CATALIN.PETRU NICOLE$CUI. V. MAFTEI D. 0R0sMADALINA.GEORGIA NICOLESCU GH. GHETA
CHISTINA.PAULA MARIN PETRE SIMIONANCA SILUIA NEGULESCU FLORICA VORNICESCU
PETRU ORBULESGU MATE$ESCU
GEOMETRIE$r
TRIGONOMETRIE, exercittt gl probleme
de matematicipentru elevii claselor de liceu
Probleme pregititoare pentruEXAMENUL DE BACALAUREAT
gi concursu! de admiterein invifimdntul superior
EDITURA $I TIPOGRAFIA ICARBucuregti
CUPITINS
I. GITONTII'I'RII,]
Capitolul l. Iilcmcntc dc calcul vcctrlrial ...,....................3l,l. ILezultate rernarcabile.. ....................31.2. l)roblcnrc rczolvatc...... .................,..51.3. Problcme prrtpuse...,.... ....................9
CapitoIuI2.EIcrrrcrrtcclcgconrctricailaIitici..,........................2.1. Rezultate r:cnrarcabilc.. ..................... ..................482.2. l)roblcmc rczolvatc.... ....................502.3. I'roblotire prop&se...... .................................;.......56
TT. ]'I{IGONOMI]:IIIIE
Capitolul 1. Elcmcntc dc trigonomotrie ............. ...................... ..........71I.l. Llngiriuri qi'a1cc............................;... ..................711.2. Iruncfiile trigonometricc in triunghiul clreptunghic .................771.3. Delinirea lirncliilor trigonometricc:
r-lsins, coscr pe [0, 2r]; tga pe [0, ^]
\ 1; i ; ctgq, pe (0, n) .......................... 83l/)
1.4. I)clinirea lirntliilor trigonornctrice pe dorncniul tnaxitn.........................,....8]' 1.5. Reducerea la prin.rul cadran ..........85
I.5. Grallcele [uncfiilor trigonomelrice..................................]............................861 . 7. Iiorr.r'rul c pentru calcularea vaiori lor tirncliilor tri gonometrice
pen1rucos(x!.y);sirr(r+fl;tg(.xty);ctg(r+.y);,..'.1.8. Formule pentru calcularea valorilor funcliilor trigonometricc
ale arcului clublu, triplu, arcului pe jumitale....,'..:......................................1071.9. l;orn-.- ulc pcntru translbt-lnzu'ca strrrrci Ei tliL'crcn{ci a dotti
firncfii dc acclaqi nutnc in pt'oc1tts.,........ ,.,..........,..:............... I l3I . 10. Formulc pentru translbrmarca produsului de ttnclii
trigononrelrice in surna algchrici dc lirnclii trigonomclrice....................... I l3l.Il. Iclenlilali condilionate.................... ..........:...,...................,...1231.12. Incgalitali trigononretlicc.............. ..:...................................126I.13. Rczolvari [a problcrnclc plopuse... ................. 128
Capitolul 2. Iicua!ii, inccualii r;i sistcnrc dc ccualii trigononrctricc..................... 153
2'l.Iicuatiil'rigononrctricc..,.......'.''.....2.2. Inccuatii trigonomelrice .............;..... :..............-..... ................1742.3. Sistcmc clc ccuatii tr.igononrctricc................... ...................:.. 184
366
Capitolul 2. Probletne prcglti{
, Irrdicllii qi rispr.rnstrri ........oare pcntru examenul dc hacalau rcat..-............ 342
350
361
ELEMENTE
DE CALCUL VECTORIAL
1.1. REZULTATE REMARCABILE
7,- mullimea vectorilor (liberi) din plan.
Fiecare vector nenul i e 7 este caracterizat prin:
- direclie_ SCNS
-lungime-notalie ln I e (0,+oo).
d - vectorul nul; - i - opusul lui i.
Adunarea vectorilor - proprieti{i1.n, + (i,+ir):(t,+U)+ 4,V % ,i,i, e7,|2. i,+ ir: ir+ i,, V i,, i, e V,'-
3. i+6:i,V i e 7,,'(ftg.Ia). o
'-4,%nl=lkl'la2
- k<0'k-ii I
Fig. I b
Produsul scalar
i,- ir:ir+ (- t, ) Fig. I a
inmulfirea unui vector cu un numir real (scalar)
- proprietl{i1. l.r:il,viev,-2. a(i,+ % ): ot, + uiyY i,, i, e %;-V aR3. (cr+B)t :cr i +B t, V i e V,'V cr, B e IR
4.a(F n):(crP)n,V,i e7.Va,0e IR(fig. 1b).
Il; I 141""'", dacd v, + o ei n, + o
I o ,dacdi,=6ruur,=6vt' lz =
I
a, b -coordonatele veCtodui
J,,t-lv"
cosC[=
Proprietifi-
-rL v,.v,: vz'y, v v,,Y2 e 7
2. i(it+ t,): i'i,+ i 'i,, V i,;t,;,
3.(ov, )'vr- r' '(cr 4):ct(i,'tr),V t,;
VcrelR.
It l: .[ii,v i e 7'(fig.tc).
= lJ. l:1'+ b j (ftg.2).
i, + i, = (a, + a)l + @, + br)i
fr,=ka,i +kb,j
It.tz=agz+btbz[-l----]-l- r- r
lu,l= ,loi + b; , lvrl=
; i, L i, Q afiz* b1b2:0'
e 7'i, e %'
Calcul cu vectori exprimafi intr-o trazh ortonormati ( i , i)z
7=0,,1i I
-**iv +v :atxy
v
= a,i + b,j-=a{ +bzJ
Fiind date punctele Mr(ar, b), Mz(az, b2), avemi
. M,M, = (a2- a)i + (br- br) i .
Mr(av bz)
Mr(ay b1)
M (a, b)
1.2. I'ITOBI,IIME REZOLVA'rII
1. Fiind date punctele necoliniare O, A,
dreapta AB astfel incet 7fr = kMi) , cu k e IR \
-:-:+ I -OM=_(OA+kOR).
1+k'
Aplica{ie. Sd se exprime Vectorii ,OM , OI,[l
O) qt OE qtiind ca:
)*i) ttU =1-MB:'a
J
ii) AMt=-aMrB;,7o..._...-
iii) AM2=-1MzB.4
Rezolvare
intrrrcAt Vfr = k.ME aea,.rcenr l77ltl lral
1l gi un'rpunct M
{- 1; 0}, atunci l,tl =
situat pe
lznlr-i St
lMul
Si OM, cu ajutorul vectorilor
=lt'l'
o
lzill*u.l=@l (fie. 3).
,o
M
Fig.3
Din trinnglriul OAM oblirrcm Vil = Oil - O)
Diri triunglri ul OBM oblinem ME = OE rOfr , apoi kME = kOrt - km .
Din enunt arr,",', Ail = kME e ffi -o) = km - kOfr . irr final rezultd
=:-: I .-:-r --r-::OM = t *r(OA+ kOR) .
DacI r(este nrijlocul segmenrului pBl, atLrnci fr : I gi Ofr = lfA + Ob .'2'
Rezolvare
IBC=PC-PBt_Observdm cd avem |C,q = PA - PC .
t_lou=PB-PA
Rezulta il rrc -FE> * FE,@)-Fd * Fd'tFE -F)> : o
Dacd punctul P este interseclia inallimilor din B 9i C in triunghial ABC, avem
PB L CA, PC L AB,prin.urmare au loc egalitalile Ffr A: 0 qi Fe 'Zfr : O.
Jinem seama de aceste rezultatein egalitatea (x) qi deducern cd F).Ed : O,
agadar PA L BC.
Am stabilit in acest mod cd inalfimile triunghiului sunt concurente in punctul
P (ortocentrul triunghiului).
6. i) Se dauvectorii i, :3i * i , i,:-2i + aj si n: si + 1l;. $tiind
ca li | :ljl:1Si i j:0,sdsedeterminenumerelerealecrgi Bastfel incAt
n:ort +pir;ii) Sa se detetmine ). e IR qtiind ca vectorii f +U ql il = Z)"1 + 2Q - X)j
sunt ortogonali.
Rezolvare
i)cr(3i + j)+ P(-zi +4i):si +tti aQu-25)I +1cr + ili :--si +tt j.
Din exprimarea unicd a unui vector i cu ajutorul vectorilor bazei (l , i ),
rezultasistemul de ecuatii {:cr - zO = 5
.ur" admite solu}ia {: =l---''
lcx+4B=11 |.F=Z
ii) vr+% : I + 57r. Condilia de orlogonalitate este il (i,+ir):0. Rezulta
ecualia 3fu . I + 2(l - I)5 :0, care admite solufia I = +.,,
7. in raport cu reperul (O, 'i
, 7.; se "on-
siderd punctele A(- 1,2), B(0, - l), C(5, 0),
D(2,4),i) Sa se precizeze coordonatele vectorilor
cA ,i BD --=-=-
ii) Sa se calculeze cos(CA,BD ).
iii) Sa se calculez,e a:1ra patrulaterului ABCD.
A e1,2)
Fig.7
Rezolvare
i) CA : (- 1- s) i + 1z-0),r. : -6i +2j grg.7),
BD :(2-0)i + (4+ 1)"r :2i +s j .
ii) CA : I CA I :./36+ 4 :2.110,
-BD: I BD l: 44+25 =429 .
e E6:(-6) . z+2. s :-2. Fieo :*GfEfr),^ CA.BD -2 1
:A.BD z$o Jn Jzso
iii) sin o: Jl-cot' o - l7 c - I: 6,
Sett.o : , UC. BD . sin 0: 17.
1.3. PROBLEME PROPUSE
1. Fiind dat triunghiul ABC s[ se arate cd existd un punct O astfel inc6t pentru
orice punct M din plan sI aibl loc egalitatea CO = MA + MB - 2 . MC .
2. Sd se arate cdmijloacele laturilor unui patrulater sunt v6rfurile unui paralelogram.
3. Se considerl punctele A, B gi C necoliniare, punctele D gi E astfel incAt
AD = EA- BC , iar {O} = BD n CE.
a) Si se exprime vectorii EB , CE qi i6 in funcfie de 7E $i 7db) Sd se arate cdl,AOl este rnedianl in triunghiu.l lBC.4. Se considerd un patrulater convex ABCD gi se noteazd cn M, N, P, Q
r centrele de grbutate ale triunghiurilor BCD, ACD,,ABD, ABC. Sd, se arate cIpatrulaterele ABCD qi MNPQ sunt asemenea.
5. in trapezul ABCD lungimea bazei lABl este de k ori rnai rnare decAtlungimea bazei ICD), k, e IR**, M fiind un punct,oar*rg" in planul trapezului. Sd
se exprime vectorul AB in funclie de vectorii *lt[D qi MC .
6. Punctele M, qi M, determin6 pe segmentul pB] trei segmente congruente.
O fiind un punct oarecare din plan sd se exprime vectorii Oil, qi Oil, infur.1i.
de vectorii OA qi OB .
T.LaturalBClatriunghiului ABC este impirlitd de punctele Br, Bz,,B3 gi Ba, in
cinci segmente congruente. Se rsteazd m =; qi Ad =) .
a) Sd se exprime vectorii G, ,7;,,78, qiTi^ i"funclie de vectorii ] qi "
.
b) DacE m(ABC ) : 90o, lA F 24, le l:5 gi y= AB+AB,+ABr+AB.+* 7E;+7C sase calcr"rleze I i | .
