CAPITOLUL I

Cap.1.Cinematica i dinamica

CAPITOLUL 1CINEMATICA SI DINAMICA1.1.Notiuni fundamentale de cinematica

punctului

Cinematica punctului studiaz( mi(c(rile mecanice ale corpurilor, f(r( a lua (n considerare masa acestora i for(ele care ac(ioneaz( asupra lor. Cinematica face un studiu geometric al mi(c(rilor din care cauz( aceast( parte a mecanicii se mai nume(te (i geometria mi(c(rilor. Cinematica folosete noiunile fundamentale de spa(iu (i timp. Spa(iul se consider( absolut, euclidian (i tridimensional, iar timpul un parametru scalar independent de spa(iu (i continuu cresc(tor. No(iunea de mi(care este relativ(. Mi(carea se raporteaz( (n general la un reper sau sistem de referin((. Dac( reperul este fix, mi(carea se nume(te absolut(, iar dac( reperul este mobil, mi(carea se nume(te relativ(.1.1.1. Legea de micare

Mi(carea unui punct M este cunoscut( dac(, n orice moment t, se poate preciza pozi(ia acestuia (n raport cu un reper presupus fix, definit de vectorul de poziie ca funcie de timp (fig.1.1).

(1.1.)

Fig.1.1

Pentru a defini mi(carea real(, func(ia vectorial( descris( de ecua(ia (1.1), trebuie s( fie continu(, uniform(, finit( (n modul (i de dou( ori derivabil(. Ea constituie legea de mi(care.

1.1.2. Traiectoria

Traiectoria este locul geometric al pozi(iilor succesive ocupate de punct (n mi(care. Referitor la traiectorie, se ntlnesc dou cazuri:

Cazul 1. Se cunoate poziia punctului, dat prin funciile scalare, care definesc vectorul variabil (fig.1.2) i se cere s se determine traiectoria.

Fig.1.2

Dac funcia vectorial este definit cartezian se poate scrie:

(1.2.)

unde sunt versorii axelor Ox, Oy (i Oz, ale sistemului cartezian.

Proieciile pe axe ale vectorului reprezint coordonatele punctului M n sistemul cartezian Oxyz, sunt funcii scalare de timp i se numesc ecuaii parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.

(1.3.)

Prin eliminarea parametrului t n ecuaiile parametrice (1.3) se obine traiectoria, ca intersecie a dou plane:

(1.4.)

Cazul 2. Se cunoate traiectoria punctului, curba (C), i se cere s se determine poziia acestuia. Dac traiectoria este o curb continu, rectificabil i are n orice punct o tangent unic, poziia punctului se poate determina utiliznd un singur parametru scalar, care este coordonata curbilinie s (fig.1.3).Punctul M se deplaseaz pe curba (C) n sensul indicat de sgeat. Pentru a indica poziia la un moment dat a punctului se alege ca reper punctul M0, care constituie originea arcelor, sensul de parcurs fiind indicat de sgeat.

Fig.1.3

Poziia punctului M pe curb, n timp este determinat de ecuaia orar a micrii sau legea orar a micrii:

(1.5.)

1.1.3. Viteza

Viteza este o mrime vectorial ataat punctului care precizeaz direcia i sensul n care se efectueaz micarea.

Se consider( dou( pozi(ii succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(carea pe curba (C), la momentele t (i respectiv t+(t, caracterizate prin vectorii de pozi(ie , respectiv (fig.1.4). Intervalul de timp (t fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc M1M2, cu elementul de coard M1M2, care reprezin modulul vectorului .Fig.1.4

Raportul se numete vitez medie a punctului M. Cum de regul intereseaz direcia i sensul micrii n orice moment pe curba (C), se calculeaz viteza instantanee. Aceasta se realizeaz cnd intervalul de timp sau .

Trec(nd la limit(, rezult( viteza instantanee ntr-un punct:

(1.6.)

Rela(ia (1.6), arat( c( viteza unui punct este egal( cu derivata vectorului de pozi(ie al punctului, (n raport cu timpul (derivata (n raport cu timpul a func(iilor scalare sau vectoriale se va nota, (n general, cu un punct, deasupra).

Viteza este tangent( la traiectorie (n punctul respectiv:

(1.7.)

unde:

(1.1.)

este versorul tangentei.

1.1.4. Acceleraia

Acceleraia este o mrime vectorial ataat punctului n micare i arat modul de variaie al vitezei acestui punct n decursul micrii, ca modul, direcie i sens.

Se consider dou( pozi(ii succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(care pe curba (C), la momentele t (i respectiv t+(t, avnd vitezele (i (fig.1.5). Variaia vitezei n intervalul de timp (t este:

Fig.1.5

Raportul m(soar( varia(ia vitezei (n timp (i se nume(te accelera(ie medie. Prin trecerea la limit, aceasta realizndu-se cnd intervalul de timp sau , rezult( accelera(ia instantanee:

(1.9.)

Dac( se continu( derivarea (n raport cu timpul, a vectorului de pozi(ie , se ob(in vectori care se numesc accelera(ii de ordin superior. Astfel, derivata a treia (n raport cu timpul a vectorului de pozi(ie, se nume(te accelera(ie de ordinul al doilea sau supraacceleraie.

1.1.5. Viteza i acceleraia unghiular

Sunt cazuri cnd poziia unui punct pe traiectorie se poate preciza cu ajutorul unui unghi la centru (, ca n cazul micrii circulare. Considernd ca reper, diametrul orizontal, legea de micare a punctului M pe cerc este definit de funcia:

(1.10.)

Se consider dou( pozi(ii succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(carea pe cerc, la momentele t (i respectiv t+(t, avnd unghiurile la centru (i (fig.1.6). Variaia unghiular n intervalul de timp (t este:

Fig.1.6

Raportul se numete vitez unghiular medie a punctului M. Prin trecerea la limit, aceasta realizndu-se cnd intervalul de timp sau , rezult( viteza unghiular instantanee:

(1.11.)

Considernd pozi(iile succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(care pe cerc, la momentele t (i respectiv t+(t, avnd vitezele unghiulare (i , variaia vitezei unghiulare n intervalul de timp (t este:

Raportul m(soar( varia(ia vitezei unghiulare (n timp (i se nume(te accelera(ie unghiular medie. Prin trecerea la limit cnd intervalul de timp sau , rezult( accelera(ia unghiular instantanee:

(1.12.)

Prin conven(ie, viteza unghiular( poate fi considerat( un vector al c(rui suport este o dreapt( perpendicular( pe planul traiectoriei, care trece prin punctul O. Sensul pozitiv al vectorului vitez( unghiular( este dat de regula (urubului, care se rote(te (n sensul de deplasare al punctului M. (n mod similar se define(te (i vectorul accelera(ie unghiular(.

1.1.6 Studiul micrii punctului a. Studiul micrii n coordonate carteziene

A cunoa(te mi(carea punctului, (nseamn( a cunoa(te n orice moment vectorul de poziie , viteza i acceleraia acestuia (fig.1.7).Fig.1.7

Vectorul de poziie are expresia:

(1.13.)

Ecuaiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(1.14.)

Traiectoria sau curba (C) se obine prin eliminarea parametrului t, n ecuaiile parametrice ale micrii.

Viteza se ob(ine ca derivata vectorului de pozi(ie (n raport cu timpul:

(1.15.)

Componentele vitezei sunt:

(1.16.)

Modulul vitezei este:

(1.17.)

Direciile pe care le formeaz suportul vectorului vitez cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinuii directori:

(1.11.)

Accelera(ia se ob(ine ca derivata n raport cu timpul a vitezei punctului sau derivata de dou( ori (n raport cu timpul, a vectorului de pozi(ie:

(1.19.)

Componentele acceleraiei sunt:

(1.20.)

Modulul acceleraiei este:

(1.21.)

Direciile pe care le formeaz suportul vectorului acceleraie cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinuii directori:

(1.22.)

b.Micarea circular. studiul micrii n coordonate carteziene

Punctul M se mi(c( pe o traiectorie circular( de raz R, avnd legea de micare, viteza i acceleraia unghiular date de expresiile:

(1.23.)

Sistemul cartezian este ales cu originea O, n centrul cercului (fig.1.21). Ecua(iile parametrice ale traiectoriei sunt:

(1.24.)

Prin eliminarea parametrului t, aflat implicit n legea de micare ((t) va rezulta traiectoria, care este cercul de raz R cu centrul n originea O:

Fig.1.8

(1.25.)

Componentele vitezei pe axele sistemului cartezian sunt:

(1.26.)

Vectorul vitez( are expresia:

(1.27.)

(i este tangent la traiectorie, adic perpendicular pe , deoarece produsul scalar este nul:

Modulul vitezei este:

(1.21.)

Componentele accelera(iei se ob(in prin derivarea componentelor vitezei:

(1.29.)

Vectorul accelera(ie are expresia:

(1.30.)

i modulul:

(1.31.)

1.1.7 Cinematica rigiduluia. Micarea general a rigidului

Micarea rigidului este determinat cnd se cunosc expresiile generale, ca funcii de timp, pentru vectorul de poziie, viteza i acceleraia unui punct oarecare M al rigidului, n raport cu un punct O1, presupus fix.Fig.1.9

Pentru efectuarea studiului se alege un sistem de referin admis fix , de versori (i un sistem de referin mobil solidar cu corpul n micare, de versori (fig.1.9). Alegerea punctului O ca origine a sistemului mobil este arbitrar.

Vectorul de poziie al punctului M, fa de sistemul fix este iar fa de sistemul mobil este . Poziia originii sistemului mobil fa de sistemul fix este definit de vectorul . Se poate scrie relaia:

(1.32.)

Ecuaia (1.32) poate fi exprimat i ca o ecuaie vectorial funcie de timp:

(1.33.)

Vectorul este o funcie vectorial de timp, continu, uniform i derivabil de cel puin dou ori.

Vectorul are modulul constant i direcia variabil, deoarece distana dintre punctele O i M nu se modific, conform ipotezei rigiditii corpului. n consecin, proieciile x, y, z ale acestui vector, pe axele sistemului de referin mobil sunt constante. Versorii sunt funcii vectoriale de timp deoarece i schimb n timp poziia, odat cu axele pe care le caracterizeaz.

Un vector funcie de timp se exprim cu ajutorul a 3 funcii scalare de timp (proieciile pe axele sistemului cartezian). Prin urmare, conform relaiei (1.33) vectorul se exprim cu 12 funcii scalare de timp, care provin de la mrimile vectoriale: . Cele 12 funcii scalare nu sunt independente, deoarece pot fi scrise 6 relaii specifice, datorit faptului c versorii sunt versorii unui sistem de axe triortogonal.

(1.34.)

(1.35.)

Rezult c vectorul poate fi exprimat cu ajutorul a 6 funcii scalare de timp, independente: 3 provin de la vectorul , care definete poziia originii sistemului de referin mobil, n raport cu cel fix iar 3 provin de la versorii , care dau orientarea sistemului mobil fa de cel fix.

S-a demonstrat astfel i pe cale cinematic, faptul c un rigid liber n spaiu are 6 grade de libertate.

Pentru calculul vitezei punctului M, arbitrar ales se deriveaz n raport cu timpul relaia (1.32):

(1.36.)

unde:

(1.37.)

reprezint viteza originii O a sistemului mobil, din micarea fa de sistemul fix.

(1.31.)

reprezint viteza punctului M, solidar cu sistemul mobil.

Pentru calculul derivatelor n raport cu timpul ale versorilor se deriveaz n raport cu timpul, mai nti, relaiile (1.34) i (1.35).

(1.39.)

(1.39.)

Pentru expresiile scalare care intervin n (1.40) se introduce convenia de a fi considerate ca proiecii pe axele sistemului , ale unui vector arbitrar .

(1.40.)

Pentru scrierea derivatelor versorilor n raport cu timpul se are n vedere scrierea, n general, a unui vector prin proiecii pe axele de versori corespunztori.

(1.41.)

Avnd n vedere, relaia (1.41) i rezultatele din (1.39), respectiv (9.10), derivatele versorilor se pot scrie astfel:

(1.42.)

numite relaiile Poisson.

Putem exprima derivata vectorului ,introducnd relaiile Poisson (1.42) n relaia (1.38).

(1.43.)

Introducnd relaiile (1.37) i (1.43) n relaia (1.36) rezult:

(1.44.)

Relaia (1.44) se nume(te rela(ia Euler pentru distribu(ia de viteze a rigidului. Distribuia de viteze se exprim cu ajutorul a dou funcii vectoriale de timp, i .

Componentele pe axele sistemului mobil, ale vitezei se obin din dezvoltarea relaiei (1.44)

(1.45.)

Pentru calculul accelera(iei a punctului M apar(in(nd rigidului, care efectueaz( o mi(care general(, se deriveaz (n raport cu timpul, viteza acestuia dat de relaia (1.44).

(1.46.)

Accelera(ia punctului O fa(( de reperul fix este:

(1.47.)

Not(nd cu - un vector arbitrar, obinut ca derivata n raport cu timpul a vectorului (i introducnd relaia (1.43), rezult(:

(1.48.)

Ecua(ia (1.48) este cunoscut( (i sub numele de formula Euler pentru distribu(ia de accelera(ii.

Componentele accelera(iei pe axele reperului mobil se determin( exprim(nd analitic produsele vectoriale din relaia Euler (1.48), (n care vectorii i , au expresiile:,

(1.49.)

Rezult:

(1.50.)

b. Micarea rigidului cu ax fix (de rotaie)Un rigid execut( o mi(care de rota(ie (sau mi(care de rigid cu ax( fix(), dac( dou( puncte ale sale (adic( o ax() r(m(n fixe (n spa(iu (n tot timpul mi(c(rii. Dreapta determinat( de cele dou( puncte fixe O1 (i O2 ale rigidului poart( numele de ax( de rota(ie (fig.1.10.a). Punctele rigidului (n mi(care de rota(ie descriu cercuri dispuse (n plane perpendiculare pe axa de rota(ie O1O2, cu centrele pe axa de rota(ie.Pentru simplificarea studiului, originile celor dou sisteme de referin se consider n acelai punct, i axele coincid cu axa de rotaie.

Fig.1.10

Poziia rigidului n timp poate fi complet precizat cu ajutorul unghiului , unghi format de axa Ox a sistemului mobil cu axa O1x1 a sistemului fix i care constituie legea de micare a rigidului. Rigidul n micare de rotaie are un singur grad de libertate.

Aceast( mi(care particular( se ob(ine din mi(carea general( a rigidului cu simplificrile menionate mai sus:

(1.51.)

n consecin:

(1.52.)

Cum componenta vectorului , pe direcia Oz este definit de relaia:

(1.53.)

este necesar s se calculeze derivata n raport cu timpul a versorului :

Variaia n timp, ca direcie, a versorilor i (fig.1.10.b) este:

(1.54.)

Derivata n raport cu timpul a versorului este:

(1.55.)

i:

(1.56.)

rezult:

(1.57.)

Se poate da un sens fizic vectorului : este un vector care caracterizeaz micarea de rotaie a rigidului, fapt pentru care este numit vector vitez unghiular. Are ca suport axa de rotaie, sensul fiind dat de regula urubului drept, iar modulul, dat de derivata n raport cu timpul a legii de micare, .

n mod analog se poate demonstra c:

(1.51.)

(1.59.)

i n acest caz se poate da un sens fizic vectorului . ntruct reprezint derivata n raport cu timpul a vectorului vitez unghiular , el se umete vector acceleraie unghiular. Are ca suport axa de rotaie, sensul dat de regula urubului drept i modulul dat de derivata vitezei unghiulare, .

Distribu(ia de viteze se stabile(te pornind de la formula general( Euler (1.44) (i (in(nd seama de particularit((ile acestei mi(c(ri date de relaia (1.51):

(1.60.)

Expresia analitic a vitezei se obine din relaia (1.60), exprimnd vectorii prin componentele pe axe:

(1.61.)

Rezult componentele pe axe ale vitezei:

(1.62.)

Proprietile cmpului de viteze:

punctele situate pe axa de rotaie au viteze nule.

vitezele sunt con(inute (n plane perpendiculare pe axa de rota(ie, deoarece vz=0.

vitezele punctelor situate pe o dreapt perpendicular pe axa de rotaie sunt perpendiculare pe aceast dreapt i modulele lor sunt direct proporionale cu distana de la punct la axa de rotaie (fig.1.11.a).

Fig.1.11

Distribuia de acceleraiiDac( (n formula Euler (1.48) privind distribuia de accelera(ii se fac particulariz(rile specifice mi(c(rii de rota(ie (1.51) se obine:

(1.63.)

care reprezint( c(mpul de acceleraii al unui rigid (n mi(care de rota(ie.

Expresiile analitice ale acceleraiei se obin din relaia (1.63), exprimnd vectorii prin componentele pe axe:

(1.64.)

Rezult componentele pe axe ale acceleraiei:

(1.65.)

Proprietile cmpului de acceleraii sunt analoage cu cele ale cmpului de viteze, cu singura deosebire c acceleraiile sunt nclinate fa de o dreapt perpendicular pe axa de rotaie (fig.1.11.b) sub acelai unghi (, dat de relaia:

Observaii:

1. Studiul vitezelor i acceleraiilor poate fi efectuat i cnd se consider , ns nici una dintre axele triedrului nu constituie ax de rotaie. n acest caz vectorii vitez i acceleraie unghiular au expresiile:

(1.66.)

2. Dac , micarea se numete uniform, iar dac , micarea se numete uniform variat. Dac , micarea se numete accelerat, iar dac , micarea se numete ncetinit (decelerat).

3. n tehnic, pentru mainile rotative se d turaia n exprimat n rot/min. Legtura dintre viteza unghiular i turaie este dat de relaia:

(1.67.)

b.1. Transmiterea micrii de rotaie

Transmiterea micrii de rotaie se realizeaz prin:

roi dinate i roi cu friciune

curele i lanuri

Se consider dou roi (dinate sau cu friciune) cu axele paralele: roata motoare O1, de raz R1 cu vitez unghiular (1 i roata condus O2, de raz R2 cu vitez unghiular (2 (fig.1.12).

Se definete raportul de transmitere al micrii ca fiind raportul vitezelor unghiulare ale roii motoare i celei conduse:

(1.61.)

Raportul de transmitere al micrii poate fi exprimat i funcie de turaiile celor dou roi. Avnd n vedere relaia dintre viteza unghiular, exprimat n rad/s sau s-1 i turaia exprimat n rot/min - , rezult:

(1.69.)

Fig.1.12

Condiia de transmitere a micrii (s nu existe alunecare ntre cele dou roi) este ca viteza punctului de contact dintre roi, exprimat din micarea fiecreia s fie aceai:

(1.70.)

Raportul vitezelor unghiulare ale celor dou roi pote fi exprimat i funcie de raportul razelor acestora:

(1.71.)

Raportul de transmitere al micrii este:

(1.72.)

Pentru roile dinate, raportul de transmitere al micrii poate fi exprimat i n funcie de numrul de dini ale celor dou roi. Condiia de angrenare este ca modulul celor dou roi dinate, definit de relaia (1.73) s fie acelai:

(1.73.)

unde p este pasul danturii, definit ca fiind lungimea arcului dintre dou flancuri succesive, msurat pe cercul de rostogolire.

nmulind ambii termeni ai relaiei (1.73) cu numrul de dini zi i cum produsul reprezint lungimea cercului de rostogolire, obinem:

(1.74.)

i cu ajutorul creia poate fi exprimat raportul razelor celor dou roi:

(1.75.)

n cazul transmiterii micrii cu roi dinate, raportul de transmitere este:

(1.76.)

Pentru o transmisie prin lanuri sau curele, roile avnd axele paralele, condiia de transmitere a micrii este ca vitezele periferice ale celor dou roi s fie egale, ntruct n punctele de contact dintre curea sau lan i roi nu exist alunecare (fig.1.13).

Raportul de transmitere al micrii este dat de relaia (1.73):

Pentru o transmisie cu n roi cu arbori paraleli, raportul de transmitere este:

(1.77.)

(9.61)Fig.1.13

Dac ntre cei doi arbori ai roii motoare i conduse intervin arbori intermediari, rapoartele de transmitere dintre dou roi consecutive devin:

(1.71.)

Efectund produsele termenilor din fiecare membru, rezult:

(1.79.)

Deci:

(1.80.)

Raportul de transmitere total al unei transmisii cu n roi este produsul rapoartelor de transmitere intermediare.

Observaii:

pentru transmiterea micrii de rotaie prin roi cu axele concurente, condiia de transmitere a micrii const n egalitatea vitezelor punctelor de contact aparinnd celor dou roi;

dac prin transmiterea micrii, sensul de rotaie al arborelui condus este acelai cu cel al arborelui motor, raportul de transmitere se consider pozitiv iar dac este de sens contrar se consider negativ.

c. Micarea plan paralel

Un rigid efectueaz o mi(care plan paralel(, c(nd trei puncte necoliniare ale sale rmn tot timpul mi(c(rii, coninute (n acelai plan fix din spa(iu.

(n cazul (n care rigidul se reduce la o plac( de grosime neglijabil(, care este con(inut( (n planul fix, mi(carea se nume(te plan(.

Pentru studiul mi(c(rii se consider un sistem de referin fix (i un sistem de referin mobil ata(at rigidului , cu axele (fig.1.14.a). Planul conine planul mobil, definit de cele trei puncte necoliniare i obinut ca intersecie a rigidului cu planul fix . Studiul micrii rigidului poate fi redus la studiul micrii planului mobil (fig.1.14.b).Poziia rigidului la un moment dat este determinat, de componentele vectorului de poziie , ale originii sistemului de referin mobil, n raport cu cel fix, i de unghiul , determinat de axa a sistemului mobil i axa a sistemului fix. Pentru stabilirea poziiei rigidului la un moment dat sunt necesare trei funcii scalare de timp, deci n micarea plan paralel, un rigid are 3 grade de libertate: .

Fig.1.14

Mi(carea plan paralel se ob(ine din mi(carea general( a rigidului (n care sunt introduse umtoarele simplificri impuse de aceast micare: vectorii i sunt coninui n planul micrii i .

(1.81.)

(1.82.)

(1.83.)

Vectorii i sunt vectori de direcie constant, perpendiculari pe planul mobil , ca la micarea de rotaie. Vectorii i , respectiv i sunt ortogonali:, .

Studiul analitic

Distribu(ia de viteze se stabile(te pornind de la formula general( Euler (i (in(nd seama de particularit((ile acestei mi(c(ri date de relaiile (1.81) i (1.83). Se ob(ine:

(1.84.)

Componentele vitezei pe axele triedrului mobil vor fi deci:

(1.85.)

Distribuia de viteze, specific micrii plan paralele poate fi considerat ca rezultnd din compunerea unui cmp de viteze specific translaiei, cu un cmp de viteze specific rotaiei, n jurul unei axe perpendiculare pe planul n care s-ar efectua translaia.Studiul vectorial

Se consider dou puncte M i N aparinnd planului mobil Oxy (fig.1.15). Pentru a stabili o relaie ntre vitezele celor dou puncte se aplic relaia (1.44) pentru exprimarea vitezelor acestora:

(1.86.)

Scznd membru cu membru se obine:

(1.87.)

Cum se deduce relaia Euler pentru distribuia de viteze n micarea plan-paralel:

(1.81.)

sau:

(1.89.)

unde cu (ntruct ) reprezint viteza punctului N din micarea fa de punctul M, ca i cnd acesta ar fi fix.

(1.90.)

cum , rezult:

(1.91.)

Fig.1.15

Formal, distribuia de viteze n micarea plan paralel se determin ca o distribuie de viteze corespunztoare unei micri de rotaie, n jurul centrului instantaneu de rotaie.

Studiul analitic

Utiliz(nd rela(ia Euler pentru accelera(ii i (in(nd seama de particularit((ile acestei mi(c(ri, date de relaiile (1.81) i (1.83) obinem:

(1.92.)

din care rezult( componentele accelera(iei:

(1.93.)

Distribuia de acceleraii, specific micrii plan paralele poate fi considerat ca rezultnd din compunerea unui cmp de acceleraii specific translaiei, cu un cmp de acceleraii specific rotaiei, n jurul unei axe perpendiculare pe planul n care s-ar efectua translaia.

Studiul vectorial

Se consider dou puncte M i N aparinnd planului mobil Oxy (fig.1.16). Pentru a exprima acceleraia punctului N - n funcie de acceleraia punctului M - , cunoscut, se vor scrie acceleraiile celor dou puncte care poate fi pus i sub forma:

(1.94.)

ntruct:

Astfel:

(1.95.)

Scznd membru cu membru, relaiile (1.95) rezult:

(1.96.)

Fig.1.16

Cum se deduce relaia Euler pentru distribuia de acceleraii n micarea plan-paralel:

(1.97.)

sau:

(1.91.)

unde - cu (ntruct ) este acceleraia tangenial a punctului N din micarea fa de punctul M, ca i cnd acesta ar fi fix i este acceleraia normal a punctului N din micarea fa de punctul M, ca i cnd acesta ar fi fix.

d. Micarea relativ a punctuluiNotiuni introductive.

Se consider sistemul de referin fix O1x1y1z1, de versori i sistemul de referin mobil Oxyz, de versori precum i un vector care poate fi scris prin proiecii pe cele dou sisteme de axe, astfel:

(1.99.)

Derivnd n raport cu timpul, relaia (1.99), obinem:

(1.100.)

Termenul din membrul stng al egalitii (1.100) reprezint derivata n raport cu timpul a vectorului , exprimat prin proiecii pe axele sistemului de referin fix i se numete derivat absolut:

(1.101.)

Prima parantez din membrul drept reprezint derivata n raport cu timpul a vectorului , exprimat prin proiecii pe axele sistemului de referin mobil, ca i cnd acesta ar fi fix (versorii nu-i modific direcia) i se numete derivat local sau derivat relativ:

(1.102.)

Introducnd relaiile Poisson (1.44) n paranteza a doua din membrul drept al relaiei (1.100), rezult:

(1.103.)

innd seama de relaiile (1.101), (1.102) i (1.103), relaia (1.100) devine:

(1.104.)

i exprim derivata absolut a unui vector definit prin proieciile sale pe axele triedrului mobil.

Definirea miscarilor

Se consider un sistem de referin fix O1x1y1z1, de versori i un sistem de referin mobil Oxyz, de versori . Poziia unui punct M n raport cu triedrul fix este definit de vectorul de poziie , n raport cu triedrul mobil, de vectorul de poziie , poziia triedrului mobil n raport cu triedrul fix fiind definit de vectorul de poziie (fig.1.17).Micarea absolut este micarea punctului n raport cu reperul fix.

Micarea relativ este micarea punctului n raport cu reperul mobil.

Micarea de transport este micarea punctului solidar cu reperul mobil, din micarea acestuia n raport cu triedrul fix. Sistemul de referin mobil se mai numete i transportor.Fig.1.17

Vitezele i acceleraiile punctului din micrile definite mai sus se numesc: vitez absolut, vitez relativ i vitez de transport, respectiv, acceleraie absolut, acceleraie relativ i acceleraie de transport.

Viteza i acceleraia de transport sunt date de relaiile (1.44) i (1.48), cunoscute din studiul micrii rigidului:

(1.105.)

Relaia dintre vectorii ce exprim poziia punctului M, n raport cu cele dou sisteme de referin este:

(1.106.)

Derivnd aceast relaie n raport cu timpul, obinem:

(1.107.)

Avnd n vedere c reprezint viteza originii tredrului mobil din micarea fa de triedrul fix i c vectorul este definit prin proieciile sale pe axele triedrului mobil, deci i se aplic regula de derivare (1.104), se obine:

(1.108.)

unde:

reprezint viteza punctului M, n raport cu triedrul fix i se numete vitez absolut;

reprezint viteza punctului M, n raport cu triedrul mobil i se numete vitez relativ;

reprezint viteza punctului M, solidar cu triedrul mobil (transportorul), din micarea acestuia n raport cu triedrul fix i se numete vitez de transport.

Cu aceste notaii, relaia (1.108) devine:

(1.109.)

adic: viteza absolut a unui punct este egal cu suma vectorial dintre viteza relativ i viteza de transport a punctului.

Derivnd n raport cu timpul, relaia (1.108) i avnd n vedere c reprezint acceleraia originii tredrului mobil din micarea fa de triedrul fix, , vectorii i sunt definii prin componentele lor pe axele triedrului mobil, deci li se aplic regula de derivare (1.104), se obine:

(1.110.)

Grupnd convenabil termenii se poate scrie:

(1.111)

unde:

reprezint acceleraia punctului M, n raport cu triedrul fix i se numete acceleraie absolut;

reprezint acceleraia punctului M, n raport cu triedrul mobil i se numete acceleraie relativ;

reprezint acceleraia punctului M, solidar cu triedrul mobil (transportorul), din micarea acestuia n raport cu triedrul fix i se numete acceleraie de transport;

reprezint o acceleraie ce nu aparine vreunei micri; exprim influena simultan a micrii de rotaie a sistemului mobil i a micrii relative a punctului asupra acceleraiei absolute, numidu-se acceleraie complementar sau acceleraie Coriolis.

Cu aceste notaii, relaia (1.111) devine:

(1.112.)

adic: acceleraia absolut a unui punct este egal cu suma vectorial dintre acceleraia relativ acceleraia de transport i acceleraia Coriolis a punctului.

Observaie: Conform definiiei, acceleraia Coriolis este produsul vectorial al vectorilor i , . Aceast acceleraie devine nul, cnd:

, adic triedrul mobil execut o micare de translaie n raport cu triedrul fix;

, vectorul rmne n permanen paralel cu vectorul .

1.2. Dinamica punctului material n micare

absolut. Noiuni fundamentale.1.2.1. Lucrul mecanic

Prin defini(ie, lucrul mecanic efectuat de for(a la deplasarea punctului material din pozi(ia M0, (n pozi(ia M1 este dat de integrala curbilinie:

(1.113.)

unde este deplasarea efectuat( de punctul de aplica(ie al for(ei (n timpul elementar (fig.1.18).

Pentru o for(( constant( (i o deplasare rectilinie a punctului material, lucrul mecanic este:

(1.114.)

Fig.1.18

For(a este (n general o func(ie de timpul t, pozi(ia (i viteza a punctului de aplica(ie. Deplasarea , efectuat( pe arc, este constituit( din deplas(ri elementare MM, care se pot asimila cu deplas(rile pe corzile corespunz(toare (fig.1.18). (n aceast( deplasare elementar(, for(a este admis( constant(. Lucrul mecanic al for(ei pe o deplasare elementar( se nume(te lucrul mecanic elementar:

(1.115.)

Dac( (n rela(ia (1.115) se (nlocuie(te , (n care este viteza punctului material, se ob(ine:

(1.116.)

Lucrul mecanic al for(ei , (n deplasarea finit( din M0 (n M1 este numit lucrul mecanic total sau finit (i este determinat prin integrala curbilinie (1.113).

Dac vectorii sunt exprimai prin proieciile lor pe axele unui sistem cartezian Oxyz, lucrul mecanic total are expresia:

(1.117)

1.2.2 Funcia de for

Se consider( o func(ie scalar( U(x,y,z) exprimat cu coordonatele punctului, cu ajutorul c(reia pot fi scrise componentele for(ei astfel:

(1.111.)

Func(ia U se nume(te func(ie de for((, iar for(a se nume(te for(( conservativ( i deriv din funcia de for U.

Condi(iile lui Cauchy, de existen(( pentru func(ia U sunt:

(1.119)

Deci for(a conservativ( este:

(1.120)

unde operatorul (nabla), numit i operatorul Hamilton este un operator vectorial, care transform un scalar ntr-un vector.

Lucrul mecanic elementar este:

(1.121)

iar lucrul mecanic total va fi:

(1.122)

unde:

Lucrul mecanic total al unei for(e conservative este independent de traiectoria parcurs( (i depinde numai de pozi(iile ini(iale (i finale ale punctului.

Dintre forele conservative, deci care formeaz c(mpuri poten(iale, amintim greutatea i fora elastic.

Greutatea are proiec(iile pe axele reperului Oxyz (fig.1.19):

(1.123)

Prin urmare:

(1.124)

Fig.1.19

Condi(iile lui Cauchy (1.119 sunt (ndeplinite (i deci for(a de greutate este o for(( poten(ial(. Funcia de for pentru greutate este:

(1.125)

Lucrul mecanic total LMoM efectuat de greutate, (n deplasarea punctului din pozi(ia M0, (n pozi(ia M are expresia:

(1.126)

Considernd c suportul for(ei elastice are o direce oarecare n spaiu (fig.1.20) putem scrie:

(1.127)

Condi(iile lui Cauchy (1.119) fiind (ndeplinite, for(a elastic este o for(( poten(ial(. Funcia de for pentru fora elastic este:

(1.128)

(11.16)

Fig.1.20

Lucrul mecanic total LMoM efectuat de for(a elastic, (n deplasarea punctului din pozi(ia M0, (n pozi(ia M este:

(1.129)

1.2.3. Puterea

Prin defini(ie, puterea este lucrul mecanic produs (n unitatea de timp:

(1.130)

c(nd for(a (i momentul ((n cazul rigidului) sunt constante (n timp, sau:

(1.131)

c(nd for(a (i momentul sunt variabile.

(1.132)

sau considernd rotaia elementar ca vector:

(1.133)

1.2.4. Randamentul mecanic

(ntr-o ma(in( for(ele motoare produc lucrul mecanic motor Lm. For(ele rezistente produc lucrul mecanic util Lu, (n scopul pentru care a fost construit( ma(ina (i lucrul mecanic pasiv Lp, folosit pentru (nvingerea frec(rilor.

(1.134)

Se define(te randamentul mecanic, notat cu (, raportul:

(1.135)

care este o m(rime adimensional( (i indic modul cum folose(te ma(ina, lucrul mecanic motor.

Exprimnd lucrul mecanic util n funcie de cel motor i nlocuindu-l n expresia (1.135), rezult:

(1.136)

unde se numete coeficient de pierderi.

Se constat( c, ntotdeauna .1.2.5. Impulsul

Noiunea de impuls a fost introdus sub form tiinific de Leonardo da Vinci i Galileo Galilei, numit de Newton i cantitate de micare.

Prin defini(ie, impulsul unui punct material M de mas( m, care se mi(c( cu viteza este un vector coliniar cu (i a crei expresie este (fig.1.21):

(1.137)

Fig.1.21

1.2.6. Momentul cinetic

Momentul cinetic al unui punct material M de mas( m, care se mi(c( cu viteza calculat (n raport cu un punct fix O, este prin defini(ie momentul impulsului punctului M, calculat (n raport cu acelai punct O:

(1.138)

Momentul cinetic se mai numete i momentul cantitii de micare i este un vector legat, analog vectorului moment al unei for(e (n raport cu un punct, definit (n static( (fig.1.22).

Fig.1.22

1.2.7. Energia mecanicEnergia cinetic(Pentru un punct material de mas( m care are viteza , prin defini(ie, energia cinetic( este:

(1.139)

Energia cinetic este o m(rime de stare, scalar( i strict pozitiv( (mrime care caracterizeaz micarea, (n orice moment).

Energia poten(ial(

Energia potenial este o mrime care caracterizeaz capacitatea micrii nemecanice de a trece ntr-o anumit cantitate de micare mecanic.

Energia potenial se pune n eviden cnd forele care acioneaz asupra punctului material sunt fore conservative (deriv din funcii de for U).

Dac( for(a conservativ admite o func(ie de for(( U(x,y,z), func(ia poten(ial sau energia poten(ial( reprezint func(ia de for, luat cu semnul minus.

(1.140)

Pentru lucrul mecanic elementar (i total al for(ei , care se deplaseaz din poziia M0 n poziia M se obin expresiile:

(1.141)

Semnifica(ia func(iei potenial V(x,y,z) rezult(, admind c( punctul M0(x0,y0,z0) este punct de potenial zero i prin urmare, funcia de for U(x0,y0,z0) respectiv, potenialul V(x0,y0,z0) sunt nule. Exprimnd lucrul mecanic al for(ei conservative , c(nd punctul se deplaseaz( din M (n M0, rezult:

(1.142)

Energia poten(ial( a punctului material corespunz(toare pozi(iei M(x,y,z) reprezint lucrul mecanic efectuat de for(a conservativ( la deplasarea punctului din pozi(ia M (n pozi(ia M0, care prin conven(ie are poten(ialul nul.

Se nume(te energie mecanic( a punctului material ac(ionat de o for(( conservativ(, suma (ntre energia cinetic( (i energia poten(ial(.

(1.143)

1.2.8. Ecuaiile difereniale ale micrii

punctului materialGeneraliti(n dinamica punctului material se (nt(lnesc dou( categorii de probleme:

Problema direct(. Se cunosc for(ele care ac(ioneaz( asupra punctului material ca natur(, suport, sens, m(rime (i se cere s( se stabileasc( mi(carea punctului material.

For(a este dat( de o expresie avnd forma:

(1.144)

A cunoa(te mi(carea (nseamn( a ob(ine o rela(ie vectorial( de tipul:

(1.145)

Legea fundamental( a dinamicii este:

(1.146)

Cum accelera(ia este i innd seama de relaia (1.144) se scrie:

(1.147)

S-a ob(inut astfel o ecua(ie diferen(ial( de ordinul doi care reprezint( ecua(ia diferen(ial( a mi(c(rii. Aceast( ecua(ie vectorial( se proiecteaz( pe axe (i se solu(ioneaz( sub form( scalar(.

Problema invers(. Se cunoa(te mi(carea, dat de o relaia (1.144) (i se cere for(a care produce mi(carea. Pentru aceasta se deriveaz( de dou( ori (n raport cu timpul rela(ia (1.145) (i se introduce (n rela(ia fundamental( a dinamicii scris( sub forma (1.146). Se ob(ine astfel ecua(ia diferen(ial( a mi(c(rii.

(n general problema nu este univoc determinat(, deoarece nu se poate stabili (i natura for(ei.

Ecua(ia diferen(ial(, sub form vectorial (1.147), proiectat( pe un sistem de axe, convenabil ales conduce la urm(toarele ecua(ii scalare, func(ie de sistemul de coordonate n care se lucreaz.

n sistemul de coordonate carteziene:

(1.148)

unde reprezint( proiec(iile pe axele Ox, Oy (i respectiv Oz ale rezultantei for(elor care ac(ioneaz( asupra punctului material.1.2.9 Teoremele generale n dinamica

punctului materialA.Teorema impulsuluiDerivata (n raport cu timpul a impulsului unui punct material este egal( (n fiecare moment cu rezultanta for(elor care ac(ioneaz( asupra punctului.Deriv(nd (n raport cu timpul impulsul dat de relaia (11.25) se obine:

(1.149)

Cum n baza legii fundamentale a dinamicii (11.34), , rezult:

(1.150)

Proiect(nd pe axe rela(ia (1.150) se ob(ine:

(1.151)

Conservarea impulsului

Dac( (n timpul mi(c(rii punctul material este izolat sau rezultanta forelor care acioneaz asupra acestuia este nul(, atunci:

(1.152)

Deci impulsul se conserv(, adic( p(streaz( (n timp aceea(i valoare. Constanta se determin( din condi(iile ini(iale ale problemei.

Este posibil s( se conserve (n timp o singur( component( a impulsului. Astfel, dac(:

(1.153)

(n acest caz se conserv( componenta impulsului dup( axa Ox.

B. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC

Derivata (n raport cu timpul a momentului cinetic calculat (n raport cu un punct fix O, este egal( cu momentul (n raport cu acela(i punct al rezultantei for(elor care ac(ioneaz( asupra punctului material. Deriv(nd (n raport cu timpul expresia momentului cinetic (1.128), rezult(:

(1.154)

Cum reprezint momentul n raport cu punctul O, al rezultantei forelor care acioneaz asupra punctului material, rezult( teorema momentului cinetic:

(1.155)

Proiect(nd pe axe, rela(ia (1.155) se ob(ine:

(1.156)

Conservarea momentului cinetic

Dac( (n timpul mi(c(rii, punctul material este izolat sau momentul rezultant care acioneaz asupra acestuia este nul, rezult(:

(1.156)

Deci momentul cinetic se conserv(, adic( p(streaz( aceea(i valoare (n timp. Constanta se determin( din condi(iile ini(iale.

Se poate conserva o singur( component( a momentului cinetic, de exemplu:

(1.157)

(n acest caz se conserv( componenta momentului cinetic dup( axa Ox.

C. TEOREMA ENERGIEI CINETICE

Varia(ia energiei cinetice a punctului material (n intervalul de timp dt, este egal( cu lucrul mecanic elementar, efectuat de rezultanta for(elor aplicate punctului (n acela(i interval de timp. (forma diferen(ial()

Diferen(iind rela(ia energiei cinetice i innd seama de legea fundamental a mecanicii (11.34), , rezult(:

Termenul din st(nga reprezint( o diferen(ial( total( exact(, pe c(nd termenul din dreapta reprezint( o diferen(ial( de tip Pfaff, care este o diferen(ial( total( exact(, numai (n cazul particular al for(elor conservative. Forma diferenial a teoremei energiei cinetice este:

(1.158)

Integr(nd rezult( teorema energiei cinetice, forma integral(:

(1.159)

Varia(ia energiei cinetice (ntre pozi(ia ini(ial( (i final( a mi(c(rii punctului material este egal( cu lucrul mecanic total efectuat (n deplasarea finit( (ntre cele dou( pozi(ii, de rezultanta for(elor aplicate punctului material.

Conservarea energiei mecanice

C(nd rezultanta for(elor aplicate punctului material, deriv( dintr-o func(ie de for((, energia mecanic( a punctului se conserv(.

Se consider( teorema energiei cinetice scris( sub form( diferen(ial( (i se presupune c( for(ele deriv( dintr-o func(ie de for((, adic(:

(1.160)

Cum energia poten(ial( este , atunci:

Din rela(iile (1.158) (i (1.160) rezult(:

(1.161)

de unde:

(1.162)

PAGE 36Elemente de inginerie mecanic

_1353132953.unknown

_1353133097.unknown

_1353133237.unknown

_1353133308.unknown

_1353133383.unknown

_1353133417.unknown

_1353136140.unknown

_1353139739.unknown

_1353139905.unknown

_1353142936.unknown

_1353146149.unknown

_1353147119.unknown

_1353146071.unknown

_1353142656.unknown

_1353139807.unknown

_1353136157.unknown

_1353138156.unknown

_1353136150.unknown

_1353133434.unknown

_1353133445.unknown

_1353133449.unknown

_1353133454.unknown

_1353133456.unknown

_1353133458.unknown

_1353133451.unknown

_1353133447.unknown

_1353133438.unknown

_1353133443.unknown

_1353133436.unknown

_1353133426.unknown

_1353133430.unknown

_1353133432.unknown

_1353133428.unknown

_1353133421.unknown

_1353133424.unknown

_1353133419.unknown

_1353133400.unknown

_1353133409.unknown

_1353133413.unknown

_1353133415.unknown

_1353133411.unknown

_1353133404.unknown

_1353133406.unknown

_1353133402.unknown

_1353133391.unknown

_1353133396.unknown

_1353133398.unknown

_1353133394.unknown

_1353133387.unknown

_1353133389.unknown

_1353133385.unknown

_1353133346.unknown

_1353133364.unknown

_1353133372.unknown

_1353133377.unknown

_1353133379.unknown

_1353133374.unknown

_1353133368.unknown

_1353133370.unknown

_1353133366.unknown

_1353133355.unknown

_1353133359.unknown

_1353133361.unknown

_1353133357.unknown

_1353133351.unknown

_1353133353.unknown

_1353133348.unknown

_1353133325.unknown

_1353133338.unknown

_1353133342.unknown

_1353133344.unknown

_1353133340.unknown

_1353133333.unknown

_1353133336.unknown

_1353133329.unknown

_1353133316.unknown

_1353133321.unknown

_1353133323.unknown

_1353133319.unknown

_1353133312.unknown

_1353133314.unknown

_1353133310.unknown

_1353133271.unknown

_1353133288.unknown

_1353133297.unknown

_1353133304.unknown

_1353133306.unknown

_1353133299.unknown

_1353133293.unknown

_1353133295.unknown

_1353133291.unknown

_1353133280.unknown

_1353133284.unknown

_1353133286.unknown

_1353133282.unknown

_1353133275.unknown

_1353133278.unknown

_1353133273.unknown

_1353133254.unknown

_1353133262.unknown

_1353133267.unknown

_1353133269.unknown

_1353133265.unknown

_1353133258.unknown

_1353133260.unknown

_1353133256.unknown

_1353133245.unknown

_1353133250.unknown

_1353133252.unknown

_1353133247.unknown

_1353133241.unknown

_1353133243.unknown

_1353133239.unknown

_1353133168.unknown

_1353133202.unknown

_1353133220.unknown

_1353133228.unknown

_1353133232.unknown

_1353133235.unknown

_1353133230.unknown

_1353133224.unknown

_1353133226.unknown

_1353133222.unknown

_1353133211.unknown

_1353133215.unknown

_1353133217.unknown

_1353133213.unknown

_1353133207.unknown

_1353133209.unknown

_1353133204.unknown

_1353133185.unknown

_1353133194.unknown

_1353133198.unknown

_1353133200.unknown

_1353133196.unknown

_1353133189.unknown

_1353133191.unknown

_1353133187.unknown

_1353133176.unknown

_1353133181.unknown

_1353133183.unknown

_1353133179.unknown

_1353133172.unknown

_1353133174.unknown

_1353133170.unknown

_1353133134.unknown

_1353133151.unknown

_1353133159.unknown

_1353133164.unknown

_1353133166.unknown

_1353133161.unknown

_1353133155.unknown

_1353133157.unknown

_1353133153.unknown

_1353133142.unknown

_1353133146.unknown

_1353133149.unknown

_1353133144.unknown

_1353133138.unknown

_1353133140.unknown

_1353133136.unknown

_1353133116.unknown

_1353133125.unknown

_1353133129.unknown

_1353133131.unknown

_1353133127.unknown

_1353133121.unknown

_1353133123.unknown

_1353133118.unknown

_1353133108.unknown

_1353133112.unknown

_1353133114.unknown

_1353133110.unknown

_1353133103.unknown

_1353133105.unknown

_1353133099.unknown

_1353133023.unknown

_1353133062.unknown

_1353133080.unknown

_1353133088.unknown

_1353133092.unknown

_1353133095.unknown

_1353133090.unknown

_1353133084.unknown

_1353133086.unknown

_1353133082.unknown

_1353133071.unknown

_1353133075.unknown

_1353133077.unknown

_1353133073.unknown

_1353133067.unknown

_1353133069.unknown

_1353133065.unknown

_1353133045.unknown

_1353133054.unknown

_1353133058.unknown

_1353133060.unknown

_1353133056.unknown

_1353133049.unknown

_1353133052.unknown

_1353133047.unknown

_1353133032.unknown

_1353133037.unknown

_1353133043.unknown

_1353133034.unknown

_1353133028.unknown

_1353133030.unknown

_1353133026.unknown

_1353132987.unknown

_1353133006.unknown

_1353133015.unknown

_1353133019.unknown

_1353133021.unknown

_1353133017.unknown

_1353133010.unknown

_1353133013.unknown

_1353133008.unknown

_1353132998.unknown

_1353133002.unknown

_1353133004.unknown

_1353133000.unknown

_1353132993.unknown

_1353132995.unknown

_1353132991.unknown

_1353132970.unknown

_1353132978.unknown

_1353132982.unknown

_1353132985.unknown

_1353132980.unknown

_1353132974.unknown

_1353132976.unknown

_1353132972.unknown

_1353132961.unknown

_1353132965.unknown

_1353132967.unknown

_1353132963.unknown

_1353132957.unknown

_1353132959.unknown

_1353132955.unknown

_1353132808.unknown

_1353132877.unknown

_1353132918.unknown

_1353132935.unknown

_1353132944.unknown

_1353132948.unknown

_1353132950.unknown

_1353132946.unknown

_1353132940.unknown

_1353132942.unknown

_1353132937.unknown

_1353132927.unknown

_1353132931.unknown

_1353132933.unknown

_1353132929.unknown

_1353132922.unknown

_1353132924.unknown

_1353132920.unknown

_1353132901.unknown

_1353132909.unknown

_1353132914.unknown

_1353132916.unknown

_1353132911.unknown

_1353132905.unknown

_1353132907.unknown

_1353132903.unknown

_1353132886.unknown

_1353132896.unknown

_1353132899.unknown

_1353132888.unknown

_1353132881.unknown

_1353132884.unknown

_1353132879.unknown

_1353132843.unknown

_1353132860.unknown

_1353132869.unknown

_1353132873.unknown

_1353132875.unknown

_1353132871.unknown

_1353132864.unknown

_1353132866.unknown

_1353132862.unknown

_1353132851.unknown

_1353132856.unknown

_1353132858.unknown

_1353132853.unknown

_1353132847.unknown

_1353132849.unknown

_1353132845.unknown

_1353132825.unknown

_1353132834.unknown

_1353132838.unknown

_1353132841.unknown

_1353132836.unknown

_1353132830.unknown

_1353132832.unknown

_1353132828.unknown

_1353132817.unknown

_1353132821.unknown

_1353132823.unknown

_1353132819.unknown

_1353132813.unknown

_1353132815.unknown

_1353132810.unknown

_1353132739.unknown

_1353132774.unknown

_1353132791.unknown

_1353132800.unknown

_1353132804.unknown

_1353132806.unknown

_1353132802.unknown

_1353132795.unknown

_1353132797.unknown

_1353132793.unknown

_1353132782.unknown

_1353132787.unknown

_1353132789.unknown

_1353132784.unknown

_1353132778.unknown

_1353132780.unknown

_1353132776.unknown

_1353132757.unknown

_1353132765.unknown

_1353132769.unknown

_1353132772.unknown

_1353132767.unknown

_1353132761.unknown

_1353132763.unknown

_1353132759.unknown

_1353132748.unknown

_1353132752.unknown

_1353132754.unknown

_1353132750.unknown

_1353132744.unknown

_1353132746.unknown

_1353132742.unknown

_1353132705.unknown

_1353132722.unknown

_1353132731.unknown

_1353132735.unknown

_1353132737.unknown

_1353132733.unknown

_1353132726.unknown

_1353132729.unknown

_1353132724.unknown

_1353132713.unknown

_1353132718.unknown

_1353132720.unknown

_1353132715.unknown

_1353132709.unknown

_1353132711.unknown

_1353132707.unknown

_1353132687.unknown

_1353132696.unknown

_1353132700.unknown

_1353132702.unknown

_1353132698.unknown

_1353132692.unknown

_1353132694.unknown

_1353132689.unknown

_1353132679.unknown

_1353132683.unknown

_1353132685.unknown

_1353132681.unknown

_1353132674.unknown

_1353132676.unknown

_1353132672.unknown