UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

DIJANA MILINKOVIC

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

studijski program: matematika - fizika

Elipsa skozi zgodovino

DIPLOMSKO DELO

Mentor: izr. prof. dr. Marko Razpet Kandidatka: Dijana Milinkovic

Ljubljana, april 2016

Zahvala

Zahvaljujem se svojim starsem in sestri za potrpezljivost in spodbudne besede,

ne le ob pisanju diplome, temvec tudi v casu studija. Hvala za podporo in vas

cas. Velika zahvala gre tudi Mariu, ki me je ves cas motiviral in dokazal, da

se vztrajnost na koncu poplaca. Vsekakor pa je k mojemu diplomskemu delu

doprinesel tudi s svojim znanjem in izkusnjami.

Tudi moj mentor in hkrati profesor, dr. Marko Razpet, je v moje diplomsko delo

vlozil svoj trud in cas, za kar se mu iskreno zahvaljujem. Hvala za Vase usmeritve

in predano znanje, brez cesar moj koncni izdelek ne bi bil tak, kot je.

Povzetek

Elipso lahko v nasem zivem okolju srecamo povsod okoli nas. Ze ce nagnemo va-

ljasto oblikovan kozarec vode, se na povrsju izoblici elipsa. S posevnim presekom

plastenke na njenem robu izoblikujemo elipso. Pa tudi s svetilko lahko prikazemo

elipso, ce le-to pod primernim kotom usmerimo na ravno podlago. Iz tega lahko

sklepamo, da elipse vidimo vsak dan, le da tega mogoce ne zaznamo tako pogosto.

V astronomiji ima elipsa, kot tirnica, po kateri se gibljejo planeti, kljucno vlogo.

Vse bolj pa obliko elipse vpeljujemo skozi moderno oblikovano pohistvo, zgradbe

. . .

V diplomskem delu sem predstavila elipso od njenega zacetka kot slucajno od-

krito krivuljo pri iskanju resitve znamenitega matematicnega problema - podvo-

jitve kocke. Nato sem preko Apolonija iz Perge, Keplerja, Lissajousa, Cassinija

in drugih znanih in cenjenih geometrov, filozofov in astronomov izpostavila naj-

pomembnejse lastnosti elipse. Zanimivo pa je, da lahko elipso pridobimo tako s

presekom stozca kot tudi valja, zato je elipsa poseben primer stoznice.

Kljucne besede: elipsa, zgodovina, stoznice, Apolonij iz Perga, astronomija,

stoznice

MSC (2010): 01A20, 01A30, 01A40, 01A45, 51N20, 53A04, 78A10, 85A04

Abstract

We encounter ellipse everywhere around us. It is enough to lean a cylindrical

glass of water to see an ellipse, shaped on the surface. With cross section of a

plastic bottle we form an ellipse on the bottle’s surface. The other way to show/

illustrate an ellipse is to shine a flashlight at a straight wall under a suitable

angle. All of this makes us realize that ellipse is a curve that we encounter every

day but are unaware of its existence. In astronomy, an ellipse as orbit of planets,

has a key role. And there is an increased use of ellipse and elliptic shapes in

architecture and interior design.

In my diploma thesis I write about ellipse from its start as an accidentally disco-

vered curve while solving a famous mathematical problem – doubling the cube. I

then pointed out some of the ellipses most important properties through Apollo-

nius of Perga, Kepler, Lissajous, Cassini and other famous and respected geome-

ters, philosophers and astronomers. What is interesting is that although ellipse

is obtained from a cone as well as from a cylinder, it is called a conic.

Keywords: ellipse, history, conic sections, Apollonius of Perga, astronomy, co-

nics

MSC (2010): 01A20, 01A30, 01A40, 01A45, 51N20, 53A04, 78A10, 85A04

Kazalo vsebine

Seznam slik vii

1. Uvod 1

2. Zgodovina stoznic 2

2.1 Zacetki studija stoznic v anticni Grciji . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Menajhmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Evklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Arhimed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.5 Apolonij iz Perge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9 Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Definicije elipse 23

3.1 Analiticna definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Geometrijska definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Definicija s pomocjo vodilkine lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Enacba elipse 28

4.1 Kanonicna oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Polarna oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

v

vi Kazalo vsebine

4.3 Elipsa kot presek valja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Konstrukcije elipse 35

5.1 Konstrukcija po analiticni definiciji . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Konstrukcija po geometrijski definiciji . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Geometrijska (vrtnarska) konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (kroznimi loki) . . . . . . . . . 40

6. Lastnosti elipse 45

6.1 Obseg elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Ploscina elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Evoluta elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4 Konjugirani diametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7. Tangente elipse 63

7.1 Enacba tangente na elipso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8. Elipse v vesolju 67

8.1 Elipticne galaksije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9. Zakljucek 69

Literatura 70

Seznam slik

2.1 Zgodovinske konstrukcije stoznic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Premer in tetive elipse, ki so vzporedne konjugiranemu premeru . 5

2.3 Apolonij iz Perge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Tangenta na elipso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Stoznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Pravi Cassinijev oval (c/d < 1/√

2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Stisnjen Cassinijev oval (1/√

2 < c/d < 1) . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Bernoullijeva lemniskata (c/d = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Dvodelna Cassinijeva jajcnica (c/d > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Cassinijeva jajcnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.11 Daljica: φ2 − φ1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.12 Elipsa: φ2 − φ1 = π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.13 Kroznica: φ2 − φ1 = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.14 Elipsa: φ2 − φ1 = 3π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.15 Daljica: φ2 − φ1 = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Elipsa kot skrcenje kroznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Elipsa po geometrijski definiciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Vodilkina lastnost elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 K izpeljavi polarne oblike elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Elipsa kot presek valja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

vii

viii Seznam slik

4.3 Elipsa kot presek valja z vpeljavo novega koordinatnega sistema . 33

5.1 Dolocanje tocke elipse s pomocjo dveh kroznic . . . . . . . . . . . 36

5.2 Konstrukcija elipse s pomocjo male in velike kroznice . . . . . . . 37

5.3 Geometrijska konstrukcija elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Vrtnarska konstrukcija elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Konstrukcija elipse s pritisnjenimi krogi . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Izpeljava krivinskega polmera RB s pomocjo podobnih trikotnikov 42

5.7 Izpeljava krivinskega polmera RB s pomocjo podobnih trikotnikov 43

6.1 Povezava med ploscino elipse in ploscino kroga . . . . . . . . . . . 48

6.2 Dolocanje ploscine elipse s prilegajocimi veckotniki . . . . . . . . 49

6.3 Arhimedov nacin dolocanja ploscine elipse . . . . . . . . . . . . . 49

6.4 Dolocanje ploscine elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5 Trikotnik v elipsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6 Evoluta elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.7 Evoluta elipse s pogojem a >√

2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.8 Evoluta elipse s pogojem b < a <√

2b . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.9 Evoluta elipse s pogojem a =√

2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.10 Dokazovanje Apolonijevih izrekov na elipsi . . . . . . . . . . . . . 61

7.1 Odbojna lastnost elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Konstrukcija tangente na elipso preko simetrale kota . . . . . . . 65

7.3 Konstrukcija tangente na elipso preko kroznice . . . . . . . . . . . 66

8.1 Razporeditev oblik galaksij po Hubble-u . . . . . . . . . . . . . . 68

1. Uvod

Elipsa se pojavlja v umetnosti, astronomiji, fiziki, matematiki . . . Sama pred

poznavanjem te matematicne figure nisem opazila, da jo je vse polno okoli nas.

Mojo pozornost je pritegnila pri pouku umetnosti, kjer se velikokrat pojavlja.

Gotovo je vsem dobro znan rimski Kolosej, ki spada med sedem svetovnih cudes.

Pa trg Svetega Petra v Rimu z elipticno oblikovanim prostorom, ki ga obdajajo

dorski stebri. V srediscu te elipse pa se nahaja obelisk. Tudi moderna arhitektura

ne zaostaja. Velicasten in zelo znan je stadion Maracana v Riu de Janeiru, ki je

nekaj casa nosil tudi titulo najvecjega stadiona na svetu. Ima elipticno oblikovano

tako travnato igrisce kot tudi streho oziroma odprtino v strehi.

Ce prosimo otroke, da nam narisejo Batmanov simbol oziroma znak, bo vecina

otrok znala narisati elipso z netopirjem v notranjosti. Verjetno pa ne bo nihce

znal povedati, kaj ta krivulja je. Danes imamo elipso za samoumevno in kljub

temu, da je del nasega vsakdana, je le malokomu poznana. Torej, zakaj ne bi to

zanimivo krivuljo malo bolje preucili. Pogledali bomo, kje se je prvic pojavila in

kako se je razvijala do danes.

1

2. Zgodovina stoznic

2.1 Zacetki studija stoznic v anticni Grciji

Zacetke studija stoznic postavljamo v leta okoli 360–350 pr. n. st. Tej temi je

posvecen velik del grske geometrije. Stoznice ali stozernice so krivulje drugega

reda, ki so bile odkrite nakljucno pri iskanju resitve delskega problema oziroma

problema podvojitve kocke. Vse naj bi se zacelo, ko je delsko prerocisce svetovalo

ljudem, da oltar v obliki kocke, posvecen bogu Apolonu, povecajo, natancneje

podvojijo. Le tako naj bi namrec zaustavili kugo, ki je morila okoli.

Ze Demokrit je sicer pisal o krogih, ki jih dobimo, ce stozec ali valj presekamo

z ravnino vzporedno osnovni ploskvi. Pojavila so se ugibanja, da so Grki, sicer

dobri opazovalci, bili prica precnemu presekanju nekega valjastega ali stozcastega

objekta v realnem zivljenju. Kot presek bi med drugim lahko dobili elipso, kar

bi vodilo v nadaljnje raziskovanje te in drugih krivulj, predvsem stoznic. [1] [4]

2.2 Menajhmos

Ker je bilo treba volumen kockastega oltarja podvojiti, so morali vsak njegov rob

povecati za faktor 3√

2. Problem se je pojavil, ker tega stevila samo z neoznacenim

ravnilom in sestilom (to so takrat uporabljali) ni bilo mozno konstruirati. Me-

najhmos (380–320 pr. n. st.) je bil grski geometer, ki je nadaljeval Hipokratovo

delo. Hipokrat iz Hiosa (460–380 pr. n. st.) je, sicer pri resevanju drugih ma-

tematicnih problemov, prisel na idejo, da moramo za podvojitev kocke poiskati

taka x in y, velikosti med a in b, da velja: a : x = x : y = y : b, pri cemer je

b = 2a.

2

2.3 Evklid 3

Ce iz teh razmerij zapisemo sistem enacb, dobimo:

1. ax

= xy

=⇒ x2 = ay

2. xy

= y2a

=⇒ y2 = 2ax

3. ax

= y2a

=⇒ xy = 2a2

Vidimo, da druga enacba spominja na enacbo parabole. Hipokratu pa se vseeno,

kljub trudu in preracunavanju, to ni prineslo koncne resitve. Menajhmos se je

problema lotil malo drugace in za resitev dobil parabolo in pravokotno hiperbolo,

do takrat se neznani krivulji. Natancneje je za resitev dobil presek parabole

in pravokotne hiperbole ter presek dveh parabol. Ni sicer znano, kako je sploh

prisel na to idejo. Vendar je zahvaljujoc delskemu problemu prisel do odkritja

treh krivulj (elipse, hiperbole in parabole), ki jih je dobil s prerezom stozca. Od tu

pa tudi ime za te krivulje, stoznice. Eratosten jih je poimenoval kar Menajhmova

triada. Imena stoznic, kot jih poznamo danes, pa so le-te dobile pozneje. Sledilo

je intenzivno raziskovanje stoznic. [1]

2.3 Evklid

Stari Grki so stozec definirali kot ploskev, ki jo opise pravokotni trikotnik, ko

ga zavrtimo okoli ene od katet. Na zacetku so poznali le pokoncne stozce. Med

temi so, glede na kot pri vrhu stozca, locili pravokotni, ostrokotni in topokotni

stozec. Ce so te razlicne stozce nato presekali z ravnino, pravokotno na stranico

stozca, so dobili razlicne stoznice. Na podlagi tega so jih potem tudi poimenovali.

Za elipso so uporabljali ime presek ostrokotnega stozca, parabola je bila presek

pravokotnega stozca in hiperbola presek topokotnega stozca. To vse je opisal

Evklid (365–275 pr. n. st.), grski matematik, v svojih stirih knjigah Stoznice,

kjer je zbral in uredil, kar je bilo do tedaj znanega o geometriji stoznic. Le-te

so zal izgubljene oziroma ohranjene le skozi nekatere prevode in navedbe drugih

grskih matematikov. Tudi sicer pa je Evklid zelo znan po svojem delu Elementi,

ki steje 13 knjig in predstavlja osnovo celotne geometrije. To je hkrati, poleg

Biblije, najveckrat prevedeno delo. [1] [9]

4 Zgodovina stoznic

O stoznicah je pisal tudi Aristej (370–300 pr. n. st.), Evklidov sodobnik. Ceprav

naj bi bilo Aristejevo delo (pet knjig) bolj specializirano in nekaj drugacnega, se

je Apolonij iz Perge pri svojem raziskovanju bolj opiral na Evklida. Apolonijevo

raziskovanje in delo naj bi bilo namrec bolj skladno z Evklidovim. [1]

Treba je povedati, da je veliko del grskih matematikov in filozofov izgubljenih,

tako da so pozneje pisatelji njihova dela poskusali reproducirati iz raznih preve-

denih del ter iz komentarjev na njihova dela.

Slika 2.1: Zgodovinske konstrukcije stoznic

2.4 Arhimed

Arhimed (285–212 pr. n. st.), najbolj znani anticni matematik, je vecino splosnih

lastnosti stoznic, sicer brez dokazov, prevzel od Evklida. Arhimed je glavni osi v

elipsi poimenoval diametra, vecji in manjsi. Diametru obicajno recemo premer.

V elipsi danes imenujemo premer vsako tetivo, ki poteka skozi sredisce. Za razliko

od kroga imamo pri elipsi razlicno dolge premere.

2.4 Arhimed 5

Navedimo nekaj lastnosti, ki jih je Arhimed pripisal elipsi.

1. Poltrak, ki poteka iz sredisca elipse skozi dotikalisce katerekoli tangente na

elipso, razpolavlja vse tetive, vzporedne tej tangenti.

2. Tangenti v krajiscih enega od obeh konjugiranih premerov1 elipse sta vzpo-

redni drugemu (konjugiranemu) premeru.

3. Ce stozec, pokoncni ali posevni, presekamo z ravnino, ki seka vse njegove

tvorilke2, dobimo za presek krog ali elipso. [1] [9] [5] [6]

Slika 2.2: Premer in tetive elipse, ki so vzporedne konjugiranemu premeru

Tako Evklid kot Arhimed sta se drzala metode, s katero tri razlicne stoznice do-

bimo s preseki treh razlicnih stozcev. Oba sta se sicer zavedala, da lahko stoznice

dobimo tudi z drugacnimi preseki, vendar tega nista raziskovala. Apolonij (260–

190 pr. n. st) pa je bil tisti, ki je utemeljil teorijo, da je vsako stoznico mogoce

dobiti na enostaven nacin, s presekom kakrsnega koli dvojnega stozca. [1]

1Konjugirana premera sta premera kroga, elipse ali hiperbole, od katerih en premer razpo-

lavlja drugemu vse vzporedne tetive.2Premica ali krivulja, ki s svojim gibanjem oblikuje ali opise lik, ploskev.

6 Zgodovina stoznic

2.5 Apolonij iz Perge

Slika 2.3: Apolonij iz Perge

O njegovem zivljenju vemo bolj malo. Rodil se je v Pergi v Pamfiliji (danasnja

Antalija, Turcija) ok. leta 260 pr. n. st. Precej mlad je odsel studirat v

Aleksandrijo, kjer se je ucil z Evklidovimi nasledniki. Uspeh je dozivel v casu

vladanja Ptolemaja Evergeta (vladal od 247–222 pr. n. st.). Apolonij je znan

kot geometer, malo manj pa kot astronom. Objavil je osem knjig pod imenom

O stoznicah. Cetrto in vse naslednje je posvetil kralju Atalu I. (241–197 pr. n.

st.), prvi dve pa Evdemu iz Pergamona. Po izidu Apolonijevih Stoznic so ga

ostali avtorji pri obravnavi stoznic redno citirali. Nekaj matematikov je napisalo

tudi komentar na njegovo delo. [1]

Prve stiri knjige, ki naj bi bile dopolnitev Evklidovih stirih knjig, so se ohranile

v grscini in naj bi bile prirocniki o stoznicah, ki so zajemali definicije in temeljne

trditve. Te so bile namenjene bolj splosni rabi. Na zacetku je Apolonij splosno

opisal stozec. Definiral je posamezne komponente stozca. Opisal je, kako iz stozca

dobimo stoznice in krog ter definiral geometrijske elemente, ki jih lahko pripisemo

stoznicam (tangente, asimptote, normale . . . ). Apolonij je lastnosti stoznic opiso-

val s pomocjo diametra. Sele pozneje je stoznice definiral s pomocjo (glavnih) osi.

2.5 Apolonij iz Perge 7

Peta, sesta in sedma knjiga pa so se ohranile v arabscini (prevedla sta jo

brata Ahmad in al-Hasan), medtem ko se je osma izgubila. Te knjige so bolj

specializirane. [1]

Apolonij je v svojem delu o stoznicah zapisal takole: Ce se poljubno dolga

premica, ki poteka skozi fiksno tocko, giblje po obodu kroga, opise ravno plasc

dvojnega stozca. Na ta nacin je definiral stozec. Za razliko od predhodnikov,

ki so za definiranje stoznic uporabljali en stozec, je Apolonij stoznice dobil s

presekom posevnega dvojnega stozca, ki se razteza v neskoncnost v obe smeri.

Posledicno je bila hiperbola po novem sestavljena iz dveh vej. Tako jo poznamo

se danes. [1]

Tu je le nekaj Apolonijevih pomembnejsih ugotovitev o stoznicah oziroma elipsah:

1. Latus rectum je daljica, s pomocjo katere je Apolonij definiral in locil

stoznice. Zaradi razlicni presekov stozca lahko skonstruiramo razlicno velike

pravokotnike, katerih ploscina ustreza kvadratu ordinate, eno od stranic pa

predstavlja latus rectum.

2. Premer je ravna crta (danes bi jo definirali kot daljico), ki razpolavlja vsak

niz vzporednih tetiv stoznice.

3. Konjugirana premera sta premera, od katerih vsak razpolavlja tetive, vzpo-

redne drugemu premeru.

4. Poleg premera je definiral tudi osi stoznic, v elipsi pa celo veliko in malo os.

Za glavni osi je vzel par ekstremno dolgih konjugiranih premerov.

5. S pomocjo konjugiranih premerov je definiral tudi tangento, in sicer kot

premico t, ki poteka skozi krajisce premera elipse in je hkrati vzporedna

njenemu konjugiranemu premeru. Oziroma, ce se bo premica t dotikala

elipse v eni sami tocki in med elipso in to premico ne bo mogla priti nobena

druga premica, bo premica t tangenta na elipso.

6. Normala je premica skozi poljubno tocko krivulje in je pravokotna na tan-

gento v tej tocki.

8 Zgodovina stoznic

7. Apolonij je bil prvi, ki je definiral osni trikotnik oziroma trikotnik, ki ga

dobimo, ce stozec presekamo z ravnino, pravokotno na osnovno ploskev.

Danes temu pravimo osni presek stozca. [1] [20]

Apolonij se je preko tangente elipse navezal tudi na optiko in opticne lastnosti

elipse. In sicer v delu O zazigajocih zrcalih, ki se je zal ohranilo zgolj skozi

navedbe v delih drugih piscev in filozofov. Predvsem Diokles (240–180 pr. n.

st.), grski matematik, se je pri dokazovanju navezoval na Apolonija. Apolonij je

ugotovil, da se zarek, ki ga posljemo skozi gorisce elipticno oblikovanega zrcala,

odbije v drugo gorisce elipse. Od tod bi lahko prislo ime gorisce – tocka, v kateri

gori. Obstajajo zapisi, ki pricajo o tem, da naj bi Arhimed prav s pomocjo zrcal

pozgal nasprotnikove ladje. Kar je sicer mozno z vecjim stevilom in ustrezno

postavitvijo zrcal. Njegovo idejo je nadaljeval Apolonij, toda s sfericnim in nato

parabolicnim zrcalom. [1] [13]

To zariscno lastnost elipse lahko izkoristimo se na druge nacine. Ce imamo na

primer elipticno oblikovano biljardno mizo in posljemo zogico skozi eno od gorisc

v katerokoli smer, se bo zogica odbila in sla cez drugo gorisce. Ce na tem mestu

naredimo luknjo, pa bo zogica pristala notri. Seveda moramo pri tem upostevati

se dolocene fizikalne pojave, kot so trenje, primerna hitrost . . .

Enako velja za infrardece, toplotne, zvocne valove . . . Predvsem za slednje lahko

to enostavno preverimo. Namrec, v prostorih z elipticnim tlorisom ali obokom

slisimo sepetanje osebe, ce ta stoji v enem, mi pa v drugem goriscu. [7]

Ker je elipsa krivulja, moramo ta odboj obravnavati kot odboj na tangenti elipse.

Dokazali bomo odbojno lastnost elipse, natancneje, da poltraka, ki potekata skozi

gorisci do poljubne tocke elipse, oklepata s tangento elipse enaka kota.

Naj bo t tangenta na elipso v tocki P in naj velja F1P + F2P = 2a. Ker je t

tangenta na elipso, to pomeni, da N (N 6= P ) lezi izven elipse in za vsako tocko

N velja |F1N |+ |F2N | > 2a. Naj bo R tocka, ki jo dobimo pri zrcaljenju tocke F2

cez tangento. Vemo, da zrcaljenje ohranja velikosti kotov in razdalje, zato velja,

da sta kota F2PN in RPN skladna in |F2P | = |RP | ter |F2N | = |RN |. Sedaj

moramo se dokazati, da tocka P res lezi na daljici F1R.

2.5 Apolonij iz Perge 9

To storimo tako, da pokazemo, da je pot od F1 do R najkrajsa, ce gre cez tocko

P .

|F1P |+ |PR| = |F1P |+ |F2P | = 2a < |F1N |+ |F2N | = |F1N |+ |NR|.

Slika 2.4: Tangenta na elipso

Tako iz slike kot iz zgornje enacbe oziroma neenacbe vidimo, da P res lezi na

daljici F1R. Kota F1PQ in RPN sta sovrsna. Kot smo ze prej rekli, sta tudi

kota F2PN in RPN skladna, torej velja ∠F2PN = ∠F1PQ. Torej smo dokazali,

da sta kota pod tangento elipse skladna. [8] [14]

Lastnosti stoznic, ki jih je Apolonij opisal v svoji knjigi, bi danes s kartezicnimi

koordinatami zapisali sledece:

y2 = px parabola (paraboλe),

y2 = px+p

dx2 hiperbola (hyperbole),

y2 = px− p

dx2 elipsa (elleipsis),

pri cemer je d diameter oziroma premer, p pa parameter.

10 Zgodovina stoznic

Grki so vse matematicne enacbe in probleme resevali s pomocjo geometrije in

niso uspeli priti do tega, da bi to storili s samimi enacbami. Tezava je bila v

tem, da so enacbe zapisovali z besedami, saj s simboli se niso operirali. Tako

na primer pri Apoloniju najdemo enacbo dolgo tudi celo stran. Apolonij je na

podlagi razmerij med stranicami stozca, stoznice, daljicami, nastalimi s presekom

z ravnino . . . prisel do koncne enacbe. Le-ta nam pove, da je kvadrat ordinate

stoznice enak ploscini pravokotnika (ena od njegovih stranic je abscisa stoznice).

Apolonij je nato ta pravokotnik primerjal z pravokotnikom drugih stoznic. Pa

tudi iz zgornjih enacb je razvidno, da pri elipsi od stoznic skupnega px nekaj

odstejemo, medtem ko pri hiperboli pristejemo. Od tu izvirajo imena, ki jih je

Apolonij dal stoznicam in jih uporabljamo se danes. Parabola pomeni, da se

prilega (torej sta pravokotnika skladna), hiperbola pomeni presega, elipsa pa da

ne dosega. [1]

Na spodnji sliki lahko vidimo, kako je Apolonij dobil posamicne stoznice.

Slika 2.5: Stoznice

2.6 Kepler

Johannes Kepler (1571–1630) se je rodil v Weid-der-Stadtu, manjsem mestu blizu

Stuttgarta v Nemciji. Studiral je na univerzi v Tubingenu, kjer se je seznanil s Ko-

pernikovo teorijo o heliocentricnem sistemu. Nekaj casa je pouceval matematiko

na protestantski soli v Gradcu. Pozneje pa se je lotil preucevanja Kopernikove

2.7 Descartes 11

teorije, ki jo je zelel dopolniti oziroma popraviti. S tem namenom se je pridruzil

Tychu Braheju pri astronomskem opazovanju. Nikolaj Kopernik (1473–1543) je

utemeljil heliocentricni sistem, ki v sredisce vesolja ni postavljala vec Zemlje,

temvec Sonce in s tem povzrocil pravi preobrat v astronomiji. Kepler je to pri-

znaval. Na podlagi Kopernikovih ugotovitev in Brahejevih opazovanj je Kepler

leta 1609 postavil novo heliocentricno teorijo. Kepler se je nadvse trudil dokazati,

da so tirnice gibanja planetov popolne lepe kroznice, a so vsi izracuni in opazo-

vanja kazali drugace. Tako je Kepler, tudi na podlagi poznavanja Apolonijevih

stoznic, prisel do ugotovitve, da se planeti okoli Sonca gibljejo po elipsi. To in se

dve njegovi najpomembnejsi ugotovitvi danes poznamo pod imenom Keplerjevi

zakoni. [2] [3] [7]

1. Planeti se okoli Sonca gibljejo po elipticni tirnici, pri cemer je Sonce v enem

od gorisc te elipse.

2. Zveznica med planetom in Soncem opise v enakih casovnih intervalih enake

ploscine.

3. Razmerja kvadratov obhodih casov posameznih planetov in kubov velikih

osi elipse so konstantna. To lahko zapisemo tudi tako: T 2/a3 = konst. [8]

[9]

Ceprav je Apolonij v svojem raziskovanju stoznic gorisce ali fokus zanemaril, je

Kepler uvidel, da je le-ta pomemben element elipse pri njeni definiciji. Kepler

je bil tako prvi, ki je po starodavnih Grkih z idejo o gibanju planetov po elipsi

ponovno obudil starogrsko znanje o stoznicah. Leta 1604 je uvedel besedo fokus,

ki je povezala geometrijsko in astronomsko ozadje elipse. [3] [7]

2.7 Descartes

Kar ni uspelo starim Grkom, je okoli leta 1630 Reneju Descartesu (1596–1650) in

Pierru de Fermatu (1601—1665). Sicer nista sodelovala, a sta prisla do podobnih

ugotovitev in rezultatov. Medtem ko se je Fermat osredotocil na enacbe krivulj,

pa je Descartes dal vecji poudarek koordinatnem sistemu in enacbe uporabil le

12 Zgodovina stoznic

kot pripomocek pri studiju krivulj. Oba pa stejemo za zacetnika analiticne geo-

metrije. Fermat je poskusil Apolonijevo geometrijsko analizo stoznic zamenjati z

algebraicno verzijo. Apolonijeve dolge opise lastnosti in dokazov je zelel predelati

v preglednejse in krajse enacbe. Descartes pa naj bi bil tisti, ki je prvi zapisal

enacbo elipse v algebraicni obliki. Sicer ta enacba ni bila enaka danasnji, je bila

pa dober priblizek.

Pappus pa naj bi bil tisti, ki je zapisal prvo definicijo elipse. Le-to pa je zasnoval

na lastnosti gorisca in vodilke. Pappus ni bil prvi, ki je prisel na idejo te definicije,

je pa bil prvi, ki je elipso tako definiral in to tudi dokazal. [2] [11]

2.8 Cassini

Jean-Dominique ali Giovanni Domenico Cassini (1625–1712), znani astronom,

je zavracal tako Newtonovo gravitacijsko teorijo, kot tudi Keplerjevo idejo o

elipticnih tirnicah v vesolju. Namesto tega je leta 1680 za orbite planetov postavil

novo krivuljo – oval, ki jo poznamo tudi pod imenom Cassinijeva jajcnica.

Cassinijev oval je definiran kot geometrijsko mesto vseh tistih tock P , katerih

produkt razdalj od dveh izbranih tock (gorisc) je konstanten. To zapisemo kot:

|F1P | · |F2P | = d2. (2.1)

Krivuljo postavimo v pravokotni kartezicni koordinatni sistem tako, da je

F1(−c, 0), F2(c, 0). Tudi tej krivulji, tako kot elipsi, pripisemo goriscno razdaljo,

ki jo oznacimo z 2c. V bistvu gre za krivuljo, zelo podobno elipsi, le da je, kot ze

samo ime pove, ta bolj ovalne oblike. Oblika Cassinijeve krivulje je odvisna od

parametrov c in d. Pri tem velja c > 0 in d > 0.

Njena enacba je

((x− c)2 + y2) · ((x+ c)2 + y2) = d4, (2.2)

kar lahko drugace zapisemo kot

(x2 + y2 + c2)2 − 4c2x2 = d4. (2.3)

2.8 Cassini 13

Ce zelimo to enacbo zapisati se v polarni obliki, moramo upostevati naslednje:

x = r · cosφ, y = r · sinφ, x2 + y2 = r2. Zgornjo enacbo lahko potem zapisemo

kot

(r2 + c2)2 − 4c2r2 cos2 φ = d4. (2.4)

Malo poracunamo:

r4 + 2c2r2 + c4 − 4c2r2 cos2 φ = d4,

r4 + 2c2r2(1− 2 cos2 φ) + (c4 − d4) = 0.

Ker vemo, da je 2 cos2 φ− 1 = cos 2φ, lahko zapisemo:

r4 − 2c2r2 cos2 2φ+ (c4 − d4) = 0. (2.5)

Enacba je kvadratna za neznanko r2. Za resitev te enacbe dobimo

r21,2 =2c2 cos 2φ±

√4c4 cos2 2φ− 4(c4 − d4)

2.

Torej je

r21,2 = c2 cos 2φ±√c4 cos2 2φ− (c4 − d4). (2.6)

[15] [11]

Oblike Cassinijeve jajcnice so razlicne in odvisne od razmerja c/d, kar je razvidno

tudi na spodnjih slikah.

14 Zgodovina stoznic

Slika 2.6: Pravi Cassinijev oval (c/d < 1/√

2)

Slika 2.7: Stisnjen Cassinijev oval (1/√

2 < c/d < 1)

2.8 Cassini 15

Slika 2.8: Bernoullijeva lemniskata (c/d = 1)

Slika 2.9: Dvodelna Cassinijeva jajcnica (c/d > 1)

Konstrukcije temeljijo na dejstvu, da je produkt razdalj gorisc elipse od njene

tangente konstanten, in sicer je enak kvadratu male polosi elipse. To prikazuje

spodnja slika. [21]

16 Zgodovina stoznic

Slika 2.10: Cassinijeva jajcnica

2.9 Lissajous

Jules Antoine Lissajous (1822–1880) je znan po posebnih vzorcih oziroma krivu-

ljah, ki nastanejo pri dveh harmonskih nihanjih, ki izhajata iz dveh med seboj

pravokotnih smeri. Lissajous je bil profesor fizike. Preuceval je nihanje in zvok.

Leta 1855 je zasnoval preprosto opticno napravo za preucevanje sestavljenih ni-

hanj oziroma valovanj. To je bil tudi predhodnik danasnjega osciloskopa. Na

vsakega od izvorov valovanja (na primer na glasbene vilice) je pritrdil malo zr-

calo in usmeril zarek svetlobe na enega od zrcal. Zarek se je najprej odbil na

drugo zrcalo in nato na zaslon, kjer se je izrisal dvodimenzionalni vzorec. Tako

so lahko s prostim ocesom videli valovanje. Zahvaljujoc Lissajousu so tako prvic

lahko zvok tudi ”videli”in ne le slisali.

Vsako enostavno nihanje lahko predstavimo kot sinusno. Vzemimo, da sta a in b

amplitudi, ω1 in ω2 naj bosta krozni frekvenci, φ1 in φ2 fazi in t cas. Potem velja:

x = a sin(ω1t+ φ1), y = b sin(ω2t+ φ2), (2.7)

pri cemer sta x in y koordinati tocke T , ki opisuje krivuljo sestavljenega nihanja.

Parametri a, b, ω1, ω2, φ1 in φ2 so vnaprej izbrani, cas pa tece. V primeru, ko je

ω1 = ω2, velja

2.9 Lissajous 17

x = a sin(ωt+ φ1), y = b sin(ωt+ φ2) (2.8)

in dobimo pet razlicnih krivulj. Nas bo zanimal predvsem primer, ko je fazna

razlika π/2. Takrat namrec dobimo:

x = a sinωt, y = b sin(ωt+ π/2) = b cosωt.

Ce obe enacbi potem se kvadriramo in nato delimo prvo z a2, drugo pa z b2, po

sestetju teh dobimo:

x2

a2+y2

b2= 1.

To je enacba elipse. V primeru, da je se a = b, dobimo kroznico.

Z malo racunanja pa odkrijemo se eno vmesno krivuljo. S pomocjo adicijskega

izreka razsirimo enacbo (2.8):

x = a sin(ωt+ φ1) = a sinωt cosφ1 + a sinφ1 cosωt,

y = b sin(ωt+ φ2) = b sinωt cosφ2 + b sinφ2 cosωt.

Iz tega izpeljemo

sinωt =

∣∣∣∣∣x a sinφ1

y b sinφ2

∣∣∣∣∣ab sin(φ2 − φ1)

, cosωt =

∣∣∣∣∣a cosφ1 x

b cosφ2 y

∣∣∣∣∣ab sin(φ2 − φ1)

.

Ce zgornja izraza za sinωt in cosωt vstavimo v dobro znano enacbo

1 = sin2 ωt+ cos2 ωt, dobimo

1 =1

a2b2 sin2(φ1 − φ2)

∣∣∣∣∣x a sinφ1

y b sinφ2

∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣a cosφ1 x

b cosφ2 y

∣∣∣∣∣2 ,

pri tem pa φ1 − φ2 6= kπ, k ∈ Z.

18 Zgodovina stoznic

Preoblikujemo zgornjo enacbo in dobimo

a2b2 sin2(φ1 − φ2) =

∣∣∣∣∣x a sinφ1

y b sinφ2

∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣a cosφ1 x

b cosφ2 y

∣∣∣∣∣2

.

Resimo determinanti in dobimo

(bx sinφ2 − ay sinφ1)2 + (ay cosφ1 − bx cosφ2)

2 = a2b2 sin2(φ1 − φ2).

Po kvadriranju sledi

b2x2 sin2 φ2 − abxy sinφ2 sinφ1 + a2y2 sin2 φ1 + a2y2 cos2 φ1−

− abxy cosφ1 cosφ2 + b2x2 cos2 φ2 = a2b2 sin2(φ1 − φ2).

2.9 Lissajous 19

Poenostavimo:

b2x2 + a2y2 − 2abxy cos(φ1 − φ2) = a2b2 sin2(φ1 − φ2).

Ce je

φ1 − φ2 = kπ, k ∈ Z =⇒ b2x2 + a2y2 ± 2abxy = 0.

Sledi:

(bx± ay)2 = 0.

Izrazimo y:

y = ± bax. (2.9)

Za resitev dobimo premico, ki ima glede na fazno razliko lahko pozitiven ali

negativen naklon.

Ce bi torej opazovali dve sinusni nihanji z enakima kotnima frekvencama in spre-

minjali fazi, bi na osciloskopu v nekem trenutku videli nagnjeno elipso, ki s spre-

minjanjem fazne razlike preide v posevno premico y = ±bx/a, ki bi ji lahko rekli

izrojena elipsa. Ko se fazna razlika potem veca, se premica, natancneje daljica,

pretvarja nazaj v elipso. To se ves cas ponavlja, le smer se menja. V primeru, da

sta poleg frekvence enaki tudi amplitudi nihanj, pa kot ze prej receno, lahko na

osciloskopu vmes opazimo tudi kroznico. Te primere lahko vidimo na spodnjih

slikah. [16]

20 Zgodovina stoznic

Slika 2.11: Daljica: φ2 − φ1 = 0

Slika 2.12: Elipsa: φ2 − φ1 = π/4

2.9 Lissajous 21

Slika 2.13: Kroznica: φ2 − φ1 = π/2

Slika 2.14: Elipsa: φ2 − φ1 = 3π/4

22 Zgodovina stoznic

Slika 2.15: Daljica: φ2 − φ1 = π

3. Definicije elipse

3.1 Analiticna definicija

Analiticna definicija pravi, da je elipsa krivulja, ki jo dobimo, ce kroznico x2+y2 =

a2 raztegnemo za faktor b/a vzdolz smeri y. V nasi enacbi velja b < a, pri cemer

a predstavlja veliko, b pa malo polos elipse. Iz spodnje slike je razvidno, da je

dobljena krivulja simetricna glede na osi x in y ter glede na koordinatno izhodisce.

Enacbo elipse lahko izpeljemo na dva nacina. [17]

Slika 3.1: Elipsa kot skrcenje kroznice

23

24 Definicije elipse

3.2 Geometrijska definicija

Elipsa je mnozica vseh tistih tock v ravnini, za katere je vsota razdalj od dveh

izbranih tock F1 in F2 konstantna (enaka 2a). Ti dve tocki imenujemo gorisci

elipse. Po definiciji torej velja, da tocka T lezi na elipsi, ce je |TF1|+ |TF2| = 2a.

To lahko zapisemo tudi kot:

r1 + r2 = 2a, (3.1)

pri cemer je 2a velika os elipse, r1 = |TF1|, r2 = |TF2|. Oblika elipse je odvisna

od razdalje med goriscema F1 in F2 in od vrednosti 2a. V primeru, da je F1 = F2,

je elipsa kroznica.

Oznake elipse:

Slika 3.2: Elipsa po geometrijski definiciji

1. sredisce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S

2. gorisci (zarisci ali fokusa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1, F2

3. glavni temeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A, B

4. stranski temeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C, D

5. velika os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |AB| = 2a

3.3 Definicija s pomocjo vodilkine lastnosti 25

6. mala os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |CD| = 2b

7. veliki polosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |SA| = |SB| = a

8. mali polosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |SC| = |SD| = b

9. prevodnici ali radijvektorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |F1T | = r1, |F2T | = r2

10. linearna ekscentricnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |SF1| = |SF2| = e

11. numericna ekscentricnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ea

= ε

[17] [18]

3.3 Definicija s pomocjo vodilkine lastnosti

Kot je bilo ze prej omenjeno, je Pappus definiral elipso na nov nacin. In sicer je

zapisal, da je elipsa mnozica vseh tock P , za katere je razmerje med oddaljenostjo

od gorisca in oddaljenostjo od fiksne premice (direktrise oziroma vodilke) enako

ε, pri cemer je 0 ≤ ε < 1.

Slika 3.3: Vodilkina lastnost elipse

To bi matematicno zapisali kot

26 Definicije elipse

r1d1

=r2d2

= · · · = r

d= ε. (3.2)

[10]

Do te ugotovitve je prisel s pomocjo razmerij. Poglejmo, kako nam je ta Pa-

ppusova ugotovitev v pomoc pri iskanju enacbe elipse. Pomagajmo si s spodnjo

sliko.

Slika 3.4: Elipsa

Po Pappusovi definiciji (3.2) velja

ε =r2d

=e

a,

za tocko B pa

a

δ= ε =⇒ δ =

a

ε. (3.3)

Definiramo razdaljo od tocke T na elipsi do vodilke:

d = δ − x.

Z uporabo Pitagorovega izreka lahko r2 izrazimo kot

r22 = (e− x)2 + y2.

3.3 Definicija s pomocjo vodilkine lastnosti 27

Potem lahko Pappusovo definicijo elipse zapisemo kot

r22d2

=(e− x)2 + y2

(δ − x)2=

(e− x)2 + y2

(aε− x)2

= ε2.

Ce se znebimo ulomkov, dobimo

(e− x)2 + y2 = ε2(aε− x)2

= (a− εx)2.

Razresimo oklepaje:

x2 − 2ex+ e2 + y2 = a2 − 2aεx+ ε2x2.

V to enacbo nato vstavimo izraz aε = e in celotno enacbo preoblikujemo:

x2(1− ε2) + y2 = a2 − e2.

Za elipso velja: a2 − e2 = b2, zato lahko zgornji izraz zapisemo kot

x2(1− ε2) + y2 = b2.

Celotno enacbo delimo z b2:

x2(1− ε2)b2

+y2

b2= 1, (3.4)

pri cemer lahko del te enacbe zapisemo kot:

1− ε2

b2=

1− e2

a2

b2=a2 − e2

a2b2=

1

a2.

Ce to vstavimo nazaj v enacbo (3.4) sledi

x2

a2+y2

b2= 1,

kar je seveda enacba elipse. [11] [2]

Vidimo torej, da je Pappusova definicija enakovredna tej, dobro poznani enacbi

elipse. Vendar je bolj v rabi slednja, zaradi vecje uporabnosti in bolj prakticnega

zapisa.

4. Enacba elipse

4.1 Kanonicna oblika

Kanonicno enacbo elipse bomo dolocili z upostevanjem definicije elipse:

r21 = y2 + (x+ e)2, (4.1)

r22 = y2 + (e− x)2. (4.2)

Enacbi odstejemo in dobimo

r21 − r22 = (x+ e)2 − (e− x)2. (4.3)

Ce to enacbo malo preoblikujeo, dobimo:

(r1 − r2)(r1 + r2) = 4ex. (4.4)

Vemo, da za elipso velja r1 + r2 = 2a in ce to vstavimo v zgornjo enacbo, sledi

r1 − r2 = 2ex/a. Iz teh dveh enacb izrazimo r1 in r2:

r1 = a+ex

a, (4.5)

r2 = a− ex

a. (4.6)

Upostevamo, da je ea

= ε in dobimo:

r1 = a+ εx, (4.7)

28

4.1 Kanonicna oblika 29

r2 = a− εx. (4.8)

V naslednjem koraku upostevamo enacbo (4.6), ki jo vstavimo v enacbo (4.2).

(a− ex

a)2 = y2 + (e− x)2. (4.9)

Preoblikujemo:

a2 − 2ex+e2x2

a2= y2 + e2 − 2ex+ x2,

a2(a2 − e2) = x2(a2 − e2) + a2y.

Upostevamo, da je a2 − e2 = b2 in dobimo:

a2b2 = x2b2 + a2y2. (4.10)

Ker velja a, b > 0, lahko to enacbo zapisemo kot

x2

a2+y2

b2= 1. (4.11)

To je enacba elipse s srediscem v izhodiscu koordinatnega sistema in polosema a

in b, ki sovpadata s koordinatnima osema. [8] [10] [23]

Splosna enacba elipse s srediscem v tocki S(p, q):

(x− p)2

a2+

(y − q)2

b2= 1. (4.12)

30 Enacba elipse

4.2 Polarna oblika

Slika 4.1: K izpeljavi polarne oblike elipse

Po definiciji elipse velja:

r1 + r = 2a.

Uporabimo kosinusni izrek za trikotnik F1F2T :

r21 = (2e)2 + r2 − 2(2e)r cos(π − θ).

Ce sedaj upostevamo definicijo elipse, lahko zapisemo:

(2a− r)2 = 4e2 + r2 + 4er cos θ,

4a2 − 4ar + r2 = 4e2 + r2 + 4er cos θ.

Ce sedaj enacbo okrajsamo in malo preoblikujemo, dobimo:

a2 − e2 = ar + er cos θ.

Ker za elipso velja: e2 + b2 = a2, lahko zgornjo enacbo zapisemo kot:

b2 = r(a+ e cos θ),

4.3 Elipsa kot presek valja 31

r =b2

a+ e cos θ,

r =b2

a

1 + ea

cos θ.

Upostevamo e/a = ε (0 < ε < 1) ter b2/a zapisemo kot p:

r =p

1 + ε cos θ. (4.13)

[18] [23]

4.3 Elipsa kot presek valja

Kot prej receno, so ze Grki vedeli, da nam tudi presek valja da stoznice, na-

tancneje elipso in kroznico. V naravi veckrat oziroma prej opazimo elipso kot

presek valjasto oblikovanih struktur, kot pa stozcastih oblik. Betonski stebricki

valjaste oblike so na primer povsod okoli nas. Ce bi tega presekali z ravnino Π

pod ostrim kotom, bi zagotovo dobili elipso. Pa zlebovi, ki jih najdemo na skoraj

vsaki hisi oziroma stavbi imajo v kolenskem (prelomljenem) delu obliko elipse,

kar bi hitro videli, ce bi zleb na tem mestu presekali.

Ze Evklid je vedel, da je stoznice moc dobiti s preseki valja. Po njegovih besedah

takrat dobimo lik v obliki scita. S tem je mislil na elipso. Vendar se niti on niti

Apolonij z valjem nista ukvarjala. Bolj natancno so se valja in njegovih presekov

v 9. stoletju lotili Arabci. Brata Musa sta prevedla oziroma financno poskrbela

za prevod Apolonijevih knjig Stoznice (od 5. do 7. dela), ki bi sicer verjetno bile

za vedno izgubljene. Pri samem prevodu je veliko vlogo odigral tudi matematik

Thabit Ibn Qurra, ki je tudi dolocil ploscino elipse. Natancneje, ploscino elipse

je definiral kot ploscino kroga, katerega kvadrat polmera je enak produktu polosi

elipse a in b. Ibn Qurra je tako kot Apolonij opisal tangente, osi in druge lastnosti

elipse, le da je pri tem izhajal iz valja in ne iz stozca. [1] [13]

32 Enacba elipse

Vzemimo pokoncen valj s polmerom osnovne ploskve b. Valj presekamo z ravnino

Π pod kotom α. Ce je α = π/2, dobimo kot rezultat preseka krog z radijem b.

Manjsi kot bo kot preseka, bolj sploscen bo krog, bolj podolgovata bo elipsa.

Definiramo cosα = e, pri cemer je e, kot ze prej napisano, linearna ekscentricnost.

e2 = a2 − b2 = ε2a2,

medtem ko je a velika polos, b pa mala polos, ki je hkrati tudi polmer osnovne

ploskve valja. To lahko vidimo tudi na spodnji sliki. Z zgornjo enacbo pridemo

do ugotovitve, da je dolzina daljice TT ′ na sliki enaka εa.

Slika 4.2: Elipsa kot presek valja

Tudi ce namesto stozca vzamemo valj, pridemo do istega rezultata oziroma enacbe

elipse (4.11). Za enacbo elipse moramo najprej postaviti koordinatni sistem, in

sicer bomo os x postavili vzdolz velike, os y pa vzdolz male osi elipse. Da bi lazje

dolocili tocke, ki lezijo na elipsi, bomo vpeljali se en koordinatni sistem. Ta naj

sovpada s prejsnjim v osi y, druga os, x′, pa je nanjo seveda pravokotna in naj

lezi v ravnini Π′, pravokotni na os valja.

4.3 Elipsa kot presek valja 33

Kot vidimo na spodnji sliki, tocke T (x, y) lezijo na elipsi le v primeru, ko njihova

pravokotna projekcija T ′(x′, y′) lezi na kroznici, ki nastane pri preseku valja z ze

prej omenjeno ravnino Π′.

Slika 4.3: Elipsa kot presek valja z vpeljavo novega koordinatnega sistema

Torej lahko zgoraj navedeno v obliki enacbe zapisemo sledece:

(x sinα)2 + y2 = b2. (4.14)

Ker je

sin2 α = 1− cos2 α = 1− ε2 =b2

a2,

lahko enacbo (4.14) zapisemo kot

b2

a2x2 + y2 = b2.

Ce to enacbo sedaj preoblikujemo, natancneje delimo z b2, dobimo

x2

a2+y2

b2= 1,

34 Enacba elipse

torej nam ze znano enacbo elipse. [22]

5. Konstrukcije elipse

5.1 Konstrukcija po analiticni definiciji

Naj bosta dani mala polos b in velika polos a elipse . Na podlagi analiticne defi-

nicije bomo konstruirali elipso iz kroznice tako, da jo bomo raztegnili. Narisemo

dve kroznici s skupnim srediscem v tocki S. Prva kroznica Ka naj ima polmer

enak dolzini velike polosi a, druga, manjsa kroznica Kb pa polmer enak dolzini

male polosi b. Iz sredisca S narisemo poljuben poltrak pod kotom α , ki seka

kroznico Ka v tocki F , kroznico Kb pa v tocki E. Iz slike 5.1 spodaj lahko vi-

dimo, da sta si trikotnika SF ′F in SE ′E podobna. Ordinata tocke E in abscisa

tocke F dolocata novo tocko T , ki lezi na elipsi. Zaradi podobnosti trikotnikov

lahko zapisemo:

|F ′F | : |E ′E| = |SF | : |SE|,

oziroma

a : b = |F ′F | : |F ′T |,

kar lahko zapisemo kot

a : b = yF : yT .

Sledi

yT =b

ayF .

Pri tem je, kot ze prej receno, T tocka elipse in velja:

T (x, y) = (a cosα, b sinα)

Izpeljemo:

cosα =x

a, sinα =

y

b.

35

36 Konstrukcije elipse

Ce to sedaj vstavimo v ze dobro znano enacbo:

cos2 α + sin2 α = 1,

dobimo

x2

a2+y2

b2= 1.

[18]

Slika 5.1: Dolocanje tocke elipse s pomocjo dveh kroznic

5.2 Konstrukcija po geometrijski definiciji 37

Slika 5.2: Konstrukcija elipse s pomocjo male in velike kroznice

5.2 Konstrukcija po geometrijski definiciji

Naj bosta dani mala polos b in velika polos a.

1. Risanje osi elipse

Narisemo veliko os elipse z dano dolzino 2a in na njej oznacimo temeni A

in B. Nato narisemo se malo os z dolzino 2b in na njej oznacimo temeni

C,D. Osi se razpolavljata in sta hkrati pravokotni ena na drugo. Sekata se

v tocki S, ki je sredisce nase elipse.

2. Dolocanje gorisc elipse

Iz enega izmed temen na mali osi (C ali D) narisemo krozni lok s polmerom

a, torej dolzine velike polosi. Dobimo dve novi tocki (F1 in F2), ki sta po

definiciji gorisci elipse.

3. Dolocanje tock na elipsi

Na veliki osi izberemo nekaj tock med srediscem S in enim izmed gorisc

(v nasem primeru smo izbrali 3 tocke med tockama S in F2. S sestilom

narisemo krozna loka polmera r1 (razdalja od tocke 1 do temena A) iz gorisc

F1 in F2. Postopek ponovimo s to razliko, da imata krozna loka polmer r2.

V preseciscih teh dveh lokov dobimo tocke T ′1, T

′′1 , T ′′′

1 in T ′′′′1 . Ta postopek

38 Konstrukcije elipse

ponovimo s tockami 2 in 3 oziroma z vsemi tockami, ki smo jih izbrali na

razdalji od S do enega od gorisc. Dobimo torej 12 tock, ki lezijo na elipsi.

4. Risanje elipse

Dobljene tocke povezemo s krivuljnikom med seboj in s temeni elipse. Do-

bimo elipso. [18] [19]

Slika 5.3: Geometrijska konstrukcija elipse

5.3 Geometrijska (vrtnarska) konstrukcija 39

5.3 Geometrijska (vrtnarska) konstrukcija

Pri tej konstrukciji nismo omejeni na koordinatni sistem, zato jo lahko naredimo

zunaj (na zemlji, pesku), na tabli v ucilnici, na listu papirja . . . . Moznosti je

veliko. Vsem je skupna raba definicije, ki nam sploh omogoca tako nacrtovanje.

Konstrukcijske metode pa se razlikujejo glede na izbiro povrsine in pripomockov.

Ce konstruiramo naso elipso na tleh, uporabimo pripomocke, kot so palice, zeblji,

ce pa konstrukcijo izvajamo na listu papirja, pa zadoscajo zebljicki ali magneti

ter pisalo. V vseh primerih pa potrebujemo kos vrvi oziroma vrvice, ki nam

bo omogocila, da elipso izrisemo cim bolj natancno. Ce elipso izrisujemo na

list papirja, je postopek sledec: Krajisci vrvice z dolzino 2a fiksiramo (npr. z

zebljicki) v tockah F1 in F2, med katerima je konstantna razdalja 2e (2e < 2a). Za

vrvico zataknemo pisalo in se z napeto zanko pomikamo okoli gorisc (zebljickov).

Nastala sklenjena krivulja zadosca definiciji elipse. [19]

Slika 5.4: Vrtnarska konstrukcija elipse

40 Konstrukcije elipse

5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (kroznimi loki)

Pri tej konstrukciji bomo upostevali analiticno definicijo elipse. S pomocjo ma-

tematicnih pripomockov (sestilo, ravnilo, krivuljnik, svincnik) bomo priblizno

nacrtali elipso.

Naj bosta dani mala os 2b in velika os 2a. Najprej narisemo obe osi ter oznacimo

temena A, B, C in D ter sredisce S. Zdaj moramo dolociti se sredisci SA in SB

pritisnjenih krogov. Skozi teme na veliki osi (v tem primeru smo izbrali teme A)

narisemo vzporednico z malo osjo. Nato narisemo se vzporednico z veliko osjo

skozi teme C. V preseciscu teh dveh vzporednic dobimo novo tocko T . V nasle-

dnjem koraku povezemo med seboj sosednja temena. Dobimo torej 4 daljice. Za

nas je pomembna daljica AC. Iz tocke T narisemo pravokotnico na daljico AC.

Pravokotnica seka veliko os v tocki SA in malo os (oziroma nosilko male osi) v

tocki SC . Z zrcaljenjem tock SA in SC dobimo se tocki SB in SD.

Iz teh tock, ki so hkrati sredisca temenskih kroznic, nato narisemo krozne loke, ki

se najbolj prilegajo iskani elipsi ABCD (temena elipse). Te krozne loke nato cim

bolj natancno povezemo s krivuljnikom, tako da dobimo gladko krivuljo, elipso,

ki poteka skozi tocke A, B, C in D. [19]

Slika 5.5: Konstrukcija elipse s pritisnjenimi krogi

Iz slike je razvidno, da je ta nacin konstruiranja uspesen, ceprav relativno pocasen.

5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (kroznimi loki) 41

Sedaj pa si poglejmo se matematicno ozadje, ki bo pojasnilo, zakaj se ravno

deli teh kroznic prilegajo nasi elipsi. Polmer krogov s sredisci SA, SB, SC in

SD bomo izracunali na dva razlicna nacina. Ker so pari teh krogov med seboj

skladni, bo zadostovalo, da izracunamo krivinska polmera1 dveh sosednjih krogov.

Najprej bomo iz formule za ukrivljenost dobili radij. Pri racunanju ukrivljenosti

krogov bomo uporabili parametricno obliko enacbe. S tem bomo dobili teoreticne

oziroma potrebne vrednosti radijev. Te bomo nato primerjali z radiji, izpeljanimi

direktno iz nase konstrukcije. [5] [8] [23]

1. x = a cos t,

y = b sin t,

κ =1

R=

∣∣∣∣∣ x x

y y

∣∣∣∣∣(√x2 + y2)3

. (5.1)

Pogledali bomo ukrivljenost elipse v tockah B in C. V tocki B je parameter

t = 0, v tocki C pa velja: t = π/2. Odvajamo: x(t) = −a sin t, y(t) = b cos t,

x(t) = −a cos t, y(t) = −b sin t. Ce to sedaj vstavimo v zgornjo enacbo,

dobimo:

1

R=

∣∣∣∣∣ −a sin t −a cos t

b cos t −b sin t

∣∣∣∣∣(√a2 sin2 t+ b2 cos2 t)3

. (5.2)

Ce enacbo poenostavimo, dobimo:

1

R=

ab (sin2 t+ cos2 t)

(√a2 sin2 t+ b2 cos2 t)3

,

1

R=

ab

(√a2 sin2 t+ b2 cos2 t)3

.

V tocki B(t = 0) velja:1

RB

=ab

b3,

1To je polmer krivinskega kroga, ki se ravninski krivulji, v nasem primeru elipsi, na

dolocenem mestu najbolje prilega.

42 Konstrukcije elipse

RB =b2

a. (5.3)

V tocki C(t = π/2) velja:1

RC

=ab

a3,

RC =a2

b. (5.4)

2. Radija RC in RB pa lahko pridobimo tudi direktno iz konstrukcije.

Na spodnjih slikah so oznaceni skladni koti. Ker imata trikotnika CSCT

in CBT dva skladna kota, sta si podobna. Zato lahko zapisemo sledece

razmerje stranic trikotnikov:

CSCa

=RC

a=a

b.

Sledi:

RC =a2

b.

.

Slika 5.6: Izpeljava krivinskega polmera RB s pomocjo podobnih trikotnikov

5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (kroznimi loki) 43

Sedaj si izberemo dva druga trikotnika (slika 5.7). Vidimo, da sta si tudi

trikotnika CSB in TSBB podobna, zato lahko zapisemo:

SBB

b=RB

b=b

a.

Sledi:

RB =b2

a.

Slika 5.7: Izpeljava krivinskega polmera RB s pomocjo podobnih trikotnikov

Ce sedaj primerjamo izracunana in iz razmerij izrazena radija, ugotovimo,

da se ujemata. [8]

44 Konstrukcije elipse

6. Lastnosti elipse

6.1 Obseg elipse

Apoloniju ni uspelo dolociti dolzine elipse. S prihodom integrala v letih 1660–1670

je to postalo mozno. Leta 1669 je obseg elipse poskusil izracunati tudi Newton

(1642–1727), vendar mu to ni uspelo, saj se je izogibal integraciji. Zato pa sta

bila toliko bolj uspesna Fermat in Hendrik van Heuraet, ki sta postavila osnovo

dolzine loka v integralski obliki, kot jo poznamo danes.

Splosna formula za izracun dolzine krivulje K med dvema, v parametricni obliki

podanima tockama t1 in t2, je

s(K) =

∫ t2

t1

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

dt. (6.1)

Za elipso velja:

x = x(t) = a cos t, y = y(t) = b sin t, a > b > 0

.

Ker se funkciji sinus in kosinus v razlicnih kvadrantih razlicno obnasata, moramo

naso elipso oziroma njeno dolzino razdeliti na 4, sicer skladne dele. Meje nasega

integrala bodo zato med 0 in π/2. Ce izraza za x in y vstavimo v zgornjo enacbo,

dobimo:

s(K) = 4

∫ π/2

0

√(−a sin t)2 + (b cos t)2 dt.

Dobljeni izraz preoblikujemo in poenostavimo:

s(K) = 4

∫ π/2

0

√a2 sin2 t+ b2 cos2 t dt.

45

46 Lastnosti elipse

Uporabimo zvezo sin2 t = 1− cos2 t:

s(K) = 4

∫ π/2

0

√a2(1− cos2 t) + b2 cos2 t dt,

s(K) = 4

∫ π/2

0

√(a2 − a2 cos2 t) + b2 cos2 t dt,

s(K) = 4

∫ π/2

0

√a2 − cos2 t(a2 − b2) dt.

Vemo, da za elipso velja naslednja zveza med malo polosjo b in veliko polosjo a:

a2 − b2 = e2. To uporabimo v zgornji enacbi:

s(K) = 4

∫ π/2

0

√a2 − e2 cos2 t dt.

V naslednjem koraku izpostavimo a2:

s(K) = 4a

∫ π/2

0

√1− e2

a2cos2 t dt.

V enacbi lahko e/a nadomestimo z ε, ki predstavlja numericno ekscentricnost

(stopnjo sploscenosti) elipse:

s(K) = 4a

∫ π/2

0

√1− ε2 cos2 t dt. (6.2)

Da bi dobili zeleno koncno obliko, bomo vpeljali novo spremenljivko, kot u, za

katerega velja:

u =π

2− t, du = −dt.

Spremenita se meji: 0→ π/2, π/2→ 0 in funkcija cos t gre v cos(π/2−u) = sinu.

Torej:

s(K) = −4a

∫ 0

π/2

√1− ε2 sin2 u du.

s(K) = 4aE(ε),

6.2 Ploscina elipse 47

pri cemer je E(ε) =∫ π/20

√1− ε2 sin2 u du popolni elipticni integral druge vrste,

ki ga lahko izracunamo s potencno vrsto. Veljati pa mora: ε2 < 1.

Ce v zgornjo enacbo vstavimo izraz

E(ε) = π/2

[1−

(1

2

)2ε2

1−(

1 · 32 · 4

)2ε4

3−(

1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2ε6

5− . . .

],

dobimo koncno izraz za dolzino elipse:

s(K) = 2πa

[1−

(1

2

)2ε2

1−(

1 · 32 · 4

)2ε4

3−(

1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2ε6

5− . . .

].

[10] [23]

6.2 Ploscina elipse

Ploscino elipse danes racunamo s pomocjo integralov. Pred poznavanjem le-teh,

pa je Arhimed prisel do enacbe za ploscino elipse. Arhimed je z metodo dvojnega

protislovja dokazal, da je ploscina elipse z veliko polosjo a in malo polosjo b enaka

πab. Dokaz pa sloni (na podlagi slike 6.1) na razmerju |FG||FH| = b

a. Ne vemo sicer,

kako je Arhimed dobil to razmerje, saj takrat se niso poznali enacbe elipse. Danes

to razmerje dobimo iz enacbe x2

a2+ y2

b2= 1.

Iz te enacbe izrazimo y:

y2

b2= 1− x2

a2.

[10]

Sledi:

a2y2 = a2b2 − x2b2,

ay = ±b√a2 − x2,

y = ± ba

√a2 − x2, (6.3)

48 Lastnosti elipse

Slika 6.1: Povezava med ploscino elipse in ploscino kroga

Iz slike razberemo: y = |FG| in√a2 − x2 = |FH|. Ce to sedaj vstavimo v

zgornjo enacbo (6.3) in upostevamo, da imamo pozitivne vrednosti, dobimo:

|FG| = b

a|FH|.

Ker se vse dogaja nad abscisno osjo, bomo vzeli le pozitivne vrednosti |F2G|.

|FG||FH|

=b

a. (6.4)

Sedaj se osredotocimo na spodnji dve sliki. Z E oznacimo elipso z veliko polosjo

a in malo polosjo b, K′ pa naj bo krog z radijem a, ki obdaja elipso E . K′′ naj bo

krog z radijem r =√ab. Namensko izberemo tak radij, saj zelimo dokazati, da je

ploscina elipse enaka πab. Vemo namrec, da je ploscina kroga enaka πa2. Elipso

dobimo tudi, ce sploscimo oziroma skrcimo krog za b/a, kar je vidno iz enacbe

(6.4). Torej zelimo sedaj se dokazati:

p(E) = πab. (6.5)

6.2 Ploscina elipse 49

Slika 6.2: Dolocanje ploscine elipse s prilegajocimi veckotniki

Slika 6.3: Arhimedov nacin dolocanja ploscine elipse

V krog K′ vcrtamo veckotnik V ′, tako, da se krogu kar najbolj prilega. V ′′ pa naj

bo vcrtan v krog K′′ in podoben veckotniku V ′.

1. Predpostavimo, da je p(E) < p(K′′).

Arhimed je dokazal, da p(V ′′) konvergira h p(K′′) (ko vecamo stevilo stranic

veckotnika V ′′). Torej lahko K′′ nadomestimo z V ′′. Sledi, da je p(E) < p(V ′′).

50 Lastnosti elipse

Ce sedaj pogledamo razmerje ploscin teh dveh veckotnikov, dobimo:

p(V ′′)

p(V ′)=r2

a2=

(√ab)2

a2=ab

a2=b

a. (6.6)

Znak V oznacuje veckotnik, ki ga vcrtamo elipsi. Njegova oglisca dobimo kot

presecisca elipse E in pravokotnic na veliko os elipse, ki potekajo skozi oglisca

veckotnika V ′. Ce sedaj ta dva veckotnika (V in V ′) primerjamo, vidimo, da so

daljice |U ′A|, |T ′B|, |S ′C| . . . v tockah U , T , S . . . presekane v enakem razmerju.

To lahko zapisemo kot

|UA||U ′A|

=|TB||T ′B|

=|SC||S ′C|

=b

a. (6.7)

Ker so stranice proporcionalne likom, potem je tudi par trikotnikov U ′I ′A in

UI ′A ter par trapezov U ′ABT ′ in UABT v takem razmerju. Torej velja:

p(U ′I ′A)

p(UI ′A)=p(U ′ABT )

p(UABT )=b

a. (6.8)

Ko sestejemo vse te trapeze in trikotnika v veckotnikih V ′ in V , velja zanju enako

razmerje:

p(V)

p(V ′)=b

a. (6.9)

Ce upostevamo to in enacbo (6.6), sledi:

p(V”)

p(V ′)=b

a=p(V)

p(V ′).

Od tu sledi:p(V”)

p(V ′)=p(V)

p(V ′).

Torej velja: V” = V .

Ce to sedaj uporabimo v zacetni neenakosti p(E) < p(K”) oziroma p(E) < p(V”),

dobimo p(E) < p(V), kar je protislovno, saj je veckotnik V vcrtan v elipso in

zatorej mora veljati p(E) < p(V).

2. Sedaj predpostavimo, da je p(E) > p(K”).

6.2 Ploscina elipse 51

Po Arhimedovem postulatu velja p(V) < p(E). Kot ze zgoraj navedeno je Vveckotnik, vcrtan v elipso. Torej za veckotnik V velja p(K”) < p(V).

Po krajsem preracunavanju pridemo, kot ze v prvem primeru, do ugotovitve:

p(V”)

p(V ′)=b

a=p(V)

p(V ′)−→ V” = V .

Ce to sedaj upostevamo v zgornji enacbi, dobimo p(K”) < p(V”), kar je zopet

kontradiktorno, saj je veckotnik V” vcrtan v krog K” in ne obratno.

Torej glede na 1. in 2. predpostavko pridemo do sklepa, da je p(E) = p(K”).

Sledi:

p(E) = p(K”) = πr2 = π(√ab)2 = πab.

Dokazali smo, da je ploscina elipse

p(E) = πab. (6.10)

Iz te enacbe vidimo, da lahko elipso res dobimo s skrcenjem kroga za faktor b/a.

[25]

Z razvojem integralov pa se je racunanje poenostavilo. Danes izracunamo ploscino

lika L, ki je nad intervalom [a, b] in omejen z grafoma zveznih funkcij f(x) (zgoraj)

in g(x) (spodaj) s formulo

p(L) =

∫ b

a

(f(x)− g(x))dx, (6.11)

pri cemer je f(x) ≥ g(x) za vsak x ∈ [a, b].[8]

Ker je elipsa, tako glede na os x, kot tudi glede na os y simetricna, jo lahko

razdelimo na 4 skladne dele. Tako, da zadosca, da izracunamo ploscino dela

elipsa, ki je v enem kvadrantu. V tem primeru bomo, kot je oznaceno na sliki,

vzeli prvi kvadrant.

52 Lastnosti elipse

Slika 6.4: Dolocanje ploscine elipse

Za zgornjo funkcijo bomo torej vzeli funkcijo elipse, za spodnjo pa kar funkcijo

y = 0 na intervalu [0, b].

Najprej moramo iz enacbe elipse x2

a2+ y2

b2= 1 izraziti y. Glej enacbo (6.3).

y = ± ba

√a2 − x2. (6.12)

Ker bomo vzeli cetrtino elipse v prvem kvadrantu, kjer je y pozitiven, bomo pri

zgornjem izrazu za y vzeli le pozitivne vrednosti.

Ce to sedaj vstavimo v enacbo (6.11) sledi:

p(E1) =

∫ a

0

(b

a

√a2 − x2 − 0) dx. (6.13)

[10] [13] [23]

Za izracun tega integrala bomo vpeljali novo spremenljivko.

Pomagamo si lahko s pravokotnim trikotnikom.

6.2 Ploscina elipse 53

Slika 6.5: Trikotnik v elipsi

Uporabimo kotne funkcije:

sinφ =x

a,

x = a sinφ,

dx = a cosφ dφ.

S tem se spremenita tudi meji integrala. In sicer: 0 → 0 in a → π/2. To sedaj

vstavimo v enacbo (6.13):

p(E1) =b

a

∫ π/2

0

√a2 − a2 sin2 φ a cosφ dφ.

Poenostavimo integral in dobimo:

p(E1) = ab

∫ π/2

0

√1− sin2 φ cosφ dφ,

p(E1) = ab

∫ π/2

0

√cos2 φ cosφ dφ,

p(E1) = ab

∫ π/2

0

cos2 φ dφ.

Za kotno funkcijo cos2 φ pa velja:

54 Lastnosti elipse

cos2 φ =1 + cos 2φ

2.

Ce to vstavimo v zgornji integral, sledi:

p(E1) = ab

∫ π/2

0

1 + cos 2φ

2dφ.

Poracunamo in dobimo:

p(E1) =ab

2

∫ π/2

0

(1 + cos 2φ) dφ,

p(E1) =ab

2

(φ+

sin 2φ

2

)∣∣∣∣π/20

,

p(E1) =ab

2

(π

2+

sin π

2− 0− sin 0

),

p(E1) =ab

2π/2,

p(E1) =1

4πab. (6.14)

Ker elipso v nasem primeru tvorijo stirje taki deli, velja:

p(E) = 4p(E1) = πab. (6.15)

Ta formula je skladna z nasimi prejsnjimi ugotovitvami.

Se hitreje pa bi ploscino elipse izracunali z rabo parametricne oblike enacbe elipse.

Spet razdelimo lik na 4 dele, glede na kvadrante in zadosca, da izracunamo

ploscino le enega.

p(E) = 4 · 1

2

∫ π/2

0

(xy − yx) dt. (6.16)

Vzamemo torej: x = a cos t in y = b sin t, pri cemer 0 ≤ t ≤ 2π.

6.3 Evoluta elipse 55

p(E) = 2

∫ π/2

0

((a cos t)(b cos t)− (−a sin t)(b sin t)) dt,

p(E) = 2ab

∫ π/2

0

(cos2 t+ sin2 t) dt,

p(E) = 2ab

∫ π/2

0

1 dt,

p(E) = 2ab t

∣∣∣∣π/20

,

p(E) = 2abπ

2,

p(E) = πab. (6.17)

6.3 Evoluta elipse

Evoluta je mnozica vseh sredisc pritisnjenih kroznic neke krivulje. V primeru

elipse ta mnozica tock tvori krivuljo, podobno asteroidi. Tudi sama enacba evo-

lute elipse je zelo podobna enacbi asteroide.

Parametricni enacbi evolute:

ξ = x− y x2 + y′2

xy − xy,η = y + x

x2 + y2

xy − xy.(6.18)

Ker nas zanima evoluta elipse, bomo v zgornjo enacbo vstavili parametrizirano

enacbo elipse, torej:

x = a cos t, y = b sin t.

Sledi,

ξ = a cos t− b cos ta2 sin2 t+ b2 cos2 t

a sin t · b sin t+ a cos t · b cos t,

56 Lastnosti elipse

ξ = a cos t− b cos ta2 sin2 t+ b2 cos2 t

ab,

ξ = a cos t− b cos ta2 − a2 cos2 t+ b2 cos2 t

ab,

ξ = a cos t− a cos t+ a cos3 t− b2

acos3 t,

ξ =

(a2 − b2

a

)cos3 t, (6.19)

η = b sin t− a sin ta2 sin2 t+ b2 cos2 t

ab,

η = b sin t− a sin ta2 sin2 t+ b2 cos2 t

ab,

η = b sin t− a sin ta2 sin2 t+ b2 − b2 sin2 t

ab,

η = b sin t− a2

bsin3 t− b sin t+ b sin3 t,

η =

(b2 − a2

b

)sin3 t. (6.20)

Dobljeni koordinati ξ(t) in η(t) predstavljata tocko N , ki je sredisce pritisnjene

kroznice na elipso v tocki, ustrezni parametru t. Mnozica tock N za t ∈ [ 0, 2π)

nam da evoluto elipse, ki jo na spodnjih slikah oznacuje rdeca krivulja.

Poglejmo si nekaj tock evolute.

t = 0 : ξ(0) =a2 − b2

a= a− b2

a< a, η(0) = 0.

t =π

2: ξ

(π2

)= 0, η

(π2

)=b2 − a2

b.

6.3 Evoluta elipse 57

Slika 6.6: Evoluta elipse

V primeru na zgornji sliki 6.6 se evoluta dotika elipse v dveh temenih na osi b.

Nas zanimata se druga dva primeri. Torej, ko evoluta seka elipso in se razteza

v smeri osi y oziroma se njena vrhova nahajata nad polosema b. Lahko pa se

cela evoluta nahaja znotraj elipse. Da locimo te tri primere, si bomo pogledati

razdaljo od sredisca elipse do sredisca pritisnjene kroznice na nosilki osi b. Na

slikah spodaj to razdaljo oznacuje daljica SN . Vrhova evolute, ki lezita na nosilki

osi a, pa se zmeraj nahajata znotraj elipse, zato tema tockama ne bomo posvecali

posebne pozornosti. [7] [11] [23]

1. Zanima nas, kdaj je∣∣η (π

2

)∣∣ > b. Vzamemo negativno vrednost izraza η(π2),

kar lahko zapisemo kot

a2 − b2

b> b.

Neenacbo preoblikujemo:

a2 − b2 > b2,

58 Lastnosti elipse

a2 > 2b2.

Sledi:

a >√

2 b.

Ta primer prikazuje spodnja slika 6.7.

Slika 6.7: Evoluta elipse s pogojem a >√

2b

2. Sedaj si poglejmo, pri katerem pogoju je celotna evoluta znotraj elipse.

Zanima nas torej, kdaj je −η(π2) < b.

a2 − b2

b< b.

Neenacbo preoblikujemo:

a2 < 2b2.

Sledi:

a <√

2 b.

Zaradi polozaja osi elipse na sliki pa upostevamo se a > b, torej velja:

6.3 Evoluta elipse 59

b < a <√

2 b,

kar smo upostevali tudi na spodnji sliki 6.8.

Slika 6.8: Evoluta elipse s pogojem b < a <√

2b

3. Da sredisci dveh pritisnjenih kroznic sovpadata s temeni elipse (tocki C, D)

in dobimo sliko 6.9, mora veljati

a2 − b2

b= b.

Neenacbo preoblikujemo in dobimo

a =√

2b2.

60 Lastnosti elipse

Slika 6.9: Evoluta elipse s pogojem a =√

2b

6.4 Konjugirani diametri

Apolonij sicer ni toliko poznan po svojih dveh izrekih. Ker se ticeta elipse, ju

bomo preucili. Naj bo dana poljubna elipsa v parametricni obliki z

x = a cos t, y = b sin t,

pri cemer 0 < b < a.

V elipsi izberemo poljubno tetivo s koordinatama

A(a cos(t+ v), b sin(t+ v)), B(b cos(t− v), b sin(t− v)). (6.21)

Poiscemo sredisce tetive AB:

T

(1

2(a cos(t+ v) + a cos(t− v)),

1

2(b sin(t+ v) + b sin(t− v))

).

S faktorizacijo ta izraz poenostavimo:

T

(1

22a

(cos

2t

2cos

2v

2

),1

22b

(sin

2t

2cos

2v

2

)),

T (a cos t cos v, b sin t cos v),

6.4 Konjugirani diametri 61

T (a cos t, b sin t) cos v.

Vsa sredisca tetiv AB z istim t (vzporedne tetive) lezijo na isti daljici. V nasem

primeru je to daljica MN s krajiscema M(−a cos t,−b sin t), N(a cos t, b sin t).

Tetiva AB poteka skozi sredisce elipse S pri v = π2. Takrat je

A(−a sin t, b cos t), B(a sin t,−b cos t).

V tem primeru je |AB| = |KL|. Izracunajmo se dolzino konjugiranih diametrov

elipse d1 = |MN | in d2 = |KL|.

d1 = |MN | =√−−→MN 2 = 2

√a2 cos2 t+ b2 sin2 t,

d2 = |KL| =√−−→KL 2 = 2

√a2 sin2 t+ b2 cos2 t.

Torej velja:

d21 + d22 = 4(a2 + b2).

Ta izrek imenujemo 1. Apolonijev izrek. Ce ga zapisemo se z besedami: vsota

kvadratov vsakega para konjugiranih diametrov elipse je konstantna.

Slika 6.10: Dokazovanje Apolonijevih izrekov na elipsi

62 Lastnosti elipse

2. Apolonijev izrek: ploscina paralelograma, ki ga tvorijo tangente na elipso,

vzporedne paru konjugiranih diametrov, je konstantna. Ta paralelogram lahko

vidimo na zgornji sliki. Da bi to lazje dokazali, bomo izracunali ploscino cetrtine

paralelograma, ki je tudi paralelogram in je na sliki oznacen s P1.

p(P1) = |−→rB ×−→rN | = |−→rB||−→rN || sinφ|.

Da dobimo vektor −→rB moramo v enacbo (6.21) za tocko B vstaviti v = π/2, za

krajevni vektor tocke N , vektor −→rN pa v = 0.

−→rB = (x1, y1) = (a sin t,−b cos t),−→rN = (x2, y2) = (a cos t, b sin t).

Vektorski produkt bomo izracunali s pomocjo determinante.

−→rB ×−→rN =

∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y2 0

x2 y2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Poracunamo in dobimo

|−→rB ×−→rN | = |x1y2 − x2y1| = ab sin2 t+ ab cos2 t = ab.

Ker imamo 4 take dele, je koncna ploscina iskanega paralelograma P enaka 4ab.

[2] [10] [11]

7. Tangente elipse

7.1 Enacba tangente na elipso

Zapisemo enacbo elipse

x2

a2+y2

b2= 1.

Tej elipsi zelimo dolociti tangento v tocki P (x0, y0) oziroma P (a cos θ, b sin θ).

Enacba tangente v P (x0, y0) ima enacbo

y − y0 = f ′(x0)(x− x0). (7.1)

Odvajamo zgornjo enacbo elipse po x in dobimo

2x

a2+

2y · dydx

b2= 0

Sledi:dy

dx= −xb

2

ya2= f ′(x).

Ce sedaj to vstavimo v enacbo (7.1), dobimo

y − y0 = −x0b2

y0a2(x− x0).

Enacbo preoblikujemo:

a2y0y − a2y20 = −x0b2(x− x0),

a2y0y + b2x0x = a2y20 + x20b2,

63

64 Tangente elipse

xx0a2

+yy0b2

=x20a2

+y20b2.

Ker tocka P (x0, y0) lezi na elipsi, velja

x20a2

+y20b2

= 1.

Potem lahko enacbo tangente zapisemo kot

xx0a2

+yy0b2

= 1. (7.2)

[23]

7.2 Konstrukcija

1. Tangento lahko konstruiramo s kotomerom in ravnilom. Preko normale

bomo dobili tangento na elipso. Vemo, da normala razpolavlja kot med

goriscema in sticno tocko P na elipsi. Razpolovisce kota F1PF2 lahko

dolocimo s pomocjo kotomera ali pa si pomagamo s sestilom. Cez razpo-

lovisce kota potegnemo premico, ki predstavlja normalo elipse. Tej normali

cez tocko P narisemo pravokotnico oziroma tangento na elipso.

Torej velja, da tangenta na elipso v tocki P razpolavlja kot med premico

skozi P in gorisce F1 ter premico skozi P in gorisce F2. Iz tega sledi odbojna

lastnost elipse: Vsak zarek, ki gre skozi eno gorisce elipse (F1), se na elipsi

odbije in gre skozi drugo gorisce (F2).

2. V primeru, da nimamo kotomera, izberemo poljubno tocko P na elipsi in

jo povezemo z obema goriscema elipse (F1, F2). Dobimo daljico |F1P | z

dolzino d1 in daljico |F2P | dolzine d2. Daljico |F2P | podaljsamo do tocke

R, tako, da je razdalja |PR| enaka d1. Nato s premico t razpolovimo kot

RPF1. Na premici p dolocimo novo tocko Q, tako da je |RQ| = |F2Q| = l.

Premica t torej predstavlja tangento na elipso v tocki P .

7.2 Konstrukcija 65

Slika 7.1: Odbojna lastnost elipse

Slika 7.2: Konstrukcija tangente na elipso preko simetrale kota

3. Obstaja pa se en, bolj posreden nacin konstrukcije. Pomagamo si s krogom

in imamo v mislih, da elipsa nastane z raztegom kroznice. Elipsi priredimo

krog s premerom, ki je enak veliki osi elipse, torej 2a. Skozi tocko na elipsi,

kjer bo tangenta (P ), potegnemo premico, vzporedno mali osi elipse. In tako

dobimo na kroznici prirejeno tocko P ′. Skozi to tocko potem potegnemo

tangento na kroznico. Tangenta t′ naj seka nosilko glavne osi elipse v tocki

66 Tangente elipse

R. Tangento na elipso dobimo tako, da potegnemo premico skozi tocki P

in R. [8] [19]

Slika 7.3: Konstrukcija tangente na elipso preko kroznice

8. Elipse v vesolju

8.1 Elipticne galaksije

Galaksija je sistem planetov, zvezd, medzvezdnega plina, prahu in temne snovi v

vesolju. Nase osoncje je del galaksije Mlecna cesta. Po Hubble-u galaksije delimo

na elipticne, nepravilne in spiralne. Elipticne in spiralne lahko potem razdelimo

se naprej.

Elipticne galaksije tvorijo osnovo. Poimenujemo jih s crko E in stevilom n, ki

zajema naravna stevila od 0 do 7. E oznacuje besedo elipticna, stevilo n pa

sploscenost elipse z polosema a in b in jo dobimo z naslednjo enacbo:

n = 10 (1− b

a) (8.1)

E0 je skoraj okrogle oblike. Z vecanjem stevila pa je oblika galaksije vse bolj

ploscata, tako da ima E7 ze obliko diska.

[24] [26]

67

68 Elipse v vesolju

Slika 8.1: Razporeditev oblik galaksij po Hubble-u

9. Zakljucek

S svojim raziskovanjem sem ugotovila, da je elipsa bolj zanimiva krivulja, kot sem

si predstavljala. Kako pa to pokazati otrokom v soli? Ena od moznosti je, da z

otroki, na primer iz lesa izdelamo model elipse. Tega pa potem preizkusimo. Na

ta nacin najlepse pokazemo odboj na elipsi. To pride verjetno najbolj v postev

pri pouku tehnike, kar nam potem omogoca tudi medpredmetno povezovanje. Z

otroki lahko izdelamo in nato tudi uporabljamo pripomocek za vrtnarsko kon-

strukcijo elipse. Ce zelimo otrokom prikazati izvor elipse oziroma preseke stozca,

lahko iz papirja izdelamo stozce, ki jih nato s skarjami razrezemo pod razlicnimi

koti in opazujemo robove razrezanih stozcev.

Poleg povezave s tehniko nam elipsa nudi tudi raziskovanje zunaj, v naravi, mestu

. . . Odpravimo se na primer na matematicno obarvan sprehod, na katerem otroke

spodbujamo pri iskanju elipticnih oblik v okolici. Lahko se odpravimo tudi v

galerijo, kjer smo na elipso pozorni na slikah in kipih. Kot izziv jim lahko damo

nalogo, da doma ali na poti domov opazujejo in poiscejo elipticno oblikovane

figure.

Med raziskovanjem elipse sem naletela na zanimiv podatek, da odbojno lastnost

elipse uporabljajo tudi v zdravstvu, in sicer za razbijanje ledvicnih kamnov, kar

kaze na vsestransko uporabnost predstavljene krivulje. Moznosti in idej je torej

veliko, od nas pa je odvisno, kako bomo to krivuljo predstavili drugim.

69

Literatura

[1] Heath, T. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume II: From Ari-

starchus to Diophantus. Oxford: Clarendon Press.

[2] Katz, V. J. (2009). A History of Mathematics: An Introduction, Third Edi-

tion. Boston: Addison-Wesley.

[3] Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History, Third Edition. New York:

Springer.

[4] Pavlic, G. (1979/ 1980). Kako podvojiti kocko. Presek, 7(2), 77–80. Prido-

bljeno s http://presek.si/7/428-Pavlic.pdf

[5] SSKJ: prva knjiga (2014). Ljubljana: Cankarjeva zalozba, d.o.o.

[6] SSKJ: druga knjiga (2014). Ljubljana: Cankarjeva zalozba, d.o.o.

[7] Kendig, K. (2005). Conics. ZDA: The Mathematical Association of America.

[8] Matematika. (2007). Tematski leksikoni. Trzic: Ucila International.

[9] Fizika. (2007). Tematski leksikoni. Trzic: Ucila International.

[10] Bronstejn, I. N., Semendjajev, K. A., Musiol, G. in Muhlig H. (1997). Ma-

tematicni prirocnik. Ljubljana: Tehniska zalozba Slovenije

[11] Ostermann, A.in Wanner, G. (2012). Geometry by Its History. Berlin: Sprin-

ger

[12] Jahnke, H. N. (ur.). (2003). A History of Analysis. ZDA: American Mathe-

matical Society.

[13] Boyer, C. B. (1968). A History of Mathematics. ZDA: John Wiley & Sons,

Inc. Pridobljeno s https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics.

70

Literatura 71

[14] Mathematical Assosiation of America. http://www.maa.org/sites/default/files/

0746834207514.di020724.02p0009e.pdf, 30.8.2015

[15] Karatas, M. (2013). A multi foci closed curve: Cassini oval, its properties

and applications. Dogus Universitesi Dergisi, 14(2). 231–248. Pridobljeno s

http://journal.dogus.edu.tr/index.php/duj/article/view/661/pdf 25

[16] Maor, E. (1998). Trigonometric Delights. ZDA: Princeton University Press

[17] Cedilnik, A. (2006). Matematicni prirocnik. Radovljica: Didakta.

[18] Stalec I., Stalec, M. in Strnad, M. (1998). Matematika 3. Ljubljana: DZS.

[19] Krempus, E. (2006). Osnovne planimetrijske konstruk-

cije. Prirocnik. Ljubljana: Designpro, d.o.o. Pridobljeno s

http://www.cpi.si/files/cpi/userfiles/Ucbeniki/OPK krempus.pdf

[20] Heath, T. L. (1896). Apollonius of Perga, Treatise on conic sections. Cam-

bridge University Press

[21] Razpet, M. (2008/2009). Elipsa in Cassinijev oval. Presek, 36(1), 14, 15, 18.

[22] Hansen, V. L. (1998). Shadows Of The Circle: Conic Sections, Optimal

Figures And Non-Euclidean Geometry. World Scientific Publishing Co. Pte.

Ltd.

[23] Vidav, I. (1973). Visja matematika. Ljubljana: DZS.

[24] Combes, F., Boisse, P., Mazure, A., Blanchard, A. (2002). Galaxies and

Cosmology. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

[25] Edwards Jr., C.H. (1979). The Historical Development of the Calculus. New

York: Springer-Verlag.

[26] https://en.wikipedia.org/wiki/Galaxymorphologicalclassification - slika