costurile firmei

MECANISME DE REGLARE

FUNDAMENTATE PE TEORIA COSTURILOR FIRMEI

Capitolul

3

Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului

În teoria economică au fost fundamentate numeroase concepte privind costurile firmei, cum ar fi: cost contabil, cost de oportunitate, social sau alternativ, cost economic.

Faţă de costul contabil, definit ca sumă de cheltuieli de producţie, calculate pe baza preţurilor de achiziţie, ale factorilor de producţie, tarifelor pentru manoperă şi a amortizărilor, costul de oportunitate (social sau alternativ), reprezintă plata necesară pentru a menţine o resursă în utilizarea ei prezentă, ţinând seama de posibilitatea utilizării alternative a factorilor de producţie. Spre deosebire de costul contabil, exprimat în unităţi monetare, costul de oportunitate se exprimă ca rată de scont a sumei avansată pentru achiziţionarea factorilor de producţie.

Costul economic este un concept care are la bază costul de oportunitate si care ia în plus în considerare efectele externe sau externalităţile (beneficiile sau pierderile generate de activitatea altor agenţi economici sau procesele care au loc în mediul înconjurător).

Formalizările următoare au în vedere în special costul contabil care permite estimări econometrice pentru identificare.

1. Definirea funcţiei de cost : Tipuri de funcţii de cost

Prin definiţie, funcţia de cost total este soluţa problemei de optimizare:

(1) ( ) ( ){ }yVxwxywCx

∈=≥

/min,0

( )11 ,..., nwww = este vectorul linie al preţurilor factorilor de producţie. ( )nxxx ...,,1= este vectorul coloană al factorilor de producţie.

y este produsul finit (considerând procesul de producţie cu un singur produs finit)

( )yV este mulţimea intrărilor (factorilor de producţie) necesare pentru a produce un nivel de producţie finită y , respectiv mulţimea tuturor vectorilor de intrare (factori de producţie) care concură la fabricarea nivelului de producţie finită y .

Din definiţia (1) rezultă că funcţia de cost este cheltuiala minimă (date fiind preţurile factorilor de producţie / pentru producerea unui nivel al producţiei finite.

În relaţia (1), preţurile factorilor sunt date exogen (se face ipoteza competiţiei perfecte). Vom presupune, de asemenea, că nu există factori de producţie cu preţuri zero ( )niwi ,1,0 => , ceea ce presupune că factorii de producţie nu au disponibil liber (nu există în cantităţi infinite).

Capitolul 3. Mecanisme de reglare fundamentate pe teoria costurilor firmei

Observăm că funcţia de cost definită prin (1) depinde de tehnologie prin restricţia tehnologică ( )yVx ∈ . Fără această restricţie, funcţia de cost nu este bine definită, întrucât prin minimizarea liberă a unei funcţii liniare, optimul este zero (ţinând seama de proprietăţile funcţiei de cost).

Definim: (2) ( )0,wCCF = costurile fixe ale firmei. Acesta este un concept pe

termen scurt şi reprezintă cheltuiala cu factorii de producţie invariantă în raport cu volumul producţiei (amortizări, salariile personalului tehnic – administrativ, chirii, iluminat, încălzit).

(3) ( ) ( ) CFywCywCV −= ,, sunt costurile variabile ale firmei (de asemenea un concept pe termen scurt), care cuprind cheltuielile cu capitalul circulant (pentru fabricaţie) şi salariile directe ale personalului firmei.

Costurile medii sau unitare ale firmei sunt:

(4) y

CFCF = costul fix mediu

(5) ( ) ( )y

ywCVywCV ,, = costul variabil mediu

(6) ( ) ( )y

ywCywC ,, = costul total mediu

(7) ( ) ( )y

ywCywC∂

∂=

,,' costul marginal al firmei (sporul de cheltuieli

indus de creşterea cu o unitate a producţiei finite).

2. Proprietăţile funcţiei de cost

Funcţia de cost definită prin (1), trebuie să satisfacă următoarele proprietăţi:

a. ( ) 0, >ywC , dacă 0>w şi 0>y (nenegativitatea). Conform acestei proprietăţi, nu este posibil a se produce un output

pozitiv cu un cost nul. Ca o consecinţă a proprietăţii de esenţialitate stabilă a funcţiei de producţie (orice nivel de producţie finită – output – este obţinut prin utilizarea unei cantităţi strict pozitive din cel puţin un input – factor de producţie). Întrucât preţurile pieţei sunt strict pozitive (factorii de producţie nu au disponibil liber), costul total va fi strict pozitiv.

b. Dacă ( ) ( )bwCbwCww ,,11 ≥⇒≥ (funcţia de cost este nedescrescătoare în preţuri). Aceasta înseamnă că o creştere a preţurilor factorilor atrage o majorare a costurilor de producţie.


Demonstraţie: Considerăm 1w şi 2w vectorii preţurilor factorilor, astfel încât 21 ww ≥ . Considerăm 1x şi 2x vectori de inputuri care minimizează cost total la preţurile 1w , respectiv 2w . Rezultă că:

2111 xwxw ≤ şi 1222 xwxw ≤

Adunând cele două relaţii obţinem:

( )( ) 02121 ≤−− xxww (8)

Relaţia (8) este inegalitatea fundamentlă a minimizării costurilor folosită în statica comparată. Scrisă pe componente, relaţia (8) devine:

( )( ) 02121 ≤−− iiii xxww (9)

ceea ce relevă faptul că modificarea preţului unui input va atrage modificarea în direcţie opusă a utilizării inputului, respectiv funcţiile de cerere derivată (cererea de factori de producţie) sunt descrescătoare în preţuri.

c. ( )ywC , este continuă şi concavă în w . Considerăm 1w şi 2w doi vectori de preţuri, iar 1x şi 2x vectori de

inmputuri care maximizează costul pentru 1w şi 2w . Considerăm 0w o combinaţie conexă a celor doi vectori de preţuri:

( ) [ ]1,0,1 210 ∈−+= θθθ www

Pentru de demonstra concavitatea, trebuie să arătăm că:

( ) ( ) ( ) ( )ywCywCywC ,1,, 210 θθ −+≥

Considerăm 0x vectorul de inputuri care minimizează costul pentru ( )yVxw ∈00 , prin definiţie. Din minimizarea costurilor:

1101 xwxw ≥ şi 2202 xwxw ≥

Putem scrie:

( ) ( )[ ] ( ) ≥−+=−+== 0201021000 11, xwxwxwwxwywC θθθθ ( ) ( ) ( )ywCywC ,1, 21 θθ −+≥ (10)

d. ( ) ( ) 0,,, ⟩= tywtCytwC relaţie care reflectă omogenitatea de grad unu în preţuri.

Aceasta este binecunoscuta proprietate numită “absenţa iluziei monetare” ceea ce permite utilizarea preţurilor relative în funcţiile de cost. Conform acestei proprietăţi rezultă că variaţia proporţională a preţurilor de intrare, va duce la modificarea funcţiei de cost în aceeaşi proporţie.


( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( )ywtCyVxwxtyVxtwytwCxx

,/min/min,00

=∈=∈=≥≥

(11)

e. Dacă ( ) ( ).,, 11 ywCywCyy ≥⇒≥ , adică funcţia de cost este nedescrescătoare în y (nivelul outputului).

Rezultă, conform acestei proprietăţi că o creştere a nivelului outputului (a producţiei finite), nu poate duce la descreşterea costurilor.

Considerăm yy ≥1 , din monotonia funcţiilor de producţie rezultă ( ) ( )yVyV ⊃1 ceea ce înseamnă că orice vector de inputuri care poate

produce 1y , poate produce şi y , respectiv cu costul ( ) ( )ywCywC ,, 1 ≥ , deci dacă nivelul outputului creşte, costul nu poate să scadă.

f. Funcţia de cost satisface lema lui Shephard: dacă ( )ywC , este diferenţiabilă în w , atunci există un vector unic de funcţii de cerere derivată care minimizează costul şi care este egal cu gradientul lui ( )ywC , în raport cu w , adică:

( ) ( )ywCywx w ,, ∇= , (12)

respectiv, scris pe componente:

( ) ( ) niw

ywCywxi

i ,1,,, =∂

∂= (13)

unde ( )⋅ix este cererea derivată de factori de producţie. Menţionăm că lema lui Shephard se aplică în cazul în care mulţimea

inputurilor necesare ( )yV este strict convexă.

x2

x1 0

V(y)

A

C

D

B

w1x1 + w2x2 =c(w,y)

x2

x1 0

V(y)

w1x1 + w2x2 =c(w,y)

Fig. 1 Cazul în care ( )yV nu este strict convexă

Fig. 2 Cazul în care ( )yV este strict convexă


Figura 1 reflectă situaţia în care există o infinitate de combinaţii între

1x şi 2x pe porţiunea de tangenţă CD a dreptei izocost cu isocuanta. În acest caz, lema lui Shephard îşi pierde valabilitatea. În fig. … 2, ( )yV este strict convexă, isocuanta este strict convexă, punctul de tangenţă al celor două curbe de indiferenţă este unic, deci combinaţia de inputuri care minimizează costul este unică.

3. Funcţia de cost polinomială

Există multe cazuri, în teoria microeconomică în care se foloseşte funcţia de cost polinomială ( )yC , de obicei un polinom de grad 3 în y , obţinută, destul de complicat printr-o procedură de identificare şi estimare pe care o vom prezenta ulterior. Pe baza acestei funcţii de cost au fost dezvoltate mare parte a mecanismelor economice care se desfăşoară la nivel de firmă.

Fără să contrazică rezultatele anterioare, pentru funcţia polinomială au fost dezvoltate proprietăţi specifice, pe care le vom formula, unele fără demonstraţie.

3. 1. Corelaţii fundamentale între funcţiile de cost mediu şi marginal

1. Dacă valoarea costului total mediu sau a costului variabil mediu este minimă pentru un anumit nivel de output, valoarea costului marginal este egală cu valoarea costului mediu (total sau variabil) pentru acel nivel de output. Fie:

( ) ( ) ** ,min yycycy

= fiind nivelul outputului care minimizează ( )yc

( ) ( ) yycvycvy

,min= este nivelul outputului care minimizează ( )ycv

Atunci:

( ) ( )*'* ycyc = (13) ( ) ( )ycycv '= (14)

Din proprietatea aceasta rezultă că intersecţia între curbele costurilor medii şi costul marginal se realizează în punctele care minimizează costurile medii (vezi fig. 3).

2.a) Pentru acele nivele de output pentru care costurile medii ( ) ( )( )ycvyc , sunt funcţii crescătoare, costul marginal este mai mare decât costurile medii;

b) Pentru acele nivele de output pentru care costurile medii ( ) ( )( )ycvyc , sunt funcţii descrescătoare, costul marginal este mai mic decât costurile medii (vezi fig. 3).


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<′<<′>>′>>′

yyyvcycyyycycyyyvcyc

yyycyc

,)()(,)()(,)()(

,)()(

*

*

3.2 Legea veniturilor marginale descrescătoare

3. Legea veniturilor marginale descrescătoare implică costuri marginale constante sau crescătoare.

Demonstraţia se bazează pe condiţia de ordinul întâi: a problemei de minimizare a costurilor sub restricţia de atingere a unui nivel de output fixat y :

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

= xfy

wxx

min (15)

C.N.O. ( )

( )⎩⎨⎧

=+=

=

nixfw

xfy

ii ,1,'λ (16)

)(yC′

C(y)

)(yCV

yy y*

u.m.

Fig. 3 Costul marginal intersectează curbele costului mediu în punctele de minim ale acestora


Diferenţiem (16), obţinând:

( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==⋅+⋅

⋅=

∑

∑

=

=

nidxffd

dxfdy

j

n

jiji

i

n

ii

,1,01

'''

1

'

λλ (17)

Multiplicăm relaţia (17.2) cu idx :

( ) ( ) nidxdxfdxfdn

jjiijii ,1,0

1

''' ==⋅+⋅ ∑=

λλ (18)

Însumăm (18) după i :

( ) ( ) 01 1

''

1

' =⋅+⋅ ∑∑∑= ==

ji

n

i

n

jij

dy

n

iii dxdxfdxfd λλ

43421 (19)

( ) 0

0

1 1

'' =⋅+

⟨

= =∑∑

444 3444 21

n

i

n

jjiij dxdxfdyd λλ (20)

conform legii veniturilor marginale descrescătoare (deoarece matricea hessiană este negativ definită).

Se ştie din teoria microeconomică de faptul că λ , multiplicatorul Lagrange în problema (15), este costul marginal al outputului, adică:

( ) 0⟩=dy

ydcλ (21)

Rezultă din (20):

( ) ( )∑=

≥⋅−=n

jijiij dydyfycdyd

1,

''' 0λ , (22)

de unde:

0≥dydλ , adică 0≥dydλ , sau

( ) 0'

≥dy

ydc , (23)

ceea ce înseamnă că atât timp cât veniturile marginale sunt descrescătoare costul marginal este o funcţie crescătoare şi reciproc.

4. Costul marginal este riguros constant atunci când funcţia de producţie satisface legea veniturilor constante la scala de fabricaţie.


Dacă funcţia de producţie satisface legea veniturilor constante la scala de fabricaţie, ea este omogenă de gradul întâi.

Din ecuaţia lui Euler pentru funcţii omogene avem:

( ) syxf i

n

ii =⋅⋅∑

=1

' (24)

unde s este gradul de omogenitate (în cazul nostru 1=s ), aplicată funcţiei (15.2), deducem:

( ) yxf i

n

ii =⋅⋅∑

=1

' (25)

Din condiţiile de ordinul întâi (16) deducem cerinţele marginale:

( ) niw

f ii ,1,' ==⋅

λ (26)

Înlocuind (26) în (25), obţinem:

yxwi

n

i

i =∑=1 λ

, (27)

adică ( ) yyCT

=λ

, (28)

deci, derivând în raport cu y: ( ) λ=yCT ' - constant (29)

Putem ilustra acum relaţia între funcţiile de cost şi monotonia veniturilor marginale, exprimate în funcţie de producţie. Presupunem* 0=CF ,

* Ipoteza CF = 0 nu este necesară, dar simplifică scrierea şi calculele

y

)(yC′

CV(y) = C(y)

)(yCV

y y*

u.m.

Fig. 4 Relaţiile între funcţiile de cost total mediu şi marginal în cazul CF = 0 (pe termen lung) şi veniturile marginale

Venituri marginale crescătoare

Venituri marginale

descrescătoare

Costuri marginale descrescătoare

Costuri marginalecrescătoare


în acest caz ( ) ( )ycycv = , adică costurile variabile sunt egale cu costurile totale. Putem observa că pe termen scurt, costul total pentru producerea unui

anumit nivel al producţiei finite nu este întotdeauna minimal, înrucât depinde de nivelul costurilor fixe. Considerăm o tehnologie cu două inputuri K (capital tehnic), L (forţa de muncă), vezi figura 5. Rezultă:

KK = fixat pe termen scurt ( )), LKfy = ( ) LwKwLKC 21, +=

4. Teoria costurilor pe termen lung şi corelaţiile cu costurile pe termen scurt

În teoria economică conceptele de termen lung şi scurt nu sunt definite ca număr aproximativ de ani în evoluţia firmei ci mai degrabă în raport cu rata de modificare a activelor firmei; astfel termen lung este o durată în care firma îşi poate dezvolta stocul de echipamente, tehnologii, pieţe de desfacere, astfel încât toate costurile pot deveni dependente de volumul producţiei. În consecinţă termen scurt este o durată de timp în care firma nu-şi poate dezvolta tehnologia sau echipamentele, singura posibilitate de a-şi creşte producţia ca urmare a creşterii cererii pe piaţă, este aceea de a livra din stoc,

C(y3)C(y2)C(y1)

y3y2

y1

L1 optL2L3 L

K

K

Fig. 5 Costul total îşi atinge minimul pentru nivelul de output y2


întrucât nu are timp să-şi procure noi factori de producţie, să-şi angajeze noi muncitori, să-şi procure noi tehnologii.

4.1 Funcţiile cost pe termen lung

Revenind la definiţia funcţiei de cost (1), o parte h, din factorii de producţie, au durată îndelungată de folosinţă, de exemplu elementele de capital fix, în timp ce ( )hn − factori de producţie îi vom presupune “variabili” în sensul că sunt înlocuiţi (capitalul circulant) sau retribuiţi în urma fiecărui ciclu de producţie.

Presupunem niwi ,1, = preţurile medii ale factorilor de producţie, hiAi ,1, = factori de producţie cu durată îndelungată de folosinţă şi

hnix i −= ,1, factori de producţie “variabili”, r rata de scont. Costul de oportunitate pentru factorul hi ,1= , în perioada ...,2,1=t

ţinând seama de valoarea actuală a acestora va fi:

( )...2,1,,1,

11==

+−= − thi

rrwu t

itit ( t este numărul de perioade

până la atingerea nivelului minim al costurilor pe termen lung). Putem acum rescrie definiţia (1), ţinând seama de structura vectorului

inputurilor:

( )T

h

hn

n

hn

hn xx

A

Ax

x

x

xx

x

21

1

1

1

1

,,

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+−

−

M

M

M

M

şi al preţurilor:

( ) ( )2111 ,,,,,, wwwwwww nhnhnt == +−− KK

( ) ∑ ∑−

= +−=

=+=+=hn

i

n

hniiiii tuxxwAuxwyCL

1 1

211 ...2,1, (30)

unde u este vectorul de componente ui.


4.2 Principiul Samuelson-Chatelier. Relaţia între costurile totale pe termen lung şi scurt

Considerăm iniţial două inputuri, 1x şi 2x , în care 2x este restricţionat, respectiv conţine elemente de capital fix.

Costul total pe termen scurt este suma dintre costul total variabil şi costul total fix:

( ) ( ) 22212 ,,,, xwxywCxywC += (31) unde costul total variabil este definit de relaţia (1).

Costul total pe termen lung este, conform (31): ( ) ( ) 221 ,,min,

2

uxxywCywCLx

+= (32)

Rezultă că problema de minimizare a costurilor pe termen lung este descompusă în două etape:

a) minimizarea costurilor variabile pe termen scurt, dându-se 2x ; b) alegerea nivelului inputului 2x care minimizează costul total pe

termen lung Rezultă:

( ) ( )21 ,,, xywCywCL ≤ (33) şi

( ) ( )( )ywxywCywCL ,,,, 21= , (34) unde ( )ywx ,2 este soluţia problemei (32).

Din (33) şi (34) rezultă că CL ( )yw, este înfăşurătoarea pe dedesubt a funcţiilor de cost pe termen scurt ( )21 ,, xywC , atât în spaţiul preţurilor, cât şi în spaţiul outputului.

yy2

u.m.

Fig. 6 Curba de cost total pe termen lung este înfăşurătoarea pe dedesubt a curbelor de cost pe termen scurt, pentru diferite niveluri de costuri fixe, în spaţiul outputurilor

y1 y3

CL(w,y)

C(w,y, 12x )

C(w,y, 22x ) C(w,y, 3

2x )


Din (33) rezultă că ( )⋅CL este limita inferioară a costurilor fixe pe termen scurt. Din (33) şi (34) rezultă, de asemenea, că curbele costurilor pe

termen scurt şi lung nu se pot intersecta niciodată, nici în spaţiul preţurilor, nici în spaţiul outputurilor, ci sunt tangente.

Semnificaţia economică a faptului că graficul funcţiei de cost total înfăşoară pe dedesubt graficele curbelor pe termen scurt este foarte importantă. Din proprietăţile funcţiilor de cost, atât ( )ywC , , cât şi ( )ywCL , sunt concave în preţurile factorilor. Prin faptul că ( )ywC , este deasupra ( )ywCL , înseamnă că ele sunt tangente într-un punct, să zicem ( )** ,Cwi , iar ( )ywCL , este mai concavă decât ( )ywC , .

Condiţia de tangenţă este:

( ) ( )ii w

ywCLw

ywC∂

∂=

∂∂ ,, (35)

Prin aplicarea temei lui Shephard, (35) devine:

( )( ) ( )ywxywxywx ii ,,,, 2 = (36)

Din (36) rezultă că cererile derivate pe termen lung şi scurt pentru factorul de producţie i sunt egale. Menţionăm că (35) şi (36) sunt satisfăcute

wi

u.m.

Fig. 7 Curba CL este înfăşurătoarea pe dedesubt a curbelor costurilor pe termen scurt, pentru diferite niveluri ale

costurilor fixe, în spaţiul preţurilor

C1(wi,y)

C2(wi,y)

C3(wi,y)

CL(wi,y)

*iw


pentru *C şi *CL respectiv pentru nivelul costurilor fixe pe termen scurt, care minimizează costul total pe termen lung.

Faptul că ( )⋅C este mai concavă decât ( )⋅CL , implică:

( ) ( )( )i

i

i

i

wywxywx

wywx

∂∂

≤∂

∂ ,,,, 2 (37)

Rezultă că cererea derivată pe termen lung, este mai elastică în raport cu preţul decât cererea derivată pe termen scurt.

Relaţia (37) relevă principiul Chatelier-Samuelson, care joacă un rol important în teoria microeconomică.

4.3 Generalizarea principiului Samuelson- Chatelier

Definim vectorul de inputuri:

( )kxxxx ...,,, 21= (38)

unde : →ix subvectorul inputurilor variabile

1, >ix i subvectori de inputuri fixe Presupunem că inputurile fixe sunt modificate succesiv, generând

costuri pe termen foarte scurt:

( ) ( ){ }( ) ( ){ }2223,21

11121

,,,,min,,,,,

/min,,,,

2

1

xwxxywCxxywwC

yVxxwxxywC

kxk

xk

+=

∈=

KK

K

În general:

( ) ( ){ } 1,2;,,;;.,,min,,;,, 1111 −=+= −+ kixwxxywwCxxwwC iikiixkiii

KKK (39)

Funcţia de cost pe termen lung este:

( ) ( ){ }kkkkxxwxywwCywCL

k

+= − ,,,,min, 11 K (40)

Definind costul pe termen scurt ca sumă între costul variabil şi costul fix, obţinem:

( ) ( ) ∑=

− +=k

ivvvkiiki wxxxywwCxxywC ,,,,,,,,,, 11 KKK (41)

Această succesiune de probleme de minimizare implică:

( ) ( ) ( )kk xxywCxywCywCL ,,,,,,, 2 KK≤≤≤ (42)


şi ( ) ( ) ( )

;,,..

...,,, 2

i

ki

i

ki

i

i

wxxywx

wxywx

wywx

∂∂

≤≤∂

∂≤

∂∂ K

(43)

1Ni ∈ (mulţimea indicilor asociaţi inputurilor variabile) Din (43) rezultă că, cu cât sunt mai puţine inputuri fixe în procesul de

producţie, modificarea inputurilor variabile indusă de modificarea propriului preţ este mai mare.

4.4 Relaţia între costurile medii pe termen lung şi scurt. Curba de planificare

Curba costului mediu pe termen lung înfăşoară pe dedesubt curbele costurilor medii pe termen scurt.

Lemă: Costul mediu pe termen lung este egal cu costul mediu pe termen scurt pentru nivelul de output ( )*y pentru care costul total mediu pe termen lung este minim.

Numim scală de fabricaţie nivelul outputurilor care pot fi produse cu

un anumit nivel al capitalului (factor de producţie cu durată îndelungată de folosinţă).

y

u.m.

Fig.8 Curba costului mediu pe termen lung înfăşoară pe dedesubt curbele costurilor medii pe termen scurt

2C (wi,y)

CL (.)

y* y2y1


Scala optimă de fabricaţie este nivelul outputurilor care pot fi produse cu un volum al factorilor ficşi (de folosinţă îndelungată, în special capitalul fix) care minimizează costul total pe termen lung.

Notăm:

( ) ( )y

ywCLywCL ,, = costul mediu pe termen lung

( ) ( )ywCLdydyxCL ,,' = costul marginal pe termen lung

( ) ( )** ,, ywcywCL = (44)

este valabilă numai pentru scala optimă de fabricaţie, y *. Curba ( )⋅CL poartă numele de curbă de planificare, întrucât ea

reliefează posibilităţile cost-nivel al producţiei firmei la un moment dat.

4.5 Costuri medii şi marginale pe TL şi TS. Economii la scala de fabricaţie

Lemă: Pentru *y , nivelul outputului pentru care costul mediu pe termen scurt şi costul mediu pe termen lung sunt minime, costurile marginale pe termen lung şi scurt sunt egale.

( ) ( )*'*' ,, ywCLywC = (45)

Condiţia de tangenţă a costurilor medii pe termen lung şi scurt este:

( ) ( ) ** ,','yy

ywcyy

ywCL=

==

(46)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ywycywcywycdydywC

dydywC ,',,,,' +=== (47)

Corespunzător:

( ) ( ) ( )ywCLyywCLywCL ,,,'' += (48)

Multiplicăm relaţia (46) cu *y :

( ) ( )*

**

* ,',yy

ywcyyy

ywCLy=

==

(49)


Adunăm (44) cu (49) şi obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) **

**

'** ,',,,

yyywcy

yyywc

yyywCLy

yyywCL

=+

==

=+

= (50)

Membrul stâng al relaţiei (50) este ( ) *,'y

ywCL , iar membrul drept

este ( ) *,'y

ywc . Rezultă că (45) este verificată.

Din fig. ... rezultă că scala optimă de fabricaţie corespunde

( ) ( )ywCLywcyy

,min,min =

Din prezentarea de mai sus putem trage concluzia că:

( ) ( ) ( ) ( )**'*'* ,,,, ywCLywCLywcywc === (51)

Spunem că firma realizează economii la scala de fabricaţie atunci

când curba costului mediu pe termen lung ( )ywCL , este descrescătoare, pe măsură ce outputul creşte, iar curba costului marginal pe termen lung se situează sub curba costului mediu pe termen lung.

y

u.m.

Fig. 9 Echilibrul firmei pe termen lung satisface (51)

C(w,y*)

CL(w,y)

y*

C’(w,y)

CL’(w,y)

Economii la scala de

fabricaţie

Pierde

ri la s

cala

de

fabric

aţie


Rezultă: ( )

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

>

<∂

∂

*

' ,,

0,

yy

ywCLywCL

yywCL

Spunem că firma posedă pierderi la scala de fabricaţie atunci când curba costului mediu pe termen lung este crescătoare, pe măsură ce outputul creşte, iar curba costului marginal pe termen lung se situează deasupra curbei costului mediu pe termen lung.

Rezultă: ( )

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<

>∂

∂

*

' ,,

0,

yy

ywCLywCLy

ywCL

Economiile şi pierderile la scală pot fi interne, în cazul în care preţurile factorilor rămân constante, când firma se deplasează de-a lungul traiectoriei de dezvoltare a firmei (în cazul industriilor cu cost constant); sau externe atunci când pe termen lung preţurile factorilor se modifică (cazul industriilor cu cost crescător sau descrescător).

6. Structura funcţiilor de cost

6.1. Măsurarea elasticităţii substituţiei cu funcţii de cost

a) Elasticitatea în sens Hicks

Ne punem problema să arătăm că elasticitatea substituţiei factorilor se poate determina direct din funcţiile de cost.

Condiţiile marginale din problema minimizării costurilor sunt:

njiww

GG

j

i

j

i ,1,,)(')('

==⋅⋅ (52)

unde ( ) yxxG n =,,1 K este funcţia de producţie cu factori substituibili,


( ) ( ) nix

GGi

i ,1,' =∂

⋅∂=⋅

Elasticitatea directă a substituţiei Hickes este:

( ) ( )( ) ij

ji

ji

ijji xx

GGGGdxxd

xx//

//

,''

'' ⋅=ℑ (53)

Aplicăm (52), obţinem:

( ) ( )( )

( )( )

ji

ij

j

j

i

i

i

i

j

j

ji

ij

ji

ij

ji

ijji

wwxx

wdw

wdw

xdx

xdx

dluwdluwdluxdlux

wwdluxxdlu

GGdluxxdlu

xx

ˆˆˆˆ

//

//

, ''

−

−=

−

−

=

=−

−===ℑ

(54)

Am notat cu i

ii x

dxx =ˆ , respectiv i

ii w

dww =ˆ

Din (54) rezultă că ( )⋅ℑ poate fi interpretat ca elasticitatea raportului între inputuri (inputuri relative), în funcţie de raportul între preţurile factorilor.

Aplicând în continuare lema lui Shepard, putem exprima ix şi jx în funcţie de ( )ywC , .

Rezultă că ( )⋅ℑ dă un răspuns al modificării procentuale a inputurilor relative în raport cu modificarea cu 1% a preţurilor relative.

Putem deci folosi. ( )⋅ℑ pentru a măsura modificarea inputurilor indusă de modificarea preţurilor.

Identificăm trei tipuri de elasticităţi ale substituţiei factorilor: - elasticitatea substituţiei un preţ / un factor (ESUU) care măsoară

modificarea procentuală a unui singur factor, indusă de modificarea unui singur

preţ j

i

wxˆˆ

- elasticitatea substituţiei un preţ, doi factori (ESUD), care măsoară modificarea procentuală a doi factori, indusă de modificarea unui singur preţ:

i

ji

wxx

ˆˆˆ −


- elasticitatea substituţiei, două preţuri, doi factori (ESDD), care măsoară procentual modificarea a doi factori, indusă de modificarea a două

preţuri ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

ij

ji

wwxxˆˆˆˆ

.

b) Elasticitatea substituţiei Allen şi Morishima cu funcţii de cost

b1) Statica comparată şi elasticitatea Allen

Diferenţiem condiţiile de ordinul întâi ale problemei de minimizare a costurilor:

( )( )⎩

⎨⎧

==

=

niwxG

xGy

ii ,1,'λ (55)

xXx n ,+ℜ<∈ mulţimea inputurilor admisibile. Trecând la scrierea matriceală obţinem:

( )( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∇∇∇

dwdy

dxd

xGxGxG

xxx

Tx λ

λ0

(56)

unde:

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

=∇

n

x

xG

xG

xG M1

este gradientul funcţiei de producţie;

( )xGxx∇ - matricea Hessian ataşată funcţiei de producţie. În (56) matricea:

( )( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∇∇∇

xGxGxG

xxx

Tn0

λ (57)

este matricea Hessian bordată Putem determina modificările cererilor derivate de factori în raport cu

preţurile factorilor din (56), aplicând regula lui Cramer:

( )λ*

,FF

wywx ij

j

i =∂

∂ (58)


unde ijF este cofactorul (minorul cu semn) al elementului ( )ji, al matricei Hessiene bordate ataşată funcţiei de producţie ( )xG şi F este determinantul Hessienei bordate.

Elasticitatea substituţiei Allen:

ji

n

iii

ijij xx

xG

FF ∑

=⋅=ℑ 1

'

(59)

Înlocuind (58) în (59) obţinem:

( )ji

n

iii

j

iij xx

xG

wywx

⋅⋅

∂∂

=ℑ∑=1

'

,λ

(60)

În (60) înmulţim şi împărţim membrul drept cu jw , obţinem:

( )jj

n

iii

i

j

j

iij xw

xG

xw

wywx ∑

=⋅⋅∂

∂=ℑ 1

'

,λ

(60’)

În (60’) ( )

iji

j

j

i

xw

wx

Σ=⋅∂

⋅∂ este elasticitatea cererii derivate de factor i în

raport cu preţul factorului j . Obţinem:

( ) njiywC

xw jjijij ,1,

,: =Σ=ℑ (61)

Notăm ( )ywCxw

S jjj ,= , ponderea cheltuielilor cu factorul j în totalul

cheltuielilor de producţie. Rescriem (61) ca:

jijij S/Σ=ℑ (61’)

Din (61’) rezultă că elasticitatea substituţiei Allen este raportul între elasticitatea cererii derivate de factor i în raport cu preţul produsului j şi ponderea cheltuielilor cu factorul j în costul total al producţiei. Elasticitatea substituţiei Allen este ESUU.


b2) Elasticitatea substituţiei Morishima

j

j

i

j

j

j

ijjij

Mij dluw

xxdlu

dluwdlux

dluwdlux ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−=Σ−Σ=ℑ (62)

În (62) au folosit faptul că j

i

i

j

j

iij dluw

dluxxw

dwdx

=⋅=Σ

6.2 Clasificarea factorilor de producţie prin elasticitatea substituţiei

00 >ℑ⇒>Σ ijij , factorii de producţie i şi j sunt Allen substituibili 00 <ℑ⇒<Σ ijij , factorii de producţie i şi j sunt Allen complementari

0>ℑMij , factorii de producţie i şi j sunt Morishima substituibili

0<ℑMij , factorii de producţie i şi j sunt Morishima complementari

a) Elasticitatea ESUD (elasticitatea substituţiei un input, două preţuri)

Dacă inputurile sunt substituibili în sens Allen, creşterea preţului inputului i , duce la creşterea nivelului de utilizare a factorului j . Dacă inputurile sunt complementare în sens Allen, creşterea preţului inputurilor i , duce la scăderea nivelului de utilizare a factorului j .

Din omogenitatea de grad zero a funcţiilor de cerere derivată:

( ) j

n

j j

ii w

wxywx ⋅

∂∂

=⋅ ∑=1

0, (64)

Împărţim ecuaţia (64) la ( )⋅ix , obţinem:

∑∑==

Σ=⋅∂∂

=n

jij

n

j i

j

j

i

xw

wx

11

0 (64’)

Din (64’) rezultă:

∑≠

Σ=Σ−n

jiijjj (65)


Dar ∑≠

≥Σ⇒<Σn

jiijjj 00 , ceea ce înseamnă că nici un input nu poate fi

complementar cu toate celelalte inputuri. Deşi ( ) ( )jiijjiij sgusgu Σ=ΣΣ≠Σ , , încât obţinem că în elasticitatea

substituţiei Allen factorii substituibili sau complementari se păstrează, fie că se utilizează jiΣ sau ijΣ .

Inputurile i şi j sunt substituibile Morishima dacă şi numai dacă creşterea lui jw face ca raportul ji xx / să crească. Rezultă că, dacă bunurile sunt substituibile Allen, ele vor fi substituibile şi Morishima.

Ca şi în măsura Allen, un input nu poate fi complementar Morishima cu toate celelalte inputuri.

Însumăm după ijnj ℑ= ,,1 din (62):

( ) ∑∑ ∑== =

≥Σ−=Σ−Σ=Σn

jjj

n

j

n

jjjij

Mij

11 1

00 , (66)

întrucât njjj ,1,0 =≤Σ

Elasticitatea Morishima nu este simetrică în semn, ( )Mji

Mij sgusgu ℑ≠ℑ ,

astfel încât clasificarea în substituibile şi complementare Morishima depinde esenţial de preţul care se modifică.

b) ESDD (elasticitatea substituţiei două inputuri, două preţuri) Considerăm că se modifică simultan preţurile a doi factori i şi j , ,0≠idw nkjikdwdw kj ,1,,,0,0 =≠=≠ .

Scriem diferenţiala totală a funcţiei ( )ywx i , :

( ) ( ) ( )j

j

ii

i

ii dw

wywxdw

wywxywdx ⋅

∂∂

+⋅∂

∂=

,,, (67)

Împărţim (67) la ix :

( ) ( ) ( )i

j

j

i

i

i

i

i

i

i

xdw

wx

xdw

wx

xdx

⋅∂

⋅∂+⋅

∂⋅∂

=⋅ (67’)

În ansamblul drept din (67’) înmulţim şi împărţim primul termen la iw , iar al II-lea termen la jw :

( ) ( ) ( )( ) j

j

i

j

j

i

i

i

i

i

i

i

i

i

wdw

xw

wx

wdw

xw

wx

xdx

⋅⋅

⋅∂

⋅∂+⋅⋅

∂⋅∂

=⋅ (68)


Notăm „ ^ ” variaţia procentuală a variabilei, de exemplu ( )

xx

dx

i

i ˆ=⋅

.

Putem rescrie (68) ca:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅Σ+⋅Σ=

⋅Σ+⋅Σ=

jjjjjij

jijiiii

wwxwwx

ˆˆˆ

ˆˆˆ (68’)

Scăzând cele două relaţii, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) jjjijijiiiji wwywxywx ˆˆ,ˆ,ˆ Σ−Σ+Σ−Σ=− (69)

iMjij

Mij ww ˆˆ σσ −=

Raportăm primul şi ultimul termen al şirului de egalităţi din (69) la ( )ij ww ˆˆ − şi obţinem:

( ) ( )ij

iMji

ij

jMij

ij

ji

www

www

wwywxywx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ,ˆ,ˆ

−−

−=

−

−σσ (70)

când ij ww ˆˆ ≠ . Din (70) rezultă că ESDD este o combinaţie liniară a elasticităţilor

Morishima, fiecare din cei doi termeni ai membrului drept reprezintă răspunsul raportului de modificare a două inputuri la modificarea preţurilor lor.

c) Elasticitatea umbră a substituţiei (EUS)

Măsoară răspunsul inputurilor relative la modificarea procentuală a preţurilor a doi factori, evaluată de-a lungul frontierei preţurilor factorilor (locul geometric al combinaţiilor de preţuri, care menţin costul constant).

Mji

ji

jMij

ji

iSij SS

SSS

S σσσ+

++

= (71)

unde ∑=

= n

iii

iii

xw

xwS

1

, este ponderea cheltuielilor cu factorul i în costul total.

EUS este media ponderată a două elasticităţi MORISHIMA, unde ponderile sunt date de cotele părţi ale costurilor pentru un factor de producţie în costul total.


7. Separabilitatea funcţiilor de cost

7.1. Conceptul de separabilitate

Presupunem ( ) ℜ→ℜ +1:, nywC , de două ori diferenţiabilă. Definim, de asemenea o mulţime de indici ai preţurilor factorilor { }nI ,,2,1 K= şi partiţia { }mIIII ,,,ˆ 21 K= , unde nm ≤ . Definim, de asemenea, mulţimea extinsă a indicilor { }nI ,,2,1,00 K= , respectiv { }mIIII ,,,,0ˆ 21

0 K= , unde elementul “0” reprezintă indicele outputului. Corespunzător, partiţionăm şi vectorul preţurilor { }nwwww ,,, 21 K= .

Definim separabilitatea funcţiei de cost, în termenii pantei frontierei factorilor. Preţurile iw şi jw sunt separabile de kw , în ( )ywC , , dacă:

( ) ( ) 0,,=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

jik wywC

wywC

w (72)

Aplicăm lema lui Shepard:

( ) ( )[ ] 0,, =∂∂ ywxywxw ji

k

(73)

Derivând (72) în raport cu kw , obţinem:

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ,0,

,,,,

2 =⋅

∂∂

−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ywx

ywxywxw

ywxywxw

j

ijk

jik

Se obţine imediat că:

( )

( )

( )

( )ywxw

ywx

ywxw

ywx

j

k

j

i

k

i

,

,

,

,∂

∂

=∂

∂

(74)

relaţie care înmulţită cu kw evidenţiază în membrul din stânga, respectiv din dreapta, elasticitatea încrucişată a cererii derivate din produsul i respectiv j , în raport cu preţul factorului k , adică:

njijkik ,1,, == εε (75)


Separabilitatea funcţiei de cost are mai multe implicaţii decât separabilitatea funcţiei de producţiei. Rezultă că dacă iw şi jw sunt separabile de kw , inputurile ix şi kx sunt substituibile Allen, pentru că elasticităţile încrucişate sunt egale şi kikjkkikik SS εσεσ === .

7.2. Separabilitatea slabă a funcţiei de cost

Spunem că funcţia de cost este slab separabilă în partiţia I dacă:

( ) ( ) ( ) mlIkIjiw

ywCw

ywCw

ll

ijk

,1,,,,0,,=∉∈∀=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂ (76)

Deci funcţia de cost este slab separabilă, dacă panta preţurilor factorilor în spaţiul ( )ij ww , , unde iw şi jw sunt elemente ale aceleiaşi submulţimi de preţuri în partiţia făcută, este independentă de toate celelalte preţuri kw ale factorilor care nu sunt elemente din această submulţime.

Rezultă că, prin separabilitatea slăbită, elasticităţile cererilor derivate ale tuturor preţurilor dintr-o submulţime de factori în raport cu preţul unui input dintr-o altă submulţime, sunt egale ( ikjk εε = oricare ar fi lIji ∈, ). Această proprietate are implicaţii econometrice importante, privind estimarea elasticităţilor cererilor derivate de factori, numărul acestora fiind considerabil mai redus decât dimensiunea n a factorilor, atunci când funcţia de cost este slab separabilă.

În consecinţă, o funcţie de cost slab separabilă poate fi specificată prin:

( ) ( ) ( )( )mm wyCwyCyCywC ,,,,,*, 11 K= (77)

unde RRC m →+1:* este diferenţiabilă şi monoton crescătoare în raport cu mjw j ,1, = , iar funcţiile ( )jj wyC , respectă proprietăţile funcţiilor de cost.

7.3. Separabilitatea tare a funcţiei de cost

Spunem că funcţia de cost ( )ywC , este separabilă tare în partiţia I dacă:

( ) ( ) ( ) vl

ijk

IjIiw

ywCw

ywCw

∈∈∀=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂ ;,0,, (78)


şi ( ) mvlIIk vl ,1,; =∪∉∀ sau, conform lemei Shephard:

( )( ) 0

,,

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ywxywx

w i

j

k

,

adică raportul dintre cererile derivate optimale de factori din oricare două submulţimi disjuncte de inputuri, depinde numai de preţurile acestor factori.

Similar cu analiza funcţiilor de producţie, separabilitatea tare implică separabilitatea slabă, dar nu şi reciproc.

În cazul separabilităţii tari, funcţia de cost poate fi reprezentată prin expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 10,,,

1

1

<≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅Γ= ∑

=

ywyCyywCym

i

yii ρρρ (79)

sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,1

≥Π⋅Γ==

ywyCyywC iyii

m

i

i ρρ şi ( )∑=

=m

ii y

1

1ρ (79’)

adică o specificare printr-o funcţie CES respective Cobb-Douglas, unde termenii ( ) miwyC ii ,1,, = , respectă proprietăţile funcţiilor de cost şi ( ) 0>Γ y .

Separabilitatea tare reflectă faptul că în submulţimile de factori, conform partiţiei făcute, toate inputurile sunt substituibile Allen în aceeaşi măsură jkik εε = iar măsura Allen este simetrică.

Când fiecare submulţime de factori conţine un singur input (deci nm = ) şi funcţia de cost este separabilă tare, funcţia de cost este separabilă în

preţuri, adică:

( ) ( ) ( ) nkjikjiw

ywCw

ywCw jik

,1,,,,0,,=≠≠∀=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂ (80)

şi funcţia de cost poate fi reprezentată prin:

( ) ( ) ( ) 10,,

1

1

≤≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅Γ= ∑

=

ρρρ

n

i

ii wCyywC (81)

sau

( ) ( ) ( ) ∑=

==≥Π⋅Γ=

n

iii

iin

i

iwCyywC11

1,0,, ρρρ (81’)


Datorită dualităţii între ( )xC şi ( )ywC , se poate demonstra că separabilitatea funcţiei de producţie implică separabilitatea funcţiei de cost şi reciproc.

8. Statica comparată şi funcţii de cost

8.1. Statica comparată a modificării preţurilor factorilor

Aplicând metoda staticii comparate, teoremele Euler pentru funcţii omogene şi lema Shepard, deducem câteva proprietăţi foarte importante, ce pot fi reţinute ca legităţi de comportament ale funcţiei de cost în raport cu variaţia factorilor determinanţi.

Propoziţia 1. Funcţiile cererii derivate de factori sunt omogene de gradul zero în raport cu preţurile factorilor; în cosecinţă, modificarea simultană cu acelaşi indice a preţurilor tuturor factorilor (inputurilor) nu modifică cererile derivate din factorii respectivi.

Demonstraţie: Considerăm o creştere simultană, cu acelaşi indice λ a tuturor preţurilor. Funcţia de cost fiind omogenă de grad 1 în preţuri, verifică proprietatea:

( ) ( )ywCywC ,, λλ =⋅ (82)

adică, o creştere a preţurilor de λ ori induce o creştere a costului de λ ori. Din lema Shepard, deducem funcţiile cererii de inputuri:

( ) ( ) njw

ywCywxj

j ,1,,, =∂

∂= (83)

Din (82) obţinem:

( )( )

( ) ( )ywxw

ywCw

ywCj

jj

,,,=

∂⋅∂⋅

=∂

∂λ

λλλ (83’)

adică funcţiile cererii de factori, jx , sunt omogene de grad zero (Q.E.D.). În concluzie, funcţiile cererii derivate de inputuri sunt neutre la

creşterea simultană şi cu acelaşi indice a preţurilor pe pieţele acestor factori.

Propoziţia 2. Într-o vecinătate a echilibrului la producător, modificarea costului total indusă de modificarea preţurilor pe pieţele factorilor (inputurilor) este nulă.


Demonstraţie: Notăm

( )njiji

C wwywCH

,1,

2 ,

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

= - matricea hessiană

a funcţiei de cost în raport cu preţurile factorilor nRw∈ . Am văzut mai sus că funcţia de cost este omogenă de grad 1; aplicăm

teorema Euler II pentru funcţii omogene (teorema Euler a hessienei) şi obţinem:

( ) ( )** ,,0

ywC VwwH ∈∀=⋅ (84)

Din lema Shepard deducem că elementele matricei hessiene a funcţiei de cost comensurează variaţiile funcţiilor cererii de factori ( )ywx i , induse de modificările preţurilor acestor factori:

( ) ( ) njiw

ywxww

ywC

j

i

ji

,1,,,,2

=∂

∂=

∂∂∂ (83’’)

Conform (84), avem:

( )0

,

,1,

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=

ww

ywx

njij

i , (84’)

adică

( )0

,1

=⋅∂

∂∑=

j

n

j j

i ww

ywx, (84’’)

pentru fiecare factor ni ,1= . De exemplu, considerăm numai doi factori ( Kx =1 şi Lx =2 , capital

şi muncă) având preţurile 1w şi 2w , modificările de preţ apărute pe cele două pieţe vor antrena modificări ale cererii din aceşti factori la producător şi în consecinţă a costurilor.

Astfel, pentru cererea de forţă de muncă (factorul 2x ), aceste modificări în costuri vor fi nule:

022

21

1

2 =⋅∂∂

+⋅∂∂ w

wxw

wx , (84’’.a)

şi similar pentru factorul Kx =1 .


Mai mult, însumând aceste modificări pe mulţimea tuturor factorilor, deducem:

( )0,

1 1

=⋅∂

∂∑∑= =

j

n

i

n

j j

i ww

ywx (84’’’)

ceea ce reflectă conţinutul proprietăţii 2P . Important este însă că pentru determinarea modificărilor în funcţia de

cost generate de variaţia preţurilor factorilor, nu este necesară identificarea funcţiilor cererii induse de factorii ( ) niywx i ,1,, = , întrucât calculul se poate face direct prin (84) folosind matricea hessiană a funcţiei de cost. Astfel, modificările induse în costuri de variaţia preţurilor factorilor prin efectele asupra cererii din factorul i , vor fi cuantificate cu relaţia:

( ) 0=⋅wHlinia Ci (84.a)

adică

∑=

=⋅n

jjij wh

10 (84.b)

unde ijh sunt elementele matricei hessiene a funcţiei de cost. Revenind la relaţia (84’’) sau, mai sugestiv, la cazul particular (84’’.a),

cum 0>jw trebuie ca variaţia cererii din factorul i în raport cu unele preţuri să fie negativă şi în raport cu altele să fie pozitivă.

Propoziţia 3. a) Modificarea cererii derivate din factorul i în raport cu propriul său preţ este negativă:

( ) niwx

i

i ,1,0 =∀<∂∂

(85)

b) Modificarea cererii derivate din factorul i în raport cu preţul factorului j este egală cu modificarea cererii derivate din factorul j în raport cu preţul factorului i :

( ) njiwx

wx

i

j

j

i ,1,, =∀∂

∂=

∂∂ (86)

Demonstraţia este imediată şi rezultă din faptul că matricea hessiană CH este negativ definită, adică

( )kk 1sgn,,0,0,0 321 −=∆<∆>∆<∆ K , unde k∆ este minorul principal de ordin k , din matricea CH .


Cum 01 <∆ rezultă diagonala principală a matricei CH este negativă şi

conform (83’’) deducem 0<∂∂

i

i

wx

.

Proprietatea b) rezultă din aceea că CH este simetrică . Trebuie să observăm că cele două componente ale proprietăţii 3P au

fost deja evidenţiate cu ajutorul teoremei lui Slutsky aplicată la producător: - variaţia reziduală a factorului i indusă de modificarea cu o unitate a

preţului său este negativă: ii xw ⇒↓↑ - variaţia reziduală a factorului i indusă de modificarea cu o unitate a

preţului factorului j este egală cu variaţia reziduală a factorului j indusă de modificarea cu o unitate a preţului factorului i .

Propoziţia 4. Suma elasticităţilor cererii derivate de factor i în raport cu preţurile tuturor inputurilor nj ,1= este nulă.

∑=

=n

jij

1

0ε , unde ( ) ( )

j

i

j

iij w

ywxw

ywx ,:,∂

∂=ε (87)

Demonstraţia se fundamentează pe proprietatea 2P , împărţind relaţia (84’’) la ( )ywx i , (unde ( ) 0, ≠ywx i ).

În consecinţă, elasticitatea la scala de fabricaţie ∑=

=n

jiji

1

εε a utilizării

factorului i este nulă, deci tehnologia evidenţiază caracteristica de venituri strict descrescătoare la scala de fabricaţie.

Din relaţia (87) deducem în plus că:

- ∑=

≠=n

jijii ij

1

,εε (87’)

Cum elasticitatea cererii din factorul i în raport cu propriul preţ este negativă ( )0<iiε , conform (85) rezultă că suma elasticităţilor încrucişate cerere-preţ este pozitivă şi (87’) reflectă proprietatea că suma creşterilor procentuale a cererii din factorul i pe seama creşterii cu 1% a preţurilor celorlalţi factori, egalează valoarea absolută a descreşterii (%) cererii din acest input indusă de creşterea cu 1% a propriului preţ.

Trebuie observat că, chiar dacă variaţiile marginale ale cererilor din doi factori i şi j pe seama preţului celuilalt factor sunt egale, conform Propoziţiei 3 formula (85), elasticităţile corespunzătoare sunt diferite, adică

jiij εε ≠ (86’)


Aceasta arată că o creştere cu 1% a preţului iw respectiv jw , induce o creştere (%) a cererii din cei doi factori diferită, proprietate ce decurge din nivelul diferit de utilizare a celor două inputuri.

8.2. Statica comparată a modificării outputului

Analizăm efectele induse de modificarea outputului asupra funcţiilor de cost: costul marginal, costul total, etc.

Fie ( )ywC , funcţia de cost (total). Atunci costul marginal este ( )

yywCC

∂∂

=,' .

Din proprietatea că funcţia de cost este nedescrescătoare în raport cu volumul outputului, rezultă că funcţia costului marginal este nenegativă.

Deoarece funcţia de cost este omogenă de grad 1, din (82) se deduce că funcţia costului marginal are aceeaşi proprietate:

( ) ( ) ( ) 0,,,⟩∀

∂∂

=∂

∂ λλλy

ywCy

ywC (82’)

Propoziţia 5. Variaţia cererii derivate din inputul i la o creştere de o unitate a outputului y este egală cu variaţia costului marginal în raport cu creşterea cu o unitate a preţului inputului i :

( )( )

i

i

wy

ywC

yywx

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

=∂

∂,

, (88)

Demonstraţia se bazează pe lema Shepard şi se deduce imediat din relaţia (83) derivând în raport cu y .

După sensul variaţiei cererii derivate din factorul i la creşterea producţiei y se evidenţiază două situaţii:

- dacă 0⟩∂∂

yxi , factorul i este un input normal

- în caz contrar, factorul i este un input inferior Este evident că un producător nu poate opera achiziţionând numai

factori inferiori. Propoziţia 6. Variaţia procentuală a costului total în raport cu

modificarea procentuală a nivelului outputului y este inversă elasticităţii scalei de fabricaţie.


Măsurăm variaţia procentuală a costului total în raport cu variaţia (%) a outputului, prin indicatorul flexibilitatea costului:

( )yy

CCyw ∆∆

= :,η (89)

adică pentru funcţia de cost ( )ywC , care este diferenţiabilă avem:

( ) ( ) ( )y

ywCy

ywCyw ,:,,∂

∂=η (89’)

relaţie care arată pe de o parte că acest indicator este o elasticitate (elasticitatea costului total în raport cu outputul) şi pe de alta, că η este raportul între costul marginal şi cel mediu.

Aşadar Popoziţia 6 se poate enunţa şi astfel: Propoziţia 6’. Elasticitatea costului în raport cu outputul este egală cu

inversa elasticităţii scalei de fabricaţie:

( ) ( ) 1,, −= yxyw εη (90)

Demonstraţie: Pornim de la problema de fundamentare a deciziei optime prin minimizarea costurilor, la nivelul producţiei ( )xGy = .

(91) ( )⎩⎨⎧

=⋅=

xGyxwC ,min

Scriind lagrangeanul, deducem condiţiile necesare de optim:

( )( )⎩

⎨⎧

===⋅

xGyniwxG ii ,1'λ

(91’)

Înmulţim prima ecuaţie din (91’) cu ( )ywx i , şi însumăm:

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

⋅⋅=⋅n

i

n

iiii ywxxGywxw

1 1

,', λ (92)

unde, după cum se ştie, multiplicatorul Lagrange λ are interpretarea:

( ) ( )y

ywCyw∂

∂==

,,λλ (93)

unde ( )ywCC ,= este nivelul optim (minim) al costului în problema (91).

şi G este funcţia de producţie


Membrul drept din (92) se poate scrie:

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )∑∑

∑∑

==

==

⋅=⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

=⋅⋅=⋅

n

ii

n

i ii

i

n

i

n

ii

ywxyyyyx

xGx

xG

yywxxGxGywxxG

11

11

,,:

,','

εε (94)

unde ∑=

=n

ii

1

εε este elasticitatea scalei de fabricaţie calculată ca sumă a

elasticităţilor producţiei în raport cu factorii utilizaţi şi este dependentă de volumul factorilor utilizaţi ( )ywx , şi de volumul outputului y .

Din (92) şi (94) deducem:

( ) ( ) ( )( ) yywxyywywxwn

iii ⋅⋅=⋅∑

=1,,,, ελ (92’)

În (92’) membrul din stânga defineşte funcţia de cost ( )ywC , . Ţinând cont şi de (93) rezultă:

( )( ) ( )( ) ( )ywy

yywC

ywCywxy ,:,,,, 1−=

∂∂

= ηε

Consecinţă: ( ) ( ) 1,1, <⇒> ywxy ηε adică: în condiţiile deciziei optime de minimizare a costurilor firma îşi desfăşoară activitatea în condiţii de venituri crescătoare la scala de fabricaţie ( )( )1, >xyε , dacă şi numai dacă înregistrează venituri descrescătoare la

elasticitatea cost/producţie ( )( )1, <ywη şi invers. Chiar dacă cele două concepte sunt relativ apropiate, trebuie subliniat

că elasticitatea scalei de fabricaţie măsoară răspunsul (reacţia) outpututlui de-a lungul razei (dreptei) scalei de fabricaţie în spaţiul inputurilor, în timp ce elasticitatea cost/output (cost/producţie) comensurează răspunsul outputului de-a lungul traiectoriei de dezvoltare a firmei în spaţiul inputurilor (adică locul geometric al punctelor din acest spaţiu în care costul de fabricaţie este minim).


Cele două măsuri corespund aceleiaşi combinaţii de inputuri dacă şi numai dacă dreapta scalei de fabricaţie este suprapusă peste traiectoria de

dezvoltare a firmei. Astfel, în spaţiul inputurilor ( )21 ,xx putem ilustra aceste concepte ca în figura 10.

Observaţii: Flexibilitatea costului, ca şi elasticitatea scalei de fabricaţie,

sunt indicatori folosiţi în decizia de dezvoltare a firmei. Presupunem că, la un preţ al pieţei outputului, fixat, firma are posibilitatea de a produce o cantitate

y într-un singur proces sau să producă volumul myy =* în fiecare din m

procese de producţie. Dacă ( ) 1, * >ywη , este mai avantajos să producă în m procese întrucât

agregarea producţiei în cele m procese va conduce la pierderi prin creşterea producţiei (conform consecinţei de mai sus). În caz contrar, este mai avantajos să producă întregul output y într-un singur proces, întrucât firma va înregistra economii (venituri crescătoare la scala de fabricaţie).

În cazul ( ) 1, * =ywη , este indiferent ce decizie va lua: de a produce în m procese sau într-un singur proces, întrucât nu se înregistrează nici pierderi nici venituri într-o situaţie decizională sau alta.

9. Dualitatea între funcţia de cost şi funcţia de producţie

Problema a fost studiată de Uzawa (1963), Shephard (1970), Friedman (1972), McFadden (1978) şi dezvoltată ulterior într-o diversitate de studii de numeroşi cercetători, din diferite ţări.

x2

12x 02x

11x

01x

x1

dreapta scării de fabricaţie

Traiectoria de dezvoltare

y1

y0

dreapta costurilor C(w,y1)

Figura 10


Conform teoremei Minkowski, orice mulţime închisă şi convexă în nR este intersecţia semispaţiilor de susţinere, unde prin definiţie, orice subspaţiu în

nR este reprezentat prin:

( ) { }RkRmkmxRxkmS nn ∈∈≤∈= ,,, (95)

Observăm deci că funcţia de cost defineşte în spaţiul inputurilor un semispaţiu, pentru orice vector de preţuri nRw∈ şi orice nivel fixat y al outputului:

( ) ( ){ }ywCwxRxywM n ,, ≥∈= (95’)

unde ( ) CywC =, este costul minim al producţiei y . Ca o consecinţă, constatăm că nu există un vector de inputuri ( )ywMx ,∈ care să permită realizarea producţiei y cu un cost mai mic, adică

Cwx < . Rezultă că acea combinaţie de inputuri nRx∈ , care minimizează costul

pentru preţurile nRw ∈ fixate de piaţă şi y dat, este situată pe frontiera semispaţiului ( )ywM , şi este dată de hiperplanul ( )ywCwx ,= .

Notăm:

( ) ( ){ }0,,* ⟩∀≥∈= wywCwxRxyV n

şi

( ) ( ){ }xGyRxyV n ≤∈=

unde ( )xG este funcţia de producţie a firmei cu tehnologia existentă. Deci ( )yV defineşte mulţimea inputurilor necesare pentru realizarea producţiei y ,

cu tehnologia dată. Teorema dualităţii cost-producţie ilustrează proprietatea că, în condiţiile

tehnologice date, ( ) ( )yVyV *= . Considerăm, pentru simplificare, mulţimea preţurilor inputurilor care

conduc la un cost unitar, pentru un anumit nivel al outputului ( ) ( ){ }1, =∈= ywCRwyF n - numită curba izocost unitară.

Fie ( ) ( ){ }1, ≥∈= ywCRwyR n - regiunea din nR în care nivelul producţiei y se obţine cu un cost supraunitar.

Deoarece ( )ywC , este convexă în spaţiul nRw ∈ , mulţimea ( )yR este concavă. Mulţimea ( )yR se numeşte mulţimea preţurilor factorilor necesari realizării outputului y şi se pune în corespondenţă cu mulţimea ( )yV , cu


deosebirea că ( )yV este mulţimea de inputuri pe când ( )yR este mulţimea preţurilor acestora.

( ) ( ){ }1, =∈= ywCRxyF n este frontiera preţurilor factorilor, numită, aşa cum am menţionat, curba izocost unitară. Ce relaţie există între modificările a două preţuri cu kdw şi dwj de-a lungul acestei curbe?

Diferenţiind ( ) 1, =ywC pentru y dat, obţinem:

( ) 0,1

=∂

∂∑=

i

n

i i

dww

ywC

în care, considerăm că jkidwi ,,0 ≠= . Deducem că imediat, folosind lema lui Shepard:

( )( )

( )( )ywx

ywxwywCwywC

dwdw

j

k

j

k

k

j

,,

,,

=∂∂∂∂

=− (96)

expresie care comensurează panta frontierei preţurilor factorilor în planul ( )kj , , pantă care este negativă.

Astfel, dacă preţul inputului k creşte cu o unitate, pentru a se menţine pe curba izocost unitară, firma trebuie să utilizeze acel factor j , al cărui preţ scade cu o mărime egală cu raportul între cantităţile optime ce trebuie utilizate

din cei doi factori ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

j

k

xx

.

Dar din CNO ale problemei de minimizare a costurilor în condiţiile funcţiei de producţiei ( ) yxG = , ştim că:

( )( ) j

k

j

k

ww

xGxG

='

'

(97)

Însă de-a lungul izocuantei ( )xGy = , ştim de asemenea că RMS (rata marginală de substituţie) este

( )( ) j

k

j

k

k

j

ww

xGxG

dxdx

==− '

'

, (98)

relaţia care exprimă panta izocuantei în funcţie de preţurile factorilor, pe când (96) exprimă panta curbei de izocost în funcţie de inputuri.

În concluzie, relaţiile (96) şi (98) reflectă dualitatea cost-producţie.


Pentru ilustrare, considerăm doi factori 21 ,xx şi facem reprezentarea

în spaţiul preţurilor. Panta curbei izocost este 1

2

xx

− , frontiera preţurilor

factorilor este ( ) 1, =ywC , care are aceeaşi pantă 1

2

xx

− (vezi fig. ……,a),

punctul de tangenţă fiind A. Raza (dreaptă) OA are panta egală cu 1

2

ww şi

conform (98) aceasta este egală cu RMS. Aşadar, din frontiera preţurilor

factorilor se poate obţine atât panta izocuantei ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q

2

ww cât şi nivelul relativ de

utilizare a factorilor ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

2

xx .

Similar, reprezentarea în spaţiul factorilor (fig. 11.b) evidenţiază că raza

OB are panta 1

2

x

x unde B este punctul de tangenţă al izocuantei la linia

costurilor, panta izocuantei fiind 1

2

ww

− . Deci cunoaşterea izocuantei permite

determinarea atât a pantei frontierei preţurilor factorilor cât şi nivelul relativ al preţurilor.

Geometric, dualitatea între funcţia de cost şi funcţia de producţie reflectă congruenţa triunghiurilor OAC şi OBD în reprezentarea în spaţiul

w2

*2w

w1

a)

1

2

ww

*1w

1

2

xx

−

0

Curba izocost C(w,y) = 1

x2

*2x

x1

b)

1

2

xx

*1x

1

2

ww

−

0

Izocuanta G(x) = y

A B

Figura 11

C D


preţurilor respectiv al factorilor, unghiul AOCp fiind egal cu unghiul BDOp şi BODACO pp = .

10. Studiu de caz

Ilustrăm rezultatele teoretice anterioare, în cazul concret în care funcţia de producţie este de tip Cobb-Douglas cu doi factori: KxLx == 21 , :

1,0,, 2121021 ≤+>= bbbbKLby bb

Presupunem că firma analizată activează pe o piaţă care are capacitate de absorbţie suficient de mare din outputul y al firmei. În aceste condiţii, modelul de optimizare are ca obiectiv maximizarea producţiei ymax în condiţiile în care costul este fixat, CC = , unde FCKrwLC +⋅+= preţurile celor doi factori fiind w (salariul nominal mediu pe persoană, pe an, plătit de firmă) şi r - costul capitalului (lei/1 miliard lei capital tehnic), FC - costul fix – exclusiv amortizările.

Vom deduce funcţia de cost ( )yrwC ,, . Scriind lagrangeanul şi aplicând condiţiile necesare de optim obţinem:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

−

rKLbb

wKLbbbb

bb

λ

λ1

20

110

21

21

(99)

unde λ este multiplicatorul Lagrange, Cy∂∂

=*

λ , *y fiind producţia optimă.

Împărţind cele două CNO deducem nivelul relativ al cererii de factori

LKk = reprezentând nivelul optim al dotării tehnice la acestă firmă în funcţie

de nivelul relativ al preţurilor ( )rw :

rbwb

LK

1

2= , (99’)

deci necesarul de muncă în raport cu volumul capitalului este

Kwr

bbL ⋅=

2

1


Înlocuind în funcţia de producţie, deducem necesarul *K de capital în funcţie de nivelul dorit al producţiei:

21

1

2

10

bbb

Kwr

bbby +⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

deci:

( ) 2121

1 1

01

2* ,,bbbb

b

by

rbwbyrwK

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (100)

În consecinţă necesarul de forţă de muncă va fi:

( ) 2121

2 1

02

1**

2

1* ,,bbbb

b

by

wbrbLK

wbrbyrwL

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⋅= (101)

Înlocuind în ecuaţia costului, deducem funcţia de cost:

( ) FCKrLwyrwC +⋅+⋅= **,,

şi după efectuarea calculelor, găsim:

( ) ( ) F

bbbb

Cby

br

bwbbyrwC +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+ 2121

1

02121,, (102)

Aşadar, după cum am demonstrat teoretic cunoscând funcţia de producţie, putem deduce funcţia de cost.

Se verifică prin calcul direct valabilitatea lemei Shepard

( ) ( )yrwL

wyrwC ,,,, *=

∂∂ şi ( )yrwK

rC ,,*=∂∂

(propunem ca exerciţii efectuarea calculelor) Aşadar

( )( )yrwL

yrwKdrdw

,,,,

*

*

−= (102.A)

şi prin calcul direct, regăsim

rbwb

drdw

1

2−= (102’.A)


care defineşte panta frontierei preţurilor, negativă şi proporţională cu raportul preţurilor, de-a lungul curbei izocostului unitar.

Din (101) deducem că de-a lungul izocuantei y - fixat, avem RMS:

rw

dLdK

=− (101.A)

care defineşte panta izocuantei. Din (99’.A) şi (101.A) deducem că între pantele celor două curbe (curba izocost şi curba izocuantă) există relaţia:

dLdKb

drdwb 21 = (102’.A)

care evidenţiază rolul elasticităţilor producţiei în raport cu factorii în determinarea raportului între cele două pante.

Ilustrăm acum şi a doua componentă a teoremei dualităţii: cunoscând funcţia de cost, putem identifica funcţia de producţie.

Într-adevăr, cunoscând funcţia de cost (102), prin aplicarea lemei Shepard determinăm cererea de factori ** , LK , având expresiile (100), (101) şi de-a lungul curbei izocost deducem (102.A). Folosind relaţia (102’.A) în care

înlocuim panta drdw cu (102.A), găsim:

dLdKb

LKb 21 =⋅− (102’’.A)

care se poate scrie: 021 =+KdKb

LdLb

Prin integrare deducem:

==+ aaKbLb ,lnln 21 constantă

deci izocuanta:

yKLb bb =210 , adică expresia funcţiei de producţie ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ae

byunde0

de la care

am pornit.

Studii de caz propuse: reluaţi analiza de mai sus dacă funcţia de producţie este de tip CES:

a) [ ] 0,0,10,1

>><≠+=−−− βαρβα ρρρ KLy

b) LK

KLyβα +

= , α > 0, β > 0.


11. Variaţia cererii derivate de factori de producţie indusă de variaţia preţurilor şi a cheltuielilor de producţie

11.1 Deducerea ecuaţiei Slutsky

Vom corecta efectele induse de diferite şocuri asupra cererii de factori, deci asupra outputului.

Pornim de la modelul deciziei optime:

( )⎩⎨⎧

= 0max

yfpy

(1)

unde: - ( )nppp ,,1 K= este vectorul preţurilor;

- ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

ny

yy M

1

este vectorul de producţie,

cu =hy⎩⎨⎧+

productie defactor un este hbunul dacã yh-finit produs este hbunul dacã yh

- ( ) 0=yf este funcţia de producţie, respectiv restricţia tehnologică, definită pe frontiera eficientă.

Considerăm funcţia de producţie monooutput ( )ny , considerând ( )11 ,, −nyy K factori de producţie.

Putem formula pentru *ny fixată problema (1), ca o problemă de

minimizare a costurilor pentru atingerea unui nivel determinat al producţiei finite, *

ny .

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

−

−

=−∑

*11

1

111

,,

,,min

nn

n

inii

yyyf

yyCyp

K

K (2)

Rezolvăm problema (2) prin metoda multiplicatorilor Lagrange, obţinând *C valoarea optimă a funcţiei obiectiv pentru *

ny fixat. Problema duală a problemei (1) este o problemă de maximizare a

producţiei în condiţiile încadrării în nivelul *C de cheltuieli de producţie.


( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∑−

=

−

1

1

*

11 ,,maxn

iii

n

Cyp

yyf K

(3)

Funcţia Lagrange, ataşată problemei (1) este:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= ∑

−

=−

1

1

*11 );,...,(

n

iiin ypCyfyyL λ (4)

Presupunem că firma funcţionează în competiţie perfectă, astfel încât preţurile pe pieţele factorilor şi de producţie finite sunt fixate.

Condiţia necesară de optim ataşată problemei (3) este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

−==−

∑−

=

1

1

*

'

0

1,1,0n

iii

hh

Cyp

nhpf λ (5)

unde: ( ) ( ) 1,1,' −=∂⋅∂

= nhyfyf

hh

Diferenţiem condiţia de ordinul întâi în raport cu 11 ,, −nyy K şi λ , obţinem sistemul de ecuaţii Slutsky:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−==−

∑∑

∑−

=

−

=

−

=

1

1

*1

1

1

1

'' 1,1,

n

iii

n

iii

n

khhkhk

dCdpydyp

nhdpdpdyyf λλ (6)

Urmărim să determinăm variaţia cererilor derivate (de factori de producţie), indusă de variaţia cheltuielilor de producţie *C şi a preţurilor pe pieţele factorilor.

11.2 Efectul variaţiei cheltuielilor

Ipoteza 1 1,1,0,0* −==≠ nhdpdC h .

Rezolvăm (6) prin metoda lui Cramer.


Construim matricea Hessian bordată:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−′′′′

−′′′′

=

−

−−−−

−

00

~

11

11,11,1

11111

ppH

pppff

pff

HT

n

nnnn

n

K

K

M

K

(7)

H

ppdCpff

pff

dy

n

nnnn

n

~det:

00

0

12*

1''

1,1''

2,1

11,1''2,1

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−

=

−

−−−−

−

K

K

M

K

(8)

( ) HHdCdy nn ~det:~1 1,

1*1

+−−= (9)

unde 1,~

nH este cofactorul (minorul cu semn corespunzător elementului ( )1,n

din H~ ) şi H este matricea hessiană a funcţiei de producţie, H ∈ Mn - 1,n - 1. Raportul:

( )HH

dCdy n

n

~det

~1 1,1

*1

+−−= (10)

este variaţia compensată a cheltuielilor, efect de cheltuieli sau efect de output. În general, pentru orice 1,1 −= nh , obţinem:

( )HH

dCdy hn

hnh

~det1 ,

*

+−−= (11)

adică variaţia compensată de cheltuieli indusă de modificarea cu o unitate monetară a cheltuielilor totale ale firmei *C , asupra cererii derivate din factorul de producţie hy .

11.3 Efectul variaţiei preţurilor factorilor

Ipoteza 2 01,2,0,0 *1 =−==≠ dCnhdpdp h .

H

ppdpy

pff

pffdp

dy

n

nnn

n

~det:

0,,

,,0

0

1211

1''

1''

2,1

1''

1,1''

121

1

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−

=

−

−−−

−

K

KM

Kλ

(12)


Rezolvăm (12) dezvoltând după prima coloană:

( ) ( )H

HyHH

dpdy n

n

~det

~1~det

~1 1,1

11,12

1

1+−

+−

=λ

(13)

Rescriem (13) ţinând cont de 10:

*1

11

1

1~det

~

dCdyy

HH

dpdy i +=

λ (14)

Generalizând (14), obţinem:

( )*

,~det

~1dCdyy

HH

dpdy h

kkh

kh

k

h +−

=+λ

(15)

În (15), primul termen reflectă efectul de substituţie indus de modificarea preţului kp , asupra cererii derivate de factor 1,1 −= nh , iar al doilea termen reprezintă variaţia compensată de cheltuieli. Suma acestor doi termeni, coeficientul Slutsky, reflectă variaţia reziduală prin efectul de substituţie şi de variaţie compensată de cheltuieli, indusă de modificarea cu o unitate monetară a preţului produsului k asupra cererii derivate de factor

1,1 −= nh .

Notăm simbolic efectul de substituire ctfk

h

py

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

(primul termen din

(15)) şi efectul de cheltuieli ctCk

h

py

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

*

al doilea termen din (15), iar

coeficientul Slutsky 1,1,, −== nkhdpdyK

k

hhk .

În conformitate cu teorema lui Slutsky deducem:

(1) 1,1,,,, −== nkhKK hkkh variaţia reziduală a modificării cu o unitate a preţului kp , asupra cererii derivatei de factori hy , prin efectul de substituire şi variaţia compensată de cheltuieli, este egală cu variaţia reziduală a modificării preţului hp asupra cererii derivate de factori ky prin efectul de substituire şi variaţia compensată de cheltuieli.

(2) 1,1,, −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

==

nkhpy

py

ctfh

k

ctfk

h : efectele de substituire sunt

egale (în realitate, substituţia perfectă nu se poate realiza).


(3) 1,1,,0 −=<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

nkhpy

ctfh

h : în condiţiile normale ale cererii şi

ofertei, efectele de substituire sunt negative, respectiv o scădere a preţului va indica o creştere a cererii.

(4) În condiţiile normale ale cererii şi ofertei, matricea Slutsky K este negativ definită (minorii principali au semnul ( )k1− , unde k este ordinul minorului) şi simetrică.

(5) ( ) 1,1,, −== njiKK ij Deoarece K este negativ definită, rezultă:

K0,0,0

333231

232221

131211

2221

121111 <><

KKKKKKKKK

KKKK

K

Respectiv:

0

0

2

***

*

>⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

======

==

ctCk

h

ctfk

h

ctCk

k

ctfk

k

ctCh

h

ctfh

h

ctCk

h

ctfh

h

py

py

py

py

py

py

py

py

Aplicaţie:

Analiza sensitivităţii cererilor derivate de factori la modificările cheltuielilor totale ale firmei şi la modificarea preţurilor factorilor.

Considerăm o tehnologie formalizată cu ajutorul unei funcţii de producţie neoclasice monoproduct cu factori substituibili, pe frontiera eficientă (analiza fiind valabilă pentru funcţiile de producţie multiproduct).

( )nxxGY ,,1 K=

unde Y este outputul firmei, iar nix i ,1, = sunt inputurile firmei.


Pentru un nivel de output fixat YY = , problema de maximizare a profitului devine problema de minimizare a costurilor:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=∑=

YxxG

xpCT

n

n

hhh

,,

min

1

1

K

(1)

Soluţionarea problemei (1) prin metoda multiplicatorilor Lagrange va conduce la funcţiile de cerere derivată ale firmei ( ) nhYppX nh ,1,,,,1

* =K şi *CT , valoarea funcţiei obiectiv, respectiv costul total minim.

Duala problemei (1) este:

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∑=

n

hhh

n

CTxp

xxG

1

*

1 ,,max K

(2)

care, soluţionată prin metoda multiplicatorilor Lagrange, va conduce la funcţiile de cerere derivată.

Pe baza condiţiilor de optim de ordinul al II-lea ale problemei (2), dorim să determinăm modificarea cererii derivate de factori în raport cu modificările preţurilor, pe de o parte, cât şi cu modificările obiectivelor totale pe care firma este dispusă să le afecteze producţiei. Pentru aceasta vom folosi un rezultat fundamental (în teoria microeconomică şi anume acela oferit de economistul american Eugen Slutsky, concretizat în teoria lui Slutsky prezentată în cursul de Cibernetică economică partea a II-a.

Aplicaţie numerică:

Considerăm funcţia de producţie cu factori substituibili pe termen scurt:

( ) 8,06,0, LKLKfY == unde:

- K este factorul capital circulant în unităţi fizice; - L este factorul muncă în unităţi fizice (an – ore).

ambii factori fiind variabili pe termen scurt, iar -Y este volumul outputului. Considerăm 100=Y unităţi fizice, volumul fixat al outputului. Notăm

1p preţul pieţei pentru factorul capital circulant şi 2p preţul pieţei pentru factorul muncă.


Considerăm că în perioada precedentă preţurile pieţei au fost ..61 mup = şi ..81 mup = .

Cu datele considerate problema de minimizare a costurilor pentru atingerea unui nivel fixat al producţiei, devine:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

100

..86min

8,06,0 LK

RSLKCT

(3)

CNO

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

=−−

−

0100

08,08

06,06

8,06,0

2,06,0

8,04,0

LK

LK

LK

λ

λ

(4)

Raportând prima ecuaţie la a doua:

**

8,06,0

86 LK

KL

=⇒=

Înlocuim rezultatul de mai sus în a treia ecuaţie din sistemul (4):

( )82695,26

82695,26100100**

*4,1 4,11

==

==⇒=

LK

LL (5)

Din prima ecuaţie avem şi ( ) 5773,37582695,2686* =⋅+=CT , 3727448,0* =λ . Duala problemei de minimizare a costurilor pentru atingerea unui nivel

fixat al producţiei fizice este:

CNO

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=−

=−−

−

086

08,0

06,0

*

22,06,0

18,04,0

LKCT

pLK

pLK

λ

λ

(6)


Diferenţiem condiţia necesară de optim:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−−=−⋅−⋅

=−⋅+⋅−−−−

−−−

dcLdpKdpdLpdLpdpdpdLLKdKLK

dpdpdLLKdKLK

2121

222,16,02,04,0

112,04,08,04,1

8,02,08,06,0

8,06,04,06,0

λλ

λλ

(7)

Ştiind că optimul iniţial 82695,26** == LK , iar 8,6 21 == pp rescriem relaţiile de mai sus ţinând cont de aceste rezultate:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−−=−−=−+−

dCTdpdpdLdKdpddLdKdpddLdK

21

2

1

82695,2682695,26863727448,0802223,00666,03727448,060666,00333,0

λλ

(8)

Sistemul rezultat este un sistem algebric liniar, pe care îl rezolvăm în dLdK , şi λd .

Matricea sistemului este Hessiana bordată, pe care am folosit-o pentru formularea condiţiei de ordinul doi a problemei de decizie optimală la producător:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=086802223,00666,060666,00333,0

~H

I. Dorim să identificăm efectul modificării cheltuielilor totale ale firmei asupra cererii derivate de factori. Pentru aceasta facem ipotezele:

0,0,0 21* ==≠ dpdpdCT

Rezolvarea prin regula lui Crammer ne conduce la rezultatele:

HHdK

dCTH

~det/

66618,008802223,0060666,00

1

*1

=

−=−

−−−

=


Dezvoltând după prima coloană:

( )( )

)8(103316,0103316,044796,6

66618.0

44796,6~det

~det13338,05328,0

~det802223,060666,0

1

**

*

*13*

=⇒⋅=⋅−

−=

=

−−−=

−−−

−=

+

dCTdKdCTdCTdK

HH

dCTH

dCTdK

)

)9(10328,010328,044796,6666,0

~det60666,080333,0()1(

~det06800666,0600333,0

**

32**

=⇒⋅=−=

=⋅+⋅⋅−

−=−−

−−−

=+

dCTdLdCT

HdCT

HdCT

dL

Relaţiile (8) şi (9) reprezintă efectul de cheltuieli, (variaţia compensată de cheltuieli), adică modificarea cererii derivate de factor K, respectiv L, indusă de modificarea cu o unitate monetară a cheltuielilor.

II. Dorim să identificăm efectul modificării preţurilor pieţei pentru cei doi factori, asupra cererii derivate de factori.

(IIa) 0,0,0 21* =≠= dpdpdCT

Hdp

dpdK ~det:

0882695,26802223,0060666,03727448,0

1

1

−−−−

= (10)

Din (10) deducem:

( ) ( ) ( )

47138,644796,6871577,17

44796,68556672,23

~det871577,178556672,23

~det02223,060666,0882695,266413727448,0 2

1

−=−−=−−

=

=⋅−⋅−+−−

=

H

HdpdK

(11)

este efectul total de substituţie şi de cheltuieli al cererii de factor K, indus de modificarea propriului preţ.


H

dp

Hdp

dp

dL ~det082695,266800666,063727448,00333,0

~det082695,266800666,063727448,00333,0

1

1

1

−−−

⋅

=−

−−

= (12)

⇒ 003875,044796,6025,0

1

==dpdL (13)

este efectul total de substituţie şi de cheltuieli al cererii de factor L, indus de modificarea preţului p1, al capitalului.

(IIb) 0,0,0 21* ≠== dpdpdCT

H

dp

Hdpdp

dK ~det0882695,26802223,03727448,060666,00

~det0882695,26802223,03727448,060666,00

2

2

2

−−−−

⋅

=−

−−−

= (14)

⇒ 003875,044796,6020173,0

2

==dpdK (15)

este efectul total de substituţie şi de cheltuieli al cererii de factor K, indus de modificarea preţului p2, al muncii.

Hd

dp

Hdpdp

dL ~det082695,2668037274480666,0600333,0

~det082695,2668037274480666,0600333,0

2

2

2

−−−−

⋅

=−

−−−

= (16)

⇒ 852,444796,62855,31

2

−=−=dpdL (17)

este efectul total de substituţie şi de cheltuieli al cererii de muncă indus de modificarea propriului preţ

Ecuaţiile (11), (13), (15), (17) sunt ecuaţiile Slutsky, în care primii termeni reprezintă efectul de substituire, iar al II-lea termen reprezintă efectul de cheltuieli.

Matricea Slutsky este:

852,4003875,0003875,047138,6−

−=K


ijK , elementele matricii Slutsky, reprezintă variaţia reziduală a consumului de factor, prin efectul de substituire şi variaţia compensată de cheltuieli indusă de modificarea cu o unitate monetară a preţului produsului j.

(a) Coeficienţii Slutsky simetrici faţă de diagonala principală sunt egali:

ijij KK = (variaţiile reziduale sunt egale)

(b) Efectele de substituire ale modificării preţului unui produs asupra propriului produs sunt întotdeauna negative:

081092,244796,64188,13

699723,344796,68556672,23

1

1

−==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

=

ctG

ctG

pK

pK

Modificarea preţului unui factor va determina modificarea, în sens contrar a cantităţii de factor folosită. De exemplu, dacă preţul factorului K scade cu o unitate monetară, consumul de factor K va creşte cu 3,69723 unităţi fizice.

(c) Dacă sunt satisfăcute legile normale ale cererii şi ofertei, matricea Slutsky este negativ definită.

0047138,6

21122211

11

>⋅−<−=

KKKKK

III. Să se reprezinte grafic punctul de optim iniţial.

a) Curba de indiferenţă

( ) 3333,16,08,0

6,018,06,0

43469,2154100100

−−−

==⇒⎭⎬⎫

==

LLKY

LYK

care este ecuaţia unei hiperbole echilatere în cadranele 1 şi 3.

b) Dreapta isocost

5773,37586 =+ LK


59621,6285773,3750

9471625,4685773,3750

3333,15921,6268

65773,375

==⇒=

==⇒=

−=

−=

KL

LK

LK

LK

Preţul de optim se situează în punctul de tangenţă al isocuantei cu dreapta isocost.

c) Condiţia de tangenţă:

( ) [ ]( )

( ) 82695,26000464158,0

3333,143469,21543333,1

43469,21543333,15961,62

42857755,0*

3333,2

3333,1

==

−=−

=−

−

−

−

L

L

LdLdL

dLd

Determinăm *K din dreapta isocost:

82695,2682695,63333,1596121,62* ≅⋅−=K

IV. Presupunem că preţul factorului L scade cu două unităţi monetare.

62,59621

26,82695

26,82695 46,94716

K = 2154,434 ⋅ 3333,1−L

K

L


i) Să se determine efectul de substituire şi să se reprezinte grafic noua curbă isocost.

00375,077091,277479,2

lorcheltuielia compensare

devariatia esubstituir deefectul 2

=−= 32143421dpdK

852,47709,208109,2

lorcheltuielia compensare

devariatia esubstituir deefectul 2

−=−−= 32143421dpdL

− La scăderea cu o unitate a preţului 2p , consumul de factor K scade cu 2,77479 unităţi

− La scăderea cu o unitate monetară a preţului 2p , consumul de factor L creşte cu 2,08109 unităţi Atunci când 2p scade cu două unităţi, noul *K este:

27737,2154958,582695,2677479,2282695,26* =−=⋅−=K unităţi

Atunci când 2p scade cu două unităţi, noul *L este:

98913,3008109,2282695,26* =⋅+=L unităţi

Cheltuielile totale:

599,31398913,30627737,216 =⋅+⋅ lei

Noua curbă izocost:

2665,5202665,520

2665,526599,313

66599,313

=⇒==⇒=−=

−=

+=

LLLK

LK

LK

LK

Prin efectul de substituire, s-a înlocuit K prin L dar producţia a rămas constantă (deci isocuanta din aplicaţia de indiferenţă se păstrează).

Condiţia de tangenţă :

[ ] ( )3333,143469,21542665,52 −=− LdLdL

dLd


ii) Să se determine variaţia reziduală prin efectul de stustituire şi variaţia compensată de cheltuieli.

852,4

003875,0

2

2

=

=

dpdLdpdK

Dacă 2p scade cu o unitate monetară, K scade cu 0,003875. Dacă 2p creşte cu o unitate, L creşte cu 4,852 unităţi. Prin efectul de substituire şi variaţia de compensare a cheltuielilor

indusă de scăderea cu două unităţi a preţului 2p , noile valori optimale ale cererilor derivate sunt:

42,36285,4826,26

8,2620038,0826,26*

*

=⋅+=

=⋅−=

L

K

Cheltuielile totale: 5773,3752,37942,36682,266 ≅=⋅+⋅

Valoarea producţiei pentru noile valori de echilibru:

( ) ( ) 99596,12742,3681,26 8,06,0 ==Y

52,2665

21,27737 26

,826

95

K = 2154,434 ⋅ 3333,1−L

K

L

30,9

8913

36

,42

52,2

665

62,5

962

62,5962

26,81 26,82

K = 2154,434 ⋅ 3333,1−L

K = 62,5962

K = 52,2665 - L

Echilibrul iniţialVariaţia reziduală prin efectul de substituire şi variaţia de compensare a cheltuielilor

Efe

ctul

de

subs

titui

re


Valoarea producţiei a crescut faţă de ,100=Y la 99596,127=Y în condiţiile menţinerii cheltuielilor de producţie constante.

Ecuaţia isocuantei:

( ) 3333,16,08,0

6,01

574,325099,127 −−

== LLK

Curba isocost:

LLK

LK

−=−=

=⋅+⋅

5962,6265773,375

5773,37566

Constatăm următoarele: • faţă de echilibrul iniţial, prin efectul de substituire − s-a schimbat panta curbei isocost, costul total scăzând; − s-a schimbat echilibrul de la =*K 82,26* =L la 98,30* =L ,

27,21* =K ; − volumul producţiei a rămas constant. • faţă de echilibrul iniţial, prin variaţia reziduală, prin efectul de

substituire şi variaţia de compensare a cheltuielilor: − costul total a rămas constant − a scăzut *K de la 26,82 la 26,81 − a crescut *L de la 26,82 la 36,42 − volumul producţiei a crescut de la 100 u.f. la 127,99 u.f.

Date post:	08-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	john
View:	89 times
Download:	9 times

costurile firmei

Documents