MECANICA PARTIAL 20112. Cinematica miscarii relative a punctuluin practica se ntlnesc situatii cnd un corp, asimilabil cu un punct material, se afla n miscare fata de un sistem de referinta care, la rndul lui, este mobil n raport cu un sistem de referinta fix. O astfel de miscare a punctului se numeste miscare relativa. n acest caz se cer a fi determinati parametrii cinematici ce caracterizeaza miscarea punctului fata de reperul fix, atunci cnd se cunosc parametrii cinematici ce caracterizeaza miscarea punctului n raport cu reperul mobil si parametri cinematici ce caracterizeaza miscarea reperului mobil n raport cu cel fix. Se impune definirea urmatoarelor notiuni importante : a) Miscarea absoluta este miscarea punctului material fata de reperul fix. Traiectoria, viteza si acceleratia punctului n aceasta miscare se numesc corespunzator absolute. b) Miscarea relativa este miscarea punctului n raport cu reperul mobil. Traiectoria, viteza si acceleratia punctului n aceasta miscare se numesc corespunzator relative. c) Miscarea de transport este miscarea n raport cu reperul fix a unui punct solidar cu reperul mobil care n momentul considerat coincide cu punctul a carui miscare se studiaza. Traiectoria, viteza si acceleratia n aceasta miscare se numesc corespunzator de transport. Tot miscare de transport se numeste si miscarea reperului mobil fata de cel fix. Se considera n figura 3.1 un punct material M aflat n miscare relative fata de reperul Oxyz si n miscare absoluta fata de reperul fix O1x1y1 z1 . Presupunnd cunoscute ecuatiile miscarii relative a punctului (ecuatiile parametrice ale traiectoriei relative a punctului): x = x(t) y = y(t) (9.2) z = z(t) si ecuatiile de miscare ale reperului mobil fata de cel fix:

Se cere determinarea ecuatiilor parametrice ale traiectoriei punctului n raport cu reperul fix:

Este evident relatia vectoriala r1 = r10 + r Proiectnd (9.4) pe axele reperului fix, tinnd seama de tabloul cosinusurilor directoare,

obtinem ecuatiile miscarii absolute a punctului sau ecuatiile parametrice ale traiectoriei absolute a punctului: Expresiile (9.5) pentru x = const , y = const , z = const, devin ecuatiile parametrice ale traiectoriei de transport ale punctului la momentul t (cnd se ating aceste coordonate). a) Derivata absoluta (totala) si relativa (locala) a unui vector Se considera n figura 9.2 un vector variabil u avnd proiectiile u x , u y , uz , pe axele reperului mobil Oxyz. Cunoscnd viteza unghiulara de transport se cere determinarea derivatei n raport cu timpul a vectorului u .Se poate scrie: de unde prin derivare obtinem: Primul membru al acestei egalitati reprezinta derivata totala sau absoluta a vectorului u si se noteaza cu dt | du sau u . Termeni ce figureaza n prima paranteza din membrul al doilea al egalitatii (9.7), reprezinta derivata vectorului u presupunnd versorii i, j, k constanti. Aceasta derivata se numeste derivata locala sau relativa a vectorului si masoara viteza de variatie a acestuia nregistrata de un observator solidar cu reperul mobil. Derivata locala se noteaza sau Lund in considerare formulele lui Poisson: cea de a doua paranteza devine:

Lund n considerare (9.8) si (9.10) expresia derivatei absolute a unui vector, definit n reperul mobil, este Observatie: pentru rezulta:

adica derivata absoluta a vectorului este egala cu derivata sa relativa. b) Compunerea vitezelor n miscarea relativa Se presupun cunoscute: - legea de variatie a vectorului pozitie r = r( t) al punctului M in reperul mobil; - viteza v0 a origini reperului mobil; - viteza unghiulara instantanee _ a reperului mobil. Se cere determinarea vitezei absolute a punctului M. Daca se deriveaza relatia (9.4) n raport cu timpul si se tine seama ca vectorul este definit prin proiectiile sale pe axele triedrului mobil, se obtine: (1) unde: este vectorul viteza absoluta a punctului este viteza relativa a punctului. reprezinta viteza unui punct solidar cu triedrul mobil, avnd vectorul de pozitie r , deci este viteza de transport a punctului. Relatia (1) devine: unde: Formula exprima legea de compunere a vitezelor n miscarea relativa a punctului conform careia: viteza absoluta a unui punct este egala cu suma vectoriala dintre viteza relativa si viteza de transport a punctului. c) Compunerea acceleratiilor n miscarea relativa a punctului Se presupun cunoscute: mobil; fix. Se determina acceleratia absoluta a punctului. Pentru aceasta se deriveaza relatia (9.13) n raport cu timpul: (2) In relatie: este acceleratia absoluta a punctului; este acceleratia originii reperului mobil; este acceleratia relativa a punctului; - legea de variatie a vectorului de pozitie r = r( t) al punctului M n reperul - acceleratia 0 a a origini reperului mobil; - viteza unghiulara si acceleratia unghiulara _ ale reperului mobil fata de cel

este acceleratia unghiulara a reperului mobil fata de cel fix. Astfel relatia (2) devine: (3) Termenul din paranteza dreapta reprezinta acceleratia unui punct solidar cu triedrul mobil, avnd vectorul de pozitie r . Aceasta acceleratie este deci acceleratia de transport a punctului M si se noteaza . Termenul se numeste acceleratie complementara sau acceleratia lui Coriolis si se noteaza . Cu aceste precizari relatia (3) devine (4) si exprima legea compunerii acceleratiilor n miscarea relativa conform careia acceleratia absoluta a unui punct este egala cu suma vectoriala dintre acceleratia relativa, acceleratia de transport si acceleratia lui Coriolis . In (4):

Observatii: a) Acceleratia lui Coriolis este nula daca: caz banal reperul mobil executa o miscare de translatie fata de reperul fix; adica viteza relativa este paralela cu vectorul omega. De exemplu cazul unui punct ce se deplaseaza pe generatoarea unui cilindru aflat n miscare de rotatie n jurul axei sale (figura alaturata). b) n cazul miscari relative plane (punctul M se misca ntr-un plan mobil pe un alt plan fix) valoarea acceleratiei lui Coriolis este: iar directia si sensul vectorului acceleratie complementara se obtin rotind vectorul vr cu 90 de grade n sensul dat de viteza unghiulara de transport omega. c) Daca mobil Oxyz. punctul se afla n repaus relativ fata de reperul

3. Dinamica micrii absolute a punctului material liberProblemele generale ale dinamicii punctului material se rezolva folosind principiul al doilea al mecanicii, sub forma: unde m este masa punctului material, a - acceleratia sa si F rezultanta fortelor care actioneaza asupra lui. Relatia este cunoscuta si sub numele de ecuatia fundamentala a

dinamicii. n dinamica se admite ca forta F depinde, n cazul general, de vectorul de pozitie r al punctului, de viteza v i explicit de timpul t: Deoarece: ecuaia devine: (1) Cele mai multe probleme de dinamica punctului liber se refera la determinarea ecuatiei vectoriale sau ecuatiilor scalare ale traiectoriei punctului, pp cunoscuta expresia fortei F, pozitia si viteza punctului la un moment dat. Determinarea ecuatiei vectoriale a traiectoriei, se obtine prin integrarea ecuatiei vectoriale (1). De obicei se recurge la scalarizarea ecuatiei (1) proiectnd-o pe axele unui sistem de referinta cartezian, sistem de coordonate cilindrice, sau pe axele triedrului lui Frenet. Se obtin astfel ecuatiile diferentiale ale miscarii n diferite sisteme de coordonate: a) n coordonate carteziene: (2) b) n coordinate cilindrice: (3) c) in coordinate intrinseci: (4)

Daca traiectoria punctului este plana (z=0), n sistemele de ecuatii enuntate anterior nu mai apar ultimele ecuatii. Daca traiectoria este rectilinie avem o singura ecuatie: Cu ajutorul ecuatiilor (2)-(4) putem rezolva cele doua probleme fundamentale (generale) ale dinamicii. a) Prima problema fundamentala a dinamicii punctului material

Se dau ecuatiile de miscare ale punctului, sub una din formele: (5) (6)

si se cere sa se determine forta F care imprima punctului cu masa m miscarea data. Din ecuatiile (2)-(4) rezulta corespunzator proiectiile fortei si ncontinuare modulul si orientarea acesteia:

b) A doua problema fundamentala a dinamicii punctului material Se considera cunoscuta variatia fortei F n functie de timp, pozitia si viteza punctului: respectiv varia tiile proiectiilor acestei forte pe cele trei axe ale sistemului de referinta ales. Se studiaza aceasta problema n sistemul de referinta cartezian, n celelalte sisteme de referinta rezolvarea fiind similiara:

Sunt date si conditiile initiale ale miscarii, sau la un moment dat, respectiv coordonatele punctului si proiectiile vitezei pe cele trei axe: Se cere sa se determine ecuatiile de miscare ale punctului: Problema se rezolva utiliznd ecuatiile diferentiale (2):

Prin integrarea sistemului de 3 ecuatii diferentiale de ordin II rezulta coordonatele punctului n functie de timp si de 6 constante de integrare: (7) n scopul determinarii celor 6 constante de integrare se deriveaza n raport cu timpul relatiile (7):

(8) Pentru aflarea celor 6 constante de integrare se impune conditia ca relatiile (7) si (8) sa verifice conditiile initiale ale miscarii. Rezulta un sistem de 6 ecuatii cu 6 necunoscute:

(9.1) (9.2) Prin rezolvarea sistemului (9) se determina cele 6 constante de integrare n functie de conditiile initiale ale miscarii: Se introduc aceste constante de integrare n (10.17) rezultnd ecuatiile de miscare :

sau: 4. Miscarea unui punct sub actiunea unei forte centrale ] O forta ce actioneaza asupra unui punct material este numita centrala daca suportul ei trece n permanenta printr-un punct fix numit centrul fortelor. Miscarea punctului sub actiunea unei forte centrale se numeste miscare centrala. Se noteaza cu M pozitia punctului la un moment dat, cu O centrul fortelor, cu vector versorul vectorului de pozitie r = OM si cu F scalarul fortei. Se poate scrie: (1) Daca F > 0 forta F este repulsiva (de respingere), iar daca F < 0 forta centrala se numeste de atractie sau atractiva. Pentru demonstrarea unor proprietati ale miscarii centrale se pleaca de la ecuatia fundamentala a dinamicii: (2) care se nmulteste vectorial la stnga cu r . Deoarece r si F sunt vectori coliniari: (3) ntruct, (3) Relatia (3), dup mprire cu m devine: (4) Rezult c: (5) Daca se nmulteste scalar relatia (5) cu r obtinem ecuatia vectoriala a unui (6)

plan:

Fie Cx ,Cy ,Cz proiectiile vectorului constant C si x, y, z coordonatele punctului M ntr-un sistem de referinta cu originea n centrul fortelor. Atunci ecuatia (6) mai poate fi scrisa: (7) Relatia (7) reprezinta ecuatia unui plan care trece prin origine si care este normal la vectorul C Deducem urmatoarea proprietate a miscarii centrale: a) Traiectoria unui punct material liber actionat de o forta centrala este plana, miscarea avnd loc ntr-un plan ce contine centrul fortelor. n continuare pentru studiul miscarii se poate alege un sistem de coordonate polare ca n figura de mai jos:

Proiectnd ecuatia (1) pe directiile versorilor si n se obtin ecuatiile diferentiale ale miscarii centrale : (8) A doua ecuatie a sistemului (10.30) se poate pune sub forma: (9) Cum r este finit rezulta: de unde, (10) (11)

Marimea se numeste viteza areolara. nlocuind n expresia vitezei areolare vn = r derivat rezulta: (12) Relatia (10.34) exprima cea de a doua proprietate a miscarii centrale: b) n miscarea centrala viteza areolara este constanta, sau raza vectoare matura arii egale n intervale de timp egale. Constanta C care intervine n relatiile (10.33) si (10.34) poarta numele de constanta ariilor si se determina tinnd seama de conditiile initiale ale miscarii: (13) Se nlocuieste a doua ecuatie a sistemului (10.30) cu ecuatia (10.33): (14)

Solutiile r = r( t) si = ( t) ale acestui sistem reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei sau ecuatiile de miscare n coordonate polare. Elimnnd timpul t se obtine ecuatia traiectoriei sub forma explicata r = r( ) sau implicita f ( r, ) = 0 . Atunci cnd se urmareste determinarea ecuatiei polare a traiectoriei este mai practic sa se nlocuiasca sistemul de ecuatii diferentiale cu o singura ecuatie diferentiala avnd functia r si varabila . Sistemul (14) se pune sub forma: (15) Tinnd seama de prima ecuatie (15) avem succesiv: (16) (17) nlocuind (17) n ecuatia a doua din (15) si facnd notatia: (18) rezulta o ecuatie diferentiala de ordinul II cunoscuta sub numele de ecuatia lui Binet: Aceasta ecuatie rezolva problema determinarii directe a ecuatiei polare a traiectoriei. Prin integrare rezulta: (19) Determinarea constantelor de integrare se face impunnd conditiile initiale: (20) Una din ecuatiile pentru calculul constantelor de integrare rezulta imediat (21) Expresia vitezei la un moment dat n functie de unghiul polar este: A doua ecuatie necesara determinarii constantelor de integrare va fi: (23) Din (21) si (23) se obtin constantele de integrare C1 s i C2 functie de r0 , v0 , 0 . nlocuindu-le n (19) rezulta ecuatia polara a traiectoriei: (24) Daca intersecteaza si ecuatiile parametrice ale traiectoriei atunci prima relatie din (15) se pune sub forma: (25) (22)

care prin integrare conduce la: Introducnd expresia (

(26)0

Constanta de integrare C3 se deduce impunnd conditia ca la t = 0, =

.

)

n (26) se obtine: (27)

A doua ecuatie de miscare rezulta nlocuind (27) n (24):

5. Dinamica punctului material supus la legaturiStudiul miscarii punctului material supus la legaturi se reduce la studiul miscarii unui punct material liber, nlocuind legaturile, conform axiomei legaturilor, cu elemente mecanice corespunzatoare, numite forte de legatura sau reactiuni, care se considera ca actioneaza asupra punctului alaturi de fortele date. Legaturile punctului material sunt aceleasi ca n Statica, adica rezemarea pe o suprafata sau pe o curba. n dinamica se pot ntlni si legaturi mobile sau deformabile, adica legaturi ai caror parametrii geometrici variaza n timp. n cele ce urmeaza se vor considera numai legaturi fixe si indeformabile.

Forta de legatura, n cazul unui punct material rezemat pe o suprafata aspra (fig. de mai sus) are o componenta normala N, numita reactiune normala, avnd directia normalei la suprafata si marimea N necunoscuta si o componenta tangentiala T , numita forta de frecare, avnd directia si sensul contrar vectorului viteza si marimea T egala, conform legilor lui Coulomb n cazul frecarii uscate, cu produsul dintre coeficientul frecarii de alunecare si marimea reactiuniinormale (T= N ). n cazul unui punct aflat n miscare pe o curba aspra (), forta de legatura are componenta normala N situata n planul normal la curba, determinarea ei necesitnd cunoasterea a doi parametrii care sa-i precizeze directia si marimea, si componenta tangentiala T dirijata n sens contrar vitezei, de modul T = N . n amndoua cazurile ecuatia vectoriala a miscarii este: (1) unde R (Rx ,Ry ,Rz) este rezultanta fortelor exterioare date care actioneaza asupra punctului. a) Daca punctul se misca pe o suprafata aspra de ecuatie f

( x,y,z)

= 0 , atunci:

atunci:

b) Daca punctul se misca pe o curba de ecuatii: f1( x, y,z) 0 = , f2 ( x, y,z) 0 = ,

Proiectnd pe axele sist de coord Oxzy obtinem ecuatiile miscarii la care se adauga ec. Legaturii, prin integrare tinand seama de conditiile initiale ale miscarii, rezulta ecuatiile de miscare x=x(t), y=y(t), z=z(t) si dupa caz, parametrii lambda sau lambda 1 su lambda2 cu f1 carora se calculeaza reactiunea normala.

6. Pendulul matematic simplu 7. Dinamica miscarii relative a punctului materialSe considera n figura 10.4 un punct material M de masa m, asupra caruia actioneaza un sistem de forte Fi ( i = 1,2,..., n) avnd rezultanta F , si doua sisteme de referinta: unul fixO1x1y1z1 si altul mobil Oxyz, aflat ntr-o miscare oarecare. Presupunnd cunoscuta miscarea sistemului de referinta mobil n raport cu sistemul de referinta fix ( r0 ,

v0 ,a0 ,_, _) , se cere sa se studieze miscarea punctului material fata de sistemul de referinta mobil, adica sa se determine ecuatiile miscarii relative ale punctului material: (1)

Pentru aceasta se scrie ecuatia miscarii absolute a punctului material: (2) unde, aa este acceleratia punctului M n raport cu sistemul de referinta fix, numita acceleratie absoluta. Conform legii de compunere a acceleratiilor n miscarea relativa a punctului material avem: (3) Se nlocuieste semnificatia acceleratiei absolute aa n (2) si se obtine: sau n continuare notam Cu notatiile (6) si (7) ecuatia (5) devine: (8) (4) (5) (6) (7)

Ecuatia (8) se numeste ecuatia diferentiala fundamentala a miscarii relative a punctului material. Cei doi vectori Fjt si Fjc se numesc, respective forta inertiala de transport si forta inertiala Coriolis. Comparnd (8) cu (2) rezulta ca miscarea relativa a punctului se trateaza analog cu miscarea absoluta cu deosebirea ca n membrul doi al ecuatiei diferentiale vectoriale trebuie plasate pe lnga rezultanta fortelor efectiv aplicate si de legatura si fortele inertiale de transport si Coriolis. n cazul punctului material supus la legaturi forta F contine att rezultanta fortelor date R ct si reactiunea Rl : (9) Proiectnd ecuatia diferentiala vectoriala (8) pe axele sistemului de referinta mobil, tinnd seama de (9), se obtin trei ecuatii diferentiale scalare: (10) la care se adauga ecuatia sau ecuatiile legaturii. Din integrarea ecuatiilor (10.72), tinnd seama de conditiile initiale ale miscarii: (11) obtinem ecuatiile miscarii relative a punctului x=x(t), y=y(t), z=z(t) (12) iar n cazul punctului material legat, lund n considerare ecuatiile legaturii, si forta de legatura Daca viteza relativa si acceleratia relativa sunt nule ( vr = 0 si a r = 0 ) spunem ca punctul material se gaseste n repaus relativ fata de sistemul de referinta mobil. Deoarece rezulta n acest caz Fjc = 0. Ecuatia (8) devine n acest caz: (13) Aceasta nseamna ca: (14) Sau (15) Ecuatia (15) este satisfacuta daca (16) Aceasta nseamna ca daca miscarea de transport a sistemului de referinta mobil este o translatie rectilinie si uniforma, ecuatia miscarii relative a punctului material are aceeasi structura ca si n cazul miscarii absolute. Din aceasta cauza sistemul de referinta mobil care satisface conditiile (8) se numeste sistem de referinta inertial.

8. Momente de inertie mecanice. Mom de inertie geometrice. Raza de giratie (de inertie)

Momentele de inertie mecanice sunt marimi care caracterizeaza raspndirea maselor unui sistem material n raport cu elementele unui sistem de referinta dat. Cu ajutorul lor se exprima inertia unui corp aflat n miscare de rotatie. n figura 4.8 este reprezentat un sistem de puncte materiale A1, A2,,An, de mase m1, m2, , mn, un plan (P), o dreapta () si un pol O. Notam cu di, deltamic indice i si ri distantele de la punctul Ai, respectiv la plan, dreapta si pol. Se numeste moment de inertie mecanic al sistemului de puncte materiale n raport cu un plan, o dreapta sau un pol, suma produselor dintre masele punctelor si patratele distantelor la planul, dreapta sau polul considerat. Vom nota cu: JP momentul de inertie mecanic planar, J momentul de inertie mecanic axial, JO momentul de inertie mecanic polar. Expresiile acestor momente de inertie ale sistemului de puncte fata de planul (P), dreapta () si polul O sunt: n cazul unui corp (fig 4.9) sumele se transforma n integrale referitoare la domeniul ocupat de corp:

Dimensiunile si unitatile de masura pentru momentele de inertie sunt: Analog se definesc momentele de inertie geometrice ale unui corp n raport cu un plan, o axa sau un punct. - pentru corpuri de volum:

- pentru placi:

- pentru bare

Tinnd seama de (4.13), (4.20) si (4.27), n cazul corpurilor omogene, ntre momentele de inertie mecanice si cele geometrice se stabileste relatia generala: (4.51) Fie un corp (C) de masa M si o axa () fata de care momentul de inertie mecanic este J. Raza de giratie sau de inertie, i, a corpului fata de o axa este distanta fictiva la

care ar trebui plasata masa corpului, concentrata ntr-un singur punct, astfel nct momentul de inertie al punctului fata de axa sa fie egal cu cel al corpului fata de aceeasi axa. Din egalitatea J = Mi la patrat rezulta: Analog se definesc razele de giratie fata de un plan sau un punct:

Daca se ataseaza corpului (C) un sistem de referinta Oxyz (fig 4.10), se definesc urmatoarele momente de inertie mecanice n raport cu planele determinate de axele de coordonate, cu axele si cu originea O: - momente de inertie mecanice planare,

- momente de inertie mecanice axiale,

- moment de inertie mecanic polar,

- momente de inertie mecanice centrifugale,

Momentele de inertie planare, axiale si polare sunt marimi scalare pozitive sau cel putin nule, pe cnd momentele de inertie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule. ntre momentele de inertie mecanice date de relatiile (4.54) (4.57) sunt evidente relatiile: - n spatiu

9. Variatia momentului de inertie mechanic in raport cu axe paralele. Teorema lui Steiner.

Fie un corp (C) de masa M, o axa (_C) ce trece prin centrul de greutate al corpului si o alta axa () paralela cu prima. Se cunosc: i) momentul de inertie mecanic al corpului J n raport cu axa (C), ii) distanta d dintre cele doua axe si se cere aflarea momentului de inertie mecanic J fata de axa (C). Pentru rezolvarea problemei se alege un sistem de referinta Cxyz cu axa Oz suprapusa peste axa (C) si cu originea n centrul de greutate al corpului (fig. 4.11). Axa () nteapa planul xCy n punctul B de coordoate xB=a, yB=b. Se poate scrie relatia: Prin definitie:

Deoarece centrul de greutate se afla n originea sistemului de referinta (xC=0, yC=0, zC=0), aplicnd teorema momentelor statice, obtinem:

Substituind (4.64), (4.65) si (4.67) n (4.66) si tinnd seama ca rezulta relatia: care exprima teorema lui Steiner (Steiner, Jakob, 1796-1863) cu urmatorul enunt: Momentul de inertie al unui corp (sistem material) fata de o axa () este egal cu momentul fata de axa paralela (C) care trece prin centrul de greutate al corpului plus masa nmultita cu patratul distantei dintre cele doua axe. Din teorema lui Steiner (4.68) decurg cteva proprietati ale variatiei momentelor de inertie n raport cu axele paralele: 1. Pentru o directie data, momentul de inertie minim se obtine fata de axa care trece prin centrul de greutate al corpului (sau sistemului material); 2. Locul geometric al axelor paralele cu o directie data, fata de care valorile momentelor de inertie sunt egale, este un cilindru circular a carui axa de simetrie trece prin centrul de greutate al corpului si este paralela cu directia data; 3. Relatia dintre momentele de inertie fata de doua axe paralele (1) si (2) situate la distantele d1 respectiv d2 fata de centrul de greutate al corpului este:

10. Variatia mom de inertie mecanice centrifugale in rap cu axe IISe considera un corp (C) de masa M raportat la un sistem de referinta Cxyz, cu originea n centrul de greutate al corpului (fig 4.12). Sunt cunoscute momentele de inertie centrifugale fata de acest sistem. Se urmareste determinarea momentelor de inertie centrifugale fata de sistemul O1x1y1z1 care are axele respectiv paralele cu ale reperului Cxyz si originea O1 n punctul de coordonate (a, b, c). Prin definitie:

nlocuind n relatia anterioara obtinem::

Deoarece centrul de greutate se afla n originea sistemului de referinta (xC=0, yC=0, zC=0), teorema momentelor statice conduce la:

Substituind (4.69) si (4.73) n (4.72) si tinnd seama ca rezulta relatiile:

11. Variatia mom de inertie mecanice in raport cu axe concurenteSe da un corp (C) la care sunt cunoscute momentele de inertie axiale si centrifugale Jx, Jy, Jz, Jxy, Jyz, Jzx, fata de un sistem de referinta Oxyz (fig) Fie o dreapta () care trece prin O al carei versor are cosinusurile directoare: , si . Se cere determinarea momentului de inertie J al corpului fata de axa (). Prin definitie:

Patratul distantei de la un punct oarecare A(x,y,z) la axa () se nlocuieste cu:

n (4.76) a fost folosita identitatea: Introducnd (4.76) n (4.75) si tinnd seama de relatiile de definitie (4.55) si (4.57) se obtine relatia cautata: Relatia (4.77) exprima legea de variatie a momentelor de inertie n raport cu axe concurente. Forma matriceala a acesteia este: Unde:

Matricea [J] se numeste tensor inertial sau matricea momentelor de inertie. Daca sistemul material este situat n planul xOy, axa () fiind de asemenea n acest plan, nclinata cu unghiul fata de Ox, rezulta: z=0, =0, =cos , =sin , iar formula (4.77) devine: Fie un corp (C) de masa M de care este invariabil legat sistemul de referinta Cxyz, cu originea n centrul de greutate al corpului, fata de care se presupun cunoscute momentele de inertie axiale si centrifugale: Jx, Jy, Jz, Jxy, Jyz, Jzx (fig 4.14).

n care:

- este matricea momentelor de inertie (tensorul inertial) fata de reperul O1x1y1z1;

- este matricea momentelor de inertie (tensorul inertial) fata de reperul Cxyz;

- este matricea cosinusurilor directoare numita si matrice de rotatie;

- este matricea antisimetrica asociata vectorului de pozitie al punctului O1 fata de punctul C;

- este matricea de inertie a punctului O1 n care se considera concentrata ntreaga masa M a corpului, fata de reperul Cxyz.(in curs nu sunt matricile acestea)

12. Lucrul mechanic al unei forte care actioneaz asupra unui p.mSe considera n figura de mai jos un punct material M care se deplaseaza pe traiectoria ( ) sub actiunea unei forte variabile F. La momentul t punctual material se afla n pozitia M definita de vectorul de pozitie r , iar la momentul t + dt punctul se afla n pozitia M1 definita de vectorul de pozitie r + dr .

Se numeste lucru mecanic elementar al fortei F , corespunzator deplasarii elementare dr , o marime dL egala cu produsul scalar dintre forta F si deplasarea elementara dr. (1) Deoarece dr = vdt si IdrI = ds = vdt expresia lucrului mechanic elementar mai poate fi scrisa: (2)

unde alfa este unghiul dintre vectorul forta si vectorul viteza. Folosind expresia analitica a vectorilor F si dr relatia (11.1) devine: (3) Din definitia lucrului mecanic elementar rezulta cteva proprietati importante: - Lucrul mecanic elementar este o marime scalara avnd ca unitate de masura n sistemul international de unitati joule-ul [J] (1J = 1N m). - Lucrul mecanic elementar este pozitiv cnd si se numeste lucru mecanic motor. - Lucrul mechanic elementar este negativ cnd si se numeste lucru mecanic rezistent. Corespunzator unei deplasari finite a punctului ntre doua pozitii B pe traiectoria curbilinie total are expresia: A si

()

sub actiunea fortei variabile F , lucrul mecanic finit sau (4)

Se demonstreaza ca lucrul mecanic elementar al unui cuplu de moment M0 , corespunzator unei rotatii elementare d teta este egal cu: (5) iar lucrul mecanic total sau finit: (6) S-a notat cu beta unghiul dintre M0 ( momentul cuplului) si omega vector (viteza unghiulara) si s-a tinut seama ca n general, lucrul mecanic finit al unei forte depinde att de modul cum variaza forta ct si de forma traiectoriei.

13. Lucrul mechanic al fortelor conservativeO forta este conservativa daca deriva dintr-o functie de forta, adica U = U( x, y, z) se numeste functie de forta a fortei F si depinde numai de coordonatele punctului de aplicatie al fortei. Din (11.7) rezulta ca: Pentru ca o forta sa admita o functie de forta trebuie ndeplinite conditiile lui Cauchy: n acest caz lucrul mecanic al fortei F este:

Lucrul mecanic total va fi:

undeUA = U( xA,yA,zA) , UB = U( xB,yB,zB) Rezulta ca lucrul mecanic total al unei forte conservative este independent de forma traiectoriei, depinznd numai de pozitiile initiala si finala a punctului de aplicatie al fortei. Un exemplu de forta conservativa este forta gravitationala (fig. 11.2). n acest caz: Rezulta

Prin urmare lucrul mecanic al unei greutati nu depinde de forma traiectoriei pe care se deplaseaza punctul ei de aplicatie, ci depinde numai de pozitiile extreme ntre care se efectueaza miscarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerica a fortei si diferenta de cota dintre pozitiile initiala si finala si avnd semnul (+) cnd deplasarea se face n sensul fortei si semnul (-) cnd deplasarea se face n sens contrar.

14. Lucrul mechanic al unei forte elasticeSe considera n figura 11.3 un arc ideal cu constanta elastica k. Se noteaza cu x -alungirea si cu Fe = kx -forta elastica.

Putem scrie: Lucrul mecanic total corespunzator unei alungiri x este: iar lucrul mecanic total ntre 2 pozitii A si B ale capatului arcului:

15. Lucrul mechanic al forelor interioareDoua puncte materiale Mi si Mj apartinnd unui sistem de puncte materiale interactioneaza, fortele interioare fiind notate corespunzator cu Fij , respectiv Fji . Vectorii de pozitie ai punctelor n raport cu punctul fix O sunt r i si j r (fig. 11.5). Conform principiului actiunii si reactiunii Fji = Fij . Lucrul mecanic elementar aferent fortelor Fij si Fji corespunzator deplasarilor elementare ale celor doua puncte este:

Daca punctele materiale apartin unui sistem material rigid distanta dintre puncte i j M M = constant si ca urmare dLint = 0 . Putem spune ca n cazul unui sistem material rigid

suma lucrurilor mecanice elementare ale fortelor interioare este nula pentru orice deplasare a sistemului.

16. Lucrul mechanic elementar care actioneaz asupra unui solid rigidSe considera n figura 11.4 un solid rigid liber supus actiunii unui system de forte Fi

(i =

1,2,3,...,n) care se reduce n punctul O al corpului la un torsor avnd elementele:

La un moment dat t rigidul are viteza unghiulara _ si punctul O viteza v0 . Se cere determinarea lucrului mecanic elementar al sistemului de forte corespunzator deplasarii elementare dr10 a punctului O si rotatiei elementare d teta a rigidului. Prin definitie: Dar Rezulta:

17. Puterea mecanicPrin puterea mecanica a unei masini se ntelege cantitatea de lucru mecanic produsa de masina n unitatea de timp. Unitatea de masura n sistemul international de unitati este watt-ul [W]; n practica se mai foloseste si calul putere (CP); 1 kW=1,36CP. Puterea este o marime scalara pozitiva, negativa sau nula constituind o caracteristica de baza a tuturor agregatelor energetice si oricarei masini. n cazul motoarelor liniare: P = R v iar a celor rotative: P = Mc (s-a notat Mc momentul cuplului). Daca este cunoscuta puterea unui motor P[W] si turatia n[rot/min],momentul motor Mc [N.m] se obtine cu relatia: Daca puterea P este data n CP, turatia n n rot/min, momentul motor Mc

n N.m este

18. RandamentulOrice masina n timpul functionarii ei n regim permanent primeste un lucru mecanic motor Lm , respectiv o putere motoare Pm , care i permite sa dezvolte un lucru mecanic util Lu , respectiv o putere utila Pu , masurate la iesirea din masina respectiva. Diferenta Lm - Lu = Lp se numeste lucru mecanic pierdut, iar Pm - Pu = Pp se numeste putere pierduta. Raportul dintre lucrul mecanic util si cel motor, egal cu raportul dintre puterile utila si motoare se numeste randament mecanic. Coeficientul se numeste coeficient de pierdere. Randamentul total al unui lant de n masini sau mecanisme legate n serie este egal cu produsul randamentului masinilor lantului: Randamentul total al unui agregat format din n masini sau instalatii montate n paralel este egal cu suma produselor dintre randamentele masinilor si cotele parti din puterea absorbita de fiecare masina din totalul puterii motoare ce alimenteaza ntregul agregat.

19. Energia cinetica

Se considera n figura 11.6 un punct material M de masa m care se deplaseaza sub actiunea fortei F pe o traiectorie curbilinie ( ) avnd la momentul t viteza v . Se numeste energie cinetica a punctului material marimea scalara egala cu semiprodusul dintre masa si patratul vitezei punctului:

Un solid rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masa elementara dm avnd viteza v (fig. 11.8). Pentru calculul energiei cinetice se poate utiliza relatia (11.30) n care semnul se nlocuieste cu semnul , viteza vi cu viteza v si masa mi cu dm.

20. Teorema lui Knig pentru energia cinetican figura 11.9 este reprezentat un solid rigid (C ) aflat n miscare generala. Se cunoaste masa M a corpului, viteza vc a centrului de masa, viteza unghiulara instantanee omega si momentul de inertie mechanic Jc al corpului fata suportul vectorului omega vector plasat n centrul C de masa al corpului. Se demonstreaza relatia:

numita teorema lui Knig pentru energia cinetica:Energia cinetica a unui solid rigid n miscare generala este egala cu suma dintre energia cinetica a centrului de masa al solidului rigid n care se considera concentrata ntreaga masa a corpului si energia cinetica a solidului rigid n miscarea relativa fata de centrul maselor. Din Cinematica se stie ca viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia:

Folosind relatiile (11.31) si (11.33) se obtin succesiv

ntruct, relatia (11.34) devine:

21. Energia cinetica in cazul unor miscari particulare ale unui solid rigida) Solid rigid n miscare de translatie Fie un solid rigid (C) , avnd masa M si viteza centrului de masa vc , aflat n miscare de translatie (fig. 11.10). Deoarece omega = 0 , expresia (11.35) devine:

n conformitate cu (11.36) energia cinetica a unui solid rigid aflat n miscare translatie este egala cu energia centrului de masa si care se considera concentrata ntreaga masa a corpului. b) Solid rigid n miscare de rotatie n jurul unei axe fixe n figura 11.11 este reprezentat unui solid rigid (C) aflat n miscare de rotatie n jurul axei fixe presupune de asemenea cunoscut si momentul de inertie mecanic J al corpului n raport cu axa () . Din Cinematica se cunoaste ca viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: Se considera n figura 11.12 un solid rigid aflat n miscare elicoidala n lungul si n jurul axei () cu viteza liniara vc si viteza unghiulara . Se cunoaste masa M a corpului si momentul de inertie mecanic J al acestuia fata de axa miscarii de roto-translatie () . Se stie ca viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia:

()

cu viteza unghiulara . Se

c) Solid rigid n miscare de roto-translatie Se considera n figura 11.12 un solid rigid aflat n miscare elicoidala n lungul si n jurul axei () cu viteza liniara vc si viteza unghiulara _ . Se cunoaste masa M a corpului si momentul de inertie mecanic J al acestuia fata de axa miscarii de roto-translatie () . Se stie ca viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: Energia cinetica a rigidului n acest caz este:

Deoarece, expresia energiei cinetice data de (11.40) devine: Se poate afirma ca energia cinetica a unui solid rigid aflat n miscare de rototranslatie este egala cu suma dintre energia cinetica de translatie cu viteza v0 si cea provenita din miscarea de rotatie n jurul axei fixe cu viteza unghiulara d) Placa aflata n miscare plana O placa avnd masa M si momentul de inertie mecanic Jc n raport cu axa c , normala n centrul de masa C pe planul placii, se afla n miscare ntr-un plan fix cu viteza centrului de masa vc si viteza unghiulara (fig. 11.13).

Energia cinetica placii este data de formula lui Knig:. ntre vc si subzista relatia: nlocuind (11.43) n (11.42) se obtine relatia: n care J I este momentul de inertie mecanic al placii n raport cu axa instantanee de rotatie I .

22. Teorema de variatie a energiei cinetice (teorema de echivalenta dintre Ec si Lt) Teorema de variatie a energiei cineticeSe considera un sistem de puncte materiale Mi , avnd masele mi , vitezele vi , acceleratiile ai si vectorii de pozitie ri ntr-un sistem de referinta Oxyz, aflat n miscare sub actiunea unui sistem de forte exterioare Fi ext (i=1,2,,n). Asupra punctului Mi actioneaza forta Fiext si rezultanta fortele interioare, cu care celelalte n-1 puncte interactioneaza cu punctul Mi (fig. 11.22). Pentru fiecare punct material putem scrie legea fundamentala a dinamicii: nmultind scalar ambii membri ai relatiei (11.82) cu dri si nsumnd relatiile obtinute pentru i = 1 n , rezultaDar:

unde dLext si dLint reprezinta reprezinta lucrul mecanic al fortelor exterioare, respectiv al fortelor interioare. Se obtine: relatie ce exprima matematic teorema de variatie a energiei cinetice sub forma elementara sau diferentiala n cazul unui sistem de puncte materiale: variatia elementara a energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale este egala cu suma dintre lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare si lucrul mecanic al fortelor interioare, corespunzator deplasarii elementare a sistemului material n intervalul de timp dt. Integrnd relatia (11.86) se obtine forma finita sau integrala a teoremei de variatie a

energiei cinetice n care EC1 este energia cinetica a sistemului la momentul t1 , EC2 este energia cinetica a sistemului la momentul t2 , Lext12 reprezinta lucrul mecanic total al fortelor exterioare n intervalul de timp t2 t1 si Lint12 reprezinta lucrul mecanic total al fortelor interioare n acelasi interval de timp. n cazul solidului rigid, avnd n vedere ca forma diferentiala a teoremei de variatie a energiei cinetice este: iar cea finita:

23. Energia potentiala. Energia mecanicaSe ntlnesc sisteme materiale (o greutate situata la o anumita naltime, un arc ntins sau comprimat, un recipient cu gaz sub presiune, etc.) care au energie datorita pozitiei pe care o ocupa, fiind capabil sa produca lucru mecanic daca se suprima legaturile ce mentin sistemul n pozitia respectiva. Energia de pozitie a unor astfel de sisteme se numeste energie potentiala. Energia potentiala a unui corp aflat ntr-o pozitie oarecare este egala cu lucrul mecanic consumat pentru a aduce corpul dintr-o pozitie n care energia potentiala se considera nula n pozitia data, luat cu semn schimbat. unde U este functia de forte a sistemului. Unitatea de masura pentru energia potenitiala n SI este joule-ul [J]. n cazul unui sistem material suma dintre energia cinetica si energia potentiala se numeste enrgie mecanica.

24. Impulsul (cantitatea de miscare)Se considera un punct material M de masa m care se deplaseaza pe traiectoria () , avnd la un moment dat viteza v (fig. 11.15). Se defineste impulsul sau cantitatea de miscare a punctului material un vector egal cu produsul dintre masa punctului si viteza sa. Alegnd un sistem de referinta cartezian Oxzy si proiectnd (11.53) pe axele acestuia se obtin relatiile: n

care sunt componentele carteziene ale vitezei punctele M. Unitatea de masura a

impulsului n SI este kilogram metru pe scunda[kg m/s]. n cazul unui sistem de puncte matriale aflat n miscare (fig.5.16) impulsul sistemului este egal cu suma impulsurilor punctelor. Aceasta relatie se poate pune si sub o alta forma tinnd seama ca viteza instantanee a punctului este egala cu derivata n raport cu timpul a vectorului de pozitie al punctului.

Asadar impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul centrului de masa al sistemului n care se presupune concentrata n ntreaga masa a acestuia. Componentele carteziene ale impulsului se obtin proiectnd relatia (11.56) pe axele sistemului de referinta Oxzy. Solidul rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masa dm si viteza v (fig. 11.17). Ca urmare impulsul total se obtine cu relatia

Ca si n cazul precedent Relatia (11.59) arata ca impulsul unui rigid este egal cu impulsul centrului de masa n care ar fi concentrata ntreaga masa a rigidului.

25. Teorema de variatie a impulsuluiAceasta teorema va fi demonstrata tot n cazul unui sistem de puncte materiale, rezultatele fiind apoi extinse pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. Fie un sistem de puncte materiale Mi de mase mi aflat n miscare cu vitezele vi si acceleratiile ai sub actiunea unui sistem de forte exterioare Fiext ( i = 1 n) . Asupra punctului Mi actioneaza att forta Fi ext ct si rezultanta a fortelor interioare cu care celelalte puncte interactioneaza cu punctul Mi (fig. 11.23). Pentru fiecare punct separat din sistem este valabil principiul al doilea al mecanicii scris sub forma: Scriind relatii de forma (11.91) pentru toate punctele sistemului si nsumndu-le membru cu membru obtinem: Dar,

Rezulta: unde: M-este masa sistemului de puncte materiale; vC -este viteza centrului de masa al sistemului de puncte materiale; aC -este acceleratia aceluiasi centru de masa, se obtine: Teorema de variatie a impulsului sub forma (11.95) poarta numele de teorema miscarii centrului de masa cu urmatorul enunt: centrul de masa al unui sistem de puncte materiale are miscarea unui singur punct a carui masa este egala cu masa totala a sistemului cnd asupra caruia ar actiona vectorul rezultant al fortelor exterioare. Echivalentele scalare ale ecuatiilor vectoriale (11.93) si (11.95) sunt: Integrnd (11.93) pentru doua configuratii la momentele t1si t finita a teoremei de variatie a impulsului:2

obtinem forma

Daca vectorul rezultant al fortelor exterioare este nul sau proiectia sa pe o axa fixa este permanent nula (Rext = 0 , respectiv de exemplu Rx ext =0 ), impulsul total, respectiv proiectia impulsului pe acea axa este invariabil n timp (se conserva). Se obtin astfel integralele prime: n acest caz centrul de masa are o miscare rectilinie si uniforma sau, n particular, ramne n repaus, respectiv proiectia centrului maselor pe acea axa se misca uniform sau, n particular, ramne pe loc. Rezultatele obtinute sunt valabile si pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide.

26. Momentul cinetic11.7.1. Definitii a) Momentul cinetic al unui punct material Prin definitie momentul cinetic al unui punct material aflat n miscare (fig. 11.15) n raport cu un pol fix O este egal cu momentul vectorului impuls fata de acelasi pol O. Proiectiile acestui vector pe axele unui sistem de axe cu originea n punctul O vor fi: b) Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale Prin definitie momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale aflat n miscare (fig. 11.16) n raport cu un punct fix O este egal cu suma momentelor cinetice ale punctelor n raport cu acelasi O.

c) Momentul cinetic al unui solid rigid n cazul unui solid rigid (fig. 11.17) se defineste momentul cinetic fata de punctul fix O1 , prin relatia:

si momentul cinetic al rigidului n miscarea relativa fata de centrul maselor prin relatia

Relatia (11.64) poate fi transcrisa matriceal:

Matricea:

se numeste matricea momentelor de inertie sau tensor inertial.

27. Teorema lui Knig pentru momentul cineticSe considera un rigid (C) aflat n miscare generala fata de un sistem de referinta fix O x1 y1 z1 , avnd la un moment dat t viteza centrului de masa vc si viteza unghiulara vector (fig.11.17). Fiind cunoscuta masa M a corpului si momentele de inertie mecanice ale acestuia n raport cu sistemul de axe Oxyz , legate de corp, se cere determinarea relatiei dintre momentul cinetic al corpului fata de punctul fix O1 si momentul cinetic al corpului n miscarea relativa fata de centrul de masa. nlocuim n (11.63) egalitatile

ntruct, relatia (11.67) devine:

Relatia (11.68) exprima teorema lui Knig pentru momentul kinetic conform careia, momentul cinetic al unui solid rigid (sistem material) n raport cu un punct fix O 1 este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului de masa n care se considera concentrata ntreaga masa a corpului (sistemului material) si momentul cinetic Kc rezultat din miscarea relativa a corpului (sistemului material) n raport cu centrul maselor.

28. Momentul cinetic n cazul unor miscari particulare ale rigiduluia) solid rigid aflat n miscare de translatie Fie un solid rigid aflat n miscare de translatie (fig.11.18), avnd masa M si viteza instantanee a centrului de masa vc .

urile sunt vector) ,

b) Solid ridig aflat n miscare de rotatie n jurul unui punct fix Se considera un solid rigid care efectueaza o miscare de rotatie n jurul punctului fix O (fig.11.19) cu viteza unghiulara . Se cunosc momentele de inertie mecanice ale corpului n raport cu axele sistemului de referinta Oxzy, solidar cu rigidul. Conform (11.63), daca O1 = O si r1 = r(r-

Avnd n vedere legea distributiei vitezelor n miscarea sferica a rigidului

Expresiile analitice ale vectorilor care intervin (11.73) sunt.

nlocuind (11.74) n (11.73) si tinnd seama de expresiile momentelor de inertie mecanice axiale si centrifugale, prin identificarea coeficientilor versorilor din cei doi membri, se obtin proiectiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de rferinta mobil Oxzy. Acestea pot fi exprimate sub forma matriceala:

sau restrns Daca axele sistemului de referinta mobil sunt axe principale de inertie, atunci momentele de inertie centrifugale sunt nule si: c) Solid rigid n miscare de rotatie n jurul unui ax fix n figura (11.20) este reprezentat un solid rigid aflat n miscare de rotatie n jurul unui ax fix oarecare ( ) . Se cunosc viteza unghiulara si momentele de inertie axiale si centrifugale ale rigidului n raport cu sistemul de referinta Oxzy, legat invariabil de solidul rigid. Momentul cinetic al rigidului n raport cu punctul fix O de pe axa

( )

se poate calcula ca si n cazul miscarii sferice deoarece miscarea de rotatie n jurul unui ax fix este un caz particular al miscarii sferice n care axa instantanee de rotatie devine fixa. Astfel, proiectiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de referinta mobil Oxzy sunt date de (11.75) sau (11.77), dupa cum acest sistem nu este sau este sistem de axe principale de inertie. Daca axa ( ) coincide cu axa Oz, atunci: Daca n plus axa ( ) = Oz este axa principala de inertie, atunci:

d) Placa aflata n miscare plana Se considera o placa mobila ( Pm ) n miscare n planul fix O 1x 1y1 z 1cu viteza centrului de masa vc si viteza unghiulara (fig. 11.21). Se cunoaste masa placii si momentul de inertie J z fata de axa Cz, normala n centrul de masa al placii pe planul placii. Din punctul de vedere al distributiei de viteze miscarea plana reprezinta o suprapunere a doua miscari: o miscare de translatie cu viteza vc a centrului de masa C si o miscare de rotatie cu viteza unghiulara n jurul unei axe perpendiculare n C pe planul miscarii. Momentul cinetic n miscarea relativa fata de centrul de

masa este dat de relatia (11.79)iar momentul cinetic fata de O1 de formula lui Knig.

29. Teorema de variatie a momentului cinetic n raport cu un punct fixFie un sistem de puncte materiale Mi de mase mi , avnd vitezele si acceleratiile instantanee vi si ai si vectorii de pozitie ri ntr-un sistem de referinta fix Oxyz. Punctele se afla n miscare sub actiunea unui sistem de forte exterioare Asupra punctului Mi actioneaza forta exterioara Fi ext si rezultanta a fortelor exterioare cu care celelalte n-1 puncte interactioneaza cu Mi (fig. 11.23). n-1 puncte interactioneaza cu Mi (fig. 11.23). Scriem pentru punctul Mi legea fundamentala a dinamicii nmultim vectorial la stnga cei doi membri ai relatiei (11.99) cu ri si nsumam relatiile obtinute dnd lui i valori de la 1 la n. Se obtine: n relatia (5.100): adica derivata n raport cu timpul a momentului cinetic fata de punctul O; - momentul rezultant al fortelor exterioare fata de polul O. - deoarece fortele interioare sunt doua cte doua egale n modul, avnd acelasi suport si sensuri opuse. Rezulta: Relatia (11.101) exprima teorema momentului cinetic n raport cu un punct fix pentru un sistem de puncte materiale, conform careia: derivate vectoriala n raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale calculat fata de un punct fix O este egala cu momentul rezultant al sistemului fortelor exterioare aplicate punctelor sistemului, calculat fata de acelasi punct fix O. Daca momentul rezultant al fortelor exterioare n raport cu un punct fix este nul atunci adica momentul cinetic se conserva. Ecuatia (11.102) este o integrala prima a teoremei momentului cinetic. Echivalentele scalare ale ecuatiei (11.101) sunt Daca momentul rezultant al fortelor exterioare n raport cu o axa fixa (de exemplu Oy) este nul atunci fata de axa respectiva momentul cinetic se conserva: Integrnd (11.101) se ajunge la forma finita a teoremei de variatie a momentului cinetic Rezultatele obtinute sunt valabile si n cazul sistemelor de corpuri rigide.

30. Teorema de variatie a momentului cinetic n raport cu centrul maselorSe considera un rigid (C) aflat n miscare n raport cu un sistem de referinta fix O1x1y1z1 sub actiunea unui sistem de forte exterioare Fiext =( i =1,2,..., n) . De corp este invariabil legat de sistemul de referinta Cxyz, cu originea n centrul de masa (fig. 11.24). Se urmareste determinarea relatiei dintre momentul cinetic al corpului n miscarea relativa fata de centrul de masa si momentul rezultant al fortelor exterioare fata de acelasi punct. Scriem teorema lui Knig pentru momentul cinetic si o derivam n raport cu timpul Conform teoremei momentului cinetic fata de punctul fix O1 si teoremei miscarii centrului de masa se poate scrie: unde

Astfel, relatia (11.106) devine: Conform legii de variatie a momentului rezultant la schimbarea polului de reducere : sau relatie ce exprima teorema de variatie a momentului cinetic n raport cu centrul maselor conform careia: derivata n raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem material n miscarea relativa fata de centrul de masa al sistemului este egala cu momentul rezultant al fortelor exterioare calculat n raport cu acelasi centru de masa.