Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

1

Studiul de caz 7: Structura de producie cu mai multe funcii obiectiv -

Studiul de caz 10 din Raiu-Suciu C., Luban F., Hncu D., Ciocoiu N., Modelare

economic, Editura ASE, Bucureti, 2009

O societate comercial, specializat n realizarea de vopsea lavabil pentru zugrveli,

urmeaz s produc n luna urmtoare, pe baza studiilor de pia ntreprinse, trei tipuri de produse:

Pcs1, Pcs2 i Pcs3. Se dorete stabilirea unui program de producie n urmtoarele condiii:

1. Maximizarea venitului total dac preurile de vnzare sunt: 60 u.m./ton pentru Pcs1, 120 u.m./ton pentru Pcs2 i 90 u.m./ton pentru Pcs3;

2. Minimizarea timpului necesar de lucru, tiind c sunt necesare 15 ore/ton pentru Pcs1, 10 ore/ton pentru Pcs2 i 19 ore/ton pentru Pcs3;

3. Minimizarea consumului total din materia prim de import Mimp din America de Sud, cunoscndu-se consumurile specifice: 0,2 tone Mimp la o ton Pcs1, 0,6 tone Mimp la o ton Pcs2,

0,4 tone Mimp la o ton Pcs3;

4. Consumul total din materialul Mat1 s nu depeasc 10 tone dac sunt necesare 0,6 tone Mat1 pentru o ton Pcs1, 0,6 tone Mat1 pentru o ton Pcs2, 0,2 tone Mat2 pentru o ton Pcs3;

5. Cantitatea realizat din Pcs1 i Pcs2 s fie de cel puin 12 tone;

6. Cantitatea contractat de Pcs3 este de 5 tone.

Modelul economico - matematic

Se noteaz cu x vectorul programului de producie pentru luna urmtoare format din

componentele:

x1 = cantitatea din Pcs1

x2 = cantitatea din Pcs2

x3 = cantitatea din Pcs3

Funciile obiectiv

1. Maximizarea venitului total

(max) f1(x) = 60x1 + 120x2 + 90x3

2. Minimizarea timpului necesar de lucru

(min) f2(x) = 15x1 + 10x2 + 19x3

3. Minimizarea consumului total din materia prim de import (min) f3(x) = 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3

Restricia referitoare la materialul Mat1:

C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10

Restriciile referitoare la cantitile contractate:

C2: 1x1 + 1x2 12

C3: 1x3 5

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

2

Restriciile de nenegativitate:

x1 0, x2 0, x3 0,

Rezolvare cu metoda programrii scop

n studiul de caz 10 referitor la programul de producie pentru produsele Pcs1, Pcs2 i Pcs3,

nivelurile de aspiraie corespunztoare funciilor obiectiv vor fi valorile optimiste 2700 u.m., 215 ore

i 4,4 tone ale funciilor obiectiv f1(X), f2(X) i respectiv f3(X) obtinute prin rezolvarea a trei

probleme de programare liniara formate din cele 3 restrictii si fiecare functie obiectiv.

Decidentul a hotrt s acorde prioritatea 1 realizrii nivelului de aspiraie de 4,4 tone pentru

consumul total de materie prim de import, prioritatea 2 realizrii nivelului de aspiraie de 2700

u.m. pentru venitul total i prioritatea 3 realizrii nivelului de aspiraie de 215 ore pentru timpul

necesar de lucru. Rezult c modelul programrii scop va avea trei funcii scop.

Pentru variabilele care definesc deviaiile fa de nivelurile de aspiraie se vor folosi

urmtoarele notaii:

Venitsupl = deviaia n plus fa de venitul maxim

Venitm = deviaia n minus fa de venitul maxim

Timpsupl = deviaia n plus fa de timpul de lucru necesar minim

Timpm = deviaia n minus fa de timpul de lucru necesar minim

Mimpsupl = deviaia n plus fa de consumul minim de materie prim de import

Mimpm = deviaia n minus fa de consumul minim de materie prim de import

Aceste variabile se vor aduga celor trei variabile x1, x2 i x3 referitoare la cantitile de

produse Pcs1, Pcs2 i respectiv Pcs3.

Funciile scop:

Scopul cu prioritate 1: minimizarea deviaiei n plus Mimpsupl fa de consumul minim de

materie prim de import

Min G1: 1Mimpsupl

Scopul cu prioritate 2: minimizarea deviaiei n minus Venitm fa de venitul maxim

Min G2: 1Venitm

Scopul cu prioritate 3: minimizarea deviaiei n plus Timpsupl fa de timpul de lucru

necesar minim

Min G3: 1Timpsupl

Restriciile pentru consumuri materiale i pentru cerere:

C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10

C2: 1x1 + 1x2 12

C3: 1x3 5

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

3

Restriciile scop:

C4: 60x1 + 120x2 + 90x3 Venitsupl + Venitm = 2700

C5: 15x1 + 10x2 + 19x3 Timpsupl + Timpm = 215

C6: 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 Mimpsupl + Mimpm = 4,4

Restriciile de nenegativitate:

x1 0, x2 0, x3 0, Venitsupl 0, Venitm 0, Timpsupl 0, Timpm 0, Mimpsupl

0. Mimpm 0

S-a obinut un model cu 3 funcii scop, 6 restricii i 9 variabile.

Rezolvarea n sistem conversaional cu WINQSB/ Gp igp.

Introducerea datelor, dup accesarea modului Winqsb/Gp- igp, se face astfel:

Apsm Ok i vom obine un tabel de forma:

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

4

Vom edita numele variabilelor, accesnd din bar Edit/ Variable Names. Modificm numele

ncepnd cu X4. Astfel vom obine din nou tabelul n care vom completa valorile din funciile scop

i restricii.

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

5

Prin rezolvarea cu WINQSB/Gp - igp se obin rezultatele din Tabelul 7.3. Semnificaia

coloanelor este aceeai ca i n cazul modelelor de programare liniar unicriterial.

Tabelul 7.3 Solution Summary for Studiul de caz 7.1

Decision

Variable

Solution

Value

Basis

Status

Reduced Cost

Goal 1

Reduced Cost

Goal 2

Reduced Cost

Goal 3

1 X1 12 basic 0 0 0

2 X2 0 at bound 0 60 -35

3 X3 5 basic 0 0 0

4 Venitsupl 0 at bound 0 1 0

5 Venitm 1530 basic 0 0 0

6 Timpsupl 60 basic 0 0 0

7 Timpm 0 at bound 0 0 1

8 Mimpsupl 0 at bound 1 -300 75

9 Mimpm 0 at bound 0 300 -75

Goal 1: Minimize G1 = 0

Goal 2: Minimize G2 = 1530

Goal 3: Minimize G3 = 60

Conform soluiei obinute, programul de producie pentru luna urmtoare va consta n

realizarea de 12 tone produs Pcs1 i 5 tone produs Pcs3.

Acest program va conduce la realizarea nivelului de aspiraie de

4,4 tone consum materie prim de import, deoarece deviaia Mimpsupl =

= Mimpm = 0.

Nivelurile de aspiraie prevzute pentru venit i timpul necesar de lucru nu se realizeaz.

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

6

Deviaia n minus Venitm = 15300 u.m. arat c se va obine un venit total egal cu (2700

1530) = 1170 u.m.

Deviaia n plus Timpsupl = 60 ore arat c timpul necesar de lucru este egal cu (215 + 60) =

275 ore.

Costurile reduse sunt mai mari sau egale cu zero numai pentru scopul cu prioritate 1

deoarece soluia este optim numai n raport cu acest scop: minimizarea deviaiei n plus fa de

consumul minim de materie prim de import. Soluia este suboptimal pentru celelalte dou scopuri.

Tabelul 7.4 Sensitivity Analysis of the Right-Hand-Sides for Studiul de caz 7.1

Constraint

Right

Hand

Side

Allowable

Min. RHS

Allowable

Max. RHS

Shadow

Price

Goal 1

Shadow

Price

Goal 2

Shadow

Price

Goal 3

1 Material1 = 12 -M 12 0 0 0

3 Cerere PCs3 >= 5 3.2 5 0 20 -11

4 Venit = 2700 1170 M 0 1 0

5 Timp = 215 -M 275 0 0 -1

6 Mimport = 4.4 4.4 5 0 -300 75

Pe baza datelor din Tabelul 7.4 se pot realiza analize de senzitivitate. Astfel, pentru

restricia 3, dac cererea variaz ntre 3,2 i 5 tone, atunci preul umbr n raport cu scopul 2 este 20,

iar n raport cu scopul 3 este -11. Rezult c, dac se reduce cererea pentru Pcs3 cu 1 ton, adic =

-1, atunci valoarea lui Goal 2 = Venitm va deveni egal cu (1530 + *preul umbr) = 1530 - 20 =

1510 u.m. Venitul total realizat va fi egal cu (2700 1510) = 1190 u.m., adic va crete cu 20 u.m.

fa de 1170 u.m. De asemenea, valoarea lui Goal 3 = Timpsupl va deveni egal cu (60 + *preul

umbr) = 60 +(-1)*(-11) = 71 ore. Timpul necesar de lucru va fi egal cu (215 +71) = 286 ore.

Conflictul dintre scopul cu prioritate 1 i celelalte dou scopuri poate fi atenuat prin

utilizarea preurilor umbr asociate fiecrui scop. Restricia 6 conine deviaia Mimpsupl care este

minimizat prin funcia scop 1. Pentru aceast restricie, n cazul variaiei consumului de

materie prim de import ntre 4,4 tone i 5 tone, preul umbr asociat scopului cu

prioritate 2 este (-300), iar preul umbr asociat scopului cu prioritate 3 este 75. Rezult c, dac

este relaxat nivelul de aspiraie pentru consum de la

4,4 tone la 5 tone, adic = 0,6 tone, atunci valoarea lui Goal 2 = Venitm

va deveni egal cu (1530 + *preul umbr) = 1530 + 0,6*(-300) = 1350 u.m.

Venitul total realizat va fi egal cu (2700 1350) = 1350 u.m., adic va crete cu 180 u.m. fa de

1170 u.m. De asemenea, valoarea lui Goal 3 = Timpsupl va deveni egal cu (60 + *preul umbr) =

60 +0,6*75 = 105 ore. Timpul necesar de lucru va fi egal cu (215 +105) = 320 ore.

Rezolvarea cu QM for Windows

Se acceseaz modulul Window/Goal Programming, apoi din File se selecteaza New (pentru

generarea unui fisier nou).

Se completeaz cu numrul de scopuri sau restricii i numrul de variabile necunoscute.

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

7

n fereastra urmtoare putem completa urmtoarele:

- n prima coloan tastm numele restriciilor i ale scopurilor; - urmeaz coloanele cu Wt(d+), Prty(d+), Wt(d-), Prty(d-). Wt este prescurtarea de la

Weight (pondere), iar Prty este prescurtarea de la Priority (prioritate).

Wt ine loc aici de deviaia n plus sau minus. Prin urmare, n coloanele Wt(d+), Wt(d-)

vom completa cu 1 acolo unde avem deviaii n plus i n minus, adic n restriciile scop

(liniile Venit, Timp i Mimport).

Dac am completat deviaiile, automat va fi nevoie s completm i la prioriti, att n

coloana Prty(d+), ct i n coloana Prty(d-), aa cum se precizeaz n problem:

prioritatea 1 realizrii nivelului de aspiraie de 4,4 tone pentru consumul total de materie

prim de import, prioritatea 2 realizrii nivelului de aspiraie de 2700 u.m. pentru

venitul total i prioritatea 3 realizrii nivelului de aspiraie de 215 ore pentru timpul

necesar de lucru.

- n coloanele X1, X2 i X3 vom completa coeficienii asociai variabilelor din restriciile scop, dar i din restriciile pentru consumuri de materiale i cerere. Apoi alegem semnul

inecuaiei (respective semnul egal pentru restriciile scop) i completm n ultima coloan

cu termenul liber.

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

8

Dupa introducerea datelor in tabel, prin alegerea optiunii Solve sunt generate rezultatele cu valori

pentru fiecare dintre cele 9 variabile (cele 3 necunoscute i cele 6 deviaii n plus i n minus).

Din Window/ 2 Summary, obinem rezultatele astfel:

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

9

Interpretarea datelor este similara celei din WINQSB.