Curs mecanica

INTRODUCERE IN MECANICA CLASICA:

TEORIE SI APLICATII

Stan CHIRITA

ii

Cuprins

1 Cinematica 11.1 Cinematica punctului material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Spatiu si timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Miscarea unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Viteza si acceleratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Miscari plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.5 Viteza areolara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.6 Miscari centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.7 Miscari uniform variate si periodice . . . . . . . . . . . . . 211.1.8 Miscari circulare si uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.9 Miscari armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.10 Miscari elicoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2 Cinematica sistemelor materiale si corpurilor rigide . . . . . . . . 301.2.1 Legaturi si sisteme olonome . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.2 Cinematica sistemelor rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.3 Miscari particulare ale rigidului . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.4 Unghiurile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.5 Starea de miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2.6 Formula lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.2.7 Teorema lui Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.2.8 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.2.9 Cinematica miscarilor relative . . . . . . . . . . . . . . . . 591.2.10 Miscari de transport speciale . . . . . . . . . . . . . . . . 641.2.11 Miscari relative pentru corpurile rigide . . . . . . . . . . . 651.2.12 Aplicatii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.2.13 Miscari rigide plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2.14 Traiectorii ın coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . 741.2.15 Acceleratia unei miscari rigide plane . . . . . . . . . . . . 791.2.16 Miscarea unui corp rigid cu un punct fix . . . . . . . . . . 80

Bibliografie 82

Index 86

iii

iv CUPRINS

Capitolul 1

Cinematica

1.1 Cinematica punctului material

1.1.1 Spatiu si timp

Cinematica studiaza miscarea corpurilor dintr-un punct de vedere pur descrip-tiv. Astfel, miscarea este reprezentata si studiata folosind mijloace matematiceadecvate pornind de la legile fizice, care pun ın legatura miscarea cu cauzele(fortele) care o determina.

Fiecare fenomen de miscare are loc ıntr-un mediu spatio–temporal. Prinurmare, prima ıntrebare care urmeaza a fi discutata este descrierea conceptelorde spatiu si timp. Este cunoscut faptul ca acestea sunt notiuni primare, adica,ele nu sunt deduse din alte cantitati, dar nu acesta este motivul pentru care nueste posibil sa se obtina o reprezentare matematica precisa a lor. Presupunemca spatiul si timpul sunt continue, ın sensul ca este semnificativ de spus ca uneveniment are loc ıntr-un un anumit punct din spatiu si la un anumit moment detimp si ca exista standarde universale de lungime si timp; cu alte cuvinte, obser-vatori din locuri diferite la momente diferite de timp pot compara masuratorilelor.

Presupunem ın continuare ca exista o scala universala pentru timp, ceea ceınseamna ca doi observatori care si-au sincronizat ceasurile lor, vor fi ıntotdeaunade acord cu privire la timpul de producere a oricarui eveniment, ın plus, noipresupunem ca geometria spatiului este euclidiana si faptul ca, ın principiu, nuexista nicio limita a preciziei cu care putem masura pozitiile si momentele.

Astfel, ın acest cadrul al mecanicii clasice, spatiu ınconjurator este descrismatematic ca un spatiu afin euclidian tridimensional (1). Aceasta ınseamna unspatiu metric particular E , ale carui elemente P, Q, . . . sunt numite puncte sipentru care distanta are unele proprietati particulare (2).

1Aceasta alegere, care, ın contextul actual poate parea a fi evidenta, este de o mareimportanta pentru dezvoltarea teoriei, asa cum este strict legata de pricipiile mecanicii clasice.De fapt, diferite reprezentari ale conceptului de spatiu pot duce la descrieri diferite.

2

1

2 CAPITOLUL 1. CINEMATICA

Asociem E cu spatiul vectorial tridimensional V , ale carui elemente u,v, . . .sunt numite vectori. Fiecare vector u poate poate fi individualizat ca diferentaa doua puncte ale spatiului E , adica

u = P −Q.

Pe V , consideram notiunile obisnuite de produs scalar si produs vectorial,care vor fi notate · si respectiv × .

In cadrul mecanicii clasice, notiunea de timp este definita ca un concept ab-solut, adica, derularea sa este independenta de obiectele si entitatile exterioare.Acest fapt ne permite sa dam o reprezentare relativ simpla a acestei notiuni.De fapt, folosind omogenitatea timpului (adica, faptul ca momente privilegiatede timp nu exista), este posibil sa-l reprezintam prin intermediul unui spatiuafin euclidian unudimensional R, ale carui elemente sunt momente. Sa notamca aceasta abordare a conceptului de timp nu este compatibila cu principiilemecanicii relativiste, deoarece, ın acest caz, durata unui fenomen depinde decadrul de referinta.

In cele din urma, sa introducem o scala pentru a masura distantele si inter-valele de timp folosind din nou proprietatea de omogenitate a spatiului si tim-pului, sau, chiar mai bine spus, structura lor ca spatii afine euclidiene. De fapt,este posibil, pe de o parte, sa introducem scala pentru masurarea distantelorprin intermediul unui esantion considerat a fi o unitate de lungime, si, pe dealta parte, sa folosim fenomene periodice pentru a reproduce unitatea de masur-are a timpului si, ın consecinta, pentru a defini ceasul. Comunitatea stiintificafoloseste ca etalon de masura pentru lungime, care este, de lungimea un barfabricat dintr-un aliaj de platina si iridiu pastrat la Bureau International desPoids et Mesures de Sevres care ar trebui sa corespunda la 10−7 din distanta dela Ecuator la Polul Nord masurata de-a lungul meridianul care trece prin Paris.Cel de-al doilea etalon a fost ales pentru o unitate de masura a timpului si afost initial definit ca 24−1 × 60−2 dintr-o zi solare.

Ar trebui sa fie clar ca reprezentarea conceptelor de spatiu si timp prinintermediul unor modele matematice este o faza foarte delicata ın constructia

Definitie 1.1.1 Un spatiu metric E este numit spatiu euclidian afin tridimensional dacametrica sa d : E × E → R+ este astfel ıncat multimea H a izometriilor, definita astfel

H = {α : E → E , inversabila; d(P, Q) = d[α(P ), α(Q)], pentru orice P, Q ∈ E} ,

are urmatoarele proprietati:

1. H este grup ın raport cu legea de compunere;

2. H contine un subgrup V , numit grupul translatiilor, care este abelian ın raport cu legeade compunere;

3. exista operatia de ınmultire cu scalari λ : R×V → V care face din V un spatiu vectorialtridimensional, cu operatia de adunare (+) ca lege de compozitie;

4. exista produsul scalar pe V, notat prin “punct” (·), astfel ca, pentru orice P, Q ∈ E sipentru orice u ∈ V astfel ca u(P ) =Q, avem

(d(P, Q))2 = u · u.

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 3

principiilor mecanicii clasice. De fapt, diferite reprezentari ar putea conducefie la complicatii formale ale teoriei sau unele contradictii logice care duc ladezvoltari complet diferite ale acesteia. De asemenea, ar trebui sa fie clar faptulca astfel de modele matematice sunt doar reprezentari ideale ale lumii fizice siacestea ar trebui sa fie considerate a fi ın buna corespondenta cu realitatea numaipentru studiul unor fenomene si ıntr-o aproximare adecvata. In particular, elesunt adecvate pentru cazul ın care vitezele sunt “mici”, fata de viteza luminii sidistantele sunt “mari” cu privire la distante atomice.

Pentru a specifica pozitiile si momentele, fiecare observator poate alege oorigine pe scala temporala, o origine ın spatiu si un set de trei axe de coordonatecarteziene. Ne referim la toate acestea impreuna spunand ca s-a ales un cadrude referinta.

Pozitia si timpul fiecarui eveniment pot fi specificate fata de acest sistemcartezian de coordonate si timp. Deoarece spatiul euclidian E este tridimen-sional, este posibil sa fixam un punct O si sa conideram trei directii mutualortogonale x1, x2, x3 pornind din O. Asociem aceste directii cu trei vectori uni-tari i1, i2, i3 care formeaza un triplet drept, adica, directiile lor coincid cu celeale degetul mare, aratatorului si degetului mijlociu de la mana dreapta. Acesttriplet centrat ın O defineste un sistem de referinta (3)

Prin urmare, este necesar sa introducem pentru ınceput conceptul de sistemmaterial B. De fapt, acesta este definit ca o multime constituita dintr-un numarfinit (sau infinit) de elementeX1, X2, X3, . . . , numite puncte materiale, ınzestratcu o familie P de aplicatii injective si netede P : B → E . O aplicatie P estenumita localizare a corpului B si determina configuratia specifica lui B ın spatiulE .

Definitie 1.1.2 Un sistem material B este numit corp rigid daca, pentru oricepereche de localizari P1, P2 ∈ P , avem

d(P1 (X1) , P1 (X2)

)= d

(P2 (X1) , P2 (X2)

)for all X1, X2 ∈ B. (1.1)

Punctul P (X) poate fi acum identificat cu vectorul x = (P (X)−O).Cu alte cuvinte, un sistem de material este un corp rigid, daca toate posi-

bilele configuratii pastreaza distantele dintre punctele de material cu trecereatimpului. In mod natural, ın cadrul mecanicii clasice, este presupus ca astfelde sisteme rigide material exista. Prin utilizarea acestei ipoteze fundamentale,este posibil sa consideram un sistem referinta cartezian invariant cu trecereatimpului, ca si cum ar fi fixat ıntr-un corp rigid.) ın spatiu (Figure 1.1). Astfel,fiecare vector x = P −O poate fi reprezentat ın urmatoarea forma:

x = x1i1 + x2i2 + x3i3,

3Cu scopul de a da definitia corecta a “sistemului de referinta”, sa ne reamintim faptul canotiunea de miscare este un concept relativ care implica prezenta altor obiecte sau corpuricapabile a fi observate, astfel ıncat este posibil sa ne referim la ea ca miscare fata de acesteobiecte.


x2

x2

i2

i1

i3

x3

x3

x1

x1

P

O

Figura 1.1:

unde x1, x2, x3 sunt numite coordonate ale lui x ın raport cu cele trei axe.Ele sunt obtinute ca proiectii ale lui x pe axele i1, i2, i3, adica, x1 = x · i1,x2 = x · i2, x3 = x · i3. Un sistem de referinta exista ın afara notiunii de timpsi, ın acest moment, are un sens pur matematic. Cu alte cuvinte, un repercartezian ortogonal nu poate pastra propriile caracteristici cu trecerea timpului.

Definitie 1.1.3 Numim cadru de referinta, un set de trei axe de coordonate(sistemul de referinta), fixat ıntr-un corp rigid ımpreuna cu un sistem de masurarea timpului (ceasul).

Este clar ca, ın scopul de a introduce notiunea de cadru de referinta, estenecesar sa presupunem existenta unui corp rigid. Mai mult, sistemul de referintafix ıntr-un corp rigid va fi uneori confundat cu tripletul ortogonal (O, x1, x2, x3).

1.1.2 Miscarea unui punct

In prima parte a cinematicii, studiem miscarea unui punct material, aceastaınseamna, miscarea unui sistem de material format dintr-un unic punct P . Unastfel de sistem de material reprezinta foarte frecvent un bun model pentrustudiul corpurilor ale caror dimensiuni sunt suficient de mici pentru a permiteaceasta reprezentare; de asemenea, poate reprezenta, un anumit punct al sis-temului material.

Miscarea unui punct P este definita complet de aplicatia

P : I → E , (1.2)


unde I ⊂ R este intervalul de timp ın care este definita miscarea, si E estespatiul euclidian care poate fi asociat cu un cadru de referinta sau cu un tripletrigid. Miscarea va fi notata cu simbolul

P = P (t),

sau prin functia vectoriala x(t) definita de

x (t) = P (t)−O, (1.3)

sau prin intermediul functiilor componente ale ecuatiilor vectoriale (1.3)

x1 = x1 (t) , x2 = x2 (t) , x3 = x3 (t) . (1.4)

Ulterior, functiile care definesc miscarea sunt presupuse a fi cel putin declasa C2. Imaginea intervalului I ın E defineste traiectoria punctului P relativla miscarea P (t). Putem descrie aceasta traiectorie intrinsec, independent devariabila temporala. Fie un punct fix O1 si o directie pozitiva pe traiectorie sisa indicam prin s abscisa curbilinie a lui P , care reprezinta distanta cu semnde la P la O1 masurata de-a lungul traiectoriei (a se vedea Figura 1.2), Atunci,traiectoria este data de functia

P = P (s). (1.5)

Mai mult, ın miscare, abscisa curbilinie s este o functie de timp t, exprimataprintr-o functie s = s(t), pe care o numim ecuatie orara a miscarii lui P .

Prin urmare, miscarea punctului P poate fi descrisa de catre sistemul

P = P (s), s = s(t), (1.6)

unde prima functie defineste traiectoria, ın timp ce legea temporala asociatapunctului P ofera pozitia instantanee a punctului de-a lungul traiectoriei.

Traiectoria punctului P cu privire la cadrul de referinta ales poate fi descrisprin functiile de x1(s), x2(s), x3(s) definite ca proiectii ale relatiei vectoriale(1.5), adica

x1 = x1 (s) , x2 = x2 (s) , x3 = x3 (s) . (1.7)

Exercitiu 1.1.1 Miscarea unui punct este data de x1 = R cos√

t, x2 = R sin√

t,x3 = R

√3t, t ∈ [0, π2], R > 0. Sa se determine traiectoria si ecuatia orara a

acestei miscari.

Solutie. Deoarece ds = |dx| =√

(dx1)2 + (dx2)

2 + (dx3)2, deducem ca,

pentru miscarea noastra,

s =∫ t

0

ds(z) =∫ t

0

R√zdz = 2R

√t,

si deci ecuatia orara este s = 2R√

t. Substituind√

t = s2R ın ecuatiile de miscare,

obtinem urmatoarea expresie a traiectoriei: x1 = R cos s2R , x2 = R sin s

2R ,x3 = s

√3

2 , s ∈ [0, 2πR].


x2

x3

x1

O1

P

s

O

Figura 1.2:

Exercitiu 1.1.2 Presupunem ca traiectoria unui punct P este cercul de intersectiedintre sfera x2

1 + x22 + x2

3 = R2, R > 0, cu planul x3 = R cos θ0, θ0 fixatın (0, π). Sa se determine miscarea punctului P avand ecuatia orara s = t,t ∈ [0,

√2πR sin θ0].

Solutie. Traiectoria este descrisa de

x1 = R sin θ0 cosϕ, x2 = R sin θ0 sin ϕ, x3 = R cos θ0, ϕ ∈ [0, 2π].

Deoarece s = (R sin θ0)ϕ si ecuatia orara este s = t, rezulta ca ϕ = tR sin θ0

,t ∈ [0,

√2πR sin θ0]. Daca alegem a = R sin θ0, atunci miscarea este data de

x1 = a cost

a, x2 = a sin

t

a, x3 = R cos θ0, t ∈ [0,

√2πa].

1.1.3 Viteza si acceleratie

Consideram un punct material a carui miscare este descrisa de sistemul (1.6).Presupunand traiectoria P = P (s) fixata, miscarea este definita simplu deecuatia orara s = s(t).

Definitie 1.1.4 Numim viteza a punctului P de-a lungul traiectoriei P (s)derivata lui s ın raport cu timpul, si o notam cu (4) prin

v(t)def=

ds(t)dt

. (1.8)

4Pentru a evita confuziile, vom nota ıntotdeauna derivata ın raport cu timpul printr-unpunct plasat deasupra functiei considerate, adica, ds/dt = s, si nu vom face distinctie dintre

punctul P si functia corespunzatoare P .


Daca s > 0, atunci miscarea este numita directa, ın timp ce pentru s < 0,miscarea este numita retrograda; momentele la care s = 0 sunt numite momentede stationare. In final, daca s este o functie liniara ın timp, adica,

s(t) = vt + s0, (1.9)

atunci miscarea este numita uniforma.

In general, atunci cand vorbim despre viteza unui punct, ıntotdeauna ıntelegemo cantitate vectoriala. Intr-adevar, presupunand ca am fixat cadrul de referintasi ca miscarea este descrisa ın raport cu acest cadru de ecuatia de miscareP = P (t), definim vectorul viteza astfel:

Definitie 1.1.5 Vectorul

v(t)def=

dP (t)dt

=d

dt

(P (t)−O

)(1.10)

este numit viteza punctului P fata de cadrul de referinta considerat, reprezentatde sistemul de referinta (O, x1, x2, x3).

Mai mult, daca i1, i2, i3 sunt vectorii unitari ortogonali ai sistemului (O, x1, x2, x3),atunci, folosind relatia P −O = x1i1 + x2i2 + x3i3 = x, obtinem

v(t) = x1(t)i1 + x2(t)i2 + x3(t)i3 =d

dtx(t), (1.11)

unde x1(t), x2(t), x3(t) sunt derivatele funtiilor x1, x2, x3 ın raport cu timpul sireprezinta componentele vectorului v de-a lungul axelor x1, x2, x3.

Din definitia de mai sus, folosind expresiile (1.6) pentru miscarea punctuluiP , adica

P = P (s(t)), (1.12)

rezulta ca

v(t) =dP

ds(s)

ds

dt. (1.13)

Acum, consideram urmatoarea cantitate:

dP

ds(s) = lim

h→0

P (s + h)− P (s)h

. (1.14)

Rata de crestere P (s+h)−P (s)h defineste un vector a carui directie este de-a lungul

coardei care uneste P (s) cu P (s + h) si directia coincide cu cea de crestere aarcelor. Cand h se apropie de zero, aceasta ratie tinde spre un vector a caruidirectie este este paralela tangenta la curba ın punctul P (s) (Figura 1.3).

Consideram acum marimea data de expresia (1.14)∣∣∣∣∣dP

ds(s)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ limh→0

P (s + h)− P (s)h

∣∣∣∣∣ .


x2

x3

x1

O1

P(s)

P(s + h)h

s

O

t

Figura 1.3:

Ratia |P (s+h)−P (s)||h| nu este nimic altceva decat raportul dintre lungimea coardei

ce uneste punctele P (s) si P (s+h), si arcul corespunzator. Este cunoscut faptulca acest raport tinde spre unitate atunci cand lungimea arcului se apropie dezero.

Astfel, putem concluziona ca

dP

ds(s) = t(s), (1.15)

unde t este versorul tangentei la traiectoria punctului P (s) si a carui directiecoincide cu directia de crestere a arcului. Prin urmare, din (1.13), obtinem

v(t) = st. (1.16)

Rezulta din argumentele de mai sus ca viteza este ıntotdeauna ındreptata de-a lungul tangentei la traiectoria punctului considerat. In particular, observamca marimea vitezei v, pe care o notam cu v sau cu |v|, este definita de

v = |s| =√

x21 + x2

2 + x23.

Daca viteza punctului P este constanta pentru un interval de timp, miscareaeste numita rectilinie si uniforma ın acest interval. Dupa cum se stie, expresia(1.10) poate fi scrisa ın forma echivalenta

P (t + ∆t)− P (t)∆t

= v(t) + ε(∆t), (1.17)

unde ε este un vector, astfel ıncat lim∆t→0 ε(∆t) = 0. In consecinta, din (1.17),obtinem

∆Pdef= P (t + ∆t)− P (t) = v(t)∆t + ε(∆t)∆t.


Vectorul ∆P reprezinta deplasarea punctului P ın intervalul de timp ∆t. Daca∆t este “suficient de mic”, v∆t da o buna aproximare a deplasarii, adica

∆P ' v∆t.

Luand ın considerare aceasta observatie, introducem vectorul dPdef= vdt pe

care ıl numim deplasare elementara. In general, acesta nu corespunde cu de-plasarea reala, dar el reprezinta o buna aproximare pentru ea, sub presupunereaca valorile lui dt sunt “mici”.

Definitie 1.1.6 Numim vectorul

a(t)def=

dvdt

(t) (1.18)

acceleratie a punctului P fata de cadru de referinta ales.

Folosind formula vitezei, este posibil sa aratam ca

a(t) =d2P

dt2(t),

sau

a(t) = x1(t)i1 + x2(t)i2 + x3(t)i3 =d2xdt2

(t),

unde x1 = d2x1dt2 , x2 = d2x2

dt2 , x3 = d2x3dt2 pot fi considerate ca fiind acceleratiile

proiectiilor punctului P de-a lungul axelor x1, x2, x3.Folosind formula (1.16) a vitezei, obtinem urmatoarea expresie importanta

pentru acceleratia unui punct:

a =d

dt(st) = st + s

dt(s(t))dt

= st + s2 dtds

. (1.19)

Este necesar acum sa consideram limita

dtds

= limh→0

t(s + h)− t(s)h

. (1.20)

Consideram planul π definit de triunghiul (P (s), A, B) (a se vedea Figura1.4). Daca curba este ıntr-un plan, atunci planul π va coincide cu planul carecontine curba. Daca curba nu este ıntr-un plan, atunci, cand h se apropie dezero, π tinde spre un plan care trece prin P (s) si contine vectorul t(s). Numimacest plan plan osculator. Deoarece ratia t(s+h)−t(s)

h are aceeasi directie cuB − A, limita acestei ratii, adica dt/ds, trebuie sa apartina planului osculator.Mai mult, deoarece marimea vectorului t(s) este constanta, concluzionam cadt/ds trebuie sa fie ortogonal pe t, si, ın consecinta, ortogonal curbei (5); ınfinal, el trebuie sa fie orientat spre centrul curbei. Mai mult,

∣∣∣∣dtds

∣∣∣∣ = limh→0

|t(s + h)− t(s)||h| = lim

h→0

|t(s + h)− t(s)|∆α

∆α

|h| , (1.21)

5Reamintim faptul ca, daca t· t = 1, atunci 2 dtds· t = 0, deci dt

dseste ortogonal pe t.


P(s)

t(s)

P(s + h)t(s + h)

t(s + h)

A

B

∆α

∆α

Figura 1.4:

unde ∆α este unghiul dintre vectorii t(s) si t(s+h), masurat ın radiani. Alegem

limh→0

∆α

|h| =1ρ,

unde 1ρ este numita curbura, iar ρ este numita raza de curbura. In plus,

limh→0

|t(s + h)− t(s)|∆α

= 1,

deoarece consideram limita dintre lungimea arcului si coarda de sprijin a aces-tuia. Cercul de raza ρ, situat ın planul osculator, tangent la traiectoria lui P (s)si ales din doua cercuri posibile tangente la traiectoria lui P (s) ca cel situat pepartea concava a traiectoriei, este numit de obicei cerc osculator. Mai mult,prin n(s) notam vectorul unitar normal principal al traiectoriei lui P (s), adica,vectorul unitar care este ortogonal la curba, se afla ın planul osculator si esteındreptat spre centru curbei. Atunci, din relatiile (1.20) si (1.21), obtinem (6)

dtds

=1ρn. (1.22)

Acum, putem oferi o reprezentare importanta pentru vectorul acceleratie. Ast-fel, din relatiile (1.19) si (1.22), obtinem

a = st +s2

ρn. (1.23)

Este convenabil sa consideram de asemenea – ımpreuna cu cei doi vectori unitarit si n – vectorul unitar b, numit binormala, care este ortogonal pe t si n astfel

6Aceasta ecuatie este numita prima formula a lui Frenet. Pentru detalii, a se vedeasectiunea A.8 din Appendix A.


ıncat t,n, si b formeaza un reper drept. Acest sistem de vectori este numittriplet intrisec de vectori pentru traiectoria punctului P.

Folosind expresia (1.23), se poate observa ca, spre deosebire de viteza, ınafara de componenta at = st orientata de-a lungul tangentei si numita acceleratietangentiala, acceleratia are si alta componenta an = s2

ρ n orientata de-a lungulnormalei, numita acceleratie normala sau centripeta. Daca acceleratia tangentialase anuleaza, atunci este necesar ca

s = 0,

deci s = constant, si miscarea este uniforma. Daca acceleratia centripeta seanuleaza ın intervaul de timp, adica s2

ρ n = 0, si s(t) 6= 0, atunci curbura 1ρ = 0,

si deci miscarea este rectilinie. In sfarsit, daca a = at + an = 0 pentru uninterval de timp, atunci miscarea este rectilinie si uniforma.

Definitie 1.1.7 Miscarea unui punct este numita accelerata la un moment datdaca marimea vitezei la acel moment este o functie de t crescatoare; miscareaeste numita ıncetinita daca marimea vitezei la acel moment este o functie de tdescrescatoare;.

Deoareced

dts2 = 2ss, (1.24)

rezulta ca miscarea poate fi accelerata sau ıncetinita ın functie de cum s si s,ambele diferite de zero, au sau nu au acelasi semn. In primul caz, avem d

dts2 > 0, si deci s2 este o functie crescatoare ın timp, ın timp ce, ın cel de-aldoilea caz, d

dt s2 < 0 si atunci s2 este o functie de t descrescatoare.

Exercitiu 1.1.3 Punctul P se misca pe curba x1 = 2e2t, x2 = 3 sin 2t, x3 =2 cos 2t, t ∈ R. Sa se determine vectorul viteza si vectorul acceleratie la momen-tul t. Calculati marimile vitezei si acceleratiei la momentul t = 0.

Solutie. Vectorul deplasare este x = 2e2ti1 + 3 sin 2ti2 + 2 cos 2ti3 si decideducem ca v(t) = x(t) = 4e2ti1 +6 cos 2ti2− 4 sin 2ti3 si a(t) = x(t) = 8e2ti1−12 sin 2ti2 − 8 cos 2ti3. Pentru t = 0, avem v(0) = 4i1 + 6i2 si a(0) = 8i1 − 8i3si prin urmare v =

√16 + 36 = 2

√13 si a =

√64 + 64 = 8

√2.

Exercitiu 1.1.4 Un punct P porneste din pozitia P0(−3, 2, 1) la timpul t = 0cu viteza initialav0 = −i1 +2i2 +3i3 si se deplaseaza cu acceleratia a = e−ti1 +4 cos 2ti2 + 8 sin 2ti3. Sa se gaseasca vectorul viteza a punctului si ecuatiile demiscare.

Solutie. Din relatia v(t) = a(t), prin integrare ın raport cu timpul t,deducem ca v(t) = −e−ti1 + 2 sin 2ti2 − 4 cos 2ti3 + c1, unde c1 este un vectorconstant arbitrar. Deoarece v(0) = v0, obtinem −i1−4i3+c1 = −i1+2i2+3i3 sideci avem c1=2i2+7i3 si viteza este v(t) = −e−ti1+2(sin 2t+1)i2+(−4 cos 2t+7)i3.


Din relatia x(t) = v(t), obtinem x(t) = e−ti1+(− cos 2t+2t)i2+(−2 sin 2t+7t)i3 + c, unde c este o constanta oarecare. Deoarece x(0) = −3i1 + 2i2 + i3,rezulta ca i1 − i2 + c = −3i1 + 2i2 + i3 si deci c = −4i1 + 3i2 + i3. Astfel,miscarea punctului este descrisa de x(t) = (e−t − 4)i1 + (− cos 2t + 2t + 3)i2 +(−2 sin 2t + 7t + 1)i3.

Exercitiu 1.1.5 Miscarea unui punct P este x(t) = ti1 + 12 t2i2 + 1

6 t3i3. Sase determine acceleratia tangentiala si acceleratia normala a punctului la unmoment t.

Solutie. Deoarece x = i1 + ti2 + 12 t2i3 si x = i2 + ti3, rezulta ca ds = |x| dt

si deci s = 12 (t2 + 2), s = t. Mai mult, versorul tangentei la curba este t =

1t2+2

(2i1 + 2ti2 + t2i3

)si

dtds

=dtdt

dt

ds=

2(t2 + 2)2

[−2ti1 − (t2 − 2)i2 + 2ti3]dt

ds=

=4

(t2 + 2)3[−2ti1 − (t2 − 2)i2 + 2ti3] =

1ρn,

si deci

n =1

t2 + 2[−2ti1 − (t2 − 2)i2 + 2ti3],

1ρ

=4

(t2 + 2)2.

Deci, putem concluziona ca acceleratia tangentiala este at = tt si acceleratiacentripeta este an = n.

1.1.4 Miscari plane

Consideram punctul P care se misca ıntr-un plan. Este posibil sa descriemmiscarea lui P prin intermediul unui sistem de ecuatii de urmatoarea forma:

x1 = x1(t),x2 = x2(t),

unde x1, x2 sunt coordonatele carteziene ale lui P relativ la un sistem dereferinta din planul de miscare. Atunci, viteza si acceleratia pot fi determi-nate aplicand formulele din sectiunea de mai sus.

Un interesant capitol particular ın studiul miscarii plane este cel al sistemuluide coordonate polare (ρ, θ), unde ρ = |P −O| si θ = ∠ (OP, Ox1) sunt numitedistanta polara si respectiv unghi polar. Miscarea punctului P va fi descrisa ıncoordinate polare de sitemul (Figura 1.5)

ρ = ρ(t), θ = θ(t).

Eliminand variabila t din acest ultim sistem, obtinem ecuatia polara ρ = ρ(θ)a traiectoriei punctului P . Deci, daca O este originea sistemului de referinta sir = P−O

|P−O| , atunci, prin derivarea identitatii

(P −O) = ρr, (1.25)


r

h

P

θ

x2

x1

O

Figura 1.5:

obtinem

v =d(P −O)

dt= ρr+ρ

drdt

. (1.26)

Vectorul unitar r depinde de timp prin variabila θ, adica,

r(t) = r(θ(t)), (1.27)

si prin urmare, din (1.26), obtinem

v = ρr+ρθdrdθ

. (1.28)

Daca consideram reperul cartezian (O, x1, x2) cu originea ın O, si axa x1 coin-cizand cu axa polara, avem

r = cos θi1 + sin θi2. (1.29)

Daca h = − sin θi1 + cos θi2, rezulta din (1.29) ca

h =drdθ

, (1.30)

si, ın consecinta, |h| = 1 si h · r = 0. Prin urmare, h este un vector unitarortogonal pe r inclus ın planul (x1, x2). Pe de alta parte, este usor de observatca

dhdθ

= −r. (1.31)

Intorcandu-ne la (1.28), obtinem

v = ρr+ρθh. (1.32)

Observatie 1.1.1 Viteza punctului P , exprimata ın coordonate polare, poatefi reprezentata ca suma a doi termeni: primul termen, vρ = ρr, este numitviteza radiala, iar cel de-al doilea termen, vθ = ρθh, este numit vectorul viteza


unghiulara (transversala). Deoarece vρ si vθ sunt ortogonali, marimea vitezeieste data de formula

v =√

ρ2 + ρ2θ2.

Prin derivare directa a relatiei (1.32), obtinem urmatoarea expresie a acceleratieiın coordonate polare:

a =dvdt

= ρr+ρθdrdθ

+ ρθh + ρθh + ρθ2 dhdθ

. (1.33)

Folosind relatiile (1.30) si (1.31) ın (1.33), deducem ca

a = (ρ− ρθ2)r + (ρθ + 2ρθ)h. (1.34)

Observatie 1.1.2 Acceleratia punctului P , exprimata ın coordonate polare,poate fi reprezentata ca suma a doi termeni: primul termen, aρ = (ρ−ρθ2)r, estenumit acceleratie radiala, si cel de-al doilea termen, aθ = (ρθ+2ρθ)h, este numitacceleratie unghiulara (sau transversala). Deoarece ρθ + 2ρθ = 1

ρ (ρ2θ + 2ρρθ),putem de asemenea exprima aθ ca aθ = 1

ρddt (ρ

2θ)h.

Exercitiu 1.1.6 Miscarea unui punct este descrisa de x1 = et cos t, x2 =et sin t, t ∈ R. Determinati vectorii acceleratie radialasi transvesala ai punctului.

Solutie. Trebuie sa introducem sistemul de coordonate polare (ρ, θ), astfelca x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ. Luand ın considerare ecuatia de miscare, deducemca

ρ(t) =√

x21 + x2

2 = et, θ(t) = arctanx2

x1= t.

Mai mult, avem

r = cos ti1 + sin ti2, h = − sin ti1 + cos ti2,

si

aρ = (ρ− ρθ2)r = 0, aθ =1ρ

d

dt

(ρ2θ

)h = 2eth.

Exercitiu 1.1.7 Determinati traiectoria punctului P care se misca ıntr-unplan cu marimea vitezei constante, si astfel ıncat marimea vitezei radiale fatade punctul O este de asemenea constanta.

Solutie. Introducem coordonatele polare (ρ, θ) ın planul considerat. Atunci,viteza este data de formula v = ρr + ρθh. Luand ın considerare ipotezeleproblemei, obtinem

ρ2 + ρ2θ2 = c1, ρ = c2,

unde constantele c1 sic2 ındeplinesc ın mod evident c1 > c22. Astfel, avem

ρ = c2t + ρ0, unde ρ0 = ρ(0) si prin urmare, rezulta din ρ2 + ρ2θ2 = c1 ca


x2

x1P

0

P

O

θ

Figura 1.6:

ρθ = k, unde k = ±√

c1 − c22 este constant. Atunci, avem θ = k

c2t+ρ0si ın

consecinta, daca θ(0) = 0, deducem ca

θ =k

c2log(c2τ + ρ0)|t0 =

k

c2log

ρ

ρ0.

Rezulta din ultima expresie ca

ρ = ρ0 exp(c2

kθ),

si traiectoria este spirala logaritmica (Figura 1.6).

Exercitiu 1.1.8 Traiectoria unei miscari este parabola ρ cos2 θ2 = p

2 , p > 0.Un punct P se misca pe aceasta parabola asfel ıncat v = kρ, unde k este oconstanta pozitiva. La momentul t = 0 punctul este ın varful parabolei si semisca ın sensul ın care θ creste. Determinati ecuatiile de miscare si vectoriiacceleratie radiala si transversala.

Solutie. Avem urmatoarele conditii initiale:

ρ(0) =p

2, θ(0) = 0,

si, ın plus, θ(t) > 0. Din relatia v = kρ, deducem ca ρ2 + ρ2θ2 = k2ρ2. Incontinuare vom determina ρ si θ. Pentru aceasta, derivam ecuatia paraboleipentru a obtine ρ cos θ

2 −ρθ sin θ2 = 0. Astfel, din aceste doua relatii de mai sus,

deducem caρ = ±kρ sin

θ

2, θ = ±k cos

θ

2,


din care, luand ın considerare pozitivitatea lui k si a lui θ(t), obtinem

ρ = kρ sinθ

2, θ = k cos

θ

2.

Prin integrare, din ecuatia diferentiala θ = k cos θ2 , obtinem

ln∣∣∣∣tan

(θ

4+

π

4

)∣∣∣∣ + c =k

2t, c = constant,

si deci, din conditiile initiale θ(0) = 0, obintem c = 0 si prin urmare

tanθ

4=

ekt2 − 1

ekt2 + 1

=e

kt4 − e−

kt4

ekt4 + e−

kt4

= tanhkt

4.

Deoarece

cosθ

2=

1− tan2 θ4

1 + tan2 θ4

, sinθ

2=

2 tan θ4

1 + tan2 θ4

,

gasim

cosθ

2=

1cosh kt

2

, sinθ

2=

√1− cos2

θ

2= tanh

kt

2.

Daca substituim ρ = kρ sin θ2 ın aceasta relatie, obtinem

dρ

ρ= k tanh

kt

2dt, ρ(0) =

p

2.

Astfel, obtinem urmatoarele ecuatii de miscare:

ρ =p

2cosh2 kt

2, θ = 2 arccos

1cosh kt

2

.

Din aceste relatii obtinem

aρ = (ρ− ρθ2)r =k2p

4[cosh (kt)− 2] r

aθ =1ρ

d

dt

(ρ2θ

)h =

3k2p

4sinh

(kt

2

)h.

Exercitiu 1.1.9 Punctul P se afla ıntr-o miscare plana ın care componentaradiala a vitezei este direct proportionala cu timpul t si componenta transversalaeste constanta. La momentul t = 0 punctul ocupa pozitia P0(1, 0) fata de unsistem de referinta. Sa se determine traiectoria unui punct si vectorii acceleratieradiala si transversala.

Solutie. Alegem sistemul de coodonate polare (ρ, θ) cu polul ın origineasistemului si axa polara sa coincida cu axa x1. Din ipoteze avem ca

ρ = 2c21t, ρθ = c2,


P(t)

P(t*)

P(t + ∆t)

O

O1

Figura 1.7:

unde c1 si c2 sunt constante pozitive prescrise. Notam ca avem urmatoareleconditii initiale: ρ(0) = 1, θ(0) = 0. Atunci, prin integrare, obtinem ρ = c2

1t2+c,

c = constant, si deci, din conditiile initiale ρ(0) = 1, avem ρ = c21t

2 + 1.Apoi, avem θ = c2

ρ = c2c21t2+1

si deci θ = c2c1

arctan (c1t) + c∗, c∗ = constant.Din conditiile initiale θ(0) = 0, obtinem c∗ = 0 si deci θ(t) = c2

c1arctan (c1t).

Eliminand parametrul t din relatiile ρ = c21t

2+1, θ(t) = c2c1

arctan (c1t), deducem

ecuatia traiectoriei ρ = 1 + tan2(

c1c2

θ).

Acceleratiile radiala si transversala sunt

aρ =2c4

1t2 + 2c2

1 − c22

c21t

2 + 1r, aθ =

2c21c2t

c21t

2 + 1h.

1.1.5 Viteza areolara

Pentru o miscare plana, introducem notiunea de viteza areolara. Daca un punctO1 este fixat pe traiectorie, notam cu A(t) aria maturata de raza vectoare(P − O), aceasta este aria regiunii delimitate de vectorii (O1 − O), (P (t) − O)si arcul O1P (t) al traiectoriei, unde O este originea sistemului de coordonate(ρ, θ) (Figura 1.7).

Definitie 1.1.8 Numim viteza areolara A a punctului P facta de polul O derivatafunctiei A(t) ın raport cu timpul.

Rezulta din definitia vitezei areolare ca

A = lim∆t→0

A(t + ∆t)−A(t)∆t

= lim∆t→0

∆A

∆t. (1.35)

Este usor de demonstrat ca aria maturata ıntre momentele t si t + ∆t este datade formula

∆A =12ρ2(t∗)∆θ, (1.36)


unde t∗ ∈ [t, t+∆t] si ∆θ = θ(t+∆t)−θ(t). Cu alte cuvinte, exista un momentt∗ astfel ca aria ∆A este egala cu aria sectorului circular cu unghiul la centru∆θ si raza ρ(t∗). Astfel, din (1.35) si (1.36), obtinem

A(t) =12ρ2(t)θ(t). (1.37)

In coordonate carteziene, deoarece x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ, avem

x1 = ρ cos θ − ρθ sin θ, x2 = ρ sin θ + ρθ cos θ,

x1x2 − x2x1 = ρ2θ cos2 θ + ρρ sin θ cos θ − ρρ sin θ cos θ + ρ2θ sin2 θ

= ρ2θ,

si deci ecuatia vitezei areolare poate fi scrisa ca

A =12(x1x2 − x2x1). (1.38)

Exercitiu 1.1.10 Miscarea unui punct P pe suprafata plana (O, x1, x2) estedata de ecuatiile carteziane

x1 = C exp(−pt), x2 = C exp(pt), C > 0, p > 0.

Sa se determine traiectoria, viteza areolara fata de O, si componentele radialasi transversala a vectorului acceleratie.

Solutie. Eliminand timpul t din ecuatiile de miscare, obtinem

x1 · x2 = C2.

Prin urmare, traiectoria este o ramura a unei hiperbolei (Figura 1.8) situata ınprimul cadran al sistemului de coordonate. Mai mult, viteza areolara este datade formula

A =12(x1x2 − x2x1)

=12

(C2p exp(−pt) exp(pt) + C2p exp(−pt) exp(pt)

)= C2p.

Deoarece viteza areolara este constanta, componenta transversala a acceleratieieste aθ = 0, ın timp ce componenta radiala da acceleratia totala si deci

aρ = a =√

x21 + x2

2 = Cp2√

exp(−2pt) + exp(2pt) = p2ρ,

unde ρ este distanta dintre P si O, care este data de formula

ρ =√

x21 + x2

2 = C√

exp(−2pt) + exp(2pt).


x2

x1

O

Figura 1.8:

1.1.6 Miscari centrale

Consideram o miscare care este nu este neaparat plana.

Definitie 1.1.9 Miscarea unui punct P este numita centrala daca acceleratiasa este ıntotdeauna directionata de-a lungul vectorului P − O, unde O este unpunct fixat numit centrul miscarii.

Teorema 1.1.1 Orice miscare centrala cu centrul O este plana si viteza areo-lara fata de O este constanta, si vice versa.

Demonstratie. Din definitia miscarii centrale, obtinem

a(t)× (P (t)−O) = 0 pentru orice t.

Din ultima egalitate, rezulta ca

d

dt[v × (P −O)]− v × d(P −O)

dt=

d

dt[v × (P −O)] = 0,

si deciv × (P −O) = k, (1.39)

unde k este un vector constant. Presupunem ca k 6= 0, si apoi, din (1.39),obtinem

0 = v × (P −O) · (P −O) = k · (P −O).

Prin urmare, punctul P trebuie ca ramana ın planul ortogonal la k si care treceprin punctul O. Daca k = 0, atunci

v × (P −O) = 0 pentru orice t,


deci v si a sunt ıntotdeauna paralelei, si de asemenea ambii sunt paraleli cu(P − O). Ultima implica ca an = s2

ρ = 0 pentru orice t, si deoarece 1ρ = 0,

misarea este rectilinie.Prin urmare, miscarea centrala este una plana. Astfel, putem sa o reprezentam

ın coordonare polare cu polul O. Mai mult, vectorul acceleratie este radial,deoarece are aceeasi directie cu (P − O), si va implica ca aθ = 1

ρddt

(ρ2θ

)= 0.

Prin urmare,ρ2θ = c (1.40)

implica ca viteza areolara a miscarii lui P fata de O este constanta si valoareasa este data de formula

A =c

2, (1.41)

unde c este numita constanta ariilor.Sa demonstram acum ca, daca viteza areolara fata de polul O pentru o

miscare plana este constanta, atunci miscarea este centrala. Intr-adevar, deoareceaθ = 0, faptul ca viteza areolara este constanta implica ca acceleratia a = aρ

este mereu ındreptata spre O.

Teorema 1.1.2 Pentru o miscare centrala avand constanta ariilor c, acceleratiaa poate fi determinata, cunoscand doar traiectoria punctului (ρ = ρ (θ)), prinintermediul formulei lui Binet

a = − c2

ρ2

[d2

dθ2

(1ρ

)+

1ρ

]r. (1.42)

Demonstratie. Fata de un sistem de coordonate polare avand origineaın O, ecuatia traiectoriei este ρ = ρ(θ). Daca miscarea este centrala, vitezaareolara este constanta si prin urmare avem, ρ2θ = c; unde acceleraltia este

a = aρr = (ρ− ρθ2)r. (1.43)

Pe de alta parte, avem

ρ =dρ

dθθ =

c

ρ2

dρ

dθ= −c

d

dθ

(1ρ

), (1.44)

si deci

ρ = −cd2

dθ2

(1ρ

)θ = − c2

ρ2

d2

dθ2

(1ρ

). (1.45)

Mai mult, folosind relatiile (1.40) si (1.45), din relatiile (1.43) deducem formulalui Binet

aρ = − c2

ρ2

[d2

dθ2

(1ρ

)+

1ρ

],

care ne permite sa determinam acceleratia folosind ecuatia traiectoriei ρ = ρ(θ)si presupunand cunoscuta constanta ariilor c.


Exercitiu 1.1.11 Punctul P descrie o curba plana astfel ıncat acceleratia satrece mereu printr-un punct fix O. Demonstrati ca

a = vdv

dρ,

unde v = |v| si a este componenta radiala a acceleratiei.

Solutie. Miscarea unui punct P este centrala. Folosind sistemul polar decoordonate cu polul ın O, avem ρ2θ = c, unde c este constanta ariilor. Astfel,avem aθ = 1

ρddt

(ρ2θ

)h = 0 si a = aρ = (ρ− ρθ2)r. Pe de alta parte, avem

v2 = ρ2 + ρ2θ2,

si deci, prin derivare directa ın raport cu t, obtinem

2vdv

dt= 2ρρ + 2ρρθ2 + 2ρ2θθ = 2ρ

(ρ− ρθ2

)+ 2ρθ

(ρθ + 2ρθ

).

Astfel, obtinem

vdv

dt=

dρ

dta,

si deci relatia ceruta.

1.1.7 Miscari uniform variate si periodice

Numim uniforma orice miscare a carui viteza este constanta ın timp; o astfel dedefinitie nu depinde de traiectoria punctului. Prin urmare, notand cu v0 = s(t)aceasta valoare constanta, ecuatia orara devine

s(t) = v0t + s0, (1.46)

unde cei doi parametri s0 si v0 reprezinta abscisa curbilinie initiala si, respectiv,viteza punctului P .

Sa consideram o miscare care nu este ın mod necesar rectilinie.

Definitie 1.1.10 Miscarea unui punct P se numeste uniform variata daca marimeaacceleratiei tangentiale este constanta, adica, exista o constanta a0 astfel ca

s(t) = a0.

Prin urmare, prin integrarea ultimei relatii de doua ori ın raport cu timpult, obtinem urmatoarea ecuatie orara pentru miscarea uniform variata:

s(t) =12a0t

2 + v0t + s0, (1.47)

unde s0 si v0 reprezinta abcisa curbilinie si, respectiv viteza la momentul t = 0.Este evident din (1.47) ca ecuatia orara pentru miscarea uniform variata este

reprezentata grafic ca o parabola care este concava pentru a0 < 0, si convexa


pentru a0 > 0. Astfel, independent de concavitatea sau convexitatea parabolei,miscarea ın directia de crestere a arcului parabolei este numita directa si cea ındirectia de descrestere a arcului parabolei este numita retrograda.

Inainte de a considera miscarea circulara si uniforma, explicam ce ıntelegemprin miscare periodica a punctului P care se misca pe o traiectorie asociata.

Definitie 1.1.11 Spunem ca miscarea unui punct t P este periodica cu periodaT daca ecuatia orara s(t) defineste o functie periodica de t cu perioada T , adica

s(t + T ) = s(t). (1.48)

Observatie 1.1.3 Daca miscarea este periodica, atunci viteza si acceleratiascalara (7) sunt periodice ın t.

1.1.8 Miscari circulare si uniforme

Miscarea circulara este o miscarea plana particulara definita astfel:

Definitie 1.1.12 Miscarea unui punct P este numita circulara daca traiectoriasa este un cerc sau un arc de cerc. In plus, daca viteza este constanta, atuncieste numita circular si uniforma.

Consideram o miscarea circulara relativ la un cerc de raza R (Figura 1.9).Daca notam cu s abscisa curbilie astfel ıncat 0 ≤ s ≤ 2πR, si daca pre-supunem ca s = s(t) este ecuatia orara corespunzatoare, atunci vectorii vitezasi acceleratie sunt date de formulele (1.16) si (1.23 ), adica

v = st, a = st +s2

Rn, (1.49)

unde R este raza cercului. Deoarece n = − P−O|P−O| = −P−O

R , ce-a de a douaecuatie din (1.49) poate fi rescrisa ca

a = st− s2

R2(P −O). (1.50)

Teorema 1.1.3 Miscarea circulara uniforma reprezinta un exemplu importantde miscare periodica. Daca s = v0, atunci perioada unei astfel de miscari este

T =2πR

v0. (1.51)

Mai mult, acceleratia este centripeta si este data de formula a = −ω2(P − O),unde ω = v0/R.

7Prin acceleratie scalara, ıntelegem componenta acceleratiei directe de-a lungul tangenteila curba.


r

n

P

s

x2

x1

O1

O

Figura 1.9:

Demonstratie. Avem s(t) = Rθ(t) + s0 si prin urmare obtinem

v = st = Rθt. (1.52)

Deoarece s este constanta, rezulta ca θ este constanta si astfel, alegand θ = ω,obtinem

θ(t) = ωt + θ0, (1.53)

unde θ0 este valoarea unghiului θ la momentul t = 0. Din (1.52) deducem ca

v0 = Rθ = Rω,

si deci ω = v0/R. Urmeaza din (1.53) ca functia θ satisface relatia

θ(t +2π

ω) = θ(t) + 2π,

si prin urmare miscarea este periodica cu perioada 2π/ω (a se vedea Figura 1.9).Prin urmare, deoarece ω = v0/R, rezulta ca perioada miscarii circulare este

T =2π

ω=

2πR

v0. (1.54)

Inversa acestei perioade este numita frecventa ν = 1T = ω

2π .Deoarece t = 1

Rk× (P −O), unde k este vector unitar, ortogonal cercului sidirectionat astfel ca t,k, (P −O) sa formeze un triplet drept, din (1.52) obtinem

v = θk× (P −O) = ω × (P −O), (1.55)


unde ω = θk este numita viteza unghiulara.Expresia (1.55) pentru viteza lui P ın termenii vectorului ω poate fi de

asemenea scrisa folosind matricea antisimetrica W = (Whk) legata de vectorulω = (ω1, ω2, ω3) si definita astfel

W =

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

.

Este usor de verificat (8) ca , daca x = (x1, x2, x3), atunci ω×(P−O) = Wx,si deci

v = Wx.

Mai mult, deoareces(t) = Rθ(t) = R(ωt + θ0),

rezulta ca functia s este de asemenea periodica cu perioada T = 2πRv0

, si decimiscarea este periodica cu aceeasi perioada T .

In final, deoarece miscarea este uniforma (s = 0), acceleratia este centripeta

a =v20

Rn = −ω2(P −O). (1.56)

Ecuatiile carteziene a miscarii circulare sunt

x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, θ = θ(t).

Daca miscarea este uniforma, atunci θ(t) = ωt + θ0, si astfel

x1 = R cos(ωt + θ0), x2 = R sin(ωt + θ0).

Exercitiu 1.1.12 Miscarea unui punct P este descrisa de x(t) = 3 cos ωti1 +3 sin ωti2, unde ω este o constanta prescrisa. Sa se demonstreze ca miscareaeste centrala. Calculati x · v si x× v.

Solutie. Avem v = −3ω sinωti1 + 3ω cosωti2 and a = −3ω2 cosωti1 −3ω2 sin ωti2. Apoi, avem a = −ω2x si deci miscarea este centrala. Obtinemx·v = −9ω sinωt cosωt+9ω sin ωt cos ωt = 0 si x×v = (3 cos ωti1+3 sin ωti2)×(−3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2) = 9ωi3.

Exercitiu 1.1.13 Un punct P se misca pe un cerc a carui raza este R cuacceleratia tangentiala constanta at. Punctul P porneste din P0 la momentult = 0. Determinati intervalul de timp ın care acceleratia centripeta an devineegala cu acceleratia tangentiala at.

Solutie. Avem at = s si an = s2

ρ = s2

R . Astfel, deducem ca s = att + c si,

din conditia initiala s(0) = 0, obtinem s = att. Avem an = at unde s2

R = at si

deci (att)2 = Rat. Prin urmare, intervalul cerut este t =√

Rat

.

8A se vedea Teorema D.2 din Appendix D.


Exercitiu 1.1.14 Un punct se misca pe cercul de raza R dupa urmatoareaecuatie orara s = v0t − c

2 t2, unde v0 si c sunt constante. Sa se determinemarimea acceleratiei.

Solutie. Avem s = v0 − ct si s = −c, si astfel obtinem

a = st +s2

ρn = −ct +

(v0 − ct)2

Rn.

Deci, avem

a =

√c2 +

(v0 − ct)4

R2.

Exercitiu 1.1.15 Un punct se misca pe un cerc de raza R cu acceleratia unghi-ulara constanta α. La momentul t = 0, punctul porneste din repaus. Sa sedemonstreze ca la momentul t viteza unghiulara este ω = αt si ca a parcurslungimea de arc s = 1

2Rαt2.

Solutie. Deoarece θ = α, rezulta ca θ = 12αt2 + θ1t + θ0, unde θ0, θ1 sunt

constante. Luand ın considerare conditiile initiale, deducem ca θ1 = 0 si deciθ − θ0 = 1

2αt2. Apoi, avem ω = αt si s = R[θ(t)− θ0] = 12Rαt2.

1.1.9 Miscari armonice

Incepem cu studiul unei miscari circulare uniforme a unui punct P pe un cercde centru O si raza R. Notam cu P ∗ proiectia lui P pe un diametru fixatAB. Atunci, ın timp ce P descrie cercul, P ∗ se misca pe diametrul AB dupaurmatoarea lege (Figura 1.10):

x = R cos(θt + θ0),

unde x este componenta lui P −O de-a lungul diametrului AB, si θ este unghiulPOB. In final, θ0 este valoarea lui θ la t = 0. Deoarece miscarea este uniforma,θ = ω este constant si avem

x = R cos(ωt + θ0), (1.57)x = −Rω2 cos(ωt + θ0). (1.58)

Definitie 1.1.13 O miscare rectilinie este numita oscilatie armonica daca ecuatiaorara este data de

s(t) = C cos(ωt + γ), (1.59)

unde constantele C, ω si γ sunt numite amplitudine, pulsatie (sau frecventaunghiulara) si faza.

Rezulta din (1.57) ca miscarea lui P ∗ de-a lungul diametrului AB este ar-monica. In plus, din (1.57) si (1.58), obtinem proprietatea importanta descrisade ecuatia

s = −ω2s, (1.60)


P

A P* xx

θ

BO

Figura 1.10:

adica, ıntr-o miscare armonica, acceleratia scalara s este proportionala cu distantaparcursa s, are semn opus si coeficientul sau de proportionalitate este egal cupatratul frecventei unghiulare ω.

Notam ca expresia (1.60) nu contine nici amplitudinea, nici faza initiala amiscarii armonice. Intr-adevar, avem urmatorul rezultat:

Teorema 1.1.4 Orice miscare armonica de frecventa unghiulara ω (cu ampli-tudine a si faza arbitrara) satisface ecuatia diferentiala (1.60), si vice versa.

Demontratie. Daca A este amplitudinea si γ este faza initiala a uneimiscari armonice date

s(t) = A cos(ωt + γ),

atunci, ın baza relatiilor (1.57) si (1.58), satisface ecuatia (1.60).Vice versa, data ecuatia diferentiala (1.60), concluzionam ca ecuatia carac-

teristica esteλ2 + ω2 = 0,

a carui solutii sunt λ1 = −iω, λ2 = iω; astfel, solutia generala este data deformula

s(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt. (1.61)

Alegand doua constante A si γ astfel ca

C1 = A cos γ, C2 = −A sin γ,

din (1.61) obtinem

s(t) = A cosωt cos γ −A sin ωt sin γ = A cos(ωt + γ).

Astfel, ecuatia (1.60) este caracteristica miscarilor armonice cu frecventa unghi-ulara ω.


Observatie 1.1.4 O miscare armonica cu frecventa unghiulara ω are aceeasiperioada cu miscarea circulara uniforma, adica, T = 2π/ω; ın timp ce ampli-tudinea oscilatiei coincide cu rasa cercului, si faza coincide cu valoarea unghiuluiθ la t = 0.

Exercitiu 1.1.16 Un punct P are o miscare oscilatorie armonica descrisa deecuatia

x = A sin(

2π

Tt

).

Pentru x = x1 viteza punctului este v1, ın timp ce pentru x = x2 viteza estev2. Sa se determine amplitudinea A si perioada T a miscarii oscilatorii apunctului P .

Solutie. Viteza punctului P este v = A2πT cos

(2πT t

). Atunci, din ipoteza,

avem

x1 = A sin(

2π

Tt1

), v1 = A

2π

Tcos

(2π

Tt1

),

x2 = A sin(

2π

Tt2

), v2 = A

2π

Tcos

(2π

Tt2

).

Eliminand t1 si t2, obtinem

x21 +

T 2

4π2v21 = A2, x2

2 +T 2

4π2v22 = A2,

din care deducem

A =

√x2

1v22 − x2

2v21

v22 − v2

1

, T = 2π

√x2

1 − x22

v22 − v2

1

.

Exercitiu 1.1.17 Legea de miscare a unui lift este x = H2 (1− cosϕ), unde H

este cea mai mare ınaltime la care ajunge liftul si ϕ =√

2kH t, k = constant. Sa

se determine viteza si acceleratia liftului. Determinati timpul necesar liftului petru a ajunge la ınaltimea H.

Solutie. Prin derivari succesive, obtinem

v =

√kH

2sin ϕ, a = k cosϕ.

In plus, pentru x = H, deducem H2 (1 − cos ϕ) = H si deci ϕ = π. Astfel,

relatia π =√

2kH t ne ofera timpul t = π

√H2k .


x2

x3

x1

P

P

P *

θ

O

Figura 1.11:


1.1.10 Miscari elicoidale

Consideram un cilindru circular de raza R. Numim elice circulara o formadescrisa de o curba care intersecteaza mereu generatoarea cilindrului sub un altunghi (Figura 1.11).

Definitie 1.1.14 Miscarea unui punct P pe o suprafata cilindrica este numitaelicoidala daca punctul P se misca pe cilindru dupa o elice.

Alegem un sistem cartezian ortogonal (O, x1, x2, x3) astfel ca axa x3− sacoincida cu axa cilindrului. Apoi, notam cu θ unghiul dintre proiectia (P ∗−O)a lui (P −O) pe planul x1Ox2 si axa x1.

Este posibil sa reprezentam miscarea punctului folosind urmatoarea expresiea vectorului (P −O) :

P −O = (P − P ∗) + (P ∗ −O). (1.62)

Deoarece miscarea punctului P ∗ este una circulara, alegand convenabil sistemulde referinta (O, x1, x2, x3), obtinem

P −O = R cos θi1 + R sin θi2 + hθi3,

unde h este un parametru ales astfel ca |P − P ′| = 2πh. Observa ca |P − P ′|reprezinta distanta dintre doua puncte consecutive ale elicei, situate pe aceeasigeneratoare si numita pasul elicei. Din ultima relatie obtinem

x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, x3 = hθ.

Acest sistem reprezinta (elicea) drumul lui P , ın timp ce ecuatia orara este dataın termenii lui θ, de functia θ = θ(t).

Daca miscarea este uniforma, atunci avem θ = constant, si miscarea va finumita elicoidala si uniforma.

Folosind formula (1.62), este posibil sa obtinem urmatoarea descompunerea vitezei:

v =d(P −O)

dt=

d(P − P ∗)dt

+d(P ∗ −O)

dt.

Deoarece miscarea lui P ∗ este circulara, avem

v = hθi3 + θi3 × (P ∗ −O).

Astfel, din ω(t) = θ(t)i3, obtinem

v = hω + ω × (P ∗ −O).

Ultima relatie demonstreaza ca viteza are doua componente, prima corespundeunei miscari rectilinii de-a lungul axei x3− si ce-a de a doua corespunde unei


miscari circulare. Sa definim acum vectorul tangent t si normala principala n.Deoarece s = (R2 + h2)1/2θ, avem dθ

ds = (R2 + h2)−1/2. Mai mult, obtinem

t =dP

dθ

dθ

ds=

dθ

ds(−R sin θi1 + R cos θi2 + hi3),

n = ρdtds

= ρdtdθ

dθ

ds= ρ

(dθ

ds

)2

R(− cos θi1 − sin θi2).

Deoarece n este un vector unitar, deducem din ultima relatie ca ρ =(

dθds

)−2 1R =

R2+h2

R , si ın consecinta avem n = −P∗−OR . Astfel, normala principala la curba

coincide cu normala la suprafata si astfel elicile sunt geodezice (9) ale cilindrului.Trebuie punctat faptul ca o descriere generala a miscarii folosind coordo-

natele curbilinii este prezentata ın Appendix A.

Exercitiu 1.1.18 Miscarea unui punct este data de x = a cos e−ti1+a sin e−ti2+be−ti3, unde a, b sunt constante pozitive. Sa se determine componentele tangentialasi normala ale accelaratiei punctului.

Solutie. Avem o miscare elicoidala. Prin derivare directa, avem dx =−e−t (−a sin e−ti1 + a cos e−ti2 + bi3) dt, si deci ds = e−t

√a2 + b2dt. Mai mult,

avemt =

dxds

=1√

a2 + b2

(a sin e−ti1 − a cos e−ti2 − bi3

),

sidtds

=dtdt

dt

ds= − a

a2 + b2

(cos e−ti1 + sin e−ti2

).

Apoi, deducem cav = st = e−t

√a2 + b2t,

si

at = st = −e−t√

a2 + b2t, an = s2 dtds

= −ae−2th,

unde h = cos e−ti1 + sin e−ti2.

1.2 Cinematica sistemelor materiale si corpurilorrigide

1.2.1 Legaturi si sisteme olonome

Sa consideram un sistem material B de N puncte materiale, care sunt notate cuP1, P2, . . ., PN . Daca punctele sunt libere sa ocupe pozitii arbitrare din spatiu,atunci sistemul material este numit liber. Configuratia sistemului material libera N puncte data ıntr-un sistem de referinta (O, x1, x2, x3) este cunoscuta atunci

9Reamintim ca geodezica la o suprafata este acea curba de pe suprafata a carui normalaeste directionata de-a lungul normalei la suprafata (a se vedea Appendix A, definitia A.13).

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE31

cand sunt cunoscuti vectorii de pozitie ai fiecarui punct relativ la un punct fixatın (O, x1, x2, x3). Astfel, N cantitati vectoriale sau, echivalent, 3N cantitatiscalare sunt cerute pentru a specifica configuratia sistemului material liber ıntr-un sistem de referinta fixat.

Daca, spre deosebire, miscarea unui sistem material este afectata de prezentacorpurilor care vin ın contact cu cateva dintre punctele lui B, legaturi pot fiimpuse asupra pozitiilor pe care punctele materiale le pot ocupa sau asupramanierei ın care aceste pozitii se pot schimba. In acest caz, clasa P, reprezentandtoate pozitiile posibile ale sistemului material B, nu este destul de larga pen-tru a permite corpului B sa aiba o configurati arbitrara ın E . Se spune astfelca sistemul material B este supus la legaturi. Daca, pornind de la cunoastereacatorva componente ale deplasarilor sistemului material, putem afirma ceva de-spre deplasarile ramase, putem spune ca aceasta legatura este activa.

Definitie 1.2.1 Numim legatura orice mecanism care impune restrictii privindpozitia si viteza ale celor N puncte care formeaza sistemul material. Acesterestrictii pot fi exprimate analitic prin intermediul unei relatii ıntre coordonatelesi vitezele punctelor sistemului de material ın forma

ψ (x1,x2, . . . ,xN , x1, x2, . . . , xN , t) ≥ 0. (1.63)

In relatiile de mai sus, (xi, xi) reprezinta pozitia si viteza punctului Pi, i =1, 2, ..., N . Mai mult, noi vom presupune ulterioe ca functia ψ este suficient deregulata.

Ca un prim exemplu de sistem material care este supus legaturilor, putemconsidera un sistem rigid, care este un sistem material P1, P2, ..., PN pentrucare distantele dintre punctele raman invariabile ın raport cu timpul, adica

d(Ph(t), Pk(t)) = dhk, h, k = 1, 2, ..., N,

unde d reprezinta distanta dintre puncte si dhk sunt independente de timp.Un alt exemplu de sistem constrans poate fi gasit ın studiul miscarii unui

punct P fortat sa se miste pe un cerc. De fapt, daca O este centrul cercului deraza R, avem

(P −O)2 = R2. (1.64)

Definitie 1.2.2 Spunem ca o legatura este bilaterala cand restrictiile sistemu-lui materil pot fi reprezentate de o relatie de tipul (1.63) dar cu egalitate.Spunem ca avem o legatura unilaterala cand relatia ce o descrie este o ine-galitate.

Exemplele de mai sus reprezentand un sistem rigid si un punct ce se miscape cerc descriu legaturi bilaterale. Un exemplu de legatura unilaterla este acelaa unui punct fortat sa ramana ıntr-un plan sau cel a unui punct constrans saramana ın interiorul unei sfere.


PR(t)

x2

x1O

Figura 1.12:

Definitie 1.2.3 Spunem ca o legatura este scleronoma sau independenta detimp daca relatia care descrie legatura nu contine timpul ın mod explicit. Olegatura este reonoma sau dependenta de timp daca relatia care descrie legaturadepinde explicit de timp.

Un exemplu de legatura reonoma este descrisa de Figura 1.12 de un punctconstrans sa ramana pe un cerc de raza R(t), variabila ın timp, adica estelegatura reprezentata de

(P −O)2 = x21 + x2

2 = R2(t).

Definitie 1.2.4 O legatura este numita olonoma sau geometrica sau de pozitiedaca ea restrictioneaza doar pozitiile sistemului si deci aceste legaturi sunt in-dependente de vitezele punctelor, adica legaturaa are urmatoarea forma

ψ (x1,x2, . . . ,xN , t) ≥ 0. (1.65)

In general, o legatura este numita neolonoma sau cinematica sau de miscaredaca relatiile care descriu legatura sunt dependente de vitezele punctelor si deciau forma (1.63).

Exemplele pe care le-am considerat mai sus sunt toate referitoare la legaturiolonome. Un exemplu de legatura neolonoma este reprezentat de legaturaacare determina rostogolirea unei sfere pe un plan fara sa alunece. Vom discutaulterior modul ın care aceasta legatura poate fi definita de o ecuatie de forma(1.63).


In domeniul mecanicii, legaturile neolonome nu sunt foarte frecvent ıntalnite.Aceste legaturi sunt de obicei exprimate prin relatii care sunt liniare ın raport cuvitezele punctelor care formeaza sistemul. Pentru cazul unui sistem constituitdintr-un numr finit N de puncte supuse unor legaturi bilaterale, aceste relatiiau urmatoarea forma:

N∑s=1

as(x1, . . . ,xN , t) · xs + α (x1, . . . ,xN , t) = 0. (1.66)

De fapt, pentru a fi un sistem neolonom, forma diferentiala (1.66) trebuie sa nufie integrabila. Aceasta ınseamna ca nu exista nicio functie F care depinde decoordonatele punctelor sistemului material, astfel ca

d

dtF (x1, . . . ,xN , t) =

N∑s=1

as(x1, . . . ,xN , t) · xs + α (x1, . . . ,xN , t) = 0. (1.67)

Intr-adevar, daca o astfel de functie ar exista, din (1.67), putem obtine

F (x1, . . . ,xN , t) = constant, (1.68)

care este o relatie de tipul (1.65), si care caracterizeaza o legatura olonoma.Prin urmare, pentru a avea o legatura neolonoma, este esential ca relatia (1.66)sa nu fie o forma diferentiala integrabila . In caz contrar, legatura olonoma s-arputea exprima ca relatii reductibile la ecuatia (1.68).

Definitie 1.2.5 Un sistem material este numit olonom daca posibilele salelegaturi sunt toate olonome si posibilele sale configuratii pot fi identificate ınmod unic de un numa r finit n de parametri independenti, q1, q2,. . . , qn, numiticoordonate generalizate sau coordonate lagrangiane. Numarul n este numitnumarul gradelor de libertate al sistemului, sau se spune ca sistemul are ngrade de libertate.

Un punct material liber (adica, un punct a carui miscarea nu este supusala nicio legatura, si ın consecinta la relatii de tipul (1.63)) reprezinta un sistemolonom cu trei grade de libertate. Un punct material fortat sa se miste pe osuprafata, adica este supus unei legaturi definite de o relatie de urmatorul tip:

ϕ (x, y, z, t) = 0,

c reprezinta un sistem olonom cu doua grade de libertate. Intr-adevar, pentru adetermina pozitia unui punct pe o suprafata, ne trebuie doi parametri. In final,un punct constrans sa se miste pe o curba reprezinta un sistem olonom cu doarun grad de libertate, deoarece un parametru este suficient pentru a identificapozitia punctului pe o curba data.

Este posibil sa prezentam conceptul de grad de libertate si numarul lorpornind cu un sistem constituit dintr-un numar finit N de puncte materiale


cu constrangeri olonome bilaterale. Daca sistemul este supus la r < 3N legaturibilaterale, definite de r ecuatii independente de urmatorul tip:

ψh(x1,x2, . . . ,xN , t) = 0, h = 1, 2, . . . , r, (1.69)

atunci exista numai n = 3N − r parametri independenti, deoarecem folosindsistemul (1.69), putem, pentru exemplu, exprima r coordonatele ın termeniia celor n = 3N − r ramase. Vorbind mai general, putem gasi n parametriindependenti q1, q2,. . . , qn care determina pozitia oricarui punct al sistemul,adica avem

Ps = Ps(q1, . . . , qn, t), s = 1, 2, . . . , N. (1.70)

Prin urmare, numarul n de grade de libertate a sistemului poate fi obtinutscazand numarul r al ecuatiilor legaturilor din 3N , care este numarul gradelorde libertate ale unui sistem constituit din puncte libere.

Pentru un sistem material dat, este posibil sa asociem n coordonate la-grangiane q1, q2, . . . , qn ıntr-un numar infinit de moduri. Intr-adevar, oricetransformare χ : Rn → Rn care este injectiva si suficient de regulata poatedetermina un nou n–uplu de parametri lagrangiani.

Presupunem ca, pe langa legaturile bilaterale, un sistem olonom este deasemenea supus la legaturi unilaterale de urmatoarea forma

ψ′(x1,x2, . . . ,xN , t) ≥ 0. (1.71)

Este clar ca, daca luam ın calcul doar legaturi bilaterale, folosind argumentatiisimilare cu cele folosite mai sus, putem defini de asemenea, ın acest caz, n co-ordonate lagrangiane q1, q2, . . . , qn, si ın consecinta obtinem ecuatiile (1.70).Deoarece coordonatele punctelor sistemului trebuie sa satisfaca inegalitatile(1.71), acesti parametri lagrangiani vor satisface de asemenea inegalitati deurmatoarea forma:

ϕ (q1, q2, . . . , qn, t) ≥ 0. (1.72)

Este posibil sa explicam de ce aceste inegalitati nu pot reduce numarul degrade de libertate si prin ramane egal cu cea a sistemului care este supus nu-mai la legaturi olonome si bilaterale. Spre exemplu, numarul de parametriindependenti pentru un punct de constrans sa se miste ıntr-o camera numarulgradelor de libertate ramane egal cu trei, chiar daca acesti parametri sunt legatireciproc prin intermediul relatiilor de tipul (1.72), deoarece punctele nu potparasi sala.

Definitie 1.2.6 Un sistem material este numit neolonom daca este supus la celputin o legatura neolonoma.

Desi legaturile neolonome impun unele restrictii cu privire la vitezele punctelordin sistem, nu le interzice sa aiba orice pozitie decat daca este supusa uneilegaturi olonome, astfel legaturile neolonome nu reduc numarul de parametrilagrangiani ai sistemului. Prin urmare, ın studiul sistemelor neolonome, tre-buie mai ıntai sa consideram sistemul material care este supus doar la legaturi


olonome pentru a determina gradele de libertate si a parametrilor lagrangiani;apoi, trebuie sa introducem noi legaturi neolonome cum ar fi noi ecuatii sau ine-galitati. Daca q1, q2, . . . , qn sunt parametri lagrangiani a unui sistem cu n gradede libertate, atunci legatura neolonoma de tipul (1.66) poate fi reprezentata ca

n∑

i=1

Ai(q; t)qi + α(q; t) = 0. (1.73)

Exercitiu 1.2.1 Pentru oricare din urmatoarele cazuri, determinati daca legaturaeste olonoma sau neolonoma: a) un punct material care se misca pe un cerc;b) un punct material greu care se misca pe un plan ınclinat; c) o placa rigidaalunecand pe un plan fixat x1Ox2; d) un punct material P de coordonate (x1, x2, x3)este fortat sa se miste ın asa fel ıncat componentele vitezei satisfac urmatoarearelatie x1 = f(x2, x3) (x2 + x3), cu ∂f

∂x26= ∂f

∂x3; e) o lama subtire rigida fixata

pe o placa rigida care aluneca pe un plan fixat x1Ox2.

Solutie. a) Punctul se misca pe o curba si deci este o legatura olonoma.b) Punctul se misca pe o suprafata si deci legatura este olonoma.c) Placa rigida se misca pe un planul ınclinat fixat si legatura este olonoma.d) Daca aceasta legatura ar fi olonoma, atunci poate fi scrisa ın urmatoarea

forma F (x1, x2, x3) = 0. Din aceasta ipoteza, deducem ca

∂F

∂x1dx1 +

∂F

∂x2dx2 +

∂F

∂x3dx3 = 0,

si aceasta coincide cu relatia de legatura

dx1 − f(x2, x3)dx2 − f(x2, x3)dx3 = 0,

daca si numai daca exista λ(x1, x2, x3) astfel ca

∂F

∂x1= λ,

∂F

∂x2= −λf,

∂F

∂x3= −λf.

Daca vom egala derivatele mixte de ordinul doi ale functiei F , obtinem

∂λ

∂x2=

∂λ

∂x3= − ∂λ

∂x1f, − ∂λ

∂x3f − λ

∂f

∂x3= − ∂λ

∂x2f − λ

∂f

∂x2,

si deci deducem ca∂f

∂x2=

∂f

∂x3,

o relatie care contrazice ipoteza ca ∂f∂x2

6= ∂f∂x3

. Prin urmare, avem o legaturaneolonoma.

e) Deoarece avem o miscare de alunecare, fara rotatie si fara pivotare, rezultaca viteza unui punct P al lamei subtiri este tangenta la lama. Daca vom notacu x1 si x2 coordonatele punctului si cu θ unghiul format de lama cu axa Ox1,


atunci x1, x2 si θ constituie coordonatele generalizate pentru lama subtire si, ınplus, avem

dx2

dx1= tan θ. (1.74)

Legatura de mai sus este neolonoma, deoarece nu este integrabila. De fapt, dacapresupunem ca exista o relatie de tipul F (x1, x2, θ) = 0, deducem ca

∂F

∂x1dx1 +

∂F

∂x2dx2 +

∂F

∂θdθ = 0, (1.75)

si deci, luand ın considerare legatura (1.74) si deoarece dθ este arbitrar, obtinem

∂F

∂θ= 0,

∂F

∂x1+

∂F

∂x2tan θ = 0. (1.76)

Prima relatie din (1.76) implica ca F este independent de θ, ın timp ce a douarelatie din (1.76) conduce la

∂F

∂x1= 0,

∂F

∂x2= 0,

deoarece tan θ este arbitrar. Astfel, putem concluziona ca F este independentde x1, x2 si θ si nu poate fi o legatura. Aceasta constradictie provide din faptulca am presupuns ca (1.74) este o legatura olonoma. Asadar, legatura (1.74) esteneolonoma.

Exercitiu 1.2.2 Determinati numarul gradelor de libertate pentru urmatoarelecazuri: a) un punct care se misca pe o curba din spatiu: b) trei punct care semisca liber ıntr-un plan: c) patru puncte care se misca liber ın spatiu: d) douapuncte care se misca ın spatiu, unite printr-o bara rigida

Solutie. a) Curba din spatiu poate fi data de reprezentarea naturala x1 =x1(s), x2 = x2(s), x3 = x3(s). Prin urmare, pozitia punctului pe curba poate fidescrisa de parametrul specificats. Astfel, sistemul are un grad de libertate.

b) Fiecare punct cere doua coordontate pentru a ıi specifica pozitia sa ınplan. Astfel, sunt necesare 3 · 2 = 6 coordonate pentru a specifica pozitiatuturor celor trei puncte si astfel sistemul are 6 grade de libertate.

c) Pentru a specifica pozitia unui punct material din sistemul considerat,avem nevoie de trei coordonate. Astfel, sistemul necesita 4 · 3 = 12 coordonatesi deci are 12 grade de libertate.

d) Coordonatele (x1, x2, x3) si (y1, y2, y3) ale celor doua punct sunt ın asa felıncat distanta dintre ele ramane constanta, adica (x1−y1)2 +(x2−y2)2 +(x3−y3)2 = constant. Prin urmare, una din cele sase coordonate poate fi exprimataın termenii celorlalte cinci si deci sistemul are cinci grade de libertate.

Exercitiu 1.2.3 Cate grade de libertate are un corp rigid cand: a) se miscaliber ın spatiul tridimensional; b) are un punct fix si se misca ın jurul lui; c)are doua puncte fixe si se misca ın jurul axei ce trece prin aceste doua punctedistincte; d) se misca ın jurul unei axe fixe; e) se misca ın asa fel ıncat treipuncte necoliniare raman ıntr-un plan fix.


Solutie. Daca trei puncte necoliniare Pi, i = 1, 2, 3, ale rigidului sunt fixate,atunci ıntreg rigidul este fixat. Astfel, miscarea corpului rigid va fi cunoscutacand cunoastem cum se misca trei puncte necoliniare ae corpului rigid.

a) Intr-un sistem fix de coordonate (O, x1, x2, x3), fie (x1, x2, x3), (y1, y2, y3),(z1, z2, z3) coordonatele a trei puncte. Deoarece d(P1, P2) = constant, d(P2, P3) =constant, d(P3, P1) = constant, rezulta ca

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 = constant,

(y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 + (y3 − z3)2 = constant, (1.77)(z1 − x1)2 + (z2 − x2)2 + (z3 − x3)2 = constant,

si deci putem exprima trei coordonate ın termenii a celorlalte sase. Prin urmare,avem nevoie de sase coordonate independente pentru a descrie miscarea corpuluirigid si deci aceasta miscarea are sase grade libertate.

b) Presupunem punctul fix ca fiind P1 de la punctul anterior a) si deci avem

x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3. (1.78)

Astfel, din sistemul de ecuatii descris de relatiile (1.77) si (1.78), putem exprimasase coordonate ın termenii a altor trei. Prin urmare, miscarea poate fi descrisaprin trei parametri independenti si are trei grade de libertate.

c) Presupunem ca punctele fixe sunt P1 si P2 de la punctul a), adica

x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3, (1.79)y1 = b1, y2 = b2, y3 = b3.

Atunci, din sistemul de ecuatii descris de (1.77) si (1.79) putem exprima optcoordonate ın termenii unei singure coordonate. Prin urmare, aceasta miscarepoate fi descrisa doar de un parametru si deci are un grad de libertate.

d) Fie u versorul director al unei drepte fixe (d) si fie P0

(x0

1, x02, x

03

)un

punct fixat pe (d). Atunci dreapta fixa (d) are ecuatia vectoriala P − P0 = λu,λ ∈ R. Luam P1 si P2 pe dreapta (d) si P3 /∈ (d). Atunci, avem P1 −P0 = λ1u,P2 − P0 = λ2u, cu λ1, λ2 ∈ R si deci

x1 − x01 = λ1u1, x2 − x0

2 = λ1u2, x3 − x03 = λ1u3,

y1 − x01 = λ2u1, y2 − x0

2 = λ2u2, y3 − x03 = λ2u3. (1.80)

Prin urmare, din relatiile (1.77) si (1.80), puteam exprima noua coordonate ıntermenii parametrilor λ1 si λ2. Bazandu-ne pe aceasta, putem concluziona caaceasta miscare poate fi descrisa prin doi parametri independeti si deci are douagrade de libertate.

e) Fie (π) : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 un plan fix. Presupunand ca Pi ∈ (π),i = 1, 2, 3, avem

ax1 + bx2 + cx3 + d = 0,

ay1 + by2 + cy3 + d = 0, (1.81)az1 + bz2 + cz3 + d = 0.

Din relatiile (1.77) si (1.81), putem exprima sase coordonate ın termenii altortrei coordonate si deci putem concluziona ca miscarea are trei grade de libertate.


x2

y2

x3

y3

x1

y1

P

O

O ′

Figura 1.13:

1.2.2 Cinematica sistemelor rigide

Multe sisteme materiale sunt constituite de catre un corp rigid sau dintr-unnumar de corpuri rigide conectate ıntre ele. Am observat deja ca un corprigid este un sistem material supus unor legaruti care conserva distantele ıntrepunctele corpului, adica, daca P si Q sunt doua puncte arbitrare ale corpului,avem

(P (t)−Q(t))2 = constant.

Este important sa retinem ca un corp rigid este definit ca un model matem-atic pentru a descrie multe alte corpuri solide ıntr-un mod suficient de exact.Astfel de corpuri nu exista ın natura, deoarece ultimele particule componenteale oricarui corp (atomi) sunt ıntotdeauna supuse unor misci relative. Aceastamiscare este microscopica si poate fi neglijata atunci cand descriem miscareamacroscopica a corpului. Pe de alta parte, masuratori precise ale acestor corpuripot pune ın evidenta prezenta unor mici deformari. Prin urmare, consideramcorpului a fi rigid numai ın cazul ın care astfel de deformari nu influenteazamiscarea sa.

Consideram un corp rigid liber, adica, un rigid supus numai la legaturilede rigiditate. Pentru a studia miscarea sa, vom introduce un sistem ortogonalde referinta drept (O, x1, x2, x3), pe care ıl numim fix ın spatiu, fata de unobservator la care referim miscarea, si un sistem de referinta (ortogonal drept)(O′, y1, y2, y3) fixat ın corp (a se vedea Figura 1.13).

Propozitie 1.2.1 Pozitia fiecarui punct al corpului rigid poate fi identificatadaca se cunoaste configuratia tripletului fixat ın corp fata de cel fixat ın spatiu.


Demonstratie. Fie (c1, c2, c3) un sistem de coordonate carteziene cu orig-inea ın punctul O′ fata de un sistem de referinta fixat ın spactiu, fie i1, i2, i3 vec-torii unitari ai axelor x1, x2, x3 si fie j1, j2, j3 vectorii directori ai axelor y1, y2, y3.Atunci, cosinusurile αhk ale unghiurilor axelor y1, y2, y3 cu axele triedrului fixatsunt date de matricea

αhk = ih · jk, jk =3∑

h=1

αhkih. (1.82)

Astfel, este posibil sa deducem formula care definete transformarea ce facelegatura dintre coordonatele punctului P calculate ın cele doua sisteme dereferinta. Astfel, scriem

P −O = (P −O′) + (O′ −O). (1.83)

Daca (x1, x2, x3) and (y1, y2, y3) sunt coordonatele lui P fata de sistemelede refeta cu originea ın O si respectiv O′, atunci putem scrie mai departe (1.83)astfel

x1i1 + x2i2 + x3i3 = y1j1 + y2j2 + y3j3 + c1i1 + c2i2 + c3i3 (1.84)

sau ın forma echivalenta3∑

h=1

xhih =3∑

k=1

ykjk +3∑

h=1

chih.

Inmultind ultima ecuatie cu il, obtinem

xl = cl +3∑

k=1

αlkyk. (1.85)

Astfel, din (1.85), rezulta ca pozitia fiecarui punct P a corpului rigid este de-terminata odata cu coordonatele punctului O′ si matricei (αhk), ale carui com-ponente sunt cosinusurile unghiurilor axelor y1, y2, y3,. Folosind notatia

x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1j1 + y2j2 + y3j3,

c = c1i1 + c2i2 + c3i3, A = (αhk) ,

este posibil sa exprimam ecuatiile (1.84), (1.85) ın urmaoarea forma compacta

x = c +3∑

k=1

ykjk, (1.86)

x = c + Ay. (1.87)

Rezulta din definitia lui αhk, din a doua ecuatie a relatiilor (1.82), ca

3∑

k=1

αikαjk = δij , unde δij ={

1 pentru i = j0 pentru i 6= j

. (1.88)


In forma matriceala, (1.88) poate fi reprezentata astfel

AAT = 1, unde 1 este matricea unitate.

Prin urmare, matricea A = (αhk) este ortogonala, si astfel reprezinta rotatia,numita rotatia tripletului (O′, y1, y2, y3) fata de sistemul de referinta centrat ınO′ si avand axele paralele cu axele reperului x1, x2, x3. Deci, pentru a determinapozitia unui rigid, este suficient sa spunem configuratia tripletului fix din el.Pentru aceasta, este necesar sa definim ın mod precis cele trei coordonate alepunctului O′ si cele noua cosinusuri αhk, care, totusi, sunt legate ıntre ele prinsase relatii (1.88).

Observatie 1.2.1 Un rigid are sase grade de libertate. Totusi, pentru a deter-mina configuratia tripletei solidare cu rigidul, avem nevoie de noua parametriindependenti. Acesti parametri pot fi coordonatele originii O′ si trei unghiuriindependente, astfel sunt unghiurile lui Euler, care, dupa cum vom demonstra,pot fi folositi pentru a defini componentele matricei de rotatie.

In final, miscarea sistemului rigid este cunoscuta daca miscarea punctuluiO′ si legea de schimbare a cosinusurilor αhk sunt determinate; adica

xh(t) = ch(t) +3∑

k=1

αhk(t)yk, (1.89)

unde yk sunt coordonatele punctului P relativ la sistemul de referinta (O′, y1, y2, y3)si care nu depind de timp. Astfel, miscarea unui rigid poate fi considerata casuma a doua miscari independente, o translatie a unui punct al corpului plus orotatie ın jurul acestui punct.

Exercitiu 1.2.4 O lama dreptunghiulara ABCD cu dimensiunile AB = 10 siBC = 20 se misca astfel ıncat ramane mereu paralela cu un plan fixat x1Ox2.Miscarea punctului O′(c1, c2, c3), de intersectie a diagonalelor lamei, fata de unsistem de referinta fix (O, x1, x2, x3) este descrisa de c1(t) = t2 + 1, c2(t) =t2 − 1, c3(t) = 2t. Reperul solidar cu rigidul (O′, y1, y2, y3) are o miscaredescrisa de j1 = cos θi1 + sin θi2, j2 = − sin θi1 + cos θi2, j3 = i3, si θ = πt. Sase determine coordonatele x1, x2, x3 ale varfurilor lamei la momentul t = 1.

Solutie. Fata de un sistem de referinta (O′, y1, y2, y3), punctele A, B, C, Dpot fi date (de exemplu) de A(−5,−10, 0), B(5,−10, 0), C(5, 10, 0), D(−5, 10, 0).La momentul t = 1, pozitia sistemului de referinta (O′, y1, y2, y3) este data deO′ −O = 2i1 + 2i3 si j1 = −i1, j2 = −i2, j3 = i3, si astfel avem

x1i1 + x2i2 + x3i3 = 2i1 + 2i3 + y1j1 + y2j2.

Deci, deducem cax1 = 2− y1, x2 = −y2, x3 = 2.

Prin urmare, ınlocuid y1 = −5, y2 = −10 ın relatiile de mai sus, deducemcoordonatele punctului A fata de un sistem de referinta (O, x1, x2, x3) ca fiindAx(7, 10, 2). Similar, deducem ca Bx(−3, 10, 2), Cx(−3,−10, 2) si Dx(7,−10, 2).


1.2.3 Miscari particulare ale rigidului

Inainte de a studia miscarea unui corp rigid ın forma sa generala, vom consid-era cateva forme particulare ale miscarii. In plus, atunci cand vorbim despremiscare, ne vom referi ıntotdeauna la un interval de timp alocat pe care ıl vomnota cu I ⊂ R.

Miscarea de translatie

Definitie 1.2.7 Spunem ca un rigid executa o miscare de translatie daca oricereper solidar cu rigidul are o miscare de translatie fata de un reper fix ın spatiu,adica matricea cosinusurilor directoare αhk este constanta ın tot timpul miscarii.

Deoarece

xh(t) = ch(t) +3∑

k=1

αhkyk,

si αhk si yk sunt constante, deducem

xh = ch, xh = ch.

Observatie 1.2.2 In timpul unei miscari de translatie, toate punctele rigidu-lui au aceeasi viteza si aceeasi acceleratie. Viteza comuna a tuturor punctelorcorpului poarta numele de campul vitezei de translatie. Reciproca este de aseme-nea adevarata: daca la fiecare moment toate punctele din rigid au aceeasi vitezaatunci rigidul executa o miscare de translatie. Astfel, o miscare de translatiepoate fi definita prin formula

vP (t) = u(t), t ∈ I, (1.90)

unde vP reprezinta viteza unui punct arbitrar P , si u este un vector care nudepinde de P , pe care ıl vom alege sa fie egal cu viteza v(O′) a originii O′.

Cu ajutorul relatiei (1.90), putem deduce urmatoare formula pentru de-plasarea relativa elementara a punctului P :

dP = udt = dO′.

Exemplu 1.2.1 Un paralelogram articulat ABCD (figure 1.14) este format dintrei bare AB, BC si CD. Punctele A si D sunt fixe iar barele AB si CDse pot roti ın jurul lor, ın timp ce barele sunt conenctate ın punctele B si Cprin legaturi articulate. Astfel miscarea barei BC este de translatie, pentru casistemul de referinta (B, y1, y2) fixat de bara BC nu-si schimba orientarea ınraport cu sistemul fix de referinta (A, x1, x2).

Definitie 1.2.8 O miscare de translatie se numeste translatie rectilinie (uni-forma) daca miscarea unui punct arbitrar din rigid este rectilinie (uniforma).


A D

B C

x2

y2

x1

y1

Figura 1.14:

Miscarea de rotatie

Cosideram un corp rigid care contine o axa fixa care face obiectul urmatoarelorconstrangeri: doua puncte O si O1 raman fixe, si deci, ın particular, prin pro-prietatile corpurilor rigide, ıntregul segment cuprins ıntre punctele O si O1

raman fixe, de asemenea.

Observatie 1.2.3 Un corp rigid care contine o axa fixa formeaza un sistemcu numai un grad de libertate. Este posibil sa alegem unghiul ϕ format de unplan fix al corpului care contine axa O − O1cu un alt plan fix care contine deasemenea axa fixa O −O1 (figura 1.15) ca unic parametru.

Definitie 1.2.9 Miscarea unui corp rigid se numeste de rotatie daca toatepunctele care se afla pe o dreapta fixa din corp raman fixe. Aceasta dreaptapoarta numele de axa de rotatie.

Sa alegem, ca un triplet fix ın spatiu, un sistem de axe ortogonale cu origineaın O si axa x3 avand aceeasi directie ca (O1−O). Ca de obicei, se alege tripletulatasat corpului cu originea ın O cu axa y3 sa coincideda cu x3, care deci vaavea aceeasi directie cu (O1 − O). Notand cu ϕ unghiul x1y1, putem exprimacosinusurile directoare αhk ca functii de acest unghi. Astfel avem

(αhk) =

cosϕ − sin ϕ 0sin ϕ cosϕ 0

0 0 1

. (1.91)

Prin urmare, ecuatiile miscarii de rotatie ale unui corp rigid au urmatoareaforma:

x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2,

x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.92)x3(t) = y3.


x2

y2

x3 ≡ y

3

x1

O1

y1

O

ϕ

Figura 1.15:

Folosind sistemul (1.92), putem concluziona ca miscare unui punct arbitrar dinrigid este circulara. Ridicand la puterea a doua si sumand primele doua ecuatiiale sistemului (1.92), obtinem

x21(t) + x2

2(t) = y21 + y2

2 = constant,

x3 = constant. (1.93)

Sistemul (1.93) denota ecuatia unui cerc. Prin urmare, viteza unui punctarbitrar dintr-un corp rigid care executa o miscare de rotatie este data de for-mula:

vP = ϕi3 × (P −O), (1.94)

unde O este un punct fix de pe axa de rotatie. Vectorul ω = ϕi3 poarta numelede viteza unghiulara a corpului rigid.

Folosind (1.94), putem imediat sa determinam urmatoarea formula pentrudeplasarea elementara a lui P :

dP = dϕi3 × (P −O).

Miscarea de roto–translatie

Definitie 1.2.10 Miscarea unui corp rigid ın care o dreapta fixa a corpului semisca de-alungul unei drepte din spatiu se numeste de roto–translatie.

Sa alegem din nou tripletul (O′, y1, y2, y3) cu axa y3 avand aceeasi directiecu drepta fixa a corpului si cu originea O′ ıntr-un punct de pe aceasta dreapta,


de coordonate O′ = (0, 0, c3). Este clar ca, ın acest caz, αhk sunt date de relatia(1.91), ın timp ce ecuatiile de miscare au urmatoarea forma:

x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2,

x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.95)x3(t) = c3(t) + y3.

Astfel, deducem ca proiectia miscarii punctului P pe planul (x1, x2) este uncerc. Din (1.95), avem

vP = c3(t)i3 + x1i1 + x2i2. (1.96)

In cele din urma, luand ın considerarea expresia vitezei de rotatie, obtinem

vP = c3(t)i3 + ϕi3 × (P −O′) = v(O′) + ω × (P −O′). (1.97)

Din (1.97), deducem formula pentru deplasarea elementara relativa:

dP = dO′ + dϕi3 × (P −O′). (1.98)

Miscarea de roto–translatie se numneste elicoidala daca viteza v(O′) dinexpresia (1.97) este proportionala cu ω.

Exercitiu 1.2.5 Un rigid laminat ın forma dreptunghiulara ABCD se miscaın plan ın pozitia A′B′C ′D′, adica varfurile A, B, C, D se deplaseaza ınvarfurile A′, B′, C ′, D′, respectiv. Demonstrati ca miscarea se poate scrie ca osuma a unor miscari de translatie si de rotatie ın jurul unui punct corespunzatoral rigidului.

Solutie. Fie E un punct ın dreptunghiul ABCD care corespunde punctuluiE′ din dreptunghiul A′B′C ′D′. In primul rand se executa translatia din punctulE ın punctul E′, astfel ca dreptunghiul ABCD devine A1B1C1D1. Mai departe,folosind pe E′ ca punct de rotatie, executam rotatia de unghi θ a dreptunghi-ului A1B1C1D1, unde θ este unghiul dintre dreptele suport ale laturilor AB sirespectiv A′B′. Astfel miscarea este compusa dintr-o translatie si o rotatie.

1.2.4 Unghiurile lui Euler

Presupunem ca, pe langa sistemul de referinta (O′, y1, y2, y3) atasat rigidului,este dat un nou sistem de referinta (O′, z1, z2, z3), cu originea ın acelasi punct O′,dar care are axele paralele cu axele x1, x2, x3 (Figura 1.16). Configuratia corpu-lui rigid se va defini din nou ın functie de coordonatele lui O′ si de cosinusuriledirectoare ale axelor y1, y2, y3 ın functie de tripletul z1, z2, z3. In mod normal,acesti cosinusi directori coincid cu αhk. Astfel, matricea de rotatie A = (αhk)descrie complet orientarea relativa a celor doua sisteme. Matricea de rotatieA contine trei unghiuri independente. Sunt multe posibilitati de a alege aceste


x2

y2

x3

y3

x1

z2

z3

z1

y1

P

O

O ′

n

θ

ϕψ

Figura 1.16:

unghiuri. O posibilitate foarte populara este reprezentata de schema de rotatiea lui Euler (10).

Fie drepata n, numita linia nodurilor, obtinuta ca intersectia dintre planul(O′, y1, y2) cu planul (O′, z1, z2). Alegem orientarea acestei drepte astfel ıncat(O′, z3), (O′, y3) si n sa formeze un triplet compatibil cu regula mainii drepte.

Definitie 1.2.11 Numim unghiul de nutatie θ unghiul format de (O′, y3) si(O′, z3); de asemenea numim unghiul de precesie ψ unghiul format de (O′, z1)cu n; si ın final, numin unghiul de rotatie proprie ϕ unghiul format de n cu(O′, y1). Cele trei unghiuri θ, ψ si ϕ poarta numele de unghiurile lui Euler, sidirectiile lor pozitive se gasesc cu regula mainii drepte aplicata pentru n, (O′, z3)si (O′, y3).

Observatie 1.2.4 Dupa ce cele doua sisteme (O′, y1, y2, y3) si (O′, z1, z2, z3)au fost date, unghiurile lui Euler se determina ın mod unic. Reciproc, dacase da tripletul (O′, z1, z2, z3) si unghiurile lui Euler θ, ψ, ϕ, atunci tripletul(O′, y1, y2, y3) se determina ın mod unic. Prin urmare, coeficientii αhk pot fideterminati din moment ce ψ determina linia nodurilor, θ determina planul carecontine pe n, si ϕ determina planul definit de (O′, y3) si (O′, y1).

Unghiurile lui Euler sunt generate prin urmatoarea serie de rotatiiare, careduc tripletul (O′, z1, z2, z3) ın tripletul (O′, y1, y2, y3) :

I. Prima rotatie este de unghi ψ ın sens invers acelor de ceasornic ın jurulaxei z3 si transforma sistemul (z1, z2, z3) ın sistemul (z′1, z

′2, z

′3) = (z′1, z

′2, z3).

10Euler (1776).


Din moment ce rotatia are loc ın planul z1O′z2, matricea transformarii este

Aψ =

cosψ sin ψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

(1.99)

siz′ = Aψz, (1.100)

si

i1 = cos ψi′1 − sinψi′2,

i2 = sin ψi′1 + cosψi′2, (1.101)i3 = i′3.

Viteza unghiulara, ωψ care corespunde acestei rotatii infinitezimale ın jurul axeicare-l contine pe i3 este data de

ωψ = ψi3. (1.102)

II. A doua rotatie este de unghi θ ın sens invers acelor de ceasornic ın jurulaxei z′1 si transforma (z′1, z

′2, z

′3) ın (z′′1 , z′′2 , z′′3 ) = (z′1, z

′′2 , y3). Pentru ca rotatia

are loc ın planul z′2O′z′3, ın jurul liniei nodurilor, matricea transformarii este

Aθ =

1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

(1.103)

siz′′ = Aθz′, (1.104)

si

i′1 = i′′1 ,

i′2 = cos θi′′2 − sin θi′′3 , (1.105)i′3 = sin θi′′2 + cos θi′′3 .

Dcaa notam prin n versorul liniei nodurilor, adica n = i′1, atunci vectorulvitezei unghiulare, ωθ corespunzator acestei rotatii infinitezimale este dat de

ωθ = θn =θi′1. (1.106)

III. A treia rotatie este de unghi ϕ ın sens invers acelor de ceasornic ın jurulaxei z′′3 si transforma sistemul (z′′1 , z′′2 , z′′3 ) ın sistemul (y1, y2, y3). Pentru carotatia are loc ın planul z′′1 O′z′′2 , matricea transformarii este

Aϕ =

cosϕ sin ϕ 0− sin ϕ cosϕ 0

0 0 1

(1.107)


iary = Aϕz′′, (1.108)

si

i′′1 = cos ϕj1 − sin ϕj2,

i′′2 = sin ϕj1 + cos ϕj2, (1.109)i′′3 = j3.

Pentru ca rotatia sistemului are loc ın jurul axei j3, rezulta ca viteza unghiularaeste data de

ωϕ = ϕj3. (1.110)

Prin compunerea celor trei rotatii prezentate mai sus, deducem ca transfor-marea completa din sistemul zi ın sistemul yi este data de

y = Aϕz′′ = AϕAθz′ = AϕAθAψz, (1.111)

si matricea de rotatie A este

A = AϕAθAψ. (1.112)

Tinand cont de relatiile (1.99), (1.103), (1.107) si (1.112), deducem ca aceastamatrice are urmatoarele componente

α11 = cos ϕ cosψ − cos θ sinψ sin ϕ,

α21 = − sin ϕ cos ψ − cos θ sinψ cosϕ,

α31 = sin θ sinψ,

α12 = cos ϕ sinψ + cos θ cosψ sin ϕ,

α22 = − sin ϕ sin ψ + cos θ cosψ cosϕ,

α32 = − sin θ cos ψ,

α13 = sin ϕ sin θ, α23 = cos ϕ sin θ, α33 = cos θ. (1.113)

Pentru ceea ce urmeaza, este cel mai convenabil sa exprimam cele trei vitezeunghiulare ın functie de sistemul atasat corpului, adica ın functie de versoriibazei j1, j2, j3. Astfel, prin intermediul relatiilor (1.101), (1.102), (1.105),(1.106), (1.109) si (1.110), avem

ωψ = ψ (sin θ sin ϕj1 + sin θ cos ϕj2 + cos θj3) , (1.114)

ωθ = θ (cos ϕj1 − sin ϕj2) , (1.115)

ωϕ = ϕj3. (1.116)

Exercitiu 1.2.6 In schema de rotatie a lui Euler, gasiti relatiile dintre vectoriiunitari i1, i2, i3 si j1, j2, j3.


Solutie. Tinand cont de rotatiile efectuate prin schema lui Euler, date derelatiile (1.101), (1.105) si (1.109), deducem ca

i1 = (cos ϕ cosψ − cos θ sin ψ sin ϕ) j1 − (sinϕ cosψ + cos θ sin ψ cos ϕ) j2 ++sin θ sin ψj3,

i2 = (cos ϕ sin ψ + cos θ cosψ sin ϕ) j1 + (− sinϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) j2 −− sin θ cosψj3,

i3 = sinϕ sin θj1 + cos ϕ sin θj2 + cos θj3. (1.117)

Din aceste relatii, vom deduce ca

j1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) i1 + (cos ϕ sin ψ + cos θ cosψ sinϕ) i2 ++sin ϕ sin θi3,

j2 = − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cosϕ) i1 + (− sin ϕ sinψ + cos θ cosψ cosϕ) i2 ++cos ϕ sin θi3,

j3 = sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3. (1.118)

Exercitiu 1.2.7 In schema de rotatie a lui Euler, exprimati vectorii vitezaunghiulara ωψ, ωθ, ωϕ ın sistemul fix de coordonate.

Solutie. Considerand defiitiile unghiului de presesie ψ si a vectorilui unitaten, avem (vezi Figura 1.16)

n = cos ψi1 + sin ψi2.

Astfel, relatiile (1.102), (1.106), (1.110) si (1.118), ne conduc la

ωψ = ψi3, ωθ = θ (cos ψi1 + sin ψi2) ,

ωϕ = ϕ (sin θ sin ψi1 − sin θ cosψi2 + cos θi3.) (1.119)

Exercitiu 1.2.8 Transformarea din sistemul fix de coordonate (O′, z1, z2, z3)ın sistemul atasat corpului (O′, y1, y2, y3) este descrisa prin urmatoarea matricede rotatie

A =18

2√

6−√2 2√

6 +√

2 2√

3−√6− 2

√2

√6− 2

√2 6

2√

6 −2√

6 4

.

Utilizand schema de rotatie a lui Euler de mai sus, gasiti unghiurile lui Eulercare descriu orientarea relativa a corpului ın sistemele de mai sus.


Solutie. Transformarea ıntre doua baze corespondente este data de

i1 =√

28

[(2√

3− 1)j1 −

(√3 + 2

)j2 + 2

√3j3

],

i2 =√

28

[(2√

3 + 1)j1 +

(√3− 2

)j2 − 2

√3j3

],

i3 =14

(√3j1 + 3j2 + 2j3

).

Astfel, vectorul director unitar al liniei nodurilor este

n =i3 × j3|i3 × j3| =

12

(√3j1 − j2

).

Apoi, avem

cos θ = i3 · j3 =12, cosψ = i1 · n =

√2

2, cos ϕ = j1 · n =

√3

2,

si deci unghiurile lui Euler sunt θ = π3 , ψ = π

4 , ϕ = π6 .

1.2.5 Starea de miscare

Dupa cum am observat deja, miscarea se raporteaza ın permanenta la un anu-mit interval de timp. In particular, este de asemenea important sa cunoastemcomportarea corpului la un timp t din intervalul I.

Definitie 1.2.12 Numim stare de miscare sau stare cinetica a rigidului la tim-pul t, multimea vitezelor tuturor punctelor singulare ale corpului la acel moment.

Definitie 1.2.13 Numim stare de miscare de translatie sau stare cinetica detranslatie la momentul t urmatoarea distributie a vitezelor pentru un corp rigid

vP (t) = vO′(t), (1.120)

adica vitezele tuturor punctelor corpului la momentul t sunt egale cu viteza punc-tului particular O′.

Observatie 1.2.5 Daca miscare corpului rigid este una ın care starea de miscarela fiecare moment este de translatie, atunci miscarea este de asemenea de translatiesi reciproc.

Definitie 1.2.14 Numim stare de miscare de rotatie sau stare cinetica de rotatielamomentul t urmatoarea distributie a vitezelor pentru un corp rigid:

vP (t) = ω(t)× (P −O′), (1.121)

adica distributia vitezelor la momentul t este aceeasi ca la miscare de rotatie.Vectorul ω este numit viteza unghiulara instantanee.


Observatie 1.2.6 Daca miscarea unui rigid este de rotatie, atunci la fiecaremoment corpul se afla ıntr-o stare cinetica de rotatie. Reciproca acestei remarcinu este adevarata ın general.

Intr-adevar, mai tarziu, vom arata ca o miscare rigida plana sau un corprigid cu un punct fix la fiecare moment se afla ıntr-o stare cinetica de rotatie,chiar daca miscarea nu este ın general de rotatie.

Definitie 1.2.15 Numim stare de miscare de roto–translatie sau stare cineticade roto–translatie sau stare elicoidala la momentul t urmatoarea distributie avitezelor pentru un corp rigid:

vP (t) = vO′(t) + ω(t)× (P −O′), (1.122)

unde O′ este un punctcare are viteza vO′ paralela cu ω.

Prin urmare, distributia vitezelor este aceeasi ca ın cazul miscarii de roto–translatie.

Daca un corp rigid se roteste ın jurul unui punct fix O, atunci, la fiecaremoment, este o linie L de puncte din corp sau dintr-o prelungire a sa care suntinstantaneu ın repaus. Linia L poarta numele de axa instantanee de rotatie acorpului. Se poate arata ca linia L trece prin O si este paralela cu ω. Rezulta ca,ın orice moment, miscarea unui corp rigid cu un punct fix poate fi consideratao rotatie ın jurul unei linii care trece printr-un punct fix.

Daca rigidul nu are nici un punct fix, atunci ın general nu exista nici o liniede puncte care instantaneu sa se afle ın repaus, dar exista o linie L de punctecare se misca instantaneu de-alungul liniei L, adica o linie L de-alungul carei nuexista miscare perpendiculara pe L. Axa care trece prin O′ si care este paralelacu ω poarta numele de axa instantanee de roto–translatie. Punctele acestei liniiau vitezele paralele cu viteza unghiulara ω, presupusa a fi nenula. Rezulta ca,ın orice moment, miscarea unui corp rigid, cand nici un punct nu este fix, poatefi considerata instantaneu o miscare elicoidala: translatia de-alungul unei axe sirotatia ın jurul ei.

Exercitiu 1.2.9 Un con se rostogoleste fara sa alunece pe o suprafata duraperfect orizontala. Gasiti axa instantanee de roto-translatie a conului.

Solutie. Avem un corp rigid cu un punct fix. Alegem ca originile sistemuluiatasat corpului si a sistemului fix sa coincida, aceasta ınseamna O ≡ O′. Alegemsistemul fix astfel ıncat planul x1Ox2 sa coincida cu planul orizontal si ca Ox3

sa corespunda cu directia verticala. Axa y1 ataata corpului este aleasa astfelıncat sa fie axa de simetrie pentru con si planul y2Oy3 sa fie ortogonal cu Oy1.Apoi, folosind schema de rotatie a lui Euler, obtinem ϕ = constant si, mai mult,ψ = θ sin ϕ pentru ca rostogolirea este fara alunecare. Astfel, viteza unghiularapentru aceasta miscare este data de ω = θ (sinϕi3 + j1). Din moment ce avemj1 = cos ϕn − sin ϕi3, unde n este versorul liniei nodurilor, rezulta ca ω =θ cosϕn si deci axa instantanee de rotatie are ecuatia P −O = λω, λ ∈ R, adicaP−O = λθ cosϕn. Prin urmare, axa instantanee de rotatie este linia de contactdintre con si planu orizontal.


1.2.6 Formula lui Poisson

Sa determina starea generala de miscare pentru un corp rigid. In acest scop,vom diferentia ecuatia (1.83) ın raport cu timpul pentru a obtine

vP (t) = vO′(t) +d

dt(P −O′). (1.123)

Observand ca P −O′ = y1j1 + y2j2 + y3j3, unde yi (i = 1, 2, 3) nu se schimba ıntimp, putem scrie (1.123) ın forma urmatoare:

vP (t) = vO′(t) +3∑

h=1

yhdjhdt

. (1.124)

Teorema 1.2.1 (Formula lui Poisson) Fie j1, j2, j3 un triplet ortonormatde vectori care variaza ın timp. Atunci, exista un vector ω depinzand de timpastfel ıncat

djhdt

(t) = ω(t)× jh(t), h = 1, 2, 3. (1.125)

Demonstratie. Pentru ca jh are modulul constant, adica

jh · jh = 1 pentru orice h = 1, 2, 3,

printr-o diferentiere directa ın raport cu timpul, obtinem

djhdt

· jh = 0 pentru orice h = 1, 2, 3.

Pentru ca djh/dt si jh sunt ortogonali, rezulta din egalitatea din urma ca existao familie de vectori ωh (astfel ıncat componentele lor de-alungul jh pot fi aleseın mod arbitrar) care satisface (vezi A.6, (A.41))

djhdt

= ωh × jh, pentru orice h = 1, 2, 3. (1.126)

Folosindu-ne de posibilitatea de a alege ın mod arbitrar pe ωh, vom arata caexista un ω astfel ıncat ωh = ω pentru h = 1, 2, 3. In acest scop, pentru cajh · jk = 0 pentru h 6= k, deducem ca

(djhdt

)· jk = −jh ·

(djkdt

). (1.127)

Astfel, folosind (1.126) si pentru h = 1, k = 2, din (1.127) obtinem

ω1 × j1 · j2 = −j1 · ω2 × j2.

Folosind proprietatile produsului mixt, din ultima egalitate rezulta ca

ω1 · j3 = ω2 · j3.


Mai mult, pentru ca de-alungul lui j1 componenta ω1 este arbitrara, putem alegeca ea sa fie egala cu componenta ω2 de-alungul lui j1, astfel ca (ω1 ·j1) = (ω2 ·j1).In mod analog, pentru ca ω2 poate fi ales arbitrar de-alungul lui j2, vom alegeω2 astfel ca (ω2 · j2) = (ω1 · j2).

In acest mod, ω1 si ω2 au aceleasi componente de-alungul j1, j2, j3. Sa alegemacum ω3 de-alungul j3 sa fie egala cu ω1 = ω2 de-alungul j3. Atunci, pentruh = 1, k = 3, din (1.127), avem ω1 × j1 · j3 = −j1 · ω3 × j3, si ın consecinta,ω1 · j2 = ω3 · j2. In mod analog, pentru h = 2, k = 3 (1.127), putem arata caω2 · j1 = ω3 · j1. Astfel, putem concluziona ca

ω1 = ω2 = ω3,

si notam acest vector comun cu ω. Prin urmare, din (1.126), obtinem formulalui Poisson.

In cele din urma, din (1.124) si (1.125), obtinem expresia generala a campuluiviteza:

vP (t) = vO′(t) + ω(t)× (P −O′). (1.128)

Observatie 1.2.7 Cea mai generala stare de miscare a corpului rigid poatefi reprezentata ın forma (1.128) si poarta numele de formula fundamentala acinematicii sistemelor rigide. Vectorul ω este unic si nu depinde pe punctul P .

De fapt, daca doi vectori ω si ω′ exista astfel ıncat (1.128) este satisfacuta,atunci ar trebui sa avem

(ω − ω′)× (P −O′) = 0

pentru toate punctele P ceea ce implica faptul ca ω = ω′.Vectorul ω nici nu depinde de punctul O′. Intr-adevar, daca alegem alt

punct O′′, rezulta din (1.128) ca

vO′′ = vO′ + ω(t)× (O′′ −O′).

Utilizand ınca o data (1.128), avem

vP = vO′′ − ω × (O′′ −O′) + ω × (P −O′) = vO′′ + ω × (P −O′′).

Putem de asemenea sa concluzionam, din (1.128), ca fiecare stare de miscarea rigidului este compusa dintr-o stare de miscare de translatie si dintr-o starede miscare de rotatie. Putem vorbi de starea de roto–translatie pentru ca vitezavO′ nu este ın general paralela cu ω.

Putem sa obtinem formula (1.128) pentru viteza punctelor unui sistem rigidfolosind relatia (1.87)

x(t) = c(t) + A(t)y. (1.129)

Intr-adevar, prin diferentierea relatiei (1.129) ın raport cu timpul, obtinem

x(t) = c(t) + A(t)y. (1.130)


Pentru ca A este o matrice ortogonala, avem ca A−1 = AT . Astfel, rezolvandecuatia (1.129) pentru y si ınlocuind rezultatul ın (1.130), avem

x(t) = c(t) + A(t)AT (t) [x(t)− c(t)] , (1.131)

unde AAT

este o matrice antisimetrica. Pentru a vedea acest lucru, vomdiferentia egalitatea AAT = 1, si astfel avem

AAT + A(AT

)·= 0. (1.132)

Pentru ca(AT

)· = (AT ), din (1.132) deducem

AAT

= −AAT = −(AAT

)T

.

In plus, pentru ca matricea AAT

este antisimetrica, exista un vector ω =ω1i1 + ω2i2 + ω3i3 astfel ıncat

AAT

=

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

. (1.133)

In plus, considerand x−c = P−O′, x = vP , c = vO′ , din (1.131) concluzionam

vP = vO′ + ω × (P −O′). (1.134)

Observatie 1.2.8 Din (1.128), rezulta ca cea mai generala expresie pentru de-plasarea elementara arbitrara a unui rigid este data de

dP = dO′ + ωdt× (P −O′).

1.2.7 Teorema lui Mozzi

Din formula fundamentala a sistemelor rigide (1.128), rezulta ca starea demiscare a unui corp rigid poate fi totodeauna scrisa ca o suma de stari de miscarede translatie si de rotatie. Cu alte cuvinte, nu rezulta din aceasta formula castarea de miscare a unui rigid, cea mai generala este cea de roto–translatie.Aceasta concluzie se bazeaza pe urmatoarea teorema.

Teorema 1.2.2 (Mozzi) La fiecare moment, cea mai generala stare de miscarepentru un sistem rigid, este cea de roto–translatie sau elicoidala. In particular,poate fi de translatie sau rotatie.

Demonstratie. Daca avem ω 6= 0 ın formula (1.128) atunci viteza vO′

poate fi scrisa ıntotdeauna ca suma a doua componente: prima este aleasa safie paralela cu ω si este notata prin v‖O′(t), si cea cealalta este ortogonala cu ωsi o notam cu v⊥O′(t). Reamintim ca, dand doi vectori ortogonali v⊥O′(t) si ω, va


exista ıntotdeauna un vector notat prin O′ −O′′, care este ortogonal cu v⊥O′(t),astfel ıncat

v⊥O′(t) = ω × (O′ −O′′). (1.135)

De aceea, din (1.128), obtinem

vP (t) = v‖O′ + v⊥O′ + ω × (P −O′).

Prin intermediul relatiei (1.135), din ultima egalitate rezulta ca

vP (t) = v‖O′ + ω × (P −O′′). (1.136)

Daca P = O′′, putem conluziona din (1.136) ca v′′O′ este paralel cu ω si egalcu vO′′ . Prin urmare, starea de miscare exprimata de catre (1.136) este una deroto–translatie.

Daca ω(t) = 0, atunci rezulta ca starea de miscare la momentul t este detranslatie. In cele din urma, daca v‖O′(t) = 0, atunci va rezulta ca atarea demiscare la momentul t este de rotatie.

Observatie 1.2.9 Daca, ın timpul miscarii unui corp rigid, un anumit punctO′ ramane fix, tinand cont de faptul ca vO′ = 0, din (1.128) concluzionam

vP (t) = ω(t)× (P −O′). (1.137)

Astfel, starea relativa de miscare este de rotatie la fiecare moment t. Cu toateacestea, este clar ca miscarea nu este, ın general, de rotatie, pentru ca vectorulω(t) ısi poate schimba directia ın timp.

Studiul miscarii unui rigid se poate exprima ıntotdeauna fata de sistemul(O′, z1, z2, z3) cu originea ın O′ si cu axele z1, z2, z3 paralele cu axele din tripletulx1, x2, x3 fixat ın spatiu. In raport cu acest sistem, miscarea poate fi vazutaca o miscare a unui copr rigid cu un punct fix. Din (1.137), pentru starea demiscare de rotatie, obtinem

v′P = ω × (P −O′),

unde v′P este viteza punctului P ın raport cu (O′, z1, z2, z3). In plus, vectorul ωeste acelasi ca ın (1.128), din moment ce versorii tripletului (O′, z1, z2, z3) coincidcu cei din (O, x1, x2, x3). De aceea, vectorul ω din formula (1.128) definestestarea de miscare de rotatie a corpului ın raport cu sistemul de coordonate(O′, z1, z2, z3).

Observatie 1.2.10 Din moment ce avem identitatea

ω × (ω × v0) = (ω · v0)ω − ω2v0,

deducem ca, pentru viteze unghiulare nenule,

v0 =ω · v0

ω2ω − 1

ω2ω × (ω × v0) . (1.138)


Substituind relatia (1.138) ın (1.122), obtinem urmatoarea forma pentru campulviteza:

v =ω · v0

ω2ω + ω×

[P −O′ − 1

ω2(ω × v0)

], (1.139)

care este o suma a doua componente: una este paralela cu viteza unghiularaiar cealalta se afla ıntr-un plan ortogonal pe ω. Componenta ω·v0

ω2 ω poartanumele de viteza de lunecare, ın timp ce cealalta componenta, perpendicularape ω, reprezinta o viteza de rotatie. Din moment ce viteza punctelor de peaxa instantanee de roto–translatie L este paralela cu viteza unghiulara ω(t), dinrelatia (1.139) deducem ca ecuatia vectoriala a dreptei L este

P −O′ =1ω2

(ω × v0) + λω(t), λ ∈ R. (1.140)

Luand produsul interior a relatiei (1.139) cu ω, obtinem urmatoarea proprietate

v(t) · ω(t) = v0(t) · ω(t), (1.141)

adica produsul v(t) · ω(t) este independent de punctul P pe axa instantanee deroto–translatie.

Axa instantanee de roto–translatie a unui copr rigid de obicei se schimbaın timp si nu este compusa dintr-o multime de puncte fixe din rigid. Locurilegeometrice ale axei instantanee de roto–translatie ın raport cu sistemele decoordonate fix si mobil sunt doua suprafete plane, ce poarta numele de axoidfix si mobil, respectiv.

Definitie 1.2.16 Miscarea unui corp rigid se numeste miscare rigida planadaca vitezele puntelor corpului sunt ıntotdeauna paralele cu un plan fix π.

Teorema 1.2.3 Pentru cazul miscarii rigide plane, starea de miscare este tot-deauna de rotatie si de translatie.

Demonstratie. Alegem ca sistemul de referinta (O, x1, x2, x3) sa fie fix ınspatiu, astfel ıncat axa x3 sa fie ortogonala pe π. Sistemul de axe atasat corpului(O′, y1, y2, y3) poate fi ales totdeauna astfel ıncat axa y3 sa aibe acceasi directieprecum x3. Prin urmare, versorul j3 este constant. Daca ω 6= 0, din formula luiPoisson avem ca

dj3dt

= ω × j3 = 0.

Astfel, ω trebuie sa fie paralel cu j3, ın timp ce viteza vO′ din (1.128) esteortogonala pe j3. Prin urmare, luand ın considerare ca ın aceste ipoteze existaun punct O′′ astfel ıncat

vO′ = ω × (O′ −O′′),

din (1.128) obtinem

vP (t) = ω(t)× (O′ −O′′) + ω(t)× (P −O′) == ω(t)× (P −O′′), (1.142)


care este o stare de miscare de rotatie.Daca, din contra, ω = 0, atunci, din formula fundamentala a cinematicii

sistemelor rigide (1.128), imediat rezulta ca aceasta corespunde unei starari demiscare de translatie.

Observatie 1.2.11 Amintim ca formula fundamentala a cinematicii sistemelorrigide (1.128) poate fi de asemenea scrisa sub forma (1.124), adica

vP (t) = vO′(t) + y1dj1dt

+ y2dj2dt

+ y3dj3dt

. (1.143)

Dincolo de definitia starii de miscare si, ın consecinta, dincolo de distributiavitezelor unui corp rigid, este folositor sa discutam despre multimea acceleratiilorpunctelor unui corp rigid. Pentru aceasta, vom diferentia ecuatia (1.128) ın ra-port cu timpul, pentru a obtine

aP (t) =d2O′

dt2+

dω

dt× (P −O′) + ω × d(P −O′)

dt. (1.144)

Folosind ınca o data ecuatia (1.128) scrisa ın forma:

d(P −O′)dt

= ω × (P −O′), (1.145)

obtinem

aP (t) =d2O′

dt2+

dω

dt× (P −O′) + ω × [ω × (P −O′)] , (1.146)

unde primul termen reprezinta acceleratia punctului O′, al doilea apare datoritavariatiei vectorului ω, iar al treilea termen poate fi exprimat sub urmatoareaforma:

ω × [ω × (P −O′)] = ω × [ω × ((P − P ∗) + (P ∗ −O′))] == ω × [ω × (P − P ∗)] , (1.147)

unde P ∗ este proiectia lui P pe axa care trece prin O′ si este paralel ω. Folosindproprietatea dublului produs vectorial , din (1.147) obtinem

ω × [ω × (P −O′)] = [ω · (P − P ∗)]ω − ω2(P − P ∗) == −ω2(P − P ∗). (1.148)

Din pricina acestui rationament, ultimul termen ın (1.146) reprezinta acceleratiapunctului P ıntr-o miscare uniforma de rotatie ın jurul axei care trece prin O′

si este paralela cu ω. In acest caz, obtinem

d2O′

dt2= 0,

dω

dt= 0.


Observatie 1.2.12 Distributia acceleratiilor pentru un corp rigid poate fi ex-primata nu numai prin ecuatia (1.146), ci si printr-o relatie de tipul (1.143),adica

aP (t) = aO′(t) + y1d2j1dt2

+ y2d2j2dt2

+ y3d2j3dt2

. (1.149)

Definitie 1.2.17 Punctul Q ce apartine rigidului ın care acceleratia se anuleazala momentul t poarta numele de pol al acceleratiei.

Teorema 1.2.4 Daca ω × ω 6= 0, atunci exista un singur pol Q al acceleratieidat de

Q−O′ =1

(ω × ω)2{[(

ω × ω+ω2ω) · aO′

]ω + (ω · aO′) ω + (ω · aO′) ω × ω

}.

(1.150)

Demonstratie. Sa notam prin Q polul acceleratiei, ceea ce ınseamna caaQ(t) = 0, si sa consideram ρ = Q−O′. Atunci, relatia (1.146) ofera urmatoareaecuatie pentru determinarea lui ρ = Q−O′ :

ω × ρ + ω × (ω × ρ) = −aO′ . (1.151)

Demonstram faptul ca aceasta ecuatie determina un unic ρ. In acest scop,observam ca, avand ın ipoteza faptul ca ω × ω 6= 0, avem

ω × ω · (ω × ω) = (ω × ω)2 > 0, (1.152)

si deci tripletul {ω, ω, ω × ω} constituie o baza ın V . Astfel, putem descompuneρ ın baza {ω, ω,ω × ω} dupa cum urmeaza:

ρ = λ1ω + λ2ω + λ3ω × ω. (1.153)

Tinand cont de (1.152), din (1.153), obtinem

λ1 =1

(ω × ω)2ω × (ω × ω) · ρ,

λ2 =1

(ω × ω)2(ω × ω)× ω · ρ,

λ3 =1

(ω × ω)2ω × ω · ρ. (1.154)

In plus, prin intermediul relatiei (1.151), obtinem

ω × (ω × ω) · ρ = ω × ω · aO′ + ω2 (ω · aO′) ,

(ω × ω)× ω · ρ = ω · aO′ ,

ω × ω · ρ = −ω · aO′ . (1.155)

Daca ınlocuim relatia (1.155) ın (1.154) si rezultatul ın (1.153), atunci obtinemrelatia (1.150) si astfel demonstratia este completa.


x2

x3

x1

O1

O

A

A*G

B*

B

θ

Figura 1.17:

Observatie 1.2.13 Daca ınlocuim (P−O′) = (P−Q)+(Q−O′) = (P−Q)+ρın (1.146), obtinem

aP (t) = ω × (P −Q) + ω × [ω × (P −Q)] . (1.156)

Astfel, pentru ω× ω 6= 0, relatia (1.156) dovedeste ca miscarea unui corp rigid,la un moment dat, este echivalenta cu o miscare de rotatie instantanee ın jurulpolului acceleratie.

1.2.8 Aplicatii

Sa consideram o bara AB de lungime 2l, constransa a se misca astfel ıncatcapetele sale A si B sa ramana ın doua plane paralele la distanta 2h (h < l) unulde celalalt (Figura 1.17). Alegem sistemul de referinta fix astfel ıncat origineaO sa fie echidistanta fata de cele doua plane, mai mult, axa x3 trebuie sa fieortogonala pe cele doua plane. Din alegerea facuta si din constrangerea impusa,rezulta ca, ın timpul miscarii , mijlocul G al barei AB ramane ın planul (x1, x2)tot timpul. De aceea, acest sistem are trei grade de libertate, din moment ceeste posibil sa determina pozitia barei AB ın functie de coordonate lui G ınplanul (x1, x2) si unghiul θ pe care proiectia lui AB pe planul (x1, x2) ıl face,de exemplu, cu axa x1. Folosindu-ne de formula (1.128) si alegand punctul Gca origine a sistemului atasat barei, este usor sa exprimam viteza unui punctarbitrar P al barei cu ajutorul

vP (t) = vG + ω × (P −G). (1.157)

In plus, deoarece vitezele punctelor barei AB sunt paralele cu cele doua planefixe, miscarea va fi plana. Miscarea barei AB, relativa la sistemul de referintacu originea ın G si cu axele paralele cu cele ale sistemului fix, este o rotatie ın


jurul axei care trece prin G, paralela cu x3, si viteza unghiulara a acestei miscarieste ω = θi3. Notand coordonatele lui G prin (x1G, x2G), din (1.157) ontinem

vP = x1Gi1 + x2Gi2 + θi3 × [(x1 − x1G)i1 + (x2 − x2G)i2 + x3i3]. (1.158)

Pentru ca vG este ortogonal pe ω, ıntotdeauna va exista un punct C astfel ıncatvG = θi3 × (G− C) si, ın consecinta,

vP = θi3 × (P − C). (1.159)

Aceasta ınseamna ca starea de miscare este de rotatie ın jurul axei care treceprin C, paralela cu i3. Pentru a determinaa coordonatele (x1C , x2C , x3C) ale luiC, sa compara expresiile (1.158) si (1.159). Astfel obtinem

[x1G− θ(x2−x2G)]i1 + [x2G + θ(x1−x1G)]i2 = −θ(x2−x2C)i1 + θ(x1−x1C)i2,

astfel egalitatea de mai sus implica

x1G + θx2G = θx2C ,

x2G − θx1G = −θx1C .

De aceea, toate punctele C care satisfac ecuatia (1.159) apartin dreptei par-alele cu x3 care trece prin punctul din planul (x1, x2) si care are coordonatele

x1C = x1G − x2G

θ,

x2C = x2G +x1G

θ. (1.160)

1.2.9 Cinematica miscarilor relative

Considerand doi observatori distincti reprezentati prin doua sisteme Cartesienecompatibile cu regula mainii drepte, (O, x1, x2, x3) si (O′, y1, y2, y3), care semisca unul fata de altul si sunt ınzestrate cu acelasi sistem de masurare altimpului (acelasi ceas) (Figura 1.18).

O astfel de reprezentare este posibila pentru ca, ın cadrul mecanicii clasice,se presupune ca:

1 distanta dintre doua puncte fixe nu depinde de sistemul de referinta ales.Acest lucru garanteaza existenta a doua triplete ortogonale care se potmisca unul fata celalalt;

2 timpul absolut (adica, timpul este independent de observatori) exista. Prinurmare, daca t si t′ sunt momente de timp relative la acelasi eveniment,masurat de doua sisteme de referinta diferite, exista totdeauna posibili-tatea sa setam ceasurile astfel ıncat

t = t′.


x2

y2

x3

y3

x1

y1

O

O ′

Figura 1.18:

Pentru usurinta notarii, For the convenience of notation only, vom numiulterior sistemele de referinta (O, x1, x2, x3) si (O′, y1, y2, y3) fix si respectivmobil . Mai mult, consideram sistemul material constituit dintr-un unic punctP . Miscarea punctului P fata de sistemul de referinta fix, pe care-l vom numiabsolut, este determinata de sistemul

x1 = x1(t),x2 = x2(t), (1.161)x3 = x3(t),

sau de ecuatia vectoriala echivalenta

P (t)−O = x1(t)i1 + x2(t)i2 + x3(t)i3, (1.162)

unde i1, i2, i3 sunt versorii axelor x1, x2, x3. In mod analog, miscarea punctuluiP ın raport cu sistemul de referinta mobil , pe care-l vom numi relativ, estedeterminata de

P (t)−O′ = y1(t)j1 + y2(t)j2 + y3(t)j3, (1.163)

unde y1, y2, y3 si j1, j2, j3 sunt coordonatele punctului P si respectiv versoriisistemului de coordonate (O′, y1, y2, y3).

In cele din urma, miscarea punctului O′, ın raport cu sistemul de referinta(O, x1, x2, x3), este determinata de

O′(t)−O = c1(t)i1 + c2(t)i2 + c3(t)i3. (1.164)


Definitie 1.2.18 Numim viteza absoluta va si viteza relativa vr a punctu-lui P viteza lui P ın raport cu sistemul de referinta (O, x1, x2, x3) si respectiv(O′, y1, y2, y3), . De aceea, din (1.162) si (1.163), avem ca

va = x1i1 + x2i2 + x3i3, (1.165)vr = y1j1 + y2j2 + y3j3. (1.166)

Numim viteza de transport vτ viteza punctului ın tripletului mobil care coincidecu P .

Observatie 1.2.14 Pentru ca miscarea tripletului mobil este miscarea unuicorp rigid ın raport cu (O, x1, x2, x3), viteza de transport a punctului este vitezape care P ar putea-o avea ın cazul ar fi considerat un punct fix ın sistemul dereferinta mobil, si este data de formula (1.128), sau de relatia echivalenta

vτ = vO′ + y1dj1dt

+ y2dj2dt

+ y3dj3dt

. (1.167)

Teorema 1.2.5 (Compunerea vitezelor) Viteza absoluta a unui punct lafiecare moment este data de suma dintre viteza relativa si viteza de transport,adica

va = vr + vτ . (1.168)

Demonstratie. Consideram identitatea

P (t)−O = (P (t)−O′(t)) + (O′(t)−O).

Printr-o diferentiere directa ın raport cu t, si tinand cont de relatiile (1.162),(1.163) si (1.164), deducem ca

dP (t)dt

=dO′(t)

dt+ y1j1 + y2j2 + y3j3 +

+y1dj1dt

+ y2dj2dt

+ y3dj3dt

. (1.169)

Prin urmare, utilizand expresiile date de (1.165), (1.166), si (1.167) pentru va,vr si respectiv vτ , din (1.169) obtinem (1.168).

Definitie 1.2.19 Numim acceleratie absoluta aa si acceleratie relativa ar apunctului P acceleratiile lui P ın sistemele de referinta (O, x1, x2, x3) si respectiv(O′, y1, y2, y3), , adica

aa = x1i1 + x2i2 + x3i3, (1.170)ar = y1j1 + y2j2 + y3j3. (1.171)

Definitie 1.2.20 Numim acceleratie de transport aτ a lui P acceleratia punc-tului ın tripletul mobil care coincide cu punctul P . Numim acceleratie comple-mentara sau acceleratie Coriolis cantitatea definita de formula

ac = 2ω × vr, (1.172)

unde ω este acelasi vector ca ın formula lui Poisson.


Observatie 1.2.15 Deoarece acceleratia de transport a punctului P este aceeape care punctul P ar avea-o daca ar fi considerat fix fata de sistemul mobil dereferinta, utilizand formula acceleratiei punctelor unui rigid, deducem ca aτ estedata de (1.146) sau (1.149), adica

aτ = aO′ + y1d2j1dt2

+ y2d2j2dt2

+ y3d2j3dt2

. (1.173)

Teorema 1.2.6 (Compunerea acceleratiilor) Acceleratia absoluta a unui punctla fiecare moment este reprezentata de suma acceleratiilor relative, de transportsi acceleratia Coriolis, adica

aa(t) = ar(t) + aτ (t) + ac(t). (1.174)

Demonstratie. Diferentiind expresia (1.169) ın raport cu timpul, obtinem

aa(t) = aO′ + y1j1 + y2j2 + y3j3 + 2(

y1dj1dt

+ y2dj2dt

+ y3dj3dt

)

+y1d2j1dt2

+ y2d2j2dt2

+ y3d2j3dt2

.

Din ultima ecuatie, folosind expresiile (1.171), (1.173) si formula lui Poison,obtinem

aa(t) = ar + aτ + 2(y1 ω × j1 + y2ω × j2 + y3ω × j3). (1.175)

Prin urmare, folosind expresia (1.172) pentru acceleratia Coriolis, din (1.175)obtinem relatia (1.174) si demonstrata este completa.

Observatie 1.2.16 Intr-un sistem neinertial, viteza absoluta este data de ex-presia

va = vO′ + ω × (P −O′) + vr

si viteza absoluta are forma

aa = aO′ + ω × (P −O′) + 2ω × vr + ω × [ω × (P −O′)] + ar.

Termenul ω×[ω × (P −O′)] este cunoscut ca acceleratia centripeta a punctului.

Exercitiu 1.2.10 Doua puncte materiale P1 si P2 au urnatorii vectori de pozitie:x1 = 2ti1 − t2i2 + (3t2 − 4t)i3 si respectiv x2 = (5t2 − 12t + 4)i1 + t3i2 − 3ti3, .Determinati viteza si acceleratia relativa al celui de al doilea punct ın raport cuprimul la momentul t = 2.

Solutie. Vitezele celor doua puncte materiale sunt

v1 = x1 = 2i1 − 2ti2 + (6t− 4)i3,v2 = x2 = (10t− 12)i1 + 3t2i2 − 3i3,


si astfel, la momentul t = 2, avem v1 = 2i1 − 4i2 + 8i3 si v2 = 8i1 + 12i2 − 3i3.Astfel, viteza relativa a punctului P2 ın raport cu P1 este v2−v1 = 6i1 +16i2−11i3.

Acceleratiile celor doua puncte materiale sunt

a1 = x1 = −2i2 + 6i3, a2 = x2 = 10i1 + 6ti2,

astfel ca, la momentul t = 2, avem a1 = −2i2 + 6i3, a2 = 10i1 + 12i2. Deci,acceleratia relativa ceruta este a2 − a1 = 10i1 + 14i2 − 6i3.

Exercitiu 1.2.11 Un unghi invariant y1Oy2 se roteste ın planul sau ın jurulpunctului O cu viteza unghiulara ω. Un punct material P se misca ın planulacestui unghi si are coordonatele y1 si y2 ın raport cu sistemul de referinta plan(O, y1, y2). 10) S˘ se determine componentele vitezei absolute a punctului P

ın raport cu axele Oy1 si Oy2; 20) Daca y1Oy2 = π2 si componentele vitezei

absolute sunt C1y1

si C2y2

, unde C1 si C2 sunt constante arbitrare, sa se arate ca

y21 + y2

2 este o functie liniara ın raport cu timpul; 30) Daca y1Oy2 = π2 si ω este

o constanta, sa se determine traiectoria punctului P atunci cand acceleratiileabsoluta si relativa sunt egale.

Solutie. 10) Fie j1 si j2 versorii axelor Oy1 si respectiv Oy2. Daca intro-ducem notatia α = y1Oy2 si consideram vectorul unitar u ortogonal versoruluij1 atunci avem

j2 = cos αj1 + sin αu

si astfel deducem

d

dtj1 = ωu,

d

dtu = −ωj1,

d

dtj2 = ω(cosαu− sin αj1).

Deoarece P −O = y1j1 + y2j2, rezulta ca

va = y1j1 + y2j2 + y1d

dtj1 + y2

d

dtj2

si deci

va =(y1 − ωy1 cot α− ωy2

sin α

)j1 +

(y2 + ωy2 cot α +

ωy1

sin α

)j2.

20) Utilizand ipotezele problemei si rezultatele de mai sus, deducem ecuatiile

y1 − ωy2 =C1

y1, y2 + ωy1 =

C2

y2,

care implicay1y1 + y2y2 = C1 + C2.

Prin integrare, obtinem

y21 + y2

2 = 2(C1 + C2)t + C, C = constant.


30) Pe baza ipootezelor, gasim

ar = y1j1 + y2j2, at = −ω2(y1j1 + y2j2), ac = 2ω(−y2j1 + y1j2).

Daca aa = ar, atunci at + ac = 0 si deci putem deduce

2y1 − ωy2 = 0, 2y2 + ωy1 = 0,

din care rezulta ca punctul se misca pe cercul y21 +y2

2 = c2, c = constant. Astfel,traiectoria este cercul de ecuatie y2

1 + y22 = c2.

1.2.10 Miscari de transport speciale

Miscarea unui sistem mobil de coordonate fata de sistemul fix poarta numelede miscare de transport. In aceasta sectiune, vom considera cateva miscari detransport speciale. Incepem cu cea de translatie, adica presupunem ca sistemulmobil executa o miscare de translatie fata de sistemul fix. Considerand acesteipoteze, toate punctele atasate sistemului mobil au aceeasi viteza si acceleratie.Prin urmare, putem alege ca viteza si acceleratie de transport a oricarui punctP , viteza si acceleratia originii O′ a sistemului mobil. Teorema compuneriivitezelor are urmatoarea forma:

va(t) = vr(t) + vO′(t). (1.176)

In ceea ce priveste teorema de compunere a acceleratiilor, observa ca ac =2ω×vr = 0, pentru ca miscarea de transport este de translatie si astfel ω = 0.Ecuatia (1.174) devine

aa(t) = ar(t) + aO′(t). (1.177)

In particular, daca miscare de transport este de translatie, rectilinie si uniforma,atunci relatia (1.177) se reduce la

aa(t) = ar(t), (1.178)

adica acceleratia lui P este aceeasi ın raport cu cei doi observatori.

Definitie 1.2.21 Doua sisteme de referinta se numesc echivalente daca miscarefiecarui sistem ın raport cu celalalt este de translatie, rectilinie si uniforma.

Observatie 1.2.17 Cu toate ca acceleratia are un caracter relativ, este in-varianta fata de clasa sistemelor de referinta echivalente. Nu acelasi lucru seıntampla cu viteza, care ıntotdeauna are un caracter relativ.

In cele din urma, consideram miscarea uniforma de transport de rotatie ınjurul unei axe care trece prin O. Astfel, avem

vτ = ω × (P −O),aτ = −ω2(P − P ∗),

unde P ∗ este proiectia lui P pe axa de rotatie. Prin urmare, gasim

va = vr + ω × (P −O),aa = ar − ω2(P − P ∗) + 2ω × vr.


x2

z2

y2

x3

z3

y3

x1

z1

y1

P

O

O ′′

O ′

Figura 1.19:

1.2.11 Miscari relative pentru corpurile rigide

Consideram un corp rigid B care se misca ın raport cu doua sisteme de coor-donate (O, x1, x2, x3) si (O′, y1, y2, y3). Numim miscare absoluta a rigidului Bmiscarea fata de sistemul fix de referinta , si miscare relativa, miscarea ın ra-port cu sistemul mobil de referinta. Mai mult, putem asocia corpului rigid B unnou sistem fix de referinta ortogonal ın B pe care-l vom nota cu (O′′, z1, z2, z3)(Figure 1.19).

Definitie 1.2.22 Numim viteza unghiulara absoluta ωa si viteza unghiulararelativa ωr vitezele unghiularea ale lui B ın timpul miscarii sale ın raport cu(O, x1, x2, x3) si respectiv (O′, y1, y2, y3).

Observatie 1.2.18 Pentru fiecare punct P ∈ B, avem

v(a)P (t) = v(a)

O′′(t) + ωa(t)× (P −O′′), (1.179)

v(r)P (t) = v(r)

O′′(t) + ωr(t)× (P −O′′), (1.180)

unde v(a)P si v(a)

O′′ , v(r)P si v(r)

O′′ sunt vitezele lui P si O′′ fata de sistemul dereferinta fix ın spatiu (O, x1, x2, x3) si respectiv fata de sistemul mobil de referinta(O′, y1, y2, y3).


P

r

ωt

x2

y2

x1

y1

x0O

Figura 1.20:

Definitie 1.2.23 Numim viteza unghiulara de transport ωτ viteza unghiularaa lui B considerat a fi atasat sistemului mobil de referinta (O′, y1, y2, y3).

Observatie 1.2.19 Daca P este un punct al lui B, atunci

v(τ)P (t) = v(τ)

O′′(t) + ωτ (t)× (P −O′′), (1.181)

unde v(τ)P si v(τ)

O′′ sunt vitezele de transport ale lui P si respectiv O′′.

Teorema 1.2.7 Viteza unghiulara absoluta ωa a sistemului rigid la fiecare mo-ment este reprezentata de suma vitezei unghiulara relativa ωr cu viteza de trans-port ωτ ; ceea ce ınseamna

ωa = ωr + ωτ . (1.182)

Demonstratie. Pe baza definitiilor lui v(a)P si v(a)

O′′ , v(r)P si v(r)

O′′ , v(τ)P si v(τ)

O′′ ,utilizand Teorema Compunerii Vitezelor, gasim

v(a)P = v(r)

P + v(τ)P ,

v(a)O′′ = v(r)

O′′ + v(τ)O′′ .

Astfel, scazand (1.180) si (1.181) din (1.179), pentru fiecare P , deducem ca

(ωa − ωr − ωτ )× (P −O′′) = 0. (1.183)

Prin urmare, pentru ca ıl putem alege pe P ın mod arbitrar, expresia (1.182)din Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare rezulta din (1.183).

1.2.12 Aplicatii si exemple

Un punct P se misca uniform de-alungul dreptei r. In raport cu (O, x1, x2, x3),linia r trece prin originea O si se roteste cu viteza unghiulara ω ın jurul axei x3

(Figura 1.20).Prin urmare, cunoastem miscare lui P ın raport cu dreapta r si miscare

dreptei r ın raport cu sistemul de referinta (O, x1, x2, x3) pe care-l consideram


fix ın spatiu. Utilizand teorema copunerii vitezelor si acceleratiilor, putem de-termina miscare lui P ın raport cu sistemul fix de referinta. De fapt, daca veste modului vitezei lui P de-alungul dreptei r, atunci avem

vr = vj1, vτ = ωi3 × (P −O), (1.184)

unde j1 este versorul dreptei r care are aceeasi directie cu vr. Prin urmare, dacamomentul initial al masurarii timpului este ales acela cand unghiul POx1 = ωt,atunci avem

j1 = cos ωti1 + sin ωti2,

y1 = vt + x0,

unde x0 semnifica pozitia initiala a lui P pe r, cand r coincide cu axa x1. Astfel,prin Teorema Compunerii Vitezelor, putem concluziona ca

va = vj1 + ωi3 × (vt + x0)j1= v(cos ωti1 + sin ωti2) + ω(vt + x0) cos ωti2 − ω(vt + x0) sin ωti1.

Din ultima egalitate deducem

x1 = v cosωt− ω(vt + x0) sin ωt,

x2 = v sin ωt + ω(vt + x0) cos ωt. (1.185)

Folosind conditiile initiale din nou, este usor sa verificam ca (1.185) implica

x1 = (vt + x0) cos ωt,

x2 = (vt + x0) sin ωt, (1.186)

si, ın consecinta,x1

x2= cot ωt.

In cele din urma, daca introducem sistemul polar de referinta (ρ, θ) astfelıncat ρ = y1 si θ = ωt = arccotx1

x2, atunci, din (1.186), obtinem

ρ =√

x21 + x2

2 = vt + x0 =v

ωθ + x0. (1.187)

Din (1.187) rezulta ca traiectoria este spirala lui Arhimede.In ce priveste acceleratia absoluta, observam ca

ar = 0, aτ = −ω2(P −O), ac = 2ωi3 × vj1.

Astfel, ın functie de componentele radiala si transversala, gasim

aa = −ω2y1r + 2ωvh,

unde am introdus notatiile r = j1, h = i3 × j1.


x2

y2x

3y3

x1

y1

O

′′nϕψ

n

n ′

′

θ

′

′

′

Figura 1.21:

Ca o aplicatie la Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare, vom deducerelatia dintre viteza unghiulara ω a rigidului si unghiurile lui Euler. Consideramun corp rigid liber si expresia corespunzatoare a vitezei punctului P

vP (t) = vO′(t) + ω × (P −O′),

unde O′ este un punct al rigidului pe care ıl alegem drept origine pentru sistemelede referinta (O′, y1, y2, y3) atasat corpului si a unui nou sistem de referinta(O′, x′1, x

′2, x

′3) ale carui axe sunt paralele sau invariabile fata de (O, x1, x2, x3)

fixat ın spatiu. Sa notam prin θ, ϕ, ψ unghiurile lui Euler (ca ın Figura 1.21).Vom nota de asemenea prin n′ o noua axa, astfel ıncat (O′, n, n′, y3) este untriplet ortogonal care respecta regula mainii drepte si prin n′′, o alta axa, astfelıncat (O′, n, n′′, x′3) este de asemenea un triplet ortogonal care respecta regulamainii drepte. Daca vom considera miscarea corpului relativ la cele doua triplete(O′, x′1, x

′2, x

′3) si (O′, n, n′, y3), din Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare

deducemω = ωr + ωτ ,

unde ω reprezinta vectorul rotatie instantanee a miscarii corpului ın raportcu (O′, x′1, x

′2, x

′3). Mai mult, avem ωr = ϕj3, pentru ca, fata de tripletul

(O′, n, n′, y3), corpul se misca ın jurul axei y3. In cele din urma, ωτ este vitezaunghiulara a miscarii tripletului (O′, n, n′, y3) ın raport cu (O′, x′1, x

′2, x

′3). De

aceea, considerand miscarea lui (O′, n, n′, y3) ca fiind una rigida, o putem stu-dia ın raport cu cei doi observatori asociati celor doua sisteme de referinta(O′, n, n′′, x′3) si (O′, x′1, x

′2, x

′3). Astfel, obtinem

ωτ = ω′r + ω′τ ,

unde ω′r = θn (n este versorul liniei nodurilor) este viteza unghiulara a miscariilui (O′, n, n′, y3) relativ la (O′, n, n′′, x′3), si ω′τ = ψi3 este viteza unghiulara a


lui (O′, n, n′′, x′3) relativ la (O′, x′1, x′2, x

′3). Prin urmare,

ω = ϕj3 + θn+ψi3. (1.188)

Daca ω = ω1j1 + ω2j2 + ω3j3 si folosim relatiile (1.105), (1.109) si (1.117),atunci din relatia (1.188) gasim

ω1 = θ cosϕ + ψ sin θ sin ϕ,

ω2 = −θ sin ϕ + ψ sin θ cosϕ, (1.189)ω3 = ϕ + ψ cos θ.

Exercitiu 1.2.12 In schema de rotatie a lui Euler, gasiti relatiile care exprimacomponentele vitezei unghiulare ω a rigidului, ın functie de tripletul i1, i2, i3,ın termenii unghiurilor lui Euler.

Solutie. Daca ω = ω01i1 + ω0

2i2 + ω03i3, atunci, prin intermediul relatiilor

(1.118) si (1.188) si considerand n = cosψi1 + sin ψi2, obtinem urmatoarelerelatii:

ω01 = θ cos ψ + ϕ sin θ sin ψ,

ω02 = θ sin ψ − ϕ sin θ cosψ,

ω03 = ψ + ϕ cos θ.

1.2.13 Miscari rigide plane

Ne reamintim ca am definit miscarea rigida plana ca fiind miscarea rigida ıncare vitezele punctelor trebuie sa ramana permanent paralele cu un plan fix π.Mai mult, pentru ca axa y3 a sistemului de referinta atasat corpului poate fialeasa astfel ıncat sa fie permanent paralela cu axa x3 a sistemului de referintafix, este de asemenea posibil sa alegem originea O′ astfel ca, ın timpul miscarii,planele (x1, x2) si (y1, y2) sa coincida ıntotdeauna cu planul π (Figura 1.22).

Deoarece configuratia corpului este determinata atunci cand pozitia triple-tului atasat corpului este determinata, putem spune:

Observatie 1.2.20 In timpul unei miscari rigide plane, corpul poseda trei gradede libertate. Doi parametri care descriu aceasta miscarea sunt coordonatele luiO′ ın planul (x1, x2) iar al treilea este unghiul format de axa y1 cu axa x1. Acestiparametri determina ın mod unic configuratia corpului. Astfel, miscare corpu-lui este determinata de miscare sistemului (O′, y1, y2), sau, dintr-un punct devedere mai general, de miscarea figurii plane rigide data de intersectia corpuluicu panul (O, x1, x2).

Mai mult, dupa cum am demonstrat ın Theorem 1.2.3, la fiecare moment,starea de miscare este de rotatie sau de translatie. Deoarece cazul de mai suspoate fi considerat un caz degenerat al cazului starii de miscare de rotatie cu axainstantanee de rotatie la infinit, vom presupune ın consecinta ca starea cineticaeste ıntotdeauna de rotatie.


x2y

2

x3

y3

x1

y1

π

O

O ′

θ

Figura 1.22:

Definitie 1.2.24 Numim centru instantaneu al rotatie C punctul de intersectieal axei instantanee de rotatie cu planul π.

Observatie 1.2.21 Viteza fiecarui punct P al planului (O′, y1, y2) sau cea afigurii plane rigide ce se afla ın acest plan este data de

vP (t) = ω(t)× (P (t)− C(t)), (1.190)

unde C(t) este centru instrantaneu al rotatie la momentul t.

Dupa ce facem produsul interior al expresiei (1.190) cu (P − C), obtinem

vP · (P − C) = ω × (P − C) · (P − C) = 0, (1.191)

si astfel, din (1.191) rezulta ca viteza fiecarui punct P al figurii plane este ortog-onala pe segmentul cu capetele ın P si C. De aceea, putem formula urmatoareapropozitie:

Propozitie 1.2.2 Viteza fiecarui punct al figurii plane este determinata deındata ce am determinat pozitia centrului instantaneu si viteza unui punct alfigurii plane.

Vom considera doua puncte P0 si P ale figurii plane. Presupunem ca vitezavP0 a punctului P0 si pozitia centrului instantaneu C sunt date (Figura 1.23).Atunci, directia vitezei unui punct generic P este determinata de vectorul (P −C), pe care trebuie sa fie ortogonala si sensul ei este acelasi cu cel al lui vP0 . Incele din urma, putem afla modulul lui vP by (1.190), tinand cont de faptul ca

vP = ωr, vP0 = ωr0, (1.192)


x2

x1

r0

P0

vP

0

vP

P

O

C

r

Figura 1.23:

unde r si r0 sunt distantele dintre P si C, si respectiv dintre P0 si C. Astfel,folosind (1.192), obtinem valoarea modulului ca fiind vP = vP0r/r0.

Este folositor sa observam ca, din (1.190), punctul figurii plane care coincidecu centrul instantaneu are viteza zero. Mai mult, daca centrul C se misca catreinfinit, (P0 − C) si (P − C) tind sa devina paralele cu vP0 si vP , si ratia

|P0 − C||P − C| =

r0

r≤ |P0 − P |+ |P − C|

|P − C| = 1 +|P0 − P ||P − C|

tinde spre 1, deoarece, ın timp ce centrul C se ındreapta spre infinit, |P0 − P | / |P − C|tinde catre zero. De aceea, pentru ca directiile lui vP0 si vP coincid, putem con-cluziona ca toate punctele au aceeasi viteza si deci acest lucru este ın concordantacu observatia anterioara care spunea ca starea de miscare este de translatie candC este la infinit.

Deoarece viteza fiecarui punct al figurii plane este ortogonala cu raza careuneste punctul cu centrul instantaneu, este posibil sa determinam pozitia cen-trului C folosind urmatoarea metoda(vezi Figura 1.23):

Observatie 1.2.22 Daca, la un moment dat, directiile traiectoriilor sau vitezelea doua puncte ale figurii plane sunt cunoscute, atunci centrul instantaneu almiscarii relative este dat de intersectia dreptelor care sunt ortogonale pe directiiletraiectoriilor sau pe vitezele celor doua puncte considerate.

Exemplu 1.2.2 Consideram o bara AB ale carei capete sunt constranse sase miste de-alungul a doua axe mutual ortogonale x1 si x2. Atunci, centrulinstantaneu C al acestei miscari rigide plane la fiecare moment este punctul deintersectie al dreptelor normale traiectoriilor (adica al dreptelor ortogonale peaxele x1 si x2) ın punctele A si B (vezi Figura 1.24).

Exemplu 1.2.3 Un alt exemplu interesant vine din studiul ansamblului arborecotit - biela - mecanism cu piston, prezentat ıntr-o forma schematica ın figura


A

B

C

O

x2

x1

Figura 1.24:

1.25. Barele OA si AB sunt conectate ın punctul A printr-o legatura articulata,ın timp ce arborele cotit OA se roteste ın jurul punctului fix O, iar tija delegatura AB este conectat la piston ın punctul B. Deoarece sistemul se miscacu viteze paralele cu un acelasi plan, putem concluziona ca centrul instantaneuse afla pe tija AB, este localizat pe vectorii care sunt normali traiectoriilorpunctelor A si B, ceea ce ne da ca centrul instantaneu se afla la intersectiadreptei OA cu dreapta care trece prin B si care este perpendiculara pe OB.Mai mult, daca θ este unghiul format de OA cu OB, atunci vA =

∣∣∣θ∣∣∣ |A−O|.

Daca C este centrul instantaneu, atunci avem vA/vB = |C −A| / |C −B| siprin urmare

vB =|A−O| |C −B|

|C −A|∣∣∣θ

∣∣∣ .

In cele din urma, daca D este punctul situat pe dreapta AB si care se afla si pedreapta care trece prin O si este perpendiculara pe OB, atunci

vB = |D −O|∣∣∣θ

∣∣∣ = v′D, (1.193)

unde v′D este viteza punctului care este solidar cu manivela si coincide cu D.

Exercitiu 1.2.13 Un cilindru circular drept de raza R = 10 se misca astfelıncat baza sa ramane ıntotdeauna ın planul fix x1Ox2. Miscarea sistemului dereferinta (O′, y1, y2, y3) atasat cilindrului este descrisa prin ecuatiile c1(t) =t3 +2, c2(t) = 1− t3, c3(t) = 0 si θ(t) = π(t2− t). Determinati: a) coordonatelex1, x2, x3 ale punctelor P1(y1 = 10, y2 = 0, y3 = 0) si P2(y1 = 0, y2 = 5, y3 = 0)la momentul t = 2; b) viteza punctului P3(y1 = 1, y2 = 3, y3 = 0).

Solutie. Cilindru executa o miscare plana. Astfel, avem

j1 = cos θi1 + sin θi2, j2 = − sin θi1 + cos θi2, j3 = i3,


D

O

A

B

Cx2

x1

Figura 1.25:

si, pentru orice punct P (x1, x2, x3), gasim

x1i1 + x2i2 + x3i3 = c1i1 + c2i2 + c3i3 + y1j1 + y2j2 + y3j3

si astfel deducem ca

x1 = c1 + y1 cos θ − y2 sin θ, x2 = c2 + y1 sin θ + y2 cos θ, x3 = y3.

Substituind functiile c1, c2, c3 si θ ın formula de mai sus, obtinem

x1 = t3 + 2 + y1 cos[π(t2 − t)

]− y2 sin[π(t2 − t)

],

x2 = 1− t3 + y1 sin[π(t2 − t)

]+ y2 cos

[π(t2 − t)

],

x3 = y3.

a) La momentul t = 2, avem

x1 = 10 + y1, x2 = −7 + y2, x3 = y3

si prin urmare coordonatele punctului P1(y1 = 10, y2 = 0, y3 = 0) sunt x1 = 20,x2 = −7, x3 = 0, ın timp ce coordonatele punctului P2(y1 = 0, y2 = 5, y3 = 0)sunt x1 = 10, x2 = −2, x3 = 0.

b) Printr-o diferentiere directa, obtinem urmatorul camp al vitezelor:

x1 = 3t2 − π(2t− 1)y1 sin[π(t2 − t)

]− π(2t− 1)y2 cos[π(t2 − t)

],

x2 = −3t2 + π(2t− 1)y1 cos[π(t2 − t)

]− π(2t− 1)y2 sin[π(t2 − t)

],

x3 = 0.

Inlocuind y1 = 1, y2 = 3, y3 = 0 ın relatia de mai sus, obtinem viteza punctuluiP3 :

v ={3t2 − π(2t− 1) sin

[π(t2 − t)

]− 3π(2t− 1) cos[π(t2 − t)

]}i1 +

+{−3t2 + π(2t− 1) cos

[π(t2 − t)

]− 3π(2t− 1) sin[π(t2 − t)

]}i2.


O

O

H

γ

γ

x2

y2

x1

y1

′

′

Figura 1.26:

Exercitiu 1.2.14 Gasiti centrul instantaneu al rigidului a carui miscare esteparalela cu un plan fix π.

Solutie. Alegem reperul fix astfel ıncat planul x1Ox2 sa coincida cu planuldat π. Fie O′ un punct fix al corpului rigid. Alegem sistemul de referinta atasatrigidului astfel ıncat planul y1Oy2 sa fie paralel cu planul π. Astfel, viteza unuipunct generic P al corpului rigid este

vP (t) = vO′ + ω × (P −O′).

Daca P coincide cu centrul instantaneu C, atunci vC(t) = 0 si prin urmareavem

ω × (C −O′) = −vO′ .

Astfel, obtinem−ω × vO′ = ω × [ω × (C −O′)] ,

si prin urmare, folosind formula de dezvoltare a dublului produs vectorial, gasim

[ω · (C −O′)] ω − ω2 (C −O′) = −ω × vO′ .

Pentru ca ω este perpendicular pe planul π, ın timp ce (C −O′) este paralel cuπ, atunci ω · (C −O′) = 0. Centrul C ne este dat de relatia de mai sus ca fiind

C −O′ =1ω2

ω × vO′ . (1.194)

1.2.14 Traiectorii ın coordonate polare

Sa consideram o miscare ın care curba γ′ a planului ın miscare (O′, y1, y2) ruleazape curba γ a planului fix (O, x1, x2) (Figura 1.26). Presupunem ca cele douacurbe sunt destul de regulate si ca admit o tangenta comuna ın punctul deintersectie H. Vom spune ca γ′ se misca pe γ.


Definitie 1.2.25 Viteza acelui punct al curbei γ′ care coincide la orice momentcu punctul de contact H poarta numele de viteza de alunecare. Daca viteza dealunecare devine zero, spunem ca γ′ se rostogoleste fara alunecare pe γ.

Teorema 1.2.8 Daca, ın timpul miscarii, o curba γ′ se rostogoleste pe γ,atunci punctul ce apartine curbei γ′ care coincide cu punctul de contact H areviteza orientata spre dreapta tangenta la curba γ ın punctul H.

Demonstratie. Punctul de contact H al celor doua curbe γ si γ′ se miscaın timp de-alungul curbei γ sau de-alungul curbei γ′, acest lucru depinzandde observator, daca este conenctat cu sistemul de referintda (O, x1, x2) sau(O′, y1, y2). Din Teorema Compunerii Vitezelor, obtinem

va (H) = vr (H) + vτ (H) , (1.195)

unde va (H) si vr (H) sunt vectorii viteza absoluta si respectiv viteza relativaai punctului H, ın timp ce vτ (H), este viteza de transport a lui H si reprezintaviteza unui punct ce apartine figurii ın miscare care coincide cu punctul decontact H, numita viteza de alunecare. Mai mult, pentru ca va si vr suntorintati dupa tangenta la curbele γ si γ′ ın punctul H, vτ ar trebui sa aibe aceeasidirectie, si, ın consecinta, ar trebui sa fie directionate de-alungul tangentei la γın H.

Exemplu 1.2.4 In multe probleme, este posibil sa determinam centru instanta-neu utilizand concluzia teoremei precedente. Drept exemplu, consideram o baraAB sustinuta de o axa ın punctul A si de un cerc fix de raza R si cu centrul O,presum arata Figura 1.27.

Intrucat, ın timpul miscarii, bara AB aluneca pe cerc, vectorul viteza alpunctului H de pe bara AB care coincide cu punctul de contact, are aceeasidirectie cu AB. In acest fel, centrul instantaneu C este punctul de intersectie adreptei OH cu normala la axa de sustinere ın punctul A.

In timpul miscarii, centrul instrantaneu ısi schimba pozitia ın raport cu am-bele sisteme de referinta, descriind doua parabole distincte.

Definitie 1.2.26 Locul geometric al pozitiilor ocupate de centrul instantaneu,ın timpul miscarii plane a unui rigid, fata de sistemul fix de referinta (O, x1, x2)poarta numele de baza. Locul geometric al pozitiilor ocupate de centrul instan-taneu, ın timpul miscarii plane a unui rigid, fata de sistemul de referinta mobil(O′, y1, y2) este o curba numita ruleta. Baza si ruleta se numesc traiectoriipolare.

In general, baza si ruleta sunt doua curbe, aflate ın planele O, x1, x2 si respec-tiv O′, y1, y2. Un exemplu interesant ın acest sens provine din studiul micscariireprezentate ın Figura 1.24. Centrul instantaneu C ramane la o distanta con-stanta fata de originea O ın raport cu (O, x1, x2), deoarece |C −O| = |A−B|.De aceea, baza va fi cercul cu centrul ın O si raza egala cu |A−B| (Figura 1.28).


A

B

C

H

O

Figura 1.27:

A

BC

O

x2

x2

x1

x1

′

′

Figura 1.28:

Pentru a determina ruleta, care este locul geometric al pozitiilor ocupate de cen-trul instantaneu fata de sistemul de referinta (B, y1, y2) (Figura1.28) atasat debara AB, putem observa ca AB este ipotenuza triunghiului drept ABC carese misca astfel ıncat latura AB sa ramana fixa iar varful C sa varieze. Astfel,ruleta este cercul cu diametrul AB.

Teorema 1.2.9 In timpul miscarii plane a rigidului, ruleta se rostogoleste farasa alunece peste curba baza.

Demonstratie. La fiecare moment, baza si ruleta au punctul C ın comun.In plus, din (1.190), viteza vτ (C) a punctului figurii mobile care coincide cuC se anuleaza. De aceea, daca va(C) si vr(C) sunt vectorii viteza absoluta si


viteza relativa a centrului instantaneu, atunci avem

va(C) = vr(C). (1.196)

Deoarece vitezele va si vr ar trebui sa fie tangente curbelor baza si ruleta, ın C,deducem din (1.196) ca aceste doua curbe sunt tangente. De aceea, ın timpulmiscarii, ruleta se rostogoleste peste curba baza. In cele din urma, pentru cavτ (C) = 0, viteza de alunecare se anuleaza. Astfel, ruleta se rostogoleste farasa alunece peste curba baza.

Observatie 1.2.23 Baza si ruleta sunt singurele curbe fixe ın sistemele dereferinta (O, x1, x2) si respectiv (O′, y1, y2), care se rostogolesc fara sa aluneceuna pe alta. De fapt, daca exista alte doua curbe care au aceleasi proprietati,viteza punctului care coincide cu punctul de contact din figura ın miscare faraalunecare, se anuleaza. Totusi, din (1.190), doar centrul instantaneu are aceastaproprietate.

Exemplu 1.2.5 Consideram un disc care se rostogoleste fara alunecare peste oaxa (Figura 1.29). Aceasta miscare poarta numele de cicloida, pentru ca fiecarepunct descrie o cicloida. Din Observatia 1.2.23, pentru aceasta miscare, axa sidiscul vor fi baza si respectiv ruleta. Astfel, la fiecare moment, centrul instan-taneu C va coincide cu punctul de contact dintre disc si axa pe care discul semisca. Sa determinam numarul gradelor de libertate ale acestui sistem. Notamprin x distanta dintre C si O, si prin θ unghiul pe care diametrul AA′ al disculuiıl formeaza cu vectorul (C−O′). Evident, x si θ determina pozitia discului, dareste usor sa observam ca impunerea conditiei de rostogolire fara alunecare ducela o relatie ıntre x si θ. Viteza punctului O′ este data de

vO′ = xi1. (1.197)

In plus, stiind ca discul se afla ıntr-o stare de miscare de rotatie ın jurul lui C,putem obtine urmatoarea expresie pentru vO′

vO′ = ω × (O′ − C), (1.198)

unde ω este acelasi vector care apare ın formula fundamentala

vP = vO′ + ω × (P −O′).

Prin urmare, ω reprezinta viteza unghiulara a miscarii discului fata de sistemulde referinta cu originea O′ si axele paralele sau fixe fata de (x1, x2). In acestcaz, avem

ω = θi3. (1.199)

De aceea, comparand (1.197), (1.198) si (1.199), obtinem

x = Rθ, (1.200)


A

A

P

Cx

θ

O

O

x2

x1

′

′

Figura 1.29:

unde R este raza discului. Aceasta relatie reprezinta constrangerea legata derulare fara alunecare si exprima o constrangere nonholonomica. De fapt, relatia(1.200) poate fi integrata usor si astfel obtinem ecuatia

x = Rθ + x0, (1.201)

unde x0 este o constanta convenabila. Din (1.201) vedem ca relatia dintre θ six este de tip holonomic. Prin urmare, discul care se rostogoleste fara alunecareare doar un singur grad de libertate. Daca ın schimb consideram o sfera carese rostogoleste fara alunecare pe un plan, este posibil sa demonstram ca ecuatiadiferentiala care rezulta din definitia constrangerii de rostogolire fara alunecarenu este integrabila. Astfel, nu este posibil sa efectuam aceleasi operatii ca ıncazul discului pentru a trece de la (1.200) la (1.201). Prin urmare, acest sistemnu este holonomic.

Exercitiu 1.2.15 Un cilindru de raza a (> 0) se misca pe un plan orizontal.Gasiti baza si ruleta acestei miscari.

Solutie. Presupunand ca cilindrul se misca pe planul x1Ox2, de-alungul axeipozitive x2 cu viteza v0 (viteza centrului O′ a sectiunii transversale a cilindruluisituat ın planul x2Ox3), rostogolindu-se ın jurul lui O′, viteza unghiulara ω.Alegem sistemul de referinta atasat corpului cu originea ın O′ si x3 = a ca plany1O

′y2. Facand aceatsa alegere, miscarea este ın planul x2Ox3. Mai mult, avemω = −ωi1, vO′ = v0i2, si din aceasta cauza, obtinem ω×vO′ = −ωv0i3. Astfel,relatia (1.194), care ne da centrul instantaneu, deducem

C −O′ = −v0

ωi3.

Observam ca aceasta relatie implica faptul ca |C −O′| = v0ω si prin urmare

ruleta este cercul de raza v0ω . Presupunand ca nu exista alunecare, v0 = aω si

astfel ruleta este circumferinta cilindrului.In raport cu reperul de referinta fix, relatia C −O′ = −v0

ω i3 determina

x2 − x02 = 0, x3 − x0

3 = −v0

ω,

unde O′ − O = x02i2 + x0

3i3, x03 = a. De aceea, centrul instantaneu descrie

dreapta de ecuatie x3 = x03 − v0

ω care se afla ın planul x2Ox3, adica baza esteo dreapta paraleca cu axa x2.


P

M

O

A

x2

x1

dw

dt× (A − M)

dw

dt× (P − M)

dω

dth − ω

2r

− aM

aM

− ω2(P − M)

− ω2(A − M)

Figura 1.30:

1.2.15 Acceleratia unei miscari rigide plane

Pentru a determina distributia acceleratiilor punctelor unei figuri plane care semisca ın plan, pornim de la relatia (1.146), pe care o scriem ın raport cu unpunct M a figurii plane (Figura 1.30), sub urmatoarea forma:

aP = aM +dω

dt× (P −M)− ω2(P −M). (1.202)

Teorema 1.2.10 Pentru o miscare rigida plana, distributia acceleratiilor esteaceeasi ca pentru miscarea ın jurul unui punct A, numit pol al acceleratiei, cuviteza unghiulara ω si acceleratia unghiulara dω

dt .

Demonstratie. Deoarece ω are o directie constanta, dω/dt are aceeasidirectie ca ω. Astfel, dω

dt × (P − M) apartine aceluiasi plan cu figura si esteortogonal pe (P −M), a carui directie o vom nota cu h. Stabilim r = P−M

|P−M | siobservam ca diferenta

dω

dt× (P −M)− ω2(P −M) = |P −M |

(dω

dth− ω2r

)(1.203)

este un vector care are modulul proportional cu |−M | si are directia astfel ıncatunghiul pe care-l formeaza cu (P − M) sa nu depinda de P , deoarece dω/dtsi ω2 nu depind de P . Vectorii h si r sunt totdeauna mutul ortogonali. Deaceea, exista un punct A al figurii plane astfel ıncat expresia (1.203) calculataın raport cu acel punct sa fie egala cu −aM . Astfel, acceleratia aA a aceluipunct se anuleaza. Daca stabilim O′ = A ın relatia (1.146), obtinem

aP =dω

dt× (P −A)− ω2(P −A). (1.204)

Distributia acceleratiilor este aceeasi ca ın cazul miscarii de rotatie ın jurul luiA cu viteza unghiulara ω si cu acceleratia unghiulara dω/dt.


x2

y2

x3

y3

x1

y1

O

Figura 1.31:

Observatie 1.2.24 Merita sa mentionam ın acest context ca plul acceleratieiın general nu coincide cu centrul instantaneu C, deoarece acceleratia lui C nueste ın mod obligatoriu zero.

1.2.16 Miscarea unui corp rigid cu un punct fix

Conuri Poinsot

Este cunoscut ca starea de miscare a unui corp rigid cu un punct fix O este derotatie, cu axa instantanee de rotatie trecand prin O. Pe parcursul miscarii,aceasta axa ısi schimba orientarea fata de ambele sisteme de referinta, cel fix(O, x1, x2, x3) si fata de cel mobil. Deoarece axa trece ıntotdeauna prin O,descrie pe parcurs doua conuri, unul fix ın (O, x1, x2, x3), si unul de asemeneafix, dar ın (O, y1, y2, y3), pe care le vom numi conurile Poinsot (Figura 1.31).

Prin utilizarea unui rationament similar cu cel din studiul miscarilor rigideplane, putem demonstra ca, pe parcursul miscarii, cele doua conuri se rostogolescfara alunecare unul pe celalalt, si generatoarea pe care o au ın comun, la fiecaremoment, este axa instantanee de rotatie.


x2

x3

x1

w1

w2

O

Figura 1.32:

Miscarea de precesie

Presupunand ca starea de miscare a corpului rigid cu un punct fix este reprezen-tata de suma a doua stari de miscare de rotatie, daca O este un punct fix, atunci

vP = ω1 × (P −O) + ω2 × (P −O), (1.205)

unde ω1 este un vector a carui directie este de-alungul unei dreptei f fixe ın corpsi care trece prin O, pe care o vom numi axa figurii. Vectorul ω2 are directiade-alungul unei drepte p care trece prin O si atribuita ın raport cu reperul(O, x1, x2, x3) fix ın spatiu, care poarta numele de axa de precesie. Daca ω1 siω2 au modulul constant, spunem ca miscarea este o precesie regulata.

Pentru punctele P ∗ ale axei din figura, relatia (1.205) ia forma (Figura 1.32)

vP∗ = ω2 × (P ∗ −O)

si, ın consecinta, aceste puncte se rotesc ın jurul axei de precesie. Prin urmare,ın timpul miscarii, corpul se roteste ın jurul axei din figura cu viteza unghiularaω1 iar aceste axe se rotesc si ele ın jurul axei de precesie.

Dupa cum se poate vedea ın relatia (1.205), starea de miscare este de rotatieın jurul axei care trece prin O si avand directia lui ω1+ ω2. Deoarece ω1 si ω2

au modulele constantesi unghiul facut de ω1 si ω2 este de asemenea constant,unghiurile α si β formate de vectorul ω1+ω2 cu vectorii ω1 si respectiv ω2,, suntconstante (Figura 1.33). Astfel, ın raport cu sistemul de referinta (O, x1, x2, x3)fix ın spatiu, axa instantanee de rotatie se roteste ın jurul directie lui ω2 ınacelasi mod ca si vectorul ω1+ ω2, ın timp ce, fata de reperul atasat corpului,axa instantanee de rotatie se roteste ın jurul directiei lui ω1. De aceea, conurilelui Poinsot sunt doua conuri circulare care au, corespunzator, axa de precesie siaxele figurii drept axe de simetrie.


x2

x3

x1

w1

w1 + w

2

w2

O

αβ

Figura 1.33:

Miscarea titirezului si miscarea Pamantului sunt exemple de miscari de pre-cesie. In raport cu un observator cu originea ın centrul Pamantului si axeleorientate spre stelele fixe, Pamantul se roteste ın jurul axei sale proprii polare,care este axa figurii. La randul sau, aceasta axa se roteste ın jurul unei axeortogonale la planul eclipticii cu viteza unghiulara ω2 = 2π/T , unde perioadaT este aproximativ egala cu 26 000 ani. Aceasta rotatie lenta a axei polarecauzeaza asa-numitul fenomen de ”precesie a echinoctiului;” dat de, trecereaSoarelui de-a lungul liniei nodurilor (determinata ca intersectia dintre planul deecliptica cu planul Ecuatorului), care este verificata ın fiecare an, cu un avansanumit. Aceasta duce la deplasarea relativa a stelelor fixe si, prin urmare, estenecesar sa se actualizeze calendarul ın conformitate cu un program special.

Bibliografie

[1] Abraham, R. H. and Marsden, J. E., Foundations of Mechanics: A Math-ematical Exposition of Classical Mechanics, 2nd ed. New York: Benjamin,1978.

[2] Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions. NewYork, Dover, 1965.

[3] Ames, J. S. and Murnaghan, F. D., Theoretical Mechanics: An Introductionto Mathematical Physics. New York: Dover, 1958.

[4] Arnold, V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. NewYork: Springer–Verlag, 1989.

[5] Bowen, R. M. and Wang, C. C., Introduction to Vectors and Tensors, Vol.1. New York: Plenum, 1976.

[6] Brouwer, D. and Clemence, G. M., Methods of Celestial Mechanics. NewYork: Academic Press, 1961.

[7] Cercignani, C., Theory and Application of the Boltzmann Equation. Edin-burgh: Scot. Academic Press, 1975.

[8] Chow, T. L., Classical Mechanics. New York: Wiley, 1995.

[9] Corben, H. C. and Stehle, P., Classical Mechanics, 2nd ed. New York:Wiley, 1960.

[10] Fabrizio, M., Introduzione alla Meccanica Razionale e ai suoi MetodiMatematici. Bologna: Zanichelli, 1994.

[11] Fabrizio, M., Elementi di Meccanica Classica. Bologna: Zanichelli, 2002.

[12] Fowles, G. R. and Cassiday, G. L., Analytical Mechanics, 5th ed. Orlando:Saunders, 1993.

[13] French, A. P., Newtonian Mechanics. New York: W. W. Norton, 1971.

[14] Gantmacher, F. R., Lectures in Analytical Mechanics. Moscow: Mir Pub-lishers, 1970.

83

84 BIBLIOGRAFIE

[15] Graffi, D., Elementi di Meccanica Razionale. Bologna: Patron, 1970.

[16] Greenwood, T. D., Classical Dynamics. New York: Dover, 1997.

[17] Griffits, J. B., The Theory of Classical Dynamics. Cambridge: CambridgeUniversity Press, 1985.

[18] Gurtin, M. E., An Introduction to Continuous Mechanics. New York: Aca-demic Press, 1981.

[19] Hirsch, M. W. and Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systemsand Linear Algebra. New York: Academic Press, 1974.

[20] Hunter, S. C., Mechanics of Continuous Media, 2nd ed. Ellis Horwood,1983.

[21] Kellog, O. D., Foundations of Potential Theory. Berlin: Springer–Verlag,1929.

[22] Kelvin, W. T. and Tait, P. G., Principles of Mechanics and Dynamics, 2vols. New York: Dover, 1962.

[23] Kibble, T. W. B. and Berkshire, F. H., Classical Mechanics. Harlow: Long-man, 1996.

[24] Kilmister, C. W. and Reeve, J. E., Rational Mechanics.London: Longmans,1966.

[25] Kittel, C., Knight, W. D. and Ruderman, M. A., Mechanics, 2nd ed. NewYork: McGraw–Hill, 1973.

[26] Kleppner, D. and Kolenkow, R. J., An Introduction to Mechanics. NewYork: McGraw–Hill, 1973.

[27] Knops, R. J. and Wilkes, E. W., Theory of Elastic Stability. In Encyclopediaof Physics, vol. VIa/3, (C. A. Truesdell, ed.), Berlin: Springer–Verlag, 125–302, 1973.

[28] Knudsen, J. M. and Hjorth, P. G., Elements of Newtonian Mechanics. NewYork: Springer–Verlag, 1995.

[29] Lagrange, J. L., Mecanique Analitique, 4th ed., 2 vols. Paris: Gauthier–Villars et fils, 1888–89.

[30] Lamb, H., Dynamics, 2nd ed. London: Cambridge University Press, 1961.

[31] Lanczos, C., The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York:Dover, 1986.

[32] Landau, L. D. and Lifshitz, E. M., Mechanics 3rd ed. Oxford: PergamonPress, 1976.

BIBLIOGRAFIE 85

[33] Levi Civita, T. and Amaldi, U., Lezioni di Meccanica Razionale. Bologna:Zanichelli, 1927.

[34] Liboff, R. L., Introduction to the Theory of Kinetic Equations. New York:John Wiley and Sons, Inc., 1969.

[35] Mach, E., The Science of Mechanics: A Critical and Historical Expositionof its Principles.Chicago, IL: Open Court, 1893.

[36] Macmillan, W. D., Dynamics of Rigid Bodies. New York: Dover, 1960.

[37] Marion, J. B. and Thornton, S. T., Classical Dynamics of Particles andSystems, 4th ed. Philadelphia: Saunders, 1995.

[38] Marsden, J. E. and Ratiu, T. S., Introduction to Mechanics and Symmetry:A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. New York: Springer–Verlag, 1994.

[39] Mesarovic, M. D. and Takahara, Y., General Systems Theory: Mathemati-cal Foundations. New York: Academic Press, 1975.

[40] Moulton, F. R., An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd rev. ed. NewYork: Dover, 1970.

[41] Natanson, I. P., Theory of Functions of a Real Variable.New York: Ungar,1955.

[42] Nusse, H. E. and Yorke, J. A., Dynamics: Numerical Explorations. NewYork: Springer–Verlag, 1994.

[43] Osgood, W. F., Mechanics. New York: Macmillan, 1937.

[44] Pars, L. A., A Treatise on Analytical Dynamics. New York: Wiley, 1965.

[45] Percival, I. and Richards, D., Introduction to Dynamics. Cambridge: Cam-bridge University Press, 1987.

[46] Pollard, H., Mathematical Introduction to Celestial Mechanics. EnglewoodCliffs, NJ: Prentice Hall, 1966.

[47] Riley, W. F. and Sturges, L. D., Engineering Mechanics: Statics, 2nd ed.New York: Wiley, 1966.

[48] Rosenauer, N. and Willis, A. H., Kinematics of Mechanisms. New York:Dover, 1967.

[49] Routh, E. J., A Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies:Elementary Part, 7th ed., rev. and enl. New York: Dover, 1960.

[50] Siegel, C. L. and Moser, J. K., Lectures on Celestial Mechanics, 2nd ed.Berlin: Springer–Verlag, 1995.

86 BIBLIOGRAFIE

[51] Slater, J. C. and Frank, N. H., Mechanics. New York: McGraw–Hill, 1947.

[52] Sommerfeld, A., Mechanics. New York: Academic Press, 1952.

[53] Stiefel, E. L. and Scheifele, G., Linear and Regular Celestial Mechanics:Perturbed Two–Body Motion, Numerical Methods, Canonical Theory. NewYork: Springer–Verlag, 1971.

[54] Symon, K. R., Mechanics, 3rd ed. Reading, MA: Addison–Wesley, 1971.

[55] Synge, J. L. and griffith, B. A., Principles of Mechanics, 3rd ed. New York:McGraw–Hill, 1959.

[56] Thornton, M., Classical Dynamics of Particles and Systems. Philadelphia:Harcourt Brace College Publishers, 1995.

[57] Timoshenko, S. and Young, D. H., Engineering Mechanics, 4th ed, 2 vols.New York: McGraw–Hills, 1956.

[58] Tisserand, F. F., Traite de Mecanique Celeste, 4 vols. Paris: Gauthier–Villars et fils, 1889–96.

[59] Verhulst, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems.Berlin: Springer-Verlag, 1990.

[60] Whittaker, E. T., Analytical Dynamics, 4th ed. Cambridge: CambridgeUniversity Press, 1959.

[61] Williams, D., Elements of Mechanics. Oxford: Oxford University Press,1997.

Glosar

A

absolute acceleration, 61– angular velocity, 65– concept, 2– force, ??– temperature, ??– velocity, 61

accelerated motion, 11acceleration of a point, 9accoustic tensor, ??active force, ??

– loads, ??Almansi strain tensor, ??altitude of shooting, ??amplitude, 25angle of static friction, ??angular acceleration, 14

– frequency, 25, ??– momentum, ??, ??– transport velocity, 66– velocity vector, 13

anisotropic elastic material, ??aperiodic motion with critical damp-

ing, ??Appel’s equations, ??areal velocity, 17arm of power, ??

– of the resistance, ??asymptotic stable equilibrium state, ??attractor, ??axial momentum, ??, ??axis of oscillation, ??

– of precession, 81– of rotation, 42

B

balance law of angular momentum, ??– law of linear momentum, ??

basis, 75bending of a beam, ??Bernoulli theorem, ??Betti’s reciprocal theorem, ??bifurcation, ??bilateral constraint, 31Binet formula, 20binormal unit vector, 10body cone, ??, ??Boltzmann equation, ??

C

canonical equations, ??– invariants, ??– systems, ??– transformation, ??

Cardan’s suspension, ??cardinal equations, ??, ??, ??Cauchy hypothesis, ??

– stress, ??, ??causal dynamic system, ??central force, ??

– motion, 19centre of mass, ??

– of motion, 19centrifugal force, ??, ??centripetal acceleration, 11change in observer, ??chaos, ??characteristic polynomial, ??circular motion, 22

– and uniform motion, 22

87

88 GLOSAR

Clausius–Duhem inequality, ??closed cycle, ??, ??coefficient of dynamical friction, ??

– of friction strength, ??– of static friction, ??– of static sliding friction, ??

complementary acceleration, 61complete canonical transformation, ??compound pendulum, ??compression, ??conditional stability, ??cone of static friction, ??, ??conjugate variables, ??conservation of energy, ??, ??conservative force, ??

– Hamiltonian system, ??– system of constitutive forces, ??

constitutive equation, ??, ??– force, ??, ??, ??

constrained material point, ??constraint, 31

– of mobility, 32– of position, 32– reaction, ??

continuation, ??continuity equation in Lagrangian form,

??– equation in spatial form, ??

continuous body, ??– material system, ??

coordinates, 4Coriolis acceleration, 61

– force, ??, ??couple, ??curvature, 10curvilinear abscissa, 5

– coordinate, 30, ??, ??cyclic coordinate, ??cycloidal motion, 77cylindrical coordinates, ??

D

D’Alembert principle, ??damped aperiodic motion, ??

– oscillatory motion, ??

damping parameter, ??deformation, ??degree of freedom, 33density of mass, ??

– of probability, ??dependent of time constraint, 32deviation moment, ??

– of a heavy point, ??direct motion, 7, 22Dirichlet theorem, ??discrete material system, ??displacement, ??dissipation principle, ??double pendulum, ??duration of shooting, ??dynamic state, ??dynamical process, ??

E

effective force, ??eigenvalue, ??eigenvector, ??elastic solid, ??elasticity tensor, ??elementary displacement, 9

– work, ??ellipsoid of inertia, ??energy equation, ??entropy, ??equilibrium configuration, ??

– position, ??equivalent reference frames, 64

– representations, ??– states, ??

Eulerian angles, 45– coordinates, ??– dynamical process, ??

Euler’s equations, ??, ??, ??extension, ??extra stress, ??

F

first integral, ??, ??, ??– Piola–Kirchhoff stress, ??

GLOSAR 89

– principle of thermodynamics, ??fixed axoide, 55flexion point, ??flow region, ??forced oscillation, ??Foucault’s pendulum, ??frequency, 23friction force, ??

– strength, ??function of distribution, ??

– of transition of states, ??, ??, ??functional of response, ??, ??fundamental equation, ??

– formula of kinematics of rigid sys-tems, 52

– harmonic, ??

G

Galileian invariance principle, ??– observer, ??

general integral, ??, ??generalized coordinates, 33, ??

– integral of energy, ??– moments, ??– potential, ??– shear modulus, ??

generating function, ??geodesic curve, ??geometric constraint, 32gravitational acceleration, ??Green strain tensor, ??group of translations, 2gyroscope, ??gyroscopic axis, ??

– phenomena, ??– structure, ??– system, ??– system of forces, ??

gyrostat, ??

H

Hamilton–Jacobi equation, ??– method, ??– reduced equation, ??

– time dependent equation, ??Hamiltonian, ??, ??

– action, ??– system, ??

Hamilton’s equations, ??– principal function, ??– principle, ??

harmonic oscillator, ??– oscillatory motion, 25

heat equation, ??helical motion, 29

– state of motion, 50holonomic constraint, 32

– material system, 33homogeneous deformation, ??

– elastic material, ??Hopf’s bifurcation, ??Huygens theorem, ??hydrostatic pressure, ??hyperelastic material, ??hysteresis cycle, ??

I

ideal fluid, ??ignorable coordinate, ??impulse of a force, ??, ??impulsive motion, ??incompressible material, ??independent of time constraint, 32inertia force, ??

– matrix, ??inertial observer, ??inertia’s motion, ??infinitesimal rigid displacement, ??

– theory, ??inflexion point, ??inhomogeneous elastic material, ??initial phase, 25Input–Output system, ??instantaneous angular velocity, 49

– centre of rotation, 70integrable system, ??internal variable, ??, ??intrinsic vector triplet, 11, ??irreversible virtual displacement, ??

90 GLOSAR

isochoric deformation, ??– dynamical process, ??

isolated material point, ??isotropic elastic material, ??

J

Jacobi integral, ??Jacobi’s identity, ??jump, ??

K

Kepler’s laws, ??kinematical viscosity, ??kinetic constraint, 32, ??, ??

– energy, ??, ??, ??– moments, ??– roto–translational state of motion,

50– state, 49

Konig theorem, ??

L

Lagrange generalized forces, ??Lagrange’s equations, ??

– multipliers, ??Lagrangian, ??, ??

– coordinates, 33, ??Lame moduli, ??left Cauchy strain tensor, ??

– Cauchy–Green strain tensor, ??limit cycle, ??linear momentum, ??, ??

– theory, ??Liouville’s operator, ??

– theorem, ??Lipschitz function, ??Lissajous curve, ??list of principal invariants, ??local integrability, ??localization of a body, 3longitudinal wave, ??Lyapunov function, ??

– theorem, ??

Lyapunov’s first method, ??– second method, ??

M

Mach number, ??material coordinates, ??

– point, 3, ??– state, ??– system, 3

maximum point, ??Maxwell–Boltzmann distribution, ??mean kinetic energy, ??mechanical system, ??meter, 2minimum point, ??mobile axoide, 55modulus of compression, ??moment, 2

– of arrest, 7– of inertia, ??– of momentum, ??, ??

motion of precession, 82Mozzi’s theorem, 53

N

Navier–Stokes equations, ??Newtonian attraction force, ??

– fluid, ??Newton’s first law, ??

– second law, ??– third law, ??

nonholonomic constraint, 32– material system, 34

nonlinear oscillations, ??normal acceleration, 11

– distribution, ??– force, ??

number of degrees of freedom, 33nutation, 45, ??

O

osculating circle, 10– plane, 9

GLOSAR 91

P

part of a body, ??percussion, ??perfectly smooth constraint, ??perimeter of support, ??period of motion, 22periodic motion, 22phase diagram, ??

– plane, ??physical pendulum, ??pinnacle, ??plane of material symmetry, ??

– polar coordinates, 12– motion, 12– rigid motion, 55

Poincare’s integral, ??Poinsot cones, 80Poinsot’s motion, ??point of application, ??points, 1Poiseuille motion, ??Poisson bracket, ??Poisson’s distribution, ??

– formulae, 51– ratio, ??, ??

polar angle, 12– distance, 12– trajectories, 75

pole of acceleration, 57, 79positional force, ??positive definite elasticity tensor, ??potential, ??, ??

– energy, ??– flow, ??

power, ??, ??precession, 45, ??prescribed external forces, ??pressure, ??principal axes of inertia, ??

– direction, ??– frequency, ??– moments of inertia, ??– normal unit vector, 10– oscillation, ??– stress, ??

principle of conservation mass, ??– of determinism, ??– of the gyroscopic effect, ??– of the constraint reactions, ??– of virtual work, ??

problem of torsion, ??products of inertia, ??proper rotation, 45pulsation, 25, ??pure shear, ??

– tension, ??

R

radial acceleration, 14– velocity vector, 13

radius of curvature, 10range of shooting, ??rectilinear and uniform motion, 8

– translation motion, 41reduced length, ??

– mass, ??reference frame, 3, 4

– system, 3regular causal stationary dynamic sys-

tem, ??relative acceleration, 61

– angular velocity, 65– equilibrium position, ??– velocity, 61

resistance, ??– force, ??

resonance, ??rest position, ??retarded motion, 11retrograde motion, 7, 22reversible virtual displacement, ??Reynolds number, ??rheonomic constraint, 32right Cauchy strain tensor, ??

– Cauchy–Green strain tensor, ??rigid body, 3

– body with a fixed axis, ??– body with a fixed point, 36, 80

rigid material system, ??rolling without sliding, 75

92 GLOSAR

rotational kinetic state, 49– motion, 42– state of motion, 49

roto–translational motion, 43– state of motion, 50

roulette, 75Routh’s equations, ??

S

Saint–Venant problem, ??Saint–Venant’s compatibility conditions,

??scalar multiplication, 2scleronomic constraint, 32second, 2

– cosmic speed, ??– principle of thermodynamics, ??

secular equation, ??, ??shear modulus, ??

– strain, ??shock, ??simple linear connected domain, ??

– material, ??– pendulum, ??– shear, ??

sinusoidal progressive wave, ??sliding velocity, 55, 75small oscillations, ??, ??sound speed, ??space of configurations, ??

– of states, ??, ??, ??, ??– of minimal states, ??

spatial cone, ??– coordinates, ??– gradient of deformation, ??

speed, 6spherical polar coordinates, ??spontaneous motion, ??stable equilibrium position, ??

– equilibrium state, ??state, ??, ??, ??

– of motion, 49statically determined, ??

– undetermined, ??stationary dynamic system, ??

statistical mechanics, ??steady flow, ??Stokes flow, ??strain–displacement relation, ??strain energy, ??

– energy density, ??stress power, ??strongly elliptic elasticity tensor, ??stuck point, ??successive harmonics, ??superpotential, ??surface traction, ??suspension axis, ??Symbolic Equation of Dynamics, ??

– Equation of Statics, ??symmetric elasticity tensor, ??symmetry transformation, ??synchronous varied motions, ??

T

tangent unit vector, 8tangential acceleration, 11terminal velocity, ??theorem of axial moment, ??thermoelastic material, ??thermomechanic process, ??three–dimensional affine Euclidean space,

2time law, 5torsional rigidity, ??trajectory, 5translation velocity field, 41translational kinetic state, 49

– motion, 41– state of motion, 49

transport acceleration, 61– force, ??– velocity, 61

transverse acceleration, 14– velocity vector, 13– wave, ??

two–body problem, ??

GLOSAR 93

U

uniform extension, ??– motion, 7– translation motion, 41

uniformly varied motion, 21unilateral constraint, 31unit of force, ??

– of mass, ??unstable equilibrium position, ??

– equilibrium state, ??

V

Van der Pol equation, ??variation of a functional, ??vector, 2velocity of a point, 7vertical straight line, ??

virtual displacement, ??– velocity, ??, ??– work, ??

viscosity, ??viscous fluids, ??, ??Vlasov’s equation, ??Volterra–Lotka differential system, ??

W

warping function, ??Weierstrass method, ??weight force, ??work and kinetic energy theorem, ??

– done by a system of forces, ??

Y

Young’s modulus, ??

Date post:	14-Apr-2017
Category:	Engineering
Upload:	climente-alin
View:	139 times
Download:	6 times