4 ANALIZA MICROMECANICĂ A LAMELEI COMPOZITE Proprietăţile materialelor compozite sunt determinate de proprietăţile constituenţilor, distribuţia acestora, precum şi de interacţiunile fizice şi chimice dintre faze. Datorită complexităţii acestor materiale studierea comportării mecanice a acestora implică analiza pe două niveluri şi anume, micromecanic şi macromecanic. Micromecanica este capitolul din mecanica materialelor în care se studiază caracteristicile mecanice ale materialelor compozite, pe baza proprietăţilor individuale ale fazelor şi interacţiunea acestora considerând compozitul un material eterogen, (Jones, 1999). 171
Transcript
4ANALIZA MICROMECANICĂ A
LAMELEI COMPOZITE
Proprietăţile materialelor compozite sunt determinate de proprietăţile constituenţilor, distribuţia acestora, precum şi de interacţiunile fizice şi chimice dintre faze.
Datorită complexității acestor materiale studierea comportării mecanice a acestora implică analiza pe două niveluri și anume, micromecanic și macromecanic.
Micromecanica este capitolul din mecanica materialelor în care se studiază caracteristicile mecanice ale materialelor compozite, pe baza proprietăților individuale ale fazelor și interacțiunea acestora considerând compozitul un material eterogen, (Jones, 1999).
Micromecanica se mai poate defini ca un ansamblu de concepte, modele matematice şi studii utilizate pentru a determina proprietăţile compozitului plecând de la caracteristicile materialelor constituente, tensiuni şi deformaţii specifice, configuraţie geometrică şi parametri de fabricaţie, (Lee, 1989).
171
Macromecanica este un capitol al mecanicii materialelor compozite în care se iau în considerare proprietățile mecanice medii ale compozitului, presupus omogen, neglijându-se interacțiunile dintre constituenţi.
Macromecanica este un ansamblu de concepte, modele matematice și ecuații utilizate pentru determinarea proprietăților lamelei în raport cu un sistem de referință oarecare utilizând valorile corespunzătoare axelor principale ale materialului compozit, (Lee, 1989).
4.1. STRATUL ELEMENTAR - LAMELA
Lamela este unitatea de bază în analiza structurilor compozite şi reprezintă un aranjament elementar de fibre (unidirecţionale, ţesătură bidirecțională, mat) înglobate într-o matrice suport, (fig.4.1).
a b c
Figura 4.1 Lamela compozită cu diverse tipuri de ranforsare:
a - unidirecțională; b - bidirecțională; c - aleatorie.
Lamela unidirecţională (UD) este alcătuită dintr-o matrice și un ranforsant realizat din fibre paralele, (fig.4.2).
172
a b c
Figura 4.2 Constituentele lamelei compozite UD, (Jones, 1999):
a - fibră; b - matrice; c - lamela compozită
Comportarea elastică în planul lamelei unidirecţionale poate fi caracterizată prin constantele elastice de bază, (fig.4.3):
modulul de elasticitate longitudinal
modulul de elasticitate transversal
modulul de elasticitate la forfecare
coeficientul lui Poisson .
173
Figura 4.3. Modulii de elasticitate corespunzători axelor lamelei
ortotrope (Harris, 1999)
4.1.1. Axele principale ale lamelei unidirecționale
Fie un sistem de axe L(1),T(2),T(3) ce poate fi atașat unei lamele compozitecu armare unidirecțională, (fig.4.4a,b,c).
Direcțiile axelor sistemului (axe principale ale materialului) se definesc, astfel:
direcţia paralelă cu fibrele se numeşte direcţia longitudinală a lamelei (L sau 1)
direcţia normală pe fibre în planul (1-2) se numeşte direcţie transversală (T sau 2) a lamelei
orice altă direcţie situată în planul (2-3) este, de asemenea, o direcţie transversală, la o distribuție aleatorie a fibrelor pe secțiunea transversală a lamelei.
a b cFigura 4.4 Unitatea de studiu
a - lamelă unidirecțională cu un singur strat de fibre; b - lamelă
unidirecțională cu mai multe straturi de fibre; c - bară circulară cu
armare unidirecțională.
Datorită distribuției fibrelor pe secțiunea transversală a elementului compozit, (fig.4.5), materialul este:
ortotrop în raport cu axele sale L(1) T(2)
174
transversal izotrop în raport cu axele T(2) și T(3).
Figura 4.5. Lamela unidirecțíonală cu planele de simetrie
4.1.2 Fracţiunile volumetrice şi masice
În analiza micromecanică a compozitelor, un element important este caracterizarea volumelor relative și a maselor relative a componentelor în raport cu materialul compozit în ansamblu. Fracțiunile masice se pot obține în timpul fabricării sau folosind o metodă experimentală după fabricare; fracțiunile volumetrice sunt utilizate în micromecanica materialelor compozite pentru stabilirea caracteristicilor elastice și de rezistență.
Fracţiunile volumetrice se utlizează la proiectarea de rezistență și se determină astfel:
se consideră un element compozit cu volumul vc care constă din volumul vf al fibrei și volumul vm al matricei
volumul compozitului, vc
175
(4.1)
fracțiunea volumetrică a fibrei, Vf
(4.2a)
fracțiunea volumetrică a matricei, Vm
(4.2b)
(4.3)
Fracțiunile masice se folosesc la stabilirea cantităților de material în proiectarea tehnologică
masa compozitului, mc
(4.4)
fracțiunea masică a fibrelor, Mf
(4.5a)
176
fracțiunea masică a matricei, Mm
(4.5b)
(4.6)
4.1.3 Densitatea compozitului
Densitatea a compozitului se poate obține pe baza
densităților constituenților ( ) și a fracțiunilor volumetrice sau masice:
(4.7)
(4.8)
S-a constatat că densitatea teoretică a compozitului, , calculată cu ajutorul fracţiunilor volumetrice sau masice diferă de
cea stabilită experimental, , datorită prezenţei golurilor (porilor) din masa compozitului. Fracţiunea volumetrică a golurilor notată cu Vg este obţinută cu relaţia:
(4.9)
care exprimată în raport cu masele și densitățile se poate scrie sub forma:
177
(4.10)
Prezenţa golurilor în elementul compozit afectează sensibil unele proprietăţi mecanice ale acestuia. Prin creşterea conţinutului de goluri sunt generate efectele de degradare în timp a proprietăţilor. Un compozit bun are sub 1% goluri, în timp ce unul necorespunzător poate ajunge la un volum relativ de goluri Vg = 5%. (Agarwal ș.a, 2006).
Prin intermediul densității se pot scrie relațiile dintre fracțiunile volumetrice și masice.
sau (4.11)
Fracțiunea volumetrică de fibră este limitată de tehnologia de formare a materialelor și elementelor compozite, de exemplu:
o formare manuală prin contact 30%o formare prin înfășurare 60%-75%o formare prin vacuumare 50%-80%
Fracţiunile volumetrice ale fibrei se situează între o valoare minimă și una maximă.
Valoarea minimă precizată în literatura de specialitate este o 5% (Matthews, 2008) o 10% (Agarwal, ș.a. 2006)
1. Valoarea teoretică maximă a fracțiunii volumetrice de fibră poate fi 0,907 sau 0,785 funcție de reţelele reprezentative
178
pentru distribuţiile geometrice idealizate ale fibrelor (în triunghi sau în pătrat), (fig.4.6).
a bFigura 4.6 Geometria aşezării idealizate a fibrelor
a - aşezarea în rețea triunghiulară (Vf=0,907); b - aşezarea în rețea
pătrată (Vf=0,785)
4.1.4.Grosimea lamelei
Cunoscându-se volumul compozitului (fig.4.7), densitățile componentelor, masa fibrei pe unitatea de suprafață (mof, precizată de producător) și fracțiunea volumetrică a fibrei se poate determina grosimea lamelei compozite.
Figura 4.7 Grosimea lamelei compozite
(4.12)
179
(4.13)
Grosimile lamelelor pentru diferite fracțiuni de masă și pentru diverse tipuri de fibre (Gay, 2007), sunt:
Sticlă-E pentru Mf = 0,34 t=0.125mm
Kevlar pentru Mf = 0,65 t=0.130mm
Carbon R.M pentru Mf = 0,68 t=0.130mm
4.2. CARACTERISTICI ELASTICE
Modelele elementare pentru stabilirea caracteristicilor elastice ale lamelei cu armare unidirecţională, se bazează pe următoarele ipoteze simplificatoare:
matricea: este material omogen, este material izotrop, are comportare elastică.
fibrele: sunt materiale omogene, sunt materiale izotrope sau ortotrope, au proprietăți identice în lungul lamelei, sunt perfect aliniate și paralele între ele, au comportament liniar elastic.
compozitul: între fibre și matrice există o aderență perfectă,
180
încărcările sunt aplicate paralel cu fibrele sau perpendicular pe direcţia fibrelor,
se neglijează tensiunile remanente din lamelă, are comportare liniar elastică.
4.2.1.Modulul de elasticitate longitudinal EL (E1)
Această caracteristică mecanică este dominată de fibre, care, în general, sunt mai rezistente și mai rigide având o deformație specifică liniară de rupere mai mică decat matricea, (Daniel și Ishai, 2006).
Modulul de elasticitate longitudinal se evaluează pe un model paralel, (fig.4.8) în care deformațiile specifice liniare în direcție longitudinală ale compozitului sunt identice cu cele ale fibrelor și matricei. Această ipoteză se bazează pe o conlucrare perfectă între componente, fără a permite deplasări relative la interfata dintre fibră și matrice, (Jones,1999).
a b
Figura 4.8. Modelul compozitului unidirecţional solicitat longitudinal:
a - lamela compozită, b - modelul paralel (Jones 1999)
Acest model conduce la o relație bazată pe regula amestecurilor, iar graficul de variație a modulului de elasticitate EL
181
în raport cu fracțiunea volumetrică de fibră este ilustrat în figura 4.10a.
pentru fibre izotrope (Ef=Efl=Eft), (fig.4.9a)
sau (4.14)
pentru fibre ortotrope (Efl Eft), (fig.4.9b)
sau (4.15)
unde Em este modulul de elasticitate al matriceiEf este modulul de elasticitate al fibrelor izotropeEfl este modulul de elasticitate longitudinal al fibrelor ortotrope.
a b
Figura 4.9 Fibre izotrope și ortotrope pentru armarea lamelelor
a - fibră izotropă ( Eft = Efl ), b - fibră ortotropă (Eft Efl)
Modulul de elasticitate longitudinal EL depinde atât de mărimea fracțiunii volumetrice a fibrei (fig.4.10a) cât și de modulii de elasticitate longitudinali ai fibrelor din sticlă E, sticlă S, bazalt și sticlă rezistentă la coroziune alcalină (ECR) utilizate pentru armare, (fig.4.10b), (Taranu, ș.a, 2012).
182
Figura 4.10a Variaţia modulului de elasticitate longitudinal EL în raport cu
fracţiunea volumetrică de armare
Figura 4.10b Variaţia modulului de elasticitate longitudinal EL în raport cu
fracţiunea volumetrică de armare și modulul de elasticitate al fibrei Ef
183
Contribuția matricei la stabilirea modulului de elasticitate longitudinal este nesemnificativă. De exemplu, utilizând valorile din figura 4.10b, pentru Vf=0.5, la un compozit armat unidirecțional cu fibre din sticlă-E (Ef = 72,4 GPa) și matrice epoxidică (Em = 3GPa) contribuția relativă a fibrei este 96%, iar a matricei este 4%.
4.2.2. Modulul de elasticitate transversal ET (E2)
Modulul de elasticitate transversal este o proprietate dominată de matrice.
Pentru stabilirea valorilor modulului de elasticitate transversal se consideră modelul serie alcătuit din fibre și matrice pe care se admite că tensiunea transversală este aceeași în compozit, fibră și matrice, (fig.4.11).
Utilizând modelul serie se obține o relație de calcul bazată pe regula inversă a amestecurilor:
Figura 4.11 Modelul serie al unui compozit unidirecţional
pentru fibre izotrope (Ef=Efl=Eft)
184
sau (4.16)
fibre ortotrope (Efl Eft)
sau (4.17)
unde
Eft este modulul de elasticitate transversal al fibrelorEm este modulul de elasticitate al matricei.
Reprezentarea grafică a ecuațiilor (4.16) conduce la trasarea curbelor din figura 4.12. Se observă că pentru valori mici ale fracțiunii volumetrice de fibră, modulul de elasticitate transversal crește puțin confirmând faptul că această caracteristică este dominată de matrice.
185
Figura 4.12. Variaţia modulului de elasticitate transversal ET în raport cu
fracţiunea volumetrică de armare pentru cazul fibrelor izotrope
Rezultatele teoretice obținute prin micromecanică, pentru ET pe baza proprietăților constituenților, nu s-au confirmat experimental în toate situațiile (Gay ş.a. 2007). Unul din aceste motive îl reprezintă anizotropia fibrelor, unde se pot observa diferențe sensibile între valorile modulilor de elasticitate în direcție longitudinală (l) și transversală (t).
În cazul fibrelor de carbon de înaltă rezistenţă raportul Efl/Eft=15.3, pentru fibrele de carbon cu modul de elasticitate ridicat Efl/Eft =65, iar în cazul fibrelor din Kevlar, Efl/Eft =24. Aliura curbei de variație a modulului de elasticitate transversal arată influența determinantă a matricei; creșterea rapidă a lui ET în domeniul fracțiunilor volumetrice mari ale armăturii trebuie corelată cu valorile maxime.
186
Ecuațiile Halpin-Tsai
Halpin şi Tsai (Halpin şi Tsai 1967) au dezvoltat ecuaţii semiempirice pentru a armoniza rezultatele mai multor analize micromecanice precise cu datele experimentale, (fig.4.13), rezultând următoarele relații:
(4.18)
(4.19)
În relațiile de mai sus Ef este modulul de elasticitate al fibrelor pe direcție transversală (Eft), ținând seama de natura acestor materiale. Factorul de eficiență al armării, 1 pentru încărcarea transversală depinde de geometria fibrei, rețeaua de dispunere a fibrelor şi de condiţiile de încărcare; în cazurile uzuale de secţiuni circulare ale fibrelor, rezultate satisfăcătoare se obţin considerând 1=2. In figura 4.14, este ilustrată influența rigidității relative a componentelor, fibră și matrice asupra valorilor modulului de elasticitate transversal al compozitului cu armare unidirecțională. Se observă că pentru valori reduse ale rapoartelor Ef/Em modulul de elasticitate transversal crește foarte puțin în intervalul fracțiunilor mici și medii ale fracțiunii volumetrice de fibră. Prin creșterea acestui raport se aplifică aportul rigidității armăturilor la valoarea modulului de elasticitate transversal. Totuși creșterea lui ET trebuie să țină seama de limitele fracțiunii volumetrice ale fibrei.
187
Figura 4.13 Comparație între valorile ET calculate prin regula inversă a amestecurilor și cu relațiile Halpin-Tsai
Figura 4.14 Variaţia modulului de elasticitate transversal calculat cu relaţiile Halpin-Tsai pentru rapoarte diferite ale modulilor
constituenţilor
4.2.3. Modulul de elasticitate la forfecare în planul lamelei,GLT (G12)
188
Comportarea compozitului unidirecţional solicitat la forfecare în planul lamelei este dominată de proprietăţile matricei. Pentru evaluarea modulului de elasticitate la forfecare GLT în planul lamelei compozite se folosește un model serie, (fig.4.15), supus unei tensiuni tangențiale uniforme.
a bFigura 4.15 Modelul serie sub tensiune uniformă de forfecare:
a - modelul compozitului unidirecţional, b - deformaţia din forfecare
pentru constituenţi şi pentru modelul în ansamblu
Exprimând deformația totală din forfecare a compozitului (Dc), ca suma deformaţiilor de forfecare a fibrei (Df) şi a matricei (Dm) se obține o relație bazată pe regula inversă a amestecurilor pentru calculul valorii lui GLT
(4.20)sau
(4.21)unde
Gf este modulul de elasticitate la forfecare al fibrelor
189
Gm este modulul de elasticitate la forfecare al matricei.
Pentru componentele izotrope ale lamelei, modulul de elasticitate la forfecare al acestora se determină cu:
(4.22)
în care
și reprezintă modulii de elasticitate la forfecare ai fibrei, respectiv matricei
și reprezintă coeficienții lui Poisson pentru fibră, respectiv matrice.
Dacă fibrele sunt mult mai rigide decât matricea (Gf>>Gm) modulul de elasticitate la forfecare poate fi aproximat cu:
(4.23)
Modelul Halpin-Tsai
Ca şi în cazul modulului de elasticitate transversal, relaţiile (4.20 și 4.21) subestimează valorile modulului de elasticitate la forfecare în plan, iar relaţiile Halpin-Tsai pot fi folosite pentru rezultate mai precise:
190
(4.24a)
(4.24b)
iar 2=1 este factorul de eficienţă al armării pentru forfecarea în planul (L,T). Când fibrele de armare sunt ortotrope trebuie să se utilizeze modulul de elasticitate la forfecare corespunzător acestor materiale.
Graficele de variație ale modulului de elasticitate transversal trasate conform regulii inverse a amestecurilor și ecuațiilor Halpin-Tsai sunt ilustrate în figura 4.16, iar în figura 4.17 este prezentată variația lui GLT în funcție de raportul rigidităților la forfecare a componenților.
191
Figura 4.16. Variatia modulului de elasticitate la forfecare în
raport cu fractiunea volumetrica de fibra
192
Figura 4.17. Variaţia modulului de elasticiate la forfecare calculat cu
relatia Halpin-Tsai pentru diverse rapoarte Gf/Gm (Agarwal, 2006)
4.2.4.Coeficienţii lui Poisson
Coeficientul lui Poisson este o constantă inginerească importantă, care, în cazul materialelor izotrope, când materialul este solicitat în direcție axială, se evaluează cu
(4.25)
Coeficienţii lui Poisson (ij) în cazul materialelor compozite au valori diferite în raport cu direcțiile tensiunilor axiale aplicate ținând seama de axele principale ale lamelei și anume:
(4.26)unde
primul indice i, se referă la direcţia tensiunii aplicate, cel de-al doilea, j, corespunde direcţiei deformaţiei specifice
transversale asociate, (fig.4.18), pentru cazul de încărcare i0, ij, şi i,j=L,T.
În cazul unui compozit cu armare unidirecţională LTTL.
193
Figura 4.18 Reprezentarea lamelei deformate pentru determinarea lui
Pentru solicitarea la tensiuni axiale în plan a unui compozit unidirecţional se iau în considerare doi coeficienţi tip Poisson.
Folosind sistemul de axe prezentat în figura 4.18, primul
coefficient Poisson, ( ), stabilește relația dintre tensiunea
longitudinală ( ), și deformaţia specifică liniară transversală, ( ), fiind cunoscut sub numele de coeficientul Poisson principal:
(4.27)
unde
L este deformaţia specifică longitudinală, iar schema de încărcare
este: .
Figura 4.19 Modelul compozitului unidirecţional pentru calculul
coeficienţilor Poisson:
a - compozitul nedeformat; b - compozitul deformat
Cel de-al doilea doilea coeficient, denumit coeficientul
Poisson secundar, , stabileşte relaţia dintre tensiunea
transversală şi deformaţia specifică liniară longitudinală :
194
(4.28)
când .
In figura 4.19, este ilustrat modelul folosit la determinarea lui
. Deformaţia transversală totală a compozitului Dc, este egală cu suma deformaţiilor transversale ale constituenţilor, Df şi Dm.
(4.29)
Exprimând deformaţiile specifice transversale
în compozit, fibre şi matrice și ținând seama de conlucrarea perfectă la interfața dintre componente rezultă o relație bazată pe
regula amestecurilor pentru coeficientul lui Poisson major, ,
(4.30)
Variaţia lui în raport cu fracţiunea volumetrică de fibră este liniară, (fig.4.20).
195
Figura 4.20 Variaţia coeficientul Poisson în raport cu fracţiunea
volumetrică de fibră ( )
Următoarea relaţie din macromecanică prezintă legătura dintre constantele inginereşti:
(4.31)
Astfel, coeficientul Poisson secundar poate fi obţinut din
constantele inginereşti deja cunoscute EL, ET și .
(4.32)
(4.33)Studiu de caz (SC 4.1)
196
O bară compozită cu secține circulară este realizată din
răşină poliesterică armată unidirecţional cu fibre din sticlă tip S. Bara are o fracţiune volumetrică de fibră Vf = 75 %. Presupunând că materialul compozit este lipsit de goluri, să se determine:
a. Densitatea compozitului;b. Fracţiunea de masă a fibrei şi a matricei;c. Proprietăţile de rigiditate a materialului compozit (E1, E2,
G12, ν12, ν21);d. Cantitatea de fibre şi matrice necesară pentru fabricarea
barei compozite circulare, având diametrul D = 20mm şi lungimea L = 5m.
Proprietăţile fazelor constituente sunt:
, , , ,
, .
a. Densitatea compozitului
; unde
b. Fracţiunea de masă a fibrei şi a matricei
197
c. Constantele elastice ale materialului compozit (E1, E2, G12, ν12, ν21)
198
d Cantitatea de fibre şi matrice necesară pentru realizarea barei compozite circulare, având diametrul D = 20mm şi lungimea L = 5m.
199
4.3 REZISTENŢELE LAMELEI COMPOZITE CU ARMARE UNIDIRECȚIONALĂ
Calculul de rezistență al unei lamele unidirecționale necesită cunoașterea valorilor unor parametri de rezistență asociați modului de încărcare,(fig. 4.21), și sistemului de axe ale lamelei, (fig.4.22).
200
Figura 4.21 Variante de încărcare ale lamelei pentru determinarea
parametrilor de rezistenţă: a-întindere longitudinală, b-compresiune
Teoriile de rupere ale compozitelor pot fi exprimate în raport cu parametrii de bază ai rezistenţei raportaţi la axele lamelei unidirecţionale, (fig.4.22).
4.3.1 Rezistenţa la tracţiune în direcţie longitudinală
Când un compozit unidirecţional cu armătură continuă este solicitat la întindere în direcţia fibrelor, componenta cu deformaţia specifică limită cea mai mică cedează prima.
În ipoteza unor rezistenţe egale ale fibrelor se disting două cazuri ce depind de mărimile relative ale deformaţiilor specifice de rupere ale fibrelor şi ale matricei.
Dacă deformaţia specifică ultimă la tracţiune a fibrelor este
mai mică decât cea a matricei ( ), cedarea compozitului se produce la ruperea fibrelor, (fig.4.23).
În cazul compozitelor polimerice armate cu fibre deformația specifică de rupere a matricei este mai mare decât cea a fibrei; de exemplu, deformația specifică de rupere a fibrelor de sticlă este cuprinsă între 2,4% și 3,5%, iar a matricelor epoxidice termorigide între 9% și 10%, (Kaw, 2006).
Presupunând că toate fibrele cedează la aceeaşi valoare a deformaţiei specifice (fig.4.23), se poate scrie valoarea limită a
rezistenţei la tracțiune a compozitului în direcţie longitudinală:
202
(4.34)
unde
= rezistenţa la tracţiune a compozitului in direcţie longitudinală
= rezistenţa la tracţiune a fibrelor
= tensiunea în matrice corespunzătoare deformaţiei specifice
de rupere a fibrelor,
= fracţiunea volumetrică de fibră.În relația (4.34) s-a presupus că fibrele și matricea sunt
materiale izotrope, omogene și liniar elastice.
Exprimând ca produsul dintre modulul de elasticitate al matricei şi deformaţia specifică de rupere a fibrelor se obține relația:
(4.35)
unde
, reprezintă modulul de elasticitate al matricei, respectiv al fibrei în direcție longitudinală.
203
Figura 4.23 Curba tensiune-deformaţie specifică pentru fibre, matrice și compozit când fibra cedează prima (fu < mu)
În cazul în care fracțiunea volumetrică de fibră este foarte mică, matricea poate prelua singură întreaga încărcare aplicată în lungul lamelei compozite presupunând că toate fibrele au cedat. După acest moment fibrele nu mai preiau nici o încărcare în intervalul deformațiilor specifice fu și mu dar matricea se încarcă până la atingerea deformației specifice mu.
Compozitul cedează când tensiunea în matrice atinge
rezistenţa limită a acestui component :
(4.36)
Din relaţiile (4.35) și (4.36) se poate determina valoarea minimă a fracţiunii volumetrice a fibrelor, Vmin
204
(4.37)
sau
(4.38)
Figura 4.24 prezintă graficul de variaţie a rezistenţei compozitului la tracţiune în direcţie longitudinală în funcţie de fracţiunea volumetrică de fibră. Liniile pline reprezintă domeniile de valabilitate ale relațiilor (4.35) și (4.36), iar intersecţia acestora
defineşte . Se observă că relaţia (4.36) prezice rezistenţa
compozitului care la fracțiuni volumetrice este întotdeauna mai mică decât rezistenţa matricei neranforsate. Relaţia (4.36) calculează rezistenţa compozitului ce poate fi mai mare sau mai mică decât rezistenţa matricei în raport cu fracţiunea volumetrică a fibrelor.
(4.39)
În figura 4.24 fracţiunea volumetrică de fibră poate fi cel mult 0,785 în cazul reţelei pătrate de dispunere şi maxim 0,907 în cazul aranjării triunghiulare a fibrelor pe secţiunea transversală a compozitului.
Eficiența armării se manifestă de la o valoare critică a fracţiunii volumetrice de fibră stabilită astfel:
205
(4.40)
sau
(4.41)
In cazul compozitelor polimerice şi sunt foarte mici. De exemplu, în cazul matricelor epoxidice armate cu fibre de
sticlă se situează între 0,25% şi 1,3% (Agarwal ș.a , 2006).
Figura 4.24 Variaţia rezistenţei la tracţiune longitudinală în raport cu
206
fracţiunea volumetrică de fibră
Dacă deformaţia specifică limită la tracţiune a matricei este
mai mică decât cea a fibrei ( ), compozitul cedează când
deformaţia specifică longitudinală atinge , (fig.4.25). În acest caz, valoarea limită a rezistenţei la tracţiune a compozitului în direcţie longitudinală se determină cu:
(4.42)
În relaţia (4.42) tensiunea din fibră, , se poate exprima prin:
(4.43)
Figura 4.25 Curba tensiune-deformaţie specifică pentru fibre, matrice,
compozit când matricea cedează prima ( ),
Cedarea la tracțiune longitudinală a unei lamele unidirecționale se poate produce prin, (fig.4.26):
207
ruperea fragilă a fibrelor, ruperea fragilă a fibrelor însoțită de smulgerea acestora din
matrice, smulgerea fibrelor și desprinderea componentelor la
interfața fibră-matrice.Tipul cedării este determinat de rezistența conlucrării fibră-
matrice și de valoarea fracțiunii volumetrice de fibră, .De exemplu, în cazul compozitelor unidirecționale alcătuite
din fibre de sticlă și matrice epoxidică, se disting următoarele situații:
primul mod de cedare este caracteristic compozitelor cu
fracțiuni de fibră relativ mici ( ); al doilea tip de cedare se produce în cazul lamelelor cu
;
modul al treilea de cedare apare, de regulă, la .
a b cFigura 4.26 Moduri de cedare la tracțiune longitudinală a lamelei
unidirecționale: a - ruperea fragilă a fibrelor, b - ruperea fragilă a fibrelor și smulgerea acestora din matrice, c - smulgerea fibrelor și desprinderea
la interfața componentelor,(după Kaw, 2006)
4.3.2 Rezistenţa la compresiune în direcţie longitudinală
208
Compozitele armate cu fibre unidirecţionale supuse la compresiune în lungul fibrelor cedează după mecanisme diferite de cele care se produc la tracţiune longitudinală. În multe cazuri cedarea la compresiune este asociată cu microflambajul fibrelor sau încreţirea acestora, forma deformatelor fiind impusă de efectul sprijinirii pe care o asigură matricea.
La solicitarea de compresiune în lungul fibrelor, se identifică, de regulă, unul din următoarele moduri de cedare:
� microflambajul fibreloro cu extensia și comprimarea matricei, (fig.4.27a) o cu forfecarea matricei, (fig.4.27b);
� cedarea fibrelor prin forfecare fără flambaj, (fig.4.27c)� cedarea la tracţiune în direcţia transversală prin efectul
Poisson, (fig.4.27d).
Flambajul unei fibre poate fi asimilat pierderii stabilităţii unui stâlpişor zvelt (fibra) sprijinit lateral de un mediu elastic (matricea). In figura 4.27 sunt prezentate modurile de cedare ale compozitului unidirecțional.
Determinarea tensiunii critice de flambaj în modurile de cedare ilustrate în figura 4.27a și 4.27b este bazată pe metoda energetică (Timoshenko and Gere, 1961, Jones, 1999).
Rezistența la compresiune longitudinală când se produce microflambajul fibrelor prin extensia matricei este:
(4.44)
Când apare microflambajul fibrelor asociat forfecării matricei rezistența la compresiune longitudinală se determină cu:
209
(4.45)
S-a constatat că modul “extensional” se aplică la fracțíuni volumetrice reduse ale fibrei (Jones, 1999), iar modul “prin forfecare” acoperă un domeniu larg al fracțiunilor volumetrice de fibră (fig.4.28).
a b
c d
Figura 4.27 Moduri posibile de cedare ale compozitelor unidirecționale solicitate la compresiune longitudinală: a - microflambajul fibrelor însoțit de extensia și comprimarea matricei, b - microflambajul fibrelor asociat cu forfecarea matricei, c - forfecarea fibrelor fără flambaj, d - fisurarea
longitudinală a matricei datorită efectului Poisson
210
Figura 4.28 Rezistenţa la compresiune longitudinală a unui compozit unidirecțional a - flambaj prin extensie, b - flambaj prin forfecare
(Jones, 1999)
Cedarea la compresiune longitudinală datorită forfecării fără
flambaj a fibrelor, (fig.4.27c) se produce la valori mari ale lui în
compozite cu fibrele bine aliniate. În acest caz, se poate aplica următoarea relație de calcul pentru rezistența la compresiune în direcție longitudinală, (Daniel și Ishai, 2006):
(4.46)
unde
este rezistenţa de forfecare a fibrelor.
Întrucât tensiunea tangențială maximă într-o lamelă
produsă de tensiunea longitudinală este egală cu la = 45o față de axa longitudinală, rezultă (Gibson, 2012):
211
(4.47)
în care
este rezistența la forfecare a matricei.
Cedarea la compresiune longitudinală datorită deformațiilor specifice liniare transversale care rezultă din efectul Poisson,
(fig.4.27d), se produce la atingerea valorii limită, , a acestei caracteristici.
Valoarea a compozitului poate fi calculată pe baza
deformației specifice ultime a matricei, , (Agarwal ș.a.,2006):
(4.48)
de unde se poate stabili o relație detaliată pentru calculul
rezistenței la compresiune longitudinală a compozitului:
(4.49)
4.3.3 Rezistenţa la tracţiune în direcţie transversală
Solicitarea la întindere în direcţie normală pe fibre este cea mai defavorabilă situaţie de încărcare a unui compozit unidirecţional. Cei mai importanți factori care influenţează rezistenţa la tracţiune în direcţie transversală sunt: rezistenţa
212
matricei, proprietăţile interfeţei fibră-matrice şi defectele din matrice cum ar fi microfisurile şi golurile.
O relaţie empirică pentru calculul rezistenţei la tracţiune normală pe fibre a compozitelor armate unidirecţional a fost propusă de Nielsen (Nielsen, 1974):
(4.50)
în care
este modulul de elasticitate transversal,
este modulul de elasticitate al matricei.Relaţia de mai sus presupune o aderenţă perfectă între
faze, cedarea producându-se prin ruperea matricei la sau lângă interfaţă. Coeficientul de reducere a rezistenței la tracțiune în direcție transversală, datorită golurilor, (Cg), folosit pentru a lua în considerare aceste defecte poate fi determinat cu:
(4.51)
unde Vg este fracţiunea volumetrică de goluri.
O formulă empirică pentru calculul lui ce poate fi luată în considerare în cazul prezenţei golurilor, (Barbero, 2011), este următoarea:
213
(4.52)
Efectul golurilor este extrem de dăunător pentru rezistenţa transversală şi aceast fapt se reflectă în formula (4.52). Pentru determinarea rezistenței la tracțiune normală pe fibre se poate utiliza un model din micromecanică, (fig.4.29), bazat pe următoarele ipoteze, (Kaw, 2006):
conlucrarea dintre fibre și matrice este perfectă fibrele sunt distribuite uniform fibrele și matricea sunt materiale care respectă legea lui
Hooke compozitul nu are tensiuni inițiale.
Modelul aplicat este de tip serie folosit și la determinarea modulului de elasticitate transversal. Ținând seama de egalitatea tensiunilor transversale pe compozit, fibră și matrice se poate
determina expresia pentru deformația specifică transversală, ; presupunând că cedarea la tracțiune transversală a lamelei se produce datorită depășirii deformației specifice ultime a matricei se
poate scrie expresia lui :
(4.53)
în care d este diametrul fibreis este distanța dintre fibre, determinată pe baza fracțiunii
volumetrice a fibrei,
214
iar rezistența la tracțiune în direcție transversală este:
(4.54)
Figura 4.29 Model pentru evaluarea rezistenței la tracțiune în direcție
transversală a compozitului unidirecțional
4.3.4 Rezistenţa la compresiune în direcţie transversală
Compozitul unidirecţional solicitat la compresiune în direcţie transversală (fig.4.30) cedează prin ruperea la forfecare a matricei, forfecarea matricei asociată cu desprinderea constituenţilor și strivirea fibrelor.
Rezistenţa la compresiune transversală este mai scăzută decât rezistenţa la compresiune longitudinală. Relația de tipul celei stabilite pentru calculul rezistenței la tracțiune în direcție transversală se poate folosi și pentru rezistența la compresiune normală pe fibre.
215
Figura 4.30 lamelă compozită armată unidirecțional solicitată la
compresiune transversală
Valoarea acestei rezistențe este în realitate mai mică datorită conlucrării imperfecte la interfața fibră/matrice și despicării longitudinale a fibrelor.
Folosind ecuația (4.54) și introducând parametrii specifici solicitării la compresiune transversală, se poate scrie, (Kaw, 2006; Gibson, 2012):
(4.55)
în care este deformația specifică liniară ultimă la compresiune în direcție transversală și care se poate evalua cu:
(4.56)
unde
este deformația specifică ultimă la compresiune a matricei. În figura 5.10 este ilustrat un mod de rupere materializat
prin desprinderea constituenţilor și forfecarea matricei.
216
Figura 4.31 Cedarea unui compozit unidirecțional la compresiune
transversală
4.3.5 Rezistenţa la forfecare
Sub acţiunea forfecării în plan, (fig.4.32), se poate dezvolta o concentrare ridicată de tensiuni de forfecare la interfaţa fibră/matrice. Ruperea poate apărea prin cedarea matricei, desprinderea constituenţilor sau o combinaţie dintre acestea două.
Rezistența la această solicitare este dominată de matrice deoarece propagarea fisurilor se poate produce exclusiv prin matrice fără perturbarea sau fracturarea fibrelor.
La valori mici ale lui Vf concentrarea tensiunilor tangențiale / deformațiilor specifice unghiulare este insensibilă la fracțiunea volumetrică de fibră, dar efectul devine semnificativ pentru V f > 0,60.
217
a b
Figura 4.32 Model pentru evaluarea deformațiilor specifice unghiulare
din forfecare în planul lamelei compozite cu armare unidirecțională
a - solicitarea lamelei la forfecare pură, b - modelul pentru
calculul deformației specifice unghiulare
Presupunând că asupra elementului hașurat din figura 4.32 se aplică doar tensiunea tangențială LT, se poate stabili o relație de calcul (4.57) pentru deformația specifică unghiulară din
compozit, :
(4.57)
în care Gm, Gf reprezintă modulul de elasticitate la forfecare al matricei,
respectiv al fibrei
reprezintă deformația specifică unghiulară limită / ultimă a matricei.
218
Dacă se presupune că cedarea la forfecare a compozitului se produce prin forfecarea matricei, (fig.4.33), se poate scrie:
(4.58)
în care
și reprezintă deformațiile specifice unghiulare ultime ale compozitului, respectiv matricei datorită forfecării.
De aici, se poate stabili valoarea rezistenței la forfecare în planul lamelei:
(4.59)
sau
(4.60)
219
Figura 4.33 Cedarea la forfecare în plan a lamelei compozite cu armare
unidirecţională
Studiu de caz (SC4.2)
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de sticlă E și matrice epoxidică. Fracțiunea volumetrică
de fibră este =0,60, iar proprietățile materialelor componente
sunt: =72,4 GPa, =1250 MPa, = 35 MPa, f = 0,22, =
3,5 GPa, = 72 MPa, = 102 MPa, = 34 MPa, m = 0,38
1 Să se stabilească ce component al compozitului cedează primul prin atingerea deformației specifice ultime la tracțiune și să se determine rezistența la întindere în direcție longitudinală.
întrucât cedarea la tracțiune longitudinală se face prin ruperea inițială a fibrelor, iar formula de calcul a rezistenței este:
2 Cunoscând modelele de cedare ale lamelei compozite la solicitarea de compresiune longitudinală, să se calculeze:
a. rezistența la compresiune longitudinală la microflambajul fibrelor și extensia matricei
220
Relația de calcul conduce la valori foarte mari ale rezistenței la compresiune longitudinală, dar nu este recomandabilă decât la fracțiuni volumetrice de fibră Vf < 0,2
b. rezistența la compresiune longitudinală la microflambajul fibrelor și forfecarea matricei
c. rezistența la compresiune longitudinală la cedare prin forfecarea fibrelor fără flambaj
d. rezistența la compresiune longitudinală la cedarea matricei prin efect Poisson (cu relația empirică pentru
este deformațía specifică limită ultimă la tracțiune calculată anterior și egală cu 0,0205
e. rezistența la compresiune longitudinală la cedarea matricei prin efect Poisson (cu relația din mecanica materialelor pentru deformația specifică liniară transversală
ultimă, )
unde
f. să se analizeze valorile obținute și să se stabilească valoarea minimă a rezistenței la compresiune longitudinală a lamelei.
Comparând valorile obținute pentru se constată că valoarea minimă rezultă în cazul cedării fibrelor la forfecare fără
flambaj, adică
3 Să se determine rezistența la tracțiune transversală știind că
fibrele sunt circulare și sunt distribuite într-o rețea pătrată, folosind
222
relația empirică, respectiv, modelul din micromecanică pentru determinarea deformației specifice limită în direcție transvesală,
unde
4 Să se determine rezistența la compresiune transversală știind că fibrele sunt circulare și sunt distribuite într-o rețea pătrată, folosind modelul din micromecanică
unde
5 Să se stabilească valorile modulului de elasticitate la forfecare al lamelei compozite în planul (LT) și rezistența la forfecare în planul stratului elementar.
223
unde
4.4. CONCLUZII
Determinarea pe cale experimentală a constantelor elastice pentru compozitele armate cu fibre este costisitoare şi necesită un volum mare de timp.
Modulul de elasticitate este o caracteristică necesară pentru verificarea elementelor și structurilor la stările limită ale exploatării normale (de serviciu).
Folosirea relațiilor din micromecanică permite evaluarea modulului de elasticitate longitudinal al compozitului pe baza caracteristicilor similare ale constituenților.
Regula amestecurilor este o relație analitică simplă și convenabilă pentru determinarea modulului de elasticitate
224
longitudinal, iar rezultatele experimentale confirmă validitatea acestei căi.
În literatura de specialitate există modele analitice mai rafinate, dar rezultatele acestora sunt foarte apropiate de cele obținute prin regula amestecurilor.
În cazul modulului de elasticitate transversal, se observă că fibrele nu contribuie mult la valoarea acestuia decât dacă fracţiunea volumetrică de fibră este foarte ridicată (pentru a dubla valoarea modulului de elasticitate transversal fracțiunea volumerică de fibră trebuie să depășească 50%).
În mod teoretic, modulul de elasticitate transversal poate fi mărit de până la de şapte ori modulul matricei în cazul unei fracțiuni volumetrice de fibră de 90%, valoare excesiv de mare, irealizabilă din motive tehnologice.
Verificarea pe cale experimentală a rezultatelor obținute prin regula inversă a amestecurilor nu confirmă valorile teoretice obținute pentru modulul de elasticitate transversal și a modulului de elasticitate la forfecare.
Folosirea ecuațiilor Halpin –Tsai asigură determinarea unor valori apropiate celor experimentale atât în cazul modulului de elasticitate transversal cât și a modulului de elasticitate la forfecare al compozitului cu armare unidirecțională.
Coeficientul lui Poisson principal se poate stabili printr-o relaţie bazată pe regula amestecurilor, fiind cuprins între valorile corespunzătoare ale matricei și fibrei.
Coeficientul lui Poisson secundar este mult mai mic decât coeficientul lui Poisson principal, fiind obținut prin multiplicarea acestuia cu raportul ET/EL..
225
În general, compozitele armate cu fibre unidirecționale cedează la tracțiune prin atingerea deformației specifice limită (ultimă) a fibrelor care sunt mai rigide decât matricea.
Determinarea rezistenței la tracțiune longitudinală se poate face pe baza regulii amestecurilor aplicată la expresia tensiunii longitudinale din compozit.
Fibrele asigură cea mai mare parte a rezistenșei la tracțiune longitudinală, contribuția matricei polimerice fiind aproape neglijabilă.
Cedarea la compresiune în direcție longitudinală a lamelei cu armare unidirecțională se produce după mecanisme diferite de cele care se manifestă la tracțiunea longitudinală.
Cedarea la compresiune longitudinală se poate face prin microflambajul fibrelor, cedarea fibrelor la forfecare fără flambaj sau fisurarea longitudinală a matricei prin efectul Poisson.
Fiecărui mod de cedare îi corespunde o valoare a rezistenței la compresiune longitudinală, proiectantul selectând , de regulă, valoarea minimă.
Solicitarea la tracțiune normală pe fibre este cea mai defavorabilă situație de încărcare a unui compozit unidirecțional.
Rezistența la tracțiune normală pe fibre este mult mai mică decât rezistența la tracțiune longitudinală, fiind chiar sub valoarea rezistenței la tracțiune a matricei datorită constrângerilor pe care le introduce fibra asupra matricei.
Rezistența la compresiune transversală este mai scăzută decât rezistența la compresiune longitudinală, dar mai mare decât rezistența la tracțiune transversală.
226
Rezistența la forfecare a lamelei compozite este dominată de matrice și are valori inferioare rezistențelor la solicitări axiale longitudinale.
4.5 ÎNTREBĂRI ȘI APLICAȚII PENTRU VERIFICAREA CUNOȘTINȚELOR
1. Definiți micromecanica materialelor composite. De ce este necesară abordarea micromecanică în evaluarea proprietăților elastice ale compozitelor ?
2. Cum se deosebește micromecanica de macromecanica lamelei composite ?
3. Definiți fracțiunile volumetrice și fracțiunile masice ale componenetelor ce alcătuiesc un compozit armat cu fibre ?
4. Stabiliți valorile maxime ale fracțiunilor volumetrice pentru modelele compacte de distribuție ale fibrelor într-o bară cu secțiune pătrată realizată dintr-un compozit cu armare unidirecțională. Considerați fibrele cu secțiune pătrată și cu secțiune circulară.
5. Determinați densitatea compozitului folosind fracțiunile volumetrice și fracțiunile masice ale componentelor.
6. Stabiliți legăturile dintre fracțiunile masice și fracțiunile volumetrice ale compozitelor armate cu fibre.
7. Cum se stabilesc axele principale ale materialului într-o lamelă armată unidirecțional ?
8. Ce ipoteze se iau în considerare la evaluarea constantelor elastice ale lamelei compozite unidirecționale ?
9. Ce model se utilizează la stabilirea modulului de elasticitate longitudinal ?
227
10.Care dintre constantele elastice se determină pe baza regulii amestecurilor ?
11.Care dintre constantele elastice se determină folosind regula inversă a amestecurilor ?
12.Ce caracteristici elastice determinate prin modelele micromecanicii sunt îndepărtate de valorile stabilite experimental ?
13.Ce modele simiempirice se folosesc pentru determinarea unor valori mai exacte ale constantelor elastice stabilite prin regula inversă a amestecurilor ?
14.Care este corespondența dintre deformațiile specifice ultime ale componentelor și cedarea compozitului unidirecțional la tracțiune longitudinală ?
15.Cum se determină rezistența la tracțiune longitudinală a unei lamele cu armare unidirecțională când fibrele cedează la tracțiune inaintea matricei ?
16.Ce reprezintă și cum se evaluează valoarea minimă a fracţiunii volumetrice de fibră ?
17.Ce reprezintă și cum se evaluează valoarea critică a fracţiunii volumetrice de fibră ?
18.Enunțați ipotezele care stă la baza determinării rezistenței la întindere a compozitului unidirecțional.
19.Care sunt modurile tipice de cedare ale compozitelor unidirecționale la solicitarea de tracțiune și cum influențează fracțiunea volumetrică de fibră aceste moduri ?
20.Care sunt modurile de cedare în cazul solicitării de compresiune în lungul fibrelor ?
21.Cum se determină rezistențele la compresiune longitudinală ale unei lamele cu armare unidirecțională atunci când se produce microflambajul fibrelor ?
228
22.Care este legătura dintre tipul de microflambaj al fibrelor și valoarea fracțiunii volumetrice de fibră ?
23.Când se produce cedarea la compresiune longitudinală a unei lamele unidirecționale prin forfecarea fibrelor fără flambaj și care este unghiul de lunecare cel mai periculos ?
24.Cum se manifestă efectul Poisson la cedarea compozitelor unidirecționale solicitate la compresiune longitudinală ?
25.Stabiliți influența distanței dintre fibre asupra deformației specifice limită în direcție transversală în cazul unui compozit unidirecțional la care fibrele sunt dispuse în rețea pătrată.
26.Prin ce diferă modul de cedare a compozitelor unidirecționale la compresiune longitudinală față de compresiunea transversală ?
27.Care dintre componentele lamelei compozite cu armare unidirecțională are influența preponderentă asupra cedării la forfecare în plan ?
Problema 4.1O lamelă compozită este alcătuită din fibre de sticlă E și
matrice poliesterică. Cunoscându-se fracțiunea volumetrică a fibrei
Vf, densitățile componentelor , , şi masa compozitului,mc, să se determine:
a) densitatea compozitului din lamelăb) fracțiunile masice ale fibrei de sticlă și ale matriceic) volumul lamelei compozite d) volumul fibrei și masa acesteiae) volumul matricei poliesterice și masa acesteia
Se cunosc:
Vf = 60%, 2500 kg/m3, 1300 kg/m3, mc = 3kg
229
Problema 4.2O plăcuță compozită alcătuită din matrice epoxidică și fibre
din carbon are dimensiunile 3 cm x 3 cm x 0,2 cm și masa mc. După dizolvarea rășinii în soluție acidă fibrele de carbon cântăresc mf.
Să se determine fracțiunile volumetrice de fibră, matrice și goluri din plăcuță. Se cunosc:
Se consideră un compozit cu armare unidirecțională la care fibrele din sticlă sunt învelite uniform cu un strat de finish (size) cu grosimea t înainte de realizarea aderenței cu matricea. Fibrele neînvelite au diametrul df = 0,013 mm, iar fibrele învelite sunt dispuse în cel mai compact mod posibil într-o distribuție pătrată.
Să se determine grosimea stratului de acoperire atunci când Vf1 = 0,6 respectiv Vf2 = 0,4
Problema 4.4
Un compozit cu armare unidirecțională este realizat din matrice epoxidică și fibre din sticlă S. Ştiind că fracțiunea volumetrică a fibrei este Vf, să se determine:
a) modulul de elasticitate longitudinal al compozitului b) contribuția relativă a fibrelor, respectiv a matricei la
valoarea totală a modulului de elasticitate longitudinal.Se cunosc:
Em= 3,5 GPa, Ef = 85 Gpa, Vf=55%.
230
Problema 4.5
Se consideră două lamele compozite cu matrice poliesterică armate unidirecțional având fracțiunile volumetrice de fibră Vf1 și Vf2. Ştiind că lamelele sunt armate succesiv cu fibre din sticlă E având modulul de elasticitate E f1 și cu fibre de carbon având modul de elasticitate, Ef2, să se stabilească rapoartele dintre modulul de elasticitate longitudinal al compozitului şi modulul de elasticitate al matricei pentru toate situațiile posibile.Se cunosc:
Pentru problema de la cazul precedent să se stabilească fracțiunea încărcării longitudinale preluate de fibre în situațiile de alcătuire menționate.
Problema 4.7
Să se determine modulul de elasticitate transversal pentru o lamelă compozită alcătuită din fibre de sticlă E și matrice poliesterică. Evaluarea se va face folosind regula inversă a amestecurilor. Să se compare rezultatele obținute pe această cale cu valorile calculate pe baza ecuațiilor Halpin –Tsai. Să se comenteze rezultatul obținut.Se cunosc:
Ef= 72 GPa, Em= 3GPa, Vf1= 65% , Vf2= 35%
Problema 4.8
231
O lamelă compozită este armată unidirecțional cu fibre din carbon având moduli de elasticitate Efl, Eft, matricea fiind realizată din rășină epoxidică cu modulul de elasticitate Em.
a) să se determine valorile modulului de elasticitate longitudinal și transversal pentru fracțiunea volumetrică de fibră Vf
b) cunoscând aceste materiale pentru fibre și matrice, să se stabilească valorile maxime posibile pentru EL și ET.
Se cunosc:Efl = 230 GPa, Eft = 15 GPa, Em = 3,5 GPa, Vf= 60%
Problema 4.9
Să se compare valorile modulilor de elasticitate longitudinali și transversali pentru două compozite cu armare unidirecțională care au aceeași matrice şi fracţiunea volumetrică a fibrei Vf=0,5.dar fibre diferite.
Se consideră fibrele și matricea izotrope, iar rapoartele modulilor de elasticitate ale componentelor sunt E f/Em =20 și Ef/Em=40.
Problema 4.10
Se consideră o lamelă compozită armată unidirecțional cu fibre de carbon de înaltă rezistență și matricea epoxidică. Cunoscându-se caracteristicile componentelor şi fracţiunile volumetrice de fibră, se cere:
a) să se determine modulul de elasticitate transversal ET,folosind regula inversă a amestecurilor şi ecuațiile Halpin-Tsai
b) să se comenteze diferenţa dintre valorile obţinute pe cele două căi pe măsura creşterii fracţiunii volumetrice de fibră.
232
c) cum se modifică valoarea lui ET dacă fibra de carbon se consideră izotropă, Efl=Eft.
Să se determine modulul de elasticitate la forfecare GLT a unul compozit armat unidirecțional alcătuit din sticlă E și matrice epoxidică. Evaluarea se va face prin regula inversă a amestecurilor și cu ajutorul ecuațiilor Halpin-Tsai cu =1, în cazul a două fracțiunile volumetrice de fibră Vf1, Vf2.Se cunosc:
Ef= 72 GPa, f =0,22, Em=3,5 GPa, m =0,38, Vf1= 0,25 Vf2=0,50, =1,
Problema 4.12
Se consideră o lamelă compozită alcătuită din fibre de sticlă S și matrice vinil esterică. Cunoscându-se fracțiunea volumetrică de fibră și caracteristicile componentelor să se determine
coeficienții lui Poisson .Se cunosc:
, GPa, , GPa,
Problema 4.13
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită dintr-o matrice vinil esterică armată cu sticlă S. Cunoscându-se
233
caracteristicile componentelor, fracțiunea masică a fibrei și presupunând că lamela nu conține pori să se determine:
1. densitatea compozitului2. fracțiunile volumetrice ale matricei și fibrei3. modulul de elasticitate longitudinal, transversal și de
forfecare al compozitului4. coeficienții lui Poisson principal, LT și secundar, TL
Se cunoscEf = 85 GPa, Em = 3 GPa, f = 0,22, m = 0, 0.38, Mf= 75%, f = 2500 kg/m3, m = 1250 kg/m3,
Problema 4.14
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită dintr-o matrice epoxidică și armătură hibridă alcătuită din fibre de
carbon ( ), respectiv fibre din sticlă E ( ).
Densitățile componentelor sunt = 1950 kg/m3, = 2500
kg/m3 și = 1250 kg/m3. 1. Să se determine densitatea compozitului și fracțiunile
masice ale componentelor neglinjând incluziunile și defectele
Problema 4.15
O lamelă unidirecțională realizată din matrice epoxidică armată fibre din sticlă E este inlocuită cu o lamelă din aceeași matrice și fibre din carbon, ambele lamele având acelașii modul de elasticitate longitudinal. Se cunosc: Ef1= 72,4 GPa, Ef2= 240 GPa, Em=3,5 GPa
Știind că prima lamelă are fracțiunea volumetrică de fibră
234
să se determine fracțiunea volumetrică de fibră a lamelei armate cu fibre de carbon
Problema 4.16
Un compozit cu armare unidirecțională este realizat din matrice epoxidică având modulul de elasticitate Em și fibre din sticlă S cu modulul de elasticitate Ef. Se neglijează incluziunile de aer și tensiunile reziduale. Cunoscându-se fracțiunea volumetrică a fibrei Vf și caracteristicile componentelor să se determine:
a. modulul de elasticitate longitudinal al compozitului. b. rezistența la tracțiune longitudinală
Se cunosc: Em = 3,5 GPa, Ef = 85 GPa, Vf = 55%, = 4580 MPa
Problema 4.17
O lamelă compozită cu matricea realizată din rășină epoxidică cu modulul de elasticitate Em este armată unidirecțional cu fibre din carbon având modulii de elasticitate Efl, Eft. Cunoscându-se valorile caracteristicilor mecanice ale componentelor și fracțiunea volumetrică de fibră Vf, se cer:
a. valorile modulului de elasticitate longitudinal și transversal pentru fracțiunea volumetrică de fibră.
b. rezistența la tracțiune longitudinalăSe cunosc:
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită dintr-o matrice vinil esterică și armată cu sticlă S. Cunoscându-se
235
caracteristicile componentelor, fracțiunea masică a fibrei M f și presupunând că lamela nu conține pori să se determine:
a. densitatea compozituluib. fracțiunile volumetrice ale matricei și fibreic. modulul de elasticitate longitudinal, transversal și de
forfecare al compozitului
d. coeficienții lui Poisson principal, și secundar, e. rezistența la tracțiune longitudinală a compozitului cu
armare unidirecțională
Se cunosc:
= 2500 kg/m3, = 1250 kg/m3, = 0,22, = 0,38,
= 85 GPa, = 3 Gpa = 4500 Mpa,
Problema 4.19
Fie un compozit armat unidirecțional alcătuit din sticlă E și matrice epoxidică. Cunoscându-se caracteristicile componentelor, rezistența la tracțiune longitudinală pentru două fracțiuni volumetrice de fibră, se cere:
a. să se determine modulul de elasticitate la forfecare GLT a unul compozit armat unidirecțional. Evaluarea se va face prin regula inversă a amestecurilor și cu ajutorul ecuațiilor Halpin-Tsai cu =1, pentru cele două fracțiunile volumetrice
de fibră indicate și .b. să se calculeze rezistența la tracțiune longitudinală pentru
cele două cazuri de armarec. să se determine Vmin și Vcrt pentru compozit.
Se cunosc
236
Ef = 72 GPa, f = 0,22, Em = 3,5 GPa, m = 0,38, = 0,25
și = 0,50, fft = 4500 MPa, = 100 MPa.
Problema 4.20
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este realizată din matrice epoxidică și fibre din sticlă S. Știind fracțiunea volumetrică de fibră și caracteristicile componentelor, să se determine:
a. rezistența la tracțiune longitudinală b. fracțiunea volumetrică minimă de fibră și valoarea critică a
fracțiunii volumetrice de fibră c. să se reprezinte grafic variația rezistenței fLt în raport cu
fracțiunea volumetrică de fibră indicându-se pozițiile Vmin și Vcrt pe axa orizontală.
Se cunosc:
Em = 3,5 GPa, m = 0,38, = 0,22, = 85 GPa, = 4500
MPa, =0,60, = 100 MPa.
Problema 4.21
O platbandă compozită cu dimensiuni (L, l, t), este realizată prin pultrudere din rășină epoxidică ranforsată cu fibre de carbon cu modul de elasticitate ridicat. Cunoscându-se dimensiunile platbandei și caracteristicile componentelor, se cer:
a. să se determine fracțiunea volumetrică de fibră care asigură simultan o valoare a modulului de elasticitate longitudinal EL 200GPa și o rezistență la tracțiune longitudinală fft 1000 MPa,
b. să se calculeze densitatea compozitului, fracțiunile masice ale componentelor și cantitățile de material (fibră și rășină)
237
necesare pentru fabricarea platbandei considerând că nu sunt pierderi la fabricație.
Se cunosc:
Ef = 380GPa, Em = 3,5 GPa, 1950 kg/m3 , = 1200
kg/m3, 2100 Mpa, L= 10 m, l = 10 cm, t= 1,4 mm.
Problema 4.22
O bară compozită cu armare unidirecțională și cu secțiune pătrată (500cmx5cmx5cm) este alcătuită dintr-o matrice epoxidică armată cu fibre din sticlă E. Cunoscându-se dimensiunile barei, caracteristicile componentelor, fracțiunea masică a fibrei și presupunând că elementul nu conține defecte sub formă de pori, să se determine:
a. densitatea compozituluib. fracțiunile volumetrice ale matricei și fibreic. modulul de elasticitate longitudinal, transversal și de
forfecare al compozitului d. coeficienții lui Poisson principal, LT și secundar, TL
e. rezistența la tracțiune longitudinală a barei
Se cunosc:
Ef = 72 GPa, Em = 3 GPa, f = 2500 kg/m3, m = 1250 kg/m3 f = 0,22, m = 0,38, fft = 3450 MPa, Mf = 60%,
Problema 4.23
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de sticlă E și matrice epoxidică. Fracțiunea volumetrică
de fibră este =0,60, iar proprietățile materialelor componente
sunt: =72,4 GPa, =1550 MPa, =3,5 GPa, =100 MPa,
238
f = 0,22, m = 0,38. Se cere:
a. să se determine , , , , și să se reprezinte
grafic variația acestora în intervalul = 0-1,0.b. să se stabilească ce component are deformația specifică
limită mai mică inițiind cedarea compozitului la tracțiune longitudinală.
c. să se determine valoarea rezistenței la tracțiune longitudinală și să se stabilească ponderea matricei în valoarea acesteia.
d. să se calculeze fracțiunea volumetrică minimă de fibră și valoarea critică a fracțiunii volumetrice de fibră.
e. să se reprezinte grafic variația rezistenței la tracțiune
longitudinală indicându-se valorile și pe axa absciselor precum și intervalele de valabilitate ale relațiilor pentru calculul rezistenței la tracțiune longitudinală.
Problema 4.24
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de sticlă E și matrice epoxidică. Fracțiunea volumetrică
de fibră este =0,60, iar proprietățile materialelor componente
sunt: =72,4 GPa, = 35 MPa, f = 0,22, = 3,5 GPa, = 72
MPa, = 34 MPa, m = 0,38. Cunoscând modelele de cedare a lamelei compozite la
solicitarea de compresiune longitudinală, să se calculeze:
g. rezistența la compresiune longitudinală la microflambajul fibrelor și extensia matricei
239
h. rezistența la compresiune longitudinală la microflambajul fibrelor și forfecarea matricei
i. rezistența la compresiune longitudinală la cedarea fibrelor prin forfecare fără flambaj
j. rezistența la compresiune longitudinală la cedarea matricei prin efect Poisson (cu relația empirică pentru
k. rezistența la compresiune longitudinală la cedarea matricei prin efect Poisson (cu relația din mecanica materialelor pentru deformația specifică liniară transversală
ultimă, )
l. să se analizeze valorile obținute și să se stabilească valoarea minimă a rezistenței lamelei unidirecționale la compresiune longitudinală.
Problema 4.25
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de sticlă E și matrice epoxidică. Fracțiunea volumetrică
de fibră este =0,60, iar fibrele au secțiune transversală circulară fiind distribuite într-o rețea pătrată. Proprietățile materialelor
componente sunt: =72,4 GPa, = 3,5 GPa, = 72 MPa.
a. Să se determine rezistența la tracțiune normală pe fibre, folosind modelul din micromecanică pentru stabilirea
deformației specifice limită ultime,
240
b. Să se calculeze rezistența la tracțiune normală pe fibre, folosind relația empirică pentru determinarea deformației
specifice limită ultimă în direcție transversală,
Problema 4.26
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de sticlă E și matrice epoxidică. Fracțiunea volumetrică
de fibră este =0,60, iar fibrele au secțiune transversală circulară fiind distribuite într-o rețea pătrată. Proprietățile materialelor
componente sunt: =72,4 GPa, = 3,5 GPa, = 102 MPa. Să se calculeze rezistența la compresiune în direcție normală pe fibre.
Problema 4.27
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de sticlă E și matrice epoxidică. Fracțiunea volumetrică
de fibră este =0,60, iar fibrele au secțiune transversală circulară fiind distribuite într-o rețea pătrată.
Proprietățile materialelor componente sunt: =72,4 GPa,
= 3,5 GPa, = 34 MPa, f = 0,22, m = 0,38.Să se stabilească
a. valorile modulilor de elasticitate la forfecare ale
componentelor b. deformația specifică unghiulară limită ultimă a matricei,
c. modulul de elasticitate la forfecare în planul (L,T) al lamelei compozite
d. rezistența la forfecare a lamelei în planul (L,T)
241
Problema 4.28
O lamelă compozită cu armare unidirecțională este alcătuită din fibre de carbon de înaltă rezistență și matrice epoxidică.
Fracțiunea volumetrică de fibră este =0,65, iar proprietățile
materialelor componente sunt: = 240 GPa, = 3500 MPa,
= 4,10 GPa, = 105 MPa. Se cere:a. să se stabilească care dintre componenete cedează primul b. să se calculeze rezistența la tracțiune longitudinalăc. să se determine modulul de elasticitate longitudinal și
contribuția matricii la valoarea acestei caracteristici
Problema 4.29
O bară solicitată la tracțiune trebuie dimensionată astfel încât să preia o forță axială N = 10 kN. Proiectantul are la dispoziție două opțiuni, si anume:
1. oțel cu rezistența de calcul = 235 MPa, modulul de
elasticitate = 210 GPa și densitatea = 7850 kg/m3
2. compozit cu armare unidirecțională realizat din fibre de carbon și matrice epoxidică pentru care se cunosc;
=0,60, = 240 GPa, = 3500 MPa, = 1750 kg/m3 ,
= 4,10 GPa, = 1250 kg/m3 Costul pe unitate de masă al compozitului este de cinci ori
mai mare decât al oțelului.a. Care trebuie să fie opțiunea proiectantului în cazul în care
se urmărește criteriul masei minime sau criteriul costului minim, proiectarea barei fiind efectuată din condiția de rezistență
![4. ARBORI ŞI OSII [1, 2, 4, 6, 10]](https://static.documente.net/doc/80x56/588da3541a28ab08218ba019/4-arbori-si-osii-1-2-4-6-10.jpg)
