Matematica aplicata in economie.pdf

UNIVERSITATEA “VASILE ALECSANDRI” din BACĂU FACULTATEA DE ŞTIINłE ECONOMICE

DEPARTAMENTUL MARKETING ŞI MANAGEMENT SPECIALIZAREA MARKETING FORMA DE ÎNVĂłĂMÂNT ID

MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN ECONOMIE

Editura Alma Mater - Bacău 2012

Descrierea CIP a Bibliotecii NaŃionale a României GÎRłU, MANUELA Matematică aplicată în economie / GîrŃu Manuela ; ReferenŃi şt.: prof. univ. dr. Corduneanu Adrian, prof. univ. dr. BlănuŃă Victor. – Bacău : Alma Mater, 2012 Bibliogr. ISBN 978-606-527-237-8

I. Corduneanu, Adrian II. BlănuŃă, Victor

51-7:33

““““““““MMMMMMMMaaaaaaaatttttttteeeeeeeemmmmmmmmaaaaaaaattttttttiiiiiiiiccccccccaaaaaaaa eeeeeeeesssssssstttttttteeeeeeee rrrrrrrreeeeeeeeggggggggiiiiiiiinnnnnnnnaaaaaaaa şşşşşşşşttttttttiiiiiiiiiiiiiiiinnnnnnnnŃŃŃŃŃŃŃŃeeeeeeeelllllllloooooooorrrrrrrr””””””””

KKaarrll FFrriieeddrriicchh GGaauussss

CUPRINS

5

CUPRINS

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ 7

CAPITOLUL 1 SPAłII VECTORIALE

9

1.1. DefiniŃia spaŃiului vectorial 9

1.2. DependenŃă şi independenŃă liniară 13

1.3. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază 17

1.4. SpaŃii vectoriale izomorfe 18

1.5. Probleme rezolvate 19

1.6. Probleme propuse 27

CAPITOLUL 2 FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

29 2.1. Forme liniare 29

2.2. Forme biliniare. Forme pătratice 31

2.3. Forma canonică a unei forme pătratice 36



ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 51

CAPITOLUL 3 FUNCłII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARłIALE. DIFERENłIALE

53 3.1. Topologie în nR 53

3.2. Derivate parŃiale 54

3.3. DiferenŃiale 63

3.4. Puncte de extrem pentru funcŃii de mai multe variabile 72

3.5. Extreme condiŃionate 75



CAPITOLUL 4 INTEGRALE IMPROPRII

95

4.1. Integrale improprii cu limite de integrare infinite 95

4.2. Integrale improprii din funcŃii nemărginite 98



CUPRINS

6

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂłILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

109

CAPITOLUL 5 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂłILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

111

5.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate 111

5.2. Variabile aleatoare 122

5.3. DistribuŃii continue clasice 139



ANEXĂ – Matematicieni celebri 165

FIŞA DISCIPLINEI 175

BIBLIOGRAFIE 179

SPAłII VECTORIALE

7

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ

Algebra liniară este ramură a matematicii care se ocupă cu studiul vectorilor,

spaŃiilor vectoriale (numite, din raŃiuni istorice, şi spaŃii liniare), transformărilor

liniare şi sistemelor de ecuaŃii liniare.

Algebra liniară are aplicaŃii majore în multe ramuri ale matematicii, dar şi în

ştiinŃele naturii şi în ştiinŃele sociale.

În informatică, algebra liniară este fundamentală într-o multitudine de domenii,

cum ar fi teoria codurilor detectoare şi corectoare de erori, criptografie, geometrie

computaŃională etc.

Din punct de vedere istoric, bazele algebrei liniare au fost puse în anii 1843 şi

1844 de către W. R. Hamilton1 şi H. G. Grassmann2.

Mai târziu, în 1857, A. Cayley3 a introdus noŃiunea de matrice, de o importanŃă

fundamentală în algebra liniară.

1 William Rowan Hamilton (1788 – 1856), matematician, fizician şi astronom irlandez 2 Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877), matematician, fizician şi filolog german 3 Arthur Cayley (1821 – 1895), matematician englez. A fost unul dintre fondatorii şcolii britanice moderne de matematică pură

CAPITOLUL I

8

SPAłII VECTORIALE

9

CAPITOLUL 1

SPAłII VECTORIALE

Obiectivul capitolului

Însuşirea unor noŃiuni şi rezultate fundamentale, tehnici de calcul şi algoritmi din

teoria algebrei liniare.

Cuvinte cheie: spaŃiu vectorial, vector, scalar, combinaŃie liniară de vectori, sistem de

generatori, vectori liniar dependenŃi, vectori liniar independenŃi, bază, dimensiune,

coordonatele unui vector

1.1. DefiniŃia spaŃiului vectorial

NoŃiunea de spaŃiu vectorial este una fundamentală în algebra liniară. SpaŃiile

vectoriale sunt foarte utile în multe arii ale matematicii moderne, servind disciplinelor

economice şi inginereşti.

SpaŃiile vectoriale au fost definite în forma actuală de G. Peano4 (1888), dar

fondatorul teoriei spaŃiilor vectoriale rămâne H. G. Grassmann5 (1844).

DefiniŃie. Fie K un corp comutativ. O mulŃime nevidă V se numeşte spaŃiu

vectorial (sau spaŃiu liniar) peste corpul K dacă sunt definite pe V două legi de

compoziŃie, una internă (notată aditiv)

vuvuVVV +→→× ),(,

şi una externă cu operatori în K (notată multiplicativ)

( ) uuVVK α→α→× ,, ,

astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiŃii:

I. ),( +V este grup abelian

4 Giuseppe Peano (1858 – 1932), matematician, logician şi lingvist italian 5 Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877), matematician şi filosof german

CAPITOLUL I

10

II. 1. ( ) uuu β+α=β+α , VuK ∈∀∈βα∀ ,, ;

2. ( ) vuvu α+α=+α , VvuK ∈∀∈α∀ ,, ;

3. ( ) ( )uu αβ=βα , VuK ∈∀∈βα∀ ,, ;

4. uu =1 (1 este elementul unitate al corpului K), Vu ∈∀ .

Se foloseşte următoarea terminologie:

- elementele lui V se numesc vectori, iar operaŃia grupului ( )+,V se numeşte

adunarea vectorilor;

- elementele lui K se numesc scalari, iar legea de compoziŃie externă VVK →× ,

uu α→α ),( se numeşte înmulŃirea vectorilor cu scalari;

- elementul neutru al grupului ( )+,V se numeşte vectorul nul şi se notează cu 0 ;

- dat fiind un vector v, există un vector unic w astfel încât 0=+ wv (conform

axiomelor grupului ( )+,V ). Acest vector w se numeşte opusul vectorului v şi se notează

cu v− ;

- când R=K spaŃiul vectorial V se numeşte spaŃiu vectorial real, iar când C=K

spaŃiul vectorial se numeşte spaŃiu vectorial complex.

ObservaŃie. Pentru simplificare, în definiŃia spaŃiului vectorial se utilizează

notaŃii suprapuse: notaŃie aditivă pentru adunarea scalarilor şi adunarea vectorilor;

notaŃie multiplicativă pentru înmulŃirea scalarilor şi înmulŃirea dintre un scalar şi un

vector. Contextul evită confuziile ce pot apărea datorită acestor convenŃii.

Exemple de spaŃii vectoriale

1. MulŃimea 0 constând dintr-un singur vector (cel nul) este spaŃiu vectorial

peste orice corp comutativ K. El se numeşte spaŃiul vectorial nul.

2. Fie K un corp comutativ. Să considerăm produsul cartezian

,1,|),...,,(... 21 niKxxxxxKKKK inorinde

n =∈==×××= 44 344 21

( 1>n un număr natural),

adică mulŃimea n – uplelor.

Dacă K∈α şi nnn Kyyyyxxxx ∈== ),,,(,),,,( 2121 KK , atunci definim:

niyxyx ii

def,1,

.==⇔=

SPAłII VECTORIALE

11

),,,( 2211

.

nn

defyxyxyxyx +++=+ K

),,,( 21

.

n

defxxxx ααα=α K .

Se verifică imediat că legea de compoziŃie internă

yxyxKKK nnn +→→× ),(,

şi legea de compoziŃie externă

xxKKK nn α→α→× ),(,

îndeplinesc condiŃiile I, II din definiŃia spaŃiului vectorial şi deci mulŃimea nK este

spaŃiu vectorial peste corpul K.

În particular, se poate obŃine structura de R – spaŃiu vectorial a lui nR .

3. MulŃimea nm,M ( )K a matricelor dreptunghiulare cu m linii şi n coloane, cu

elemente din corpul comutativ K formează spaŃiu vectorial peste corpul K în raport cu

adunarea matricelor şi cu înmulŃirea matricelor cu scalari.

4. MulŃimea [ ]XK a polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienŃi din corpul

comutativ K formează spaŃiu vectorial peste corpul K în raport cu adunarea

polinoamelor şi cu înmulŃirea polinoamelor cu scalari din K.

Analog, mulŃimea ][XKn a polinoamelor de grad cel mult n în nedeterminata X

cu coeficienŃi din corpul comutativ K formează spaŃiu vectorial peste corpul K.

5. MulŃimea )(RF a funcŃiilor definite pe R şi cu valori în R formează spaŃiu

vectorial peste corpul R în raport cu adunarea funcŃiilor şi cu înmulŃirea funcŃiilor cu

scalari din R.

6. MulŃimea ]),([ baC a funcŃiilor reale continue definite pe ],[ ba formează spaŃiu

vectorial peste corpul R în raport cu adunarea funcŃiilor şi cu înmulŃirea funcŃiilor cu

scalari din R.

7. MulŃimea 2V a vectorilor liberi din plan formează spaŃiu vectorial peste corpul

R în raport cu adunarea vectorilor liberi şi cu înmulŃirea vectorilor liberi cu scalari din

R.

CAPITOLUL I

12

8. MulŃimea 3V a vectorilor liberi din spaŃiu formează spaŃiu vectorial peste corpul

R în raport cu adunarea vectorilor liberi şi cu înmulŃirea vectorilor liberi cu scalari din

R.

Reamintim că:

- suma a doi vectori liberi se poate determina prin regula paralelogramului sau prin

regula triunghiului;

- produsul dintre vectorul liber v şi scalarul real t este vectorul tv, definit astfel:

a) dacă 0≠v şi 0≠t , atunci tv este vectorul care are:

- aceeaşi direcŃie cu v,

- lungimea egală cu vt

şi

- sensul - dat de cel al lui v, dacă 0>t

sau

- contrar lui v, dacă 0<t .

b) dacă 0=v şi 0=t , atunci 0=tv .

ObservaŃie. Acesta joacă un rol central în fizică şi tehnologie şi ilustrează

importanŃa spaŃiilor vectoriale şi a întregii algebre liniare pentru aplicaŃiile practice.

Din exemplele date se observă caracterul larg al conceptului de spaŃiu vectorial.

Un vector poate fi: un n – uplu, o matrice, un polinom, o funcŃie, un vector liber.

Evident lista poate fi continuată.

Teoremă. Dacă V este un spaŃiu vectorial peste corpul K, atunci pentru

K∈βα∀ , şi Vwvu ∈∀ ,, au loc următoarele proprietăŃi:

1) 00 =v (0 din membrul stâng este elementul zero (nul) al corpului K);

2) 00 =α ;

3) ( ) vv −=−1 ;

4) wvwuvu =⇒+=+ ;

5) )()()( uuu −α=α−=α− ;

6) uuu β−α=β−α )( ;

7) vuvu α−α=−α )( ;

SPAłII VECTORIALE

13

8) β=α⇒≠β=α 0uuu , .

DemonstraŃie.

1) 00)0(0 =⇒α=+α=+α vvvvv ;

2) 00)0(0 =α⇒α=+α=α+α vvv ;

3) ( ) vvvvvvvv −=−⇒==−+=−+=−+ 100)]1(1[)1(1)1( ;

4) Din wuvu +=+ , adunând opusul vectorului u, obŃinem

wvwvwuuvuu =⇒+=+⇒++−=++− 00 ;

5) )()()()]([00 vvvvvv α−=α−⇒α−+α=α−+α== ;

)()()()]([00 vvvvvv α−=−α⇒−α+α=−+α=α= ;

6) uuuuuu β−α=β−+α=β−+α=β−α )()]([)( ;

7) vuvuvuvu α−α=−α+α=−+α=−α )()]([)( ;

8) 0)(0 =β−α⇒=β−α⇒β=α uuuuu şi cum 0≠u rezultă 0=β−α ,

deoarece în caz contrar, înmulŃind cu 1)( −β−α obŃinem 0=u , contradicŃie.

1.2. DependenŃă şi independenŃă liniară

Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul comutativ K (sau, pe scurt un K – spaŃiu

vectorial).

DefiniŃie. Se spune că un vector Vv ∈ este o combinaŃie liniară de vectorii

Vvvv n ∈,,, 21 K , dacă există scalarii Kn ∈ααα ,,, 21 K astfel încât

∑α=α++α+α==

n

iiinn vvvvv

12211 K .

DefiniŃie. Se spune că vectorii Vvvv n ∈,,, 21 K formează un sistem de

generatori pentru spaŃiul vectorial V dacă orice vector Vv ∈ se poate scrie ca o

combinaŃie liniară de vectorii nvvv ,,, 21 K :

∑α=∈ααα∃∈∀=

n

iiin vva.î.KVv

121 ,,,, K .

CAPITOLUL I

14

DefiniŃie. K - spaŃiul vectorial V se numeşte de tip finit dacă pentru V există un

sistem finit de generatori.

DefiniŃie. Se spune că vectorii Vvvv n ∈,,, 21 K sunt liniar dependenŃi (peste

K) dacă există scalarii Kn ∈ααα ,,, 21 K nu toŃi nuli, astfel încât

02211 =α++α+α nnvvv K .

În caz contrar, se spune că vectorii Vvvv n ∈,,, 21 K sunt liniar independenŃi

(peste K).

Aşadar, vectorii Vvvv n ∈,,, 21 K sunt liniar independenŃi (peste K) dacă orice

relaŃie de forma

02211 =α++α+α nnvvv K cu Kn ∈ααα ,,, 21 K implică 021 =α==α=α nK .

Teoremă. Fie V un K – spaŃiu vectorial. Vectorii Vvvv n ∈,...,, 21 sunt

liniar dependenŃi dacă şi numai dacă există printre vectorii nvvv ,...,, 21 un vector iv

care este o combinaŃie liniară de ceilalŃi vectori.

DemonstraŃie. Dacă vectorii nvvv ,...,, 21 sunt liniar dependenŃi, există

scalarii Kn ∈ααα ,,, 21 K nu toŃi nuli, astfel încât

02211 =α++α+α nnvvv K .

Fie de exemplu 0≠αi .

Avem

nniiiiii vvvvvv α−−α−α−−−α−α−=α− ++−− ...11112211 K .

Notând

niiji

jj ,...,1,1,...,2,1, +−=

α

α−=β

avem

nniiiii vvvvvv β++β+β++β+β= ++−− ...11112211 K

deci vectorul iv este o combinaŃie liniară de vectorii nii vvvvv ,...,,,,, 1121 +−K .

SPAłII VECTORIALE

15

Reciproc, dacă vectorul iv este o combinaŃie liniară de vectorii

nii vvvvv ,...,,,,, 1121 +−K atunci există scalarii Knii ∈ααααα +− ,...,,,,, 1121 K astfel

încât

nniiiii vvvvvv α++α+α++α+α= ++−− ...11112211 K .

Avem

0...)1( 11112211 =α++α+−+α++α+α ++−− nniiiii vvvvvv K .

Cum 01 ≠− , rezultă că vectorii nvvv ,,, 21 K sunt liniar dependenŃi.

DefiniŃie. Se spune că vectorii Vvvv n ∈,,, 21 K formează o bază pentru spaŃiul

vectorial V dacă sunt îndeplinite următoarele două condiŃii:

1. constituie un sistem de generatori pentru V

şi

2. sunt liniar independenŃi.

ObservaŃie. Se poate demonstra că orice spaŃiu vectorial diferit de spaŃiul

vectorial nul 0 admite cel puŃin o bază şi că oricare două baze ale unui spaŃiu vectorial

diferit de spaŃiul vectorial nul, de tip finit, au acelaşi număr de vectori.

DefiniŃie. Fie V un spaŃiu vectorial. Dimensiunea lui V se notează cu Vdim şi

se defineşte astfel

∞

≠

=

=

itde tip finV nu este dacă

vectorindinformatăbazăoadmiteinit si, de tip fVdacăn

Vdacă

V

,

0,

0,0

dim

DefiniŃie. Un spaŃiu vectorial V de dimensiune n finită se numeşte n –

dimensional şi se notează cu nV .

Exemple de baze

1. În nK o bază este neeeB ,,, 21 K= , unde ( )0,,0,0,11 K=e , ( )0,,0,1,02 K=e ,

..., ( )1,0,,0,0 K=ne . Ea se numeşte baza canonică a lui nK . Evident nK n =dim .

2. În nm,M ( )K baza canonică este njmiEB ij ,1,,1, === , unde ijE este

matricea care are elementul 1 la intersecŃia liniei i cu coloana j şi în rest toate elementele

nule. Evident dim nm,M )(K nm ⋅= .

CAPITOLUL I

16

3. În [ ]XK baza canonică este KK ,,,,,1 2 nXXXB = . Evident,

dim [ ]XK ∞= .

În ][XKn baza canonică este nXXXB ,,,,1 2 K = . Evident,

1][dim += nXKn .

Coordonatele unui vector

Fie nV un K – spaŃiu vectorial şi neeeB ,,, 21 K= o bază a acestui spaŃiu.

Dacă nVv ∈ , atunci există scalarii Kn ∈ααα ,,, 21 K unic determinaŃi astfel încât

∑α=α++α+α==

n

iiinn eeeev

12211 K .

Să demonstrăm că scalarii Kn ∈ααα ,,, 21 K sunt unic determinaŃi de vectorul

v şi de baza B.

Într-adevăr, dacă pentru Kn ∈βββ ,,, 21 K avem de asemenea

∑β=β++β+β==

n

iiinn eeeev

12211 K ,

atunci

0)()()( 222111 =β−α++β−α+β−α nnn eee K

şi cum vectorii neee ,,, 21 K sunt liniar independenŃi rezultă că

02211 =β−α==β−α=β−α nnK ,

deci

niii ,1, =β=α .

DefiniŃii. 1) Fie nV un K – spaŃiu vectorial, neeeB ,,, 21 K= o bază

a lui nV şi nVv ∈ . Scalarii unic determinaŃi Kn ∈ααα ,,, 21 K astfel încât

nneeev α++α+α= K2211 se numesc coordonatele vectorului v în baza B.

2) AplicaŃia bijectivă nnB KVc →: definită prin ),,,()( 21 nB vc ααα= K

se numeşte sistem de coordonate pe nV asociat bazei B.

SPAłII VECTORIALE

17

1.3. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază

Fie nV un K – spaŃiu vectorial n dimensional şi neeeB ,,, 21 K= ,

neeeB ',,','' 21 K= două baze distincte ale lui nV .

Vectorii bazei 'B fiind din nV sunt combinaŃii liniare de vectorii bazei B, adică:

∑=+++=

∑=+++=

∑=+++=

=

=

=

n

iiinnnnnnn

n

iiinn

n

iiinn

ecececece

ecececece

ecececece

12211

1222221122

1112211111

...'

...'

...'

M

sau, pe scurt

njecen

iiijj ,1,'

1=∑=

=.

Fie ),...,,( 21 nααα , respectiv )',...,','( 21 nααα coordonatele unui vector

arbitrar nVv ∈ în raport cu B, respectiv 'B . Au loc descompunerile

∑α==

n

iiiev

1 respectiv ∑ α=

=

n

jjj ev

1'' .

Folosind relaŃiile existente între vectorii celor două baze, obŃinem

∑

∑ α=∑

∑α=∑ α=

= == ==

n

ii

n

jjij

n

j

n

iiijj

n

jjj ececev

1 11 11'''' .

Din unicitatea descompunerii vectorului v în raport cu baza B, prin identificarea

coeficienŃilor, rezultă relaŃiile

nicn

jjiji ,1,'

1=∑ α=α

=.

Aceste relaŃii descriu transformarea vectorului v la schimbarea bazei B în baza

'B .

Notând coordonatele vectorului v relativ la cele două baze prin

CAPITOLUL I

18

αααα

α

α

α

=

n

M

2

1

respectiv 'αααα

α

α

α

=

n'

'

'

2

1

M,

relaŃiile precedente se scriu sub formă matriceală

αααα ⋅= C 'αααα ,

unde njiijcC ,1,)( == .

DefiniŃie. Matricea pătratică njiijcC ,1,)( == care are pe coloana j

coordonatele vectorului je' în raport cu baza B se numeşte matricea de trecere de la

baza B la baza 'B .

1.4. SpaŃii vectoriale izomorfe

Fie V şi W două K – spaŃii vectoriale.

DefiniŃie. Se spune că spaŃiile vectoriale V şi W sunt izomorfe dacă există o

aplicaŃie bijectivă WVf →: care îndeplineşte următoarele condiŃii:

1) ( ) ( ) ( ) Vvvvfvfvvf ∈∀+=+ 212121 ,, (f este aditivă);

2) ( ) ( ) VvKvfvf ∈∀∈α∀α=α 111 ,, (f este omogenă).

Se spune în acest caz că aplicaŃia bijectivă f este un izomorfism.

ObservaŃie. CondiŃiile 1) şi 2) sunt echivalente cu condiŃia

3) ( ) ( ) ( ) VvvKvfvfvvf ∈∀∈βα∀β+α=β+α 212121 ,,,, .

Într-adevăr, din condiŃiile 1) şi 2) rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 vfvfvfvfvvf β+α=β+α=β+α .

Reciproc, din condiŃia 3) pentru 1=β=α rezultă

( ) ( ) ( )2121 vfvfvvf +=+ , adică condiŃia 1),

iar pentru 0=β , rezultă

( ) ( )11 vfvf α=α , adică condiŃia 2).

Teoremă. Orice K – spaŃiu vectorial nV este izomorf cu spaŃiul vectorial nK .

SPAłII VECTORIALE

19

DemonstraŃie. Fie neeeB ,,, 21 K= o bază a spaŃiului vectorial nV . Atunci

nVv ∈∀ se scrie în mod unic sub forma

nneeev α++α+α= K2211

cu Kn ∈ααα ,,, 21 K .

AplicaŃia bijectivă

),,,()(,: 21 nn

n vfKVf ααα=→ K

îndeplineşte condiŃia 3) de mai sus, deci f este un izomorfism între nV şi nK .

ObservaŃie. Două K – spaŃii vectoriale de dimensiuni finite V şi W sunt

izomorfe dacă şi numai dacă dimensiunile lor coincid.

Exemplu. R – spaŃiile vectoriale 3,2M ( )R şi 6R sunt izomorfe, având

dimensiunea şase.

1.5. Probleme rezolvate

1. Pe mulŃimea *+R a numerelor reale strict pozitive se definesc operaŃiile:

.,,

,,,

*

*

+α

+

∈∀∈α∀=α

∈∀=∗

RR

R

xxx

yxxyyx

o

Să se demonstreze că *+R cu operaŃiile de mai sus este spaŃiu vectorial peste

corpul numerelor reale.

SoluŃie.

Fie *, +∈ Ryx şi R∈α . Atunci *+∈∗ Ryx şi *

+∈α Rxo .

I. ( )∗+ ,*R este grup abelian

I.1. Legea “∗ ” este asociativă deoarece înmulŃirea pe *+R este asociativă.

I.2. Legea “∗ ” este comutativă deoarece înmulŃirea pe *+R este comutativă.

I.3. *1 +∈∃ R astfel încât xxx ==∗ 11 , *+∈∀ Rx .

CAPITOLUL I

20

I.4. *+∈∀ Rx , *1

+∈∃ Rx

astfel încât 111

==∗x

xx

x .

II. Fie R∈βα, şi *, +∈ Ryx . Avem succesiv

II.1. )()()( xxxxxxxx ooo β∗α=∗===β+α βαβαβ+α .

II.2. )()()()()( yxyxyxxyxyyx oooo α∗α=∗===α=∗α ααααα .

II.3. xxxxx oooo )()()()( αβ===α=βα αβαββ .

II.4. xxx == 11o .

Deci, *+R cu operaŃiile de mai sus este spaŃiu vectorial peste corpul numerelor

reale.

2. Să se studieze dependenŃa liniară pentru:

a) )0,1,3(),1,2,0(),1,0,3( 321 =−=−= vvv în 3R ;

b)

−

−=

=

=

03

11,

10

21,

13

12321 AAA în 2M (R);

c) 543,12,35 23

22

21 −+−=−+=++−= XXpXXpXXp în ][2 XR .

SoluŃie.

a) Considerăm relaŃia 0332211 =α+α+α vvv ( R∈ααα 321 ,, ).

Înlocuind vectorii 321 ,, vvv obŃinem

)0,0,0()0,1,3()1,2,0()1,0,3( 321 =α+−α+−α .

Efectuând calculele avem

)0,0,0()0,,3(),2,0(),0,3( 332211 =αα+α−α+αα−

sau

)0,0,0(),2,33( 213231 =α−αα+αα+α−

relaŃie echivalentă cu sistemul omogen

=α−α

=α+α

=α+α−

0

02

033

21

32

31

.

Matricea asociată sistemului este

SPAłII VECTORIALE

21

−

−

=

011

120

303

A

şi are rangul 3 (rangul este egal cu numărul de necunoscute).

Prin urmare, sistemul omogen admite doar soluŃia banală ( 0321 =α=α=α ),

deci vectorii 321 ,, vvv sunt liniar independenŃi.

b) Considerăm relaŃia 2332211 OAAA =α+α+α ( R∈ααα 321 ,, ), unde 2O

reprezintă matricea nulă a spaŃiului 2M (R) .

Înlocuind matricele 321 ,, AAA obŃinem

=

−

−α+

α+

α

00

00

03

11

10

21

13

12321 .


=

α−

αα−+

α

αα+

αα

αα

00

00

030

2

3

2

3

33

2

22

11

11

sau

=

α+αα−α

α+α+αα−α+α

00

00

33

22

2131

321321


=α+α

=α−α

=α+α+α

=α−α+α

0

033

02

02

21

31

321

321

.

Matricea asociată sistemului este

−

−

=

011

303

121

112

A

şi are rangul 2 (rangul este mai mic decât numărul necunoscutelor).

Prin urmare, sistemul omogen admite şi soluŃii nenule, deci matricele 321 ,, AAA

sunt liniar dependente.

CAPITOLUL I

22

c) Considerăm relaŃia 0332211 =α+α+α ppp ( R∈ααα 321 ,, ), unde 0

reprezintă polinomul nul al spaŃiului R2[X].

Înlocuind polinoamele 321 ,, ppp obŃinem

0)543()12()35( 23

22

21 =−+−α+−+α+++−α XXXXXX .


053)45()32( 3213212

321 =α−α−α+α+α+α+α−α+α− XX ,

relaŃie echivalentă cu sistemul

=α−α−α

=α+α+α

=α−α+α−

.053

045

032

321

321

321

Matricea asociată este

−−

−−

=

513

415

321

A

şi are rangul 3 (rangul este egal cu numărul de necunoscute).

Prin urmare, sistemul omogen admite doar soluŃia banală ( 0321 =α=α=α ),

deci polinoamele 321 ,, ppp sunt liniar independente.

3. În R3 se consideră:

)5,1,0(),1,0,1(),2,3,1( 321 ==== vvvB ,

)9,7,2('),13,5,2('),8,4,2('' 321 ==== vvvB .

a) Să se arate că B şi 'B sunt baze.

b) Să se determine coordonatele vectorului )9,1,0( −=v în baza B.

c) Să se găsească matricea de trecere de la baza B la baza 'B .

d) Să se determine coordonatele vectorului )9,1,0( −=v în baza 'B .

SoluŃie.

a) Deoarece 3dim 3 =R , pentru a arăta că cei trei vectori 321 ,, vvv

formează o bază este suficient să arătăm că sunt liniar independenŃi.

SPAłII VECTORIALE

23

Considerăm relaŃia 0332211 =α+α+α vvv ( R∈ααα 321 ,, ).

Înlocuind vectorii 321 ,, vvv obŃinem

)0,0,0()5,1,0()1,0,1()2,3,1( 321 =α+α+α .


)0,0,0()5,,0(),0,()2,3,( 3322111 =αα+αα+ααα

sau

)0,0,0()52,3,( 3213121 =α+α+αα+αα+α


=α+α+α

=α+α

=α+α

.052

03

0

321

31

21

Matricea asociată acestui sistem este

=

512

103

011

A ,

iar determinantul său este 014 ≠− , deci sistemul omogen admite doar soluŃia banală

( 0321 =α=α=α ).

Rezultă astfel că vectorii 321 ,, vvv sunt liniar independenŃi.

Analog se arată că şi 'B este o bază.

b) Coordonatele vectorului v în baza 321 ,, vvvB = sunt scalarii R∈ααα 321 ,,

din relaŃia

332211 vvvv α+α+α= .

Înlocuind vectorii v, 321 ,, vvv obŃinem

)5,1,0()1,0,1()2,3,1()9,1,0( 321 α+α+α=− .


)5,,0(),0,()2,3,()9,1,0( 3322111 αα+αα+ααα=−

sau

)52,3,()9,1,0( 3213121 α+α+αα+αα+α=−

relaŃie echivalentă cu sistemul

CAPITOLUL I

24

=α+α+α

−=α+α

=α+α

.952

13

0

321

31

21

Cum

014

512

103

011

≠−==∆ ,

rezultă că sistemul este compatibil determinat.

SoluŃia sa se poate determina cu formulele lui Cramer

∆

α∆=α

∆

α∆=α

∆

α∆=α

,33

22

11

unde 1α∆ se obŃine din ∆ prin înlocuirea primei coloane cu coloana termenilor liberi,

2α∆ se obŃine din ∆ prin înlocuirea coloanei a doua cu coloana termenilor liberi şi

3α∆ se obŃine din ∆ prin înlocuirea coloanei a treia cu coloana termenilor liberi.

Avem

14

519

101

010

1 =−=α∆ ,

14

592

113

001

2 −=−=α∆ ,

28

912

103

011

3 −=−=α∆ .

Astfel,

2,1,1 321 =α=α−=α .

Aşadar, coordonatele vectorului )9,1,0( −=v în baza 321 ,, vvv sunt – 1, 1, 2.

SPAłII VECTORIALE

25

c) Pentru determinarea matricei C de trecere de la baza B la baza 'B , aflăm

coordonatele vectorilor bazei 'B în raport cu baza B.

Procedând ca la punctul b)

coordonatele vectorului 1'v relativ la baza 321 ,, vvvB = sunt

1, 1, 1;


1, 1, 2;


2, 0, 1.

Astfel, matricea de trecere de la baza B la baza 'B este

=

121

011

211

C .

d) Metoda I.

Procedând ca la punctul b), coordonatele vectorului v în baza 'B sunt – 1, 2, – 1.

Metoda a II-a.

Conform punctului b), matricea formată cu coordonatele vectorului în baza B

este

αααα

−

=

2

1

1

,

iar conform punctului c) matricea de trecere de la baza B la baza 'B este

=

121

011

211

C .

Cu coordonatele vectorului v în baza 'B se formează matricea coloană 'αααα .

Conform teoriei

αααα C= 'αααα .

CAPITOLUL I

26

Astfel

'αααα 1−= C αααα .

Inversa matricei C este

*1

det

1C

CC =− ,

unde

=

332313

322212

312111*

ccc

ccc

ccc

C

cu

.011

11)1(,2

01

21)1(,2

10

21)1(

,121

11)1(,1

11

21)1(,3

12

21)1(

121

11)1(,1

11

01)1(,1

12

01)1(

3333

2332

1331

3223

2222

1221

3113

2112

1111

=−==−=−=−=

−=−=−=−==−=

=−=−=−==−=

+++

+++

+++

ccc

ccc

ccc

Avem

2det =C

şi

−

−−

−

=

−

−−

−

=−

02

1

2

1

12

1

2

1

12

3

2

1

011

211

231

2

11C .

Deci,

SPAłII VECTORIALE

27

'αααα

−

−

=

−

−

−−

−

=

1

2

1

2

1

1

02

1

2

1

12

1

2

1

12

3

2

1

.

1.6. Probleme propuse

1. Fie

∈

−= Rcba

ac

baV ,, . Să se demonstreze că V cu operaŃiile

obŃinute de adunare a matricelor şi de înmulŃire a matricelor cu numere reale este spaŃiu

vectorial real.

2. Fie V un spaŃiu vectorial real. Pe VV × definim operaŃiile

Vyxvuyvxuyxvu ∈∀++=+ ,,,),,(),(),(

Vvuibaavbubvauvuiba ∈∀∈+∀+−=+ ,,),,(),)(( C .

Să se demonstreze că VV × cu operaŃiile de mai sus este spaŃiu vectorial peste

corpul numerelor complexe.

ObservaŃie. SpaŃiul vectorial complex VV × se numeşte complexificatul

spaŃiului vectorial V şi se notează cu VC .

3. Fie ][XnC spaŃiul vectorial complex al polinoamelor de grad cel mult n în

nedeterminata X cu coeficienŃi complecşi.

a) Să se demonstreze că pentru C∈a fixat, mulŃimea

)(,...,)(,,1 2 naXaXaXB −−−= este o bază a spaŃiului vectorial ][XnC .

b) Dacă ][)( XXf nC∈ este un polinom arbitrar, să se demonstreze

nn

aXn

afaX

afaX

afafXf )(

!

)(...)(

!2

)(")(

!1

)(')()(

)(2 −++−+−+=

(formula lui Taylor pentru polinoame).

CAPITOLUL I

28

4. Să se studieze dependenŃa liniară pentru:

a) ( ) ( ) ( )9,7,5,6,5,4,3,2,1 321 === vvv în 3R ;

b)

=

−=

=

02

21,

10

11,

12

11321 AAA în 2M (R);

c) 752,94,32 23

22

21 ++=++=++= XXpXXpXXp în ][2 XR .

5. În 3R se consideră

( ) ( ) ( )9,4,1,3,2,1,1,1,1 321 ==== vvvB ,

( ) ( ) ( ) 1,2,1,0,2,0',0,0,1'' 321 −==== ' vvvB .

a) Să se arate că B şi 'B sunt baze.

b) Să se determine coordonatele vectorului 3212 vvvv −+= în baza B.

c) Să se găsească matricea de trecere de la baza B la baza 'B .

d) Să se determine coordonatele vectorului 3212 vvvv −+= în baza 'B .

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

29

CAPITOLUL 2

FORME LINIARE. FORME BILINIARE.

FORME PĂTRATICE



teoria algebrei liniare.

Cuvinte cheie: formă liniară, formă biliniară, formă pătratică, forma canonică a unei

forme pătratice, formă pătratică pozitiv definită, formă pătratică negativ definită, formă

pătratică nedefinită

2.1. Forme liniare

Fie V un spaŃiu vectorial real.

DefiniŃie. Se numeşte formă liniară pe spaŃiul vectorial V, o funcŃie R→ω V:

care îndeplineşte următoarele condiŃii:

1) ( ) ( ) ( ) Vyxyxyx ∈∀ω+ω=+ω ,, (ω este aditivă);

2) ( ) ( ) Vxxx ∈∀∈α∀αω=αω ,, R (ω este omogenă).

ObservaŃie. CondiŃiile 1) şi 2) sunt echivalente cu condiŃia

3) ( ) ( ) ( ) Vyxyxyx ∈∀∈βα∀βω+αω=β+αω ,,,, R .

În cele ce urmează presupunem că spaŃiul vectorial real V este n – dimensional.

Dacă R→ω V: este o formă liniară, nvvvB ,...,, 21= este o bază în V şi

∑==

n

iiivxx

1 este un vector oarecare din V, atunci

( ) ( )∑ ω=

∑ω=ω

==

n

iii

n

iii vxvxx

11.

CAPITOLUL 2

30

Notând ( ) niva ii ,1, =ω= obŃinem ( ) ∑=ω=

n

iii xax

1. Această relaŃie se numeşte

expresia analitică a formei liniare ω faŃă de baza considerată B, iar scalarii

( ) niva ii ,1, =ω= se numesc coeficienŃii lui ω relativ la baza B.

Matricea ( ) )(,121 RnnaaaA M∈= L se numeşte matricea formei liniare

ω în raport cu baza B.

Dacă introducem matricea coloană ( )R1,2

1

n

nx

x

x

X M∈

=M

formată cu coordonatele

vectorului x, atunci expresia formei liniare ω poate fi scrisă sub forma matriceală

AXx =ω )( .

NotaŃie. MulŃimea formelor liniare pe V se notează cu *V .

Teoremă. Fie V un spaŃiu vectorial real şi *21, V∈ωω . Atunci

1) *21 V∈ω+ω ;

2) R ∈γ∀∈ωγ ,*1 V .

DemonstraŃie. Într-adevăr, Vyx ∈∀∈βα∀ ,,, R avem

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )yx

yyxx

yxyx

yxyxyx

2121

2121

2211

2121

][][

ω+ωβ+ω+ωα=

ω+ωβ+ω+ωα=

βω+αω+βω+αω=

β+αω+β+αω=β+αω+ω

şi

( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )

( )( ) ( )( ).11

11

11

11

yx

yx

yx

yxyx

ωγβ+ωγα=

γβω+γαω=

βω+αωγ=

β+αωγ=β+αωγ

Prin verificarea condiŃiilor din definiŃia spaŃiului vectorial se demonstrează

următoarea


31

Teoremă. *V este un R – spaŃiu vectorial în raport cu adunarea formelor

liniare şi cu înmulŃirea formelor liniare cu scalari.

*V se numeşte spaŃiul dual (sau conjugat) al spaŃiului vectorial V.

ObservaŃie. VV dimdim * = .

2.2. Forme biliniare. Forme pătratice

Fie V un spaŃiu vectorial real.

DefiniŃie. Se numeşte formă biliniară sau tensor covariant de ordinul doi pe

spaŃiul vectorial V, o funcŃie R→×ϕ VV: care îndeplineşte următoarele condiŃii:

1) ( ) ( ) ( )zyzxzyx ,,, ϕ+ϕ=+ϕ , Vzyx ∈∀ ,, ;

2) ( ) ( ) ( )zxyxzyx ,,, ϕ+ϕ=+ϕ , Vzyx ∈∀ ,, ;

3) ( ) ( )yxyx ,, αϕ=αϕ , R∈α∀ , Vyx ∈∀ , ;

4) ( ) ( )yxyx ,, βϕ=βϕ , R∈β∀ , Vyx ∈∀ , .

ObservaŃie. CondiŃiile 1), 2), 3) şi 4) sunt echivalente cu condiŃiile:

5) ( ) ( ) ( ) Vzyxzyzxzyx ∈∀∈βα∀βϕ+αϕ=β+αϕ ,,,,,,,, R ;

6) ( ) ( ) ( ) Vzyxzxyxzyx ∈∀∈βα∀βϕ+αϕ=β+αϕ ,,,,,,,, R .

DefiniŃie. Forma biliniară ϕ se numeşte simetrică dacă

( ) ( ) Vyxxyyx ∈∀ϕ=ϕ ,,,, .

Forma biliniară ϕ se numeşte antisimetrică dacă

( ) ( ) Vyxxyyx ∈∀ϕ−=ϕ ,,,, .

Teoremă. O formă biliniară R→×ϕ VV: este antisimetrică dacă şi numai

dacă Vxxx ∈∀=ϕ ,0),( .

DemonstraŃie.

Fie ϕ o formă biliniară antisimetrică. Conform definiŃiei

( ) ( ) Vyxxyyx ∈∀ϕ−=ϕ ,,,, .

CAPITOLUL 2

32

Pentru xy = , avem ( ) ( )xxxx ,, ϕ−=ϕ , deci ( ) 0,2 =ϕ xx , deci

Vxxx ∈∀=ϕ ,0),( .

Reciproc, fie ϕ o formă biliniară cu Vxxx ∈∀=ϕ ,0),( . Atunci pentru vectorul

yx λ+ cu 0≠λ , avem

0),( =λ+λ+ϕ yxyx

sau

0),()],(),([),( 2 =ϕλ+ϕ+ϕλ+ϕ yyxyyxxx .

Cum 0),( =ϕ xx şi 0),( =ϕ yy , avem

0)],(),([ =ϕ+ϕλ xyyx ,

adică

( ) ( ) Vyxxyyx ∈∀ϕ−=ϕ ,,,, .

Teoremă. Orice formă biliniară R→×ϕ VV: este o sumă de două forme

biliniare, una simetrică şi alta ansimetrică.

DemonstraŃie. Fie R→×ϕ VV: o formă biliniară pe V. Notăm cu

)].,(),([2

1),(

)],,(),([2

1),(

2

1

xyyxyx

xyyxyx

ϕ−ϕ=ϕ

ϕ+ϕ=ϕ

Se constată că 1ϕ este formă biliniară simetrică şi 2ϕ este formă biliniară

antisimetrică, iar

),(),(),( 21 yxyxyx ϕ+ϕ=ϕ .

Într-adevăr,

[ ] [ ]

[ ] [ ]

),,(),(

),(),(2

1),(),((

2

1

),(),(),(),(2

1

)],(),(),(),([2

1

)],(),([2

1),(

11

1

zyzx

yzzyxzzx

yzzyxzzx

yzxzzyzx

yxzzyxzyx

βϕ+αϕ=

ϕ+ϕβ+

ϕ+ϕα=

ϕ+ϕβ+ϕ+ϕα=

βϕ+αϕ+βϕ+αϕ=

β+αϕ+β+αϕ=β+αϕ


33

[ ] [ ]

[ ] [ ]

),,(),(

),(),(2

1),(),((

2

1

),(),(),(),(2

1

)],(),(),(),([2

1

)],(),([2

1),(

11

1

zxyx

xzzxxyyx

xzzxxyyx

xzxyzxyx

xzyzyzzyx

βϕ+αϕ=

ϕ+ϕβ+

ϕ+ϕα=

ϕ+ϕβ+ϕ+ϕα=

βϕ+αϕ+βϕ+αϕ=

β+αϕ+β+αϕ=β+αϕ

adică 1ϕ este formă biliniară.

Deoarece Vyxxyyx ∈∀ϕ=ϕ ,),,(),( 11 rezultă că 1ϕ este formă biliniară

simetrică.

Analog se demonstrează că 2ϕ este formă biliniară antisimetrică.

Evident,

),()],(),([2

1)],(),([

2

1),(),( 21 yxxyyxxyyxyxyx ϕ=ϕ−ϕ+ϕ+ϕ=ϕ+ϕ .

În cele ce urmează presupunem că spaŃiul vectorial V este n – dimensional.

Dacă R→×ϕ VV: este o formă biliniară, ,...,, 21 neeeB = este o bază în V şi

∑==

n

iiiexx

1, ∑=

=

n

jjjeyy

1 sunt doi vectori oarecare din V, atunci

( ) ( )∑ ∑ ϕ=

∑∑ϕ=ϕ

= ===

n

i

n

jjiji

n

jjj

n

iii eeyxeyexyx

1 111,,, .

Notând ( ) njieea jiij ,1,,, =ϕ= , obŃinem

( ) ∑ ∑=ϕ= =

n

i

n

jjiij yxayx

1 1, .

Această relaŃie se numeşte expresia analitică a formei biliniare ϕ faŃă de baza

considerată B, iar scalarii ( ) njieea jiij ,1,,, =ϕ= se numesc coeficienŃii lui ϕ relativ

la baza B.

Matricea ( ) ( )R nnjiijaA M∈= = ,1, se numeşte matricea formei biliniare ϕ în

raport cu baza B.

CAPITOLUL 2

34

NotaŃie. Matricea formei biliniare ϕ în raport cu baza B se notează cu

[ ]BA ϕ= .

ObservaŃie. Dacă introducem matricele coloană

( )R1,2

1

2

1

, n

nn y

y

y

Y

x

x

x

X M∈

=

=MM

formate cu coordonatele vectorilor x şi y, atunci

expresia analitică a formei biliniare ϕ poate fi scrisă sub forma matriceală

XAYt=ϕ ,

unde Xt este transpusa matricei X.

NotaŃie. MulŃimea formelor biliniare pe V se notează cu ( )R,VB .

ObservaŃie. Adunarea formelor biliniare şi înmulŃirea acestora cu scalari pot

fi definite ca în cazul funcŃiilor, determinând pe ( )R,VB o structură de spaŃiu vectorial

peste corpul R.

ObservaŃie. AplicaŃia care asociază fiecărei forme biliniare R→×ϕ nn VV:

matricea ei în raport cu o bază dată a spaŃiului vectorial nV este un izomorfism între

spaŃiul vectorial ( )R,nVB şi spaŃiul vectorial ( )RnM , deci

2)(dim),(dim nVB nn == RR M .

Se poate demonstra următoarea

Teoremă. O formă biliniară ( )R,nVB∈ϕ este simetrică dacă şi numai dacă

matricea formei în raport cu o bază arbitrară fixată a spaŃiului nV este simetrică.

O formă biliniară ( )R,nVB∈ϕ este antisimetrică dacă şi numai dacă matricea

formei în raport cu o bază arbitrară fixată a spaŃiului nV este antisimetrică.

DefiniŃie. Fie ( )R,nVB∈ϕ şi BA ][ϕ= matricea formei biliniare ϕ relativ la o

bază B a spaŃiului vectorial nV .

Dacă A este nesingulară, atunci forma biliniară ϕ se numeşte nedegenerată.

Dacă A este singulară, atunci forma biliniară ϕ se numeşte degenerată.


35

DefiniŃie. Fie ( )R,nVB∈ϕ o formă biliniară simetrică. MulŃimea

,0),(| nn VyyxVxKer ∈∀=ϕ∈=ϕ

se numeşte nucleul formei biliniare ϕ .

DefiniŃie. Fie V un spaŃiu vectorial şi ( )R,VB∈ϕ o formă biliniară

simetrică. FuncŃia ϕ determină unic funcŃia

Vxxxxf ∈∀ϕ= ),,()(

care se numeşte forma pătratică1 asociată formei biliniare ϕ .

ObservaŃie. Cunoaşterea formei pătratice f permite recuperarea formei biliniare

simetrice ϕ .

Într-adevăr,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yyxyyxxxyxyxyxf ,,,,, ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=++ϕ=+

şi cum

( ) ( ) Vyxxyyx ∈∀ϕ=ϕ ,,,,

rezultă că

( ) ( ) ( ) ( )yyyxxxyxf ,,2, ϕ+ϕ+ϕ=+

sau

( ) ( ) ( ) ( )yyfyxxxfyxf ,,2, +ϕ+=+ ,

de unde

( ) ( ) ( ) ( )[ ] Vyxyfxfyxfyx ∈∀−−+=ϕ ,,2

1, .

DefiniŃie. Forma biliniară simetrică ϕ asociată formei pătratice f se

numeşte forma polară sau forma dedublată a formei pătratice f.

CAPITOLUL 2

36

2.3. Forma canonică a unei forme pătratice

Fie nV un spaŃiu vectorial real, n dimensional, ),( RVB n∈ϕ o formă biliniară

simetrică şi f forma pătratică asociată.

Dacă ,...,, 21 neeeB = este o bază în nV , atunci pentru orice vector

nn

iii Vexx ∈∑=

=1 forma pătratică f are expresia analitică

( ) ( ) ∑ ∑=∑ ∑ ϕ=

∑∑ϕ=ϕ=

= == ===

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjiji

n

jjj

n

iii xxaeexxexexxxxf

1 11 111,,),( ,

unde ( )jiij eea ,ϕ= , nji ,1, = .

ObservaŃie. Expresia analitică a formei pătratice f poate fi scrisă şi sub forma

matriceală

XAXxf t=)( ,

unde

=

nx

x

x

XM

2

1

, njiijaA ,1,)( == , iar Xt este transpusa matricei X.

A aduce la forma canonică forma pătratică f înseamnă a găsi o bază (numită

bază canonică) astfel încât în această bază forma pătratică să se scrie ca o sumă

algebrică de pătrate.

Sunt mai multe metode de reducere a unei forme pătratice la forma canonică:

metoda lui Gauss2,

metoda lui Jacobi3,

metoda valorilor proprii.

1 Formele pătratice apar în diverse domenii ale matematicii ca geometria şi topologia diferenŃială, teoria numerelor, etc. 2 Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematician, fizician şi astronom german


37

Metoda lui Gauss

Teoremă. Dacă R→nVf : este o formă pătratică, atunci există o bază în

nV relativ la care f are o expresie canonică.

DemonstraŃie. Să presupunem că forma pătratică f are relativ la baza

,...,, 21 neeeB = expresia analitică

)......(2...)( 1111211222

1111 1

nnnnnnnnnn

i

n

jjiij xxaxxaxxaxaxaxxaxf −−

= =+++++++=∑ ∑= .

Cazul I. Să presupunem că în expresia analitică există cel puŃin un

coeficient niaii ,1,0 =≠ . Fără a restrânge generalitatea, fie acesta 11a .

Expresia analitică a formei pătratice f se poate scrie sub forma

( ) ( ) 2223223

222212121

2111 222 nnnnnnn xaxxaxxaxaxaxaxxaxf +++++++++= KLK .

Notăm cu nn xaxa 1212 ++=α K , scoatem în factor 11

1

a din toŃi termenii ce

conŃin pe 1x , adunăm şi scădem termenii necesari astfel încât cu termenii ce conŃin pe

1x să construim un pătrat perfect şi obŃinem

( ) ( ) 2223223

2222

2

11

2111

1122

11nnnnn xaxxaxxaxa

axa

axf ++++++α−α+= KL

sau

( ) ( ) ( )nnn xxgxaxaxaa

xf ,,1

22

121211111

KK ++++= ,

unde g este o formă pătratică în (n – 1) coordonate ( )nxx ,,2 K .

Efectuând schimbarea de coordonate

=

=+++=

,.............22

12121111

nn

nn

xy

xy

xaxaxay K

expresia analitică a lui f devine

( ) ( )nyygya

xf ,,1

221

11K+= .

3 Karl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851), matematician german

CAPITOLUL 2

38

În continuare, algoritmul constă în repetarea raŃionamentului pentru forma

pătratică în (n – 1) variabile, nou obŃinută.

Cazul al II-lea. Dacă în expresia analitică niaii ,1,0 == iar ϕ nu este

identic nulă, atunci există cel puŃin un coeficient 0≠ija cu ji ≠ . În acest caz

efectuând schimbarea de coordonate

−==

−=

+=

jinkzx

zzx

zzx

kk

jij

jii

,,1,

obŃinem o formă pătratică de tipul celei din cazul I.

ObservaŃie.

1) Metoda lui Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma

canonică, dar nu furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza

căreia se determină noua bază.

2) O formă pătratică poate fi adusă la diferite forme canonice.

Metoda lui Jacobi

Teoremă. Fie nV un spaŃiu vectorial real n – dimensional, R→nVf : o

formă pătratică pe nV şi )()( ,1, RnnjiijaA M∈= = matricea formei relativ la o bază

neeeB ,,, 21 K= a lui nV . Dacă determinanŃii

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aa

aa

a

L

MOMM

L

L

M

21

22221

11211

2221

12112

111

,

,

=∆

=∆

=∆

sunt toŃi nenuli, atunci există o bază neeeB ',,','' 21 K= a lui nV faŃă de care forma

pătratică f are forma canonică


39

2122

2

121

1'...''

1)( n

n

n xxxxf∆

∆++

∆

∆+

∆= − ,

unde nxxx ',...,',' 21 sunt coordonatele vectorului x în baza 'B .

DemonstraŃie. Căutăm vectorii neee ',...,',' 21 de forma

nnnnnn ececece

ecece

ece

+++=

+==

...'

''

2211

2221212

1111

M

aşa încât să avem

,,1,1),'(

,1,0),'(

niee

nijee

ii

ji

==ϕ

≤<≤=ϕ

unde ϕ este polara formei pătratice f.

Scrise dezvoltat, aceste relaŃii devin

1...),'(

0...),'(

0...),'(0...),'(

2211

11221111

22222112

11221111

=+++=ϕ=+++=ϕ

=+++=ϕ=+++=ϕ

−−−−

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiii

iiiiii

acacacee

acacacee

acacacee

acacacee

M

(am Ńinut cont că forma ϕ este simetrică, adică jiij aa = ).

Pentru ,...,2,1 ni∈ fixat, sistemul liniar neomogen obŃinut constă din i ecuaŃii

cu i necunoscute ,...,, 21 iiii ccc . Acest sistem are soluŃie unică, deoarece prin ipoteză

determinantul sistemului este chiar 0≠∆ i .

Regula lui Cramer4 conduce la

i

i

i

iiii

iiii

i

i

iiaaa

aaa

aaa

aaa

c∆

∆=

∆= −−

−−−−

−

−

1121

111211

122221

111211

1

0

0

0

L

L

MMOMM

L

L

deci baza neeeB ',,','' 21 K= este perfect determinată.

4 Gabriel Cramer (1704 – 1752), matematician şi fizician elveŃian

CAPITOLUL 2

40

Să determinăm expresia formei pătratice f în această bază. Matricea lui f în baza

neee ',,',' 21 K este matricea 'A de elemente

.,1,),,'(...),'(),'(

)...,'()','('

2211

2211

njieeceeceec

ecececeeea

jijjijij

jjjjjijiij

=ϕ++ϕ+ϕ=

+++ϕ=ϕ=

Dar, prin construcŃie 0),'( =ϕ ji ee pentru ij < , deci 0' =ija pentru ij < .

Din proprietatea de simetrie a formei biliniare ϕ rezultă că 0' =ija şi pentru

ij > . Deci 0' =ija pentru ji ≠ .

Dacă ij = , atunci

.,1,

),'(...),'(),'(

)...,'()','('

1

2211

2211

nic

eeceeceec

ecececeeea

i

iii

iiiiiiii

iiiiiiiiii

=∆

∆==

ϕ++ϕ+ϕ=

+++ϕ=ϕ=

−

În baza neeeB ',,','' 21 K= avem

2122

2

121

11

21

1,'...''

1'''')( n

n

nn

ii

i

in

jijiij xxxxxxaxf

∆

∆++

∆

∆+

∆=∑

∆

∆=∑= −

=

−

=

(am notat 10 =∆ ).

ObservaŃie. Metoda lui Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a

formei canonice (de exemplu în aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcŃii

reale), fără a fi interesaŃi şi de baza corespunzătoare.

Metoda are dezavantajul că presupune neanularea tuturor determinanŃilor

nii ,1, =∆ .

Signatura unei forme pătratice

DefiniŃie.

O formă pătratică R→nVf : se numeşte pozitiv semidefinită dacă ( ) 0≥xf ,

nVx∈∀ şi există nVy∈ , 0≠y pentru care 0)( =yf .

O formă pătratică R→nVf : se numeşte negativ semidefinită dacă ( ) 0≤xf ,

nVx∈∀ şi există nVy∈ , 0≠y pentru care 0)( =yf .


41

O formă pătratică R→nVf : se numeşte pozitiv definită dacă ( ) 0>xf ,

0−∈∀ nVx .

O formă pătratică R→nVf : se numeşte negativ definită dacă ( ) 0<xf ,

0−∈∀ nVx .

O formă pătratică R→nVf : se numeşte nedefinită dacă nVyx ∈∃ , astfel

încât ( ) 0>xf şi ( ) 0<yf .

Fie ( ) ∑==

n

iii xaxf

1

2 o formă canonică a formei pătratice R→nVf : .

Se numeşte signatura formei pătratice f tripletul de numere reale

( )dqp ,, , în care:

p este numărul de coeficienŃi din setul naaa ,,, 21 K strict pozitivi (p se

numeşte indicele pozitiv de inerŃie al lui f);

q este numărul de coeficienŃi din setul naaa ,,, 21 K strict negativi (q se

numeşte indicele negativ de inerŃie al lui f);

( )qpnd +−= (numărul de coeficienŃi nuli).

Teoremă (legea de inerŃie a lui Sylvester5). Signatura unei forme pătratice f

este aceeaşi în orice formă canonică a lui f.


1) Fie aplicaŃia RRR →×ϕ 33: definită prin

331221 322),( yxyxyxyx −+=ϕ ,

3321321 ),,(),,,( R∈== yyyyxxxx .

a) Să se arate că ϕ este o formă biliniară.

5 James Joseph Sylvester (1814 - 1897), matematician şi avocat englez

CAPITOLUL 2

42

b) Este forma biliniară ϕ simetrică?

SoluŃie.

a) Fie R∈βα, şi 3321321321 ),,(),,,(),,,( R∈=== zzzzyyyyxxxx .

Avem

),,(

),,(),,(

),,(),,(

332211

321321

321321

yxyxyx

yyyxxx

yyyxxxyx

β+αβ+αβ+α=

βββ+ααα=

β+α=β+α

şi

),,(),(

)322()322(

)(3)(2)(2),(

331221331221

333122211

zyzx

zyzyzyzxzxzx

zyxzyxzyxzyx

βϕ+αϕ=

−+β+−+α=

β+α−β+α+β+α=β+αϕ

deci ϕ este liniară în primul argument.

Analog se arată că

),(),(),( zxyxzyx βϕ+αϕ=β+αϕ ,

deci ϕ este liniară şi în al doilea argument.

Rezultă că ϕ este formă biliniară.

b) Deoarece

),,(322

322),(

331221

331221

xyxyxyxy

yxyxyxyx

ϕ=−+=

−+=ϕ

3321321 ),,(),,,( R∈==∀ yyyyxxxx , forma biliniară ϕ este simetrică.

2) Se consideră forma biliniară simetrică RRR →×ϕ 33: care are în raport cu

baza canonică din 3R expresia

,5566469),( 233213311221332211 yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx −−−−++++=ϕ

3321321 ),,(),,,( R∈== yyyyxxxx .

Să se scrie forma pătratică asociată formei biliniare simetrice ϕ .

SoluŃie.

Forma pătratică asociată formei biliniare simetrice ϕ este RR →3:f definită prin


43

),()( xxxf ϕ= , 3R∈∀x .

Avem

.21012469

5566469)(

32312123

22

21

23321331122123

22

21

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxf

−−+++=

−−−−++++=

3) Se consideră forma pătratică RR →3:f care are în raport cu baza canonică

din 3R expresia

,194982)( 2331

2221

21 xxxxxxxxf ++++=

3321 ),,( R∈= xxxx .

Să se scrie forma polară asociată formei pătratice f.

SoluŃie.

Forma polară asociată formei pătratice este RRR →×ϕ 33: definită prin

)]()()([2

1),( yfxfyxfyx −−+=ϕ , 3, R∈∀ yx .

Avem

).194982(

)194982(])(19))((4

)(9))((8)(2[2

1),(

2331

2221

21

2331

2221

21

2333311

2222211

211

yyyyyyy

xxxxxxxyxyxyx

yxyxyxyxyx

++++−

−++++−+++++

+++++++=ϕ

Efectuând calculele, obŃinem

33133122122111 19229442),( yxyxyxyxyxyxyxyx ++++++=ϕ .

4) Fie forma pătratică RR →3:f care are în raport cu baza canonică din 3R

expresia

( ) 33213221

23

22

21 ),,(,44543 R ∈=−+++= xxxxxxxxxxxxf .

Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gauss.

SoluŃie.

Avem

CAPITOLUL 2

44

( )( )

.453

8)23(

3

1

454]4)23[(3

1

4541293

145443

3223

22

221

3223

22

22

221

3223

2221

21

3223

2221

21

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxf

−+++=

−++−+=

−+++=

−+++=


==

+=

,

23

33

22

211

xyxy

xxy

obŃinem

.2

72

3

8

8

3

3

1

5423

8

8

3

3

1

53

32

9

64

8

3

3

1

543

8

3

1

453

8

3

1

23

2

3221

23

23

2

3221

2332

22

21

2332

22

21

3223

22

21

yyyy

yyyyy

yyyyy

yyyyy

yyyyyf

+

−+=

+

−

−+=

+

−+=

+

−+=

−++=


=

−=

=

33

322

11

23

8

yz

yyz

yz

obŃinem

23

22

21 2

7

8

3

3

1zzzf ++= .


expresia

323121 32)( xxxxxxxf ++= , 3321 ),,( R∈= xxxx .


SoluŃie. Cum 012 ≠a , se efectuează schimbarea de coordonate


45

=

−=

+=

33

212

211

yx

yyx

yyx

şi obŃinem

( )( ) ( ) ( ).5

32

323122

21

3213212121

yyyyyy

yyyyyyyyyyf

−+−=

−+++−+=

Se continuă ca în exemplul precedent.

Astfel,

.4

25

2

5

)5(

3222

23

2

31

322231

21

yyyyyy

yyyyyyf

−−−

+=

−−+=


=

=

+=

,

2

5

33

22

311

yz

yz

yyz

obŃinem

.62

1

4

25

4

1

2

1

4

25)(

4

25

23

2

3221

23

23

2

3221

2332

22

21

3223

22

21

zzzz

zzzzz

zzzzz

zzzzzf

−

+−=

−+

+−=

−+−=

−−−=


=

+=

=

,2

1

33

322

11

zu

zzu

zu

obŃinem pentru forma pătratică f forma canonică

CAPITOLUL 2

46

23

22

21 6uuuf −−= .


expresia

,44465)( 312123

22

21 xxxxxxxxf −−++= 3

321 ),,( R∈= xxxx .

Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Jacobi şi apoi

să se determine baza în raport cu care f are forma canonică respectivă.

SoluŃie. Matricea formei pătratice f relativ la baza canonică a spaŃiului 3R este

−

−

−−

=

402

062

225

A .

Avem

51 =∆ , 2662

252 =

−

−=∆ şi 80

402

062

225

3 =

−

−

−−

=∆ .

Forma canonică a formei pătratice f este

,'40

13'

26

5'

5

1

'80

26'

26

5'

5

1)(

23

22

21

23

22

21

xxx

xxxxf

++=

++=

unde

332211 '''''' exexexx ++= ,

iar ',','' 321 eeeB = este baza în care se realizează aceasta.

Conform teoriei

',','' 333232131322212121111 ecececeececeeceB ++=+===

iar coeficienŃii 333231222111 ,,,,, cccccc se determină astfel:

a. 11c se determină din condiŃia

1),'( 11 =ϕ ee .


47

b. 21c , 22c se determină din condiŃiile

=ϕ

=ϕ

1),'(

0),'(

22

12

ee

ee

c. 333231 ,, ccc se determină din condiŃiile

=ϕ

=ϕ

=ϕ

,1),'(

0),'(

0),'(

33

23

13

ee

ee

ee

unde ϕ este forma polară a foemi pătratice f.

Avem

5),(),(),'( 1111111111111111 ⋅==ϕ=ϕ=ϕ caceeceecee .

Deci, 15 11 =c , adică 5

111 =c ceea ce implică 11 5

1' ee = .

Avem

)2(5),(),(),(),'( 222112221121122212112 −⋅+⋅=ϕ+ϕ=+ϕ=ϕ cceeceeceececee

şi

6)2(),(),(),(),'( 222122222121222212122 ⋅+−⋅=ϕ+ϕ=+ϕ=ϕ cceeceeceececee .

Rezolvând sistemul

=+−

=−

162

025

2221

2221

cc

cc

obŃinem

26

5,

13

12221 == cc ,

deci

212 26

5

13

1' eee += .

Avem

CAPITOLUL 2

48

),2()2(5

),(),(),(

),(),'(

333231

133312321131

133323213113

−⋅+−⋅+⋅=

ϕ+ϕ+ϕ=

++ϕ=ϕ

ccc

eeceeceec

eecececee

06)2(

),(),(),(

),(),'(

333231

233322322131

233323213123

⋅+⋅+−⋅=

ϕ+ϕ+ϕ=

++ϕ=ϕ

ccc

eeceeceec

eecececee

şi

.40)2(

),(),(),(

),(),'(

333231

333332323131

333323213133

⋅+⋅+−⋅=

ϕ+ϕ+ϕ=

++ϕ=ϕ

ccc

eeceeceec

eecececee

Rezolvând sistemul

=+−

=+−

=−−

142

062

0225

3331

3231

333231

cc

cc

ccc

obŃinem

40

13,

20

1,

20

3333231 === ccc ,

deci

3213 40

13

20

1

20

3' eeee ++= .

În final obŃinem

++=+=== 321321211 40

13

20

1

20

3',

26

5

13

1',

5

1'' eeeeeeeeeB .


1. Fie aplicaŃia RRR →×ϕ 33: definită prin

233213311221),( yxyxyxyxyxyxyx +++++=ϕ ,

3321321 ),,(),,,( R∈== yyyyxxxx .

a) Să se arate că ϕ este o formă biliniară.


49

b) Este forma biliniară ϕ simetrică?

2. Se consideră forma pătratică RR →3:f care are în raport cu baza canonică

din 3R expresia

,2428)( 322123

22

21 xxxxxxxxf +−++=

3321 ),,( R∈= xxxx .

Să se scrie forma polară asociată formei pătratice f.

3. Fie forma pătratică RR →3:f care are în raport cu baza canonică din 3R

expresia

( ) 3321323121

23

22

21 ),,(,4342 R ∈=+−+−+= xxxxxxxxxxxxxxf .



expresia

323121 3)( xxxxxxxf ++= , 3321 ),,( R∈= xxxx .



expresia

,86242)( 32312123

22

21 xxxxxxxxxxf +−+−+= 3

321 ),,( R∈= xxxx .

Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Jacobi şi apoi

să se determine baza în raport cu care f are forma canonică respectivă.

6. Se consideră forma pătratică RR →3:f care are în raport cu baza canonică

din 3R expresia

,1612832)( 32312123

22

21 xxxxxxxxxxf +−+++= 3

321 ),,( R∈= xxxx .

Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gauss şi

metoda lui Jacobi şi apoi să se verifice legea de inerŃie a lui Sylvester.

CAPITOLUL 2

50

FUNCłII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARłIALE. DIFERENłIALE

51

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Analiza matematică este ramură a matematicii care se ocupă cu studiul

funcŃiilor, limitelor, derivatelor şi aplicaŃiilor acestora.

Analiza matematică are aplicaŃii profunde în studiul ecuaŃiilor diferenŃiale, în

teoria controlului optimal, studiul fenomenelor aleatoare, în utilizarea superioară a

tehncii de calcul etc.

Pasul hotărâtor în constituirea analizei matematice ca domeniu esenŃial de studiu

a fost făcut de către I. Newton1 şi G. W. Leibniz2.

Se poate afirma că Leibniz a avut ca scop elaborarea unor metode şi algoritmi

cât mai generali, în timp ce Newton era interesat mai ales în a rezolva probleme legate

de fizică (probleme de mecanică şi de optică).

Aceste două moduri de a privi matematica au coexistat dintotdeauna, au ambele

justificări serioase şi corespund unor temperamente ştiinŃifice diferite, dar la fel de

necesare progresului.

Marele matematician elveŃian L. Euler3 a introdus numărul e, a precizat noŃiunea

de funcŃie. Studiul matematic al mişcării coardei vibrante şi mai târziu studiul

propagării căldurii (datorat lui J. B. J. Fourier4) au condus la considerarea funcŃiilor

arbitrare. P. Lejeune-Dirichlet5 a construit în 1829 exemplul său celebru de funcŃie

discontinuă în orice punct.

Matematicienilor A. L. Cauchy6 şi B. Bolzano7 le datorăm definirea modernă a

conceptului de continuitate (în limbajul δ−ε ), iar lui K. Weierstrass8 conceptul de

continuitate uniformă.

1 Isaac Newton (1642 – 1727), matematician, mecanician, fizician şi astronom englez 2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), matematician şi filosof german 3 Leonhard Euler (1707 – 1783), matematician, mecanician şi astronom elveŃian 4 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), matematician şi fizician francez 5 Johann Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805 – 1859), matematician german 6 Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857), matematician şi mecanician francez 7 Bernhard Bolzano (1781 – 1848), matematician, filosof şi socialist utopic ceh 8 Karl Weierstrass (1815 – 1897), matematician german

CAPITOLUL 3

52

Abia după ce matematicienii K. Weierstrass, R. Dedekind9, G. Cantor10 au

definit conceptul de număr real şi după ce Cantor a creat teoria mulŃimilor se poate

vorbi de fundamentarea riguroasă a analizei matematice.

Metodele analizei matematice s-au dovedit de la început extrem de puternice şi

în alte domenii ale ştiinŃei. Astfel, K. F. Gauss a creat geometria diferenŃială, J. L.

Lagrange11 şi P. S. Laplace12 au creat mecanica analitică, iar B. Riemann13, D. Hilbert14

şi H. Lebesgue15 au creat analiza funcŃională.

9 Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916), matematician german 10 Georg Cantor (1845 – 1918), matematician german 11 Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813), matematician şi mecanician francez 12 Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), matematician, astronom şi fizician francez 13 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866), matematician şi fizician german 14 David Hilbert (1862 – 1943), matematician german 15 Henri Lebesgue (1875 – 1941), matematician francez


53

CAPITOLUL 3




analiza matematică.

Cuvinte cheie: derivate parŃiale, funcŃie omogenă de grad k, funcŃie diferenŃiabilă,

diferenŃiala unei funcŃii, punct de extrem local, punct de extrem condiŃionat

3.1. Topologie în nR

DefiniŃie. Fie ),...,,( 21 naaaa = un punct din spaŃiul nR şi 0>r un

număr real. Se numeşte sferă deschisă, cu centrul în a şi rază r, mulŃimea

)(...)()(|),...,,()( 2222

21121 raxaxaxRxxxaS nn

nnr <−++−+−∈= .

DefiniŃie. Se numeşte vecinătate a unui punct na R∈ orice mulŃime

nV R⊂ care conŃine o sferă deschisă )(aSr cu centrul în a.

NotaŃie. MulŃimea vecinătăŃilor unui punct na R∈ se notează cu )(aV .

DefiniŃie. O mulŃime nA R⊂ se numeşte mulŃime deschisă fie dacă 0/=A ,

fie dacă A este vecinătate pentru orice punct al său.

DefiniŃie. Fie nA R⊂ şi un punct Aa∈ . Se spune că punctul a este punct

interior mulŃimii A dacă A este vecinătate pentru a, adică dacă

0>∃r astfel încât AaSr ⊂)( .

DefiniŃie. MulŃimea punctelor interioare mulŃimii A se numeşte interiorul

lui A şi se notează cu IntA sau o

A .

CAPITOLUL 3

54

ObservaŃie. Evident, AA ⊂o

.

3.2. Derivate parŃiale

DefiniŃie. Fie ),(,: 2 yxffDf =→⊂ R R o funcŃie reală de două

variabile reale şi ( ) Dba ∈, un punct interior mulŃimii D.

1. a) Se spune că funcŃia f are derivată parŃială în raport cu variabila x în

punctul (a,b), dacă există

ax

bafbxf

ax −

−

→

),(),(lim .

Limita însăşi se numeşte derivata parŃială în raport cu x a funcŃiei f în punctul

(a,b) şi se notează ),(' bafx sau ),( bax

f

∂∂

.

b) Se spune că funcŃia f este derivabilă parŃial în raport cu variabila x în

punctul (a,b) dacă R∈∂∂

),( bax

f.

2. a) Se spune că funcŃia f are derivată parŃială în raport cu variabila y în

punctul (a,b), dacă există

by

bafyaf

by −

−

→

),(),(lim .

Limita însăşi se numeşte derivata parŃială în raport cu y a funcŃiei f în punctul

(a,b) şi se notează ),(' baf y sau ),( bay

f

∂∂

.

b) Se spune că funcŃia f este derivabilă parŃial în raport cu variabila y în

punctul (a,b) dacă R∈∂∂

),( bay

f.

DefiniŃie.

1. Se spune că f este derivabilă parŃial în raport cu x pe o mulŃime DA ⊂

dacă f este derivabilă parŃial în raport cu x în orice punct din A.


55

2. Se spune că f este derivabilă parŃial în raport cu y pe o mulŃime DA ⊂

dacă f este derivabilă parŃial în raport cu y în orice punct din A.

3. Se spune că f este derivabilă parŃial pe o mulŃime DA ⊂ dacă este

derivabilă parŃial în raport cu variabilele x şi y în orice punct din A.

Dacă funcŃia RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = este derivabilă parŃial pe o

mulŃime DA ⊂ , se definesc derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei ),( yxf ca

fiind funcŃiile

R→∂∂

Ax

f: , ),(),( yx

x

fyx

∂∂

→ şi R→∂∂

Ay

f: , ),(),( yx

y

fyx

∂∂

→ .

Practic, ),( yxx

f

∂∂

se calculează considerând y constant şi derivând f ca funcŃie de

x, iar ),( yxy

f

∂∂

se calculează considerând x constant şi derivând f ca funcŃie de y.

Regulile de calcul ale derivatelor parŃiale pentru suma, produsul, câtul şi

compunerea funcŃiilor de mai multe variabile sunt aceleaşi ca pentru funcŃiile de o

singură variabilă.

ObservaŃie. În mod analog se definesc derivatele parŃiale ale unei funcŃii reale

de n variabile reale.

DefiniŃie. Fie ),...,,(,: 21 nn xxxffDf =→⊂ R R o funcŃie reală de n

variabile reale şi Daaa n ∈),...,,( 21 un punct interior mulŃimii D.

1. Se spune că funcŃia f are derivată parŃială în raport cu variabila kx în

punctul ),...,,( 21 naaa dacă există

kk

nkkknkkk

ax ax

aaaaaafaaxaaaf

kk −

− +−+−

→

),...,,,,...,,(),...,,,,...,,(lim 11211121 .

Limita însăşi se numeşte derivata parŃială în raport cu kx a funcŃiei

),...,,( 21 nxxxf în punctul ),...,,( 21 naaa şi se notează ),...,( 1'

nx aafk

sau

),...,( 1 nk

aax

f

∂∂

.

CAPITOLUL 3

56

2. Se spune că funcŃia f este derivabilă parŃial în raport cu variabila kx în

punctul ),...,,( 21 naaa dacă R∈∂∂

),...,( 1 nk

aax

f .

DefiniŃie.

1. Se spune că funcŃia f este derivabilă parŃial în raport cu variabila kx pe

o mulŃime DA ⊂ dacă f este derivabilă parŃial în raport cu kx în orice punct din A.

2. Se spune că f este derivabilă parŃial pe o mulŃime ⊂A D dacă este

derivabilă parŃial în raport cu fiecare variabilă nxxx ,...,, 21 în orice punct din A.

Dacă funcŃia RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = este derivabilă parŃial pe

o mulŃime DA ⊂ , se definesc derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei f ca fiind

funcŃiile

).,...,,(),...,,(,:

...............................................................................

),...,,(),...,,(,:

),...,,(),...,,(,:

2121

212

212

211

211

nn

nn

nn

nn

xxxx

fxxxA

x

f

xxxx

fxxxA

x

f

xxxx

fxxxA

x

f

∂∂

→→∂∂

∂∂

→→∂∂

∂∂

→→∂∂

R

R

R

FuncŃii omogene

DefiniŃie. Se spune că funcŃia RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = este

omogenă de grad k, dacă are proprietatea că fiind definită pentru ),...,,( 21 nxxx este

definită şi pentru ),...,,( 21 ntxtxtx cu 0>t şi

),...,,(),...,,( 2121 nk

n xxxfttxtxtxf = .

Teorema lui Euler 16. Dacă funcŃia RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = ,

omogenă de grad k este derivabilă parŃial pe D, atunci

16 Leonhard Euler (1707 – 1783), matematician, mecanician şi astronom elveŃian


57

),...,,(),...,,(

...),...,,(

),...,,(

2121212

2211

1 nnn

nnn xxxkfxxxx

fxxxx

x

fxxxx

x

fx =

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂.

Derivate parŃiale de ordin superior

Fie D o mulŃime din 2R . Pentru simplificarea expunerii vom presupune că

mulŃimea D este deschisă, adică este formată numai din puncte interioare.

DefiniŃie. Fie ),(,: 2 yxffDf =→⊂ R R o funcŃie derivabilă parŃial pe

D şi Dba ∈),( .

În acest caz sunt definite derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei f:

).,(),(,:

),(),(,:

yxy

fyxD

y

f

yxx

fyxD

x

f

∂∂

→→∂∂

∂∂

→→∂∂

R

R

1. Dacă există derivata parŃială în (a,b) în raport cu x a funcŃiei x

f

∂∂

, atunci

aceasta se va numi derivată parŃială de ordin doi a funcŃiei f în punctul (a,b) şi se va

nota prin ),(2

2ba

x

f

∂

∂ sau ),("

2 bafx

.

Dacă există derivata parŃială în (a,b) în raport cu y a funcŃiei x

f

∂∂

, atunci

aceasta se va numi derivată parŃială mixtă de ordin doi a funcŃiei f în punctul (a,b) şi se

va nota prin ),(2

baxy

f

∂∂∂

sau ),(" baf xy .

Dacă există derivata parŃială în (a,b) în raport cu x a funcŃiei y

f

∂∂

, atunci

aceasta se va numi derivată parŃială mixtă de ordin doi a funcŃiei f în punctul (a,b) şi se

va nota prin ),(2

bayx

f

∂∂∂

sau ),(" baf yx .

CAPITOLUL 3

58

Dacă există derivata parŃială în (a,b) în raport cu y a funcŃiei y

f

∂∂

, atunci

aceasta se va numi derivată parŃială de ordin doi a funcŃiei f în punctul (a,b) şi se va

nota prin ),(2

2ba

y

f

∂

∂ sau ),("

2 bafy

.

2. Dacă funcŃiile RR →⊂∂∂

∂∂ 2:, D

y

f

x

f sunt derivabile parŃial pe D, se

definesc derivatele parŃiale de ordinul doi ale funcŃiei f ca fiind funcŃiile

),(),(,:

),(),(,:

),(),(,:

),(),(,:

2

2

2

2

22

22

2

2

2

2

yxy

fyxD

y

f

yxxy

fyxD

xy

f

yxyx

fyxD

yx

f

yxx

fyxD

x

f

∂

∂→→

∂

∂

∂∂∂

→→∂∂

∂

∂∂∂

→→∂∂

∂∂

∂→→

∂

∂

R

R

R

R

ObservaŃie. În general, derivatele parŃiale mixte de ordin doi nu sunt egale.

Următoarea teoremă stabileşte condiŃii suficiente pentru egalitatea derivatelor

parŃiale mixte de ordinul doi într-un punct.

Teoremă (Criteriul lui Schwarz17). Fie D o mulŃime deschisă din 2R şi

RR →⊂ 2: Df . Dacă funcŃia f are derivatele parŃiale mixte de ordinul doi

xy

f

yx

f

∂∂∂

∂∂∂ 22

, într-o vecinătate a unui punct Dba ∈),( finite şi dacă funcŃiile

xy

f

yx

f

∂∂∂

∂∂∂ 22

, sunt continue18 în (a,b), atunci

17 Hermann Schwarz (1843 – 1921), matematician german 18 DefiniŃie. Fie funcŃia RR →⊂ nDf : , ),...,2,1( nxxxff = şi un punct Dnaaaa ∈= ),...,2,1( .

Se spune că funcŃia f este continuă în punctul a dacă pentru orice vecinătate U a lui )(af , există o

vecinătate V a lui a astfel încât oricare ar fi DVx ∩∈ să avem Uxf ∈)( .

Se spune că funcŃia RR →⊂ nDf : , ),...,2,1( nxxxff = este continuă pe o mulŃime DA ⊂

dacă este continuă în orice punct din A.


59

),(),(22

baxy

fba

yx

f

∂∂∂

=∂∂

∂ .

ObservaŃie. În mod analog se definesc derivatele parŃiale de ordinul doi ale

unei funcŃii reale de n variabile reale.

Fie D o mulŃime din nR . Pentru simplificarea expunerii vom presupune că

mulŃimea D este deschisă, adică este formată numai din puncte interioare.

DefiniŃie. Fie RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = o funcŃie derivabilă

parŃial pe D şi Daaa n ∈),...,,( 21 .

În acest caz sunt definite derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei f:

R→∂∂

Dx

f

k: , ),...,,(),...,,( 2121 n

kn xxx

x

fxxx

∂∂

→ , nk ,1= .

1. Dacă există derivata parŃială în ),...,,( 21 naaa în raport cu kx a funcŃiei

kx

f

∂∂

, atunci aceasta se va numi derivată parŃială de ordin doi a funcŃiei f în punctul

),...,,( 21 naaa şi se va nota prin ( )n

k

aax

f,...,12

2

∂

∂ sau ( )nxaaf

k,...,1

"2 .

Dacă există derivata parŃială în ),...,,( 21 naaa în raport cu lx a funcŃiei kx

f

∂∂

)( k≠l , atunci aceasta se va numi derivată parŃială mixtă de ordin doi a funcŃiei f în

punctul ),...,,( 21 naaa şi se va nota prin ( )nk

aaxx

f,...,1

2

∂∂∂

l

sau ( )nxx aafk

,...,1"

l

( k≠l ).

2. Dacă funcŃiile RR →⊂∂∂ n

kD

x

f: , nk ,1= sunt derivabile parŃial pe D, se

definesc derivatele parŃiale de ordinul doi ale funcŃiei f ca fiind funcŃiile

),...,,(),...,,(,: 212

2

212

2

n

k

n

k

xxxx

fxxxD

x

f

∂

∂→→

∂

∂R , nk ,1= ,

),...,,(),...,,(,: 21

2

21

2

nk

nk

xxxxx

fxxxD

xx

f

∂∂∂

→→∂∂

∂

ll

R , nk ,1= , k≠l .

ObservaŃie. Derivatele parŃiale de ordin trei, patru, ş.a.m.d. se definesc în

acelaşi mod ca şi derivatele parŃiale de ordin doi.

CAPITOLUL 3

60

Derivate parŃiale pentru funcŃii compuse

Fie A şi B două mulŃimi din 2R . Pentru simplificarea expunerii vom presupune

că A şi B sunt deschise, adică sunt formate numai din puncte interioare.

Fie ),(),,(,:, 2 yxvvyxuuAvu ==→⊂ R R două funcŃii reale de două

variabile reale astfel ca AyxByxvyxu ∈∀∈ ),(,)),(),,(( şi R→Bf : , ),( vuff = o

funcŃie reală definită pe B.

Putem considera funcŃia compusă

)),(),,((),( yxvyxufyxF =

(funcŃie reală definită pentru Ayx ∈),( ).

Teoremă. Dacă funcŃiile u şi v au derivate parŃiale continue pe A şi funcŃia

f are derivate parŃiale continue pe B, atunci funcŃia compusă

)),(),,((),( yxvyxufyxF = are derivate parŃiale continue pe A date de formulele:

).,()),(),,((),()),(),,((),(

),()),(),,((),()),(),,((),(

yxy

vyxvyxu

v

fyx

y

uyxvyxu

u

fyx

y

F

yxx

vyxvyxu

v

fyx

x

uyxvyxu

u

fyx

x

F

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

Aceste formule se scriu într-o formă incompletă, dar mai uşor de reŃinut astfel:

.y

v

v

f

y

u

u

f

y

Fx

v

v

f

x

u

u

f

x

F

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

ObservaŃie. Teorema precedentă rămâne adevărată pentru funcŃii reale de n

variabile reale.

Fie A şi B două mulŃimi din nR . Pentru simplificarea expunerii vom presupune


Fie RR →⊂ nn Auuu :,...,, 21 , ...),,...,,(),,...,,( 21222111 nn xxxuuxxxuu == ,

),...,,( 21 nnn xxxuu = n funcŃii reale de n variabile reale astfel ca

),...,,(( 211 nxxxu , Bxxxuxxxu nnn ∈)),...,,(...,),,...,,( 21212 , Axxx n ∈∀ ),...,,( 21

şi R→Bf : , ),...,,( 21 nuuuff = o funcŃie reală definită pe B.


61


)),...,,(),...,,...,,(),,...,,((),...,,( 2121221121 nnnnn xxxuxxxuxxxufxxxF =

(funcŃie reală definită pentru Axxx n ∈),...,,( 21 ).

Teoremă. Dacă funcŃiile 21, uu , ..., nu admit derivate parŃiale continue pe

A şi funcŃia f admite derivate parŃiale continue pe B, atunci funcŃia compusă

)),...,,(),...,,...,,(),,...,,((),...,,( 2121221121 nnnnn xxxuxxxuxxxufxxxF =

are derivate parŃiale continue pe A date de formulele:

M

∑∂

∂

∂∂

=

∂∂

∑∂

∂

∂∂

=

∂∂

=

=

n

in

innn

i

n

n

in

innn

i

n

xxxx

uxxxuxxxuxxxu

u

f

xxxx

F

xxxx

uxxxuxxxuxxxu

u

f

xxxx

F

121

2212121

212

121

1212121

211

),...,,()),...,,(),...,,...,,(),,...,,((

),...,,(

),...,,()),...,,(),...,,...,,(),,...,,((

),...,,(

∑∂

∂

∂

∂=

∂∂

=

n

in

n

innn

i

nn

xxxx

uxxxuxxxuxxxu

u

f

xxxx

F

121212121

21

).,...,,()),...,,(),...,,...,,(),,...,,((

),...,,(


....

...

...

2

2

1

11

22

2

22

1

11 22

11

2

21

1

11 11

n

n

nnn

n

i n

i

in

n

n

n

i

i

i

n

n

n

i

i

i

x

u

u

f

x

u

u

f

x

u

u

f

x

u

u

f

x

F

x

u

u

f

x

u

u

f

x

u

u

f

x

u

u

f

x

F

x

u

u

f

x

u

u

f

x

u

u

f

x

u

u

f

x

F

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∑

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∑

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∑

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

=

=

=

M

Derivate parŃiale de ordin doi ale funcŃiilor compuse Fie A şi B două mulŃimi din 2R . Pentru simplificarea expunerii vom presupune


CAPITOLUL 3

62







Teoremă. Dacă funcŃiile u şi v admit derivate parŃiale de ordinul doi

continue pe A şi funcŃia f admite derivate parŃiale de ordinul doi continue pe B, atunci

funcŃia compusă )),(),,((),( yxvyxufyxF = admite derivate parŃiale de ordinul doi

continue pe A date de formulele:

),,()),(),,((

),()),(),,((),()),(),,((

),(),()),(),,((2),()),(),,((),(

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

yxx

vyxvyxu

v

f

yxx

uyxvyxu

u

fyx

x

vyxvyxu

v

f

yxx

vyx

x

uyxvyxu

vu

fyx

x

uyxvyxu

u

fyx

x

F

∂

∂∂∂

+

+∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂+

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂

∂

),,()),(),,((

),()),(),,((),()),(),,((

),(),()),(),,((2),()),(),,((),(

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

yxy

vyxvyxu

v

f

yxy

uyxvyxu

u

fyx

y

vyxvyxu

v

f

yxy

vyx

y

uyxvyxu

vu

fyx

y

uyxvyxu

u

fyx

y

F

∂

∂∂∂

+

+∂

∂∂

∂+

∂∂

∂

∂+

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂

∂

),,()),(),,((

),()),(),,((

),(),()),(),,((

),(),(),(),()),(),,((

),(),()),(),,((),(

2

2

2

2

2

2

22

yxyx

vyxvyxu

v

f

yxyx

uyxvyxu

u

f

yxy

vyx

x

vyxvyxu

v

f

yxy

uyx

x

vyx

y

vyx

x

uyxvyxu

vu

f

yxy

uyx

x

uyxvyxu

u

fyx

yx

F

∂∂∂

∂∂

+

+∂∂

∂∂∂

+

+∂∂

∂∂

∂

∂+

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+

+∂∂

∂∂

∂

∂=

∂∂∂


63

).,()),(),,((

),()),(),,((

),(),()),(),,((

),(),(),(),()),(),,((

),(),()),(),,((),(

2

2

2

2

2

2

22

yxxy

vyxvyxu

v

f

yxxy

uyxvyxu

u

f

yxx

vyx

y

vyxvyxu

v

f

yxx

uyx

y

vyx

x

vyx

y

uyxvyxu

vu

f

yxx

uyx

y

uyxvyxu

u

fyx

xy

F

∂∂∂

∂∂

+

+∂∂

∂∂∂

+

+∂∂

∂∂

∂

∂+

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+

+∂∂

∂∂

∂

∂=

∂∂∂


.

2

2

22

2

22

2

22

22

2

22

2

22

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

xy

v

v

f

xy

u

u

f

x

v

y

v

v

f

x

u

y

v

x

v

y

u

vu

f

x

u

y

u

u

f

xy

F

yx

v

v

f

yx

u

u

f

y

v

x

v

v

f

y

u

x

v

y

v

x

u

vu

f

y

u

x

u

u

f

yx

F

y

v

v

f

y

u

u

f

y

v

v

f

y

v

y

u

vu

f

y

u

u

f

y

F

x

v

v

f

x

u

u

f

x

v

v

f

x

v

x

u

vu

f

x

u

u

f

x

F

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂=

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂=

∂∂∂

∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂

∂

Într-adevăr,

.22

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

x

v

v

f

x

u

u

f

x

v

v

f

x

v

x

u

vu

f

x

u

u

f

x

v

v

f

x

u

x

v

v

f

x

u

vu

f

x

u

u

f

x

u

x

v

vu

f

x

u

u

f

x

v

v

f

x

v

v

f

xx

u

u

f

x

u

u

f

xx

v

v

f

x

u

u

f

xx

F

xx

F

∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂

∂=

∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂

Analog, se calculează şi celelalte trei.

3.3. DiferenŃiale

DiferenŃiabilitatea funcŃiilor de mai multe variabile

Fie RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = o funcŃie reală de două variabile reale şi

Dba ∈),( un punct interior mulŃimii D.

CAPITOLUL 3

64

DefiniŃie. Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă în punctul (a,b) dacă

există două numere reale 21, λλ şi o funcŃie )(: 2 x,y,D ω=ω→⊂ω RR continuă în

punctul (a,b) şi nulă în acest punct

0),(),(lim =ω=ω

→→

bayx

byax

,

astfel încât pentru orice Dyx ∈),( să avem

2221 )()(),()()(),(),( byaxyxbyaxbafyxf −+−ω+−λ+−λ=− .

Se spune că ),( yxf este diferenŃiabilă pe o mulŃime DA ⊂ dacă este

diferenŃiabilă în orice punct din A.

Teoremă. Dacă funcŃia f este diferenŃiabilă în punctul (a,b), atunci ea are

derivate parŃiale în (a,b) şi

.),(

,),(

2

1

λ=∂∂

λ=∂∂

bay

f

bax

f

ObservaŃie. Reciproca teoremei nu este în general adevărată. Există funcŃii

care au derivate parŃiale, dar care nu sunt diferenŃiabile.

Dacă funcŃia f este diferenŃiabilă în punctul (a,b), atunci egalitatea de definiŃie a

diferenŃiabilităŃii se scrie astfel

22 )()(),())(,())(,(),(),( byaxyxbybay

faxba

x

fbafyxf −+−ω+−

∂∂

+−∂∂

=−

DiferenŃa x – a se numeşte creşterea primei variabile de la a la x, iar diferenŃa

y – b se numeşte creşterea celei de a doua variabile de la b la y.

DiferenŃa ),(),( bafyxf − se numeşte creşterea funcŃiei corespunzătoare

creşterilor x – a şi y – b ale argumentelor.

Deoarece funcŃia ω este continuă în punctul (a,b) şi nulă în acest punct, are loc

următoarea relaŃie de aproximare

))(,())(,(),(),( bybay

faxba

x

fbafyxf −

∂∂

+−∂∂

≈− .


65

DefiniŃie. Fie funcŃia RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = diferenŃiabilă în punctul

),( ba . FuncŃia liniară RR →2:T definită prin

( ) 2121 ),(),(, hbay

fhba

x

fhhT

∂∂

+∂∂

=

se numeşte diferenŃiala funcŃiei f în punctul (a,b) şi se notează ),( badf

( ) 2121 ),(),(,),( hbay

fhba

x

fhhbadf

∂∂

+∂∂

= .

Considerăm cazul particular al proiecŃiilor RR →21 :P , xyxP =),(1 şi

RR →22 :P , yyxP =),(2 .

Avem

1211 ),)(,( hhhbadP =

şi

2212 ),)(,( hhhbadP = .

Pe scurt

121 ),( hhhdx =

şi

221 ),( hhhdy = .

Atunci putem scrie

dybay

fdxba

x

fbadf ),(),(),(

∂∂

+∂∂

= .

Dacă funcŃia f este diferenŃiabilă pe o mulŃime DA ⊂ scriem

dyy

fdx

x

fdf

∂∂

+∂∂

=

pe A.

ObservaŃie. În mod analog se defineşte diferenŃiabilitatea unei funcŃii reale de

n variabile reale. Fie ),...,,(,: 21 nn xxxffDf =→⊂ RR o funcŃie reală de n

variabile reale şi Daaa n ∈),...,,( 21 un punct interior mulŃimii D.

CAPITOLUL 3

66

Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă în punctul ),...,,( 21 naaa dacă există n

numere reale nλλλ ,...,, 21 şi o funcŃie RR →⊂ω nD: continuă în punctul

),...,,( 21 naaa şi nulă în acest punct

0),...,,(),...,,(lim 2121

...2211

=ω=ω

→

→→

nn

ax

axax

aaaxxx

nn

,

astfel încât pentru orice Dxxx n ∈),...,,( 21 să avem

.)(...)()(),...,,(

)(...)()(),...,,(),...,,(

2222

21121

2221112121

nnn

nnnnn

axaxaxxxx

axaxaxaaafxxxf

−++−+−ω+

+−λ++−λ+−λ=−

Se spune că f este diferenŃiabilă pe o mulŃime DA ⊂ dacă este diferenŃiabilă în

orice punct din A.

Teoremă. Dacă funcŃia f este diferenŃiabilă în punctul ),...,,( 21 naaa ,

atunci ea are derivate parŃiale în ),...,,( 21 naaa şi

.),...,,(

,),...,,(

,),...,,(

21

2212

1211

nnn

n

n

aaax

f

aaax

f

aaax

f

λ=∂∂

λ=∂∂

λ=∂∂

M

Dacă funcŃia f este diferenŃiabilă în punctul ),...,,( 21 naaa atunci egalitatea de

definiŃie a diferenŃiabilităŃii se scrie astfel

.)(...)()(),...,,(

))(,...,,(

...))(,...,,(

))(,...,,(),...,,(),...,,(

2222

21121

21

22212

11211

2121

nnn

nnnn

n

nnn

axaxaxxxx

axaaax

f

axaaax

f

axaaax

faaafxxxf

−++−+−ω+

+−∂∂

+

++−∂∂

+

+−∂∂

=−


67

Deoarece funcŃia ω este continuă în punctul ),...,,( 21 naaa şi nulă în acest

punct, are loc următoarea relaŃie de aproximare

).)(,...,,(

...))(,...,,(

))(,...,,(),...,,(),...,,(

21

22212

11211

2121

nnnn

n

nnn

axaaax

f

axaaax

f

axaaax

faaafxxxf

−∂

∂+

++−∂

∂+

+−∂

∂≈−

DefiniŃie. Fie funcŃia ),...,,(,: 21 n

n xxxffDf =→⊂ RR diferenŃiabilă în

punctul ),...,,( 21 naaa .

FuncŃia liniară RR: →nT definită prin

nnn

nnn

haaax

f

haaax

fhaaa

x

fhhhT

),...,,(

...),...,,(),...,,(),...,,(

21

2212

1211

21

∂∂

+

++∂∂

+∂∂

=

se numeşte diferenŃiala funcŃiei f în punctul ),...,,( 21 naaa şi se notează

),...,,( 21 naaadf .

Considerăm cazul particular al proiecŃiilor

.),...,,(,:

,),...,,(,:

,),...,,(,:

21

22122

12111

nnnn

n

nn

nn

xxxxPP

xxxxPP

xxxxPP

=→

=→

=→

RR

RR

RR

M

Avem

.),...,,)(,...,,(

,),...,,)(,...,,(

,),...,,)(,...,,(

2121

221212

121211

nnnn

nn

nn

hhhhaaadP

hhhhaaadP

hhhhaaadP

=

=

=

M

Pe scurt

.),...,,(

,),...,,(

,),...,,(

21

2212

1211

nnn

n

n

hhhhdx

hhhhdx

hhhhdx

=

=

=

M

CAPITOLUL 3

68

Atunci putem scrie

.),...,,(...

),...,,(

),...,,(),...,,(

21

2212

1211

21

nnn

n

nn

dxaaax

f

dxaaax

f

dxaaax

faaadf

∂∂

++

+∂∂

+

+∂∂

=

Dacă funcŃia f este diferenŃiabilă pe o mulŃime DA ⊂ scriem

nn

dxx

fdx

x

fdx

x

fdf

∂∂

++∂∂

+∂∂

= ...22

11

pe A.

DiferenŃiale de ordin superior

Fie RR →⊂ 2: Df , f = f(x,y) o funcŃie reală de două variabile reale şi

Dba ∈),( un punct interior mulŃimii D.

DefiniŃie. Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă de două ori în punctul

),( ba

dacă derivatele parŃiale de ordinul întâi ale lui f

∂∂

∂∂

y

f

x

f, există într-o

vecinătate a punctului ),( ba şi sunt diferenŃiabile în ),( ba .

Se spune că f este diferenŃiabilă de două ori pe o mulŃime DA ⊂ dacă este

diferenŃiabilă de două ori în orice punct din A.

Dacă f este diferenŃiabilă de două ori în ),( ba , atunci

),(),(22

baxy

fba

yx

f

∂∂∂

=∂∂

∂.

DefiniŃie. Fie RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = diferenŃiabilă de două ori în

punctul ),( ba . Forma pătratică

RR →22 :),( bafd definită prin

222

2

21

2212

2

212 ),(),(2),(),)(,( hba

y

fhhba

yx

fhba

x

fhhbafd

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂=

se numeşte diferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei f în punctul ),( ba .


69

Formal putem scrie

),(),)(,(2

21212 bafh

yh

xhhbafd

∂∂

+∂∂

= ,

unde exponentul 2 înseamnă că se ridică – formal – suma din paranteză la pătrat şi apoi

se înmulŃeşte – formal – cu ),( baf .

Dacă se Ńine seama de expresiile diferenŃialelor dx şi dy , egalitatea se mai sus

devine

),(),(2

2 bafdyy

dxx

bafd

∂∂

+∂∂

= .

DefiniŃie. Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă de n ori în punctul (a,b)

dacă toate derivatele parŃiale de ordinul n – 1 ale lui f există într-o vecinătate a

punctului (a,b) şi sunt diferenŃiabile în (a,b) .

Se spune că f este diferenŃiabilă de n ori pe o mulŃime DA ⊂ dacă este

diferenŃiabilă de n ori în orice punct din A.

DiferenŃiala de ordinul n a funcŃiei f în punctul (a,b) se notează ),( bafd n .

Formal

),(),( bafdyy

dxx

bafdn

n

∂∂

+∂∂

= ,

unde exponentul n înseamnă că se dezvoltă formal suma din paranteză după regula

binomului lui Newton şi apoi se înmulŃeşte formal cu f(a,b).

Fie RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = o funcŃie reală de n variabile reale şi

Daaa n ∈),...,,( 21 un punct interior mulŃimii D.

DefiniŃie. Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă de două ori în punctul

),...,,( 21 naaa dacă derivatele parŃiale de ordinul întâi ale lui f

∂∂

∂∂

∂∂

nx

f

x

f

x

f,...,,

21

există într-o vecinătate a punctului ),...,,( 21 naaa şi sunt diferenŃiabile în

),...,,( 21 naaa .

Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă de două ori pe o mulŃime DA ⊂ dacă

este diferenŃiabilă de două ori în orice punct din A.

CAPITOLUL 3

70

ObservaŃie. Dacă f este diferenŃiabilă de două ori în punctul ),...,,( 21 naaa ,

atunci

),...,,(),...,,( 21

2

21

2

nij

nji

aaaxx

faaa

xx

f

∂∂∂

=∂∂

∂.

DefiniŃie. Fie RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = diferenŃiabilă de

două ori în punctul ),...,,( 21 naaa . Forma pătratică

RR →nnaaafd :),...,,( 21

2

definită prin ∑ ∑∂∂

∂=

= =

n

i

n

jjin

jinn hhaaa

xx

fhhhaaafd

1 121

2

21212 ),...,,(),...,,)(,...,,( se

numeşte diferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei f în punctul ),...,,( 21 naaa .

Formal putem scrie

),...,,(...),...,,)(,...,,( 21

2

22

11

21212

nnn

nn aaafhx

hx

hx

hhhaaafd

∂∂

++∂∂

+∂∂

=

unde exponentul 2 înseamnă că se ridică formal suma din paranteză la pătrat şi apoi se

înmulŃeşte – formal – cu ),...,,( 21 naaaf .

Dacă se Ńine seama de expresiile diferenŃialelor ndxdxdx ,...,, 21 , egalitatea de

mai sus devine

),...,,(...),...,,( 21

2

22

11

212

nnn

n aaafdxx

dxx

dxx

aaafd

∂∂

++∂∂

+∂∂

= .

DefiniŃie. Se spune că funcŃia f este diferenŃiabilă de n ori în punctul

),...,,( 21 naaa dacă toate derivatele parŃiale de ordinul n – 1 ale lui f există într-o

vecinătate a punctului ),...,,( 21 naaa şi sunt diferenŃiabile în ),...,,( 21 naaa .

Se spune că f este diferenŃiabilă de n ori pe o mulŃime DA ⊂ dacă este

diferenŃiabilă de n ori în orice punct din A.

DiferenŃiala de ordinul n a funcŃiei f în punctul ),...,,( 21 naaa se notează

),...,,( 21 nn aaafd .

Formal,

),...,,(...),...,,( 2122

11

21 n

n

nn

nn aaafdx

xdx

xdx

xaaafd

∂∂

++∂∂

+∂∂

=

unde exponentul n înseamnă că se dezvoltă formal suma din paranteză şi apoi se

înmulŃeşte formal cu ),...,,( 21 naaaf .


71

DiferenŃiala funcŃiilor compuse

Fie A şi B două mulŃimi din 2R . Pentru simplificarea expunerii vom presupune








Teoremă. Dacă funcŃiile u şi v sunt diferenŃiabile pe A şi funcŃia f este

diferenŃiabilă pe B, atunci funcŃia compusă F(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)) este diferenŃiabilă

pe A.

Avem dyy

Fdx

x

FdF

∂

∂+

∂

∂= . Dar

x

v

v

f

x

u

u

f

x

F

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

şi y

v

v

f

y

u

u

f

y

F

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

.

Înlocuind, obŃinem

.dfdvv

fdu

u

f

dyy

vdx

x

v

v

fdy

y

udx

x

u

u

f

dyy

v

v

f

y

u

u

fdx

x

v

v

f

x

u

u

fdF

=∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

Rezultă că diferenŃiala de ordinul întâi este invariantă faŃă de compunerea

funcŃiilor.

DiferenŃiala de ordin doi a funcŃiilor compuse

Teoremă. Dacă funcŃiile u şi v sunt diferenŃiabile de două ori pe A şi

funcŃia f este diferenŃiabilă de două ori pe B, atunci funcŃia compusă

)),(),,((),( yxvyxufyxF = este diferenŃiabilă de două ori pe A.

CAPITOLUL 3

72

Avem 22

222

2

22 )(2)( dy

y

Fdxdy

yx

Fdx

x

FFd

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= . Înlocuind derivatele

parŃiale de ordinul doi ale funcŃiei compuse F şi efectuând calculele, obŃinem

vdv

fud

u

ffdFd 2222

∂

∂+

∂

∂+= .

Rezultă că diferenŃiala de ordinul doi nu este invariantă faŃă de compunerea

funcŃiilor.

3.4. Puncte de extrem pentru funcŃii de mai multe variabile

DefiniŃie. Fie RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = şi ),( ba un punct din D.

Se spune că ),( ba este punct de minim local (sau minim relativ) al funcŃiei f

dacă

( )baV ,V∈∃ astfel încât ),(),( bafyxf ≥ , DVyx ∩∈∀ ),( .

Se spune că ),( ba este punct de maxim local (sau maxim relativ) al funcŃiei f

dacă

( )baV ,V∈∃ astfel încât ),(),( bafyxf ≤ , DVyx ∩∈∀ ),( .

Punctele de minim local sau maxim local ale funcŃiei f se numesc puncte de

extrem local ale lui f.

Teoremă. Fie RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = şi ),( ba un punct interior

mulŃimii D. Dacă ),( ba este un punct de extrem local al funcŃiei f şi f are derivate

parŃiale de ordinul întâi în ),( ba , atunci

0),( =∂∂

bax

f şi 0),( =

∂∂

bay

f.

SoluŃiile Dyx ∈),( ale sistemului

=∂∂

=∂∂

0),(

0),(

yxy

f

yxx

f

formează mulŃimea punctelor staŃionare ale funcŃiei f.


73

Teoremă. Fie RR →⊂ 2: Df , ),( yxff = şi ),( ba un punct staŃionar

al funcŃiei f.

Fie

,

,

2221

12112

111

aaaa

a

=∆

=∆

unde

),(),,(),,(2

2

22

2

122

2

11 bay

faba

yx

faba

x

fa

∂

∂=

∂∂∂

=∂

∂= .

1) Dacă 01 >∆ şi 02 >∆ , atunci ),( ba este un punct de minim local pentru f.

2) Dacă 01 <∆ şi 02 >∆ , atunci ),( ba este un punct de maxim local pentru f.

ObservaŃie. Dacă 02 <∆ , atunci ),( ba nu este punct de extrem al funcŃiei f.

DefiniŃie. Fie RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = şi ),...,,( 21 naaa un

punct din D.

Se spune că ),...,,( 21 naaa este un punct de minim local (sau minim relativ) al

funcŃiei f dacă

)aa(aV n,...,, 21 V∈∃ astfel încât ),...,,(),...,,( 2121 nn aaafxxxf ≥ ,

DVxxx n ∩∈∀ ),...,,( 21 .

Se spune că ),...,,( 21 naaa este un punct de maxim local (sau maxim relativ) al

funcŃiei f dacă

)aa(aV n,...,, 21 V∈∃ astfel încât ),...,,(),...,,( 2121 nn aaafxxxf ≤ ,

DVxxx n ∩∈∀ ),...,,( 21 .

Punctele de minim local sau maxim local ale funcŃiei f se numesc puncte de

extrem local ale lui f.

Teoremă. Fie RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = şi ),...,,( 21 naaa un

punct interior mulŃimii D. Dacă ),...,,( 21 naaa este un punct de extrem local al funcŃiei

f şi f are derivate parŃiale de ordinul întâi în ),...,,( 21 naaa , atunci

CAPITOLUL 3

74

0),...,,( 211

=∂∂

naaax

f,

0),...,,( 212

=∂∂

naaax

f,

M

0),...,,( 21 =∂∂

nn

aaax

f.

SoluŃiile Dxxx n ∈),...,,( 21 ale sistemului

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxx

f

xxxx

f

xxxx

f

M

formează mulŃimea punctelor staŃionare ale funcŃiei f.

Teoremă. Fie RR →⊂ nDf : , ),...,,( 21 nxxxff = şi ),...,,( 21 naaa un

punct staŃionar al funcŃiei f.

Fie

,

...

............

...

...

,

,

21

22221

11211

2221

12112

111

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aa

aa

a

=∆

=∆

=∆

M

unde

),...,,( 21

2

nji

ij aaaxx

fa

∂∂∂

= .


75

1) Dacă 01 >∆ , 02 >∆ , …, 0>∆n , atunci ),...,,( 21 naaa este un punct de

minim local pentru f.

2) Dacă 01 <∆ , 02 >∆ , 03 <∆ , 04 >∆ , …, atunci ),...,,( 21 naaa este un

punct de maxim local pentru f.

3.5. Extreme condiŃionate

În anumite probleme se cere găsirea extremelor unei funcŃii

),...,,( 21 nxxxff = , cu condiŃia ca cele n variabile să verifice anumite relaŃii.

Această problemă se numeşte problema găsirii extremelor funcŃiei cu legături.

Pentru rezolvarea acestei probleme, folosim metoda multiplicatorilor lui

Lagrange19.

Dacă se cere să se determine extremele funcŃiei ),...,,( 21 nxxxff = în care

variabilele nxxx ,...,, 21 sunt supuse la legăturile (condiŃiile)

≤=

==

nmxxxF

xxxFxxxF

nm

n

n

,0),...,,(

0),...,,(0),...,,(

21

212

211

M

se procedează astfel:

- se construieşte funcŃia ajutătoare

),...,,(...),...,,(

),...,,(),...,,(),...,,;,...,,(

212122

2111212121

nmmn

nnmn

xxxFxxxF

xxxFxxxfxxxL

λ++λ+

+λ+=λλλ

cu coeficienŃii mλλλ ,...,, 21 nedeterminaŃi;

- se formează sistemul de n + m ecuaŃii

19 Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813), matematician şi mecanician francez

CAPITOLUL 3

76

=

=

=

=λλλ∂∂

=λλλ∂∂

=λλλ∂∂

⇔

=λλλλ∂∂

=λλλλ∂∂

=λλλλ∂∂

=λλλ∂∂

=λλλ∂∂

=λλλ∂∂

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

0),...,,;,...,,(

21

212

211

2121

21212

21211

2121

21212

21211

2121

21212

21211

nm

n

n

mnn

mn

mn

mnm

mn

mn

mnn

mn

mn

xxxF

xxxF

xxxF

xxxx

L

xxxx

L

xxxx

L

xxxL

xxxL

xxxL

xxxx

L

xxxx

L

xxxx

L

M

M

M

M

cu n + m necunoscute mnxxx λλλ ,...,,,,...,, 2121 şi se rezolvă.

Fie ),...,,,,...,,( 2121 mnaaaP µµµ una din soluŃiile acestui sistem. Pentru a

vedea dacă punctul corespunzător ),...,,( 21 naaaM este extrem condiŃionat al funcŃiei

date se procedează astfel:

- coeficienŃii mλλλ ,...,, 21 din funcŃia ajutătoare L se înlocuiesc cu

mµµµ ,...,, 21 şi se consideră funcŃia

),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 nmmnnn xxxFxxxFxxxfxxxL µ++µ+=∗

- se calculează diferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei ∗L de mai sus în punctul

),...,,( 21 naaaM ;

- se diferenŃiază legăturile date, iar din sistemul astfel obŃinut scoatem m

dintre diferenŃialele ndxdxdx ,...,, 21 în funcŃie de celelalte n – m;

- se înlocuiesc cele m diferenŃiale în diferenŃiala de ordinul doi

),...,,( 212

naaaLd ∗ şi se obŃine o formă pătratică în cele n – m diferenŃiale rămase.

Dacă această formă pătratică este pozitiv definită, atunci punctul

),...,,( 21 naaaM este punct de minim condiŃionat pentru funcŃia f, iar dacă această


77

formă pătratică este negativ definită, atunci punctul ),...,,( 21 naaaM este punct de

maxim condiŃionat pentru funcŃia f.


1) Să se determine mulŃimile de definiŃie pentru următoarele funcŃii:

a) 224

1),(

yxyxf

−−= ;

b) 22 11),( yxyxf −+−= ;

c) )9ln(),( 22 −+= yxyxf ;

d) zyxzyxf arcsinarcsinarcsin),,( ++= .

SoluŃie.

a) MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este mulŃimea punctelor 2R⊂D pentru

care 04 22 >−− yx , adică 422 <+ yx .

Cum 422 =+ yx este ecuaŃia cercului cu centrul în origine şi de rază 2,

mulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este mulŃimea punctelor interioare cercului cu

centrul în origine şi de rază 2.

b) MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este mulŃimea punctelor 2R⊂D pentru

care 01 2 ≥− x şi 01 2 ≥− y , adică [ ]1,1−∈x şi [ ]1,1−∈y .

MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este deci pătratul

[ ] [ ]1,11,1 −×− .

c) MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este mulŃimea punctelor 2R⊂D pentru

care 0922 >−+ yx , adică 922 >+ yx .

MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este mulŃimea punctelor care se găsesc în

exteriorul cercului cu centrul în origine şi de rază 3.

d) MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este mulŃimea punctelor 3R⊂D pentru

care [ ]1,1−∈x , [ ]1,1−∈y şi ]1,1[−∈z .

CAPITOLUL 3

78

MulŃimea de definiŃie a funcŃiei date este deci cubul

[ ] [ ] [ ]1,11,11,1 −×−×− .

2) Să se calculeze, folosind definiŃia, )2,1('xf şi )2,1('yf pentru

2),( 22 ++= yxyxf .

SoluŃie.

7

1

76

1lim

76)1(

1lim

1

76lim

1

22122lim

1

)2,1()2,(lim)2,1(

21

2

2

1

2

1

2222

11

'

=++

+=

++−

−=

−−+

=

−++−++

=−−

=

→

→→

→→

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

fxff

x

xx

xxx

şi

.7

2

73

2lim

73)2(

4lim

2

73lim

2

22121lim

2

)2,1(),1(lim)2,1(

22

2

2

2

2

2

2222

22

'

=++

+=

++−

−=

−

−+=

−

++−++=

−−

=

→

→→

→→

y

y

yy

y

y

y

y

y

y

fyff

y

yy

yyy

3) Să se arate că funcŃia 5 22 723),,( xzyxyxzyxf +++= verifică relaŃia

),,(5

2),,(),,(),,( zyxfzyx

z

fzzyx

y

fyzyx

x

fx =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂.

SoluŃie. Deoarece


79

( )

),,,(

723

723

723

))((7)(2))((3)(),,(

5

2

5 225

2

5 222

5 222222

5 22

zyxft

xzyxyxt

xzyxyxt

xztytxytxt

tztxtytytxtxtztytxf

=

+++=

+++=

+++=

+++=

rezultă că funcŃia f este omogenă de grad 5

2.

Aplicând teorema lui Euler, avem

),,(5

2),,(),,(),,( zyxfzyx

z

fzzyx

y

fyzyx

x

fx =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂.

4) Fie funcŃia 323),( yyxxyxf −+= .

a) Să se arate că f este omogenă de grad 3.

b) Să se arate că între derivatele parŃiale de ordinul doi ale funcŃiei f există relaŃia

),(6),(),(2),(2

22

2

2

22 yxfyx

y

fyyx

yx

fxyyx

x

fx =

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

SoluŃie.

a) Deoarece

),,()(

)()()()(),(

33233

332333

323

yxftyyxxt

ytyxtxt

tytytxtxtytxf

=−+=

−+=

−+=

rezultă că funcŃia f este omogenă de grad 3.

b) Avem

xyxyxx

f23),( 2 +=

∂∂

, 22 3),( yxyxy

f−=

∂∂

,

yxyxx

f26),(

2

2+=

∂

∂, xyx

yx

f2),(

2=

∂∂∂

şi

CAPITOLUL 3

80

yyxy

f6),(

2

2−=

∂

∂.

Astfel,

),,(6

)(6666

)6(22)26(),(),(2),(

323323

222

22

2

2

22

yxf

yyxxyyxx

yyxxyyxxyxy

fyyx

yx

fxyyx

x

fx

=

−+=−+=

−⋅+⋅++⋅=∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

adică relaŃia de la punctul b).

5) Să se calculeze )2,1(df pentru funcŃia 42),( yxyxf += .

SoluŃie.

dyy

fdx

x

fdf )2,1()2,1()2,1(

∂∂

+∂∂

= .

Cum

42

3

42

3

4242

2

2

4),(,

2

2),(

yx

y

yx

yyx

y

f

yx

x

yx

xyx

x

f

+=

+=

∂∂

+=

+=

∂∂

,

17

16

21

22)2,1(,

17

1

21

1)2,1(

42

3

42=

+

⋅=

∂∂

=+

=∂∂

y

f

x

f ,

rezultă

dydxdf17

16

17

1)2,1( += .

6) Să se calculeze )2,0,1(2 fd pentru funcŃia

zxxyzyxzyxf 52),,( 2423 −+−++= .

SoluŃie. Conform teoriei


81

.)2,0,1(2)2,0,1(2)2,0,1(2

))(2,0,1())(2,0,1())(2,0,1(

)2,0,1()2,0,1(

222

22

22

2

22

2

2

22

dydzzy

fdxdz

zx

fdxdy

yx

f

dzz

fdy

y

fdx

x

f

fdzz

dyy

dxx

fd

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Avem

.0),,(,0),,(,2),,(

,12),,(,24),,(,6),,(

,54),,(,24),,(,13),,(

222

22

2

2

2

2

2

322

=∂∂

∂=

∂∂∂

−=∂∂

∂

=∂

∂−=

∂

∂=

∂

∂

−=∂∂

−=∂∂

+−=∂∂

zyxzy

f zyx

zx

f yzyx

yx

f

zzyxz

f xzyx

y

fxzyx

x

f

zzyxz

f xyyzyx

y

f yxzyx

x

f

Astfel

0)2,0,1(,0)2,0,1(,002)2,0,1(

,48212)2,0,1(,2124)2,0,1(,616)2,0,1(

222

22

2

2

2

2

2

=∂∂

∂=

∂∂∂

=⋅−=∂∂

∂

=⋅=∂

∂=⋅−=

∂

∂=⋅=

∂

∂

zy

f

zx

f

yx

f

z

f

y

f

x

f

şi 2222 )(48)(2)(6)2,0,1( dzdydxfd ++= .

7) Să se determine punctele de extrem local pentru funcŃia

22 )2(),( −−= xxyyxf .

SoluŃie. Punctele staŃionare sunt soluŃii ale sistemului

.02

0)2(2)2(

0),(

0),( 2

=

=−−−−⇔

=∂∂

=∂∂

y

xxx

yxy

f

yxx

f

ObŃinem două puncte staŃionare )0,2(1M şi

0,

3

22M .

Cum

,2),(,0),(,2)2(2)2(2),(2

22

2

2=

∂

∂=

∂∂∂

−−−−−=∂

∂yx

y

fyx

yx

fxxxyx

x

f

rezultă

CAPITOLUL 3

82

- pentru )0,2(1M

2)0,2(,0)0,2(,4)0,2(2

22

122

2

11 =∂

∂=

∂∂∂

=−=∂

∂=

y

f

yx

fa

x

fa

şi

820

04,4 21 −=

−=∆−=∆ ⇒ (2,0) nu este punct de extrem;

- pentru

0,

3

22M

20,3

2,00,

3

2,40,

3

22

2

22

2

122

2

11 =

∂

∂==

∂∂

∂==

∂

∂=

y

fa

yx

fa

x

fa

şi

820

04,4 21 ==∆=∆ ⇒

0,

3

2 este punct de minim.

8) Să se determine punctele de extrem local pentru funcŃia

16

1),,(

z

z

y

y

x

xzyxf +++= , x > 0, y > 0, z > 0.

SoluŃie. Punctele staŃionare sunt soluŃii ale sistemului

=+−

=+−

=+−

⇔

=∂∂

=∂∂

=∂∂

016

1

01

011

0),,(

0),,(

0),,(

2

2

2

z

y

zy

x

yx

zyxz

f

zyxy

f

zyxx

f

ObŃinem un singur punct staŃionar )8,4,2(M .

Cum


83

,1

),,(,0),,(,1

),,(

,2

),,(,2

),,(,2

),,(

2

22

2

2

32

2

32

2

32

2

zzyx

zy

fzyx

zx

f

yzyx

yx

f

z

yzyx

z

f

y

xzyx

y

f

xzyx

x

f

−=∂∂

∂=

∂∂∂

−=∂∂

∂

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

rezultă

64

1

8

1)8,4,2(,0)8,4,2(

,16

1

4

1)8,4,2(,

64

1

8

42)8,4,2(

, 16

1

4

22)8,4,2(,

4

1

2

2)8,4,2(

2

2

23

2

13

2

2

1232

2

33

32

2

2232

2

11

−=−=∂∂

∂==

∂∂∂

=

−=−=∂∂

∂==

⋅=

∂

∂=

=⋅

=∂

∂===

∂

∂=

zy

fa

zx

fa

yx

fa

z

fa

y

fa

x

fa

şi

,16

3

16

1

16

116

1

4

1

,4

1

22

1

=−

−=∆

=∆

.64642

1

64

1

64

10

64

1

16

1

16

1

016

1

4

1

3 ⋅⋅=

−

−−

−

=∆

Deoarece 01 >∆ , 02 >∆ , 03 >∆ rezultă că punctul staŃionar )8,4,2(M este

punct de minim.

9) Să se determine extremele funcŃiei xyyxf =),( , variabilele fiind legate prin

condiŃia 1=+ yx .

SoluŃie. FuncŃia ajutătoare are forma

)1();,( −+λ+=λ yxxyyxL .

Derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei L conduc, prin anulare, la

sistemul

=−+

=λ+

=λ+

.01

0

0

yx

x

y

CAPITOLUL 3

84

Unica soluŃie a acestui sistem este

2

1,

2

1== yx ;

2

1−=λ .

Avem deci de considerat funcŃia

)1(2

1),( −+−=∗ yxxyyxL .

DiferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei ∗L în punctul

2

1,

2

1M are forma

următoare

22

222

2

22 )()(2)()( dyM

y

LdxdyM

yx

LdxM

x

LMLd

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂=

∗∗∗∗ .

Cum

0)(,1)(,0)(2

22

2

2=

∂

∂=

∂∂∂

=∂

∂ ∗∗∗M

y

LM

yx

LM

x

L ,

avem dxdyMLd 2)(2 =∗ .

DiferenŃiind legătura, obŃinem 0=+ dydx , astfel că

22 )(2)( dxMLd −=∗

şi deci punctul

2

1,

2

1M este punct de maxim condiŃionat pentru funcŃia ),( yxf .

10) Să se determine extremele funcŃiei zyxzyxf ++=),,( , variabilele fiind

legate prin condiŃiile

2=+− zyx , 4222 =++ zyx .

SoluŃie. FuncŃia ajutătoare are forma

)4()2(),;,,( 2222121 −++λ+−+−λ+++=λλ zyxzyxzyxzyxL .


sistemul


85

=−++

=−+−

=λ+λ+

=λ+λ−

=λ+λ+

.04

02

021

021

021

222

21

21

21

zyx

zyx

z

y

x

Rezolvând acest sistem, găsim soluŃiile

3

11 =λ ,

2

12 −=λ ,

3

2,

3

4== yx ,

3

4=z ;

11 −=λ , 2

12 =λ , 2,0 −== yx , 0=z .

Pentru 3

11 =λ ,

2

12 −=λ avem de considerat funcŃia

)4(2

1)2(

3

1),,( 222 −++−−+−+++=∗ zyxzyxzyxzyxL .

DiferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei ∗L în punctul

3

4,

3

2,

3

41M are forma

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .222 1

2

1

2

1

2

212

22

12

22

12

2

12

dydzMzy

LdxdzM

zx

LdxdyM

yx

L

dzMz

LdyM

y

LdxM

x

LMLd

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∗∗∗

∗∗∗∗

Cum

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,0,0,0

,1,1,1

1

2

1

2

1

2

12

2

12

2

12

2

=∂∂

∂=

∂∂∂

=∂∂

∂

−=∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂

∗∗∗

∗∗∗

Mzy

LM

x

LM

yx

L

Mz

LM

y

LM

x

L

z

avem

( ) 2221

2 dzdydxMLd −−−=∗

şi deci punctul

3

4,

3

2,

3

41M este punct de maxim condiŃionat pentru funcŃia

),,( zyxf .

CAPITOLUL 3

86

Pentru 11 −=λ , 2

12 =λ , avem de considerat funcŃia

)4(2

1)2(),,( 222 −+++−+−−++=∗ zyxzyxzyxzyxL .

Procedând analog obŃinem pentru diferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei ∗L în

punctul ( )0,2,02 −M expresia ( ) 2222

2 dzdydxMLd ++=∗ şi deci punctul

( )0,2,02 −M este punct de minim condiŃionat pentru funcŃia ),,( zyxf .

11) FuncŃia de utilitate a unui consumator este xyyxu 2),( = în care x, y sunt

cantităŃile din mărfurile X, Y (kg). PreŃurile unitare ale celor două mărfuri sunt

..2 muPX = , ..1 muPY = , iar venitul disponibil este ..10 muV = Să se determine

cantităŃile optime de mărfuri care se achiziŃionează de consumator.

SoluŃie. Folosind ecuaŃia liniei bugetare

yPxPV YX ⋅+⋅=

restricŃia este

yx += 210 .

FuncŃia ajutătoare are forma

)102(2),,( −+λ+=λ yxxyyxL .


sistemul

=−+

=λ+

=λ+

0102

02

022

yx

x

y

.

Unica soluŃie a acestui sistem este

5;5,2

5−=λ== yx .

Avem deci de considerat funcŃia

)102(52),(* −+−= yxxyyxL .


87

DiferenŃiala de ordinul doi a funcŃiei *L în punctul

5,

2

5M are forma

următoare

22

*2*22

2

*2*2 )()(2)()( dyM

y

LdxdyM

yx

LdxM

x

LMLd

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= .

Cum

2),(,0),(,0),(*2

2

*2

2

*2=

∂∂∂

=∂

∂=

∂

∂yx

yx

Lyx

y

Lyx

x

L,

avem

dxdyMLd 4)(*2 = .

DiferenŃiind legătura, obŃinem

02 =+ dydx ,

astfel că

2*2 )(8)( dxMLd −=

şi deci punctul

5,

2

5M este punct de maxim condiŃionat pentru funcŃia ),( yxu .

Pentru a beneficia de utilitatea maximă în condiŃiile restricŃiei bugetare,

consumatorul va achiziŃiona 2,5 kg din marfa X şi 5 kg din marfa Y.

ObservaŃie. O firmă care doreşte să cunoască mărimea cererii pentru X şi Y va

lua în calcul preferinŃele consumatorilor pentru aceste bunuri întrucât preferinŃele de

consum se transformă în cerere pe piaŃă în limitele determinate de constrângerea

bugetară a fiecărui client.

CAPITOLUL 3

88

12) Să se arate că dacă funcŃia de producŃie* este 20

α−αλ= 1bax , unde α este un număr subunitar pozitiv,

atunci

a

br ⋅

α−α

=1

şi 1=σ .

SoluŃie.

Deoarece

α−−αλα=∂∂ 11baa

x şi α−αα−λ=

∂∂

bab

x 1)1( ,

avem

a

b

ba

bar ⋅

α−α

=α−λ

λα=

α−α

α−−α

1)1( 1

11.

Cum

−⋅⋅

α−α

=∂∂

2

1

1 ab

a

r,

iar

20 * FuncŃia de producŃie

Dacă condiŃiile tehnice ale producŃiei sunt date, cantitatea de marfă produsă X depinde numai de

cantităŃile de factori variabili ai producŃiei folosiŃi nAAA ,...,, 21 . Dacă x este cantitatea produsă folosind

cantităŃile naaa ,...,, 21 din aceşti factori, putem scrie funcŃia de producŃie

),...,,( 21 naaafx = .

ObservaŃie. Dacă există doi factori variabili A şi B, funcŃia de producŃie este ),( bafx = .

Rata marginală de substituŃie a factorului B în locul factorului A este

b

xa

x

r

∂∂∂∂

= .

Elasticitatea substituŃieie dintre A şi B este

a

r

b

rr

bar

ab

r

∂∂

−∂∂

+⋅=σ .


89

ab

r 1

1⋅

α−α

=∂∂

,

obŃinem

.11

)1()1(

)()1(

)1(

)1()1( 2

=⋅α−

α⋅

αα−

=αα−

=

+α

+α−=

+α−α

+=

α−

α+

α−α

+=σ

a

b

b

a

b

ar

a

barb

bara

a

br

a

bar

ab

r

a

b

a

rbar

ab

r

13) Să se arate că dacă funcŃia de producŃie este

222 baabx β−α−γ= ,

unde γβα ,, sunt constante pozitive şi αβ>γ2 , atunci

1)( 2

2−

αβ−γ

γ=σ

ab

x.

SoluŃie. Deoarece

2222 222

22

baab

ab

baab

ab

a

x

β−α−γ

α−γ=

β−α−γ

α−γ=

∂∂

şi

2222 222

22

baab

ba

baab

ba

b

x

β−α−γ

β−γ=

β−α−γ

β−γ=

∂∂

avem

.

2

2

2:

2

22

22

2222

ba

ab

ba

baab

baab

ab

baab

ba

baab

abr

β−γα−γ

=

β−γ

β−α−γ⋅

β−α−γ

α−γ=

β−α−γ

β−γ

β−α−γ

α−γ=

CAPITOLUL 3

90

Cum

2

2

2

2

2

)(

)(

)(

)(

)()(

ba

b

ba

bb

ba

abba

a

r

β−γ

γ−αβ=

β−γ

γ−αβ=

β−γ

γα−γ−β−γα−=

∂∂

iar

,)(

)(

)(

)(

))(()(

2

2

2

2

2

ba

a

ba

aa

ba

abba

a

r

β−γ

αβ−γ=

β−γ

αβ−γ=

β−γ

β−α−γ−β−γγ=

∂∂

obŃinem

.1)()(

)(

)(

)2(

)(

)(

)(

)(

))((

))((

))(()(

)(

)()()(

)(

)(

)(

2

2

2

22

2

222

2

22

2

222

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−αβ−γ

γ=

αβ−γ

−γ−γ=

αβ−γ

αβ+γ−α−β−γγ=

αβ−γ

αβ+α−β−γγ=

αβ−γ

αβ+αγ−γβ−γ=

αβ−γ

β−γα−γ=

αβ−γβ−γ

β−γα−γ=

αβ−γ

β−γ⋅

β−γα−γ

=

αβ−γ

β−γ=

+β−γ

αβ−γ

+=

β−γ

γ−αβ−

β−γ

αβ−γ

+=σ

ab

x

ab

ababx

ab

abababab

ab

ababab

ab

ababab

ab

baab

baab

baabba

ab

ba

ab

ba

ab

r

barba

bar

ab

r

ba

b

ba

ar

bar

ab

r

3.7. Probleme propuse*21

1. Să se determine mulŃimile de definiŃie pentru următoarele funcŃii:

a) 2012),( 32 ++= yxyxf ;

21 21 *FuncŃiile sunt înŃelese pe mulŃimile lor de definiŃie


91

b) 224),( yxyxf −−= ;

c) )1ln(4),( 22 yxyxf −−= ;

d) yxyxf +=),( ;

e) )9)(1(),( 2222 yxyxyxf −−−+= ;

f) 2221),,( zyxzyxf −−−= .

2. Folosind definiŃia să se calculeze:

a) )0,1('xf şi )0,1('

yf pentru 2

),( yxeyxf −= ;

b)

ππ3

,4

'xf şi

ππ3

,4

'yf pentru 1sincos),( +−= yxyxf .

3. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi şi al doilea pentru

următoarele funcŃii:

a) 33),( 423 +++= yyxxyxf ; b) xyyxyxf sin),( 2 ++= ;

c) 23 )2(),( yxxyxf −−= ; d) 22 4),( yxyxf += ;

e) yxyxf 32 sin),( = ; f) yx

yxyxf

+=

2),( ;

g) 234

),,( zyxezyxf ++= ; h) zxyezyxf sin2),,( = ;

i) 22

arcsin),,(zy

xzyxf

+= ; j) 3)1ln(),,( 52 ++++= zxezyxf y .

4. Să se calculeze )3,2(df şi )3,2(2 fd pentru următoarele funcŃii:

a) 522 3),( xyxyxyxf ++= ;

b) )1ln(),( xyyxyxf +++= .

5. Să se calculeze )0,2,1(df şi )0,2,1(2 fd pentru următoarele funcŃii:

CAPITOLUL 3

92

a) yzxzxy eeezyxf ++=),,( ;

b) xyzzyxzyxf 332),,( 223 −+−= .

6. Să se arate că funcŃiile următoare verifică relaŃiile indicate:

a) 5 566 2),( xyyxyxf ++= , ),(5

6),(),( yxfyx

y

fyyx

x

fx =

∂∂

+∂∂

;

b) 0,sin)(),( 22 ≠+= xx

yyxyxf , ),(2),(),( yxfyx

y

fyyx

x

fx =

∂∂

+∂∂

;

c)zy

yxarctgzyxxzyxf

+

+−+= )(),,( 2005520002005 ,

),,( 2005),,(),,(),,( zyxfzyxz

fzzyx

y

fyzyx

x

fx =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂;

d) 45

549549 cos)(),,(

zy

yxzyxxzyxf

+

+++= ,

),,(9),,(),,(),,( zyxfzyxz

fzzyx

y

fyzyx

x

fx =

∂∂

+∂∂

+∂∂

.

6. Fie funcŃia βα= yaxyxf ),( .

a) Să se arate că f este omogenă de grad β+α .

b) Să se arate că între derivatele parŃiale de ordinul doi ale funcŃiei f există

relaŃia

),()1)((),(),(2),(2

22

2

2

22 yxfyx

y

fyyx

yx

fxyyx

x

fx −β+αβ+α=

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂.

7. Să se arate că funcŃia 222 )()()(

1),,(

czbyaxzyxf

−+−+−= ,

),,(),,( cbazyx ≠ verifică ecuaŃia lui Laplace

0),,(),,(),,(2

2

2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂zyx

z

fzyx

y

fzyx

x

f.


93

8. Să se arate că funcŃia

taxAxtf λλ= cossin),(

verifică ecuaŃia coardei vibrante

),(),(2

22

2

2xt

x

faxt

t

f

∂

∂=

∂

∂.


ta

bx

eta

xtf2

2

4

)(

2

1),(

−−

π= (a şi b fiind constante)

verifică ecuaŃia căldurii

),(),(2

22 xt

x

faxt

t

f

∂

∂=

∂∂

.


222

21222222

),,(zyx

ececzyxf

zyxazyxa

++

+=

++++− ( 1c şi 2c fiind constante)

verifică ecuaŃia lui Helmholtz22

),,(),,(),,(),,( 22

2

2

2

2

2zyxfazyx

z

fzyx

y

fzyx

x

f=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂.

11. Să se determine punctele de extrem pentru funcŃiile:

a) yxxyyxyxf 1632164),( 22 −+−+= , 2),( R∈yx ;

b) yxxyyxyxyxf −−+−+= 263),( 2233 , 2),( R∈yx ;

c) 2),(,)(),(22

R∈+= −− yxeyxyxf yx ;

d) 312862),,( 222 +−+−+−= zyxzyxzyxf , 3),,( R∈zyx ;

e) yzxzxyyxzyxf 4642),,( 22 −+−+= , 3),,( R∈zyx ;

22 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 –1894) , medic și fizician german

CAPITOLUL 3

94

f) yzxyxzyxzyxf 422),,( 2223 +−−++= , 3),,( R∈zyx ;

g) yzxzxyzyxzyxf 18123),,( 222 −−−++= , 3),,( R∈zyx .

12. Să se determine extremele condiŃionate pentru funcŃiile:

a) xyyxf =),( , variabilele fiind legate prin condiŃia

422 =+ yx ;

b) 22 35),( yxyxyxf ++= , variabilele fiind legate prin condiŃia

122 =+ yx ;

c) zyxzyxf 2),,( +−= , variabilele fiind legate prin condiŃia

22 222 =++ zyx ;

d) 32),,( zxyzyxf = , variabilele fiind legate prin condiŃia

432 =++ zyx , 0>x , 0>y , 0>z ;

e) xyzzyxf =),,( variabilele fiind legate prin condiŃiile

5=++ zyx şi 8=++ zxyzxy ;

f) 222),,( zyxzyxf ++= , variabilele fiind legate prin condiŃia

0149

222

=−++ zyx

.

13. FuncŃia de utilitate a unui consumator este 842),( +++= yxxyyxu , în

care x, y sunt cantităŃile din mărfurile X, Y (kg). PreŃurile unitare ale celor două mărfuri

sunt ..5 muPX = , ..10 muPY = , iar venitul disponibil este ..50 muV = Să se determine

cantităŃile optime de mărfuri care se achiziŃionează de consumator.

INTEGRALE IMPROPRII

95

CAPITOLUL 4

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL



analiza matematică.

Cuvinte cheie: integrale improprii cu limite de integrare infinite, integrale impropii din

funcŃii nemărginite, integrale convergente, integrale divergente

4.1. Integrale improprii cu limite de integrare infinite

DefiniŃie. Fie f o funcŃie definită pe [ )+∞,a şi integrabilă pe [a,b], ab >∀ .

Dacă există limita ∫∞→

b

abdxxf )(lim (finită sau infinită), atunci se defineşte integrala

improprie a funcŃiei f pe intervalul ),[ +∞a prin ∫=∫∞→

∞ b

abadxxfdxxf )(lim)( .

În cazul în care această limită este finită se spune că integrala ∫∞

adxxf )( este

convergentă.

Dacă limita este infinită sau nu există se spune că integrala ∫∞

adxxf )( este

divergentă.

Interpretare geometrică

Dacă 0)( >xf , integrala improprie ∫∞

adxxf )( este aria figurii mărginite de

graficul funcŃiei f, de dreapta ax = şi de axa Ox .

CAPITOLUL 4

96

Analog se definesc integralele improprii:

∫=∫−∞→∞−

b

aa

bdxxfdxxf )(lim)( ,

unde f este o funcŃie definită pe ],( b−∞ şi integrabilă pe ],[ ba , ba <∀ , iar limita

∫−∞→

b

aadxxf )(lim există,

şi

∫=∫

+∞→−∞→

∞

∞−

b

aba

dxxfdxxf )(lim)( ,

unde f este o funcŃie definită RR →: şi integrabilă pe orice interval ],[ ba , ab > , iar

limita ∫

+∞→−∞→

b

aba

dxxf )(lim există.

Exemple.

1) Integrala ∫∞

1 x

dx este divergentă.

Într-adevăr,

∞===∫=∫∞→∞→∞→

∞bx

x

dx

x

dx

b

b

b

b

blnlim||lnlimlim

111 .

2) Integrala ∫∞

12005x

dx este convergentă.

Într-adevăr,

2004

1

20042004

1lim

2004limlim

2004

1

2004

12005

12005

=

−=

−=∫=∫

−

∞→

−

∞→∞→

∞ bx

x

dx

x

dx

b

b

b

b

b .

Necesitatea introducerii integralelor improprii decurge din problema calculării

ariilor unor regiuni plane nemărginite (şi din studierea unor fenomene fizice pe intervale

de timp nemărginite).

Pentru unele integrale improprii nu putem studia uşor convergenŃa lor cu

ajutorul definiŃiei. În asemenea situaŃii se stabileşte natura integralei improprii

(convergentă sau divergentă) cu ajutorul criteriilor următoare.

INTEGRALE IMPROPRII

97

1. Criteriul comparaŃiei cu inegalităŃi

Dacă )()(0 xgxf ≤< , [ )+∞∈ ,ax , atunci

- din convergenŃa integralei ∫∞

adxxg )( , rezultă convergenŃa integralei

∫∞

adxxf )(

iar

- din divergenŃa integralei ∫∞

adxxf )( , rezultă divergenŃa integralei ∫

∞

adxxg )( .

2. Criteriul comparaŃiei cu limită

Dacă 0)( >xf , 0)( >xg , [ )+∞∈ ,ax şi kxg

xf

x=

∞→ )(

)(lim , ∞≤≤ k0 , atunci

- din convergenŃa integralei ∫∞

adxxg )( pentru ∞<k , rezultă convergenŃa

integralei ∫∞

adxxf )(

iar

- din divergenŃa integralei ∫∞

adxxf )( pentru 0>k , rezultă divergenŃa

integralei ∫∞

adxxg )( .

3. Criteriul cu puteri

Dacă 0)( >xf , [ )+∞∈ ,ax şi kxfxx

=λ

∞→)(lim , ∞<< k0 , atunci

- pentru 1>λ , integrala ∫∞

adxxf )( este convergentă

iar

- pentru 1≤λ , integrala ∫∞

adxxf )( este divergentă.

CAPITOLUL 4

98

4. Criteriul lui Dirichlet

Dacă f(x) este integrabilă pe orice interval [a,b] şi kdxxfb

a≤∫ )( , iar g(x)

tinde monoton către zero când ∞→x , atunci ∫∞

adxxgxf )()( este convergentă.

4.2 Integrale improprii din funcŃii nemărginite

DefiniŃie. Fie a un punct singular pentru funcŃia f definită pe ],( ba şi

integrabilă pe ],[ ba ε+ , 0>ε∀ . Dacă există limita ∫ε+→ε

b

adxxf )(lim

0 (finită sau infinită),

atunci se defineşte integrala improprie a funcŃiei f pe intervalul ],( ba prin

∫=∫ε+→ε

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

0.

În cazul în care această limită este finită se spune că integrala improprie

∫b

adxxf )( este convergentă.

Dacă limita este infinită sau nu există se spune că integrala este divergentă.

Analog, se defineşte integrala improprie ∫=∫ε−

→ε

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

0, dacă b este

punct singular pentru funcŃia f definită pe ),[ ba şi integrabilă pe ],[ ε−ba , 0>ε∀ .

Interpretare geometrică. Dacă 0)( >xf şi b este punct singular pentru

funcŃia f definită pe ),[ ba şi integrabilă pe ],[ ε−ba , 0>ε∀ , integrala improprie

∫b

adxxf )( este aria figurii mărginite de graficul funcŃiei f, de dreapta ax = şi de

asimptota verticală bx = .

INTEGRALE IMPROPRII

99

Exemple.

1) Integrala ∫−

10

5 5x

dx este divergentă.

Într-adevăr, funcŃia 5

1)(

−=

xxf este nemărginită în punctul x = 5 şi avem

∞=ε−=−=∫−

=∫− →εε+→εε+→ε

)ln5(lnlim|5|lnlim5

lim5 0

10

50

10

50

10

5 x

x

dx

x

dx.

2) Integrala ∫−

10

5 5x

dx este convergentă.

Într-adevăr, funcŃia 5

1)(

−=

xxf este nemărginită în punctul x = 5 şi avem

52)252(lim52lim5

lim5 0

10

50

10

50

10

5=ε−=−=∫

−=∫

− →εε+→εε+→ε x

x

dx

x

dx.

Au loc următoarele criterii cu puteri.

1. Fie a un punct singular pentru funcŃia f(x) > 0 definită pe (a,b] şi

integrabilă pe [a+ ε ,b], 0>ε∀ . Dacă kxfax

axax

=− λ

>→

)()(lim , ∞<< k0 , atunci

- pentru 1<λ , integrala (improprie) ∫b


iar

- pentru 1≥λ , integrala (improprie) ∫b


2. Fie b un punct singular pentru funcŃia 0)( >xf definită pe (a,b] şi

integrabilă pe ],[ ε−ba , 0>ε∀ . Dacă kxfxb

bxbx

=− λ

<→

)()(lim , ∞<< k0 , atunci:

CAPITOLUL 4

100

- pentru 1<λ , integrala (improprie) ∫b


iar

- pentru 1≥λ , integrala (improprie) ∫b



1) Folosind definiŃia, să se cerceteze convergenŃa integralelor:

a) ∫∞

0

10 dxe x ; b) ∫∞

−

0

10 dxe x ;

c) ∫ +∞

0

2 1dxx ; d) ∫−

10

22012)10(

1dx

x;

e) ∫−

10

2201210

1dx

x.

SoluŃie.

a) ∞=−==∫=∫∞→∞→∞→

∞)1(lim

10

1

10limlim 10

0

10

0

10

0

10 b

b

bx

b

bx

b

x ee

dxedxe ,

deci integrala ∫∞

0

10 dxe x este divergentă;

b) 10

1)1(lim

10

1

10limlim 10

0

10

0

10

0

10 =−−=−

=∫=∫−

∞→

−

∞→

−

∞→

∞− b

b

bx

b

bx

b

x ee

dxedxe ,

deci integrala ∫∞

−

0

10 dxe x este convergentă;

c) ∫ +=∫ +∞→

∞ b

bdxxdxx

0

2

0

2 1lim1 .

Cum

INTEGRALE IMPROPRII

101

.1ln)1ln()'1(

)1ln(1

1

1

11

11

2

0

2

0

2

0 2

0 20 2

2

0 2

2

0

2

−+++∫ +⋅=

+++∫+

⋅=

∫+

+∫+

=∫+

+=∫ +

bbdxxx

xxdxx

xx

dxx

dxx

xdx

x

xdxx

b

bb

bbbb

Folosind formula de integrare prin părŃi*, obŃinem

)1ln(111 2

0

2

0

2

0

2 +++∫ +−+=∫ + bbdxxxxdxxbbb

de unde rezultă

)1ln(112 22

0

2 ++++=∫ + bbbbdxxb

adică

++++=∫ + )1ln(1

2

11 22

0

2 bbbbdxxb

de unde avem

∞=

++++=∫ +

∞→

∞)1ln(1lim

2

11 22

0

2 bbbbdxxb

,

deci integrala ∫ +∞

0

2 1dxx este divergentă;

* : Fie R],[:, →bagf funcŃii derivabile cu derivate continue. Atunci ∫−=∫

b

a

ba

b

adxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(

d) ∫−

=∫−

ε−

→ε

10

220120

10

22012 )10(

1lim

)10(

1dx

xdx

x

,8

11lim

2011

1

)10(

1lim

2011

1

2011

)10(lim)10(lim

20110

10

220110

10

2

2011

0

10

2

2012

0

∞=

−

ε=

−=

−−

−=∫ −=

→ε

ε−

→ε

ε−−

→ε

ε−−

→ε

x

xdxx

deci integrala ∫−

10

22012)10(

1dx

x este divergentă;

CAPITOLUL 4

102

e) ∫

−

=∫−

=∫−

ε−

→ε

ε−

→ε

10

22012

10

10

220120

10

22012

)10(

1lim

10

1lim

10

1dx

x

dxx

dxx

,82011

2012)8(lim

2011

2012)10(lim

2011

2012

2012

2011)10(

lim)10(lim

2012

2011

2012

2011

2012

2011

0

10

2

2012

2011

0

10

2

2012

2011

0

10

2

2012

1

0

=−ε−=−−=

−−=∫ −=

→ε

ε−

→ε

ε−

→ε

ε− −

→ε

x

xdxx

deci integrala ∫−

10

2201210

1dx

x este convergentă.

2) Să se studieze convergenŃa integralelor:

a) dxx

x∫+

∞

02

2

3

1; b) dx

x

x∫

+

∞

17

2

1 ;

c) dxx

x∫∞

1

cos; d) dx

xx∫

−+

3

1 2 1)1(

1.

SoluŃie.

a) Deoarece 11

lim)(lim2

2

3

=+

=

+λ

∞→

λ

∞→ x

xxfx

xx pentru 1

2

1<=λ , integrala este

divergentă.

b) Deoarece 11

lim)(lim7

2=

+=

+λ

∞→

λ

∞→ x

xxfx

xx pentru 15 >=λ , integrala este

convergentă.

c) Considerăm funcŃiile xxf cos)( = şi x

xg1

)( = . Deoarece

21sinsin cos 1

≤−=∫ bdxb

INTEGRALE IMPROPRII

103

şi x

xg1

)( = descreşte monoton la zero când ∞→x , rezultă că integrala dxx

x∫∞

1

cos este

convergentă.

d) Deoarece

22

1

1)1(

)1(lim)()1(lim

2

1

11

11

=++

−=−

−λ

>→

λ

>→ xx

xxfx

xx

xx

,

pentru 12

1<=λ , integrala este convergentă.

3) Să se calculeze:

a) ∫∞

−

0

2 dxxe x ; b) ∫ −1

0

2 dxxx ;

c) ∫

π2

0

24 cossin xdxx ; d) ∫+

∞

03 )1(

1dx

xx

utilizând integralele lui Euler†

)0,0()1(),(1

0

11 >>∫ −=β −− badxxxba ba ,

)0()(0

1 >∫=Γ∞

−− adxexa xa .

SoluŃie.

a) Efectuând schimbarea de variabilă tx =2 , obŃinem dtdx2

1= .

łinând seama că limitele de integrare se păstrează, avem:

4

111

4

1)1(1

4

1)11(

4

1)2(

4

1

4

1

2 00=⋅⋅=Γ⋅⋅=+Γ=Γ=∫=∫

∞−

∞− dttedte

t tt .

b)

† Se poate demonstra că:

.)(

)()(),();1,0(,

sin)1()(

;1),()1(;,!)1(;2

1;1)1(

ba

babaa

aaa

aaaannn

+Γ

ΓΓ=β∈

π

π=−Γ⋅Γ

>Γ=+Γ∈=+Γπ=

Γ=Γ N

CAPITOLUL 4

104

.82

2

1

!2

2

1

2

1

)12(

12

1

)3(

2

3

2

3

2

32

3

2

3

2

3,

2

3

)1()1(

222

2

1

0

2

1

2

11

0

1

0

2

ππ

β

=

⋅=

Γ

=+Γ

+Γ

=

Γ

Γ

=

+Γ

Γ

Γ=

=

∫ −=∫ −=∫ − dxxxdxxxdxxx

c) Efectuând schimbarea de variabilă tx =2sin , obŃinem tx arcsin= ,

dttt

dx ⋅⋅−

=2

1

1

1.

łinând seama de noile limite de integrare ( 12

;00 =⇒π

==⇒= txtx ) avem

( ) ( )

( ) .3232

1

2

1

4

1

8

1

2

1

2

1

8

1

6

12

1

4

3

!3

2

3

4

3

13

2

3

2

3

2

3

2

1

4

2

31

2

3

2

1

2

3

2

52

3

2

5

2

1

2

3,

2

5

2

1

)1(2

1)1(

2

1

2

1

1

1)1(

2

22

22

1

0

2

1

2

31

0

2

11

2

121

0

2

ππ

β

==

Γ⋅⋅=

Γ=

+Γ

=

Γ

=

+Γ

Γ

Γ=

Γ

Γ

+Γ=

+Γ

Γ

Γ=

=

∫ −=∫ −=∫ ⋅−

⋅−−−

dtttdtttdttt

tt

d) Efectuând schimbarea de variabilă t

tx

−=

1 obŃinem dt

tdx

2)1(

1

−= şi

tx

−=+

1

11 .

łinând seama de noile limite de integrare ( 12

;00 =⇒π

==⇒= txtx ) avem

INTEGRALE IMPROPRII

105

( )

.3

2

2

33

sin

1

3

11

3

1

1

3

1

3

2

3

1

3

23

1

3

2

3

1,

3

2

)1()1(

1

1)1(

1

11

)1(

1

1

1

1

1

1

0

3

2

3

11

0

13

1

3

1

1

03

1

3

11

0

3

11

02

3

1

π=

π=

ππ

=

−Γ

Γ=

Γ

Γ

Γ=

+Γ

Γ

Γ=

β=

∫ −=∫ −=

∫−

⋅−

=∫−

⋅

−=∫

−⋅

−⋅

−

−−−−dtttdttt

dtt

t

tdt

tt

tdt

t

tt

t


1. Folosind definiŃia, să se cerceteze convergenŃa integralelor:

a) ∫∞

−

0

3 dxex x ; b) ∫∞

1

lndx

x

x;

c) ∫+

∞

322 )5(

1dx

x; d) dxxe x ∫

∞−

1

2 3cos ;

e) ∫−

2

3

1 13

1dx

x; f) ∫

+

5

03

1dx

xx;

g) ∫−+

3

1 2 1)1(

1dx

xx; h) ∫

+

1

03

1dx

xx;

i) ∫+

+

−

4

13

4

1

1dx

x

x.

CAPITOLUL 4

106

2. Pe baza criteriilor, să se studieze convergenŃa integralelor:

a) ∫+

∞

0 3 2 1

1dx

x; b) ∫

++

∞

2 2 5)3(

1dx

xx;

c*) dxx ∫∞

0

2cos ; d**) dxx ∫∞

0

2sin ;

e) dxxx

∫−+

1

0 21)2(

1; f) ∫

−

2

0 5 24

1dx

x.

3. Să se arate că integrala lui Euler de speŃa întâi

∫ −=β −−1

0

11 )1(),( dxxxba ba

este convergentă pentru a > 0, b > 0.

4. Să se arate că integrala lui Euler de speŃa a doua

∫=Γ∞

−−

0

1)( dxexa xa

este convergentă pentru a > 0.

5. Să se demonstreze că:

a) )()1( aaa Γ=+Γ , 1>a ;

b) !)1( nn =+Γ , N∈n ;

6. Să se demonstreze că:

a) ),(),( abba β=β ;

b) )1,(1

1),1(

1

1),( −β

−+−

=−β−+

−=β ba

ba

bba

ba

aba , 1,1 >> ba ;

c) )!1(

)!1()!1(),(

−+

−−=β

nm

mnnm , N ∈nm, ;

Integralele * şi ** prezintă o importanŃă deosebită în fizică. Ele sunt aşa numitele integrale ale lui Jean

Augustin Fresnel ((1788 – 1827), fizician francez) din teoria difracŃiei luminii.

INTEGRALE IMPROPRII

107

d) ∫+

=β∞

+

−

0

1

)1(),( dy

y

yba

ba

a;

e) )(

)()(),(

ba

baba

+Γ

ΓΓ=β .

7. Să se calculeze:

a) ∫∞ −

0

42

3

dxex

x

; b) ∫ −1

0

4 43 dxxxx ;

c) ∫

π2

0

46 cossin xdxx ; d) ∫+

∞

02

4

)1(dx

x

x

utilizând integralele lui Euler

)0,0()1(),(1

0

11 >>∫ −=β −− badxxxba ba ,

)0()(0

1 >∫=Γ∞

−− adxexa xa .

CAPITOLUL 4

108


109

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂłILOR

ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

ApariŃia teoriei probabilităŃilor este legată de probleme referitoare la jocurile de

noroc (L. Pacioli1, 1494; G. Cardano2, 1539).

Pe la 1654, cavalerul de Méré, mare jucător, a prezentat prietenului său

B. Pascal3 două situaŃii pe care cavalerul le întâlnise în practica sa îndelungată, situaŃii

ce generau controverse între jucători.

Fondatorii acestei teorii sunt matematicienii B. Pascal şi P. Fermat4.

Fundamentarea riguros ştiinŃifică a teoriei probabilităŃilor s-a făcut însă abia în

anul 1933 de către matematicianul A. N. Kolmogorov5.

Într-o perioadă relativ scurtă ea s-a transformat dintr-un simplu calcul al

probabilităŃilor de câştig la jocurile de noroc într-o ştiinŃă cu o largă aplicabilitate.

Primele aplicaŃii efective ale teoriei probabilităŃilor au fost legate de studii demografice

şi asigurări.

Mai târziu dezvoltarea teoriei probabilităŃilor s-a făcut sub impulsul problemelor

puse de fizică, chimie şi mai ales de ştiinŃele tehnice.

Aceste ştiinŃe, ca şi altele, fac apel tot timpul la teoria probabilităŃilor atunci

când trebuie să interpreteze diverse rezultate experimentale sau înregistrări numerice.

Întrucât teoria probabilităŃilor construieşte variate modele abstracte care pot

servi, cel puŃin ca punct de plecare, pentru interpretarea diverselor fenomene reale,

asistăm la întrepătrunderea cu alte ştiinŃe cum sunt mecanica, economia, biologia,

lingvistica etc., generând domenii noi de cercetare, mecanica statistică, statistica

economică, biologia matematică, lingvistica matematică etc.

1 Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1446 – 1517), matematician şi călugar franciscan italian, colaborator al lui Leonardo da Vinci. Este de asemenea numit părintele contabilităŃii pentru contribuŃiile sale de pionierat în acest domeniu 2 Girolamo Cardano (1501 – 1576), matematician, filosof şi medic italian din perioada Renaşterii 3 Blaise Pascal (1623 – 1662), matematician, fizician şi filosof francez 4 Pierre Fermat (1601 – 1665), matematician şi avocat francez 5 Andrei Nicolaevici Kolmogorov (1903-1986), matematician sovietic

CAPITOLUL 5

110

De asemenea asistăm la o puternică dezvoltare a teoriei probabilităŃilor,

constituindu-se noi ramuri cu importante aplicaŃii în economie, cum sunt teoria

siguranŃei, controlul calităŃii producŃiei, teoria aşteptării, întreŃinerea şi reînnoirea

utilajelor, probleme de stocare a materialelor, etc.

NoŃiunile de entropie şi cantitate de informaŃie, fundamentale în cibernetică se

definesc de asemenea cu ajutorul interpretărilor probabilistice.

Întrucât teoria probabilităŃilor a permis fundamentarea riguroasă a legilor

statistice, ea îşi găseşte în prezent largi aplicaŃii în studiul aspectelor cantitative ale

legilor economice. Astfel problemele legate de planificarea economiei naŃionale şi de

evidenŃă statistică, întocmirea balanŃelor inter – ramuri, planificarea producŃiei etc. sunt

studiate astăzi utilizând teoria probabilităŃilor.


111

CAPITOLUL 5

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂłILOR ŞI

STATISTICĂ MATEMATICĂ



teoria probabilităŃilor şi statistică matematică.

Cuvinte cheie: eveniment, probabilitate, probabilităŃi condiŃionate, scheme

probabilistice clasice (schema bilei nerevenite, schema bilei revenite, schema lui

Poisson), variabile aleatoare, caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

(valoare medie, abaterea, momente de ordin k, medii de ordin k, momente centrate,

dispersia, mediană, modul, covarianŃă, coeficient de corelaŃie), distribuŃii continue

clasice (distribuŃia normală, distribuŃia Gamma, distribuŃia Beta, distribuŃia

Hi – Pătrat (Pearson), distribuŃia „t” (Student))

5.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate

Lucrurile, fiinŃele sau fenomenele care datorită unei proprietăŃi comune pot fi

considerate împreună formează o colectivitate, o populaŃie, o mulŃime.

Exemple.

1) StudenŃii unui an de studiu dintr-o facultate.

2) Piesele produse de o secŃie a unei firme.

Fiind dată o colectivitate C, putem să cercetăm dacă elementele sale au sau nu o

anumită proprietate P. Proprietatea P se numeşte criteriu de cercetare a colectivităŃii.

Exemplu. Dacă se consideră colectivitatea formată din piesele produse de o

firmă, atunci putem considera drept criteriu de cercetare proprietatea ca o piesă să

corespundă sau nu stasului.

CAPITOLUL 5

112

Prin experienŃă se înŃelege realizarea practică a complexului de condiŃii

corespunzătoare unui criteriu de cercetare.

Efectuarea unei experienŃe asupra unui element al colectivităŃii se numeşte

probă.

Realizarea unui criteriu în urma unei probe se numeşte eveniment.

Un eveniment care în unele probe poate avea loc, iar în altele nu se numeşte

eveniment întâmplător, stochastic sau aleator.

Dacă considerăm drept criteriu de cercetare al colectivităŃii apartenenŃa unui

element la colectivitate şi dacă notăm evenimentul corespunzător cu E, atunci

evenimentul E se va realiza în urma oricărei probe şi în consecinŃă îl vom numi

eveniment sigur.

Exemplu. La aruncarea unui zar, evenimentul sigur este „apariŃia uneia din

feŃele 1, 2, 3, 4, 5, 6 ”.

Evenimentul imposibil φ nu se poate realiza în nicio efectuare a experienŃei.

DefiniŃie. Se spune că evenimentul A implică evenimentul B dacă realizarea

evenimentului A atrage după sine realizarea evenimentului B.

Dacă evenimentul A implică evenimentul B, se scrie BA⊂ .

ObservaŃii.

1) Evenimentul imposibil implică orice eveniment ( A⊂φ ).

2) Orice eveniment implică evenimentul sigur ( EA⊂ ).

DefiniŃie. Evenimentul contrar evenimentului A este evenimentul care se

realizează atunci şi numai atunci când nu se realizează evenimentul A.

Evenimentul contrar lui A se notează cu A sau CA .

OperaŃii cu evenimente

Fie A şi B două evenimente legate de o experienŃă.

DefiniŃie. Se numeşte reuniunea evenimentelor A şi B un nou eveniment care se

realizează atunci şi numai atunci când se realizează cel puŃin unul din evenimentele A

sau B.

Se notează BA∪ .


113

Exemplu. Deoarece realizarea evenimentului A sau a contrarului său A este

întotdeauna o certitudine, avem relaŃia

EAA =∪ .

ObservaŃie. Reuniunea se poate extinde pentru un număr oarecare de

evenimente.

DefiniŃie. Se numeşte intersecŃia evenimentelor A şi B un nou eveniment care

se realizează atunci şi numai atunci când se realizează ambele evenimente A şi B.

Se notează BA∩ .

Exemplu. Din definiŃia evenimentului contrar lui A rezultă că avem

φ=∩ AA .

ObservaŃie. IntersecŃia se poate extinde pentru un număr oarecare de

evenimente.

DefiniŃie. Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă nu se pot realiza

simultan, adică dacă îndeplinesc relaŃia

φ=∩ BA .

Dacă φ≠∩ BA , evenimentele A şi B se numesc compatibile.

DefiniŃie. Se numeşte diferenŃa dintre evenimentul A şi evenimentul B un nou

eveniment care se realizează atunci şi numai atunci când se realizează evenimentul A

dar nu se realizează evenimentul B.

Se notează BA − .

ObservaŃie. BABA ∩=− .

DefiniŃie. Fie Ω o mulŃime nevidă. O familie K de părŃi ale lui Ω se numeşte

corp de părŃi dacă este închisă faŃă de operaŃiile de reuniune finită şi complementară,

adică dacă îndeplineşte următoarele condiŃii:

1) KBA ∈∀ , rezultă KBA ∈∪ ;

2) KA∈∀ rezultă KA∈ .

DefiniŃie. Fie Ω o mulŃime nevidă. O familie K de părŃi ale lui Ω se numeşte

σ - corp sau corp borelian dacă este închisă faŃă de operaŃiile de reuniune infinită şi

complementară, adică dacă îndeplineşte următoarele condiŃii:

CAPITOLUL 5

114

1) ∗∈∈∀ N iKAi , rezultă KAi

i ∈∗∈

UN

;

2) KA∈∀ rezultă KA∈ .

ObservaŃie. Orice corp borelian este şi corp.

Practica arată că mulŃimea evenimentelor asociate unei experienŃe formează un

corp de părŃi dacă ele sunt în număr finit şi un corp borelian dacă sunt în număr infinit.

De aceea, vom numi câmp (câmp borelian) de evenimente, evenimentul sigur E

înzestrat cu un corp (corp borelian) K de evenimente. Un câmp de evenimente îl vom

nota prin (E,K).

DefiniŃie. Se spune că evenimentele ),(,,, 21 KEAAA n ∈K reprezintă o

desfacere sau o partiŃie a evenimentului A dacă îndeplinesc următoarele condiŃii:

1) jinjiAA ji ≠=φ=∩ ,,1,, ;

2) Un

kkAA

1== .

DefiniŃie. O mulŃime finită ,...,, 21 nEEE de evenimente din ),( KE

formează mulŃimea evenimentelor elementare a câmpului de evenimente ),( KE dacă:

1) φ=∩ ji EE , nji ,1, = , ji ≠ ;

2) Un

iiEE

1== ;

3) ),( KEA∈∀ , φ≠A , ,...,2,1 nk∈∃ astfel încât kiii EEEA ∪∪∪= ...

21.

DefiniŃie. Fie (E,K) un câmp de evenimente. Se numeşte probabilitate6 pe K o

aplicaŃie R→KP : care îndeplineşte următoarele condiŃii:

1) KAAP ∈∀≥ ,0)( ;

2) 1)( =EP ;

3) KBABPAPBAP ∈∀+=∪ ,),()()( cu φ=∩ BA .

Tripletul (E, K, P) se numeşte câmp de probabilitate.

6 DefiniŃia axiomatică a probabilităŃii a fost formulată iniŃial de A. N. Kolmogorov (1933)


115

DefiniŃie. Fie (E,K) un câmp borelian de evenimente. Se numeşte probabilitate

σ - aditivă sau complet aditivă, o aplicaŃie R→KP : care îndeplineşte următoarele

condiŃii:

1) KAAP ∈∀≥ ,0)( ;

2) 1)( =EP ;

3) ( ) ( ) KAAPAP IiiIi

iIi

i ∈∀∑=

∈

∈∈

,U cu jiAA ji ≠φ=∩ , , I este o mulŃime

cel mult numărabilă de indici.

Tripletul (E, K, P) se numeşte în acest caz câmp borelian de probabilitate.

ConsecinŃe.

1. Fie un câmp de evenimente (E,K) şi fie desfacerea E1, E2, …, En a

evenimentului sigur E în evenimente elementare. Orice eveniment ),( KEA∈ se poate

scrie ca reuniune de evenimente elementare, adică

kiii EEEA ∪∪∪= K21

cu

sjii iiEEsj

≠φ=∩ , .

Din axioma 3) rezultă

( ) ( ) ( ) ( )kiii EPEPEPAP +++= K

21.

Înseamnă că pentru a cunoaşte probabilitatea unui eveniment oarecare A este

suficient să cunoaştem probabilităŃile evenimentelor elementare E1, E2, …, En.

Cum nEEEE ∪∪∪= K21 , avem

( ) ( ) ( ) ( ) 121 =+++= nEPEPEPEP K .

Considerând că toate evenimentele elementare au aceeaşi probabilitate de a se

realiza, adică

( ) ( ) ( )n

EPEPEP n1

21 ==== K

rezultă n

kAP =)( .

CAPITOLUL 5

116

Am găsit astfel definiŃia clasică a probabilităŃii7.

DefiniŃie. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul

evenimentelor elementare favorabile realizării evenimentului considerat şi numărul

total al evenimentelor elementare, evenimentele elementare fiind considerate egal

probabile.

Se observă că definiŃia clasică a probabilităŃii nu se poate aplica atunci când

numărul evenimentelor elementare este infinit.

2. Pentru orice ),,( PKEA∈ avem )(1)( APAP −= .

Într-adevăr, cum EAA =∪ şi φ=∩ AA rezultă că 1)()()( =+= APAPEP ,

de unde )(1)( APAP −= .

3. ( ) 0=φP .

Într-adevăr, cum AA =∪φ şi φ=∩φ A rezultă că ( ) )()( APAPP =+φ , de

unde ( ) 0=φP .

4. Pentru orice ),,( PKEA∈ avem 1)(0 ≤≤ AP .

Prima parte a inegalităŃii este asigurată prin definiŃie, iar pentru partea a doua

folosim consecinŃa 2 şi avem 1)(1)( ≤−= APAP .

5. Dacă ),,(, PKEBA ∈ şi BA⊂ , atunci )()( BPAP ≤ .

Într-adevăr, cum )( ABAB ∩∪= şi φ=∩∩ )AB(A rezultă că

)()()()( APABPAPBP ≥∩+= .

6. Dacă ),,(, PKEBA ∈ , atunci )()()( BAPBPABP ∩−=− .

Într-adevăr, cum )()( BAABB ∩∪−= şi φ=∩∩− )()( BAAB rezultă că

)()()( BAPABPBP ∩+−= .

7. Dacă ),,(, PKEBA ∈ şi BA⊂ , atunci )()()( APBPABP −=− .

Într-adevăr, cum AABB ∪−= )( şi φ=∩− AAB )( rezultă că

)()()( APABPBP +−= .

8. Formula de adunare a probabilităŃilor. Dacă ),,(, PKEBA ∈ , atunci

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .

7 DefiniŃia clasică a probabilităŃii a fost formulată iniŃial de J. Bernoulli (1705)


117

Într-adevăr, cum )]([ BABABA ∩−∪=∪ şi φ=∩−∩ )]([ BABA rezultă că

)]([)()( BABPAPBAP ∩−+=∪ .

Cum BBA ⊂∩ , din consecinŃa 7 rezultă

)()())(( BAPBPBABP ∩−=∩−

care înlocuită în egalitatea precedentă ne dă )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .

ObservaŃie. Prin inducŃie matematică se demonstrează că oricare ar fi

evenimentele A1, A2, …, An ),,( PKE∈ avem

).()1(

)()()(

21

11

nn

kjikji

jiji

n

ii

n

ii

AAAP

AAAPAAPAPAP

∩∩∩−+−

−∑ ∩∩+∑ ∩−∑=

<<<==

KK

U

9. Oricare ar fi ∈BA, (E,K,P) avem )()()( BPAPBAP +≤∪ .

Aceasta rezultă imediat din consecinŃa 8.

ObservaŃie. Proprietatea rămâne adevărată oricare ar fi evenimentele A1, A2,

…, An ),,( PKE∈ şi avem ∑≤

==

n

ii

n

ii APAP

11)(U .

10. Inegalitatea lui Boole 8. Dacă A1, A2, …, An ),,( PKE∈ , atunci

∑−≥

==

n

ii

n

ii APAP

11)(1I .

Într-adevăr,

∑−≥

−=

=

====

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii APAPAPAP

1111)(11 UUI .

ObservaŃie. Inegalitatea lui Boole ne dă o limită inferioară pentru

probabilitatea intersecŃiei a n evenimente.

ProbabilităŃi condiŃionate

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate (câmp borelian de probabilitate), iar A şi B

două evenimente ale câmpului cu 0)( ≠BP .

8 George Boole (1815 – 1864), matematician şi logician englez, fondatorul logicii matematice moderne

CAPITOLUL 5

118

DefiniŃie. Se numeşte probabilitate condiŃionată9 a evenimentului A de către

evenimentul B raportul )(

)(

BP

BAP ∩.

Se notează )|( BAP sau )(APB .

ObservaŃie. Tripletul (E,K,PB) este un câmp (câmp borelian) de probabilitate.

Formula de înmulŃire a probabilităŃilor. Fie A1, A2, …, An ),,( PKE∈ cu

( ) 0121 ≠∩∩∩ −nAAAP K . Are loc formula

( )))(|(

))(|()|()(

121

21312121

−∩∩∩⋅⋅

⋅∩⋅⋅=∩∩∩

nn

n

AAAAP

AAAPAAPAPAAAP

KK

K

DemonstraŃie. Vom folosi metoda inducŃiei matematice .

Pentru n = 2 avem ( ) )|()( 12121 AAPAPAAP ⋅=∩ care este tocmai definiŃia

probabilităŃii condiŃionate.

Presupunem formula adevărată pentru n – 1 şi o demonstrăm pentru n. Avem

( ) ( ) ( )))(|())(|()|()(

)|(

121211121

121121121

−−−

−−−

∩∩∩⋅∩∩⋅⋅⋅=

∩∩∩⋅∩∩∩=∩∩∩∩

nnnn

nnnnn

AAAAPAAAPAAPAP

AAAAPAAAPAAAAP

KKK

KKK

DefiniŃie. Se spune că evenimentele A şi B ),,( PKE∈ sunt independente

dacă

)()()( BPAPBAP ⋅=∩ .

Se spune că evenimentele familiei finite A1, A2, …, An ),,( PKE⊂ sunt

independente (sau independente în totalitatea lor) dacă evenimentele oricărei subfamilii

nevide a familiei date sunt independente, adică dacă niii k ≤≤≤≤≤∀ ...1 21 avem

)()()()(2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ⋅⋅=∩∩∩ K .

ObservaŃie. Dacă evenimentele familiei A1, A2, …, An sunt independente în

totalitatea lor, atunci sunt independente şi s câte s.

Exemplul datorat lui S. N. Bernstein10 ne arată că reciproca nu este adevărată.

Fie un tetraedru având o faŃă colorată cu alb, una cu roşu, una cu negru şi a patra

cu toate cele trei culori.

9 DefiniŃia a fost formulată iniŃial de Jacques Bernoulli (1700) 10 Serghei Natanovici Bernstein (1880 – 1968), matematician rus


119

Notând cu 1A evenimentul apariŃiei culorii albe, cu 2A evenimentul apariŃiei

culorii roşii şi cu 3A evenimentul apariŃiei culorii negre, avem

,4

1)(

,8

1)()()(

,2

1)()()(

321

321

321

=∩∩

=⋅⋅

===

AAAP

APAPAP

APAPAP

deci 1A , 2A , 3A nu sunt independente în totalitatea lor, dar sunt independente două câte

două deoarece

4

1)()()( 323121 =∩=∩=∩ AAPAAPAAP .

Formula probabilităŃii totale. Dacă A1, A2, …, An reprezintă o desfacere în

evenimente incompatibile a evenimentului sigur, atunci pentru orice eveniment X al

câmpului de evenimente (E, K, P) are loc formula

( ) ( ) ( ) ( )XPAPXAPXPkA

n

kk

n

kk ∑ ⋅=∑ ∩=

== 11 .

DemonstraŃie. Într-adevăr, din faptul că A1, A2, …, An reprezintă o desfacere a

evenimentului sigur în evenimente incompatibile, avem

EAn

kk =

=U

1 şi φ=∩ ji AA , ji ≠ , nji ,1, = .

Un eveniment oarecare X din câmpul de evenimente se poate scrie

( )UUn

kk

n

kk XAXAXEX

11 ==∩=∩

=∩=

cu

( ) ( ) njijiXAXA ji ,1,,, =≠φ=∩∩∩

şi deci

( ) ( ) ( )∑ ⋅=∑ ∩=

∩=

===

n

kAk

n

kk

n

kk XPAPXAPXAPXP

k111

)()( U .

Formula lui Bayes11. În aceleaşi condiŃii ca la formula probabilităŃii totale

are loc şi formula

11 Thomas Bayes (1702 – 1761), matematician englez şi preot prezbiterian

CAPITOLUL 5

120

( )( ) ( )

( ) ( )XPAP

XPAPAP

k

k

A

n

kk

AkkX

∑ ⋅

⋅=

=1

.

DemonstraŃie. Cum ( ) ( ) ( ) )()( XPAPAPXPXAPkAkkXk ⋅=⋅=∩ rezultă că

( )( ) ( )

( )XP

XPAPAP kAk

kX

⋅= . Înlocuind P(X) din formula probabilităŃii totale se obŃine

formula lui Bayes.

Scheme probabilistice clasice

Schema bilei nerevenite

Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre se extrag n bile ( ban +≤ ) una câte

una fără întoarcerea bilei extrase în urnă (ceea ce este echivalent cu a extrage n bile

deodată).

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie albe şi k2 să fie negre

( nkk =+ 21 ) este

nb

kbC

P

+

⋅=

a

ka

C

C 21

.

DemonstraŃie. Numărul cazurilor posibile este nb+aC . Un grup de k1 bile albe

poate fi luat în 1kaC moduri, iar unul de k2 bile negre în 2k

bC moduri, deci numărul

cazurilor favorabile este 21kaC k

bC⋅ . Folosind definiŃia clasică a probabilităŃii rezultă

formula din enunŃ.

ObservaŃie. Această schemă admite următoarea generalizare

O urnă conŃine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2, …, as bile de

culoarea s. Se extrag n bile ( saaan +++≤ ...21 ).

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie de culoarea 1, k2 să fie de

culoarea 2, …, ks de culoarea s ( nkkk s =+++ ...21 ) este


121

naa

ka

ka

s

s

sCC

P

+++

⋅⋅⋅=

...a

ka

21

2

2

1

1

C

...C.

Schema bilei revenite (schema lui Bernoulli12)

Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre se extrag n bile, introducându-se de

fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n – k să fie negre este

knkkn qpCP −= ,

unde ba

ap

+= este probabilitatea de a extrage o bilă albă, iar

ba

bpq

+=−= 1 este

probabilitatea de a extrage o bilă neagră.

ObservaŃii.

1) Folosind binomul lui Newton

∑=+=

−n

k

kknkkn

n tqpCqpt0

)( ,

probabilitatea cerută de schema lui Bernoulli este coeficientul lui kt din această

dezvoltare. Din acest motiv schema se mai numeşte şi schema binomială.

2) Această schemă admite următoarea generalizare

O urnă conŃine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2, …, as bile de

culoarea s. Se extrag n bile, punând de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie de culoarea 1, k2 să fie de

culoarea 2, …, ks de culoarea s ( nkkk s =+++ ...21 ) este

sks

kk

sppp

kkk

nP ...

!!...!

! 2121

21= ,

unde

saaa

ap

+++=

...21

11 este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea 1,

12 Jean Bernoulli (1667 – 1748), matematician elveŃian

CAPITOLUL 5

122

saaa

ap

+++=

...21

22 este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea 2,

M

s

ss aaa

ap

+++=

...21 este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea s.

Această schemă se numeşte schema polinomială.

Schema lui Poisson13

Fie n urne U1, U2, …, Un. Urna U1 conŃine a1 bile albe şi b1 bile negre, urna U2

conŃine a2 bile albe şi b2 bile negre, …, urna Un conŃine an bile albe şi bn bile negre.

Se extrage câte o bilă din fiecare urnă.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n – k să fie negre este

dată de coeficientul lui kt din polinomul ( )( ) ( )nn qtpqtpqtp +++ ...2211 , unde

p1 este probabilitatea ca din urna U1 să extragem o bilă albă,

p2 este probabilitatea ca din urna U2 să extragem o bilă albă,

………………………………………………………………………

pn este probabilitatea ca din urna Un să extragem o bilă albă,

iar

q1 este probabilitatea ca din urna U1 să extragem o bilă neagră,

q2 este probabilitatea ca din urna U2 să extragem o bilă neagră,

…………………………………………………………………………

qn este probabilitatea ca din urna Un să extragem o bilă neagră.

ObservaŃie. Schema lui Poisson este o generalizare a schemei polinomiale.

5.2. Variabile aleatoare

DefiniŃie. Se numeşte variabilă aleatoare acea variabilă pentru care

evenimentul de a lua o valoare oarecare din mulŃimea ei de definiŃie este un eveniment

aleator (întâmplător).

13 Siméon Denis Poisson (1781-1840), matematician şi mecanician francez


123

Dacă o variabilă aleatoare ia valori dintr-o mulŃime cel mult numărabilă,

atunci ea se numeşte variabilă aleatoare discretă, iar dacă ia valori dintr-un interval al

dreptei reale se numeşte variabilă aleatoare continuă.

Fie X o variabilă aleatoare discretă şi fie xi, ni ,1= mulŃimea valorilor pe care le

poate lua variabila aleatoare X. Să notăm cu )( ixXP = probabilitatea ca variabila

aleatoare X să ia valoarea xi. Această probabilitate este evident funcŃie de xi şi deci

putem scrie

iii pxfxXP === )()( .

Pentru a cunoaşte o variabilă aleatoare trebuie să cunoaştem atât valorile xi pe

care le ia variabila aleatoare în timpul procesului de variaŃie cât şi probabilităŃile cu care

ia aceste valori.

Din această cauză vom nota variabilele aleatoare discrete prin

( )

i

i

xf

xX sau

i

i

p

xX , ni ,1= ,

unde xi se numeşte argumentul variabilei aleatoare X, iar f(xi) = pi se numeşte funcŃie de

probabilitate.

În mod evident avem 0)( ≥ixf , ni ,1= .

Cum evenimentele )( ii xXE == , constituie o desfacere în evenimente

incompatibile a evenimentului sigur E avem 1)(1

=∑=

n

iixf .

Rezultă că o variabilă aleatoare X se mai poate scrie

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

unde f(xi) îndeplineşte condiŃiile:

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ;

2) 1)(1

=∑=

n

iixf .

CAPITOLUL 5

124

MulŃimea valorilor variabilei aleatoare împreună cu funcŃia de probabilitate

definesc distribuŃia variabilei aleatoare.

Exemple.

1) DistribuŃia discretă uniformă

Variabila aleatoare X care este definită de această distribuŃie ia valorile xi cu

aceeaşi probabilitate n

1. Deci distribuŃia variabilei X este

ni

n

xX

i,1,1 =

.

Avem evident 01

)( >=n

xf i , ni ,1= şi 11

)(11=∑=∑

==

n

i

n

ii n

xf .

2) DistribuŃia binomială (Bernoulli) are variabila aleatoare

nkqpC

kX knkk

n,0, =

− ,

unde k reprezintă numărul de bile albe extrase dintr-o urnă Bernoulli.

Avem evident

0)( ≥= −knkkn qpCkf , nk ,0=

şi

1)()(00

=+=∑=∑=

−

=

nn

k

knkkn

n

kqpqpCkf .

Cu variabilele aleatoare discrete se pot efectua diferite operaŃii.

Fie un sistem de două variabile aleatoare

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= şi ( )

j

j

yg

yY , mj ,1= .

Variabila aleatoare YX o va avea distribuŃia

),( ji

ji

yxh

yxYX

oo , ni ,1= , mj ,1= ,


125

unde ),( ji yxh este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea xi şi variabila

aleatoare Y să ia valoarea yj.

Dacă cele două variabile aleatoare sunt independente, atunci h(xi,yj) = f(xi)·g(yj).

Cu variabilele aleatoare ale unui sistem se pot defini operaŃii ca suma, produsul,

înmulŃirea cu o constantă, etc.

DefiniŃie. Se numeşte suma variabilelor aleatoare X şi Y o nouă variabilă

aleatoare notată prin X + Y a cărei distribuŃie este

( )

++

ji

ji

yxh

yxYX

, , ni ,1= , mj ,1= ,

unde

1) 0),( ≥ji yxh , ni ,1= , mj ,1= ;

2) 1),(1 1

=∑ ∑= =

n

i

m

jji yxh .

DefiniŃie. Se numeşte produsul cu o constantă k a unei variabile aleatoare X o

nouă variabilă aleatoare notată prin kX a cărei distribuŃie este

( )

i

i

xf

kxkX , ni ,1= ,

unde

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ;

2) 1)(1

=∑=

n

iixf .

DefiniŃie. Se numeşte produsul variabilelor aleatoare X şi Y o nouă variabilă

aleatoare notată prin XY a cărei distribuŃie este

( )

ji

ji

yxh

yxXY

, , ni ,1= , mj ,1= ,

unde

1) 0),( ≥ji yxh , ni ,1= , mj ,1= ;

CAPITOLUL 5

126

2) 1),(1 1

=∑ ∑= =

n

i

m

jji yxh .

DefiniŃie. Se numeşte puterea p a variabilei aleatoare X o nouă variabilă

aleatoare notată prin pX a cărei distribuŃie este

)( i

pip

xf

xX , ni ,1= ,

unde

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ;

2) 1)(1

=∑=

n

iixf .

Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, atunci argumentul ei x ia valori dintr-

un interval [a,b] şi deci P(X = x) = 0.

Pentru a defini distribuŃia variabilei aleatoare continue vom considera un interval

infinitezimal [x,x+dx]. Probabilitatea (infinitezimală) dP ca variabila aleatoare X să ia o

valoare din acest interval reprezintă o funcŃie de x şi este de forma dP= f(x)dx, unde f(x)

se numeşte densitate de probabilitate.

Pentru a cunoaşte o variabilă aleatoare continuă trebuie să cunoaştem densitatea

de probabilitate f(x). DistribuŃia variabilei aleatoare continue X cu densitatea de

probabilitate f(x) se va scrie

],[,)(

baxxf

xX ∈

.

f(x) are proprietăŃile:

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ;

2) 1)( =∫b

adxxf .

Exemple.

1) DistribuŃia continuă uniformă pentru o variabilă aleatoare X definită în [a,b]

are densitatea de probabilitate ab

xf−

=1

)( .

Avem


127

01

)( >−

=ab

xf

şi

11

)( =∫−

=∫b

a

b

adx

abdxxf .

2) DistribuŃia Cauchy are densitatea de probabilitate R∈+π

= xx

xf ,)1(

1)(

2.

Avem

0)1(

1)(

2>

+π=

xxf

şi

12

2lim1

1

1lim

1

)1(

1)(

22=

π⋅

π=

π=∫

+π=∫

+π=∫

∞→−∞→

+∞

∞−

+∞

∞−

2narctgdx

xdx

xdxxf

n

n

nn.

Reprezentări grafice ale funcŃiei de probabilitate

şi ale densităŃii de probabilitate

Fie o variabilă aleatoare discretă X de distribuŃie

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ,

2) 1)(1

=∑=

n

iixf .

Dacă raportăm planul la un sistem ortogonal de coordonate xOy, atunci

mulŃimea punctelor Mi(xi,f(xi)), ni ,1= reprezintă graficul variabilei aleatoare discrete X.

Exemplu. Fie variabila aleatoare discretă X de distribuŃie

27

8

9

4

9

2

27

13210

X .

CAPITOLUL 5

128

Graficul ei este dat de mulŃimea punctelor

27

1,00M ,

9

2,11M ,

9

4,22M şi

27

8,33M . (Fig. 1)

Dacă pe axa absciselor sunt trecute punctele reprezentând valorile variabilei xi şi

din aceste puncte se ridică segmente verticale de lungime pi = f(xi) se obŃine graficul

prin bastonaşe.

Pentru variabila aleatoare discretă X din exemplul precedent, graficul prin

bastonaşe este dat de mulŃimea segmentelor paralele cu axa Oy, situate deasupra axei

Ox, care trec prin punctele de pe axa Ox: O(0,0), A1(1,0), A2(2,0), A3(3,0) şi au

respectiv lungimile 27

8,

9

4,

9

2,

27

1. (Fig. 2)

Punctele Mi(xi,f(xi)), ni ,1= pot fi unite de o infinitate de curbe. O curbă care

uneşte punctele Mi(xi,f(xi)), ni ,1= se numeşte curbă de distribuŃie a variabilei aleatoare

discrete X. Deci se pot considera o infinitate de curbe de distribuŃie pentru o variabilă

aleatoare discretă. Dintre acestea cea mai simplă curbă de distribuŃie se obŃine unind

punctele Mi(xi,f(xi)), ni ,1= prin segmente de dreaptă.


129

Un alt mod de a reprezenta grafic o variabilă aleatoare discretă, des întâlnit în

practică, este dat de histograma variabilei aleatoare14. Pentru a construi histograma, se

face convenŃia ca valorile xi ale variabilei aleatoare X să se ia echidistante cu

11 =−+ ii xx . În acest caz, ordonata pi = f(xi) are ca mărime acelaşi număr ce exprimă şi

aria dreptunghiului de bază 11 =− −ii xx şi înălŃime pi = f(xi). În practică, se construiesc

dreptunghiuri, astfel ca valoarea xi să fie la mijlocul bazei dreptunghiului cu înălŃimea

f(xi).

O astfel de reprezentare grafică se numeşte se numeşte histograma variabilei

aleatoare X.

Histograma pentru variabila aleatoare discretă X din exemplul precedent este

dată în (Fig. 3).

Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuŃia

],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci reprezentarea grafică a funcŃiei densitate de probabilitate f(x) se face după

modelul dat de analiza matematică.

Curba obŃinută se numeşte, de asemenea, curbă de distribuŃie a variabilei

aleatoare X.

14 Histogramele sunt utilizate în statistica matematică, economie, demografie

CAPITOLUL 5

130

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

a) Valoarea medie (sau speranŃa matematică)15

Fie o variabilă aleatoare discretă X de distribuŃie

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ,

2) 1)(1

=∑=

n

iixf .

DefiniŃie. Se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare X numărul

)(...)()()()( 22111

nnn

iii xfxxfxxfxxfxXM +++=∑=

=.


],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci valoarea medie se defineşte prin

∫=b

adxxxfXM )()( .

ProprietăŃi ale valorii medii

1) Dacă X = k, adică variabila aleatoare este constantă, atunci M(X) = k.

2) Valoarea medie este valoare internă, adică dacă argumentul variabilei

aleatoare ia valori din [a,b], atunci avem şi M(X)∈[a,b].

3) M(kX) = kM(X), unde k este o constantă reală.

4) M(k+X) = k + M(X), unde k este o constantă reală.

5) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare oarecare, atunci

15 NoŃiunea a fost introdusă de Christiaan Huygens (1629 – 1695), matematician, astronom şi fizician olandez


131

M(X + Y) = M(X)+M(Y).

6) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci

M(XY) = M(X)M(Y).

b) Abaterea unei variabile aleatoare

DefiniŃie. Se numeşte abatere a variabilei aleatoare X cu R∈)(XM , o nouă

variabilă aleatoare ξ de argument egal cu diferenŃa dintre argumentul lui X şi

M(X)=m (valoarea medie a variabilei aleatoare X). Astfel, dacă variabila aleatoare X

este discretă cu distribuŃia

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ,

2) 1)(1

=∑=

n

iixf ,

atunci

−ξ

)( i

i

xf

mx ,

iar dacă variabila aleatoare X este continuă cu distribuŃia

],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci

−ξ

)( ixf

mx .

łinând seama de proprietatea d) a valorii medii, avem

0)()()( =−=−=ξ mmmMXMM ,

deci valoarea medie a abaterii este nulă.

c) Momente de ordinul k

DefiniŃie. Se numeşte moment de ordin k al variabilei aleatoare X valoarea

medie a variabilei kX . Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuŃia

CAPITOLUL 5

132

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ,

2) 1)(1

=∑=

n

iixf ,

atunci

∑==

n

ii

ki

k xfxXM1

)()( ,


],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ , 2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci

∫=b

a

kk dxxfxXM )()( .

d) Medii de ordinul k

DefiniŃie. Se numeşte medie de ordinul k a variabilei aleatoare X, radicalul de

indice k din momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X.

Notând cu )(XMk media de ordinul k, avem

k kk XMXM )()( = .

ProprietăŃi ale momentelor şi ale mediilor

1) Dacă X = c, adică variabila aleatoare este constantă, atunci kk cXM =)(

şi cXM k =)( .

2) Dacă avem un sistem de n variabile independente X1, X2, …, Xn cu

( ) ( ) ( ) 0...21 ==== nXMXMXM , atunci

( )( ) ( ) ( ) ( )222

21

221 ...... nn XMXMXMXXXM +++=+++ .


133

3) Dacă k < p, atunci )()( pk XMXM < şi )()( XMXM pk < .

4) Media de ordinul k este o valoare internă în sensul că dacă argumentul

variabilei aleatoare ia valori din [a,b], atunci avem şi ],[)( baXM k ∈ .

e) Momente centrate

DefiniŃie. Se numeşte moment centrat de ordinul k al variabilei aleatoare X

momentul de ordinul k al abaterii.

Notând cu mk momentul centrat de ordinul k, dacă variabila aleatoare X este

discretă cu distribuŃia

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= , 2) 1)(1

=∑=

n

iixf ,

atunci

( ) ∑ −=ξ==

n

ii

ki

kk xfmxMm

1)()( ,


],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci

( ) ∫ −=ξ=b

a

kkk dxxfmxMm )()( .

Dezvoltând după formula binomului lui Newton pe kmx )( − avem

kkk

kkk

kk

kk mCXMmCXmMCXMm )1(...)()()( 22211 −+−+−= −− .

Pentru valori particulare ale lui k, avem:

2233

222

1

2)(3)(

)(

0

mXmMXMm

mXMm

m

+−=

−=

=

CAPITOLUL 5

134

şi aşa mai departe.

Momentul centrat de ordinul doi se numeşte dispersia (sau varianŃa sau

fluctuaŃia) variabilei aleatoare X şi se notează cu 2σ sau D(X). Astfel, dacă variabila

aleatoare X este discretă cu distribuŃia

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= ,

2) 1)(1

=∑=

n

iixf ,

atunci

22

1

22 )()()( mXMxfmxn

iii −=∑ −=σ

=,


],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci

222 )()()( mXMdxxfmxb

a

k −=∫ −=σ .

ProprietăŃi ale dispersiei

1) Dacă X = c, adică variabila aleatoare este constantă, atunci D(X) = 0.

2) D(cX) = c2·D(X), unde c este o constantă reală.

3) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci

)()()( YDXDYXD +=+ .

4) )()( XDXcD =+ , unde c este o constantă reală.


135

ObservaŃie. )(XD se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare

X.

f) Mediană. FuncŃie de repartiŃie

DefiniŃie. Se numeşte funcŃie de repartiŃie a variabilei aleatoare X

probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valori mai mici decât un număr real x.

Notând cu F(x) funcŃia de repartiŃie, avem

F(x) = P(X < x).

Dacă variabila aleatoare X este discretă şi are distribuŃia

( )

i

i

xf

xX , ni ,1= ,

1) 0)( ≥ixf , ni ,1= , 2) 1)(1

=∑=

n

iixf ,

atunci

∑=<

=

xx

ii

ixfxF

1)()( ,

deoarece

F(x) = P(X < x) = ∑=∑ =<

=

<

=

xx

ii

xx

ii

iixfxXP

11)()( .

ObservaŃie. Cu ajutorul funcŃiei de repartiŃie putem calcula probabilitatea ca

variabila aleatoare X să ia valori cuprinse între două numere p şi q şi avem

)()()( pFqFqXpP −=<< .


],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci funcŃia de repartiŃie este

∫=<=x

adttfxXPxF )()()( .

CAPITOLUL 5

136

ObservaŃii.

1) Ca şi în cazul variabilelor aleatoare discrete, avem

∫=−=<<q

pdttfpFqFqXpP )()()()( .

2) Cunoscând funcŃia de repartiŃie F(x) a unei variabile aleatoare X, putem afla

densitatea de probabilitate f(x) şi anume

dx

xdFxf

)()( = .

ProprietăŃi ale funcŃiei de repartiŃie

1) F(a) = 0, F(b) = 1;

2) F(x) ∈[0,1], ],[ bax∈∀ .

DefiniŃie. Se numeşte mediana variabilei aleatoare X acea valoare Me pentru

care

)()( ee MXPMXP >=< .

łinând seama că )(1)( ee MXPMXP >−=< , rezultă că

2

1)( =eMF .

Astfel, mediana este soluŃie a ecuaŃiei 2

1)( =xF .

ObservaŃie. În acest caz, Me coincide cu o valoare a variabilei aleatoare. Sunt

cazuri când ea este cuprinsă într-un interval ),( 1+kk xx şi atunci spunem că avem un

interval median. Se obişnuieşte ca Me să se ia mijlocul intervalului median.

Dacă variabila aleatoare este continuă şi are distribuŃia

],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,


137

atunci Me se găseşte ca soluŃie a ecuaŃiei 2

1)( =xF , adică

2

1)( =∫

eM

adxxf .

g) Modul (sau valoarea dominantă sau valoarea cea mai probabilă)

DefiniŃie. Se numeşte modul variabilei aleatoare X acea valoare M0 a

argumentului pentru care funcŃia de probabilitate, respectiv funcŃia densitate de

probabilitate, după cum variabila aleatoare X este discretă, respectiv continuă, are

valoare maximă.


],[,)(

baxxf

xX ∈

,

1) 0)( ≥xf , ],[ bax∈ ,

2) 1)( =∫b

adxxf ,

atunci pentru aflarea modului se află maximul funcŃiei f(x) din [a,b].

h) Quantile

DefiniŃie. Se numesc quantile de ordinul n a unei variabile aleatoare X

rădăcinile reale ale ecuaŃiilor

1,1,)( −== nin

ixF ,

unde n este un număr natural dat, iar F(x) este funcŃia de repartiŃie a variabilei

aleatoare X.

Se observă că mediana Me fiind rădăcină a ecuaŃiei 2

1)( =xF este quantilă de

ordinul doi.

În practică se consideră de obicei n = 2, 4, 10, 100.

Pentru n = 4, cele trei rădăcini se numesc quartile.

Pentru n = 10, cele nouă rădăcini se numesc decile.

Pentru n = 100, cele 99 rădăcini se numesc centile.

CAPITOLUL 5

138

i) CovarianŃa

Fie două variabile aleatoare X şi Y.

DefiniŃie. Se numeşte covarianŃa variabilelor aleatoare X şi Y valoarea medie

a variabilei (X - m1)(Y - m2), unde m1 şi m2 sunt respectiv valorile medii ale variabilelor

X şi Y.

Notând covarianŃa cu cov(X,Y), avem

cov(X,Y) = M((X - m1)(Y - m2)).

Cum m1 = M(X) şi m2 = M(Y), avem

cov(X,Y) = M(XY – m1Y – m2X + m1m2) = M(XY) – m1M(Y) – m2M(X) + m1m2

= M(XY) – M(X)M(Y).

Are loc deci formula

cov(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y).

ObservaŃie. Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, atunci

cov(X,Y) = 0.

j) Coeficient de corelaŃie

Fie două variabile aleatoare X şi Y cu valorile medii m1, respectiv m2 şi abaterile

medii pătratice 1σ şi respectiv 2σ . Lor le putem ataşa variabilele aleatoare

1

1'σ

−=

mXX şi respectiv

2

2'σ

−=

mYY

numite variabile aleatoare normate.

ObservaŃie. Dacă X este o variabilă aleatoare de valoare medie m, atunci

variabila aleatoare normată 'X are valoarea medie egală cu m, iar dispersia este 1.

DefiniŃie. Se numeşte coeficient de corelaŃie al variabilelor X şi Y covarianŃa

variabilelor aleatoare normate 'X şi 'Y .

Notând coeficientul de corelaŃie cu XYρ , avem

212

2

1

1

21

21 ),cov())(()','cov(

σσ=

σ

−⋅

σ

−−

σσ

−−==ρ

YXmYM

mXM

mYmXMYXXY .


139

ProprietăŃi ale coeficientului de corelaŃie

1) 11 ≤ρ≤− XY .

2) Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, atunci 0=ρXY .

3) Dacă '' YX = , atunci 1=ρXY .

4) Dacă '' YX −= , atunci 1−=ρXY .

k) FuncŃia caracteristică

Fie X o variabilă aleatoare discretă sau continuă. Variabilei aleatoare X îi putem

ataşa o nouă variabilă aleatoare itXe de distribuŃie

∗∈

N k

xf

ee

k

itxitX k

,)(

, dacă variabila aleatoare X este discretă

şi

R ∈

x

xf

ee

itxitX ,

)(, dacă variabila aleatoare X este continuă,

unde i este unitatea imaginară, iar t este un parametru real.

DefiniŃie. Se numeşte funcŃie caracteristică a variabilei aleatoare X valoarea

medie a variabilei aleatoare itXe .

Notând funcŃia caracteristică cu c(t), avem

∑==∞

=1)()()(

k

itxk

itX kexfeMtc , dacă variabila aleatoare X este discretă

şi

∫==∞

∞−dxexfeMtc itxitX )()()( , dacă variabila aleatoare X este continuă.

5. 3. DistribuŃii continue clasice

O parte din variabilele aleatoare continue au o mare importanŃă teoretică şi

practică. Dintre acestea un loc central îl ocupă variabila aleatoare a cărei distribuŃie se

numeşte distribuŃia normală.

CAPITOLUL 5

140

DefiniŃie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuŃia normală dacă are

densitatea de probabilitate

R

∈πσ

=σ

σ

−−

xemxn

mx

,2

1),;(

2

2

1

,

unde m şi σ sunt doi parametri reali, iar 0>σ .

Să arătăm că ),;( σmxn este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte

următoarele condiŃii:

1) 0),;( ≥σmxn ;

2) 1),;( =∫ σ∞

∞−dxmxn .

Prima condiŃie este evident îndeplinită.

Pentru a doua condiŃie vom folosi integrala lui Gauss16 din analiză şi anume

20

2 π=∫

∞− dte t .

Avem

∫=∫=∞

∞−

−−∞

∞−dxedxmxnI

mx2

2

1

2

1),;( σ

πσσ

în care efectuând schimbarea de variabilă tmx 2σ=− , avem dtdx 2σ= şi limitele

de integrare se păstrează, deci putem scrie

∫π

=∫πσ

σ=

∞

∞−

−∞

∞−

− dtedteI tt 22 1

2

2.

Cum funcŃia de sub integrală este pară, rezultă

∫π

=∞−

0

22dteI t .

łinând seama de integrala lui Gauss, avem

12

2=

π

π=I .

16 Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematician şi astronom german


141

ObservaŃie. FuncŃia R

∈πσ

=σ σ−

xexn

x

,2

1),0;(

2

2

2 se numeşte densitatea

de probabilitate a variabilei normale centrate.

Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de

probabilitate ),;( σmxn .

a) ∫=∫=∞

∞−

−−∞

∞−dxxedxmxxnXM

mx2

2

1

2

1),;()( σ

πσσ .

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( tmx 2σ=− ), avem

2

) 2(1

2) 2(2

1)(

2

22

2

2

∫π

=

∫π

+∫π

σ=

∫ +σπ

=

∫ σ+σπσ

=

∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

dtem

dtem

dtte

dtemt

dtemtXM

t

tt

t

t

(prima integrală este nulă, deoarece funcŃia de sub integrală este impară).

Pentru integrala rămasă folosind paritatea funcŃiei şi integrala lui Gauss avem

mm

dtem

XM t =π

π=∫

π=

∞−

2

22)(

0

2.

Din M(X) = m, rezultă că parametrul m este tocmai valoarea medie a variabilei

aleatoare X.

b) ∫ −=∫ −=∞

∞−

−−∞

∞−dxemxdxmxnmxXD

mx2

2

1

22 )(2

1),;()()( σ

πσσ .

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( tmx 2σ=− ), avem

CAPITOLUL 5

142

.lim2

2

222

1)(

2

2

2

22

22

22

∫π

σ=

∫π

σ=

∫ σσπσ

=

−

−

∞→

∞

∞−

−

∞

∞−

−

n

n

t

n

t

t

dtet

dtet

dtetXD

Integrând prin părŃi, unde f = t, 2

' tteg −= , 1'=f , 2

2

1 teg −−= , obŃinem

,lim2

12

2

1lim

2

2lim

2)(

22

22

2

22

σ=∫π

σ=

∫

−π

σ−

π

σ−=

−

−

∞→

−

−

∞→−

−

∞→

n

n

t

n

n

n

t

n

n

n

t

n

dte

dteet

XD

deoarece

02

lim2

=−

−

∞→

n

n

t

ne

t

şi

π=∫−

−

∞→

n

n

t

ndte

2lim .

Deci 2σ este dispersia variabilei aleatoare cu distribuŃia normală.

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuŃia normală este

.2

1

),;()(

2

2

1

∫πσ

=

∫ σ=

∞

∞−

σ−

−

∞

∞−

dxex

dxmxnxXM

mx

k

kk

Graficul funcŃiei ),;( σmxn are forma unui clopot numit clopotul lui Gauss.

FuncŃia de repartiŃie a variabilei aleatoare X cu distribuŃia normală este


143

∫πσ

=<=∞−

σ

−−x

mt

dtexXPxF

2

2

1

2

1)()(

.

Ea depinde de x, m şi σ şi se notează cu ),;( σmxN .

FuncŃia

∫π

=∞−

−xt

dtexN 2

2

2

1)1,0;(

se numeşte funcŃia de repartiŃie normată.

Se demonstrează că variabilele aleatoare cu distribuŃia normală au următoarele

proprietăŃi:

1) Dacă o variabilă aleatoare X are distribuŃia normală ),;( σmxn , iar c este o

constantă reală, atunci variabila aleatoare cX are tot distribuŃia normală dată de

densitatea de probabilitate ),;( σccmxn .

2) Dacă variabilele aleatoare X1, X2, …, Xn sunt independente şi au distribuŃii

normale, atunci variabila aleatoare ∑==

n

kkXX

1 are tot o distribuŃie normală şi dacă

),;( kkk mxn σ este densitatea de probabilitate a variabilei kX , nk ,1= , atunci variabila

aleatoare X are densitatea de probabilitate dată de

∑ σ∑==

n

kk

n

kkmxn

1

2

1,; .

DistribuŃia Gamma

DefiniŃie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuŃia Gamma dacă are


<

≥Γ=

−−

,0,0

0,1

)(

1),;(

1

x

xexbabaxf

b

xa

a

unde a şi b sunt doi parametri reali strict pozitivi, iar ∫=Γ∞

−−

0

1)( dxexa xa .

CAPITOLUL 5

144

Să arătăm că ),;( baxf este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte


1) 0),;( ≥baxf ;

2) 1),;( =∫∞

∞−dxbaxf .


łinând seama de expresia lui ),;( baxf avem

∫Γ

=∫=∞ −

−∞

∞− 0

11

)(

1),;( dxex

badxbaxfI b

xa

a

.

Efectuând schimbarea de variabilă x = bt, avem dx = bdt şi limitele de integrare

se păstrează.

Astfel putem scrie

.1)()(

1)(

1

1

)(

1

),;(

0

1

0

11

=ΓΓ

=

∫Γ

=

∫Γ

=

∫=

∞−−

∞−−−

∞

∞−

aa

dteta

bdtetbba

dxbaxfI

ta

taaa

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuŃia Gamma este

.1

)(

1

1

)(

1

),;()(

0

1

0

1

∫Γ

=

∫Γ

=

∫=

∞ −−+

∞ −−

∞

∞−

dxexba

dxexxba

dxbaxfxXM

b

xka

a

b

xak

a

kk

Cu aceeaşi schimbare de variabilă (x = bt) avem

.)()(

1

1

)(

1

1

)(

1)(

0

1

0

11

kaba

dtetbba

bdtetbba

XM

k

tkakaa

tkakaa

k

+ΓΓ

=

∫Γ

=

∫Γ

=

∞−−++

∞−−+−+


145

łinând seama de formula de recurenŃă

)()1)...(2)(1()( aaakakaka Γ+−+−+=+Γ ,

obŃinem

kk bkaaaXM )1)...(1()( −++= .

Astfel pentru k = 1 avem abXM =)( , iar pentru k = 2 avem

22 )1()( baaXM += .


probabilitate ),;( baxf .

a) abXM =)( , conform celor de mai sus.

b) 22222 )()1()]([)()( ababbaaXMXMXD =−+=−= .

Graficul funcŃiei ),;( baxf depinde de valorile parametrilor a şi b.

FuncŃia de repartiŃie a variabilei aleatoare X cu distribuŃia Gamma este

<

≥∫Γ=<=

−−

.0,0

0,1

)(

1)()(

0

1

x

xdtetbaxXPxF

xb

ta

a

DistribuŃia Beta

DefiniŃie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuŃia Beta dacă are


><

≤≤−β=

−−

,1,0,0

10,)1(),(

1

),;(11

xx

xxxbabaxf

ba

unde a şi b sunt doi parametri reali strict pozitivi, iar ∫ −=β −−1

0

11 )1(),( dxxxba ba .

Să arătăm că ),;( baxf este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte


1) 0),;( ≥baxf ;

2) 1),;( =∫∞

∞−dxbaxf .

CAPITOLUL 5

146


łinând seama de expresia lui ),;( baxf avem

1),(),(

1)1(

),(

1),;(

1

0

11 =ββ

=∫ −β

=∫= −−∞

∞−ba

badxxx

badxbaxfI ba .

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare cu distribuŃia Beta este

.),(),(

1)1(

),(

1

)1(),(

1),;()(

1

0

11

1

0

11

bkaba

dxxxba

dxxxxba

dxbaxfxXM

bka

bakkk

+ββ

=∫ −β

=

∫ −β

=∫=

−−+

−−∞

∞−

łinând seama că între funcŃia Beta şi funcŃia Gamma are loc relaŃia

)(

)()(),(

ba

baba

+Γ

ΓΓ=β ,

obŃinem

.)1(...)1)((

)1(...)1(

)())(1(...)1)((

)()1(...)1)((

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)()(1

)(

−++⋅⋅+++

−+⋅⋅+=

+Γ+++⋅⋅−++Γ

Γ+⋅⋅−++Γ=

++ΓΓ

+Γ+Γ=

++Γ

Γ+Γ

+Γ

ΓΓ=

kbababa

kaaa

bababakbaa

aaakaba

kbaa

kaba

kba

bka

ba

baXM k

Astfel pentru k =1 avem ba

aXM

+=)( , iar pentru k = 2 avem

)1)((

)1()( 2

+++

+=

baba

aaXM .


probabilitate ),;( baxf .

a) ba

aXM

+=)( , conform celor de mai sus.

.)1()()1)((

)1()]([)()()

2

222

+++=

+

−+++

+=−=

baba

ab

ba

a

baba

aaXMXMXDb


147

Graficul funcŃiei ),;( baxf depinde de valorile parametrilor a şi b.

FuncŃia de repartiŃie a variabilei aleatoare X cu distribuŃia Beta este

>

≤≤∫ −β

<

=<= −−

.1,1

10,)1(),(

1

0,0

)()(1

0

11

x

xdtttba

x

xXPxF ba

DistribuŃia HI – PĂTRAT (Pearson17)

DefiniŃie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuŃia Hi – Pătrat dacă

are densitatea de probabilitate

<

≥

Γσ=σ

σ−−

,0,0

0,

22

1

),;(

221

2

2

x

xex

nnxf

xn

nn

unde n este un parametru ce reprezintă numărul gradelor de libertate, iar 0>σ .

Să arătăm că ),;( σnxf este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte


1) 0),;( ≥σnxf ;

2) 1),;( =∫ σ∞

∞−dxnxf .


łinând seama de expresia lui ),;( σnxf avem

∫

Γσ

=∫ σ=∞

σ−−∞

∞− 0

21

2

2

2

22

1),;( dxex

n

dxnxfI

xn

nn

.

Efectuând schimbarea de variabilă tx 22σ= , avem dtdx 22σ= şi limitele de

integrare se păstrează.

Astfel, putem scrie

17 Karl Pearson (1857 – 1936), matematician englez, fondator al statisticii matematice. În 1911 a fondat prima catedră de statistică matematică la University College London

CAPITOLUL 5

148

12

2

1

2

122

22

1

0

12

0

21

221

2

2

=

Γ

Γ=∫

Γ=∫ σσ

Γσ

=∞

−−∞−−−− n

ndtet

ndtet

n

I tn

tn

nn

nn

.

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuŃia Hi – Pătrat este

.

22

1

22

1

),;()(

0

21

2

2

0

21

2

2

2

2

∫

Γσ

=

∫

Γσ

=

∫ σ=

∞σ

−−+

∞σ

−−

∞

∞−

dxex

n

dxexx

n

dxnxfxXM

xk

n

nn

xnk

nn

kk

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( tx 22σ= ) avem

.)22(...)2(2

)22(...)2(2

22

2...

2

222

221

2...1

22

2

1

22

2

12

2

1

2

22

1

22

22

1)(

2

22

2

2

0

122

0

1222

2

0

21

2221

2

2

k

kkkkk

kk

kktk

nkk

tk

nkn

kn

nn

tk

nkn

kn

nn

k

knnn

knnnnnkn

nnnk

n

n

kn

ndtet

n

dtetn

dtetn

XM

σ−+⋅⋅+=

−+⋅⋅+σ=

+⋅⋅

−+σ=

Γ

+⋅⋅

−+σ

Γ=

+Γσ

Γ=∫σ

Γ=

∫σ

Γσ

=

∫ σσ

Γσ

=

∞−

−+

∞−−+++

∞−−+−+−+

Astfel pentru k =1 avem 2)( σ= nXM , iar pentru k =2 avem

42 )2()( σ+= nnXM .


149


probabilitate ),;( σnxf .

a) 2)( σ= nXM , conform celor de mai sus.

( ) 422222 2)2()]([)()() σ=σ−σ+=−= nnnnXMXMXDb .

DistribuŃia „t” (Student) 18

DefiniŃie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuŃia „t” dacă are


R ∈

+

Γ

+Γ

π=

+t

n

tn

n

nntf

n,

1

1

2

2

1

1);(

2

12

,

unde n este un parametru ce reprezintă numărul gradelor de libertate.

Să arătăm că );( ntf este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte


1) 0);( ≥ntf ;

2) 1);( =∫∞

∞−dtntf .


łinând seama de expresia lui );( nxf avem

.1

2

2

1

1

);(

2

12

∫

+

Γ

+Γ

π=

∫=

∞

∞−

+−

∞

∞−

dtn

t

n

n

n

dtntfI

n

Cum funcŃia de sub integrală este pară, rezultă

18 Student este pseudonimul matematicianului englez William Sealey Gosset (1876 – 1937)

CAPITOLUL 5

150

∫

+

Γ

+Γ

π=

∞+

−

0

2

12

1

2

2

1

2dt

n

t

n

n

nI

n

.

Efectuând schimbarea de variabilă nxt =2 şi Ńinând seama că limitele de

integrare se păstrează, avem

( )

( )

( )

.11

2

11

22

122

1

2

2

1

1

2,

2

1

2

2

1

11

2

2

1

1

12

2

2

1

2

1

21

2

2

1

2

02

12

1

02

12

1

02

1

=ππ

=

Γπ

=

+Γ

Γ

Γ

Γ

+Γ

π=

β

Γ

+Γ

π=∫ +

Γ

+Γ

π=

∫ +

Γ

+Γ

π=

∫ +

Γ

+Γ

π=

∞ +−−

∞ +−−

∞ +−

n

n

n

n

n

n

n

dxxxn

n

dxxxn

n

n

n

dxnx

nx

n

n

nI

n

n

n

Momentele de ordin impar ale variabilei aleatoare X cu distribuŃia „t” sunt nule,

deoarece

,0

12

2

1

1)(

2

12

1212 =∫

+

Γ

+Γ

π=

∞

∞−+

++ dt

n

t

t

n

n

nXM

n

kk

funcŃia de sub integrală fiind impară.

Momentele de ordin par sunt date de

.1

2

2

1

2

1

2

2

1

1)(

0

2

12

2

2

12

22

∫

+

Γ

+Γ

π=

∫

+

Γ

+Γ

π=

∞+

−

∞

∞−

+−

dtn

tt

n

n

n

dtn

tt

n

n

nXM

n

k

n

kk


151

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( nxt =2 ), efectuând calculele, rezultă

)2(...)4)(2(

)12(...31)( 2

knnn

nkXM

kk

−⋅⋅−−−⋅⋅⋅

= .

Astfel pentru k =1 avem 2

)( 2

−=

n

nXM .


probabilitate );( ntf .

a) 0)( =XM , conform celor de mai sus.

b) 2

02

)]([)()( 22

−=−

−=−=

n

n

n

nXMXMXD .


1) Într-o magazie sunt 40 de piese dintre care 4 au defecte. Care este probabilitatea

ca o piesă luată la întâmplare să fie cu defecte?

SoluŃie. Fie A evenimentul ca piesa aleasă să fie cu defecte. Deoarece alegerea

unei piese este un eveniment aleator, rezultă că putem lua orice piesă din cele 40 şi deci

avem 40 de cazuri posibile. Numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului A este

egal cu numărul pieselor cu defecte, adică este egal cu 4. Din definiŃia clasică, rezultă

1,040

4)( ==AP .

2) La fabricarea unui dispozitiv pot să apară defecte datorită materialului folosit la

fabricarea pieselor, datorită pieselor componente şi datorită montajului. Dispozitivul se

consideră bun dacă nu are nici unul din aceste defecte. Din practică se cunoaşte că

datorită materialului folosit 5% din piese au defecte, datorită prelucrării 8% au defecte,

iar datorită montajului 4% din dispozitive au defecte.

Se cere probabilitatea minimă ca un dispozitiv să fie bun.

SoluŃie. Fie A evenimentul ca piesele componente să nu aibă defecte din cauza

materialului folosit, B evenimentul ca piesele componente să nu aibă defecte de

CAPITOLUL 5

152

fabricaŃie şi C evenimentul ca dispozitivul să nu aibă defecte de montaj. Se cere

)( CBAP ∩∩ . Avem

05,0)( =AP , 08,0)( =BP şi 04,0)( =CP .

Din inegalitatea lui Boole avem

83,0)04,008,005,0(1)]()()([1)( =++−=++−≥∩∩ CPBPAPCBAP .

3) Un produs necesită două operaŃii: de prelucrare şi de montare. La prelucrare,

probabilitatea ca produsul să fie cu defecte este 0,5, iar ca montajul să fie defect este

0,2. Care este probabilitatea ca produsul să fie defect?

SoluŃie. Fie A evenimentul ca produsul să fie cu defecte de prelucrare şi B

evenimentul ca produsul să fie cu defecte de montaj. Se cere ( )BAP ∪ .

Avem P(A) = 0,5 şi P(B) = 0,2.

Cum

( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ )()(

şi

( ) )()( BPAPBAP ⋅=∩

(evenimentele A şi B sunt independente) rezultă că

( ) 69,02,05,02,05,0 =⋅−+=∪ BAP .

4) Doi muncitori au lucrat fiecare câte 10 piese şi le-au aşezat în acelaşi loc. Ştiind

că probabilitatea să dea o piesă rebut este de 0,2 şi respectiv 0,3 pentru cei doi

muncitori, să se afle probabilitatea ca luând o piesă la întâmplare ea să fie defectă şi să

provină de la primul muncitor.

SoluŃie. Fie A1 evenimentul ca piesa luată să provină de la primul muncitor, A2

evenimentul ca piesa luată să provină de la al doilea muncitor şi X evenimentul ca piesa

luată să fie cu defecte. Piesa defectă poate proveni de la primul muncitor sau de la al

doilea şi ( ) ( )21 AXAXX ∩∪∩= . Cum o piesă luată nu poate proveni decât de la cei

doi muncitori, avem EAA =∪ 21 şi φ=∩ 21 AA . Problema ne cere ca piesa defectă să

provină de la primul muncitor, deci se cere ( )1APX .


153

Aplicând formula lui Bayes, avem

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )XPAPXPAP

XPAPAP

AA

AX

21

1

21

11 ⋅+⋅

⋅= .

Dar P(A1) = P(A2) = 0,5 deoarece avem aceeaşi şansă să luăm piesa de la cei doi

muncitori şi din datele problemei rezultă ( ) 2,01

=XPA , ( ) 3,02

=XPA . Înlocuind în

formula lui Bayes, obŃinem

( ) 4,03,05,02,05,0

2,05,01 =

⋅+⋅⋅

=APX .

5) Într-o ladă sunt 12 piese dintre care 2 au defecte. Se extrag 5 piese. Care este

probabilitatea să extragem o piesă cu defecte?

SoluŃie. Înlocuind în schema bilei nerevenite bila albă cu piesa bună şi bila

neagră cu piesa cu defecte, avem a = 10, b = 2, n = 5, k1 = 4, k2 = 1, iar probabilitatea

cerută este dată de 66

35

C

C512

12

410 =⋅

=C

P .

6) Dintr-o urnă cu 5 bile albe şi 10 bile negre se extrag 3 bile, introducându-se de

fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă.

Care este probabilitatea să extragem două bile albe?

SoluŃie. Aplicăm schema bilei revenite pentru

3

1

105

5,2,3 =

+=== pkn ,

3

2

105

10=

+=q şi obŃinem

9

2

3

2

3

1 23223 =

=−

CP .

7) Avem 3 cutii cu piese bune şi piese defecte. Cutia 1 are 3 piese bune şi una

defectă, cutia 2 are 3 piese bune şi 2 cu defecte, cutia 3 are 2 piese bune şi una cu

defecte. Se scoate câte o piesă din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca o piesă să fie

cu defecte?

CAPITOLUL 5

154

SoluŃie. Înlocuind în schema lui Poisson bila albă cu piesa bună şi bila neagră

cu piesa cu defecte, avem

4

31 =p ,

4

11 =q ,

5

32 =p ,

5

22 =q ,

3

23 =p ,

3

11 =q .

Probabilitatea cerută este dată de coeficientul lui t2 din polinomul

+

+

+3

1

3

2

5

2

5

3

4

1

4

3ttt ,

deci

20

9

60

27

5

2

4

3

3

2

3

2

4

1

5

3

3

1

5

3

4

3==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=P .

8) Fie variabila aleatoare discretă X cu distribuŃia

−

5,03,02,0101

X .

Să se calculeze valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.

SoluŃie. Valoarea medie a variabilei aleatoare X este

3,05,013,002,0)1()( =⋅+⋅+⋅−=XM .

Dispersia variabilei aleatoare X este

22 )]([)()( XMXMXD −= .

Cum

7,05,013,002,0)1()( 2222 =⋅+⋅+⋅−=XM ,

rezultă

61,009,07,03,07,0)( 2 =−=−=XD .

9) Fie variabila aleatoare X cu distribuŃia

+⋅⋅⋅

nnnn

nnX1111

)1(

1

43

1

32

1

21

1

L

L

.

Să se calculeze valoarea medie a acestei variabile aleatoare.


155

SoluŃie. Valoarea medie a variabilei aleatoare X este

.1

1

1

1

1

111

1

11

1

1

11...

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1

1

11

)1()1(

1...

43

3

43

4

32

2

32

3

21

1

21

21

)1(

)1(...

43

34

32

23

21

121

)1(

1...

43

1

32

1

21

11

1

)1(

1...

1

43

11

32

11

21

1)(

+=

+=

+−+

=

+

−=

+

−++−+−+−=

+⋅−

+⋅+

++⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+⋅

−⋅

=

+⋅−+

++⋅−

+⋅−

+⋅−

=

+⋅++

⋅+

⋅+

⋅=

⋅+⋅

++⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=

nn

n

nn

n

nnn

nnn

nn

n

nn

n

n

nn

nn

n

nnn

nnnnnnXM

10) Fie X şi Y două variabile aleatoare pentru care: ,4)(,2)( =−= YMXM

9)(,4)( == YDXD şi 5,0),( −=ρ YX .

Să se calculeze valoarea medie a variabilei aleatoare

323 22 −+−= YXYXZ .

SoluŃie. łinând seama de proprietăŃile valorii medii, avem:

.3)()(2)(3

)323()(22

22

−+−=

−+−=

YMXYMXM

YXYXMZM

Cum

22 )]([)()( XMXMXD −= ,

avem

4)(4 2 −= XM

şi deci

8)( 2 =XM .

Cum

22 )]([)()( YMYMYD −= ,

avem

CAPITOLUL 5

156

16)(9 2 −= YM

şi deci

25)( 2 =YM .

Coeficientul de corelaŃie al variabilelor X şi Y este

)()(

),cov(),(

YDXD

YXYX =ρ ,

unde

)()()(),cov( YMXMXYMYX −=

este covarianŃa variabilelor aleatoare X şi Y.

Astfel,

32

4)2()(5,0

⋅⋅−−

=−XYM

,

de unde

11)( −=XYM .

Rezultă că

68325)11(283)( =−+−⋅−⋅=ZM .

11) Fie variabila aleatoare cu distribuŃia binomială

nkqpC

kX knkk

n,0, =

− , p + q = 1.

a) Să se calculeze valoarea medie a variabilei aleatoare X.

b) Să se calculeze )( 2XM şi )(2 XM .

c) Să se calculeze dispersia variabilei aleatoare X.

SoluŃie.

a) Valoarea medie a variabilei aleatoare X este ∑==

−n

k

knkkn qpkCXM

0)( .

Pentru calculul lui M(X), folosim identitatea ∑=+=

−n

k

kknkkn

n xqpCqpx0

)( .

Derivând, avem


157

∑=+=

−−− n

k

kknkkn

n xqpkCqpxnp0

11)( .

Pentru x = 1, obŃinem

)()(0

1 XMqpkCqpnpn

k

knkkn

n =∑=+=

−− .

Cum p + q = 1, rezultă că M(X) = np.

b) Din definiŃia momentului de ordinul doi avem

∑==

−n

k

knkkn qpCkXM

0

22 )( .

Pentru a calcula această sumă, folosim identitatea

∑=+=

−n

k

kknkkn

n xqpCqpx0

)( .

Derivând în raport cu x şi apoi înmulŃind egalitatea obŃinută cu x, avem

∑=+=

−− n

k

kknkkn

n xqpkCqpxnpx0

1)( .

Derivând din nou această egalitate în raport cu x, avem

∑=+−++=

−−−− n

k

kknkkn

nn xqpCkqpxxpnnqpxnp0

12221 )()1()( .

Pentru x = 1, se obŃine

)()1( 2

0

22 XMqpCkpnnnpn

k

knkkn =∑=−+

=

− ,

deci

)()1()( 2 qnpnppnpnpXM +=+−= .

łinând seama de definiŃia mediei de ordinul doi, rezultă că

)()(2 qnpnpXM += .

c) Cum M(X) = np şi M(X2) = np(np + q), rezultă că

npqpnqnpnpXMXMXD =−+=−= 2222 )()]([)()( .

CAPITOLUL 5

158

12) La un strung s-au strunjit 5 piese de formă cilindrică. În urma măsurării

diametrelor pieselor s-au obŃinut rezultatele: 12,01mm, 12,07mm, 12,11mm, 12,05mm,

12,12mm. Se cere mediana.

SoluŃie. Ordonând aceste mărimi şi Ńinând seama că probabilitatea ca piesa să

aibă unul din aceste diametre este 2,05

1==p rezultă că variabila aleatoare ataşată

problemei are distribuŃia

2,02,02,02,02,0

12,1211,1207,1205,1201,12 X .

Avem Me = 12,07 deoarece P(X < 12,07) = 0,4 şi P(X > 12,07) = 0,4.

13) Fie variabila aleatoare cu distribuŃia Cauchy

R ∈

+πx

x

xX ,

)1(

12

.

a) Să se calculeze valoare medie a variabilei aleatoare X.

b) Să se calculeze mediana variabilei aleatoare X.

c) Să se calculeze modul variabilei aleatoare X.

SoluŃie.

a) Valoarea medie a variabilei aleatoare X este

. 01

1lnlim

2

1

)1ln(lim2

1

1

2 lim

2

1

1 lim

1

)1()(

2

2

22

22

=+

+π

=

+π

=∫+π

=

∫+π

=∫+π

=

∞→

−∞→−∞→

−∞→

+∞

∞−

n

n

xx

xdx

x

xdx

x

xdxXM

n

n

nn

n

nn

n

nn

b) Avem

,2

1)

2(

1)(lim

1

lim1

1lim

1

)1()(

22

=π

+π

=−π

=

π=∫

+π=∫

+π=

−∞→

−∞→−∞→∞−

arctgxnarctgxarctg

tarctgt

dt

t

dtxF

n

xnn

x

nn

x

de unde rezultă că 0=arctgx şi deci x = 0. Înseamnă că Me = 0.

c) Avem


159

)1(

1)(

2xxf

+π= şi

22 )1(

2)('

x

xxf

+π−= .

Din f(x) = 0 obŃinem x = 0 şi cum

π1

,0 este punct de maxim pentru f(x),

rezultă că M0 = 0.

14) Fie X o variabilă aleatoare a cărei densitate de probabilitate este

>−<

−∈+=

.55,0

]5,5[,10

1

50

1)(

xsaux

xxxf

Să se calculeze valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.

SoluŃie. Prin definiŃie

[ ] [ ]

.3

50

20

152

150

1

)5(520

1)5(5

150

1

210

1

350

1

10

1

50

1

10

1

50

1

010

1

50

10)()(

3

22335

5

25

5

3

5

5

5

5

25

5

2

0

5

5

0

=⋅+⋅⋅=

−−+−−=+=

∫+∫=∫

+=

∫ ⋅+∫

+⋅+∫ ⋅=∫=

−−

−−−

∞

−∞−

∞

∞−

xx

xdxdxxdxxx

dxxdxxxdxxdxxxfXM

Dispersia variabilei aleatoare X este

22 )]([)()( XMXMXD −= .

Dar

[ ] [ ]

,3

2552

20

10

200

1

)5(530

1)5(5

200

1

310

1

450

1

10

1

50

1

10

1

50

1

10

1

50

1)()(

3

33445

5

35

5

4

5

5

25

5

35

5

23

5

5

222

=⋅⋅+⋅=

−−+−−=+=

∫+∫=∫

+=

∫

+⋅=∫=

−−

−−−

−

∞

∞−

xx

dxxdxxdxxx

dxxxdxxfxXM

CAPITOLUL 5

160

de unde rezultă că

9

50

3

5

3

25)(

2

=

−=XD .

15) Se consideră funcŃia

><

∈+=

.30,0

]3,0[),14()(

xsaux

xxkxf

Să se determine constanta k astfel încât funcŃia f să fie densitate de probabilitate

pentru o variabilă aleatoare X.

SoluŃie. ProprietăŃile densităŃii de probabilitate sunt

1) R∈∀≥ xxf ,0)( ;

şi

2) 1)( =∫∞

∞−dxxf .

Din proprietatea 1) rezultă că 0>k .

Din proprietatea 2), avem

,21)332(

22

44

)14(0)14(0)(

2

30

3

0

230

3

0

23

0

3

0

3

03

3

0

0

kk

xxkxx

kdxxdxk

dxxkdxdxxkdxdxxf

=+⋅=

+=

+=

∫+∫=

∫ +=∫+∫ ++∫=∫∞

∞−

∞

∞−

de unde

121 =k ,

deci

21

1=k .

16) Să se determine quartilele variabilei aleatoare X cu distribuŃia continuă de

densitate de probabilitate 2

64

3)( xxf = , ]4,0[∈x .


161

SoluŃie. Pentru a afla quartilele trebuie să căutăm soluŃiile ecuaŃiilor

3,2,1,4

)( == ii

xF ,

unde )(xF este funcŃia de repartiŃie a variabilei aleatoare X.

Avem

64364

3

64

3

64

3)()(

3

0

3

0

2

0

2

0

xtdttdttdttfxF

xxxx

==∫=∫=∫= .

Pentru i = 1, avem ecuaŃia x3 = 16 cu rădăcina x1 = 3 22 .



Quartilele sunt deci x1, x2, x3.


1. Fie A şi B două evenimente compatibile şi independente, cu 2

1)( =AP şi

8

3)( =∩ BAP . Să se calculeze )( BAP ∪ .

2. La o loterie cu 4000 de bilete sunt cinci bilete câştigătoare. O persoană

cumpără 10 bilete.

a) Care este probabilitatea ca persoana să găsească un bilet câştigător?

b) Care este probabilitatea ca persoana să găsească cinci bilete câştigătoare?

c) Care este probabilitatea ca persoana să găsească toate biletele necâştigătoare?

3. Într-un depozit al unui magazin se găsesc 1000 de bucăŃi dintr-un anumit

produs, care este de patru calităŃi şi anume: 500 bucăŃi de calitatea I, 300 de bucăŃi de

calitatea a II-a, 150 de bucăŃi de calitatea a III-a şi restul de bucăŃi de calitatea a IV-a. Se

ia un lot de 300 de bucăŃi pentru a fi desfăcut în magazin. Care este probabilitatea ca

CAPITOLUL 5

162

200 de bucăŃi să fie de calitatea I, 60 de bucăŃi să fie de calitatea a II-a, 30 de bucăŃi să

fie de calitatea a III-a, iar 10 bucăŃi să fie de calitatea a IV-a?

4. În trei cutii cu câte 100 de mere fiecare sunt respectiv 10, 20, 30 mere rele şi

restul bune. Se ia câte un măr din fiecare cutie. Se cere probabilitatea ca două mere din

cele trei extrase să fie rele.

5. Trei vânători trag simultan asupra unei vulpi. Se ştie că probabilitatea ca

vânătorii să ochească vulpea este respectiv 0,7; 0,8; 0,9. Care este probabilitatea ca

vulpea să nu fie ochită?

6. Să se arate că R

∈π

=−

xexf

x

,2

1)( 2

2

este o densitate de probabilitate.

7. Să se determine constanta k astfel ca funcŃia 0,)( ≥= − xkexf ax să fie o

densitate de probabilitate. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia variabilei

aleatoare cu această densitate de probabilitate.

8. Fie variabila aleatoare discretă

1,02,02,03,02,054321

X .

Să se calculeze valoarea medie, modul, mediana şi dispersia acestei variabile

aleatoare.

9. Fie variabila aleatoare discretă X cu distribuŃia

5,03,02,010a

X .

Să se determine a ştiind că 6,1)12( =+XM .


163

10. Să se calculeze dispersia variabilei aleatoare cu distribuŃia

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X .

11. Să se calculeze valoarea medie şi momentul centrat de ordinul 2 pentru

variabila aleatoare cu funcŃia de probabilitate N∈λ=λλ−

kk

ekf k ,

!),( .

12. Să se calculeze momentul centrat de ordinul trei pentru variabila aleatoare cu

densitatea de probabilitate ]1,0[ ,)1(12)( 2 ∈−= xxxxf .

13. Să se calculeze abaterea medie pătratică pentru variabila aleatoare cu

densitatea de probabilitate R∈

π

=−

x

e

xfx

,

2

1)(

2)1(.

14. Să se calculeze )( 2XM pentru variabila aleatoare cu densitatea de

probabilitate ),0[,)( +∞∈= − xxexf x .

15. Să se calculeze M(X) şi D(X) pentru variabila aleatoare ce dă numărul de bile

albe în 10 extrageri dintr-o urnă cu 7 bile albe şi 3 bile negre, ştiind că după fiecare

extragere bila extrasă se reîntoarce în urnă.

CAPITOLUL 5

164

ANEXĂ

165

ANEXĂ - MATEMATICIENI CELEBRI

Jacques Bernoulli (1654 - 1705),

matematician elveŃian

Profesor de matematică la Basel.

Membru al Academiei de ŞtiinŃe din Paris.

A fost unul dintre primii care a dezvoltat calculul diferenŃial şi integral de la

nivelul lăsat de I. Newton şi G. Leibniz şi l-a aplicat la probleme noi (lui datorându-i-se

şi denumirea "integrală").

A adus contribuŃii la dezvoltarea teoriei probabilităŃilor (a formulat legea

numerelor mari).

Opera principală: Ars conjectandi (publicată postum, 1713).

Jean Bernoulli (1667 - 1748),

matematician elveŃian

Profesor la Groningen şi după moartea fratelui său Jacques, la Basel (unde a avut

ca elevi pe L. Euler, G. Cantor, A. Clairaut).

Membru al Academiei de ŞtiinŃe din Paris şi al Academiei de ŞtiinŃe din

Petersburg.

Lucrări de teoria ecuaŃiilor diferenŃiale (ecuaŃiile de tip Bernoulli); a contribuit

alături de G. Leibniz, la răspândirea calculului diferenŃial şi integral şi a introdus

metoda de integrare a funcŃiilor raŃionale. Împreună cu Jacques Bernoulli, a iniŃiat

ANEXĂ

166

cercetări care au condus la apariŃia calculului variaŃional. Lucrări de mecanică

(principiul deplasărilor virtuale), astronomie, chimie, optică.

A scris primul manual de calcul integral Lectiones mathematicae de methodo

integralium alüsque (1742), precum şi unul de calcul diferenŃial Lectiones de calculo

differentialium (1691-1692, manuscris descoperit în anul 1920 şi publicat în 1923).

George Boole (1815 - 1864),

matematician şi logician englez,

fondatorul logicii matematice moderne

Profesor la Queen’s College din Cork.

A dezvoltat prima formă de logică simbolică, cunoscută astăzi ca algebră

booleană. De asemenea, a publicat lucrări importante şi în geometria algebrică.

Opera principală: An investigation of the laws of thought, on which are founded

the mathematical theories of logic and probabilities, 1854

Gabriel Cramer (1704 - 1752),

matematician şi fizician elveŃian

Profesor de matematică şi filosofie la Geneva.

Membru al Academiei de ŞtiinŃe din Berlin şi în Royal Society din Londra.

A elaborat unul din primele tratate de geometrie analitică în care a dat şi regula

ce îi poartă numele, privitoare la rezolvarea unui sistem de n ecuaŃii algebrice liniare cu

n necunoscute.

Opera principală: Introduction à l’analyse des lignes courbes algébrique, 4

volume, 1750

ANEXĂ

167

Leonhard Euler (1707 - 1783),

matematician, mecanician şi astronom elveŃian

La vârsta de 13 ani este student al UniversităŃii din Basel, unde îl are ca profesor

pe Jean Bernoulli.

Membru al Academiilor de ŞtiinŃe din Petersburg şi Berlin.

Opera sa vastă, cuprinsă în aproape 1200 de memorii, conŃine cercetări în multe

ramuri ale matematicii, numeroase teoreme, formule şi noŃiuni fiind legate de numele

său.

În algebră, a definit logaritmul unui număr prin considerarea operaŃiei inverse

ridicării la putere, a introdus ecuaŃiile reciproce, a studiat problema rezolvabilităŃii prin

radicali a ecuaŃiilor algebrice de grad mai mare ca patru.

În analiza matematică, s-a ocupat cu dezvoltările în serie, a dat metode de

integrare, a introdus integrala dublă, a studiat funcŃiile de variabilă complexă, a pus

bazele calculului variaŃional.

În teoria ecuaŃiilor diferenŃiale, a introdus noŃiunile de soluŃie generală şi

particulară.

În geometria diferenŃială, a introdus ecuaŃiile parametrice ale suprafeŃelor şi a

stabilit formula referitoare la curbura normală a unei curbe pe o suprafaŃă.

Operele principale: Methodus inveniendi lineas curvas, 1744; Introductio in

analysis infinitorum, 1748; Institutiones calculi diferentialis, 1755; Institutiones calculi

integralis, 1768-1770; Theoria motuum planetarum, 1744.

Pierre Fermat (1601 - 1665),

matematician şi avocat francez

Studii de drept (consilier al Parlamentului din Toulouse).

A adus contribuŃii referitoare la teoria numerelor (marea teoremă, teorema lui

Fermat).

ANEXĂ

168

Creator al geometriei analitice (alături de R. Descartes) şi al calculului

probabilităŃilor (împreună cu B. Pascal).

Opera sa, Varia opera Mathematica, a apărut postum, la Toulouse, în 1679.

Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855),

matematician, fizician şi astronom german

Profesor la Universitatea din Göttingen şi director al Observatorului astronomic

de aici.

În teza sa de doctorat, Gauss a demonstrat teorema fundamentală a algebrei

(enunŃată de D’Alembert).

A întemeiat calculul cu numere complexe, a dat interpretarea geometrică a

acestora, stabilind corespondenŃa biunivocă dintre numerele complexe şi punctele

planului.

A introdus seria hipergeometrică ce a avut un rol important în teoria ecuaŃiilor

diferenŃiale.

A obŃinut rezultate fundamentale în teoria suprafeŃelor unde a dat formele

fundamentale ale suprafeŃelor, precum şi curbura totală (ce îi poartă numele).

Hermann Günther Grassmann (1809 - 1877),

matematician şi filosof german

Opera sa (rămasă aproape neobservată la apariŃia ei) Die Wissenschaft der

extensiven Grössen oder die Ausdehnungslehre (1844) cuprinde importante contribuŃii,

conŃinând într-o formă pur geometrică calculul de sisteme de numere cu totul generale;

tot aici a exprimat şi dezvoltat (aproape concomitent cu A. Cayley) noŃiunea de spaŃiu

cu n dimensiuni; a introdus cele şase coordonate “plückeriene” ale dreptei; a dezvoltat

soluŃia “problemei lui Pfaff” privind integrarea unei anumite ecuaŃii cu derivate parŃiale.

ANEXĂ

169

Karl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851),

matematician german

Profesor la UniversităŃile din Königsberg şi Berlin.

Membru al Academiei de ŞtiinŃe din Berlin.

A lucrat în domeniul teoriei numerelor, calculului variaŃional, analizei

matematice şi în cel al teoriei funcŃiilor eliptice.

A adus contribuŃii la teoria ecuaŃiilor diferenŃiale şi sistemelor de ecuaŃii

diferenŃiale.

Operele principale: Fundamenta nova théoriae functionum ellipticarum, 1829;

Canon arithmeticus, 1839

Operele sale, Gesammelte Werke, au apărut, la Berlin, în 8 volume (1881 –

1891).

Andrei Nicolaevici Kolmogorov (1903 - 1986),

matematician sovietic

Profesor la Universitatea din Moscova.

Membru al Academiei de ŞtiinŃe a URSS, al Academiei Polone şi membru de

onoare al Academiei Române.

ContribuŃiile sale privesc teoria funcŃiilor de variabilă reală (serii trigonometrice,

serii de funcŃii ortogonale), teoria măsurii, generalizarea noŃiunii de integrală, teoria

aproximării funcŃiilor în spaŃii Banach.

Cele mai importante lucrări ale sale se referă la teoria probabilităŃilor, culminând

cu axiomatizarea acestei teorii; a studiat procesele continue Markov, procesele

aleatoare, staŃionare.

Operele principale: Grundbegriffe der WahrscheinlichKeitsrechnung, 1933;

Osnovîie paniatia teorii veroiatnostei, 1936.

ANEXĂ

170

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813),

matematician şi mecanician francez

Profesor la şcoala militară din Torino (unde a înfiinŃat o societate ştiinŃifică,

devenită ulterior Academia de ŞtiinŃe din Torino), apoi la Paris, la Şcoala Normală

Superioară şi la Şcoala Politehnică.

I-a succedat lui L. Euler la Academia de ŞtiinŃe din Berlin; membru asociat al

Academiei de ŞtiinŃe din Paris.

Creatorul mecanicii analitice (enunŃă principiul vitezelor virtuale, dă ecuaŃiile

care-i poartă numele). Unul dintre iniŃiatorii calculului variaŃional.

În domeniul ecuaŃiilor diferenŃiale, a dat metoda variaŃiei constantelor.

În analiza matematică a extins dezvoltarea în serie a funcŃiilor de mai multe

variabile, a dat formula creşterilor finite şi o formulă de interpolare.

A adus contribuŃii în teoria numerelor, algebră, mecanica fluidelor.

Pentru lucrările sale de mecanică cerească, a fost de cinci ori premiat de

Academia de ŞtiinŃe din Paris.

Operele principale: Mécanique analytique, 2 volume, 1788; Traité de la

résolution numerique des équations de tous les degrés, 1798; Théorie des variations

séculaires des éléments des planètes, 1781.

Blaise Pascal (1623 - 1662),

matematician, fizician şi filosof francez

La 11 ani a scris o lucrare despre sunete şi la 12 ani a reconstituit primele 32 de

propoziŃii din cartea I-a a Elementelor lui Euclid.

Prima lucrare publicată, Essai sur les coniques (1640), i-a atras admiraŃia

matematicienilor contemporani.

A inventat o maşină de calcul (1641).

Din corespondenŃa sa cu P. Fermat asupra unei probleme de joc de noroc a

apărut teoria probabilităŃilor.

ANEXĂ

171

Numele său este legat de triunghiul aritmetic ale cărui proprietăŃi le-a studiat în

Traité du triangle aritmethique (tipărit postum, 1665).

În domeniul fizicii, a dat legea fundamentală a hidrostaticii şi a demonstrat

experimental variaŃia, în funcŃie de altitudine, a presiunii atmosferice.

În ultima parte a vieŃii, are preocupări filosofice.

Giuseppe Peano (1858 - 1932),

matematician, logician şi lingvist italian

Profesor la Academia regală de artilerie şi de geniu şi la Universitatea din

Torino.

Întemeietorul aritmeticii axiomatice; s-a ocupat cu probleme de bază ale analizei

matematice (ecuaŃii diferenŃiale, teoria şirurilor, spaŃii vectoriale).

A creat un sistem de simboluri care permite enunŃarea propoziŃiilor logicii şi

matematicii.

Lui i se datorează şi fondarea a două periodice apreciate: “Rivista matematica”

şi “Formulaire mathématique”.

Operele principale: Le calcul géométrique selon l’Ausdenhungslehre de

Grassmann, 1889; Arithmetices principia, nova methodo exposita, 1889; Lezzioni di

analisi infinitesimale, 1893.

Siméon Denis Poisson (1781 - 1840),

matematician şi mecanician francez

Profesor de mecanică la Sorbona.

Membru al Academiei de ŞtiinŃe din Paris.

S-a ocupat în special de fizica matematică şi mecanica raŃională, însă lucrările

sale asupra invariabilităŃii axelor mari ale planetelor, asupra distribuŃiei electricităŃii la

ANEXĂ

172

suprafaŃa corpurilor, a fenomenelor capilare, teoria matematică a căldurii etc., au adus

perfecŃionări ale analizei matematice privind îndeosebi calculul variaŃional, ecuaŃiile

fizicii matematice.

În domeniul probabilităŃilor s-a ocupat de legea numerelor mari, de problemele

de statistică şi aplicaŃiile teoriei probabilităŃilor (printre care şi schema ce îi poartă

numele).

Operele principale: Traité de mécanique, 1811; Mémoires sur les surfaces

élastique, 1814; Recherches sur la probabilité des jugements, 1837.

Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921),

matematician german

A activat la Halle, Gotingen şi Berlin.

Are contribuŃii în geometria diferenŃială (teoria suprafeŃelor minime) şi în

analiză (celebra teoremă ce-i poartă numele).

James Joseph Sylvester (1814 - 1897),

matematician şi avocat englez

A elaborat teoria algebrică a formelor, a stabilit legea de inerŃie a formelor

pătratice. A introdus termenul de matrice, generalizat ulterior de W. Hamilton şi A. L.

Cayley.

Profesor de matematică la Johns Hopkins ce a determinat ridicarea nivelului

matematicii de pe întreg teritoriul S.U.A.

Fondator al primei reviste din S.U.A. dedicată cercetării matematice.

ANEXĂ

173

Brook Taylor (1685 - 1731),

matematician englez

Membru în Royal Society din Londra.

Lucrarea sa cea mai importantă este intitulată Methodus incrementorum directa

et inversa (1715); a expus metoda dezvoltării în serie a unei funcŃii, a pus, pentru prima

dată, problema coardei vibrante de la care ulterior s-a ajuns la seriile trigonometrice, a

studiat probleme de izoperimetrie. Unul dintre creatorii teoriei diferenŃelor finite.

ANEXĂ

174

FIŞA DISCIPLINEI

UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI” DIN BACĂU DEPARTAMETUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ Domeniul de studii: Marketing Ciclul de studii: Licenţă Forma de învăţământ: ID Programul de studii/Calificarea: Marketing

FIŞA DISCIPLINEI:

MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN ECONOMIE

Cod disciplină UB 07MK104F

Forma de

evaluare AT TC AA Credite Total ore semestru An

studiu Semestrul Durata (săptămâni) Numărul ore pe

semestru/activităţi Total

ore Studiu

individual

I 1 E 8 20 4 28 14

Total ore din planul de învăţământ

Distribuţia fondului de timp (Studiu individual)*

AT TC AA 1 2 3 4 5 6

8 20 7 7 Distribuţia fondului de timp*: 1 - Studiul după manual, suport de curs, bibliografie şi notiţe; 2 – Documentare suplimentară în bibliotecă, pe platformele electronice de specialitate, pe teren; 3 – Pregătire activităţi tutoriale/ activităţi apicative asistate/ proiect, teme de control, referate, portofolii şi eseuri; 4 – Tutoriat; 5 - Examinări; 6 – Alte activităţi.

STATUT DISCIPLINĂ (se marchează cu X) Obligatorie Opţională Facultativă

x

Categorie disciplină (se marchează cu X) Fundamentală/ de

aprofundare În domeniu/ de sinteză De specialitate/

Cunoaştere avansată Complement

ară x

de curriculum Precondiţii de

accesare a disciplinei de competenţe

F 267.08/Ed.02 175

FIŞA DISCIPLINEI

de desfăşurare a activităţilor tutoriale Condiţii

(dacă este cazul)

de desfăşurare a activităţilor aplicative

asistate

COMPETENŢELE SPECIFICE ACUMULATE

Competenţe profesionale

Utilizarea adecvata a conceptelor, metodelor, tehnicilor si instrumentelor de marketing Utilizarea instrumentelor si a aplicatiilor informatice in activitatile de marketing

Competenţe transversale

OBIECTIVELE DISCIPLINEI (reieşind din grila competenţelor specifice acumulate):

Obiectivul general al disciplinei - Insuşirea unor noţiuni şi rezultate fundamentale, tehnici de calcul şi algoritmi din teoria algebrei liniare, analizei matematice şi probabilităţilor. - Crearea, la studenţi, a unei culturi matematice generale, precum şi familiarizarea cu unele aplicaţii ale matematicii în economie. - Formarea deprinderilor specifice lucrului cu instrumente matematice şi identificarea posibilităţilor de utilizare în studiul unor discipline cu caracter aplicativ. Obiectivele specifice - Cunoaşterea, înţelegerea şi utilizarea conceptelor fundamentale ale matematicii şi a limbajului de specialitate. - Capacitatea de a construi şi dezvolta argumentări logice pe teme matematice, cu identificarea clară a ipotezelor şi concluziilor. - Capacitatea de aplicare a diverselor metode de raţionament, a unor tehnici de lucru cantitative şi calitative în rezolvarea problemelor de matematică. CONŢINUTUL DISCIPLINEI

Suportul de curs - Spaţii vectoriale Definiţia spaţiilor vectoriale, proprietăţi, exemple. Dependenţă şi independenţă liniară Bază. Coordonate - Forme liniare. Forme biliniare. Forme pătratice Definiţia formelor liniare, proprietăţi, exemple Definiţia formelor biliniare, proprietăţi, exemple Definiţia formelor pătratice Forma canonică a unei forme pătratice reale. Signatura unei forme pătratice reale

176

FIŞA DISCIPLINEI

- Funcţii de mai multe variabile. Derivate parţiale. Diferenţiale Derivate parţiale

Diferenţiale Puncte de extrem Extreme condiţionate - Integrale improprii

Integrale improprii cu limite de integrare infinite Integrale improprii din funcţii nemărginite

- Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică Câmp de evenimente.Câmp de probabilitate Variabile aleatoare Distribuţii continue clasice Activităţi tutoriale - urmează tematica de la curs Bibliografie 1. S. Chiriţă - Probleme de matematici superioare, Bucureşti, E.D.P., 1989 2. V. Diaconiţa, M. Spînu, Gh. Rusu - Matematici aplicate în economie, Ed. Sedcom Libris, Iaşi, 2004 3. N. Mihăilă, O. Popescu - Matematici speciale aplicate în economie, Bucureşti, E.D.P., 1978 4. T. Postelnicu, C. Dinescu, B. Săvulescu - Matematici speciale aplicate în economie, Bucureşti, E.D.P., 1977 5. G. Puiu, M. Gîrţu - Matematici generale, vol. I, Ed. Tehnică, ştiinţifică şi didactică Cermi, Iaşi, 2004 6. G. Puiu, M. Gîrţu - Matematici generale, vol. II, Ed. Tehnică, ştiinţifică şi didactică Cermi, Iaşi, 2005 Activităţi aplicative asistate/ teme de control Rezolvarea unui număr de aplicaţii din suportul de curs Bibliografie - suportul de curs Metode de predare Prelegerea, munca independentă, conversaţia euristică, problematizarea, învăţarea prin descoperire. Observaţii COROBORAREA CONŢINUTURILOR DISCIPLINEI CU AŞTEPTĂRILE REPREZENTANŢILOR COMUNITĂŢII EPISTEMICE, ASOCIAŢIILOR PROFESIONALE ŞI ANGAJATORI REPREZENTATIVI DIN DOMENIUL AFERENT PROGRAMULUI Se asigură competenţe conform prevederilor RNCIS

F 267.08/Ed.02 177

FIŞA DISCIPLINEI

STABILIREA NOTEI FINALE Tip de activitate (Examen, Colocviu, Verificare pe parcurs) Criterii de

evaluare Metode de evaluare

Pondere din nota finală

Standard minim de performanţă

Activităţi tutoriale Activităţi aplicative asistate/ teme de control

30% Obligativitatea temei de control

Examen/Verificare 70% Obţinerea notei minime 5

Condiţii minime de promovare

(cum se obţine nota 5) Condiţii de obţinere a notei maxime

Cunoaşterea noţiunilor de bază cuprinse în programa analitică, înţelegerea acestor noţiuni şi posibilitatea aplicării lor.

Cunoaşterea aprofundată a noţiunilor cuprinse în programa analitică, înţelegerea corectă şi explicarea ştiinţifică a acestor noţiuni, precum şi posibilitatea operării cu aceste noţiuni.

Titularul disciplinei

Numele şi Prenumele Gîrţu Manuela Instituţia Universitatea „Vasile Alecsandri” din Bacău Departament Matematică, Informatică şi Ştiinţele educaţiei Titlul ştiinţific Doctor în Matematică Gradul didactic Conf.univ.dr. Încadrarea (normă de bază în Univ./asociat)

Normă de bază în Universitate

Titularul activităţilor tutoriale/ activităţilor aplicative asistate

Numele şi Prenumele Gîrţu Manuela Instituţia Universitatea „Vasile Alecsandri” din Bacău Departament Matematică, Informatică şi Ştiinţele educaţiei Titlul ştiinţific Doctor în Matematică Gradul didactic Conf.univ.dr. Încadrarea (normă de bază în Univ./asociat)

Normă de bază în Universitate

Data

completării Semnătura

titularului de disciplină

Semnătura titularului de activităţi tutoriale/ activităţi aplicative

asistate

Data avizării în departament

Semnătura directorului de departament

24.09.2012 08.10.2012 Conf.univ.dr. Prihoancă Diana

178

BIBLIOGRAFIE

179

BIBLIOGRAFIE

1. Allen, R. G. D. – Analiză matematică pentru economişti, Bucureşti, Editura

ŞtiinŃifică, 1971

2. ChiriŃă, S. – Probleme de matematici superioare, Bucureşti, Editura Didactică

şi Pedagogică, 1989

3. Ciucu, G.; Craiu, V.; Săcuiu, I. – Culegere de probleme de teoria

probabilităŃilor, Bucureşti, Editura Tehnică, 1967

4. Demidovici, B. P. – Culegere de probleme şi exerciŃii de analiză matematică,

Bucureşti, Editura Tehnică, 1956

5. Donciu, N., Flondor, D. – Algebră şi analiză matematică (culegere de

probleme), Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1978

6. Lămătic, M. – Matematică aplicată în economie, Piatra – NeamŃ, Editura Nona,

2005

7. Mihăilă, N. – Introducere în teoria probabilităŃilor şi statistică matematică,

Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1965

8. Mihăilă, N.; Popescu, O. – Matematici speciale aplicate în economie,

Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1978

BIBLIOGRAFIE

180

9. Nicolescu, M.; Dinculeanu, N.; Marcus, S. – Analiză matematică, Bucureşti,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1966

10. Postelnicu, T.; Dinescu, C.; Săvulescu, B. – Matematici speciale aplicate în

economie, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1977

11. Precupanu, A. – Analiză matematică, vol. I, Universitatea „Al. I. Cuza” Iaşi,

1987

12. Puiu, G., GîrŃu, M. – Matematici generale, vol. I, Editura Tehnică, ştiinŃifică şi

didactică Cermi, Iaşi, 2004

13. Puiu, G., GîrŃu, M. – Matematici generale, vol. II, Editura Tehnică, ştiinŃifică

şi didactică Cermi, Iaşi, 2005

14. RoşculeŃ, M. – Analiză matematică, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică,

1984

15. Udrişte, C. – Algebră liniară, geometrie analitică, Bucureşti, Geometry Balkan

Press, 1996

16. – DicŃionar de matematici generale, Bucureşti, Editura Enciclopedică Română,

1974

17. www.wikipedia.ro

Date post:	14-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	anda-andreea
View:	144 times
Download:	30 times

Matematica aplicata in economie.pdf

Documents