T devine:
241
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 242/336
T=
719785
865
494
. Matricea completată E'=
333333272727
171717
141414
şi este corespunzătoare pieselor P3, P4 şi P5. Avem acum:
A3=
343733
272927
182318
141414
,
B3=A3-E'=
343733
272927
182318
141414
-
333333
272727
171717
141414
=
140
020
161
000
iar S3= ( )2121 de unde rezultă că minimul este atins pentru piesa P3 care va intra următoarea în execuţie.
Avem acum E=A3[3]+T[3]=
33
27
18
14
+
9
5
5
4
=
42
32
23
18
,
iar matricea T devine T=
71
78
86
49
. Matricea E'=
4242
3232
2323
1818
este corespunzătoare pieselor P4 şi P5.
242
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 243/336
Rezulă: A4=
42423233
2327
1818
, B4=A4-E'=
42423233
2327
1818
-
4242
3232
2323
1818
=
00
01
04
00
,
S4= ( )05 de unde obţinem că minimul este atins pentru piesa P5 care va intra următoarea în execuţie.
În final, avem E=A4[5]+T[5]=
42
32
23
18
+
7
7
8
4
=
49
39
31
22
,
iar matricea T devine:
T=
1
8
6
9
. Matricea A5=
49
39
31
22
, B5=A5-E=
49
39
31
22
-
49
39
31
22
=
0
0
0
0
deci timpul de aşteptare al ultimei piese ce va intra
în execuţie: P4 este egal cu 0.
Avem în final E=A5[4]+T[4]=
49
39
31
22
+
1
8
6
9
=
50
47
37
31
timpii finali de eliberare a utilajelor.
243
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 244/336
Ordinea de prelucrare finală este: P2, P1, P3, P5, P4.Timpul total de aşteptare este suma minimelor
obţinute pentru Si şi anume: S=0+5+1+0+0=6.2. Într-un atelier se prelucrează cu ajutorul a 4 utilaje U1,U2, U3, U4 un număr de 5 piese: P1, P2, P3, P4. Timpii deeliberare a utilajelor, timpii de prelucrare şi costurile pieselor sunt date în tabelul nr.53. Să se stabilească oordine de lansare a execuţiei pieselor astfel încât duratade aşteptare totală a utilajelor să fie minimă.Tabelul nr.53
PiesaUtilajul
P1 P2 P3 P4 ei
U1 6 2 7 3 12U2 5 1 4 9 15U3 11 4 0 3 8U4 3 4 2 8 23
Cost 200 100 300 400 -
Soluţie
Fie matricea T=
8243
30411
9415
3726
a timpilor de
prelucrare şi matricea E=
238
15
12
a timpilor de eliberare a
utilajelor.Fie de asemenea matricea completată:
244
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 245/336
E'=
232323238888
15151515
12121212
Avem acum A1=
27232334
24231623
15191518
12121212
,
B1=A1-E'=
27232334
24231623
15191518
12121212
-
23232323
8888
15151515
12121212
=
40011
1615815
0403
0000
.
Calculăm apoi vectorul linie S1 a sumeielementelor coloanelor lui B1 adică suma tuturor timpilor de aşteptare pentru fiecare piesă. Avem deci:
S1= ( )2019829
Cea mai mică dintre aceste componentefurnizează prima piesă ce va intra în execuţie adică piesaP2.
Recalculăm acum matricea E a termenelor deeliberare astfel:
E=A1[2]+T[2]=
23
16
15
12
+
4
4
1
2
=
27
20
16
14
245
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 246/336
Eliminăm acum coloana a doua din matricea T şiaceasta devine:
T=
823
3011
945376
De asemenea, matricea completată E'=
272727202020
161616
141414
are coloanele corespunzătoare pieselor
P1, P3 şi P4.
Avem acum: A2=
292736
262525
172120
141414
şi B2=A2-E' de
unde:
B2=
292736
262525
172120
141414
-
272727
202020
161616
141414
=
209
655
154
000
.
Suma elementelor coloanelor lui B2 este S2=( )91018 de unde rezultă că minimul este atins
pentru piesa P4.
246
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 247/336
Avem acum E=A2[4]+T[4]=
29
26
17
14
+
8
3
9
3
=
37
29
26
17
,
iar matricea T devine T=
23
011
45
76
. Matricea completată
E'=
3737
2929
2626
1717
şi este corespunzătoare pieselor P1 şi P3.
Avem acum: A3=
3742
3031
2626
1717
, B3=A3-E'=
3742
3031
2626
1717
-
3737
2929
2626
1717
=
05
12
00
00
, iar S3= ( )17 de unde
rezultă că minimul este atins pentru piesa P3 care va intraurmătoarea în execuţie.
Avem acum E=A3[3]+T[3]=
37
30
2617
+
2
0
47
=
39
30
3024
,
iar matricea T devine:
247
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 248/336
T=
3
11
5
6
. Matricea A4=
4635
30
24
, B4=A4-E=
4635
30
24
-
3930
30
24
=
7
5
0
0
deci timpul de aşteptare al ultimei piese ce va intra
în execuţie: P1 este egal cu 12.
Avem în final E=A4[1]+T[1]=
46
35
30
24
+
3
11
5
6
=
49
46
35
30
timpii finali de eliberare a utilajelor.Ordinea de prelucrare finală este: P2, P4, P3, P1.Timpul total de aşteptare este suma minimelor
obţinute pentru Si şi anume: S=8+9+1+12=30.
CAPITOLUL II
PROBLEME DE ÎNCĂRCARE
Problemele de încărcare sunt specifice
fenomenelor de optimizare a funcţionării unor utilaje, aunor linii tehnologice astfel încât acestea să furnizeze fie
cele mai mari producţii, fie cele mai mici preţuri de cost
pentru o producţie dată.
Fie un graf orientat G=(X,U) (din care eliminăm
eventualele bucle) şi X={x1,...,xn}.248
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 249/336
1. DETERMINAREA FLUXULUI MAXIMAL DE
TRANSPORT ÎNTR-O REŢEA
Vom ataşa grafului G o funcţie de capacitate
c:U→N, (x,y)→c(x,y) ∀(x,y)∈U.
Vom spune că tripletul (X,U,c) reprezintă o reţea
de transport dacă:
♦ x1 este nod iniţial al reţelei şi este unic cu această
proprietate;
♦ xn este nod terminal al reţelei şi este unic cu această
proprietate;
♦ există cel puţin un drum de la x1 la xn.
Fiind dată o reţea de transport, numim flux al
acestei reţele o aplicaţie F:U→N cu proprietăţile:
♦ F(x,y)≤ c(x,y) ∀(x,y)∈U;
♦ ∑∑+− ω∈ω∈
=)y()z,y()y()y,x(
)z,y(F)y,x(F ∀y∈X-
{x1,xn}.
Observaţie
Un flux are proprietatea că este cel mult egal cu
capacitatea arcului, iar suma fluxurilor arcelor care intră
într-un nod (neiniţial şi neterminal) este egală cu suma
fluxurilor arcelor care ies din acel nod. Se obţine imediat
249
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 250/336
că fluxul care intră în nodul iniţial este egal cu cel care
iese prin nodul terminal.
Vom nota, de asemenea, cu:
φ (y)= ∑∑+− ω∈ω∈
=)y()z,y()y()y,x(
)z,y(F)y,x(F
suma tuturor fluxurilor prin nodul y.
Vom exemplifica aceste noţiuni pentru
următoarea:
Problema 1
Să considerăm o agenţie de turism care
organizează circuite către diverse obiective. Agenţia
asigură un punct de plecare şi unul de sosire, în interiorul
mulţimii de trasee. Turiştii pot opta însă pentru diverse
variante. Capacitatea de transport, cazare etc. a agenţiei
este limitată. Este evident că numărul de turişti care intră
într-un obiectiv turistic este egal cu cel al celor care
părăsesc în final acest obiectiv. Se pune problema
determinării maximului fluxului de turişti pe toată aceastăreţea.
Fie deci graful din figura T.12.
250
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 251/336
Pentru determinarea unui flux maximal se
foloseşte algoritmul lui Fulkerson-Ford care constă în
următoarele etape:
Pasul 1 Se alocă mai întâi reţelei un flux arbitrar. În
această etapă se urmăreşte ca intrările total într-un nod să
fie egale cu ieşirile, iar alocările să nu depăşească
capacitatea arcului.
Fig.T.12
Fie deci: F(x1,x2)=2 şi F(x1,x3)=8. Cum
φ (x1)=2+8=10 rezultă că fluxul intrat în nodul x1 este
egal cu 10. Fie F(x2,x4)=1. Deoarece φ (x2)=2 (suma
fluxurilor care intră în x2) rezultă că suma fluxurilor care
251
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 252/336
ies din x2 trebuie să fie egală, de asemenea, cu x2. Avem
deci F(x2,x4)+F(x2,x3)=2 de unde F(x2,x3)=2-1=1. Pentru
nodul x3 avem φ (x3)=8+1=F(x3,x5)+F(x3,x6) de unde
F(x3,x5)+F(x3,x6)=9. Vom atribui, de exemplu: F(x3,x5)=4
şi F(x3,x6)=5. În nodul x4 avem φ (x4)=1+
F(x5,x4)=F(x4,x7) deci fie F(x5,x4)=3 şi F(x4,x7)=4. Pentru
nodul x5 avem φ (x5)=4=F(x5,x4)+F(x5,x7)= 3+F(x5,x7) deunde F(x5,x7)=1. În nodul x6 avem:
φ (x6)=5=F(x6,x7)+F(x6,x8) de unde fie F(x6,x7)=1 şi
F(x6,x8)=4. Pentru x7 avem
φ (x7)=4+1+1=F(x7,x9)+F(x7,x8) deci fie F(x7,x9)=3 şi
F(x7,x8)=3. Pentru nodul x8 avem φ (x8)=4+3=F(x8,x9) deunde F(x8,x9)=7. În final φ (x9)=3+7=10=φ (x1). Alocarea
fluxurilor pe arce este redată în figura T.13 (în interiorul
cercurilor ).
Fig.T.13
Pasul 2 Se procedează la o marcare a nodurilor reţeleiastfel:
♦ Nodul iniţial x1 se marchează cu 0;
♦ Dacă am marcat nodul xi vom marca cu i+ toate
nodurile ce sunt extremităţi finale ale arcelor
252
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 253/336
nesaturate ( pentru care fluxul este strict mai mic
decât capacitatea arcului) cu originea în xi;
♦ Dacă am marcat nodul xi vom marca cu i- toate
nodurile ce sunt extremităţi iniţiale ale arcelor
nesaturate cu vârful în xi.
Avem deci ( fig.T.14) următoarea marcare (în
interiorul pătratelor ):
Nodul x1 este marcat cu 0. Din existenţa arcelor
nesaturate (x1,x2) şi (x1,x3) vom marca nodurile x2 şi x3 cu
1+. Arcul (x2,x4) este nesaturat (F(x2,x4)=1<2=c(x2,x4))
deci marcăm pe x4 cu 2+. Marcăm apoi, în acelaşi mod,
nodurile x5 şi x6 cu 3+, x7 cu 4+, x8 cu 6+ şi x9 cu 7+.
Pasul 3 Dacă s-a reuşit marcarea nodului terminal rezultă
că există un drum de la x1 la x9 format numai din arce
nesaturate.
În cazul exemplului nostru, avem drumul: (x1,x2),
(x2,x4), (x4,x7), (x7,x9).
Pasul 4 Pe drumul δ astfel determinat se calculează m=
( ))y,x(F)y,x(cmin)y,x(
−δ∈ >0.
Pasul 5 Se determină un nou flux F' în reţea astfel:
♦ F'(x,y)=F(x,y) dacă (x,y)∉ δ ;
253
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 254/336
♦ F'(x,y)=F(x,y)+m dacă (x,y)∈δ şi y este marcat cu +;
♦ F'(x,y)=F(x,y)-m≤c(x,y) dacă (x,y)∈ δ şi y estemarcat cu -. Dacă F(x,y)-m>c(x,y) atunci se
consideră F'(x,y)=F(x,y)-1.
Fig.T.14
Pasul 6 Se revine la pasul 2 până când nodul terminal nu
mai poate fi marcat şi deci fluxul obţinut este maximal.
În cazul problemei noastre, avem: m=min
{c(x1,x2)-F(x1,x2), c(x2,x4)-F(x2,x4), c(x4,x7)-F(x4,x7),
c(x7,x9)-F(x7,x9)}= min {2, 1, 2, 6}=1.
254
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 255/336
Avem deci noile fluxuri:
♦ F'(x1,x2)=3
♦ F'(x1,x3)=8
♦ F'(x2,x4)=2
♦ F'(x2,x3)=1
♦ F'(x3,x5)=4
♦ F'(x3,x6)=5
♦ F'(x5,x4)=3
♦ F'(x4,x7)=5
♦ F'(x5,x7)=1
♦ F'(x6,x7)=1
♦ F'(x6,x8)=4
♦ F'(x7,x9)=4
♦ F'(x7,x8)=3
♦ F'(x8,x9)=7
Graful obţinut este dat în figura T.15.
Marcăm acum nodurile. Nodul x1 este marcat cu
0. Din existenţa arcelor nesaturate (x1,x2) şi (x1,x3) vom
marca nodurile x2 şi x3 cu 1+. Arcul (x2,x4) este saturat
(F(x2,x4)=2=c(x2,x4)) deci nu-l mai putem marca precum
în cazul precedent. Arcul (x3,x6) este nesaturat şi deci
marcăm x6 cu 3+, arcul (x3,x5) este nesaturat şi marcăm x5
255
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 256/336
cu 3+. Arcul (x5,x4) este şi el saturat deci nu putem încă
marca nodul x4. Arcul (x5,x7) este nesaturat şi marcăm x7
cu 5+. Arcul (x4,x7) este nesaturat, dar intrând într-un nod
marcat, vom marca pe x4 cu 7-. În final, marcăm nodul x8
cu 6+ şi x9 cu 7+.
Fig.T.15
Situaţia marcării este redată în figura T.16.Drumul obţinut este (x1,x2), (x2,x3), (x3,x5), (x5,x7),
(x7,x9).
Avem acum:
256
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 257/336
m=min {c(x1,x2)-F'(x1,x2), c(x2,x3)-F'(x2,x3), c(x3,x5)-
F'(x3,x5), c(x5,x7)-F'(x5,x7), c(x7,x9)-F'(x7,x9)}=min {1, 4, 3,3, 5}=1.
Fig.T.16
Avem deci noile fluxuri:
♦ F"(x1,x2)=4
♦ F"(x1,x3)=8
257
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 258/336
♦ F"(x2,x4)=2
♦ F"(x2,x3)=2
♦ F"(x3,x5)=5
♦ F"(x3,x6)=5
♦ F"(x5,x4)=3
♦ F"(x4,x7)=5
♦ F"(x5,x7)=2
♦ F"(x6,x7)=1
♦ F"(x6,x8)=4
♦ F"(x7,x9)=5
♦ F"(x7,x8)=3
♦ F"(x8,x9)=7
Graful obţinut, după marcare este:
258
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 259/336
Fig.T.17
Drumul obţinut este (x1,x3), (x3,x6), (x6,x8), (x8,x9).
Avem acum: m=min {c(x1,x3)-F"(x1,x3), c(x3,x6)-
F"(x3,x6), c(x6,x8)-F"(x6,x8), c(x8,x9)-F"(x8,x9)}=min {2, 1,
4, 4}=1.
Avem deci noile fluxuri:
♦ F'''(x1,x2)=4
♦ F'''(x1,x3)=9
♦ F'''(x2,x4)=2
♦ F'''(x2,x3)=2
259
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 260/336
♦ F'''(x3,x5)=5
♦ F'''(x3,x6)=6
♦ F'''(x5,x4)=3
♦ F'''(x4,x7)=5
♦ F'''(x5,x7)=2
♦ F'''(x6,x7)=1
♦ F'''(x6,x8)=5
♦ F'''(x7,x9)=5
♦ F'''(x7,x8)=3
♦ F'''(x8,x9)=8
Graful obţinut, după marcare este dat în figura
T.18.
Drumul obţinut acum este (x1,x3), (x3,x5), (x5,x7),
(x7,x9).
Avem: m=min {c(x1,x3)-F'''(x1,x3), c(x3,x5)-
F'''(x3,x5), c(x5,x7)-F'''(x5,x7), c(x7,x9)-F'''(x7,x9)}=min {1, 2,
2, 4}=1.Avem deci noile fluxuri:
♦ Fiv(x1,x2)=4
♦ Fiv(x1,x3)=10
♦ Fiv(x2,x4)=2
♦ F
iv
(x2,x3)=2260
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 261/336
♦ Fiv(x3,x5)=6
♦ Fiv(x3,x6)=6
Fig.T.18
♦ Fiv(x5,x4)=3
♦ Fiv(x4,x7)=5
♦ Fiv(x5,x7)=3
♦ Fiv(x6,x7)=1
♦ Fiv(x6,x8)=5
♦ Fiv(x7,x9)=6
♦ Fiv(x7,x8)=3
261
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 262/336
♦ Fiv(x8,x9)=8
Graful obţinut, după marcare este dat în figura
T.19.
Fig.T.19
Se observă că marcarea nu mai este posibilă
deoarece ambele arce din x1 sunt saturate. Fluxul din
figură este maximal şi egal cu 14.
262
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 263/336
1.1. Să considerăm o agenţie de turism care
organizează circuite către diverse
obiective. Agenţia asigură un punct de
plecare şi unul de sosire, în interiorul
mulţimii de trasee. Turiştii pot opta însă
pentru diverse variante. Capacitatea de
transport, cazare etc. a agenţiei este
dată în figura A.16. Se pune problema
determinării maximului fluxului de
turişti pe toată această reţea.
Soluţie
Determinăm un flux iniţial pe reţeaua dată. Fie
deci: F(x1,x2)=6 şi F(x1,x3)=10. Cum φ (x1)=6+10=16
rezultă că fluxul intrat în nodul x1 este egal cu 16. Fie
F(x2,x4)=3. Deoarece φ (x2)=6 (suma fluxurilor care intră
în x2) rezultă că suma fluxurilor care ies din x2 trebuie să
fie egală, de asemenea, cu x2. Avem deci
F(x2,x4)+F(x2,x3)=6 de unde F(x2,x3)=6-3=3. Pentru nodul
x3 avem φ (x3)=10+3= F(x3,x5)+F(x3,x6) de unde
F(x3,x5)+F(x3,x6)=13. Vom atribui: F(x3,x5)=10 şi
F(x3,x6)=3. În nodul x4 avem φ (x4)=3+ F(x5,x4)=F(x4,x7)
deci fie F(x5,x4)=6 şi F(x4,x7)=9. Pentru nodul x5 avem
263
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 264/336
φ (x5)=10=F(x5,x4)+F(x5,x7)=6+F(x5,x7) de unde
F(x5,x7)=4. În nodul x6 avem: φ (x6)=3=F(x6,x7)+F(x6,x8)de unde considerăm F(x6,x7)=2 şi F(x6,x8)=1. Pentru
nodul x7 avem φ (x7)=9+4+2=F(x7,x9)+F(x7,x8) deci fie
F(x7,x9)=7 şi F(x7,x8)=8. Pentru nodul x8 avem
φ (x8)=1+8=F(x8,x9) de unde F(x8,x9)=9. În final
φ (x9)=7+9=16=φ (x1). Alocarea fluxurilor pe arce esteredată în figura A.17 (în interiorul cercurilor ).
Fig.A.16
Stabilim acum o numerotare a nodurilor.
264
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 265/336
Marcăm pentru început pe x1 cu 0. Având arcele
nesaturate (x1,x2) şi (x1,x3) marcăm nodurile x2 şi x3 cu
1+. Arcul (x2,x4) fiind nesaturat rezultă că x4 va fi marcat
cu 2+. Nodul x5 va fi marcat cu 3+ deoarece avem arcul
nesaturat (x3,x5). Nodul x6 nu poate fi marcat acum
deoarece arcul (x3,x6) este saturat. Pentru nodul x7 avem
marcarea 4+ deoarece arcul (x4,x7) este nesaturat. Arcul
(x6,x7) este nesaturat şi intrând în x7, deja marcat, rezultă
că nodul x6 va primi marcajul 7-. Arcul (x6,x8) fiind
nesaturat rezultă că nodul x8 va fi marcat cu 6+ şi, în
final, x9 va fi marcat cu 7+ ( fig.A.18).
265
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 266/336
Fig.A.17
Drumul dintre x1 şi x9 va fi: (x1,x2), (x2,x4), (x4,x7),
(x7,x9).
Avem m=min {c(x1,x2)-F(x1,x2), c(x2,x4)-F(x2,x4),
c(x4,x7)-F(x4,x7), c(x7,x9)-F(x7,x9)}=min {1, 2, 1, 7}=1.
266
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 267/336
Fig.A.18
Avem deci noile fluxuri:
♦ F'(x1,x2)=4
♦ F'(x1,x3)=8
♦ F'(x2,x4)=3
♦ F'(x2,x3)=1
♦ F'(x3,x5)=4
♦ F'(x3,x6)=5
♦ F'(x5,x4)=3
♦ F'(x4,x7)=6
267
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 268/336
♦ F'(x5,x7)=1
♦ F'(x6,x7)=1
♦ F'(x6,x8)=4
♦ F'(x7,x9)=5
♦ F'(x7,x8)=3
♦ F'(x8,x9)=7
Graful obţinut este dat în figura A.19.
Fig.A.19
Încercăm acum o nouă marcare a nodurilor.
Nodul x1 este marcat cu 0. Deoarece arcul (x1,x3)
este nesaturat marcăm nodul x3 cu 1+. Arcul (x2,x3)
268
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 269/336
nefiind saturat şi intrând în nodul marcat x3 implică
marcarea nodului x2 cu 3-. Arcul (x2,x4) nefiind saturat
rezultă că nodul x4 este marcat cu 2+. Arcul (x3,x5) fiind
nesaturat rezultă că x5 va fi marcat cu 3+. Se observă mai
departe ( fig.A.20) că toate arcele ce pleacă din nodurile
deja marcate sunt saturate: (x4,x7), (x5,x7), (x3,x6) deci nu
se mai poate continua marcarea nodurilor rămase: x6, x7,
x8, x9.
Fig.A.20
Fluxul obţinut în figura A.20 este cel maximal şi
egal cu 17.
269
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 270/336
1.2. Într-o unitate de învăţământ cursanţii pot alege un
număr oarecare de discipline care sunt însă condiţionate
unele de altele. Fiecare disciplină are un număr limitat de
locuri ca în tabelul A.6. Să se determine fluxul maximal
al cursanţilor din reţeaua construită.
Tabelul A.6
Disciplină Număr de
locuri
Condiţionare de
Înscriere (x1) 55 -Matematică (x2) 25 înscriereInformatică (x3) 25 înscriere
Statistică economică
(x4)
15 matematică, economie
generală
Economie politică(x5)
20 matematică, informatică
Cibernetică (x6) 15 informaticăMacroeconomie (x7) 20 statistică, economie
generalăMicroeconomie (x8) 20 cibernetică,
macroeconomieAbsolvire (x9) 55 macroeconomie,
microeconomie
270
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 271/336
Soluţie
Graful obţinut pe baza tabelului A.6 este redat în
figura A.21.
Fig.A.21
Determinăm un flux iniţial pe reţeaua dată. Fie
deci: F(x1,x2)=20 şi F(x1,x3)=20. Cum φ (x1)=20+20=40rezultă că fluxul intrat în nodul x1 este egal cu 40. Fie
F(x2,x4)=10. Deoarece φ (x2)=20 rezultă că suma
fluxurilor care ies din x2 trebuie să fie egală, de
asemenea, cu x2. Avem deci F(x2,x4)+F(x2,x5)=20 de unde
F(x2,x5)=20-10=10. Pentru nodul x3 avem271
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 272/336
φ (x3)=20=F(x3,x5)+F(x3,x6) de unde rezultă că vom
atribui, de exemplu: F(x3,x5)=10 şi F(x3,x6)=10. În nodul
x4 avem φ (x4)=10+F(x5,x4)=F(x4,x7) deci fie F(x5,x4)=5 şi
F(x4,x7)=15. Pentru nodul x5 avem
φ (x5)=20=F(x5,x4)+F(x5,x7)=5+ F(x5,x7) de unde
F(x5,x7)=15. În nodul x6 avem: φ (x6)=10=F(x6,x8) de
unde: F(x6,x8)=10. Pentru nodul x7 avemφ (x7)=30=F(x7,x8)+F(x7,x9) deci: fie F(x7,x8)=10 şi
F(x7,x9)=20. Pentru nodul x8 avem φ (x8)=20=F(x8,x9) de
unde F(x8,x9)=20. În final φ (x9)=40=φ (x1). Alocarea
fluxurilor pe arce este redată în figura A.22.
Fig.A.22
272
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 273/336
Stabilim acum o numerotare a nodurilor şi
obţinem imediat figura A.23.
Fig.A.23
Drumul dintre x1 şi x9 va fi: (x1,x2), (x2,x4), (x4,x7),
(x7,x9).
Avem m=min {c(x1,x2)-F(x1,x2), c(x2,x4)-F(x2,x4),
c(x4,x7)-F(x4,x7), c(x7,x9)-F(x7,x9)}=min {5, 5, 5, 5}=5.
Avem deci noile fluxuri:
273
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 274/336
♦ F'(x1,x2)=25
♦ F'(x1,x3)=20
♦ F'(x2,x4)=15
♦ F'(x3,x5)=10
♦ F'(x3,x6)=10
♦ F'(x5,x4)=5
♦ F'(x4,x7)=20
♦ F'(x5,x7)=15
♦ F'(x6,x8)=10
♦ F'(x7,x9)=25
♦ F'(x7,x8)=10
♦ F'(x8,x9)=20
274
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 275/336
Fig.A.24 Noua numerotare a nodurilor este redată în figura
A.24.
Drumul dintre x1 şi x9 va fi: (x1,x3), (x3,x6), (x6,x8),
(x8,x9).
Avem m=min {c(x1,x3)-F(x1,x3), c(x3,x6)-F(x3,x6),
c(x6,x8)-F(x6,x8), c(x8,x9)-F(x8,x9)}=min {5, 5, 10, 5}=5.
Avem deci noile fluxuri:
♦ F"(x1,x2)=25
♦ F"(x1,x3)=25
275
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 276/336
♦ F"(x2,x4)=15
♦ F"(x3,x5)=10
♦ F"(x3,x6)=15
♦ F"(x5,x4)=5
♦ F"(x4,x7)=20
♦ F"(x5,x7)=15
♦ F"(x6,x8)=15
♦ F"(x7,x9)=25
♦ F"(x7,x8)=10
♦ F"(x8,x9)=25
Din figura A.25 se observă că arcele care pleacă
din x1 sunt saturate deci nu mai este posibil să facem o
nouă renumerotare a nodurilor. Fluxul obţinut este deci
maximal.
276
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 277/336
Fig.A.25
2. PROBLEME GENERALE DE ÎNCĂRCARE
Într-o întreprindere există n utilaje U1,...,Un care
trebuie să execute produsele finite F1,...,Fm în cantităţile
C1,...,Cm. Durata de funcţionare a acestor utilaje este
variabilă în funcţie de fiecare şi anume d1,...,dn. Să
considerăm productivitatea4 pij a utilajului U j pentru
produsul Fi, i=1,...,m, j=1,...,n adică numărul de produse
Fi fabricate de către utilajul U j în unitatea de timp. Fie, de
asemenea, costul cij al prelucrării unei unităţi de produs Fi
4 Teodorescu N. ].a., Metode ale cercet`rii opera\ionale[n gestiunea [ntreprinderilor , Ed. tehnic`, Bucure]ti,
1972277
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 278/336
pe utilajul U j (dacă F i nu se poate prelucra pe U j se
consideră costul ∞ ).
Notând cu xij cantitatea de produs Fi ce va fi
prelucrată pe utilajul U j problema cere să se minimizeze
funcţia de cost total: ∑∑= =
m
1i
n
1 jijijxc în condiţiile
restrictive: ∑=
m
1i ij
ij
p
x≤ d j ∀ j=1,...,n (limitarea după durata
funcţionării utilajelor ) şi ∑=
n
1 jijx =Ni ∀i=1,...,m (condiţia
de realizare a planului propus).Vom exemplifica această problemă teoretică pe:
Problema 2
Într-o întreprindere există 3 utilaje U1, U2, U3 care
trebuie să execute produsele finite F1, F2, F3, F4, F5 în
cantităţile 1000, 4000, 1500, 3000, 11500. Durata defuncţionare a acestor utilaje este de 500, 600 respectiv
900 ore. Productivităţile şi costurile pentru fiecare
pereche (produs finit, utilaj) sunt redate în tabelul T.4.
278
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 279/336
Tabelul T.4
Utilaj U1 U2 U3 Cant.
cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F1 1 10 3 15 7 20 1000F2 5 30 4 20 2 10 4000F3 9 40 4 10 1 5 1500F4 2 10 6 20 8 30 3000
F5 3 5 8 20 4 50 11500durata
de funcţ. 500 600 900Problema cere stabilirea unui plan de producţie
pentru minimizarea costurilor totale.
Algoritmul pe care îl vom prezenta nu determină
în mod necesar soluţia optimă. El se bazează pe ideeametodei de transport care însă conţine condiţii de aceeaşi
natură. În situaţia noastră, pentru optimizare trebuie să
ţinem seama atât de durata totală de prelucrare cât şi de
cantităţile cerute. În orice caz, însă, metoda prezentată va
conduce la o soluţie îmbunătăţită ( pe care o vom numi
prin forţare de limbaj - soluţie optimă ).
Pasul 1 Se determină o soluţie iniţială astfel:
Pasul 1.1 Se alege un cost arbitrar cij.
279
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 280/336
Pasul 1.2 Se atribuie lui xij valoarea min{Ci, pijd j} (care
are semnificaţia producerii fie a cantităţii totale
solicitate, fie a cantităţii disponibile la prelucrare pe
utilajul U j în funcţie de productivitatea acestuia)
Pasul 1.3 Se scade valoarea lui xij din ultimul element de
pe linia corespunzătoare şiij
ij
p
xdin cea a ultimului
element de pe coloana corespunzătoare.
Pasul 1.4 Se elimină din tabel linia sau coloana ce are 0
pe ultima poziţie.
Pasul 1.5 Se continuă algoritmul de la pasul 1.1 pe tabelul
rămas până la terminarea tuturor liniilor.Alegerea costului cij se poate face ( prin analogie
cu algoritmul de transport ) fie prin metoda colţului de
nord-vest (alegând de fiecare dată costul din celula
aflată în stânga-sus), fie prin metoda costului minim
(alegând de fiecare dată costul minim din tabelul rămas).În situaţia problemei noastre, avem (cu metoda
costului minim) succesiunea de tabele:
Alegem costul minim c11=1. Obţinem x11=min
{1000, 10× 500)=1000. Scădem valoarea 1000 din totalul
280
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 281/336
primei linii şi durata10
1000=100 din totalul primei
coloane. Tăind prima linie obţinem:
Utilaj U1 U2 U3 Cant. cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F2 5 30 4 20 2 10 4000F3 9 40 4 10 1 5 1500F4 2 10 6 20 8 30 3000
F5 3 5 8 20 4 50 11500durata
de funcţ. 400 600 900Alegem acum costul minim c33=1. Avem x33=min
{1500, 5× 900)=1500. Scădem valoarea 1500 din totalul
liniei F3 şi durata 5
1500
=300 din totalul coloanei U3.
Tăind linia F3 obţinem:
Utilaj U1 U2 U3 Cant. cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F2 5 30 4 20 2 10 4000F4 2 10 6 20 8 30 3000
F5 3 5 8 20 4 50 11500durata
de funcţ. 400 600 600Alegem acum costul minim c41=2. Avem x41=min
{3000, 10× 400)=3000. Scădem valoarea 3000 din totalul
281
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 282/336
liniei F4 şi durata10
3000=300 din totalul coloanei U1.
Tăind linia F4 obţinem:
Utilaj U1 U2 U3 Cant.
cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F2 5 30 4 20 2 10 4000F5 3 5 8 20 4 50 11500
duratade funcţ. 100 600 600
Alegem acum costul minim c23=2. Avem x23=min {4000,
10× 600)=4000. Scădem valoarea 4000 din totalul liniei
F2 şi durata10
4000=400 din totalul coloanei U3. Tăind
linia F2 obţinem:
Utilaj U1 U2 U3 Cant.
cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F5 3 5 8 20 4 50 11500
duratade funcţ. 100 600 200
Alegem acum costul minim c51=3. Avem x51=min
{11500, 5× 100)=500. Scădem valoarea 500 din totalul
282
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 283/336
liniei F5 şi durata5
500=100 din totalul coloanei U1.
Tăind coloana U1 obţinem:
Utilaj U2 U3 Cant. cerutăProdus ci2 pi2 ci3 pi3
F5 8 20 4 50 11000durata de funcţ.
600 200
Alegem costul minim c53=4. Avemx53=min {11000, 50× 200)=10000. Scădem valoarea
10000 din totalul liniei F5 şi durata50
10000=200 din
totalul coloanei U3. Tăind coloana U3 rezultă:
Utilaj U2 Cant. cerutăProdus ci2 pi2
F5 8 20 1000durata de funcţ. 600Pentru costul c52=8 avem x52=min
{1000,20× 600}= 1000.
Am obţinut deci soluţia iniţială de bază.Se observă că pentru a avea o soluţie iniţială
productivităţile şi duratele de funcţionare trebuie să fie
corespunzătoare deoarece, în caz contrar, este posibil să
rămână producţie nerealizată.
283
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 284/336
Pasul 2 Se întocmeşte un tabel de tipul celui de mai sus în
care, la intersecţia fiecărei linii şi coloane se trec într-un
subtabel (cu două linii îi două coloane) următoarele
cantităţi:
♦ în stânga-sus - durata de prelucrare corespunzătoare
cantităţii xij egală cu tij=ij
ij
p
x;
♦ în dreapta-sus - cantităţile xij;
♦ în stânga-jos - costurile cij;
♦ în dreapta-jos - productivităţile pij;
Celulele corespunzătoare soluţiei iniţiale se
numesc celule de bază. Avem deci:Utilaj U1 U2 U3
Produs ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1 100 1000 - - - -1 10 3 15 7 20
F2 - - - - 400 40005 30 4 20 2 10
F3 - - - - 300 15009 40 4 10 1 5
284
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 285/336
F4 300 3000 - - - -2 10 6 20 8 30
F5 100 500 50 1000 200 100003 5 8 20 4 50
Să reţinem faptul că totalul costului este:
1× 1000+2× 4000+1× 1500+2× 3000+3× 500+8× 1000+
4× 10000=66000.
Pasul 3 Se ataşează fiecărei linii o variabilă u i şi fiecărei
coloane o variabilă v j. Se rezolvă apoi sistemul5: ui+ij
j
p
v
=cij pentru celulele de bază dând valori arbitrare unei
variabile (de regulă 0).
Avem deci pentru problema noastră:
5 Teodorescu N. ].a., Metode ale cercet`rii opera\ionale[n gestiunea [ntreprinderilor , Ed. tehnic`, Bucure]ti,1972
285
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 286/336
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
45 0
vu
82 0
vu
35
vu
21 0
vu
15
vu
21 0
vu
11 0
vu
3
5
2
5
1
5
1
4
3
3
3
2
1
1
Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1, u4=2, u5=3,
v2=100, v3=50, u2=-3, u3=-9.
Pasul 4 Se calculează cantităţile δ ij=ui+ij
j
p
v-cij pentru
celulele care nu sunt de bază şi se înscriu în tabel în
celula din stânga-jos lângă costuri (le vom scrie între
paranteze).
Avem deci:
286
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 287/336
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1
(u1=1)
100 1000 - - - -1 10 3(4,
6
15 7(-3,5) 20
F2
(u2=-3)
- - - - 400 40005(-8) 30 4(-2) 20 2 10
F3
(u3=-9)- - - - 300 1500
9(-18) 40 4(-3) 10 1 5
F4
(u4=2)
300 3000 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-
4,33)
30
F5
(u5=3)
100 500 50 1000 200 10000
3 5 8 20 4 50Pasul 5 Dacă toate cantităţile δ ij sunt mai mici sau egale
cu 0 atunci soluţia este optimă. Dacă cel puţin una din
aceste cantităţi este strict pozitivă atunci se calculează
ij0ij
maxδ>δ . Fie celula (a,b) care furnizează acest maxim.
În cazul nostru: max {δ 12}=max {4,6}=4,6 pentru (1,2).
Pasul 6 Construim un ciclu (adică o secvenţă ordonată
de celule de forma: (i1 ,j1 ), (i1 ,j2 ), (i2 ,j2 ), (i2 ,j3 ),...,(ik ,jk ),
(ik ,j1 )) care să aibă ca punct de plecare celula (a,b) şi care
să se sprijine numai pe celule de bază (corespunzând
287
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 288/336
soluţiei de bază alese). Stabilim apoi o orientare de
parcurs a ciclului format.
Pasul 7 Se marchează celulele ce ocupă un rang par
(celula (a,b) având numărul 1) cu un semn distinctiv (la
noi cu un asterisc). Se determină apoi, în celulele
marcate, cea mai mică valoare de forma:ij
ij
p
x pab=tij pab
unde (i,j) este una din aceste celule. Fie "m" minimul
obţinut şi celula (c,d) ce furnizează această
valoare.Avem:
U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)
Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1
(u1=1)
100 1000* - - - -1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20
288
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 289/336
F2
(u2=-3)
- - - - 400 40005(-8) 30 4(-2) 20 2 10
F3
(u3=-9)
- - - - 300 15009(-18 40 4(-3) 10 1 5
F4
(u4=2)
300 3000 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-4,3 30
F5
(u5=3)
100 500 50 1000* 200 100003 5 8 20 4 50
urmând: m=min {t52 p12, t11 p12}=min {50× 15,100× 15}=
750 obţinut pentru celula (5,2).
Pasul 8 Variabila (a,b) va intra în bază, iar variabila (c,d)
va ieşi din bază. Noile valori ale variabilelor se obţin
astfel:
♦ În celulele marcate noile valori ale variabilelor xij sunt
xij- ij
ab
pp
m;
♦ În celulele nemarcate noile valori ale variabilelor xij
sunt xij+ ij
ab
pp
m.
289
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 290/336
Noua soluţie de bază este formată din variabila
aflată în celula (a,b) şi vechile variabile bazice din care se
va exclude cea din celula (c,d).
Pasul 9 Se revine la pasul 3 până la obţinerea soluţiei
optime.
În cazul problemei noastre avem:
x'12=x12+ 12p
m
p12=0+ 15
750
× 15=750;
x'52=x52-12p
m p52=1000-
15
750× 20=0;
x'51=x51+12p
m p51=500+
15
750× 5=750;
x'11=x11-12p
m p11=1000-
15
750× 10=500.
Verificăm dacă totalul duratelor de funcţionare
este mai mic decât maximul admis pentru fiecare utilaj şi
dacă totalul cantităţilor modificate este egal cu cel alcantităţilor cerute. Dacă aceste condiţii nu sunt îndeplinite
atunci se modifică valori ale variabilelor de bază până
când toate relaţiile sunt satisfăcute. Metoda aceasta are ca
idee faptul că dacă se obţine o soluţie de bază al cărei cost
total este mai mic decât cel iniţial ea se constituie într-un290
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 291/336
punct de plecare pentru pasul 3. În cazul depăşirilor de
cantităţi fabricate se va genera o micşorare a valorii unei
celule de bază care va determina şi scăderea timpului de
lucru al utilajului respectiv ( şi deci şi al costului total ). În
cazul insuficienţei de produse problema devine mai
dificilă. Dacă se introduce în tabel o celulă de bază
suplimentară atunci sistemul de indicatori devine
compatibil determinat şi soluţia sa este foarte laborioasă.
În acest caz se poate continua algoritmul, iar în final se
repartizează producţia neefectuată unui utilaj cu durată
rămasă suficient. Se calculează costul total şi dacă acesta
este mai mic decât cel iniţial se adoptă soluţia găsită.
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1
(u1=1)
50 500 50 750 - -1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20
F2
(u2=-3)
- - - - 400 4000
5(-8) 30 4(-2) 20 2 10
F3
(u3=-9)
- - - - 300 15009(-18) 40 4(-3) 10 1 5
F4
(u4=2)
300 3000 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-
4,33)
30
291
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 292/336
F5
(u5=3)
150 750 - - 200 100003 5 8 20 4 50
În cazul nostru observăm că duratele de
funcţionare satisfac condiţiile problemei, dar că totalul
pentru produsul F1 este de 1250 (>1000 - cantitatea
cerută), iar totalul pentru F5 este 10750 (<11500 -
cantitatea cerută).
Vom micşora deci cantitatea x12 (a cărei rezervă
de timp este suficientă) astfel încât x'12=500 (pentru a
restabili totalul)
Noua soluţie de bază este:
Utilaj U1 U2 U3
Prod. ti1/ci1
xi1/pi1
ti2/ci2
xi2/pi2
ti3/ci3
xi3/pi3
F1 50 500 33,3 500 - -1 10 3 15 7 20
F2 - - - - 400 40005 30 4 20 2 10
F3 - - - - 300 15009 40 4 10 1 5
F4 300 3000 - - - -2 10 6 20 8 30
F5 150 750 - - 200 100003 5 8 20 4 50
292
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 293/336
Sistemul de indicatori devine:
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
45 0
v
u
35
vu
21 0
vu
15
vu
21 0
vu
31 5
vu
11 0vu
3
5
1
5
1
4
33
3
2
2
1
11
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=30) U3 (v3=50)Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1
(u1=1)
50 500 33,3 500 - -
1 10 3 15 7(-3,5) 20F2
(u2=-3)
- - - - 400 40005(-8) 30 4(-5,5) 20 2 10
F3
(u3=-9)
- - - - 300 15009(-18) 40 4(-10) 10 1 5
F4 300 3000 - - - -
293
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 294/336
(u4=2) 2 10 6(-2,5) 20 8(-
4,33)
30
F5
(u5=3)
150 750 - - 200 100003 5 8(-3,5) 20 4 50
Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1, u4=2, u5=3,
v2=30, v3=50, u2=-3, u3=-9.
Cum toate cantităţile δ ij sunt mai mici sau egale
cu 0 rezultă că soluţia este optimă.Costul parţial este: 1× 500+3× 500+2× 4000+
1× 1500+2× 3000+3× 750+4× 10000=59750, dar pe
seama nerealizării planului lui F5. Diferenţa de 750 de
unităţi de produs se poate realiza cu utilajul U2 al cărui
disponibil de timp a rămas egal cu 566,7 ore. Realizareaacestei producţii duce la un cost suplimentar de
750× 8=6000 deci la un cost total de 59750+6000=65750
mai mic decât cel iniţial de 66000.
2.1. Într-o întreprindere există 3 utilaje U1, U2, U3 care
trebuie să execute produsele finite F1, F2, F3, F4, F5 încantităţile 100, 400, 150, 300, 1150. Durata de
funcţionare a acestor utilaje este de 50, 60 respectiv 90
ore. Productivităţile şi costurile pentru fiecare pereche
(produs finit, utilaj) sunt redate în tabelul A.7.
294
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 295/336
Tabelul A.7
Utilaj U1 U2 U3 Cant. cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F1 1 10 3 15 7 20 100F2 5 30 4 20 2 10 400F3 9 40 4 10 1 5 150F4 2 10 6 20 8 30 300F5 3 5 8 20 4 50 1150
durata
de funcţ. 50 60 90
Problema cere stabilirea unui plan de producţie pentru minimizarea costurilor totale.
Soluţie
Vom determina, mai întâi, o soluţie iniţială de
bază. Alegem costul minim c11=1. Obţinem x11=min {100,
10× 50)=100. Scădem valoarea 100 din totalul primei
linii şi durata10
100=10 din totalul primei coloane. Tăind
prima linie obţinem:
295
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 296/336
Utilaj U1 U2 U3 Cant. cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F2 5 30 4 20 2 10 400F3 9 40 4 10 1 5 150F4 2 10 6 20 8 30 300F5 3 5 8 20 4 50 1150
durata
de funcţ. 40 60 90Alegem acum costul minim c33=1. Avem x33=min
{150, 5× 90)=150. Scădem valoarea 150 din totalul liniei
F3 şi durata5
150=30 din totalul coloanei U3. Tăind linia
F3 obţinem:
Utilaj U1 U2 U3 Cant. cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F2 5 30 4 20 2 10 400F4 2 10 6 20 8 30 300F5 3 5 8 20 4 50 1150
durata
de funcţ. 40 60 60Alegem acum costul minim c41=2. Avem x41=min
{300, 10× 40)=300. Scădem valoarea 300 din totalul liniei
F4 şi durata10
300=30 din totalul coloanei U1. Tăind linia
F4 obţinem:
296
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 297/336
Utilaj U1 U2 U3 Cant.
cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F2 5 30 4 20 2 10 400F5 3 5 8 20 4 50 1150
durata
de funcţ. 10 60 60Alegem acum costul minim c23=2. Avem x23=min {400,
10× 60)=400. Scădem valoarea 400 din totalul liniei F2 şi
durata10
400=40 din totalul coloanei U3. Tăind linia F2
obţinem:
Utilaj U1 U2 U3 Cant.
cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F5 3 5 8 20 4 50 1150
duratade funcţ. 10 60 20
Alegem acum costul minim c51=3. Avem x51=min
{1150, 5× 10)=50. Scădem valoarea 50 din totalul liniei
297
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 298/336
F5 şi durata5
50=10 din totalul coloanei U1. Tăind
coloana U1 obţinem:
Utilaj U2 U3 Cant. cerutăProdus ci2 pi2 ci3 pi3
F5 8 20 4 50 1100durata de
funcţ. 60 20
Alegem costul minim c53=4. Avemx53=min {1100, 50× 20)=1000. Scădem valoarea 1000 din
totalul liniei F5 şi durata50
1000=20 din totalul coloanei
U3. Tăind coloana U3 rezultă:
Utilaj U2 Cantitate cerutăProdus ci2 pi2
F5 8 20 100durata de
funcţionare 60Pentru costul c52=8 avem x52=min {100,20× 60}=
100.Am obţinut deci soluţia iniţială de bază.
Avem deci:
Utilaj U1 U2 U3
Produs ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
298
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 299/336
F1 10 100 - - - -1 10 3 15 7 20
F2 - - - - 40 4005 30 4 20 2 10
F3 - - - - 30 1509 40 4 10 1 5
F4 30 300 - - - -2 10 6 20 8 30
F5 10 50 5 100 20 1000
3 5 8 20 4 50Să reţinem faptul că totalul costului este:
1× 100+2× 400+1× 150+2× 300+3× 50+8× 100+4× 1000
=6600.
Se ataşează fiecărei linii o variabilă ui şi fiecărei
coloane o variabilă v j. Se rezolvă apoi sistemul: ui+ij
j
pv
=cij pentru celulele de
bază dând valori arbitrare unei variabile (de regulă 0).
Avem deci:
299
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 300/336
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
45 0
vu
82 0
vu
35
vu
21 0
vu
15
vu
21 0
vu
11 0
vu
3
5
2
5
1
5
1
4
3
3
3
2
1
1
Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1, u4=2, u5=3,
v2=100, v3=50, u2=-3, u3=-9.
Se calculează acum cantităţile δ ij=ui+ij
j
p
v-cij
pentru celulele care nu sunt de bază şi se înscriu în tabel
în celula din stânga-jos lângă costuri (le vom scrie între
paranteze).
Avem deci:
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)Prod. ti1/ xi1/ ti2/ xi2/ ti3/ xi3/
300
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 301/336
ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3
F1
(u1=1)
10 100 - - - -
1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20F2
(u2=-3)
- - - - 40 4005(-8) 30 4(-2) 20 2 10
F3
(u3=-9)
- - - - 30 1509(-18) 40 4(-3) 10 1 5
F4
(u4=2)
30 300 - - - -
2 10 6(-1) 20 8(-4,33)
30
F5
(u5=3)
10 50 5 100 20 10003 5 8 20 4 50
Avem acum max {δ 12}=max {4,6}=4,6 pentru
celula (1,2).
Construind ciclul cu baza în celula (1,2) rezultă:
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)
Prod. ti1/ci1
xi1/pi1
ti2/ci2
xi2/pi2
ti3/ci3
xi3/pi3
F1
10 100 * - - - -
301
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 302/336
(u1=1) 1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20F2
(u2=-3)
- - - - 40 400
5(-8) 30 4(-2) 20 2 10F3
(u3=-9)
- - - - 30 1509(-18) 40 4(-3) 10 1 5
F4
(u4=2)
30 300 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-
4,33)
30
F5
(u5=3)
10 50 5 100 * 20 10003 5 8 20 4 50
Acum m=min {t52 p12, t11 p12}=min
{0× 15,10× 15}=75 obţinut pentru celula (5,2).
x'12=x12+12pm p12=0+
1575 × 15=75;
x'52=x52-12p
m p52=100-
15
75× 20=0;
x'51=x51+12p
m p51=50+
15
75× 5=75;
x'11=x11-12p
m p11=100-
15
75× 10=50.
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1 5 50 5 75 - -
302
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 303/336
(u1=1) 1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20F2
(u2=-3)
- - - - 40 400
5(-8) 30 4(-2) 20 2 10F3
(u3=-9)
- - - - 30 1509(-18) 40 4(-3) 10 1 5
F4
(u4=2)
30 300 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-
4,33)
30
F5
(u5=3)15 75 - - 20 10003 5 8 20 4 50
În cazul nostru observăm că duratele de
funcţionare satisfac condiţiile problemei, dar că totalul
pentru produsul F1 este de 125 (>100 - cantitatea cerută),
iar totalul pentru F5 este 1075 (<1150 - cantitatea cerută).
Vom micşora deci cantitatea x12 (a cărei rezervă
de timp este suficientă) astfel încât x'12=50 (pentru a
restabili totalul)
Noua soluţie de bază este:
Utilaj U1 U2 U3
Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1 5 50 3,3 50 - -1 10 3 15 7 20
F2 - - - - 40 400
303
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 304/336
5 30 4 20 2 10F3 - - - - 30 150
9 40 4 10 1 5F4 30 300 - - - -
2 10 6 20 8 30
F5 15 75 - - 20 10003 5 8 20 4 50
Sistemul de indicatori devine:
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
45 0
vu
35
vu
21 0
vu
15
vu
21 0
vu
31 5
vu
11 0
vu
3
5
1
5
1
4
3
3
3
2
2
1
1
1
Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1, u4=2, u5=3,
v2=30, v3=50, u2=-3, u3=-9.
304
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 305/336
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=30) U3 (v3=50)Prod. ti1/
ci1
xi1/
pi1
ti2/
ci2
xi2/
pi2
ti3/
ci3
xi3/
pi3
F1
(u1=1)
5 50 3,3 50 - -1 10 3 15 7(-3,5) 20
F2
(u2=-3)
- - - - 40 4005(-8) 30 4(-5,5) 20 2 10
F3
(u3=-9)
- - - - 30 150
9(-18) 40 4(-10) 10 1 5F4
(u4=2)
30 300 - - - -2 10 6(-2,5) 20 8(-4,33) 30
F5
(u5=3)
15 75 - - 20 10003 5 8(-3,5) 20 4 50
Cum toate cantităţile δ ij sunt mai mici sau egale
cu 0 rezultă că soluţia este optimă.
Costul parţial este: 1× 50+3× 50+2× 400+1× 150+
2× 300+3× 75+4× 1000=5975, dar pe seama nerealizării
planului lui F5. Diferenţa de 75 de unităţi de produs se
poate realiza cu utilajul U2 al cărui disponibil de timp a
rămas egal cu 56,7 ore. Realizarea acestei producţii duce
la un cost suplimentar de 75× 8=600 deci la un cost total
de 5975+600=6575 mai mic decât cel iniţial de 6600.
2.2. Într-o întreprindere există 2 utilaje U1, U2 care trebuie
să execute produsele finite F1, F2, F3 în cantităţile 100,
305
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 306/336
300, 200. Durata de funcţionare a acestor utilaje este de 7
respectiv 40 ore. Productivităţile şi duratele de execuţie
(care sunt inversele productivităţilor ) pentru fiecare
pereche (produs finit, utilaj) sunt redate în tabelul A.8.
Tabelul A.8
Utilaj U1 U2 Cant. cerutăProdus di1 pi1 di2 pi2
F1 1/20 20 1/10 10 100F2 1/30 30 1/30 30 300F3 1/50 50 1/40 40 200
duratade funcţ.
7 40Problema cere stabilirea unui plan de producţie
pentru minimizarea duratei totale de prelucrare.
Soluţie
Vom determina, mai întâi, o soluţie iniţială de
bază.
Alegem durata minimă d31=1/50. Obţinem
x31=min {200, 7× 50)=200. Scădem valoarea 200 din
306
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 307/336
totalul liniei F3 şi durata50
200=4 din totalul primei
coloane. Tăind linia F3 obţinem:
Utilaj U1 U2 Cant.
cerutăProdus di1 pi1 di2 pi2
F1 1/20 20 1/10 10 100F2 1/30 30 1/30 30 300
durata de
funcţ. 3 40Alegem acum durata minimă d22=1/30. Obţinem
x22=min {300, 40× 30)=300. Scădem valoarea 300 din
totalul liniei F2 şi durata30
300=10 din totalul coloanei U2.
Tăind linia F2 obţinem:
Utilaj U1 U2 Cant.cerută
Produs di1 pi1 di2 pi2
F1 1/20 20 1/10 10 100durata de
funcţ. 3 30
307
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 308/336
Alegem acum durata minimă d11=1/20. Obţinem
x11=min {100, 3× 20)=60. Scădem valoarea 60 din totalul
liniei F1 şi durata20
60=3 din totalul primei coloane.
Tăind coloana U1 obţinem:
Utilaj U2 Cantitate cerutăProdus di2 pi2
F1 1/10 10 40durata de
funcţionare 30Pentru durata d12=1/10 avem x12=min {40,
30× 10)=40. Scădem valoarea 40 din totalul liniei F1 şi
durata 1040 =4 din totalul coloanei U2 obţinând în final o
soluţie iniţială de bază. Tabelul este:
Utilaj U1 U2
Produs ti1/ci1 xi1/pi1 ti2/ci2 xi2/pi2
F1 3 60 4 401/20 20 1/10 10
F2 - - 10 3001/30 30 1/30 30
F3 4 200 - -1/50 50 1/40 40
Să reţinem faptul că durata totală este:
60× 1/20+40× 1/10+ 300× 1/30+200× 1/50=21.
308
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 309/336
Se ataşează fiecărei linii o variabilă ui şi fiecărei
coloane o variabilă v j. Se rezolvă apoi sistemul: ui+ij
j
pv
=cij pentru celulele de bază dând valori arbitrare unei
variabile (de regulă 0).
Avem deci:
=+
=+
=+
=+
5 01
5 0vu
3 0
1
3 0
vu
1 0
1
1 0
vu
2 0
1
2 0
vu
1
3
2
2
2
1
1
1
Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1/20, u3=1/50,
v2=1/2, u2=1/60.
Se calculează acum cantităţile δ ij=ui+ij
j
p
v-dij
pentru celulele care nu sunt de bază şi se înscriu în tabel
în celula din stânga-jos lângă costuri (le vom scrie între
paranteze).
Avem deci tabelul de mai jos.
309
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 310/336
Construind ciclul cu baza în celula (3,2) avem
m=min {t12 p32, t31 p32}=min {4× 40,4× 40}=160 obţinut
pentru celula (1,2).
x'32=x32+32p
m p32=0+
40
160× 40=160;
x'12=x12-32p
m p12=40-
40
160× 10=0;
x'11=x11+32p
m p11=60+
40
160× 20=140;
x'31=x31-32p
m p31=200-
40
160× 50=0.
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=1/2)
Produs ti1
/ci1
xi1
/pi1
ti2
/ci2
xi2
/pi2
F1
(u1=1/20)
3 60 4 * 401/20 20 1/10 10
F2
(u2=1/60)
- - 10 3001/30
(-1/60)
30 1/30 30
4 * 200 - -
310
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 311/336
(u3=1/50) 1/50 50 1/40
(20-1/200)
40
Noul tabel devine:
Utilaj U1 U2
Produs ti1/ci1 xi1/pi1 ti2/ci2 xi2/pi2
F1 7 140 - -1/20 20 1/10 10
F2 - - 10 300
1/30 30 1/30 30F3 0 0 4 1601/50 50 1/40 40
Deoarece cantitatea de produs F1 depăşeşte
necesarul de 100 scădem 40 de unităţi relativ la utilajul 1
acest lucru neafectând timpul maxim. Deoarece cantitatea
de produs F3 este inferioară necesarului de 200 adunăm40 de unităţi relativ la utilajul 3 acest lucru neafectând
timpul maxim. Obţinem tabelul:
Utilaj U1 U2
Produs ti1/ci1 xi1/pi1 ti2/ci2 xi2/pi2
F1 5 100 - -
1/20 20 1/10 10F2 - - 10 3001/30 30 1/30 30
F3 0 0 5 2001/50 50 1/40 40
Durata totală este: 100× 1/20+300× 1/30+200×
1/40=20 (mai mică decât 21 durata anterioară ).
311
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 312/336
Sistemul de indicatori este:
=+
=+
=+
=+
5 0
1
5 0
v
u
3 0
1
3 0
vu
4 0
1
4 0
vu
2 0
1
2 0
vu
1
3
2
2
2
3
11
Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1/20, u3=1/50,
v2=1/5, u2=2/75.
Tabelul obţinut este:
Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=1/5)Produs ti1/ci1 xi1/pi1 ti2/ci2 xi2/pi2
F1
(u1=1/20)
5 100 - -1/20 20 1/10
(-3/100)
10
F2
(u2=2/75)
- - 10 3001/30
(-1/150)
30 1/30 30
F3
(u3=1/50)
0 0 5 2001/50 50 1/40 40
Cum toţi δ ij sunt negativi rezultă că soluţia
obţinută este optimă.
312
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 313/336
3. PROBLEME DE ÎNCĂRCARE REZOLVATE PRIN
FLUXURI MAXIMALE
Într-o întreprindere există n utilaje U1,...,Un care
trebuie să execute produsele finite F1,...,Fm în cantităţile
C1,...,Cm. Durata de funcţionare a acestor utilaje este
variabilă în funcţie de fiecare şi anume d1,...,dn. Fie pij -
productivitatea utilajului U j pentru produsul Fi, i=1,...,m,
j=1,...,n. Fie, de asemenea, dij=ij
p
1durata de execuţie a
unei unităţi de produs Fi pe utilajul U j (dacă F i nu se
poate prelucra pe U j se consideră durata∞
). Notând cu xij cantitatea de produs Fi ce va fi
prelucrată pe utilajul U j problema cere, în condiţiile
funcţionării simultane a utilajelor, să se minimizeze
funcţia de durată maximă.
Vom exemplifica această problemă teoretică pe: Problema 3
Într-o întreprindere există 2 utilaje U1, U2 care
trebuie să execute produsele finite F1, F2, F3 în cantităţile
1200, 3200, 2000. Durata de funcţionare a acestor utilaje
este de 250 respectiv 400 ore. Productivităţile şi duratele
313
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 314/336
de execuţie pentru fiecare pereche (produs finit, utilaj)
sunt redate în tabelul T.5.
Tabelul T.5
Utilaj U1 U2 Cant.
cerutăProdus di1 pi1 di2 pi2
F1 1/30 30 1/20 20 1200F2 1/40 40 1/50 50 3200F3 1/20 20 1/10 10 2000
durata de
prelucrare 250 400Problema cere stabilirea unui plan de producţie
pentru minimizarea duratei maxime de prelucrare în
condiţiile în care utilajele funcţionează simultan.
Vom alcătui graful din figura T.20 în care vom
trece pe fiecare arc IFi numărul de produse Fi ce trebuie
fabricate şi durata totală de prelucrare a produselor Fi, pe
arcele FiU j numărul de produse Fi ce trebuie fabricate şi
numărul de ore necesare fabricării produsului Fi pe
utilajul U j, iar pe arcele U jF vom trece numărul total de
produse ce trebuie fabricate şi durata maximă de
funcţionare a utilajului.
314
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 315/336
Fig.T.20
Vom determina în cele ce urmează fluxul maximîn această reţea cu specificarea că un arc va fi saturat dacă
cel puţin una din cele două valori pe care le vom atribui
fluxului va fi egală cu valoarea de "cost" corespunzătoare
de pe arcul respectiv.
Stabilim un flux iniţial prin această reţea astfelîncât suma cantităţilor intrate în fiecare nod să fie egală
cu cea a celor ieşite şi, de asemenea, aceeaşi condiţie
pentru timpii de prelucrare ( fig. T.21).
Stabilirea acestui flux se poate face alegând valori
arbitrare a timpilor de prelucrare şi înmulţindu-i cu315
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 316/336
productivitatea arcului respectiv rezultatul să fie inferior
capacităţii de prelucrare a arcului considerat.
Fig.T.21
Numerotăm în continuare nodurile reţelei ca în
figura T.22.
Nodul final F fiind marcat rezultă că există un
drum de la I la F. Într-adevăr acesta este: (I,F1), (F1,U1),
(U1,F).
Avem acum min {650-30, 40-20, 250-90}=20
durată suplimentară de prelucrare ce ar trebui adăugată
arcelor drumului.
316
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 317/336
Prin adăugarea duratei 20 la arcul (F1,U1) se
obţine cantitatea de 40× 30=1200 produse ceea ce, din
condiţia de egalitate a produselor în nodul F1 implică
1400 de unităţi fabricate ceea ce nu este permis.
Vom satura deci arcul (F1,U1) considerând 1200-
600-200= 400 de unităţi suplimentare ceea ce revine la o
durată suplimentară de30400 =13,3 unităţi de timp. Vom
adăuga deci această cantitate tuturor arcelor drumului.
Fig.T.22
317
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 318/336
Noul graf (cu numărătoarea aferentă a nodurilor )
este reprezentat în figura T.23.
Un drum de la I la F este date de: (I,F 2), (F2,U1),
(U1,F).
Avem min {650-50, 80-20, 250-103,3}=60.
Mărind cu 60 durata pe arcul (F2,U1) rezultă o
durată totală de 80 ceea ce implică o producţie de
80× 40=3200 unităţi de produs. Cum pe arcul (F2,U2)
avem 1500 de unităţi rezultă o producţie pentru F2 de
4700 unităţi de produs ceea ce nu este de acceptat.
Fig. T.23
318
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 319/336
Vom alege deci o suplimentare de 3200-1500-
800=900 de unităţi de produs pe arcul (F2,U1) ceea ce
constituie o suplimentare de timp de40
900=22,5.
Adăugăm această cantitate tuturor arcelor drumului şi
recalculăm graful ( fig.T.24).
Fig.T.24
Cum toate arcele iniţiale sunt saturate rezultă că
am obţinut soluţia optimă de 140 ore de funcţionare a
utilajelor (datorită lui U2) şi de 265,8 ore de funcţionare
totală.
319
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 320/336
3.1. Într-o întreprindere există 2 utilaje U1, U2 care trebuie
să execute produsele finite F1, F2, F3 în cantităţile 100,
300, 200. Durata de funcţionare a acestor utilaje este de 7
respectiv 40 ore. Productivităţile şi duratele de execuţie
pentru fiecare pereche (produs finit, utilaj) sunt redate în
tabelul A.9.
Tabelul A.9
Utilaj U1 U2 Cant.
cerutăProdus di1 pi1 di2 pi2
F1 1/20 20 1/10 10 100F2 1/30 30 1/30 30 300F3 1/50 50 1/40 40 200
durata defuncţionare 7 40
Problema cere stabilirea unui plan de producţie
pentru minimizarea duratei maxime de prelucrare în
condiţiile în care utilajele funcţionează simultan.
Soluţie
Vom alcătui graful din figura A.26 în care vom
trece pe fiecare arc IFi numărul de produse Fi ce trebuie
fabricate şi durata totală de prelucrare a produselor Fi, pe
arcele FiU j numărul de produse Fi ce trebuie fabricate şi
numărul de ore necesare fabricării produsului Fi pe
320
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 321/336
utilajul U j, iar pe arcele U jF vom trece numărul total de
produse ce trebuie fabricate şi durata maximă de
funcţionare a utilajului.
Fig.A.26
Vom determina în cele ce urmează fluxul maxim
în această reţea cu specificarea că un arc va fi saturat dacă
cel puţin una din cele două valori pe care le vom atribui
fluxului va fi egală cu valoarea de "cost" corespunzătoare
de pe arcul respectiv.
Stabilim un flux iniţial prin această reţea astfel
încât suma cantităţilor intrate în fiecare nod să fie egală
321
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 322/336
cu cea a celor ieşite şi, de asemenea, aceeaşi condiţie
pentru timpii de prelucrare.
Fig.A.27
Numerotăm în continuare nodurile reţelei ca în
figura A.28.
Nodul final F fiind marcat rezultă că există un
drum de la I la F. Într-adevăr acesta este: (I,F1), (F1,U2),(U2,F).
Avem acum min {47-7, 10-5, 40-11}=5 durată
suplimentară de prelucrare ce ar trebui adăugată arcelor
drumului.
322
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 323/336
Prin adăugarea duratei 5 la arcul (F1,U2) se obţine
cantitatea de 10× 10=100 produse ceea ce, din condiţia de
egalitate a produselor în nodul F1 implică 140 de unităţi
fabricate ceea ce nu este permis.
Fig.A.28
Vom satura deci arcul (F1,U2) considerând 100-40-50=10 unităţi suplimentare ceea ce revine la o durată
suplimentară de10
10=1 unităţi de timp. Vom adăuga deci
această cantitate tuturor arcelor drumului.
323
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 324/336
Noul graf (cu numărătoarea aferentă a nodurilor )
este redat în figura A.29.
Fig.A.29
Un drum de la I la F este date de: (I,F 3), (F3,U2),
(U2,F).Avem min {47-7, 5-2, 40-11}=3.
Mărind cu 3 durata pe arcul (F3,U2) rezultă o
durată totală de 5 ceea ce implică o producţie de
5× 40=200 unităţi de produs. Cum pe arcul (F3,U1) avem
324
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 325/336
100 de unităţi rezultă o producţie pentru F3 de 300 unităţi
de produs ceea ce nu este de acceptat. Vom alege deci o
suplimentare de 200-100-80=20 de unităţi de produs pe
arcul (F3,U2) ceea ce constituie o suplimentare de timp de
40
20=0,5.
Adăugăm această cantitate tuturor arcelor
drumului şi recalculăm graful ( fig.A.30).
Fig.A.30
325
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 326/336
Un drum de la I la F este date de: (I,F 2), (F2,U2),
(U2,F).
Avem min {47-7, 10-4, 40-12,5}=6.
Mărind cu 6 durata pe arcul (F2,U2) rezultă o
durată totală de 10 ceea ce implică o producţie de
10× 30=300 unităţi de produs. Cum pe arcul (F2,U1) avem
90 de unităţi rezultă o producţie pentru F2 de 390 unităţide produs ceea ce nu este de acceptat. Vom alege deci o
suplimentare de 300-120-90=90 de unităţi de produs pe
arcul (F2,U2) ceea ce constituie o suplimentare de timp de
30
90=3.
Adăugăm această cantitate tuturor arcelor
drumului şi recalculăm graful ( fig.A.31).
326
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 327/336
Fig.A.31
Observăm că în ultimul graf arcele iniţiale (I,F1),
(I,F2) şi (I,F3) sunt saturate deci soluţia obţinută este
optimă. Timpul de prelucrare este deci egal cu 15,5
datorat funcţionării lui U2. Timpul total de prelucrare este
22,5.
BIBLIOGRAFIE
1. Achmanov S., Programmation lineaire, Ed. Mir Moscou, 1984
2. Andraşiu M. & colect., Metode de decizii
multicriteriale, Ed. Tehnică,19863. Bărbatu Gh.I., Ionescu V., Cercetarea operaţională
în întreprinderile industriale, Ed. Tehnică, 19814. Baciu A., Puşcaş E., Pascu A., Aplicaţii ale cercetării
operaţionale, Ed. Militară, Bucureşti, 19885. Bebea N., Metode pentru rezolvarea problemelor de
optimizare. Aplicaţii, E.D.P., Bucureşti, 19786. Boroş E., Opriş D., Introducere în optimizarea
liniară şi aplicaţii, Ed. Facla, Timişoara, 19797. Ciucu G., Tudor C., Teoria probabilităţilor şi
aplicaţii, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 19838. Colojoară I., Analiză matematică , E.D.P., Bucureşti,
19839. Craiu M., Tănase V.T., Analiză matematică , E.D.P.,
Bucureşti, 1980
327
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 328/336
10.Ernest D., Metode numerice în teoria jocurilor , Ed.Dacia, Cluj-Napoca, 1983
11.Ghermeier I.B., Introducere în teoria cercetăriioperaţionale, Ed. Tehnică, 1973
12.Grigore Gh., Lecţii de analiză numerică ,Universitatea Bucureşti, 1984
13.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie, Brăila,1996
14.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie. Aplicaţii,Brăila, 1996
15.Ioan C.A., Matematică economică , Galaţi, 199916.Ioan C.A., Matematică economică. Culegere de
probleme, Galaţi, 199917.Ioan C.A., Matematică financiară , Galaţi, 199918.Ioan C.A., Matematică financiară. Culegere de
probleme, Galaţi, 199919.Ioan C.A., Matematică economică-Algebră
superioară , Ed.Fundaţiei Academice Danubius, 200120.Ioan C.A., Matematică economică-Analiză
matematică.Ecuaţii diferenţiale.Teoria
probabilităţilor , Ed.Fundaţiei Academice Danubius,2001
21.Iosifescu M. & colect., Mică enciclopedie de
statistică , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198522.Klimov G., Probability Theory and Mathematical
Statistics, Ed. Mir Publishers Moscow, 198623.Kopchenova N.V., Maron I.A., Computational
Mathematics, Mir Publishers, Moscow, 198424.Larionescu D., Metode numerice, Ed. Tehnică,
Bucureşti, 198925.Lasdon L.S., Teoria optimizării sistemelor mari, Ed.
Tehnică, 1975
328
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 329/336
26.Lee A.M., Teoria aşteptării cu aplicaţii, Ed. Tehnică,1976
27.Maliţa M., Zidăroiu C., Matematica organizării, Ed.Tehnică, 197528.Marinescu Gh., Analiză matematică , Ed. Academiei
R.S.R., vol.I, 1983, vol.II, 198429.Mihoc Gh., Micu N., Elemente de teoria
probabilităţilor şi statistică matematică , E.D.P.,Bucureşti, 1986
30.Mihoc Gh., Micu N., Teoria probabilităţilor şi
statistică matematică , E.D.P., Bucureşti, 198031.Mihoc Gh., Urseanu V., Sondaje şi estimaţii
statistice. Teorie şi aplicaţii, Ed. Tehnică, 197732.Mihoc Gh., Urseanu V., Ursianu E., Modele de
analiză statistică , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică,1982
33.Piskunov N., Differential and Integral Calculus, Ed.
Mir Moscow, vol.I,II, 198134.Popescu O., coord., Matematici aplicate în economie,E.D.P., Bucureşti, 1997
35.Purcaru I., Elemente de algebră şi programare
liniară , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198236.Purcaru I., Matematică şi asigurări, Ed. Economică,
Bucureşti, 199437.Purcaru I., Matematici generale & elemente de
optimizare, Ed. Economică, Bucureşti, 199738.Roşculeţ M., Analiză matematică , E.D.P., Bucureşti,
197939.Sburlan S., Lecţii de analiză matematică , Ed.
Academiei Române, 199140.Sireţchi Gh., Calcul diferenţial şi integral-noţiuni
fundamentale, vol.1, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică,1985
329
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 330/336
41.Stănăşilă O., Analiză matematică , E.D.P., Bucureşti,1981
42.Stavre P., Matematici speciale cu aplicaţii îneconomie, Ed. Scrisul Românesc, Craiova, 1982
43.Şabac I.Gh., Matematici speciale, E.D.P., Bucureşti,vol.I, 1981, vol.II, 1983
44.Şilov G.E., Analiză matematică , Ed. Ştiinţifică şiEnciclopedică, 1985
45.Şilov G.E., Analiză matematică-spaţii finit-
dimensionale, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198346.Teodorescu N. & colect., Metode ale cercetării
operaţionale în gestiunea întreprinderilor , Ed.Tehnică, 1972
47.Tovissi L., Vodă V., Metode statistice-aplicaţii în
producţie, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198248.Vodă Gh.V., Gândirea statistică-un mod de gândire
al viitorului, Ed. Albatros, 1977
49.Zidăroiu C., Programare liniară , Ed. Tehnică, 198350.Achmanov S., Programmation lineaire, Ed. Mir Moscou, 1984
51.Andraşiu M. & colect., Metode de decizii
multicriteriale, Ed. Tehnică,198652.Bărbatu Gh.I., Ionescu V., Cercetarea operaţională
în întreprinderile industriale, Ed. Tehnică, 198153.Baciu A., Puşcaş E., Pascu A., Aplicaţii ale cercetării
operaţionale, Ed. Militară, Bucureşti, 198854.Bebea N., Metode pentru rezolvarea problemelor de
optimizare. Aplicaţii, E.D.P., Bucureşti, 197855.Boroş E., Opriş D., Introducere în optimizarea
liniară şi aplicaţii, Ed. Facla, Timişoara, 197956.Ciucu G., Tudor C., Teoria probabilităţilor şi
aplicaţii, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1983
330
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 331/336
57.Constantinescu D. (coord.), Cunoştinţe economice
fundamentale, Ed. Universitaria, Craiova, 2002
58.Ernest D., Metode numerice în teoria jocurilor , Ed.Dacia, Cluj-Napoca, 198359.Ghermeier I.B., Introducere în teoria cercetării
operaţionale, Ed. Tehnică, 197360.Ioan C.A., Matematică economică , Galaţi, 199961.Ioan C.A., Matematică economică. Culegere de
probleme, Galaţi, 199962.Ioan C.A., Matematică financiară , Galaţi, 199963.Ioan C.A., Matematică financiară. Culegere de
probleme, Galaţi, 199964.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie, Brăila,
199665.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie. Aplicaţii,
Brăila, 199666.Ion D.I., Radu N., Algebră , E.D.P., Bucureşti, 1991
67.Iosifescu M. & colect., Mică enciclopedie de statistică , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198568.Klimov G., Probability Theory and Mathematical
Statistics, Ed. Mir Publishers Moscow, 198669.Lang S., Algebra, Addison-Wesley, 197170.Lasdon L.S., Teoria optimizării sistemelor mari, Ed.
Tehnică, 197571.Maliţa M., Zidăroiu C., Matematica organizării, Ed.
Tehnică, 197572.Mihoc Gh., Micu N., Elemente de teoria
probabilităţilor şi statistică matematică , E.D.P.,Bucureşti, 1986
73.Mihoc Gh., Micu N., Teoria probabilităţilor şi
statistică matematică , E.D.P., Bucureşti, 198074.Popescu O., coord., Matematici aplicate în economie,
E.D.P., Bucureşti, 1997
331
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 332/336
75.Purcaru I., Elemente de algebră şi programare
liniară , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1982
76.Stavre P., Matematici speciale cu aplicaţii îneconomie, Ed. Scrisul Românesc, Craiova, 1982
77.Şabac I.Gh., Matematici speciale, E.D.P., Bucureşti,vol.I, 1981, vol.II, 1983
78.Teodorescu N. & colect., Metode ale cercetării
operaţionale în gestiunea întreprinderilor , Ed.Tehnică, 1972
79.Tovissi L., Vodă V., Metode statistice-aplicaţii în
producţie, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198280.Zidăroiu C., Programare liniară , Ed. Tehnică, 1983
CUPRINS
MATEMATICI FINANCIARE 51.Dobânzi............................................................................................................
5
I. Dobânda
simplă................................................................................
5
II. Dobândacompusă..........................................................................
7
2. Operaţiuni descont........................................................................................
12
3. Plăţi eşalonate(rente).....................................................................................
16
332
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 333/336
I. Mensualităţi.Anuităţi.......................................................................
1
II.Împrumuturi....................................................................................
2
MATEMATICI ACTUARIALE 21.Asigurări...........................................................................................................
2
2. Funcţii biometrice...........................................................................................
2
3. Calculul primei unice deasigurare................................................................
3
4. Calculul primelor de asigurare periodice,viagere.......................................
3
TEORIA JOCURILOR 41.Generalităţi.......................................................................................................
4
2. Metoda de rezolvare, prin programare liniară, a jocurilor cusumă
nulă, de douã
persoane...................................................................................
4
3. Jocuristatistice.................................................................................................
5
4. Criterii pentru alegerea deciziilor optime în situaţii deincertitudine......
5
5. Alegerea deciziilor optime în situaţii decertitudine...................................
5
333
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 334/336
6. Testerecapitulative.................................................................................
........
63
TEORIA GRAFURILOR 711.Generalităţi.......................................................................................................
71
2. Drumuri de lungime minimă într-ungraf...................................................
81
3. Drumuri de lungime maximă într-ungraf...................................................
86
TEORIA STOCURILOR. TEORIA AŞTEPTĂRII 931. Teoria
stocurilor..............................................................................................
93
I.Introducere........................................................................................
93
II. Model general destoc.....................................................................
94
III. Model de stoc pentru o perioadă
unică......................................
95
IV. Modelul Wilson-Whitin................................................................
95
V. Model cu cost de penurie...............................................................
96
2. Teoriaaşteptării...............................................................................................
99
334
5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 335/336
I.Introducere........................................................................
................
9
II. Model general pentru o singură staţie deserviciu......................
1
ALOCAREA RESURSELOR UMANE 1
1. Alocarea optimă a angajaţilor pe lucrări deexecutat.................................
1
2. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul de vedere alminimizării
timpului maxim deexecuţie..........................................................................
1
3. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul de vedere alminimizării
timpului total deexecuţie...............................................................................
1
GRUPAREA ŞI AMPLASAREA UTILAJELOR 11. Gruparea utilajelor pe liniitehnologice........................................................
1
2. Amplasarea locurilor de muncă-metoda gamelor fictive..........................
1
3. Amplasarea locurilor de muncă-metodaverigilor......................................
1
SUCCESIUNEA OPERAŢIILOR ÎNFLUXURILE DE PRODUCŢIE 1
1. Succesiunea a două utilaje fără termene de eliberareiniţială....................
1
2. Succesiunea unor utilaje cu termene de eliberareiniţială..........................
1
BIBLIOGRAFIE 1
335