1. Mulimea numerelor reale

1. Mulimi denumere

l Exemple de numere naturale: 2, 27, 285, 3 563.Mulimea numerelor naturale este: N () = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.l Mulimea numerelor naturale nenule este: N* (*) = {1, 2, 3, 4, ...}.l Mulimea numerelor ntregi este: Z () = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

l Dac a Z i b Z*, atunci este o fracie cu numrtorul a i numitorul b.l Fraciile i snt fracii echivalente i se scrie dac ad = bc.l Mulimea fraciilor echivalente cu este:

l Mulimea tuturor fraciilor echivalente cu o fracie dat definete un numr raional.l Un numr raional este un numr ce poate fi scris sub form de fracie.l Mulimea numerelor raionale (Q) este mulimea nu-merelor ce pot fi scrise sub form de fracie.Q = {x | x este un numr ce poate fi scris sub form de fracie}.

l 2,345678... este un numr zecimal neperiodic, avnd zecimalele, toate numerele naturale mai mari dect 2 scrise n ordine cresctoare.l Se poate arta c numrul 8,1811183118211318... este periodic.ntr-adevr, irul 8, 18, 1118, 3118, 211318, 31121318, 41122318, 31221418, 31221418, ... continu cu 31221418. Numrul dat este:8,18111831182113183112131841122318(31221418).

Numerele zecimale finite se convertesc n fracii, deci snt numere raionale.Numerele zecimale periodice (cu perioad simpl sau mixt) se convertesc n fracii, deci snt numere rai-onale.Numerele zecimale neperiodice cu un numr infinit de zecimale nu se convertesc n fracii, deci nu snt numere raionale.

ProblemS se afle lungimea diagonalelor unui drept-unghi cu laturile de 1 i 2.

7

Rezolvare. Fie a lungimea diagonalelor dreptun-ghiului. Conform teoremei lui Pitagora: a2 = 12 + 22 = 5. Presupunem c a este numr raional.Atunci:

m2 = 5n2, (2). (2) m = 5k, (3).

8

(2) i (3) 5k2 = n2 n = 5l, l N,(4). (3) i (4) (m, n) = 5, (5).(1) i (5) snt contradictorii. Rezult c numrul a nu este raional.

este numrul iraional al crui ptrat este 5.

9

Numerele iraionale se aproximeaz prin numere raionale.

22 < 5 < 32 Numerele 2 i 3 snt aproximri zecimale prin lips i respectiv prin adaos cu o eroare mai mic

dect 1 (o untate) ale numruluiAproximri zecimale

10

2,22 < 5 < 2,32 Numerele 2,2 i 2,3 snt aproximri zecimale prin lips i respectiv prin adaos cu o eroare mai

mic dect 101 (o zecime) ale numrului

11

2,232 < 5 < 2,242 Numerele 2,23 i 2,24 snt aproximri zecimale prin lips i respectiv prin adaos cu o eroare mai

mic dect 102 (o sutime) ale numrului

12

Pentru orice numr iraional exist un ir infint de aproximri zecimale prin lips i un ir infinit de aproximri zecimale prin adaos cu erori mai mici dect 1, 101, 102, ...

13

Mulimea numerelor iraionale (I) este mulimea numerelor ce nu pot fi scrise sub form de fracii. Un numr iraional se poate scrie ca numr zeci-mal neperiodic cu un numr infinit de zecimale.R = I Q.N Z Q R.

14

Exemple

1) S se demonstreze c

este numr raional.

15

Rezolvare:

16

2) S se decid dac

este numr raional.

17

Rezolvare:

18

Exerciii1 (1 man 10). Scriei ca numr zecimal:

2 (2 man 10). Scriei sub form de fracie:a) 0,(13); b) 2,(5); c) 1,(2);d) 0,(23); e) 0,(23); f) 0,2(73).

A

3 (12 man 11). Temperatura la suprafaa apei unui ocean este de 14C, iar la adncimea de 44 m de 2C. Dac temperatura t a apei scade direct proporional cu adncimea h (t = ah + b, a > 0), aflai temperatura la adncimea de: a) 22 m; b) 15 m.4 (13 man 11). Aria suprafeei unei fee a unui cub este de a cm2.a) Aflai lungimea diagonalei cubului.d) Calculai volumul cubului cu o eroare mai mic dect 102 prin lips, dac a = 15.

5 (15 man 11). Calculai:

6 (16 man 11). Aflai x, dac x este lun-gimea uneia dintre laturile dreptunghiului din desen.

B

x6xx

21

7 (18 man 11). Relaia dintre puterea P, intensitatea curentului I i rezistena R ntr-un circuit electric este P = I2 R. Aflai intensitatea curentului, dac se conecteaz o surs de 1 200 W cu rezistena R = 500 .8 (19 man 11). Aflai x din desen, dac aria poriunii colorate constituie 60% dinaria ptratului,

x9xx

x9

22

Evaluare. Mulimi de numere1. Convertii n numr zecimala) 0,45875. b) 0,47875.c) 0,46875. d) 0,46775.2. Convertii n numr zecimal a) 0,(396). b) 0,(296).c) 0,(196). d) 0,(286).3. Convertii n numr zecimal a) 1,5(6). b) 1,4(6).c) 1,3(6). d) 1,4(7).4. Convertii n fracie 0,(315).

5. Convertii n fracie 2,3(17).

23