ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFABBV an IV
INGINERIE FINANCIARAProfuniv.dr. Bogdan NEGREA
Anul universitar 2007-2008
Inginerie financiarS
Joi 29 qrai 2008, Durata examcnului; 2 ore
Aveti grijd Ia modul de expulerc; prczeot,aea este luatd in calcul la stabilirea notei finale.
Rezultatele trebuie si fie justificatc, fiecare etapi intermediatd trebuie sa fie justificali prin
ralionamente explicite, Scriefi-vi numele gi prenumele cu majuscuie.
Subiect teorie (l pur€t)
Realizali o scurtd sintezi (maxim 1/2 paBini ti {Era formule matemalice) despre mi$carea
brownitud $i utilizarea ei in finanle.
Exercitiut I: (2 purcte)
Se consided o acliune care nu distribuie dividendc avdid ecualia de dinamici a cursului
dS, = FS dt + oSdB,. Fie un derivativ ai acestei acliuni care are la scadenld (T) un payoff egal
cu ["S,]'-a) Determinati prcful la momentul t < I al derivativului;
b) Delorminali volatilitatea acestuia.
Exercifiul II: (2 puncte)
Sd considerdn un put europeai pe o acliune ce nu distribuie dividcndo. Prc1ul acliunii (E este
egal cu 95 € la data 0. Se cunosc Lfmltoarele date de piale: prelul de exercitare al opliunii (]11)
este egal cu 93 €; durata de viat6 a opliunii este de 6 luni; rata dobanzii fdrd risc anuald gi
contioud (r) este de 8%, volatilitatea anuald a prclului acfiunii (d) este de 22%.
l" Determinafi p maopliuniiput la data 0 in uimatoarcle cazui:
a). Utiliz6nd modelul Cox-Ross-Rubinstein cu 4 pe oade.
b). Urilizand modelul Black-Scholes.
2' Considerand cazul in care prelul actiudi urmeazd o mitcare browniand geometricd,
determinafi un interval de inc.edere al valorii ac{iunii la scadenla opliunii cu o probabilitate
de 96,6010. Deteminali primele doud momente ale distribuliei de probabilitatc a prefului
acfiunii la scadenla optiunii, E(Sr) $i VAR(ST)-
Exercifiul III: (2 puncte)
Utilizand fomula Black de cvaluate a unui call euopean avdnd ca suport u1 contact futures,
ar[tafi c5:
r. rN'(d,)=rr'(d,). ,
2. Indicatorul delta al opliunii call esre "-4'4N(d,).
3. Indicatorul vega al opliurii call este F"lf -tN'(d)F 4r r.
Exercifiul IV: (2 puncte)
0 firm5 contracteazi un qedit sub forma unei obligaliuni zero-cupon. Suma ce trebuie
rambusatd la scadenl.ii este de 80 000. Scadenta creditului este peste 3,5 zmi. Rata dob6nzii
fird risc l-ste de 8or. Probabilitatea de nemmbursare a credittlui este de 16,6%. Volatilitatea
activelor firmei este de 45olo.
l. Determinali valoarea aclivelor firmei.
:- Dcicu1]i,,dli valud,ca Jc liald;r dator ici rinnei
3- Determinali p ma de risc de falimen|
4. Determinali riscul creditului.
Exercitiul I
ST − S = r (T − t)S +
Z T
t
σdBu
E¡S¢=
E (ST )− S
r (T − t)=
er(T−t) − 1r (T − t)
S
Exercitiul IIPunctul 1
−d2 = 0.6359⇒ σ = 0.2289
N (−d1) = 0.7092BS = 5.64
Punctul 2Prob = 1− 2N(d2) = 0.4752
80.80 < ST < 90.00
Punctul 3u = 1.0432
d = 0.9585
p = 0.5096
CRR = 5.75
1
Exercitiul III. a) Nu Pentru ca tX să fie preţul unui instrument financiar derivat la momentul t , trebuie să verifice ec. BMS.
2 22
2
0
12 ln
1 12 2 ln
t
t t
t t
t t
t t
Xt
X SS K S
X SS S K S
∂=
∂⎛ ⎞∂ ⎟⎜= ⋅ ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟= ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠t
rezultă: 2
22 ln 1 ln lnt tS Sr rK K
σ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⋅ ⋅ + ⋅ − ≠ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
tSK
tX nu poate fi preţul unui instrument financiar derivat.
b) Nu
2 21ln ~ ln ( ) ( ); ( )2
tT SS N r T t TK K
σ σ⎡ ⎤⎢ ⎥+ − ⋅ ⋅ − ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
t
2 222 2
2
1( / ) ln ln ln ln ( ) ( ) ( )2
ln
tT T TT t
t
SS S SE X X E E VAR r T t T tK K K K
SK
σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = + = + − ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥≠⎢ ⎥⎣ ⎦
≠
c) Da Dacă TX este payoff-ul unui instrument financiar derivat (D) la scadenţa T atunci
[ ]2
( ) ( ) 2 21/ ln ( ) ( )2
r T t r T t tt Q T t
SD e E X X e r T t T tK
σ σ− ⋅ − − ⋅ −⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
( )
care verifică ec. BMS. Exercitiul IV. Valoarea prezentă a o.z.c. emise de stat este: ( ) 5.000r T t
tVN e A− ⋅ −⋅ = =Valoarea nominală a celor două o.z.c. este aceeaşi: VN F=
1( )tD A
t
A N dD
σ σ= ⋅ ⋅ −
22
( )
1
ln ( )ln ( ) ( )22 ( )
2( ) ( )
t At Ar T t
A
A A
AA T tr T tF eFd T
T t T t
σσσ
σ σ
− ⋅ − + ⋅ −+ + ⋅ −⋅= = =
⋅ − ⋅ −t⋅ −
2 1d d=−
( ) ( )2 1
1 1
( , ) ( ) ( )
2 ( ) ( )2
r T t r T tt t t
tt
t
D F e Put A F F e N d A N dDA N d N d
A
− ⋅ − − ⋅ −= ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ − =
= ⋅ ⋅ − ⇒ − =⋅
Aşadar: 1( ) 21%.2
t AD A
t
A N dD
σσ σ= ⋅ ⋅ − = =
l l l . l o t bt B-1c = s ut d; - (. an'"*1,), ar)
l , =- s NG d4t +(, €r 'L ' : i l Nn 4 r
, l n - h(V) * (r + f,v')tr-t)
r- dr)
IZ
, Dd 4 - t n
--tr Vzt' 1 4 { / ^ - ) a \t 6 f [ 9 o 5 + L 9 t s 1 .
9 , 8I
d q = f l l , Q q n
i \ 1.'\ t\ -, 'f\
N ( - d t ) = U , t { l Z
N GdD = gJ 4/rg
h = 2,6q0e. .--r J-
( A ) , . t l / ' t '\ /
n- r t - 0 4l - t = 6 L t n i - -
2
I
a = €t l
A 1( A = ' uq05 .
(-'l
- tlo?e 3
l ,oa63 - g033tr
) , o 6 5 x - q % 8 +
CJG- e
- 0,93 g+
r a Ll +P . = = ( _
(t*0 - J------1
u - a
!A L Z .
4 9 - -
L
.-"a'
l t^ . n t 4
I / d . v I
= 1 , o 6 5 7
t t ' _) | - tu y = Q 4 - v V 7 - *
= 0, [093
= 0 ,533+
_ t
il-';l= rfZA
Pal o
lt to
l'n oh ^l J 4
Al ' 2 2
P'z
f'+
= r n o / . (
= r n o l (
= n z a l (
= rrt7 l. (
= r n a l (
la sca d" r[a sunl
( k- 5o. u4, o)
/40 -
D\ - Jo '
P - 4
k - 5
t , rh - 5
,t,t6 rl,06s|+, o\ =O
t,? l, o) : rna. x ( ,tto - //5 406i7e 0,?3JL,o) =0
, V d 1 o ) = f f i e x ( / , t 0 - t 5 , 0 ) = o
u d3,a) = rfta.x ( uo- 4t{.4o6F7 o,tSS+lo)
d"1, d = (t2e x (tto- //f. o,%lrn,;t'"t u
h -^ t ,
= 2 9 ' ! 2 3 6
*c/ Z?rr/) ftt + cf 21,,-zr' tn3 -3 . . l ' ,
" 1 x ' ' 1
* C+ 2 (t-2) f ,z + L+"(' t '2) / 'oqJ
Y
I
o
C , j - + , c j = t7 >
L
l ' = 4,aoei ' I
f ' = ? ,BA7O
kknlte, deoooce
de l>e,rncade es{< (0*k rrzare ) /a
+ fd^t
/ B
€go/e,
O + | grx+. o ,+666? g , rZr l + q+6€6t ro , t *d
,n ods- l,tl 6n" rrri o( /n/e ( cpn/ rtr^
node/rl 6-5, ,ele z
rc-zul]alt rtu *b V d= Joar afayta{e.
&= rc l5
2_:
^ t - hr -c = 6 e l rq
- 2 -
t ] \
d lni j - (r- Lv) at
d lnS w 6/ t 1t-_ lg t,=) l r 0 n f )AIn5 : t n l r - ( n5 t
D r .L 1 A T N N ( r n , A ) , ,
r r )= ln5, r - ( r -y '1 . " ) (t ' 2 "
^ - z l/ ) = v . v 7 _ f
- - \
6Jr-1 )
de
) T,
-.i-
-r\
(m
4 Jr - L
O dr,t
t(= lnir Aacd Y- v (rr), A\, o4.^o
X = Y : ' o ^ v r o r )
P(* x r< / .< 4) = , j ,n , - ^ / r - { ) = 2/ , / ( * ) - 4
2 N ( "<\ - ,t = o,gfs =) //.() = U --> d- z,2l
m-- tn i l5 + tqof - ! Al,2) 4 = 1,7a tB
A = gru ,E = qrzrls
- *. ..ra Y-'1 .-. { =7 r"t - * /\ .< Y.( rrt + { ltA
1, +T e 6 t {n5, \< , c t+yo
8+,%rz (57- r< , to { , rC
1A- ,d ' '( "., A/ (n, ̂)
r r o Y 1 - ^ m * L r n ^
( - L \ * J - L
Z,n +AZ ^ Z
vcr f eYJ= e (e ' ' ^4)
- 3 -
+ (r- LO(rt)
+ r . ( r -1 \7 = , * . - r " ' t r )
"-jto J
h 5-t' J = e * p f
t -
: e * p I t n 1 ,1'
z r f f - t )_ (?P [ e
-t - v
/ - r t : 1
/ " 7
1,
42 =Qo ooQ ; (o = Q26
F = l r 00a0' , T = L,z{ ar t i
f = 3 / .
Eo = cal l ( Ao ,F)- r ,T
E o = 4 " t ' / t d a ) - f e . N ( d 2 \
) /^rb) * / r *L c(\ r tU 4 = - , t \ F / ' \ . Z 1 1 / Q Z =
dD = qq+Fg
o = Az-Eo
o : 2 8 3 5 7 , 9 4
- 1- lnf 4ooo}.4,2{ tzB357,Q4
= Q D 8 0 9 3 {
[e5,-L
E L e
Ya, r [517
/v.
t.
IQI ,
dz
e , t 612 t09
? . V hq.)
t - r a ' 1P ' - ' \ I -> e v - f J
I
, , 1 6 z. . ' v .
dn- o J7
V V 7
)
! . 6= ! - r ' l i =q09
-_ 2,rqo8
= , 1 , Q 7 5 1
N Cda\ = 0 ,Q036
N (
u
A
ry
vti
,
L
3 C ^ ( A a A0 = ' + - : . . = -A vA
uAr {o L NGd, r )D
q) = o, rs yg [ , t -qqo3ci v5= o,oo34++z&357,Q4
4 P.boL Ju n"tannburioc = NL d) = l- ^l(dz)
= 0 ro?+4
rl.nloarca .edi" dntxctAl )eran-= 4. N(- dn)
; ' ' 'N(- d2..'
= loooa. _qo| 4r,I qags6
4 - o,0 769
= 4V a l | ,C, l .
- 5 -