Carte Mecanica

8/12/2019 Carte Mecanica

1/131

CUPRINS

1. NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL................................................. 3

1.1. Mrimi scalare i mrimi vectoriale.................................... ........ 31.2. Compunerea a doi vectori concureni.............................................. 31.3. Compunerea a n vectori concureni............................................. 41.4. Descompunerea unui vector dupdoudirecii concurente............................................ 51.5. Descompunerea unui vector duptrei direcii concurente n spaiu............................................... 51.6. Produsul scalar a doi vectori........................................ ....... 61.7. Produsul vectorial a doi vectori............................ ................... 61.8. Produsul mixt a trei vectori...................................... ....... 71.9. Dublul produs vectorial a trei vectori.............................................. 8

STATICA

2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE APLICATE RIGIDULUI.................................................. 9

2.1. Momentul unei fore n raport cu un punct............................................. 92.2. Cuplul de fore............................................. 122.3. Reducerea unei fore aplicatntr-un punct al rigidului. Torsorul.............................................. 13

2.4. Reducerea sistemelor de fore aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variaiatorsorului cu punctul de reducere. Invariani............................................ 142.5. Reducerea sistemelor particulare de fore............................................... 18

2.5.1. Reducerea sistemelor de fore concurente........................................... 182.5.2. Reducerea sistemelor de fore coplanere............................................. 182.5.3. Reducerea sistemelor de fore paralele............................................ 19

Test de evaluare.. ........24

3. CENTRE DE GREUTATE (DE MAS) 26

3.1`. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale............................................. 263.2. Momente statice.. 263.3. Proprietile centrului de greutate.......................................... ..... 273.4. Centrul de greutate al corpurilor omogene.. 28Test de evaluare.. ........33

4. STATICA RIGIDULUI 35

4.1. Echilibrul rigidului liber....... ....................................... 354.2. Echilibrul rigidului supus la legturi frfrecare................................................ 36

4.2.1. Generaliti.......................................... 364.2.2. Legturile rigidului.......................................... 37

4.2.2.1. Reazemul simplu...................................... 374.2.2.2. Articulaia......................................... 39

4.2.2.2.1. Articulaia sferic..................................... 394.2.2.2.2. Articulaia cilindric..................................... 40

4.2.2.3. ncastrarea.................. ...................... 424.2.2.4. Prinderea cu fir......................................... 43

4.3. Echilibrul rigidului supus la legturi cu frecare.............................................. 464.3.2. Frecarea de alunecare.......................................... 464.3.3. Frecarea de rostogolire............................................ 484.3.4. Frecarea n lagrul radial (articulaia cilindric)......................................... 504.3.5. Frecarea firelor. ........52

Test de evaluare.. ........56

5. STATICA SISTEMELOR MATERIALE.. 57

5.1. Torsorul forelor interioare................. ............................. 575.2. Teoreme i metode pentru studiul echilibrului sistemelor materiale.............................................. 58

5.2.1. Metoda izolrii elementelor............................................. 585.2.2. Teorema solidificrii............................................ 585.2.3. Teorema echilibrului prilor........................................... 59

5.3. Sisteme static determinate i sisteme static nedeterminate............................................. 60Test de evaluare.............................................. ........66

CINEMATICA

6. CINEMATICA PUNCTULUI................................................. 67

6.1. Noiuni fundamentale............... ............................... 676.1.1. Legea de micare......................................... 67

1


2/131

6.1.2. Traiectoria........................ .................... 676.1.3. Viteza........................................... 686.1.4. Acceleraia........................................... 696.1.5. Viteza i acceleraia unghiular........................................... 70

6.2. Studiul micrii punctului......... ...................................... 716.2.1. Studiul micrii n coordonate carteziene......................................... ... 716.2.2. Studiul micrii n coordonate naturale........................................... 72

6.3. Micri particulare ale punctului.............................. ............... 77

6.3.1. Micarea rectilinie..................................... ...... 776.3.1.1. Micarea rectilinie uniform........................................ 776.3.1.2. Micarea rectilinie uniform variat...................................... 78

6.3.2. Micarea circular............................................ 796.3.2.1. Studiul micrii n coordonate carteziene........................................ 796.3.2.3. Studiul micrii n coordonate naturale....................................... 80

Test de evaluare.............................................. ........84

7. CINEMATICA RIGIDULUI............................................... 86

7.1. Micarea generala rigidului.............................. ................ 867.1.1. Mobilitatea rigidului............................................ 867.1.2. Distribuia de viteze....... .................................. 877.1.3. Distribuia de acceleraii.......................................... 88

7.2. Micri particulare ale rigidului......................................... ..... 897.2.1. Micarea de translaie.......................................... 89

7.2.1.1. Distribuia de viteze.......................... ............... 907.2.1.2. Distribuia de acceleraii...................................... 90

7.2.2. Micarea de rotaie (micarea rigidului cu axfix)........................................... 917.2.3.1. Distribuia de viteze............... .......................... 927.2.3.2. Distribuia de acceleraii...................................... 927.2.3.3. Transmiterea micrii de rotaie...................................... 93

7.2.3. Micarea plan paralel......................................... 977.2.3.1. Distribuia de viteze.................................... ..... 987.2.3.2. Centrul instantaneu de rotaie...................................... 997.2.3.3. Distribuia de acceleraii...................................... 101

7.3. Micarea relativa punctului.............................. ................ 1047.3.1. Derivata absoluti derivata relativa unui vector............................................. 1047.3.2. Definirea micrilor............................................. 1057.3.3. Compunerea vitezelor.............................. ................ 106

7.3.4. Compunerea acceleraiilor........................................... 106Test de evaluare.......................................... ......108

DINAMICA

8. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL................................................... 110

8.1. Dinamica punctului material n micare absolut............................................... 1108.1.1. Noiuni fundamentale............... ............................... 110

8.1.1.1. Lucrul mecanic..... .................................... 1108.1.1.2. Funcia de for........................................ 1118.1.1.3. Puterea.......................................... 1128.1.1.4. Randamentul............................ ............ 1128.1.1.5. Impulsul................................ ....... 1138.1.1.6. Momentul cinetic............... .......................... 1138.1.1.7. Energia mecanic......................................... 114

8.1.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material.............................................. 1158.1.2.1. Generaliti........................................... 1158.1.2.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material liber...................................... 1158.1.2.3. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material supus la

legturi....................................... 1178.1.3. Teoreme generale n dinamica punctului material........................................... 118

8.1.3.1. Teorema impulsului.................................. ... 1188.1.3.2. Teorema momentului cinetic....................................... 1198.1.3.3. Teorema energiei cinetice........................ ................ 119

8.2. Dinamica punctului material n micare relativ............................................. 1248.2.1. Legea fundamentaln micarea relativ............................................ 1248.2.2. Sisteme ineriale........................................... 1258.2.3. Repausul relativ........................................... 125

Test de evaluare.............................................. ......128

BIBLIOGRAFIE... 130

2


3/131

1. NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL

1.1. MRIMI SCALARE I MRIMI VECTORIALE

Mrimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric(pozitivsau negativ) se numesc mrimi scalare sauscalari.

Mrimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric, prindirecie i sens se numesc mrimi vectorialesauvectori.

Vectorul reprezentat prin segmentul de dreaptorientat se numete vectorliber. n cazul cnd pentru definirea vectorului este necesar precizareasuportului, acesta se numete vector alunector; daceste necesari precizarea

punctul de aplicaie , acesta se numete vector legat.

1.2. COMPUNEREA A DOI VECTORI CONCURENI

Considernd doi vectori ai b cu originea n punctul Oi unghiul dintresuporturile celor doi vectori, , suma sau rezultanta celor doi vectori estevectorul c , definit ca mrimedirecie i sens de diagonala

paralelogramului construit cu

vectorii ai b , ca laturi(fig.1.1.a).

bac += (1.1)

Mrimea vectoruluirezultant este:

cosab2bac 22 ++= (1.2)

Considernd ca referin,

suportul vectorului a , direcia vectorului rezultant este definitde unghiul :

Fig. 1.1

cosab2ba

sinbsin

22 ++= (1.3)

Expresia analitic. Considernd cvectorii a i b definesc planul Oxy,vectorul rezultant c va fi situat n acelai plan, cei trei vectori putnd fiexprimai prin proiecii pe axele sistemului menionat, (fig.1.1.b):

jcicc;jbibb;jaiaa yxyxyx +=+=+= (1.4)

Conform relaiei (1.1) putem scrie:

)jbib()jaia(jcic yxyxyx +++=+ (1.5)

3


4/131

Rezultcomponentele pe axe ale vectorului rezultant c :

yyyxxx bac;bac +=+= (1.6)

Mrimea vectorului rezultant este:

2yy

2xx

2y

2x )ba()ba(ccc +++=+= (1.7)

iar direcia este datde unghiul dintre suportul vectorului rezultant i axa Ox:

xx

yy

x

y

ba

ba

c

ctg

+

+== (1.8)

1.3. COMPUNEREA A nVECTORI CONCURENI

Regula paralelogramului poate fi extins la compunerea unui numroarecare de vectori concureni 1V , 2V ,. nV , ajungndu-se la o construcie

graficnumitregula poligonului vectorilor, laturile acestuia fiind vectorii dinsistem. O latur Vi a poligonului se obine prin construirea unui vectorechipolent cu vectorul iV avnd ca origine,

extremitatea vectorului 1iV i ca extremitate,

originea vectorului 1iV .+Rezultanta sistemului de vectori este

definitca suma vectoriala vectorilor iV :

=

=+++=n

1i

in21 VV...VVV (1.9)

Construcia grafic reprezint segmentulde dreapt care unete originea primului vector

1V , cu extremitatea ultimului vector nV dinacest poligon (fig.1.2.a).

Regula poligonului, pentru cazulparticular de compunere a doi vectori concurenise numete regula triunghiului(fig.1.2.b).

Expresia analitic. Suporturile vectorilordin sistem fiind orientate n spaiu se vaconsidera un sistem de axe carteziantriortogonal Oxyz fa de care vor fi exprimatecomponentele pe axe ale acestor vectori(fig.1.2.c). Notnd proieciile pe axe ale

vectorului iV cu Vix, Viy, Viz i ale vectoruluirezultant V , cu Vx, Vy, Vz, conform relaiei (1.9)se scrie: Fig.1.2

4


5/131

=

++=++n

1i

iziyixzyx )kVjViV(kVjViV (1.10)

Analog raionamentului anterior,

rezult valorile componentelor pe axeale vectorului rezultant:

(1.11)

=

=

=

=

=

=

n

1i

izz

n

1i

iyy

n

1i

ixx

VV

VV

VV

Mrimea vectorului rezultant este:

2z

2y

2x VVVV ++= (1.12) Fig. 1.2

iar direcia datprin cosinusurile directoare:

V

Vcos x= ,

V

Vcos

y= ,

V

Vcos z= (1.13)

1.4. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUPDOUDIRECIICONCURENTE

Descompunera unui vector V dupdoudirecii concurente d1 i d2 nseamndeterminarea sistemului de vectori concureni

1V i 2V a cror rezultant este vectorul V sau

determinarea componentelor 1V i 2V ale

acestuia, pe cele doudirecii d1i d2. Folosindregula paralelogramului, prin extremitateavectorului V se construiesc paralele la direciiled1i d2, punctele de intersecie cu aceste direciidefinind extremitile vectorilor 1V i 2V , ca nfigura 1.3. Fig. 1.3

1.5. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUPTREI DIRECIICONCURENTE N SPAIU

Se aplic regula paraleogramului n dou etape. n prima etap sedescompune vectorul V dup una din cele trei direcii, spre exemplu d3 i o

5


6/131

direcie d1,2, obinutca intersecie dintreplanul format de celelalte dou direcii,d1 i d2 cu planul format de cea de-atreia direcie d3i vectorul V , rezultnd

componentele 3V i 2,1V .n etapa a doua se descompune

componenta 2,1V dupdireciile d1i d2

rezultnd componentele 1V i 2V .

Vectorul V reprezint diagonalaparalelipipedului avnd ca muchii,componentele 1V , 2V i 3V (fig.1.4). Fig. 1.4

1.6. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Numim produs scalar al vectorilor a i b , notat ba , scalarul c:

cosbabac == (1.14)

unde este unghiul format de suporturile celor doi vectori.Produsul scalar al vectorilor a i bpoate fi exprimat ca produsul dintre

mrimea unui vector i proiecia celuilalt pe acesta, i invers (fig.1.5).

==

==

aprbcosabbabpracosbaba

b

a

(1.15)

Expresia analitic. Cnd vectorii a ib sunt exprimai prin proieciile pe axelesistemului triortogonal Oxyz:

++=

++=

kajbibb

kajaiaa

zyx

zyx (1.16)

expresia analitica produsului scalar devine:

zzyyxx babababa ++= (1.17)Fig. 1.5

1.7. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

Produsul vectorial al vectorilor a i b este un vector c , definit astfel:

bac = (1.18)

Vectorul produs vectorial are urmtoarele caracteristici:a. mrimea(modulul) vectorului:

sinbac = (1.19)

6


7/131

reprezentnd aria paralelogramului avnd ca laturi cei doi vectori, a crorsuporturi formeazunghiul .b. direciaeste datde o dreaptperpendicularpe planul definit de cei doivectori

c. sensuleste dat de regula urubului drept: sensul de naintare al urubuluisituat pe suportul vectorului c , prin rotirea vectorului a ctre vectorul b , nsensul parcurgerii unghiului minim dintre cei doi vectori (fig.1.6).

Expresia analitic. Cei trei vectori putnd fi exprimai prin proiecii peaxele sistemului triortogonal Oxyz:

++=

++=

++=

kcjcicc

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

zyx

(1.20)

produsul vectorial este scris subforma determinantului,

Fig. 1.6zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac == (1.21)

prin dezvoltarea acestuia, rezultnd componentele pe cele trei axe ale vectoruluiprodus vectorial, c :

(1.22)

=

=

=

xyyxz

zxxzy

yzzyx

babac

babac

babac

1.8. PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI

Produsul mixt a trei vectori , a , b i c este prin definiie, produsul scalar

dintre vectorul a i vectorul produs vectorial, cb adicun scalar d:)cb(a)c,b,a(d == (1.23)

Produsul mixt este un scalar ireprezint volumul paralelipipeduluiavnd ca muchii mrimile celor treivectori (fig.1.7).

VhAaprcb)c,b,a(cb

=== (1.24)

ntruct Acb = reprezintaria

bazei paralelipipedului avnd ca muchiicei trei vectori iar hapr

cb = reprezintnlimea paralelipipedului.

Fig. 1.7

7


8/131

Expresia analitic. Dac vectorii sunt cunoscui prin proieciile lor peaxele sistemului triortogonal Oxyzatunci produsul mixt (1.23) poate fi exprimatanalitic:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

)cb(a)c,b,a( == (1.24)

1.9. DUBLUL PRODUS VECTORIAL A TREI VECTORI

Dublul produs vectorial al vectorilor a , b i c este un vector degal cuprodusul vectorial dintre vectorii a i cb fiind situat n planul vectorilor b i

c , conform relaiei: c)ba(b)ca()cb(a = (1.25)

Daccei trei vectori sunt cunoscui prin proieciile lor pe axele sistemuluitriortogonal Oxyzconform (1.20), atunci dublul produs vectorial se scrie:

c)ba(b)ca(

)kcjcic()bababa(

)kbjbib)(cacaca(

ccc

bbbjaiaiakakaja

ccc

bbb

kji

)kajaia()cb(ad

zyxzzyyxx

zyxzzyyxx

zyx

zyx

xyzxyz

zyx

zyxzyx

=

=++++

++++=

=

=

=++==

8


9/131

STATICA

2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE APLICATE RIGIDULUI

2.1. MOMENTUL UNEI FORE N RAPORT CU UN PUNCT

Momentul unei fore n raport cu un punct exprimcapacitatea forei de aroti corpul asupra cruia acioneazn jurul unei axe care trece prin acest puncti este perpendicularpe planul determinat de suportul forei i punctul respectiv(fig.2.1.a).

Momentul unei fore F n raport cu un punct O este produsul vectorialdintre vectorul de poziie r, al punctului de aplicaieA, al forei i fora F.

Fr)F(M0 = (2.1)

Conform proprietilor produsului vectorial, momentul )F(M0 este un

vector aplicat n punctul O,perpendicular pe planuldefinit de vectorii r i F(fig.2.1.b), al crui sens estedat de regula urubului drept(sensul de naintare alurubului aezat n punctul O

pe suportul momentului 0M ,

acionat de o cheie cu foraFavnd ca bra, vectorul de

poziie r), iar modulul datde relaia:

Fig. 2.1

)F,rsin(Fr)F(M0 = (2.2)

sau punnd n evidendistana b, de la punctul O, la suportul forei F, numitbraul forei:

FbbF)F(M0 == (2.3)

Proprieti:1. Momentul unei fore n raport cu un punct este nul cnd suportul foreitrece prin acel punct.

9


10/131

2. Momentul unei fore n raport cu un punct nu se modific dac fora sedeplaseazpe propriul suport.

Considernd fora F n dou poziii, A i B (fig.2.2.a) i notnd cu r,respectiv r , vectorii de poziie ai punctelor A i B, momentul n raport cu

punctul Oal forei Fn cele dousituaii devine:

FrF)ABr(Fr)F(M

Fr)F(M

B0

A0

=+==

=

ntruct 0FAB = ,

vectorii AB i Ffiind coliniari.3. Momentul uneifore n raport cu un

punct este un vectorlegat, motiv pentrucare se modific laschimbarea polului.

Fie O i O,punctele n raport cu carese calculeazmomentul forei F.

Fig. 2.2

FOO)F(MFOOFrF)rOO(Fr)F(M 0'0 =+=+== (2.4)

ntruct punctul Oreprezintoriginea sistemului, poziia tuturor celorlaltepuncte se raporteaz la acest pol, motiv pentru care vectorul OOOO = .Relaia (2.4) exprimlegea de variaie a momentului la schimbare polului.

Expresia analitic. Avnd expresiile analitice ale vectorului de poziieri ale forei F:

kFjFiFF;kzjyixr zyx ++=++= (2.5)

rezultexpresia analitica momentului forei Fn raport cu punctul O.

zyx

0

FFF

zyxkji

Fr)F(M == (2.6)

Proieciile momentului 0M pe axele sistemului triortogonal Oxyz (care

reprezintmomentul forei Fn raport cu axele: Ox, Oy, Oz) sunt:

(2.7)

=

=

=

xyz

zxy

yzx

yFxFM

xFzFM

zFyFM

10


11/131

Aplicaii. 1. Asupra unui rigid acioneaz o for P , orientat dup muchia FG acubului din figura 1.3. Muchia cubului avnd lungimea asse determine momentele acesteifore n raport cu toate vrfurile cubului i sse reprezinte vectorii moment.

Rezolvare. Se vor calcula mrimile vectorilor moment ca produs dintre fori braulforei (metoda braului), direciile i sensurile fiind indicate n figura 2.3.

aP2P=OGPOFMO ==

aP2P=AFPAFMA ==

aPP=BFPBFMB ==

aPP=CGPCFMC ==

aPP=DGPDFMD ==

aPP=EFPEFME ==

Fig. 2.30MM GF ==

Conform proprietii 1, momentul forei P n raport cu punctele F i G este nul,ntruct suportul acesteia trece prin aceste puncte.

Pentru verificarea calculului momentelor se utilizeazmetoda analitic:

aP2)aP()aP(M

kaPjaP

00P

aaa

kji

POFM

220

0

=+=

+=

==

aP2)aP()aP(M

kaPjaP

00P

aa0

kji

PAFM

22A

A

=+=

+=

==

aPM

jaP

00P

a00

kji

PBFM

B

B

=

=

==

aPM

kaP

00P

0aa

kji

PDFM

D

D

=

=

==

aPM

kaP

00P

0a0

kji

PEFM

E

E

=

=

==

2.O for Fde mrime kN9F = acioneazpe dreapta definitde segmentulABi

este orientat de la A ctre B (fig.2.4). S se calculeze momentele forei F n raport cupunctele O, Ci D, dacpunctele respective au urmtoarele coordonate exprimate n metri:A(7,4,2); B(0,0,6); C(1,2,0); D(0,4,8).

11


12/131

Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei esteutilizatmetoda analitic. Fora F fiind un vectoralunector, punctul de aplicaie al acesteia, situat pesegmentulAB se ia A. Cum expresiile momentuluiforei Fn raport cu cele trei puncte sunt:

Fig. 2.4

=

=

=

FDA)F(M

FCA)F(M

FOA)F(M

D

C

0

=

=

=

Fr

Fr

Fr

D

C

0

vectorii DA,CA,OA i F se vor exprima prinproiecii pe axe.

=++==++=++==

++=++==

k6i7k)zz(j)yy(i)xx(rDAk2j2i6k)zz(j)yy(i)xx(rCA

k2j4i7kzjyixrOA

DADADAD

CACACAC

AAA0

Versorul forei Feste versorul segmentuluiAB, ABu i are expresia:

)k4j4i7(9

1

447

k4j4i7

)zz()yy()xx(

k)zz(j)yy(i)xx(

AB

ABu

2222AB

2AB

2AB

ABABABAB +=

++

+=

++

++==

Fora Fpoate fi scrissub forma:

)kN(k4j4i7)k4j4i7(9

19uFF AB +=+==

Vectorii moment i mrimile acestora devin:

mkN4,484224)F(M;j42i24

447

247

kji

Fr)F(M 22000 =+==

==

mkN4,42103816)F(M;k10j38i16

447

226

kji

Fr)F(M 222

CCC =++==

==

mkN4,39281424)F(M;k28j14i24

447

607

kji

Fr)F(M 222CDD =++=+=

==

2.2. CUPLUL DE FORE

Cuplul de forereprezintun sistem de doufore egale i de sens contrarcare acioneaz pe dou suporturi paralele asupra aceluiai rigid (fig.2.5).

Cuplul de fore tinde s roteasc rigidul n jurul unei axe perpendiculare peplanul definit de suporturile celor doufore.

12


13/131


14/131

= FrM

F

0

0 (2.10)

Schimbnd punctul de reducere n O, torsorul i modific numaimomentul a crei variaie la schimbarea polului este datde relaia (1.4).

= FOOMM

F

0'0

'0 (2.11)

2.4. REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORE APLICATE RIGIDULUI.TORSORUL DE REDUCERE. VARIAIA TORSORULUI CU

PUNCTUL DE REDUCERE. INVARIANI

Se considerun rigid acionat n punctele A1, A2,, An, de forele 1F ,2F ,.., nF , (fig.2.7.a). Un punct oarecareAi, raportat la polul Oeste definit de

vectorul de poziie ir. A calcula efectul mecanic produs n O de aciuneasimultan a forelor din sistemul dat nseamn a reduce pe rnd toate forelesistemului, obinnd n O, dousisteme de vectori concureni:

-sistemul de fore 1F , 2F ,.., nF , a crui rezultanteste:

=+++=i

in21 FF.....FFR (2.12)

-sistemul de cupluri 1M , 2M ,.., nM , al crui moment rezultant este: ==+++=i

ii

i

in210 FrMM.....MMM (2.13)

Fora rezultant R i momentul rezultant 0M formeaz un sistemechivalent cu sistemul de fore dat, numit torsorul de reducere n punctul O.

=

=

i

ii0

i

i

0FrM

FR

(2.14)

Reducnd sistemul defore ntr-un alt punct O, seobine:

Fig. 2.7

=

=

i

ii'0

i

i

'0FrM

FR

(2.15)

Expresia momentului '0M , innd seama de relaia (2.4), devine:

14


15/131

ROOMFOOFr

FrFOOF)rOO(FrM

0

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

ii

i

ii'0

=+=

=+=+==

(2.16)

Torsorul n punctul Oal sistemului de fore este:

= ROOMM

R

0'0

'0 (2.17)

Comparnd relaiile (2.14) i (2.15) se deduce c n raport cu punctediferite de reducere, rezultanta este aceai, n timp ce momentul rezultantvariaz, legea de variaie a acestuia fiind datde relaia (2.16).

Rezultanta R este primul invariant al operaiei de reducere.Efectund produsul scalar

'0

MR , numit trinom invariant i avnd n

vedere c produsul mixt 0)ROO(R = , fiind produs mixt cu vectoricoplanari, obinem:

00'0 MR)ROOM(RMR == (2.18)

Trinomul invariant 0MR este al doilea invariant al operaiei de

reducere.Forma analitica trinomului invariant 0MR este:

zzyyxx0 MRMRMRMR ++= (2.19)Proiecia momentului rezultant 0M pe direcia rezultantei R este:

2z

2y

2x

zzyyxx

0R0R

RRR

MRMRMR

R

RMuMM

++

++=== (2.20)

Vectorul RM , coliniar cu rezultanta R se va scrie:

R

R

R

MRuMM 0RRR

== (2.21)

Proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei fiind raportul a

doumrimi invarianteRM

0MR i R este n consecin, tot o mrime invariant

a operaiei de reducere (fig.2.7.b). Adic:

cosMcosMM '00R == (2.22)

Trinomul invariant i proiecia momentului rezultant pe direciarezultantei nu sunt dou mrimi invariante independente. La reducerea ntr-un

punct a unui sistem de fore existdoi invariani, R i 0MR .

15


16/131

Aplicaie. Asupra unui corp solid acioneaz sistemul de fore avnd ca suporturi,

muchiile i diagonalele cubului ca n figura 2.8. tiind c )61i(;PPi == ,

)8,7j(;P2Pj == i muchia cubului a, se

cere:1. Sse reducsistemul de fore n puntul O2. Sse determine sistemul echivalent, constituit

din forele:a. 4321 P,P,P,P ;

b. 6521 P,P,P,P ;c. 8731 P,P,P,P ;d. 652 P,P,P ;e. 875 P,P,P .

Rezolvare. 1. Sistemul de fore redus npunctul Oeste definit de torsorul sistemului de fore,calculat n acest punct.

Fig.2.8

=

=

=

=

8

1i

i00

8

1i

i

0

)P(MM

PR

Exprimnd sub formanalitic, forele, ct i momentele acestora n raport cu polul O,

obinem:kPP1= ; kPP2 = ; kPP3 = ; kPP4 = ; iPP5 = ; iPP6= ;

jPiP)j2

2i

2

2(P2P7 == ; jPiP)j

2

2i

2

2(P2P8 +==

0)P(M 10 = ; jaPk)P(iaPOA)P(M 220 === ;

jaPiaPkP)jaia(POB)P(M 330 =+== ; iaPk)P(jaPOC)P(M 440 === ;

0)P(M50

= ; jaPiPkaPOD)P(M660

=== ; 0)P(M70

= ;

jaPiaP)jPiP(kaPOD)P(M 880 +=+== .

Prin nsumarea celor doucategorii de vectori obinem:

0)jPiP()jPiP(iPiPkPkPkPkP

PPPPPPPPR 87654321

=+++++=

=+++++++=

jaP2iaP)jaPiaP(0jaP0iaP)jaPiaP(jaP0

)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(MM 80706050403020100

+=+++++++=

=+++++++=

Torsorul sistemului de fore n punctul Oeste:

16


17/131

+=

=

jaP2iaPM

0R

0

0

2. Pentru determinarea sistemului echivalent se calculeaz torsorul n punctul O alsistemului de fore dat i n funcie de valorile celor douelemente ale acestuia poate fi definit

acest sistem.

2.a.Torsorul n punctul O, al sistemului de fore 4321 P,P,P,P este:

=++=+++=

=+=+++=

0iaP)jaPiaP(jaP0)P(M)P(M)P(M)P(MM

0kPkPkPkPPPPPR

403020100

43210

Sistemul dat este echivalent cu un sistem de fore n echilibru

2.b.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 6521 P,P,P,P este:

=+++=+++=

=+=+++=

0jaP2jaP0jaP0)P(M)P(M)P(M)P(MM

0iPiPkPkPPPPPR

6O5O2O1OO

6521O

Sistemul dat este echivalent cu un cuplu de fore, al crui moment este jaP2MO = .

Acest cuplu este creat de forele 1P i 2P situate pe muchiile paralele OD i EA,

respectiv 5P i 6P , situate pe muchiile paraleleAOiDE.

2.c.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 8731 P,P,P,P este:

=++++=+++=

=++++=+++=

0)jaPiaP(0)jaPiaP(0)P(M)P(M)P(M)P(MM

0kP2)jPiP()jPiP(kPkPPPPPR

807030100

87310

Sistemul dat este echivalent cu o forunic kP2R = , aplicatn O.

2.d.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 652 P,P,P este:

=++=++=

=+=++=

0jaP2jaP0jaP)P(M)P(M)P(MM

0kPiPiPkPPPPR

6050200

6520

Trinomul invariant devine:0jaP2kPMR 0 ==

Sistemul de fore dat este schivalent cu o forunic kPR = , pe axa central.

2.e.Torsorul n punctul Oal sistemului de fore 875 P,P,P este:

+=+++=

=++=

=++

++=++=

0jaPiaP)jaPiaP(00

)P(M)P(M)P(MM

0iP)jPiP(

)jPiP(iPPPPR

8070500

875

0

Trinomul invariant este:

0aP)jaPiaP(iPMR 2

0 =+=

Sistemul de fore dat este echivalent cu un torsor minim pe axa central.Torsorul minim are expresia:

17


18/131

=

=

=

=

iaPP

iP

P

aP

R

R

R

MRM

iPR

20

minmin

2.5. REDUCEREA SISTEMELOR PARTICULARE DE FORE

2.5.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE CONCURENTE

Un sistem de fore care acioneazasupra unui rigid constituie un sistemde fore concurente, dacsuporturile lor sunt concurente ntr-un punct.

Fie un sistem de fore iF, aplicate unui rigid n puncteleAi, (i = 1, 2, ,n), avnd suporturile concurente n punctul O

(fig.2.9). Forele iF fiind vectori alunectori sepot deplasa pe propriile suporturi, astfel capuncteleAiscoincidcu punctul O.

Torsorul n punctul O al acestui sistem defore este:

=

=

0M

FR

0

i

i

0 (2.23)

Torsorul minim este constituit dinrezultantiar axa central, suportul rezultantei. Fig. 2.9

2.5.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE COPLANARE

Se numesc fore coplanare, forele ale cror suporturi sunt situate nacelai plan [P]. Reducnd sistemul de forentr-un punct O, situat n planul [P] se obinetorsorul sistemului n acest punct, compus din

fora rezultant R i momentul rezultant0M , perpendicular pe planul forelor

(momentul rezultant reprezint sumavectorial a momentelor forelor din sistem,calculate n raport cu punctul O i care sunt

prin definiie, perpendiculare pe planulforelor). Fig. 2.10

Trinomul invariant este 0MR 0 = .Pentru studiul analitic al sistemului de fore coplanar (fig.2.10) se

considerca plan al forelor, planul Oxyde ecuaie 0z= . Forele iFi vectoriide poziie irai punctelor de aplicaieAiale forelor au expresiile:

18


19/131

jyixr;jFiFF iiiiyixi +=+= (2.24)

=====

+=+==

kMkMkFyFx

FF

yx

kji

FrM

jRiRjFiFFR

z

i

ixiiyi

i

iyix

ii

i

ii

yx

i

iy

i

ix

i

i

00

0)(

0

0 (2.25)

2.5.3. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE PARALELE

Sistemul de fore iF, (i = 1, 2, ,n)ale cror suporturi sunt paralele cu odirecie comun, de versor u , formeazun sistem de fore paralele (fig.2.11).

O for iFdin sistem poate fi scrisn funcie de versorul u , astfel:uFF ii = (2.26)

unde Fi este o mrime algebric, pozitiv sau negativ, dup cum fora esteorientatn acelai sens sau n sens contrar, versorului u .

Rezultanta sistemului este:

u)F(uFFRi

i

i

i

i

i === (2.27)

Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrica scalarilor forelor.

Momentul rezultant n punctul Oeste:u)rF()uF(rFrM

i

ii

i

ii

i

ii0 === (2.28)

Trinomul invariant este nul

0u)rF(u)F(MRi

ii

i

i0 =

= (2.29)

datoritcoliniaritii a doi termeni din produsul mixt.

Axa central. Centrul forelor paralele.

Axa centralreprezintlocul geometric alpunctelor unde momentul este nul, ntruct

0MR 0 = . Pentru determinarea axei centrale se

utilizeaz relaia (2.4) care exprim momentulntr-un punct curent P, situat pe aceast ax i

unde rOP= este vectorul de poziie alpunctului P.

0ROPMM 0P == (2.30)

Fig. 2.11nlocuind pe R i 0M cu expresiile datede (2.27) i (2.28), obinem:

19


20/131

0u)F(ru)rF(i

i

i

ii = (2.31)

sau schimbnd poziia factorului scalar n al doilea produs vectorial rezult:

0ur)F(u)rF(

i

i

i

ii =

0u)rFrF(i

i

i

ii = (2.32)

Produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coliniari.

u'rFrFi

i

i

ii = (2.33)

Vectorul de poziie al punctului curent P, de pe axa centraleste:

uF

'

F

rF

r

i

i

i

i

i

ii

=

(2.34)

notnd cu

=

i

iF

', rezult:

uF

rF

r

i

i

i

ii

=

(2.35)

Relaia (2.35) reprezintecuaia vectoriala axei centrale (fig.1.11) careeste o dreaptparalelcu direcia comuna sistemului de fore, datde versorulu i care trece printr-un punct fix C, numit centrul forelor paralele.

Vectorul de poziie al centrului forelor paralele Ceste:

=

i

i

i

ii

CF

rF

r (2.36)

Coordonatele centrului forelor paralele Csunt:

===

i

i

i

ii

C

i

i

i

ii

C

i

i

i

ii

CF

zF

z;F

yF

y;F

xF

x (2.37)

Proprietile centrului forelor paralele.

1. Dactoate forele sunt rotite n acelai sens, cu acelai unghi, axa centralseva roti n acelai sens i cu acelai unghi, trecnd n permanenprin punctul

C, ntruct vectorul Cr nu depinde de versorul direciei comune.2. Centrul forelor paralele nu depinde de sistemul de referin, fiind ocaracteristicintrinseca sistemului de fore.

20


21/131

Considernd noua origine a sistemului, Oi 0rO'O = , vectorii de poziie ai

punctelor de aplicaie ale forelor n raport cu noua origine pot fi scrii subforma: i0i rr'r += . Vectorul de poziie al centrului forelor paralele raportat lanoul sistem va fi:

C0

i

i

i

ii

i

i

i

i0

i

i

i

i0i

i

i

i

ii

C rrF

rF

F

Fr

F

)rr(F

F

'rF

'r +=+=+

==

vectorul de poziie al centrului forelor paralele s-a modificat la fel ca pentruoricare punctAi, deci poziia centrului Cfade puncteleAinu s-a schimbat.

3. Vectorii for sunt vectori legai, caz n care centrul forelor paralele are oexisten intrinsec, poziia acestuia fiind funcie de poziia punctelor deaplicaie i scalarii forelor. Dacforele sunt considerate vectori alunectori,

punctul Cnu mai are semnificaie.

2.5.3.1. REDUCEREA FORELOR PARALELE, DISTRIBUITE

Forele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptAB, situat pe axaAx, de lungime lsunt distribuite dupo lege de variaie,p = p(x)(fig.2.12). Seurmrete determinarea rezultantei,Ri poziia centrului forelor paralele,xC.

Notm prinp(x), fora pe unitatea de lungime la distanax, de captulA,msuratnN/m. Mrimea rezultanteiRse obine prin integrarea pe lungimea l,

a forei elementare, dR, creatde fora distribuitp(x)consideratconstantpeelementul infinitezimal dx.

==l

0AB

dx)x(pdRR (2.38)

Poziia centrului forelor paraleledistribuite Ceste definitde abscisaxC:

== l

0

l

0

AB

ABC

dx)x(p

xdx)x(p

dR

xdRx (2.39)

Fig. 2.12

Mrimea rezultantei R este aria cmpului de distribuie a forei iar

suportul acesteia trece prin centrul de greutate C al suprafeei.

a. Fordistribuituniform. Fora se distribuie constant pe lungimeabarei (fig.2.13), legea de variaie fiind:

.ctp)x(p == (2.40)

plpxpdxR l

0

l

0

=== (2.41)

21


22/131

2

l

x

2

x

pdx

pxdx

xl

0

l

0

2

l

0

l

0C ===

(2.42)

Fig. 2.13

O sarcin distribuit uniform esteechivalent cu o sarcin concentrat

plR= , aplicat la mijlocul poriunii

ncrcate, .2/lxC =

b. Fordistribuittriunghiular. Valoarea maxima forei distribuiteestep(fig.2.14) iar legea de variaie pe lungimea barei, datde funcia:

l

x

p)x(p = (2.43)

Fig. 2.14

2

pl

l2

pxdx

l

xpR

l

0

2l

0

=== (2.44)

3

l2

2

x

3

x

dxl

x

p

xdxl

xp

xl

0

2

l

0

3

l

0

l

0C ===

(2.45)

O sarcin distribuit triunghiular este echivalent cu o for de mrime2/plR= , aplicatla distana 3/l2xC = , de captulA.

c. For distribuit parabolic. Valoarea maxim a forei distribuiteestep(fig.2.15) iar legea de variaie pe lungimea barei, datde funcia:

2

2

l

xp)x(p = (2.46)

Fig. 2.15

3

pl

l3

pxdx

l

xpR

l

0

2

3l

02

2

=== (2.47)

4

l3

3

x

4

x

dxl

xp

xdxl

xp

xl

0

3

l

0

4

l

02

2

l

02

2

C ===

(2.48)

O sarcin distribuit parabolic este echivalent cu o for de mrime3/plR= , aplicatla distana 4/l3xC = , de captulA.

22


23/131

Aplicaii. 1. O for distribuit uniform acioneaz pe semicercul de raz r.Intensitatea forei pe unitatea de lungime estep. Sse reducsistemul de fore n punctul O.

Rezolvare. Fora distribuit pe semicerc constituie un sistem de fore concurente.Torsorul n centrul semicercului Oeste constituit numai din fora rezultant.

Datoritsimetriei, suportul rezultantei este dat de axa de simetrie Oxa semicercului,componenta pe direcia axei Oyfiind nul.

Pentru o poziie curenta arcului elementar dl, definitde unghiul la centru , foraelementarcare acioneazpe acesta este:

rdpdlpRd == Cum:

jsinpicospjpipp yx =+=

ijsinprdicosprdjRdidRRd yx =+=

rezultanta care se obine prin integrare:

Fig.2.16

==)D()D(

pRdR rd

poate fi scrisprin componentele pe cele douaxe

jRiRR yx +=

i ale cror valori sunt:

pr2sinprdcos 2

2

2

2

==

prdRR

)D(

xx ==

0sprcodsin 2

2

2

2

==

prdRR

)D(

yy ==

Rezultanta este un vector de mrime pr2R = situat pe axa Oxi care acioneazn

sens contrar acesteia.

2.Asupra unei plci (fig.2.17) acioneazsistemul de fore coplanar, de mrimi, F1=F2= P, P2F3 = i un cuplu de moment aP2M= , ale crui fore sunt situate n planul

celorlalte. Dacsuportul forei 3F trece prin punctulA(a, 0)i formeazcu axa Ox, unghiul

4/= , sse determine sistemul echivalent.

Fig.2.17

Rezolvare. Reducnd sistemul n originea O,elementele torsorului n acest punct sunt:

0jP2

P2

2jPiP

FFFR 321

=

++=

=++=

)j2

2i

2

2( =

0kaP)j2

2i

2

2

kaP2

=

+=

(P2ia

FOAMM30

+

+=

23


24/131

Cum 0MR 0 = , sistemul este echivalent cu o forunicpe axa central, a crei ecuaie

este:

xy0 yRxRM =

2

a

yPy2aP == adico dreaptparalelcu axa Ox la distana a/2sub aceasta.

3. Asupra unui corp acioneaz sistemul de fore paralele din figura 2.18. Dac, s se reduc sistemul de fore n O i s se determine coordonatele

centrului forelor paralele.

PFFF 321 ===

Rezolvare. Torsorul n punctul Oal sistemului de fore este:

==

==

=

= =

i

3

1i

i0

3

1i

3

1i

ii

0

FOAM

F(FR

=

3

1i

ii k)OAF(

k)

Fig. 2.18

Rezultanta are direcia axei Oz.

kP=k)FFF(R 321 +=

Momentul rezultant este:

jaPiaPk)kPa

k)OAF 332

+=

=+

jPaiPa(

OAFOAF(M 2110

+=

+=

Torsorul n punctul Oare expresia:

+=

=

jaPiaPM

0kPR

0

00

Sistemul de fore este echivalent cu o rezultantR , al crei suport este axa central, odreaptparalelcu axa Ozcare trece prin C, centrul forelor paralele de coordonate:

aP

Pa

F

zF

z;aP

Pa

F

yF

y;aP

Pa

F

xF

x

i

i

i

ii

C

i

i

i

ii

C

i

i

i

ii

C =

===

===

==

TEST DE EVALUARE

1. Momentul forei n raport cu un punct reprezint:a. capacitatea forei de a roti corpul in jurul unei axe care trece prin acel punct

b. capacitatea forei de a roti corpul in jurul punctului respectivc. capacitatea forei de a roti corpul in jurul unei axe care trece prin acel punct,perpendicularpe planul definit de fori punct

24


25/131

2. Expresia momentului forei n raport cu un punct este:a. Fr)F(M0 =

b. rF)F(M0 = c. Fr)F(M0 = 3. Braul forei reprezint:a. lungimea (modulul) vectorului de poziie al punctului de aplicaie al forei

b. lungimea perpendicularei dus din punctul fa de care se calculeazmomentul, pesuportul foreic. nici una din variantele ai b4. Legea de variaie a momentului la schimbarea polului este datde relaia:a. ROOMM '0'0 =

b. '0'0 OORMM += c. ROOMM '0'0 += 5. Cuplul de fore este caracterizat de:a. rezultanta cuplului de fore

b. momentul cuplului de forec. braul cuplului de fore6. Rezultatul operaiei de reducere al unui sistem de fore care acioneaz asuprarigidului este:a. determinarea unui sistem de fore echivalent n punctul respectiv

b. determinarea torsorului sitemului de fore n acel punctc. determinarea rezultantei sistemului de fore n acel punct7. Invarianii operaiei de reducere ntr-un punct ai unui sistem de fore sunt:a. rezultanta sistemului de fore

b. trinomul invariant al sistemului de forec. variantele ai bmpreun8. Torsorul minim al unui sistem de fore care acioneazasupra rigidului reprezint:a. torsorul sistemului de fore, calculat ntr-un punct situat pe axa central

b. rezultanta R i momentul minimmin

M

c. proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei9.

Poziia centrului forelor paralele este definitde:a. vectorul de poziie al centrului forelor paralele

Cr

b. coordonatele centrului forelor paralele:

===

i

i

i

ii

C

i

i

i

ii

C

i

i

i

ii

CF

zF

z;F

yF

y;F

xF

x

c. depinde de sistemul de referinales10.Mrimile care caracterizeazforele distribuite sunt:a. rezultanta forelor distribuite

b. poziia rezultantei forelor distribuite pe zona pe care se distribuiec. variantele ai bmpreun

25


26/131

3. CENTRE DE GREUTATE (DE MAS)

3.1. CENTRUL DE GREUTATE AL UNUI SISTEM DE PUNCTE

MATERIALE

Fie un sistem de puncte materiale Ai de mase mi i vectori de poziie)n,...,2,1i(,ri = n raport cu originea Oa sistemului de axe.

Greutatea sistemului este:

MgmggmGGi

i

i

i

i

i ==== (3.1)

i este aplicat ntr-un punct definit cacentrul de greutate al sistemului, care este

centrul forelor paralele de greutateiG (fig.3.1).

Vectorul de poziie al centrului degreutate C, conform relaiei (2.43) este:

=

i

i

i

ii

CG

rG

r (3.2)Fig. 3.1

nlocuind relaia (3.1) n (3.2) obinem:

===

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Cm

rm

gm

rgm

G

rG

r (3.3)

ceea ce demonstreazfaptul ccentrul de greutate Ceste un element geometric,depinznd de modul de distribuie a maselor din punctele Ai, fapt care justificdenumirea de centrul de mas.

Proieciile pe axe ale vectorului Cr sunt coordonatele centrului de mas:

===

i

i

iii

C

i

i

iii

C

i

i

iii

Cm

zmz;

m

ymy;

m

xmx (3.4)

3.2. MOMENTELE STATICE

Momentul static al unui sistem de puncte materiale, n raport cu un planeste suma produselor dintre masele punctelor i distanele acestora la plan (care

pot fi pozitive sau negative, dupcum aceste puncte sunt situate de o parte saude alta a planului respectiv). Relaia (3.4) poate fi scrisi sub forma de mai jos,care constituie i teorema momentelor statice.

26


27/131

Ci

iiC

i

iiC

i

ii Mzzm;Myym;Mxxm === (3.6)

Momentul static al unui sistem de puncte materiale n raport cu un plan

este egal cu produsul dintre masa sistemului i distana de la centrul maselor la

acel plan.

3.3. PROPRIETILE CENTRULUI DE GREUTATE

1.Dac sistemul de puncte materiale are un plan, o ax sau un centru desimetrie, centrul de masse afln acel plan, pe acea axsau n acel centru.

Presupunnd csistemul admite planul Oxzca plan de simetrie, oricruipunct Pi(xi, yi, zi) de masmii corespunde un punct Pj(xi, -yi, zi) de aceai masmi. Cum , rezulty0ym

i

ii = C= 0, deci centrul de masse afln planul Oxz.

Dac presupunem c sistemul admite axa Oz, ca axde simetrie, atunciunui punct Pi(xi, yi, zi) de masmii corespunde totdeauna un punct Pj(-xi, -yi, zi)de aceai masmi. Cum 0ym;0xm

i

ii

i

ii == , rezultxC= 0, yC= 0, deci

centrul de masse aflpe axa Oz.Considernd c sistemul admite originea sistemului de referin O, ca

centru de simetrie, din condiiile de simetrie rezultcoricrui punct Pi(xi, yi, zi)de masmii corespunde ntotdeauna un punct Pj(-xi, -yi, -zi) de aceai masmi.Cum momentele statice, 0zm;0ym;0xm

i iii iii ii

===

, rezult 0x

C

= ,

, ,deci centrul de masse afln polul O.0yC= 0zC =

2 Dac un sistem de puncte materiale (S) se compune dintr-un numr de psubsisteme (S1), (S2), , (Sp), de mase M1, M2,, Mpi vectori de poziie ai

centrelor de masp21 CCC

r...,,r,r , centrul de masal sistemului (S) se obine

considernd masele sistemelor componente Mi, concentrate n centrele de

mas, Ci(i = 1, 2, , p).

=

i

i

i

Ci

CM

rM

r

i

(3.7)

Pentru demonstraie se ine seama c, n baza relaiei (3.4), vectorii depoziie ai centrelor maselor

iCr au expresiile:

===

)S(

i

)S(

ii

C

)S(

i

)S(

ii

C

)S(

i

)S(

ii

C

p

p

p

2

2

2

1

1

1 m

rm

r......;m

rm

r;m

rm

r (3.8)

ntruct

27


28/131

p)S(

i2

)S(

i1

)S(

i Mm......;Mm;Mm

p21

=== (3.9)

relaiile (3.8) pot fi scrise astfel:

===)S(

Cpii

)S(

C2ii

)S(

C1ii

pp

22

11

rMrm......;rMrm;rMrm (3.10)

Vectorul de poziie Cr al centrului maselor sistemului (S) este:

=+++

+++

=

=+++

+++

==

i

i

i

Ci

p21

CpC2C1

)S(

i

)S(

i

)S(

i

)S(

ii

)S(

ii

)S(

ii

)S(

i

)S(

ii

C

M

rM

M......MM

rM......rMrM

m......mm

rm......rmrm

m

rm

r

ip21

p21

p21

3.Dac un sistem de puncte materiale (S) poate fi considerat ca proveninddintr-un sistem (S1) din care s-a extras un sistem (S2) i dac se cunosc

masele M1, M2i centrele de mas definite de vectorii de poziie21 CC

r,r ,

atunci centrul de mas al sistemului (S) se poate obine considernd c

masele M1i M2s-ar concentra n centrele de masC1i C2.Vectorul de poziie al centrului de masC, al sistemului (S) are expresia:

21

C2C1

21

C2C1

CMM

rMrM

)M(M

r)M(rMr 2121

=++

= (3.11)

Referitor la sistemele (S1) i (S2) putem scrie conform (3.9) i (3.10):

==)S(

C2

)S(

iiC1ii

1

2

2

1rMrm;rMrm ; 2

)S(

i1

)S(

i Mm;Mm

21

==

Pentru ntreg sistemul se obine:

21

C2C1

)S( )S(

ii

)S(

ii

)S(

ii

)S( )S(

ii

)S(

i

)S(

ii

)S(

ii

)S(

ii

)S(

i

)S(

ii

CMM

rMrMmm

rmrm

m)mm(

rm)rmrm(

m

rm

r 21

1 2

21

2 2

22

=

=+

+

==

Observaie. Proprietile centrului de mas prezentate pentru sisteme depuncte materiale sunt valabile i n cazul sistemelor de corpuri omogene.

3.4. CENTRUL DE GREUTATE AL CORPURILOR OMOGENE

n mecanic, corpul rigid se admite ca fiind un continuu materialnedeformabil, adicorice element de volum are masiar distanele dintre punctermn nemodificate, indiferent de solicitrile la care este supus corpul. Pentru a

28


29/131

stabili o legturcu rezultatele obinute n cazul sistemelor de npuncte materialese considercorpul divizat n volume elementare Vi, de mase mi.

Vectorul de poziie al centrului de maseste definit, conform relaiei (3.4)cu condiia discretizrii la limita maselor elementare. Cnd 0mi , sumele

definite de (3.4) devin integrale, definite pe domeniul (D), ocupat de corp.

==

)D(

)D(

i

i

i

ii

0mC

dm

dmr

m

rm

limri

(3.12)

Domeniul (D) se va nota cu: (V), n cazul blocurilor - corpuri cu treidimensiuni, (A), n cazul plcilor - corpuri cu dou dimensiuni, a treia fiindneglijabil n raport cu celelalte dou i (l), n cazul barelor - corpuri cu osingurdimensiune, celelalte doufiind neglijabile n raport cu prima.

Corpul omogen este corpul a crui densitate este aceai n toate punctelesale. Cum densitateasau masa specifica corpului (blocului) este definitprinraportul dintre masa corespunztoare i volumul elementar,

dV

dmV == (3.13)

vectorul de poziie al centrului de masal blocului omogen este:

===

)V(

)V(

)V( V

)V( V

)D(

)D(

C dV

dVr

dV

dVr

dm

dmr

r

(3.14)

ale crui coordonate sunt:

===

)V(

)V(C

)V(

)V(C

)V(

)V(C

dV

zdVz;

dV

ydVy;

dV

xdVx (3.15)

n cazul plcilor se poate defini, n mod analog, densitatea superficial.

dA

dmA = (3.16)

Vectorul de poziie al centrului de masal plcii omogene este:

===

)A(

)A(

)A( A

)A( A

)D(

)D(C

dA

dAr

dA

dAr

dm

dmrr

(3.17)


===

)A(

)A(

C)A(

)A(

C)A(

)A(

C dA

zdA

z;dA

ydA

y;dA

xdA

x (3.18)

29


30/131

n cazul barelor se definete densitatea liniar:

dl

dml = (3.19)

Vectorul de poziie al centrului de masal barei omogene are expresia:

===

)l(

)l(

)l( l

)l( l

)D(

)D(C

dl

dlr

dl

dlr

dm

dmrr

(3.20)


===

)l(

)l(C

)l(

)l(C

)l(

)l(C

dl

zdlz;

dl

ydly;

dl

xdlx (3.21)

Aplicaii. 1. S se determine centrul de greutate al unei bare omogene (fig.3.2) deforma arcului de cerc cu razaRi unghiul la centru, 2(exprimat n radiani).

Rezolvare.Admind axa Ox, axde simetrie, centrul de greutate al arcului de cercABse aflpe aceastax, poziia fiind definitde abscisaxC.

Fig. 3.2

Elementul de bar, Rddl'MM == , are abscisa,cosRx= .

sinR

sinR

Rd

RdcosR

==

dl

xdlx

)l(

)l(

C ==

n cazul particular al barei semicirculare, n care2/= , abscisa centrului de greutate devine:

R2

2

2sin

RxC ==

2. S se determine centrul de greutate al unei plci omogene (fig.3.3) avnd formaunui sector circular, de razRi unghi la centru, 2(exprimat n radiani).

Rezolvare.Se alege axa Ox, ca bisectoare a unghiului la centru, care este deci i axdesimetrie. Poziia centrului de greutate va fi definitde abscisaxC.Elementul de arie este sectorul infinitezimal, OMM, asimilat unui triunghi isoscel.

dR2

1RdR

2

1'MM'OM

2

1dA

2===

30


31/131

Centrul de greutate al acestui element de arie va fi situat pe mediana din O, la distana2R/3. Rezultabscisa centrului de greutate al elementului dearie OMM: cosR3/2x=

Fig. 3.3

sinR32

sinR

32

dR2

1

dR2

1cosR

3

2

2

2

==

dA

xdA

x

)A(

)A(C ==

n cazul particular al sectorului semicircular, n care2/= , abscisa centrului de masdevine:

R

3

4=

2

2sin

R3

2xC =

dzrdV 2=

222z

3.Sse determine centrul de greutate al unui corp omogen, de forma unei emisfere curazaR(fig.3.4).

Rezolvare.Corpul admite axa Oz, ca axdesimetrie, deci centrul de greutate situndu-se peaceastaxva fi definit de cota zC. Pentru calcululcoordonatei centrului de greutate, C, corpul sediscretizeaz n volume elementare dV, de formaunor cilindri infinitezimali, obtinui prin secionareaemisferei cu planele de cot,zi (z + dz). Volumulelementar, de forma unui cilindru, avnd raza r i

nlimea dzeste:

Rr =

Fig. 3.4dz)zr(dV 22 = Volumul emisferei este:

3

R2)

3

RR()

3

zzR(dz)zR(dVV

333

R

0

3R

0

2R

0

22

)V(

=====

iar cota centrului de greutatezCdevine:

R8

3

3

R2

4

R

3

zzR

4

z

2

zR

dz)zR(

dz)zR(z

dV

zdV

z3

4

R

0

3R

0

2

R

0

4R

0

22

R

0

22

R

0

22

)V(

)V(

C ==

=

==

4.Dintr-un cerc de razR se decupeazun cerc tangent interior de razR/2. S sedetermine poziia centrului de greutate a poriunii rmase (fig.3.5).

Rezolvare.Sistemul admind axa Oyca axde simetrie, conform primei proprieti seva calcula doar ordonata centrului de greutateyC.

21

2211C

AA

yAyAy

=

31


32/131

unde A1, A2sunt ariile celor doucercuri iar y1, y2sunt ordonatele centrelor de greutate aleacestora, raportate la sistemul de axe Oxycu originea n centrul cercului de razR( ).1CO

Fig. 3.5

==

==

2

R

y,4

R

A

0y,RA

2

2

2

12

1

6

R

4

R3

8

R

2

R

2

3

=

=

4

RR

4

R0R

y2

2

2

C

=

Centrul de greutate se afl pe dreapta ceunete centrele celor dou cercuri sub axa Ox ladistana de originea sistemului.6/RyC =

5. S se determine centrul de greutate al plcii omogene, de form i dimensiuni,indicate n figura 3.6.

Rezolvare. ntruct corpul admite axa Oy ca ax de simetrie, poziia centrului degreutate va fi definitde ordonata acestuia,yC. Placa omogendin figura 3.6 s-a obinut prinadiionarea corpurilor 1 i 4, din care se extrag corpurile 2 i 3, ficare avnd ariile iordonatele centrelor de greutate, dupcum urmeaz:

Fig. 3.6

Corpul 1 placa circularde raz cm20R=

=

==

0y

20RA

1

21 = cm64,1256

22

Corpul 2 placa semicircularde raz r cm10=

==

==

10

3

4r

3

4y

2

10

2

rA

2

2

2

=

=

cm24,4

cm08,1572

2

Corpul 3 placa sectorial OADB, de razi unghi la centru 2cm20R= 3/2=

cm19,11

3

3sin203

2sinr

3

2y,cm66,41820

3rA 3

2223 ======

Corpul 4 placa triunghiularOAB, avnd unghiul n O, 3/22 = , nlimea

i lungimea bazeicm10h= cm64,342/3202sinR2AB === .

cm66,6103

2h

3

2y,cm2,1731064,34

2

1A 4

24 =====

Ordonata centrului de mas,yC, a plcii din figureste:

32


33/131

cm35,320,17366,41808,15764,1256

)66,6(20,173)19,11(66,41824,408,157064,1256

AAAA

yAyAyAyAy

4321

44332211C

=+

+=

=+

+=

6.Capul unui nit are forma unei emisfere de razR, iar corpul nitului este de formaunui cilindru de razR/2 i nlime kRh= . S se determine coeficientul k, astfel nctcentrul de masal nitului sfie situat la distana 2/Rl= , fade planul de separare dintrecele douelemente (fig.3.7).

Rezolvare.ntruct nitul admite axa Oyca axde simetrie, centrul de masse va aflape aceastax. Constanta kse va determina din condiia ca valoarea ordonatei centrului demassfie .2/Rl=

Nitul este compus din dou corpuriavnd volumele i ordonatele centrelor demas, dupcum urmeaz:

Corpul 1 capul nitului

Fig. 3.7

R8

3y,R

3

2V 1

31 ==

Corpul 2 corpul nitului

==

==

2

kR

2

hy

4

Rkh)

2

R(V

2

32

2

Ordonata centrului de masa nitului este:

Rk38

2k

2

3

4

RkR

3

2

2

kR

4

Rk)R

8

3(R

3

2

VV

yVyVy

2

33

33

21

2211C

+

=

+

+=

+

+=

Din condiia , obinem:2/RyC =

R2

1R

8k3

2k

2

32

=+

sau , respectiv,014k3k2 = 72,2k=

TEST DE EVALUARE

1. Centrul de greutate al unui sistem material reprezint:a. punctul unde acioneazgreutatea sistemului

b. centrul forelor paralele de greutate ale sistemuluic. punctul al crui vector de poziie este dat de relaia:

=

i

i

i

ii

Cm

rm

r

2. Centrul de maseste echivalent cu centrul de greutate:a. nu

b. da

33


34/131

c. n condiiile n care centrul de greutate depinde de modul de distribuie al maselorsistemului

3. Momentul static al unui sistem material n raport cu un reper (planul Oxy) este:a. =

i

iixy0 zmS

b. Cxy0 zMS =c. =

i

iixy0 zGS

4. Dacmomentul static =i

iixy0 zmS este nul, centrul de greutate se afl:

a. n planul Oxyb. n planul Oxzc. n nici unul din planele menionate5. Dac momentele statice =

i

iixy0 zmS i =i

iixz0 ymS sunt nule, centrul de

greutate se afl:a. pe axa Ox

b. pe axa Oyc. pe axa Oz6. Poziia centrului de greutate al unui sistem de plci omogene (corpuri cu doudimensiuni) este definitde relaia:

a.

=

i

i

iiCi

CM

rM

r

b.

=

i

i

iiCi

CA

rA

r

c. nici una din variantele asau b7. Poziia centrului de greutate al unui bloc omogen (corp cu trei dimensiuni) estedefinitde vectorul de poziie dat de relaia:

a.

=

)D(

)D(

Cdm

dmr

r

b.

=

)V(

)V(

CdV

dVr

r

c. oricare din variantele ai b8. Dacun sistem material sau corp admite un plan de simetrie, centrul de greutate seafl:a. n dreapta planului de simetrie

b. n stnga planului de simtriec.

n planul de simetrie

34


35/131

4. STATICA RIGIDULUI

4.1. ECHILIBRUL RIGIDULUI LIBER

Rigidul liber este un corp care poate ocupa orice poziie n spaiu, poziiaacestuia depinznd exclusiv, de sistemul de fore care acioneazasupra lui.

Condiia necesari suficientpentru ca un rigid liber sfie n echilibrueste ca torsorul sistemului de fore care acioneazasupra acestuia sfie nul norice punct. De regul, punctul fade care se calculeaztorsorul sistemului defore este originea Oa sistemului de axe considerat.

=

=

0M

0R

00 (4.1)

innd seama c:

==

=

ii

iii0

i

i

MFrM

FR

(4.2)

condiiile (4.1) devin:

=

=

0M

0F

ii

ii

(4.3)

n cazul rigidului acionat de un sistem de fore spaial (rigid n spaiu),

ecuaiile scalare de echilibru sunt:

(4.4)

=

=

=

0F

0F

0F

iiz

iiy

iix

=

=

=

0M

0M

0M

iiz

iiy

iix

n cazul rigidului acionat de un sistem de fore coplanar (rigid n plan),

ecuaiile scalare de echilibru devin:0M;0F;0F

iiz

iiy

iix === (4.5)

Problemele echilibrului rigidului liber pot fi rezolvate n general, dacelecomport determinarea a cel mult ase necunoscute scalare, n cazul rigiduluiacionat de un sistem de fore spaiale sau cel mult trei necunoscute scalare, ncazul rigidului acionat de un sistem de fore coplanare.

Poziia de echilibru a rigidului este definit de ase parametri scalariindependeni, pentru rigidul n spaiu i de trei parametri scalari independeni,

pentru rigidul n plan care se numesc grade de libertate.Pentru stabilirea poziiei unui rigid n spaiu este necesar s se cunoasccoordonatele a trei puncte necoliniare: , i)z,y,x(A 1111 )z,y,x(A 2222

35


36/131

)z,y,x(A 3333 . Aceste coordonate nu sunt independente deoarece distanele d1,d2, d3, dintre puncte rmn constante, corpul fiind nedeformabil.

=++=

=++=

=++=

32

312

312

3113

22

232

232

2332

12

122

122

1221

d)zz()yy()xx(AA

d)zz()yy()xx(AA

d)zz()yy()xx(AA

(4.6)

ntruct ntre cei nouprametri scalari,x1, y1, z1,x2, y2, z2, x3, y3, z3,pot fiscrise trei relaiide forma (4.6), rezultcdoarase sunt independeni. n concluzie, poziiaunui rigid liber n spaiu este definit de ase

parametri independeni. Rigidul liber n spaiu

are ase grade de librtate.Practic, numrul gradelor de libertateeste dat de numrul deplasrilor (translaii irotaii) independente n raport cu axele decoordonate (fig.4.1).

n cazul rigidului n plan (considerndrigidul n planul Oxy) este necesar s secunoasc poziia a dou puncte i

. Scriind distana d, dintre cele dou puncte care este constant,

obinem:

)y,x(A 111)y,x(A 222

Fig. 4.1

d)yy()xx(AA 2122

1221 =+= (4.7)

Rezult c din cei patru parametri scalari, x1, y1, x2, y2, care definescpoziia rigidului n plan, doar trei sunt independeni. Rigidul liber n plan aretrei grade de libertate.

4.2. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGTURI FRFRECARE

4.2.1. GENERALITI

Rigidul supus la legturi este corpul cruia i se impune o restriciegeometric. Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legturi se aplicaxioma legturilor, n baza creia, legtura este nlturat i nlocuit cuefectul mecanic al acesteia, forele i momentele corespunztoare.

Prin aceastoperaie, problema este redusla cea a rigidului liber. Rigidulsupus la legturi este acionat de: fore i momente exterioare, direct aplicate fore i momente de legtur.

36


37/131

Se consider corpul (C), cruia i se studiazechilibru, care are ca legturi, corpul (C1) (fig.4.3).Torsorul de reducere n punctul teoretic de contact, O, alfortelor exterioare OT este constituit din R i OM iar al

forelor de legtur 0 este format din R i 0M .

OO M

RT

00

M

R (4.8)

Condiia de echilibru se exprim cu ecuaiilevectoriale (4.9), care n cazul general conduc la aseecuaii scalare de echilibru.

=+

=+

0M

0R

0OM

R (4.9)

Fig. 4.2

4.2.2. LEGTURILE RIGIDULUI

Legturile rigidului sunt: reazemul simplu, articulaia, ncastrarea iprinderea cu fir.

n studiul legturilor rigidului se urmresc douaspecte: unul geometric,referitor la numrul gradelor de libertate i altul mecanic legat de elementelemecanice cu care se nlocuiesc legturile; pentru fiecare legtur se vor studia

cele douaspectele legate de: numrul gradelor de libertate rmase rigidului dup aplicarea legturii,

indicnd posibilitile de micare independent; forele i momentele pe care le introduce legtura.

ntruct se neglijeazforele de frecare care se dezvoltn legturi, acestelegturi se numesc ideale saulegturi frfrecare.

4.2.2.1. REAZEMUL SIMPLU

Reazemul simplu este legtura prin care un punct al rigidului este obligatsrmnpermanent pe o suprafadat.

Datoritrigiditii, corpurile rezemate nu se pot ntreptrunde i deci dincele ase micri simple pe care le poate efectua un rigid liber, rezemareasuprim translaia dup direcia normal la planul tangent comun celor doucorpuri n contact, numit plan de rezemare.

Un rigid rezemat are cinci grade de libertate. Considernd suprafaa derezemare ca fiind planul Oxy, cele cinci grade de libertate ale rigidului sunt: treirotaii n jurul axelor Ox, Oy, Oz i dou translaii n lungul axelor Ox, Oy,

translaia dup axa Oz fiind suprimat de legtur (fig.4.3.a). Din punct devedere geometric, reazemul reduce numrul gradelor de libertate cu o unitate.

37


38/131

Efectul mecanic al sistemului de fore aplicat corpului (C) este reprezentatprin torsorul acestora, n punctul teoretic de contact O, )( OO M,RT . Cele douelemente ale torsorului se descompun dupdoudirecii: normala comuncelor doucorpuri n punctul de rezemare On; dreptele Ot1 i Ot2, obinute ca intersecie dintre planul [P], tangent n

punctul teoretic de contact cu planele definite de normala Oni vectorul R ,respectiv Oni vectorul OM (fig.4.3.b).

Rezult:

+=

+=

tnO

tnO

MMM

RRRT (4.10)

Componenta nR produce deplasarea corpului(C), pe direcia normalei la

legtur.Componenta tR

produce deplasareacorpului (C) pe corpullegtur (C1), dupdirecia Ot1, situat n

planul tangent [P],numitalunecare.

Componenta nM produce rotirea corpului(C) pe corpul legtur(C1), n jurul normaleicomune celor doucorpuri, On, numitpivotare.

Fig. 4.3

Componenta tM produce rotirea corpului (C) pe corpul legtur(C1), njurul axei Ot2, situatn planul tangent [P], numitrostogolire.

Dintre deplasrile posibile ale rigidului (C), legtura (C1) nu poate limitadect deplasarea pe direcia normal la legtur,datorit rigiditii celor doucorpuri, n sensul ptrunderii corpului (C), n corpul (C1), dac legtura esteunilateral i n ambele sensuri (de a ptrunde i de a prsi legtura) daclegtura este bilateral. Lipsa frecrii dintre cele dou corpuri creaz

posibilitatea efecturii celorlalte micri.Reazemul simplu acioneaz asupra corpului (C), cu o for de legtur

normal pe suprafaa de rezemare, N, numit reaciune normal. Privitor lasensul reaciunii normale N, acesta poate fi stabilit numai n cazul legturiiunilaterale, cnd sensul lui Neste acela n care corpul poate prsi legtura.

Torsorul n O, al forelor de legtureste format din reaciunea normal,)N(0 .

Condiia de echilibru este exprimatprin ecuaiile vectoriale:

38


39/131

===

=+

0

0N

tnt

n

MMR

R (4.11)

Reazemul simplu se noteaz simbolic printr-un triunghi, avnd unul din

vrfuri n punctul de rezemare iar latura opus, perpendicular pe reaciuneanormal(fig.4.3.c).

4.2.2.2. ARTICULAIA

Articulaia este legtura prin care rigidului i se fixeaz un punct, i senumete articulaie sferic, sau o ax, caz n care se numete articulaiecilindric.

4.2.2.2.1. ARTICULAIA SFERIC

Un rigid (C) este articulat sferic, cnd o extremitate acestuia esteprevzut cu o sfera careptrunde ntr-o cavitateasemntore, practicat ncorpul legtur(C1).

Poziia unui rigid cu unpunct fix (fig.4.4.a) estedeterminat de trei parametri

scalari, corpul avnd trei gradede libertate: rotaiile corpului(C), n raport cu cele trei axeale sistemului de coordonate.

Din punct de vederegeometric, articulaia sfericreduce numrul gradelor de libertate ale unui rigid,cu trei uniti (translaiile corpului (C), n raport cu cele trei axe de coordonate).

Fig. 4.4

Pentru studiul echilibrului rigidului se consider torsorul forelor directaplicate n puntul O, )( OO M,RT . Rezultanta forelor exterioare, R are

tendina de a imprima corpului (C), o deplasare, n raport cu corpul legtur(C1). Momentul rezultant OM tinde sroteasccorpul (C), n raport cu legtura(C1). Datorit lipsei frecrilor n articulaia sfericnu exista cupluri care s seopunacestei micri.

Conform principiului aciunii i al reaciunii, efectul mecanic alarticulaiei sferice asupra rigidului (C) este o for R , de mrime i direcienecunoscut (fig.4.4.b). Se prefer s se lucreze cu proieciile forei R pedireciile axelor sistemului de coordonate Oxyz: zyx R,R,R .

Torsorul forelor de legtur n punctul O este constituit din rezultantaforelor de legtur, )RRRR( zyx0 ++= . Condiia de echilibru este

exprimatprin ecuaiile vectoriale:

39


40/131

=

=+

0

0R

OM

R (4.12)

sau prin cele ase ecuaii scalare de echilibru:

(4.13)

====+=+=+

00R;0R;0R zyx

zyx

zyx

MMMRRR

4.2.2.2.2. ARTICULAIA CILINDRIC

n cazul articulaiei cilindrice spaiale, extremitatea O, a corpului (C) esteprevzut cu un cilindru (fus), montat coaxial n interiorul unei caviti, deasemenea cindric(lagr), practicatn corpul legtur(C1), n raport cu care se

poate roti i deplasa (fig.4.5.a).Cele dou micri

posibile, rotaia i translaia nraport cu axa articulaiei Oz,ale ale corpului (C) n raportcu legtura (C1) constituie celedou grade de libertate alerigidului.

Din punct de vedere

geometric, articulaiacilindric spaial reducenumrul gradelor de libertateale rigidului, cu patru uniti.

Din punct de vederemecanic, o articulaie cilindricpoate fi nlocuit cu o forR i un cuplu demoment 0M , ambele de mrimi necunoscute, situate ntr-un plan normal la axaarticulaiei Oz. Se lucreazcu componentele pe axe ale celor douelemente aletorsorului forelor de legtur(fig.4.5.b.)

Fig. 4.5

+=

+=

yx0

yx0

MMM

RRR (4.14)

Cum torsorul n punctul O al forelor direct aplicate rigidului (C),exprimat prin componente pe axele sistemului triortogonal Oxyzeste:

++=

++=

zyxO

zyxO

MMMM

RRRRT (4.15)

condiiile vectoriale de echilibru pot fi exprimate cu ajutorul relaiilor (4.9).

40


41/131

Proiectate pe axele sistemului Oxyz, ecuaiile vectorile (4.9) conduc laase ecuaii scalare de echilibru:

(4.16)

=

=+

=+

00R

0R

y

x

z

y

x

RR

R

=

=+

=+

00M

0M

y

x

z

y

x

MM

M

Pentru evitarea blocrii fusului n lagr sunt luate msuri att din punct devedere constructiv, ct i al solicitrii rigidului, astfel nct momentul dinlegtur, 0M s fie nul. n aceste condiii, torsorul forelor de legtur este

constituit doar din rezultanta forelor de legtur, )RRR( yx0 += . iar ecuaiile

scalare de echilibru (4.16) devin:

(4.17)

====

=+=+

00R;0R yx

zyxz

yxMMMR

RR

n aplicaiile practice se ntlnete cazul cnd rigidul, articulat cilindriceste acionat de un sistem de fore, situate ntr-un plan normal la axa de rotaiesau corpul este o placplan, normal la axa articulaiei (fig.4.6.a). Este cazulrigidului n plan, cnd traslaia n lungul axei nefiind posibil, singura micarermne rotaia n raport cu axa articulaiei, corpul avnd un singur grad delibertate.

Articulaia cilindric plan limiteaz deplasarea pe direcia normal laaxa articulaiei, introducnd ntr-o problem de statica rigidului, dounecunoscute: mrimea reaciunii R i direcia acesteia, dat de unghiul ,

format cu o direcie de referin. Se prefer s se lucreze cu componentelereaciunii R pe dou direcii perpendiculare (orizontal i vertical), H i V (fig.4.6.b). n acest caz, elementele torsorului forelor direct aplicate i alforelor de legtursunt:

)VHR(

k

0 +=

==

+=

OzO

yx

O MMM

RRR

T (4.18)

Condiiile vectoriale deechilibru ale rigidului n plansunt:

=

=+

0

0R

OM

R (4.19)

Fig. 4.6

Proiectate pe axele sistemului Oxy, n care se afl rigidul, ecuaiilevectoriale de echilibru (4.19) devin:

41


42/131

(4.20)

=

=+=+

0

0V;0H

O

yx

M

RR

Reprezentarea simbolicse realizeazca i la reazem, printr-un triunghi,

cu un cerc n vrf, n care converg cele doureaciuni Hi V (fig.4.6.c).

4.2.2.3. NCASTRAREA

ncastrarea este legtura prin care un corp este fixat n alt corp (corpullegtur), astfel nct nu este permisnici o deplasare. Din definiia ncastrriirezultcsunt suprimate toate gradele de libertate ale rigidului (C).

Pentru studiul forelor i momentelor dintr-o ncastrare este necesar sseia n considerare, forele de legtur locale iR , pe care legtura (C1) le exercit

asupra rigidului (C), n regiunea n care acestea vin n contact (fig.4.7.a).Torsorul n punctul O (de obicei, centrul de greutate al seciunii

transversale a corpului n dreptul ncastrrii) al forelor direct aplicate, OT i celal forelor de legtur, 0 auexpresiile:

=

=

=

=

iii0

ii

0

iii

ii

R'rM

RR

Fr

F

O

OM

RT

(4.21)

Vectorii R i 0M aumrimile, suporturile i sensurile, necunoscute i n consecin vor fi nlocuii

prin componente dupdirecii cunoscute.

Fig. 4.7

Cnd forele direct aplicate rigidului ncastrat constituie un sistem de forespaial, ncastrarea se numete spaial, iar cnd sistemul de fore careacioneazasupra rigidului constituie un sistem de fore coplanar sau corpul esteo placplan, ncastrarea se numeteplan.

Din punct de vedere geometric, ncastrarea spaial reduce numrulgradelor de libertate cu ase uniti.

n cazul ncastrrii spaiale, elementele torsorului n O, al forelor delegturR i 0M se exprimprin componentele pe cele trei axe ale sistemuluiOxyz, care se opun celor ase posibiliti de micare, fiind introduse ase

necunoscute scalare: (fig.4.7.b). Elementeletorsorului n punctul O, ale forelor direct aplicate i de legturau expresiile:zyxzyx M,M,M,R,R,R

42


43/131

++=

++=

zyxO

zyxO

MMMM

RRRRT

++=

++=

zyxO

zyxO

MMMM

RRRR (4.22)

Ecuaiile scalare de echilibru ale rigidului ncastrat spaial devin:

(4.23)

=+

=+

=+

0R

0R

0R

z

y

x

z

y

x

R

RR

=+

=+

=+

0M

0M

0M

z

y

x

z

y

x

M

MM

Din punct de vedere geometric, ncastrarea plan reduce numrulgradelor de libertate cu trei uniti.

n cazul ncastrrii plane, considernd ca plan al forelor, planul Oxy,elementele torsorului n O, ale forelor de legtur, R i 0M se exprim prin

componentele pe axele sistemului Oxy, care se opun celor trei posibiliti demicare, fiind introduse trei necunoscute scalare: H, V i M0 (fig.4.8).Elementele torsorului n O, ale forelor direct aplicate i de legtursunt:

==

+=

==

+=

kMMM

VHR

k

0z0

0

OzO

yxO

MMM

RRRT

(4.24)

Ecuaiile scalare de echilibru ale rigiduluincastrat plan sunt:

=+

=+

=+

0M

0V

0H

0O

y

x

M

RR

(4.25)

Fig. 4.8

4.2.2.4. PRINDEREA CU FIR

Legtura prin fir este o legturspecial, fiind echivalent cu o rezemareunilaterala unui punct material, pe o sferde razegalcu lungimea firului. Prindereacu fir se nlocuiete cu o for care are casuport, firul, sensul fiind ndreptat spre

punctul de suspendare al firului (ntinde

poriunea de fir, legatde rigid (fig.4.9). Fig. 4.9

43


44/131

Aplicaii. 1. O bar AB de greutateneglijabil este suspendat de un cablu CD isuport o ncrcturG = 400 daN, n punctul E.ExtremitileAiBale barei sunt n contact cu doi

perei verticali netezi. Dimensiunile fiind indicate

n figura 4.10, sse determine reaciunile pereilordinAiB, precum i tensiunea din cablul CD.

Fig. 4.10

Rezolvare.Conform axiomei legturilor, senlocuiesc reazemele din A i B, cu reaciunilenormale AN i BN , perpendiculare pe pereii

verticali iar cablul CD, cu tesiunea CT , avnd ca

suport, cablul. Ecuaiile scalare de echilibru sunt:

=+=

==

==

0N24G16T10:0M

0GT:0F

0NN:0F

BCi

iA

Ci

iy

BAi

ix

Valorile reaciunilor sunt: TC= G = =400 daN; NA= NB= (16G-10T)/24 = 100 daN

Observaie: Condiia de echilibru este ca torsorul forelor direct aplicate i din legturi,calculat ntr-un punct oarecare A s fie nul i avnd n vedere c sistemul de fore careacioneazasupra bareiABeste n plan (Oxy), rezultcele trei ecuaii scalare de mai sus.

2.O placomogende greutate P avnd forma i dimensiunile indicate n figura 4.11este rezematn puncteleA,Di F. Sse calculeze reaciunile din reazeme.

Rezolvare.Conform axiomei legturilor se nlturlegturile, introducndu-se forelede legtur, respectiv reaciunile reazemelor care au direcie normalla suprafaa plcii.

Pentru calculul reaciunilor se utilizeazrelaiile (4.29):Pentru scrierea ecuaiilor de

momente n raport cu axele Oxi Oyeste necesar determinarea poziieicentrului de greutate C a plcii,definitde coordonatelexCiyC.

Placa reprezentat poate fi

considerat ca fiind constituit dindou plci ptrate cu centrele degreutate C1 i C2, i laturile a,respectiv 2a, avnd urmtoarelecaracteristici:

Fig.4.11.

===

===

ay;a2x;a4A:2Corpul

a5,1y;a5,0x;aA:1Corpul

122

2

112

1

a7,1

a5

a5,8

a4a

a2a4a5,0a

AA

xAxAx

2

3

22

22

21

2211C ==

+

+=

+

+=

a1,1a5

a5,5

a4a

aa4a5,1a

AA

yAyAy

2

3

22

22

21

2211C ==

+

+=

+

+=

44


45/131

Ecuaiile de echilibru ale plcii sunt:

=+=

=+=

=++=

0xPa3NaN:0M

0yPaNa2N:0M

0PNNN:0F

CDAi

iy

CFD

i

ix

FDAi

iz

respectiv

=+

=+

=++

0aP7,1aN3aN

0aP1,1aNaN2

0PNNN

DA

FD

FDA

Valorile reaciunilor devin:

P2,0N;P45.0N;P35,0N FDA ===

3.ScaraAB, de lungime li greutate G, fixatn captulA, printr-o articulaie, situatla nlimea hdeasupra solului poate fi ridicatcu ajutorul unui cablu, fixat n captul Bitrecut peste un scripete mic C, situat la aceai nlime (fig.4.12). Distana dintre puncteleAiC, fiind AC = l, s se determine mrimea forei Fdin cablu, necesar ridicrii scrii ireaciunile articulaieiA. Se dau: G = 40 daN, l = 4 m, h = 3,5 m.

Rezolvare. Introducnd forele de legtur din A i B, reaciunile orizontal ivertical, AA V,H , respectiv tensiunea din cablul, T i avnd n vedere c forele careacioneazasupra scrii sunt coplanare, ecuaiile scalare de echilibru devin:

=+=

=+=

=+=

02

cosl2Tcos2

lG:0M

02

cosTGV:0F

0

2

sinTH:0F

iiA

Ai

ix

A

i

ix

n sistemul ecuaiilor de echilibru seadaug relaia, FT= , din considerentul ctensiunea din cablu este constant i egalcu fora care acioneaz n captul liber alacestuia. Rezolvnd sistemul rezultvalorile reaciunilor:

Fig. 4.12

daN352

cosFGV;daN87,22

sinFH

;daN77,5

2cos

cos

4

GF;

34

5,3arcsin

AA ====

====

4. O macara de cale ferat are ecartamentul AB = 1,5 m. Greutatea platformei,corpului i braului macaralei precum i poziiile acestora fa de planul median alecartamentului sunt indicate n figura 4.13. Sarcina maximla crligul macaralei este de 50

kN, raza maxim de aciune fiind de 5 m. S se determine mrimea contragreutii Q idistanax, fade planul median, astfel ca macaraua snu se rstoarne n situaiile de lucru,cele mai defavorabile.

45


46/131

Rezolvare. Mrimea contragreutii Q ct i poziia acesteia fa de planul medianrezult din condiia defuncionare a macaralei ncele mai defavorabile situaii.

Fig. 4.13

1. Macaraua frsarcin la crlig, cutendina de rsturnare

pe roataA( 0NA = ).2. Macaraua cu sarcin

maxim la crlig iraz de aciunemaxim, cu tendinade rsturnare pe roata

B( 0NB = ).Ecuaiile de echilibru

limit pentru cele dousituaii sunt:

=++++=

=+=

0)2

5,15(50)

2

5,15,2(5

2

5,130)1,0

2

5,1(10)

2

5,1x(Q:0M

0)5,25,1(52

5,130)1,0

2

5,1(10)

2

5,1x(Q:0M

iiB

iiA

Rezult: m22,1x,kN66,96Q ==

4.3. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGTURI CU FRECARE

4.3.1. FRECAREA DE ALUNECARE

Se considercazul cnd torsorul forelor direct aplicate i cel al forelor delegturcare acioneazasupra corpului (C), n punctul teoretic de contact Oauca elemente numai fora rezultant.

)RRR(T tnO += )FNR( f0 += (4.26)

n cazul echilibrului cu frecare (fig.4.14), reaciunea R este nclinatfade normala On, deoarece, pe lngcomponenta normalNare i o componentn planul tangent, fF , egali de sens contrar, componentei pe aceastdirecie,

a rezultantei forelor direct aplicate, tR . Aceastfor fF se numetefordefrecare de alunecare, are ca punct de aplicaie, punctul teoretic de contact O,direcia corespunztoare tendinei de micare, iar sensul, opus acestei tendine.Fora de frecare de alunecare nu este o forpreexistent, ea se produce numaicnd corpul are tendina de alunecare.

Din cercetrile experimentale fcute asupra frecrii de alunecare,Coulomb i-a formulat concluziile, cunoscute sub numele de legile frecrii.

46


47/131

1.Mrimea forei de frecare maxim, corespunztoare strii de echilibrulimit, este proportional cu mrimea reaciunii normale, coeficientul de

proporionalitate 1< se numete coeficient de frecare de alunecare.

2.n prim aproximaie, coeficientul de frecare de alunecare nu depinde deviteza de alunecare i de mrimea reaciunii normale; depinde de natura igradul de prelucrare al suprafeelor n contact.

Prin stare de echilibru limitse definete starea mecaniccaracterizatdefaptul cforele i fac echilibru iar micarea este iminent.

n baza acestor legi, fora de frecare de alunecare are expresia:

=

=

NF

0FNF

maxf

minff

(4.27)

Fora minim de frecare se realizeaz atunci cnd nu exist tendin de

alunecare, iar cea maxim, n momentul nceperii micrii.Din figura 4.14 putem scrie:

tgNF maxf = (4.28)

Din relaiile (4.27) i (4.28) rezult:

tg= (4.29)

unde se numete unghi de frecare.Prin rotirea complet a suportului

reaciunii limR n jurul normalei On se obine

conul de frecare avnd ca ax, normala comunOni unghiul la vrf. 2.

Corpul (C) este n echilibru cndreaciunea R este situatn interiorul conului de

frecare, sau la limit, pe pnza acestuia.Fig. 4.14

DupCoulomb, forele de frecare i au originea n existena la suprafaacorpurilor a unor asperiti, care n cazul a dou corpuri n contact sentreptrund. Cnd unul dintre corpuri se pune n micare, aceste asperiti suntstrivite, fora de frecare fiind tocmai fora care se opune acestor striviri.

Observaii Conform teoriei lui Coulomb, dac se reduc nlimile asperitior, fora de

frecare de alunecare ar urma s scad, fapt contrazis de realitate, ntructfora de frecare de alunecare la un moment dat crete datorita intervenieialtor fenomene, cum ar fi forele de adeziune intermoleculare.

Extinznd domeniul experienelor fcute de Coulomb se constat variaiacoeficientului de frecare , cu viteza, acesta scznd cu creterea vitezei.Valoarea coeficientului de frecare pentru corpurile n repaus 0, numitcoeficient de aderen este mai mare dect coeficientul de frecare pentrucorpurile n micare , numit coeficient de frecare dinamic. n acest sens se

47


48/131

prezintdoucazuri: oel pe oel - 0= 0,25, = 0,1; stejar pe stejar - 0=0,55, = 0,35.

4.3.2. FRECAREA DE ROSTOGOLIRE

Se considercazul cnd torsorul forelor direct aplicate i cel al forelor delegtur care acioneaz asupra corpului (C), n punctul teoretic de contact O(fig.4.15) au expresiile:

=

+=

tO

tnO

MM

RRRT

=

+=

r0

f0

MM

FNR (4.30)

Pentru echilibru este necesar ca:

=+rM0R

tMR (4.31)

Momentul tM tinde s producrostogolirea corpului (C) pe corpul (C1) ilui i se opune momentul de frecare derostogolire rM .

Aceast situaie este ntlnit npractic n cazul roilor de autovehicule, al

bilelor de rulmeni, etc.

Fig. 4.15

Pentru studiul fenomenului frecrii derostogolire (n cazul roilor de autovehicule)se considero roatde razR, acionatdefora de traciune Fi de grutatea G pe ax(fig.4.16).

n figura 4.16.a se presupune contactul dintre roat i planul orizontal,realizat ntr-un singur punct. n acest punct nu se pot introduce dect reaciuneaNi fora de fr

Date post:	03-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	cristian-vrinceanu
View:	258 times
Download:	1 times

Carte Mecanica

Documents