L09_2013-2014

Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2013/2014 81

2.5 Discretizarea sistemelor n timp continuu

Discretizarea unui sistem n timp continuu reprezint operaia prin care unui sistem n timp continuu i se asociaz

un sistem n timp discret care, atunci cnd lucreaz cu secvenele rezultate prin eantionarea semnalelor de intrare

ale sistemului n timp continuu, fie c reproduce la ieire, n momentele de discretizare a timpului, n mod exact

mrimea de ieire a sistemului n timp continuu (semnal eantionat), fie c o aproximeaz.

n primul caz spunem c sistemul n timp discret este o realizare invariant a sistemului n timp continuu, iar

metodele de discretizare le denumim metode de obinere a realizrilor invariante. Ele sunt aplicabile numai cnd

semnalul de intrare este de un tip bine precizat (realizri invariante la semnal treapt, la semnal ramp etc.).

n al doilea caz vorbim despre discretizare prin metode de aproximare. Ea se utilizeaz n situaii cnd semnalul de

intrare este oarecare. Exist mai multe tipuri de metode de discretizare prin aproximare. n cadrul paragrafului ne

referim numai la cele cunoscute sub denumirea de metode de substituie. Aspectul practic care ne intereseaz este

cel al implementrii regulatoarelor numerice.

Paragraful este destinat prezentrii tipurilor de problemelor de discretizare i metodelor de discretizare necesare

pentru rezolvarea problemelor asociate sistemelor hibride rezultate prin interconectarea de subsisteme analogice i

numerice.

1. Tipuri de probleme de discretizare

Pentru prezentarea problemelor de discretizare se consider cazul practic al sistemelor de reglare numeric crora le

sunt aplicabile ambele metode. Sistemele de reglare numeric sunt structuri hibride n care procesul condus este de

regul de tip analogic, iar regulatorul este tip digital. n Fig. 1 se prezint o astfel de structur de reglare.

Fig. 1. Structur convenional de reglare numeric

n figur P este procesul condus (sistem n timp continuu), iar RN este regulatorul numeric (sistem n timp discret).

Legtura dintre cele dou pri se realizeaz prin convertorul numeric-analogic CNA i convertorul analog-numeric

CAN. Semnalele notate cu litere supraliniate sunt semnale eantionate, adic semnale n timp discret necuantizate n

amplitudine, iar cele notate cu litere nesupraliniate sunt semnale analogice. RN comand procesul prin semnalul de

comand [k]}u{ i se informeaz despre situaia procesului condus prin semnalul de reacie [k]}y{ obinut prin

eantionarea i conversia analog-numeric a mrimii de reglate y(t). Prin semnalul de referin [k]}w{ se prescrie

pentru y un regim de funcionare dorit.


n scopul dezvoltrii unor modele utilizabile pentru sinteza sistemului de reglare, CNA i CAN se nlocuiesc, n

contextul precizat n continuare, cu structurile sistemice reprezentate n Fig.1 deasupra acoladelor.

CNA convertete semnalul discret (ir de numere) ]}k[u{ generat n RN la momentele kh, k Z, ntr-un

semnal n timp continuu u(t), de tip scar cu trepte de durat h. Operaia este pus pe seama unei structuri

seriale alctuit dintr-un convertor - generator de impulsuri i un element de memorare, numit element de

reinere (ER) 1). Semnalele asociate CNA din Fig. 1 sunt ilustrate n Fig. 2. Convertorul - generator de

impulsuri, imaginat ca element ce prezint facilitile de conversie numeric-analogic i de generare de

impulsuri Dirac, asociaz la ieirea lui fiecrei valori u [k] = ku din secvena ]}k[u{ , aplicat la intrare la

momentul hk , un impuls Dirac )hkt(uk rezultnd semnalul n timp continuu u~ (t) de tip pieptene

(distribuie periodic) 2). Convertorul generator de impulsuri este simbolizat printr-un ntreruptor care se

nchide periodic, cu perioada h, pe intervale de timp infinit mici care includ momentele n care se aplic

semnalul ]}k[u{ . Elementul de reinere produce din fiecare impuls Dirac )hkt(uk o treapt de durat h

i cu aceeai amplitudine i polaritate ca ale impulsului, rezultnd semnalul scar u(t).

Fig. 2. Referitoare la semnalele asociate n modelare convertorului numeric-analogic CNA

CAN este modelat printr-o structur care conine un singur element: eantionatorul - convertor, simbolizat tot

printr-un ntreruptor. Se consider c eantionatorul - convertor efectueaz periodic, la momentele hk , att

1) Elementul de reinere reprezint cel mai simplu element de refacere a semnalelor n timp continuu, numit n general extrapolator de ordinul zero (zero order holder (ZOH)). 2) Maniera n care au fost modelate procesele care au loc n CNA are acoperire doar n ceea ce privete dependena dintre intrare i ieire. Semnalul u~ (t) nu exist n realitate. n convertoarele reale informaia u [k] = ku , generat secvenial, este reinut n registre ale cror coninuturi sunt modificate la momentele kh i folosite pentru comanda adecvat a unui sistem de comutatoare ale unor circuite electronice. La ieirea acestora rezult un semnal u(t) cuantizat n amplitudine. n mod obinuit, datorit valorii foarte mici a cuantelor, se face abstracie de aceast cuantizare considernd, n acord cu cele menionate, semnale eantionate. Prin aceasta se simplific modelarea i calculele de proiectare.


operaia de eantionare ct i operaia de conversie analog-numeric a valorilor eantioanelor, furniznd la ieire

semnalul eantionat y [k], ky)hk(y]k[y 3). n Fig.3 sunt ilustrate semnalele asociate CAN din Fig.1.

Fig. 3. Referitoare la semnalele asociate n modelare convertorului analog - numeric CAN

Fcnd n Fig. 1 nlocuirile menionate se obine structura din Fig. 4. Regulatorul RN intervine asupra lui P prin ER

la a crui ieire rezult un semnal scar cu trepte de durat h. Nivelurile treptelor semnalului scar depind de modul

de variaie n timp a mrimii de comand ]}k[u{ aa cum sugereaz Fig.2. O alt caracteristic a schemei din Fig.4

este faptul c evoluia mrimii de ieire a procesului nu este observat de ctre regulatorul numeric n mod continuu

ci n mod discret, la momentele de discretizare hk , sincron cu apariia treptelor n funcia scar u(t). Sincronizarea este redat n Fig. 4 prin linia ntrerupt care unete cele dou ntreruptoare.

Fig. 4. Schema bloc a unui sistem de reglare numeric.

Pentru analiza i sinteza sistemului de reglare numeric este necesar un model al procesului P care s redea, n

condiiile prezentate, legtura dintre ]}k[u{ i ]}k[y{ la momentele de discretizare kt th, t T4) adic un

model care s fac legtura ntre secvenele t tu[t] u(th) T T i tty[t] y(th) TT . Metoda prin care se pot obine astfel de modele pentru sistemele liniare se numete metoda realizrii invariante la semnal treapt.

3) i de data aceasta, maniera n care au fost modelate procesele dintr-un CAN are acoperire doar n ceea ce privete dependena dintre intrare i ieire. n realitate fenomenele sunt complexe i se desfoar ntr-un ansamblu alctuit dintr-un circuit de eantionare i reinere i din convertorul analog-numeric propriu-zis. Circuit de eantionare i reinere funcioneaz alternativ n regim de sistem de urmrire a semnalului de intrare i n regim de eantionare la momentele kh, durata procesului de conversie fiind considerat foarte mic. Dup conversie rezult semnalul y [k], )hk(y]k[y cuantizat n amplitudine. Datorit valorii foarte mici a cuantelor, n mod obinuit se face abstracie de cuantizarea n amplitudine, ceea ce conduce la simplificarea modelrii i a calculelor de proiectare. 4) Mulimea T coincide cu mulimile Z sau N, dup cum semnalele se consider bilaterale sau unilaterale.


Metoda face parte din categoria realizrilor invariante 5). n cazul de fa, n contextul schemei de reglare din Fig.4,

obinerea unor astfel de modele ale proceselor reprezint prima problem de discretizare abordat n cadrul

paragrafului. Operaia de obinere o denumim discretizare pentru realizare invariant la semnal treapt

(discretizare pentru RIST), iar rezultatul realizare invariant la semnal treapt (RIST) sau discretizatul cu pasul h

al procesului n timp continuu.

Al doilea tip de probleme de discretizare care apar n mod frecvent l reprezint discretizrile prin aproximare.

Pentru a prezenta problema se consider tot structura din Fig.4. Spre deosebire de cazul RIST, cnd regulatorul RN

se proiecteaz direct ca sistem n timp discret, pe baza modelului discretizat al procesului condus, de data aceasta

regulatorul RN se asociaz, ca model de aproximare, unui regulator n timp continuu R proiectat pentru un sistem de

reglare n timp continuu, fictiv, asociat sistemului de reglare numeric din Fig.4.

Pentru a explica modul de asociere notm n Fig.4 cu P partea cuprins de la intrarea n CNA pn la ieirea din

CAN. Se obine structura simplificat de sistem de reglare numeric din Fig.5a. n ipoteza c aceast structur este

un sistem liniar i asociem sistemul n timp continuu din Fig.5b, cu rol de structur de calcul i nu de structur fizic.

Asocierea se face numai din punct de vedere informaional observnd c P corespunde unei conexiuni serie

alctuite din CNA, P i CAN. In ipoteza c subsistemele componentele ale lui P sunt subsisteme separabile,

asocierea se face parcurgnd urmtorii pai:

i) Se deplaseaz CAN n faa procesului P i se grupeaz potrivit algebrei schemelor bloc cele dou

convertoare CAN i CNA ntr-un singur subsistem n timp continuu numit element de eantionare i

reinere EER, ca n Fig.6. Cele dou ntreruptoare se nlocuiesc prin unul singur cu rol de simplu

eantionator (extrage din semnalul u(t) impulsuri Dirac la momentele de eantionare). EER este

amplasat n faa procesului P.

Fig. 6. Cum rezult elementului de eantionare i reinere (EER)

5) Realizrile (discrete) invariante fa de o anumit form a semnalului de intrare asigur ntre mrimile de intrare, stare i ieire exact aceleai dependene ca i modelele n timp continuu considerate la momentele de discretizare kt kh, k T . n acest context vorbim despre realizri invariante la semnal treapt atunci cnd semnalul u(t) este un semnal scar, despre realizri invariante la semnal ramp cnd u(t) este ieirea unui extrapolator de ordinul I .a.m.d.

- a - - b - Fig.5. Structuri de reglare referitoare la problema discretizrii prin aproximare

P0 R

w

u y

y P RN

w

u


ii) Se grupeaz apoi, tot potrivit algebrei schemelor bloc, EER mpreun cu procesul P sub forma

blocului P. Blocul P este un sistem n timp continuu care are att la intrare ct i la ieire semnale

analogice.

iii) Blocul P fiind un sistem n timp, pentru reglare se folosete un regulator n timp continuu R care

trebuie s asigure pentru schema din Fig. 5b aceleai performane ca i regulatorul RN pentru schema

din Fig.4.

Problema discretizrii prin aproximare se pune pentru regulatorul n timp continuu R, proiectat pentru procesul P,

n sensul c: prin discretizare R trebuie s furnizeze regulatorul numeric RN. n acest context, discretizarea const n

generarea unui algoritm n timp discret plecnd de la regulatorul R, algoritm care aproximeaz potrivit unei metode

numerice comportarea regulatorului n timp continuu. De data aceasta rezultatul nu se mai obine presupunnd o

anumit clas de semnale de intrare n regulator. Semnalele de intrare, provenite de la procesul reglat, sunt de o

form oarecare. Acest mod de a proceda este cunoscut sub denumirea de metoda cvasi-continuitii: dac pasul de

discretizare a timpului este suficient de mic, sistemul din Fig.5a cu RN asociat regulatorului R prin discretizare

prin aproximare va avea o comportare apropiat de cea a sistemului din Fig. 5b, proiectat.

Vom observa c n ceea ce privete forma semnalului de intrare procesul P i regulatorul R se deosebesc: procesului

P din cazul RIST i se aplic la intrare un semnal n scar, pe cnd regulatorului R un semnal oarecare. Ca urmare

regulatorul numeric RN, asociat regulatorului R prin discretizare, va prelucra eantioane provenite de la un semnalul

de intrare care se modific ntre momentele de eantionare, aproximnd, de la caz la caz, mai mult sau mai puin

bine comportarea regulatorului R. n acest context distingem un al doilea tip de operaii de discretizare denumite

operaii de discretizare prin aproximare (d.a.). Metodele de discretizare prin aproximare se folosesc de regul n

varianta cunoscut sub denumirea de metode de substituie sau metode de transformare. Cele mai cunoscute metode

de substituie sunt metoda dreptunghiului i metoda trapezului.

n Fig. 7 sunt precizate, folosind structura din Fig.4, canalele informaionale crora le corespund cele dou metode

de discretizare: canalul r.i.s.t. i canalul d.a.. Pentru un sistem de reglare dat, cum este cel din Fig. 1, cele dou

metode nu pot fi folosite niciodat mpreun: se folosete fie o metod, fie cealalt. 6)

Fig.7. Canalele informaionale luate n considerare n cazul discretizrii pentru RIST (canalul r.i.s.t.) i n cazul discretizrii prin aproximare (canalul d.a.).

6) Discretizarea pentru RIST se aplic proceselor i nu se aplic legilor de reglare. Discretizarea prin aproximare se aplic regulatoarelor i nu se aplic proceselor.


2. Realizri invariante la semnal treapt pentru sisteme fr timp mort

Formulele folosite la discretizarea pentru RIST se obin pe baza structurii din Fig.8. Ea se regsete n Fig. 4 i n

Fig.7 (canal r.i.s.t.). Procesul P este liniar.

Din punctul de vedere al metodelor de calcul distingem dou situaii dup cum avem de discretizat: i) modele n

domeniul timp sau ii) modele n domeniul imaginilor. n prima situaie se opereaz cu modele intrare-stare-ieire, n

a doua cu funcii de transfer. Rezultatele obinute n cele dou situaii sunt echivalente n ceea ce privete

dependena intrare-ieire.

u y P ER

u~u y

h h

Fig.8. Structura considerat pentru stabilirea formulelor de discretizare pentru RIST.

n prima situaie presupunem c procesul P are MM-ISI:

)t(Du)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)t(x (1)

n care u mR , x nR , y pR , tT = [t0, tf ]. Pentru a obine RIST considerm intervalul de timp [tk, tk+1) = [kh, (k+1)h) T cuprins ntre dou momente de discretizare consecutive. Semnalele care intereseaz sunt

reprezentate n Fig. 9. Figurile a, b i c ilustreaz faze referitoare la constituirea semnalului u(t) din semnalul u .

Prin aplicarea semnalului u(t) la intrarea procesului P se obine la ieire semnalul y(t) (figura d), iar din acesta, prin

eantionare, rezult semnalul )t(y (figura e).

RIST associata sistemului (1) se obine cu formulele:

d d

d d

x[t 1] A x[t] B u[t], ty[t] C x[t] D u[t]

Z , (2)

DD ,CC ,Bdve)h( B ,e)h(A ddh

0

Avd

Ahd

(3)

unde h este pasul de discretizare, iar A, B, C i D sunt matricele sistemului n timp continuu (1).

Exemplu: S se determine RIST pentru sistemul de poziionare

)t(2x)t(1x

cC

01y(t)

u(t)

bB

10

)t(2x)t(1x

A

0010

)t(2x)t(1x

T

(4)


y P

u

Soluie: n acest caz avem

10t1

e)t( At . Deci

10h1

)h(Ad ,

h

0

Avh

0

Avd BdveBdve)h(B

h2

h

dv

vdv

dv1v

dv10

10v1

Bdv)v(2

h

0

h

0h

0

h

0

h

0

,

iar RIST asociat sistemului de poziionare este:

21 1

2 2

1

2

x [t 1] x [t]1 h 0.5h u[t]x [t 1] x [t]0 1 h

x [t]y[t] 1 0

x [t]

(4')

n (4') s-a renunat la supralinierea lui u i y avnd n vedere c n condiiile

utilizrii timpului normat aceast notare are un caracter redundant.

Rezumat: n cazul aplicrii metodei de discretizare pentru obinerea unei reali-

zri invariante la semnal treapt (RIST) asociate sistemului n timp continuu

(1) pentru un pas de discretizare a timpului de valoare h, rezultatul l reprezin-

t sistemul n timp discret (2) ale crui matrice se calculeaz cu formulele (3).

Pentru exemplul dat, sistemului n timp continuu (4), reprezentnd procesul P

din Fig.8, i se asociaz sistemul n timp discret (4') reprezentnd blocul P din Fig.10.

Fig.10. Schem bloc asociat sistemului n timp discret (9')

n a doua situaie de calcul, se consider cunoscut funcia de transfer H(s)

a blocului P din structura din Fig.8 i se determin, n aceleai ipoteze ca i n prima situaie, funcia de transfer

H(z) corespunztoare canalului yu . Formula de calcul se stabilete parcurgnd 2 etape: I) determinarea

funciei de transfer HER(s) a elementului de reinere; II) determinarea funciei de transfer H(z) corespunztoare

dependenei dintre )z(u i )z(y .

Funcia de transfer a ER este

u[k]

t kh (k+1)h

u

- a -

u(kh)u[k]

t kh (k+1)h

u~

- b -

u((k 1)h)

u[k 1]

u(kh)u[k]

t

u

kh (k+1)h - c -

)kh(y

)h)1k((y

t kh (k+1)h

y

- d -

y[k ]y(kh)

y[k 1]y((k 1)h)

t

y

kh (k+1)h - e -

Fig. 9. Semnale asociate

schemei din Fig.8.


se1)s(H

hs

ER

. (5)

Formula de calcul a f.d.t. a RIST asociat unui STC cu f.d.t H(s) este:

1H(z) (1 z ) 1H(s)s

. (6)

n aplicarea formulei (6) se parcurg trei etape:

i) Se calculeaz produsul )s(Hs1

, adic transformata Laplace a rspunsului

la semnal treapt, i se aduce expresia )s(Hs1 la o form pentru care se

pot utiliza tabelele de transformare;

ii) Se calculeaz 1 H(s)s

(transformata z a rspunsului la semnal treapt

unitar al procesului P eantionat cu pasul h) folosind tabelele de transformare.

iii) Se nmulete rezultatul cu z

1zz1 1 , ceea ce echivaleaz cu o mprire prin zz 1

care reprezint

transformata z a semnalului treapt unitar discret. (De regul z de la numitor se simplific ntruct

1 H(s)s

conine pe z ca factor la numrtor).

Exemplu: S se calculeze funcia de transfer a realizrii invariante la semnal treapt pentru cazul cnd

)2s(s1s)s(H

(a), h = 0.2 sec.

Soluie: Se calculeaz produsul: )2s(s

1s)s(Hs1

2

. O expresie de aceast form nu apare n tabelele de

transformare. Pentru a folosi tabelele recurgem la descompunerea:

)2s(s4

41

)2s(s2

21

)2s(s1

)2s(s1)s(H

s1

22

pentru care din tabelele de transformare reinem

liniile

)s(f )z(f

2

2a

s (s a)

ah 2 ah ah

2 ah(ah 1 e )z (1 ahe e )z

(z 1) (z e )

a

s(s a)

ah

ah(1 e )z

(z 1)(z e )

Aplicnd aceste formule pentru 2.0h ,2a sec rezult

)k(u

t kh

u~

- a -

)k(u

t

u

kh (k+1)h

- b -

Fig.11. Referitoare la obine-rea funciei de transfer a ER.


1 H(s)s

=)ez()1z(2

z)e1(4.0

4.0

+)ez()1z(4

z)ee4.01(z)e6.0(4.02

4.04.024.0

.

n final, cu formula (6) obinem

1H(z) (1 z ) 1 H(s)s

=)ez(2

e14.0

4.0

+)ez()1z(4

)e6.01(z)e6.0(4.0

4.04.0

,

respectiv )ez()1z(4

1e6.2z)e4.1()z(H 4.04.04.0

(b).

Rezumat: n cazul aplicrii metodei RIST pentru un sistem n timp continuu fr timp mort cu funcia de

transfer H(s), pasul de discretizare a timpului avnd valoare h, rezultatul l reprezint sistemul n timp

discret cu funcia de transfer H(z) dat de formula (6).

Pentru exemplul dat, sistemului n timp continuu cu funcia de transfer (a), reprezentnd procesul P din

Fig.8, i se asociaz, pentru un pas de discretizare a timpului h = 0.2 sec sistemul n timp discret cu funcia

de transfer (b) reprezentnd blocul P din Fig.10.

3. Discretizarea prin aproximare

Sistemul n timp continuu pentru care se determin o realizare sistemic n timp discret prin metoda discretizrii prin

aproximare, corespunde blocului R din Fig.5b sau canalului d.a din Fig.7, avnd forma general

)t(Du)t(Cx)t(yx)t(x , )t(Bu)t(Ax)t(x 00 . (7)

Sistemului i corespunde schema bloc din Fig.12. n schem apar trei tipuri de operaii: nsumri, nmuliri cu

constante i integrri. Procedural, primele dou operaii se efectueaz la fel indiferent dac sistemul este un sistem n

timp continuu sau un sistem n timp discret. Operaia de integrare, creia i corespunde blocul din cadrul reprezentat

cu linie ntrerupt, nu are un echivalent exact n timp discret. Ea poate fi ns aproximat folosind diferite formule

utilizate n metodele de integrare numeric. Ideea discretizrii prin aproximare const n esen tocmai n aceast

manier de aproximare.

x

A

uB

y D

Cx

X0

Fig.12. Schem bloc asociat MM-ISI (7).

n acest context considerm un element de transfer integrator cu orientarea u y avnd modelul matematic

t

0t0)()y(ty(t) du . n figura de principiu 13 se consider o variaie arbitrar a semnalului de intrare u(t) pe

un interval de timp cu lungimea unui pas de discretizare [kh, (k+1)h). Pe acest interval avem


1)k(k

khdtu(t)y(kh)1)h)y((k . (8)

)kh(u

)h)1k((u

t kh (k+1)h

u h)1k(

khdt)t(u

M

P N

Q

P N

u(t)

Fig. 13. Referitoare la aproximarea numeric a operaiei de integrare.

Datorit formei oarecari a semnalului de intrare integrala din membrul drept se poate evalua numai prin aproximare.

Trei dintre modurile de aproximare posibile sunt urmtoarele:

)h)1k((u)kh(uhMNPQ)h)1k((uhPQPM

)kh(uhQNMNQNPMdt)t(u

21

h)1k(

kh )MT()MDA()MDR( (9)

Aproximarea se bazeaz pe interpretarea grafic a integralei n sens Riemann h)1k(

kh

dt)t(u . Acesteia i corespunde aria

QNPM a dreptunghiului curbiliniu QNPM . Pentru valori mici ale lui h ea poate fi aproximat prin ariile: QNMN , a dreptunghiului QNMN - caz n care vorbim despre metoda Euler sau metoda

dreptunghiului retardat (MDR),

PQPM , a dreptunghiului PQPM - cnd vorbim despre metoda dreptunghiului avansat7),

MNPQ a trapezului rectiliniu MNPQ - caz n care vorbim despre aproximarea Tustin sau

metoda trapezului.

Folosirea pentru o problem dat a uneia dintre cele trei metode - MTR, MDA sau MT reprezint opiunea

utilizatorului.

Rezultatul obinut poate fi folosit n mai multe moduri. Unul dintre ele l constituie stabilirea unor formule de

substituie. Aceasta este calea urmat n continuare. Pentru a stabili formulele de substituie nlocuim (9) n (8).

Aplicnd convenia de notare a argumentului timp normat folosit n seciunea 1, rezult succesiv:

12

h u[t]y[t 1] y[t] h u[t 1]

h u[t] u[t 1]

, tT

7) Atributele retardat i avansat se refer la faptul c dreptunghiurile considerate au n comun cu trapezul curbiliniu latura din stnga, corespunztoare momentului kh (aflat n urm), respective latura din dreapta, corespunztoare momentului (k+1)h (situat nainte).


respectiv

t

t t t1

t t2

h {u[t]}{y[t 1]} {y[t]} h {u[t 1]}

h {u[t]} {u[t 1]}

T

T T T

T T

12

h u(z)(z 1)y(z) h zu(z)

h (1 z)u(z)

. (10)

n consecin, pentru aproximarea comportrii unui ET-I cu funcia de transfer s1)s(H , se pot folosi un sistem n

timp discret cu orientarea u(z) y(z) i funcia de transfer

(MT)

(MDA)

(MDR)

1z1zh

1zzh1z

h

)z(u)z(y)z(H

21

. (11)

Avnd n vedere remarca privitoare la tipul operaiilor care apar n schema bloc din Fig.12 i omind problema

tehnic a iniializrii n locul schemei din Fig.12 se consider schema din Fig.14 n care blocul integrator a fost

nlocuit cu un bloc avnd funcia de transfer (18).

x H(z)

A

uB

y D

C

Fig.14. Schem bloc asociat folosirii formulei (12)

Din punct de vedere formal aceasta revine, la substituirea lui s1 prin:

(MT)

(MDA)

(MDR)

1z1zh

1zzh1z

h

s1

21

(12)

Pentru a evidenia c este vorba de aproximare, n schema din Fig.14 intrarea blocului cu funcia de transfer H(z) s-a

notat cu .

Se tie c pentru sistemele n timp continuu caracterul integrator este asociat cu prezena polului p = 0, iar caracterul

derivator cu cea a zeroului z = 0. Se observ c potrivit relaiilor (13) polului p = 0 din cazul sistemelor n timp

continuu i corespunde pentru sistemele n timp discret polul z = 1, iar zeroului z = 0 din cazul sistemelor n timp

continuu i corespunde zeroul z = 1. n consecin, pentru STD caracterul integrator este asociat cu prezena polului

p = 1, iar caracterul derivator cu cea a zeroului z = 1.


n concluzie, aplicarea metodei pentru discretizarea prin aproximare const n alegerea uneia dintre cele trei formule

comasate n (13) i efectuarea substituiei corespunztoare n funcia de transfer a sistemului n timp continuu care

trebuie discretizat.

Exemplu: i) S se determine modelul sistemului n timp discret asociat prin metoda dreptunghiului

avansat sistemului n timp continuu )t(a3)t(u2)t(u5 (c). ii) S se determine funcia de transfer a

sistemului n timp discret asociat prin metoda dreptunghiului retardat algoritmului de reglare redat de

funcia de transfer 2

1H(s)s 2s 5

(d). n ambele cazuri pasul de discretizare a timpului este h.

Soluie: i) Sistemului i corespunde funcia de transfer

s125

s13

2s53)s(H

, iar n conformitate cu

(19) rezult 1

1zhz

s1 z5h25

h35z)h25(

hz3

1zhz25

1zhz3

)s(H)z(H

. ntruct (z)a(z)uH(z) , avem

15z2h53h

(z)a(z)u

, respectiv (z)a3h(z)u5z(z)u2h)(5 1 . n consecin modelul n timp discret

este [t]2h5

3h1][t2h5

5[t] auu

(c').

ii) De data aceasta se rescrie H(s) sub forma

2

2

s15

s121

s1

)s(H

, astfel c

221

22

2

2

2

2

1zh

s1 z)h5h21(z)h1(21

zh

)1z(h5

1zh21

)1z(h

)s(H)z(H

(d ').

Rezumat: n cazul aplicrii metodei de discretizare prin aproximare (n varianta cunoscut sub denumirea

metoda substituiei) unui sistemului n timp continuu fr timp mort avnd funcia de transfer H(s),

pasul de discretizare a timpului fiind h, rezultatul se obine substituind n expresia lui H(s) pe s1 cu una

dintre expresiile din (13). Rezultatul poate fi utilizat pentru a stabili apoi modele n domeniul timp sub

form de ecuaii recursive.

Pentru exemplul dat sistemelor n timp continuu (c) i (d), reprezentnd procesul P din Fig.8, li se

asociaz, pentru un pas de discretizare a timpului h sistemele n timp discret (c') i (d') reprezentnd blocul

P din Fig.10.


Aplicnd8 metoda de discretizare prin aproximare prezentat pentru sistemele n timp continuu cu funciile de transfer

01

01asabsb)s(H

(13)

i

012

2

012

2

asasabsbsb)s(H

(14)

se obin sisteme n timp discret cu funciile de transfer

10

101

z1z)z(H

(15)

i

20

11

20

112

zz1zz)z(H

, (16)

respectiv cu modelele intrare ieire n domeniul timp discret ]1t[u]t[u]1t[y]t[y 0101 (17)

i ]2t[u]1t[u]t[u]2t[y]1t[y]t[y 012012 (18)

Formulele de legtur ntre coeficienii din relaiile (13) i (14) n cazul aplicrii MDR, MDA i MT sunt urmtoarele:

01

01asabsb)s(H

1 0 2 1 0

(15), (17) MDR - 1

10a

aha - 11

ab

110

abhb

(15), (17) MDA - 10

1aha

a

- 1010

ahabhb

10

1aha

b

(15), (17) MT -

10

10

a2ha

a2ha

-

10

10

a2ha

b2hb

10

10

a2ha

b2hb

012

2

012

2asasa

bsbsb

)s(H

1 0 2 1 0

(15), (17) MDR 2

21a

a2ha 2

212

0a

ahaha 2

2ab

2

21a

b2hb 2

212

0a

bhbhb

(15), (18) MDA 2120

21ahaha

a2ha

212

0

2ahaha

a

212

0

212

0

ahahabhbhb

212021

ahaha

b2hb

212

0

2ahaha

b

8 Partea scris cu rou nu apare ca subiect de examen. Oricare dintre cazurile din tabel se poate obine n mod direct pe baza rezumatului care precede partea scris cu rou.


(15), (18) MT

212

0

22

0

a2ha

4ha

)a4

ha(2

212

0

212

0

a2ha

4ha

a2ha

4ha

212

0

212

0

a2ha

4ha

b2hb

4hb

212

0

22

0

a2ha

4ha

)b4

hb(2

212

0

212

0

a2ha

4ha

b2hb

4hb

Aceste formule permit, prin particularizare, stabilirea algoritmilor de reglare n timp discret asociabili legilor de

reglare tipizate. Bunoar, legii de reglare PI cu funcia de transfer )s1

T1(1KH(s)

IR asocierea se face

rescriind expresia sub forma sT

KsTKH(s)I

RIR

. Identificnd-o cu funcia de transfer din primul tabel vom avea

IR1 TKb , R0 Kb , I1 Ta , 0a0 .

Date post:	29-Sep-2015
Category:	Documents
Upload:	djpetry
View:	225 times
Download:	3 times

L09_2013-2014

Documents