Introducere Universitatea TRANSILVANIA din Braov Facultatea de tiine Economice i Administrarea Afacerilor MODELAREA DECIZIEI ECONOMICE SUPORT DE CURS Prof. univ. dr. Dorin Lixndroiu Braov 2011 CUPRINS Pag. 1.INTRODUCERE N MODELAREA DECIZIEI ........................................................ 1 2.MODELE ECONOMICE REZOLVATE PRIN PROGRAMARE LINIAR................... 5 3.MODELAREA DECIZIILOR MONOCRITERIALE................................................... 27 4.MODELAREA DECIZIILOR MULTICRITERIALE................................................... 46 5.MODELE N GESTIUNEA OPTIM A STOCURILOR........................................... 56 6.MODELAREA DECIZIILOR CU MULIMI FUZZY . 77 ANEXA Distribuia normal. 90 BIBLIOGRAFIE 96 Modelarea deciziei economice1 1. INTRODUCERE N MODELAREA DECIZIEI *ANDRAIU, 1986+, [ANDREICA, 1998], [FILIP, 2002], [FILIP, 2007], [KAUFMANN, 1987], [KRAJEWSKI, 2005], [IONESCU, 1999], *RAIU, 2001+ Tehnicilecantitativeneleborareadeciziilormanagerialeprezintomareimportan evideniatdenumeroispecialiti,attteoreticienictipracticieni.nurmaunui studiustatisticefectuatn1987,nSUA,asupraunuinumrde6500manageris-a constatatcceamaiimportantdinprimelezecepracticidemanagementeste abilitatea n elaborarea i luarea deciziilor precise i clare. Tehniciledemodelareioptimizaresuntfolositenunumaindomeniultradiional supplychainmanagement,darincelelalteariifuncionalealeorganizaiilor,ca finane, contabilitate, marketing. MODELAREA Un instrument de cunoatere tiinific a realitii obiective; are ca scop construirea de reprezentri(modele)carespermitnelegereamaibun,profund,tiinifica acesteia. MODELUL Oreprezentareaizomorfarealitiicareoferoimagineintuitiv,darriguroasn sensulstructuriilogice,afenomenuluistudiatipermitedescoperireaunorlegturii legiti greu de stabilit pe alte ci. MODEL(1868) Beltrami n construirea unui model euclidian al geometriei Structura unui model cuprinde: Variabile endogene i exogene Constante i parametri Relaii ntre variabile i parametri MALINVAUD-Apariiaigeneralizareacuvntuluimodelntiinelesocialeeste concomitentcuceaauneimairigori.Logicaraionamentuluipemodeleesteastfel fundamentul principal al metodei tiinifice n economie. Clasificarea modelelor economico-matematice: A. Dup sfera de reflectare a problematicii economice: modele macroeconomice modele microeconomice B. n funcie de domeniul de provenien i concepie: modele cibernetico-economice modele econometrice modele ale cercetrii operaionale modele din teoria deciziei 2Dorin Lixndroiu modele de simulare modele fuzzyC. n funcie de caracterul variabilelor: modele deterministe modele stochastice / probabilistice D. n funcie de factorul timp: modele statice modele dinamice E. n funcie de orizontul timp: modele discrete secveniale modele continue DECIZIA Hotrrealuatcaurmareaexaminriiuneiprobleme,situaiietc.,soluia adoptat (dintre mai multe posibile) (DEX, 1998) Alegerea unei direcii de aciune (Simon, 1960) Alegerea unei strategii de aciune(Fishburn, 1964) O alegere conducnd la un anume obiectiv dorit (Churchman, 1968) O alocare a resurselor (Spradlin, 1997) Rezultatulunuitipparticulardeprelucrareainformaiilor,careconstn alegerea unui plan de aciune (Bonczek,..., 1984) Alegerea uneia dintre mai multe alternative; o afirmaie care arat angajarea ntr-o direcie de aciune (Power, 2000) DECIZIAreprezintrezultatulunoractiviticontientedealegereauneidireciide aciuneiaangajriinaceasta,faptcareimplic,deobicei,alocareaunorresurse. Deciziarezultcaurmareaprelucrriiunorinformaiiicunotineiaparineunei persoanesaugrupdepersoane,caredispundeautoritateanecesaricarerspund pentru folosirea eficace a resurselor n anumite situaii date. [FILIP, 2002] nfigura1,seprezintsituaiaexistent(dinpcate)nmanagementulmultor organizaii:nfaaunorsituaiidecizionale,bazatpepropriaintuiieiexperien, manageruliadecizia.DepireagranieiRealitateReprezentaresimbolicconducela construciaunuimodeldeluareadeciziei,rezolvarealui,analizaiinterpretarea rezultatelor.Deciziafinalrevinetotmanageruluicareselecteaz,nbazauneianalize, deciziadintr-omulimepotenialdedeciziioptimale.Aceastdecizienuestenecesar s coincid cu optimul matematic rezultat din model. Modelarea deciziei economice3 Figura 1 nfigura2seprezintetapelecaretrebuiescparcursenprocesuldemodelare. Remarcm posibilitatea de ntoarcerea la pasul anterior n situaia apariiei unei erori. Figura 2 4Dorin Lixndroiu Figura 3 Procesul de selectare a metodei de luare a deciziei Modelarea deciziei economice5 2. MODELE ECONOMICE REZOLVATE PRIN PROGRAMARE LINIAR [ACKOFF, 1975], [ANDREICA, 1998], [GIARD, 1998], [HILLIER, 2005], [KARMANOV, 1977], [KAUFMANN, 1975], [KAUFMANN, 1987], [KRAJEWSKI, 2005] [IONESCU, 1999], [MALIA, 1971+, *MIH0C, 1973+, *RAIU, 2001], [RUSU, 2001], [SZABO, 2005], [THIEL, 1990], [ZIDROIU, 1983] Oclaslargdemodeledeoptimizareneconomieserezolvprinprogramareliniar. Problemadeprogramareliniarsencadreaznlimitelegeneralealemodelelor programriimatematiceisecaracterizeazprinfaptulcattfunciaobiectivcti restriciilesuntexprimatematematicprinfunciiliniare.Rezolvareamatematica problemeideprogramareliniarsebazeazpeaparatulmatematicfurnizatdealgebra liniar i elaborarea unor metode eficiente de determinare a soluiilor problemei. Prima metodgeneralderezolvareaproblemeideprogramareliniar(algoritmulSIMPLEX) estedatoratluiG.Dantzig(1951)ipermitedeterminareasoluiilorncazulncare acesteaexist,saupoatedovediinexistenasoluiilor,degenerarealoretc.Adoua metodgeneralderezolvareaproblemeideprogramareliniar(algoritmulSimplex dual) este datorat lui C.E. Lemke (1953). Elaborarea celor dou metode a condus la noi cercetrinacestdomeniuirezultateleobinuteaudevenitcapitolelegatede problemeledeprogramarennumerentregi(algoritmiiluiR.Gomory,1958,1963), problemeledetransport,problemeledealocare(repartizare).Ulterior,metodelede rezolvare s-au diversificat n strns legtur cu dezvoltarea calculatoarelor. Forma general a problemei de programare liniar (PPL) este: Max [Min] n nx c x c x c f + + + = ...2 2 1 1

cu retriciile: 1 1 2 12 1 11... b x a x a x an ns + + + 2 2 2 22 1 21... b x a x a x an ns + + + ..........................................................(1)

m n mn m mb x a x a x a s + + + ...2 2 1 1 i 0 ..., , 0 , 02 1> > >nx x x n notaie matriceal forma general a PPL este: Max [Min]( ) X C X ft =B X A s (2) 0 > X unde:( ) n m A , - este matricea coeficienilor sistemului de restricii ( ) 1 , m B - este vectorul coloan al termenilor liberi ( ) 1 , n X- este vectorul coloan al celor nnecunoscute ( ) n Ct, 1 - este vectorul coloan transpus ale crui componente dau coeficienii necunoscutelor n funcia obiectiv. 6Dorin Lixndroiu nformageneralaPPL seconsidercvariabilele(necunoscutele)sunt numerereale. Exist numeroase aplicaii economice de mare importan care conduc la modele n care sepunialtecondiiiasupravariabilelor.Naturaconcretafenomenelormodelate impune cerina cavariabilele supuse restriciilor problemei s nu poat lua dect valori dinanumitemulimi,celmaifrecventnumerentregi.Distingemurmtoareletipuri particulare de probleme de programare liniar: A. Programarea liniar mixt Exist dou tipuri de variabile: +eR x x xm,..., ,2 1 N y y yne ,..., ,2 1 Modelul presupune maximizarea (minimizarea) formei liniare: Max [Min] = = + =minjj j i iy g x f Z1 1(3) cu p restricii (inecuaii sau ecuaii liniare): = == s + minjk j kj i kip k c y b x a1 1,..., 2 , 1 , B. Programarea liniar n numere ntregi Toate variabilele sunt numere ntregi i pozitive, adicN x x xne ,..., ,2 1. De exemplu, n construciamodeluluiaparcanecunoscute:oameni,tipuridecasuedevacan, avioane de capaciti diferite, tipuri de produse etc. i din analiza realitii ne ateptm casoluiaoptimsnufiemare.Pentruacestetipuridevariabilepunemcondiias fienumerentregi.Arfigreudeinterpretatosoluieoptim,detipul:4,35avioaneAirbus 320 i 6,78 echipaje. Dac modelul conducela o soluie optim cu valorimari, de tipul: produsul P1 438,78 buci, produsul P2 397,25 buci, se poate rezolva PPL cu variabile reale i apoi rotunjim soluiile obinute. C. Programarea liniar boolean (0 1) Necunoscutele sunt variabile booleene, adic n final soluiile problemei de programare liniar vor fi de tip 0/1. La forma general a problemei adugm restriciile: Z x x xne ,..., ,2 1- variabile ntregi in i xi,..., 2 , 1 , 1 = s (4) n i xi,..., 2 , 1 , 0 = sEvident, singurele numere ntregi care aparin intervalului [0, 1] sunt 0 sau 1. Acesteproblemeaparnmodelelencaresedorete,deexemplu,selectareaunor proiecte dintr-o mulime dat, selectarea unor variante de aciune dintr-o mulime dat etc. Variabila1 =ixva indica alegerea proiectului i, iar 0 =ixva arta c proiectul i nu este selectat. Modelarea deciziei economice7 Prezentmncontinuarectevaproblemeeconomiceclasice,ntlnitenpractic,care pot fi rezolvate prin aplicarea modelelor matematice ale programrii liniare. 1.Programarea produciei [1] Considermunprocesdeproduciencareserealizeaznproduse/activiti.Pentru desfurareaprocesuluiexistundisponibildemresurse(materiiprime,forde munc, capaciti de producie, resurse financiare), limitate superior. Se cunosc: -cantitilederesursenecesarepentruproducereauneiunitidinprodusul /activitatea j, -costurile de producie i preurile de vnzare pentru fiecare unitate din produsul /activitatea j.Notm: m i bi,..., 2 , 1 , = - nivelul cunoscut al resurselorn j m i aij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , = =- cantitatea din resursa i folosit pentruproducerea unei uniti din produsul/activitatea j n j cj,..., 2 , 1 , = - preul de vnzare al unei uniti din produsul/activitatea j n j dj,..., 2 , 1 , = - costul de producie al unei uniti din produsul/activitatea j n j xj,..., 2 , 1 , = - nivelul necunoscut al produsului/activitii j Se cere s se determine nivelurile celor n produse/activiti care conduc la un beneficiu maxim. Problemaconducelaconstruciaurmtoruluimodelcareserezolvprinmetoda programrii liniare. Modelul Funcia obiectiv: = njj j jx d c1) ( maxRestriciile: == s nji j ijm i b x a1,..., 2 , 1 , (5) n j xj,..., 2 , 1 , 0 = > 2.Programarea produciei [2] Ofirmrealizeazunprodus.Pentruoperioaddenlunisecunosccantitilelunare contractate. Acestea pot fi realizate n avans i depozitate. Producia poate fi realizat n orarnormalsausuplimentar.Volumulproducieirealizabileestelimitatdecapacitile deproducieexistente.Costuriledeproducienorarnormal,norarsuplimentar, precum i costurile de stocare difer de la o lun la alta. Se pune problema determinrii cantitilor ce trebuie realizate lunar n orar normal, n orar suplimentar i care trebuie 8Dorin Lixndroiu stocate, astfel nct costurile de producie i stocare s fie minime, n condiiile n care la nceputul primei luni i la sfritul perioadei stocul produsului este 0. Notm: n- numrul de luni n i Ri,..., 2 , 1 , =- cantitile lunare contractaten i yi,..., 2 , 1 , =- volumul produciei lunare realizabile n program normal n i ysi,..., 2 , 1 , =- volumul produciei lunare realizabile n program suplimentar n i ci,..., 2 , 1 , = - costul lunar al produciei realizabile n program normal n i csi,..., 2 , 1 , =- costul lunar al produciei realizabile n program suplimentar d- costul unitar de stocare n i xi,..., 2 , 1 , =- cantitile ce trebuiesc produse lunar n program normal n i xsi,..., 2 , 1 , = - cantitile ce trebuiesc produse lunar n program suplimentar n i si,..., 3 , 2 , =- cantitile ce trebuiesc stocate lunar. Seceressedeterminen i xi,..., 2 , 1 , = ,n i xsi,..., 2 , 1 , = in i si,..., 2 , 1 , = ,astfelnct costurile de producie i stocare s fie minime. Modelul Funcia obiectiv:( )(((

+ + + + =nis sisisi i ix c x c s d x c x c21 1 1 1mi n Restriciile:( ) = =+ = = +ikikk isk kn i R s x x1 111 ,..., 2 , 1 , n nsn nR s x x = + + (6) n i y xi i,..., 2 , 1 , 0 = s sn i y xsisi,..., 2 , 1 , 0 = s sn i si,..., 2 , 1 , 0 = >Modelul se rezolv prin metoda programrii liniare.

3.Problema amesteculuiCunoscutisubnumeledeproblemadieteisaunutriiei,problemaamesteculuieste unadinprimeleproblemepractice,formulatirezolvatcaproblemdeprogramare liniar.Problemaconstndeterminareauneidietedintr-unnumrdatdealimente, care s satisfac anumite cerine biologice i s fie n acelai timp ct mai ieftin. Astfel deproblemeaparnalctuirearaiilorpentruanimalenzootehnie,pentrucalcularea amesteculuioptimdengrmintenagricultur,nindustriachimicpentrudiverse amestecuri, n industria petrolier pentru amestecuri de benzine etc. Modelarea deciziei economice9 Notm: , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i aij= = - cantitatea din principiul nutritiv i, coninut ntr-o unitate din produsul/alimentul j , ,..., 2 , 1 , m i bi= -numrulminimdeunitidinprincipiulnutritivi, pe care trebuie s-l conin dieta , ,..., 2 , 1 , n j cj= - costul unei uniti din produsul/alimentul j , ,..., 2 , 1 , n j xj= - cantitatea necunoscut din produsul/alimentul jcare va intra n compoziia dietei (necunoscuteleproblemei) Modelul Funcia obiectiv: =njj jx c1mi nRestriciile: == > nji j ijm i b x a1,..., 2 , 1 , (7) n j xj,..., 2 , 1 , 0 = >Modelul construit se rezolv prin metoda programrii liniare. 4.Problema reducerii pierderilor la tierea materialelor n activitile productive apar probleme de optimizare la tierea (croirea) unor materiale (rulouri de hrtie, bare metalice, evi, scnduri, stofe etc.), prin minimizarea pierderilor rezultate.Presupunemcmaterialeleceurmeazafitiate/croiteauaceleai dimensiuni.Operaiadetiere/croirepoatefiefectuatdupmaimultemodele, rezultnd buci de dimensiunile dorite i un rest ce reprezint o pierdere. Notm: , ,..., 2 , 1 , m i bi= - numrul de buci necesare de tipul i , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i aij= = - numrul de buci de tipul i care se obindin tierea/croirea conform modelului j , ,..., 2 , 1 , n j rj= - costul restului rezultat prin tierea/croirea conformmodelului j , ,..., 2 , 1 , n j xj= - numrul de materiale ce urmeaz a fi tiate/croiteconform modelului j;Modelul Funcia obiectiv: =njj jx r1mi nRestriciile: == > nji j ijm i b x a1,..., 2 , 1 , (8) n j xj,..., 2 , 1 , 0 = > - numere ntregi10Dorin Lixndroiu Modelulconstruitserezolvprinmetodaprogramriiliniarecuvariabilelenumere ntregi,deoarecematerialeleceurmeazafitiate/croiteconformunuianumitmodel se presupun indivizibile. 5.Problema realizrii proiectelor O instituie public trebuie s realizeze m proiecte (obiective) n n ani. Se pune problema repartizriipeaniacelormproiecte(obiective),astfelnctbeneficiileobinutesfie maxime, n ipotezele: - realizarea unui obiectiv dureaz maxim un an - mai multe obiective pot fi realizate n acelai an - nu se pot transfera sume din bugetul de finanare de la un an la altul Notm: , ,..., 2 , 1 , n j Bj= - bugetul anului j , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i bij= = - beneficiul rezultat din realizarea n anul jaobiectivului i, ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i fij= = - finanarea necesitat de realizarea obiectivului i n anul j , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i xij= = - variabile booleene, care indic realizarea( ) 1 =ijxsau non-realizarea( ) 0 =ijxobiectivului i n anul j Modelul Funcia obiectiv: = =minjij ijx b1 1maxRestriciile: == s mij ij ijn j B x f1,..., 2 , 1 , (9) == =njijm i x1,..., 2 , 1 , 1{ } n j m i xij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , 1 , 0 = = eModelulconducepentrurezolvarelaproblemadeprogramareliniarcuvariabile booleene (0-1). Observaie. n cazul a 7 obiective care trebuie realizate n 4 ani, avem un model cu 28 de variabile booleene i 67 (4 + 7 + 28 + 28) de restricii ! STUDIUL DE CAZ Nr. 1 Sacoa de golf Ofirmrealizeazunprodus(sacodegolf)ndouvariante:standardidelux. Procesuldefabricaieconstnexecuiaa4operaiisuccesive(croit,cusut,finisaji control de calitate). Timpii de execuie pe unitatea de produs (n ore) sunt: Modelarea deciziei economice11 ProdusulOperaia 1Operaia 2Operaia 3Operaia 4 Standard0.60.51.10.1 De luxe10.80.70.25 Profitul unitar obinut este de 10 u.m. pentru varianta standard i de 9 u.m. pentru cea de lux. Timpii disponibili estimai pentru fiecare operaie sunt: Operaia 1Operaia 2Operaia 3Operaia 4 Timpii disponibili 650 h700 h750 h200 h Determinaiprogramuloptimdefabricaie,adicnumruldeproduse,nceledou variante, care trebuie executat astfel nct profitul total obinut s fie maxim. Notm: 1x- numrul de sacoe standard 2x- numrul de sacoe de lux ModelulFuncia obiectiv: ( )2 19 10 max x x + Restriciile:650 1 6 . 02 1s + x x700 8 . 0 5 . 02 1s + x x (10) 750 7 . 0 1 . 12 1s + x x200 25 . 0 1 . 02 1s + x x0 , 02 1> > x xRezolvmcumodululLinearProgrammingdinprodusulsoftwareQuantitative Management (QM). Figura1 nfigura1seprezintsoluiaobinutprogramuloptimdefabricaiepresupune realizarea a 433.82 sacoe de golf modelstandard i a 389.70 sacoe de golf model de lux.Valoareacorespunztoareafuncieiobiectivvafide7845.59u.m.Evident,n realitate planul de producie optim va fi rotunjit la 433 sau 434 pentru modelul standardi 389 sau 390 pentru modelul de lux. 12Dorin Lixndroiu Problemele de programare liniar n care intervin dou sau trei variabile se pot rezolva i pecalegrafic.Geometric,fiecarerestriciedeterminunsemiplan,carerezultprin divizareaplanuluidectredreaptaacreiecuaieseobineprintransformarea inecuaieinecuaie.nfinalseobineunpoligon,carereprezintmulimeasoluiilor admisibile. Soluia optim trebuie cutat n vrfurile poligonului. n figura 2 se prezint rezolvarea grafic a problemei considerate n QM. Figura 2 Interpretarea rezultatelor Rezolvarea n QM, permite o analiz aprofundat i o interpretare economic a soluiilor obinute. n figura 3 sunt date rezultatele acestei analize. Figura 3 Modelarea deciziei economice13 Reduced costs - arat cu ct trebuie s se modifice coeficienii funciei obiectiv, pentru ca n soluia final valorile variabilelor s fie pozitive. Slack/Surplus-furnizeazpentrufiecarerestricievalorilevariabilelorauxiliare.n cazulexempluluistudiatdinformaiiimportantepentrumanager,legatede capacitile de producie neutilizate. Astfel, avem la operaia 2 un surplus de 171,32 ore, iar la operaia 4 un surplus de 59,19 ore.

Dual Value - d informaii asupra valorii marginale a resurselor n soluia optim. Preul dualasociatuneirestriciiaratcuctsembuntetevaloareaoptimafunciei obiectiv la creterea cu o unitate a valorii membrului drept din restricia respectiv. Figura 4 Astfel, dac mrim cu o or timpul afectat pentru operaia 1, de la 650 ore la 651 ore, va rezultaocretereavaloriifuncieiobiectivcu4,26u.m.dela7845,59u.m.la7849,85 u.m.(figura4).Evidentpentruoperaiile2i4,DualValue=0,deoarecelaaceste operaii am constatat un surplus de ore neutilizate. ObjectiveCoefficientRanges-pentruvariaiacoeficienilorfuncieiobiectivn intervalul:(Lower Bound - Upper Bound), soluia optim rmne neschimbat.Dinfigura3,deducemcovariaieaprofituluipentrusacoadeluxnintervalul(6,36 u.m. -16,67u.m.) nu conduce la modificarea structurii optime de producie (figura 5). Figura 5 nschimb,pentruunprofitde16,67u.m.serenuncompletlaproduciasacoelor standard i se vor produce numai sacoe de lux (figura 6). 14Dorin Lixndroiu Figura 6 Right Hand Side Ranges - preul dual asociat unei restricii rmne valabil dac valoarea resursei(membruldreptalinegalitii)variaznintervalul(LowerBound-Upper Bound). Deexemplu,dinfigura3deducemcpreuldualde4,26u.m.rmnevalabildac timpul afectat operaiei 1 variaz n intervalul (409,09 ore 846,34 ore).

Observaie.Analiza senzitivitii se face printr-o singur modificare a unui coeficient la un moment dat. STUDIUL DE CAZ Nr. 2 Model de alegere a unui produs software modular Se consider c un produs software este format din mai multemodule i fiecare modul prin execuie ndeplinete o anumit funcie, necesar utilizatorului. Ipotezele modelului: I1. Pentru fiecare modul se cunoate fiabilitatea i costul; I2. Utilizatorul dispune de o sum limitat pentru achiziionarea produsului software; I3. Utilizatorul cunoate frecvena de utilizare a fiecrei funcii din produsul software. Ssemaximizezefiabilitateamedieprinalegereauneimulimioptimedemodulefr redundan. Datele problemei sunt: -bugetul disponibil = 12 u.m. -pentru funcia 1 sunt disponibile 4 module -frecvena de utilizare = 0.75 ModululP1P2P3P4 Fiabilitatea0.900.800.850.95 Costul6458 -pentru funcia 2 sunt disponibile 3 module Modelarea deciziei economice15 -frecvena de utilizare = 0.25 ModululQ1Q2Q3 Fiabilitatea0.700.800.90 Costul246 Modelul general Notm: N- numrul de funcii kF - frecvena de utilizare a funciei k km - numrul de module disponibile pentru funcia k kjR - fiabilitatea modulului j care execut funcia k kjC - costul modulului j care execut funcia k B- bugetul disponibil _R - fiabilitatea medie , 1 =kjx dac modulul ja fost ales pentru funcia k , 0 =kjx dac modulul jnu a fost ales pentru funcia k Funcia obiectiv: = =Nkk kR F R1_max, unde= =kmjkj kj kR x R1

Restriciile sunt: == =kmjkjN k x1,..., 2 , 1 , 1 (12) = =s Nkmjkj kjkB C x1 1 { }k kjm j N k x ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , 1 , 0 = = eConstatm c rezolvarea acestui model conduce la o problem de programare liniar cu variabile booleene (0-1). Modelulgeneralparticularizatpentrudateleproblemeiprezentatemaisus,afost rezolvatcumodululIntegerProgrammingdinQM.Figura7prezintdateleproblemei introduse n QM. 16Dorin Lixndroiu Figura 7 Soluiile obinute sunt date n figura 8. Figura 8 Rezolvarea modelului de alegere a unui produs software modular a condus la selectarea modulului P4 pentru funcia 1 i a modulului Q2 pentru funcia 2. S-a obinut o fiabilitate medie de 0,9125. RESTRICII LOGICE N MODELELE DE PROGRAMARE LINIARConsiderm un model general de alegere a unor proiecte de investiii. Avem n proiecte de investiii pentru care se cunosc beneficiile ce ar putea rezulta din realizarea acestora. Notm cu:, 1 =ixdac proiectul ise realizeaz , 0 =ixdac proiectul i nu se realizeaz Se pune problema de a determina proiectele de investiii care se vor realiza, astfel nct beneficiultotalsfiemaxim.Analizmncontinuareintroducerearestriciilorpentru cteva operaii logice. Modelarea deciziei economice17 A. INCOMPATIBILITATEA Dou proiecte sunt incompatibile cnd nu se pot realiza n acelai timp; se poate realiza doarunulsauniciunul(elepresupunutilizareaaceleiairesurselimitate,sausunt variante tehnice cu aceeai finalitate). 0 =jx 1 =jx0 =ix DaDa 1 =ix DaNu Aceasta conduce la restricia: 1 s +j ix x (13) Generalizare: - din n proiecte, se poate realiza unul sau niciunul: =sniix11- din n proiecte, se pot realiza cel mult m proiecte: =sniim x1 B. DISJUNCIA (sau) Cel puin unul dintre proiectele i sau j trebuie s se realizeze. 0 =jx 1 =jx0 =ix NuDa 1 =ix DaDa Aceasta conduce la restricia: 1 > +j ix x (14) Generalizare: - din n proiecte, cel puin unul trebuie s se realizeze: =>niix11 - din n proiecte, cel puin m trebuie s se realizeze: =>niim x1 C. ALTERNATIVA (sau exclusiv) Presupune s se realizeze, n cazul a dou proiecte unul sau altul, dar nu amndou. 0 =jx 1 =jx0 =ix NuDa 1 =ix DaNu Aceasta conduce la restricia: 1 = +j ix x (15) 18Dorin Lixndroiu Generalizare: - din n proiecte, unul singur trebuie s se realizeze: ==niix11 - din n proiecte, m proiecte trebuie s se realizeze: ==niim x1 D. IMPLICAIA Dac proiectul i implic proiectul j, nu se poate realiza i fr a realiza i j. Dar, dac i nu se realizeaz, proiectul j se poate realiza sau nu. 0 =jx 1 =jx0 =ix DaDa 1 =ix NuDa Aceasta conduce la restricia:j ix x s (16) Implicaia poate apare n situaii mai complexe, de exemplu: k h ix x x + s realizarea proiectului i implic realizarea cel puin a unuia dinproiectele h i k k h ix x x + s 2realizarea proiectului i implic realizarea proiectelor h i k i k hx x x s + 2 realizarea proiectelor h sau k implic realizarea proiectului i STUDIUL DE CAZ Nr. 3 Model de alegere a unor obiectiveModelul general a fost formulat n cadrul Problemei realizrii proiectelor (problema 5). Abordmcazulparticularaluneiinstituiipublicecaretrebuiesrealizeze6obiective (O1, O2,..., O6) n 5 ani.Variabilele modelului (variabile booleene) sunt: , 5 ,..., 2 , 1 , 6 ,..., 2 , 1 , = = j i xij care indic realizarea( ) 1 =ijxsau non-realizarea( ) 0 =ijxobiectivului i n anul j. S stabilim ce restricii logice trebuiesc adugate modelului n urmtoarele ipoteze: I1) Nu se pot realiza mai mult de dou obiective ntr-un an. == s615 ,..., 2 , 1 , 2iijj xI2) Nu se pot realiza mai mult de 3 obiective n primii 2 ani. ( ) ( ) 3 ... ...62 22 12 61 21 11s + + + + + + + x x x x x x ,sau mai concentrat putem scrie: ( )=s +612 13ii ix xModelarea deciziei economice19 I3) Obiectivul O2 nu poate fi realizat n acelai an cu obiectivul O1. - scriem cte o restricie de incompatibilitate pentru fiecare an: 5 ,..., 2 , 1 , 12 1= s + j x xj j I4) Dac obiectiveleO1 i O2 sunt realizate n acelai an, nici un alt obiectiv nu poate fi realizat n acelai an. - pentrul anul 1 avem: 21 11 312 x x x s 21 11 412 x x x s 21 11 512 x x x s 21 11 612 x x x s- aceleai restricii vor fi adugate i pentru anii 2,3, 4 i 5. Concentrat putem scrie cele 20 de restricii logice astfel: 5 ,..., 2 , 1 , 6 , 5 , 4 , 3 , 22 1= = s j i x x xj j ij I5) n primul an trebuie realizate obiectivele O1 i O2 sau obiectivele O3 i O4. 241 31 21 11= + + + x x x x- din cele 4 obiective doar dou se vor realiza 21 11x x = - cele dou vor fi (O1 i O2) sau (O3 i O4) I6) Obiectivul O1 poate fi realizat n primul an numai dacacesta este anul de realizare al obiectivelor O2 i O3. - recunoatem situaia analizat la implicaie:realizarea proiectului i implic realizarea proiectelor h i k; deci, vom aduga restricia logic: 31 21 112 x x x + s MODELE DE ALOCARE (Distribuirea i repartizarea resurselor) Modeleledealocareoptimizeazmoduldemprirearesurselordisponibilentre activitileceurmeazafiexecutate.Obiectivullconstituiealocarearesurselorastfel nct s se minimizeze cheltuielile totale sau se maximizeze beneficiul. Notm: , ,..., 2 , 1 , m i Ri= - resursele , ,..., 2 , 1 , n j Jj= - activitile , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i cij= = - cheltuielile (sau beneficiile) care rezultdin alocarea unei uniti din resursa iRactivitii.jJ, ,..., 2 , 1 , n j aj= - cantitile de resurse necesare , ,..., 2 , 1 , m i bi= - cantitile de resurse disponibile 20Dorin Lixndroiu n figura 9 este dat matricea care definete problema de alocare. Resurse ActivitiCantitatea de resurs DisponibilJ1J2....Jn R1c11 c12 ....c1n b1 R2c21 c22 ....c2n b2 ........................ Rmcm1 cm2 ....cmn bm Cantitatea de resurs necesar a1 a2 .... an Figura 9 Matricea problemei de alocare Dac suma resurselor disponibile este egal cu suma cantitilor necesare, adic: = ==minjj ia b1 1(17) problema de alocare este echilibrat. ncazuluneiproblemeneechilibratealgoritmiiderezolvaredeterminiactivitilece nu vor fi executate sau resursele ce nu vor fi folosite.nclasaproblemelordealocaredistingem:problemadetransportiproblemade repartizare. Problema de transport Constntransportulunuiproduscareseaflnmdepozite(centredeaprovizionare, surse) ctre n consumatori (clieni, centre de desfacere), astfel nct costul de transport s fie minim. Notm: , ,..., 2 , 1 , m i Di= - depozitele , ,..., 2 , 1 , n j Cj= - centrele de consum , ,..., 2 , 1 , n j aj= - cantitile de produs solicitate , ,..., 2 , 1 , m i bi= - cantitile de produs disponibile , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i cij= = - cheltuielile pentru transportul unei unitide produs de la depozitul iDla centrul de consum jC, ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i xij= = - cantitatea necunoscut de produs care vafi transportat de la depozitul iDla centrul de consum jCModelul Funcia obiectiv:= =minjij ijx c1 1mi n (18) Modelarea deciziei economice21 Restriciile: == =nji ijm i a x1,..., 2 , 1 , == =mij ijn j b x1,..., 2 , 1 ,n j m i xij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , 0 = = >ModelulproblemeidetransportesterezolvatnQMdemodululTransportation,care trateaz i situaiile neechilibrate (cererea > oferta sau cererea < oferta). Problema de repartizare ntr-oproblemderepartizarefiecareresurspoatefialocatuneisingureactivitii fiecareactivitatenupoateutilizadectosingurresurs.Esteuncazparticularde problemdetransportncaretoatecantitiledisponibilesuntegalecu1itoate cantitile necesare sunt tot egale cu 1.Exemplultipicdeproblemderepartizare:unnumrmdepersoanetrebuies efectuezeunnumrndeactiviti.Fiecarepersoanareunanumitcost (randament/performan)pentrufiecareactivitate.Sencearcformareadeperechi resurs-activitateastfelnctsseoptimizezefunciaobiectiv(minimizareacosturilor saumaximizareaperformanelor).Astfeldeproblemeaparcndtrebuiesrepartizm avioaneleiechipajelepezboruri,camioaneleioferiipeanumiterute,personalul dintr-o organizaiepeanumitefunciietc.Dac existmaimulteactivitidectsepot efectua,trebuieprecizatceactivitatenuvafirealizat.Dacexistmaimulteresurse dect activiti, se va preciza ce resurse rmn nealocate. Modelul Funcia obiectiv:= =minjij ijx c1 1mi n (cost) sau = =minjij ijx r1 1max (randament) Restriciile: == =njijm i x1,..., 2 , 1 , 1 (19) == =miijn j x1,..., 2 , 1 , 1, 1 =ijx dac resursa i a fost alocat activitii j , 0 =ijx dac resursa inu a fost alocat activitii j Modelul problemei de repartizare este rezolvat n QM de modulul Assignment. 22Dorin Lixndroiu STUDIUL DE CAZ Nr. 4 Repartizarea echipajelor pe cursele aerieneOlinieaeriandesfoaractivitizilnicenambelesensurintredouoraeAiB. Dacechipajularebaza(domiciliul)nAisosetenBcuunanumitzbor,atunciel trebuiesserentoarcnAcuunuldinzborurileurmtoare(eventualadouazi). Companiaaeriandoretesdetermineceperechidezboruri(dus-ntors)trebuie formateastfelncttimpultotaldeederepeaeroportulstrinsfieminim.Aparei problema: fiind date perechile de zboruri, unde trebuie s-i aib baza fiecare echipaj? Activitile zilnice se desfoar conform orarului: Numr zborPlecare ASosire B A-B 17 h8 h A-B 28 h9 h A-B 313 h 30 min14 h 30 min A-B 418 h 30 min19 h 30 min A-B 520 h21 h A-B 623 h 30 min0 h 30 min Numr zborPlecare BSosire A B-A 18 h9 h 15 min B-A 28 h 30 min9 h 45 min B-A 312 h13 h 15 min B-A 417 h 30 min18 h 45 min B-A 519 h20 h 15 min B-A 622 h23 h 15 min Echipajul trebuie s se odihneasc ntre zboruri cel puin 5 ore. Determinai perechile de zboruripentrucaretimpulntregdestaionarepeunaeroportstrinsfieredusla minim.SepoatestabilibazaechipajelorfienA,fienB.Pentrufiecareperechede zboruri, echipajul va fi repartizat n baza care face posibil obinerea unui timp minim de staionare. Rezolvare Pasul 1. Calculm timpul de staionare pe aeroportul strin n ipoteza c baza este n A. Pentru aceasta considerm toate perechile (A-Bi, B-Aj), cu i=1,2,,6 i j=1,2,,6. Plecare A - Sosire BZborB-A 1B-A 2B-A 3B-A 4B-A 5B-A 6 A-B 12424.5289.51114 A-B 22323.5278.51013 A-B 317.51821.52728.57.5 A-B 412.51316.52223.526.5 A-B 51111.51520.52225 A-B 67.5811.51718.521.5 Modelarea deciziei economice23 Pasul 2. Calculm timpul de staionare pe aeroportul strin n ipoteza c baza este n B. Pentru aceasta considerm toate perechile (B-Ai, A-Bj), cu i=1,2,,6 i j=1,2,,6. Plecare B - Sosire A ZborB-A 1B-A 2B-A 3B-A 4B-A 5B-A 6 A-B 121.7521.2517.7512.2510.757.75 A-B 222.7522.2518.7513.2511.758.75 A-B 328.2527.7524.2518.7517.2514.25 A-B 49.258.755.2523.7522.2519.25 A-B 510.7510.256.7525.2523.7520.75 A-B 614.2513.7510.2528.7527.2524.25 Pasul3.Combinmceledoutabele,alegndbazacareofertimpuldestaionarecel maisczutpentrufiecarepereche.Nouatabelconinedateledeintraren modulul Assignment din QM (figura 10). Figura 10 Soluia este dat n figura 11. Figura 11 Pasul4.Pentruastabilibazaechipajeloridentificmsoluiilederepartizare(Assign)n cele dou tabele construite la Pasul 1 i 2. Rezult c 3 perechi de zboruri vor avea baza nAi3perechidezborurivoraveabazanB,iarduratatotaldeateptarepe aeroporturilestrine pentrutoatecele6 echipajeestede49orei45minute(Optimal cost = $49.75). 24Dorin Lixndroiu Baza A :< A - B 2 >< B - A 4 >< A - B 3 >< B - A 6 > < A - B 6 >< B - A 1 > Baza B :< B - A 2 >< A - B 5 > < B - A 3 >< A - B 4 > < B - A 5 >< A - B 1 > Test de evaluare a cunotinelor 1.Opersoandoretesrealizezedepozitebancarenvaloaretotalde2000u.m.la oricare din cele 6 bnci analizate. Informaiile obinute sunt: BancaDobndaSituaiaAnii B14.5%Excelent2009 B25%Foarte bun2011 B36%Proast2007 B45.5%Bun2006 B54.5%Excelent2010 B65%Foarte bun2011 Investitoruldecidecnuvaplasamaimultde25%laosingurbancicelpuin jumtate din fonduri vor fi plasate la bncile pentru care are informaii dup anul 2008. Nuvainvestimaimultde30%n bncilecare ausituaiafinanciar mai puindefoarte bun.Cesumvadepunenfiecarebancpentruamaximizaprofituldindobnd? Construii modelul i rezolvai-l utiliznd produsul software QM. 2. Un student n managementul afacerilor la Nowledge College trebuie s senscrie la 65 decursuripentruobinerealicenei.Eltrebuiesaleagcelpuin23decursuride specialitate (de afaceri) i cel puin 20 de cursuri complementare (nonbusiness courses). Dispune de 3000 $ pentru cumprarea cursurilor editate. n medie un curs de specialitate necesit120deoredestudiu,iarcarteacost60$.Pregtireaunuicurscomplementar necesit 200 ore de studiu, iar cartea cost 24$. Ca orice student, i pune problema cte cursuridespecialitateicomplementaresaleagpentruanvactmaipuin. Construiimodelul,gsiisoluiaoptimianalizairezultateleutilizndprodusul software QM. 3.Ofirmdeprelucrarealemnuluidispunede69descnduridedimensiuni: 290cmx25cmx4cm.Pentruolucrarecontractat,firmatrebuieslivrezecte100de scndurideurmtoareledimensiuni:50cmx25cmx4cm,70cmx25cmx4cmi 80cmx25cmx4cm.Cumtrebuietiatescndurileastfelnctcantitateatotalde Modelarea deciziei economice25 deeurirezultatesfieminim?Construiimodeluligsiisoluiaoptimutiliznd produsul software QM. 4.Ounitateacomercialtrebuiesrspunduneicereride23unitidinprodusulP, ealonat pe o perioad de 4 luni. La nceputul fiecrei luni unitatea se poate aproviziona cu orice cantitate din produsul respectiv la un pre ce variaz de la o lun la alta. -luna 1: cerere = 5pret unitar = 10 -luna 2: cerere = 7pret unitar = 11 -luna 3: cerere = 6pret unitar = 10 -luna 4: cerere = 5pret unitar = 9 S se defineasc un model pentru politica optim de aprovizionare a firmei astfel nct toatecererilesfiesatisfcute,tiindcnstocsegsesclanceputulprimeiluni4 uniti din perioadaanterioar,capacitateamaximadepozituluiestede10uniti,iar la sfritul ultimei luni toate produsele sunt vndute.Determinai soluia optimutiliznd produsul software QM. 5. ntr-un model investiional se poate alege ntre 5 proiecte i exist o sum limitatde 1100 u.m., care poate fi investit. Beneficiul rezultat din realizarea proiectelor este: Proiect 1Proiect 2Proiect 3Proiect 4Proiect 5 Beneficiul7581859263 Costul290250240330220 n ipotezele: I1. Alegerea proiectului 3 implic alegerea a cel puin dou din proiectele 1, 4 sau 5 i I2. Proiectele 2 i 3 nu se pot realiza n acelai timp,formulai modelul care conduce la un beneficiu maxim. Determinai soluia optimutiliznd produsul software QM. 6.Ofirmaredepoziten4filialeiaprovizioneazcuacelaiprodus9centre. Cheltuielile de transport pentru o unitate de produs, oferta i cererea sunt date n tabelul de mai jos: C1C2C3C4C5C6C7C8C9Oferta D1314340363741472942 427 D21918204714361362473824 D35759556418205339644370 D42846526025184259241280 Cererea15001000100015001000100060010001500 a) a) S se stabileasc planul de transport astfel nct cheltuielile s fie minime. b)b)Centrelecucerereanesatisfcutapeleaznperioadaurmtoarelaunaltfurnizor pentru ntreaga cantitate. Stabilii planul de transport pentru noua perioad, n ipoteza c oferta firmei i cererea centrelor de consum rmase, se pstreaz neschimbate. c)c) Reducei oferta pentru perioada a 3-a n centrele cu exces astfel nct s se obin o problem de transport echilibrat (cererea rmne aceeai). Rezolvai problema utiliznd produsul software QM. 26Dorin Lixndroiu 7. Reluai Studiul de caz nr. 4 Repartizarea echipajelor pe cursele aeriene n ipoteza c duratadintrezboruri estedecelpuinoor.Stabilii perechiledezboruripentrucare timpulntregdestaionarepeunaeroportstrinsfiereduslaminim.Determinai soluia optimutiliznd produsul software QM.

Modelarea deciziei economice27 3. MODELAREA DECIZIILOR MONOCRITERIALE [ACKOFF, 1975], [ANDREICA, 1998], [HILLIER, 2005], [KAUFMANN, 1987], [KRAJEWSKI, 2005] [IONESCU, 1999] ANALIZA DECIZIILOR MONOCRITERIALE CU AJUTORUL MATRICEI DE DECIZIE Cursurile alternative de aciune elaborarea deciziei, prin definiie, implic dou sau mai multeopiuni,cursurisaualternativedeaciune(strategii).Capacitateadeacrea alternativedepindedecreativitateaiimaginaiamanagerilor.Managerulcreativ,de obicei,vedemaimultealternativedectrealizeazunulconservator.Suntvariabilede decizie independente. Strilenaturiinumiteievenimenteposibile,suntrezultatuluneiforenecunoscute, necontrolabile.ntr-osituaiedecizionalnumrulstrilornaturiinuestepreamare. Sunt parametrii necontrolabili independeni. Probabilitilestrilornaturiireprezintanseledeapariieastrilornaturii.Se considercnumaiunadinstrivaaparenviitor.Suntparametriinecontrolabili independeni.Observaie.Strile naturii formeaz un sistem complet de evenimente. Plile(consecinelesaurezultatele)-suntasociatecuoalternativiostareanaturii. Sunt variabile dependente. Matricea plilor Strile naturii Alternative S1S2 . . . .

Sj . . . . .Sn p1p2 . . . .

pj . . . . .pn A1 A2 .... Ai . Am a11 a12 . . . . a1j . . . . . a1n a21 a22 . . . . a2j . . . . . a2n ai1 ai2 . . . .aij . . . . .ain am1 am2 . . . . amj . . . . . amn

ELABORAREA DECIZIILOR MONOCRITERIALE N CONDIII DE INCERTITUDINE 1.CRITERIUL OPTIMIST (maximax) Decidentulareoatitudineoptimistalegealternativacareimaximizeazplata.Se presupune c cea mai bun stare a naturii va apare.n prima etap se va selecta plata maxim posibil pentru fiecare alternativ, apoi se va alege alternativa cu plata cea mai mare. 28Dorin Lixndroiu Decizia optim va fi: { } n j m i a Dijj i,..., 2 , 1 , ,... 2 , 1 , max max = = = (1) 2.CRITERIUL PESIMIST (maximin) - (Criteriul lui WALD)Decidentul are o atitudine pesimist ncearc s maximizeze plata minim posibil. Se presupunecceamaireastareanaturiisevaproduce,indiferentcealternativva alege. n prima etap se va selecta cea mai rea plat pentru fiecare alternativ, apoi se va alege alternativa cu plata cea mai mare. De fapt Wald apreciaz c dac ignor strile naturii voi adopta atitudinea cea mai prudent. Decizia optim va fi: { } n j m i a Dijji,..., 2 , 1 , ,... 2 , 1 , mi n max = = = (2) 3.CRITERIUL REGRETELOR (Criteriul lui SAVAGE) Conceptulregretuluiesteechivalentcudeterminareapierderiioportunitii.Costul oportunitiiindicsemnificaiapierderiisuferitedinneselectareaceleimaibune alternative.Savageargumenteaznmodlogic,cundecidentraionalvancerca ntotdeaunasminimizezecelmaimareregretposibil,anticipat.Aplicareacriteriului regretuluipresupunefolosireaunuicriteriudeopiunedetipminimax.Calculul furnizeazregretulntrealegereaefectuatialegereaceamaifavorabildacs-ar cunoate strile naturii.

Pasul 1. Construimmatricea regretelor (R).Regretul este diferena dintre plata cea mai bunpentruostareanaturiidaticelelalteplialealternativelorpentrurespectiva stare. { } n j m i a a rij ijiij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , max = = = (3) Pasul2.Sedeterminregretulmaximpentrufiecarealternativ,apoisevaalege alternativa cu cel mai mic regret posibil. Decizia optim va fi: { } n j m i r Dijj i,..., 2 , 1 , ,... 2 , 1 , max mi n = = = (4) 4.CRITERIUL REALISMULUI (Criteriul lui HURWICZ) Conceptulderealismpresupunecundecidentnuestenicicompletoptimist,nici complet pesimist. Hurwicz sugereaz c fiecare decident este caracterizat de un anumit Modelarea deciziei economice29 coeficient de optimism (notat alfa), care n mod normal va fi msurat pe o scar ntre 0 i 1, n care extremele sunt: - pesimismul total, deci alfa = 0 - optimismul total, decialfa = 1 nmodlogicdecidentulvaaveaiuncoeficientdepesimism(1-alfa),careseaplicla plata,consecinaceamairea.Hurwiczintroduceovaloarenoudeaprecierea alternativelor candidate, care se calculeaz pentru fiecare alternativ, astfel: plata cea mai bun x alfa+ plata ce mai rea x (1 alfa) Avantajulmetodei:decidentulintroducendeciziepropriaargumentarebazatpe experien, intuiie, informaie, etc. Pasul 1. Se determin aprecierea fiecreialternative: { } { } ( ) m i a a Hijjijji,..., 2 , 1 , 1 mi n max = + = o o(5) Pasul 2. Decizia optim va fi: { } m i H Dii,... 2 , 1 , max = = (6) 5.CRITERIUL ECHIPROBABILITII (Criteriul lui LAPLACE) Decidentulconsiderctoatestrilenaturiisuntechiprobabile.Secalculeazpentru fiecarealternativovaloareateptat,iarapoivafiselectatalternativacuvaloarea ateptat maxim. Pasul 1. Se determin coeficientul de echiprobabilitate ne1=, unde nreprezint numrul de stri ale naturii Pasul 2.Calculm valoarea ateptat pentru fiecare alternativ: m i a e Lnjij i,..., 2 , 1 ,1= == Pasul 3. Decizia optim va fi: { } m i L Dii,... 2 , 1 , max = = (7) 30Dorin Lixndroiu 6.CRITERIUL LUI BERNOULLI CaincazulCriteriuluiluiLaplacedecidentulconsiderctoatestrilenaturiisunt echiprobabile,darutilizeazlogaritmulplilorncalcululvaloriiateptate.Vafi selectatalternativacuvaloareaateptatmaxim.Evident,acestcriteriusepoate aplica dac valorile din matricea plilor sunt toate pozitive, adic n j m i aij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , 0 = = > Pasul 1. Se determin coeficientul de echiprobabilitate ne1=, unde nreprezint numrul de stri ale naturii Pasul 2.Calculm valoarea ateptat pentru fiecare alternativ, : ( ) m i a e Bnjij i,..., 2 , 1 , l n1= == Pasul 3. Decizia optim va fi: { } m i B Dii,... 2 , 1 , max = = (8) 7.CRITERIUL LUI PASCAL (Criteriul valorii medii) nsituaiancarestrilenaturiinusuntechiprobabilesecalculeazpentrufiecare alternativvaloareamedie(valoareaateptat),iarapoivafiselectatalternativacu valoarea medie maxim. Pasul 1.Calculm valoarea medie pentru fiecare alternativ: m i a p Pnjij j i,..., 2 , 1 ,1= = = Pasul 2. Decizia optim va fi: { } m i P Dii,... 2 , 1 , max = = (9) Modelarea deciziei economice31 STUDIUL DE CAZ Nr. 1 - Dezvoltarea unui produs Pentru dezvoltarea unui produs, o firm are 3 alternative: A1 extinderea capacitilor de producie existente A2 construirea unei noi fabrici (noi capaciti de producie) A3 subcontractarea unor capaciti de producie de la ali productori Analiza a identificat urmtoarele stri ale naturii: S1 - o cerere mare, datorat unei rate ridicate de acceptare a produsului pe pia S2 o cerere moderat, datorat unei reacii concureniale semnificativeS3 o cerere mic rezultat dintr-o rat slab de acceptare a produsului S4 un eec total, o rat zero de acceptare a produsului Matricea plilor RezolvareacumodululDecisionAnalysisdinprodusulsoftwareQuantitative Management (QM). Datele problemei sunt introduse n modulul din QM (figura 4). Figura 1 Soluiile n cazul urmtoarelor criterii sunt prezentate n figura 2: Strile naturii Alternative S1 Cerere mare S2 Cerere moderat S3 Cerere mic S4 Cerere zero A1 Extindere500250-250-450 A2Construcie nou700300-400-800 A3Subcontractare300150-10-100 32Dorin Lixndroiu 1.CRITERIUL ECHIPROBABILITII (Criteriul lui LAPLACE) 2.CRITERIUL PESIMIST (maximin) - (Criteriul lui WALD) 3.CRITERIUL OPTIMIST (maximax) 4.CRITERIUL REALISMULUI (Criteriul lui HURWICZ) Figura 2 5.CRITERIUL REGRETELOR (Criteriul lui SAVAGE) Soluia pentru Criteriul lui Savage este dat n figura 3. Figura 3 S recapitulm: -conform criteriului lui Laplacelum decizia de subcontractare - conform criteriului lui Wald (maximin) lum decizia de subcontractare - conform criteriului lui Savage(regretelor) lum decizia de extindere - conform criteriului optimist (maximax) lum decizia de construcie nou - conform criteriului lui Hurwicz (realismului) cu alfa = 0.7 lum decizia de construcie nou Modelarea deciziei economice33 Cele5criteriiaplicatenuconduclaaceeaidecizie.Pentruacomparadiferitelecriterii dedeciziencondiiide incertitudine,numeroi autoripentruajustifica decizia optim propunrealizareauneianalizeprinconstruireaunuitabeldeclasificare.Minimizarea sumeirangurilorobinutedealternativelestudiate,relativlacele5criterii,arputea justificaalegereadecizieioptime.Estensposibilsseajunglarezulatedetipul paradoxului lui Condorcet (clasamente non tranzitive). Criteriul Alternativa Laplace Wald Savage Optimist Hurwicz Suma rangurilor A1 Extindere 2 2 1 2 2( = 0.7) 2 ( = 0.3) 9 ( = 0.7) 9 ( = 0.3) A2Construcie nou 3 3 3 1 1 ( = 0.7) 3 ( = 0.3) 11 ( = 0.7) 13 ( = 0.3) A3Subcontractare 1 1 2 3 3 ( = 0.7) 1 ( = 0.3) 10 ( = 0.7) 8 ( = 0.3) ntabeluldeclasificares-auintroduspentruCriteriuluiluiHurwiczdourezultate: pentrucazuloptimist(alegerealui=0.7)ipentrucazulpesimist,saumaicorect prudent (alegerea lui = 0.3). Concluzia final: - un comportament prudent indic alegerea alternativei -A3Subcontractare - un comportament mai optimist indic alegerea alternativei -A1 Extindere STUDIUL DE CAZ Nr. 2 - Construcia unui motel Uninvestitordoreteconstruireaunuimotelpeuntraseuturisticfrecventatintens. Cumprunterencuieiredirectlaoseacu50.000um.ipropuneconstruireape acest teren a unui motel, dar nu tie nc la ce capacitate s-l realizeze: 20, 30, 40 sau 50 de camere. Devizul cheltuielilor este urmtorul: 1. Cheltuieli anuale independente de numrul S al camerelor: - amenajarea terenului, construcia, etc. cost 100.000 um i admitem c vor amortizate n 10 ani10.000 um - cheltuieli de reparaii i ntreinere (partea fix)1.500 um - salariu paz de noapte6.000 um - salariu angajat ntreinere8.000 um ------------------------------- TOTAL25.500 um 34Dorin Lixndroiu Not.Preuldecumprarealterenuluinuesteluatncalculdeoareceseconsiderc valoareaacesteiinvestiiicreteaproximativcauncapitalplasatcuoratnormala dobnzii. Salariile care sunt prezentate reprezint total cheltuieli salariale, adic includ i contribuia angajatorului. 2. Cheltuieli anuale proporionale cu numrul S de camere construite: ExplicaiiS = 20S = 30S = 40S = 50 Construcia, amenajarea, mobilarea unei camere revine la 40.000 um i se consider o amortizare constant pe 10 ani. 80.000 120.000 160.000 200.000 Secalculeazocameristpentru10camerecu un salariu anual de 6.000 um. 12.000 18.000 24.000 30.000 ntreinereireparaii:150umpeanipe camer. 3.000 4.500 6.000 7.500 Asigurri: 25 um pe an i pe camer. 500 750 1.000 1.250 TOTAL 95.500 143.250 191.000 238.750 3. Cheltuielile anuale proporionale cu numrul mediu R de camere ocupate: Explicaii R = 0R = 10R = 20R = 30R = 40R = 50 Splat, clcat lenjerie: 5 um / zi / camer(360 zile) 0 18.000 36.000 54.000 72.000 90.000 Electricitate, gaz i ap: 5 um / zi / camer(360 zile) 0 18.000 36.000 54.000 72.000 90.000 TOTAL 0 36.000 72.000 108.000 144.000 180.000 ncasrile Seapreciazclaunprede60um/camer/pezi,sumelencasatenfunciede cerere vor fi: ExplicaiiR = 0R = 10R = 20R = 30R = 40R = 50 ncasrile la un pre de 60 um / zi / camer (365 zile) 0 219.000 438.000 657.000 876.000 1.095.000 Beneficiile anuale (mii um) R = 0R = 10 R = 20R = 30R = 40 R = 50 S = 20- 121,0062,00245,00245,00245,00245,00 S = 30- 168,7514,25197,25380,25380,25380,25 S = 40- 216,50-33,50149,50332,50515,50515,50 S = 50- 264,25-81,25101,75284,75467,75650,75 Modelarea deciziei economice35 Investitorularemariprobleme:dacvaconstrui20decamere,poatectiga245.000um,dar riscspiard121.000um;pentru30decamere,beneficiulmaximalposibilvafimaimare (380,25 um), dar i pierderea maxim va fi mai mare (168,75um). Aplicarea diferitelor metodededecizie n condiiile deincertitudinedate dencasrilerealizate conduce la urmtoarele decizii: 1.Criteriul lui LAPLACE Considermprobabilitilestrilornaturiiechiprobabileiegalecu1/6.Strilenaturii sunt date de gradele de ocupare ale camerelor. Figura 4 Conformacestuicriteriu,EMV(valoareamonetarateptat)ceamaimare(210.32) corespunde deciziei de a construi S = 40 camere (figura 4). 2.Criteriul lui WALD Conform celor prezentate se va alege: ((

ijj ia mi n maxadic valoarea -121, ceea ce corespunde deciziei de a construi S = 20 camere (figura 5). Figura 5 36Dorin Lixndroiu 3.Criteriul lui HURWICZ Vom prezenta rezultatele pentru diferite valori ale coeficientului de optimism alfa. -alfa =0.1 corespunde deciziei de a construi S = 20 camere (figura 6) Figura 6 -alfa =0.2 corespunde deciziei de a construi tot S = 20 camere (figura 7) Figura 7 -alfa =0.5 corespunde deciziei de a construi S = 50 camere (figura 8) Figura 8 Modelarea deciziei economice37 -alfa =0.8 corespunde deciziei de a construi S = 50 camere (figura 9) Figura 9 -alfa =0.9 corespunde deciziei de a construitot S = 50 camere (figura 10) Figura 10 ConstatmcatitudineapesimistdominantconduceladeciziadeaconstruiS=20 camere, n timp ce atitudinea optimist indic S = 50 camere. 4.Criteriul lui SAVAGE Figura 11 Aplicarea acestui criteriu conduce la decizia de a construi S = 40 camere (figura 11). 38Dorin Lixndroiu Concluzie Investitorul are de ales ntre urmtoarele soluii: a)conform criteriului lui Laplace va construi 40 camere; b)conform criteriului lui Wald va construi 20 camere; c)conformcriteriuluiluiHurwiczvaconstrui20cameredacestepesimisti50 camere dac este optimist; d)conform criteriului lui Savage va construi 40 camere; Investitorulnusepoatelansanafacere,dacnuareoinformaie,celpuinparial, asupra anselor de reuit. El obine informaii asupra cererii medii nregistrate n ultimii ani: Cererea01020304050 Probabilitatea0,010,090,200,300,300,10 n aceast situaie poate aplica:

5.Criteriul lui PASCAL Se calculeaz valoarea medie a ctigului n fiecare din cele 4 alternative: ( ) | | 87 , 224 1 , 0 3 , 0 3 , 0 2 , 0 245 09 , 0 62 01 , 0 121 20 20 = + + + + + = = E Sanalog: ( ) 22 , 305 30 30 = = E S( ) 675 , 330 40 40 = = E S( ) 12 , 301 50 50 = = E SSeobservc,soluiaceamaifavorabil(valoareamaxim)estedeaconstrui40 camere. Alegerea unui criteriu Este o problem dificil, care implic evaluarea anselor de ruin i a anselor de succes. Se consider: probabilitatea subiectiv de a obine rezultate proaste; probabilitatea subiectiv de a avea succes; probabilitatea situaiilor intermediare, astfel nct: 1 = + + | oDac notm cu: P- suma rezultatelor proaste;

I- suma rezultatelor intermediare; S- suma rezultatelor satisfctoare, atunci :Modelarea deciziei economice39 pSnImP + + | oreprezint n fiecare ipotez, o estimaie subiectiv a speranei matematice, undem, n, p sunt numerele de rezultate reinute pentru fiecare categorie. Problemafundamentalvafisdeterminmncarecategorietrebuieclasificatfiecare rezultat.O primsoluiearfisconsidermcarezultateproastecelecareconduclao pierdere, adic cele negative din tabela Beneficii anuale: - pentru S = 40 avem:12525 , 33 5 , 216 = =mP - pentru S = 30 avem:75 , 168175 , 168 ==mP Aceastacontraziceintuiia,carenespunecrisculcretecunumruldecamere construite. Din aceast cauz preferm o a doua soluie care consider ca rezultate proaste numai celedepeprimacoloandintabelaBeneficiianuale(corespunztoareluiR=0).Se poate considera c o pierdere uoar este echivalent cu un ctig uor (de exemplu n cazulR=10,ctigulde14,25pierdereade-33,5).Aceastsoluieconducenatural prinsimetrielaconsiderareacarezultatesatisfctoareacelorcarecorespundcererii maxime R = 50. S considerm un exemplu concret i presupunem c ntreprinztorul evalueaz la10% probabilitatea de ruin i cu 20% probabilitatea de succes. Astfel, pentru2 , 0 1 , 0 = = o , rezult c7 , 0 = |i se pot calcula: ( ) 4 , 176 2 , 012457 , 04245 3 621 , 0112120 = + ++ = E analog:( ) 3 , 229 30 = E( ) 2 , 250 40 = E( ) 8 , 238 50 = Eceea ce conduce la decizia de a construi 40 camere. 40Dorin Lixndroiu STUDIUL DE CAZ Nr. 3 - Problema investiiilor (plasamente financiare) Departamentulinvestiiilordoretesmaximizezerandamentulinvestiiilor (lichiditilordisponibile)pentruoperioaddeunan.Problemaesteincertinimeni nu poate prezice exact micrile aciunilor i ale pieei obligaiunilor. Studiulrelaieidintrerandamentulposibilelorinvestiiiistareaeconomiei,bazatpe experiena trecut, conduce la urmtoarele concluzii: Dacvaapareocretereeconomicsntoas:obligaiunilevorproduce profituri de 12 %, aciunile de 15% i depozitele la termen de 6,5%. Dacvaaparestagnareaeconomic:obligaiunilevorproduce6%ctiguri, aciunile 3% ,iar depozitele la termen de 6,5%. Dac apare inflaia: obligaiunile vor produce 3% ctiguri, valoarea aciunilor va scdea cu 2% , iar depozitele la termen vor produce normal tot 6,5%. Matricea plilor (Tabel de decizie) S1 -Cretere econ.P1=0,5 S2 - Stagnare P2=0,3 S3 - Inflaie P3=0,2 A1 Obligaiuni1263 A2 Aciuni153-2 A3 Depozit 6,56,56,5 Test de evaluare a cunotinelor 1.Definii problema deciziei monocriteriale n condiii de incertitudine. 2. Prezentai cele 7 criterii decizionale descrise. 3.Studiuldecaznr.1Plecnddelamatriceaplilorrefaceicalculelepentrucele5 criterii fr a utiliza produsul software QM. 4. Studiul de caz nr. 2 Pentru rezultatele obinute prin aplicarea celor 5 criterii ( Lapace, Wald, Hurwicz, Savage i Pascal) construii un tabel de clasificare i comparai rezultatul cu concluziile studiului. 5. Rezolvai Studiul de caz nr.3 prin aplicarea criteriilor Lapace, Wald, Hurwicz (alfa=0.3 i alfa=0.7), Savage, Pascal i optimist.6. Studiul de caz nr. 3 Analizai rezultatele obinute cu ajutorul unui tabel de clasificare. Modelarea deciziei economice41 ANALIZA DECIZIILOR CU AJUTORUL ARBORELUI DE DECIZIE Arborele de decizie reprezint forma grafic a matricei plilor. Conceptul de arbore de decizie permite o abordare sistematic a multor probleme decizionale. Un arbore de decizie este compus din urmtoarele elemente: -Noduridedecizie- suntpunctelearboreluincaredecidentulopteaz pentruo aciune(alternativ)dinmaimulteposibile;sereprezintderegulprintr-un ptrat -Noduri ans sunt puncte de ramificaie ale arborelui n care responsabilitatea alegerii revine naturii, adic unor factori independeni; se reprezint de regul printr-un cerc -Noduri terminale sunt frunzele arborelui i au asociate o plat (consecin); se reprezint de regul printr-un romb-Alternativele sunt reprezentate de arcele (ramurile arborelui) care pleac dintr-unnoddecizionalsauunnodans;uneialternativeisepoateasociauncost; fiecarealternativpoatesfrintr-unaltnoddedecizie,nodanssaunod terminal. Cum se construiete arborele de decizie: -construirea arborelui se face de la stnga la dreapta, cu un nod de decizie iniial; -alternativeleposibilededeciziesuntreprezentateprinarcecareiesdinacest nod; -n continuare se adaug alte noduri de decizie sau noduri ans corespunztor cu evenimentele sau deciziile care sunt ateptate s apar; -arborelesedezvoltastfelspredreaptapnsuntatinsenodurileterminalece au asociate o plat (consecin). Abordm problema n care trebuie aleas la fiecare pas o decizie dintr-un numr finit de posibiliti i ntregul proces decizional se termin dup un numr finit de pai. STUDIUL DE CAZ Nr. 4 Lansarea pe pia a unui nou produs Ofirmdeprodusealimentaredoretelansareapepiaaunuinouprodus.S-au efectuatctevatestecareauconfirmatcalitileprodusuluiiplasareabunpepia printreproduselesimilare.Departamentuldemarketingapreciazprobabilitateade succesaprodusuluila0,3iacestaaraduceunbeneficiuanualtotalde3000u.m.n cazulunuieecpierdereafirmeivafide250u.m.Firmapoatealegeunadinceletrei alternative: -s renune la lansarea produsului; - s pun imediat produsul n vnzare; -s testeze vnzarea produsului ntr-un lan de supermagazine; n aceast situaie costul testrii este de 50 u.m. i sunt posibile urmtoarele situaii (evenimente): 42Dorin Lixndroiu a)EV1- produsul va fi ncercat de mai puin de 10% din potenialii consumatori; b)EV2- produsul va fi ncercat de mai mult de 10% din potenialii consumatori, darmaipuinde50%dinacetiavorreveniscumpereprodusuliadoua oar(estecunoscutfaptulcprimacumprarenuinseamnneaprati acceptareanouluiprodus;aceastapoatefidoarrezulatatulcuriozitii consumatorilor);c)EV3- produsul va fi ncercat de mai mult de 10% din potenialii consumatori, icelpuin50%dinacetiavorreveniscumpereprodusuliadouaoar, ceea ce nseamn acceptarea produsului. Firma dup efectuarea testului poate alege una dintre urmtoarele alternative: -renun la punerea n fabricaie a produsului -lanseaz produsul pe pia. Pebazaexperieneianterioareiaestimaiilorsubiectivealeunorexperiseapreciaz probabilitile de succes / eec n cazul testrii produsului pe pia. Aceste rezultate sunt date n tabelul de mai jos. EV1 - ncearc mai puin de 10% EV2 - ncearc mai mult de 10% i revin mai puin de 50% EV3 - ncearc mai mult de 10% i revin mai mult de 50% Probabi- liti S (succes) E (eec) 0,03 0,47 0,07 0,18 0,20 0,05 0,30 0,70 Probabiliti 0,50 0,25 0,25 1 Principiile analizei: -Valoarea fiecrui nod n care natura efectueaz alegerea nu depinde dect de evenimentele viitoare i nu de deciziile precedente. -n nodurile n care decizia revine decidentului se alege ntotdeauna acea decizie pentrucareurmtorulnodlacareseajungeestecelmaiprofitabil;valoarea noduluiactualesteegalcuvaloareanoduluiurmtordincaresescadecostul deplasrii. -Evaluareaintreguluisistemideterminareadecizieioptimesepoateface ncepnd cu nodurile terminale i deplasndu-ne n sensul contrar celui urmat de procesul real, pn ajungem n nodul iniial. Arborele de decizie asociat acestei probleme este dat n figura 12.

Modelarea deciziei economice43 Figura 12 Evaluarea arborelui Notm cu B1, B2,..., B15 valorile calculate (beneficiile) n nodurile respective. n nodul 1 putem ajunge din: -Nodul 2, care corespunde renunrii la lansare i deci beneficiul este zero;Rezult B2 = 0 u.m.; -Nodul 3, care corespunde punerii imediate n vnzare i n acest caz, beneficiul va fi: . . 725 7 . 0 250 3 . 0 3000 3 m u B = =-Nodul4,carecorespundetestriiicareareuncostde50u.m.,vafievaluat pornind de la nodurile din partea dreapt a arborelui i determinm succesiv: -valoarea nodului 13: ( ) 06 . 0 50 . 0 / 03 . 0 1 / = = EV succes P( ) 94 . 0 50 . 0 / 47 . 0 1 sec/ = = EV e P. . 55 94 . 0 250 06 . 0 3000 13 m u B = =-valoarea nodului 7: ( ) ( ) . . 0 55 , 0 max 13 , 10 max 7 m u B B B = = =-valoarea nodului 14: ( ) 28 . 0 25 . 0 / 07 . 0 2 / = = EV succes P( ) 72 . 0 25 . 0 / 18 . 0 2 sec/ = = EV e P. . 660 72 . 0 250 28 . 0 3000 14 m u B = =1 2 3 5 6 4 7 8 9 1000002 11 12 133 143 15 1600002 1700002 1800002 1900002 20000002 21000002 -50 RR R R L EV11L L L L T EV21L EV31L S EE E E S S S 3000 3000 3000 -250 -250 -250 -250 0 0 0 03000 44Dorin Lixndroiu -valoarea nodului 8: ( ) ( ) . . 660 660 , 0 max 14 , 11 max 8 m u B B B = = =-valoarea nodului 15: ( ) 8 . 0 25 . 0 / 20 . 0 3 / = = EV succes P( ) 2 . 0 25 . 0 / 05 . 0 3 sec/ = = EV e P. . 2350 2 . 0 250 8 . 0 3000 15 m u B = =-valoarea nodului 9: ( ) ( ) . . 2350 2350 , 0 max 15 , 12 max 9 m u B B B = = =-valoarea nodului 4: . . 50 . 752 25 . 0 2350 25 . 0 660 5 . 0 0 4 m u B = + + =din aceast valoare se scade costul testrii (costul ajungerii n nodul 4) i va rezulta: . . 50 . 702 50 50 . 752 4 m u B = =-valoarea nodului 1: ( ) ( ) . . 725 50 . 702 , 725 , 0 max 4 , 3 , 2 max 1 m u B B B B = = =Rezultc testarea pieeinuestejustificatideciziava fi:produsulva fi lansatdirect pe pia. Dac costul testrii ar fi mai mic de. . 50 . 27 725 50 . 752 m u = , atunci ar putea fi luat decizia de testare.RezolvareacumodululDecisionAnalysis(DecisionsTrees)dinprodusulsoftware Quantitative Management (QM) este redat n figura 13. Figura 13 Modelarea deciziei economice45 n figura 14 este reprezentat graful corespunztor realizat n QM. Figura 14 Test de evaluare a cunotinelor 1.RezolvaiStudiuldecaznr.3Problemainvestiiilorcuajutorularboreluidedecizie urmnd metoda de calcul prezentat. 2.RezolvaiStudiuldecaznr.3Problemainvestiiilorcuajutorularboreluidedecizie utiliznd QM. 3.Comparairezultateleobinuteprinceledoumetode:matriceadedeciziei arborele de decizie. 46Dorin Lixndroiu 4. MODELAREA DECIZIILOR MULTICRITERIALE *ANDRAIU, 1986+, [ANDREICA, 1998], [FILIP, 2002], [FILIP, 2007], [KAUFMANN, 1987], [IONESCU, 1999], *RAIU, 2001+ Problemele de decizie multicriterial presupun alegerea unei alternative saua unui plan deaciunencondiiileexisteneimaimultorobiective,caretrebuieanalizate. Obiectivele pot fi de naturi diferite i n contradicie unul cu altul. Majoritatea situaiilor cu care ne confruntm n viaa real implic existena unor decizii multicriteriale. De exemplu, pentru alegerea unui automobil, din clasa de pre pe care o avemnvedere,ncercmsatisfacereasimultanamaimultorobiective:prectmai mic,fiabilitatemare,consummic,costdedentreinereredus,siguranancazde accident ct mai mare... Un alt exemplu: o firm pentru stabilirea programului optim de produciepoateluanconsideraremaimulteobiectivenacelaitimp:costuride producie mici, venituri ct mai mari, satisfacerea ct mai bun a cererii,... Din exemplele descrise se pot distinge dou tipuri de modele de decizie multicriterial: 1.Modelededeciziemultiatributsuntmodelecuunnumrlimitat(discret)de alternative(variante).Sepuneproblemaalegeriialternativei(variantei)optime dintr-omulimefinitdealternativecaresecomparntreelenraportcumai multecriterii(atribute)sauordonareatuturorvariantelornraportcucriteriile considerate.Fiecarealternativestecaracterizatnraportcufiecareatribut cantitativ(numeric)saucalitativ(nenumeric).Fiecareatributareunanumitscop: maxim sau minim. Atributele pot avea importane diferite pentru decident.2.Modelededeciziemultiobiectivsuntmodelecuunnumrinfinitdealternative (variante).Situaiiledecizionalegenereazmodelededeciziecareurmresc maximizareasauminimizareasimultanaunorfunciidemaimultevariabile. Variabilelesuntsupuseunorsistemederestriciicaresuntngeneralformulate subformaunorinegalitisauegaliti.Sepuneproblemadeterminriivalorilor variabilelorcareoptimizeazsistemuldefunciiobiectiv.Rezolvareaacestor modele face obiectul unor capitole speciale ale programrii matematice. MODELE DE DECIZIE MULTIATRIBUT O problem de de decizie multiatribut are urmtoarele elemente: V = { V1, V2, V3,, Vm }- mulimea variantelor (alternativelor) C = { C1, C2, C3,, Cn }- mulimea criteriilor (atributelor) A = {aij},i=1,2,m,j=1,2,,n - matricea consecinelor (aij reprezint valoarea variantei Vi pentru criteriul Cj ). n situaia n care nu toate criteriile sunt la fel de importante, se pot evalua coeficienii de importan ai fiecrui criteriu. Modelarea deciziei economice47 Notm cu: P = { p1, p2, p3,, pn }- mulimea coeficienilor de importan asociai criteriilor. n general se consider: ==njjp11Matricea consecinelor va fi de forma: Criterii (atribute) Alternative (variante) C1C2 . . . .

Cj . . . . .Cn V1 V2 .... Vi . Vm a11 a12 . . . . a1j . . . . . a1n a21 a22 . . . . a2j . . . . . a2n ai1 ai2 . . . .aij . . . . . ain am1 am2 . . .amj . . . . amn Coeficienii de importanp1p2 . . . . pj . . . . .pn

Normalizareamatriceiconsecinelor Valorileatributelorcantitativedinmatriceaconsecinelorsuntexprimatengeneraln uniti de msur diferite. Pentru a putea fi comparate acestea trebuie s fie omogene. Procesul de omogenizare se realizeaz prin normalizare, adic se pune n coresponden mulimea valorilor criteriilor cu mulimea [0,1].Pentruatributelecalitativesepoateconsiderafunciadeapartenenlasubmulimea fuzzy definit de atributul respectiv. Normalizarea presupune definirea unei funcii, care transform matricea A n matricea R cuelementelecuprinsenintervalul[0,1].Existmaimultemoduridearealiza normalizarea. Prezentm n continuare unul dintre acestea: A R underij e [0,1], i=1,2,m,j=1,2,,n,definit astfel: - pentru criteriile de maxim: min maxminj jj ijija aa ar= (1) - pentru criteriile de minim: min maxmaxj jij jija aa ar= (2) unde: ijija a mi nmin=iar ijija a maxmax=48Dorin Lixndroiu Observaie. n cazul unui criteriu de maxim, cea mai mare valoare primete 1, iar cea mai mic valoare primete 0. n cazul unui criteriu de minim, cea mai mic valoare primete 1,iarceamaimarevaloareprimete0.Evident,celelorlaltevalorilisevorasociaprin operaia de normalizare valori n intervalul (0,1). Importana criteriilor Decidentulpoateatribuicriteriilorcoeficienideimportandiferii.Notmaceti coeficieni subiectivi cu: ( )n ,..., ,2 1= cu==njj11 (3) n afara acestora se poate determina n funcie de valorile fiecrui criteriu importana n sineacriteriului.Pentruestimareaacestorcoeficieniobiectivi,existnliteraturade specialitatemaimultemetode.Prezentmncontinuaremetodaentropiei,carese bazeazpeconceptuldeentropieinformaionalintrodusdeClaudeShannonn1948, ca msur a incertitudinii unei repartiii de probabilitate discrete simple: ( ) , l n ,..., ,12 1 = =mii i mp p p p p H ( ) m p p p Hml n ,..., , 02 1s s (4) Algoritmul de calcul al coeficienilor de importan obiectivi este: Pasul 1. Se transform fiecare element din matricea consecinelor astfel: n j m iaapmiijijij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 ,1= = ==(5) Pasul 2.Se determin entropia jHasociat fiecrui criteriu:n j p pmHmiij ij j,..., 2 , 1 , l nl n11= ==(6) Avem evident| | 1 , 0 ejH . Pasul 3.Gradul de diversificare al informaiei date de valorile criteriului j pentru diferitele alternative poate fi definit astfel: n j H dj j,..., 2 , 1 , 1 = =(7) Pasul 4.Se calculeaz coeficienii de importan obiectivi: n jddnjjjj,..., 2 , 1 ,1= == cu ==njj11 (8) Modelarea deciziei economice49 Observaie. Agregarea coeficienilor de importan subiectivicu cei obiectivi presupune calculul unor ponderi agregate de forma: n j pnjj jj jj,..., 2 , 1 ,1=== (9) Variante (alternative) dominate Ovariant(alternativ)estedominatdacexistoaltvariant(alternativ)careo depete (surclaseaz) pe prima pentru unul sau mai multe atribute i are valori egale pentru atributele rmase.Deexemplu,ntabelul demaijos,constatmcA2estedominatdeA1,deoareceA1 arevalorimaibunepentrucriteriile(atributele):C1,C2,C5iegalecuA2pentru criteriile C3 i C4.

C1(min)C2(min)C3(max)C4(min)C5(max) A112500300195.25 A213500500195.23 nprocesuldedecizie,estenecesarcantr-oprimetapsseeliminevariantele dominate. 1. METODAPONDERRIISIMPLEADITIVE Metoda,dupcumaratinumele,estefoartesimpl.Pentrufiecarevariantse calculeazovaloare(punctaj)camedieponderataconsecineloratributelorcu ponderileasociatefiecruicriteriu.Evident,matriceaconsecinelortrebuiesfie normalizat.Metodapermiteierarhizareavariantelornordineadescresctoarea valorilor calculate, sau selectarea variantei cu valoarea cea mai mare (varianta optim). Metodaestecompensatorie,deoarecencalcululvaloriiasociateuneivariante,o valoare slab la un criteriu poate fi compensat de valorile bune obinute la alte criterii. Algoritmul metodei este urmtorul: Pasul 1. Se calculeaz matricea normalizat R, conform relaiilor (1) i (2) i vectorulponderilor P = (p1, p2, p3,, pn) Pasul 2. Se definete funcia R V f : i se calculeaz: ( ) == =njij j im i r p V f1,..., 2 , 1 , (10) Pasul 3. Varianta optim =( )im iV fs s 1max 50Dorin Lixndroiu 2. METODA DIAMETRELOR Pentru ierarhizarea variantelor, metoda ia n calcul gradul de omogenitate al variantei n raportcutoatecriteriile.Pentruaevitacompensaiilesedefinescdoufunciipebaza crorasevafaceierarhizareavariantelor:ofunciedeapreciereiofunciediametru. Astfel,ovariantestecuattmaiomogen,cu ctareundiametrumaimiciestecu att mai bun, cu ct aprecierea este mai mare. Algoritmul metodei este urmtorul: Pasul 1. Se definete funcia de apreciere:A : V R ( ) ( ) ( )== =njj j i im i p C V loc m V A1,..., 2 , 1 , , (11) unde:P=(p1,p2,p3,,pn)reprezintvectorulcoeficienilordeimportan (obiectivi,subiectivisauagregai),iarloc(Vi,Cj)=k,adicvaloareavarianteiVi pentru criteriul j ocup locul k n ierarhia celor m valori asociate criteriului j.

Pasul 2. Se definete funcia diametru: D : V N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j m i C V loc C V loc V Dj ijj iji,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , , mi n , max = = = (12) Pasul 3. Se calculeaz funcia agregat:A&D : V R ( )( ) ( ) ( )m iV D m V AV D Ai ii,..., 2 , 1 ,2& = += (13) Pasul 4. Ierarhia variantelor este dat de valorile descresctoare ale funciei A&D. 3. METODA TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) Principiulacesteimetode:dinvalorilevariantelorpentrudiferitelecriteriise construietesoluiaidealpozitivisoluiaidealnegativ.Varianteleseierarhizeaz n funcie de distanele la cele dou soluii.Pentru a efectua comparaiile se calculeaz n funcie de cele dou distane odistan relativ la soluia ideal pozitiv. Astfel, cea mai bun variant va avea distana minimla soluia ideal pozitiv i distana maxim la soluia ideal negativ. Algoritmul metodei este urmtorul:

Pasul 1. Se construiete matricea normalizat () n j m i r Rij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , = = =prin normalizare vectorial: n j m iaarmiijijij,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 ,12= = ==(14) Modelarea deciziei economice51 Pasul 2. Se construiete matricea normalizat ponderat ( )ij j ij ijr p v unde n j m i v V = = = = , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , (15) Pasul 3. Se determin soluia ideal pozitiv Vid i soluia ideal negativ Vne,definite astfel: ( )idnid id idV V V V ,..., ,2 1= ( )nenne ne neV V V V ,..., ,2 1=-dac criteriul Cj este de maxim:ijm iidjV Vs s=1max iarijm inejV Vs s=1mi n (16) -dac criteriul Cj este de minim: ijm iidjV Vs s=1mi n iarijm inejV Vs s=1max (17) Pasul 4. Se calculeaz distanele dintre variante i soluia ideal pozitiv, respectiv dintrevariante i soluia ideal negativ. ( )= =njidj ijidiV V d12iar( )= =njnej ijneiV V d12, n i ,..., 2 , 1 = (18) Pasul 5. Se calculeaz apropierea relativ de soluia ideal: n id ddd ddeneiidineineiidiidi idi,..., 2 , 1 , 1 =+=+ = (19) rezult c: 1 0 s sidie Pasul 6. Se realizeaz o clasificare pe mulimea V a variantelor n concordancu valorile descresctoare ale luiidiecalculate la Pasul 5. STUDIUL DE CAZ Nr. 1 Alegerea unui automobil Ofamilieanalizeazmaimulteofertepentrucumprareaunuiautomobil.Sedecidc alegereavatrebuisndeplineascmaimultecriterii:(C1)preulctmaimic,(C2) cheltuielile de ntreinere la 10000 km ct mai mici, (C3) portbagajul i spaiul interior s fie ct mai mare (raportat la o scar 1:20), (C4) consumul exprimat n l/100 km ct mai mic, iar (C5) sigurana oferit n caz de accident ct mai mare (exprimat n stele NCAP peoscar1:5).Dateledinofertelepentru6modeledeautomobilesunttranspusen tabelul1.Peultimaliniesuntdaicoeficieniideimportansubiectivi,stabiliide decident. 52Dorin Lixndroiu C1(min)C2(min)C3(max)C4(min)C5(max) A112500300175.24 A213500500205.55 A311500400185.83 A414500450196.24 A51800035086.85 A611000400165.73 Coef.import. subiectivi 0.600.150.100.050.10 Tabelul 1 Matricea consecinelor i coeficienii de importan subiectivi Rezolvare. Observm c nu exist variante (alternative) dominate i deci n procesul de clasificare vor intra toate modelele de automobile selectate. 0. Calculul coeficienilor de importan obiectivi.Se aplic algoritmul prezentat mai sus (relaiile 5...8). Pasul 1 al algoritmului de calcul al coeficienilor de importan obiectivi conduce la: 0.1540.1250.1730.1480.167 0.1670.2080.2040.1560.208 0.1420.1670.1840.1650.125 0.1790.1880.1940.1760.167 0.2220.1460.0820.1930.208 0.1360.1670.1630.1620.125 Entropia H asociat fiecrui criteriu se determin conform relaiei (6): ( ) 9882 . 0 , 9979 . 0 , 9811 . 0 , 9927 . 0 , 9920 . 0 = HCoeficienii de importan obiectivi calculai conform relaiilor (7) i (8) sunt: ( ) 2445 . 0 , 0442 . 0 , 3928 . 0 , 1527 . 0 , 1658 . 0 = (20) Agregareacoeficienilordeimportansubiectivicuceiobiectiviconduceconform relaiei (9) la urmtoarele ponderi: ( ) 1299 . 0 , 0117 . 0 , 2086 . 0 , 1216 . 0 , 5282 . 0 = p (21) Aplicm n continuare cele 3 metode prezentate: 1. Metoda ponderrii simple aditive Plecnddelamatriceaconsecinelor(Tabelul1),secalculeazmatriceanormalizatR, conform relaiilor (1) i (2): 0.78571.00000.75001.00000.5000 0.64290.00001.00000.81251.0000 0.92860.50000.83330.62500.0000 0.50000.25000.91670.37500.5000 0.00000.75000.00000.00001.0000 1.00000.50000.66670.68750.0000 Modelarea deciziei economice53 Cu relaia (10) se determin valorile funciei f pentru fiecare variant: F(V1) = 0.7697,F(V2) = 0.6876,F(V3) = 0.7324,F(V4) = 0.5550, F(V5) = 0.2211,F(V6) = 0.7361 Clasificarea variantelor este:V1 > V6 > V3 > V2 > V4 > V5. 2. Metoda diametrelor Plecnd de la matricea consecinelor (Tabelul 1), se construiete matricea locurilorLOC, unde:loc(Vi,Cj) = k, adic valoarea variantei Vi pentru criteriul j ocup locul k n ierarhia celor m valori asociate criteriului j 31412 45121 23343 54252 62661 13533 SecalculeazfunciadeapreciereafiecreivarianteA,conformrelaiei(11),funcia diametruD,conformrelaiei(12)ifunciaagregatA&Ddatderelaia(13).Rezultatele obinute sunt: A(Vi)D(Vi)A&D(Vi) V13.187933.0939 V22.917242.4586 V33.516423.7582 V42.137032.5685 V51.135951.0679 V63.639242.8196 Clasificarea variantelor este:V3 > V1 > V6 > V4 > V2 > V5. 3. Metoda TOPSIS Plecnddelamatriceaconsecinelor(Tabelul1),secalculeazmatriceanormalizat conform relaiei (14): 0.37250.30220.41300.36040.4 0.40230.50370.48590.38120.5 0.34270.40300.43730.40200.3 0.43210.45340.46160.42970.4 0.53640.35260.19430.47130.5 0.32780.40300.38870.39510.3 54Dorin Lixndroiu Se determin matricea normalizat ponderat conform relaiei (15): minminmaxminmax 0.19670.03670.08610.00420.0519 0.21250.06120.10130.00440.0649 0.18100.04900.09120.00470.0389 0.22820.05510.09620.00500.0519 0.28330.04280.04050.00550.0649 0.17310.04900.08100.00460.0389 Cu relaiile (16) i (17) se stabilesc soluia ideal pozitiv Vid i soluia ideal negativ Vne: Vid0.17310.03670.10130.00420.0649 Vne0.28330.06120.04050.00550.0389 Distaneledintrevarianteisoluiaidealpozitiv,respectivdintrevarianteisoluia ideal negativ sunt date de relaiile (18): ididneidV10.03090.1759 V20.04630.2153 V30.03140.1773 V40.05970.2444 V50.12600.3549 V60.03510.1875 Apropierea relativ de soluia ideal va fi dat de relaia (19): V10.7667 V20.6764 V30.7849 V40.5715 V50.2016 V60.7705 Clasificarea variantelor este:V3 > V6 > V1 > V2 > V4 > V5. Modelarea deciziei economice55 Concluzii. Cele3metodeconduclaierahizridiferitedar,apropiate.Astfeldacvomcostruiosinteza locurilor ocupate n cele 3 clasamente, rezult: Metoda ponderrii simple aditiv Metoda Diametrelor Metoda TopsisPunctaj cumulat V11236 V245413 V33115 V454514 V566618 V62327

Punctajulcumulatseobineprinnsumarealocurilorocupatedefiecarevariantncele3 metode.Seobineurmtoareaclasificareavariantelorconsiderndordineacresctoarea punctajului realizat de fiecare variant: V3 > V1 > V6 > V2 > V4 > V5. Observmcntoatemetodeleprezentate,varianteleV1,V3iV6ocupconstant primele 3 locuri, n timp ce variantele V2, V4 i V5 ocup ultimele 3 locuri, cu meniunea cvariantaV5esteplasatpeultimulloc.Deciziafinaldealegereavarianteioptime aparinenfinaldecidentuluicarepoatebeneficiaidealteinformaiinecuprinsen tabela consecinelor analizat. Test de evaluare a cunotinelor 1. Studiul de caz nr. 2 - Alegerea obiectivelor. ntr-un an electoral administraia public localipropunerelizareamaimultorobiective(deexemplu:stadion,salde concerte,parcdedistracii,telegondol,restaurarecentruistoric,complexsportiv acoperit(bazinolimpicisaldesport)).Sursabugetarfiindlimitatsedorete ierarhizareavariantelornfunciedemaimultecriterii(deexemplu:costulinvestiiei, impactullapopulaie,numruldebeneficiari,cheltuielidentreinere,...).Construii matriceaconsecinelor,atribuiiponderisubiectivecriteriilorirealizaioanaliz multicriterialdupmodelulceleiprezentatenStudiuldecaznr.1Alegereaunui automobil. 56Dorin Lixndroiu 5. MODELE N GESTIUNEA OPTIM A STOCURILOR [HILLIER, 2005], [KRAJEWSKI, 2005] [RATIU, 2001], [RATIU, 2002], RUSU, 2001], [TELLER, 1980], [VDUVA, 1974] Discontinuitilenlivraredeterminmanageriintreprinderilorsstochezemrfuri, pentru a absorbi cererile aleatoare. Deoarece stocarea unui produs are un cost (datorat imobilizriidefonduri,pazei,degradrii,etc.),tendinaestedeastocaocantitatect maimic.Pedealtparteopoliticdeaaveastocurictmaimici,implic reaprovizionrimaidese,carepotsinduc:costuridereaprovizionareipierderide profit n cazul rupturilor de stoc (clienii neputnd s atepte, se adreseaz concurenei). nfaauneicererifluctuante,trebuiesfiedefinitoreguldereaprovizionare, (momentulefecturiicomenziiicantitateacomandat),caresconduclaosum minim a cestor costuri. MODELUL WILSON ModelulWilsonesteunmodeldeterministcarerealizeazcalcululprincipalilor parametriidegestiunencondiiileoptimizriicosturilortotaledestocarepentruun articol. Ipotezele modelului i notaii: BA -cerereaanualcaresepresupunecesterepartizatuniformntimp,adic viteza de ieire din stoc este constant. n B MA/ = - cererea pe unitatea de timp (astfel n = 1, 12, 52,... dup cum unitatea de timp este anul, luna, sptmna,...). Q- comanda (cantitatea de aprovizionare). SS-stoculdesecuritate;comandasosetenaintecastoculsseepuizezestocul desecuritatepermitesatisfacereaunorcererineprevzute.naceastetapa prezentrii modelului, stocul de securitate apare ca o cantitate fix, dat. Acesta nu are nici un rol n calculul nostru de optimizare. AB Q n M Q P / / = = - durata unui ciclu de aprovizionare. CA- costul de aprovizionare (lansare a comenzii). Comentariu.Acestcostestediferitdacarticolulestecumpratsaurealizatn ntreprindere. -Dacarticolulestecumpratacestcostcuprinde:costuriledeachiziie (alegereafurnizorului,negocierea,controlulfacturilor,...)iderecepie(intrareai nregistrareaarticoluluinstoc).Acestecosturiincludcheltuielidepersonal, consumabile,cheltuielipotaleiidecomunicaie,precumiamortizrile Modelarea deciziei economice57 corespunztoare.Sepoatedeterminamprindbugetulserviciuluiaprovizionarela numrul total de comenzi prelucrate. -Dacarticolulesteprodusdentreprindereacestcostcuprinde:costurilede lansarenfabricaie(reglajulmainilor,pregtireamaterialeloricomponentelor, rebuturi de lansare) i costurile de recepie a articolelor fabricate. CS- costul de stocare (fracie din costul articolului).Comentariu.Acestcostcuprindecostul deoportunitatealcapitaluluiimobilizatnstoc, costurilededepozitare(amortizare,paz,nclzire/rcire,gestiune,...),costurilede deteriorare,depirevalabilitate,furtiasigurri.Acestcostseconsiderngeneralo fracie din costul articolului, de exemplu aproximativ 0.2. pu- preul unitar al articolului. Q B NA/ = - numrul anual de aprovizionri. Se obine astfel evoluia stocului redat n Figura 1: Figura 1 Rezolvare:Se determin: - valoarea medie anual a stocului =( )S uS Q p + 2 /- costul anual de stocareC1 =( )S u SS Q p C + 2 /- costul anual de aprovizionareC2 =Q B C N CA A A/ = Rezult costul total anual de stocare: QBC SQp C C C CTAA S u S +|.|

\|+ = + =22 1(1) Q SS PP timp M=BA/n 58Dorin Lixndroiu - calculm min CT(Q) din022=+ =u S AAp CQBCdQdCT => u SA AEp CB CQ =2(2) unde:QEreprezint cantitatea economic (lotul economic) , mrimea optim acomenzii de aprovizionare, care minimizeaz costul total anual de stocare.Se deduce: - ciclul optim de aprovizionare (perioada economic): AEEBQP =(n ani) - numrul optim anual de comenzi (frecvena economic): EAEQBN = Comentariu.Celedoucosturide aprovizionareistocare,CAiCS,influeneaz diferit mrimeacantitiieconomiceQE,datderelaia(2).Astfel,ocretereacostuluide aprovizionarevaconducelacretereacantitiieconomiceiimplicitlamicorarea numruluidecomenzi,ntimpcecretereacostuluidestocarediminueazvolumul comenziiiimplicitnivelulmediualstocului.Evoluiilecelordoucosturianuale(C1i C2) i a costului total (CT), n funcie de mrimea comenzii (Q) sunt redate n Figura 2. Figura 2 Q0 Cost CT=C1+C2 C2 C1 Modelarea deciziei economice59 METODE DE REGLARE A STOCURILOR Porninddelamodelulclasicdeterminist(modelulWilson)alcantitiieconomice,se pot defini dou principii fundamentale de reglare: A.Metodapunctuluidecomand-secomandcantitifixeoptime,lamomente de timp care pot s varieze n funcie de cererea aleatoare. B.Metodadeaprovizionareperiodicsecomanddupoperiodicitatedat(n principiu aproape de periodicitatea optim), cantiti care pot varia n funcie de cererea aleatoare. A.Metoda punctului de comand Presupunemcexistontrzierenlivrare,D,nealeatoare,(numititimpdeavans), carecuprinde:duratadelivrareimpusdefurnizor,duratatransportului,duratele administrative(deredactareacomenzii,derecepieiluarengestiuneacantitii intratenstoc).Pentrucaintrareanstocssefaclamomentuldetimpfixat,este necesar ca lansarea comenzii s se fac cu D uniti de timp n avans (Figura 3). Figura 3 Dacnusedoretesfieafectatstoculdesiguran(SS),nivelulstoculuinmomentul lansrii comenzii va fi: S CS D M S + =(3) unde: M reprezint viteza de descretere a stocului. Acest nivel (SC) se numete punct de comand i permite definirea celor dou principii ale metodei: timp Nivelul stocului SC SS DD 60Dorin Lixndroiu -Selanseazonoucomandcndnivelulstoculuidevineinferiorsauegal punctului de comand SC. -Se comand o cantitate fix (QE), care este cantitatea economic. n cazul determinist, aceast metod conduce la evoluia clasic a stocului, reprezentat degraficuldinidefierstru.Dar,atuncicndcerereadevinealeatoareceledou principiidegestiuneconstituieunmoddereglareeficientastocului,prinstabilirea momentelor de lansare a comenzilor.

Exemplu. Se consider: QE = 6 uniti, SS =1, PE = 3 luni i D = 2 luni. Punctul de comand va fi conform relaiei (1): 5 1 2 3 / 6 = + = + =S CS D M SPresupunem c la 15 zile dup aprovizionare se nregistreaz o cerere pentru o comand excepional de 2 uniti (Figura 4). Figura 4 La acest moment stocul cade sub punctul de comand i se lanseaz o nou comand de 6uniti,carevaintranstocpeste douluni,adiccu15 zilenaintededata normal de sosire. Stocul va urca la nivelul 6 uniti i apoi va descrete cu viteza constant M = 2. n aceast situaie punctul de comand va fi atins dup 15 zile, iar livrarea se va face 2 lunimaitrziu.Stoculvaurcalanivelulde7unitiisereiaastfelritmulnormalde lansare a comenzilor i de intrare a cantitilor livrate n stoc. Comentariu.Metodapunctuluidecomandpermiterezolvareafluctuaiilorcererii printr-ostabilirecorespunztoareamomentelordelansareacomenzilor.Astfel,n exemplul prezentat dou cicluri de aprovizionare au o lungime de2 luni i 15 zile n loc de3luni,dupcareserevinelaritmulnormal,cuundecalajtotaldeolun.nacest P=3D=2 SS=1 SS=5 7 timp Modelarea deciziei economice61 sistemcantitateacomandatrmneconstant,darperioadadeaprovizionarepoate varia n jurul perioadei economice (PE) n funcie de cerere. Aceast metod este cea mai eficace i cea mai utilizat. B. Metoda aprovizionrii periodice Metoda const n lansarea la date fixe a comenzii ce conine cantiti variabile. Lansarea unei noi comenzi se va face dup o perioad P, de la ultima lansare, n principiu egal cu PE(perioadaeconomic,cicluleconomic).Sosireacomenziinstocsevafacedupo perioadDdelalansare.Rmnedestabilitpentrufiecarecicludeaprovizionare, mrimea comenzii ce trebuie lansate. Daccerereanuestealeatoare,ocomandtrebuiesacoperecerereapedurataunui ciclu de aprovizionare, deci: M P Q =(4) Stoculexistent,(SE),nmomentulcomenzii,trebuiespermitsatisfacereacereriipe durata timpului de avans, (D),adic: S ES M D S + =(5) Dacapareocererealeatoare,esteposibilcastoculexistentsnuatingnivelul precedent. Sunt posibile dou situaii: a) SE este mai mic dect nivelul precedent - atunci comanda va fi mrit pentru a acoperi acest deficit. Valoarea comenzii va fi n acest caz: ( )E SS S M D M P Q + + = (6) RezultM P Q > . b) SE este mai mare dect nivelul precedent - relaia (6) rmne valabil. RezultM P Q < . Concluzie.ValoareacomenziiQvafideterminatpentrufiecarecicludeaprovizionare, astfel nct: ( )S ES M D P S Q + + = + (6) Expresia( )SS M D P + + senumeteniveldeacoperireiareovaloareconstant. Rezult c valoarea comenzii Qse determin n funcie de stocul existent SE . 62Dorin Lixndroiu Exemplu. Se consider o aprovizionare periodic cu: M = 2, SS =1, P = 3 luni i D = 2 luni. Nivelul de acoperire este: ( ) ( ) 11 1 2 2 3 = + + = + +SS M D P Presupunem c la 15 zile dup aprovizionare se nregistreaz o cerere pentru o comand excepional de 2 uniti. LamomentulC2,mrimeacomenziivafiQ=113=8uniti,pentrucSE=3.Dou lunimaitrziu,lamomentulL2,nivelulstoculuidevinedupaprovizionare7uniti, presupunndccerereanesatisfcutde1nus-apierdut,eafiindreportat.nC3 regsim valoarea normal a comenzii Q = 6 uniti (Figura 5). Figura 5 Comentariu.Laaceastmetod,graficulaprovizionriimomentullansriicomenziii momentulintrriinstocsuntfixate,iarmrimeacomenziisestabiletenfunciede fluctuaiile cererii. STOCUL DE SECURITATE Stoculdesecuritatepermiteevitareasituaiilordelipsdestocdatorateunorcereri aleatoare sau unor ntrzieri n livrare. n continuare vom analizadeterminarea stocului desecuritatenumaincazulcereriloraleatoare.Stoculdesecuritateseconsider proporionalcuabatereamedieptratadispersieicereriipedurataperioadeiderisc deruptur.Coeficientul deproporionalitatevareflectacalitateaserviciuluicerut,care C1C2L1L2C3 DP PD Q=6Q=8Q=6 11 7 5 SS=1 Modelarea deciziei economice63 se poate defini n funcie de unul din parametrii urmtori: rata de ruptur de stoc, costul rupturii de stoc, rata lipsei de stoc sau costul lipsei de stoc. Presupunemccerereapeunitateadetimpestealeatoareiurmeazodistribuie normal de medie Mi abatere medie ptratic . Pentru valori mici ale mediei ( M mai mic dect 7 sau 8)se poate considera distribuia Poisson. Dac se consider distribuia normal, stocul de securitate va fi dat de:

D k SS = o (7) n cazul metodei punctului de comand i P D k SS+ = o (8) n cazul metodei aprovizionrii periodice. Observaie.nrelaiile(7)i(8),coeficientulkexprimcalitateaserviciuluicerutise numete factor de protecie sau rata serviciului. Factorul kpoate fi determinat pornind delarataderuptur(saurisculderuptur)tR,careesteraportuldintrenumrulde rupturidestocacceptatepeoanumitperioadinumrultotaldecicluride aprovizionare (sau de comenzi) desfurate n aceeai perioad. Astfel, dac se accept n rupturi de stoc ntr-un an, vom avea:NntR =, unde Nreprezint numrul anual de comenzi. Exemplu.Presupunemcpeoperioaddeunans-aunregistraturmtoarelecereri lunare (n uniti): 14, 11, 9, 10, 6, 12, 10, 11, 8, 9, 10, 10. Rezult: -valoarea medie a cererii, M =10 -dispersia estimat,2 41144112_= = =||.|

\|=oii xxnVAR nipotezactimpuldeavans,D=4luniiseacceptunriscderupturde2.5%,se obine stocul de siguran:D k SS = o= 1.96 2 2 = 7.84(aprox. 8 uniti) Punctul de comand S CS D M S + == 10 4 + 8 = 48 uniti. STUDIUL DE CAZ Nr. 1 64Dorin Lixndroiu ntreprindereaWcumpristocheazarticolulA,pentrucaapois-lrevndcuun adaus comercial. S se stabileasc o politic optim de aprovizionare care s minimizeze costul total de gestiune a stocului, n urmtoarele ipoteze iniiale: I1. Vnzrile sunt regulate; I2. Cantitatea total vndut ntr-un an este de 1800 uniti; I3.Preul unitar de cumprare al articolului este de 1 u.m.; I4.Costul de lansare a unei comenzi este de 10 u.m.; I5.Costul de stocare este 10% din preul articolului; I6.Stocul de siguran are valoare nul. A.S se determine mrimea lotului economic i numrul optim de aprovizionri. 6001 10 . 01800 10 2 2= = =u SA AEp CB CQuniti 36001800= = Naprovizionri pe an Dac60 300 1 1 . 0 3 1023 = + = + = =Qp CQBC CT Nu SAA u.m. Costul articolului este: . . 1800 . / . . 1 . 1800 m u buc m u buc = B.Furnizorul propune un rabat comercial (discont) de 5% dac se comand cel puin 900 de uniti. Se accept propunerea? Dac se accept remiza, ntreprinderea va comanda cel puin 900 uniti. Aceasta revine la lansarea a dou comenzi pe an (1800 / 900), sau o singur comand de 1800 uniti.

225 . 91 900 95 . 0 095 . 0 1 1021 = + = + = =Qp CQBC CT Nu SAA u.m. 6125 . 60 450 95 . 0 095 . 0 2 10 2 = + = = CT Nu.m. Costul articolului este: . . 1710 . / . . 95 , 0 . 1800 m u buc m u buc = Rezultcseacceptpropunereaderemizcudoucomenzipeandevolum900 uniti. C.ntreprinderea W decide s accepte propunerea de discont i va comanda de 2 ori pe an cte 900 uniti. Din experien, cererea pe o perioada de 6 luni variaz dup o lege normalN(900,902).Ssecalculezeprobabilitateaderupturdestocdac ntreprinderea constituie un stoc de siguran de volumo 21. Care va fi probabilitatea Modelarea deciziei economice65 ncazulunuistocdesigurandevolumo ?Determinaivolumulstoculuidesiguran necesar pentru o rat aserviciului de 95%. a) Cu un stoc de siguran SS = 45 uniti, ruptura de stoc se produce dac cererea pe 6 luni,45 900+ > Buniti. Se obine: ( ) ( ) 3085 . 0 5 . 0 Pr90900 94590900Pr 945 Pr = > =|.|

\|>= > u obBob B ob unde u are o repartiie N(0,1). Deci, riscul de ruptur de stoc este de 30%, iar rata serviciului este de 70%. b) Dac stocul de siguran este egal cuorezult: ( ) ( ) 1587 . 0 1 Pr90900 99090900Pr 990 Pr = > =|.|

\|>= > u obBob B obDeci, riscul de ruptur de stoc este de 15%, iar rata serviciului este de 85%. c) Dac se dorete o rat a serviciului de 95% avem: ( ) 05 . 090Pr90900 90090900Pr 900 Pr =|.|

\|> =|.|

\| +>= + >S SSSu obS Bob S B ob6 . 1479064 . 1 = = SSSS

STUDIUL DE CAZ Nr. 2 O firm de panificaie are un necesar anual (360 zile) de 200t de gru. Costul de lansare a comenzii este de 705 u.m., costul pe stocare pe zi/t este de 1 u.m., costul unei uniti de produs (ton) este de 1800u.m., timpul de avans este de 4 zile, iar stocul de siguran estede3t.nipotezelecvnzareaesteuniform,aprovizionareasefacelaintervale egale i nu se permite lipsa produsului, s se determine elementele gestiunii optime. Rezolvare.ApelmlaprodusulsoftwareQM(QuantitativeManagement),modulul Inventory.DinanalizaipotezelorneaflmncondiiilemodeluluiEconomicOrder Quantity (EOQ). Modelulpermiteintroducereaproprieideciziiprivindmrimeacantitiide aprovizionare,realizndnacestmodocomparaiecusoluiaoptimcalculat.n exemplulprezentatelementelegestiuniioptimesuntcomparatecudeciziade aprovizionare periodic cu cantitatea de 10 t. Rezolvarea modelului este dat n figura 6. 66Dorin Lixndroiu Figura 6 nsoluiaobinutReorderpointreprezintniveluldereaprovizionare,adiconou comand va fi lansat cnd nivelul stocului atinge nivelul de reaprovizionare. Acest nivel va satisface cererea pe perioadatimpului de avans (lead time), cu pstrareastocului de siguran. n figura 7 este redat grafic evoluia costurilor de aprovizionare (Setup cost), de stocare (Holdingcost)iacostuluitotal(Totalcost).Seobservcvaloareaminimafunciei costtotalcecorespundevaloriioptimealotuluieconomic(Optimalorderquantity) corespunde interseciei graficelor celor dou costuri de aprovizionare i stocare. Figura 7 Modelarea deciziei economice67 STUDIUL DE CAZ Nr. 3 Unproductordeaccesoriiautoareocomandpentruunan(250zilelucrtoare)de 500uniti.Rataproducieianualeestede2500uniti.Costullansriuneicomenzin fabricaieestede100u.m.,preulprodusuluiestede400u.m.iarcostuldestocare pentru ntreaga perioad reprezint 10% din preul produsului. n ipoteza c cererea are un ritm constant i nu se admit ntrzieri n livrare, cum trebuie organizat producia a.. s se realizeze o gestiune optim a stocului. Rezolvare.SuntemnipotezelemodeluluiProductionOrderQuantitydinmodulul Inventory(produsulsoftwareQM).Modelulstabiletemrimealotuluieconomic (comenzii)deproducie,careminimi