40
Centru de simetrie pentru o hipercuadrica a�na (Recapitulare)Directii principale. Hiperplane de simetrie ale unei hipercuadrice intr-un spatiu a�n euclidianPozitia relativa a unei drepte fata de o hipercuadrica a�na reala. Tangente si asimptote. (Recapitulare)
Curs 12Elemente de simetrie ale unei hipercuadrice in spatii a�ne
euclidiene
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 12
1 Centru de simetrie pentru o hipercuadrica a�na (Recapitulare)
2 Directii principale. Hiperplane de simetrie ale unei hipercuadrice
intr-un spatiu a�n euclidian
3 Pozitia relativa a unei drepte fata de o hipercuadrica a�na reala.
Tangente si asimptote. (Recapitulare)
Pentru inceput vom recapitula anumite notiuni studiate in primul
semestru, utile pentru studiul hipercuadricelor euclidiene.
De aceea in aceasta sectiune cadrul de lucru este un spatiu a�n real
de dimensiune n, An =(X ,−→X ,Φ
). Ne va interesa mai ales
particularizarea rezultatelor generale in cazul conicelor si
cuadricelor.
Se considera hipercuadrica a�na nevida
(Γ) H(X ) := tXAX + 2BX + a00 = 0, (1)
tA = A ∈Mn(R), A 6= On, B ∈M1,n(R),
a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian
R = {O; e1, · · · , en}.
Centre de simetrie
De�nition
Se numeste centru de simetrie al hipercuadricei a�ne Γ un punct
C ∈ A cu proprietatea ca oricare ar � un punct M ∈ Γ, rezulta ca
simetricul lui M fata de C apartine tot hipercuadricei.
Reamintim ca SC (M) = 2C −M.
Theorem
Punctul C ∈ A este centru de simetrie pentru hipercuadrica a�na
(Γ) daca si numai daca matricea X a coordonatelor sale in raport
cu R veri�ca ecuatia matriceala
AX +t B = 0. (2)
Sistemul (2) este echivalent cu
1
2
∂H
∂x i= 0, i ∈ 1, n. (3)
Centre de simetrie
Observam ca multimea centrelor de simetrie ale unei hipercuadrice
a�ne este un subspatiu a�n de dimensiune n − rang(A).Se poate demonstra ca forma patratica a�na H este constanta pe
multimea centrelor de simetrie ale hipercuadricei de ecuatie
H(X ) = 0.
Sistemul de ecuatii liniare (2) are solutie unica daca si numai daca
δ = det(A) 6= 0. In acest caz H(C ) = ∆δ .
Conicele si cuadricele cu centru unic de simetrie sunt:
elipsa
hiperbola
punct dublu
drepte concurente
elipsoid
hiperboloid cu o
panza
hiperboloid cu doua
panze
con patratic
punct dublu
Daca δ = 0, sistemul (2) este compatibil daca si numai daca
rang(A) = rang (A tB). In cazul conicelor si cuadricelor obtinem:
Daca δ = 0 si ∆ 6= 0, atunci Γ nu are centru de simetrie.
parabola
paraboloidul eliptic
paraboloidul hiperbolic
cilindrul parabolic
Daca δ = ∆ = 0, atunci Γ are o in�nitate de centre de simetrie:
o dreapta de centre de
simetrie:
o pereche de drepte
paralele
o dreapta dubla
o dreapta de centre de simetrie:
dreapta dubla
cilindrul eliptic
cilindrul hiperbolic
o pereche de plane secante
un plan de centre de simetrie:
o pereche de plane paralele
plan dublu
Exemple
Fie cuadrica
(Γ) x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz − 2x + 6y + 2z = 0. (4)
Am vazut in cursul precedent ca este un hiperboloid cu o panza.
Sistemul centrelor de simetrie este1
2
∂H∂x = 0,
1
2
∂H∂y = 0,
1
2
∂H∂z = 0,
x + y + 3z − 1 = 0,
x + 5y + z + 3 = 0,
3x + y + z + 1 = 0,
si acesta are solutie unica C(−1
3,−2
3, 23
).
ExempleFie paraboloidul eliptic
(Γ) 4x2 + 2y2 + 3z2 + 4xz − 4yz + 6x + 4y + 8z + 2 = 0. (5)
Sistemul centrelor de simetrie este incompatibil:4x + 2z + 3 = 0,
2y − 2z + 2 = 0,
2x − 2y + 3z + 4 = 0.
In cazul cilindrului eliptic
(Γ) 4x2 + 2y2 + 3z2 + 4xz − 4yz + 8x − 4y + 8z = 0, (6)
sistemul centrelor de simetrie este compatibil nedeterminat:4x + 2z + 3 = 0,
2y − 2z + 2 = 0,
2x − 2y + 3z + 4 = 0.
Dreapta centrelor de simetrie are ecuatiile parametricex = 1− t
2, y = 1 + t, z = t.
Hiperplanul diametral conjugat unei directii in raport cu ohipercuadrica a�na
Fie u 6= 0 un vector nenul �xat si hipercuadrica (1).
Theorem
Locul geometric al punctelor P(X ) din spatiul a�n cu proprietatea
ca pentru orice punct M al dreptei δ = P + [u], are locH(M) = H(SP(M)), are ecuatia matriceala(
tXA + B)U = 0, (7)
unde U este matricea coloana a coordonatelor lui u in baza
reperului considerat.
Daca AU = BU = 0, ecuatia anterioara determina intreg spatiul
a�n.
Daca AU = 0 si BU 6= 0, obtinem multimea vida.
Daca AU 6= O ecuatia (7) reprezinta un hiperplan.
De�nition
Hiperplanul de ecuatie(tXA + B
)U = 0, AU 6= O
se numeste hiperplanul diametral conjugat directiei u in raport cu
hipercuadrica Γ.In cazul conicelor il numim simplu diametrul conjugat directiei u in
raport cu Γ, iar pentru cuadrice avem planul diametral conjugat
directiei u in raport cu Γ.
Denumirea poate � astfel explicata. Pentru o hipercuadrica ce are celputin un centru de simetrie, orice centru de simetrie apartine oricaruihiperplan diametral conjugat unei directii nenule in raport cuhipercuadrica. Acest lucru reiese din ecuatiile (3) si (7).
Exemplu
Ecuatia (7) este echivalenta cu
1
2u1∂H
∂x1+
1
2u2∂H
∂x2+ · · ·+ 1
2un∂H
∂xn= 0, (8)
unde u = u1e1 + u2e2 + · · · unen 6= 0.
Pentru elipsa (Γ) 3x2 + 2xy + 3y2 + 6x − 2y − 5 = 0, diametrul
conjugat directiei u = 2e1 − 3e2 in raport cu Γ are ecuatia
1
2· 2∂H∂x
+1
2(−3)
∂H
∂y= 0⇔ 3x − 7y + 9 = 0.
Pentru paraboloidul hiperbolic
(Γ′) y2 − z2 + 4xy − 4xz − 6x + 4y + 2z + 8 = 0 si
u = e1 − 2e2 + 3e3, planul diametral conjugat directiei u in raport
cu Γ′ are ecuatia 1
2
∂H∂x + 1
2(−2)∂H∂y + 3
2
∂H∂z = 0⇔ 10x + 5z + 4 = 0.
Directii principale
Pentru a putea de�ni directiile principale ale unei hipercuadrice,
este necesar sa ne situam intr-un spatiu a�n euclidian
En =(E , (−→E , <,>),Φ
).
De�nition
Vectorul nenul u ∈−→E se numeste directie principala pentru
hipercuadrica Γ daca u este perpendicular pe hiperplanul diametral
conjugat directiei u in raport cu Γ.
Theorem
Daca u 6= 0 este directie principala pentru Γ atunci u este vector
propriu al lui A.
Observam ca reciproca este adevarata doar pentru vectorii proprii
corespunzatori unor valori proprii nenule. Cu toate acestea,
denumirea de directii principale se extinde tuturor vectorilor proprii
ai lui A.
Corollary
Exista o baza ortonormata in−→E n formata din directii principale ale
hipercuadricei Γ.
Reamintim ca baza reperului in raport cu care o conica sau o
cuadrica are ecuatia canonica e formata din directii principale.
Proposition
Pentru o hipersfera, orice directie nenula este principala.
Hiperplane de simetrie pentru o hipercuadrica euclidiana
De�nition
Se numeste hiperplan de simetrie pentru hipercuadrica Γ din spatiul
a�n euclidian En un hiperplan diametral conjugat unei directii
principale. In cazul unei conice vom avea axa de simetrie, iar pentru
cuadrice plan de simetrie.
Din (7) reiese urmatorul rezultat:
Theorem
Fiecarei valori proprii nenule λ a matricei A ii corespunde un
hiperplan de simetrie, de ecuatie
tX (λU) + BU = 0. (9)
Remark. De�nitia anterioara este motivata de faptul ca simetricul
oricarui punct al unei hipercuadrice fata de hiperplanul diametral
conjugat unei directii principale apartine tot hipercuadricei.
Hiperplane de simetrie
Pentru λ = 0, hiperplanul de simetrie determinat de vectorul
propriu corespunzator lui λ este nedeterminat.
Mai exact, daca BU 6= 0, ecuatia (9) nu are solutii. De exemplu,
putem vedea ca nu exista hiperplan diametral conjugat unui vector
propriu corespunzator valorii proprii 0 in cazul unei parabole sau al
unui paraboloid. Din acest motiv parabola (λ1 = 0, λ2 6= 0) are o
singura axa de simetrie, iar paraboloidul eliptic ori cel hiperbolic
(λ1 6= 0, λ2 6= 0, λ3 = 0) au �ecare doar doua plane de simetrie.
Daca BU = 0, atunci relatia (9) este identic adevarata, deci orice
hiperplan diametral conjugat vectorului propriu corespunzator este
hiperplan de simetrie. De exemplu, in cazul unui cilindru eliptic sau
hiperbolic, obtinem o in�nitate de hiperplane de simetrie asociate
unui vector propriu corespunzator valorii proprii λ = 0.
In cazul unei conice cu centru unic de simetrie C , acesta apartine celordoua axe de simetrie, deci putem determina in doua moduri axele desimetrie ale unei elipse sau hiperbole: �e ca drepte prin C , avand cadirectii directiile principale, �e ca diametri conjugati directiilor principale.De exemplu, folosind notatiile din exemplele din cursurile precedente, axaCx ′′ e dreapta prin C , de directie i ′, sau este diametrul conjugat lui j ′ inraport cu Γ. Am notat cu i ′, j ′ vectorii proprii ai lui A.
Pentru o cuadrica cu centru unic de simetrie C , avem de asemenea maimulte posibilitati.Axele de simetrie sunt drepte prin C , cu directiile date de directiileprincipale. Planele de simetrie sunt plane prin C , avand ca vectorinormali cate o directie principala. Sau putem determina mai intai planelede simetrie, ca �ind planele diametral conjugate unor directii principale,iar axele de simetrie sunt intersectia a doua plane de simetrie distincte.
Pentru conicele si cuadricele care nu au centru unic de simetrie vom dacate un exemplu pentru a explica modul in care putem determina reperulcanonic, fara a folosi metoda expusa in demonstratia teoremelor declasi�care a conicelor, respectiv cuadricelor.
Exemplu
Fie conica x2 + 2xy + y2 + 3x + y = 0, a carei ecuatie e data in raportcu reperul ortonormat R =
{O; i , j
}.
Deoarece δ = 0, ∆ = −1 6= 0, rezulta ca este o parabola, de ecuatiecanonica
y2 = ±2px , p =
√−∆
I 3=
√2
4.
Semnul ± din ecuatia anterioara va � �xat dupa alegerea reperuluicanonic. Stim ca acesta are ca origine varful parabolei iar baza e formatadin directiile principale ale matricei A.Valorile proprii ale lui A sunt λ1 = 0 si λ2 = 2, iar directiile principalesunt i ′ = 1√
2(i − j) ∈ U(0) si j ′ = 1√
2(i + j) ∈ U(2).
Axa de simetrie a parabolei este diametrul conjugat directiei j ′:(V x) x + y + 1 = 0. Varful parabolei il obtinem intersectand axa desimetrie cu parabola: V (0,−1).Cealalta axa a reperului canonic, V y , este tangenta in V la parabola (sauperpendiculara in V pe V x): x − y + 1 = 0.Reprezentati gra�c parabola!Cu aceasta alegere a reperului canonic, ecuatia canonica a parabolei este
y2 =√2
2x .
Axa de simetrie a parabolei
Se poate demonstra ca in cazul in care a11 6= 0, atunci un vector
propriu corespunzator valorii proprii nenule este vectorul
j ′ = a11 i + a12 j , deci putem retine ca ecuatia axei de simetrie a
parabolei este
a11∂H
∂x+ a12
∂H
∂y= 0.
Daca a11 = 0, δ = 0⇒ a12 = 0. Rezulta ca a22 6= 0. In acest caz
consideram j ′ = a12 i + a22 j vectorul propriu corespunzator valorii
proprii nenule si axa de simetrie a parabolei este
a12∂H
∂x+ a22
∂H
∂y= 0.
ExempluNe propunem sa determinam reperul (canonic) in raport cu care
cuadrica urmatoare are ecuatia canonica.
(Γ) y2 − z2 + 4xy − 4xz − 6x + 4y + 2z + 8 = 0.
Aceasta ecuatie e data in raport cu un reper ortonormat
R ={O; i , j , k
}. Vom nota coordonatele punctelor in raport cu
reperul canonic prin x , y , z .Calculam invariantii ortogonali δ = 0, ∆ 6= 0. Valorile proprii ale lui
A sunt λ1 = 3, λ2 = −3, λ3 = 0. Deci cuadrica este un paraboloid
hiperbolic.
Directiile principale sunt i ′ = 1
3(−2i − 2j + k) ∈ U(3),
j ′ = 1
3(−2i + j − 2k) ∈ U(−3), k ′ = 1
3(i − 2j − 2k) ∈ U(0).
Primelor doua directii principale le corespund doua plane de
simetrie.
Planul (yV z) este planul diametral conjugat lui i ′:2x + 2y − z − 1 = 0.
Planul (xV z) este planul diametral conjugat lui j ′:2x − y + 2z + 2 = 0.
Intersectia acestor doua plane de simetrie ne va da axa de simetrie
V z : x1
= y−2 = z+1
−2 .Intersectand V z cu cuadrica obtinem varful paraboloidului:
V ( 5
18,−10
18, 2818
).Planul (xV z) este planul tangent cuadricei in V si il obtinem prin
dedublare din ecuatia cuadricei: −x + 2y + 2z + 9
2= 0.
Celelalte doua axe ale reperului canonic Rc ={V ; i ′, j ′, k ′
}se
determina ca drepte prin C , de directie respectiv i ′, j ′, sau ca
intersectia a cate doua plane ale reperului canonic, deja
determinate.
Pentru a determina ecuatia canonica a cuadricei, stim ca
A′ =
3 0 0
0 −3 0
0 0 0
si B ′ = (tS0A + B) S =(0 0 −3
),
a′00
= H(S0) = 0, unde S0 e matricea coloana a coordonatelor lui
V si S e matricea schimbarii de baze{i , j , k
}→{i ′, j ′, k ′
}.
Deci ecuatia canonica a paraboloidului hiperbolic este
3x2 − 3y2 − 6z = 0⇔ x2 − y2 = 2z .
Exemplu
Fie cuadrica
x2 + y2 − 2xy − 2y − 2z + 1 = 0.
Determinam δ = 0, λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = 0, K 6= 0, deci cuadrica
este un cilindru parabolic.
Consideran directia principala corespunzatoare lui λ2,j ′ = 1√
2
(i − j
). Planul diametral conjugat lui j ′ este plan de
simetrie pt cilindrul parabolic: (xO ′z) : 2x − 2y + 1 = 0. (Am
notat cu O ′ originea reperului canonic, inca nedeterminata).
Intersectia dintre planul de simetrie si cilindru este axa reperului
canonic
(O ′z)x + 1
2
1=
y
1=
z − 5
8
−1.
Generatoarele cilindrului sunt paralele cu aceasta axa.
Ca origine a reperului canonic putem alege orice punct de pe
aceasta dreapta, de exemplu O ′(−1
2, 0, 5
8).
Planul (xO ′y) este planul perpendicular in O ′ pe dreapta O ′z :x + y − z + 9
8= 0.
Axa (O ′x) este intersectia planelor (xO ′z) si (xO ′y), iar axa O ′y seobtine ca �ind normala in O ′ la planul (xO ′z).Astfel determinam
(O ′x)x + 1
2
1=
y
1=
z − 5
8
2, (O ′y)
x + 1
2
1=
y
−1=
z − 5
8
0.
In �nal, planul (yO ′z) e planul prin O ′, avand ca normala dreapta O ′x :x + y + 2z − 3
4= 0.
Pentru a scrie ecuatia canonica a cilindrului parabolic, folosim
A′ =
0 0 00 2 00 0 0
, B ′ =(− 3√
60 0
), a′
00= H(S0) = 0, deci
y2 =3√6x .
Sau ne reamintim ca ecuatia canonica este
y2 = −2
√− K
λ32
x .
Intersectia dintre o dreapta si o hipercuadrica (Recapitulare)Consideram utila o scurta recapitulare a unor notiuni predate in primulsemestru, legate de hipercuadrice a�ne.Ne vor ajuta sa determinam ecuatia hiperplanului tangent la ohipercuadrica intr-un punct al ei, ecuatia normalei la hipercuadricaintr-un punct al ei, sa studiem directiile asimptotice, asimptotele sihiperconul asimptot.Incepem cu studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica.Remarcam ca nu mai este necesar sa ne situam intr-un spatiu a�neuclidian, ci doar intr-un spatiu a�n real.
Fie dreapta d ce trece prin P0(r0), de directie u 6= 0. Notam cu X0,
U matricea coloana a coordonatelor lui P0, respectiv u in raport cu
un reper cartezian (respectiv baza reperului).
Deci d are ecuatia matriceala X = X0 + λU, λ ∈ R.
Intersectia dintre dreapta d si hipercuadrica Γ de ecuatie (1) este
determinata de sistemul de ecuatii{λ2 (tUAU) + 2λ (tX0AU + BU) + H(X0) = 0,
X = X0 + λU.
Vom studia numarul solutiilor acestuia.
Sa presupunem ca tUAU 6= 0, deci prima ecuatia a sistemului
anterior este o ecuatie de gradul doi.
Daca discriminantul ecuatiei ∆λ este strict pozitiv, atunci d
intersecteaza Γ in doua puncte distincte. Spunem ca d este
secanta hipercuadricei.
Daca ∆λ < 0, atunci ecuatia nu are solutii si deci d ∩ Γ = ∅.Spunem ca d este exterioara (sau nesecanta) hipercuadricei.
Daca ∆λ = 0, atunci dreapta taie hipercuadrica intr-un punct
dublu. In acest caz d este tangenta hipercuadricei.
Tangente la o hipercuadrica a�na
Am obtinut deci ca dreapta d este tangenta hipercuadricei daca si
numai daca ∆λ = 0. Calculand discriminantul ∆λ si tinand cont de
faptul ca ecuatia dreptei d poate � data utilizand orice punct al ei,
obtinem ecuatia patratica a tangentelor la o hipercuadrica, de
directie �xata u 6= 0:(tXAU + BU
)2 − H(X )(tUAU
)= 0. (10)
Ecuatia (10) reprezinta ecuatia unei hipercuadrice degenerate
(∆ = 0), uneori hipercuadrica vida. In cazul unui elipsoid, se obtine
un cilindru eliptic cu generatoarele de directie u.
Daca ne intereseaza sa determinam ecuatia patratica a tuturor
tangentelor la o hipercuadrica, ce trec printr-un punct �xat P0(X0),inlocuim in (10) U = 1
t(X − X0), pentru t 6= 0. Grupand
convenabil termenii ecuatiei, obtinem
G (X ,X0)2 − H(X0)H(X ) = 0. (11)
Am notat cu G (X ,X0) =t X0AX + B(X + X0) + a00. Deci G este
forma a�na biliniara simetrica asociata formei patratice a�ne H
(forma polara a lui H).
Se obtine iarasi o hipercuadrica degenerata, eventual vida. In cazul
unui elipsoid ecuatia de mai sus reprezinta un con patratic cu varful
in P0.
Hiperplanul tangent la hipercuadrica intr-un punct al ei
Sa presupunem ca punctul P0 apartine hipercuadricei
⇔ H(X0) = 0.
Atunci multimea tuturor tangentelor la hipercuadrica in P0(X0) ∈ Γeste
G (X ,X0) = 0⇔=t X0AX + B(X + X0) + a00. (12)
In cazul in care (12) este ecuatia unui hiperplan, el se
numeste hiperplanul tangent hipercuadricei in P0.
Observam ca ecuatia acestuia se obtine din ecuatia hipercuadricei
prin dedublare in P0.
Normala la o hipercuadrica intr-un punct al ei
Vectorul normal acestui hiperplan are coordonatele tX0A + B , adica
N(X0) =1
2
(∂H
∂x1(X0)e1 +
∂H
∂x2(X0)e2 + · · ·+ ∂H
∂xn(X0)en
).
Normala la hipercuadrica Γ in P0 ∈ Γ este normala in P0 la
hiperplanul tangent hipercuadricei in P0.
Ecuatia acesteia este
X = X0 + λN(X0), λ ∈ R.
Exemplu
Determinati ecuatia planului tangent elipsoiduluix2
48+ y2
12+ z2
3− 1 = 0 in P0(2, 1,
√5
2), cat si ecuatiile normalei in
P0 la elipsoid.
Planul tangent:
xx0
48+
yy0
12+
zz0
3− 1 = 0⇔ 1
24x +
1
12y +
√10
6z − 1 = 0.
Ecuatiile canonice ale normalei:
x − 21
24
=y − 1
1
12
=z −
√5
2√10
6
= 0.
Exemplu
Determinati punctele de pe elipsoidul 9x2 + 4y2 + z2 − 26 = 0, in
care normalele la elipsoid sunt paralele cu dreapta
d : x−19
= y+2
8= z−1
1.
Directia normalei la elipsoid in P0(x0, y0, z0) este
N = 1
2
(∂H∂x (X0), ∂H∂y (X0), ∂H∂z (X0)
)= (9x0, 4y0, z0).
Deci N este coliniar cu vectorul director al dreptei d daca si numai
daca 9x09
= 4y08
= z01
:= t. Punand conditia ca P0 sa apartina
elipsoidului, obtinem | t |= 1, deci P0(1, 2, 1) sau P0(−1,−2,−1).
ExempluDeterminati ecuatiile tangentelor la conica Γ, paralele cu primabisectoare, unde
Γ : 2x2 − 4xy + y2 + 4x − 2y − 7 = 0.
Fie dreapta d : y = x + n, paralela cu prima bisectoare.Determinam n ∈ R din conditia ca intersectia dintre d si Γ sa �e unpunct dublu.
d∩Γ
(y = x + n
2x2 − 4xy + y2 + 4x − 2y − 7 = 0⇔
(y = x + n,
x2 + 2(n − 1)x − n2 + 2n − 7 = 0.
Impunem ca discriminantul ecuatiei de gradul 2 in x sa �e zero, decin2 − 2n − 3 = 0, de unde obtinem n = 3 sau n = −1.Deci ecuatiile tangentelor cautate sunt y = x + 3 si y = x − 1.
O alta metoda de a rezolva aceasta problema este folosirea ecuatiei (10).
Inlocuind A =
(2 −2−2 1
), B = (2 − 1), tU = (1 1), obtinem ecuatia
patratica a tangentelor paralele cu prima bisectoare:
x2 + y2 − 2xy + 2x − 2y − 3 = 0⇔ (y − x − 3)(y − x + 1) = 0.
Directii asimptotice
Sa revenim la ecuatia
λ2(tUAU
)+ 2λ
(tX0AU + BU
)+ H(X0) = 0.
In cazul in care tUAU = 0, ecuatia precedenta este o ecuatie de
gradul I in λ, deci in acest caz dreapta d poate intersecta
hipercuadrica in cel mult un punct:
2λ(tX0AU + BU
)+ H(X0) = 0. (13)
De�nition
Directia u 6= 0 se numeste directie asimptotica daca matricea
coordonatelor sale veri�ca tUAU = 0.
Putem avea urmatoarele situatii:
tX0AU + BU 6= 0⇒ d ∩ Γ = {P}. In acest caz d se numeste
secanta de directie asimptotica. (este cazul axei de simetrie
a unei parabole)tX0AU + BU = 0
daca H(X0) 6= 0, atunci Γ ∩ d = ∅ si d se numeste asimptota.daca H(X0) = 0, atunci (13) este identic veri�cata si decid ⊂ Γ. Dreapta d se numeste generatoare pentruhipercuadrica.
Pentru a determina directiile asimptotice ale hipercuadricei,
rezolvam ecuatia omogena tUAU = 0.
Exempli�cam pentru cazul conicelor.
Pentru u = l i + mj , ecuatia devine
a11l2 + 2a12lm + a22m
2 = 0.
Deoarece u 6= 0, rezulta ca m 6= 0 sau l 6= 0. Presupunem m 6= 0.
Impartim ecuatia de mai sus prin m2 si notam lm
= λ.Ecuatia devine
a11λ2 + 2a12λ+ a22 = 0.
Discriminantul acestei ecuatii este −δ. Astfel, obtinem:
o conica de gen hiperbolic are doua directii asimptotice
distincte;
o conica de gen parabolic are o singura directie asimptotica;
o conica de gen eliptic nu are directii asimptotice.
Asimptote
Din cele expuse mai sus deducem ca daca X e matricea
coordonatelor unui punct de pe o asimptota, atunci
tXAU + BU = 0, unde tUAU = 0.
Pentru u directie asimptotica, ecuatia tXAU + BU = 0 este (in
general) ecuatia hiperplanului diametral conjugat lui u, pe care il
numim hiperplan asimptot pentru hipercuadrica.
Deci orice asimptota a unei hipercuadrice este situata intr-un
hiperplan asimptot al acesteia.
Mai observam ca pentru o cuadrica cu centru unic de simetrie,
acesta apartine �ecarei asimptote.
Pentru o hiperbola exista doua asimptote, ele �ind dreptele
prin centrul de simetrie C , avand ca directie cele doua directii
asimptotice.
Pentru parabola, observam ca ecuatia tXAU + BU = 0
reprezinta ecuatia diametrului conjugat directiei asimptotice u.
Tinand cont de δ = 0 si ∆ 6= 0, se poate arata ca ecuatiatXAU + BU = 0 nu are solutii. Deci parabola aere o singura
directie asimptotica, si anume directia axei de simetrie, dar
nu are asimptote.
Pentru o elipsa nu exista directii asimptotice, deci nici
asimptote.
In cazul unei drepte duble sau a doua drepte paralele, se
demonstreaza ca orice dreapta paralela cu conica este
asimptota.
Hiperconul asimptot
In cazul unei hipercuadrice cu centru unic de simetrie C (X0),considerand multimea tuturor asimptotelor hipercuadricei ( care
trec prin centrul de simetrie), obtinem ecuatia
t(X − X0)A(X − X0) = 0⇔ H(X ) =∆
δ.
In cazul in care aceasta ecuatie reprezinta o hipercuadrica nevida,
ea este un hipercon patratic, numit hiperconul asimptot al
hipercuadricei.
In cazul cuadricelor, doar hiperboloizii au con asimptot, iar pentru
conice, doar hiperbola are con asimptot, format din reuniunea celor
doua asimptote.
ExempluSa determinam ecuatiile asimptotelor unei conice de ecuatie
6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0.
Calculam δ = −9, ∆ = 81, deci este o hiperbola.Centrul de simetrie are coordonatele date de solutia sistemului{
1
2
∂H∂x = 0,
1
2
∂H∂y = 0,
si obtinem C (−1, 2).
u = l i + mj este directie asimptotica daca si numai daca
(l m
)( 0 33 8
)(l
m
)= 0⇔ 8m2 + 6lm = 0.
Obtinem m = 0 sau m = − 3
4l . Alegem ca directii asimptotice u1 = i si
u2 = 4i − 3j . Cele doua simptote ale hiperbolei au ecuatiile:
(a1) y = 2, (a2) 3x + 4y − 5 = 0.
Cea mai rapida metoda este de a scrie ecuatia conului asimptot
6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = −9⇔ (y − 2)(3x + 4y − 5) = 0.
Exemplu
Determinati ecuatia conului asimptot pentru hiperboloidul cu o
panza
x2 + 3y2 + 4yz − 6x + 8y + 8.
Am demostrat anterior ca aceasta cuadrica este un hiperboloid cu o
panza, si ca centrul sau de simetrie este C (3, 0,−2).Ecuatia conului asimptot este
H(X ) =∆
δ⇔ x2 + 3y2 + 4yz − 6x + 8y + 9 = 0.
