GEOMETRIE ANALITICAGheorgheMUNTEANU,AdelinaMANEA2CuprinsPrefat a 7I Considerat iiteoretice 91 Spat iivectoriale 111.1 Denit ie,exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Subspat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Liniaraindependent a,baza sidimensiune. . . . . . . . . . . . 151.3.1 Schimbareabazei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Lemasubstitut iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Complexicareaunuispat iuvectorialreal . . . . . . . . 231.4 Spat iieuclidiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1 Ortogonalitate ntr-unspat iueuclidian . . . . . . . . . 261.4.2 Proiect iaortogonala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Spat iiane 332.1 Spat iuan. Denit ie,exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1 Exempledespat iiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2 Sistemedecoordonate nplanul sispat iuleuclidian . . 402.1.3 Repere ntr-unspat iuan. Schimbareareperelor. . . . 422.2 Produsecuvectorigeometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1 Produsulscalaradoivectori . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.2 Produsulvectorialadoivectorigeoemetriciliberi . . . 462.2.3 Produsulmixt(exterior)atreivectorigeometrici . . . 482.2.4 Dublulprodusvectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.5 Extinderialeprodusuluimixt sivectorial . . . . . . . . 502.3 Subspat iiane. Varietat iliniareane . . . . . . . . . . . . . . 532.3.1 Pozit iirelative,unghiuri sidistant e . . . . . . . . . . . 592.4 Semispat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6434 CUPRINS2.4.1 Mult imiconvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.2 Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5 Raportsimplu. Paralelism siasemanare . . . . . . . . . . . . 703 Transformari nspat iiane 733.1 Transformariliniare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.1 Transformariliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.2 Vectori sivaloriproprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.3 Formadiagonalaauneimatrice . . . . . . . . . . . . . 803.2 Transformari nspat iieuclidiene. . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1 Transformarihermitiene . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.2 Transformariortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3 Transformariane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.1 Izometriileplanului sispat iuluieuclidian . . . . . . . . 883.3.2 Grupulasemanarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934 Formeliniare,multiliniaresipatratice 954.1 Formeliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Formep-liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Tensoriani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4 Formepatratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.1 Formepatratice nspat iieuclidiene. . . . . . . . . . . . 1065 Conice 1095.1 Clasicareaconicelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Proprietat igeometricealeconicelor . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.1 Centruluneiconice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.2 Axedesimetrielaoconica. . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.3 Intersect iauneiconicecuodreapta. . . . . . . . . . . . 1205.2.4 Diametrulconjugatuneidirect ii. . . . . . . . . . . . . 1215.2.5 Pol sipolaralaoconica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.2.6 Coniceprincondit iiinit iale. Fascicoledeconice. . . . . 1246 Cuadrice 1296.1 Cuadrice. Exempledecuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.1.3 Hiperbolidulcuopanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.4 Hiperbolidulcudouapanze . . . . . . . . . . . . . . . 1366.1.5 Paraboloiduleliptic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.1.6 Paraboloidulhiperbolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138CUPRINS 56.1.7 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.1.8 Cilindrul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.1.9 Punctuldublu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.1.10 Perechideplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.1.11 Dreaptadubla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.1.12 Cuadricavida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2 Clasicareacuadricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3 Generaridesuprafet e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3.1 Subvarietat i ntr-unspat iuan . . . . . . . . . . . . . 1456.3.2 Suprafet ecilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.3.3 Suprafet econice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3.4 Suprafet econoidecuplandirector . . . . . . . . . . . . 1516.3.5 Suprafet ederotat ie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.6 Suprafet eriglate sidesfasurabile. . . . . . . . . . . . . 154II Aplicat ii 1577 ProblemerezolvatelaCapitolul1 1597.1 Spat iivectoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2 Subspat iivectoriale. Operat iicusubspat ii . . . . . . . . . . . 1617.3 Schimbareabazei. Lemasubstitut iei . . . . . . . . . . . . . . 1677.4 Spat iieuclidiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718 ProblemerezolvatelaCapitolul2 1778.1 Calculvectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2 Vectori liberi. Produsul scalar, vectorial, mixt si dublul produsvectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3 Subspat iianealespat iuluiRn. . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.4 Mult imiconvexe. Semispat ii. Raportsimplu . . . . . . . . . . 2099 ProblemerezolvatelaCapitolul3 2159.1 Transformariliniare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.2 Vectori sivaloriproprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.3 Transformariortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.4 Transformariane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22810ProblemerezolvatelaCapitolul4 23510.1 Formebiliniare sipatratice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356 Geometrieanalitica11ProblemerezolvatelaCapitolul5 24311.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24312ProblemerezolvatelaCapitolul6 26312.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2 Cuadricepeformagenerala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26612.3 Generaridesuprafet e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Prefat aDisciplinaGeometrieAnaliticaesteconsideratadisciplinafundamentala nplanul denvat amant al oricarei facultat i de matematica. Motivat iaestereasca avand n vedere ca not iunile studiate aici sunt cu implicat ii n multealtedisciplinestudiateulterior.Cartea de fat a reprezinta o varianta ceva mai extinsa a notelor de curs siseminart inutedeautoriieilaFacultateadeMatematicasiInformaticadinBrasovpeparcursul amai multorani decolaborare. Desigur, delaanlaanautorii aucautatvariantedepredaresi seminarizarepotrivitestructuriifacultat iisiniveluluidepregatireastudent ilorrespectivi. Trecerealaciclulde trei ani cu licent a a determinat reducerea timpului alocat disciplinei, faptcepoateprejudiciaopredare ncondit iibuneaunornot iuniatatdeimpor-tante pentru formarea matematica a unui student. Solut ia gasita de noi estesa publicam aceasta varianta extinsa a notelor de curs si seminar, oferind ast-felposibilitateastudentuluicudragostedecartesapoatapatrundedincolodeelementeleschematicelacareserezumanoteledecurs.Cont inutul cart ii esteunul clasicpentrudisciplinaGeometrieAnaliticasi se poate regasi n majoritatea cursurilor similare predaten t ara saustrainatate. Ceodeosebeste de altecart i similaretipariteestefaptul capunela ndemanastudentuluiatatnot iunileteoreticecatsiaplicat iile. Amputeaadaugaaicipoate siexperint aprofesionalaaautorilor.Speram ca materialul propus sa reprezinte un sprijin real pentru student iidelaMatematica n nt elegereadisciplieisisa-iajutepeceicedinanumitemotivenuaupututluauneledinnoteledecurssadepaseascauneventualesec.Brasov,2007.78 GeometrieanaliticaParteaIConsiderat iiteoretice9Capitolul1Spat iivectorialeNot iunea pe care o prezentam este cunoscuta din manualul de algebra , clasaaXII-a, si dezvoltatalacursul deAlgebraliniara, semestrul I. Geometriaanalitic aareunsuportalgebric nnot iuneadespat iuvectorial, sauspat iuliniarcummai estecunoscut. Pregatireaanterioaranepermitecaaici satrecem doar n revista not iunile necesare n notat iile specice cursului nostru.Ca sa justicam necesitatea introducerii acestor not iuni amintim din liceu caadunarea a doi vectori geometrici v1si v2se face cu regula paralelogramului.Dacaei sunt xat i norigineaunui sistemde axesi extremitat ile lor aucoordonateleM1(x1, y1)respectivM2(x2, y2)atuncivectorul v1 +v2,xat norigine, va avea extremitatea de coordonate M(x1+x2, y1+y2). Analog, daca R si vxat n origine are extremitatea de coordonate P(x, y), atunci vvaaveaextremitateaQ(x, y).Apare astfel natural caimagineageometricasae abstractizatasi satratamalgebricoperat iilegeometricedindesenul demai sus. Panaatuncicatevantrebari seridica. Unaar cent elegprinsistemdeaxe. Apoicefel deaxe?. Rectangulare?. Si dacada, cesunt acelea. Cumdenesc1112 Capitolul1. Spat iivectorialecoordonateleextremitat ilorvectorilor?. Sunt ntrebari lacareraspunsul lgasimfundamentandalgebricnot iunilegeometriceprezentate.1.1 Denit ie,exempleSaconsideramV omult imealecarei elementelenotamcux, y, z... si lenumimvectori (avandlegaturasi cugeometriavectorilor). Fie(K, +, .)uncorpcomutativdeelemente, , ..,numit iscalari.Numimspat iuvectorial pestecorpul KostructuraalgebricadenitapeV dedoualegidecompozit iecevericaaxiomele:I)+:VVV , adunareavectorilor, cesatisfaceaxiomeleunuigrupabelian:I)1. x + (y + z) = (x + y) + z,asociativa x, y, z VI)2. x + y= y + x,comutativa, x, y VI)3. Existaunvector0astfelx + 0 = x, x VI)4. x V exista x V astfel ncatx + (x) = 0.II). : K V V ,amplicareacuscalariavectorilor,cesatisface:II)1. ( + )x = x + xpentru , Ksi x VII)2. (x + y) = x + ypentru Ksi x, y VII)3. (x) = ()xpentru , Ksi x VII)4. 1x = x,unde1 Ksi x V.Consecint eimediatealedenit ieisunt:1. 0x = 02. 1(x) = x = (1)x3. x = 0daca sinumaidaca = 0saux = 0.4. (1 + ... + n)x = 1x + ... + nx5. (x1 + ... + xn) = x1 + ... + xn.Exempleremarcabiledespat iivectorialesunt:1. (K, +, .K) , orice corp este spat iu vectorial peste el nsusi, n particulardiscutamdespat iulrealsaucomplex.2. FieKn= (x1, x2, ..., xn) / xi K,produsulcartezianalluiKdenSubspat ii 13ori. Denimoperat iile:(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) =(x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)(x1, x2, ..., xn) =(x1, x2, ..., xn) K(Kn, +, .K)devinespat iuvectorialpesteK.In particular putem discuta de (Rn, +, .R) spat iul real n dimensional, sau(Cn, +, .C) spat iul complex n dimensional. Regasim aici operat iile prezentatenintroducerepentruspat iulreal(R2, +, .R).Calculat i: x = 3(1, 4, 1)+2(0, 2, 1)(2, 1, 1). Dupa operat iile de mai susnseamna ca ecare element din prima paranteza sa-l nmult im cu 3, analog lacelelalte cu 2 respectiv -1 si sa adunam pe ecare pozit ie elementele obt inute.Raspunsulnalestex = (1, 15, 2).3. Vectorii dinplansauspat iudecarediscutammai sus. Introducereageometricaalorovomface ntr-uncapitolseparat.4. (/mn(K), +, .K),spat iulmatricelorcuelementedincorpulK(realsaucomplex).5. (F[a,b], +, .R)spat iulfunct iilorrealedenitepe[a, b] R.6. Mult imea tuturor polinoamelor n nedeterminata X, cu coecient i dincorpulK, (T[X], +, .K).Putemcontinuacumultealteexemplecedovedescimportant anot iuniiceostudiem.1.2 Subspat iiFie(V, +, .K)unspat iuvectorial siS V omult imenevida.SpunemcaSeste subspat iunV dacarestrict iaoperat iilor dinV laSdenestepeacestaostructuradespat iuvectorial. Pentruaceastaestesucientca:x + y S , x, y S si x S, , K, x Ssauechivalentx + y S , x, y S, , K.Sepotdamulteexempledesubspat ii: matricelesimetricesauceleanti-simetrice,funct iileparesauimpare,funct iilepolinomialepanalaunanumitgrad,etc.14 Capitolul1. Spat iivectorialeFaptulcaSestesubspat iu nVlvomnotaderegulacuS V.Principaleleoperat ii cusubspat iisunt:FieS1siS2douasubspat ii nspat iulvectorial(V, +, .K).Atunci:1. Intersect iaS1 S2adouasubspat iiesteunsubspat iu.2. SumaS1 +S2= x1 +x2/ x1 S1, x2 S2esteunsubspat iu. DacaS1 S2= 0,atuncisumasenumestedirecta sisenoteazacuS1S2.3. FieM= x1, x2, .., xn V omult imeoarecare. Numimcombinat ieliniara deelementelelui Munvector deforma1x1+ 2x2+ .. + nxn.Mult imea tuturor combinat iilor liniare de elementele lui Mmpreuna cuadunareasi amplicarealorcuscalari formeazaunsubspat iu nV , numitsubspat iul generatdeM, sinotat[M] .Deobservatcareuniuneaadouasubspat ii nuesteunsubspat iu ngen-eral darsedemonstreazaca[S1 S2] =S1+ S2, adicasubspat iul generatdereuniuneestesubspat iul suma. Diferent aadouasubspat ii nuesteunsubspat iudeoarecenucont inepe0.Fiev0 V xat siSL V unsubspat iu. Denimmult imeadevectoriL = v0 + SL= v0 + v/ v SL.L se numeste varietatealiniarace trece prin v0si are pe SLca subspat iudirector.IngeneralLnuestesubspat iu nV,daroricesubspat iuestevari-etateliniara(spreexempluluamv0= 0).IntuitivdacaSLl privimcamult imeavectorilorlegat i norigineceseaapeodreapta(cetreceprinorigine), putemprivi ovarietateliniaracaindodreaptaparalelacueatranslatacuvectorulv0.`

`>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>LSLAplicat ie. FieS1= (x1, x2)/x1=x2siS2= (y1, y2)/y1= y2din(R2.+, R).Aratat icasuntsubspat ii,calculat iS1 S2siS1 + S2.Solut ie: S1= (x, x)/x Rsi (x, x) + (y, y)=(x + y, x + y) S1,iar (x, x) =(x, x) S1. Deci S1estesubspat iunR2. AnalogS2=baza sidimensiune 15(x, x) /x R si (x, x)+(y, y) = (x+y, (x+y)) S2, iar (x, x) =(x, x) S2,adicaS2estesubspat iu nR2.Pentru S1S2vedem cand un element se gaseste n ambele mult imi. Fie(x, x) S1si (y, y) S2. Elevorcoincidedacax=ysi x= yadicax = y= 0,deciS1 S2= (0, 0).S1 + S2estesumadintreunelementdinS1si unelementdinS2, adicaS1+ S2= (x, x) + (y, y)= (x + y, x y). Saobservamcaaceastamult imeacoperatoateperechiledenumerereale,adicaS1S2= R2.Intuitiv, dinpunctdevederegeometric, acestexercit iunespuneca nplan S1 si S2sunt doua drepte (prima si a doua bisectoare), intersect ia lor seface evident n origine,iar suma dintre un vector de pe prima dreapta cu unvectordepeadouadreaptanedaunvectordinplan; ntregplanulputandacoperitdesumedevectori, unul depeprimadreaptasi celalaltdepeadouadreapta.Exercit iipropuse. Vericat icaredinurmatoarelemult imisuntsubspat iin(R3, +, R):a)S1= (x1, x2, x3) /x3= 0b)S2= (x1, x2, x3) /x12x2 + 4x3= 0c)S3= (x1, x2, x3) /x12x2 + 4x3= 3d)S4= (x1, x2, x3) /x21 + x22= x23.Raspuns: a)da,b)da;c)nu,d)nu.1.3 Liniara independent a, baza si dimensiuneFie(V, +, .K) unspat iuvectorial si M= v1, v2, ...., vn V omult ime(sistem)devectori.Spunemca Meste liniar independenta daca oricare ar combinat ialiniara1v1 + 2v2 + .. + nvn=0aceastaesteposibil dacasi numai daca1= 2= ... = n= 0.Incazcontrar spunemcaei suntliniardependent i. Astanseamnacaexista cel put in un k ,= 0 si totusi suma sa e = 0.In acest caz putem scoatepevkdincombinat iefunct iedeceilalt i vectori. Deci, unsistemdevectoriesteliniardependentdacasinumaidacaunuldinvectoriesteocombinat ieliniaradeceilalt i.Mai general,o mult ime innita de vectori din Veste liniar independenta16 Capitolul1. Spat iivectorialedacaoricepartenitadineaesteliniarindependenta.-daca M1 M2 si M1este liniar dependenta atunci M2este liniar depen-denta,-dacaM1M2si M2este liniar independentaatunci M1este liniarindependenta.Denit ie. Unsistemdevectori B= e1, e2, ...., en V sespunecaformeazabaza nV daca:1. Besteliniarindependent;2. Oricevectorx V esteocombinat ieliniaradeelementeleluiB,x = x1e1 + x2e2 + .. + xnen=n

i=1xiei. (1.3.1)Denit iasepoateextindelasistemeinnitedevectori, adouacondit ienespunecasubspat iulgeneratdeBcoincidecuV,adica[B] = V.Scalarii x1, x2, ..xndin descompunerea lui x se numesc componentelevec-toruluix nbazaB.Observat ie.Inceleceurmeaza, dinmotivegeometricepecareosalevedemmai ncolo,indiciicomponentelorunuivectorsevorpunesus,faraant elegecumvacaacestiasuntputeri. Deci x=x1e1 + x2e2 + .. + xnen=

ni=1xiei. In multe manuale universitare n scrierea aceasta se omite semnuldesuma, adicax=xiei, aceastaindoconvent iedatoratalui A. Einstein.Noi ncursuldefat a,pentruanucreadicultat ide nt elegerevomment ineacestsemndesumare.Propozit ia1. Descompunerea (1.3.1) a unui vector ntr-o baza este unica.DacaB= e1, e2, ...., en siB

= e

1, e

2, ...., e

msuntdouabazenV atuncin = m.Prima armat ie se demonstreaza imediat, daca x =

ni=1xiei=

ni=1yiei= ni=1(xiyi)ei=0si dinliniaraindependent arezultaxi=yi. Adoua armat ie nu este chiar imediata, dar ea ne spune ca numarul vectorilororicareibazedinV esteacelasisisenumestedimensiuneaspat iului,scriemdimV= n.Esteposibil caV saegeneratdeunsisteminnitdevectorisi atuncispunemcadimV= .Caexempluputemluacazulspat iuluituturorpoli-noamelor nnedeterminatax, pestecorpul real saucomplex. Unsistemdegeneratorieste 1, x, x2, ....xn, ...,deciinnit. Prindenit iedim0 = 0.baza sidimensiune 17Propozit ia 2. (Grassmann) Daca S1si S2sunt doua subspat ii nV,dimS1= n1, dimS2= n2 atunci dimS1+dimS2= dim(S1+S2)+dim(S1S2).De observat cadimensiuneaunui subspat iueste decat dimensiuneaspat iului.Aplicat ie: Caredinurmatoarelesistemedevectori suntliniarindepen-dente, sicareformeazabaza nR3?a)v1= (1, 2, 1),v2= (1, 0, 2), v3= (1, 4, 4)b)v1= (1, 2, 1),v2= (1, 0, 2)c)v1= (1, 0, 0),v2= (0, 1, 0),v3= (0, 0, 1),v4= (1, 2, 3)d)v1= (1, 2, 1),v2= (1, 0, 2), v3= (1, 1, 1)Solut ie: a) vericam liniara independent a, 1v1+2v2+3v3= 0 implica,1(1, 2, 1) +2(1, 0, 2) + 3(1, 4, 4) = (0, 0, 0),adica___1 2+ 3= 021+ 43= 01+ 22+ 43= 0, sistem liniar omogen cu determinan-tul=1 1 12 0 41 2 4=0sirangulestedoi, p=1 12 0, 3=ne-cunoscutasecundara. Rezolvam sigasim1= 2,2= .Decisistemulare o innitate de solut ii, adica vectorii sunt liniar dependent i, v3= 2v1+v2.Bazanuformeaza.b) Se obt ine sistemul___1 2= 021= 01+ 22= 0care are doar solut ia 1=2=0; vectorii suntliniarindependent i. Matriceasistemului arerangul 2.Pentruaformabazaluamunvectorx=(a, b, c)arbitrarsi ncercamsa lscriemx = 1v1 +2v2.Obt inemunsistemcamaisusdar nlocde0avempecoloanatermenilorliberia, b, c,decineomogencurangul2 sicar ,= 0 ngeneral. Adica sistemul este incompatibil n general. Deci nu formeaza baza.Deobservatcalaecaresistemcoloanelesunttocmai vectorii dat i. Astfelmatriceasepoatescriecuusurint a ntodeauna.c) vectorii sunt liniar dependent i , v4= v1 +2v2 +3v3, nu formeaza baza.d) Sistemul este___1 2+ 3= 021+ 3= 01+ 22+ 3= 0liniar omogen cu ,=0, deci avemdoarsolut ianula. Vectorii suntliniarindependent i. Luamunvectorx = (a, b, c)arbitrarsi ncercamsa lscriemx = 1v1 + 2v2 + 3v3.18 Capitolul1. Spat iivectorialeObt inemunsistemcamaisusdar nlocde0avempecoloanadindreaptaa, b, c; sistemneomogencurangul 3adicaCramer, cusolut ieunicapentru(a, b, c)dat i. Formeazabaza.Oricetreivectoriliniarindependent i nR3vorformaobaza. Eanuesteunica. SpreexempluB= e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1)estebazanumitacanonicasioricex = (a, b, c) = ae1 + be2 + ce3.Ingeneral nRnbazacanonicaesteB= e1=(1, 0, .., 0), e2=(0, 1, .., 0), ..., en=(0, 0, .., 1)si oricex=(x1, x2, ..., xn) = x1e1 + x2e2 + .. + xnen.Deciestebazaceamaisimpla.1.3.1 SchimbareabazeiAm vazut cantr-un spat iu pot exista mai multe baze. Fie B= e1, e2, ...., ensi B

= e

1, e

2, ...., e

n doua baze n Vsi x = x1e1+x2e2+.. +xnen=

xiei.Neintereseazacumsescrieacelasi xdar nbazaB

, adicacinearx=x1e

1 + x2e

2 + .. + xne

n=

xie

i?.Pentruadaunraspunslaproblemaartrebuisa stimcumseleagaBdeB

. DescompunemecarevectordinB

dupaceidinB,e

j= s1je1 + s2je2 + ... + snjen=n

i=1sijei(1.3.2)pentruecarej= 1, 2.., n.Inlocuindmai sus rezultax=

xie

i=

(

sijxj)ei. Cumscriereantr-obazaesteunica,rezultaxi=n

i=1sijxj(1.3.3)Dar noua ne trebuie scrierea inversa, xjfunct ie de xi. Pentru aceasta scriemmatricialsistemuldedeasupraastfel,e:X=____x1x2:xn____, S=____s11s12.. s1ns21s22.. s2n. . .. .sn1sn2.. snn____, X

=____x1x2:xn____Notamca nmatriceaSindiciidesussuntdelinieiarceidejossuntdecoloana.baza sidimensiune 19Sistemul(1.3.3)sescrieX= S.X

,sauprininversareX

= S1.X.Se demonstreaza ca matricea S, numita matriceaschimbariidebaze, esteinversabila ntotdeauna. NotamBSB

.Aplicat ie:InR3seconsiderasistemeledevectoriB= e1= (1, 1, 0), e2= (1, 0, 0), e3= (1, 2, 3)B

= e

1= (1, 3, 3), e

2= (2, 2, 3), e

3= (6, 7, 9)a)Aratat icaBsiB

suntbaze sigasit imatriceaSaschimbariibazelor.b)Gasit iexpresiavectoruluix = 2e1 + 5e2 + 7e3 nbazaB

.Solut ie. Determinantul cucomponentelelui Bpecoloaneeste ,=0sicumsunt3vectori dinR3, Bformeazabaza. AnalogB

. Pentruagasi Sdescompuneme

jdupaB

:e

1= s11e1 + s21e2 + s31e3=___s11 + s21 + s31= 1s11 + 2s31= 33s31= 3___s11= 1s21= 1s31= 1Analoge

2= s12e1 + s22e2 + s32e3=s12= 0, s22= 1, s32= 1 sie

3= s13e1 + s23e2 + s33e3=s13= 1, s23= 2, s33= 3.AstfelcaS=__1 0 11 1 21 1 3__cu S1=__1 1 15 2 32 1 1__Xestematriceacoloanadeelemente(2, 5, 7),astfelcaX

= S1.X=__1 -1 15 -2 32 1 1__.__257__=__012__adicax = 0e

1 + 1e

2 + 2e

3,scrierealuix nbazaB

.Exercit iipropuse:1. Gasit idimensiuneasubspat iuluigeneratdevectoriidinR3a)S1= v1= (1, 2, 3), v2= (0, 1, 3), v3= (1, 1, 0)b)S2= v1= (1, 2, 3), v2= (2, 3, 0), v3= (1, 1, 3)Calculat idimensiunilesubspat iilorintersect ie sisumaalelor.20 Capitolul1. Spat iivectoriale2. Gasit iexpresiavectoruluix = (0, 4, 2) nbazaB= e1= (1, 2, 3), e2= (2, 3, 1), e3= (3, 1, 2).3. Aratat icaB

= e

1= (1, 1, 0), e

2= (1, 0, 1), e

3= (0, 1, 1)B

= e

1= (0, 1, 1), e

2= (1, 0, 1), e

3= (1, 1, 0)suntbazesigasit imatriceaSaschimbariibazelorsiexpresiavectoruluix = (1, 1, 1) nbazeleB

siB

.4. Sa se determine dimensiunea sumei si a intersect iei subspat iilor gener-atedevectoriiU= u1= (1, 2, 1), u2= (3, 4, 2), u3= (2, 2, 1) siV= v1= (0, 1, 1), v2= (1, 2, 0).5. Gasit idimensiuneasubspat iuluidinR3asolut iilorsistemului___x1x2 + x3= 02x2x3= 02x1 + x3= 0.1.3.2 Lemasubstitut ieiExistaometodaalgoritmica(deaplicatsi pecalculator)pentruagasi ex-presiaunui vector ntr-obaza, matriceaschimbarii debazesi alteaplicat ii.Estevorbadelemasubstitut iei. Pescurteaconsta n:SapresupunemcaB= e1, e2, .., en, B

= e

1, e

2, ..., e

ndouabazesiBSB

matriceadetrecere, x=(x1, x2, .., xn)unvectorscris nbazaB.Intocmimuntabeldeformae

1e

2...e

j.. e

nxe1s11s12..s1j.. s1nx1e2s21s22..s2j.. s2nx2. . . .. .. . .eisi1si2..sij.. sinxi. . . .. .. . .ensn1sn2..snj.. snnxnDaca dorim sa scoatem din baza B doar vectorul ei si sa-l nlocuim cu vectorule

jatunci trebuiesaneasiguramcasij ,=0,si putemfaceurmatorul calculLemasubstitut iei 21e

j= s1je1 + ... + sijei + ... + snjen.Scoatemdeaicipeei=1sij(e

j-s1je1 ... si1jei1si+1jei+1... snjen). Inlocuind pe ei n ecare e

ksi grupand dupae1,.., ei1, e

j, ei+1, ..., en,obt inemurmatorultabel:e

1e

2...e

j.. e

nxe1s11s12..0 .. s1nx1e2s21s22..0 .. s2nx2. . . .. .. . .e

jsi1si2..1 .. sinxi. . . .. .. . .ensn1sn2..0 .. snnxnunde sik=siksijiar sik=1sij(sijshk sikshj) pentruh ,=i, adicaoregulaadreptunghiului. Analog,xi=xisijiarxh=1sij(sijxhxishj)pentruh ,= i.Eliminand pe rand toate elementele bazei B, pentru ecare j nlocuindu-lecucelealebazeiB

,dupanpasiseobt inex nbazaB

.Exemplicamprincatevaexercit iiacestlucru.Aplicat ie: 1. Gasit iculemasubstitut ieiexpresiavectoruluix = (0, 4, 2),nbazaB

= e

1= (1, 2, 3), e

2= (2, 3, 1), e

3= (3, 1, 2).ConsideramB= e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1) baza canonicasi ntocmimtabelule

1e

2e

3xe11 2 3 0e22 3 1 4e33 1 2 2Scoatemdinbazapee1si l nlocuimcue

1.Tabeluldevinee

1e

2e

3xe

11 2 3 0e20 1 5 4e30 5 7 222 Capitolul1. Spat iivectorialeScoatemdinbazapee2si l nlocuimcue

2.Tabeluldevinee

1e

2e

3xe

11 0 7 8e

20 1 5 4e30 0 18 18Scoatemdinbazapee3si l nlocuimcue

3.Tabeluldevinee

1e

2e

3xe

11 0 0 1e

20 1 0 1e

30 0 1 1Decidepeultimacoloanacitimx = 1e

1 + 1e

21e

3= e

1 + e

2e

3.2. Gasit imatriceadetreceredelabazaB

= e

1= (1, 1, 0), e

2= (1, 0, 0), e

3= (1, 2, 3)labazaB

= e

1=(1, 3, 3), e

2=(2, 2, 3), e

3=(6, 7, 9)si expresiavectoruluix = (14, 16, 21) nceledouabaze.ConsideramBbazacanonica si ntocmimuntabeldublue

1e

2e

3e

1e

2e

3xe11 1 1 1 2 6 14e21 0 2 3 2 7 16e30 0 3 3 3 9 21Scoatemperande1, e2, e3sile nlocuimcue

1, e

2, e

3,e

1e

2e

3e

1e

2e

3xe

11 1 1 1 2 6 14e20 1 1 2 0 1 2e30 0 3 3 3 9 21e

1e

2e

3e

1e

2e

3xe

11 0 2 3 2 7 16e

20 1 1 2 0 1 2e30 0 3 3 3 9 21e

1e

2e

3e

1e

2e

3xe

11 0 0 1 0 1 2e

20 1 0 1 1 2 5e

30 0 1 1 1 3 7Lemasubstitut iei 23Observam ca matricea de trecere de la B

la B

este S=__1 0 11 1 21 1 3__siexpresialuix nB

estex = 2e

1 + 5e

2 + 7e

3.PentruagasiexpresialuixnB

scoatemperande

1, e

2, e

3sile nlocuimcue

1, e

2, e

3.e

1e

2e

3e

1e

2e

3xe

11 0 0 1 0 1 2e

21 1 0 0 1 3 7e

31 0 1 0 1 2 5e

11 0 0 1 0 1 2e

21 1 0 0 1 3 7e

32 1 1 0 0 1 2e

11 1 1 1 0 0 0e

25 2 3 0 1 0 1e

32 1 1 0 0 1 2Astfel ca x = 0e

1+1e

2+2e

3 si n plus citim ca S1=__1 -1 15 2 32 1 1__,deci iat a o metoda de a gasi inversa unei matrice pe aceasta cale. De observatca am folosit aceleasi date ca n aplicat ia de la schimbari de baze, rezultateleindaceleasi.Exercit ii.1. Gasit i expresiavectorului x=(3, 3, 4) nbazaB

= e

1=(1, 2, 3), e

2= (1, 1, 1), e

3= (1, 1, 0)2. SedauB

= e

1= (1, 2, 0), e

2= (2, 3, 0), e

3= (1, 1, 1)siB

= e

1=(0, 1, 1), e

2= (3, 5, 0), e

3= (1, 1, 1). Aratat i ca sunt baze, gasit i matricea detrecere siexpresiavectoruluix = (1, , 2, 1) nceledouabaze.3. Gasit iinversamatriceiA =____1 1 0 01 2 0 01 3 1 14 3 2 1____culemasubstitut iei.1.3.3 Complexicareaunuispat iuvectorialrealFie (V, +, .R) un spat iu vectorial real si V V= (x, y)/ x, y V produsulcartezianalsaupecaredenimoperat iile:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) sipentruz= + i C,24 Capitolul1. Spat iivectoriale( + i)(x, y) = (x y, x + y).SevericausorcaV V capataostructuradespat iuvectorialcomplexfat a de aceste operat ii, numit complexicatul spat iului real Vsi notat cu VC.FieV

= (x, 0)/ x V siV

= (0, y)/ y V.Observamca(x, y) =(x, 0) + (0, y) sicaV

V

= 0.DeciVC= V

V

.Deasemenea, (0, y)=i(y, 0), adicaV

=iV

, astfel caVC=V

iV

,adicaVC= x + iy/ x, y V .Putemspuneastfel caVVC. DacaB= e1, ..., enesteobaza nVatunci severicacuusurint acaearamanebazanVC, aici scalarii indnumere complexe. Deci dimVC= n. Operat ia astfel denita se mai numestecomplexicareaspat iuluirealV.Exemplu: complexicatul lui Rneste (Rn)C= (x1, ..., xn)+i(y1, ..., yn),o baza ind baza canonica din Rn.In particular complexicatul spat iului real(R)Cestecorpulnumerelorcomplexeprivitcaspat iuvectorialcomplex.Exista si operat ia inversa de decomplexicare a unui spat iu vectorial com-plexV prin nlocuireascalarilorcomplecsicuscalarireali(, x) R V x = ( + i0)x.Spat iulrealobt inutsenoteazacuVRsisenumestedecomplexicatul luiV.DacaB= e1, ..., enesteobaza nV caspat iucomplex,atuncie1, ie1,..., en, iensevericacaesteobaza nVR,astfelcadimVr= 2n.1.4 Spat iieuclidieneAm vazut ca un exemplu important de spat iu vectorial cu care am lucrat maimultesteRn.Unelementalsaupoateprivit sidreptcoordonatealeunuipunct nraportcuunreperdingeometriaanaliticacunoscutadinliceu.Inacelasitimpelesteunvector. Not iuneaaceastadereperestegeometricasise refera la un sistem de vectori ce formeaza o baza a spat iului, xat i ntr-unpunct.In geometrie aceasta not iune capata semnicat ie daca putem masuradistant elesi unghiurile, not iuni introduseaxiomaticlacursul deGeometriesintetica. Denireaintuitivaanot iunii de perpendicularitate, distant esiunghiuriareuncorespondentalgebric nnot iuneadeprodusscalar.Denit ie. Fie(V +, .R)unspat iuvectorialreal.Numimprodus scalar peV oaplicat ienotata , ) : VV RcuSpat iieuclidiene 25proprietat ile:1. x, y) = y, x)2. x, y) = x, y)3. x1 + x2, y) = x1, y) +x2, y)4. x, x) 0 si x, x) = 0daca sinumaidacax = 0.Not iuneapareabstractadarimediatnelamurimcesemnicat iegeomet-ricaare.Perechea(V, , ))senumestespat iueuclidian.Maigeneral,daca(V +, .C)unspat iuvectorialcomplex,iaraxioma1. onlocuim cu x, y) = y, x), adica cu conjugatul respectiv, iar axiomele 2., 3.,4., le ment inem la fel, atunci spat iul (V, , )) se numeste spat iuunitar. Desidiferent a pare minora lucrurile sunt mult schimbate, spre exemplu x, y) =x, y) sideaicioseamadecomplicat ii.Incontinuarenevomreferinumailaspat ii euclidiene, cument iuneacaopartedinarmat iiledemai jos sement in si nspat iiunitare.Denimnorma(saulungimeaunuivector)caind | x |=_x, x).Din4. observamcaaresensaceastanot iune.Propozit ia1. ArelocurmatoareainegalitatealuiCauchy[ x, y) [| x || y | (1.4.1)Demonstrat iae simplasi ofacemaici. Consideramvectorul x+y.Evident x + y, x + y) 0oricarear R. Daraceastasemai scrie,2y, y) + 2x, y) + x, x) 0, R. Unpolinomdegrad2 nestepestetotpozitivdaca sinumaidaca = 4(x, y)2x, x)y, y)) 0,adicax, y)2| x |2| y |2. DinaceastarezultainegalitatealuiCauchy.Propozit ia2. Avem:1. | x | 0 si= 0daca sinumaidacax = 02. | x |=[ [| x |3. | x + y || x | + | y |Ultimaarmat iesedemonstreazapeseamainegalit atiiluiCauchy,| x +y |2= x +y, x +y) = x, x) + 2x, y) +y, y) x, x) + 2 [ x, y) [+y, y) | x |2+2 | x || y | + | y |2= (| x | + | y |)2.Unspat iupecares-adenitoaplicat iecuproprietat iledinPropozit ia226 Capitolul1. Spat iivectorialesenumestespat iunormat. Normaaici provinedintr-unprodusscalar, darnuesteobligatoriuacestlucru.Numimdistant adelaxlaymarimead(x, y) =| x y | .Propozit ia3. Avem1. d(x, y) 0 si= 0daca sinumaidacax = y2. d(x, y) = d(y, x)3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z).Demonstrat iilesuntimediate,pentru3. t inemseamacad(x, z) =|x z |=|(x y) + (y z) ||x y |+ |y z |=d(x, y) + d(y, z).1.4.1 Ortogonalitate ntr-unspat iueuclidianFie(V, , ))unspat iueuclidian.Denimunghiul adoivectoricaind [0, ]dinrelat iacos =x, y)| x || y |.Daca=2atunci vectorii sezicperpendiculari si aceastase ntampladaca sinumaidaca x, y) = 0.Douamult imi sespunecasunt ortogonale (perpendiculare) dacaoricevector din prima este perpendicular pe orice vector din a doua.In particularputemdiscutadesubspat iiortogonale,S1 S2.DacadimV= n siSesteunsubspat iu nV ,dimS= k,atuncisearatacaexistaunsubspat iuortogonal lui SnotatS, dimS=n k, astfel caV= S S.Vectorii unei mult imi dinV senumescortogonali dacaoricaredoi suntperpendiculari. Daca npluseisuntsidelungimeunitateatuncimult imease numeste ortonormata.In particular discutam de baza ortonormata n carevectoriisunt2cate2perpendiculari sidelungimeunitate.SanotamcaobazaB= e1, e2, ..., enesteortonormatadacaei, ej) =_1 dac a i = j0 dac a i ,= j= ij,numitsimbolulluiKroneker.Exemple: 1.In(Rn, +, R), dacax=(x1, x2, ..., xn)si y=(y1, y2, ..., yn)Spat iieuclidiene 27atunciunprodusscalarconvenabileste:x, y) = x1y1 + x2y2 + .... + xnyn(1.4.2)numit siprodusul scalaruzual. Avem| x |=_x21 + x22 + .... + x2n; d(x, y) =_(x1y1)2+ .... + (xnyn)2.In Rno baza ortonormata este chiar baza canonica, B= e1= (1, 0, .., 0),e2=(0, 1, .., 0), ..., en=(0, 0, .., 1). Eaeste ortonormata, deoarece spreexemplu e1, e2) = 1.0+0.1+0.0+...0.0 = 0, deci e1 si e2sunt perpendiculari,analogceilalt i. Iar | e1 |=12+ 02+ .... + 02= 1,analogceilalt i.InR2vectorii e1=(1, 0) =i, e2=(0, 1) =j xat intr-unpunct Oformeazaunreperortonormat sisereprezintacamaijos. Analog nspat iu,e1= (1, 0, 0) = i,e2= (0, 1, 0) = j,e3= (0, 0, 1) = k.Oxij`Oy`OyOz`

OxPe Rnprodusul scalar uzual nu este singurul produs scalar dar este cel ceintuitiv ne da imaginea geometrica cunoscuta. Noi vom folosi n mod curentprodusulscalaruzualpeRn.Inspat iul funct iilor continuepe[a, b] unprodus scalar des folosit estef, g) =_baf(x)g(x)dx.Pe(Cn, +, C)unprodusscalar(hermitian)este x, y)=x1 y1 + x2 y2 +.... + xn yn,astfelca(Cn, , ))devinespat iuunitar.Propozit ia1. Fie(V, , ))unspat iueuclidian,dimV= n.Atunci:a) Orice sistem ortogonal de vectori nenuli din Veste liniar independent.b) Orice sistem de n vectori ortonormat i din Vformeaza o baza ortonor-mata.28 Capitolul1. Spat iivectorialeDemonstrat ie. Fie v1, v2, ...., vp V ortogonali si1v1 + ... + pvp= 0o combinat ie liniara nula. Facand produsul scalar al acestui vector nul cu v1obt inem,1v1, v1)+2v1, v2)+... +pv1, vp) = 0. Dar v1, v2) = ... = v1, vp) = 0deoarece vectorii erau considerat i ortogonali, iar v1, v1) , = 0, astfel ca 1= 0.Analog facand produsul scalar cu v2, .., vp obt inem pe rand ca 2= ... = p=0.Decivectoriisuntliniarindependent i. Punctulb)esteoconsecint aaluia).Propozit ia2. Fie(V, , ))unspat iueuclidian,dimV= n. Inoricebazaortonormata expresia produsului scalar a doi vectori coincide cu produsul lorscalaruzual.Demonstrat ie. Fiex =

ni=1xieisiy=

nj=1yjejscrisi nbazaortonor-mataB= e1, e2, ..., en.Atunci =

ni,j=1xiyj=

ni,j=1xiyjij=

ni=1xiyi,adicatocmaiexpresiaprescurtataaprodusuluiscalaruzual.Propozit ia 3. Fie (V, , )) un spat iu euclidian, dimV =n, B =e1, e2, ..., enbazaortonormata siv V.Atunciv=

ni=1< v, ei> ei.Demonstrat ie. Fiev=

ni=1viei.Saobservamca=

ni=1vi=

ni=1viij=vj.Inlocuindnscrierea init iala a lui v obt inemraspunsulcerut.Propozit ia4. Fie(V, , )) unspat iueuclidian, dimV =nsi S Vunsubspat iu, dimS=k. Atunci existaununicsubspat iuS V , numitcomplementortogonalalluiS,astfel ncatV= S SsidimS= n k.Demonstrat ie. DenimS= v V/ < v, u >= 0, u S.Veric amcuusurint acaS V.Fie B= e1, e2, ..., en baza ortonormatan V, din care BS= e1, e2, ..., ekestebaza nS(lucruposibil datoritateoremei completarii delaspat ii vec-toriale), si v=

ni=1vieidescompunereasadupabazaB. Saobservamcav S daca este ortogonal pe tot i vectorii lui Siar pentru aceasta e sucientsaeortogonalipeecarevectordinBS,adica< v, ea>= 0, a = 1, 2, ..k.Deaicirezultacava= 0, a = 1, 2, ..k,astfelcav Sdacasinumaidacaestegeneratdevectorii ek+1, ek+2, ..., en,decidimS= n k.Procedeul deortonormareGram-Schmidt.Fie S= v1, v2, ..., vn un sistem liniar independent (nu neaparat baza) devectoridinspat iuleuclidian(V, , )).Sepuneproblemaobt ineriidinacestSpat iieuclidiene 29sistemaaltuiaS

= e1, e2, ..., enortonormatsi caresagenerezeacelasisubspat iu.Solut ia este data de Procedeul Gram-Schmidt, care inductiv construiesteacestsistem.Intaicalculame1=v1| v1 |.Presupunem prin induct ie ca am gasit e1, e2, ..., ek, ortonormat i. Atuncipentruek+1cautam ntr-oprimafazaunvectorfk+1nuneaparatdelugime1darcaresaeperpendicularpetot i e1, e2, ..., ek.Fiefk+1= 1e1 +2e2 +... +kek +k+1vk+1. Observamcasubspat iulgen-erat de f1, f2, ..., fk+1 coincide cu cel generat de v1, v2, ..., vk+1. Impunemcondit iiledeortogonalitatefk+1 e1, fk+1 e2, ..., fk+1 ek, siobt inem1 + k+1< vk+1, e1>= 0 adica 1= k+1< vk+1, e1>2 + k+1< vk+1, e2>= 0 adica 2= k+1< vk+1, e2>........k + k+1< vk+1, ek>= 0 adica k= k+1< vk+1, ek> .Inlocuindpeacestia nscrierealuifk+1,obt inemcafk+1= k+1_vk+1

ki=1vk+1, ei)ei_.Cumlungimealuifk+1nunein-tereseazalaacestmomentputemluak+1= 1 sideciek+1=fk+1| fk+1 |unde fk+1= vk+1k

i=1vk+1, ei)ei. (1.4.3)pentruecarekpanalan.Aplicat ie: 1. Sasearatecavectorii v1=(1, 2, 1), v2=(0, 1, 2)suntortogonali, saseortonormezesi sasecompletezelaobazaortonormataaspat iului.Solut ie. Calculam v1, v2) =1.0+2.1 1.2 =0, deci v1si v2suntperpendiculari.Ii ortonormam, e1=v1v1

=16(1, 2, 1) si e2=v2v2

=15(0, 1, 2). Pentrua-i completalaobazaortonormataavemnevoiede ncaun vector e3 care sa satisfaca: e1, e3) = 0, e2, e3) = 0, | e3 |= 1. Luand e3=(x, y, z) aceste condit ii se scriu: x+2y z= 0, y +2z= 0 si x2+y2+z2= 1.Sistemuladmiteurmatoareledouasolut iie3= 130(5, 2, 1).2. Sa se ortonormeze sistemul de vectori S =v1=(1, 1, 1), v2=(1, 0, 1), v3= (0, 1, 1) nraportcuprodusulscalaruzual.Solut ie. | v1 |=3 sidecie1=13(1, 1, 1).30 Capitolul1. Spat iivectorialeCalculam f2= v2v2, e1)e1= (1, 0, 1) 23(1, 1, 1) =13(1, 2, 1), din carerezultae2=f2f2

=16(1, 2, 1).Calculamf3= v3v3, e1)e1v3, e2)e2= (0, 1, 1)23(1, 1, 1)+16(1, 2, 1) =16(3, 0, 3) =13(1, 0, 1),dincarerezultae3=f3f3

=12(1, 0, 1).SistemulS

= e1=13(1, 1, 1), e2=16(1, 2, 1),e3=12(1, 0, 1)esteortonormat sigenereazaacelasisubspat iuca siS.1.4.2 Proiect iaortogonalaFie (V, , )) un spat iu euclidian (nu neaparat de dimensiune nita) si S V,dimS= k.Propozit ia1. Fiev V unvectorxat. Existaununicvectorw S,numitproiect ialui vpesubspat iul S, astfel cavectorul w=v wsaeortogonalluiS.Notamatunciw = prSv.Demonstrat ie. FieBS= e1, e2, ..., ekbazaortonormata nS(eaexistacomformprocedeuluiG-S).Cautamw=

ki=1wieiastfelcaw= v wsaeortogonal lui S. Pentruaceastaestesucientsaeortogonal vectorilorbazei, adica < v

ki=1wiei, ej>= 0, j= 1, 2, ..., k. Din faptul ca baza esteortonormatarezultaca=

ki=1wi=

ki=1wiij=wj.AstfelcaprSv= w =k

i=1< v, ei> ei(1.4.4)n baza ortonormata BS. Subliniem ca baza trebuie sa e ortonormata pentruaaveaacestaexpresie.Consecint a. Fie SV, dimS =1, BS= ecu | e |=1. AtunciprSv= w =< v, e > e.DacaenuesteunitaratunciprSv= w =1e2< v, e > e.TeoremaPitagora.Innotat iiledinPropozit iademaisusavem| v |2=| w |2+ | w |2.Demonstrat ie. Avem, |v |2==+2 + < w, w>=| w |2+ | w |2,deoarece< w, w>= 0.Propozit ia2. Fiev V,w= prSvsiw= v w.Dintretot ivectoriideformav ucuu S,vectorulwarenormaceamaimica.Spat iieuclidiene 31Demonstrat ie. Vectorulv u = (v w) + (w u) = w + (w u).Darw u Sdeoareceambii suntdinS. DeducemcaprS(v u)=w usiaplicamTh. Pitagoraobt inem |v u |2=|w |2+ |w u |2, adica| v u || w | .Intuitivavemdesenuldemaijos.

`v

u`w>>>>>>>>SExercit iipropuse.1. Saseortonormezesistemul v1=(1, 1, 0), v2=(1, 1, 2)si sasecompletezelaobazaortonormataaspat iului.2. SaseortonormezecuGram-Schmidt v1=(1, 1, 1), v2=(1, 2, 1),v3= (1, 2, 3)3. Sasegaseascauncomplementortogonalsubspat iuluia)S= (x1, x2, x3)/x3= 0.b)S= (x1, x2, x3)/x1= x2= x3.4. S a se determine proiect ia vectorului v= (1, 1, 1) pe subspat iul generatdevectoriia) v1= (1, 2, 3), v2= (2, 1, 0)b)S2= (x1, x2, x3)/x1= x2= x3O aplicatie importanta privind spat iile euclidiene se refera la metoda celormaimicipatrate,daraceastaimplica sicunostint edeanalizamatematica.32 Capitolul1. Spat iivectorialeCapitolul2Spat iianeIncapitolele anterioare amstudiat vectorii dinpunct de vedere algebric,eventual luandndiscut ieproblemegeometriceprivindlungimile(norma)lor,unghiuri,perpendicularitate,etc.Fiecare dinnoi stimcageometriase ocupacupuncte, drepte, plane,guri geometrice, curbe, suprafet es.a. Deopartedinacesteproblemenevomocupa ncapitoluldefat a,asociindbijectivcomponentelorunuivectorntr-obazacoordonateleunui punct. Aceastacorespondent afacetrecereadelanot iunilealgebricestudiateanteriorlageometriesi estefundamentulgeometriei analitice.Inparticular vomstudianacest capitol unspat iuvectorial care constituie tocmai modelul pentru structura geometrica pe careoanalizam,estevorbadesprespat iulvectorilorliberigeometrici.2.1 Spat iuan. Denit ie,exempleFie (V, +, K) un spat iu vectorial si /o mult ime oarecare. Vectorii lui Vo sai notam de data aceasta cu v, a,

b, ...(fara a le da deocamdata alta semnicat iedecat ncapitoleleanterioare),iarelementelelui /cuA, B, C, ..., silevomnumipuncte.Denit ie. Numimspat iuan,atasatspat iuluivectorialV,tripletul /=(/, , V ),unde : // V esteoaplicat iecesatisfaceaxiomele:A1. Fiecarui A /siv Vi atasam nmodunicpunctul B /astfel ncat(A, B) = v.A2. PentruoriceA, B, C /, avem(A, B) + (B, C) =(A, C)(axiomaadunarii).3334 Capitolul2. Spat iianeMult imea / se numeste mult ime suport, iar Vse numeste spat iul direc-toral spat iului an. Perechea(A, B)semai numestesegmentorientatsaubipunct. DupacumK=RsauCspat iul an /senumestereal saucom-plex. Dimensiunealui V denestedimensiunealui /, si notamdim/=ndacadimV= nConsecint e:1. A, B /si K, existaunsingurpunctB

/astfel nc at(A, B

) = (A, B),(axiomaamplicariicuscalari).2. DacaB A,dinA2. rezultaca(A, A) =

0 V.3. DacaA C,dinA2. rezultaca(B, A) = (A, B).4. FixandunpunctO /,aplicat iaO: / V,O(A)=(O, A),denesteobiject ie.Denit ie. Tripletul /O=(/, O, V )senumestespat iul punctual anlegat punctului O. /Ose poate identica atat cu / ca mult ime, cat si cu Vcaspat iuvectorial prinaplicat iaO. Vectorul (O, A)senumestevectoruldepozit ieal lui Asi semai noteazacu OA. Elementelelui /O, cavectoriprivite,senumescvectorilegat inO.Daca Vare o structura de spat iu euclidian cu produsul scalar notat pentruceleceurmeazacua

b, atunci acestainduce nspat iul punctual an /Oprodusulscalarnotat OA OB.5. Pe mult imea bipunctelor unui spat iu an / introducem o relat ie prin:(A, B) (C, D)(A, B) = (C, D). (2.1.1)Se verica cu usurint a ca relat ia este de echivalent a (numita echipolent a)sidescompunepe / //nclasedeechivalent a.Denit ie. Clasalui(A, B)onotamcu ABsionumimvectorliber.Mult imea vectorilor liberi (spat iul cat) este n corespondent a bijectiva cuV ,prinaplicat ia v V AB= (A, B) / (A, B) = v.Inbazaacestei biject ii putemextindedelamult imeabipunctelorlamult imea vectorilor liberi, iar axiomele A1. si A2. nuvor depinde dereprezentant i sisescriu:A1. A /si v V, existaunsingur punct B /astfelncatAB= v.A2. A, B, C /avem AB +BC= AC.Denit tie. Exemple 352.1.1 Exempledespat iiane1. OricevarietateliniaraL=v0 + SL, cuv0 V si SLsubspat iu ntr-unspat iuvectorial(V, +, K),arestructuradespat iuan.Intr-adevar, consideram /=Lsi A=v0 + v1, B=v0 + v2 /, cuv1, v2 SL.Denim aplicat ia : (A, B) BA = (v0+v2)(v0+v1) = v2v1 SL.Obt inemca /=(L, , SL)vericaaxiomeledespat iuan.Inparticular, oricesubspat iuvectorial (deci chiar ntregspat iuV )arestructuradespat iuan.Urmatoarele exemple pot considerate cazuri particulare de varietat iliniareane.2. Spat iul anstandard. Amvazutcaspat iul(Kn, +, K)esteunspat iuvectorial, numitsi aritmetic, Kinduncorp. Deci el areostructuradespat iu an /= (Kn, , Kn). Pentru A = (a1, ..., an) si B= (b1, ..., bn) denim(A, B) = B A = (b1a1, ..., bnan) Kn.DacaO=(0, 0, ..., 0)si A=(a1, a2..., an)atunci vectorul depozit iealpunctului A este OA = (a1, a2..., an). Putem considera relat ia de echivalent ade mai nainte (A, B) (C, D) daca biai= dici, pentru orice i = 1, 2.., n.Obt inemvectorulliber ABcaindclasadeechivalent aalui(A, B).Saobservamcavectorii OO,AA,BB, .., denescaceeasi clasa, numitavectorulnul sinotatcu 0.Pentrun=1, 2, 3si K=Rrecunoastemaici cunostint edegeometrieanalitic adinliceu,pedreapta, nplan, nspat iu.Pana a clarica lucrurile mai avem de introdus un exemplu si apoi aceastageneralizarepentruunnnaturaloarecare.3. Spat iul anal vectorilor geometrici. Acest exempluacondus pringeneralizarede-alungul timpului lanot iuneadespat iuan. Estevorbadeunspat iuvectorialcarepoateprivitcustructuraanadescrisamaisuslavarietat ileliniareane.Presupunemcunoscutaintroducereaaxiomatica(alui Hilbert, spreex-emplu) a planului sau spat iului euclidian. Notam cu / = A, B, .. puncteleplanuluisauspat iuluieuclidian(mediulambiant).PentruoriceA, Bdistincteputemdiscutadedreaptasuport (direct ie)determinatadeelesi desegmentul orientat (A, B), lungimea sanotandu-secu | AB|si sefacecuounitatedemasura. Asenumesteoriginea36 Capitolul2. Spat iianesegmentului orientatiarBextremitateasa, sensul inddelaoriginespreextremitate.Denit ie. Doua segmente orientate (A, B) si (C, D) se numesc echipolentedacaauaceeasi direct ie(sunt peaceeasi dreaptasaupedrepteparalele),aceeasilugimesiacelasisens(extremitat ilelorsegasesc nacelasisemiplandeterminatdedreaptaceunesteoriginile).

AB

CDRelat iadeechipolent aesteorelat iedeechivalent ape //.Denit ia 2. Se numeste vector geometric liberclasa de echipolent a a unuisegment orientat (A, B) si l notam cuAB. Pentru prescurtare vom mai folosinotat ia AB=a.Pentruaaveaoimagineintuitivavomdesenareprezentantul vectoruluiABn punctul A, asigurandu-ne ca ce urmeaza a discuta despre el nu depindedereprezentat. Notamcu 0 = AA, si lnumimvectorulnul.Notam cu 1= /// mult imea vectorilor geometrici liberi.In con-tinuarepentrucomoditateosa-inumimsimpluvectori. Dupacum /esteodreapta, plansauspat iuleuclidianosamaiprecizamcu 11, 12,respectiv13vectoriicorespunzatori.Pe 1denimurmatoareleoperat ii:I. Sumaadoi vectori, a +

b, caindclasadeechipolent aasegmentuluiorientatdiagonaladintr-unpunctxatOnparalelogramul determinatdereprezentarilevectorilorasi b npunctul O. Denit iadataestecunoscutasubdenumireaderegulaparalelogramului sidinconsiderentedeasemanareagurilornudepindereprezentant iialesi.

Oa

a +

b

b

Spat iulvectorilorgeometrici 37Inbazadenit iei echipolent ei vectorilororegulaechivalentaesteregulatriungiului:

Oa

a +

b

bNumimopusul vectorului aclasadeechivalent aasegmentuluideaceesilungimecu adardesensopuspedreaptasuport. Notamopusulcu a.Vericam cu usurint a urmatoarele axiome de grup abelian pentru (1, +) :1. adunareaesteasociativa, a + (

b +c) = (a +

b) +c ;2. adunareaestecomutativa, a +

b =

b +a ;3. vectorul 0verica, a +

0 =a ;4. opusullui averica, a + (a) =

0,pentruorice a,

b, c 1.II. Denim amplicarea cu scalari R a unui vector a ca ind vectorulaalcaruireprezentant ntr-unpunctareaceeasidirect iecu a,acelasisensdaca > 0saucontrardaca < 0,iarlungimea | a |=[ [| a | .Denit ianudepindedereprezentant i sisatisfaceaxiomele:1. ( + )a = a + a;2. (a +

b) = a +

b ;3. (a) = ()a ;4. 1a =a ,pentruorice, R si a,

b 1.DinacestelucrurideducemcaTeorema. (1, +, R)esteunspat iuvectorialreal.Construct iaspat iului ancorespunzatoresteceadelavarietat i liniare.De fapt, noi aici am plecat de la un sistem geometric axiomatic si am construitaceastastructuraana.(11, +, R), (12, +, R), (13, +, R) reprezinta spat iile vectorilor de pe dreapta,dinplan, respectivdinspat iul euclidian. Doi vectori din(11, +, R)semainumesccoliniari,iardoivectoridin(12, +, R)senumesccoplanari.Propozit ia1. Pedreapta 11oricedoivectorisuntliniardependent i. Ex-38 Capitolul2. Spat iianeistavectoridelungime1.Demonstrat iaesteclaradeoarecev1si v2avandacelasi suport ei suntproport ionali, adicav1=v2, deci sunt liniar dependent i. Orice vectornenul mpart itlalungimeasadevinedelungime1.FieOxatpedreaptasie 11cu | e |=1, numitversor pedreapta.Ansamblul 1 = O, esenumestereperpedreapta. DacaMesteunpunctarbitrar pe dreapta, exista un unic x R astfel ncat vectorul legatOM= xe.Am obt inut n reperul 1o corespondent a bijectiva M 11 x R, numitasistem de coordonatepe dreapta si spunem ca Mare coordonata xn reperul1, scriemM(x). Condit iaca | e |=1nuesteobligatorie ntr-unreperpedreapta.Inacestcazgeneralreperulsenumesteanpedreapta.Dreapta cu orientarea data de reperul 1 , se mai numest e axa. Deducemcadim11= 1.Propozit ia 2.In planul 12orice trei vectori sunt liniar dependent i. Existadoivectoriliniarindependent i nplan.Demonstrat ie. Fiev1, v2, v312si Ounpunct xat. Reprezentamvectorii npunctulOsidescompunemparalel v3dupadirect iilelui v1si v2.Obt inem ca OA3= OA1 +OA2si trecand la clasele respective rezultaca v3= v1 + v2,adicavectoriisuntliniardependent i.Daca consideram O, A1, A2trei puncte necoliniare atunci vectorii OA1=e1 siOA2= e2 sunt liniar independent i, neavand aceeasi direct ie. Ansamblul1 = O, e1, e2 se numeste reper an n plan. Daca Meste un punct arbitrarSpat iulvectorilorgeometrici 39dinplanatunci OMsedescompuneunicparaleldupadirect iile OA1si OA2adica, OM=xOA1 + yOA2=xe1 + ye2, cux, y RnumitecoordonatelepunctuluiMnreperul 1 sinotamM(x, y).Corespondent abijectivaM (x, y)senumestesistemdecoordonate nplan. Notamcadim12= 2.Deobservat cavectorii reperului nusunt neaparat delungimeunitatesauperpendiculari. Daca nparticularse ntamplacavectorii reperului sae de lungime unitate si de direct ii perpendiculare, atunci reperul se numestecarteziansi pentrua-l distingesenoteazacu 1= O,

i,

jsi sereprezintaintuitivcamaijos:O

i`

jPropozit ia 3.In spat iul euclidian 13 orice patru vectori sunt liniar dependent i.Existatreivectoriliniarindependent i nspat iu.Demonstrat ie. Fiev1, v2, v3, v4 12si Ounpunctxat. Reprezentamvectorii npunctul Osi descompunemparalelv4dupadirect ialuiv3panaobt inemunpunct A

4nplanul OA1A2(presupunandv1, v2necoplanari).Apoidescompunem nplanulOA1A2pe OA

4dupadirect iilelui v1si v2.Obt inemca OA

4= OA1 +OA2. Dar OA4= OA

4 +A

4A4= OA1 +40 Capitolul2. Spat iianeOA2 +OA3. Trecand la clasele respective rezulta ca v4= v1 +v2 +v3,adicavectoriisuntliniardependent i.DacaconsideramO, A1, A2, A3patrupunctenecoplanareatuncivectoriiOA1=e1si OA2=e2, OA3=e3sunt liniar independent i. Ansamblul1= O, e1, e2, e3senumestereperan nspat iu. DacaMesteunpunctarbitrar din spat iu atunci OMse descompune unic paralel ca mai sus adica,OM=xOA1+ yOA2+ zOA3=xe1+ ye2+ ze3, cux, y, z RnumitecoordonatelepunctuluiMnreperul 1 sinotamM(x, y, z).Corespondent abijectivaM (x, y, z)senumestesistemdecoordonate nspat iu. Notamcadim13= 3.Dacasentamplacavectorii reperului saedelungimeunitatesi dedirect ii perpendiculare, atunci reperul se numeste cartezian nspat iusi pen-tru a-l distinge se noteaza cu 1 = O,

i,

j,

k si se reprezinta intuitiv ca maijos:O

j

i`

kCele trei propozit ii de mai sus, desi elmentar de simple, se cuprindntr-unsingurenunt ,numitteoremafundamentalaageometrieianalitice.Daca ntr-unreper, sazicemdinspat iu 1= O, e1, e2, e3, considerampunctele A si Bde coordonate A(a1, a2, a3) si B(b1, b2, b3), atunci din axiomaA2 a unui spat iu an avem ca OB= OA+AB, astfel ca AB= OBOA =(b1a1)e1 +(b2a2)e2 +(b3a3)e3. Obt inem ca vectorul ABxat n Oaraveacomponentele(b1a1, b2a2, b3a3).Amobt inut astfel ocorespondent amai clarantre 1caspat iuansispat iul anstandard. Aici amfolositindici suspentruapune nevident atocmaiacestacorespondent a. Deregulavomfolosiindicipusijos.2.1.2 Sisteme de coordonate n planul si spat iul euclid-ianAmobt inutnplanul si spat iul euclidianrepere ane la modul general,iaratunci candluam nconsiderarestructuraeuclidianaamobt inutrepereSpat iulvectorilorgeometrici 41carteziene pentrucare bazele reperelor sunt ortonormate. Avemmai susreprezentarea lor geometrica. Coordonatele unui punct n acest caz se numesccoordonatecarteziene.Inaplicat ii, nspecial ntehnica, sefolosescsialtetipuridecoordonatepecareleintroducem ncontinuare sivedemlegaturalorcucelecarteziene.a) coordonate polarenplan. Consideramoaxa O,

isi casens deparcurs nplanraportatlaaxaceltrigonometricO

i

MUnpunct Mvaprecis cunoscut dacadamdistant a=| OM|siunghiuldintreaxa si(OM),orientattrigonometric.Sistemul (, ), cu 0si [0, 2), senumesccoordonatepolare nplan.Daca O,

ioconsideramdreptaxaOx siconstruimOyperpendicularan Ope Ox, obt inem un reper cartezian n care Mare coordonatele M(x, y).Legatura ntrecordonatelepolare sicelecartezieneestex = cos ; y= sin (2.1.1)Invers, =_x2+ y2sipanalaprecizareacadranuluitg = y/x.b) Coordonate cilindricenspat iu. Cosiderampentrusimplitatea ex-punerii de lanceput un punct M(x, y, z) ntr-un reper cartezian 1O,

i,

j,

k.Proiect am ortogonal punctul Mpe planul Oxy si obt inem punctul M

pentrucareconsideramcoordonatelesalepolare nacestplan, si.

j

i`

kM(x, y, z)M

42 Capitolul2. Spat iivectorialePunctul Mesteperfectdeterminatde(, , z)numitecoordonatecilin-drice nspat iu. Legatura ntrecoordonatelecilindricesicelecartezieneestex = cos ; y= sin ; z= z.c) Coordonate sfericenspat iu. Consideramaceeasi construct ie calacoordonatele cilindrice, darn locul lui =| OM

| si a lui z damR =| OM |siunghiul [0, ]dintreaxaOzsiOM.Cum| OM

|= Rsin si z= Rcos , nlocuindn coordonatele cilindrice,obt inemx = Rsin cos ; y= Rsin sin ; z= Rcos . (2.1.2)Legatura inversa se obt ine imediat, R=_x2+ y2+ z2, tg=y/x,cos = z/_x2+ y2+ z2.

j

i`

kM(x, y, z)M

R2.1.3 Reperentr-un spat iu an. Schimbarea reperelor.Considerat iile privindvectorii geometrici liberi ne permit sa generalizamnot iunea de reper la unspat iuanoarecare de dimensiune nita, /=(/, , V ),dim/ = n.Fie O un punct xat si B= e1, e2, ..., en o bazan V. Consideram spat iulpunctual an /Ocaspat iuvectorial. Atunci dinunicitateascrieriintr-obaza, vectorul OMsedescompuneunicdupabazaB, pentruoricepunctM,adica OM=x1e1 + x2e2 + ... + xnen=

ni=1xiei.Astfelcorespondent aM / (x1, x2, ..., xn) Knestebijectiva.Denit ie. Numimrepernspat iul an /=(/, , V )ansamblul 1=O, e1, e2, ..., en.In acest reper spunem ca Mare coordonatele M(x1, x2, ..., xn).Deregulavomfolosiprescurtarile 1 = O, ei siM(xi).Intr-un spat iu an pot exista mai multe repere ane. Sa consideram douadin ele 1 = O, eii=1,n si 1

= O

, e

ii=1,n. Fie S= (sij) matricea de trecereRepereane 43delabazaB= eilabazaB

= e

isi vectorul OO

sa-l descompunemdupabazaB:OO

=n

i=1siei; e

j=n

i=1sijei, j= 1, 2, .., n. (2.1.3)Unpunct Mdinspat iuanpoate privit atat dinreperul 1cat sidin 1

, astfel cael vaaveacoordonateleM(xi) n 1si M(xi) n 1

, astanseamnaca OM=

ni=1xieisi O

M=

nj=1xje

j. Scris dupabazaBvectorul O

M=

nj=1xje

j=

nj=1xj_ni=1sijei_=

ni=1_

nj=1sijxj_ei.DarOM= OO

+O

M si egaland componentele dupa vectorul ei obt inem,Teorema. Laschimbareaderepere 1 1

,coordonateleunuipunctMseschimbaduparegulaxi=n

j=1sijxj+ si; i = 1, 2, ..., n. (2.1.4)Putemmemoramaiusoraceastaformulafolosindoscrierematriceala.Fie Xmatricea coloana cu componentele (xi), X

cu componentele (xi) siS= (sij) matricea patratica de trecere de la baza B= ei la baza B

= e

i,(vezi notat iiledelaschimbari debaze). NotamcuS0matriceacoloanadecomponente(s1, ..., sn).Atunciformula(2.1.4)devineX= SX

+ S0. (2.1.5)44 Capitolul2. Spat iianeDaca S0= 0 schimbarea de repere se numeste centroanaiar daca S= I,matriceaunitate,obt inemotranslat ieareperelorane.2.2 ProdusecuvectorigeometriciDupaceamfacutacestageneralizareprivindrepereleanerevenimcu ncacatevachestiuni privindspat iul vectorilorgeometrici liberi. Vomaratacaacestspat iuvectorial areostructuradespat iueuclidiansi npluschiarostructuradealgebra.2.2.1 ProdusulscalaradoivectoriIntai vom deni unghiul a doi vectori ca ind unghiul mai mic dintre direct iilelor. Not iunea de lungime (norma) a unui vector am denit-o ca ind lungimeasegmentelororientateechipolente.Denit ie. Prin produsulscalara doi vectori a si

b nt elegem numarul reala

b =| a ||

b | cos(a,

b).Deciunprodusscalardenesteoaplicat ie: 1 1 R.O prima observat ie este ca a

b = 0 daca si numai daca a

b sau eventualunuldinvectorisaevectorulnul.Prpoprietat i :1. a

b =

ba2. (a)

b = (a

b) =a(

b)3. a(

b +c) =a

b +ac4. aa =| a |2 0 si aa = 0daca sinumaidaca a =

0.Exceptand3. demonstrat iaacestor armat ii esteimediata. Pentru3.damojusticareutilizandproiect iaunui vectorpeoaxa. Dardeobservatestefaptulcaacesteproprietat isunttocmaiaxiomeleunuispat iueuclidian,deci(1, )esteunspat iueuclidian.Denit ie. Fie(O, e)oaxasi bunvectordat. Prinproiect iavectorului bpeaxa nt elegempre

b =|

b | cos(e,

b) e = (e

b)e.Produsecuvectorigeometrici 45Mai general, dacaconsiderameversorul unui vectora, adicae=aa,atunciprinproiect ialui

bpe a nt elegempra

b = (e

b)e =a

b| a |2a. (2.2.1)

`

b aFolosindproiect iapedirect ialui aobt inem,pra(

b +c) = pra

b + prac.Folosindacumformula(2.2.1),obt inemca a(

b +c) =a

b +ac.Safacemacumcatevaobservat iiprivindspat iulpunctualan.Fie 1=(O,

i,

j,

k)unrepercarteziansi A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3)douapuncte.T in andcont careperul este ortonormat,

i

j =

i

k =

j

k =0si|

i |=|

j |=| k |,sideproprietat ileprodusuluiscalar, vectorii a= OA=a1

i + a2

j + a3

ksi

b = OB= b1

i + b2

j + b3

kvoraveaprodusulscalara

b = a1b1 + a2b2 + a3b3(2.2.2)adicatocmaiprodusulscalaruzual(stimca noricebazaortonormataoriceprodusscalarcoincidecuceluzual).Avem | a |=_a21 + a22 + a23si lungimeavectorului AB= OB OA=(b1a1)

i + (b2a2)

j + (b3a3)

kva|AB |=_(b1a1)2+ (b2a2)2+ (b3a3)2. (2.2.3)46 Capitolul2. Spat iiane2.2.2 Produsul vectorial a doi vectori geoemetrici liberiVomintroduce ntainot iuneadeorientare nspat iu.Doua repere ane n 1se numesc la fel orientate daca matricea schimbariidebazearedeterminatulpozitiv.Incazcontrarelesuntinversorientate.Prindenit iereperul ortonormat 1=(O,

i,

j,

k)sezicecaestedirectorientat(saupozitivorientat). Oricealtrepercareseobt ine nOprintr-oschimbaredebazecudeterminatpozitivestedirectorientat, spreexemplu1 = (O,

j,

k,

i), nschimbreperul 1 = (O,

j,

i,

k)esteinversorientat.Mai general, vomarata ncapitolul urmatorcadaca iesteversorul luia,

k este versorul lui csi

b este unvector nuneaparat de versor

j darsituat nplanul perpendicularpe(O, a, c)si obt inutdinaprintr-orotat iensens trigonometric de unghi >>>> MM0FieM0(x10, x20, ..., xn0)unpunctxatal hiperplanului H. Unpunctarbi-trarMdecoordonateM(x1, x2, ...., xn)va nhiperplanul Hdaca

Nesteortogonal vectoruluiM0M, adica daca notam cuprodusul scalar n cn, vomavea

N M0M= 0,sauechivalent

N(OM OM0) = 0.Dacareperulesteortonormatatunci produsul scalarcoicidecucel uzualsi aceastaecuat iesescriepecomponente:A1(x1x10) + A2(x2x20) + .... + An(xnxn0) = 0 (2.3.8)numitaecuat iahiperplanuluideterminatdeM0sivectorulnormal

N.Comparandaceastaecuat iecuecuat ia(2.3.6)generalaaunuihiperplandeducem ca n cn, scalarii din fat a lui x1, x2, ..., xnsunt tocmai componentele58 Capitolul2. Spat iianeunuivectornormallahiperplan. Deasemenea,dacanotamcuA0=

N OM0ecuat iavectorialaahiperplanului Hdemaisussescrief(M)

N OM+ A0= 0, (2.3.9)formavectorialaaecuat iei hiperplanului pecareovomutilizadespentruscriereprescurtata.In continuare, consideram util pentru anumit i student i sa particularizamecuat iile scrise la cazul planului si spat iului euclidian c2, c3. Regasim ecuat iilestudiate nliceu.In c2unreperortonormateste 1(O,

i,

j)not iuneadedreaptacoincidecuceadehiperplan. Ecuat iadreptei determinatadeunpunctsi unvectordirectorestex x0l1=y y0l2iarecuat iadrepteiprindouapuncteestex x0x1x0=y y0y1y0.Dacal1,=0, scalarul m=l2l1areosemnicat iegeometrica, pantauneidrepte, si reprezintatangentaunghiului orientatdintreaxaOxsi dreapta.Evident cam=y1y0x1x0. Dacal1=0atunci ecuat iadreptei se reduce lax x0=0sireprezintaodreaptaverticala In c3unreperortonormateste1(O,

i,

j,

k)dreaptaareunadinecuat iile:x x0l1=y y0l2=z z0l3,dreaptadeterminatadeunpunct sivectordirector,saux x0x1x0=y y0y1y0=z z0z1z0,ecuat iiledreptei prindouapuncte. Utile naplicat ii suntsi ecuat iilepara-metricealedreptei,obt inutedinacesteaprinegalarearapoartelorcu.Not iuneadehiperplan n c3esteceaclasicadeplan, (altemplanenuexista).x x0y y0z z0l11l21l31l12l22l32= 0,Unghiurisidistant e 59planul determinat deunpunct si doi vectori directori (douadrepteceseintersecteaza nM0),saux x0y y0z z0x1x0y1y0z1z0x2x0y2y0z2z0= 0planul determinat de trei puncte necoliniare. Oricare din acesti determinant idezvoltat i nedauecuat iageneralaaplanului A1x + A2y+ A3z+ A0=0.Planul determinat deunpunct M0si vectorul normal

N(A1, A2, A3), esteA1(x x0) + A2(y y0) + A3(z z0) = 0.De aici putem sa deducem ecuat ii pentru plane si drepte particulare. Spreexempluplanul xOyestedeterminat deOsi i,

j. Dinprimul determinantrezultaz= 0ecuat iaplanuluixOy.AnalogxOzareecuat iay= 0,iaryOzareecuat iax = 0.Planul determinat de punctele M0(a, 0, 0), M1(0, b, 0), M3(0, 0, c) se obt inedinaldoileadeterminant siareecuat iaxa+yb+zc 1 = 0numitaecuat iaplanuluiprintaieturi.Saconsideram

Nvectornormal laplanul A1x + A2y + A3z + A0=0sinotamcumasuraunghiului(

N,

i), cumasuraunghiului(

N,

j),sicumasuraunghiului (

N,

k). Avemcos =

N

i||

N||=A1A2i+A22+A23, cos =

N

j||

N|=A2A2i+A22+A23,cos =

N

k|

N||=A3A2i+A22+A23. InlocuindA1, A2, A3 nA1(x x0) +A2(y y0) + A3(z z0) = 0,obt inemx cos + y cos + z cos p = 0ecuat ianormalaaplanului,undep=A1x0+A2y0+A3z0A2i+A22+A23vareprezentaasacumvomdemonstra nsect iuneaurmatoaredistant adelaoriginelaplan.AxaOxestedeterminatadeOsi vectorul isi deci sescriex1=y0=z0,sauechivalenty= 0 siz= 0,adicaintersect iaplanelorxOysixOz.AnalogOyestex = 0 siz= 0,iarOzestex = 0 siy= 0.Despre dreaptan spat iu ca intersect ie de doua plane vom discuta imediat.2.3.1 Pozit iirelative,unghiurisidistant eVomabordacatevaideiprivindpozit iamplanelor n cn,cuparticularizaripentru c2si c3.60 Capitolul2. Spat iiane1. Pozit iarelativaadouadrepted1(M1, v1) sid2(M2, v2).-dreptele sunt paralele daca vectrorii lor directori sunt coliniari, v1= v2-dreptelesuntperpendicularedaca v1 v2= 0-unghiullorestecos = v1v2v1v2

,unde = 1astfelca [0,2](decicos 0).-ncazul lui c3putemvorbi decoplanaritateaadouadrepte(incidentesauparalele), aceastase ntampladacavectorii M1M2, v1, v2suntcoplanarisideciprodusullormixt ( M1M2, v1, v2) =0.2. Pozit iarelativaakhiperplane, serezumalarezolvareaunui sistemliniarcukecuat iisi nnecunoscute, x1, x2, ..., xn. Dacarangul matricei sis-temuluiesten m sitot ideterminant iicaracteristicisuntnuliseobt ineunmplan. Preferamaicisadiscutamcazulparticularadouaplanedin c3.Fie(P1)A1x + A2y + A3z + A0=0si (P2)B1x + B2y + B3z + B0=0douaplane.-dacarangulmatriceisistemuluilorestedoi,atunciunadinnecunoscute(spreexempluz)devineparametrusi rezolvandsistemul seobt inecuat iileparametricealeunei drepte(dreaptadeintersect ie).Inaplicat ii esteutildemulteori sastimdoarvectorul directorval acestei drepte. Cumvec-torii normali la cele doua plane sunt perpendiculari pe dreapta de intersect ierezultacav=

N1

N2. Deasemenea, toateplanelecaretrecprinaceastadreaptadeintersect iesespunecaformeazaunfascicol deplanedeecuat ieP1+ P2=0cu, R. Cumcel put inunul dincei doi scalari estenenul, spreexemplu ,=0,obt inemcaacestfascicolesteP1 + P2=0,cument iuneacaaicilipsesteplanulP2= 0.-dacarangul matricei sistemului celordouaplaneesteunu, atunci douadin variabile devin parametrii si una din ecuat ii este secundara. Daca deter-minantul caracteristicestenul atunci sistemul estecompatibil dublunede-terminatsi deci celedouaplanecoincid. Dacadeterminantul caracteristicestenenulatunciplanelesuntparalele. Ecuat iileadouaplane(hiperplane)paraleledifera(panalaunfactordeproport ionalitate)printermenulliber.Cutotulasemanatorsediscutapozit iarelativaatreiplane.Unghiul a doua hiperplane (plane) coincide cu unghiul din primul cadranal vectorilornormali, cos =

N1

N2

N1

N2

, unde= 1astfel ca [0,2].Inparticularplanelesuntperpendicularedaca

N1

N2=0si paralelesauconfundatedaca

N1=

N2.3. Pozit ia relativa a doua m1 si m2plane se discuta la fel dupa rangulUnghiurisidistant e 61matriceisistemuluiobt inutprinscrierealorcaintersect iidehiperplane.De interes este unghiul dintre o dreapta si un hiperplan,ca ind comple-mentulunghiuluiformatdevectoruldirectoraldreptei vsivectorulnormallahiperplan

N,astfelcasin = v

Nv

N,unde = 1astfelca [0,2].Incontinuaredorimsafacemcatevaprecizari privinddistant ele ntrevarietat iliniaredin cn.-distant adintredouapuncteM1siM2este| M1M2 |=_(x11x12)2+ .... + (xn1 xn2)2.Inparticularputemscriedistant eledinplan sirespectivspat iu.-distant adelaunpunctM0launhiperplan(H)A1x1+ A2x2+ ..... +Anxn+ A0= 0,sausubformavectoriala(H)

N OM+ A0= 0.CautamM1proiect iaortogonalaapunctuluiM0pe(H).Pentru aceasta intersectam (H) cu dreapta ce trece prin M0 si este perpen-dicular a pe hiperplan. Vectorul director al acestei drepte este tocmai

Nnor-mal la (H) si deci ecuat ia vectoriala a acestei drepte (normale) este: (M0M1) :OM= OM0+

N. Intersectand cu (H) obt inem |

N |2+

NOM0+A0= 0,adica =

NOM0+A0

N2.Aceastaestevaloarealuidinecuat iadrepteinor-malecorespunzatoarepunctuluiM1,adica OM= OM0

NOM0+A0

N2

N,din62 Capitolul2. Spat iianecarededucemcad(M0, (H)) =| M0M1 |=|

N OM0 + A0|

N |2

N |= [

N OM0 + A0 [|

N |.Inraportcureperulortonormat 1aceastadistant asescried(M0, (H)) = [ A1x1+ A2x2+ ... + Anxn+ A0 [_A2i+ A22 + .... + A2n. (2.3.10)Deaici regasimdistant adelaunpunct laodreaptanplanul c2saudistant adelaunpunctlaunplan nspat iul c3.-distant adelaunpunctM0launmplan(nuneaparathiperplan)de-terminatdepuncteleanindependenteP0, P1, ..Pm.Consideram vectorulP0M0 si proiect ia sa pe subspat iul generat de vectoriiM0M1,M0M2, ...,M0Mm. Delaspat iieuclidiene stimcad =| w |=|P0M0pr{M0M1,M0M2,...,M0Mm}P0M0 | . (2.3.11)Aceeasi distant a se poate scrie si cu determinant i Gram, sensul geometricindobt inutncazul particular al distant ei delaunpunct launplancaindraportul dintrevolumul unui poliedrusi ariabazei, exprimateambelecuajutorulunordeterminant iGram.Distant adelaunpunctlaodreapta ntr-unspat iucundimensiunisedetermina intersectand dreapta cu un hiperplan perpendicular pe ea prin acelpunct. Se determina astfel proiect ia punctului pe dreapta si distant a cautataestetocmaidistant adelapunctlaproiect iasapedreapta. Dupacalculesegasestecadistant adelaM0ladreaptad(M1, v)este:d =|M0M1 v M0M1| v |v | . (2.3.12)Cazulparticulardeinteresaiciestedistant adelaunpunctlaodreaptadin c3.FieM0punctsidreaptad1(M1, v1).Atuncidistant adelaM0lad1estenalt imea din M0n paralelogramul construit pe vectoriiM0M1 si v1. Folosindfaptulcaariaparalelogramuluiestenormaprodusuluivectorial,obt inemd(M0, d1) = |M0M1v1 || v1 |. (2.3.13)Unghiurisidistant e 63Avemdesenul:-distant adintredouam1si m2plane, esteprindenit iedistant adelaunpunctM0alprimului m1planlamplanul cetreceprintr-unpunctalm2planului siarecasubspat iudirectorsubspat iulgeneratdereuniuneacelordouasubspat iidirectoare.Cazul particular de interes n c3 este distant a dintre doua drepten spat iu,d1(M1, v1) sid2(M2, v2).Consideramdesenuldemaijos,obt inutprinducereaunorparalelelad1prinM2sirespectivlad2prinM1.Distant a dintre cele doua drepte este tocmai nalt imea n paralelipipedulconstruitpevectorii M1M2, v1si v2avandcabazaparalelogramulconstruitpe v1si v2.Decid(d1, d2) = [ (M1M2, v1, v2) [| v1v2 |. (2.3.14)64 Capitolul2. Spat iiane2.4 Semispat iiFie /nunspat iuanreal dedimensiunensi (H)unhiperplan nel, A, Bdouapunctedistinctedinspat iuneapart inandhiperplanului. Consideramdreapta d(A, B) determinata de cele doua puncte, dreapta ce nu este cont inutanhiperplan.Denit ie. a) Un punct M d(A, B) se aantre Asi B (scriemAMB)dacaexista (0, 1) astfelncat AM=AB. Numimsegment deschismult imea [ AB [= M/ A M B,iarsegmentul nchiseste[AB] =[ AB [ A, B.b)PuncteleA siBsuntseparatedehiperplanul(H)dacad(A, B) (H)= Msi A M B. Incazcontrarpunctelesegasescdeaceeasi parteahiperplanului.Propozit ia 1. Un punct M [AB] daca si numai daca O /nxat esteadevarataunadinurmatoarelearmat ii:a) [0, 1]astfel ncat OM= (1 )OA + OB.b) k > 0astfel ncat OM=11+kOA +k1+kOB.Demonstrat ie. TraducemM[AB] prinfaptul ca AM=AB, cu [0, 1] . Echivalentaceasta nseamnaca OM OA=(OB OA)dincarerezultaa). Pentrub)scriemca AM= kMBcuk > 0 sitraducemprinOM OA = k(OB OM).Faptulca [0, 1]esteechivalentcu(1 ) 0.Propozit ia 2. Fie A, B/nsi hiperplanul (H) de ecuat ie f(M)

N OM+ A0=0, raportatlaunreper nO. PuncteleAsi Bsegasescdeaceeasiparteahiperplanului(H)daca sinumaidacaf(A)f(B) > 0.Demonstrat ie. Distingemdouasituat ii.a)d(A, B) [[ (H). Consideram(H

) [[ (H)astfel cadreaptad(A, B) (H

).Ecuat iileadouahiperplaneparalelediferaprintermenulliber,adica(H

) are ecuat ia f

(M) f(M) +h = 0, cu h ,= 0. Din faptul ca A, B (H

)deducemf

(A) =f

(B) =0, adicaf(A) = hsi f(B) = h, dincarerezultaf(A)f(B) = h2> 0.b) d(A, B) (H) = M. Daca punctele A si Bse gasesc de aceeasi parteahiperplanului, dinpropozit iaanterioaradeducemca k 0.Consecint a. Dacaperechiledepuncte(A, B)si (B, C)suntdeaceeasiparteaunui hiperplan(H)atuncisi (A, C)segasescdeaceeasi partealui(H).Demonstrat iarezultadinfaptul caf(A)f(B)>0si f(B)f(C)>0,careprin nmult irenedauf(A)f(C) > 0.Deaicideducemca:Propozit ia3. Relat iadeadeaceeasi parteaunui hiperplanesteorelat iedeechivalent a.FieAxat si(H)unhiperplan. NotamcuH+A= M /n/ f(A)f(M) > 0HA= M /n/ f(A)f(M) < 0claseledeechivalent adenitederelat iadeadeaceeasipartecuA.Celedouamult imisenumescsemispat ii delimitatede(H).Evident /n= H+A HA H.2.4.1 Mult imiconvexeDenit ie. Omult ime ( /nsenumesteconvexadaca A, B (atuncintregsegmentul[AB] (.Propozit ia1. Omult ime (esteconvexadacasi numai daca Opunctxat [0, 1]astfel ncatdin OM= (1 )OA + OBatunciM (.Propozit ia2. Oricesemispat iuestemult imeconvexa.Demonstrat ie. FieAxatsi (H)unhiperplan, H+Asi HAsemispat iilesale. Vomdemonstraca H+Aestemult imeconvexasi lafel rezultapentruHA. Pentrusimplitatesapresupunemcaf(A) >0, atunci H+A= M/n/ f(A)f(M) > 0 = M/ f(M) > 0 = M/

N OM+ A0> 0.Consideram M1 si M2 H+A, adica

NOM1+A0> 0 si

NOM2+A0> 0.Unpunct M[M1M2] dacasi numai daca [0, 1] astfel ncat dinOM= (1 )OM1 + OM2, sideci66 Capitolul2. Spat iiane

N OM+ A0=

N((1 )OM1 + OM2) + A0=(1 )[

N OM1 +A0] +[

N OM2) +A0] > 0 deoarece (1) > 0 si > 0. Astfel ca M H+A,adica H+Aestemult imeconvexa. Analogsediscutaaltesituat ii.Propozit ia 3. Intersect ia unui numar nit de mult imi convexe este omult imeconvexa.Demonstrat iarezultadinfaptul cadacaunsegmentsegaseste ndouamult imi convexeatunci el segasestesi nintersect ie.Intersect ia(nite)atuturor mult imilor convexe ce cont in o mult ime Sse numeste nfasuratoareaconvexaamult imii S. Evident nfasuratoareaconvexaesteomult imecon-vexa.Consecint a. Mult imea T= M/ AX Besteconvexa,undeAesteo matrice de tip mn, Beste matrice coloana (b1....bm)tsi Xeste matriceacoloana(x1....xn)tcucoordonateleunuipunctMdin /n ntr-unreperan.Demonstrat iarezultadinfaptul caAXBpoateinterpretat caintersect iaamsemispat iicareamvazutcasuntmult imiconvexe.Mult imea Tsenumestepolitop(sautronson).Denit ie. Numimprogramliniarurmatoareaproblema:Seconsiderapolitopul T= M/ AX B ,= si

N= (A1, ..., An)unvectorscris nreperul 1.SasedeterminecoordonateleXaleunui punct M T, pentrucare

N

X=maxim.Solut ie. Fiem=

N

Xvaloareacautatapentrucareserealizeazamax-imul. Consideram atunci hiperplanul (H) f(M) =

N Xm = 0 si calculamdistant ad(O, (H)) =|m|

N.Deducem ca [ m [ este maxima daca si numai daca d(O, (H)) este maxima.Astfelcasolut iaprogramuluiliniarseobt ineducandhiperplaneparalelecu

N

X=0, leintersectamcu Tsi puncteleobt inutesituateladistant aceamaimaredeOsuntsolut iialeproblemei.Incazulparticularalplanuluieuclidianunprogramliniarseformuleazaastfel.Gasit isolut iileproblemei:max(A1x + A2y) =?,cesatisfaceinegalitat ile(restrict iile)Simplex 67___a11x +a12y b1a21x +a22y b2..... .. ...... .. ...am1x+am2y bm.Aplicat ie. Saserezolveproblemadeprogramareliniaramax(3x + 2y) =?2x + y 10x + 2y 84x y 5x, y 0.Domeniudelimitatderestrict iiesteceldingurademaijosOxOy`A(1, 0)B(2, 3)

C(4, 2)``````D(5, 0)3x + 2y= 0

DOMENIUDucanddrepteparalelecu3x + 2y=0, ceamai ndepartatadeorigineintersecteazapoligonul nx0= 4 siy0= 2.Decimax(3x + 2y) = 3.4 + 2.2 = 16.2.4.2 SimplexFie M0, M1, ..., Mmomult imedepunctedinspat iul an /nsi Opunctxat.Denit ie. Numimcombinat ieliniaraanadepunctele M0, M1, ..., Mm68 Capitolul2. Spat iianeunvectorOM=m

i=0iOMicui 0 sim

i=0i= 1.Propozit ia 1. O combinat ie liniara ana nu depinde de alegerea punctuluiO.Demonstrat ie. Fie OM=

mi=0iOMisiO

altpunct. Avemca OM=OO

+O

Msi analogOMi= OO

+O

Mi.Inlocuind obt inem caOO

+O

M=

mi=0i(OO

+O

Mi) = (

mi=0i)OO

+

mi=0iO

Mi= OO

+

mi=0iO

Mi,adica O

M=

mi=0iO

MisideciscriereanudepindedeO.Teorema1. O mult ime / este convexa daca si numai daca cont ine toatecombinat iileliniareanedepunctelesale.Demonstrat ie. Presupunem ntai ca / cont ine toate combinat iile liniareane de punctele sale, n particular deci pentru doua puncte vom avea ca dinM0, M1 /atunciecombinat ia OM= 0OM0 + 1OM1undei 0si0+1= 1. Renotand 0= 1 si 1= [0, 1] , deducem ca M [M0M1]sidecisegmentul[M0M1] /astfelca /esteconvexa.Invers, e /convexa. Demonstramprininduct iecatoatecombinat iileanesunt n /.Pentrum = 1,dinM0, M1 / sifaptulcasegmentul[M0M1] /,camaisusdeducemca OM=0OM0 + 1OM1undei 0si0 + 1=1;deci /cont inecombinat iileaneacelordouapuncte.Presupunemarmat iavalabilapentrunpunctesi demonstrampentrun + 1,adicadinfaptulcaoricecombinat ieliniaradenpuncteeste n /sademonstramca OM=

ni=0iOMicu i 0 si

ni=0i=1, implicaM /. Cumcel put inunscalarestenenul, eacestaspreexemplu0.ScriemOM= 0OM0+(10)

1OM1+...+

nOMn = 0OM0+(10)OM

1unde

1=110, ...,

n=n10. Cum

i 0si

ni=1

i=1,nbazainduct ieiM

1 /, sideciM [M0M

1] /.Cuaceastademonstrat iaestencheiata.Denit ie. Fie M0, M1, ..., Mmomult imedepuncteanindependentedin spat iul an /n. Numim msimplex omult imea punctelor Mdenite detoatecombinat iileanealeacestorpuncte.Deducem ca orice simplex este mult ime convexa. Din liniara independent aavectorilorrezultacapentruecareM o, scalarii 0, 1, ..., m [0, 1]Simplex 69suntunicdeterminat isi deci avemocorespondentabijectiva, numitacoor-donatabaricentrica, ntrepunctelelui osi unsubspat iudinRm+1, datadeM (0, 1, ..., m) . Inparticulardaca0=1=...=m=1m+1punc-tulMestetocmaicentruldegreutatealsimplexului,dinacestmotivMsenumestebaricentrulcuponderile0, 1, ..., m.Saexemplicamnot iuneadata.-Pentrum = 1,simplexulestechiarsegmentul[M0M1] .-Pentrum=2, esimplexul M0, M1, M2. Saaratamcael estetri-unghiulM0M1M2. Inprimulrandtriunghiulestemult imeconvexasideciodatacuvarfurilesaletoatepuncteleinterioare,inclusivlaturile,sevorgasincombinat ii liniareanedevarfuri, deoareceelesegasescpesegmenteceunescvarf cupunctedepelaturi (carelarandul lor indsegmentesuntcombinat iianededouadinvarfuri). SaaratamcaunpunctdinexteriorulM0M1M2nupoate nsimplex.Fie Pexterior M0M1M2 si (M0P) (M0M1) = M Presupunem M1MM2. Din faptul ca punctul Peste exterior triunghiului rezulta ca OP=(1 )OM0 + OMcu > 1. CumM1M M2,exista [0, 1]astfelca OM=(1 )OM1 + OM2.Inlocuindobt inem, OP=(1 )OM0 +(1 )OM1+ OM2. Amobt inut ocombinat ieliniaradepuncteanindependentecarenuesteanadeoarece(1 )= x1y1+x2y2+x3y3.Seobservacuusurint aca=0, =0, =0sideci bazavectorilor proprii esteortogonala. Cumsubspat iileproprii suntgeneratedeacestivectori nlocullor nB

amputealuaversoriilor,adicaB

= e

1=12(1, 0, 1), e

2=16(1, 2, 1), e

3=13(1, 1, 1), careesteobazaortonormata.MatriceaSdevineS=___1216130 2613121613___.SevericadestulderepedecaS.St= IsideciS1= St,astfelcaA

= St.A.S.Intrebareaeste: Putemfaceunastfelderat ionament ntodeauna?.Raspunsul lgasim nsect iuneaurmatoare.3.2 Transformari nspat iieuclidieneOsadiscutamaici douaclase de transformari. Primaclasaestentr-uncontextmailargalspat iilorunitare siadouadoarpentruspat iieuclidiene.3.2.1 TransformarihermitieneFie U= (V, ) un spat iu unitar, deci scalarii sunt numere complexe. Prinrestrangere lanumere reale vomobt ine armat ii valabilesi pentruspat iieuclidiene.Denit ie. Se numeste transformare adjuncta unei transformari liniareT: V V otransformareliniaraT: V V cesatisfacecondit ia< T(x), y>=< x, T(y) >, x, y V.ObservamcadacaexistaTatunciadjunctasaesteT.Problema principala este existent a lui T. Vom dovedi acest lucrun cazulnitdimensionalTeorema1. Fie U =(V, ) unspat iuunitar, dimV =n, si TL(V, V )otransformareliniara.Daca B= eii=1,neste o baza ortonormata din Vn care Tare matriceaA=(aij), atunci existaTsi matriceasa nbazaBesteA=At, adicaelementelesaleseobt inprintranspunereaconjugatelorcomplexedinA.82 Capitolul3. Transformari nspat iianeDemonstrat ie. FieB= eii=1,nobazaortonormatanV si T(ej) =

ni=1aijeiiar T(ej) =

ni=1aijei. CautamA=(aij). Pentruaceastaesucient satraducemcondit iadetransformareadjunctapentruvectoriibazei B, adica=. Deaici rezultat inandcontde= ca

ni=1aij=

ni=1aik. Dinfaptul ca baza aleasa este ortonormata, < ei, ek>= ik, deducem ca akj= ajksideciaik= akj,astfelcaA= At.Existent aluiAatrageexisitent aluiT.Prinparticularizarelaspat iieuclidiene,obt inemcaA= At.DinliniaritatealuiTsevericausorurmatoarelearmat ii:Propozit ia1. DacaT1siT2suntadjuncteleluiT1siT2,atunci(T1 + T2)= T1+ T2; (T1 T2)= T2 T1; (T)= T.Denit ie. TransformarealiniaraTsenumestehermitianadacaT= T.Aceastaevidentimplica=, x, y V si decintr-obazaortonormataavemA=At. Inparticular, prinreducerelacazulspat iilor euclidiene condit iade matrice hermitianase reduce lafaptul camatriceaestesimetrica,A = At.Teorema2. T L(V, V )otransformarehermitiana,atunci:a)Toatevalorilesalepropriisuntreale.b)Lavaloripropriidistinctecorespundsubspat iipropriiortogonale.c)Existaobazaortonormataavectorilorproprii ncarematriceatrans-formariisaediagonala.Demonstrat ie. a) Fie valoare proprie corespunzatoare lui x, adicaT(x)=x, x ,=0. Din=rezultaca=< x, x > sideci < x, x >= < x, x >,adica = sideci R.b)Fie1 ,=2valori proprii corespunzatoarelui x1si x2, T(x1)=x1,T(x2) = x2. Traducem condit ia de transformare hermitiana < T(x1), x2>=< x1, T(x2) > si din faptul ca valorile proprii sunt reale obt inem (12) =0, adica=0. Deci vectorii proprii corespunzatori lavaloripropriidistinctesuntortogonali,prinurmare sisubspat iilepropriialelorsuntortogonale.c) Doar schit amideiadedemonstrat ie. Daca1esteradacinasimplaatuncisubspat iulsaupropriuV1=ker(T 1I)aredimensiunea1sideciestegeneratdeunvector e1pecareputemsa-lpresupunemunitar. Dacakesteradacinamultipladeordinkatunci subspat iul saupropriuVk=Transformariortogonale 83ker(T 1I)arputeasaaibadimensiunemai micadecatksi deci nnalsanuputemformaobazaavectorilorproprii. Saaratamcaasacevanusepoate. ConsideramVkcomplementul sauortogonal si demonstramcaacestaesteinvariantlaT.Intr-adevar x Vksi y Vkavemca0==< x, (T kI)y>sideciy Vk.Restrict iileluiTlaVksilaVklarandullorvor ndeplinicondit iiasemanatoareprivindradacinilemultiple.Innal obt inemobazaavectorilorproprii caredinconstruct iafacutasepoateconsideraortonormata.Denotat capunctul c) al teoremei neasiguracadacaomatrice estesimetrica sirealaatuncieaadmiteformadiagonala ntr-obazaortonormataavectorilorproprii.3.2.2 TransformariortogonaleFieT L(V, V )otransformareliniara nspat iuleuclidian(V, ).Denit ie. TransformareaT senumesteortogonaladacapastreazapro-dusulscalar,adica< T(x), T(y) >=< x, y> , x, y V.Propozit ia1. a) Oricetransformareortogonalapastreazadistant elesiunghiurile.b)Oricetransformareortogonalaestebijectiva.Demonstrat iarezultadindenit ie,luandx=y |T(x) |=|x |sidinfaptulcacos =

xy.Bijectivitatearezultadinfaptul capresupunandT(x)=0 |T(x) |=| x |= 0 sideciKerT= 0.Armamcadacaotransformareliniarapastreazadistant eleatunci eaeste ortogonalasi deci va pastrasi ungiurile. Demonstrat ia rezulta dinurmatorul calcul. Avem | T(x)|=| x|, xV.Inlocuindpe xx + ydeducemdinliniaritatealui Tca |T(x) + T(y) |=|x + y |, adica=. Dezvoltand calcu-lul si t inandcont ca | T(x) |=| x|si| T(y) |=| y| , rezulta ca< T(x), T(y) >=< x, y>,adicatransformareaesteortogonala.Otransformarecarepastreazadistant elesemai numesteizometrie.Inconcluzie,transformarileliniareortogonalecoincidcuizometriile.84 Capitolul3. Transformari nspat iianePropozit ia2. Mult imea izometriilor lui (V, ) formeaza grup n raportcucompunerealor,numitgrupul ortogonal GO(V ).Demonstrat ie. < (T1 T2)(x), (T1 T2)(y) >= < T1(T2(x)), T1(T2(y)) >=< T1(x), T1(y) >=< x, y> .CumTestebijectiva,sededuceimediatstructuradegrup.Propozit ia3. Oizometrieducebazeortonormate nbazeortonormate.Propozit ia4. Singurelevaloripropriialeuneiizometriisunt 1.Demonstrat ie. Fie valoare proprie pentru x, adica T(x) = x.Inlocuindn | T(x) |=| x | rezulta ca [[ = 1 si deci = 1. Evident ele pot radacinimultiple.Denit ie. OmatricepatraticaAsenumesteortogonaladacaA.At= I.Avemdeaici ca(det A)2=1, deci esteinversabilasi avemAt=A1,prinurmare siAt.A = I.Teorema1. Matriceaschimbariiadouabazeortonormateesteomatriceortogonala.Demonstrat ie. FieB= eii=1,nsi B

= e

ii=1,nbazeortonormatesie

k=

ni=1sikei.Dinkh===

ni=1

nj=1siksjh=

ni=1

nj=1siksjhijdeducem ca

ni=1siksih= kh, sau matricial scrisS.St= 1.Teorema2. Matriceaunei transformari ortogonale ntr-obazaortonor-mataesteomatriceortogonala.Demonstrat ie. Fie B=eii=1,nbaza ortonormata, =ij.Fie T(ek) =

ni=1aikei. Din=deducemca

ni=1

nj=1aikajh=, adica

ni=1

nj=1aikajhij=kh, sideci

ni=1aikaih= kh,saumatricialscrisA.At= I.Dacadet A=1transformarease numeste rotat ie (justicareaovomvedea nplanulsi spat iul euclidian), iardacadet A= 1transformareasenumesteantideplasare(simetrie).Vom ncercasadamunexempludeantideplasare.Denit ie. FieSpsubspat iupdimensional n(V, ), v V si w=prSpv,w= v w.Numim simetriefat a de subspat iul Sp aplicat ia o: v ww= 2wv,adica o= 2prSp Id.Transformariortogonale 85Intuitivavemdesenuldemaijos:Propozit ia 5. Simetria fat a de un subspat iu este o transformare ortogonalainvolutiva.Demonstrat ie. Din o(v)=w w=2w v, avem nprimul randcatransformareaesteliniara sica| o(v) |2==| w|2+ | w|2=| v|2adicatransformareaesteortogonala | o(v) |=| v | .Inplus, o2(v) = o(2w v) = 2o(w) o(v) = 2w (2w v) = v,adicao2= I,deciinvolutiva.Saparticularizam. FieBS= eii=1,pbazaortonormata nSpecareocompletamlaobazaortonormata nV, dimV= n,adicaB= eii=1,n.Vectorul v=

ni=1vieiseproiecteazapew=

pi=1ei.InbazaortonormataBmatriceasimetriei ova o(e)=epentru=1, psi o(ep+k) = ep+kpentruk=1, n p, astfel caA=_Ip00 Inp_, cudet A = (1)np.Dac aSpesteunhiperplan(p = n 1),atuncisimetriaaredet A = 1.Concluziaar:Teorema3. Oricetransformareortogonalaesterotat ie, simetriefat adeunhiperplansaucompunerealor.Compunereaadouasimetrii fat adehiperplaneestededeterminant1,decirotat ie. Inversnurezulta. Totusiarelocurmatoareaarmat ie:Teorema(Cartan). Oricetransformareortogonala ntr-unspat iueuclid-ian(V, )cundimensiuniestecompunereaacelmultnsimetriifat adehiperplane.86 Capitolul3. Transformari nspat iiane3.3 TransformarianeFie / =(/, , V )si /

=(/

,

, V

)douaspat iianepesteacelasicorp.Fixand un punct O combinat ia liniara anaOC= OA+OBcu += 1nudepindedealegerealuiOsivomscrieancaC= A + B.Denit ie. Senumesteaplicat ieanaoaplicat ie: / /

cesatisface:(A + B) = (A) + (B) , A, B / si + = 1.Propozit ia1. : / /

esteanadaca sinumaidacaaplicat iaT: V V

T(AB) =(A)(B) , A, B /esteaplicat ieliniaradespat iivectoriale.Demonstrat ie. Presupunemana siOxat,T(OA) =(O)(A).AratamcaT(OA) =T(OA). FieOA= OB, deducemcaO, A, BsuntcoliniaresideciB= (1 )O + A. Deoarece esteana,rezultaca(B) = ((1 )O +A) = (1 )(O) +(A),dincareobt inem(B) (O)=((A) (O))si deci (O)(B)=(O)(A), adicaT(OA)=T(OA).CalculamacumT(OA +OB). Fie OC= OA +OBsi alegem ,=1, 0.NotamOA

=11OA siOB

=1OB. Obt inem caOC= (1)OA

+OB

,astfel ca (C) = (1)(A

)+(B

), din care se obt ine ca(O)(C) = (1)(O)(A

)+(O)(B

). Acum, t inand cont de prima parte a demonstrat iei,seobt ineT(OA +OB) = T(OA) + T(OB).Demonstrat ianudepindedealegerealuiOdeoareceT(AB)=T(OB OA) =(O)(B) (O)(A) =(A)(B).AmdemonstratastfelcaTesteoaplicat ieliniara. Observamcaaceastaaplicat ieliniaratransferanot iuneadeliniaritatedelaspat iianelaspat iulvectorialasociat.Aplicat iaana sezicecaestebijectivadacasi numai dacaaplicat ialiniaraTasociataestebijectiva.Denit ie. Senumestetransformareanaoaplicat ieana : / /,bijectivapeunspat iudedimenisiunenita.Teorema1. Fie 1 = O, eii=1,nunreperan nspat iul /.Transformariane 87: / /estetransformareanadaca sinumaidacaxi=n

j=1aijxj+ ai0; det(aij) ,= 0 ; i = 1, n, (3.3.1)unde(ai0),(xi),(xi)suntcoordonatelepunctelorO

= (O),M, sirespectivM

= (M) nreperuldat 1.Demonstrat ie. Presupunem anasi T transformarealiniaraasociatalui . Rezultaca O(M)= O(O) +(O)(M). Traducandaceastarelat ienreperul 1si t inemcont ca (O)(M) =T(OM) =T(

nj=1xjej) =

nij,=1xjaijei,obt inemexactcondit ia(3.3.1)dinteorema.Reciproc,presupunemadevaratacondit iadinenunt (3.3.1) siaratamcaesteotransformareana. FieA(xi), B(yi) si, Kcu + = 1.DacaC=A + Batunciezi=xi+ yicoordonateleluiC.Coor-donateleluiC

= (C)vorzi=n

j=1aijzj+ xi0= n

j=1aijxi+ n

j=1aijyj+ xi0=(

nj=1aijxj+ xi0) + (

nj=1aijyj+ xi0)=xi+ yisi deci (C)=(A)+(B) cu += 1, adica este ana. Condit ia det(aij) ,= 0, asigurafaptulcatransformareaestebijectiva.Matricialcondit ia(3.3.1)sescrieX

= A.X + A0, det A ,= 0. (3.3.2)Observat ie. Otransformareanadeterminaoschimbarederepereane(vezi Cap.2), X=S.X

+ S0, undeS=A1, S0=A1.X0,si reciproc.Inunelecazurivomaveanevoiedeambelesituat ii.Teorema2. Mult imeatransformariloranepe / admiteostructuradegrup,numitgrupul an.Demonstrat ie. DacaX

=A.X+ A0si X

=A

.X

+ A

0sunt douatransformariane,atuncicompunerealorX

= A

.AX + (A0.X0 +X

0)estetototransformareana. TransformareaidenticaesteX

= I.X,iarinversaesteX= S.X

S0.Denit ie. Senumestetranslat ie nspat iulan /transformareaX

= X + X0. (3.3.3)88 Capitolul3. Transformari nspat iianeSenumestecentro-anitateotransformareanapentrucare(O)=O,adicaX

= A.X, det A ,= 0. (3.3.4)Teorema3. a). Mult imeatranslat iilorunuispat iuanformeazagrup nraportcucompunerea,grupultranslat iilor.b). Mult imea centro-anitat ilor unui spat iu an formeaza grup n raportcucompunerea,grupulcentro-an.c). Oricetransformareanaesteocompuneredintreotranslat iesi ocentro-anitate.Demonstrat iaesteimediata.Dacaspat iul anestesi custructuraeuclidianauninteres deosebitlreprezinta care din aceste transformari sunt si izometrii. Aceste transformaripot interpretate ca translat ii, rotat ii si simetrii fat a de hiperplanele repereloraneasociate.Orice translat ie este o izometrie a spat iului, armat ia ind imediata. Pen-trucento-izometriivomexemplicaacestlucru ncazulplanului sispat iuluieuclidian nsect iuneaurmatoare.3.3.1 Izometriileplanuluisispat iuluieuclidianDeoarece translat ia de repere ane este izometrie, ne ramane pentru nceputsavedemcaresuntcentro-izometriileplanuluieuclidian c2.Amvazutcamatriceadetreceredelaobazaortonormatalaaltaesteomatriceortogonala. Saconsideram nplanrepereleortonormate 1(O,

i,

j)si 1

(O,

i

,

j

),cumatriceadetrecereS= (sij)datade

i

= s11

i + s21

j ;

j

= s12

i + s22

jAceasta matrice trebuie sa e ortogonala deoarece duce baza ortonormatan baza ortonormata, adica SSt= Isi St S= I, condit ii ce se traduc prin:(s11)2+ (s21)2=1 ; s11s12 + s21s22= 0 ; (s12)2+ (s22)2= 1 ;(s11)2+ (s12)2=1 ; s11s21 + s12s22= 0 ; (s21)2+ (s22)2= 1 .Primacondit ienesugereazasaluams11= cos sis21= 1 sin .Analizand n ntregimecondit iiledate,seobt inecaS=_cos 1 sin 12 sin 2 cos _unde 1, 2= 1, [0, ] . (3.3.5)Izometriileplanului sispat iuluieuclidian 89Acesteasunttoatematriceleortogonaledeordindoi.Sa vedem ce semnicat ie poarta ele. Ele pot rotat ii sau simetrii fat a dedrepte nplanuleuclidian.Intr-adevar,dacanotamcu [0, ]unghiulorientatdintre

i si

i

ca ndesenulalaturatobt inemcacos =

i

i

=s11, cos(2+ ) = sin =

j

i =s12sicos =

j

j

= s22,sin =

i

j= s21.Astfelca,orotat iedeunghi [0, ]esteocentro-izometrieareperelorpentru = si 1= 2= 1.Schimbarea de coordonate a unui punct M(x, y) exprimatn 1si M(x

, y

)n 1

esterotat iaX= S.X

_x = x

cos y

sin y= x

sin + y

cos (3.3.6)Daca i

= isi j

=

j seobt ineosimetriefat adeaxaOxdematriceS=_1 00 1_, iardaca

i

=

isi j

= jseobt ineosimetriefat adeaxaOydematriceS=_1 00 1_,ambeleindortogonale.Compunandacestetransformari cuorotat ie, eventual deunghi =0(transformarea identica), se obt in toate semnele pentru matricele ortogonaleSdin(3.3.5).Pe de alta parte, am vazut ca o schimbare de repere ane poate privitasi ca o transformare centro-ana de matrice S1= St. Astfel ca n reperul 1unui punct M(x, y) facem sa-i corespunda printr-o rotat ie de unghi punctulM

(x

, y

)datdeX

= St X,90 Capitolul3. Transformari nspat iianeadicadesenulunde_x

= x cos + y sin y

= x sin + y cos Cutotulasemanatorputemdiscutadesimetriilefat adeOx sirespectivOy.Inconcluzie,Teorema1. Toatecentro-izometriileplanului euclidiansunt: transfor-mareaidentica, rotat iiledeunghi orientat, simetriilefat adeaxesi com-punerialelor.Sa vedem acum care sunt centro-izometriile spat iului euclidian c3.Incercamsa abordam problema tot n acelasi mod. Sa determinam matricele Sortogo-nale de ordin trei ce schimba reperele ortonormate 1(O,

i,

j,

k) si 1

(O,

i

,

j

,

k

). Evident problema este mult mai dicila,de aceea pentru a obt ine o clasi-care a centro-izometriilor ne vom rezuma la a observa ntai ca o transformareortogonala are ca valori proprii pe 1 si deci putem alege o dreapta Ox

pen-trucare

i

estevectorpropriucorespunzatorlui +1sau 1. Cumrestrict iaunei transforma