ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFABBV an IV

INGINERIE FINANCIARAProfuniv.dr. Bogdan NEGREA

Anul universitar 2007-2008

Inginerie financiarS

Joi 29 qrai 2008, Durata examcnului; 2 ore

Aveti grijd Ia modul de expulerc; prczeot,aea este luatd in calcul la stabilirea notei finale.

Rezultatele trebuie si fie justificatc, fiecare etapi intermediatd trebuie sa fie justificali prin

ralionamente explicite, Scriefi-vi numele gi prenumele cu majuscuie.

Subiect teorie (l pur€t)

Realizali o scurtd sintezi (maxim 1/2 paBini ti {Era formule matemalice) despre mi$carea

brownitud $i utilizarea ei in finanle.

Exercitiut I: (2 purcte)

Se consided o acliune care nu distribuie dividendc avdid ecualia de dinamici a cursului

dS, = FS dt + oSdB,. Fie un derivativ ai acestei acliuni care are la scadenld (T) un payoff egal

cu ["S,]'-a) Determinati prcful la momentul t < I al derivativului;

b) Delorminali volatilitatea acestuia.

Exercifiul II: (2 puncte)

Sd considerdn un put europeai pe o acliune ce nu distribuie dividcndo. Prc1ul acliunii (E este

egal cu 95 € la data 0. Se cunosc Lfmltoarele date de piale: prelul de exercitare al opliunii (]11)

este egal cu 93 €; durata de viat6 a opliunii este de 6 luni; rata dobanzii fdrd risc anuald gi

contioud (r) este de 8%, volatilitatea anuald a prclului acfiunii (d) este de 22%.

l" Determinafi p maopliuniiput la data 0 in uimatoarcle cazui:

a). Utiliz6nd modelul Cox-Ross-Rubinstein cu 4 pe oade.

b). Urilizand modelul Black-Scholes.

2' Considerand cazul in care prelul actiudi urmeazd o mitcare browniand geometricd,

determinafi un interval de inc.edere al valorii ac{iunii la scadenla opliunii cu o probabilitate

de 96,6010. Deteminali primele doud momente ale distribuliei de probabilitatc a prefului

acfiunii la scadenla optiunii, E(Sr) $i VAR(ST)-

Exercifiul III: (2 puncte)

Utilizand fomula Black de cvaluate a unui call euopean avdnd ca suport u1 contact futures,

ar[tafi c5:

r. rN'(d,)=rr'(d,). ,

2. Indicatorul delta al opliunii call esre "-4'4N(d,).

3. Indicatorul vega al opliurii call este F"lf -tN'(d)F 4r r.

Exercifiul IV: (2 puncte)

0 firm5 contracteazi un qedit sub forma unei obligaliuni zero-cupon. Suma ce trebuie

rambusatd la scadenl.ii este de 80 000. Scadenta creditului este peste 3,5 zmi. Rata dob6nzii

fird risc l-ste de 8or. Probabilitatea de nemmbursare a credittlui este de 16,6%. Volatilitatea

activelor firmei este de 45olo.

l. Determinali valoarea aclivelor firmei.

:- Dcicu1]i,,dli valud,ca Jc liald;r dator ici rinnei

3- Determinali p ma de risc de falimen|

4. Determinali riscul creditului.

Exercitiul I

ST − S = r (T − t)S +

Z T

t

σdBu

E¡S¢=

E (ST )− S

r (T − t)=

er(T−t) − 1r (T − t)

S

Exercitiul IIPunctul 1

−d2 = 0.6359⇒ σ = 0.2289

N (−d1) = 0.7092BS = 5.64

Punctul 2Prob = 1− 2N(d2) = 0.4752

80.80 < ST < 90.00

Punctul 3u = 1.0432

d = 0.9585

p = 0.5096

CRR = 5.75

1

Exercitiul III. a) Nu Pentru ca tX să fie preţul unui instrument financiar derivat la momentul t , trebuie să verifice ec. BMS.

2 22

2

0

12 ln

1 12 2 ln

t

t t

t t

t t

t t

Xt

X SS K S

X SS S K S

∂=

∂⎛ ⎞∂ ⎟⎜= ⋅ ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟= ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠t

rezultă: 2

22 ln 1 ln lnt tS Sr rK K

σ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⋅ ⋅ + ⋅ − ≠ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

tSK

tX nu poate fi preţul unui instrument financiar derivat.

b) Nu

2 21ln ~ ln ( ) ( ); ( )2

tT SS N r T t TK K

σ σ⎡ ⎤⎢ ⎥+ − ⋅ ⋅ − ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

t

2 222 2

2

1( / ) ln ln ln ln ( ) ( ) ( )2

ln

tT T TT t

t

SS S SE X X E E VAR r T t T tK K K K

SK

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = + = + − ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥≠⎢ ⎥⎣ ⎦

≠

c) Da Dacă TX este payoff-ul unui instrument financiar derivat (D) la scadenţa T atunci

[ ]2

( ) ( ) 2 21/ ln ( ) ( )2

r T t r T t tt Q T t

SD e E X X e r T t T tK

σ σ− ⋅ − − ⋅ −⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

( )

care verifică ec. BMS. Exercitiul IV. Valoarea prezentă a o.z.c. emise de stat este: ( ) 5.000r T t

tVN e A− ⋅ −⋅ = =Valoarea nominală a celor două o.z.c. este aceeaşi: VN F=

1( )tD A

t

A N dD

σ σ= ⋅ ⋅ −

22

( )

1

ln ( )ln ( ) ( )22 ( )

2( ) ( )

t At Ar T t

A

A A

AA T tr T tF eFd T

T t T t

σσσ

σ σ

− ⋅ − + ⋅ −+ + ⋅ −⋅= = =

⋅ − ⋅ −t⋅ −

2 1d d=−

( ) ( )2 1

1 1

( , ) ( ) ( )

2 ( ) ( )2

r T t r T tt t t

tt

t

D F e Put A F F e N d A N dDA N d N d

A

− ⋅ − − ⋅ −= ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ − =

= ⋅ ⋅ − ⇒ − =⋅

Aşadar: 1( ) 21%.2

t AD A

t

A N dD

σσ σ= ⋅ ⋅ − = =

l l l . l o t bt B-1c = s ut d; - (. an'"*1,), ar)

l , =- s NG d4t +(, €r 'L ' : i l Nn 4 r

, l n - h(V) * (r + f,v')tr-t)

r- dr)

IZ

, Dd 4 - t n

--tr Vzt' 1 4 { / ^ - ) a \t 6 f [ 9 o 5 + L 9 t s 1 .

9 , 8I

d q = f l l , Q q n

i \ 1.'\ t\ -, 'f\

N ( - d t ) = U , t { l Z

N GdD = gJ 4/rg

h = 2,6q0e. .--r J-

( A ) , . t l / ' t '\ /

n- r t - 0 4l - t = 6 L t n i - -

2

I

a = €t l

A 1( A = ' uq05 .

(-'l

- tlo?e 3

l ,oa63 - g033tr

) , o 6 5 x - q % 8 +

CJG- e

- 0,93 g+

r a Ll +P . = = ( _

(t*0 - J------1

u - a

!A L Z .

4 9 - -

L

.-"a'

l t^ . n t 4

I / d . v I

= 1 , o 6 5 7

t t ' _) | - tu y = Q 4 - v V 7 - *

= 0, [093

= 0 ,533+

_ t

il-';l= rfZA

Pal o

lt to

l'n oh ^l J 4

Al ' 2 2

P'z

f'+

= r n o / . (

= r n o l (

= n z a l (

= rrt7 l. (

= r n a l (

la sca d" r[a sunl

( k- 5o. u4, o)

/40 -

D\ - Jo '

P - 4

k - 5

t , rh - 5

,t,t6 rl,06s|+, o\ =O

t,? l, o) : rna. x ( ,tto - //5 406i7e 0,?3JL,o) =0

, V d 1 o ) = f f i e x ( / , t 0 - t 5 , 0 ) = o

u d3,a) = rfta.x ( uo- 4t{.4o6F7 o,tSS+lo)

d"1, d = (t2e x (tto- //f. o,%lrn,;t'"t u

h -^ t ,

= 2 9 ' ! 2 3 6

*c/ Z?rr/) ftt + cf 21,,-zr' tn3 -3 . . l ' ,

" 1 x ' ' 1

* C+ 2 (t-2) f ,z + L+"(' t '2) / 'oqJ

Y

I

o

C , j - + , c j = t7 >

L

l ' = 4,aoei ' I

f ' = ? ,BA7O

kknlte, deoooce

de l>e,rncade es{< (0*k rrzare ) /a

+ fd^t

/ B

€go/e,

O + | grx+. o ,+666? g , rZr l + q+6€6t ro , t *d

,n ods- l,tl 6n" rrri o( /n/e ( cpn/ rtr^

node/rl 6-5, ,ele z

rc-zul]alt rtu *b V d= Joar afayta{e.

&= rc l5

2_:

^ t - hr -c = 6 e l rq

- 2 -

t ] \

d lni j - (r- Lv) at

d lnS w 6/ t 1t-_ lg t,=) l r 0 n f )AIn5 : t n l r - ( n5 t

D r .L 1 A T N N ( r n , A ) , ,

r r )= ln5, r - ( r -y '1 . " ) (t ' 2 "

^ - z l/ ) = v . v 7 _ f

- - \

6Jr-1 )

de

) T,

-.i-

-r\

(m

4 Jr - L

O dr,t

t(= lnir Aacd Y- v (rr), A\, o4.^o

X = Y : ' o ^ v r o r )

P(* x r< / .< 4) = , j ,n , - ^ / r - { ) = 2/ , / ( * ) - 4

2 N ( "<\ - ,t = o,gfs =) //.() = U --> d- z,2l

m-- tn i l5 + tqof - ! Al,2) 4 = 1,7a tB

A = gru ,E = qrzrls

- *. ..ra Y-'1 .-. { =7 r"t - * /\ .< Y.( rrt + { ltA

1, +T e 6 t {n5, \< , c t+yo

8+,%rz (57- r< , to { , rC

1A- ,d ' '( "., A/ (n, ̂)

r r o Y 1 - ^ m * L r n ^

( - L \ * J - L

Z,n +AZ ^ Z

vcr f eYJ= e (e ' ' ^4)

- 3 -

+ (r- LO(rt)

+ r . ( r -1 \7 = , * . - r " ' t r )

"-jto J

h 5-t' J = e * p f

t -

: e * p I t n 1 ,1'

z r f f - t )_ (?P [ e

-t - v

/ - r t : 1

/ " 7

1,

42 =Qo ooQ ; (o = Q26

F = l r 00a0' , T = L,z{ ar t i

f = 3 / .

Eo = cal l ( Ao ,F)- r ,T

E o = 4 " t ' / t d a ) - f e . N ( d 2 \

) /^rb) * / r *L c(\ r tU 4 = - , t \ F / ' \ . Z 1 1 / Q Z =

dD = qq+Fg

o = Az-Eo

o : 2 8 3 5 7 , 9 4

- 1- lnf 4ooo}.4,2{ tzB357,Q4

= Q D 8 0 9 3 {

[e5,-L

E L e

Ya, r [517

/v.

t.

IQI ,

dz

e , t 612 t09

? . V hq.)

t - r a ' 1P ' - ' \ I -> e v - f J

I

, , 1 6 z. . ' v .

dn- o J7

V V 7

)

! . 6= ! - r ' l i =q09

-_ 2,rqo8

= , 1 , Q 7 5 1

N Cda\ = 0 ,Q036

N (

u

A

ry

vti

,

L

3 C ^ ( A a A0 = ' + - : . . = -A vA

uAr {o L NGd, r )D

q) = o, rs yg [ , t -qqo3ci v5= o,oo34++z&357,Q4

4 P.boL Ju n"tannburioc = NL d) = l- ^l(dz)

= 0 ro?+4

rl.nloarca .edi" dntxctAl )eran-= 4. N(- dn)

; ' ' 'N(- d2..'

= loooa. _qo| 4r,I qags6

4 - o,0 769

= 4V a l | ,C, l .

- 5 -