mecanica fizica

Specializarea

Forma de învăţământ ID - semestrul I

FIZICĂ

MECANICĂ FIZICĂ

Corneliu Apostol STĂNESCU Simona TALPOŞ

Adrian DAFINEI

2010

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didacticedin învăţământul preuniversitar

pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Program de conversie profesională la nivel postuniversitar

pentru cadrele didactice din învăţământul preuniversitar

FIZICĂ

Mecanică fizică

Corneliu Apostol STĂNESCU Simona TALPOŞ

Adrian DAFINEI

2010

© 2010 Acest manual a fost elaborat în cadrul "Proiectului pentru Învăţământul Rural", proiect co-finanţat de către Banca Mondială, Guvernul României şi comunităţile locale.

Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al

Ministerului Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului. ISBN 973-0-04252-7

Introducere

i

INTRODUCERE

Ştim că adresăm cursul de "Mecanică fizică " unui grup (grupul ţintă) cu o pregătire iniţială foarte diferită de aceia a unui "auditoriu" tradiţional. În acelaşi timp, fiind un curs strict scris, respectiv fără participare în sala de curs şi seminar (fără partea ascultată a lui), unele aspecte "vorbite" nu pot fi transmise cu uşurinţă. Aceste motive au condus la structurarea cursului pe trei nivele. Un prim nivel îşi propune să răspundă exigenţei ca programa să fie conformă programului facultăţii de fizică (de la Măgurele). Partea construită la acest nivel nu îţi este de utilitate directă dacă urmează să te adresezi unor elevi din clase de început în ale fizicii. Dar această parte este utilă, totuşi, sub două aspecte: îţi asigură o legătură cu materia care stă la baza predării fizicii şi totodată ţi-ar putea permite să răspunzi la întrebările unui elev mai curios (sau mai îndrăzneţ). De fapt acest mod arată calea ce ar trebui căutată pentru a putea răspunde unor exigenţe ce îţi depăşesc necesarul imediat. Sub acest aspect, cursul se înscrie în modul de prezentare "mecanică vectorială", cu unele subcapitole şi chiar cu unele deduceri mai speciale, "cedate" capitolelor de mecanică analitică sau de electrodinamică. Un al doilea nivel conţine câteva "pachete" în care lucrurile (cunoştinţele) sunt expuse mai aproape de cum ar putea fi ele predate unor elevi. Cursul nu a putut să se axeze numai pe acest mod de prezentare cel puţin din motivele expuse anterior. Am încercat în acest mod şi unele exprimări mai moderne, mai la zi, inclusiv ale unor cunoştinţe de bază care au rămas câte odată prea istorice. Pentru cursanţii care vor dori să aleagă acest curs, sub conducerea celor care l-au redactat, există pregătită o dezvoltare a acestui mod precum şi un pachet de posibile lucrări practice foarte la îndemâna profesorului de fizică. Aceste lucrări practice sunt gândite astfel încât să poată fi realizate doar cu puţină iniţiativă, ceva entuziasm şi mijloace (materiale) care se găsesc în apropierea noastră. Modulul de "mecanică" permite din fericire acest lucru, care fără îndoială nu este la îndemâna modulului de „ fizică nucleară"! Din acest punct de vedere apropierea de cursant a mecanicii este mai mare, mai tot ce ne înconjoară la o primă percepţie, fiind "mecanică". (Dar nu numai mecanică). Varietatea de întrebări şi varietatea de probleme pe care o permite mecanica, precum şi multe din răspunsuri, pot face din această ramură şcolară o activitate prietenoasă. Prin caracterul intuitiv şi uşor de vizualizat, de perceput, poate fi într-adevăr prietenoasă. Un al treilea nivel a stat la baza redactării foarte detaliate a câtorva din problemele propuse. Ştiind că "problemele" pun de regulă probleme şi celor care rezolvă problemele şi celor care trebuie să convingă prin soluţiile propuse, s-a încercat un fel de lecţie de rezolvare, poate unora potrivită, poate altora departe de metoda pe care ar folosi-o. Oricum acest mod ţi-ar putea da unele sugestii. Şi acest mod merită o dezvoltare mai amplă prin participarea la activitatea propusă de curs. În acest mod au fost introduse unele detalii care sunt legate de expunerea orală a materialelor.

Introducere

ii

Chiar dacă apar în mică măsură, cu ponderea posibilă a dezvoltării materialului, am dorit să sugerăm o grijă pentru pronunţia unor noţiuni sau nume proprii, o anume metodă de citire a unor expresii sau relaţii etc. Chiar dacă unora pot părea "în plus", am încercat în absenţa cursului vorbit şi ascultat, doar să sugerăm că şi la exprimarea celor predate pot să apară probleme speciale. Dacă ai fost conştientizat, mai departe poţi face apel la mentorul tău sau la un coleg mai vechi în domeniu dar şi la informarea modernă prin "internet" sau prin suporturile electronice ori digitale care îţi sunt la îndemână (casete video ori audio, CD-uri, DVD-uri etc.). Noi am încercat să te avizăm şi sub acest aspect. În paralel, ţi-au fost sugerate unele date din istoria fizicii sau a descoperirilor respective. În funcţie de auditoriu, accentuarea unor aspecte istorice (amplificate de cel care predă) ar putea să capteze mai uşor atenţia unor elevi obişnuiţi mai mult cu disciplinele umaniste. Poate că unele din cele introduse în curs meritau să fie în cantitate dublă ori triplă, dar cine s-ar mai fi apropiat de un curs cu un număr de pagini triplu? Pentru a da un aspect mai prietenos (mai simpatic), mai puţin descurajant textului principal, au fost adăugate unele figuri pe banda laterală, (marginea exterioară a paginii ). Această margine albă este destinată, în principal, unor notiţelor şi observaţiilor tale şi le poţi face în tot timpul parcurgerii modulului. Ca un îndemn la aceste însemnări rapide, autorii au adăugat şi ei unele comentarii, sublinieri etc. De asemenea au fost adăugate sau reluate unele desene care ar putea deveni un fel de reflexe în modul cum trebuie făcute. Şi, pentru decorarea textului au fost folosite tot figuri, desene, micşorate, preluate din textul principal. Spaţiile albe lăsate după întrebări şi după problemele propuse sunt destinate rezolvării pe loc, soluţionării imediate a respectivei probleme. Totuşi, atunci când o rezolvare ar fi putut ocupa o pagină sau chiar 2-3, nu am mai lăsat locuri libere, pe măsură, ci te îndemnăm să apelezi la o ciornă, alăturată. De altfel dimensiunea spaţiilor însoţitoare unui răspuns este proiectată pentru un scriitor care foloseşte „un font” obişnuit, şi guma şi un creion de 0.5!!!. Cine se ştie că are un scris mare, cu un „zoom” exagerat, nu va avea un reper corect în ceea ce priveşte amploarea unei rezolvări. Dimensiunea acestor spaţii sau în alte sisteme indicaţia numărului de cuvinte este o informaţie despre... cât de mult ar trebui să te „întinzi”. Dar, fiind la fizică, un desen ori nişte calcule pe o foaie alăturată reprezintă cel mai bun mod de a te apropia de învăţarea unui curs de fizică. Fiecare unitate de învăţare are o aceeaşi structură. La început sunt prezentate (pe scurt) principalele obiective ale sale. La finalul parcurgerii (studierii) unităţii de învăţare poţi să încerci să vezi dacă ţi-ai atins obiectivele. Cele cuprinse în această casetă reprezintă puţin din cele din textul principal. Imediat urmează o tablă de materii locală, a unităţii de învăţare, modulul având şi o tablă de materii generală. În fiecare unitate de învăţare vei găsi 1-2 teste de autoevaluare care îţi

Introducere

iii

permit să ai un control (un autocontrol) al nivelului intermediar de percepere. Răspunsurile la aceste întrebări le găseşti în cadrul fiecărei unităţi de învăţare împreună cu trimeteri la text, adică unde ar mai trebui insistat. Acelaşi mod de abordare există pentru problemele propuse. În cadrul unităţii de învăţare găseşti 1-2 probleme rezolvate pe care le poţi lua ca lecţii de soluţionare. Pentru cei mai avizaţi aceste rezolvări mai lungi poate vor părea plicticoase, dar am dorit ca cititorul mediu pregătit să aibă nu numai răspunsul dar şi unele detalii. Să nu uităm că este un mod de învăţare lipsit de contactul faţă în faţă profesor-elev/student. Adică lipsit de toate informaţiile care se transmit prin viu grai. Fiecare unitate de învăţare are în cuprinsul său nişte sugestii de lucrări practice, la care ne-am gândit că le poţi realiza pentru tine şi viitorii tăi elevi, cu mijloace „locale”. Suntem siguri că de la caz la caz poţi mult mai mult. Dacă doreşti să faci mai mult în această direcţie, tutorele, poate să te îndrume. Avantajul mecanicii şcolare este că poate fi asociată cu fenomene şi întâmplări de zi cu zi şi astfel poate aduce elevul mai repede, aproape de fizică. Bibliografia recomandată, cu paginaţia asociată fiecărei unităţi de învăţare, este numai în limba română. Sunt cărţi şi manuale relativ răspândite în bibliotecile şcolare sau pe la cei mai vechi în acest domeniu. Formulele mai ample precum şi demonstraţiile mai lungi, sunt puse într-un spaţiu (de)marcat. Acestea le poţi „sări”, omite la o primă parcurgere a textului, dar îţi recomandăm să le asimilezi mai târziu la o a doua parcurgere a textului, a unităţii de învăţare, dacă faci această parcurgere! Altfel, un profesor „înghesuit” de întrebările elevilor mai silitori, mai curioşi ori chiar răutăcioşi va fi, uneori, în dificultate. Desigur că accentuarea acestei pregătiri nu se face doar prin citirea textului unităţii de învăţare ci şi prin nişte ani de exercitare a aceste discipline. Fiecare unitate de învăţare are o probă de verificare în relaţia cu tutorele. Punctajul asociat problemelor sau întrebărilor este o bună orientare a ponderii lor în tema respectivă. Am mers pe ideea de nota 10 cu un punct din oficiu, pentru că acesta este sistemul cu care suntem cel mai mult obişnuiţi. Modulul este conceput, ca toate modulele din acest pachet, independent. În cadrul modulului, am încercat şi o evoluţie cantitativă de la unitate de învăţare la unitate de învăţare, ele fiind oarecum în progresie aritmetică. Avantajul modulului Mecanică Fizică este că se situează la începutul studiului, dar fiind la fizică, este greu să ne lipsim de puţină algebră, puţină geometrie, puţină trigonometrie sau chiar puţină analiză matematică. Aceste noţiuni le regăseşti în celelalte module, dar şi în manualele şcolare mai vechi (sau mai noi). Există (cel puţin) o unitate de învăţare mai dificilă. Ca şi în cazul formulelor mai ample, poate fi evitată la o primă parcurgere. Am încercat în cadrul unităţii de învăţare o buclă: prezentarea unei idei, deduceri asociate şi revenirea la ideea iniţială. Nu de fiecare dată s-a putut sau s-ar fi potrivit.

Introducere

iv

Şi mai intervine dimensiunea pe care ar fi putut-o lua modulul scris. Dacă tot ce am fi dorit să-ţi transmitem ar fi fost pus în pagină, am fi ajuns la, poate, 3-400 de pagini. Utile. Dar cine s-ar mai fi apropiat de un curs de 400 de pagini Forma de evaluare este de Examen. Tutorele va evalua activitatea din întregul semestru, luând în considerare răspunsurile la testele de evaluare propuse la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare. De asemenea, la sfârşitul semestrului, vei prezenta un proiect pe care-l vei construi pe o temă propusă de tutore. Lucrările de verificare de la sfârşitul fiecărei unităţi sunt concepute astfel încât răspunsurile să constituie proiecte care să îţi aparţină şi care se vor regăsi în proiectul final. În aprecierea finală a activităţii, activitatea din timpul semestrului şi calitatea proiectului, vor contribui în proporţii egale. Absolvirea acestui modul îţi va aduce 6 credite.

Cursul conţine şapte Unităţi de învăţare . Fiecare Unitate de învăţare are scopuri definite la început în cadrul Obiectivelor unităţii. Ţi se spune ce competenţe se aşteaptă să capeţi prin parcurgerea fiecărei Unităţi.

Această pictogramă marchează competenţele pe care trebuie să la capeţi. Încadrarea laterală a unor porţiuni de text sau de calcule, indică un grad sporit, dar nu de neînţeles, de dificultate, fără de care înţelegerea unitară a temei nu este posibilă. Pagina este prevăzută cu o manşetă albă, în care cel mai adesea este plasată o pictogramă sugestivă pentru subiectul tratat, sau vei găsi o adnotare a autorilor, conţinând o precizare, o definiţie sau o generalizare a problemei tratate. Nu te sfii, ca în această manşetă să treci propriile-ţi adnotări, care să conţină demonstraţii, întrebări, obiecţii. Acestea vor constitui pretextul contactului permanent cu tutorele. La sfârşitul fiecărei Unităţi de învăţare ai teste de verificare, uşoare dacă ai citit cu atenţie întregul capitol.

Pictograma alăturată este plasată în dreptul testului de verificare. Fiecare test are răspunsuri corecte. Dacă răspunsurile tale nu coincid cu acestea, trebuie să reciteşti întregul capitol, sau numai paragrafele indicate de autor. La sfârşitul fiecărei. Unităţi ţi se propune o lucrare de verificare, pentru care nu ai răspunsuri, deoarece trebuie să la găseşti singur. După ce le-ai găsit şi eşti sigur de ele, trimite-le tutorelui pentru verificare.

În zona Lucrării de verificare o să întâlneşti o pictogramă cu semnul scrisorii electronice. Fiecare Unitate de învăţare se încheie cu o Bibliografie, pe care o considerăm suficientă pentru obiectivele propuse. Pentru lămuriri suplimentare, ca şi pentru dorinţa de a elucida probleme care depăşesc cadru cursului, ne va face plăcere să oferim consultaţii, dacă vom fi solicitaţi la adresele : "Cornel Stănescu" [email protected], "Talpos Simona" [email protected], „Adrian Dafinei” [email protected]

mailto:[email protected]

Bibliografie

v

Bibliografie generală

1.A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a) 2.A. P. Hristev, V. Fălie, D. Mande, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984 3.***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983 4. David J.McGill, Wilton W.King, Engineering MECHANICS, an Introduction to Dynamics, PWS Engineering, Boston 5.Frank S. Crawford, Waves, BerkeleyPhysics Course, McGraw, Hill 6. Raymond Serway, Physics for Scientist and Engineers, Saunders Golden Sunburst Series 7. OHanian, Physics, Norton Company 8. http://www.referat.ro/referate/fizica/

http://www.referat.ro/referate/fizica/

Cuprins

vi

Cuprins CINEMATICA 1 1.1. Obiectivele unităţii de învăţare 1- Cinematica 2 1.2. Scalari şi vectori 2 1.3. Sistem de referinţă 6 1.4. Ecuaţia de mişcare 8 1.5. Viteza 9 1.6. Problemă rezolvată 13 1.7. Test de autoevaluare 1.1 14 1.8. Lucrare practică 15 1.9. Răspunsuri la testul de autoevaluare 15 1.10. Lucrare de verificare 1 16 1.11. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 17 1.12. Bibliografie 18

MIŞCAREA CURBILINIE 19 2.1. Obiectivele unităţii de învăţare 2 20 2.2. Acceleraţia 20 2.3. Problemă rezolvată 24 2.4. Mişcarea circulară 25 2.4.1 Mişcarea circulară uniformă 25 2.4.2. Mişcarea circulară neuniformă 26 2.5. Test de autoevaluare 2.1 29 2.6. Produsul scalar şi produsul vectorial 30 2.7. Derivata unui vector. Formulele Poisson 31 2.8. Pendulul conic 32 2.8.1. Problemă rezolvată 33 2.9. Aruncarea pe oblică 33 2.9.1. Probleme rezolvate 35 2.10. Cinematica solidului rigid 36 2.10.1.Translaţia şi rotaţia 37 2.10.2.Distribuţia vitezelor 37 2.11. Lucrare practică 39 2.12. Test de autoevaluare 2.2 40 2.13. Răspunsuri la testele de autoevaluare 41 2.14. Lucrare de verificare 2 43 2.15. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 44 2.16. Bibliografie 44

PRINCIPIILE DINAMICII 45 3.1. Obiectivele unităţii de învăţare 3 46 3.2. Principiul I al dinamicii 46 3.3. Principiul II al dinamicii 49 3.4. Principul III al dinamicii 52 3.4.1. Problema rezolvată 1 53 3.5. Forţe de frecare 57 3.5.1. Problema rezolvată 2 58 3.5.2. Problema rezolvată 3 60 3.6. Test de autoevaluare 3.1 66 3.7. Lucrare practică 67 3.8. Răspunsuri la testul de autoevaluare 68 3.9. Lucrare de verificare 3 69 3.10. Bibliografie 69 3.11. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie. 70

Cuprins

vii

DINAMICA 71 4.1 Obiectivele unităţii de învăţare numărul 4 72 4.2 Teorema impulsului 72 4.3 Teorema momentului cinetic 73 4.4 Teorema energiei cinetice 75 4.5 Conservarea energiei mecanice 78 4.6 Sistemul mecanic 79 4.6.1 Dinamica sistemului mecanic 80 4.7 Test de autoevaluare 4.1 84 4.8 Ciocniri 85 4.9 Sistem cu masă variabilă 88 4.10 Test de autoevaluare 4.2 89 4.11 Lucrare practică 90 4.12 Răspunsuri la testele de evaluare 91 4.13 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 92 4.14 Lucrare de verificare 4 94 4.15 Bibliografie 94 SOLIDUL RIGID 95 5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5 96 5.2 Mişcarea plan-paralelă 96 5.3 Mişcarea elicoidală 98 5.4 Dinamica solidului rigid 99 5.4.1 Energia cinetică de rotaţie 99 5.4.2 Momentul de inerţie 100 5.5 Problemă rezolvată 101 5.6 Exemple de calcul al momentelor de inerţie 109 5.7 Test de autoevaluare 5.1. 115 5.8 Lucrări de laborator 116 5.9 Răspunsuri la testul de autoevaluare 117 5.10 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 118 5.11 Lucrare de verificare 5 119 5.12 Bibliografie 120 ATRACŢIA GRAVITAŢIONALĂ 121 6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 122 6.2 Forţa Coriolis şi rotaţia Pământului 122 6.2.1 Căderea corpurilor şi forţa Coriolis. Devierea spre est 125 6.3 Legea atracţiei gravitaţionale 129 6.3.1 Firul cu plumb 134 6.4 Interacţiuni. Introducere 138 6.4.1 Câmpul de forţe 139 6.4.2 Intensitatea câmpului 139 6.4.3 Câmpul gravific. 139 6.4.4 Masa gravifică, masa inerţială 140 6.4.5 Forţa masică 140 6.5 Statica 141 6.5.1 Compunerea forţelor paralele 142 6.5.2 Problemă rezolvată 142 6.6 Mişcarea pe planul înclinat 144 6.7 Sisteme echivalente de forţe 146 6.8 Mecanică relativistă 148

Cuprins

viii

6.9 Transformările lui Lorentz 150 6.9.1 Consecinţe ale transformărilor lui Lorentz: 153 6.10 Elemente de dinamică relativistă 154 6.11 Test de autoevaluare 6.1 156 6.12 Lucrări practice 156 6.13 Răspunsuri la testul de autoevaluare 157 6.14 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 158 6.15 Lucrare de verificare 6 159 6.16 Bibliografie 160 OSCILAŢII, UNDE, ACUSTICĂ 161 7.1. Obiectivele unităţii de învăţare 7 Oscilaţii. Unde. Acustică 162 7.2. Oscilatori. Oscilaţii armonice simple 162 7.2.1. Descrierea oscilaţiilor 162 7.2.2. Mişcarea armonică simplă 168 7.2.3. Mişcarea armonică 171 7.2.4. Exerciţii 174 7.3. Oscilaţii amortizate 176 7.4. Oscilaţii forţate sau oscilaţii întreţinute 178 7.5. Rezonanţa 180 7.6. Compunerea oscilaţiilor armonice. 181 7.6.1. Test de autoevaluare 7.1 184 7.6.2. Lucrare practică 185 7.7. Unde elastice 186 7.7.1. Unda plană progresivă neatenuată 188 7.7.2. Deformaţia solidelor produsă de unde 189 7.8. Ecuaţia undelor 191 7.8.1. Viteza undelor în solide 192 7.8.2. Densitatea şi fluxul de energie al undelor 193 7.9. Interferenţa 195 7.9.1. Dispersia. Viteza de grup 197 7.10. Absorbţia undelor 198 7.11. Acustica 199 7.12. Coarda vibrantă 200 7.13. Tuburi sonore 202 7.13.1.Nivelul sonor 203 7.13.2.Intensitatea sunetului 204 7.13.3.Testul de autoevaluare 7.2 211 7.14. Răspunsuri la testele de autoevaluare 212 7.15. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 213 7.16. Bibliografie 214 7.17. Lucrare de verificare 7 214

Cinematica

1

Unitatea de învăţare 1

.CINEMATICA

Cuprins Pagina 1. 1.CINEMATICA 1

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare 1- Cinematica 2 1.2. Scalari şi vectori 2 1.3. Sistem de referinţă 6 1.4. Ecuaţia de mişcare 8 1.5. Viteza 9 1.6. Problemă rezolvată 13 1.7. Test de autoevaluare 1.1 14 1.8. Lucrare practică 15 1.9. Răspunsuri la testul de autoevaluare 1.1 15 1.10. Lucrare de verificare 1 16 1.11. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 17 1.12. Bibliografie 18

Gândeşte-te cum se mişcă automobilul urmărit faţă de marginile şoselei; gândeşte-te şi la mişcarea maşinii poliţiei. Gândeşte-te cum se mişcă cele două maşini una faţă de alta. Gândeşte-te şi la felul în care se mişcă omul şi la modul în care se mişcă umbra acestuia.

Cinematica

2

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare 1- Cinematica

1.2. Scalari şi vectori În practică (şi în fizică, desigur) se constată că unele noţiuni sau unele efecte nu sunt suficient caracterizate prin "mărimea" mărimilor respective. Este cazul cel mai evident al vitezei. Este important cât de repede se mişcă un autoturism, dar nu ne este indiferent dacă vine spre tine sau se îndepărtează. La fel cum nu este indiferent dacă vine direct spre tine sau va trece pe alături. Te va interesa deci - pentru o caracterizare completă a unor mărimi - şi direcţia, dar şi sensul său (al vitezei în exemplificarea de mai sus). Acest fel de mărimi fizice, caracterizabile neapărat prin modul (fără modul restul discuţiei dispare, un vector zero nu are nici direcţie, nici sens) dar şi prin direcţie şi prin sens, şi câteodată şi prin punctul de aplicaţie, sunt mărimi vectoriale. În fizica şcolară vectorii la care punctul de aplicaţie este important am putea spune că nu apar. Totuşi greutatea este prin excelenţă un vector

Când vei termina de studiat acest capitol vei fi capabil :

să descrii o mişcare uniformă folosind limbajul adecvat

să defineşti viteza medie

să ştii ce este viteza momentană

să defineşti mişcarea accelerată

să poţi face măsurările necesare şi să calculezi viteza medie a unui vehicul.

Scalarii sunt mărimi perfect caracterizate printr-un singur număr – valoarea lor Vectorii sunt mărimi fizice care sunt caracterizate prin modul direcţie şi sens. Uneori descrierea presupune cunoaşterea punctului de aplicaţie al vectorului

Cinematica

3

care se aplică în centrul de greutate chiar dacă în mai toate problemele este perfect reprezentat ca un vector alunecător. Un vector alunecător este vector care poate fi aşezat oriunde pe dreapta lui suport (dar nu pe o dreaptă paralelă cu aceasta - o dreaptă translatată) fără a modifica efectul său. Greutatea este din acest punct de vedere un perfect vector alunecător pentru problemele din şcoală. Însă greutatea se aplică în acelaşi punct şi dacă rotim corpul, şi anume în centrul său de greutate, invariant pentru o anumită geometrie a corpului. Dar cel mai frecvent vector cu punct de aplicaţie, chiar dacă trece nebăgat în seamă, este vectorul de poziţie, a cărui origine porneşte din originea axelor alese. În oricare domeniu de activitate există un „jargon specific”. Cuvintele pot avea înţelesuri speciale. Scrierea este una dintre „sculele” cele mai importante pentru meseria de profesor. Să nu pierzi niciodată din vedere proprietatea cuvintelor pe care le foloseşti când vorbeşti sau scrii. În şcoala românească vectorii se notează cu săgetă superioară. Merită "un răgaz" pentru acest detaliu, care creşte eleganţa exprimării dar şi impune o anumită ţinută. Pe de altă parte o simplă liniuţă deasupra înseamnă altceva, valoarea medie. Pentru a evita multe confuzii dar şi din observaţia că prescurtările sunt adeseori sursele unei învăţări mai dificile, am folosit indicii explicativi exprimaţi complet. Acolo unde am considerat util – dar neapărat numai acolo – am pus paranteze însoţite de indicii explicativi, de exemplu (v2)mediu

sau altceva.

Adeseori în aceeaşi expunere sau în aceeaşi rezolvare apare T, tensiunea în fir şi T, perioada de oscilaţie, dar poţi nota, fără jenă, Ttensiune respectiv Tperioadă

L

, aceasta pentru a nu strica unele notaţii tradiţionale şi sugestive de altfel. Situaţii asemănătoare , care trebuie semnalate pentru a elimina confuzia sunt numeroase. De exemplu L pentru lucru mecanic şi L pentru modulul vectorului moment cinetic, etc. (Densitatea şi rezistivitatea, sunt ambele notate de regulă cu litera grecească rho ρ ; viteza luminii, căldura specifică şi viteza sunetului se notează toate cu c, etc.) De regulă se acordă prioritate notaţiei proprii capitolului respectiv iar celelalte mărimi se notează diferit ori cu indicii explicativi până la eliminarea oricărei confuzii. Abuzul de "o aceiaşi literă" repetată pentru diferite mărimi poate fi şi cu efecte negative. Trebuie o măsură, un echilibru. Chiar dacă ar putea fi un "conflict" cu alte stiluri, stilul ermetic sau grăbit nu este pentru acest nivel de pregătire, încă! Scrierea cu calculatorul, în "office" aduce acest stil, lax şi imprecis, foarte la îndemână. În textele tipărite se foloseşte adesea litera îngroşată (bold, al din) pentru vectori, dar acest mod este în mod evident un handicap pentru scrierea cu creta pe tablă (şi la fel pentru cel care transcrie şi îşi ia notiţe). Pentru eleganţa demonstraţiilor sau rezolvărilor, pentru

Asigură-te de fiecare dată că ai clarificat notaţiile până la eliminarea oricărei confuzii

V

Vector Pentru caracterizare - Modul - Direcţie - Sens - Punct de aplicaţie

Vectorul alunecător poate aluneca pe dreapta lui suport dar nu pe o dreaptă paralelă cu aceasta

M Valoare medie

Cinematica

4

consecvenţă şi coerenţă, este preferabil ca şi pe figuri mărimile vectoriale să fie desenate ca vectori. Astfel mărimile vectoriale vor fi mai bine ancorate în cunoştinţele elevilor. Mărimile scalare le operezi cu regulile de calcul algebric. Cu vectorii lucrurile sunt un pic mai complicate. Îţi reamintesc că – de exemplu – pentru vectori ai trei tipuri de înmulţiri. Înmulţirea cu un scalar – operaţie în care rezultatul multiplicării

vectorului v

(care are modulul v )cu scalarul λ produce un vector cu aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu vectorul multiplicat dar cu modulul multiplicat.

λλ ⋅=⋅ vv

( 1.1)

Înmulţirea scalară a doi vectori – operaţie care la aplicarea între vectorii 1v şi 2v ale căror direcţii fac unghiul θ produce un scalar a cărui valoare este

θcos2121 ⋅⋅=⋅ vvvv ( 1.2)

Înmulţirea vectorială a doi vectori - operaţie care la aplicarea între vectorii 1v şi 2v având acelaşi punct de aplicaţie, ale căror direcţii fac unghiul θ , produce un vector perpendicular pe planul vectorilor înmulţiţi, cu sensul dat de regula burghiului drept şi cu modulul

θsin2121 ⋅⋅=× vvvv ( 1.3)

Produsul vectorial, acolo unde se poate aplica este un mod de tratare foarte util, foarte "puternic". Pentru că oferă în formule răspunsul referitor nu numai la mărimea cerută dar şi la direcţie şi sens. Dacă "locul" o permite acest mod de învăţare poate fi util şi mai departe. Produsul vectorial a fost definit de matematicieni pentru aşezarea "coadă-coadă" a vectorilor. Pentru fizician este ceva mai comod deoarece sensul de rotaţie pe care l-ar provoca forţa din momentul forţei (prin momentul forţei) coincide chiar cu sensul produsului vectorial. Sub acest aspect şi profitând de această "facilitate" produsul vectorial poate fi mai uşor asimilat.

M r F b F= × = × ( 1.49

Totuşi, măcar la un moment dat, definiţia adevărată – integrală – trebuie enunţată. Este cazul cu orice noţiune pe care o introducem şi o folosim în formă prescurtată.

Regula burghiului drept Roteşte primul vector din produs către al doilea vector din produs pe drumul cel mai scurt. Sensul de deplasare al unui burghiu obişnuit (sau şurub obişnuit) rotit în acelaşi sens este sensul vectorului produs vectorial

Cinematica

5

Elevul nu trebuie să rămână pentru mai târziu cu un izvor de confuzii. Şi nici să creadă că a fost înşelat de cel care l-a instruit. Cu riscul să nu înţeleagă imediat el trebuie să "audă" adevărata exprimare, desigur la nivelul său sau cât mai pe limba lui. Ia ca pildă momentul forţei – cauza rotirii volanului de automobil. Pentru această situaţie produsul vectorial se defineşte ca acel vector de modul

αsin⋅⋅= rFM de direcţie perpendiculară pe planul definit de vectorii r (vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţe) şi forţa F (două drepte definesc un plan) şi de sens dat de sensul de înaintare al şurubului (sau burghiului) drept dacă rotim primul vector peste al doilea, pe drumul cel mai scurt. Drumul cel mai scurt se referă la unghiul mai mic de 180 grade dintre vectori. Urmăreşte ilustrarea produsului vectorial din figura de mai jos

Figura 1.1

ABBA ×−=× ( 1.5) Primul pest e al doi lea, se referă la ordinea în care sunt scrişi în formula vectorială. Primul peste al doilea arată că altfel s-ar schimba sensul vectorului produsul vectorial. Produsul vectorial este anticomutativ şi deci este important să păstrăm şi în exprimarea orală ordinea factorilor: momentul forţei este produsul (vectorial) dintre braţ şi forţă.

Produsul vectorial este anticomutativ

Cinematica

6

Burghiul stâng este mai rar, dar se întâlneşte în trusele pentru extragerea şuruburilor rupte. Şurubul stâng este ceva mai răspândit, şi poate fi exemplificat la întinzătoarele de la plasa de volei sau de tenis dar şi ca piesă utilă în gospodărie. Dar cel mai sigur mod de exersare a rotaţiei în sensul "drept” este permis de tirbuşon. Tirbuşonul stâng nu există decât doar ca şotie. În zilele noastre robinetul care era sursa principală de rotaţii drepte a cam dispărut, dar a apărut butelia de apă minerală care poate fi iar o sursă de a exersa rotaţia dreaptă. O definiţie lungă dar cu anumită morală a ei. Permite implementarea unui mod riguros de exprimare sau cel puţin mai atent. Uite, că mai pot fi şi capcane!

1.3. Sistem de referinţă Cinematica studiază mişcarea în spaţiu şi timp, abstracţie făcând de cauzele mişcării. Deplasarea unui corp are loc în raport cu alte corpuri. Fără aceste alte corpuri nu se poate vorbi de deplasare, care este întotdeauna relativă. Nu se poate vorbi de poziţie într-un spaţiu absolut, independent de corpurile aflate în el, ci numai de poziţie faţă de alte corpuri. Corpul, care se consideră prin convenţie fix şi faţă de care se studiază deplasarea altor corpuri, se numeşte corp de referinţă, de exemplu, Pământul sau Soarele. În figura 1.2 poţi observa mişcarea Pământului într-un sistem de referinţă legat de Soare.

Figura 1.2

De corpul de referinţă este legat rigid un sistem de coordonate, de exemplu, un sistem cartezian (ortogonal) de trei axe. Punctul P din camera figurată în imaginea 1.3 are poziţia determinată de cele trei coordonate carteziene ale sale.

Burghiu dr ept sau şurub drept se înşurubează la rotirea spre dreapta. Este şurubul normal. Există şi burghiu stâng sau şurub stâng care avansează la rotirea spre stânga. Caută un pix sau un stilou şi înşurubează-i capacul . Obiectul tău este aproape sigur un şurub drept

Cinematica

7

Figura 1.3

Bornele unei şosele reprezintă un sistem de referinţă cu o singură dimensiune. legat de Pământ . Reţine că am imaginat un sistem în care putem analiza mişcarea Pământului dar că pentru mişcarea automobilelor am considerat un sistem de referinţă pentru care Pământul este referenţialul fix.

Figura 1.4

Sistemul de coordonate pentru măsurarea poziţiei şi ceasornicul pentru măsurarea timpului constituie un sistem de referinţă sau reper.

Referenţial = Sistem de coordonate pentru determinarea poziţiei + ceasornic pentru măsurarea timpului

Cinematica

8

Mişcarea unei corp arată diferit în sisteme de referinţă diferite, de exemplu în sistemul de coordonate propriu, adică în sistemul de coordonate legat rigid de corp, acesta este în repaus. Practic, se alege întotdeauna un sistem de referinţă astfel încât fenomenul studiat să arate cât mai simplu. Din punct de vedere al dinamicii, se evidenţiază o clasă foarte importantă de sisteme de referinţă, numite inerţiale. O primă simplificare în studiul mişcării corpurilor materiale este neglijarea deformării corpului, adică considerarea corpului rigid (distanţele mutuale dintre părţile corpului sunt presupuse fixe). A doua simplificare este neglijarea dimensiunilor şi rotaţiilor proprii. Acesta este punctul material, caracterizat numai prin masa sa. În cinematică, masa nu interesează, de aceea punctul material devine mobil, adică un punct geometric în mişcare. Un corp oarecare poate fi considerat ca un sistem de puncte materiale. În mişcarea de translaţie, toate punctele corpului se mişcă identic, ca pe nişte linii paralele între ele, de aceea mişcarea unui singur punct al corpului caracterizează pe deplin mişcarea întregului corp, indiferent de dimensiunile acestuia, deci poţi aplica modelul punctului material.

1.4. Ecuaţia de mişcare Se numeşte traiectorie linia sau curba descrisă de mobil în timpul mişcării sale, adică locul geometric al punctelor prin care trece mobilul. Poziţia mobilului la un moment dat t este determinată de coordonatele sale, de exemplu x, y, z într-un sistem de coordonate ortogonal sau altfel, de vectorul de poziţie r

, ale cărui proiecţii (componente) pe axele

Oxyz sunt tocmai coordonatele x, y, z:

kzjyixr

++= , ( 1.6) 2222 zyxr ++= ( 1.7)

unde k ,j ,

i sunt versorii axelor - vectori cu direcţia şi sensul axelor şi de modul unitar

1=== kji

. ( 1.8)

Conform principiului perfectei localizări, se presupune că punctul material descrie o traiectorie continuă bine determinată, că în fiecare moment ocupă pe traiectorie o poziţie bine determinată şi că aceasta variază continuu în timp. Aceasta înseamnă că coordonatele punctului material x, y, z sunt funcţii finite, uniforme şi continue de timp:

)()()()( 321 trktfjtfitfkzjyixr

=++=++= . ( 1.9)

Ecuaţia de mai sus se numeşte ecuaţia cinematică a mişcării şi reprezintă ecuaţia parametrică a traiectoriei, în care parametrul este timpul. Mişcarea poate fi descrisă de asemenea de relaţia: s=f(t), unde s este coordonata curbilinie a mobilului, adică lungimea arcului de traiectorie.

Cinematica

9

1.5. Viteza Viteza medie pe o porţiune de traiectorie de lungime ∆s, parcursă în intervalul de timp ∆t, se defineşte prin raportul:

tsv∆∆

= . ( 1.10)

Viteza instantanee sau momentană la momentul t se obţine trecând la limită:

sdtds

tsv

t

def==

∆∆

=→∆ 0

lim , ( 1.11)

adică se obţine prin derivarea coordonatei curbilinii s în raport cu timpul. Dacă pe o traiectorie oarecare se parcurg distanţe egale în intervale de timp egale, mişcarea se numeşte uniformă pe traiectorie sau curbilinie uniformă. În figura 1.5 este prezentată mişcarea uniformă a unei maşini pe un drum cu dealuri şi văi

Figura 1.5

În figura 1.6 este prezentată o mişcare uniformă pe o traiectorie rectilinie

Figura 1.6

În cazul mişcării uniforme :

( )∫ ∫ −+=⇒=⇒===∆∆

00ss(t)vdtds ttvdtdsvconst

ts , ( 1.12)

unde s0 este coordonata la momentul iniţial t0Acest : (t + t

. 0

) reprezintă durata efectivă a respectivei mişcări şi de cele mai multe ori putem nota cu t.

Fixarea convenabilă a poziţiei unui punct material este legată de o alegere bună a coordonatelor. Sistemele de coordonate nu sunt neapărat carteziene, cu trei axe reciproc perpendiculare. Figurile 1.7 şi 1.8 prezintă posibilitatea fixării poziţiei aceluiaşi punct prin coordonatele sale carteziene (proiecţiile ( )zyx ,, ale poziţiei sale pe cele trei axe

Cinematica

10

reciproc perpendiculare) care au versorii ( )kji

,, dar şi în coordonate

cilindrice ( )zr ,,θ în sistemul cu versorii ( )keer ,, θ

Figura 1.7

Figura 1.8

Direcţiile axelor de coordonate alese, permit şi urmărirea altor caracteristici ale mişcării unui punct material. În figura de mai jos este prezentată traiectoria unei pietre pe care o arunci oblic. În imagine sunt prezentate de asemenea Viteza pietrei (şi pe componente) la diferite momente ale mişcării Acceleraţia gravitaţională imprimată de Pământ pietrei în timpul

mişcării

Cinematica

11

Figura 1.9

Figura 1.10

În figura 1.10 este prezentat modul în care - grafic – sunt corelate poziţia, distanţa parcursă şi viteza unui mobil aflat într-o mişcare oarecare. Vectorul deplasare este prin definiţie

rrr

−=∆ ' . ( 1.13)

Vectorul viteză medie v se defineşte prin raportul:

trv∆∆

=

( 1.14)

şi are direcţia vectorului deplasare. La limită, obţii vectorul viteză instantanee sau momentană:

rdtrd

trv

t

def

==∆∆

=→∆ 0

lim . ( 1.15)

Vectorul viteză este derivata vectorului de poziţie în raport cu timpul.

Cinematica

12

Vectorul viteză momentană are direcţia tangentei la traiectorie (este tangent la traiectorie).

Figura 1.11

În desenul de mai sus ţi se sugerează o kinogramă a paşilor pe care îi faci când studiezi o mişcare Alegi sistemul de referinţă pe care îl socoteşti potrivit Reprezinţi vectorul de poziţie al poziţiei de plecare şi cel al

poziţiei de sosire. Analizezi în ce măsură modulul diferenţei vectorilor de poziţie

coincide cu distanţa parcursă Defineşti vitezele utile

Pentru mingea care „ţopăie„ în figura 1.12, deplasarea pe orizontală este complet diferită de distanţa parcursă.

Figura 1.12

Pentru bila care cade pe verticală reprezentată în figura 1.13 vitezele determinate la momente diferite diferă între ele. Cu cât distanţa parcursă este mai mare cu atât viteza are modul mai mare.

Figura 1.13

Cinematica

13

La limită lungimea arcului de curbă ds coincide cu lungimea coardei subîntinse rd

, De exemplu la cerc de raza R:

12sin2

lim2sin2

limlim000

=∆

∆

=∆

∆

=∆

∆=

→∆→∆→∆ θ

θ

θ

θ

θθ R

R

sr

dsrd

s

, ( 1.16)

unde ∆θ este unghiul la centru (în radiani) al coardei de lungime

2sin2 θ∆R care subîntinde arcul de lungime R∆θ,. Din acest motiv

rezultă că derivata ds

rd

, având modulul 1, trebuie să fie un versor notat

t

, şi anume versorul direcţiei tangente la curbă în sensul creşterii coordonatei s:

tds

rd

==dtrd ,1 . ( 1.17)

Prin urmare:

tvdtds

dsrd

dtrdv

=== , ( 1.18)

vectorul viteză este tangent la traiectorie şi îndreptat în sensul mişcării. Viteza pe traiectorie s este componenta vectorului viteză v

pe direcţia

tangentei t

:

vsv unde ,

±=== tvv . ( 1.19)

1.6. Problemă rezolvată În mişcarea rectilinie direcţia vectorului viteză este fixă. Fie mişcarea rectilinie uniformă, constv =

. Atunci:

( )∫ −+=+=⇒=⇒=t

t

ttvrdtvrrdtvrddtrdv

0

000

. ( 1.20)

Aceasta este forma vectorială a legii de mişcare rectilinie uniformă. Pe componente, proiectând ecuaţia vectorială pe axe într-un sistem de coordonate cartezian, avem:

( )( )( )

−+=

−+=

−+=

00

00

00

z , ,

ttvzttvyyttvxx

z

y

x

( 1.21)

care reprezintă ecuaţiile cinematice ale mişcării uniforme şi în acelaşi timp ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, o linie dreaptă în spaţiu, sau în plan, după caz.

Cinematica

14

1. Ce este punctul material?

2. Cum defineşti traiectoria?

3. Defineşte viteza medie şi viteza momentană.

4. Care este unitatea de măsură a vitezei în SI? Ce unităţi derivate mai cunoşti?

5. Pietonul din figură se deplasează rectiliniu uniform . Umbra

capului lui se deplasează rectiliniu uniform? Are umbra lungime constantă?

1.7. Test de autoevaluare 1.1 Răspunde la următoarele întrebări:

Răspunsurile le găseşti la pagina 15

Cinematica

15

1. Punctul material este un model utilizat în fizică, atunci când putem

neglija dimensiunile unui corp. Punctul material este un punct (deci fără dimensiuni) care conţine întreaga masă a corpului

2. Se numeşte traiectorie linia sau curba descrisă de mobil în timpul mişcării sale

3. Viteza medie pe o porţiune de traiectorie de lungime ∆s, parcursă

în intervalul de timp ∆t, se defineşte prin raportul: tsv∆∆

= . Viteza

instantanee sau momentană la momentul t se obţine prin derivarea

coordonatei curbilinii s în raport cu timpul: def dsv s

dt= = = .

1.8. Lucrare practică Această lucrare o poţi realiza la tine acasă, pe câmp, pe şosea sau într-un laborator. Scopul ei este să determini viteza medie a unui mobil (un vehicul, o bicicletă, un tractor, un autobuz etc., un melc!!!). Prin definiţie viteza medie este spaţiul total parcurs, aşa cum este el făcut, din bucăţele, împărţit la durata totală a parcursului (la timpul total).

A. Dacă eşti într-un vehicul, un mod eficient ar fi să te raportezi la nişte distanţe cunoscute, - cele dintre bornele kilometrice.

B. Atunci viteza medie va fi distanţa parcursă împărţită la timpul dintre două borne, consecutive sau nu.

C. În cazul când observi mişcarea din afară, - mişcarea melcului de pildă, poţi alege noi repere. Două linii, doi copaci, Este esenţial să poţi măsura distanţa dintre repere.

D. Cronometrul poate fi un ceas, un telefon mobil sau chiar un cronometru.

E. O recomandare ar fi să calculezi viteza atât în metri pe secundă cât şi în kilometri pe oră.

F. Care crezi că ar fi cea mai potrivită unitate în cazul melcului? G. Care ar fi modul de a apropia viteza medie de cea instantanee?

1.9. Răspunsuri la testul de autoevaluare 1.1

Cinematica

16

1.10. Lucrare de verificare 1 Rezolvă cerinţele de mai jos şi trimite tutorelui rezultatele pe care le consideri corecte.

CCCooonnntttiiinnnuuuaaarrreee 4. Unitatea de măsură în SI a vitezei este ms-1. O unitate de

măsură uzuală este kmh-1. prin derivarea coordonatei curbilinii s în raport cu timpul. Transformarea dintr-o unitate în cealaltă se face:

1000mkm mh 3600s s

11 13,6

= = .

1000mkm mh 3600s s

11 13,6

= = .

5. Da. Viteza sa este omomstâlp

stâlp vhh

h−

Nu. Lungimea umbrei creşte uniform după regula

tvhh

hl om

omstâlp

om ⋅−

=

1. Pornind de la acceleraţia constantă, găseşte : Legea de mişcare x = x(t); (1 punct) Legea vitezei v = v(t) ; (1 punct) Prin particularizare legea pentru mişcarea uniformă. (1 punct) 2. Un mobil, pornind fără viteză iniţială, parcurge in prima secundă 1m, in a doua secundă 2m, … , în a n-a secundă parcurge n metri. Este această mişcare uniform accelerată? (3 puncte) 3. Efectuează lucrarea practică. Redactează – folosind un program de editare de texte – un protocol al lucrării tale în care prezintă rezultatele măsurătorilor şi calculele asociate . (3 puncte) Notă: Se va acorda un punct din oficiu Total 10 puncte

Cinematica

17

1.11. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie

Termeni şi expresii cheie

Mărimi scalare;mărimi vectoriale; Sistem de referinţă; Solid rigid;punct material; Traiectorie; Ecuaţie de mişcare; Viteză medie; viteză momentană;

Formule cheie Produsul scalar a doi vectori θcos2121 ⋅⋅=⋅ vvvv ;

Produsul vectorial a doi vectori 21 vv ×

θsin2121 ⋅⋅=× vvvv ;

Vectorul deplasare rrr

−=∆ ' ;

Vectorul viteză medie trv∆∆

=

;

Vectorul viteză momentană rdtrd

trv

t

def

==∆∆

=→∆ 0

lim ;

Cinematica

18

1.12. Bibliografie

1.A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 9-15 2. A. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 5-9 3. ***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983, pag. 3-4, 9-13

Mişcarea curbilinie

19


2. MIŞCAREA CURBILINIE

Cuprins Pagina MIŞCAREA CURBILINIE 19 2.1. Obiectivele unităţii de învăţare 2 20 2.2. Acceleraţia 20 2.3. Problemă rezolvată 24 2.4. Mişcarea circulară 25 2.4.1 Mişcarea circulară uniformă 25 2.4.2. Mişcarea circulară neuniformă 26 2.5. Test de autoevaluare 2.1 29 2.6. Produsul scalar şi produsul vectorial 30 2.7. Derivata unui vector. Formulele Poisson 31 2.8. Pendulul conic 32 2.8.1. Problemă rezolvată 33 2.9. Aruncarea pe oblică 33 2.9.1. Probleme rezolvate 35 2.10. Cinematica solidului rigid 36 2.10.1.Translaţia şi rotaţia 37 2.10.2.Distribuţia vitezelor 37 2.11. Lucrare practică 39 2.12. Test de autoevaluare 2.2 40 2.13. Răspunsuri la testele de autoevaluare 41 2.14. Lucrare de verificare 2 43 2.15. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 44 2.16. Bibliografie 44

Trenuleţul din montagne russe, bila atârnată de un fir sau un satelit care se roteşte în jurul Pământului se află în cursul mişcărilor pe traiectorii circulare sau care pot fi asimilate unor cercuri. Gândeşte-te la vitezele pe care le au obiectele desenate . Gândeşte-te la aceste viteze ca la vectori – adică descrieţi-le cu modul, direcţie şi sens


20

2.1. Obiectivele unităţii de învăţare 2

Viteza este tangentă la traiectorie . Pentru mişcarea pe traiectorii liniare, o eventuală variaţie a vitezei nu se poate referi decât la modulul acesteia. Dacă mişcarea unui mobil se face pe o traiectorie curbilinie , viteza variază chiar dacă – de exemplu – modulul său rămâne constant. Mărimea care descrie variaţia vitezei, acceleraţia, devine esenţială pentru descrierea mişcării.

2.2. Acceleraţia Măsura variaţiei, atât ca mărime cât şi ca direcţie, a vectorului viteză este vectorul acceleraţie. Analog vectorului viteză, se defineşte acceleraţia medie şi instantanee (momentană), astfel:

vdt

vd

t

va

t

va

t

def

0

lim ( 2.1)

rdt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vda

2

2

( 2.2)

sau

zv

yv

xva

z

y

xx

z

y

a

,a

,

( 2.3)

adică acceleraţia este derivata de ordinul întâi a vitezei sau derivata de ordinul doi a vectorului de poziţie în raport cu timpul t. În timp ce viteza este întotdeauna tangentă la traiectorie şi are sensul mişcării, acceleraţia în mişcarea curbilinie este întotdeauna orientată spre


să caracterizezi o mişcare circulară folosind un limbaj fizic adecvat;

să determini perioada de rotaţie, frecvenţa şi viteza unghiulară în mişcarea circulară uniformă;

să cunoşti expresia matematică a acceleraţiei centripete;

să descrii mişcarea circulară neuniformă;

să deduci caracteristicile mişcărilor în câmp gravitaţional uniform, pe traiectorii parabolice, datorate aruncării corpurilor;

să descrii diverse mişcări reale pe traiectorii curbilinii.


21

"interiorul" traiectoriei, adică spre partea concavă a traiectoriei, partea spre care se roteşte vectorul viteză. Numai în mişcarea circulară uniformă, acceleraţia este strict perpendiculară pe traiectorie – şi spre interior, desigur; numele său pentru această situaţie – acceleraţie centripetă – înseamnă „orientată către centrul traiectoriei”. Dacă viteza pe traiectorie v variază cu cantităţi egale în intervale de timp egale, mişcarea se numeşte uniform variată pe traiectorie sau curbilinie uniform variată şi acceleraţia atangeţială este constantă; se poate determina viteza, după cum urmează. Din

consadt

dvt ( 2.4)

rezultă

00 ttavvdtadv tt ( 2.5)

şi de asemenea

20000 2

1ttattvssvdtds t ( 2.6)

Eliminând timpul t, între expresiile de mai sus, vei obţine formula generală a lui Galilei:

0t20

2 ssa2vv , ( 2.7)

Poţi găsi o relaţie utilă eliminând acceleraţia:

2

vvv ,ttvstt

2

vvss 0

0000

0

. ( 2.8)

Unitatea de măsură în S.I. pentru acceleraţie este egală cu acceleraţia unui mobil în mişcare uniformă variată, a cărui viteză creşte cu o unitate (1ms-1) într-un interval de timp egal cu unitatea (1s):

SIin

s

m1

t

va

t

va

2

. ( 2.9)

Figura 2.1


22

În figura 2.1 este reprezentat un mobil aflat pe traiectoria sa în două

poziţii succesive , apropiate, caracterizate prin vectorii de poziţie ar şi

respectiv br . Tangentele la traiectorie în cele două puncte sunt figurate

ca vectorii at respectiv bt . Pentru traiectoria curbă, prin definiţie,

curbura este:

m

radC ,

d

ds

C

1R

ds

d

slimC

0s

def

( 2.10)

unde este unghiul (în radiani) dintre două tangente duse în două puncte aflate la distanţa curbilinie s între ele, iar R este raza de curbură. Ai putea considera că dacă punctele de pe traiectorie sunt foarte apropiate, există cu certitudine un cerc care se suprapune perfect pe traiectorie – pentru zona celor două puncte. Cercul despre care se poate spune că reprezintă local traiectoria se numeşte cerc oscilator. Centrul cercului oscilator este centrul local de curbură al traiectoriei. Raza acestui cerc este raza de curbură locală a traiectoriei. Nu confunda punctul O cu centrul sistemului de axe de coordonate. Originea sistemului este fixă. Pentru fiecare mică porţiune din traiectorie există o rază de curbură şi un centru local diferite de cele ale altor mici zone de traiectorie. Normala la curbă (adică perpendiculara pe tangenta la curbă), se numeşte normala principală (versorul normalei n

fiind îndreptat spre

centrul de curbura C). Normala la curbă, perpendiculară pe planul curbei, se numeşte binormală, versorul ei se alege conform produsului vectorial:

ntbdef

. ( 2.11)

Astfel, în fiecare punct al curbei poţi defini un triedru ortogonal bnt

,, numit triedru principal, natural sau triedru Frenet.

Figura 2.2

Imaginează-ţi în figură două poziţii succesive foarte apropiate ale punctului P. Desigur, poţi înţelege că


23

0 cand 1

2

2sin

2sin2

tt

, ( 2.12)

prin urmare derivata d

td

, având modulul 1, este un versor. Prin urmare,

în modul, direcţie şi sens:

nd

tdt

0lim , ( 2.13)

R

nnC

ds

d

d

td

ds

td

. ( 2.14)

Relaţia este cunoscută ca prima formulă a lui Frenet. Un vector variabil u

, de modul constant, de exemplu un versor, nu se

poate decât roti, deci ducându-l dintr-un punct fix, vârful său descrie o curbă situată pe o sferă de rază egală cu modulul vectorului. La limită, variaţia u

a vectorului de modul constant, devine du

, deci

perpendiculară pe vector. Poţi înţelege afirmaţia de mai sus dacă ai în vedere că triunghiul isoscel care are două laturi de lungime u şi o latură de lungime foarte : mică du are - practic – unghiul din vârf extrem de mic şi , implicit la bază , unghiuri (ambele) drepte - ca în figura 2.3..

Figura 2.3

uud deci ,0

uduconstuu . ( 2.15)

Analog demonstraţiei date pentru versorul t

rezultă că diferenţiala oricărui versor este egală în modul cu unghiul de rotaţie a versorului

( dtd

), iar ca direcţie este perpendiculară pe versor, adică derivata

unui versor în raport cu unghiul de rotaţie este un versor perpendicular pe versorul iniţial

tn

d

td

. ( 2.16)

Derivând, avem:


24

nt aanR

vtvs

ds

tdvtvtvtvva

2

( 2.17)

Vectorul astfel definit este acceleraţia instantanee care are componentele figurate în imaginea de mai jos

Figura 2.4

0a ,a

,

b

2

n R

v

svat

( 2.18)

Prin urmare, în fiecare moment vectorul acceleraţie se află în planul traiectoriei şi se descompune într-o componentă tangenţială, adică paralelă cu vectorul viteză, şi o componentă normală la traiectorie, îndreptată spre centrul de curbură, numită şi acceleraţie centripetă. Componenta at se datorează variaţiei modulului vitezei, iar componenta an se datorează variaţiei direcţiei vitezei. O mişcare curbilinie este întotdeauna accelerată din cauza variaţiei direcţiei vitezei.

2.3. Problemă rezolvată Încearcă să descrii mişcarea uniform încetinită a unui mobil care se deplasează pe o traiectorie rectilinie, utilizând cunoştinţele dobândite în studiul mişcării curbilinii.

Raza care apare în formule este raza locală de curbură a traiectoriei. Traiectoria nu este neapărat circulară


25

Ţi se propune o analiză a mişcării rectilinii uniform variate ca un caz particular de mişcare curbilinie. În mişcarea uniform variată rectilinie traiectoria este un cerc cu rază infinită ,R şi deci, anormala=0, astfel încât atangenţiala coincide cu atotală. În cazul atangentiala<0 şi v0>0, mişcarea este uniform încetinită pe traiectorie, existând un moment tmaxim şi o distanţă maximă parcursă smaxim la care corpul se opreşte (v=0):

ttm

ttm

t

a

vs

a

vss

a

v

a

vt

tavv

22

020

0

20

0

00

0 . ( 2.19)

2.4. Mişcarea circulară Dacă mişcarea studiată se desfăşoară astfel încât traiectoria este un cerc, mişcarea este numită circulară.

2.4.1. Mişcarea circulară uniformă Dacă viteza mobilului aflat în mişcare circulară este constantă în modul, vei numi tipul de mişcare corespunzător mişcare circulară uniformă.

Figura 2.5

Deliberat, în figura 2.4 sunt marcate numai modulele vectorilor de poziţie şi ai vitezelor pentru mobilul aflat în mişcare circulară uniformă.

Figura 2.6


26

Viteza pe traiectorie sau viteza liniară este (R=const, este raza traiectoriei iar este măsurat în radiani):

RRdt

d

dt

Rd

dt

dsv

)(

, ( 2.20)

unde

dt

ddef ( 2.21)

este viteza unghiulară instantanee sau momentană.

2.4.2. Mişcarea circulară neuniformă Pentru cazul în care viteza mobilului aflat în mişcare pe o traiectorie circulară nu are modulul constant, acceleraţia tangenţială este:

RRdt

d

dt

dvat

, ( 2.22)

unde

2

2

dt

d

dt

ddef ( 2.23)

este acceleraţia unghiulară instantanee în mişcarea circulară neuniformă. Acceleraţia normală sau centripetă este:

RvR

van

22

( 2.24)

şi , corespunzător, acceleraţia totală:

422n

2t Raaa . ( 2.25)

Viteza şi acceleraţia pot fi scrise vectorial dacă introducem vectorul viteză unghiulară

situat pe axa cercului – perpendicular pe planul

cercului – în sensul dat de regula burghiului, drept, aţa cum am mai

comentat. Atunci, vectorul acceleraţie unghiulară dt

d

va fi situat pe

aceeaşi axă,

ll prin urmare

Rv

( 2.26)

şi

RR

vRva

Ra

n

t

2

22

. ( 2.27)

În cazul mişcării circulare uniforme mobilul parcurge arce egale în intervale de timp egale, Figura 2.7. reia ideile ilustrate de figura 2.4 aplicându-le cazului mişcării pe traiectorie circulară.


27

constvt

s

. ( 2.28)

Atunci

constR

v , ( 2.29)

0dt

d , ( 2.30)

0 Rat , ( 2.31)

dar

02

R

van : ( 2.32)

00 ttdtdt

d

. ( 2.33)

Figura 2.7

Unitatea de măsură a vitezei unghiulare este egală cu viteza unghiulară a unui mobil care într-o mişcare circulară uniformă descrie un unghi la centru de 1rad într-o secundă:

SIin st

1

. ( 2.34)

Frecvenţa sau turaţia n se exprimă cu ajutorul lui prin:

22

n , ( 2.35)

Hz1s1 1 . ( 2.36)

Perioada (timpul unei rotaţii complete) este:

s1T ,21

T

. ( 2.37)


28

În mişcarea circulară neuniformă este variabil, funcţie de timp. De exemplu, în mişcarea circulară uniform variată poţi deduce uşor relaţii analoge celor din mişcarea liniară uniform variată :

,00 ttconstdt

d

( 2.38)

20000 2

1ttttdt

dt

d

, ( 2.39)

020

2 3 , ( 2.40)

2

unde ,2

0000

00

tttt . ( 2.41)

Numărul de rotaţii efectuate este

20

N . ( 2.42)

Unitatea de măsură a acceleraţiei unghiulare este egală cu acceleraţia unghiulară a unui mobil aflat în mişcare circulară uniform accelerată a cărui viteza unghiulară creşte cu o unitate (1s-1) într-o secundă:

2s1t

. ( 2.43)

În mişcarea circulară oarecare, forţa are componentele,

amF

( 2.44)

de unde

vmRmR

vmmaF

Rdt

dmR

dt

dmRm

dt

sdm

dt

dvmmaF

nn

tt

22

2

2

2

2

( 2.45)

iar vectorial:

RR

vmRmvmF

RmF

n

t

2

22

( 2.46)

şi

2n

t

a

atg

. ( 2.47)

În mişcarea circulară uniformă v=const, dar constv

, deci at=0 şi Ft=0, dar

02

R

van , ( 2.48)

(=0), acceleraţia este centripetă, deci şi forţa este centripetă. Mişcările descrise până în acest moment nu epuizează nici de departe situaţiile posibile. Pentru amuzament , gândeşte-te cum sunt combinate mişcări circulare şi liniare pentru furnicile din imaginile 2.8 şi 2.9.


29

1. Ce traiectorie descrie un mobil în mişcarea circulară?

2. Cum defineşti viteză unghiulară? Care este unitatea sa de măsură în S.I.? 3. Defineşte perioada şi frecvenţa de rotaţie. Care este relaţia dintre ele?

4. Există acceleraţie în mişcarea circulară uniformă?

5. Descrie acceleraţia unghiulară pentru mişcarea circulară uniform accelerată

Figura 2.8

Figura 2.9

Descrierea unor mişcări mai complicate cere aprofundarea câtorva noţiuni matematice referitoare la vectori.

2.5. Test de autoevaluare2. 1 Răspunde la următoarele întrebări:



30

2.6. Produsul scalar şi produsul vectorial a) Expresia analitică a produsului scalar într-un sistem de coordonate ortogonal se obţine astfel:

zzyyxxzyxzyx bababakbjbibkajaiaba

, ( 2.49)

deoarece

0ikkjji si 1222

kji . ( 2.50)

Pe de altă parte, notând

baa b si

, ( 2.51)

poţi scrie:

ab

bababaabba

,cos unde de ,,cos . ( 2.52)

Produsul scalar a doi vectori perpendiculari este nul. b) Poţi obţine expresia analitică a produsului vectorial într-un sistem de coordonate ortogonal ca mai jos

kbabajbabaibababa

kbjbibkajaiaba

zyyxzxxzyzzy

zyxzyx

( 2.53)

sau sub forma de determinant:

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

, ( 2.54)

baabba

sin , ( 2.55)

deoarece:

jik ,ikj ,kji si 0

kkjjii . ( 2.56)

Doi vectori paraleli au produsul vectorial nul. c) Cu ajutorul formulelor de mai sus poţi demonstra expresia produsului mixt, care este simetric la permutări circulare:

cbabacacb

ccc

bbb

aaa

cba

zyx

zyx

zyx ,, ( 2.57)

şi dezvoltarea dublului produs vectorial:

baccabcba

. ( 2.58)

Produsul mixt este numeric egal cu volumul paralelipipedului construit cu cei trei vectori.


31

2.7. Derivata unui vector. Formulele Poisson

Consideraţiile următoare îşi pot părea prea sintetice dar, dacă le vei asimila, mai toate deducerile care se găsesc în primele 4-5 unităţi de învăţare devin foarte simple. Derivata unui vector variabil, dar de modul constant, este perpendiculară pe vector:

uddt

ud

dt

udu

dt

udconstuuu

02

22 . ( 2.59)

Într-adevăr, vectorul fiind constant, ca mărime, singura lui schimbare ar putea să fie doar ca direcţie, ca orientare. Adică pe un cerc de rază cât vectorul sau pe o sferă, în spaţiu.

Derivata dt

ud

are semnificaţia vitezei de variaţie a vectorului u

sau a

vitezei de deplasare a vârfului vectorului u

. De aceea se poate introduce viteza unghiulară momentană

de rotaţie a vectorului u

:

udt

ud

( 2.60)

Dacă

dt

udconstu

. ( 2.61)

Vectorul

nu este complet determinat, dar trebuie să fie situat într-un

plan perpendicular pe dt

ud

. Ţinând seama că derivata unui vector de

direcţie fixă, variabil doar în modul, este paralelă cu vectorul, putem concluziona că derivata unui vector este în general oblică faţă de vector şi se descompune într-o componentă longitudinală, paralelă cu vectorul dat, determinată de variaţia modulului vectorului şi o componentă transversală, normală pe vectorul dat, determinată de variaţia direcţiei vectorului.

Derivatele versorilor unui sistem de coordonate ortogonal mobil se exprimă în fiecare moment prin produsele vectoriale:

jikdt

kd

kijdt

jd

kjidt

id

xy

xz

yz

, ( 2.62)

unde

este un vector unic determinat, adică rezultă dintr-o rotaţie infinitezimală cu viteza unghiulară momentană

. Relaţiile de derivare

a versorilor unui sistem de coordonate poartă numele de formulele lui Poisson. În paragrafele care urmează vor fi analizate, folosind cunoştinţele acumulate, câteva mişcări observate în mod comun.


32

2.8. Pendulul conic Un corp mic cu masa m, suspendat de un fir inextensibil de lungime L se roteşte descriind un cerc orizontal cu raza r ca în figura 2.10. Dacă firul este tot timpul generatoare a unei pânze de con, sistemul este denumit pendul conic.

Figura 2.10

Aşa cum rezultă din figură, corpul se află în interacţiune cu Pământul – care-i imprimă greutatea mg, şi cu firul care-l susţine cu tensiunea T. Rezultanta acestor două forţe, situată în planul traiectoriei şi orientată către centrul cercului îndeplineşte rolul unei forţe centripete. Pe componente poţi scrie că:

r

mvT

mgT2

sin

cos

( 2.63)

Prin împărţirea celor două relaţii rezultă

gr

vtg

2

( 2.64)

Din motive geometrice

sin Lr ( 2.65)

şi prin urmare

sin tggLtggrv ( 2.66)

Perioada revoluţiei pendulului Tr ( care nu trebuie confundată cu tensiunea din fir T) are expresia

g

L

tggr

r

v

rTr

cos2

22

( 2.67)

Relaţia (2.66) îţi arată că mărirea vitezei determină creşterea unghiului dintre fir şi verticală. Prin consecinţă din prima relaţie (2.63) îţi rezultă că mărirea vitezei determină creşterea tensiunii în fir.


33

2.8.1. Problemă rezolvată O bilă cu masa de 0,5 kg este legată de un fir de lungime 1,5 m . Bila se roteşte într-un plan orizontal ca în figura 2.11. Dacă firul rezistă la o tensionare maximă de 50N, găseşte viteza maximă pe care o poate avea bila fără ca firul să se rupă.

Figura 2.11

Forţa centripetă este – în acest caz – tensiunea T din fir.

r

vmT

2 ( 2.68)

Determinarea valorii vitezei din datele problemei conduce la

smvm

rTv

im

imim

/2,12max

maxmax ( 2.69)

2.9. Aruncarea pe oblică O situaţie curentă de mişcare pe o traiectorie curbilinie, este aceea a aruncării pe o oblică în câmp gravitaţional uniform. În continuare vei analiza mişcarea unei mingii de golf, lansată cu viteza 0v sub unghiul

faţă de orizontală . Vei neglija rezistenţa aerului.

Figura 2.12

Pentru rezolvarea problemei, sistemul convenabil de referinţă este unul rectangular cu versorii kji

,, ; se poate presupune că, la momentul

iniţial, mingea se află în originea acestui sistem. Dacă zyxr ,,

este


34

vectorul de poziţie al centrului de masă, acceleraţia corpului are expresia

jgkzjyix

( 2.70)

Pentru mişcările pe cele trei direcţii poţi scrie

0

0

z

gy

x

( 2.71)

şi prin integrare îţi rezultă pentru viteze

3

1

1

Cz

Cgty

Cx

( 2.72)

Dacă ţii seama de condiţiile iniţiale vei obţine

0

sin

cos

3

02

01

C

vC

vC

( 2.73)

şi printr-o nouă integrare,

6

50

2

40

sin2

cos

Cz

Ctvgt

y

Ctvx

( 2.74)

Forma finală a legilor de mişcare în care ai ţinut seama de condiţiile iniţiale este

0

sin2

cos

0

2

0

z

tvgt

y

tvx

( 2.75)

Aceste relaţii descriu o parabolă în planul xOy determinat de viteza iniţială şi acceleraţia gravitaţională verticală.

tgxv

gxy

220

2

cos2 ( 2.76)

Dacă vei nota cu 1t timpul la care se atinge înălţimea maximă (pentru

care 01 ty ) rezultă


35

g

vtyy

g

vt

vgt

im 2

sin

sin

sin0

220

1max

01

01

( 2.77)

Dacă vei nota cu 2t timpul la care mingea atinge din nou Pământul

g

vx

g

vt

tvgt

ty

im

cossin2

sin2

sin2

0

20

max

02

20

2

2

( 2.78)

Poţi uşor că, mingi lansate din acelaşi punct, sub unghiuri complementare cad în acelaşi loc. „Bătaia” maximă se realizează pentru lansarea sub un unghi de 450.

2.9.1. Probleme rezolvate a. Cât de departe poate fi aşezată cutia din figura de mai jos, pentru ca tunarul să poată trimite o ghiulea în ea? Consideră ca viteza ghiulelei la ieşirea din tun este de sm /30 şi că acceleraţia gravitaţională este

2/10 smg .

Figura 2.13

Distanţa maximă la care poate fi trimisă ghiuleaua se realizează pentru cazul în care unghiul de aruncare respectă condiţia

12sin Corespunzător, din ultima relaţie din ansamblul (2.78) rezultă

mx

g

vx

im

im

90

cossin2

max

20

max

( 2.79)

b. Găseşte unghiul de lansare cu care este lansat proiectilul din figură pentru a putea lovi în dreptul unui punct aflat la distanţa d de tun


36

bombardierul care zboară cu viteza constantă bombv la înălţimea

constantă H. Consideră că proiectilul nu poate urca mai sus de înălţimea H. Determină, de asemenea, distanţa pe orizontală dintre avion şi tun la momentul în care se execută tragerea.

Figura 2.14

Punctul de înălţime maximă al traiectoriei proiectilului trebuie să aibă coordonatele Hd, . Prin urmare

d

Htg

H

d

Hg

v

dg

v

2sin

cos2

2

sin

cossin

220

20

( 2.80)

Se poate ţine seama de relaţia

21

sintg

tg

( 2.81)

dar se poate calcula şi direct timpul de zbor al proiectilului

g

dtzbor

2 ( 2.82)

În acest timp avionul parcurge distanţa tv bomb

Distanţa pe orizontală dintre tun şi avion este

g

dvdD bomb

2 ( 2.83)

2.10. Cinematica solidului rigid În mişcarea lor, majoritatea obiectelor din natură sunt departe de a putea fi considerate puncte materiale. Ele sunt „colecţii de puncte”.


37

Fiecare punct al unui solid se mişcă după reguli proprii. Este esenţială determinarea unor metode de descriere cât mai economică a ansamblului. De exemplu, în mişcarea unei roţi de bicicletă în jurul axului propriu toate punctele oricărei spiţe au aceeaşi viteză unghiulară. Apare o simplificare importantă a studiului dacă poziţiile relative ale punctelor din solid rămân neschimbate în cursul mişcării adică dacă obiectul este nedeformabil. Toate corpurile din natură sunt mai mult sau mai puţin deformabile. Atunci când în problema considerată poţi neglija deformările corpului, te afli în aşa numita aproximaţie a solidului rigid.

2.10.1. Translaţia şi rotaţia Mişcarea de translaţie a solidului reprezintă acea mişcare în care orice dreaptă legată rigid de solid se deplasează paralel cu ea însăşi. Toate punctele corpului au traiectorii, viteze şi acceleraţii identice, de aceea mişcarea de translaţie este complet determinată de mişcarea unui singur punct arbitrar al corpului (deci se aplică modelul punctului material). Viteza şi acceleraţia de translaţie sunt vectori liberi, ale căror puncte de aplicaţie pot fi alese în orice punct al corpului. Mişcarea de rotaţie a solidului este acea mişcare în care toate punctele solidului descriu cu aceeaşi viteză unghiulară cercuri paralele ale căror centre sunt situate pe o dreaptă numită axa de rotaţie.

Viteza unghiulară dt

d , aceeaşi pentru toate punctele rigidului, se

reprezintă printr-un vector de modul , situat de-a lungul axei de rotaţie în sensul dat de regula burghiului. Vectorul

este vector glisant sau

alunecător, al cărui punct de aplicaţie poate fi ales în orice punct al axei de rotaţie.

2.10.2. Distribuţia vitezelor În figura 2.15 este prezentată mişcarea punctelor unui disc care se rostogoleşte de-a lungul unei linii drepte astfel încât viteza de translaţie a centrului discului să fie constantă.

Figura 2.15

Mişcările unor puncte de pe circumferinţă sunt diferite, dar între vitezele lor există corelaţii. Pentru analiza unor mişcări complexe poţi introduce un sistem de coordonate S' legat rigid de corp şi care se mişcă deci solidar cu corpul, numit sistem de coordonate propriu.


38

Figura 2.16

În aceste sisteme un vector de poziţie se scrie

'''''ix''r ,'0 kzjyrrr

, ( 2.84)

unde 'r

este fix faţă de S' (adică x', y', z' fixe), dar se mişcă faţă de sistemul de coordonate notat S, odată cu S'. Prin derivare vei obţine:

dt

kdz

dt

jdy

dt

idx

dt

rd

vdt

rdv

dt

rd

dt

rd

dt

rd

dt

rd

''

''

''

'

, iar ,'

000

, ( 2.85)

unde v

este viteza punctului P, iar 0v

este viteza punctului O'. Dacă

aplici formulele lui Poisson, vei avea :

''''''''

rkzjyixdt

rd

, ( 2.86)

Observă că ai obţinut în urma acestor calcule formulele lui Euler:

rotvvrrvrvv

0000 ' , ( 2.87)

0

0

' rrrv

vv

rot

tr

, ( 2.88)

ceea ce înseamnă că deplasarea infinitezimală a solidului

dtvrd

( 2.89)

se descompune în fiecare moment într-o translaţie infinitezimală dtvrd 00

( 2.90)

şi o rotaţie infinitezimală

dtvrd rot

' ( 2.91)

în jurul unei axe trecând prin O', cu viteza unghiulară

( 0v

şi

sunt în

general funcţii de timp). În fiecare moment viteza oricărui punct P al rigidului este egală cu viteza unui alt punct oarecare O' al rigidului, 0v

, plus o viteză de rotaţie


39

în jurul unei axe trecând prin punctul O' 'rv rot

. Prin urmare

mişcarea rigidului se descompune în mişcarea de translaţie a unui punct oarecare al acestuia şi o rotaţie în jurul unei axe trecând prin acel punct. 1) Viteza unghiulară este o caracteristică intrinsecă a mişcării corpului, adică modulul şi direcţia vectorului

sunt independente de

sistemul de coordonate S' propriu ales, doar axa de rotaţie se deplasează paralel cu ea însăşi în noul pol ales. Cu alte cuvinte, prin schimbarea polului vectorul

se deplasează echipolent în noul pol.

Într-adevăr, putem trece de la S' iniţial la oricare altul S'' în două etape. Întâi rotim S' astfel încât axele să devină paralele cu S', atunci

devine '

faţă de S' rotit, dar din condiţia

''' 00 rvrvv

, ( 2.92)

rezultă

'0'r'

, ( 2.93)

deoarece 'r

este arbitrar. La trecerea sistemului rotit la cel final S'', printr-o translaţie, derivatele vectorilor nu sunt afectate şi deci '

.

2) Toate punctele corpului au în fiecare moment aceeaşi proiecţie (componenta longitudinală) a vitezei pe axa de rotaţie, independentă de S' propriu ales. Înmulţind relaţia de mai sus scalar cu

şi ţinând

seama că 'rv rot

este perpendicular pe

şi deci produsul lor

scalar este nul, obţii

0vv

, ( 2.94)

de unde:

000 ,cos,cos vvvvvv llll

. ( 2.95)

Deoarece viteza de translaţie este viteza punctului ales drept pol şi deoarece axa de rotaţie se poate deplasa doar paralel, oriunde am alege polul obţinem aceeaşi componentă longitudinală a translaţiei, rotaţia generând numai viteze perpendiculare pe axa de rotaţie. Deci, putem deplasa vectorul

paralel cu el însuşi schimbând polul şi

schimbând corespunzător doar componenta transversală a vitezei, cea longitudinală neputând fi schimbată. Produsul scalar v

este un

invariant al mişcării.

2.11. Lucrare practică

Determinarea perioadei unei mişcări de rotaţie. Prin definiţie perioada este durata unei rotaţii complete. A. Poţi determina perioada prin cronometrarea unei singure rotaţii, o tură cum s-ar zice dacă e vorba de un sistem mai lent ( un carusel de pildă, roata mare la un tractor care merge la pas etc.)


40

1. Care este definiţia razei de curbură pentru un punct de pe

traiectorie?

2. Care este valoarea acceleraţiei normale pentru o mişcare

curbilinie în punctul în care viteza mobilului are valoarea de sm /10 iar raza de curbură este de 2m ? 3. Calculează expresiile

kji

kji

kjj

kji

4. Calculează unghiul sub care a fost lansat un corp cu viteza iniţială 0v şi care ajunge la distanţa D de punctul de lansare.

Acceleraţia gravitaţională este g. Consideră ca acel corp pleacă de la nivelul zero şi ajunge la nivelul zeroşi că acceleraţia gravitaţională este g.

B. Dacă rotaţia este mai rapidă sau vrei să măsori mai exact, cronometrează durata mai multor rotaţii, (10, 20, 50 sau chiar 100) şi împarte această durată la numărul de rotaţii. Poţi alege o roată de fântână, o roată de la o bicicletă ţinută ridicată pe care ai pus o pată de vopsea sau chiar un motoraş mai lent. C. Folosind un editor de texte, scrie un protocol în care descrie mişcările circulare pe care ţi-ai propus să le analizezi. Descrie măsurările pe care le-ai făcut şi tabelează rezultatele acestor măsurări. Analizează sursele de eroare şi estimează aceste erori.

2.12. Test de autoevaluare 2.2 Răspunde la următoarele întrebări:


41

TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 222...222 --- cccooonnntttiiinnnuuuaaarrreee 5. Calculează distanţa maximă la care poate stropi grădinarul din figură, dacă apa iese din furtun cu viteza de sm /10 sub un unghi de 450 ( 2/10 smg ).

TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee222... 111 RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii 1. În mişcarea circulară, traiectoria unui mobil este un cerc.

2. dt

ddef este viteza unghiulară instantanee sau

momentană şi reprezintă unghiul la centru parcurs de un mobil în mişcare circulară în unitatea de timp. Ea se măsoară în rad ·s-1. 3. Perioada de rotaţie T reprezintă timpul necesar efectuării unei rotaţii complete. Frecvenţa de rotaţie reprezintă numărul de rotaţii efectuate în unitatea de timp (secundă,

minut, oră). Relaţia dintre cele două mărimi este 1

T

Răspunsurile le găseşti la paginile 42-43.

2.13. Răspunsuri la testele de autoevaluare


42

TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 222...222... RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii 1. Raza de curbură este limita raportului arcului de curbă şi unghiul tangentelor în capetele arcului când lungimea

arcului tinde spre zero m

radR C ,

d

ds

2. Conform definiţiei. 22

/50, smaR

va - de mai mult de

5 ori mai mare ca acceleraţia gravitaţională.

3.

kkji

kji

kjj

kji

0

0

1

TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 222...111 RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii Continuare 4. Da. Acceleraţia normală datorată schimbării direcţiei

vitezei ce are modul constant 02

R

van

5. Acceleraţia unghiulară se datorează variaţiei modulului vitezei. Are direcţia tangentă la traiectorie în

punctul la care se referă. Expresia sa este 2

2

dt

d

dt

ddef

Acceleraţia unghiulară este corelată cu acceleraţia

tangenţială RRdt

d

dt

dvat


43

2.14. Lucrare de verificare 2 Trimite tutorelui răspunsurile pe care le consideri corecte

1. Pornind de la reprezentarea grafică găseşte expresia acceleraţiei centripete. (1 punct) 2. Un mobil se mişcă uniform variat pe un cerc de rază R=10cm. Află acceleraţia normală an a mobilului după t=20s, ştiind că după N0=5 rot de la pornire viteza mobilului este v0=10cms-1. (2 puncte) 3. Găseşte viteza la cădere şi unghiul format de direcţia acestei viteze cu orizontala pentru ghiuleaua din problema 2.9.1. (2 puncte) 4. Descrie mişcarea unui pendul conic într-o navă cosmică în care atracţia gravitaţională este neglijabilă. (1 puncte) 5. Efectuează lucrarea practică propusă. Protocolul redactat adaugă-l acestei lucrări. (3 punct) Notă: Se va acorda un punct din oficiu Total 10 puncte

TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 222...222... RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii cccooonnntttiiinnnuuuaaarrreee

4. Din expresia traiectoriei

tgxv

gxy

220

2

cos2, pentru

punctul de cădere care are coordonatele 0,D în sistemul de coordonate cu originea în punctul de lansare se poate scrie

20

20

20

220

2

arcsin2

1;cossin2

sincos2

0;cos2

0

v

gD

v

gD

v

gDDtg

v

gD

5. Ecuaţia traiectoriei pentru situaţia descrisă este

,10

2

xx

y şi pentru punctul de cădere de

coordonate )1,( x se poate scrie

010102 xx adică smx /11


44


2.16. Bibliografie 1.A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 41-49 2.A. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 34-59, 96-107 3.***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983, pag. 25-26

Termeni şi expresii cheie Acceleraţie medie; acceleraţie momentană; Acceleraţie tangenţială; acceleraţie normală; Acceleraţie unghiulară; Mişcare circulară uniformă; mişcare circulară

neuniformă; Frecvenţa mişcării circulare; perioada mişcării

circulare; Aruncare pe oblică; Mişcarea de translaţie a solidului rigid; Mişcarea de

rotaţie a solidului rigid;

Formule cheie

Acceleraţie medie t

va

;

Acceleraţie momentană vdt

vd

t

va

t

def

0

lim ;

Curbură ds

d

sC

s

def

0

lim ;

Raza de curbură d

ds1

CR ;

Acceleraţie unghiulară dt

d

;

Acceleraţie tangenţială Rat

;

Acceleraţie normală RR

vRvan

2

22 ;

Acceleraţie totală nt aaa

;

Formulele lui Poisson etckjidt

idyz ,

Formulele lui Euler rot0000 vvrrv'rvv

;

Principiile dinamicii

45


3. PRINCIPIILE DINAMICII Cuprins Pagina

3. PRINCIPIILE DINAMICII 45 3.1. Obiectivele unităţii de învăţare 3 46 3.2. Principiul I al dinamicii 46 3.3. Principiul II al dinamicii 49 3.4. Principul III al dinamicii 52 3.4.1. Problema rezolvată 1 53 3.5. Forţe de frecare 57 3.5.1. Problema rezolvată 2 58 3.5.2. Problema rezolvată 3 60 3.6. Test de autoevaluare 3.1 66 3.7. Lucrare practică 67 3.8. Răspunsuri la testul de autoevaluare 68 3.9. Lucrare de verificare 3 69 3.10. Bibliografie 69 3.11. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie. 70

În Principiul 1 apar 0 forţe

În principiul 2 apare 1 forţă

În principiul 3 apar 2 forţe


46

3.1. Obiectivele unităţii de învăţare Principiile dinamicii Dinamica clasică (newtoniană) se bazează pe trei principii, formulate de Isaac Newton în anul 1687.

3.2. Principul I al dinamicii Experienţa îţi arată că un corp în repaus sau în mişcare rectilinie uniformă faţă de Pământ rămâne în repaus sau în mişcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra lui nu acţionează alte corpuri, care să-i modifice această stare. Prin abstractizare, se ajunge la principiul sau legea inerţiei (prima lege a lui Newton), cunoscută încă de Galilei (1632): un punct material rămâne în repaus sau în mişcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i schimbe această stare de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă. Proprietatea unui corp de a-şi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă, în absenţa acţiunilor exterioare, sau de a se opune la orice acţiune exterioară care caută să-i schimbe starea de mişcare, se numeşte inerţie. Astfel, corpurile sunt inerte în sensul că nu-şi pot schimba de la sine starea lor de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă. În virtutea inerţiei, corpurile se mişcă rectiliniu uniform în absenţa acţiunilor exterioare şi datorită inerţiei tind să-şi menţină această stare de mişcare, opunându-se sau reacţionând la acţiunile exterioare. Inerţia este o noţiune calitativă, dar se obişnuieşte a se spune că masa corpurilor este o măsură a inerţiei. Dar evident, masa este...masa.


să enunţi principiile dinamicii;

să enunţi legile frecării;

să explici într-un limbaj fizic adecvat fenomenele mecanice studiate;

să aplici noţiunile, legile şi principiile studiate în rezolvarea de probleme;

să realizezi conexiuni între fenomenele mecanice din mediu şi noţiunile studiate;


47

Conform principiului inerţiei, mişcarea rectilinie uniformă se autoîntreţine, adică nu necesită nici o acţiune exterioară pentru menţinerea ei. Dimpotrivă, orice acţiune exterioară strică o astfel de mişcare, curbând traiectoria sau modificând valoarea vitezei, adică produce o mişcare accelerată.

Figura 3.1

Galileo Galilei 1564-1642. Matematician, astronom şi fizician italian profesor al Universităţilor din Pisa şi Padova. A demonstrat experimental că acceleraţia este identică la căderea tuturor corpurilor. Este evident că, mişcarea rectilinie uniformă faţă de un sistem de referinţă nu mai este astfel faţă de alte sisteme de referinţă care se mişcă accelerat faţă de primul. Dacă principiul inerţiei este valabil într-un sistem de referinţă dat, atunci el va fi valabil în toate sistemele de referinţă care se mişcă rectiliniu uniform faţă de acesta. Sistemele de referinţă în care este valabil principiul inerţiei se numesc sisteme de referinţă inerţiale. Cunoşti că un sistem de referinţă legat de "planeta" Pământ nu este riguros inerţial, din cauza rotaţiei diurne a Pământului, dar într-o primă aproximaţie poţi considera sistemul de referinţă legat de Pământ ca fiind practic inerţial. Din punct de vedere al principiului inerţiei toate sistemele de referinţă inerţiale sunt absolut echivalente, nici unul nu poate fi considerat fix sau absolut.

Figura 3.2

Sir Isaac Newton,1642-1727. Matematician şi fizician englez, profesor la Cambridge, preşedinte al Royal Society. A stabilit legile mişcării şi ale atracţiei gravitaţionale aplicându-le şi în astronomie.


48

O formulare generală a principiului inerţiei este următoarea: corpurile suficient de îndepărtate unele de altele (izolate între ele) se mişcă unele faţă de altele rectiliniu uniform. Există multe formulări ale acestui principiu, depinzând de traducere dar şi de nivelul de adresare. O formulare uzuală este cea care conţine afirmaţia „dacă asupra lui nu acţionează alte corpuri”, dar să remarcăm că este suficient ca acţiunea acestor corpuri să se anuleze reciproc, respectiv forţa rezultantă să fie nulă. Este important să stabileşti legătura dintre coordonatele unui eveniment faţă de diferite sisteme de referinţă, adică transformările de coordonate care exprimă trecerea de la un sistem de referinţă la altul. Astfel, poţi stabili care aspecte ale fenomenelor şi legilor sunt relative, adică depind de sistemul de referinţă ales, şi care sunt absolute sau invariante, adică independente de alegerea sistemului de referinţă. Ceea ce vrei să deduci este legătura dintre coordonatele ( )tr ,

,

poziţie/timp, măsurate în sistemul S şi coordonatele ( )',' tr

măsurate într-un alt sistem S', aflat în mişcare rectilinie şi uniformă faţă de S. Consideră două sisteme de referinţă notate cu S şi S'. Presupune că S' se mişcă faţă de S rectiliniu uniform cu viteza constantă u

. Faţă de

sistemul S, aplicând regula adunării vectoriale, vei avea: turrr

−−= 0' ,

0' ttt −= , unde ut reprezintă distanţa OO' dintre originile celor două sisteme de referinţă şi toate mărimile sunt măsurate în sistemul S. În mecanica clasică newtoniană se consideră că distanţele şi intervalele de timp, măsurate în diferite sisteme de referinţă, sunt aceleaşi, adică au un caracter absolut sau invariant.

Figura 3.3

Relaţiile de mai sus se numesc transformările lui Galilei şi îţi permit determinarea coordonatelor ( )',' tr

ale unui eveniment din sistemul S'

dacă se cunosc coordonatele ( )tr ,

ale aceluiaşi eveniment în sistemul S, care se deplasează rectiliniu uniform faţă de S.


49

Scriind transformările inverse, de trecere de la sistemul S' la S, ( )00 '' tturrr +++=

, ( 3.1)

0t'tt += , ( 3.2)

diferenţiindu-le

'' dturdrd

+= , ( 3.3)

'dtdt = şi împărţindu-le membru cu membru

udtrd

dtdturd

dtrd

+=+

='

''' , ( 3.4)

vei obţine legea clasică de compunere a vitezelor:

uvv

+= ' , ( 3.5)

Viteza unui corp faţă de sistemul S este egală cu viteza "relativă" faţă de sistemul S' plus viteza de "transport" a sistemului S' faţă de S. Diferenţiind relaţiile de compunere a vitezelor şi împărţindu-le la dt=dt', vei obţine legea de compunere a acceleraţiilor:

==

=

⇒=

0ud si constu deoarece

,'

'

aadtvd

dtvd

, ( 3.6)

Acceleraţia este aceeaşi în toate sistemele de referinţă care se mişcă uniform unele faţă de altele, adică acceleraţia este invariantă faţă de sistemele de referinţă aflate în translaţie relativă uniformă. Dacă acceleraţia este nulă într-un sistem S ( corpul este în repaus sau se mişcă rectiliniu uniform faţă de S), atunci acceleraţia va fi nulă în orice sistem care se mişcă rectiliniu uniform faţă de primul. Dacă principiul inerţiei este valabil faţă de un sistem de referinţă, deci acesta este inerţial, atunci acest principiu este valabil în toate sistemele de referinţă aflate în mişcare de translaţie uniformă faţă de primul, şi care vor fi de asemenea inerţiale. Reciproc, dacă două sisteme de referinţă sunt inerţiale, atunci ele se află în translaţie.

3.3. Principiul II al dinamicii Noţiunea de forţă are la origine senzaţia de efort care apare atunci când ridici sau susţii o greutate, când tragi sau împingi un corp pe o suprafaţă. Totodată poţi indica direcţia şi sensul în care îndrepţi efortul, precum şi punctul unde aplici acest efort. De aici vei obţine noţiunea/conceptul de forţă ca vector. Forţele pot produce efecte statice de deformare a corpurilor sau de echilibrare a altor forţe şi efecte dinamice de modificare a vitezei, adică de producere a acceleraţiei. Măsurarea forţelor se face pe baza efectelor lor. Instrumentul utilizat pentru măsurarea forţelor se numeşte dinamometru.

acceleraţia este aceeaşi în toate sistemele de referinţă care se mişcă uniform unele faţă de altele


50

Dinamometrele cele mai simple sunt nişte resorturi elastice prevăzute cu riglă gradată pentru măsurarea alungirilor, şi deci indirect, a forţelor respective. Dinamometrele moderne pot folosi alte fenomene fizice şi se numesc în general traductoare. În acest caz este vorba de traductoare forţă – deformaţie. Un obiect elastic poate fi folosit foarte bine ca dinamometru, dacă este etalonat.

Figura 3.4

Experienţele arată că forţele se compun după regula paralelogramului

Regula p aralelogramului est e un post ulat car e pr ovine di n matematica vectorilor.

, adică sunt mărimi vectoriale. De aici se poate enunţa principiul independentei acţiunii forţelor: un corp, sub acţiunea simultană a două forţe, descrie diagonala unui paralelogram având ca laturi aceste forţe în acelaşi timp în care ar descrie separat fiecare latură sub acţiunea forţei corespunzătoare.

Figura 3.5

Vectorii A

şi B

(a) sunt adunaţi cu regula triunghiului (b) şi cu regula paralelogramului (c). Principiul 2 Dacă aplicăm unui punct material diferite forţe F

, punctul material

capătă acceleraţii a

coliniare şi proporţionale cu forţele aplicate:

Regula paralelo-gramului este un postulat care provine din matematica vectorilor.


51

==

=

dtvdmamF

mFa

, ( 3.7)

unde m este un parametru pozitiv, caracteristic punctului material, numit masă. Ecuaţia (3.7) reprezintă legea fundamentală a dinamicii. Masa este o mărime scalară, o caracteristică internă a corpului, o măsură a cantităţii de substanţa conţinută de corp. Cu cât masa unui corp este mai mare, cu atât acceleraţia produsă de o forţă dată, este mai mică. De aici rezultă că masa unui corp este o măsură a inerţiei sale, adică o măsură a gradului de opunere sau reacţiune a corpului la acţiunea forţelor exterioare care îi schimbă starea de mişcare rectilinie uniformă sau de repaus. În aceasta calitate de măsură a inerţiei, masa m se numeşte masă inertă sau inerţială şi se manifestă deci, sub dublu aspect: în absenţa forţelor exterioare corpul îşi păstrează mişcarea rectilinie uniformă, conform principiului inerţiei, şi sub acţiunea unei forţe exterioare admite o acceleraţie invers proporţională cu masa sa inertă, conform principiului II.

Figura 3.6

Masa este o caracteristică a corpurilor care exprimă proporţionalitatea dintre acceleraţia pe care o capătă un corp şi forţa care acţionează asupra corpului ( masa inerţială)

amF ⋅= Masa este o caracteristică a corpurilor care determină mărimea interacţiunii gravitaţionale. Pentru corpuri cu dimensiuni mici în comparaţie cu distanţa dintre ele, modulul forţei de atracţie este direct proporţională cu masa acestora şi invers proporţională cu distanţa dintre acestea . (masa gravitaţională).

221

rmmkFgravitaţra⋅

=


52

Măsurarea masei se face cu ajutorul balanţei. Unitatea de măsură în a masei, numită kilogram (kg), este egală cu masa prototipului de platina-iridiu păstrat la Biroul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi de la Sevres (Franţa).

Figura 3.7

În SI masa este mărime fundamentală, forţa fiind atunci o mărime derivată. Unitatea de măsură a forţei este:

[ ] [ ][ ] [ ] SI in 11 2 NsmkgFamF ==⇒= . ( 3.8)

Reţine că 1N reprezintă valoarea unei forţe care aplicată unei mase egale cu 1kg îi imprimă acesteia o acceleraţie egală cu 1ms-2

.

Te poţi gândi că de fapt nu se măsoară mase ; de fapt, cu ajutorul balanţelor nu faci altceva decât să compari forţele produse de acele mase sau şi mai exact, momentele acelor forţe !!!

3.4. Principul III al dinamicii Experienţa îţi arată că acţiunea unui corp asupra altui corp are întotdeauna caracterul unei interacţiuni - corpurile acţionează unul asupra celuilalt. Principiul III afirmă că fiecărei acţiuni i se opune întotdeauna o reacţiune, egală în modul şi de sens contrar, sau altfel, acţiunile reciproce a două corpuri (puncte materiale) sunt întotdeauna egale în modul şi orientate în sensuri opuse. Cele două forţe, acţiunea şi reacţiunea, se aplică simultan, dar la corpuri diferite.

Figura 3.8

Cele trei principii ale dinamicii sunt suficiente pentru studiul mişcării mecanice. Principiul I (al inerţiei) este valabil în toate sistemele inerţiale, fiind folosit la definirea acestor sisteme. Al doilea principiu (al acţiunii forţei) este de asemenea valabil în toate sistemele de referinţă inerţiale.


53

Deoarece acceleraţia este un invariant al mişcării, iar în mecanica clasică masa unui corp se consideră independentă de sistemul de referinţă, forţa amF

= este un invariant. Deci, ecuaţia fundamentală a

dinamicii are aceeaşi formă în toate sistemele de referinţă inerţiale. Principiile mecanicii newtoniene fiind aceleaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale, rezultă că toate l egile m ecanicii (care sunt consecinţe ale acestor principii) sunt aceleaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale. Acesta este conţinutul principiului relativităţii în mecanică, stabilit de Galilei în 1632. Cu ajutorul transformărilor lui Galilei, acest principiu se poate enunţa astfel: legile mecanicii clasice sunt invariante la transformările lui Galilei, pe scurt sunt G-invariante. De aici rezultă că din punct de vedere mecanic toate sistemele de referinţă inerţiale sunt absolut echivalente. Prin urmare, nici o experienţă mecanică efectuată în interiorul unui sistem de referinţă inerţial nu ne permite să determinăm mişcarea sa rectilinie uniformă faţă de alte sisteme de referinţă inerţiale. Lucrurile se schimbă radical într-un sistem de referinţă neinerţial. În acest caz, legile lui Newton nu mai sunt valabile şi cu ajutorul experienţelor mecanice efectuate în interiorul sistemului putem determina acceleraţia acestuia faţă de sistemele de referinţă inerţiale.

3.4.1. Problema rezolvată 1 Pe cât este cu putinţă, enunţul unei probleme trebuie să descrie clar o situaţie fizică „reală”. Studiază cu atenţie enunţul de mai jos. Pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală se află două corpuri, mici, practic două puncte materiale de mase diferite. Coeficienţii de frecare dintre cele două corpuri şi suprafaţa planului înclinat sunt µ1 şi respectiv µ2. Află cât timp durează mişcarea şi viteza cu care corpurile ajung la baza planului înclinat. Nu este clar din enunţ dacă cele două corpuri pleacă de la aceeaşi distanţă de bază şi dacă se mişcă sau nu pe o aceeaşi dreaptă şi dacă se mişcă simultan sau nu. Textul problemei ar putea fi mai precis exprimat astfel: Pe un planul înclinat de unghi α=450 se află două corpuri, primul la distanţa L=2m de bază, având coeficientul de frecare cu planul înclinat µ1 < µ2 iar cel de al doilea la distanţa L/2=1m de bază, având coeficientul de frecare cu planul înclinat µ2=0,6. Să se afle vitezele cu care corpurile ajung la baza planului înclinat, dacă, la capătul cursei, ambele corpuri plecate simultan în mişcare, fără viteze iniţiale, ajung la baza planului în acelaşi moment, fără să se fi ciocnit pe drum. Acceleraţia gravitaţională este g=10ms-2

. .


54

În forma detaliată a problemei, cele două corpuri se aflau la distanţe bine definite de baza planului înclinat şi se precizează că cel mai rapid se află mai jos. Să urmărim împreună "inconvenientele" problemei primare. Dacă nu considerăm o greşeală de exprimare, întrebarea referitoare la "viteza" corpurilor (ca şi cea referitoare la "timpul") la singular, reprezintă

• fie o licenţă de limbă care include un plural colectiv distribuibil fiecărui corp, evident un caz nefericit de exprimare

• fie o afirmaţie deliberată a autorului care a ştiut ce întreabă – (şi este regula care trebuie luată ca ipoteză principală) - şi anume cele două corpuri ajung jos cu o singură viteză, adică după o ciocnire plastică undeva pe parcurs.

Constatăm că în enunţ s-a strecurat o aserţiune implicită, fără de care problema nu este rezolvată corect, şi anume că cele două corpuri se vor ciocni - şi anume plastic. O ciocnire elastică ar implica o ricoşare şi cele două corpuri ar ajunge separat jos, deşi ar mai fi o posibilitate care face problema şi mai complicată. Tot din textul primar reiese, dat fiind că nu se specifică lungimea planului, că avem µ1 < µ2

Deoarece eşti la o lecţie de rezolvare atât "citirea" atentă a textului cât şi luarea în seamă a tuturor variantelor fac parte din obiective. Acest mod de gândire şi de analiză, cu firul despicat în patru, este şi o lecţie de viaţă unde nu toate sunt simple, clar explicate sau cu un profesor alături care să dea sfaturi ori să facă el analiza problemei.

şi că spaţiul de alunecare este suficient pentru ca punctul material de sus să îl ajungă din urmă pe celălalt.

În continuare vei rezolva problema clară, cu aplicaţie de calcul numeric. Întotdeauna, înainte să începi să rezolvi problema va trebui să faci un desen şi să apoi să răspunzi la întrebările simple ale problemei.

Figura 3.9

Odată antrenaţi cu "problema simplă" îţi va fi uşor să vezi faţetele ascunse ale unor probleme complicate de care poate că te-ai feri, preferând o anumită citire, convenabilă, simplificatoare a textului. Este adesea mai sugestiv să lucrezi cu componentele greutăţii - în probleme de genul corp pe planul înclinat.


55

Trebuie să remarci că, în mod deliberat, nu am mai desenat şi vectorul "Greutate" deoarece este substituit de prezenţa celor două componente ale sale. Totuşi, acest procedeu (cu componente) dublează numărul de "săgeţi" pe desen ceea ce la o problemă mai complicată ar putea fi tare greu de urmărit (dar dacă ai păstra şi vectorul nedescompus şi componentele - s-ar tripla numărul de "săgeţi" ). În rezolvarea sugerată nu vei desena forţele pentru ambele corpuri, diagrama fiind aceeaşi. După aceste desene şi alegerea axelor este evident că cea mai simplă alegere a axelor este cea folosită, respectiv axa Ox paralelă cu direcţia de mişcare, direcţia planului, iar axa Oy perpendiculară - alegeri care conduc de altfel şi la reprezentarea cu Gnormal(Gn) şi Gtangenţial(GtÎn continuare trebuie să scrii ecuaţiile de mişcare pentru fiecare direcţie. Vei prefera o ecuaţie "master", vectorială pentru început, aşa, să fie şi imediat proiecţiile acestei ecuaţii (acestora după caz) pe axele de coordonate.

).

Pentru corpul 1, poţi scrie:

111,11 amFNG frecare ⋅=++

( 3.9)

sau

111,111 amFNGG frecaretn ⋅=+++

( 3.10)

Viteza unui corp care alunecă accelerat cu frecare (sau fără frecare) pe un plan înclinat se poate determina ca pentru orice mişcare accelerată, fie direct din formula lui Galilei fie considerând cinematica mişcării, calculând şi timpul în care se realizează această viteză. În ambele cazuri este necesară calcularea acceleraţiei fiecăruia din corpuri. Proiectând relaţiile pe axele de coordonate alese, vei avea: pe Ox, direcţia de mişcare, direcţia tangenţială cum se mai spune - observând că unghiul vectorului G cu Ox sau cu planul, este complementul lui α - şi deci:

==

==

αααα

coscossinsin

11,1

11,1

gmGGgmGG

n

t ( 3.11)

Din relaţia „pe componente” pentru direcţia normală va rezulta

===

αµµα

coscos

11111,

11

gmNFgmN

frecare

( 3.12)

şi prin urmare, pentru direcţia de mişcare”tangenţială”

( )( )

−==−

αµααµα

cossincossin

11

1111

gaamgm

( 3.13)

Legile de mişcare pentru corpul 1 sunt


56

( )

⋅=

⋅=−=

2)(

)(cossin

21

1

11

11

tatx

tatvga αµα

( 3.14)

Timpul în care corpul parcurge o distanţă dată este

1

1 )(2a

txt = ( 3.15)

Relaţii absolut asemănătoare, dar indiciate cu 2 se pot obţine pentru al doilea corp. Pentru datele problemei

( )

≅

−⋅=

22

2

/82,2

6,012210

sma

a ( 3.16)

Timpul în care corpul al doilea ajunge la baza planului este

=

=

staLt

84,02

22 ( 3.17)

Viteza corpului al doilea la baza planului va fi

( ) ( )( )( )

≅⋅=

−⋅⋅⋅=⋅=

smtvtv

gLaLtv

/37.242

1cos

22

22

2222 µα

( 3.18)

Pentru ca ambele corpuri să ajungă la baza planului în acelaşi interval de timp,

( ) ( )

( ) ( )

−=

−

−⋅⋅⋅

=−⋅⋅

⋅=

12

12

12

12

11

1cos2

1cos

2

µµ

µαµα gL

gL

aL

aL

( 3.19)

prin urmare

=−=

2,012

1

21

µµµ

( 3.20)

În consecinţă


57

( )

≅

−⋅=

21

1

/65,5

2,012210

sma

a ( 3.21)

Viteza primului corp la baza planului înclinat va fi

( ) smtv /74,421 = ( 3.22)

3.5. Forţe de frecare Deja, în problema anterioară, am început să vorbim despre foarte cunoscuta frecare. La contactul dintre două solide apar forţe de frecare. Chiar dacă cele două corpuri nu alunecă unul faţă de celălalt există forţe de frecare între solide, numite forţe de frecare statică sau de aderenţă. În cazul alunecării ele se numesc forţe de frecare cinetică sau de frecare la alunecare. Forţă de frecare statică sau de aderenţă maximă, fs, este mai mare decât forţa de frecare cinetică sau la alunecare, adică fc<fs.

Figura 3.10

Fata din figură nu se deplasează pe direcţia pe care este trasă deoarece forţa de frecare este egală cu forţa de tracţiune în modul şi de sens opus acesteia. Experienţele conduc la următoarele legi ale frecării: 1. Forţă maximă de aderenţă fs şi forţa de frecare la alunecare fc

2. Forţă maximă de aderenţă f

între două corpuri nu depind de aria suprafeţei de contact dintre corpuri.

s şi forţa de frecare la alunecare fc sunt proporţionale cu forţa de apăsare normală care se exercită între corpuri la suprafaţa lor de contact:


58

>⇒>

=

=

csc

c

ss

fNNf

µµµµ

s

c

f ,f ,

( 3.23)

unde µs este coeficientul de aderenţă, iar µc

este coeficientul de frecare la alunecare.

Dacă aşezăm un corp pe un plan înclinat, atunci unghiul maxim de echilibru ϕs

sstg µϕ =

este dat de

( 3.24)

şi se numeşte unghi de aderenţă. La fel, unghiul planului înclinat pentru care corpul alunecă uniform ϕc

cctg µϕ =

este dat de

( 3.25)

şi se numeşte unghi de frecare la alunecare. În probleme de statică (echilibru cu frecare) sau de rostogolire fără alunecare intervine µs, iar în probleme de cinematică în care apare alunecare intervine µc

.

3.5.1. Problema rezolvată 2 Problemele cu frecări trebuie analizate cu atenţie. Lucrul mecanic al forţelor de frecare este negativ şi contribuie la diminuarea energiei mecanice . Cum urcă un automobil pe un plan înclinat (pe o şosea în pantă)?

Figura 3.11

În acel caz ridicarea este asigurată de, forţa de tracţiune (care este reacţiunea planului - şoselei asupra vehiculului sau altfel spus frecarea statică).

amFGNF falunecaretracţracţ

=+++ ( 3.26)

Forţa de frecare la alunecare provine din frecarea părţilor ne-tractoare ale vehiculului (remorci, puntea din spate etc.). În absenţa acestora,

flunecareF nu mai există. Frecarea are roluri diferite în deplasarea maşinii. Dacă tracţiunea maşinii este „pa faţă”, realizată de roţile din faţă, frecarea roţilor din faţă pe şosea este forţa care „agaţă” maşina de


59

şosea şi reacţiunea şoselei face maşina să urce. Forţa maximă de tracţiune nu poate depăşi frecarea la nivelul roţilor din faţă. Aşa cum ştii, dacă se încearcă o accelerare prea mare a maşinii la plecare, roţile motoare patinează, scârţâie. Frecarea roţilor din spate pe şosea „împiedică” maşina – se opune urcării acesteia. Pe direcţia paralelă cu direcţia de deplasare, mişcarea este descrisă de ecuaţia

dealtracţracţ maGGF =−− αµα cossin ( 3.27)

După determinarea acceleraţiei poţi scrie legile de mişcare ale maşinii

+⋅+=

⋅+=

2)(

)(2

,tan00

,tan0

tatvxtx

tavt

dealgent

dealgent

( 3.28)

Relaţii similare vei scrie şi pentru coborâre. În cazul coborârii însă trebuie să ai în vedere faptul că greutatea tangenţială nu se mai opune mişcării ci o ajută . Modalitatea naturală de alegere a axelor de coordonate este una în care o direcţie este paralelă cu direcţia de mişcare şi are sensul acestei mişcări, iar cealaltă direcţie este perpendiculară pe prima. Acest mod de tratare face însă ca expresiile acceleraţiilor pentru urcare şi coborâre să nu poată fi comparate direct deoarece se referă la sistem de axe diferite. Este totuşi preferabil să deducem, rapid, de fiecare dată acceleraţia corespunzătoare problemei propuse.

Figura 3.12

valetracţracţ maGGF =−+ αµα cossin ( 3.29)

Legile de mişcare corespunzătoare sunt

+⋅+=

⋅+=

2)(

)(2

,tan00

,tan0

tatvxtx

tavt

valegent

valegent

( 3.30)


60

3.5.2. Problema rezolvată 3 Pe o suprafaţă plană, orizontală, se află un stâlp cilindric de rază R , aşezat vertical. De acest stâlp este ataşată o sfoară lungă (un fir, întins) de lungime iniţială 0 fir a cărui lungime curentă o vom nota cu , pe măsură ce firul se va înfăşura pe stâlp. La capătul depărtat de stâlp se află un corp (mic, de masă m ), care poate aluneca fără frecare pe suprafaţa orizontală. Corpul este lansat cu o viteză iniţială

0v perpendicular pe direcţia firului şi corpul începe o mişcare de rotaţie, în acelaşi timp firul înfăşurându-se pe stâlp.

Figura 3.13

Analizează puţin enunţul încercând să obţii cât mai multe informaţii din enunţul acestei probleme. Rezolvarea problemei trebuie să-ţi permită să determini traiectoria corpului de la capătul firului, să calculezi cu ce viteză se mişcă acesta şi cum evoluează în timp, şi - în particular - când, (după cât timp) se înfăşoară integral pe stâlp. Dacă pe parcursul rezolvării se vor apare alte întrebări încearcă să le rezolvi

Prin acest mod de a începe o problemă, cu o situaţie poate mai puţin suficient descrisă, cu întrebările formulate mai vag, îţi propun o metodă interactivă, care ar putea deveni şi o sugestie pentru modul de lucru cu elevi sau cu alţi cursanţi. Aspectul interactiv constă în faptul că pe măsură ce rezolvarea avansează ar putea să survină şi alte idei sau şi alte întrebări.


61

Întrebarea întâi: dacă viteza iniţială 0v nu ar fi orientată perpendicular pe direcţia firului care ar fi continuarea "problemei", respectiv, cum ar începe să se mişte corpul? Întrebarea 2: în poziţia iniţială de pornire firul este tangent la cilindru? Un fir întins ar putea să fie "altfel"? Pe măsură ce se "roteşte" şi se înfăşoară firul rămâne oare, tangent? Întrebarea 3: ("cu efecte mai târzii") Care din datele problemei ar fi afectate ori modificate, dacă mişcarea ar avea loc cu frecare? Am putea rezolva problema? Sau, care părţi ale problemei ar avea aceeaşi rezolvare? Pentru o bună vizualizare a problemei vei considera un desen "văzut de sus". Asupra corpului acţionează următoarele forţe: greutatea, G , o reacţiune, normală din partea planului suport, N ,- aceste forţe sunt orientate pe direcţia verticală, deci nu sunt evidente, vizibile în desenul "văzut de sus"- apoi, din partea firului de legătură o tensiune (în fir), T , care are rolul de forţă centripetă pentru mişcarea corpului, şi – în funcţie de cum ne decidem să continuăm rezolvarea problemei – o forţă centrifugă de inerţie, inertiecfF ,

(sau nu). (Acest "sau nu" depinde de faptul

dacă în rezolvarea unor probleme dorim să folosim forţele de inerţie. Din punct de vedere sintetic, teoretic acest lucru nu este necesar, întotdeauna existând o rezolvare fără forţe de inerţie. Din punct de vedere didactic, autorul (şi evident, nu numai el) consideră că forţele de inerţie şi rezolvările într-un sistem de referinţă neinerţial pot fi mai sugestive, mai uşor de asimilat, de vizualizat, mai potrivit scopului didactic al realizării unui cadru cât mai "prietenos" rezolvărilor. Este mişcarea corpului uniformă pe traiectorie? Adică modulul vectorului viteză rămâne constant? (Pentru că, în mod evident viteza ca vector nu rămâne constantă, schimbând permanent direcţia). Dacă nu există frecări, şi am convenit să examinăm pentru început această posibilitate, în decursul mişcării nu există forţe disipative, nu există pierdere de energie mecanică. Atunci energia mecanică se conservă, şi dacă vei scrie că o eventuală variaţie a energiei cinetice este dată de lucrul mecanic al tuturor forţelor care acţionează asupra corpului rezultă

fortecinetica LE =∆ În cazul aflat în discuţie, forţele care acţionează asupra corpului de masă m sunt: greutatea, G , normala din partea planului suport, N , aceste forţe fiind orientate pe direcţia verticală, şi, din partea firului de legătură, tensiuneaT . Dar greutatea şi normala sunt perpendiculare pe planul mişcării deci unghiul făcut de fiecare din ele cu deplasarea (cu viteza) este de π/2, cosinusul acestui unghi este zero, şi lucrul mecanic al acestor forţe (sau contribuţia lor la modificarea energiei potenţiale) este nul.

Ori de câte ori o soluţie "clasică", fără forţele de inerţie, este la îndemână, aceasta va fi prezenta în paralel, pentru a compara cele două căi şi pentru a consolida introducerea forţelor de inerţie.


62

=⋅⋅=⋅=

=⋅⋅=⋅=

02

cos

02

cos

π

π

sNsNL

sGsGL

N

G

dar şi

2cosπTssTLT =⋅=

deoarece deplasarea este perpendiculară pe fir şi deci şi tensiunea pe viteza corpului. Aceasta înseamnă că variaţia de energie cinetică este zero. Energia cinetică se conservă, rămâne constantă, atunci şi "pătratul" vitezei rămâne constant, respectiv viteza ca modul. Răspunsul este, da, viteza este constantă, mişcarea este uniformă pe traiectorie. Şi avem şi un al doilea răspuns, dacă sunt frecări, energia mecanică şi energia cinetică nu se mai conservă şi mişcarea nu mai este uniformă, viteza o să scadă, corpul ar putea să se oprească înainte de "terminarea" firului, înainte de a ajunge la stâlpul central. Dacă am cunoaşte traiectoria şi o modalitate de a aprecia lungimea traseului parcurs pe această spirală, (pentru că aşa pare să arate traiectoria), am putea spune unde se opreşte corpul. Şi cu şi mai multă strădanie, după cât timp se opreşte corpul. Observă că firul se scurtează (cu d ) pentru că se înfăşoară pe axul central, deci porţiunea înfăşurată (notatădb ) coincide cu scăderea lungimii firului şi, pentru un interval de timp scurt, dt:

dbd −= ( 3.31)

dar αdRdb ⋅= ( 3.32)

αd fiind unghiul la centru măturat în timpul, scurt, dt. Semnul minus ne arată că în timp ce unghiul măturat, unghiul la centru α creşte, lungimea a firului scade. Între direcţiile firului , după trecerea timpului dt unghiul este de asemenea αd . Înseamnă că spaţiul parcurs de mobil (în timpul dt, scurt) este identic cu cel descris pe un arc de cerc de rază , un cerc cu centrul în punctul de "desprindere" a firului

αdds ⋅= ( 3.33)

dar ds este parcurs cu viteza 0vv = , deci

dtvds ⋅= ( 3.34)

viteza ori timpul. Astfel ai reuşit să introduci timpul în ecuaţiile care descriu mişcarea. Egalând expresiile pentru αd rezultă

dtvRd ⋅

=− ( 3.35)

pentru început o relaţie diferenţială, o ecuaţie diferenţială care mai poate fi scrisă sub forma

Rvdtd =⋅− ( 3.36)

care "integrată" conduce la


63

℘+⋅⋅−= tvR2

2 ( 3.37)

unde ℘ este o constantă de integrare. Dar la momentul iniţial 0=t

0 = ( 3.38)

şi deci

2

20=℘ ( 3.39)

rezultă rearanjând că

tvR ⋅⋅=− 2220 ( 3.40)

Prin urmare, durata totală a mişcării ”până când se consumă firul”

( ) 0=totalt ( 3.41)

este:

Rvttotal 2

20= ( 3.42)

Dacă frecările există? Forţa de frecare de alunecare este constantă,

GNFfrecare ⋅=⋅= µµ ( 3.43)

Şi în acest caz, este îndreptată împotriva mişcării producând o acceleraţie:

⋅−=

⋅=⋅⋅−

⋅=−

gaamgm

amF

gential

gential

gentialfrecare

µ

µ

tan

tan

tan

( 3.44)

atunci durata totală a mişcării în ipoteza că firul nu reuşeşte să se înfăşoare integral, este timpul scurs până la anularea vitezei. Dar

( ) tgvtv ⋅⋅−= µ0 ( 3.45)

şi deci timpul până la oprire este:

gv

Toprire ⋅=µ

0 ( 3.46)

iar spaţiul, de-a lungul traiectoriei, se poate obţine cu ajutorul formulei lui Galilei (aplicabilă dacă acceleraţia este constantă şi în această problemă aceasta este situaţia) sau, cu ajutorul teoremei energiei cinetice.


64

⋅=

⋅⋅⋅−=

⋅−

⋅⋅⋅−=∆

=∆

gv

S

Sgmvm

SgmE

LE

oprire

oprire

oprirecinetica

frecaredefortacinetica

µ

µ

µ

2

20

20

20 ( 3.47)

Soluţia este corectă numai după ce se confirmă că Toprire este mai mic decât ttotal, şi anume ttotal Ecuaţia (3.36)se rescrie,

pentru cazul mişcării cu frecare.

( )dtgtvRRvdtd µ−==⋅− 0 ( 3.48)

care după desfacerea parantezei se poate integra la fel de uşor ca aceea din situaţia cu frecare neglijabilă şi:

℘+⋅⋅⋅

+−=22

2

0

2 tgRtRv µ ( 3.49)

sau 2

022

0 2 tgRtRv ⋅⋅⋅+−=− µ ( 3.50)

anularea lui , lungimea firului, conducând la ttotal

.

În cazul despre care vorbim, soluţia corectă ar fi aceea care pentru µ = 0, (absenţa frecărilor), conduce la soluţia 3.46. Rezolvă şi vei constata că "alegerea" nu este chiar imediată. Te-ai descurcat? Această problemă, dincolo de rezolvarea ei, poate fi un model al discuţiei care să te conducă la concluziile privind mişcarea uniformă. Adică pornind de la teoreme.

( )

( )

+=

+

−=

+±=

gRvRRvt

gRvRRvgR

gRt

gRgRvRRv

t

µ

µµ

µµ

µ

20

20

2

20

2,1

20

20

2

20

2,1

20

20

20

2,1 2442

( 3.51)

Pentru 0=µ Soluţia devine

( )RvRvt

20

2,1 = ( 3.52)

Ori de câte ori întâlneşti o ecuaţie de gradul doi, în t, ar trebui să te întrebi care din soluţii este cea a problemei-sau dacă nu cumva amândouă au sens. Acest „amândouă” este totuşi destul de rar, mai ales la mecanică.


65

Evident, soluţia corectă este

( )gRvRRvt

µ20

20

2

20

2,1

++= ( 3.53)

În activitatea şcolară această problemă se poate întâlni pornind de la un stâlp central prismatic, adică având ca secţiune transversală un poligon regulat: pătrat ca primă figură, dar de ce nu şi un triunghi echilateral, ca a doua opţiune, şi apoi pentagon, hexagon - până la generalizarea poligonului cu un număr infinit de laturi – cercul . A rămas de discutat câte ceva despre traiectorie, ecuaţia (ecuaţiile) ei, şi poate şi altele. Desenele care însoţesc problema, "au pregătit terenul" pentru o descriere a traiectoriei. Preferabile ar fi o descriere carteziană – cu două ecuaţii

( )( )

==

tyytxx

( 3.54)

dar acestea nu sunt imediate. Descrierea foarte potrivită este o descriere parametrică, folosind coordonate polare – lungimea firului şi unghiul la centru, unghiul α, care se "leagă" şi cu poziţia firului şi cu poziţia punctului de contact. Ar fi ar fi de căutat de asemenea descrierea

( )( )

==

αα

yyxx

( 3.55)

Figura 3.14

Când raza vectoare a punctului de contact al firului cu cilindrul este T, lungimea firului PT are expresia

α⋅−= R0 ( 3.56)

Din considerente geometrice evidente,


66

1. Ce este inerţia? 2. Care este enunţul principiului II al dinamicii? 3. Cum se enunţă principiul III al dinamicii? 4. Care este relaţia de definiţie a forţei de frecare? 5. Punctul B al blocului se deplasează în sus cu acceleraţia constantă de 10m/s2. În situaţia prezentată în figura din stânga, între nivele punctelor A şi B sunt 30m. În acest moment vitezele corpurilor sunt nule. Determină vitezele corpurilor când trec unul prin dreptul celuilalt

⋅−+⋅=⋅=

=

αααα

RtgRPMtgRTM

ROM

0

cos

( 3.57)

Prin urmare

⋅=⋅=

αα

cossin

PMQPPMQM

( 3.58)

şi coordonatele carteziene ale punctului P în care se află corpul mic sunt

( )( )

⋅−+⋅=

⋅−+⋅−=

αααααα

cossin

0

0

RtgRyRtgRRx

( 3.59)

3.6. Test de autoevaluare 3.1. Răspunde la următoarele întrebări:



67

3.7. Lucrare practică Verificarea principiului trei al dinamicii.

Figura 3.15 Peşte şi pescar

Principiul trei, al acţiunii şi reacţiunii, spune că dacă un corp acţionează cu o forţă asupra altui corp, acesta la rândul lui reacţionează cu o forţă egală dar de sens contrar. Ia două „dinamometre” care pot fi foarte bine două cântare de piaţă din cele cu resort, fie cu ac rotativ sau cu cursor. Agaţă cele două dinamometre unul de celălalt, în serie am zice, şi trage de ele. Cu ajutorul celorlalţi participanţi, notează indicaţiile celor două dispozitive. Dacă cele două cântare sunt bine etalonate cum vor fi indicaţiile? Dar dacă legi trei sau patru cântare? Găseşte arcuri identice – de exemplu de la pixuri identice. Verifică faptul că se deformează la fel sub aceeaşi acţiune. Imaginează experimente cu resoarte înseriate sau puse în paralel.

Figura 3.16


68

1. Inerţia este proprietatea corpurilor de a-şi păstra starea de

echilibru sau de mişcare rectilinie uniformă atât timp cât asuprea lor nu acţionează forţe externe. 2. Dacă aplicăm unui punct material diferite forţe F

, punctul

material capătă acceleraţii a

coliniare şi proporţionale cu forţele

aplicate:dtvdmamF

mFa

==⇒= , unde m este un parametru

pozitiv, caracteristic punctului material, numit masă. 3. Fiecărei acţiuni i se opune întotdeauna o reacţiune, egală

în modul şi de sens contrar, sau altfel, acţiunile reciproce a două corpuri (puncte materiale) sunt întotdeauna egale în modul şi orientate în sensuri opuse.

4. Ff=µN Forţa de frecare este proporţională cu apăsarea normală şi depinde de natura corpurilor în contact. 5. 12 8mm = ; smvsmv BA /10;/20 ==

Figura 3.17 Emisferele de Magdeburg, închise şi apoi vidate, nu au putut fi desfăcute deşi s-a tras de ele cu multe perechi de cai.

3.8. Răspunsuri la testul de autoevaluare3.1.


69

3.9. Lucrare de verificare 3 Rezolvă cerinţele de mai jos şi trimite tutorelui rezultatele pe care le consideri corecte.

3.10. Bibliografie

1.A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 52-90 2.A. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 60-100 3,***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi

Pedagogică, 1983, pag. 4-9

1. Arată cum se pot deduce prevederile principiului unu din aplicarea principiului doi. (1 punct) 2. Formulează un comentariul propriu privitor la principiul 3. (1 punct) 3. Formulează comentariul propriu privitor la principiul 2 în sisteme neinerţiale (1 punct) 4. Scrie expresia matematică a principiului 2 explicând semnificaţiile mărimilor folosite (1 punct) 5. Un corp de masă m=100 kg este tras de o forţă F = 400 N sub un unghi α=300 faţă de orizontală. Care este acceleraţia corpului, dacă unghiul de frecare este φ=150? Sub ce unghi trebuie să tragem corpul astfel încât acceleraţia să fie maximă? (2 puncte) 6. Efectuează lucrarea practică. Folosind un editor de texte scrie un protocol al observaţiilor şi măsurărilor efectuate. Notează datele numerice şi comentează-le. (3 puncte) Notă: Se va acorda un punct din oficiu Total 10 puncte


70

3.11. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie.

Formule cheie

Transformarea lui Galilei ( )00 '' tturrr +++=

0t'tt += Expresia matematică a legii clasice de compunere a vitezelor uvv

+= ' ;

Expresia matematică a legii clasice de compunere a acceleraţiilor '

aa = ; Expresia matematică a principiului fundamental al

dinamicii dtvdmamF

==

Termeni şi expresii cheie Inerţia; Sisteme de referinţă inerţiale; sisteme de referinţă neinerţiale; Efectele statice ale forţelor; Efectele dinamice ale forţelor; Coeficient de aderenţă; coeficient de frecare la alunecare; Unghi de aderenţă; unghi de frecare;

Principii şi legii cheie

Principiul I - principiul inerţiei; Principiul al II-lea - principiul fundamental; Principiul al III-lea – principiul acţiunilor reciproce; Legile frecării;

Dinamica

71


4 DINAMICA Cuprins Pagina

4 DINAMICA 71 4.1 Obiectivele unităţii de învăţare numărul 4 72 4.2 Teorema impulsului 72 4.3 Teorema momentului cinetic 73 4.4 Teorema energiei cinetice 75 4.5 Conservarea energiei mecanice 78 4.6 Sistemul mecanic 79 4.6.1 Dinamica sistemului mecanic 80 4.7 Test de autoevaluare 4.1 84 4.8 Ciocniri 85 4.9 Sistem cu masă variabilă 88 4.10 Test de autoevaluare 4.2 89 4.11 Lucrare practică 90 4.12 Răspunsuri la testele de evaluare 91 4.13 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 92 4.14 Lucrare de verificare 4 94 4.15 Bibliografie 94

Dinamica

72

4.1 Obiectivele unităţii de învăţare numărul 4

Dinamica studiază mişcarea corpurilor ţinând seama de forţele care o produc. Din legea fundamentală a dinamicii

pF &rr= ( 4.1)

rezultă trei teoreme privind mişcarea mecanică: teorema impulsului, a momentului cinetic şi a energiei cinetice.

4.2 Teorema impulsului Legea fundamentală a mecanicii:

( ) vmdt

pddt

vmdFrr

rrr defp , === , ( 4.2)

unde vmrr

=p este impulsul punctului material (cantitatea de mişcare), afirmă că forţa aplicată punctului material este egală cu derivata impulsului punctului material în raport cu timpul. Din această ecuaţie rezultă:

( ) pdvmddtFrrr

== , ( 4.3)

( ) 112212

2

1

vmvmvmpppdtFHt

t

def rrrrrrrr-=D=D=-== ò . ( 4.4)

În mecanica clasică, masa este constantă, de aceea:

12

2

1

vmvmdtFHt

t

rrrr-== ò . ( 4.5)

Când vei termina de studiat acest capitol vei fi capabil : să deduci şi să enunţi teoremele de variaţie pentru impuls,

energie cinetică şi moment cinetic pentru un punct material şi pentru un sistem de puncte materiale;

să enunţi legile de conservare a impulsului, energiei şi moment cinetic pentru sistemele de puncte materiale;

să aplici teoremele de variaţie, legile de conservare studiate şi relaţiile derivate din acestea în studiul unor procese mecanice;

să explici într-un limbaj fizic adecvat fenomenele de ciocnire;

să aplici noţiunile, legile şi teoremele studiate în rezolvarea de probleme;

să utilizezi cunoştinţele dobândite în analiza unor sisteme tehnologice şi biologice;

să realizezi conexiuni între fenomenele mecanice din mediu şi noţiunile studiate;

Dinamica

73

Integrala Hr

se numeşte impulsul forţei.

Conform principiului III, forţa Fr

este efectul interacţiunii punctului material cu alte corpuri, asupra cărora se exercită acţiunea FF

rr-=' din

partea punctului material. Putem astfel scrie:

ò ò D==-Þ=- pdtFdtFFFrrrrr

'' , ( 4.6)

prin urmare, creşterea vectorială a impulsului punctului material se obţine pe seama scăderii corespunzătoare a impulsului corpurilor cu care interacţionează. Avem deci un transfer de impuls în procesul interacţiunii, de la un corp la altul, realizat prin intermediul forţei. Impulsul este o măsură vectorială a mişcării. Teorema impulsului exprimă o lege de conservare a mişcării materiei. Existenţa mărimii fizice impuls şi a legii fizice de conservare a impulsului este legată de proprietatea de omogenitate a spaţiului (simetria la translaţii).

4.3 Teorema momentului cinetic Dacă un rigid are un punct fix (o articulaţie) în jurul căruia se poate roti liber, atunci aplicând o forţă rigidului, el se va roti în jurul unei axe ce trece prin articulaţie, perpendiculară pe planul definit de articulaţie şi forţă.

Figura 4.1

Dacă suportul forţei trece prin articulaţie, rigidul nu se roteşte. Efectul de rotaţie este determinat de forţă şi de distanţa suportului său până la articulaţie, numit braţul forţei – (notat cu b în figura 4.1). Ţinând seama

Teorema impulsului. Impulsul forţei rezultante aplicate punctului material este egal cu variaţia impulsului punctului material.

În S.I. impulsul se măsoară în

smkgNs = ,

Dinamica

74

de direcţia axei şi sensul rotaţiei, putem spune că efectul de rotaţie este dat de momentul forţei faţă de polul O, definit de produsul vectorial:

FbrFsinM , ==´= aFrMdef rrr

, ( 4.7)

unde rr este vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei, iar b

este braţul forţei, adică distanţa de la articulaţie la dreapta de acţiune a forţei. Momentul forţei se măsoară în Nm. Momentul forţei nu se schimbă dacă forţă alunecă pe suportul său. Dacă rigidul are o axă fixă în jurul căreia se poate roti liber, atunci o forţă paralelă cu axa de rotaţie sau concurentă cu aceasta nu produce rotaţie. Efectul de rotaţie este produs numai de componenta transversală pe axă a forţei, înmulţită cu braţul ei, adică momentul forţei în raport cu axa:

bFMdef

ll ^= . ( 4.8)

În mod analog definirii momentului forţei, se defineşte momentul oricărui vector, de exemplu momentul impulsului, numit moment cinetic:

vmrprJdef rrrrr

´=´= . ( 4.9)

Mişcarea unui titirez de exemplu este determinată de momentul său cinetic

Figura 4.2

Dacă derivezi relaţia (4.8) în raport cu timpul şi înlocuieşti derivata impulsului prin forţă, conform ecuaţiei fundamentale, vei obţine:

MFrdtpdrp

dtrd

dtJd rrr

rrr

rr

=´=´+´= , ( 4.10)

deoarece

0=´=´ vmvpdt

rd rrrr

, ( 4.11)

fiind vectori paraleli şi deci:

Momentul cinetic se măsoară în SI în J.s.

Dinamica

75

( ) Jdt

JdprdtdprM &r

rrrrrr

==´=´= , ( 4.12)

JM &rr= . ( 4.13)

Momentul forţei este egal cu derivata momentului cinetic în raport cu timpul. Momentul forţei şi momentul cinetic se consideră faţă de acelaşi punct fix (pol), într-un sistem de referinţă inerţial.

JJJHdrdtMKt

t

def rrrrrrrD=-=´== òò 12

2

1

. ( 4.14)

Dacă nu există o forţă care să determine un moment care să acţioneze asupra unui corp, momentul cinetic al acestuia este invariabil. Observaţie. În mecanica cuantică se arată, şi experienţa confirmă, că în domeniul atomic se manifestă caracterul discret, cuantificat al momentului cinetic. Modulul acestui vector nu poate avea ca valori decât multipli ai unei cantităţi elementare

hjJ = . ( 4.15)

unde

ïïî

ïïí

ì

×==

=

-

Planck) constanta-(h

100545,12h

,0,1,2,j

34 Jsp

h

K

( 4.16)

4.4 Teorema energiei cinetice O măsură a efectului util al forţei care produce deplasări este dată de lucrul mecanic, definit de produsul dintre deplasare şi componenta forţei pe direcţia deplasării, deoarece componenta normală a forţei nu poate contribui la deplasarea dată (fapt observat încă de Euler). Astfel, lucrul mecanic este definit prin produsul scalar dintre forţa care acţionează asupra punctului material şi deplasare:

( ) ( )ïî

ïí

ì

++=++==

==

òòò dtvFvFvFdzFdyFdxFrdFL

dtvFrdFdL

zzyyxxzyx

def

def

rr

rrrr,

. ( 4.17)

Pol. Punct fix faţă de care într-un sistem inerţial se consideră momentul forţei şi momentul cinetic

Teorema momentului cinetic. Impulsul momentului (sau momentul impulsului) forţei aplicate punctului material este egal cu variaţia momentului cinetic al punctului material

Dinamica

76

În cazul forţei constante:

( ) ( ) constF ,,cos12 ==D=-=== òòrrrrrrrrrrrr

dFFdrFrrFrdFrdFL . ( 4.18)

Într-o mişcare curbilinie numai componenta tangenţială a forţei efectuează lucru mecanic şi nu, componenta normală. Pentru unitatea de lucru mecanic rezultă:

[ ] [ ][ ] SI in 11 2

2

JsmkgdFL === . ( 4.19)

O unitate des folosită este kilowattora (kWh):

JhkWkWh 6106.3111 ×=×= . ( 4.20)

Figura 4.3 Forţele interne nu au rol în accelerarea sistemului. Când baronul Munchhausen se trage de păr acţiunea mâinii şi reacţiunea părului sunt forţe interne. Nu există acceleraţie chiar dacă cele două forţe ar face lucru mecanic

Definim puterea medie în intervalul de timp Dt prin raportul dintre lucrul mecanic L efectuat în acest interval şi intervalul Dt:

tLPD

= ( 4.21)

şi puterea instantanee sau momentana:

dtdL

tLP

t

def=

D=

®D 0lim . ( 4.22)

Ţinând seama de relaţia de definiţie a lucrului mecanic, rezultă:

vFdt

rdFdtdLP

rrrr=== , ( 4.23)

Unitatea de lucru mecanic în SI, (1J) este egală cu lucrul mecanic efectuat de o forţă unitate (1N) pe un drum egal cu unitatea (1m) în direcţia forţei.

Dinamica

77

adică puterea dezvoltată de o forţă este egală cu produsul scalar dintre forţă şi viteză. Pentru unitatea de putere rezultă:

[ ] [ ][ ] SI in ,111 3

2

WsJ

smkg

tLP ==== . ( 4.24)

Figura 4.4 Forţa externă de interacţiune cu copacul, dublul forţei cu

care omul trage de funie are rol în accelerarea sistemului. Se face lucru mecanic

Înmulţind scalar formula fundamentală (4.1) cu dtvrdrr

= , obţinem:

( ) ( )ïî

ïí

ì

+=+=

===

mvdvdmvdvmdmvdL

vmdvdtvdt

vmdrdFdL

22rrr

rrrr

rr

( 4.25)

unde 22 vvvv ==

rrr, ( 4.26)

care prin diferenţiere dă

vdvvdv =rr

( 4.27)

şi cu m=const, rezultă:

cdEmvdmvdvrdFdL =÷øö

çèæ=== 2

21rr

, ( 4.28)

21

2

1ccc EEErdFL -=D== ò

rr, ( 4.29)

unde:

mpmvE

def

c 221 2

2 == , ( 4.30)

se numeşte energia cinetică a punctului material.

Teorema energiei cinetice. Lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă, aplicată punctului material, este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material.

Dinamica

78

Energia cinetică este egală cu lucrul mecanic necesar pentru a aduce corpul din repaus până la viteza v sau altfel spus, cu lucrul mecanic restituit de corp la oprirea sa de la viteza v. Energia cinetică este o mărime scalară a mişcării. Existenţa mărimii fizice energie cinetică şi a legii fizice de conservare a energiei cinetice este legată de proprietatea de omogenitate a timpului (simetria la translaţii temporale). Mişcarea mecanică se transmite de la un corp la altul în procesul interacţiunii lor prin intermediul forţei. Impulsul forţei

ò=2

1

dtFHrr

, ( 4.31)

impulsul momentului forţei

( )òò ´== dtFrdtMKrrrr 2

1

( 4.32)

şi lucrul mecanic al forţei

ò=2

1

rdFLrr

( 4.33)

măsoară cantitativ mişcarea mecanică transmisă, fiind egale respectiv cu variaţia impulsului vmp

rr= , a momentului cinetic vmrprJ

rrrrr´=´=

şi a energiei cinetice 2

2mvE c = a punctului material.

4.5 Conservarea energiei mecanice Consideră mişcarea particulei într-un câmp de forţe conservativ. Atunci, aplicând teorema energiei cinetice, obţii:

ïïî

ïïí

ì

==+

Þ=+D

ÞD-=D== ò

constEUEUE

UErdFL

c

c

c

0)(

rr

. ( 4.34)

Relaţia ultimă din acolada de mai sus exprimă teorema conservării energiei mecanice. Într-un câmp de forţe conservativ are loc în timpul mişcării o transformare reciprocă a energiei cinetice şi potenţiale, suma lor rămânând constantă. Pentru un câmp de forţe neconservativ (disipativ), când lucrul mecanic depinde de traiectorie şi de modul de mişcare, nu există energie potenţială, şi atunci energia mecanică nu se conservă, ci se transformă în alte forme de energie. De exemplu, în cazul forţelor de frecare, când lucrul mecanic depinde de lungimea drumului şi nu este nul pe un drum închis, energia mecanică se transformă în căldură.

Lucrul mecanic al forţelor

conservative - este

independent de drum

- este egal cu diferenţa dintre

valorile finale şi iniţiale ale

unei funcţii numită energie

potenţială - este complet

recuperabil

Forţele neconservative

se numesc disipative

Dinamica

79

Figura 4.5 La evoluţia într-un câmp de forţe conservativ între punctele P şi Q pe drumurile QP ®®1 sau QP ®® 2 variaţia energiei potenţiale a corpului este aceeaşi( Imaginea (a)). La evoluţia corpului pe drumul închis PQP ®®®® 21 (imaginea(b)) energia potenţială nu variază - lucrul mecanic se consumă şi se recuperează. Poţi presupune că punctul material se află într-un câmp de forţe conservativ ( )rF

rr care derivă deci dintr-un potenţial ( )rU

r şi este supus

în acelaşi timp la o forţă neconservativă (disipativă) 'Fr

. Aplicând din nou teorema energiei cinetice, obţii pentru acest caz:

ïî

ïíì

+D==

Þ+D-=+=D=+=

òò òò

)(''

'')'(

UErdFL

LUrdFrdFErdFFL

c

c

rr

rrrrrrr

( 4.35)

deci, lucrul mecanic al forţelor neconservative (disipative) aplicate punctului material este egal cu variaţia energiei mecanice a punctului material. Pentru câmpul gravitaţional terestru în apropierea suprafeţei pământului, lucrul mecanic efectuat de forţa de greutate gm

r între două

puncte P1 Şi P2 depinde numai de diferenţa de nivel:

mgzdzmgUz

=--= ò0

)( . ( 4.36)

Câmpul gravitaţional este conservativ. Suprafeţele echipotenţiale sunt plane orizontale, liniile de forţă sunt drepte verticale, iar forţa de greutate este îndreptată în jos, în sensul descreşterii energiei potenţiale U.

4.6 Sistemul mecanic Prin sistem mecanic vei înţelege un sistem de puncte materiale, care nu sunt independente, ci supuse la legături reciproce, astfel încât formează un "întreg" mai mult sau mai puţin deformabil. Principiile şi legile mecanice pentru sistemul de puncte materiale se deduce din principiile formulate pentru punctul material.

Dinamica

80

4.6.1 Dinamica sistemului mecanic Asupra fiecărui punct mk din sistem se exercită, pe de o parte, forţe interne klF

r din partea celorlalte puncte materiale ml ale sistemului şi, pe

de altă parte, forţe externe kFr

din partea corpurilor externe, care nu fac parte din sistem. Conform principiului III, forţa (acţiunea) klF

r exercitată

de particula ml asupra particulei mk este egală în modul şi de sens opus cu forţa reciprocă (reacţiunea) lkF

r exercitată de particula mk asupra

particulei ml:

)0( ,0 º=+Þ-= kklkkllkkl FFFFFrrrrr

, ( 4.37)

adică forţele interne sunt întotdeauna perechi, două câte două egale în modul şi de sens opus (forţe de interacţiune), de aceea însumate fiind pentru întregul sistem dau rezultanta nulă:

0==ålk,

klFFrr

. ( 4.38)

Forţa internă rezultantă asupra particulei mk este:

å=N

lklk FF

rr, ( 4.39)

unde N este numărul total de particule din sistem, şi prin însumarea asupra tuturor particulelor din sistem regăsim:

0=== åålk,

klk FFFrrr

k

. ( 4.40)

Momentul rezultant al forţelor interne este de asemenea nul: å å =´=´=k l,k

klkkk 0rr FFMrrrrr

. ( 4.41)

Într-adevăr, ultima sumă este formată din perechi de termeni nuli:

( ) 01221122121212121 =´-=´-´=´+´ FFFFFrrrrrrrrrrr

rrrrrr , ( 4.42)

deoarece

122121 FFrrrr

´=´ rr ( 4.43)

reprezintă momentul aceleiaşi forţe 12Fr

faţă de acelaşi pol, sau deoarece 21 rr

rr- este paralel cu 12F

r.

Lucrul mecanic al forţelor interne nu este, în general, nul:

ïî

ïí

ì

==

=-=+

åålk

klk

k

kllklk

rdrd

rdrrdrdrd

,21

)(rrrr

rrrrrrrrr

klk

klkllkkl

FFL

FFFF . ( 4.44)

Teoremă. Rezultanta forţelor interne şi momentul rezultant al forţelor interne faţă de orice pol sunt nule.

Dinamica

81

În cazul corpurilor rigide (nedeformabile), distanţele reciproce rkl sunt constante:

000 =Þ=Þ= Lklkl rdrrr

. ( 4.45)

Pentru corpurile rigide, nedeformabile, lucrul mecanic al forţelor interne este nul. Pentru corpurile deformabile, forţele interne pot face lucru mecanic. Poţi aplica ecuaţia fundamentală fiecărui punct material al sistemului:

( ) kkk

kk Fdtpdvm

dtd rr

rr

+== F . ( 4.46)

Prin însumare asupra tuturor punctelor materiale din sistem, obţinem:

FFFdtPdp

dtd

kk

kk

kk

kk

rrrrr

r==+== åååå F , ( 4.47)

deoarece, suma forţelor interne este nulă. Dacă rezultanta forţelor externe este permanent nulă, impulsul total al sistemului se conservă. Sistemul nu-şi poate schimba impulsul total decât sub acţiunea unei forţe exterioare. Forţele interne pot doar redistribui impulsul între părţile componente ale sistemului. Sub formă integrală poţi scrie:

PdtFHrrr

D== ò , ( 4.48)

analog teoremei impulsului pentru punctul material. Poţi aplica ecuaţia fundamentală fiecărui punct material al sistemului:

( ) kkkkkkk

kk MFrrdtJdpr

dtd rrrrrr

rrr

+=´+´==´ MF . ( 4.49)

Însumând după toate punctele sistemului rezultă:

ïïï

î

ïïï

í

ì

=

=

=´==

å

å

å å

kk

kk

k kkkk

M

J

MFrdt

JdJdtd

rr

rr

rrrr

r

M

J

,

def ( 4.50)

deoarece momentul forţelor interne este nul.

Teoremă. Derivata în raport cu timpul a impulsului total Pr

al sistemului este egală cu rezultanta F

r a forţelor externe

aplicate sistemului.

Teoremă. Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total J

r al

sistemului faţă de un punct dat (pol) este egală cu momentul rezultant M

r al forţelor externe faţă de acelaşi punct (pol).

Dinamica

82

Forţele interne pot doar redistribui momentul cinetic între particulele componente ale sistemului. Prin integrare se obţine:

JdtMKrrr

D== ò , ( 4.51)

analog teoremei momentului cinetic pentru punctul material.

Figura 4.6 Mişcarea rotită a mingiei de rugbi pe traiectoria pe care este

aruncată

Se poate scrie teorema energiei cinetice pentru fiecare punct material al sistemului:

( ) kkkkkkk dLdrdFvmd +=+=÷øö

çèæ LF

rrr2

21 . ( 4.52)

Însumând pentru toate punctele sistemului şi integrând, obţinem:

( ) LrdFvm21d

kkkk

k

2kk +=+=÷øö

çèæ åå LF rrr

, LEc +=D L . ( 4.53)

În cazul solidului rigid, lucrul mecanic al forţelor interne este nul şi numai forţele externe pot schimba energia cinetică a sistemului. Un alt caz important este acela când forţele interne sunt conservative, atunci se poate introduce energia potenţială a sistemului, funcţie numai de poziţiile tuturor punctelor materiale ale sistemului, adică funcţie numai de configuraţia sistemului:

Urddef

kkk D-== åòrr

FL . ( 4.54)

Teorema energiei cinetice devine în acest caz:

( ) LUELUrdUE ck

kkc =+DÞ+D-=+D-=D åòrr

F . ( 4.55)

Teoremă Variaţia energiei cinetice totale a sistemului este egală cu lucrul mecanic efectuat de toate forţele, atât externe, cât ş interne.

Dinamica

83

Prin urmare, variaţia energiei mecanice, cinetice şi potenţiale, a unui sistem conservativ este egală cu lucrul mecanic al forţelor externe aplicate. De aici rezultă teorema conservării energiei mecanice (cinetice şi potenţiale a unui sistem conservativ izolat. Se numeşte centru de masă a unui sistem mecanic punctul definit prin vectorul de poziţie:

å å= =

==N

kkk

def

CM rmm

r1

N

1kkmm unde ,1 rr

, ( 4.56)

sau pentru o distribuţie continuă a masei:

òò == dVrm

dmrm

rdef

CM rrrr 11 . ( 4.57)

Dacă sistemul se descompune în părţi cu masa Ms şi cu centrele de masa CMsR

r, atunci grupând sumele pentru aceste părţi, rezultă:

å å==s s

CMss

def

CM RMm

r sMm unde ,1 rr. ( 4.58)

Centrul de masă (CM) este un anumit punct geometric asociat sistemului mecanic. În acest punct pot să nu existe particule sau masă distribuită, de exemplu cazul CM al unui inel sau a unei pături sferice. Derivând formula de mai sus obţii:

åå ====k

kk

kkCMCM Ppvmvmrmrrrr&r . ( 4.59)

În raport cu un sistem de referinţă inerţial, centrul de masă al unui sistem izolat se mişcă rectiliniu uniform sau este în repaus. Aceasta este legea inerţiei pentru un sistem. Derivând relaţia de definiţie a impulsului sistemului, obţii:

å=====k

kCMCMCM FFPamvmrmrr&rr&r&&r . ( 4.60)

CM al sistemului se mişcă ca un punct material cu masa egală cu masa sistemului şi asupra căruia se aplică rezultanta forţelor externe (teorema de mişcare a CM), ca şi cum toate forţele externe s-ar aplica

Teoremă. Impulsul total Pr

al sistemului este egal cu masa m a sistemului înmulţită cu viteza CMvr a centrului de masă, ca şi cum întreaga masă a sistemului ar fi concentrată în CM şi s-ar mişca cu viteza acestuia.

C.M. Acronim pentru centru de masă

Teoremă. Rezultanta forţelor externe F

r este egală cu masa sistemului

înmulţită cu acceleraţia CM.

Dinamica

84

1. Ce este centrul de masă? 2. Care sunt cele trei teoreme ale mecanicii pentru puncte materiale? 3. Scrie teorema impulsului. 4. Ce este momentul cinetic?

5. Când se conservă momentul cinetic?

în CM ; întreaga masă a sistemului ar fi concentrată în CM şi s-ar mişca cu acceleraţia acestuia. Forma integrală a enunţului este

ò D== CMvmdtFHrrr

. ( 4.61)

Impulsul forţelor externe este egal cu masa sistemului înmulţită cu variaţia vitezei centrului de masă, deci forţele interne nu pot schimba mişcarea CM. Un cuplu de forţe, oriunde ar fi aplicat, nu poate schimba mişcarea centrului de masă, ci doar roteşte corpul în jurul CM.

4.7 Test de autoevaluare 4.1 Răspunsurile la acest test le găseşti la pagina 91

Dinamica

85

4.8 Ciocniri

Figura 4.7 Ciocnire complexă între două solide rigide

Prin ciocnirea a două sau mai multe corpuri se înţelege, în general, un proces de interacţiune în care atât înainte cât şi după interacţiune corpurile se găsesc la distanţa mari unele faţă de altele, adică nu interacţionează, deci interacţiune durează un timp finit. Dacă în urma ciocnirii starea internă a fiecărui corp nu se schimbă, ciocnirea se numeşte elastică. Vom considera ciocnirea corpurilor macroscopice. În momentul atingerii corpurile încep să se deformeze, viteza lor relativă se reduce la zero, energia cinetică relativă se transformă în energie de deformare şi în alte forme de energie. Ciocnirea este plastică

Figura 4.8 Berbecul de asediu este folosit pentru „deformarea”

încuietorilor porţii În ciocnirea elastică, în final, deformaţiile se anulează şi energia cinetică relativă se restituie integral, fără a se transforma în alte forme de energie.

Figura 4.9 Ciocnire „aproape elastică”, unidimensională a 2 maşini

Dinamica

86

În ciocnirea total inelastică (plastică) corpurile se cuplează, formează un singur corp şi continuă mişcarea cu o viteză comună.

Figura 4.10 Ciocnire bidimensională , inelastică , a două maşini

Dacă faci descompunerea vitezei relative

21r vvv rrr-= ( 4.62)

(a corpului 1 faţă de corpul 2) după linia de ciocnire, atunci ambele componente se schimbă în general prin ciocnire, deoarece corpurile nu sunt nici perfect elastice şi nici absolut rigide. Componenta vitezei relative, normală pe planul de contact, vrn, îşi schimbă semnul prin ciocnire, deoarece înainte de ciocnire corpurile se apropiau unul de altul, iar după ciocnire se îndepărtează unul de altul. Componenta vitezei relative, vrt, reprezintă viteza de alunecare a unui corp peste celălalt în momentul ciocnirii. Dacă linia de ciocnire trece în momentul ciocnirii prin centrele de masă ale celor două corpuri, ciocnirea se numeşte centrală. Dacă înainte de ciocnire corpurile se mişcă după linia de ciocnire (vrt=0), ciocnirea se numeşte frontală, în caz contrar, oblică. În procesul de ciocnire se exercită forţe de interacţiune între corpuri, deci forţe interne, care nu pot schimba impulsul total şi momentul cinetic total al sistemului. De aceea, impulsul total şi momentul cinetic total ale corpurilor care se ciocnesc, imediat înainte de ciocnire sunt egale cu impulsul total şi momentul cinetic total ale corpurilor imediat după ciocnire, adică impulsul total şi momentul cinetic total ale sistemului de corpuri care se ciocnesc se conservă în procesul ciocnirii. Pentru fiecare corp separat poţi scrie:

ïî

ïí

ì

D=´=

D==

å

åJP

vmPP

s

sCMs

rrrr

rrr

ssrK

. ( 4.63)

În cazul ciocnirii total inelastice (plastice) a două corpuri, ele se cuplează astfel încât conservarea impulsului total dă:

( )

ïî

ïí

ì

++

=

+=+

21

2211

212211

'

'

mmvmvmv

vmmvmvmrr

r

rrr

, ( 4.64)

Peretele este un corp plan cu masă mult mai mare decât masa obiectului care îl ciocneşte. Peretele unei clădiri este perete pentru o minge de tenis şi nu este perete pentru bila imensă, balansată cu macaraua a unei maşini de dărâmat case .

Dinamica

87

unde 'v ,2,1rr

v sunt vitezele centrelor de masă. Energia cinetică pierdută, adică transformată în alte forme de energie (căldură) va fi:

( )

( )ïïî

ïïí

ì

=-+

=

+-+==D-

2221

21

21

221

222

211

21

21

'21

21

21

r

c

vvvmm

mmQ

vmmvmvmQE

mrr

( 4.65)

unde

ïî

ïí

ì

-=

+=

21r

21

21

v

vvmm

mm

rrr

m ( 4.66)

sunt respectiv m masa redusă a celor două corpuri şi rvr viteza relativă a corpului 1 faţă de corpul 2. În cazul ciocnirii perfect elastice, pe lângă impulsul total se conservă şi energia cinetică totală. Considerând ciocnirea centrală şi frontală, corpurile înainte şi după ciocnire se mişcă în aceeaşi direcţie (cazul unidimensional) şi ai:

ïî

ïíì

+=+

+=+

222

211

222

211

22112211

'21'

21

21

21

''

vmvmvmvm

vmvmvmvm ( 4.67)

un artificiu matematic care evită rezolvarea sistemului ca sistem de gradul al doilea, este de a muta tot ce este cu corpul unu în stânga şi corpul doi în dreapta egalului şi:

( ) ( )( ) ( )î

íì

+=+

-=-22

222

21

211

222111

''''

vvmvvm

vvmvvm ( 4.68)

şi împărţind membru cu membru:

rr vvvvvvvv -=-=Þ+=+ 212211 ''''' , ( 4.69)

adică viteza relativă îşi schimbă doar semnul. Din sistemul de ecuaţii de mai sus rezultă:

ïïï

î

ïïï

í

ì

++

=

-=

-=

21

2211

22

11

mv'

,'2v' '2'

mmvmv

vvvvv

( 4.70)

În cazul ciocnirii perfect elastice centrale şi frontale cu un perete, adică un corp de masă foarte mare, m2>>m1,

22121 v' si 2' vvvv =-= ( 4.71)

În particular, pentru un perete în repaus, v2=0 şi

2211 v' si ' vvv =-= ( 4.72)

adică corpul 1 se întoarce cu aceeaşi viteza, în modul. În cazul ciocnirii perfect elastice oblice cu un perete în repaus, avem:

Dinamica

88

v' v= ( 4.73)

adică viteza incidentă vr şi viteza reflectată 'vr sunt în acelaşi plan cu normala şi unghiul de reflexie a' este egal cu unghiul de incidenţă a. Dacă notăm cu t durata ciocnirii, atunci forţa medie exercitata de perete asupra particulei va fi:

( )t

att

cos2' mvfvmvmvmf =Þ-

=D

=rrrr

, ( 4.74)

perpendiculară pe perete.

4.9 Sistem cu masă variabilă Dacă într-un timp infinitezimal dt un corp câştigă sau pierde o cantitate infinitezimală de masă dm, forţele de alipire sau de expulzare sunt forţe interne şi nu pot schimba impulsul total al sistemului.

Figura 4.11 Racheta din figură are masa variabilă, în scădere. Impulsul

gazelor ejectate determină forţa care propulsează racheta în sus

Notând cu Fr

forţa externă asupra corpului de masă m, cu vr

viteza CM a acestuia şi cu u

r viteza masei dm, aplicând teorema impulsului total în

cazul alipirii (dm>0), obţinem:

( )( ) v-u'v unde ,'

)()(rrrr

rr

rr

rrrrr

=-=-=

Þ+-++=

dtdmv

dtvdm

dtdmu

dtvmdF

dmuvmvdvdmmdtF, ( 4.75)

unde 'vr este viteza relativă faţă de corp a particulelor alipite. Termenul infinit mic de ordinul doi vdmd

r este neglijabil. Aceeaşi ecuaţie se obţine

şi în cazul expulzării, dm<0:

Dinamica

89

1. Prin ce se deosebeşte ciocnirea plastică de cea elastică? 2. Ce legi de conservare sunt valabile în cazul ciocnirii elastice?

3. Dar în cazul ciocnirii plastice?

Figura 4.12Vagonul din figură are masa variabilă, în creştere. Variaţia

componentei orizontale a impulsul materialului care curge în vagon determină o forţă care acţionează pe orizontală asupra acestuia.

( )( )

( )

ïïïïï

î

ïïïïï

í

ì

=

=+

Û=+

--++=

--+-=

v-u'v

,'

)(

)()(

rrr

rrr

rrr

rrrrr

rrrrr

dtvdm

dtdmvF

dtvmd

dtdmuF

vmdmuvdvdmmdtF

udmvmvdvdmmdtF

( 4.76)

4.10 Test de autoevaluare 4.2 Răspunde la întrebările:

Dinamica

90

TTT eee sss ttt ddd eee aaa uuu ttt ooo eee vvv aaa lll uuu aaa rrr eee 444 ... 222 ––– CCC ooo nnn ttt iii nnn uuu aaa rrr eee 4.Prin ce se caracterizează ciocnirea elastică cu un perete?

5.Cum este propulsat un avion cu reacţie sau o rachetă?


4.11 Lucrare practică 1.

¨ Dintr-o planşetă sau o scândură sau– cel mai bine– dintr-o riglă transparentă mai lungă (50 cm) alcătuieşte un plan înclinat, rezemând capătul superior, pe un teanc de cărţi sau altfel.

¨ Lasă să alunece un corp mic, o gumă de pildă sau o monedă, şi cu un cronometru sau un ceas, determină timpul, momentele când trece prin dreptul unor anume diviziuni (în cazul că te-ai hotărât pentru o riglă).

¨ Este bine să repeţi experimentul de mai multe ori (10 ori) . ¨ Notează toate rezultatele măsurărilor ¨ Ştiind că mişcarea este uniform accelerată, determină

acceleraţia Folosind rigla află şi valoarea atracţiei gravitaţionale

2. ¨ Reia experimentul precedent, dar modifică înclinarea planului,

scoţând sau introducând cărţi. Poţi afla înclinarea planului cu un raportor mai mare sau măsurând cu o altă riglă catetele triunghiului dreptunghic şi calculând tangenta.

¨ Dacă determini durata alunecării şi ştii spaţiul, poţi afla

acceleraţia dar şi viteza medie (spaţiul pe timp). ¨ Încearcă să confirmi formula care dă acceleraţia ca funcţie de

înclinarea planului şi coeficientul de frecare.

¨ Cu puţină strădanie se poate calcula coeficientul de frecare din datele a cel puţin 2 înclinări.

Dinamica

91

TTT eee sss ttt uuu lll ddd eee aaa uuu ttt ooo eee vvv aaa lll uuu aaa rrr eee 444 ... 111 RRR ăăă sss ppp uuu nnn sss uuu rrr iii

1. Se numeşte centru de masă a unui sistem mecanic punctul definit prin vectorul de poziţie:

å å= =

==N

1k

N

1kkkk

defCM mm unde ,rm

m1r

rr.

2. Cele trei teoreme pentru puncte materiale sunt: teorema

impulsului, teorema energiei cinetice şi teorema momentului cinetic. 3. Impulsul forţei rezultante aplicate punctului material este

egal cu variaţia impulsului punctului material. 4. Momentul impulsului, numit moment cinetic:

vmrprJdef rrrrr

´=´= , este o mărime fizică egală cu produsul vectorial dintre braţul impulsului (distanţa dintre centrul de rotaţie şi punctul de aplicaţie al vectorului impuls) şi impuls.

5. Momentul cinetic se conservă când momentul forţei

aplicate este zero.

3. ¨ Modifică înclinarea planului astfel încât guma sau mai

bine moneda să alunece uniform (aprecierea uniformităţii mişcării este la latitudinea ta). Tangenta unghiului pentru care alunecarea este uniformă, este chiar egală cu coeficientul de frecare la alunecare. Acest unghi se mai numeşte unghi de frecare.

¨ Determină astfel coeficientul de frecare pentru mai multe perechi de suprafeţe. Compară cu valorile obţinute prin altă metodă. Compară preciziile metodelor propuse.

¨ Întocmeşte un protocol al lucrării. Foloseşte un editor de

texte şi descrie metodele alese. Tabelează rezultatele. Descrie prelucrările pe care le-ai făcut şi rezultatele pe care le-ai obţinut. Adaugă toate detaliile pe care le consideri importante.

4.12 . Răspunsuri la testele de evaluare

Dinamica

92

4.13 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie

TTT eee sss ttt uuu lll ddd eee aaa uuu ttt ooo eee vvv aaa lll uuu aaa rrr eee 444 ... 222 RRR ăăă sss ppp uuu nnn sss uuu rrr iii

1. În timpul ciocnirii a două corpuri ele se deformează. La ciocnirea elastică deformarea dispare după ce procesul de interacţiune (ciocnirea) încetează, la ciocnirea plastică deformarea nu dispare.

2. La ciocnirea elastică se conservă şi energia cinetică şi

impulsul. 3. La ciocnirea plastică se conservă numai impulsul, variaţia

energiei cinetice fiind egală cu lucrul mecanic de deformare a celor două corpuri.

4. La ciocnirea elastică cu un perete modulul vitezei corpului

după ciocnire este egal cu modulul vitezei înainte de ciocnire, iar unghiul dintre direcţia vitezei incidente şi direcţia normală la perete este egal cu unghiul dintre direcţia vitezei după ciocnire şi direcţia normală la perete.

5. Un avion cu reacţie sau o rachetă reprezintă un sistem cu

masă variabilă. Prin expulzarea gazelor de ardere a combustibilului cu viteză extrem de mare şi datorită conservării impulsului total al sistemului, avionul este propulsat în direcţie opusă direcţiei de expulzare.

Termeni şi expresii cheie v Impulsul forţei; v Forţe interne; forţe externe; v Energie cinetică; energie potenţială; v Momentul forţei în raport cu un pol; momentul cinetic; v Centrul de masă al unui sistem de particule; v Ciocniri plastice ;ciocniri perfect elastice;

Dinamica

93

Teoreme şi legi cheie

v Teorema de variaţie a impulsului pentru un punct material şi pentru un sistem de puncte materiale; v Legea conservării impulsului; v Teorema de variaţie a energiei cinetice pentru un punct material şi pentru un sistem de puncte materiale; v Legea conservării energiei mecanice; v Teorema de variaţie a momentului cinetic pentru un punct material şi pentru un sistem de puncte materiale; v Legea conservării momentului cinetic;

Formule cheie v Expresia matematică a teoremei de variaţie a impulsului unui punct material

12

2

1

vmvmdtFHt

t

rrrr-== ò ;

v Expresia matematică a teoremei de variaţie a momentului cinetic al unui punct material

JJJHdrdtMKt

t

def rrrrrrrD=-=´== òò 12

2

1

v Expresia matematică a teoremei de variaţie a energiei cinetice a unui punct material

21

2

1ccc EEErdFL -=D== ò

rr

v Expresia matematică a vectorului de poziţie a centrului de masă

òò == dVrm

dmrm

rdef

CM rrrr 11

v Expresia matematică a căldurii degajate într-o ciocnire plastică

( ) 2221

21

21

21

21

rvvvmm

mmQ ×=-

+= m

rr

Dinamica

94

1. Găseşte poziţiile centrelor de masă pentru con, emisferă şi

placă semicirculară. (3 puncte) 2. Găseşte momentul de inerţie al unui cilindru faţă de axa

proprie şi faţă de o generatoare (2 puncte) 3. Explică de ce creşte viteza de rotaţie a patinatorilor când îşi strâng mâinile pe lângă corp (1 punct)

4 Răspunde la cele trei cerinţe ale lucrării de laborator.

Redactează protocolul şi adaugă-l lucrării. (3 puncte) Notă: Se va acorda un punct din oficiu Total 10 puncte

4.14. Lucrare de verificare 4

4.15 Bibliografie 1.A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 145-157 2. A. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 101-148 3.***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983, pag. 13-25, 27-30, 35-51

Solidul rigid

95


5 SOLIDUL RIGID Cuprins Pagina SOLIDUL RIGID 95 5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5 96 5.2 Mişcarea plan-paralelă 96 5.3 Mişcarea elicoidală 98 5.4 Dinamica solidului rigid 99 5.4.1 Energia cinetică de rotaţie 99 5.4.2 Momentul de inerţie 100 5.5 Problemă rezolvată 101 5.6 Exemple de calcul al momentelor de inerţie 109 5.7 Test de autoevaluare 5.1. 115 5.8 Lucrări de laborator 116 5.9 Răspunsuri la testul de autoevaluare 117 5.10 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 118 5.11 Lucrare de verificare 5 119 5.12 Bibliografie 120

♦ Bicicliştii, militarul, maimuţa şi bananele se translatează liniar ♦ Scripetele maimuţei se roteşte ♦ Roţile bicicletelor şi cele ale tancului se rototranslează în plan

paralel ♦ Gândeşte-te la mişcarea punctelor de pe şenila tancului.

Compară mişcarea şenilei cu mişcarea lanţului bicicletei. Găseşte asemănări şi deosebiri

Solidul rigid

96

5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5

5.2 Mişcarea plan-paralelă În această mişcare traiectoriile punctelor solidului sunt paralele cu un plan fix. Toate punctele solidului situate pe o normală la acel plan se mişcă identic. De aceea mişcarea plan-paralelă se reduce la mişcarea unei figuri plane în planul său. Condiţia suficientă pentru ca solidul rigid să aibă o mişcare plan paralelă este ca trei puncte necoliniare care-i aparţin să rămână într-un plan fix în tot timpul mişcării. Vectorii a ,v ,

r sunt conţinuţi în planul figurii (OXY), iar

vectorii ω şi ε

sunt perpendiculari pe plan. Dacă alegi axa de rotaţie pe direcţia Oz ωz=ω, εz

kzjyixrOO

0000' ++==

=ε., o convenţie firească este ca ω>0 să însemne rotaţia în sens trigonometric. Un sistem mobil solidar cu solidul rigid, foarte convenabil este cel care are originea din O’ şi axele O’X’ şi O’Y’ conţinute tot timpul în planul XOY ( Figura 5.1).Dacă vectorul de poziţie al originii sistemului mobil este

( 5.1)

cunoaşterea mişcării corpului revine la cunoaşterea dependenţelor temporale

( )( )( )

( )

=

=

=

=

ttzztyytxx

θθ00

00

00

( 5.2)


Să identifici un solid rigid şi tipul mişcării sale

Să descrii cu termenii potriviţi mişcarea plan paralelă şi de alte tipuri a solidului rigid

Să defineşti şi să calculezi momente de inerţie faţă de diferite axe de rotaţie

Să înţelegi care este efectul rezultantei forţelor asupra unui corp rigid

Să înţelegi care este efectul momentului rezultant asupra unui corp rigid

Să utilizezi viteza şi acceleraţia unghiulară pentru descrierea mişcării soldului rigi

Să determini energia cinetică a unui corp solid

Solidul rigid

97

Deoarece direcţia O’Z’ rămâne tot timpul perpendiculară pe planul O’X’Y’ , vectorii viteză şi acceleraţie ai centrului sistemului mobil faţă de sistemul fix sunt conţinuţi în planul O’X’Y’ iar viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε au direcţia OZ Prin urmare

⋅=

⋅=

+==

+==

k

k

jyixra

jyixrv

θε

θω0000

0000

( 5.3)

în sistemul fix şi respectiv

⋅=

⋅=

+=

+=

'

'

''

''

000

000

k

k

jaiaa

jvivv

yx

yx

θε

θω ( 5.4)

în sistemul mobil.

Figura 5.1

Pentru punctul oarecare al corpului rigid notat cu P, al cărui vector de poziţie în sistemul mobil este

''' PPRr +=

( 5.5) se pot scrie - folosind notaţiile din figură – relaţiile

)(')()( 0 trtrtr

+= ( 5.6)

Deoarece XOYPP ⊥' rezultă că mişcarea punctului 'P este identică mişcării punctului P. Viteza lui este

'0 Rvv

×+= ω ( 5.7)

Solidul rigid

98

Din analiza situaţiei alese, rezultă câteva observaţii. • Există puncte aparţinând corpului ale căror viteze instantanee sunt nule. Aceste puncte se află pe o dreaptă paralelă cu OZ . Această dreaptă se numeşte axă instantanee de rotaţie • Distribuţia vitezelor punctelor corpului aflat în mişcare plan-paralelă este identică distribuţiei vitezelor de rotaţie în jurul axei instantanee de rotaţie • Punctul în care axa instantanee de rotaţie înţeapă planul ''' YOX se numeşte centru instantaneu de rotaţie. Relaţia (5.7) se poate rescrie sub forma

'0 rvv

×+= ω ( 5.8)

din derivarea căreia rezultă acceleraţia punctului solidului rigid în mişcare plan paralelă sub forma

( )''0 rraa

××+×+= ωωω ( 5.9)

Pot exista puncte pentru care acceleraţiile instantanee în raport cu sistemul fix sunt nule. Aceste puncte sunt situate pe o dreaptă paralelă cu OZ . Punctul în care această axă înţeapă planul XOY este numit polul acceleraţiilor.

5.3 Mişcarea elicoidală În fiecare moment mişcarea solidului rigid se descompune într-o rotaţie infinitezimală în jurul unei axe instantanee şi o translaţie infinitezimală de-a lungul acestei axe. (mişcare elicoidală instantanee). Componenta translaţiei, conţinută în planul perpendicular pe axă, poate fi desfiinţată, mutând axa convenabil într-un punct C numit centru instantaneu de rotaţie (în sistemul fix) sau centrul vitezelor (în sistemul mobil). Vectorul de poziţie sau coordonatele centrului instantaneu C sunt date de:

×=

×+=

02

020

1'

1

vr

vrr

c

c

ωω

ωω , ( 5.10)

Figura 5.2

Solidul rigid

99

deoarece viteza acestui punct cv

, în cazul mişcării plane, este nulă ( 00 =⋅v

ω ). Luând pe C drept pol, ai

'rv rot

×= ω ( CPr ='

), ( 5.11)

adică vitezele tuturor punctelor figurii sunt în fiecare moment perpendiculare pe razele care le unesc cu centrul instantaneu C şi au modulul ωr'=ωCP, ceea ce corespunde rotaţiei momentane a figurii în jurul centrului C cu viteza unghiulară ω. Formula acceleraţiilor devine în cazul plan:

'' 200 rraaaaa

ωεωε −×+=++= , ( 5.12)

unde εω si sunt perpendiculari pe plan, deci εa

este perpendicular pe

'r

, iar ωa

este centripet către pol. În fiecare moment acceleraţia oricărui punct este egală cu acceleraţia polului ales arbitrar ( 0a ) plus acceleraţia datorita rotaţiei momentane în jurul polului

'' nt aaaa

+=+ ωε . ( 5.13)

Există în fiecare moment un punct W a cărui acceleraţie este nulă în acel moment, numit centrul acceleraţiilor. Din relaţia de mai sus rezultă pentru acest punct:

42

002

242

0

42200

'aatg si '

'''0

ωε

εωωεβ

ωε

ωεωε

ω

ε

ωε

+

×+=⇒==

+=⇒

⇒+=−×=⇒−−=⇒=

aar

ar

rrraaaaa

ww

. ( 5.14)

În cazul rostogolirii uniforme (ε=0) centrul acceleraţiilor se numeşte centrul geometric al acceleraţiilor (G). Cele două centre, ale vitezelor şi acceleraţiilor sunt distincte (C≠W).

5.4 Dinamica solidului rigid Mişcarea solidului rigid se descompune într-o mişcare de translaţie şi o mişcare de rotaţie în jurul unei axe momentane:

'00 rvvvv rot

×+=+= ω . ( 5.15)

Dinamica mişcării de translaţie coincide cu dinamica punctului material. Vei studia dinamica mişcării de rotaţie.

5.4.1 Energia cinetică de rotaţie Alegând un sistem de coordonate cu originea O pe axa de rotaţie, calculăm energia cinetică de rotaţie a rigidului, ca suma energiilor cinetice ale părţilor:

∫∑ =⇔= dmvEvmE rotrotk

rotkkrot22

21

21 . ( 5.16)

Ţinând seama că vitezele particulelor sunt:

Solidul rigid

100

=⇔=

×=×=

RvRvRrv

rotkrotk

kkrotk

ωωωω

, ( 5.17)

unde kr

sunt vectorii de poziţie şi Rk distanţele particulelor mk

∑ ==k

kkrot IRmE 222

21

21 ωω

până la axa de rotaţie, obţinem:

, ( 5.18)

unde

∑=k

kk

defRmI 2 ( 5.19)

este momentul de inerţie al rigidului faţă de axa de rotaţie. În cazul distribuţiei continue de masă, suma de mai sus se înlocuieşte cu integrala (integrală de volum):

( )∫∫ ρ=ρ== dVdm ,dVRdmRI 22def, ( 5.20)

unde R este distanţa elementului de masă dm până la axa de rotaţie.

5.4.2 Momentul de inerţie Momentul de inerţie este o mărime aditivă în sensul că este egală cu suma momentelor de inerţie ale particulelor/părţilor componente ale corpului. Momentul de inerţie al unui punct material faţă de o axă este egal cu produsul dintre masa punctului material şi pătratul distanţei sale până la axa: mR2

∑=⇒=k

kkkk IIRmI 2

:

. ( 5.21)

Pentru a obţine un moment de inerţie cât mai mare pentru aceeaşi masă, aceasta trebuie distribuită la distanţă cât mai mare faţă de axă, de exemplu momentul de inerţie al unui cilindru gol este mai mare decât momentul de inerţie al unui cilindru plin, cu aceeaşi masă. Se numeşte raza de inerţie sau de giraţie faţă de o axă, distanţa R, definită conform relaţiilor de mai jos ( pentru o configuraţie discretă de puncte materiale şi respectiv pentru o distribuţie continuă)

==

===

∫

∑∑22

kk

22 )m(m ,

g

kgkk

mRdmRI

mRRmI ( 5.22)

=

=

=

∫

∑

mIR

dmRm

R

Rmm

R

def

g

g

kkkg

22

22

1

1

( 5.23)

Solidul rigid

101

adică raza de inerţie Rg

este distanţa de la axa dată unde ar trebui concentrată, aşezată, toată masa corpului pentru a da acelaşi moment de inerţie faţă de acea axă.

Dacă cunoaştem masele părţilor componente Mj şi razele lor de giraţie rgj

∑∑ ==j

gjjj

j rMII 2

faţă de o axă, atunci momentul de inerţie al corpului faţă de acea axă este:

. ( 5.24)

. Aşa cum pentru mişcarea de translaţie masa unei corp este măsura inerţiei sale, momentul de inerţie faţă de o axă este măsura inerţiei corpului în mişcarea de rotaţie în jurul acelei axe. Momentul de inerţie al unui corp depinde de axa faţă de care se calculează, de aceea momentul de inerţie faţă de un sistem de coordonate este un tensor. Pentru a calcula momentele de inerţie faţă de un sistem de coordonate cu originea pe axa de rotaţie, să deducem expresia analitică a energiei cinetice de rotaţie faţă de acest sistem de coordonate. Pentru distribuţia discretă respectiv continuă ale masei

( )

( )

×==

×==

∫∫

∑∑

dmrdmvE

rmvmE

rotrot

kkk

krotkkrot

22

22

21

21

21

21

ω

ω. ( 5.25)

5.5 Problemă rezolvată Doi cilindri – iniţial în contact – din acelaşi material, plini, omogeni, cu aceleaşi dimensiuni dar cu o prelucrare a suprafeţelor diferită, se pot rostogoli pe un plan înclinat. Studiază mişcarea celor doi cilindri. Vei nota cu α unghiul de înclinare al planului. 1. Un prim caz, banal pentru problemele celor doi cilindri, dar existent pentru rezolvarea completă, este acela când cilindrul din faţă, cilindrul aflat mai jos, se rostogoleşte mai repede (decât celălalt). 2. Poate că, înainte chiar de studiul mişcării s-ar putea pune problema unei posibile poziţii (sau condiţii) de echilibru, care, dacă este evident că nu se poate realiza în cazul unui singur cilindru, nu mai este atât de evident imposibilă în problema cu doi cilindri. În sprijinul acestei abordări se poate aduce imaginea a două rotiţe dinţate, angrenate şi aflate pe o cremalieră (şină dinţată), înclinată - modelare care poate duce cu gândul la existenţa unei poziţii de echilibru.

Dimensiunile momentului de inerţie sunt: [ ] [ ][ ] SI in 22 kgmRmI == .

Solidul rigid

102

3. O altă discuţie va trebui făcută în legătură cu alunecarea, rostogolirea fără alunecare respectiv rostogolirea cu alunecare a celor doi cilindri, separat sau în tandem. 4. În sfârşit, trebuie să-ţi pui problema mărimilor fizice care ar caracteriza răspunsul la întrebarea, cum se mişcă cilindri? În mod sigur, fiind vorba de o rostogolire, deci rotaţie şi translaţie, trebuie să afli acceleraţiile celor doi cilindri şi acceleraţiile lor unghiulare. Alte mărimi interesante se vor contura, poate, pe parcursul rezolvării. În continuare va trebui să examinezi cazurile în care cei doi cilindri se mişcă în contact, cu toate variantele care se întrevăd deja, respectiv amândoi nu alunecă, unul alunecă iar celălalt nu şi în sfârşit cazul când alunecă amândoi. Am considerat că-ţi este cunoscută rezolvarea unor probleme de rostogolire cu şi fără alunecare Deoarece problema presupune mai multe cazuri - neenunţate explicit - este necesar să fie alcătuit un plan al abordării situaţiilor previzibile de la început, urmând ca alte cazuri care se conturează pe parcursul rezolvării să fie examinate ulterior. Deoarece prelucrarea mecanică, desigur, a suprafeţelor laterale - căci numai acestea intervin în decursul rostogolirii, este diferită vom avea trei coeficienţi de frecare diferiţi: pentru frecarea dintre fiecare cilindru şi planul înclinat respectiv pentru frecarea dintre cilindri. De ce atât de multe precauţii ? Pentru că problema are câteva variante de evoluţie a mişcărilor cilindrilor şi este preferabil să le luăm în seamă întâi gândind şi apoi muncind. Pentru început rezolvă cazul mişcării separate a celor doi cilindri, adică de două or mişcarea unui cilindru pe un plan înclinat - în aşezarea unei posibile rostogoliri, după cum precizează enunţul. (Nu exagerăm cu analiza dincolo de menţiunile enunţului, nefiind nici necesar şi nici eficient).

Figura 5.3

Cei doi cilindri se deplasează separat. Pentru fiecare este corectă o reprezentare de tipul celei prezentate în Figura5.3. În acest caz este deci suficient să studiezi mişcarea unui singur cilindru. Deoarece este o

Solidul rigid

103

mişcare de translaţie şi de rotaţie simultană, vei aplica prima teoremă a lui Euler pentru mişcarea rigidului conform căreia acceleraţia centrului de masă a corpului (rigid sau nu - dar şi a unui sistem de puncte materiale ori de puncte materiale şi corpuri) este dată de suma vectorială a forţelor externe. După cum se ştie suma vectorială a forţelor interne este nulă. Cea de a doua teoremă Euler, restrânsă la mişcarea de roto-translaţie a unui rigid, respectiv a unui corp al cărui moment de inerţie nu se schimbă în timpul acestei mişcări, mişcare denumită şi mişcare plan-paralelă, ne dă acceleraţia unghiulară - a rigidului – care , multiplicată cu momentul de inerţie este egală cu suma momentelor forţelor externe. Suma vectorială a momentelor forţelor interne este, de asemenea, zero. Factorul de proporţionalitate, în prima teoremă, este masa corpului sau a sistemului. Era necesar să insistăm asupra cărei acceleraţii se aplică teorema, deoarece un corp în rotaţie are mai multe acceleraţii (un câmp, vectorial, al acceleraţiilor). În cea de a doua teoremă, pentru rigid, factorul de proporţionalitate este momentul de inerţie, I, al corpului. În acest caz, acceleraţia unghiulară este un invariant al mişcării, adică avem o singură valoare pentru tot corpul. Viteza unghiulară ω,este, de asemenea, un invariant. În schimb, să remarcăm, că atât momentele forţelor cât şi momentul de inerţie depind de punctul (polul) respectiv prin care trece axa faţă de care sunt calculate. Pentru a evita alte teoreme şi pentru că nu există un câştig major în evoluţia calculelor, vom prefera să luăm ca referinţă centrul de masă şi axa care trece prin centrul de masă. Deci, produsul dintre masă şi acceleraţia centrului de masă este dat de rezultanta forţelor iar produsul dintre momentul de inerţie şi acceleraţia unghiulară este egal cu momentul rezultant.

⋅=

⋅=∑CMREZ

CMi

amF

amF

( 5.26)

şi

⋅=

⋅=∑ε

ε

IM

IM

REZ

i ( 5.27)

De asemenea

ε⋅== Raa CMgtan ( 5.28)

Presupunerea noastră implicită - prin relaţia dintre acceleraţia centrului de masă şi acceleraţia tangenţială, dar şi indirect, prin relaţia cu acceleraţia unghiulară - a fost că nu avem alunecare sau altfel spus, cilindrul înaintează pe măsură ce se rostogoleşte, întocmai ca o roată dinţată pe o şină dinţată (pe o cremalieră). Acest tip de abordare implică, prin inexistenţa oricărei alunecări, că nici forţa de frecare introdusă nu este produsă de o frecare de alunecare. Dacă facem apel, din nou, la imaginea cu roata dinţată - pe cremalieră - simţim că totul este ca şi cum roata se propteşte în dinţii (în asperităţile suprafeţei) cremalierei, care împing roata (cilindrul). Această forţă este deseori

Solidul rigid

104

numită impropriu dar sugestiv, frecare statică şi o regăsim ca forţă de tracţiune la propulsarea vehiculelor cu roţi. De fapt nu este decât banala reacţiune definită de legea a treia a dinamicii. Dar pentru ca această forţă să nu devină forţa de frecare la alunecare este necesar să fie mai mică decât µN, valoarea forţei de frecare la alunecare. Condiţia aceasta implică, în cazul cilindrului pe plan înclinat,

cmamNGFG ⋅=⋅−⋅=− 111 sinsin µαα ( 5.29)

şi

ε⋅=⋅ IFR 1 ( 5.30)

dar

INR 11 ⋅⋅

=µε ( 5.31)

şi deci

=

=

Rg

gaCM

3sin2

3sin2

αε

α

( 5.32)

Cum

=

=

α

αµ

sin31

cos

1

11

mgF

mgF ( 5.33)

îţi rezultă

≥

≥

1

1

3

cossin31

µα

αµα

tg ( 5.34)

sau altfel spus, trebuie să nu existe o înclinare prea mare a planului. În caz contrar, rostogolirea nu mai este solidară cu înaintarea şi apare o alunecare. Pentru unghiul de alunecare µα =tg , )5.32) se rescrie

+

⋅⋅=

+

⋅⋅=

+

⋅=

+

⋅=

+

⋅=

+

⋅=

21

1

2)(max,,0,1

21

1

2max,0

21

1

2max,0

13

2

132

13

2

132

13

2

132

µ

µ

α

α

µ

µ

α

αε

µ

µ

α

α

gm

tgtggmF

R

g

tgRtgg

g

tgtgga

alunecare

( 5.35)

Depăşind cadrul problemei pe care o rezolvăm, putem imagina situaţiile în care cilindrul se poate roti mai repede decât înaintează - este cazul roţilor de maşină iarna pe gheaţă, sau se poate roti mai lent ori deloc - cum se petrece la o frânare prea bruscă, atunci când un automobil patinează.

Solidul rigid

105

Dacă în cazul nealunecării forţa de frecare este o necunoscută, inclusiv sensul ei, la alunecare sensul forţei de frecare este opus mişcării relative a celor două suprafeţe în contact. În acelaşi timp valoarea forţei este dată de relaţia lui Coulomb (Amonton): F = µx

N. Această relaţie este necesară, deoarece s-a pierdut o ecuaţie, aceea care stabilea legătura dintre acceleraţia tangenţială şi acceleraţia unghiulară. În acest fel în locul necunoscutei F apare a cce le ra ia unghiulară, celelalte relaţii rămânând practic aceleaşi.

Este important să verificăm dacă sensul forţei de frecare a fost bine propus, chiar dacă în acest caz nu există prea mari îndoieli. Ne mai propunem să vedem valoarea raportului dintre acceleraţia liniară şi cea unghiulară, raport care ne va spune cine alunecă mai repede. De asemeni vom calcula valorile (maxime ale) necunoscutelor, la limita trecerii în alunecare. Ceea ce confirmă sensul forţei de frecare. O relaţie Rε>a, ar fi însemnat o rotaţie rapidă, “în loc“, cu frecarea spre înainte.

121

23

21

2cos2cossin

11

1 =−≥−=−

=µα

αµαµα tg

Ra ( 5.36)

Deoarece acceleraţia centrului de masă este mai mare decât acceleraţia tangenţială (ωR) rezultă clar sensul forţei de frecare –şi anume spre în sus, adică cilindrul alunecă la vale, mai mult decât se rostogoleşte, ceea ce era oarecum previzibil deoarece odată cu o mai mare înclinare a planului apare alunecarea. Tratarea tuturor situaţiilor în care cei doi cilindri sunt în contact se poate face folosind reprezentarea grafică din Figura 5.4.

Figura 5.4

Chiar dacă va părea evident după rezolvare că echilibrul nu este posibil, merită să verifici acest detaliu, mai ales că impresia este aceea a unei şanse ca cele două corpuri să rămână în repaus, dacă înclinarea nu este prea mare. Ecuaţiile în acest caz sunt mai simple, respectiv

Solidul rigid

106

condiţia pentru echilibrul forţelor şi cea pentru echilibrul momentelor, cu restricţia ca cele trei (patru) forţe de frecare să fie mărginite de valorile respective de alunecare. Vei avea şase necunoscute, trei forţe normale şi trei forţe de frecare.

( )( )

⋅<⋅<

<=−=−

=−−=−−=+−=−+

222

111

2

1

2

2

1

1

00

0cos0cos

0sin0cos

NFNF

NFFFRFFR

NFGNFGNFGNFG

µµµ

αααα

( 5.37)

Şi similar pentru al doilea cilindru.

−=

+

−−==

3sin

11

162

32

sin

1

21

αµ

µα

mgF

mgFF ( 5.38)

Se observă destul de uşor că cele trei F - uri (forţele de frecare) sunt egale– din relaţiile privind momentele – şi

−=+=

FGNFGN

αα

coscos

2

1 ( 5.39)

dar

0sin =αG ( 5.40)

presupune o înclinare zero. Deci, o poziţie de echilibru nu există pe planul înclinat. Impresia, să spunem experimentală, provine din, pe de-o parte, idealizarea acestei frecări statice împreună cu prezumţia unei totale nedeformabilităţi a celor două suprafeţe în contact, prezumţie ireală, căci implică un contact - pe o linie fără dimensiuni - pe o suprafaţă zero deci cu o apăsare de presiune (efort unitar sau tensiune) infinită (!) iar pe de altă parte din desconsiderarea frecării tehnice la rostogolire, bazată tocmai pe deformabilitatea suprafeţelor în contact. Dacă cilindri se rostogolesc astfel încât rămân în contact - dar fără alunecare, faţă de plan desigur, căci între ei avem neapărat alunecare, se impune evaluarea valorii normalei dintre cilindri care condiţionează şi existenţa unei forţe de frecare, asociată acestei apăsări. Să remarcăm că avem o singură acceleraţie liniară, comună şi, datorită nealunecării o singură acceleraţie unghiulară. Deoarece pentru cilindru

2

2mRI = ( 5.41)

Solidul rigid

107

rezultă

( )

==⋅=⋅−−

⋅=++−

⋅=++

22

sinsin

2

1

2

1

maRmRINFR

amFGNamFGN

CM

CM

εεµ

αα

( 5.42)

şi rezolvând în continuare:

−=+

+

+=+

−

⋅−=

=

µα

µ

µα

µ

µµ

211sin11

211sin11

2

2

1

1

21

maGF

maGF

amFN

FF

( 5.43)

din care poţi deduce că

=

−=

−=

+

−−==

031

31sin1

3sin

11

162

32

sin

1

21

αµ

αµ

µα

mgN

mgF

mgFF

( 5.44)

dar mai ales că această constatare se putea reţine şi din observaţia că întruna din relaţii acceleraţia avea un coeficient (factor) care conţine un semn minus, deci s-ar fi putut anula, ce a ce este absurd. Constatare care se întrevedea fie din egalitatea acceleraţiilor cu valoarea de la rostogolirea unui singur cilindru, fie din ultima pereche de relaţii. Deci cei doi cilindri nu se jenează, reciproc, deloc.

αsin32

⋅= ga ( 5.45)

Dacă amândoi cilindri alunecă în timpul rostogolirii, din examinarea soluţiilor obţinute deja, se remarcă necesitatea ca cilindrul înaintaş să fie cel care prezintă o frecare mai mare. Într-adevăr, acceleraţia mai mare apare la corpul cu frecare mai mică, deci numai aşa vor rămâne în contact. Reluând ecuaţiile, cu o normală, ca interacţiune între cilindri, vom avea drept necunoscute o acceleraţie şi două acceleraţii unghiulare care ne dau valorile normalelor. Şi după înlocuiri succesive, folosind:

Solidul rigid

108

( )( )( )( )

( )( )

⋅=−⋅=−

−−++−

=

−−++

=

22

11

21

212

21

211

22cos

22cos

εε

µµµµµµ

α

µµµµµµ

α

IFFRIFFR

GN

GN

( 5.46)

vei avea

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

−

−

−⋅⋅=

−−+−+⋅+−

=

−−+−+⋅+

=

−−+

⋅⋅=

−−+

=

µα

µµµα

µµµµµµµµµµµ

αε

µµµµµµµµµµµ

αε

µµµµµ

αµ

µµµµµ

α

cos12sin

22cos

2

22cos

2

2cos

2cos

21

21

2121221

21

2121111

21

21

21

21

ga

RgRg

GF

GN

( 5.47)

Se remarcă unele dificultăţi, care fac problema, oarecum, neliniară, în sensul mai modern al fizicii neliniare (dinamică neliniară )- căci aceste expresii de la numitor care se pot anula, din jocul valorilor coeficienţilor de frecare, obligă la reluarea problemei. De fapt, regăsim soluţiile de la cazurile când cei doi cilindri se mişcau la fel. În încheiere ar mai trebui examinate cazurile când numai unul din cilindri alunecă - şi celălalt nu - sau cazurile în care mişcarea cilindrilor este de natură să schimbe sensul uneia din forţele de frecare. În aparenţă 2+8 cazuri, în fapt mult mai puţine Câteva observaţii finale: La alunecare, centrul instantaneu de rotaţie - centrul vitezelor ar putea să nu mai fie în punctul de contact. Deoarece factorul acceleraţiei conţine un minus la numitor, puteam anticipa că normala dintre cilindri este nulă la o rostogolire identică a acestora. S-ar putea pune şi întrebarea dacă al doilea µ ar putea să fie negativ - dar să remarcăm că în această situaţie sensul forţelor de frecare nu se schimbă! Reţine că rezolvarea detaliată a unei probleme referitoare la un solid rigid real poate fi extrem de delicată. Şi reţine de asemenea că înainte de a începe –tehnic - rezolvarea problemei este necesară o bună modelare a fenomenelor şi o analiză detaliată a tuturor situaţiilor imaginabile.

Solidul rigid

109

5.6 Exemple de calcul al momentelor de inerţie Aşa cum ai constatat din problema anterioară, în studiul dinamicii solidului rigid cunoaşterea momentului de inerţie este esenţială. Momentele de inerţie pot fi calculate, din aproape în aproape, pornind de la formele cele mai convenabile, pentru care intuiţia permite o rezolvare imediată. Putem spune direct, fără nici o sumare sau i ntegrare cât este momentul de inerţie al unui cerc subţire, faţă de o axă care trece prin centrul său şi este perpendiculară pe planul cercului. Într-adevăr, toate părţile cercului se află la aceiaşi distanţă (R), de axa aleasă (de centrul cercului, prin care trece axa), astfel că dacă l-am imagina făcut din particule (elemente de masă, mase elementare), toate vor contribui la Izz, momentul de inerţie axial, faţă de axa Oz, cu:

Figura 5.5

( ) 2RdmdI = ( 5.48)

şi deci zzI nu poate fi decât 2mRIzz = ( 5.49)

Atunci îţi poţi imagina că un disc este realizat din multe inele concentrice, aşezate unul lângă altul (o mulţime de coroane circulare), toate de aceiaşi lăţime, dr, şi a căror masă o poţi deduce pornind de la masa discului, prin regula de trei simplă. Dacă la o suprafaţă a discului S =π R2

drrdS ⋅⋅= π2

corespunde masa m, atunci la o suprafaţă dS, a unei coroane circulare foarte înguste corespunde dm. Aria unei coroane circulare se poate calcula simplu din produsul lungimii sale (2πr) cu lăţimea (dr). Prin urmare aria coroanei circulare elementare este

( 5.50)

Solidul rigid

110

şi atunci, regula de trei simplă te conduce la

Figura 5.6

22

22R

drrmdrrRmdm ⋅⋅

=⋅⋅= ππ

( 5.51)

cu un moment de inerţie, (parţial) al coroanei circulare, dI

2

32 2

RdrrmrdmdI ⋅⋅

=⋅= ( 5.52)

Sumarea aceasta se poate face, la mare nevoie şi prin mijloace elementare, dar totuşi o "integrală" este mai la locul ei. Calculul momentului de inerţie presupune deci o integrală definită, de unde încep inelele şi până unde se termină, adică pentru raze ale coroanelor circulare elementare în domeniul [0,R], respectiv astfel încât coroanele circulare să "acopere" integral suprafaţa discului. În concluzie

∫⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=R Rm

RRm

RdrrmI

0

2

2

4

2

3

2422 ( 5.53)

Expresie care reprezintă momentul de inerţie al unui disc, plin, faţă de o axă care trece prin centrul său şi este perpendiculară pe planul discului. Deoarece grosimea discului nu a intervenit în calcul putem trage concluzia că dacă punem mai multe discuri de aceiaşi rază, unul peste altul, astfel încât să constituie un cilindru (ca la un teanc de monezi!), momentul total (momentul de inerţie al unui cilindru), va fi suma momentelor de inerţie ale discurilor, care au aceleaşi raze, R:

2

21 mRJ plincilindru = ( 5.54)

Solidul rigid

111

desigur, masa, m fiind acum masa acestui disc "gros" care este cilindrul nostru . Figura 5.7.

Figura 5.7

Din aproape în aproape, am putea calcula momentul de inerţie al unui con, drept, faţă de axa lui de simetrie, axa conului. O idee ar fi să "tăiem acest morcov" în feliuţe transversale (cam cum se taie în mod uzual un morcov!), care înseamnă un teanc de discuri, dar de raze diferite şi deci de mase diferite. Câteva indicaţii: masele feliilor, sunt proporţionale cu suprafaţa lor, πr2. Razele "feliilor", r, sunt proporţionale cu distanţa feliilor la vârful conului. Dacă vizualizăm conul ca un morcov cu vârful în jos, asemănarea triunghiurilor care se formează, este mai uşor de urmărit.

Figura 5.8

Solidul rigid

112

Cu aceste indicaţii şi folosind metodica deja aplicată pentru disc, poţi încerca un calcul al momentului de inerţie al conului faţă de axa proprie de simetrie. Vei obţine dacă lucrezi corect, valoarea

2

103 mRIcon = ( 5.55)

Volumul unui con este: aria bazei ori înălţimea supra trei, de altfel orice formă "piramidală", fie piramidă, fie con, fie chiar şi sferă (considerată ca un ansamblu de piramide cu vârful spre interior, cam cum este alcătuit ananasul!!!): Vcon = πR2 h /3; Icon = 3m R2

Cine se mai încumetă la un calcul, după atâtea detalii ? /(10).

Momentul de inerţie al unei bare se poate calcula (în raport cu o axă perpendiculară pe bară), faţă de o axă care trece prin capăt, prin mijloc sau printr-un punct oarecare de pe bară– ori din afara ei!

Figura 5.9

Cu regula de trei simplă, masa porţiunii elementare din bară va fi

Ldxmdm ⋅

= ( 5.56)

astfel că momentul de inerţie al porţiunii elementare de bară este

dxxLmdmxdI 22 =⋅= ( 5.57)

Integrala care permite calculul momentului de inerţie integral al barei faţă de un capăt ( ca în imaginea din dreapta în Figura 5.9) este

∫=L

dxxLmI

0

2 ( 5.58)

astfel că valoarea acestui moment este

3

2mLI = ( 5.59)

Ce ar trebui modificat ca să obţii momentul de inerţie faţă de o axă care trece prin centrul barei şi este perpendiculară pe bară? Poate alte limite de integrare?

Solidul rigid

113

Într-adevăr, noul moment de inerţie corespunzător situaţiei barei din imaginea din stânga din Figura 5.9. este

( ) 222

2

32

2

2

121

32

83mLLmx

Lmdxx

LmI

L

L

L

L

====−−

∫ ( 5.60)

Observaţie. În mod tradiţional axele de rotaţie se desenează punctat, cel mai des în succesiunea "liniuţă punct liniuţă punct" etc.

Figura 5.10

Solidul rigid

114

Înseamnă că momentul de inerţie al unei plăci plane are aceeaşi expresie cu cel al unei bare. Dar în cazul unei sfere, cum ar trebui să procedăm? Poate să "tăiem" sfera în discuri subţiri, paralele– ca pe o lămâie – (perpendicular pe axa de simetrie) felii de grosimi "dz", de raze diferite "r", de mase "dm" şi, evident de momente de inerţie "dI". Ce alte momente de inerţie am mai putea calcula? Poate o placă dreptunghiulară? (Pentru momentele de inerţie există tabele şi culegeri de expresii pentru diferitele forme mai răspândite sau mai frecvent întâlnite în aplicaţiile tehnice. Tabelele din Figurile5.10 şi 5.11 cuprind date despre momente de inerţie la cele mai diferite obiecte

Figura 5.11

Solidul rigid

115

5.7 Test de autoevaluare5.1. Răspunde la întrebările testului de mai jos

Răspunsurile la întrebările testului le găseşti la pagina 117

1. Prin ce se caracterizează mişcarea plan-paralelă?

2. Care este energia cinetică de rotaţie a unui solid rigid?

3. Cum se defineşte momentul de inerţie al unui punct material? 4. Calculează momentul de inerţie al unui sfert de cerc faţă de centrul cercului din care a fost tăiat. Firul din care este făcut sfertul de cerc are masa m şi raza r 5 Calculează momentul de inerţie al unui sfert de disc cu masa m şi raza r faţă de centrul cercului din care a fost tăiat

Solidul rigid

116

5.8 Lucrări de laborator A. Conservarea impulsului Caută o planşetă cu rotile, sau ceva similar. Caută o maşinuţă de jucărie, cu arc sau chiar electrică, în stare de funcţionare! Aşează„vehiculul” la marginea planşei şi porneşte-l. • Planşeta ar trebui să se deplaseze în sens opus. De ce ? • Măsoară deplasarea planşetei, şi a maşinuţei faţă de un reper exterior planşetei precum şi lungimea planşetei. • Cu o balanţă cântăreşte cele două obiecte. Deplasările şi masele

intră într-o relaţie astfel încât centrul de masă la început şi la sfârşit trebuie să fie în acelaşi loc. De ce ?

• Verifică afirmaţia de mai sus.

• Dacă ai putea dispune de două maşinuţe, identice ai putea face o experienţă pornindu-le de la capetele opuse de-o dată, una spre cealaltă. Ce se va întâmpla?

B. Determinarea coeficientului de frecare la rostogolire.

• Caută un cilindru, o cutie de bere, un deodorant, un spray sau o cutiuţă de vitamina C umplută cu nisip ca să fie mai grea. Cutia de bere va fi mai utilă, la fel, umplută cu nisip şi sigilată cu ceva (un leucoplast sau bandă adezivă). • Caută o foaie de burete de la un ambalaj pentru mobilier.

• Aşează foaia buretoasă pe un plan înclinat şi modifică înclinarea

planului până obţii rostogolire uniformă. Atunci: tgα = coeficientul de frecare la rostogolire, α fiind unghiul la care începe rostogolirea. Ţi-am sugerat aceste materiale deoarece coeficientul de frecare la rostogolire este mic şi doar pe o suprafaţă deformabilă creşte astfel încât unghiul să aibă valori mai uşor de măsurat.

• Dacă aşezi corpul cilindric cu generatoarea în lungul planului,

putem prin aceeaşi metodă să aflăm coeficientul de frecare la alunecare.

• Compară cele două rezultate . Discuţie.

• Refă experimentul cu mai multe suprafeţe deformabile dar şi cu un

corp deformabil – o minge mai dezumflată sau o minge medicinală sau altceva.

C. Determinarea centrului de greutate

• Ia o riglă mai lungă şi aşeaz-o pe muchia unei prisme

triunghiulare sau pe generatoarea unui semi cilindru, astfel încât să fie în echilibru. Poţi folosi un corp cilindric dar ţinut fix pe masă.

• Notează diviziunea riglei care se află pe linia de sprijin.

Solidul rigid

117

• Pentru o riglă omogenă ar trebui să fie la mijloc. De ce? • Aşează la capetele riglei două gume la fel sau mai bine două bucăţi de cretă egale astfel încât să realizezi echilibrul. • Apoi, păstrând una din crete nemişcată, pune două crete în cealaltă parte şi notează noua poziţie care realizează echilibrul. • Apoi trei crete etc.

Dacă ai efectuat cu grijă echilibrările, produsul dintre distanţele cretelor la linia de echilibru cu numărul de crete, ar trebui să fie constant. De ce ?

• Verifică această presupunere.

5.9 Răspunsuri la testul de autoevaluare

RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii lllaaa TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 555...111 1. În această mişcare – plan paralelă – traiectoriile punctelor solidului sunt paralele cu un plan fix. Toate punctele solidului situate pe o normală la acel plan se mişcă identic. De aceea mişcarea plan-paralelă se reduce la mişcarea unei figuri plane în planul său. 2. Energia cinetică de rotaţie a unui solid rigid este

∑ ω=ω=k

222kkrot I

21Rm

21E , unde ∑=

k

2kk

defRmI este momentul de

inerţie al rigidului faţă de axa de rotaţie. 3. Momentul de inerţie al unei punct material faţă de o axă este egal cu produsul dintre masa punctului material şi pătratul distanţei sale până la axa: mR2.

4. Masa porţiunii elementare din arc este θπ

drrmdm ⋅=

2 . Momentul

de inerţie este 22/

0

2 2 mrdmrJ == ∫ θπ

π

. Firesc, nu?

5.Masa „dreptunghiului elementar de laturi θdx ⋅ şi dx

este θπ

ddxxrmdm ⋅⋅= 2

4 . Momentul de inerţie „elementar” este

θπ

ddxxrmdJ ⋅⋅= 3

2

4 iar momentul sfertului de disc este

24 2

0

2/

0

32

mrddxxrmj

r

=⋅

= ∫ ∫π

θπ

Solidul rigid

118

Dacă n-ai ales răspunsurile corecte, ar trebui să reciteşti paragrafele 5.1, 5.2 şi 5.6



Solid rigid. Mişcare plan paralelă Centrul vitezelor, centrul acceleraţiilor Mişcare elicoidală instantanee Efectul forţelor şi momentelor asupra mişcării solidului rigid Moment de inerţie

Formule cheie

'0 Rvv

×+= ω viteza în sistemul mobil

∑ ==k

kkrot IRmE 222

21

21 ωω Energie cinetică de rotaţie

==

===

∫

∑∑22

kk

22 )m(m ,

g

kgkk

mRdmRI

mRRmI Moment de inerţie

2

121 mLI = Momentul barei faţă de centru

Solidul rigid

119

5.11 Lucrare de verificare 5 Rezolvă problemele de mai jos. Fiecare din aceste probleme îşi are răspuns în materialul expus în această Unitate de învăţare. Pentru detalii suplimentare sau lămuriri, consultă Bibliografia sau contactează autorii la adresa de e-mail oferită în Introducere. Răspunsurile corecte la această lucrare nu trebuie să depăşească două pagini A4. Trimite tutorelui soluţiile pe care le consideri corecte.

1. Calculează momentul de inerţie al unui cilindru faţă de axul propriu (1 punct) 2. Calculează momentul de inerţie al unui cilindru faţă de o generatoare (1 punct) 3. Calculează momentul de inerţie al unui con. Faţă de axul propriu (1 punct) 4. Calculează momentul de inerţie al unei pânze de con faţă de axul propriu (1 punct) 5. Calculează momentul de inerţie al unei sfere faţă de un diametru (1 punct) 6. Determină poziţiile centrelor de masă pentru con, emisferă şi placă semicirculară (2 puncte) 7. Împlineşte cerinţele lucrării practice din 5.8. Descrie într-un protocol măsurările făcute şi prezintă rezultatele obţinute. (2 puncte) din oficiu, (1 punct) Total (10 puncte)

Solidul rigid

120

5.12 Bibliografie 1.A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 94-134 2.A. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 172-220 3.***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983, pag. 52-65

Atracţia gravitaţională

121


6 ATRACŢIA GRAVITAŢIONALĂ Cuprins Pagina ATRACŢIA GRAVITAŢIONALĂ 121 6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 122 6.2 Forţa Coriolis şi rotaţia Pământului 122 6.2.1 Căderea corpurilor şi forţa Coriolis. Devierea spre est 125 6.3 Legea atracţiei gravitaţionale 129 6.3.1 Firul cu plumb 134 6.4 Interacţiuni. Introducere 138 6.4.1 Câmpul de forţe 139 6.4.2 Intensitatea câmpului 139 6.4.3 Câmpul gravific. 139 6.4.4 Masa gravifică, masa inerţială 140 6.4.5 Forţa masică 140 6.5 Statica 141 6.5.1 Compunerea forţelor paralele 142 6.5.2 Problemă rezolvată 142 6.6 Mişcarea pe planul înclinat 144 6.7 Sisteme echivalente de forţe 146 6.8 Mecanică relativistă 148 6.9 Transformările lui Lorentz 150 6.9.1 Consecinţe ale transformărilor lui Lorentz: 153 6.10 Elemente de dinamică relativistă 154 6.11 Test de autoevaluare 6.1 156 6.12 Lucrări practice 156 6.13 Răspunsuri la testul de autoevaluare 157 6.14 Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 158 6.15 Lucrare de verificare 6 159 6.16 Bibliografie 160


122

6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6

6.2 Forţa Coriolis şi rotaţia Pământului Imaginează-ţi un eschimos care şi-a construit igloo-ul exact deasupra polului nord. Dimineaţa, înainte să plece, face să oscileze un pendul pe direcţia intrării în coliba sa din blocuri de gheaţă. Oare ce găseşte la întoarcere după "o jumătate de zi" (6 ore)? Pendulul are o mişcare circulară, în planul lui de oscilaţie şi, în absenţa unor momente ale forţelor externe, îşi va conserva momentul cinetic. Dar singura legătură a pendulului cu "exteriorul" este firul, care, perfect flexibil, nu poate să transmită un moment al vreunei forţe. Prin urmare momentul cinetic se conservă atât ca mărime cât şi ca orientare, iar planul de oscilaţie va rămâne acelaşi. (Pentru cârcotaşi. Există la capetele "cursei" respectiv la capătul fiecărei semioscilaţii un moment – de timp – de viteză zero, când şi momentul cinetic este zero, dar atât de scurt timp încât nu poate influenţa problema! În realitate există un moment al forţelor externe care influenţează mişcarea, cel al forţelor de frecare cu aerul , dar pentru discuţia noastră este neimportant, deoarece el este perpendicular pe planul de oscilaţie,

Când vei termina de studiat acest capitol vei fi capabil să:

identifici mărimile şi noţiunile specifice câmpului gravitaţional;

identifici noţiuni şi concepte necesare formulării teoriei relativităţii restrânse;

explici unele elemente de cinematică şi dinamică relativistă rezultate din postulatele teoriei relativităţii şi transformările Lorentz;

stabileşti corelaţii între mărimile fizice caracteristice fenomenelor studiate,în scopul rezolvării unor probleme sau al unor aplicaţii teoretice şi/ sau practice;

utilizezi cunoştinţele dobândite în analiza unor sisteme tehnologice;


123

respectiv paralel cu momentul cinetic "de bază". Frecările vor influenţa doar amplitudinea oscilaţiilor, micşorând-o. Mai există un moment al unei forţe externe care influenţează mişcarea, cel al greutăţii, aici – la pol — identificabilă cu forţa de atracţie universală din partea Pământului. Dar şi acest moment cinetic este neimportant discuţia noastră, pentru că este tot perpendicular pe planul de oscilaţie. Prin urmare, dacă planul de oscilaţie rămâne acelaşi, eschimosul va regăsi pendulul oscilând pe o direcţie perpendiculară celei de "dimineaţă". Ar putea crede că cineva, ca să îl necăjească, a oprit pendulul şi l-a făcut să oscileze altfel! Dacă însă este conştient că se află într-un sistem în rotaţie, un sistem de referinţă neinerţial, îşi va spune că, probabil, există o forţă de inerţie – şi nu greşeşte! Forţa de inerţie care apare în sistemul neinerţial prezentat mai sus, aflat în rotaţie, poartă denumirea de forţă Coriolis, de la numele inginerului francez Coriolis. În exemplul prezentat mai sus poţi considera, fie că pământul s-a rotit şi odată cu el tavanul casei, pendulul păstrându-şi planul de oscilaţie şi deci modificându-şi poziţia relativă în casă, fie că în sistemul neinerţial a acţionat o forţă din familia forţelor de inerţie, forţa Coriolis. Perioada de rotaţie a pendulului este de aproximativ 24 de ore, cât perioada de rotaţie a Pământului de sub casă, mai exact 23 ore 56 minute şi 4 secunde. Reţine că pentru un observator aflat într-un sistem de referinţă neinerţial, care se roteşte cu viteza unghiulară ω faţă de un sistem de referinţă inerţial, asupra unui punct material de masa m şi viteză relativă

relv

acţionează o forţă complementară numită forţă Coriolis

relv

×−= ωmFCor 2 ( 6.1)

Dacă notezi cu ω viteza unghiulară de rotaţie a Pământului, iar cu θ latitudinea locului (la pol, θ = 90 grade),atunci asupra corpurilor aflate în mişcare relativă faţă de Pământ acţionează o forţa Coriolis care are modulul:

θω sin2 ⋅⋅⋅= relvmFCor ( 6.2)

Inginerul francez Gaspard Coriolis nu a realizat experimentul de la polul nord, dar compatriotul lui Leon Foucault, a realizat un pendul, lung de 67 m, cu o bilă de circa 28 kg, suspendat de tavanul cupolei Pantheonului din Paris, pendul care de altfel s-a numit „pendulul lui Foucault” . La Paris, locul experimentului, perioada cu care planul de oscilaţie se învârte în jurul verticalei locului este ceva mai complicat de dedus, dar este de 31 ore şi 47 minute. Expresia perioadei la o latitudine θ ca funcţie de perioada la pol este :

θθ sinpol

alatitudine

TT = ( 6.3)

în care θ are aceeaşi semnificaţie de latitudine a locului.

La Bucureşti, cât ar fi această perioadă ? Dar în localitatea în care este şcoala în care lucrezi?


124

Crezi că ai putea construi un pendul Foucault, care să facă experimentul posibil şi în şcoala ta? Consideră un punct material ce se deplasează de-a lungul unui meridian ca în figura următoare şi observă orientarea forţei Coriolis în funcţie de sensul lui relv

şi de emisfera în care se deplasează acel punct

material.

Figura 6.1 Concluzia ta va fi că: - în emisfera nordică, indiferent de sensul mişcării forţa Coriolis este mereu orientată spre dreapta în raport cu sensul mişcării - în emisfera sudică, indiferent de sensul mişcării forţa Coriolis este mereu orientată spre stânga în raport cu sensul mişcării De aceea râurile şi fluviile din emisfera nordică erodează întotdeauna malul lor drept (în raport cu sensul de curgere), la fel cum toate trenurile uzează mai mult şina din dreapta căii lor de rulare. În schimb, în emisfera sudică râurile şi fluviile erodează întotdeauna malul lor stâng (în raport cu sensul de curgere) Traiectoriile proiectilelor cu bătaie lungă sunt şi ele deviate, suficient de mult, cât să nu nimerească ţinta.

Crezi că acest fel de deviere de la planul traiectoriei teoretice, ar putea fi motivul mingiilor şutate care parcă ocolesc portarul de la fotbal?


125

6.2.1 Căderea corpurilor şi forţa Coriolis. Devierea spre est Atunci când un corp cade liber, acesta are o mişcare relativă faţă de sistemul în rotaţie solidar legat de Pământ şi deci, asupra corpului acţionează o forţă Coriolis. Deoarece această forţă provine dintr-un produs vectorial este perpendiculară pe vectorul viteză din timpul căderii. Această forţă transversală faţă de direcţia iniţială de mişcare, va implica o acceleraţie ce va devia corpul de la o cădere strict verticală:

tgva PamantrotatiecaderePamantrotatie ⋅⋅=⋅= ωω 22 ( 6.49

În aceste condiţii, viteza de deviere laterală este

⋅⋅=

22

2tgv Pamantrotatiedeviere ω ( 6.5)

şi devierea propriu-zisă apare din integrarea relaţiei de mai sus sub forma

⋅⋅=

⋅⋅=

32312

33 tgtgD PamantrotatiePamantrotatie ωω ( 6.6)

Întrucât spaţiul de cădere este

2

2tgh ⋅= ( 6.7)

poţi scrie D în forma:

( ) 2/123

2 hghD Pamantrotatie ⋅⋅= ω ( 6.8)

deviaţie care la căderea în emisfera nordică, este conform produsului vectorial, îndreptată spre est. Acestei deviaţii i se spune scurt „devierea spre est”.

Figura 6.2 Ce cântărim? Este o discuţie la care sunt implicaţi mereu profesorii.

Dar în emisfera sudică? Dacă avem deviere spre est, vom avea şi o deviere la deviere? Şi aşa mai departe! Dar la lansarea unei rachete pe verticală?


126

Dacă foloseşti o balanţă de piaţă gen dinamometru, este evident că vei măsura forţa deformatoare de la capătul resortului – fie el liniar sau de torsiune. Dar această forţă este chiar greutatea corpului ! Dacă foloseşti o balanţă cu un taler, cum sunt cele moderne cu afişaj (cu cristale lichide), aceasta are în construcţia sa tot un dinamometru Dacă foloseşti o balanţă cu două talere, fie cea de „farmacie, de laborator” , fie cea de „piaţă” , Robertwall, fie cea „romană” cu contragreutate compari momentul forţei de greutate a corpului de cântărit cu momentul forţei corespunzător greutăţilor marcate. În toate aceste exemple, la cântăririle de zi cu zi se măsoară direct sau indirect greutăţile corpurilor.

Figura 6.3

Masa se măsoară greu. Cele două moduri de definire a masei, ca inerţie a corpurilor sau ca sursă a atracţiei universale între corpuri pot sta la baza metodelor de a măsura masele. Masa care se opune accelerării poate fi măsurată cu dispozitive numite accelerometre. Masa care intervine în forţa de atracţie universală se poate măsura cu o balanţă foarte specială şi foarte sensibilă, dat fiind că forţa produsă asupra unor corpuri „pământeşti de mici” este mică. Savantul englez Cavendish a propus un mod de a măsura direct efectul forţei atracţiei universale. Cavendish a folosit o balanţă de torsiune, o bară orizontală, cu două bile la capete, suspendată la mijloc cu o panglică subţire de cuarţ. Rotirea barei produce un moment de torsiune în panglica de cuarţ.

Figura 6.4 Balanţă de torsiune


127

Figura 6.5 Balanţa Cavendish Dacă de bilele balanţei de torsiune se apropie, simetric, două mase mari, (de plumb, pentru că este mai dens dar şi mai ieftin decât aurul sau uraniul) de circa 5 kg, masele mici vor fi atrase şi pendulul se va roti până când cuplul forţelor de atracţie este echilibrat de momentul produs de torsiunea firului. Cu destul de multe precauţii, acest sistem poate permite măsurarea constantei atracţiei universale k. Sau cel puţin ar permite vizualizarea atracţiei universale. "Astăzi" devierea sistemului, se poate urmări trimiţând fasciculul unui laser (fie el şi de jucărie) pe o oglinjoară ataşată sistemului mobil, anume bara cu cele două corpuri mici. De ce mici, pentru ca să putem utiliza un fir subţire şi deci cu constantă de torsiune mică. Un fir de plastic poate servi la fel de bine ca şi firul de cuarţ. Te încumeţi să construieşti o astfel de balanţă? Coulomb, aproximativ un secol după Newton şi Cavendish, a considerat că între sarcinile electrice, forţa electrostatică trebuie să aibă o expresie similară atracţiei universale, soluţie care s-a confirmat. Forţele electrostatice sunt mai mari, ele sunt vizibile la electrizări de zi cu zi, şi o măsurare similară celei propuse de Cavendish nu ar fi la fel de dificilă. Câteva date "geometrice" despre planeta Pământ: Distanţele la Soare: Maximă – 152.109 m Minimă – 147.109 m Medie – 149,2.2.109 m Excentricitatea orbitei eliptice – 0,017 Viteza medie pe orbită – 29.800 m/s Viteza de scăpare (a doua viteza cosmică) 11,3 km/s Perioada de rotaţie (evoluţie) – 365,26 zile Perioada de rotaţie (revoluţie în jurul axei proprii) – 23,93 ore Masa – 5,972.2.1024 kg Densitatea medie – 5520 kg/m3 Înclinarea axei faţă de normala la planul orbitei – 23,45 grade de arc Acceleraţie gravitaţională la ecuator – 9,78 m/s2 Depărtarea polilor magnetici faţă de polii geografici – aproximativ 1.600 km Deschiderea conului de precesie al axei pământului 53 grade de arc Durata precesiei, perioada de precesie, 222.000 ani


128

Efectul Soarelui în "precesie" aproximativ 1/3, (16 secunde de arc anual) Contribuţia Lunii la precesia Pământului aproximativ 2/3 (34 secunde de arc anual, ca viteză unghiulară de precesie) Perioada nutaţiei aproximativ 305 zile Pământul se mişcă în jurul Soarelui pe o elipsă (ecliptica). Totodată, Pământul se roteşte în jurul propriei axe de rotaţie – notată R în Figura 6.6. Dar axa proprie de rotaţie a Pământului nu rămâne paralelă cu ea însăşi în de cursul mileniilor, ci execută o mişcare care descrie o pânză conică. În figură. „drumul” axei de rotire este marcat cu litera P. Această mişcare se numeşte mişcare de precesie sau precesia axei Pământului. Pentru această modificare de moment cinetic sunt necesare momente ale unor forţe externe şi "responsabilitatea" revine atât Soarelui cât şi Lunii şi, dat fiind raportul distanţelor, mai mult Lunii. Pe acest con de precesie axa terestră are o tendinţă de a descrie un al doilea con, mult mai mic ca deschidere la vârf , mişcare care poartă numele de nutaţie marcată în imagine cu N. Acest fel de comportare se poate sesiza şi la un titirez care este ceva mai bine construit, mai mare şi mai echilibrat. Totul seamănă cu folia obţinută la ascuţirea unui creion cu o ascuţitoare clasică.

Figura 6.6 În Figură proporţiile NU sunt respectate

Câteva date "geometrice" despre Lună : Distanţele la Pământ: Maximă – 402.2.697 km Minimă – 352.2.410 km Medie – 384.000 km Viteza medie pe orbită – 3680 km/oră Viteza de scăpare (a doua viteza cosmică) – 2,38 km/s


129

Perioada de rotaţie în jurul axei proprii – 27 zile 7 ore 43 minute 11,5 secunde Perioada de rotaţie pe orbită în jurul Pământului – 27 zile 7 ore 43 minute 11,5 secunde Perioada de repetare a fazelor Lunii– 29 zile 12 ore 44 minute 2,8 secunde Masa – (1/81) 5,972.2.1024 kg Densitatea medie – (0,6) 5520 kg/m3 Înclinarea axei faţă de normala la planul orbitei – 1,53 grade de arc Înclinarea planului orbitei faţă de cea a Pământului – 5,15 grade de arc Acceleraţie gravitaţională la ecuatorul lunar – (1/6) din 9,78 m/s2 Unghiul sub care se vede Luna de pe Pământ – 0,518 grade de arc Unghiul sub care se vede Pământul de pe Lună – aproximativ 0,987 grade de arc

6.3 Legea atracţiei gravitaţionale Fizicianul englez Isaac Newton a fost preocupat de ideea că dacă pe Pământ acţionează o forţă asupra oricărui corp, acelaşi fel de forţă trebuie să existe atât în apropierea Pământului cât şi mai departe de

acesta . Newton a considerat că forţa gravitaţională se exercită atât asupra unui măr care cade cât şi asupra Lunii pe orbita ei staţionară. Lucrările lui Newton datează din anii 1667, dar publicarea lor a întârziat deoarece Newton a ezitat asupra ipotezei sale că atât Pământul cât şi un corp mic pot fi considerate puncte materiale, sau altfel spus, că Pământul poate fi considerat ca şi cum toată masa lui este concentrată în centrul său. Isaac Newton, a determinat pe baza observaţiilor anterioare existente la acea epocă, că forţa de atracţie dintre două corpuri suficient de depărtate pentru a fi considerate puncte materiale este are modulul:

2

21

rmmkF = ( 6.9)

relaţie în care constanta k, constanta atracţiei universale ale valoarea k= 6,67 ⋅ 10-11unităţi S.I., r este distanţa dintre punctele materiale de mase m1 şi m2

, iar forţa F se află pe dreapta suport care trece prin cele două puncte materiale.

Figura 6.7 Mişcarea Pământului în jurul Soarelui determinată de atracţia

gravitaţională


130

Vectorial relaţia o poţi scrie:

rr

rmm

kF e

2

1−= ( 6.10)

unde rr

este un vector orientat în lungul dreptei care trece prin cele

două puncte, orientat spre exterior. Deoarece

1===rr

rr

rr

, ( 6.11)

rr este vector unitar

Dacă vrei să fii mai explicit vei scrie:

12

122

12

211sup2 r

rrmmkF luiraaluiatractia

= ( 6.12)

şi

21

212

21

212sup1 r

rrmmkF luiraaluiatractia

= ( 6.13)

şi este evident că

1221 rr

−= ( 6.14)

Scrierea este corectă

,1221 FF

−= ( 6.15)

cele două forţe reprezentând acţiunea-reacţiunea. Urmărind imaginea de mai jos, reţine că: Forţa de atracţie universală dintre două corpuri punctiforme are modulul direct proporţional cu produsul masele acestora şi invers proporţional cu pătratul distanţei dintre centrelor lor. Legenda spune că I. Newton stătea la umbră sub un măr şi a avut inspiraţia referitoare la această lege atunci când i-a căzut unul din mere în cap. Istoriografii lui Newton spun că legenda cu mărul nu este reală, dar că lui Newton i-a plăcut foarte mult şi a lăsat-o să circule fără să o nege!

Figura 6.8


131

Pentru corpuri sf erice această prezumţie se dovedeşte adevărată. Newton a publicat în 1687 studiile sale asupra forţei gravitaţionale exprimând în cuvinte ce a ce astăzi se scrie

red

mmkrr

dmmkF

⋅⋅

−=⋅⋅

−= 221

221 ( 6.16)

sau scalar

221

dmmkF ⋅

−= ( 6.17)

La acea vreme erau cunoscute rezultatele lui Galileo Galilei asupra căderii corpurilor (aproximativ anul 1600) dar şi lucrările lui Johanes Kepler (1571-1630) care în 1609 publicase " legile lui Kepler". Kepler s-a bazat pe datele "experimentale" ale astronomului danez Tycho Brahe (1546-1601), care după 20 de ani de măsurători astronomice cu ajutorul unui telescop, strânsese suficiente date cât, mai târziu să îi permită lui Kepler să stabilească faptul ca planetele se mişcă pe orbite eliptice (prin "fitarea", cum am zice astăzi, a datelor astronomice). Kepler a făcut aceste afirmaţii şi calcule în opoziţie cu modelul mai simplu al lui Nicholaus Copernic (din 1543) care fixa Soarele în centrul "sistemului solar" şi considera orbitele planetelor strict circulare. Modelul lui Copernic a fost contestat la vremea lui de către biserica catolică şi în 1633 Galilei a trebuit să retracteze afirmaţiile despre o posibilă mişcare a Pământului. Dacă pentru Lună şi Soare rezolvarea este mai simplă, încercaţi să vedeţi care ar fi traiectoria – faţă de pământ – a unei planete oare care? Tare complicat! Modelul lui Copernic se potriveşte foarte bine Pământului a cărui orbită este practic circulară. Fitarea datelor astronomice dar şi calculele astronomice s-au făcut doar cu răbdare, adică fără nici-un fel de mijloace de calcul moderne. Astăzi cu sprijinul principiilor dinamicii lui Newton şi a legii atracţiei universale, legile lui Kepler sunt obiect de studiu la clasa a 9-a . Această lege se deduce ceva mai greu, mai ales faptul că traiectoriile sunt strict eliptice, bucle închise. Dacă masa nu ar fi constantă, respectiv dacă masa planetei ar depinde de viteza pe orbită, atunci buclele eliptice nu s-ar mai închid perfect şi axa mare a elipsei s-ar roti încet. Această rotire se mai numeşte avansul per iheliului planetei respective. Avansul periheliului planetei Mercur, bine cunoscut de astronomi, a servit drept unul din "experimentele" capabile să susţină teoria relativităţii a lui Einstein.

Legea întâia a lui Kepler spune că orbitele planetelor sunt elipse – plane, având Soarele într-unul din focare.


132

Periheliu este punctul cel mai apropiat de Soare pentru o planetă, pe orbită. Apheliu este punctul cel mai depărtat de Soare pentru o planetă, pe orbită (se citeşte "afeliu”). Perigeu este punctul cel mai apropiat de Pământ pentru un satelit pe orbită în jurul Pământului. Apogeu este punctul cel mai depărtat de Pământ pentru un satelit pe orbită – eliptică – în jurul Pământului sau, privind lucrurile de la suprafaţa planetei noastre, punctul cel mai înalt. . Prin viteze areolare sunt înţelese ariile măturate de razele vectoare ale planetei într-un anumit timp, scurt. Aceste viteze areolare diferă de la planetă la planetă.

Figura 6.9 Viteza areolară Legea a doua a lui Kepler evidenţiază faptul că mai aproape de Soare planetele au viteze liniare mai mari şi se vor mişca mai repede, iar la apheliu acestea au viteze mai mici. Aceleaşi concluzii se aplică oricăror corpuri care respectă acest fel de legitate, inclusiv electronilor pe orbite în jurul nucleului, dacă un asemenea model este acceptat.

Dacă vei considera teorema momentului cinetic, care precizează că tML extern ∆⋅=∆ ( 6.18)

Legea a doua a lui Kepler spune că vitezele ar eolare pe orbite ale planetelor sunt constante

Legea a treia a lui Kepler spune că pătratul anului planetelor (anul planetei) variază ca şi cubul distanţelor la soare (raza vectoare).


133

respectiv că variaţia momentului cinetic este determinată de momentul forţelor externe, poţi remarca faptul că în cazul mişcării planetelor, forţa de atracţie gravitaţională are o direcţie ce trece prin centru – focarul, ales ca pol – şi, având braţ zero, va determina ca momentul forţei să fie de asemenea zero. Dacă momentul forţei este zero se conservă momentul cinetic

0=∆L ( 6.19)

atât ca modul/mărime cât şi ca orientare( direcţie, sens). Păstrarea aceleiaşi direcţii pentru vectorul moment cinetic, implică o traiectorie plană, pentru că doar astfel produsul vectorial dintre r şi v

ar putea rămâne constant. Astfel poţi demonstra o parte a primei legi a lui Kepler. Dacă se conservă momentul cinetic, inclusiv ca modul atunci

αsin⋅⋅⋅= vrmL este constant şi cum unghiul lui r cu v este un unghi drept, cel puţin la periheliu şi apheliu, produsul rv este constant. Dar

dsrdtvr ⋅=⋅⋅ ds fiind deplasarea pe arc, şi pentru timpi scurţi, de două ori aria "măturată" de raza vectoare.

( ) ( )( ) ( )

⋅==⋅==⋅⋅⋅=⋅

dtareolaravitezammaturataariamdtLdsrmdtvrmdtL

222/12

( 6.20)

( ) ( )areolaravitezammaturataariamL 22 == ( 6.21)

Cea de a treia lege o vei deduce prin particularizarea la cazul unui satelit terestru, artificial şi anume satelitul geostaţionar. Revenind la legea lui Newton a atracţiei universale, generalizarea lui Newton a constat în aceia ca a considerat că între orice două corpuri se exercită o forţă de atracţie a cărei expresie este cea din relaţia propusă de el sau mai modern scrierea ei vectorială. Expresia forţei de atracţiei universală poate fi considerată sursa greutăţii, în "zona " planetei Pământ. Atunci

2RmM

kgm Pamanat ⋅=⋅

sau

2RM

kg Pamanat=

Dacă un corp se află la suprafaţa pământului atunci 0RR =

iar dacă ne aflăm la o înălţime oarecare, h, atunci hRR += 0

Variaţia acceleraţiei gravitaţionale cu altitudinea devine:

( )20 hRM

kg Pamanath

+= ( 6.22)

( )( )20

20 hR

MRgg Pamanat

oh+

⋅= ( 6.23)

exprimare care nu te mai obligă să iei în considerare masa Pământului.


134

6.3.1 Firul cu plumb Firul cu plumb este un fir flexibil, care are la capătul său inferior o bucăţică dintr-un corp greu, în mod tradiţional plumb, dar tot atât de bine rolul plumbului poate fi luat de o piuliţă de oţel. Firul cu plumb se orientează după direcţia verticală, "verticala locului". Verticala ar trebui să reprezinte normala la suprafaţa terestră, considerând forma geometrică a "locului" respectiv. Dat fiind forma de "geoid" a Pământului, „raza” sau vectorul de poziţie în sistemul de referinţă cu originea în centrul Pământului, nu coincide cu normala (perpendiculara pe planul tangent) decât cel mult la poli şi la ecuator! Dar este firul cu pl umb o rientat r ealmente pe vr euna di n acest e direcţii?

Figura 6.10 În figură proporţiile nu sunt respectate. De firul prins la

capătul de sus este suspendat „plumbul” reprezentat prin discul negru Asupra "plumbului" pentru a fi în echilibru, acţionează forţa de atracţie din partea Pământului, atadeG var

şi tensiunea din fir T

. Rezultanta lor

trebuie să fie forţa centripetă [centripetF

care să egaleze centrifuga

centrifugaF

datorată rotirii firului cu plumb împreună cu Pământul pe un cerc de rază r corespunzător latitudinii ϕ . Între direcţia razei locale (care ar fi direcţia verticalei „adevărate” – în absenţa rotaţiei Pământului) şi direcţia firului cu plumb – care este direcţia verticalei aparente apare o înclinare caracterizată de unghiul α . Dacă, ţii seama şi de rotaţia Pământului, atunci trebuie să consideri că toate corpurile de pe Pământ şi din apropierea lui care se mişcă solidar cu Pământul, au mişcare de rotaţie şi deci acceleraţie centrifugă care compusă cu atracţia gravitaţională le determină o greutatea aparentă .

Locul în care "verticala locului" înţeapă bolta cerului se numeşte "zenit" iar cel opus l ui "nadir".


135

În cazul sateliţilor geostaţionari, forţa de atracţie gravitaţională şi forţa centrifugă sunt coliniare, egale în modul şi de sensuri opuse. Greutatea este zero. Şi nu pentru că ne-am depărtat prea mult ci pentru că cele două forţe opuse sunt egale. Atunci, înseamnă că firul cu plumb se va orienta după rezultanta dintre forţa atracţiei universale şi forţa centrifugă de inerţie. Cum cele două forţe nu sunt coliniare, firul cu pl umb, va devia de la direcţia razei terestre. Forţa care este efectivă asupra corpurilor, pe Pământ, poartă numele de greutate. Greutatea este rezultanta dintre forţa atracţiei universale şi forţa centrifugă de inerţie. Se foloseşte adeseori apelaţiunea "forţa de gr eutate", dar deoarece este cea mai importantă forţă pentru percepţia noastră, i se cuvine un nume "propriu", greutatea, de altfel mai scurt, mai direct. Rezultă că şi acceleraţia gravitaţională va îngloba aceleaşi consideraţii

=

=

mGg

mGg

( 6.24)

Greutatea unui obiect de masă dată se va modifica la deplasare a pe suprafaţa Pământului. Schimbarea latitudinii determină modificarea forţei centrifuge şi schimbarea altitudinii locului în care se face măsurarea greutăţii determină modificarea atracţiei gravitaţionale Dacă am dori să construim un turn de televiziune foarte înalt, care să permită acoperirea unei mari părţi de teritoriu, eventual mai multe continente? O soluţie ar fi să lansăm un satelit care, ca şi vârful turnului să stea mereu deasupra aceluiaşi punct de pe pământ, pentru ca beneficiarii să nu îşi reorienteze mereu antenele de recepţie. Acest satelit, deci, trebuie să aibă aceiaşi perioadă de rotaţie cu cea a pământului şi va purta numele de "satelit geostaţionar" sau geosincron. O primă întrebare ar fi "unde deasupra Pământului" să fie plasat. Cel mai convenabil şi firesc pentru noi, ar fi deasupra României. Dar ca să fie fix, în repaus în sistemul neinerţial pământ, suma forţelor trebuie să fie zero, adică rezultanta dintre forţa atracţiei universale şi forţa centrifugă de inerţie să fie zero, adică greutatea lui trebuie să fie zero! Cele două forţe, forţa atracţiei universale şi forţa centrifugă de inerţie trebuie să fie coliniare şi egale. Există un singur plan unde cele două forţe sunt coliniare şi anume planul ecuatorial şi numai acolo! Toţi sateliţii geostaţionari formează o centură (centura Clarck) în jurul Pământului, longitudinea lor putând fi aleasă în funcţie de interesele telespectatorilor vizaţi, respectiv de aria de acoperire dorită.


136

Figura 6.11 Poziţionarea unui satelit geostaţionar de comunicaţii S în planul ecuatorial al Pământului

La ce distanţă trebuie instalat, astfel încât şi cea de a doua condiţie să fie îndeplinită?

inertiedecentrifugauniversalaatractie FF = ( 6.25)

Sau:

( )( )hRm

hRmM

K Pamant +⋅⋅=+

⋅0

22

0

ω ( 6.26)

adică

( )

2

30

2

=

+ PamantRotatie

Pamant

ThRM

K π ( 6.27)

sau

( )

( )

=

+

=

+⋅

⋅

2

30

20

0

2

30

20

20

2

2

PamantRotatie

PamantRotatie

Pamant

ThRR

g

ThRRMR

K

π

π

( 6.28)

care după înlocuirea datelor "geometrice" conduce la o "înălţime" turnului de televiziune astfel constituit de circa 36.000 km. Aproape 6 raze terestre. Distanţa la centrul pământului va fi circa 42.000 km! Centura Clarck are o lungime de aproximativ 265.000 km, deci ar mai fi loc pentru ... câţiva sateliţi, chiar fără să se înghesuie!


137

Greutatea scade cu depărtarea de pământ. Dar ce se întâmplă cu cei care „călătoresc” spre centrul pământului? Ce se întâmplă cu firul cu plumb dintr-un tunel care merge spre centrul Pământului? La prima vedere forţa atracţiei universale creşte, îngrijorător chiar, datorită scăderii razei de la numitor! Dar, o teoremă sau o proprietate a câmpurilor de forţe care depind de 1/r2

Toate forţele datorate maselor exterioare sferei imaginare pe care se află punctul în discuţie se compensează, reciproc. Într-adevăr, consideră o pătură sferică, exterioară punctului material, şi masele aflate în unghiul de deschidere a două conuri opuse la vârf, adică cuprinse în acelaşi ungi solid.

este aceea că numai masele interioare sferei imaginare pe suprafaţă căreia se află punctul material atras, produc efecte .

Figura 6.12

2tan

tantan

gas

gasgas R

MmKF

⋅= ( 6.29)

2dreapta

dreaptadreapta R

MmKF

⋅= ( 6.30)

Dar masele sunt proporţionale cu volumele, şi la aceeaşi grosime a păturii sferice cu suprafeţele

⋅⋅=

⋅⋅=

dreaptadreapta

gasgas

SdMSdM

ρ

ρ tantan ( 6.31)

Dar prin însăşi definiţia unghiului solid

=Ω

=Ω

2

2tan

tan

dreapta

dreapta

gas

gas

RSRS

( 6.32)

cele două unghiuri solide centrate în vârful comun al conurilor fiind egale ca opuse la vârf. Rezultă că forţele datorate celor două elemente de masă ale păturii sferice sunt egale, şi de sens opus şi pe aceiaşi dreaptă suport şi au rezultantă zero. Numai masele interioare vor avea efect în valoarea

dS1

dS2

dΩ

dΩ

Imagine meteo din

satelit


138

rezultantei forţei atracţiei universale din partea "Pământului" în acest exemplu. Atunci, cum masa interioară este proporţională cu volumul sferei interioare

ρπ3

4 3

intrM erior⋅

= ( 6.339

greutatea în interiorul pământului va fi

ρπ3

42int rmk

rMm

KG erior ⋅⋅=

⋅⋅= ( 6.349

o forţă proporţională cu depărtarea la centrul Pământului, şi dat fiind că este de atracţie, respectiv îndreptată spre originea axelor, este o forţă de tip "elastic". Toate acestea, desigur, presupunând că densitatea Pământului nu variază spre interior. Cea mai mică greutate se realizează la ecuator. Înseamnă că este cel mai potrivit să cumperi aur dintr-o localitate ecuatorială şi să îl vinzi la eschimoşi ! Dacă găseşti cumpărător, disponibil. La o tonă de aur poţi câştiga valoarea a trei kilograme de aur, minus cheltuielile cu transportul, desigur. Totuşi, o corecţie de 0,3 % nu este de loc neglijabilă la măsurători mai precise.

6.4 Interacţiuni. Introducere

Ai întâlnit în paragrafele precedente forţe datorate mai ales acţiunii “directe” dintre corpuri: - un fir de legătură produce asupra punctului material o forţă centripetă; - contactul unui corp cu suprafaţa de sprijin produce o reacţiune (normală) asupra corpului; - deplasarea unui corp pe o suprafaţă aspră , rugoasă dă naştere unei forţe de frecare la alunecare. Observaţia arată încă să există şi alte feluri de forţe - forţe care se manifestă la distanţă, forţe care acţionează şi produc reacţiune, chiar dacă corpurile sunt depărtate. Astfel, se ştie de la lecţiile de geografie, că pământul se învârte pe o orbită aproape circulară în jurul soarelui. Forţa centripetă necesară curbării traiectorii sau aşa cum se menţiona în capitolul precedent, forţa necesară pentru a produce o modificare a vectorului viteză este acţiunea Soarelui asupra Pământului.

Firul cu plumb aflat la centrul Pământului va fi în echilibru indiferent deoarece şi forţa de atracţie universală şi forţa centrifugă de inerţie sunt zero.


139

6.4.1 Câmpul de forţe Înseamnă că oriunde, în apropierea unui corp (de masă M) este suficient să aducem un alt corp pentru a constata existenţa unei forţe (de atracţie între cele două câmpuri). Un corp foarte mic, care ne serveşte spre a evidenţia prezenţa unei forţe (în acest caz) se numeşte corp de probă (sondă). Pentru a descrie efectul prezenţei corpului M, care ar putea fi evidenţiat prin corpul de probă, se introduce noţiunea de câmp de forţe. Corpul de probă este foarte mic, pentru ca prezenţa lui acolo să nu producă la rândul ei alt câmp. Legenda spune ca Newton a descoperit atracţia gravitaţională privind un măr căzând din pom. Aşa, între noi, crezi că dacă îţi cădea un obiect în cap – ai fi putut descoperi legea atracţiei universale?

6.4.2 Intensitatea câmpului Intensitatea câmpului de forţe (masice), Γ

este definită astfel încât

oricând să putem afla forţa .F

Γ=

mF , ( 6.35) m fiind masa corpului aflat în câmp. Noţiunea de câmp (de forţe) precum şi intensitatea Γ

,a câmpului

permite să analizezi efectele făcând abstracţie de sursa (corpul) care creează câmpul. 4.3. Liniile de câmp Curba care are drept tangente forţele (sau intensităţile câmpului) în fiecare punct se numeşte linie de câmp. Linia de câmp reprezintă traiectoria unui punct care s-ar deplasa lăsat liber în câmp. Voi vedea în continuare că şi alte acţiuni ale corpurilor pot fi caracterizate cu ajutorul noţiunii de câmp.

6.4.3 Câmpul gravific. Intensitatea într-un punct al câmpului gravitaţional este mărimea fizică exprimată prin forţa care acţionează asupra unităţii de masă a corpului de probă adus în acel punct al câmpului gravitaţional .

rr

rmk

mF

1

1

2

−==Γ

( 6.36)

m2m

- masa corpului de probă plasat în câmpul gravitaţional 1

- masa care creează câmpul gravitaţional

Cunoscând intensitatea unui câmp de forţe care acţionează asupra maselor, poţi oricând să reconstitui forţa asupra unui corp

Γ⋅=

corpmF


140

indiferent de modul cum a fost creat Γ , sau indiferent de faptul dacă ştii unde se află sursa (masa, masele) care creează câmpul. Reţine că intensitatea câmpului este o mărime vectorială. Expresia matematică a intensităţii câmpului poate să difere în funcţie de corpul care generează câmpul, dar expresia

Γ=

câmpînaflatcorpmF rămâne aceeaşi. Noţiunea de câmp se referă la proprietăţile spaţiului în care se manifestă intensitatea câmpului .Γ

La modul general, câmpul reprezintă un continuu, o prezenţă punct cu punct a unei mărimi. Într-un solid care se roteşte avem un câmp al vitezelor. În fiecare punct avem definită o viteză care poate fi diferită de a punctului vecin. Aceeaşi proprietate este mai sugestivă la curgerea unui lichid. În cazul câmpului de forţe din apropierea pământului vei avea câmpul greutăţilor corpurilor.

gmG

g

≡=Γ

Intensitatea câmpului greutăţilor este chiar acceleraţia gravitaţională g . Remarcă însă că în această expresie g îşi are ca sursă atracţia dintre Pământ şi corp, în timp ce denumirea ei (acceleraţie gravitaţională) provine din considerarea principiului doi al dinamicii (acceleraţia produsă de greutate asupra unui corp în cădere liberă). Şi, ca să fii consecvent, acest g conţine şi efectul rotaţiei Pământului.

6.4.4 Masa gravifică, masa inerţială

Cele două moduri de a defini sau istoric vorbind, de a introduce masa ca noţiune sunt complet distincte. Masa introdusă de legea atracţiei universale, - masa care interacţionează - se numeşte masa gravitaţională sau masă gravifică; Masa introdusă prin principiul doi al dinamicii - masa care se opune accelerării corpurilor - se numeşte masă inerţială (masă inertă). Nu există încă nici un temei ştiinţific, încă, să concludem că cele două mase sunt identice. Din punct de vedere experimental cele două mase

sunt egale până la o abatere mai mică decât 1110000.000.000.100

1 −=

adică .10 11−<−

i

gi

m

mm, conform unui experiment efectuat la începutul

anilor 70.

6.4.5 Forţa masică

Noţiunea de câmp se poate aplica şi altor feluri de forţe: forţe care acţionează asupra unor mase (numite forţe masice) cum ar fi forţa centripetă, forţele de inerţie, dar şi forţele care depind de alte mărimi decât masa corpului.

Ce alte forţe masice cunoşti?


141

Reţine următoarele relaţii referitoare la câmpul gravitaţional:

=

=

=

=Γ

=

2

2

21

1

1

1

2

21

mvE

rmmkE

rmkV

rmk

rmmkF

cin

pot

( 6.37)

6.5 Statica Statica studiază echilibrul corpurilor sub acţiunea forţelor. În continuare vei separa problemele staticii punctului material de cele ale a solidului rigid. Dar pentru început ar trebui să examinezi axiomele şi noţiunile specifice acestui domeniu. Principalele probleme practice de statică se referă mai ales la echilibrul în câmpul gravitaţional terestru. Vom profita de „simplitatea” – aparentă a acestui capitol, în care nimeni nu se mai mişcă, şi îl vom încărca cu câteva concepte care trebuiau, poate, lămurite mai înainte Axiome. 1. Pentru ca două forţe aplicate unui solid rigid să fie în echilibru este necesar şi suficient să: fie de modul egal, de sensuri contrare şi să aibă ca dreaptă suport dreapta care uneşte punctele lor de aplicaţie. Corolar - ca să echilibrăm o rezultantă avem nevoie de o forţă egală şi opusă ca vector. 2. Putem adăuga unui sistem de forţe al unui rigid oricâte forţe care sunt în echilibru. Corolar - putem deplasa pe dreapta suport punctul de aplicaţie 3. Două solide interacţionează conform principiului III al lui Newton. 4. Dacă un sistem de forţe este în echilibru asupra unui solid, atunci este asupra oricărui alt solid rigid. 5. Dacă un corp este în echilibru fiind deformabil, atunci este şi după solidificare. Nu şi invers neapărat. Regula paralelogramului postulează că rezultanta a două forţe egale aplicate în acelaşi punct este în planul forţelor pe direcţia bisectoarei şi în acelaşi punct. La mai mult de două forţe se aplică regula paralelogramului încă odată, ca o iteraţie sau poligonul funicular. Consecinţă - trei forţe în echilibru trebuie să fie coplanare, neparalele şi concurente. Dacă un corp este în echilibru sub acţiunea a trei forţe coplanare şi neparalele atunci ele trebuie să fie concurente. Există şi inversul compunerii forţelor, descompunerea forţelor.


142

Axioma legăturilor. Orice solid cu legături îl putem presupune liber înlocuind legăturile cu reacţiuni (şi bineînţeles păstrând forţele existente). Exemple de legături - reazem, contact cu suprafeţe, articulaţie axială, articulaţie sferică, tije, fire, încastrări. 1. Deplasarea unei forţe pe dreapta suport prin introducerea unei perechi acţiune - reacţiune. Fa şi Fc

2. Paralel cu ea însăşi (echipolent), astfel încât

cel mult deformează rigidul (îl alungesc).

( )ba F- ,F

formează un cuplu. 3. Momentul unui cuplu (RF

( ) ( )( )

×∆≡×−=

×−×=×+×=

FrFrrM

FrFrFrFrM

ba

babbaa

=0) este, indiferent de polul ales:

( 6.389

( ) bFFrM =∆= αsin , ( 6.399

unde b este braţul forţei, perpendicular pe forţă

6.5.1 Compunerea forţelor paralele Regula paralelogramului pare neputincioasă la compunerea unor forţe paralele fie ele de acelaşi sens sau de sens opus. Într-adevăr, acestea nu pot fi aduse/reduse în acelaşi punct !!! Cu ajutorul axiomelor precedente putem aduce problema la a folosi regula paralelogramului. Introducem f ,f

− , şi rezultantele sunt concurente, şi le putem deplasa

pe dreapta lor suport şi în mod evident dau rezultanta 21 FF

+ .

22112

2

1

1 bf si FbFb

hF

hF

bf

=⇒== ( 6.40)

a) sau folosind concluzia din relaţia precedentă: le mutăm echipolent într-un pol în care cuplurile să se anuleze, adică în locul cu b1F1=b2F2Acest mod de rezolvare grafică este valabil şi la forţele paralele, dar opuse ca semn.

. Se observă că cele două momente rotesc invers.

6.5.2 Problemă rezolvată Care este forţa cu care pământul acţionează asupra unui corp mic (punct material) aflat la suprafaţa pământului? Soluţie propusă Consideră un corp mic (un punct material) pe suprafaţa Pământului, considerat ca sistem de referinţă neinerţial. Într-adevăr, un sistem de referinţă solidar legat de suprafaţa Pământului are permanent o acceleraţie centripetă.


143

În acest sistem de referinţă neinerţial vei lua în considerare forţa centrifugă de inerţie.

αcos

22

Rmv

rmvFefi == ( 6.41)

dar

⋅=⋅=

ρωω

cosRvrv

( 6.42)

deci

ρω cos2 ⋅⋅= RmFefi ( 6.43)

Proiecţia forţei centrifuge de inerţie în lungul forţei de atracţie universală ( )auF

este:

ρωρ 22, coscos ⋅⋅== RmFF efirefi ( 6.44)

Iar devierea de la direcţia către centrului Pământului, O, a greutăţii (a firului cu plumb cu plumbul în punctul M) este dată de:

−=

=

ρωρρωθ

θ

220

2

coscossin

RmmgRmtg

MOluilunguldecomponentaMOpelarăperpendicucomponentag

t ( 6.45)

unde ρ este latitudinea geografică a locului, iar ω viteza unghiulară a Pământului:

sradT

/360024

22⋅

==ππω ( 6.46)

Pentru latitudinea României (aproximativ 45o

( )

2891cos

cos1cos

0

22

0

0

22

022

0

≈=∆

−=−=

gR

GG

gRmgRgmG

ρω

ρωρω

nord), modificarea greutăţii datorită rotaţiei pământului:

( 6.47)

devierea este 61'11 ≈≈θ grade de arc


144

6.6 Mişcarea pe planul înclinat Planul înclinat poate fi considerat un dispozitiv simplu, deoarece, de exemplu, serveşte la ridicarea corpurilor (rampa) sau la distanţarea a două corpuri (pana) ori la apropierea lor (şurubul). În acelaşi timp, planul înclinat este un mod de deplasare pentru a urca sau coborî gradat, treptat, la sau de la o înălţime: coborârea cu sania, cu schiurile, sau urcarea unei pante pe şosea sunt, astfel de exemple ale aplicaţiilor planului înclinat ca mod de deplasare. Ce alte aplicaţii ale planului înclinat ca dispozitiv simplu cunoşti? Dacă un corp alunecă liber pe un plan înclinat fără frecări, atunci poţi să afli acceleraţia de mişcare. Asupra corpului acţionează două forţe: greutatea sa G

şi o reacţiune (normală) din partea planului (înclinat) .N

Indicatorul rutier care arată o pantă de 7% ne spune că la fiecare 100 m parcurşi urcăm cu 7 m, respectiv sin α = 0,07. Deoarece rezultanta lor (şi deci şi acceleraţia a

) este în lungul planului

înclinat vei alege un sistem de axe de coordonate cu una din axe paralelă la plan şi cu cea de a doua axă, perpendiculară pe planul înclinat. Atunci:

amGN

=+ ( 6.48)

pe direcţiile Ox respectiv Oy

⋅=+⋅=+

yyy

xxx

amGNamGN

( 6.49)

dar ay = 0, corpul nu se desprinde de plan şi deci a = ax

==

⇒

=−=

αα

αα

sinsin

0cossin

gamamg

GNmaG

,

( 6.50)

Mişcarea este uniform accelerată, spre în jos. Dar dacă lansăm un corp în lungul unui plan înclinat? Poţi constata cu uşurinţă că în absenţa frecărilor ai exact acelaşi sistem de ecuaţii, deci

⋅=⋅=

αα

sincos

gaGN

( 6.51)

cu observaţia că acceleraţia va fi opusă sensului de mişcare (şi vitezei), deci mişcarea este uniform încetinită. Considerând sensul de mişcare ca sens pozitiv poţi scrie relaţiile din Tabelul prezentat în Figura 6.13.

la urcare la coborâre V = V0 V = V– (g sin α) t 0

s = S

+ (g sin α) t

0 + V0

2

2tt – (g sin α)

s = S0 2

2t + Vot +

Figura 6.13


145

Dacă vei considera un singur sistem de axe, care să descrie de exemplu o lansare spre în sus, până când corpul se opreşte şi apoi revine spre baza planului înclinat, sistemul (1) poate descrie şi urcarea şi coborârea. Poziţia până la care ajunge corpul (şi se opreşte) este dată de Vfinal

( ) opriretgv ⋅⋅−= αsin0 0

= 0. ( 6.52)

( 6.53)

=

=

α

α

sin

sin2

0

0

gv

t

gv

S

oprire

oprire

( 6.54)

Constaţi că la revenirea în punctul de plecare Vcoborâre = V0

deoarece energia mecanică totală se conservă (nu există lucru mecanic al forţelor disipative).

, ( 6.55)

=

=

finalcinetictotalcinetic

finaltotalinitialtotal

EE

EE ( 6.56)

Dar dacă apar forţe d frecare ? În primul rând, mai apare o forţă orientată împotriva mişcării (forţa de frecare la alunecare F frecare la

alunecare

La urcare

) care însă pentru cele două cazuri va avea sens diferit raportat la acelaşi sistem de axe.

urcarealunecaredefrecare amFGN

=++ ( 6.57)

La coborâre

coborârealunecaredefrecare amFGN

=++ * ( 6.58)

sau, pentru axele cu orientare în sus:

=−

=−−

0yy

uxfrecarex

GN

maFG ( 6.59)

=−

=+−

0yy

cxfrecarex

GN

amFG

( 6.60)

Dacă ţii cont că

alunecarelafrecarealunecarelafrecare FNF *=⋅= µ ( 6.61)

componentele forţelor fiind aceleaşi.

αµ cos* ⋅⋅== GFF fafa ( 6.62)

( )αµα cossin ⋅+−= gau ( 6.63)

mişcare încetinită spre în sus


146

( )αµα cossin ⋅−−= gac ( 6.64)

mişcare cu acceleraţia orientată spre în jos, mişcare accelerată. Un caz aparte este dacă mărimea forţei de frecare la alunecare

αµµ cos⋅⋅=⋅ GN ( 6.65)

este mai mare decât componenta Gx

αsin⋅=GGx ( 6.66)

Acceleraţia de coborâre ar putea deveni pozitivă (adică spre în sus)? Concluzia ar fi absurdă pentru că ar însemna că după oprire corpul ar continua să urce! Rezultă că după oprire, corpul nu mai poate coborî. deoarece forţa activă, G sin α, nu poate determina alunecarea. Forţa de frecare capătă semnificaţia frecării statice şi este mai mică decât Ffa

αsin, ⋅=GF staticf

, deci mai mică decât µ G cos α şi egală, evident, cu G sin α.

( 6.67)

în această aplicaţie.

6.7 Sisteme echivalente de forţe Dacă forţa rezultantă are ca efect accelerarea sistemului (translaţie), iar momentul rezultant are ca efect rotaţia corpului sau a punctului material - în jurul unei axe, înseamnă că pentru a înlocui mai multe forţe cu o rezultantă aceasta trebuie să producă acelaşi rezultat atât la translaţie cât şi la rotaţie. Consideră un sistem de (două sau mai multe) forţe paralele, cu acelaşi sens. Rezultanta este :

++= 21 FFR ( 6.68)

şi deoarece forţele sunt paralele cu aceeaşi axă:

++= 21 FFR ( 6.69)

Momentul rezultantei respectă relaţiile

+⋅+⋅+⋅=

+++=

332211

321

FbFbFbMMMMM

R

FFFR ( 6.70)

Echivalenţa a două sisteme de forţe presupune aceeaşi rezultantă şi acelaşi moment rezultant indiferent de felul sau orientările forţelor.

Două sisteme de forţe sunt echivalente dacă au aceeaşi rezultantă şi acelaşi moment rezultant (calculat faţă de acelaşi pol ).


147

9. Centrul forţelor paralele. Centrul de greutate. Centrul de masă Dacă vei considera un punct de referinţă, şi două forţe paralele plasate în poziţiile x1 respectiv x2

ΣΣ

=+++

++=

++

=

i

iiR

R

FFx

FFFFxFxFx

x

FFFxFxx

...321

332211

21

2221

faţă de O, atunci relaţia dedusă pentru aflarea poziţiei acestui suport al rezultantei, devine:

( 6.71)

Dar, acesta este şi cazul greutăţilor părţilor unui sistem de corpuri (sau corpuri şi puncte materiale), care pot fi glisate astfel încât să aplicăm relaţia de mai sus:

i

i

i

ii

i

iigreutatedecentru m

mix

gmgnx

GGxx

Σ

Σ=

ΣΣ

=ΣΣ

=∫

( 6.72)

Relaţie care se scrie mai elegant

totalămasaxm

mixm

xx iiiimasăcgreutatec

Σ=

ΣΣ

=≡ ( 6.73)

Dacă vei considera şi poziţia referitoare la o axă Oy

mym

mymyy ii

i

iimasăcgreutatec

Σ=

ΣΣ

=≡ ( 6.74)

Centrul forţelor paralele este acelaşi indiferent de sistemul de axe considerat. Centrul de greutate respectiv centrul de masă se află în acelaşi loc, pentru acelaşi corp sau sistem de corpuri fixe. Stewin, pe la 1600, fără să cunoască noţiunile de funcţii trigonometrice, sinus or cosinus sau proiecţiile forţelor, descompunerile, a imaginat echilibrul acestui lanţ, pornind de la ... catetele triunghiului dreptunghic. Este poate , prima experienţă mentală exceptând un posibil raţionament mintal al lui Arhimede


148

Figura 6.14 Figura 6.15 Echilibristul din imagine poate sta pe o singură roată pentru co centrul său de greutate cade în interiorul suprafeţei pe care roata se

sprijină.

6.8 Mecanică relativistă Conform principiului inerţiei, mişcarea rectilinie uniformă se autoîntreţine, adică nu necesită nici o acţiune exterioară pentru menţinerea ei. Dimpotrivă, orice acţiune exterioară strică o astfel de mişcare, curbând traiectoria sau modificând valoarea vitezei, adică produce o mişcare accelerată. Reaminteşte-ţi transformările „Galilei”! Dacă principiul inerţiei este valabil într-un sistem de referinţă dat, atunci el va fi valabil în toate sistemele de referinţă care se mişcă rectiliniu uniform faţă de acesta. Sistemele de referinţă în care este valabil principiul inerţiei se numesc sisteme de referinţă inerţiale. Un sistem de referinţă legat de "planeta" Pământ nu este riguros inerţial, din cauza rotaţiei diurne a Pământului, dar într-o primă aproximaţie putem considera sistemul de referinţă legat de Pământ ca fiind practic inerţial. Din punct de vedere al principiului inerţiei toate sistemele de referinţă inerţiale sunt absolut echivalente, nici unul nu poate fi considerat fix sau absolut. O formulare generală a principiului inerţiei este următoarea: corpurile suficient de îndepărtate unele de altele (izolate între ele) se mişcă unele faţă de altele rectiliniu uniform. Este important de stabilit legătura dintre coordonatele unui eveniment faţă de diferite sisteme de referinţă, adică transformările de coordonate care stabilesc trecerea de la un sistem de referinţă la altul. Astfel, poţi stabili care aspecte ale fenomenelor şi legilor sunt relative, adică depind de sistemul de referinţă ales, şi care sunt absolute sau invariante, adică independente de alegerea sistemului de referinţă. Ceea ce doreşti să


149

stabileşti este legătura dintre coordonatele ( )tr ,

măsurate în sistemul S şi coordonatele ( )',' tr

măsurate în sistemul S', aflat în mişcare rectilinie

uniformă faţă de S. Consideră două sisteme de referinţă notate cu S şi S'. Presupune că S' se mişcă faţă de S rectiliniu uniform cu viteza constantă u . Faţă de sistemul S, aplicând regula adunării vectoriale, vei avea: turrr

−−= 0' , 0' ttt −= ,

unde ut reprezintă distanţa OO' dintre originile celor două sisteme de referinţă şi toate mărimile sunt măsurate în sistemul S. În mecanica clasică newtoniană consideri că distanţele şi intervalele de timp, măsurate în diferite sisteme de referinţă, sunt aceleaşi, adică au un caracter absolut sau invariant. Relaţiile de mai sus se numesc transformările lui Galilei şi dau relaţiile de trecere de la un sistem de referinţă la altul care se mişcă rectiliniu uniform faţă de primul. Aceste relaţii permit determinarea coordonatelor ( )'t,'r ale unui eveniment din sistemul S' dacă se cunosc coordonatele ( )t,r ale aceluiaşi eveniment în sistemul S.

Figura 6.16

Scrie transformările inverse, de trecere de la sistemul S' 'a S,

( )

+=

+++=

0

00

'''

ttttturrr

, ( 6.75)

şi diferenţiază-le

=+=

'''

dtdtdturdrd

( 6.76)

Dacă împarţi relaţiile de mai sus termen la termen

udtrd

dtdturd

dtrd

+=+

='

''' ( 6.77)

vei obţine foarte uşor legea clasică de compunere a vitezelor

uvv

+= ' , ( 6.78)

z l

yrel

xrel

x

z

y

r0

r0’

r

r’

∆r


150

adică viteza unui corp faţă de sistemul S este egală cu viteza "relativă" faţă de sistemul S' adunată vectorial cu viteza de "transport" a sistemului S' faţă de S. Diferenţiind relaţiile de compunere a vitezelor şi împărţindu-le la dt=dt', vei obţine legea de compunere a acceleraţiilor:

=

⇒=

,'

'

aadtvd

dtvd

( 6.79)

deoarece

0ud si constu ==

( 6.80)

adică acceleraţia este aceeaşi în toate sistemele de referinţă care se mişcă uniform unele faţă de altele. Acceleraţia este invariantă faţă de sistemele de referinţă aflate în translaţie relativă uniformă. Dacă acceleraţia este nulă într-un sistem S, adică, corpul este în repaus sau se mişcă rectiliniu uniform faţă de S, atunci acceleraţia va fi nulă în orice sistem care se mişcă rectiliniu uniform faţă de primul. Dacă principiul inerţiei este valabil faţă de un sistem de referinţă, deci acesta este inerţial, atunci acest principiu este valabil în toate sistemele de referinţă aflate în mişcare de translaţie uniformă faţă de primul, şi care vor fi de asemenea inerţiale. Reciproc, dacă două sisteme de referinţă sunt inerţiale, atunci ele se află în translaţie uniformă unul faţă de celălalt. În 1863 J.C. Maxwell a formulat legile electromagnetismului şi teoria electromagnetică a luminii. Ecuaţiile lui Maxwell nu sunt invariante la transformările lui Galilei, deci legile fenomenelor electromagnetice şi optice ar trebui să difere de la în sistem de referinţă inerţial la altul. Numeroase experienţe au pus în evidenţă că nici prin mijloace optice, nici electromagnetice nu se poate determina mişcarea unui sistem inerţial şi că viteza luminii în vid este independentă de mişcarea inerţială a sursei sau observatorului. Aceasta contrazice legea clasică de adunare a vitezelor şi transformările lui Galilei. Contradicţia a fost rezolvată în 1905 de Albert Einstein (1879-1955) prin formularea teoriei relativităţii. Pe baza rezultatelor experimentale, Einstein a enunţat postulatele teoriei relativităţii: 1) Toate legile fizicii, nu numai cele mecanice, sunt aceleaşi în toate

sistemele de referinţă inerţiale. 2) Viteza maximă de propagare a interacţiunilor sau a energiei este finită şi aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale, deci o constantă universală. Această viteza absolută coincide cu viteza luminii în vid. Din al doilea postulat rezultă inexistenta corpurilor absolut rigide, deoarece cu o bară absolut rigidă, prin simpla ei împingere, s-ar transmite instantaneu energie altui corp.

6.9 Transformările lui Lorentz

Albert Einstein


151

Consideră sistemele de coordonate din Figura 6.17 y şi z nu sunt afectate de mişcarea reciprocă a sistemelor, fiind transversale pe direcţia de mişcare, deci y'=y şi z'=z. Pentru coordonatele x' şi x trebuie să existe o relaţie liniară de forma:

Figura 6.17

( )utxx −= α' ( 6.81)

unde α nu depinde de coordonate, ci eventual de viteza u de transport dintre cele două sisteme de referinţă. Analog, vei avea:

( )'' utxx += α . ( 6.82)

Coeficientul α trebuie să fie acelaşi, în virtutea echivalenţei sistemelor inerţiale şi a primului postulat al teoriei relativităţii. În cazul transformărilor lui Galilei α=1. Foloseşte postulatul al doilea pentru determinarea lui α. Presupune că în momentul iniţial, când originile celor două sisteme de referinţă coincid, se emite un semnal luminos din origine în direcţia axei Ox. Un punct oarecare în care ajunge semnalul are coordonata x=ct în sistemul S şi x'=ct' în sistemul S'. Aplicând transformările de coordonate pentru acest punct, vei obţine:

+=−=

')()('tuccttucct

αα

, ( 6.83)

de unde, înmulţind membru cu membru:

2

2

2

2222

11

1

1)(β

αα−

=

−

=⇒−=

cu

ucc ( 6.84)

unde cu

=β , deci:

−

+=

−

−=

2

2

1''

1'

β

βutxx

utxx

( 6.85)

şi


152

−

+=

−

−=

2

2

2

2

1

''

1'

β

β

cuxt

t

cuxt

t

( 6.86).

Relaţiile de mai sus se numesc transformările Lorentz, Transformările lui Galilei se obţin la limita c→∞ sau când u<<c. Conform primului postulat, toate legile fizicii sunt invariante la transformările lui Lorentz. Viteza maximă c, egală cu viteza luminii în vid, nu poate fi depăşită. Diferenţiind transformările lui Lorentz, vei obţine:

−

+=

==−

+=

2

2

2

1c

udx'dt'dt

dz'dz ,dy'dy ,1

''

β

β

udtdxdx

( 6.87)

Împărţind primele trei ecuaţii la ultima, poţi obţine relaţiile de compunere a vitezelor în mecanica relativistă

22

'1

'''

''

cuv

uv

cudxdt

udtdxdtdxv

x

xx

+

+=

+

+== ( 6.88)

2

2

2

2

'1

1'''

1'

cuv

v

cudxdt

dydtdyv

x

yy

+

−=

+

−==

ββ ( 6.89)

2x

2z

2

2

z

c

u'v1

1'v

c'udx'dt

1'dzdtdzv

+

β−=

+

β−== . ( 6.90)

sau relaţiile

21'

cuvuvv

x

xx

−

−= , ( 6.91)

2

2

1

1'

cuv

vv

x

yy

−

−=

β, ( 6.92)

2

2

1

1'

cuv

vv

x

zz

−

−=

β. ( 6.93)


153

Pentru cazul limită, u<<c, vei regăsi formulele de compunere a vitezelor din mecanica clasică. Compunerea vitezelor în mecanica relativistă arată că viteza c nu poate fi depăşită.

6.9.1 Consecinţe ale transformărilor lui Lorentz: 1) Contracţia lungimilor. Un acelaşi corp are lungimi diferite dacă sunt măsurate în sisteme de referinţă diferite. Fie o riglă aşezată în direcţia axei Ox în repaus în sistemul de referinţă S, având lungimea l0=x2-x1

( ) ( ) ( )( )

<−=−−=

=−−−−−=−=

02

02

12

21

22'12

11

'1'1''

llxxl

utxutxxxlt

ββ

ββ

. Lungimea riglei, măsurată în S', va fi dată tot de diferenţa coordonatelor capetelor riglei luate în acelaşi moment de timp t':

( 6.94)

Deci, lungimea măsurată în sistemul de coordonate propriu (faţă de care rigla este în repaus) este maximă. Acelaşi rezultat se obţine şi dacă se consideră rigla în repaus faţă de sistemul S'. Deoarece coordonatele transversale nu se modifică (y=y' şi z=z'), volumul se contractă în acelaşi raport ca şi lungimea, adică:

20 1 β−=VV .

2) Dilatarea duratelor. Duratele aceluiaşi proces au valori diferite dacă sunt măsurate în sisteme de referinţă diferite. Fie un proces care are loc în sistemul S, într-un punct de abscisă x, ce are durata τ0=t2-t1

( ) 02

0

2

12

2

21

2

22

121111

'' τβ

τ

βββτ >

−=

−

−=

−

−−

−

−=−=

ttcuxt

cuxt

ttx

. Durata aceluiaşi proces, măsurată în S', în acelaşi punct de abscisă x este:

( 6.95).

Deci, durata măsurată în sistemul de referinţă propriu este minimă. Acelaşi rezultat se obţine şi dacă procesul are loc în punctul x' din sistemul S'. Rezultă astfel caracterul relativ al simultaneităţii, adică două evenimente simultane în sistemul S, nu mai sunt simultane în sistemul S'.

Din relaţiile de mai sus rezultă că produsul dVdt este un invariant faţă de transformările Lorentz:

002

020

11 dtdV

dtdVdVdt =

−−=

ββ ( 6.96)


154

6.10 Elemente de dinamică relativistă Primul postulat al mecanicii relativiste afirmă că toate legile fizicii sunt invariante, deci şi legea conservării impulsului definit prin vmp

= . Prin urmare, dacă impulsul este definit de produsul dintre masă şi viteză şi în mecanica relativistă, la fel ca în mecanica clasică, atunci, pentru ca legea de conservare a impulsului să fie invariantă la transformările Lorentz, masa trebuie să depindă de sistemul de referinţă faţă de care o măsurăm, adică: 'v'mvm

= . Dacă relaţia este valabilă vectorial, atunci ea trebuie să fie valabilă şi pentru fiecare componentă în parte. Scrie această relaţie pentru componenta în direcţia axei Oy a unui corp de masă m în sistemul S şi masa m' în sistemul S' şi să ţine seama de relaţiile de compunere relativistă a vitezelor:

2

2

2

2

'1

1'

'1

1'''

cuv

mm

cuv

vmmvvm

xx

yyy

+

−=⇒

+

−==

ββ. ( 6.97)

Consideră sistemul de referinţă S' ca fiind sistemul de referinţă propriu, adică sistemul în care corpul este în repaus: v'x=0. Atunci masa corpului în sistemul de referinţă S' este m'=m0

2

2

02

2

0

11

cu

mm

cumm

−

=⇒−=

şi se numeşte masă de repaus. Cu aceste presupuneri, relaţia de mai sus devine:

. ( 6.98)

Deci, masa unui corp este minimă în sistemul propriu de referinţă. Atunci când u=c, m0

În continuare vei considera sistemul S ca fiind sistemul de referinţă propriu şi viteza de transport a sistemului S' fiind egală cu v. În acest caz, vei utiliza indicele "0" pentru sistemul de referinţă propriu. Cu aceste notaţii, impulsul relativist se va scrie:

=0, adică un corp care se mişcă cu viteza luminii are masă de repaus nulă.

v

cv

mvmp

2

2

0

1−== . ( 6.99)

Legea a doua a dinamicii pentru mecanica relativistă este:

( )22

23

2

220

2

2

0

11vcvavmam

cv

avc

vmam

cv

vmdtd

dtpdF

−+=

−

+=

−

==

, ( 6.100)

deci forţa nu este coliniară cu acceleraţia. Dacă particula se mişcă cu viteză apropiată de viteza luminii, atunci forţa aplicată produce o acceleraţie mai mică decât în cazul clasic şi deviată spre normala la traiectorie. Este din ce în ce mai greu de modificat modulul vitezei în comparaţie cu direcţia vitezei.


155

Teorema de conservare a energiei cinetice, trebuie să fie aceiaşi şi în mecanica relativistă, adică lucrul mecanic al forţei aplicate punctului material trebuie să fie egal cu variaţia energiei cinetice:

( ) ( ) mvdvdmvvvmddtvdt

vmddtvFrdFdL +===== 2

( 6.101)

unde s-a utilizat legea a doua a dinamicii în exprimarea forţei. Dar,

( )dmvcmvdvvc

mvdvdm 2222 −=⇒

−= , ( 6.102)

astfel încât

( ) cdEdmcdmvcdmvdL ==−+= 2222 ( 6.103),

de unde după integrare vei obţine: 2

02 cmmcEc −= , ( 6.104)

unde E0=m0c2 este energia de repaus, iar E=mc2

În mecanica clasică, energia totală se defineşte până la o constantă arbitrară, în mecanica relativistă energia de repaus precizează această constantă în mod univoc.

este energia totală. Prin urmare, orice variaţie de energie este însoţită de o variaţie corespunzătoare a masei, şi reciproc, adică legea de conservare a energiei este şi o lege de conservare a masei.

Cunoşti că în mecanica clasică m

pE2

2

= şi vrei să determini relaţia

analogă în cazul mecanicii relativiste. Din relaţiile de definiţie ale impulsului şi energiei, poţi determina viteza particulei în funcţie de impuls şi energie:

Ecpv

mcEvmp 2

2

=⇒

=

=. ( 6.105)

Înlocuind această valoare în expresia energiei, vei obţine 22

022 cmpcEmcE +=⇒= . ( 6.106)

Pentru particule cu masă de repaus nulă, E=pc. Teoria relativităţii a fost verificată şi se aplică în cazul particulelor elementare (electroni, neutroni, protoni, etc.) accelerate la viteze mari, în cazul reacţiilor nucleare, în cazul fotonilor, etc


156

1. Ce este forţa de atracţie gravitaţională?

2. Ce este energia potenţială gravitaţională?

3. Cum se compun două forţe concurente?

4. Care sunt postulatele teoriei relativităţii?

5. Cum variază masa la viteze mari?

6.11Test de autoevaluare 6.1 Răspunde la următoarele întrebări:


6.12 Lucrări practice

1. Foloseşte un lănţişor de pus la gât, ori un fir flexibil sau chiar un lanţ subţire, cu zale mai mici. Dacă aşezi lanţul pe masă acesta este în repaus. Dacă o porţiune din lanţ atârnă peste marginea mesei, există o situaţie când lanţul începe să alunece. Măsoară şi notează lungimile porţiunilor din lănţişor aflate pe verticală şi pe masă.

2. Raportul lor, în această ordine, este chiar coeficientul de frecare

la alunecare, dintre lanţ şi suprafaţa de pe masă. Repetă experienţa cu altă suprafaţă, o faţă de plastic, o pătură, o faţă de masă şi calculează de fiecare dată coeficientul de frecare la alunecare, dintre lanţ şi suprafaţa de pe masă.

3. Lăsă lanţul să alunece, cronometrează durata mişcării până la

desprindere şi calculează viteza medie. A fost mişcarea uniformă? A fost mişcarea uniform accelerată ?


157

RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii lllaaa TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 666...111 1. Forţa de atracţie dintre două corpuri suficient de depărtate pentru a

fi considerate puncte materiale este: 1 22

m mF k

r= .

2. Energia potenţială gravitaţională este energia unui corp în câmpul gravitaţional numeric egală cu lucrul mecanic necesar ridicării unui corp în câmpul gravitaţional.

3. Două forţe concurente se compun după regula paralelogramului.

4. Toate legile fizicii, nu numai cele mecanice, sunt aceleaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale. Viteza maximă de propagare a interacţiunilor sau a energiei este finită şi aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale, deci o constantă universală. Această viteza absolută coincide cu viteza luminii în vid.

5. 02

2

mm

u1c

=

−

4. Ai putea face un semn la jumătatea porţiunii de pe masă şi dacă mişcarea nu e prea rapidă şi lanţul prea lung, poţi cronometra timpul de parcurgere a primei jumătăţi şi al celei de a doua (sau treimi, sau sferturi – dacă alunecarea e pe o pătură mai aspră).

Din compararea timpilor menţionaţi vei putea eventual aprecia ce fel de mişcare este mişcarea lanţului.

6.13 Răspunsuri la testul de autoevaluare


158



Forţa Coriolis; Câmp gravitaţional; Intensitatea într-un punct al câmpului gravitaţional; linii de câmp Masă gravifică; masă inerţială; Sisteme echivalente de forţe; Centrul forţelor paralele; centru de greutate; centru de masă; Contracţia lungimilor; dilatarea duratelor;relativitatea simultaneităţii; Masă de repaus; masă de mişcare; Energie de repaus; energie totală;

Formule cheie

rr

rmmkF e

2

1−=

β−

+=

β−

−=

2

2

1

'ut'xx

1

utx'x

β−

+=

β−

−=

2

2

2

2

1c

'ux'tt

1cuxt

't

2

2

0

1cu

mm

−

= ; v

cv1

mvmp

2

20

−

==

20

2c cmmcE −=


159

6.15 Lucrare de verificare 6 Rezolvă cerinţele de mai jos şi trimite tutorelui rezultatele pe care le consideri corecte.

Legi cheie

Legea atracţiei universale Legile lui Kepler Postulatele teoriei relativităţii restrânse

Rezolvă problemele propuse. Efectuează lucrarea de laborator. Folosind un editor de texte redactează o scrisoare cu răspunsurile pe care trimite-le tutorelui. 1. Cum se compun vitezele în mecanica relativistă? (1 punct) 2. Cum variază masa în mecanica relativistă? (1 punct) 3. Care este deosebirea – cantitativă – dintre greutate şi forţa

de atracţie universală. (1 punct) 4. Calculează durata traversării pământului, printr-un tunel imaginar,

prin centrul pământului, în cădere liberă (3 puncte) 5. Efectuează lucrarea practică. Redactează – folosind un program

de editare de texte – un protocol al lucrării tale în care prezintă rezultatele măsurătorilor şi calculele asociate (3 puncte)

Notă: Se va acorda un punct din oficiu (1 punct) Total 10 puncte


160

6.16 Bibliografie

1. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 161-175

2. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 113-122

3. ***, Probleme de Fizică pentru clasele IX-X, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983, pag. 32-35

Oscilaţii, unde, acustică

161


7. OSCILAŢII, UNDE, ACUSTICĂ Cuprins Pagina OSCILAŢII, UNDE, ACUSTICĂ 161 7.1. Obiectivele unităţii de învăţare 7 Oscilaţii. Unde. Acustică 162 7.2. Oscilatori. Oscilaţii armonice simple 162 7.2.1. Descrierea oscilaţiilor 162 7.2.2. Mişcarea armonică simplă 168 7.2.3. Mişcarea armonică 171 7.2.4. Exerciţii 174 7.3. Oscilaţii amortizate 176 7.4. Oscilaţii forţate sau oscilaţii întreţinute 178 7.5. Rezonanţa 180 7.6. Compunerea oscilaţiilor armonice. 181 7.6.1. Test de autoevaluare 7.1 184 7.6.2. Lucrare practică 185 7.7. Unde elastice 186 7.7.1. Unda plană progresivă neatenuată 188 7.7.2. Deformaţia solidelor produsă de unde 189 7.8. Ecuaţia undelor 191 7.8.1. Viteza undelor în solide 192 7.8.2. Densitatea şi fluxul de energie al undelor 193 7.9. Interferenţa 195 7.9.1. Dispersia. Viteza de grup 197 7.10. Absorbţia undelor 198 7.11. Acustica 199 7.12. Coarda vibrantă 200 7.13. Tuburi sonore 202 7.13.1.Nivelul sonor 203 7.13.2.Intensitatea sunetului 204 7.13.3.Testul de autoevaluare 7.2 211 7.14. Răspunsuri la testele de autoevaluare 212 7.15. Termeni şi expresii cheie. Formule cheie 213 7.16. Bibliografie 214 7.17. Lucrare de verificare 214


162

7.1. Obiectivele unităţii de învăţare 7 Oscilaţii. Unde. Acustică

7.2. Oscilatori. Oscilaţii armonice simple În 1581, după studiul mişcării „ de legănare” a unui candelabru în catedrala din Pisa,Galileo Galilei a descris pentru prima dată o mişcare de oscilaţie. El a făcut observaţia că mişcarea se repetă. Măsurând intervalul de timp al unei curse complete a candelabrului, a observat că acesta rămâne constant chiar dacă lungimea cursei mişcării candelabrului se micşorează lent.

Figura 7.1 Mişcarea descrisă de imagine este un exemplu tipic de

oscilaţie.

7.2.1. Descrierea oscilaţiilor Ce este o oscilaţie? Sau, când vom spune că un corp sau un sistem, oscilează?


să identifici şi să descrii cu cuvinte potrivite mişcarea oscilatorie simplă.

să faci deosebirea dintre oscilaţiile armonice simple oscilaţiile forţate şi cele amortizate

să descrii rezonanţa şi efectele ei

să determini perioada unui pendul gravitaţional şi a unui pendul elastic

să identifici şi să descrii cu cuvinte potrivite undele .

să descrii producerea, recepţionarea şi calităţi le sunetelor

să foloseşti cunoştinţele acumulate pentru descrierea fenomenelor oscilatorii şi a undelor din jurul tău.


163

Un leagăn oscilează, o creangă în vânt oscilează, apa dintr-un vas clătinat oscilează, şi putem găsi sute de exemple de sisteme care oscilează : pendulul, coarda vibrantă, un diapazon, un pod , o clădire înaltă etc. Primul gând în realizarea unei definiţii a oscilaţiilor ar fi că sistemul, corpul care oscilează se depărtează de o poziţie iniţială pentru ca apoi să revină spre acea poziţie iniţială, şi după aceea reluând acest ciclu . Un al doilea gând ar fi că duratele mişcărilor care se repetă sunt sau trebuie să fie egale. Şi ar mai fi ideea că şi „cursa” mişcării trebuie să fie aceiaşi. Totuşi leagănul care oscilează se opreşte în cele din urmă , dacă nu este ajutat, ce a ce ne duce cu gândul că amplitudinea mişcării se modifică, scade. Dacă am cronometra atent, am vedea şi că duratele mişcărilor diferă de la oscilaţie la oscilaţie. Mai jos poţi urmări o trecere succintă în revistă a principalelor noţiuni cu care vei opera în această unitate de învăţare. Sistem oscilant. Un sistem este oscilant sau oscilează dacă după ce se depărtează de o poziţie de echilibru revine spre aceasta şi, eventual, reia mişcarea (oscilatorie). Nu am cerut ca mişcările să fie întocmai, să se repete identic şi, prin acest „eventual”, subliniem că o oscilaţie, o „oscilare”, nu presupune nici măcar reînceperea unei a doua oscilaţii !!! Elongaţie. Depărtarea la un moment dat de la poziţia de echilibru poartă numele de elongaţie. Elongaţia, (depărtarea), trebuie considerată de a lungul drumului parcurs şi nu neapărat ca depărtare sau distanţă în sensul de la geometrie Amplitudine. Amplitudinea este elongaţia sau depărtarea maximă pe traiectorie, de la poziţia de echilibru. Elongaţia ca şi amplitudinea sunt definite pentru oscilaţia unidimensională, pe o singură direcţie. Deci, distanţa între extremele oscilaţiei este de două ori amplitudinea! Perioada. Durata unei oscilaţii complete, (adică dus şi întors), de la poziţia de echilibru, la cele două extremităţi şi înapoi până în poziţia de echilibru, dus şi întors se numeşte perioadă. Semiperioada se mai denumeşte "oscilaţie simplă". Este bine să exprimăm perioada ca durata mişcării de la o extremă până la revenirea în acea poziţie extremă. Dacă duratele la care diferite poziţii ale mobilului în mişcare se repetă sunt egale, mişcarea este periodică. Matematic vorbind, înseamnă că funcţiile care descriu mişcarea sunt funcţii periodice. O funcţie periodică, f, având perioada T respectă pentru orice valoare a variabilei sale x relaţia

( ) )x(fTxf =+ ( 7.1))

Oscilaţie Elongaţie Amplitudine Perioadă Frecvenţă


164

Inversul perioadei este frecvenţa. De regulă, frecvenţa este notată cu litera grecească niu ν .

T1

=ν ( 7.2)

Pulsaţia, marcată cu litera grecească omega,ω , definită ca în relaţia de mai jos, serveşte de asemenea pentru descrierea temporală a oscilaţiei.

T22 πνπω =⋅= ( 7.3)

Dacă duratele care se repetă nu sunt egale mişcarea este cuasi-periodică sau în traducere liberă - aproape periodică. Dacă mişcarea se rezumă la un fragment de oscilaţie, adică nici măcar nu reuşeşte să revină în poziţia iniţială, mişcarea este aperiodică. Între mişcarea periodică şi aperiodică există o situaţie "critică", (este o uzanţă în fizică de a denumi astfel, critic/critice, diverse "praguri" care schimbă un comportament).

Figura 7.2 Arcele BA sau BC sunt amplitudinea oscilaţiei copilului. Arcul

corespunzător oricărei alte poziţii – măsurat faţă de B- este elongaţia corespunzătoare poziţiei. Timpul în care copilul plecat din punctul A

ajunge din nou în acest punct este perioada oscilaţiei

Oscilator armonic. Există nenumărate funcţii periodice care să descrie poziţia unui mobil ca funcţie de timp. În Figura 7.3 sunt reprezentate câteva. Vei numi oscilator armonic (şi respectiv modul de a oscila, oscilaţie armonică) un sistem a cărui elongaţie urmează o lege sinusoidală.

Figura 7.3 Mişcări periodice

)tsin(Ax ϕω +⋅⋅= ( 7.4)


165

adică este funcţie periodică aşa cum este funcţia sinus (sau cosinus), având perioada π2 . În expresia ω este pulsaţia, πν=ω 2 , ν- frecvenţa. Ansamblul

ϕ+ωt ( 7.5) este numit fază, iar „unghiul” ϕ (marcat cu litera grecească fi - faza iniţială). Deşi oscilaţia armonică nu presupune o definire naturală, de multe ori sistemele care oscilează se apropie de comportarea armonică. Pendulul elastic, este format dintr-un corp cu masa m aflat la capătul unui resort, (care, desigur, este fixat la celălalt capăt) şi care poate oscila fără frecări pe orizontală. Pendulul elastic se identifică cu oscilatorul armonic. Esenţială pentru mişcarea oscilatorie, este existenţa în cursul mişcării a unei „forţe de revenire” , o forţă care să tindă să readucă obiectul în „centrul mişcării”, poziţia pe care sistemul ar adopta-o la echilibru. Cum forţa determină acceleraţia, specificul mişcării oscilatorii este că poziţia şi acceleraţia sunt de semne opuse. În Figura 7.4 sunt prezentate două poziţii ale unui sistem arc – corp de masă m . Aşa cum se vede atât la comprimarea cât şi la întinderea arcului forţa elastică

Figura 7.4 Forţa elastică, de revenire, are sensul opus direcţiei

deformării.

xkFsp

⋅−= ( 7.6)

este o forţă de revenire îndreptată tot timpul spre poziţia de echilibru de sens opus direcţiei în care s-a făcut deformarea. Dacă poziţia corpului legat de arc este descrisă de relaţia (7.4), atunci ca pentru orice altă poziţie dependentă de timp, viteza v sau acceleraţia a se obţine printr-o derivare succesivă a poziţiei în raport cu timpul adică:

( ) ( )ϕωω +⋅⋅⋅=== tcosAxdtdxtv ( 7.7)

( ) ( )ϕωω +⋅⋅⋅−==== tsinAxdt

xddxdvta 2

2

2 ( 7.8)

Aşa cum este uşor de observat, pentru cazul pendulului elastic, acceleraţia şi poziţia sunt proporţionale şi de semene opuse.


166

Pentru descrierea completă a mişcării pendulului elastic ai putea calcula şi energia mecanică a sistemului. Energia potenţială acumulată în arc, este o energie potenţială elastică a cărei expresie este

( )2

tsinkA2

kxE222

elasticapotentialaϕω +

== ( 7.9)

iar energia cinetică a corpului de masă m depinde de timp conform relaţiei

( )2

tcosmA2

mvE2222

[cineticϕωω +

== ( 7.10)

Energia potenţială este maximă atunci când deformaţia este maximă, la capetele cursei corpului. În aceste poziţii elongaţia este maximă şi egală cu amplitudinea. În aceleaşi puncte corpul „stă”. Viteza lui este schimbată de sens şi are valoare instantanee nulă. Pentru capetele cursei,

( )

( )

=

=

0curseicapatulE2

kAcurseicapatulE

cinetica

2

elasticapotentiala ( 7.11)

Când trece prin centrul mişcării, poziţia de echilibru a resortului nedeformat, corpul are viteza sa maximă şi deci

( )

( )

==

=

2mA

2mv

miscariicentrulE

0miscariicentrulE222

immaxcinetica

elasticapotentiala

ω (7.12)

Sistemul fiind izolat, energia sa totală , suma dintre energia potenţială şi cea cinetică, se conservă. Scriind energiile în poziţiile descrise mai sus,

( ) ( )

( )2

kAcurseicapatulE

curseicapatulEcurseicapatulE2

cinetica

elasticapotentialatotala

=+

+= ( 7.13)

( ) ( )

( )2

mA2

mvmiscariicentrulE

miscariicentrulEmiscariicentrulE222

immaxcinetica

elasticapotentialatotala

ω==+

+= ( 7.14)

şi luând în considerare conservarea energiei mecanice rezultă

=

=

mk

2mA

2kA 222

ω

ω

( 7.15)

Cu o foarte mică strădanie poţi să demonstrezi că energia se conservă pentru oricare poziţie intermediară a sistemului.


167

( ) ( )

=

=+

++

=

=+=+=

2kAE

2tcosmA

2tsinkAE

2mv

2kxEEE

2

totala

22222

totala

22

cineticaelasticapotentialatotala

ϕωωϕω ( 7.16)

În Figura 7.5 sunt prezentate corelaţiile dintre mărimile care descriu mişcarea pendulului elastic la diferite momente

Figura 7.5

Observaţie. Studiul oscilatorului armonic şi a oscilaţiilor armonice este foarte justificat de posibilitatea – demonstrată matematic – a reprezentării oricărei funcţii, altfel decât armonică, prin o sumă de funcţii armonice, (reprezentare prin serii Fourier). O mişcare oarecare poate fi descrisă ca o sumă de oscilaţii armonice ceea ce permite folosirea tehnicilor de analiză pentru oscilaţii armonice în situaţii care la prima vedere par să nu aibă nici o legătură cu acest tip de mişcare. Pentru că în cazul mişcării oscilatorii mărimile variază în timp, se folosesc adeseori valori medii, medii temporale, pentru toate mărimile mecanice de interes: energie cinetică, impuls, moment cinetic etc. De exemplu, se poate calcula forţa medie care acţionează asupra pendulului elastic.


168

∫∫∫

∫ ⋅−⋅=⋅==

2

1

2

1dt

dt)t(f

mtF dt)t(xk1dt)t(f12

1

2

1

τ

τ

τ

τ τ∆τ∆τ

τ

τ

τ .

Pentru o perioadă

( )

( )

( )( )

( )( )

=−+−=

−+−=

+−=

+−= ∫

0cos2cosT

kAF

cosTcosT

kAF

tcoskAT1F

dttsinkAT1F

medie

medie

T

0medie

T

0medie

ϕϕπω

ϕϕωω

ϕωω

ϕω

( 7.17)

7.2.2. Mişcarea armonică simplă Dacă asupra unui punct material acţionează o forţă de tip elastic, F = – kx), principiul doi al dinamicii permite să scriem

=+

=−=

0xmka

makxmaF

( 7.18)

Scrisă sub forma

0xx 2 =+ω ( 7.19)

ultima relaţie din (7.18) este cunoscută sub denumirea de „ecuaţia oscilatorului armonic”. Soluţia evidentă a ecuaţiei este poziţia dată de ecuaţia (7.4). Esenţial, soluţia ecuaţiei oscilatorului este descrisă de două constante : amplitudinea A şi faza iniţială ϕ . Valorile celor doi parametri ai soluţiei sunt fixate de datele iniţiale ale problemei. Un alt tip de mişcare armonică simplă este mişcarea pendulului

Figura 7.6 Pendulul gravitaţional


169

gravitaţional – pendulul matematic simplu – aşa cum este el prezentat în figura de mai jos. El este alcătuit dintr-un fir inextensibil cu lungimea ,legat fix la unul din capete şi care are la celălalt capăt un corp mic, greu, cu greutatea mg În câmp gravitaţional, dacă i se aplică un mic impuls, ansamblul oscilează armonic. Asupra corpului acţionează greutatea şi tensiunea din fir. Componenta „de-a lungul firului” a greutăţii îşi anulează efectul datorită tensiunii din fir. Rămâne să acţioneze asupra corpului componenta „perpendiculară pe fir” a greutăţii, componentă care, se scrie (pentru unghiuri suficient de mici pentru ca αα ≈sin ) sub forma

αα ⋅⋅=⋅⋅=⊥ gmsingmF ( 7.20)

Forţa descrisă de relaţia (7.20) are caracterul unei forţe de revenire deoarece este proporţională cu deplasarea faţă de centrul mişcării şi îndreptată către acest centru. Lungimea s a arcului descris pe traiectorie de corp este

α⋅= s ( 7.21)

astfel că acceleraţia tangenţială a corpului se poate scrie

α ⋅== sa ( 7.22)

Legea a doua a dinamicii se scrie pentru situaţia analizată

amgmT

=+ ( 7.23)

sau, pentru componenta de interes , de-a lungul traiectoriei

=+

=+−=

0g0ga

mgma

αα

αα

( 7.24)

Comparând ultima relaţie din (8.24) cu relaţia (7.19) rezultă că unghiul făcut de fir cu verticala este o mărime care oscilează armonic cu pulsaţia

lg

=ω ( 7.25)

Perioada pendulului elastic km2T π=

Perioada pendulului gravitaţional gl2T π=


170

7.2.2.1. Determinarea parametrilor oscilaţiei armonice simple din condiţiile iniţiale Încearcă să descrii mişcarea pendulului elastic dacă la momentul iniţial corpului aflat în origine i se imprimă viteza iniţială 0v . Din relaţiile (7.4) şi (7.7) rezultă

====

0vcosA)0(x0sinA)0(x

ϕωϕ

( 7.26)

Din prima relaţiile din ansamblul de mai sus rezultă 0=ϕ şi deci

ω0v

A = ( 7.27)

Mişcarea pendulului elastic, aşa cum este ea determinată de condiţiile iniţiale, se desfăşoară după legile

( )

( )( )

−====

=

tsinv)t(x)t(atcosvx)t(v

tsinv

)t(x

0

0

0

ωωω

ωω

( 7.28)

Dacă la momentul iniţial pendulului elastic se află în repaus la distanţa

0x de poziţia de echilibru, relaţiile /7.4) şi (7.7) conduc la

====

0cosA)0(xxsinA)0(x 0

ϕωϕ

( 7.29)

Relaţia a doua din ansamblul de mai sus conduce la

=

=

2

0cosπϕ

ϕ ( 7.30)

şi în consecinţă,

0xA = ( 7.31)

Mişcarea pendulului elastic, aşa cum este ea determinată de noile condiţiile iniţiale, se desfăşoară după legile

+⋅⋅−==

+⋅⋅==

+=

2tsinx)t(x)t(a

2tcosxx)t(v

2tsinx)t(x

20

0

0

πωω

πωω

πω

( 7.32)


171

7.2.3. Mişcarea armonică Mişcare rămâne armonică (dar nu simplă armonică) şi atunci când asupra corpului nu acţionează numai o forţă elastică ci şi o forţă constantă sau . de exemplu – o forţă proporţională cu viteza. Aceasta este situaţia unui corp suspendat pe verticală de un resort, supus acţiunii greutăţii (constante) şi unei forţe de rezistenţă la deplasarea prin aer(forţă Stokes). Forţele de rezistenţă, de tip Stokes, proporţionale cu viteza, şi având sensul opus vitezei de deplasare se scriu

vrFStokes ⋅−= ( 7.33)

Poţi scrie ecuaţia de mişcare pentru sistemul din figura de mai jos – folosind notaţii evidente sub formele succesive

=++

=++

+−−=

gxxx

gxmkx

mrx

mgkvkxma

2ωγ

( 7.34)

Oscilatorul armonic simplu oscilând pe orizontală apare pentru 0g,0 ==γ iar pentru oscilaţia pe verticală - 0=γ .

Rezolvarea presupune fie calea matematică de rezolvare a acestui tip de ecuaţie diferenţială, fie o cale intuitivă, şi anume să găseşti acea soluţie care, derivată (o dată, respectiv de două ori) şi înlocuită în expresie, să satisfacă ecuaţia ultimă din (7.34). Rezolvarea acestei ecuaţii presupune găsirea soluţiei generale a ecuaţiei omogene care i se poate ataşa.

0xxx 2 =++ ωγ ( 7.35)

Soluţia generală a ecuaţiei de oscilaţie este suma dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Ecuaţia (7.35) este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, omogenă, cu coeficienţi constanţi, care admite ca soluţie o exponenţială depinzând de parametrul p

tpAe)t(x ⋅= ( 7.36)

Evident,

=

=⋅

⋅

tp2

tp

eAp)t(xApe)t(x

( 7.37)

şi ţinând seama de relaţia (7.35) rezultă că p trebuie să satisfacă ecuaţia (numită ecuaţie caracteristică)

0pp 22 =++ ωγ ( 7.38)


172

Ecuaţia (7.38) are soluţiile

24

p22

2,1ωγγ −±−

= ( 7.39)

astfel că putem admite că soluţia (7.36) are de fapt forma unei sume a celor două soluţii posibile adică

t2

4

2

t2

4

1

2222

eAeA)t(xωγγωγγ −−−−+−

+= ( 7.40)

Expresia (7.40) este evident „neprietenoasă” dar sensul său poate fi uşor revelat analizând câteva situaţii particulare. Dacă nu există frânare a oscilatorului, adică dacă 0=γ , soluţia de mai

sus se scrie ( i este unitatea imaginară, 1i −= ) ti

eAeA)t(x 2ti

1⋅⋅−⋅⋅ +=

ωω ( 7.41)

Aşa cum probabil îţi aminteşti de la cursul de matematică, exponenţialele imaginare sunt corelate cu funcţiile trigonometrice elementare prin relaţiile Euler

+=

−=

−

−

2eexcos

i2eexsin

ixix

ixix

( 7.42)

respectiv

−=

+=− xsinixcose

xsinixcoseix

ix

( 7.43)

Ţinând cont de relaţiile Euler şi de faptul că 21 A,A sunt nişte constante încă nedeterminate soluţia (7.41) se scrie

( )

( )

+=

+=

+⋅=

+=

+=

)tsin(A)t(x

)tsin(cosC)t(x

tsintcostgC)t(x

tsintcosCCC)t(x

tsinCtcosC)t(x

2

2

2

12

21

ϕω

ϕωϕ

ωωϕ

ωω

ωω

( 7.44)

Ultima relaţie din (7.44) ne indică faptul că, trebuie să corelăm exponenţiala imaginară parte a soluţiei (7.40) de comportamentul oscilator. Exponenţiala reală, cu exponent negativ, exprimă evident o diminuare a amplitudinii oscilaţiei. Prin manipulări matematice simple poţi arăta că soluţia generală a ecuaţiei (7.35) se scrie


173

( )( )

−=

+=−

4/'

t'sinAe)t(x22

t2

γωω

ϕωγ

( 7.45)

Reprezentând o oscilaţie cu amplitudine variabilă, modulată de pre exponenţiala reală 2/te γ− care determină scăderea amplitudinii. În lipsa completă a frânării, pentru 0y = este regăsită oscilaţia armonică simplă a pendulului elastic sau a pendulului gravitaţional. Trebuie să-ţi reaminteşti ca la studierea oscilaţiilor pendulului gravitaţional ai plecat de la condiţia oscilaţiilor de foarte mică amplitudine pentru care αα ≈sin ceea ce revine la a cere ca unghiul αsă fi de maxim 5o

αsinmg. Dacă această condiţie nu este satisfăcută, forţa de

revenire nu ,ai este „elastică” ci are modulul - ca în figura de mai jos

Figura 7.7

Pentru acest caz, la amplitudini unghiulare mai mari perioada pendulului are expresia

+++=

2sin

43

21

2sin

211

gl2T max4

2

2

2max2

2

ααπ ( 7.46)

Dacă frecvenţa (sau perioada) de oscilaţie nu depinde de amplitudine oscilaţiile se numesc izocrone, de aceeaşi durată. Încercă să calculezi (folosind relaţia (7.46)) perioadele pentru amplitudini variind din grad în grad de la 10 la 60 . Vei constata că, practic, oscilaţiile rămân izocrone. Pentru unghiuri mai mari apar diferenţe astfel că pentru 150

=

=

gl2Tizocron π

izocron1,005TT

perioada creşte la valoarea

( 7.47)


174

. Apare deci o diferenţă de o perioadă la 200 de oscilaţii – evident dacă reuşim să menţinem amplitudinea la 15o

7.2.4. Exerciţii

.

1. Încearcă să regăseşti ecuaţia pendulului gravitaţional şi perioada acestuia corelând momentului M care acţionează asupra corpului cu momentul de inerţie J, al acestuia respectiv cu acceleraţia sa unghiulară ε printr-o relaţie de tipul

MJ =ε ( 7.48)

Soluţie propusă Pentru pendulul simplu, pendulul matematic momentul forţei care acţionează asupra corpului suspendat este

αsinmglMa −= , ( 7.49)

astfel că o relaţie de tipul

αε sinmglI −= , ( 7.50)

momentul de inerţie I, al punctului material aflat la capătul firului, l fiind, aşa cum este cunoscut

2mlI = ( 7.51)

rezultă

0sinmglml 2 =+ αα ( 7.52)

adică aceiaşi ecuaţie de oscilator ca şi în expresia (7.24).

2.Încearcă să găseşti ecuaţia de oscilaţie pentru pendulul fizic (pendulul compus) care este constituit de orice corp cu posibilitatea să oscileze în jurul unei axe fixe, de obicei orizontală. Determină şi perioada oscilaţiei dacă momentul de inerţie al obiectului faţă de axa de oscilaţie este I.

Soluţie propusă Scriind momentul forţei de greutate care determină mişcarea corpului şi ecuaţia variaţiei momentului cinetic rezultă

αε sinmglI CM−= ( 7.53)

deci:

0sinI

mglCM =+ αα ( 7.54)

astfel că pentru mici oscilaţii,

CMmglI2T π= ( 7.55)

3. Încearcă să găseşti ecuaţia de oscilaţie şi perioada unui pendul elastic pe un plan înclinat.


175

Figura 7.8

Soluţie propusă Ecuaţia de mişcare pentru un resort oscilând pe un plan înclinat se scrie:

=+

+−=

α

α

singxmkx

sinmgkxxm

( 7.56)

O soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale cu coeficienţi constanţi care apare în (7.56) este constanta dată de

αsink

mg)t(xparticular = ( 7.57)

Conform principiului deja enunţat mai sus, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene( cu termen liber) este suma dintre soluţia

generală a ecuaţiei omogene (fără termen liber, 0xmkx =+ ) i o soluţie

particulară a ecuaţiei neomogene. Ţinând seama de afirmaţie de mai sus, poţi scrie soluţia generală a ecuaţiei de oscilaţie a pendulului elastic sub forma

( ) αϕω sink

mgtsinA)t(x ++= ( 7.58)

Expresia descrie o oscilaţie care se petrece în jurul unei noi poziţii de

echilibru, definită de alungirea αsink

mg datorată deformării resortului

în câmp gravitaţional. Dacă resortul aflat pe planul înclinat ar fi adus foarte lent în starea în care de el este atârnat corpul de masă m poziţia de echilibru a sistemului ar fi una în care resortul ar fi alungit cu

αsink

mg . Oscilaţia pendulului elastic în jurul acestei poziţii de echilibru

se face cu pulsaţia mk

=ω identică celei de la oscilaţia pe orizontală.


176

De altfel, cu notaţia

=

+−=−

xy

singxmky

mk

α,

ecuaţia ultimă din (7.56) devine:

0ymky =+ ,

relaţie formal identică celei care descrie pendulul elastic orizontal. Deducerea ecuaţiilor care caracterizează oscilaţiile pendulului elastic, pentru diferite situaţii arată că modul de oscilare şi perioada de oscilaţie nu depind de faptul că pendulul este pe o suprafaţă înclinată că este orizontal sau vertical.

7.3. Oscilaţii amortizate Dacă r≠0, adică dacă există o rezistenţă la deplasarea în mediul respectiv şi deci şi o pierdere de energie, atunci amplitudinea scade. Rescriind ecuaţia oscilaţiei în acest caz sub forma

0xxb2x 20 =ω++ ( 7.59)

în care se foloseşte notaţia oarecum tradiţională

mrb2 = ( 7.60)

soluţia (7.45) se poate rescrie

−=

+= −

220

bt0

b'

)t'cos(eAx

ωω

αω, ( 7.61)

A, amplitudinea, este, acum variabilă şi are expresia

tm2r

0bt

0 eAeAA−− ≡= ( 7.62)

scăzând după o lege exponenţială;i observă că pentru două oscilaţii succesive, la interval de o perioadă (pseudo-perioadă):

'bT'bTbt

0

bt0 e

)'T't'cos(eeA)t'cos(eA

)'Tt(x)t(x

=++

+=

+ −−

−

αωωαω ( 7.63)

'bTD = ( 7.64)

este numit decrementul logaritmic iar timpului

'2'Tωπ

= ( 7.65)

i se spune pseudo-perioadă (iar lui ω' pseudo-pulsaţie). Evident


177

)'nTt(x)t(xln

n1D

+= ( 7.66)

Dacă

≈<<

'TT'b ω ( 7.67)

1mk

r

mkm2

r2b2bTD <<⋅

====ππ

ωπ ( 7.68)

elongaţiile şi respectiv amplitudinile evoluând după un grafic de tipul celui de mai jos

Figura 7.9

Energia totală a oscilatorului amortizat dependentă de timp, este

===

+=+=+=

−− bt20

bt220

222T

2222potcinT

eEeA'm21A'm

21E

xm21kx

21mv

21kx

21EEE

ωω

( 7.69)

Această energie rămâne constantă numai în absenţa disipării adică numai dacă b = 0.

În discuţiile referitoare la tipul mişcării rezultate din integrarea unei ecuaţii de mişcare de tipul (7.59) a rămas neatinsă situaţia în care

0b22 =−ω adică situaţia în care ecuaţia caracteristică de tipul (7.38) are soluţie dublă. În conformitate cu teoria ecuaţiilor diferenţiale, în această situaţie ( numită uneori situaţie de degenerare), ω'=0,

222

0 m2r

mkb

=⇒=ω ( 7.70)

şi soluţia ecuaţiei diferenţiale ( expresia care dă poziţia în funcţie de timp )se scrie:


178

( )

=

+⋅=−

b1

τ

τ ,eCtCxt

21 . ( 7.71)

Un alt caz care trebuie detaliat puţin este acela al soluţiilor p1,2

+=

⋅−−⋅−− t22b22

eCeCe)t(x 2tb

1bt ωω

ale ecuaţiei (7.38) reale. În acest caz soluţia conţine numai exponenţiale reale şi are forma

( 7.72)

Această soluţie nu reprezintă o oscilaţie. Dacă forţa de rezistenţă depinde de altă putere a vitezei decât puterea întâia ecuaţia

2v*rkxxm −−= ( 7.73)

nu mai este accesibilă o soluţie analitică dar se poate rezolva numeric, utilizând calculatorul.

7.4. Oscilaţii forţate sau oscilaţii întreţinute Dacă vrem să ajutăm pe cel care se dă în leagăn, e bine să ne decidem să intervenim la momentul potrivit, adică în fază. Este evident că nu putem „întări” o oscilaţie acţionând cu o excitare periodică de perioadă foarte diferită de perioada sa. Dacă alegem o forţă periodică, tcosF0 ⋅Ω care să compenseze (prin lucrul mecanic efectuat) pierderile de energie (o mişcare ideală nu are nevoie de ajutor - pentru că nu pierde energie), ecuaţia de mişcare se scrie

⋅=++⋅+−−=tcosFxrkxxm

tcosFxrkxxm

0

0

ΩΩ

( 7.74)

pentru care încercăm soluţia:

)tcos(B)t(x βΩ +⋅= ( 7.75)

pentru care

+⋅⋅−=

++⋅⋅=+⋅⋅−=

)tcos(Bx2

tcosB)tsin(Bx

2 βΩΩ

πβΩΩβΩΩ

( 7.76)

Ecuaţia (7.74) devine astfel

)tcos(mF

)tcos(B

2tcosBb2)tcos(B

020

2

βΩβΩω

πβΩΩβΩΩ

+⋅=+⋅+

+

++⋅++⋅−

( 7.77)


179

sau

0)tsin(sinmF

Bb2

)tcos(cosmF

BB

0

020

2

=+⋅

−−+

++⋅

−+−

βΩβΩ

βΩβωΩ ( 7.78)

Întrucât )tsin(),tcos( βΩβΩ +⋅+⋅ sunt funcţii linear independente, relaţia de mai sus are loc numai dacă

( )

( )

=−

=−

βΩ

βΩω

sinmF

b2B

cosmF

B

0

0220

( 7.79)

şi prin urmare

220

b2tgΩωΩβ−

−= ( 7.80)

( ) 222220

0

b4mF

BΩΩω +−

= ( 7.81)

Ţinând cont de (7.79) şi (7.1) soluţia generală a oscilaţiei „forţate” de sursa exterioară este

( )

−⋅+⋅

+−=

ΩΩΩ

ΩΩω /kmrarctgtcos

b4m

F)t(x

222220

0 ( 7.82)

Astfel că soluţia generală completă este dată de suprapunerea oscilaţiilor proprii şi a oscilaţiilor forţate adică

( ) ( )βΩαω +⋅++⋅= − tcosBt'coseA)t(x bt0 ( 7.83)

Intervalul de timp când există atât oscilaţiile proprii cât şi oscilaţiile forţate, numit regim tranzitoriu, este finit; datorită amortizării oscilaţiile proprii devin neglijabile după un timp

b1

=τ ( 7.84)

(În acest interval de timp amplitudinea oscilaţiilor proprii se diminuează de e ori) După stingerea oscilaţiilor proprii în sistem rămân numai oscilaţiile forţate de sursa exterioară.


180

7.5. Rezonanţa

În funcţie de frecvenţa de excitare Ω , amplitudinea B poate varia. Maximul său apare dacă

( ) ( )[ ] 0b4d

d 2222202 =+− ΩΩω

Ω ( 7.85)

adică pentru

( ) 0b42 2220 =+−− Ωω ( 7.86)

de unde rezultă că amplitudinea este maximă pentru

2220

2 ''b2 ω≡−ω=Ω . ( 7.87)

Situaţia amplitudinii maxime a oscilaţiei forţate este numită „rezonanţa elongaţiilor”. Curbele prezentate în Figura 7.10 se numesc curbe de rezonanţă. Cu cât curbele dependenţei de frecvenţă a amplitudinii (având atenuarea ca parametru) sunt mai înalte cu atât sunt mai ascuţite.

Figura 7.10

Valoarea maximă a amplitudinii are expresia

'mb2F

B 0max ω

= ( 7.88)

Este interesant de comparat această amplitudine „de rezonanţă” cu elongaţia statică staticB produsă de forţa 0F . Raportul

'b2F'bm2kF

BB 2

0

0

0

static

max

ωω

ω==(rezonant) ( 7.89)

poate fi enorm în anumite condiţii pentru că b este de regulă puternic subunitar iar 'ωω ≈ ;acest raport mai poartă numele de factor de calitate Q,


181

static

maxBB

Q = ( 7.90)

Deoarece amplitudinea în apropierea rezonanţei poate fi foarte mare, rezultă că uneori, ducerea la rezonanţă a sistemului poate duce la distrugerea acestuia.

7.6. Compunerea oscilaţiilor armonice. Specificul descrierii oscilaţiilor este că pentru caracterizarea lor sunt necesare două cantităţi: amplitudinea şi faza. Orice tratament matematic apt să manevreze simultan aceste două caracteristici este util pentru descrierea şi operarea (compunerea) oscilaţiilor. Imaginează-ţi situaţia în care, pe un vagon care oscilează pe orizontală se află un alt vagon, mai mic, aflat de asemenea în oscilaţie pe o direcţie paralelă cu direcţia de oscilaţie a vagonului. Şi imaginează-ţi că pe vagonetul mic stai tu. Nu este interesant să compari oscilaţii cu perioade foarte diferite. Restrângând problema, imaginează-ţi că ai de comparat oscilaţii cu perioade identice – dar cu faze iniţiale diferite. Evident că dacă amplitudinile şi fazele celor două oscilaţii sunt diferite, rezultatele sunt foarte diferite. Dacă – de exemplu – amplitudinile mişcării vagonului şi vagonetului sunt identice, să zicem 1metru – dar oscilaţiile se fac în opoziţie de fază (unul pleacă într-o direcţie şi celălalt în direcţia opusă) tu rămâi pe loc faţă de Pământ . Transporturile pe care ţi le fac vagonul şi vagonetul sunt de lungimi egale dar pe direcţii diferite şi se anulează reciproc. Dacă însă vagonul şi vagonetul se deplasează în fază „transporturile” pe care ţi le asigură vagonul şi vagonetul se sumează iar tu vei oscila cu amplitudine de doi metri. Consideră două oscilaţii pentru care poziţiile depind de timp după legile

( ) ( ) tAtAtAtx ωϕωϕϕω cossinsincos)sin()( 1111111 +=+= ( 7.91)

În 1860 la Auger, în Franţa, un pod s-a prăbuşit după ce a intrat în oscilaţii la rezonanţă, ca urmare a marşului unei trupe de soldaţi. De la acest accident, soldaţii care mărşăluiesc pe poduri sunt lăsaţi în pas "de voie" pentru ca tropăitul aleatoriu să evite fenomene la rezonanţă. În 1940 un pod a intrat în oscilaţii de torsiune datorită vântului (autooscilaţii), şi s-a rupt, în SUA, la Tacoma Bay.

Reaminteşte-ţi! ( ) βαβαβα sincoscossinsin ⋅+⋅=+

0cossin ≡+⋅ xBxA pentru orice x numai dacă A=0 şi B=0


182

( ) ( ) tAtAtAtx ωϕωϕϕω cossinsincos)sin()( 2222222 +=+= ( 7.92)

Dacă cele două oscilaţii se compun ( ca în exemplul de mai sus) rezultatul trebuie să fie o oscilaţie cu aceeaşi perioadă dar cu amplitudine şi fază diferite

( ) ( ) tAtAtAtx ωϕωϕϕω cossinsincos)sin()( +=+= ( 7.93)

Evident, pentru oscilaţia rezultantă trebui ca la oricare moment t

)()()( 21 txtxtx += ( 7.94)

ceea ce revine la

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) tAtA

tAtAtAtA

ωϕωϕωϕωϕ

ωϕωϕ

cossinsincoscossinsincos

cossinsincos

2222

1111

+++

=+ ( 7.95)

adică

( )( ) 0cossinsinsin

sincoscoscos

2211

2211

=−−+−−

tAAAtAAA

ωϕϕϕωϕϕϕ

( 7.96)

Deoarece tω poate lua orice valoare, relaţia (7.96) conduce la

=−−=−−

0sinsinsin0coscoscos

2211

2211

ϕϕϕϕϕϕ

AAAAAA

( 7.97)

Dar dacă asociem fiecărei oscilaţii un fazor (un vector) cu lungimea egală cu amplitudinea oscilaţiei şi cu unghiul de înclinare faţă de orizontală egal cu faza iniţială a oscilaţiei, corespondenţa dintre oscilaţie şi fazor este bijectivă – Figura 7.11.

Figura 7.11

Mai mult, compunând cu regula de compunere vectorială (regula triunghiului) fazorii corespunzători oscilaţiilor (7.91)şi (7.92), rezultă un fazor care corespunde reprezentarea de mai jos ne arată că vectorul, (fazorul) rezultant, desenat cu linie dublă, corespunde , ţinând seama de relaţiile (7.97), oscilaţiei (7.93). Afirmaţiile de mai sus sunt ilustrate de Figura 7.12.


183

Figura 7.12

Pentru mai multe oscilaţii relaţia (7.97) se scrie

=+++=+++

ρδχβαρδχβα

cossinsinsinsincoscoscoscoscos

RDCBARDCBA

( 7.98)

Aşa cum rezultă din Figura 7.13, procedura de găsire a unei oscilaţii rezultate din compunerea mai multor oscilaţii de frecvenţe egale este echivalentă cu sumarea vectorială a fazorilor ataşaţi şi pentru mai multe oscilaţii.

Figura 7.13

Aşa cum ştii, şi numerele complexe sunt apte să poarte prin partea lor reală respectiv imaginară, două informaţii „care nu se amestecă”. Între numerele complexe şi vectori există o legătură pe care imaginea din Figura 7.14 o ilustrează


184

Pentru itemii 1-5 găseşte răspunsul corect : 1. Ce este amplitudinea unei oscilaţii?

2. Cum defineşti perioada unei oscilaţii?

3.Un bloc ataşat de un resort de constantă elastică necunoscută oscilează cu perioada de 2s. Care este perioada oscilaţiei dacă masa corpului se înjumătăţeşte

Figura 7.14

Un număr complex Z se poate scrie

⋅+=+=⋅+=ϕϕ sincos

ImReAiAZ

iyxZiZZ ( 7.99)

Un vector de lungime A şi înclinat cu unghiul ϕ faţă de Ox are proiecţia pe Ox identică părţii reale a numărului complex de modul A şi argument ϕ ; proiecţia pe Oy a vectorului este identică părţii imaginare a aceluiaşi număr complex. Reprezentările matematice pentru oscilaţii cu sinusoide, fazori sau numere complexe sunt echivalente.

7.6.1. Test de autoevaluare 7.1 Răspunsurile le găseşti la pagina 212 .


185

7.6.2. Lucrare practică • Confecţionează un pendul, aproape de cel matematic, dintr-un fir lung, fixat de tavan dacă se poate, având la capătul liber de jos un corp mic, un inel sau ceva similar. • Determină perioada de oscilaţie, a oscilaţiilor complete (dus şi întors) cronometrând în cât timp sunt efectuate, să zicem 10 oscilaţii sau chiar 50 ori 100 şi împărţind la numărul de oscilaţii complete. • Compară acest rezultat cu cel dat de formula perioadei pendulului gravitaţional • Încercă să modifică lungimea firului şi compară perioada experimentală cu aceea dată de formula. • Pentru o aceiaşi lungime, cea mai mare de preferat, agăţă de inel mase suplimentare şi de fiecare dată determină perioada. Verifică afirmaţia că, în limitele erorilor experimentale pendulele au aceeaşi perioadă. • Pentru firul cel mai lung, determină perioada pentru diferite deviaţii iniţiale (amplitudini) mici. La un fir de 2 m îţi propunem 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm iar la un fir de 3m îţi propunem 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm, 30 cm. Perioadele ar trebui să fi cam egale, în limitele erorilor experimentale. De ce ar putea să nu fie? Ce criteriu stă la baza alegerii amplitudinii celei mai mari, pentru această verificare.

TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 777... 111 --- CCCooonnntttiiinnnuuuaaarrreee 4.Un corp de masă necunoscută suspendat de un fir de lungime l oscilează cu perioada de 2s. Cât devine perioada dacă masa corpului este dublată. Dar dacă lungimea firului este dublată? 5. Un corp paralelipipedic poate oscila orizontal fără frecare ca un pendul elastic cu perioada de 1,5s. Deasupra lui se aşează un alt corp. Determină coeficientul de frecare dintre cele două corpuri dacă alunecarea corpului de deasupra începe atunci când amplitudine oscilaţiei pendulului elastic este de 40cm. 22 / smg π≈


186

7.7. Unde elastice Într-un mediu de oscilatori cuplaţi într-un fel oarecare starea de oscilaţie a unui oscilator se transmite celorlalţi. Evident „trecerea” stării de oscilaţie de la un oscilator la altul, de la un punct al mediului de oscilator la alt punct necesită timp. Din acest motiv diverşi oscilatori din mediu vor oscila cu faze diferite. La propagarea undei se deplasează starea de oscilaţie şi nu oscilatorul sau orice alt obiect material. Există două direcţii caracteristice pentru o undă • Direcţia de oscilaţie – care este direcţia pe care se petrece oscilaţia oscilatorului • Direcţia de propagare – care este direcţia pe care se propagă unda Undele pentru care cele două direcţii coincid sunt unde longitudinale. Undele pentru care cele două direcţii sunt perpendiculare sunt unde transversale.

Figura 7.15 Filmul propagării unei unde longitudinale într-un resort

Imaginează-ţi un arc netensionat având un capăt fixat la un perete (cel din dreapta în figură) şi un capăt prins de un piston. Situaţia este prezentată pe rândul de sus al figurii 7.15. Imaginează-ţi ca aplici o lovitură scurtă pistonului din stânga, producând o comprimare a arcului (care rămâne liniar şi orizontal) pe o lungime e – situaţie prezentată în rândul 2 din figura de mai sus. Zona comprimată se va deplasa de-a lungul arcului aşa cum se vede în ultimele trei rânduri din desen.

Undă Propagarea stării de oscilaţie a unor oscilatori dintr-un mediu de oscilatori


187

Direcţia de propagare şi direcţia de oscilare a porţiunilor de arc comprimate sunt paralele. Arcul nu se deplasează. Propagarea stării de oscilaţie pentru porţiuni de arc este o undă mecanică longitudinală.

Figura 7.16

Imaginează-ţi o coardă elastică pe care o ţii întinsă – ca în imaginea de pe rândul unu din figura 7.16. Dacă faci o mişcare verticală bruscă, producând astfel o oscilaţie a capătului coardei ( ca în imaginea din rândul doi al figurii de mai sus), vei constata că un puls de oscilaţie transversală se va deplasa de-a lungul coardei – ca în rândurile trei, patru şi cinci ale figurii.

Figura 7.17

Dacă vei mişca încontinuu pe verticală capătul coardei elastice, vei constata apariţia unei unde transversale pe coarda elastică. Situaţiile coardei elastice la momente diferite sunt prezentate în Figura 7.17. Punctele de pe coardă oscilează transversal, cu defazaje faţă de oscilaţia capătului coardei.


188

Mediile continue, gaze, lichide şi solide, sunt sisteme de particule care interacţionează între ele. Oscilaţiile se vor propaga în mediu de la particulă la particulă sub forma unei unde, numite unde elastice. Propagarea undei nu se face instantaneu, ci cu o viteză finită c. O undă este o perturbaţie care se propagă. Şoricelul, de la desene animate, care intră sub covor şi înaintează, este poate cel mai plastic exemplu de undă. Umflătura covorului, care înaintează este o undă singulară. Viitura care provoacă inundaţiile este de asemenea o undă, singulară. Valul tsunami, este o undă, dar dat fiind că este însoţit de unde mai mici, de valuri mai mici, reprezintă un tren de unde. Undele provenite din epicentrul unui cutremur, undele seismice, aşa cum le arată şi numele, sunt trenuri de unde de durate mai lungi sau mai scurte. În modul ideal, unda înseamnă propagarea stării de oscilaţie într-un mediu de oscilatori presupus nesfârşit. Foarte adesea însă infinitul este conceput (neadevărat) doar ca ceva foarte mare. Când privim marea, spunem că e vălurită şi vorbim despre unde de suprafaţă chiar dacă vedem valuri (unde de suprafaţă) numai până la orizont. Dacă între două valuri sun 10 metri, în cei 12 kilometri sunt cam 1200 de bucle. Suntem uşor dispuşi să admitem 1200 este infinitul şi că valurile reprezintă o distribuţie infinită de unde de suprafaţă ceea ce nu este corect.

7.7.1. Unda plană progresivă neatenuată Dacă toate particulele situate într-un plan perpendicular pe direcţia de propagare a undei oscilează identic, unda se numeşte plană. Fie o undă plană care se propagă fără atenuare în direcţia axei Ox cu viteză constantă c. Dacă în originea x=0, elongaţia χ a particulei urmează o anumită lege:

)t(f)t,0( =χ , ( 7.100)

atunci în orice punct x de pe axa Ox elongaţia χ(x,t) a particulei, măsurată de la poziţia de echilibru, va parcurge aceleaşi valori ca în origine, dar cu o anumită întârziere

cxt = , ( 7.101)

dată de timpul necesar undei ca să ajungă din punctul de origine în punctul x considerat. Prin urmare, în punctul x la timpul t elongaţia

trebuie să fie aceiaşi ca în origine în timpul cxt − :

)(,0),( ctxFcxtf

cxttx −=

−=

−= χχ , ( 7.102)

Kinograma propagării unui puls de undă

transversal


189

reprezintă ecuaţia undei plane progresive care se propagă fără atenuare în sensul pozitiv al axei Ox cu viteza c. Elongaţiile χ(x,t) pot fi atât în direcţia de propagare a undei – pentru undă longitudinală, cât şi într-o direcţie perpendiculară pe direcţia de propagare – pentru undă transversală. Particulele situate într-un plan perpendicular pe direcţia de propagare a undei oscilează identic, de aceea unde se numeşte plană. În unda plană monocromatică, oscilaţiile în fiecare punct sunt sinusoide de o anumită frecvenţă ω:

−=

−=

==

cxtA

cxtftx

tftAt

ωχ

ωχ

cos),(

)(cos),0(. ( 7.103)

Elongaţia este periodică în timp cu perioada

ωπ

=2T ( 7.104)

şi în spaţiu cu perioada spaţială λ

νωπλ ccTc

===2 , ( 7.105)

numită lungime de undă. Lungimea de undă este egală cu distanţa parcursă de undă în timpul unei perioade T. Numărul de undă este egal cu numărul de unde care se cuprind în 2π unităţi de lungime, adică:

πν=ω

=λπ

= 2c

2k . ( 7.106)

Orice undă poate fi descompusă în unde plane monocromatice.

7.7.2. Deformaţia solidelor produsă de unde În mediul continuu reprezentat de solid, este posibilă propagarea d unde longitudinale şi transversale. Propagarea undelor mecanice în solide se produce datorită proprietăţilor elastice ale acestora. Unda plană longitudinală. Din cauza deplasării particulelor în direcţia propagării, mediul elastic este în fiecare moment deformat. Vei calcula deformaţia relativă ε(x,t) în punctul P(x) la momentul t. Pentru aceasta consideră un punct infinit apropiat Q(x+dx)- ca în Figura 7.18. Coordonatele x, x+dx reprezintă poziţiile de repaus ale punctelor în discuţie, astfel încât PQ=dx este lungimea nedeformată a stratului dintre cele două puncte. La momentul t particula din P(x) are elongaţia χ(x,t) şi deci se află deplasată în P'(x+χ), iar particula Q(x+dx) se află atunci deplasată în

∂χ∂

+χ++ dxx

dxx'Q , deoarece elongaţia acestui punct este


190

x)t,x()t,dxx(

∂χ∂

+χ=+χ . Lungimea segmentului PQ devine deci, la

momentul t, egală cu

Figura 7.18

dxx

dxQP∂∂

+=χ'' . ( 7.107)

Alungirea absolută va fi

dxx

PQQP∂∂

=−χ'' , ( 7.108)

iar deformaţia relativă:

xtx

∂∂

=χε ),( . ( 7.109)

Derivata în raport cu timpul a elongaţiei este evident viteza particulei:

ttxv

∂∂

=χ),( ( 7.110)

Unda plană transversală.

În acest caz, particulele au deplasări perpendiculare pe direcţia de propagare, Ox. Două puncte infinit vecine cu poziţiile de echilibru P(x), Q(x+dx) se vor afla deplasate la momentul t în poziţiile P'(x,χ) şi

respectiv

∂∂

++ dxx

dxxQ χχ,' . Unghiul de forfecare γ al planului Q faţă

de planul P, este: x

tgtx∂∂

=≈χγγ ),( - ca în Figura 7.19. Deformaţia

elastică produsă de undele longitudinale şi de cele transversale este egală cu derivata parţială a elongaţiei în raport cu coordonata.


191

Figura 7.19

7.8. Ecuaţia undelor

Ecuaţia undelor şi mai general proprietăţile undelor mecanice, în medii materiale, nu diferă de undele din alte domenii ale fizicii . Undele mecanice sunt cel mai adesea unde longitudinale, adică oscilaţia se face în lungul direcţiei de propagare. Fenomenelor referitoare la unde se regăsesc în mecanică la fel ca şi în celelalte capitole. A scrie ecuaţia unei unde înseamnă a găsi legea după care oscilează un anumit punct din mediul de oscilatori – cunoscând eventual modul în care oscilează oscilatorul din origine. Ecuaţia undelor se obţine derivând parţial în raport cu coordonatele x, y sau z funcţia f care descrie elongaţia oscilatorului generic din mediul descris. Unidimensional,

∂∂

=

∂∂

∂∂

−=∂∂

∂−=

∂∂

−=

∂∂

∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2 1111tcx

ftctx

fct

fcx

fxx

f f

, ( 7.111)

sau

012

2

22

2

=

∂∂

−∂∂

tcxf f

. ( 7.112)

Această expresie reprezintă ecuaţia undelor unidimensionale. Prin urmare, undele

±=

cxtftx ),(χ ( 7.113)

verifică această ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale, şi reciproc, soluţia generală a acestei ecuaţii este o suprapunere a celor două soluţii,

++

−

cxtf

cxtf 21 , ( 7.114)

unde semnul "-" se referă la unda care se propagă în sensul invers al axei Ox.


192

În cazul propagării undelor într-o direcţie oarecare în spaţiu, ecuaţia undelor se obţine prin însumarea derivatelor după cele trei coordonate, şi anume:

fzf

yf

xf

tf

c∆=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 , ( 7.115)

unde ∆ este operatorul lui Laplace sau laplacean.

7.8.1. Viteza undelor în solide Poţi calcula viteza undelor longitudinale într-o bară. Legătura dintre tensiunea elastică

0SF)t,x( =σ ( 7.116)

şi deformaţia longitudinală ε(x,t) este dată de legea lui Hooke

xEtxE

StxFtx

∂∂

===χεσ ),(),(),(

0

. ( 7.117)

Un strat infinit de subţire dx cu masa

dxSdm 0ρ= ( 7.118)

(ρ- densitatea corpului în absenţa undei) va fi supus la forţa rezultantă

0dxSx

dF∂∂

=σ . ( 7.119)

Conform legii fundamentale a mecanicii:

∂∂

=∂∂

⇒∂∂

==∂∂

xt

dxSx

dFt

dm

σχρ

σχ

2

2

02

2

, ( 7.120)

de unde:

2

2

2

2

xE

xtxEE

∂∂

=∂∂

=∂∂

⇒∂∂

==χσχρχεσ , ( 7.121)

Din relaţia de mai sus, în virtutea ecuaţiei undelor, rezultă viteza undelor longitudinale în bară:

ρ

=Ecl ( 7.122)

(formula lui Newton). Pentru undele transversale forţa rezultantă asupra elementului de masă dm este perpendiculară pe direcţia propagării, fiind dată de efortul elastic tangenţial datorat forfecării:


193

dxdSx

dF∂∂

=τ . ( 7.123)

Scriind legea fundamentală a mecanicii pentru elementul de masă dm, obţinem analog undelor longitudinale

∂∂

==

∂∂

=∂∂

xGG

xtχγτ

τχρ 2

2

, ( 7.124)

de unde rezultă

2

2

2

2

xG

t ∂∂

=∂∂ χχρ ( 7.125)

Corespunzător, viteza undelor transversale:

ρGct = , ( 7.126)

unde G este modulul de forfecare.

7.8.2. Densitatea şi fluxul de energie al undelor Energia cinetică a particulelor care oscilează raportată la unitatea de volum nedeformat este

22

0 21

2vv

dVdmwc ρ== ( 7.127).

Energia elastică de deformare pe unitatea de volum într-un solid este 2

21 εEw p = . ( 7.128)

Ţinând seama de expresia vitezei undei elastice

ρEc =2 ( 7.129)

şi de expresia deformaţiei

cv

−=ε ( 7.130)

în unda progresivă, energia elastică sau potenţială de deformare pe unitatea de volum, devine:

cp wvEw === 22

21

21 ρε , ( 7.131)

şi deci coincide cu energia cinetică a unităţii de volum. Prin urmare, energia cinetică şi cea potenţială a undei plane progresive variază în


194

concordanţă de fază. În cazul undei plane monocromatice, energia totală medie pe unitatea de volum este:

22

21 ωρAw = . ( 7.132)

Unda transportă energie, dar fără a fi însoţit de transport de masă. Să calculăm energia transportată de undă progresivă într-un interval de timp dt printr-un element de arie dS⊥ aşezat perpendicular pe direcţia de propagare a undei. În intervalul de timp dt vor fi deplasate din poziţiile lor de echilibru toate particulele cuprinse într-un cilindru cu aria dS⊥

dtcSwdcdtwdSdW

== ⊥

şi lungimea cdt, prin urmare:

. ( 7.133)

Fluxul de energie reprezintă energia care trece printr-o suprafaţă oarecare în unitatea de timp,

==Φ

==Φ

WsJ

SdiSdcwdt

dWd

][

, ( 7.134)

Densitatea fluxului de energie, adică fluxul de energie prin unitatea de arie perpendiculară pe direcţia de propagare este

:

==

==⇒=⊥

sW

smJi

cvwcdtdSdWicwi

2

2

][

ρ

, ( 7.135)

Valoarea medie a densităţii fluxului de energie se numeşte intensitatea undei:

22efcvvciI ρρ === , ( 7.136)

unde vef

efs cvp ρ=

este viteza efectivă a undei. Vom numi presiune a undei (sau presiune sonoră în cazul sunetelor) valoarea efectivă a variaţiei de presiune:

. ( 7.137)

Atunci intensitatea undei se rescrie

efsef vpcvI == 2ρ . ( 7.138)


195

7.9. Interferenţa Dacă în mediu există mai multe surse de oscilaţii, atunci în mediu se propagă mai multe procese ondulatorii. După cum arată experienţa, elongaţia rezultantă a particulei se compune vectorial din elongaţiile produse separat de fiecare oscilaţie. Acesta este principiul suprapunerii undelor, adică a suprapunerii independente a proceselor oscilatorii. Principiul suprapunerii este o consecinţă matematică a liniarităţii ecuaţiilor diferenţiale care descriu procesele ondulatorii. Fenomenul suprapunerii undelor se numeşte interferenţa undelor. Interes deosebit îl prezintă cazul a două surse care oscilează cu aceeaşi frecvenţă şi au diferenţa de fază a oscilaţiilor constantă, numite surse coerente. Presupunem de asemenea că elongaţiile sunt pe aceeaşi direcţie. În acest caz tabloul de interferenţă este staţionar, adică amplitudinile oscilaţiilor în diferite puncte sunt constante în timp. Ecuaţia undei este o expresie care descrie legea de oscilaţie a unui oscilator aflat la distanţă x de sursă. Dacă sursa oscilează după regula

)cos( tA ωχ = ( 7.139)

oscilatorul din mediul de oscilatori aflat la distanţa λ de sursă oscilează în fază cu aceste adică este defazat cu π2 . Putem scrie că proporţia defazaj – distanţă se păstrează pentru orice situaţie, adică defazajul ϕ al oscilaţiei oscilatorului aflat la distanţa x de sursă are expresia

⋅=

=

λπϕ

ϕλπ

xx

2

2

( 7.140)

Ecuaţia de oscilaţie pentru oscilatorul aflat la distanţa x de sursă este

)cos()2cos( kxtAxtA −=−= ωλπωχ ( 7.141)

dacă ai defini un „vector de undă” k

având direcţia de propagare a undei şi modulul

λπ2

=k ( 7.142)

Figura 7.20


196

Fie două surse S1,2 care oscilează în fază şi un punct P situate la distanţele r1,2 de surse ca în Figura 7.20. Elongaţiile χ1,2

)cos()cos( 221121 krAkrtA -t- ωωχχχ +=+=

produse de fiecare undă şi presupuse pe aceeaşi direcţie se adună atunci algebric:

, ( 7.143)

Din relaţii analoge cu (7.97) rezultă că amplitudinea rezultantă va fi:

( )1222

21

22

21 cos2 rrkAAAAA −++= . ( 7.144)

Mărimea amplitudinii depinde de diferenţa de fază

( )12 rrk −=∆φ ( 7.145)

sau de diferenţa de drum

12 rrr −=∆ ( 7.146)

a celor două oscilaţii care se suprapun. Amplitudinea este maximă când diferenţa de drum este un multiplu întreg de lungimi de undă sau un multiplu par de semiunde şi minimă când diferenţa de drum este un multiplu impar de semiunde.

+=∆⇒

=∆⇒

intreg -n ,2

)12(

intreg -n ,2

2

min

max

λ

λ

nrA

nrA. ( 7.147)

Rezultatul este extrem de interesant. Două surse de oscilaţii de amplitudini egale, vor determina în unele puncte din mediul de oscilatori oscilaţii cu amplitudini de două ori mai mari decât amplitudinile surselor în timp ce alte puncte nu vor oscila. Un caz interesant de interferenţă este suprapunerea undei incidente cu aceeaşi undă după o reflexie pe aceeaşi direcţie Ox. În general unda reflectată va fi defazată faţă de undă incidentă cu unghiul β, dependent de condiţiile în care se realizează reflexia. Considerând amplitudinile celor două unde egale,

+

+=

+++−=

2cos

2cos2),(

)cos()cos(),(βωβχ

βωωχ

tkxAtx

kxtAkxtAtx ( 7.148)

Se obţine astfel o undă staţionară. Fiecare particulă oscilează armonic,

sinusoidal, conform factorului temporal

+

2cos βωt ,

dar cu amplitudinea

+=

2cos2' βkxAA ( 7.149)

variabilă de la punct la punct. În punctele în care

Dacă de exemplu ai să arunci o albină cu aripile în jos pe apă, bătăile aripilor vor determina pe suprafaţa apei o situaţie de valuri cu amplitudini foarte mari în unele poziţii în timp ce în alte zone apa va fi netedă.


197

12

cos ±=

+

βkx , ( 7.150)

amplitudinea este maximă (ventre) şi egală cu 2A, iar în punctele pentru care

02

cos =

+

βkx , ( 7.151)

amplitudinea este nulă (noduri). Particulele situate în noduri nu oscilează, cele situate între două noduri succesive oscilează în fază, la traversarea unui nod faza oscilaţiilor se schimba cu π. În unda staţionară, locurile în care oscilaţia are amplitudine maximă sau minimă sunt fixe în spaţiu. Pentru fixarea comportamentului undei la „peretele” pe care se reflectă reţine că dacă mediul pe care se reflectă unda este mai dens decât mediul în care se propagă unda, atunci unda îşi schimba prin reflexie faza cu πβ = , obţinându-se un nod în punctul de reflexie. Dacă mediul pe care se reflectă unda este mai puţin dens decât cel prin care se propagă, atunci faza undei nu se schimbă prin reflexie, obţinându-se un ventru în punctul de reflexie.

7.9.1. Dispersia. Viteza de grup Dacă viteza de propagare a undei depinde de lungimea de undă sau de frecvenţă, se observă fenomenul de dispersie: undele de diferite frecvenţe se propagă cu viteze diferite. Semnalele, formate dintr-un grup de unde cu frecvenţe ω apropiate între ele şi vectori de undă k

apropiaţi între ei, limitate în timp şi spaţiu

datorită fenomenului interferenţei, se propagă cu viteza de grup vg

r3∆

. Fie un grup de unde cu frecvenţele într-un interval infinitezimal ∆ω şi

vectorii de undă cuprinşi în intervalul . Raţionează asupra unui mediu izotrop, în care proprietăţile nu depind de direcţie pentru care

deci kk =

. Maximul amplitudinii se va găsi la momentul t0 0r în punctul

pentru care trebuie să ai:

Dispersia înseamnă că un mediu se poartă diferit pentru unde cu frecvenţe diferite. Gândeşte-te la un om şi la o pasăre ca la două unde de frecvenţe diferite. Deplasarea lor prin aer se face evident diferit


198

000 =−= dkrdtd ωϕ . ( 7.152)

La momentul t0 rdr

+0+dt, centrul grupului se va găsi deplasat în

( dtvdr g= ), unde de asemenea fazele coincid

0)()( 00 =+−+ dkdrrddtt ω . ( 7.153)

Prin urmare avem condiţia:

00 =⋅−⋅⇔=⋅−⋅ dkdtvddtdkdrddt gωω , ( 7.154)

atunci viteza de grup este:

dkdv gω

= . ( 7.155)

7.10. Absorbţia undelor În procesul propagării undelor are loc întotdeauna o transformare ireversibilă a energiei undei (disipare), adică a energiei mecanice a oscilaţiilor particulelor, adică intensitatea undei scade pe măsura propagării ei – Figura 7.21. Pe o porţiune infinitezimală dx, amplitudinea undei A

Figura 7.21

scade cu o cantitate proporţională cu distanţa parcursă în mediu şi cu amplitudinea. Altfel spus, scăderea relativă a amplitudinii undelor este proporţională cu grosimea dx a stratului străbătut:

dxA

dA κ−= , ( 7.156)

unde κ este constanta de atenuare, măsurată în m-1

xeAA κ−= 0

. Prin integrare rezultă:

, ( 7.157)

unde A0

xeII κ20

−=

este amplitudinea iniţială, iar x este distanţa străbătută de undă. Intensitatea undei, fiind proporţională cu amplitudinea la pătrat, se va atenua după legea:

. ( 7.158)


199

7.11. Acustica Toate „dispozitivele” din Figura 7.22 vibrează, dar pasărea nu se aude bătând din aripi iar lama numai în anumite condiţii. De ce ?

Figura 7.22

Sistemele acustice sunt sisteme oscilante, care generează unde sonore percepute de urechea umană sau de a altor vieţuitoare (ca sunete). Undele sonore sunt unde mecanice care se propagă în medii elastice, şi de regulă sunt unde longitudinale, vibraţiile sunt în lungul direcţiei de propagare, "un fel de du-te vino care şi înaintează!". (Urechea omenească este un receptor, care analizează sunetul făcând o descompunere a sa în oscilaţii armonice simple). Urechea umană detectează un spectru de frecvenţe de la câteva zeci de herzi la câţiva kiloherzi. Evident, frecvenţele auzite depind de calitatea urechii celui care ascultă. Vei vedea în continuare cum lucrează două feluri de "dispozitive simple, surse sonore" coarda şi tuburile, care pot fi un model pentru instrumentele cu coarde (vioară, violă etc. dar şi pian, ţambal) respectiv pentru cele de suflat (nai, orgă dar nu numai, fluier,).


200

7.12. Coarda vibrantă Într-o coardă de lungime l întinse de o forţă F. apar vibraţii. Vei presupune că oscilaţiile tuturor punctelor coardei se produc într-un acelaşi plan fix, Oxχ. Presupune coarda elastică, omogenă şi absolut flexibilă, adică forţa F, nu este altcineva decât tensiunea din fir şi este în lungul firului şi deci este tangentă în fiecare punct al coardei. De asemenea presupune că este valabilă legea lui Hooke. (7.117) Vei considera numai oscilaţiile mici, astfel încât unghiul dintre tangenta la coardă şi axa Ox este mic, adică

≈∂

∂≈≈≈

αχααααα

xtx

tg),(

1cos ,sin , ( 7.159).

Consideră forţele în direcţia transversală pe coardă care acţionează asupra elementului de coardă de masă dm şi de lungime ds, forţe care tind să readucă coarda în poziţia de echilibru. (În aproximaţia făcută, ds≈dx, F'≈F, adică tensiunea este aceiaşi de-a lungul coardei). Rezultanta forţelor pe direcţia transversală corzii, direcţia de revenire,

Figura 7.23

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

∂∂

=−+∂∂

=

=

∂∂

−+∂∂

≈−≈−

dxx

Ftxtdxxx

F

txx

tdxxx

FFFF

2

2

,,

,,'sin'sin'

χχχ

χχαααα ( 7.160)

va fi conform ecuaţiei fundamentale a dinamicii (Frezultantă

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xtFSdx

tS

tdmdx

xF

∂∂

=∂∂

⇒∂∂

=∂∂

=∂∂ χχρχρχχ

= ma):

, ( 7.161)

care reprezintă ecuaţia diferenţială a vibraţiilor transversale ale undei, cu viteza de propagare


201

ρσ

ρρ===

l

FSFc ( 7.162)

unde ρ l= ρ liniar =

Observaţie. Să remarcăm că nu este vorba de o viteză de propagare în mod explicit ci mai curând de o constantă care apare în ecuaţia undelor, în acea "poziţie " în care se găseşte, de regulă, viteza undelor!

ρS este densitatea liniară a coardei.

Ecuaţia undelor admite soluţii atât unde progresive, cât şi unde staţionare:

)cos()cos(),( αωβχ ++= tkxAtx , ( 7.163)

iar constantele A, α şi β se determină din condiţiile iniţiale şi la limită, la capetele corzii. Pentru o coardă vibrantă fixată la capete, adică cu noduri la ambele capete, trebuie satisfăcute condiţiile

1220sin ννλπ n

lcnnlnklkl n ==⇒=⇒=⇒= , ( 7.164)

(şi, subînţeles, la capătul cu x = 0, sin 0 = 0) adică lungimea corzii atunci când oscilează la rezonanţă, adică cu o amplitudine maximă pentru condiţiile date, cuprinde un număr întreg de jumătăţi de lungimi de undă. Frecventele νn se numesc frecvenţe proprii, iar ν1

este frecvenţa fundamentală. În Figura 7.24 sunt prezentate câteva dintre undele staţionare stabilite pe o coardă de lungime L.

Figura 7.24


202

7.13. Tuburi sonore Analog coardei vibrante şi tuburile sonore, fluierele, au un şir infinit de vibraţii proprii. Dar numărul de frecvenţe proprii auzibile este finit, şi nici prea mare de altfel. Frecvenţele proprii se obţin din condiţiile la margine. La tuburile sonore obişnuite excitarea undei sonore staţionare în coloana de aer se face la un capăt al tubului cu ajutorul unei surse, diapazon, difuzor, lamă vibrantă etc, deci la acest capăt avem un maxim respectiv un ventru şi ecuaţia undelor este:

tkxAtx ωχ coscos),( = . Celălalt capăt al tubului poate fi închis sau deschis. La tuburile închise (nod la capăt):

−=−=

⇒−=

⇒−=

⇒=

1)12(4

)12(

4)12(

2)12(

0cos

νν

λ

π

nl

cn

nl

nkl

kl

( 7.165)

deci lungimea tubului închis este egală cu un număr impar de sferturi de lungimi de undă şi se formează armonice impare. În Figura 7.25 sunt prezentate câteva dintre situaţiile care apar în tuburile închise

Figura 7.25

La tuburile deschise (ventre la capete ):

==⇒==

⇒=⇒±=

1224

22

1cos

ννλλπ

lcnnnl

nklkl

n

, ( 7.166)


203

deci lungimea tubului deschis este egală cu un număr par de sferturi de lungimi de undă, un număr întreg de semilungimi de undă, ca şi la coarda vibrantă, şi se pot forma toate armonicele.

Figura 7.26

Observaţie. Obişnuim să reprezentăm undele în tuburile sonore ca şi la coardă, adică printr-o geometrie proprie undelor transversale, deşi undele din tuburile sonore sunt unde longitudinale.

7.13.1. Nivelul sonor În afară de caracteristicile calitative ale sunetului, avem şi mărimi fizice caracteristice. Dar, varietatea proprietăţilor şi interpretărilor sunetelor, de asemenea şi subiectivitatea aprecierilor, îşi pun amprenta asupra acestor mărimi. Legea lui Weber şi Fechner. Modificarea răspunsului la schimbarea excitaţiei este invers proporţională cu excitaţia anterioară schimbării.

Ect

ER

excitatiect

excitatiedraspunsd

=∆∆

⇒⋅=0)(

1)()( . ( 7.167)

Această lege spune că senzaţia sau percepţia sunetului variază în progresie aritmetică, în timp ce valorile fizice sunt în progresie geometrică. Această lege este o aproximaţie convenabilă şi acceptabilă. Dacă mărimea fizică creşte de 10 ori semnalul perceput se dublează. Pentru studierea senzaţiei auditive se ia pentru I0

213

0mW105,4I −⋅=

valoarea acceptată ca

minim al sensibilităţii urechii la 1000 Hz, şi pentru

presiunea corespunzătoare a undei sonore


204

barmNp π000,0102 2

50 =⋅=∆ − ,

Nivelul intensităţii sonore este nivelul presiunii acustice care se referă la o valoare standard . Expresia matematică pentru nivelul intensităţii este

0)( lg10

IIL i = , ( 7.168)

Nivelul intensităţii sonore se măsoară în dB (decibeli - de la numele lui Bell, Graham Bell, inventatorul telefonului). Scris în funcţie de presiunea undei sonore şi măsurat tot în dB, nivelul intensităţii are expresia

02

0

2

)( lg20)()(lg10

pp

ppL p ∆

∆=

∆∆

= , ( 7.169)

7.13.2. Intensitatea sunetului

( ) 22efectivmediumediu cvvciI ρρ ≡=≡ ,

unde 2max

22

21

imefectivmediu vvv ==

dar coeficientul ½ determină valoarea efectivă numai pentru dependenţe sinusoidale. Când valorile lui ∆p şi v sunt în fază, avem un câmp acustic sau sonor

real. Când sunt defazate cu 2π avem un câmp imaginar, iar dacă sunt

defazate aleator avem un câmp difuz. Zgomotele sunt câmpuri difuze. Undele staţionare sunt câmpuri imaginare, deoarece au mereu un

defazaj constant (2π ) între viteză şi deformaţie (

xp

∂∂

∆χ~ ).

Vei numi sunet alb, o distribuţie de amplitudini egale pentru toate frecvenţele. Un zgomot "alb" este cel pentru care media defazajelor este zero. Pentru cei familiarizaţi cu televizoarele ar fi echivalentul albului de la ecranele color. Caracteristicile sunetelor sunt: frecvenţa sau înălţimea sunetului, amplitudinea - descrisă de intensitatea sunetului (sau tăria), timbrul - care reprezintă distribuţia armonicelor pe întreg spectrul auzibil, desigur. În plus, mai avem: durata sunetului, lărgimea benzilor de emisie, curba de atac a trenului de unde sau a pulsului, excitaţia sunetului. Aceste aspecte calitative participă la formarea spectrului şi devin "tuşele" ce caracterizează un instrument muzical sau o sursă sonoră în general.


205

Sursele "sintetice " pot genera sunete care să imite diferite instrumente, pornind de la refacerea acestor caracteristici specifice. Aceste surse pot fi analogice dar mai modern digitale şi se regăsesc în mai orice program de acest fel, pentru calculatoare. Pentru receptorul uman ne mai interesează: durata minimă a sunetului, distanţa dintre două frecvenţe vecine sau rezoluţia şi defazajul

sunetelor. Selectivitatea în frecvenţă este 02,00

=∆νν , dar variază cu ν,

adică sensibilitatea urechii variază cu ν. În intensitate,

00101

0

3,1101lg101 IIIIIphonS ≅=⇒===∆ , adică sensibilitatea la care

putem distinge doua sunete distincte. Astfel, 00 3,03,1 IIIIdistinct =∆⇒= .

Iar pentru presiune, 015,0 pp ∆=∆ . Dacă sunetele nu sunt separate de un interval de minim 0,05s-0,1s, nu le percepi ca sunete distincte. Ecoul nu apare decât în aceste condiţii. Dar, putem percepe sunete distincte dacă variază frecvenţa cu 0,003 (0,3%) pentru sensibilitatea maximă (2000 Hz). Această acuitate scade la 1,2% pentru 20 Hz şi la 0,7% la 20000 Hz. Dacă avem două sunete, ele se disting din ce în ce mai greu dacă sensibilitatea descreşte. Limitele de 20 Hz şi 20000 Hz – considerate naturale pentru urechea umană - sunt foarte dificil de perceput şi depind de vârsta, de sănătatea urechii şi de antrenamentul ascultătorului. Limita superioară de audibilitate ca tărie este o limită dureroasă (pragul dureros deasupra căruia sunetul nu mai este sunet ci o percepţie ca durere), deasupra ei sunetele sunt atât de puternice încât provocă dureri care împiedică percepţia. Distrugerea timpanului se produce la frecvenţe şi tării mai mari. Limita inferioară, foarte variabilă în funcţie de subiect, marchează absenta senzaţiei. Urechea umană – şi a altor vieţuitoare – nu este capabilă să perceapă o oscilaţie singulară! De altfel este şi foarte puţin probabil ca o sursă sonoră obişnuită să "emită" un sunet care nu are o durată adică nu e făcut din o singură undă. Şi să adăugăm că orice sunet emis este însoţit/acompaniat de armonice şi de sunete secundare parazite. Puritatea unui sunet, în limbajul muzicienilor nu se referă la un sunet izolat ci la calitate "armonizării" lui cu armonice superioare (ca frecvenţe). Din aceste spectre sonore pentru fizicieni, într-o anume distribuţie, rezultă câte un instrument de calitate. Un sunet ca să existe pentru noi trebuie să îndeplinească anumite condiţii, din care o parte sunt "tradiţionale" adică mai cunoscute, dar mai există şi altele. Deci, pe lângă:


206

Frecvenţă (sau înălţimea sunetului) şi domeniul de frecvenţe audibil, Intensitate (sau tăria sunetului) sau mărimea ei asociată, presiunea sonoră (de fapt suprapresiunea produsă de sursa emitentă raportată la presiunea aerului în acel moment) şi domeniul/intervalul limitat inferior prin prag inferior de audibilitate, şi superior, – prag superior de audibilitate, pragul dureros, Timbrul, altfel spus "compoziţia spectrală", Mai intervine durata "sunetului" mai precis spus: durata minimă a pulsului sonor. Noi nu percepem o undă ci un tren de unde care are o "lungime" minimă, de fapt o durată minimă sau un număr minim d e oscilaţii, de unde pentru a fi auzit. Acest număr minim depinde de tărie şi de frecvenţă dar şi de ascultător. Se spune, când ne referim la testări "audio","ascultător tânăr şi odihnit", deoarece urechea îşi pierde din performanţe cu vârsta (dar şi cu boala, oreionul fiind cunoscut că ar putea afecta auzul, - dar şi din motive genetice). Să remarcăm, acest: "şi odihnit", care ne sugerează că urechea oboseşte ascultând, în special programe cu tărie/intensitate mare, dar oboseala depinde şi de natura programului: zgomot sau muzică, muzică modernă sau muzică din repertoriul clasic, ş.a.m.d. Necesitatea căştilor de protecţie pentru urechi la tir sau în atelierele zgomotoase, răspunde acestei nevoi de protecţie a urechii la oboseală, şi pe durată mai lungă de expunere la afecţiuni cronice ale auzului. Iar, "protezele auditive" sunt răspunsul tehnic la apariţia îmbătrânirii urechii, mai general pentru suplinirea deficienţelor de auz. Să revenim la ideea "trenurilor de unde". Ceea ce este necesar urechii este un minim de energie care să parcurgă urechea. Orice aparat are nevoie de un minim de energie pentru a sesiza ceva măsurabil. Pulsuri foarte scurte vor trece nebăgate în seamă. Acest minim necesar, prag inferior de sensibilitate, îl regăsim la greutatea/masa minimă care mişcă acul unei balanţe – şi care depinde de model, de clasa de realizare. Sau, un voltmetru nu mişcă acul sub o anumită tensiune ori un ampermetru sub un anumit curent etc.

Ai putea să identifici şi alte moduri de obosire a "urechii" / auzului? Sau să detaliezi cele afirmate mai sus?

Poţi găsi alte exemple de situaţii asemănătoare? Concluzia referitoare la prag este foarte importantă pentru înţelegerea multor fenomene fizice dar şi a numeroase fapte de viaţă. Poate fi acea picătură care "umple paharul" şi declanşează reacţii neobişnuite.


207

"Waţi muzicali, waţi sinus". Puterea sonoră, puterea acustică produsă de o sursă (un difuzor, mai multe difuzoare, o boxă) provine din transformarea energiei (puterii) electrice în vibraţii mecanice, în acest caz unde sonore. Randamentul acestei transformări este mic, şi depinde foarte mult de calitatea producătorului şi de pretenţiile ascultătorului. Un sunet "de calitate" va fi obţinut cu preţuri mai mari, şi cu randament electrico – acustic mic. Un randament 0,02 -0,07 adică 2% până spre 7% nu este neobişnuit de mic. Desigur există şi valori mai mari, dar de obicei se consideră numai ce ace sursa emite spre "în faţa" ei, într-un anume unghi (solid, spaţial), unghi în care se află în mod firesc auditoriul. Pe anumite dispozitive acustice apar inscripţionări cum ar fi 2x300 W sau chiar 2x1200 W. Fără îndoială că 2x se referă la sistemul stereofonic, dar numărul de watt adăugat, ne duce cu gândul la puterea electrică a instalaţiilor şi nicidecum la performanţele acustice. Dar, dacă am considera că instalaţia poate absorbi de la reţea cei 2400 de watt, ar însemna un curent de cca. 11 amperi, curent care ar pune în dificultate multe siguranţe electrice din locuinţe. Un asemenea consum, o asemenea putere se întâlneşte doar la unele ceainice electrice moderne menite să încălzească apa în câteva zeci de secunde.

Observaţie. Unităţile de măsură a căror denumire provine de la personalităţi din fizică sau din alte domenii, se scriu, după cum se ştie, cu majusculă (literă mare) atunci când scriem simbolul (aici, W, watt, de la James Watt). Când menţionăm unitatea cu apelaţiune extinsă "watt", de pildă, "newton" etc., se scrie ca orice substantiv comun, cu literă mică.

De multe ori ne întrebăm dacă o audiţie în sala de spectacole este mai avantajoasă decât o audiţie realizată acasă. Din punctul de vedere al comodităţii audiţia acasă, realizată şi cu dispozitive moderne este, poate, mai avantajoasă. Din punct de vedere al implicării în atmosfera de spectacol fără îndoială, nu.


208

Figura 7.27

În Figura 7.27 este prezentat un lanţ, prescurtat, de înregistrare – redare, pe care îţi propunem să-l analizezi şi să tragi unele concluzii, în funcţie de factorii sau parametrii pe care doreşti să-i atingi în ascultare. Înregistrările (sau preluările de sunet în vederea transmisiei directe – "live") încep prin "traducerea sunetelor" din oscilaţii mecanice ale aerului în semnale electrice. Dispozitivele care pot fi, de regulă, microfoanele, poartă o denumire globală de traductori acustico-electrici. În istoria tehnicilor de înregistrare a sunetelor au existat preluări direct mecanice, pornind de la Fonograful lui Edison, şi alte realizări ulterioare, care transformau vibraţiile acustice în vibraţii ale unei lame (membrane) care prevăzută cu un ac (vârf) înţepa cu periodicitatea sunetului o placă de ceară şi "modela" o înregistrare. Redarea era strict mecanică, un "palpator" explorând înţepăturile făcute la înregistrare şi făcând să vibreze, acustic, o lamă (membrană) care mima actualele difuzoare. Tehnicile ulterioare au introdus în lanţul de înregistrare – redare avantajele amplificării electronice, deoarece tăria sunetelor redate era foarte modestă. Iar uzura suprafeţelor înregistrate foarte rapidă. Prin preluarea semnalului electric, acesta poate fi amplificat, corectat, modificat (cu un egalizator, de pildă) adică trecut prin filtre care pot atenua anumite frecvenţe (anumite domenii de frecvenţe) şi în acest fel să asigure pentru redare un semnal mai puternic şi mai apropiat de sunetul original. Deoarece orice preluare, traducere, trădează sunetul original.


209

În sistemele mai moderne se preferă "stocarea" informaţiei în mod digital. În sistemele clasice, dar electronizate, "stocarea" informaţiei se face în mod analogic, adică aşa cum soseşte semnalul. Păstrarea sunetului se face pe un suport care a putut fi, succesiv, ceara, apoi replici mai dure, mai rezistente ale înregistrărilor pe "ceară", discurile din ebonită. Discurile din ebonită au fost înlocuite de discuri din "vinil" de regulă un polimer din familia PVC, iar acele de patefon, grosolane (palpatoarele), cu ace din safir sau alte materiale dure. Primele traductoare pentru redare erau, evident strict mecanice, ajutate de celebra pâlnie de gramofon, care era în esenţă un difuzor mecano – acustic. Primele traductoare de redare în lanţul electric, foloseau traducerea vibraţiilor mecanice prin mişcarea unei bobine şi într-un câmp magnetic, prin legea inducţiei a lui Faraday, primele doze magnetice, apăreau semnale electrice ce urmau a fi preluate de amplificarea electronică. Aproape orice radio avea o cale care permitea conectarea unui pick-up şi mai târziu şi a unui magnetofon. Primele doze magnetice erau grele, apăsau pe placa de patefon şi prin frecare o uzau repede la numai câteva zeci de treceri, de audiţii. Ulterior au fost înlocuite cu "doze cristal", doze miniaturizate, care folosesc efectul piezoelectric. Este foarte instructiv ca pagină de istoria tehnologiilor, cele mai moderne doze de redare după discuri vinil sunt dozele magnetice miniaturizate de cca. 100 de ori mai sensibile şi mai ales mai fidele, mai performante. Toate aceste variante de înregistrare au fost suplinite în paralel de înregistrarea magnetică. Pe un suport flexibil, o bandă, o panglică, se depune "echivalentul unei pilituri de fier", şi se trece prin faţa unui electromagnet alimentat de curentul de la preluarea înregistrării (capul de înregistrare). Magnetizarea porţiunilor succesive trecute prin faţa electromagnetului, se modelează după semnalul electric la rândul lui modelat după semnalul sonor iniţial. La redare, deplasarea acestor magneţi în faţa unei bobine (capul de redare), produce prin inducţie semnal electric care poate fi amplificat etc. Dar indiferent de modul analogic sau digital, remarcăm că începutul şi sfârşitul este analogic. Revenind la întrebarea (dezbaterea) iniţială, care audiţie este mai avantajoasă, să subliniem că o preluare care se face cu un microfon sau chiar cu 10 microfoane, transformă pachetul de sunete provenit de la un ansamblu de 30 - 100 de muzicieni în cele câteva semnale electrice. Acestea la rândul lor, trecute pe suport magnetic, vinil sau digital, nu pot păstra multitudinea de sunete şi armonice, provenite de la orchestră, câteva mii sau zeci de mii, decât sub forma unor suprapuneri


210

care la redare pot cel mult simula ceva mai mult sau mai puţin apropiat de sunetul primar. La rândul lor, chiar difuzoarele nu fac decât să "citească" acest semnal de suprapuneri într-o singură vibraţie, dar nicidecum cele câteva mii de armonice. Noroc cu urechea care având "unele defecte" este "păcălită" şi crede că participă la adevărata audiţie. Aceste consideraţii ne învaţă, pe de o parte că nu trebuie căutată perfecţiunea – a unei realizări tehnice, în aceste exemple – ci că realizarea trebuie corelată cu performanţele adresantului. Iar pe de altă parte, că aceste performanţe ţin şi de cultură şi de educaţie – un ascultător educat va remarca mai uşor defecţiuni sau imperfecţiuni în lanţul audio. Într-o sală de concerte, s-ar putea ca spectatorii aflaţi pe locurile mai depărtate de scenă să "asculte" un program puţin diferit faţă de spectatorii aflaţi pe locurile mai apropiate de scenă. Într-adevăr, deoarece sunetele se atenuează cu distanţa pe parcursul propagării, unele componente mai slabe ca tărie ("pianissimo") se pot atenua într-atât încât intensitatea lor să coboare sub pragul minim de audibilitate. Deoarece acest prag minim depinde de frecvenţa sunetelor, dar şi pentru că atenuarea datorată propagării depinde de asemenea de frecvenţa sunetelor – sunetele joase, de frecvenţă mai mică, deci de energie mai mică, se atenuează mai mult, unele componente dispar în timp ce altele rămân dar cu alte intensităţi. Aceasta revine la o altă compoziţie spectrală a programului sunetelor emise, (o altă distribuţie a armonicelor), faţă de ceea ce percepe (aude) un ascultător aflat mai în faţă. O supraamplificare, cum se practică la programele realizate în spaţii mari, poate suplini acest neajuns. Există experienţe care dovedesc că unele infrasunete pot fi dăunătoare persoanelor care le suportă. Dincolo de unele legende, este demonstrat că infrasunetele din jurul frecvenţei de 13 Hz, pot fi foarte dăunătoare la intensităţi mari sau la expuneri prelungite. Frecvenţa de 13 Hz corespunde (780 rotaţii / minut) cu turaţia la ralanti a unor motoare termice (de maşină), sau cu vibraţiile provenite de la unele motoare electrice asincrone.


211

7.13.3. Testul de autoevaluare 7.2 Răspunde la întrebările testului de mai jos Răspunsurile la întrebările testului le găseşti la pagina 212

Pentru itemii 1-5 alege răspunsul corect : 1. Ce este o undă elastică?

2.Ce sunt undele staţionare?

3.Ce sunt sunetele?

4. Care este lungimea de undă a unor sunete aflate la limitele audibilităţii? Dar a unui sunet de 500Hz din „mijlocul” domeniului audibilităţii?Viteza sunetului este de 340m/s. 5.Elongaţia unei unde care se deplasează în direcţia pozitivă a axei Ox este dată de )1247,2sin()5,3(),( txcmtxD −= cu x în m şi t în s. Care sunt: frecvenţa, lungimea de undă şi viteza de propagare a undei.


212

7.14. Răspunsuri la testele de autoevaluare Dacă n-ai ales răspunsurile corecte, ar trebui să reciteşti paragrafele 7.1 – 7.7

Dacă n-ai ales răspunsurile corecte, ar trebui să reciteşti paragrafele 7.8 – 7.12

RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii lllaaa TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 111 1. Amplitudinea este elongaţia/depărtarea maximă, pe traiectorie, de la poziţia de echilibru. 2. Durata unei oscilaţii complete, adică dus şi întors până în poziţia de echilibru se numeşte perioadă. 3. s2 ;Perioada pendulului elastic este km /2π 4. 2s(neschimbată); s22 . Perioada pendulului simplu este gl /2π 5. Acceleraţia maxim(din capătul cursei) trebuie să imprime o forţă de inerţie egală cu forţa de frecare. gmmA ⋅⋅=⋅⋅ µω 2 ; 17,0=µ

RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii lllaaa TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 777... 222 1.Oscilaţia care se propagă în mediu de la particulă la particulă datorită interacţiunilor elastice dintre acestea 2.Suprapunerea undei incidente cu unda reflectată pe aceeaşi direcţie care generează în spaţiu oscilaţii cu amplitudine constantă în timp. 3.Undele sonore sunt unde mecanice care se propagă în medii elastice. 4.Domeniul audibilităţii se întinde de la 20Hz la 20kHz.Pentru frecvenţa minimă, mc im 17/ minmax == νλ , pentru frecvenţa

maximă cmc 7,1/ maxmin == νλ . Pentru valoarea medie, m69,0=λ

5. Elongaţia se scrie ( )2/7,2124cos032,0)( π+−= xtxD şi deci

7,22;124 ==λπω . Frecvenţa este de 19,7Hz, perioada este 0,05s,

lungimea de undă este 2,3m şi viteza de propagare este de 46ms-1.

RRRăăăssspppuuunnnsssuuurrriii lllaaa TTTeeessstttuuulll dddeee aaauuutttoooeeevvvaaallluuuaaarrreee 777...111 1. Amplitudinea este elongaţia/depărtarea maximă, pe traiectorie, de la poziţia de echilibru. 2. Durata unei oscilaţii complete, adică dus şi întors până în poziţia de echilibru se numeşte perioadă. 3. s2 ;Perioada pendulului elastic este km /2π 4. 2s(neschimbată); s22 . Perioada pendulului simplu este km /2π 5. Acceleraţia maxim(din capătul cursei) trebuie să imprime o forţă de inerţie egală cu forţa de frecare. gmmA ⋅⋅=⋅⋅ µω 2 ; 17,0=µ


213



Mişcare armonică simplă, o oscilaţie sinusoidală cu perioada T şi amplitudinea constantă A

Forţa de revenire, proporţională cu distanţa faţă de poziţia de echilibru şi îndreptată către centrul mişcării

Pendul gravitaţional, pendul elastic Oscilaţii forţate şi oscilaţii amortizate Rezonanţa Compunerea oscilaţiilor, fazori Unde elastice. Unde transversale şi unde longitudinale Interferenţa undelor Dispersie Amortizarea undei Unda sonoră Coarde sonore, tuburi sonore Caracteristici ale sunetelor

Formule cheie

Frecvenţa, inversul perioadei T/1=ν Pulsaţia (frecvenţa unghiulară) νπω ⋅= 2 Poziţia ( )ϕω +⋅⋅= tAtx cos)( Viteza ( )ϕωω +⋅⋅⋅−== tAtvtx sin)()( Acceleraţie ( )ϕωω +⋅⋅⋅−== tAtatx cos)()( 2 Ecuaţia de oscilator 0xxx 2 =++ ωγ

Amplitudinea oscilaţiei atenuate ( )ϕωγ

+⋅⋅=⋅

−teAtx

tcos)( 2

Perioada pendulului gravitaţional glT /2π=

Perioada pendulului elastic kmT /2π= Viteza undei transversale µ/mTv =

Ecuaţia undelor fzf

yf

xf

tf

c∆=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

Nivelul intensităţii sonore 0

)( lg10IIL i =


214

7.16. Bibliografie 1. A. P. Hristev, Curs de Mecanică Fizică şi Acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 (paginaţia corespunde ediţiei a II-a), pag. 210-214, 310-313 2. A. P. Hristev, V. Fălie, D. Manda, Fizica, Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Pedagogică, Bucureşti, 1979, 1981, 1984, pag. 35-37, 51-52, 255-302

7.17. Lucrare de verificare 7 Rezolvă problemele de mai jos. Fiecare din aceste probleme îşi are răspuns în materialul expus în această Unitate de învăţare. Pentru detalii suplimentare sau lămuriri, consultă Bibliografia sau contactează autorii la adresa de e-mail oferită în Introducere. Răspunsurile corecte la această lucrare nu trebuie să depăşească două pagini A4. Trimite tutorelui soluţiile pe care le consideri corecte.

1.Descrie unele dintre cauzele care pot duce la neperceperea unui sunet. (1 punct) 2. Care sunt diferitele tipuri de propagare de unde pe care le poţi descrie? (1 punct) 3.Ce ar putea fi o auto oscilaţie; exemplifică. (1 punct) 4.Un corp este atârnat de două resorturi legate în serie, de constante elastice k1=1,0N/cm, k2=2,0N/cm. Care este raportul energiilor potenţiale ale resorturilor ? 5. Împlineşte cerinţele lucrării practice din 7.62. Descrie într-un protocol măsurările făcute şi prezintă rezultatele obţinute. (3 puncte) 6.O undă sonoră de 100 Hz se propagă cu 340m. Care este diferenţa de fază a oscilaţiilor pentru două puncte aflate la 60 cm unul de altul pe direcţia de propagare a sunetului (1 punct) 7. Un difuzor aflat în originea axelor de coordonate emite unde sonore într-o zi în care viteza sunetului este de 340m-s. Doi ascultători aflaţi în poziţiile (0m,40m) şi respectiv (30m,0m) aud simultan un maxim sonor. Care sunt cele două cele mai joase frecvenţe pe care sunetul emis de difuzor le poate conţine? (2 puncte) din oficiu, (1 punct) Total (10 puncte)

Unitatea de Management al Proiectelor cu Finanţare Externă

Str. Spiru Haret nr. 12, Etaj 2,Sector 1, Cod poºtal 010176,

Bucureºti

Tel: 021 305 59 99Fax: 021 305 59 89

http://conversii.pmu.roe-mail: [email protected]

ISBN 973-0-04252-7

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didacticedin învăţământul preuniversitar

pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Date post:	25-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	cristigabitza
View:	25,459 times
Download:	25 times

mecanica fizica

Documents