Unitatea de învăţare nr. 4 - ifrem.files.wordpress.com file4.1 Legea conservarii energiei Legile...

Legi de conservare

63 Fizica – Curs şi aplicaţii

Unitatea de învăţare nr. 4 LEGI DE CONSERVARE Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 4 64

3.1 Legea conservarii energiei 64

3.2 Legea conservarii impulsului 70

3.3 Legea conservarii momentului cinetic 71

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 4 76

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 77

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 4 79

Legi de conservare

64 Fizică – Curs şi aplicaţii

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 4

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 1 sunt: • Familiarizarea cu notiunile de lucru mecanic, energie

cinetica, forta conservativa si energie potentiala; • Familiarizarea cu teorema variatiei energiei cinetice, cu

teorema variatiei energiei potentiale, cu legea conservarii energiei mecanice;

• Aplicarea acestor teoreme si legi in rezolvarea de probleme.

• Familiarizarea cu notiunea de impuls, cu teorema variatiei impulsului, cu legea conservarii impulsului;

• Aplicarea acestei teoreme si a acestei legi in rezolvarea de probleme;

• Familiarizarea cu notiunea de moment cinetic, cu teorema variatiei momentului cinetic, cu legea conservarii momentului cinetic;

• Aplicarea acestei teoreme si a acestei legi in rezolvarea de probleme;

4.1 Legea conservarii energiei Legile de conservare sunt asociate cu notiunea de simetrie care, etimologic, in limba greaca, insemna proportionalitate, similaritate in aranjarea partilor, sens in care simetria se opune haosului, fiind o masura a ordinii (intr-o situatie caracterizata de simetrie, magarul lui Buridan a murit de foame). Hermann Weyl defineste simetria astfel: „un obiect este simetric daca ramane neschimbat in urma unei transformari”. Conceptul de simetrie se refera nu doar la obiecte ci si la fenomenele fizice si la legile care le guverneaza. O lege fizica este simetrica daca isi pastreaza forma (este invarianta) in urma unor transformari legate, de exemplu, de conditiile in care este observat fenomenul fizic. Astfel, daca se efectueaza un experiment cu un sistem fizic si apoi se repeta experimentul mai tarziu, trebuie sa obtinem acelasi rezultat, conditiile ramanand aceleasi. In caz contrar, niste cauze ar produce un efect astazi si alt efect maine. Spunem ca legile mecanicii sunt invariante la translatiile temporale. Aceasta proprietete decurge din uniformitatea timpului: toate momentele de timp sunt echivalente. Pentru un sistem mecanic izolat, uniformitatea timpului cere ca functia Lagrange care il

descrie sa nu contina explicit timpul: 0=∂∂

tL

. Derivata totala la timp a functiei Lagrange

devine:

Legi de conservare


∑∑==

⋅

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

=s

i

i

iii

s

i

i

i

i

i dtqd

qL

qLq

dtqd

qL

dtdq

qL

tL

dtdL

11

(4.1.1)

Inlocuind

∂∂

=∂∂

ii qL

dtd

qL

obtinem:

.–qE

0–

ii

11

constLqL

LqLq

dtd

qLq

dtd

qLq

dtd

dtqd

qL

qL

dtdq

dtdL

i

i ii

iii

ii

s

i

s

i

i

iii

=∂∂

=⇒

⇒=

∂∂

⇒

∂∂

=

=

∂∂

=

⋅

∂∂

+

∂∂

=

∑

∑∑

∑∑==

(4.1.2)

Marimea L–qLqE

i

s

ii ∂∂

= ∑=1

se numeste energia sistemului. Putem arata ca se poate exprima

ca suma dintre energia cinetica T, si energia potentiala U: E = T + U. Relatia 4.2 ne spune ca: „Energia unui sistem mecanic izolat se conserva in timp”. Aceasta se intampla si in campuri de forte exterioare constante in timp (conservative), deoarece energia potentiala nu contine timpul si implicit nici functia Lagrange nu va contine timpul. Cu toate ca este o notiune foarte importanta in fizica si in viata noastra de toate zilele, energia nu poate fi definita usor. Vom incerca sa o definim cu ajutorul altor marimi, cum ar fi lucrul mecanic. De obicei acesta se noteaza cu litera L, pe care am folosit-o pentru functia Lagrange. De aceea in continuare vom nota marimea numita lucru mecanic cu litera W. Lucrul mecanic se defineste imaginandu-ne urmatoarea situatie fizica: o forta (masura a interactiunii) constanta (in marime, directie, sens) actioneaza asupra unui corp care sufera deplasarea Δr (Figura 4.1.1):

Figura 4.1.1 – Lucrul mecanic al unei forte constante Prin definitie lucrul mecanic W al fortei constante F este o marime scalara egala cu produsul dintre proiectia fortei pe directia deplasarii (Fcosθ) si marimea deplasarii (Δr):

rFrFW

∆⋅=⋅∆⋅= θcos (4.1.3)

Legi de conservare


Putem spune ca lucrul mecanic este produsul scalar dintre vectorul forta si vectorul deplasare. Unitatea de masura pentru lucru mecanic in Sistemul International se numeste Joule: 1 J = 1 N x 1 m = 1 kg x m2 x s-2. Daca forta contribuie la deplasare (θ < 900, W > 0) lucrul se numeste motor, iar daca se opune deplasarii (900 < θ ≤ 1800 , W < 0) lucrul se numeste rezistent. Cand definim vectorul deplasare facem referire la deplasarea punctului de aplicatie al fortei. In cazul unui punct material, acesta coincide cu deplasarea punctului material In cazul unui corp deformabil cele doua deplasari nu mai coincid. O forta nu efectueaza lucru mecanic daca punctul ei de aplicatie nu sufera o deplasare sau daca suportul ei este perpendicular pe deplasare. Uneori trebuie sa evaluam lucrul mecanic efectuat de o forta care nu este constanta. In acest caz vom considera, pe drumul punctului de aplicatie al fortei, deplasari infinit mici, astfel ca forta la cele doua capete ale lor sa nu difere prea mult si sa o putem considera constanta. Vom calcula lucrul elementar dW pe un astfel de interval infinitezimal dr cu definitia de la lucrul mecanic al unei forte constante: dW = F*dr = F*dr*cosθ, si vom insuma lucrurile elementare de pe toate deolasarile infinit mici (aflate in numar infinit mare) care compun traiectoria:

∫ ⋅=B

A

r

rAB rdFW

(4.1.4)

Vom calcula, ca exemplu, lucrul mecanic al fortei de atractie universala atunci cand un punct material de masa m se indeparteaza din A in B in campul fortei de atractie produs de corpul de masa M (Figura 4.1.2):

Figura 4.1.2 – Lucrul mecanic al unei forte variabile In acest caz forta de atractie universala scade cu patratul distantei si lucrul elementar in deplasarea infinitezimala dr este:

drr

MmKdrr

MmKdW 20

2 180cos −=⋅= , (4.1.5)

iar lucrul total este:

−==∫−=∫−=∫= −

AB

r

r

r

r

r

r

B

AAB rr

KMmr

KMmdrrKMmdrr

MmKdWWB

A

B

A

B

A

11122 (4.1.6)

Legi de conservare


Observam ca lucrul mecanic este rezistent, deoarece forta se opune deplasarii. Integrala (4.1.6) are semnificatia geometrica de arie de sub graficul fortei in functie de pozitie. De aceea uneori este mai usor sa calculam lucrul mecanic cu ajutorul ariei. Vom face asta pentru a calcula lucrul mecanic al fortei elastice. Situatia este prezentata in Figura 3.4.1 din capitolul al treilea: corpul de masa m se deplaseaza din pozitia O (x=0) in pozitia A (x=x) sub actiunea fortei elastice: F = -k*x, unde k este constanta elastica a resortului, iar x este deformarea lui. Forta elastica este reprezentata in Figura 4.1.3 ca functie de pozitie. Aria dintre grafic si axa Ox luata cu semnul minus (este sub axa Ox) este aria unui triunghi: Aria = = F*x/2 = - k*x2 / 2 = WOA.

Figura 4.1.3 – Lucrul mecanic al fortei elastice Vom defini acum energia cinetica a unui punct material ca fiind capacitatea acestuia de a efectua lucru mecanic asupra mediului extern datorita faptului ca se afla in miscare. Vom considera un punct material care, sub actiunea fortelor externe aplicate lui, isi modifica viteza de la valoarea v1 la valoarea v2. Putem estima lucrul mecanic al fortelor externe prin:

( )222

21

22

2 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

mvmvmvmvdvdxdtdx

dxdvmdx

dtdvmdxmadxFW

v

v

x

x

x

x

v

v

x

x

x

xext −=∫ ∫ ∫ ====∫ ⋅=∫ ∑=

(4.1.7)

Observam ca lucrul mecanic al fortelor externe este egal cu diferenta dintre valoarea finala si cea initiala a marimii m*v2 / 2. Aceasta marime se va numi, prin definitie, energia cinetica a punctului material in starea mecanica in care are viteza v:

2

2mvET c == (4.1.8)

Expresia 4.1.7 se poate scrie:

Legi de conservare


ccinitialcfinalext EEEW ∆=−= (4.1.9)

si poarta numele de teorema variatiei energiei cinetice: „variatia energiei cinetice a unui punct material, in raport cu un sistem de referinta inertial, este egala cu lucrul mecanic al rezultantei fortelor aplicate punctului material”. Daca punctul material se opreste in final, Ecfinal = 0, atunci Ecinitial = - Wext = W’ext unde W’ext reprezinta lucrul mecanic efectuat de punctul material asupra mediului exterior pana la oprirea lui completa: aceasta este semnificatia energiei cinetice pe care punctul o avea in starea initiala. De exemplu, o piatra ce are o anumita viteza, este capabila sa sparga un geam cu o anumita grosime. O viteza mai mica sau mai mare modifica aceasta capacitate. In cazul unui automobil cu o capacitate de franare constanta, energia cinetica pe care o poseda la un moment dat este proportionala cu distanta pana la oprire. Pentru a defini energia potentiala trebuie sa vedem ce inseamna fortele conservative: ”forte al caror lucru mecanic intre doua pozitii nu depinde de drumul urmat, sau, echivalent, forte al caror lucru mecanic pe un drum inchis este nul”. Putem arata, plecand de la definitie, ca sunt forte conservative:

- Forta elastica, - Forta de atractie universala, si, in cazul particular al campului gravitational uniform de

la suprafata Pamantului: - Forta de greutate.

In cazul fortei elastice, daca vom considera drumul inchis OAO (Figura 4.1.3 si Figura 3.4.1), obtinem WOAO = WOA + WAO = - k*x2 / 2 + k*x2 / 2 = 0. In cazul fortei atractiei universale (Figura 4.1.2 si formula 4.1.6), pe drumul inchis ABA, obtinem: WABA = WAB + WBA = - KMm (1/rB – 1/rA) + KMm (1/rB – 1/rA) = 0. Forta de greutate are aceeasi natura ca si forta atractiei universale, fiind un caz particular al acesteia. Daca un punct material este plasat in camp de forte conservative, el va avea capacitatea de a efectua un lucru mecanic asupra mediului exterior datorita pozitiei pe care o ocupa in acel camp: de exemplu un bolovan, plasat la etajul al X-lea al unui bloc si lasat sa cada, va produce un efect mult mai mare asupra solului decat acelasi bolovan situat la etajul I. Vom defini energia potentiala prin relatia:

ivaFconservatpinitialpfinalp WEEE 12−=−=∆ : (4.1.10)

„variatia energiei potentiale a unui punct material care se deplaseaza intre doua puncte ale unui camp de forte conservative este egala cu minus lucrul mecanic al fortelor conservative care actioneaza asupra lui in cursul deplasarii”. Sub forma diferentiala expresia se scrie:

rdFdUdE p

⋅−== , (4.1.11)

de unde observam ca fortele conservative deriva din energia potentiala:

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−∇=−=−= kzUj

yUi

xUU

rddU

rddE

F p

(4.1.12)

Sa definim, folosind relatia 4.1.10 energia potentiala a unei bile in campul gravitational al Pamantului, la suprafata lui (Figura 4.1.4):

Legi de conservare


Figura 4.1.3 – Energia potentiala in camp gravitational uniform

121221 )()( mgymgyyymgyymgWEE ABmgpApB −=−=−−=−=− (4.1.13)

Relatia 4.1.13 nu ne ofera nici energia potentiala din A si nici din B, ci doar diferenta lor. Se obisnuieste sa se aleaga o pozitie in care, prin conventie, sa se considere energia potentiala egala cu zero. In acest caz, din 4.1.13 banuim ca energia potentiala are expresia mgy si este

potrivit sa alegem punctul de referinta la sol, unde y = 0: 0c

pOE ≡ . Inlocuind pozitia finala, B,

cu solul, O, relatia 4.1.13 devine: mgyEmgyEmgymgEE ppApApO =⇒=⇒−⋅=− 110 (4.1.14)

In mod analog vom gasi energia potentiala a unui punct material atasat de un arc deformat:

2

2kxE p = , (4.1.15)

unde am ales punctul de referinta in pozitia in care arcul este nedeformat, si energia potentiala a unui punct material de masa m in campul de atractie gravitationala universala produs de un corp sferic, sau punctual, la distanta r de centrul acestuia:

rMmKE p −= (4.1.16)

caz in care energia potentiala se considera nula la o distanta infinita de sursa campului. Observam ca, spre deosebire de energia cinetica definita pentru o stare mecanica a punctului material, energia potentiala caracterizeaza punctul material si campul de forte conservative in care se afla, adica, de exemplu, energia potentiala mgy nu este doar a punctului material ci a sistemului punct material-planeta Pamant, care produce campul. Adunand relatia 4.1.9 cu 4.1.10: ( )

ativeFneconservativeFneconserv

iveFconservatativeFneconserviveFconservativeFconservatextpc

WEW

WWWWWEE

=∆⇒=

=−+=−=+∆

(4.1.17)

Legi de conservare


obtinem urmatorul rezultat: “variatia energiei mecanice,E = Ec + Ep, este egala cu lucrul mecanic al fortelor neconservative (fortele de frecare sunt un bun exemplu) care actioneaza asupra punctului material”. In relatia 4.1.17 lucrul mecanic al fortelor exterioare a fost scris ca suma dintre lucrul fortelor conservative si cel al fortelor neconservative. Daca asupra sistemului mecanic nu actioneaza forte neconservative, energia mecanica nu se modifica. Atunci cand trebuie sa comparam vitezele cu care se efectueaza lucru mecanic de catre diferite sisteme suntem ajutati de marimea fizica numita putere mecanica:

vFdt

rdFdt

dWP

⋅=⋅

== (4.1.18)

Aceasta este puterea instantanee, exprimata ca limita cand Δt0 din puterea medie: Pm = W / Δt (4.1.19) Unitatea de masura este watt-ul (James Watt): 1 W = 1 J/s = 1 kg x m2 / s3. Intalnim ca unitate tolerata calul putere (horsepower) : 1 hp = 736 W. Energia electrica se exprima cu ajutorul puterii, kilowatt-ora: 1 kWh = 1000 W x 3600 s = 3.60 x 106 J.

4.2 Legea conservarii impulsului Dacã efectuam un experiment fizic într–un anumit loc (mãsurãm perioada unui pendul gravitational care efectueazã mici oscilatii in acord cu formula glT /2π= ) si apoi repetam

experimentul in alt loc vom obtine acelasi rezultat. Acesta este un exemplu de invarianta a legilor fizicii la translatiile spatiale (daca se pastreaza aceleasi conditii externe). Invarianta deriva din omogenitatea spatiului (spatiul are acelesi proprietati in toate punctele sale). In cazul unui sistem mecanic izolat, din aceasta proprietate a spatiului decurge conservarea marimii fizice vectoriale numite impuls. Pentru un punct material impulsul este definit ca produsul dintre masa si viteza lui: p = mv. Principiul fundamental al mecanicii clasice, formulat de Newton, ne permite sa extragem teorema impulsului pentru un punct material:

dtFpddtpdF

=⇒= (4.2.1)

„variatia impulsului unui punct material este egala cu impulsul rezultantei fortelor aplicate asupra lui”, adica este egala cu produsul dintre rezultanta fortelor si intervalul de timp in care actioneaza. Daca vom considera doua puncte materiale asupra carora actioneaza atat forte exterioare (F1,2) cat si forte interioare (F12,21) aplicand fiecaruia teorema impulsului si adunand cele doua relatii obtinem:

( ) ( ) dtFpddtFFppd

=⇒+=+ 2121 (4.2.2) unde p = p1 + p2 este impulsul total al sistemului iar F = F1 + F2 este rezultanta fortelor exterioare (fortele interioare se anuleaza reciproc, deoarece apar in pereche actiune-reactiune in sistem). Aflam astfel ca doar fortele exterioare pot modifica impulsul total al unui sistem! Baronul Munchhausen a mintit atunci cand a relatat cum a iesit impreuna cu calul

Legi de conservare


sau dintr-o mlastina, tragandu-se cu mainile de sireturile bocancilor si tinand ferm calul strans intre picioare, deoarece aceste sunt forte interioare. Daca sistemul este izolat (nu avem forte exterioare, F = 0), teorema impulsului devine legea conservarii impulsului:

.01

constpppdn

ii =∑=⇒=

=

(4.2.3)

„impulsul total al unui sistem izolat se conserva in timp”

4.3 Legea conservarii momentului cinetic

Legile fizicii nu se modifica daca rotim masa pe care sunt aparatele de masura: ele sunt invariante la rotatiile spatiale. Aceasta este o consecinta a izotropiei spatiului: toate directiile spatiului sunt echivalente. Consecinta izotropiei spatial este conservarea momentului kinetic al unui sistem mecanic izolat. Sa consideram principiul fundamental al mecanicii clasice si sa inmultim vectorial la stanga aceasta ecuatie cu vectorul raza vectoare al particulei:

dtpdrFr

dtpdF

ii

ii

×=∑×

∑ = (4.3.1)

Acum vom adauga in membrul drept un termen nul deoarece este produsul vectorial a doi vectori paraleli (viteza si impulsul):

:0 vvmvmvpvpdtrd

×=×==×=× (4.3.2)

( )dtMdpr

dtdp

dtrd

dtpdrFr

ii

=×=×+×=∑× (4.3.3)

In membrul stang al relatiei 4.3.3 avem momentul fortei rezultante in raport cu un punct (pol). In membrul drept avem derivate la timp (viteza de variatie in timp) a marimii M = r x p pe care o numim momentul cinetic al punctului material in raport cu acelasi pol. Momentul fortei si momentul cinetic joaca in miscarea de rotatie rolul pe care il joaca forta si respectiv impulsul in miscarea de translatie. Astfel, relatia 4.3.3 este in miscarea de rotatie analogul primei relatii 4.3.1 pentru cea de rotatie. Sa ne aducem aminte ca produsul vectorial al vectorilor a si b este un (pseudo)vector c cu urmatoarele caracteristici:

⊥

⋅⋅=

×=

scurt. mai cel drumul pe b peste a rotim canddrept burghiului regula dedat sensul are-

:directia are-

marimea de descris-

),,(

,sin

:bac

bac

bac

α

(4.3.4)

Legi de conservare


Figura 4.3.1 – Momentul cinetic M al unei particule fata de polul O Din relatia 4.3.3 observam ca daca momentul fortei rezultante fata de un pol este nul atunci derivata la timp a momentului cinetic este zero si deci, momentul cinetic al particulei fata de acelasi pol se conserva in timp: M = r x p = constant. Daca avem un sistem de particule, scriind pentru fiecare relatia 4.3.3 si insumand obtinem:

dtMdFr total

ii

i

=×∑ (4.3.5)

unde Fi este rezultanta fortelor externe ce actioneaza asupra particulei i, iar Mtotal este suma momentelor cinetice ale particulelor din sistem. Suma momentelor fortelor interne se anuleaza. Daca sistemul este izolat, nu avem forte externe si momentul cinetic total se conserva. Sa consideram un solid rigid, in forma de disc, aflat in miscare de rotatie in jurul axei Oz care trece prin centrul sau. Solidul este compus din particule, cum este cea din Figura 4.3.2, care se rotesc in planul xOy, in jurul originii O, cu aceeasi viteza unghiulara ω = v / r. Momentul cinetic al particulei desenate va avea marimea Mi = ri pi = mi ri vi = ω r2

i mi. Vectorul Mi al fiecarei particule este orientat parallel cu axa Oz, la fel cu vectorul ω, viteza unghiulara de rotatie. Daca insumam momentele cinetice pentru toate punctele material care alcatuiesc corpul obtinem momentul kinetic total, care are componenta doar pe axa Oz:

ωωω IrmrmLLi

iiii

ii

iz =

∑=∑=∑= 22 , (4.3.6)

unde 2i

iirmI ∑= este momentul de inertie al solidului rigid. Daca derivam la timp expresia

4.3.6, obtinem:

Legi de conservare


ii

iz FrI

dtdI

dtdL

×∑=== εω , (4.3.7)

expresie care ne spune ca suma momentelor fortelor care actioneaza asupra solidului rigid este egala cu momentul de inertie al acestuia inmultit cu ε – acceleratia unghiulara. Daca suma momentelor fortelor este nula, atunci si acceleratia unghiulara se anuleaza si avem o rotatie uniforma. Atunci cand un saritor de la trambulina se arunca in apa si vrea sa isi mareasca viteza unghiulara de rotatie el isi apropie cabul si bratele de genunchi. In acest mod momentul de inertie scade si viteza unghiulara de rotatie creste pentru ca momentul cinetic M = I ω sa ramana constant (greutatea se aplica in centrul de masa al saritorului, momentul ei fata de acest punct este nul si astfel momentul cinetic fata de centrul de masa se conserva).

Figura 4.3.2 – Momentul cinetic M al unui solid rigid in rotatie

Legi de conservare


De reţinut! Lucrul mecanic al unei forte asupra unui punct material este produsul scalar dintre vectorul forta si vectorul deplasare, daca forta este constanta. Lucrul mecanic poate fi utilizat pentru a defini energia cinetica (capacitatea unui punct material de a efectua lucru mecanic asupra mediului extern, pana ajunge in repaus fata de un S.R.I.) si energia potentiala (lucrul mecanic al fortelor conservative care actioneaza asupra unui sistem este egal cu variatia energiei potentiale luata cu semnul minus, sau, altfel spus energia potentiala masoara capacitatea unui punct material de a efectua lucru mecanic asupra mediului extern datorita pozitiei pe care o ocupa intr-un camp de forte conservative). Fortele conservative (greutatea, forta elastica, etc.) sunt fortele al caror lucru mecanic nu depinde de traiectoria urmata intre doua puncte ale campului de forte. Fortele de frecare nu sunt conservative. Puterea masoara viteza cu care se efectueaza lucru mecanic: P = W / t. In absenta fortelor neconservative energia se conserva. Impulsul este produsul dintre masa si viteza. Derivata la timp a impulsului este forta. Daca suma fortelor externe care actioneaza asupra unui corp este nula atunci impulsul acestui corp se conserva. Momentul cinetic este produsul vectorial dintre raza vectoare si impuls.Derivata la timp a momentului cinetic este egala cu suma momentelor fortelor externe care actioneaza asupra sistemului mecanic. Daca suma momentelor fortelor externe care actioneaza asupra sistemului mecanic este nula, atunci momentul cinetic se conserva.

Test de autoevaluare 2.1

1. Un om incarca un frigider intr-o duba cu ajutorul unei rampe cu unghiul de inclinare α. El afirma ca ar fi necesar mai putin lucru mecanic pentru a incarca duba, daca lungimea D a rampei ar creste. Are dreptate?

Legi de conservare


2. Forta care actioneaza asupra unei particule depinde de

coordonata x ca in figura. Sa se calculeze lucrul efectuat de aceasta forta atunci cand particula se misca intre x = 0 si x = 6 m.

3. Un arcas cu masa de 60 kg se afla in repaus pe o gheata fara

frecare si lanseaza din arc o sageata cu masa de 0.50 kg cu o viteza de 50 m/s in directie orizontala. Ce viteza de recul capata arcasul?

4. O platforma orizontala de forma unui disc circular se roteste liber

in plan orizontal fara frecare in jurul unei axe verticale care trece prin centrul sau. Platforma are masa M = 100 kg si raza R = 2.0 m. Un marinar de masa m = 60 kg se misca lent de la marginea platformei spre centrul sau. Daca viteza unghiulara a platformei

Legi de conservare


este 2 rad/s cand studentul se afla la marginea ei, ce viteza unghiulara va avea atunci cand s-a apropiat la r = 0.5 m de centru?

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 2

1. Un resort elastic este deformat cu 10 cm de catre o forta care efectueaza un lucru mecanic de 4 J. Ce lucru suplimentar este necesar pentru a deforma resortul cu inca 10 cm?

2. Depinde energia cinetica a unui obiect de sistemul de referinta fata de care este analizata miscarea lui? Dati exemple.

3. Un elevator are masa de 1600 kg si transporta pasageri cu masa totala de 200 kg. Forta de frecare de 4 000 N se opune miscarii. Care trebuie sa fie puterea motorului pentru a urca elevatorul cu o viteza constanta de 3 m/s?

4. O nava cu masa de 1 500 t se ciocneste perpendicular de cheu cu viteza initiala de 10 kn si cu viteza finala de 1 kn. Daca ciocnirea dureaza 3 s aflati variatia de impuls a navei si forta medie exercitata asupra navei. Dar in cazul in care nava nu ricoseaza? (durata ciocnirii este tot de 3 s)

5. Daca incalzirea globala va topi calota polara si o parte din apa provenita din topire se va repartiza in zona Ecuatorului, cum se va modifica durata zilei?

6. O funie usoara trece peste un scripete fix, usor si fara frecari. Daca la un capat al funiei se afla un cos cu banane, de masa M, la celalalt se afla o maimuta, tot de masa M, care doreste sa ajunga la banane. Calculati momentul fortelor care actioneaza asupra scripetelui in raport cu axa acestuia. Va ajunge maimuta la banane?

Legi de conservare


Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 1.Solutie: Daca presupunem ca miscarea se face cu viteza constanta energia cinetica nu se modifica si variatia ei este nula. In acord cu teorema variatiei energiei cinetice lucrul mecanic al rezultantei fortelor va fi nul. Deoarece forta normala nu efectueaza lucru mecanic (pentru ca este perpendiculara pe deplasare) gasim ca lucrul mecanic efectuat de om este egal cu minus lucrul efectuat de forta de greutate a frigiderului. Forta de greutate este conservativa si lucrul ei este egal cu –mgh, deci nu depinde de lungimea D a rampei. La fel si lucrul efectuat de om: +mgh. 2.Solutie: In diagrama (x, F), aria de sub curba semnifica lucrul

mecanic efectuat de forta F: ∫=mFdxL

6

0.

Calculand aria trapezului obtinem: L = (6+4)*5 / 2 J = 25 J. 3.Solutie: Pe orizontala nu actioneaza forte exterioare care sa modifice impulsul total. Fortele interioare de tip elastic redistribuie impulsurile partilor arcas-sageata astfel incat impulsul total sa ramana ca la inceput, adica nul:

m/s 42.0/5060

5.00 212

122211 ==⇒−=⇒=+ smvv

mmvvmvm

Reculul are sens contrar celui in care a fost lansata sageata. 4.Solutie: Fortele externe au momentul nul in raport cu centrul platformei, astfel incat momentul kinetic al sistemului se conserva:

ffii II ωω = , unde Ii = MR2 / 2 + mR2 iar If = MR2 / 2 + mr2. Inlocuind in prima relatie aflam ca:

sradmrMRmRMR

if /1.42/2/

22

22 =⋅

++

= ωω

Asa cum banuiam, viteza unghiulara creste.

Legi de conservare


Recapitulare Daca un sistem mecanic este izolat si nu avem forte neoconservative asupra partilor lui componente, energia mecanica totala se conserva: T + U = constant. Daca in interiorul sistemului izolat avem forte de frecare, variatia energiei totale este egala cu lucrul mecanic al acestor forte. Daca sistemul este neizolat si avem forte de frecare in interiorul sistemului, variatia energiei mecanice este suma dintre lucrul fortelor de frecare si lucrul celorlalte forte din exterior. Impulsul unei particule este un vector egal cu produsul dintre masa particulei si viteza sa. Variatia impulsului este egala cu impulsul fortei: produsul dintre forta medie si timpul cat actioneaza. In ciocnirile perfect elastice energia cinetica se conserva. In cele inelastice, o parte din energia cinetica se transforma in caldura si in energie de deformare. In ciocnirile plastice, corpurile care se ciocnesc raman impreuna. In absenta fortelor externe impulsul unui sistem izolat se conserva. Momentul unei forte in raport cu un pol este produsul vectorial:

Fr

×=τ . Momentul cinetic al unei particule in raport cu un pol este: prM

×= . Viteza de variatie in timp a momentului cinetic este egala cu momentul fortei. Daca momentul fortei este nul, atunci mmomentul cinetic se conserva. Pentru un solid rigid, conservarea momentului cinetic se poate exprima astfel: ffii II ωω = , unde I este momentul de inertie in raport cu axa de rotatie, iar ω este viteza unghiulara de rotatie fata de aceasta axa.

Concluzii Energia, impulsul, momentul cinetic sunt integrale prime ale miscarii. Faptul ca pentru sisteme izolate aceste marimi se conserva deriva din proprietatile de baza ale spatiu-timpului: omogenitate si izotropie spatiala si uniformitate a timpului. Aceste legi de conservare usureaza rezolvarea problemei mecanicii, in anumite situatii scutindu-ne de integrarea unor ecuatii diferentiale ale miscarii.

Legi de conservare


Bibliografie - Serway/Jewett, Physics for scientists and engineers, Seventh

Edition, Ed.Brooks/Cole; - L.C. Epstein, Ganditi Fizica!, Ed. All Educational Bucuresti, 1997; - Arnold, Metodele matematice ale mecanicii clasice, Ed. Stiintifica

si Enciclopedica; - Smith, Idei matematice in biologie, Cambridge, 1968.

Date post:	06-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	9 times
Download:	0 times

Unitatea de învăţare nr. 4 - ifrem.files.wordpress.com file4.1 Legea conservarii energiei Legile...

Documents