Post on 27-Jul-2018
transcript
Fizica starii solide II
In acest curs ne vom concentra asupra transportului electronilor in materiale cristaline.
Fenomenele de transport (sau cinetice) reprezinta deplasarea ordonata a purtatorilor de sarcina
ca raspuns la aplicarea unui camp electric E (conductie electrica), la aplicarea unui camp
magnetic B (efectul Hall) sau a unui gradient de temperatura T∇ (efectul Seebeck).
Toate informatiile legate de transportul unui sistem de sarcini electrice se regasesc in
functia de distributie , care reprezinta probabilitatea ca o particula cu vectorul de
unda k sa ocupe pozitia r la momentul t. Din functia de distributie se pot obtine marimi
mediate cum ar fi curentul electric, mobilitatea, etc.
),,( tf rk
Pana acum la cursul de Fizica starii condensate s-a folosit functia Fermi-Dirac
]/)exp[(11)(0 TkEE
EfBF−+
=k
k (1)
care reprezinta functia de distributie a purtatorilor de sarcina cu energia in
echilibru cu mediul inconjurator. Aceasta functie de distributie nu este potrivita pentru
studiul unui sistem de purtatori de sarcina in prezenta campurilor externe sau a gradientului de
temperatura deoarece acest sistem nu mai este in echilibru. In general, in starea de neechilibru
functia de distributie depinde nu doar de k ci si de coordonatele spatiale si timp,
modificarile putand fi datorate
kk EE =)(
),,( tf rk
1) unui gradient spatial al temperaturii/distributiei de electroni care duce la variatia
numarului de particule din elementul de volum dr in jurul pozitiei r. In acest caz
variatia in timp a functiei de distributie a electronilor cu viteza v in cristal este data de
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 2
),,()(1),,()(),,(),,( tfEtfvtfdtd
ttf krkkrrkrrkr
rkrr ∇⋅∇=∇⋅=∇⋅=∂
∂h
(2)
2) acceleratiei in prezenta campurilor externe, care duce la cresterea impulsului
particulelor cu kd pornind de la valoarea k. In prezenta unei forte aplicate F,
Fdt/ si variatia in timp a functiei de distributie este data de kp == ddtd / h
),,(),,(),,( tftfdtd
ttf krFkrkkr
kk ∇⋅=∇⋅=∂
∂h
(3)
Daca aplicam simultan un camp electric E si unul magnetic B, . )( BvEF ×+−= e
3) absorbtiei optica, ionizarii de impact, etc. care duc la variatia in timp a numarului de
purtatori datorita proceselor de generare si recombinare. In acest caz
),,(),,( tRtGdtdf krkr −= (4)
4) imprastierilor/ciocnirilor cu fononii, impuritatile sau defectelor in reteaua cristalina
care duc la variatia numarului de particule care au un anumit k. Tinand cont de
principiul Pauli pe care il satisfac starile electronice cuantice, variatia numarului de
electroni in starea/cu vector de unda k in urma imprastierilor in starea 'k duce la o
variatie a functiei de distributie
ctf
dtdf
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= . (5)
In absenta proceselor de imprastiere si a generarii/recombinarii de purtatori
0=∇⋅+∇⋅+∂∂
=∇⋅+∇⋅+∂∂
= fftff
dtdf
dtd
tf
dtdf
krkrFvkrh
(6)
deoarece numarul particulelor care urmeaza o anumita traiectorie in spatiul fazelor (r,k) este
conservat.
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 3
Observatie: traiectoria unei particule
in spatiul fazelor, in prezenta unui
camp electric Ex si in tratarea
semiclasica (Teorema Ehrenfest:
evolutia centrului unui pachet de unde
cuantic poate fi determinata de
traiectoria unei particule clasice
corespunzatoare) este data de
formulele din figura din dreapta.
In prezenta ciocnirilor, functia de distributie de neechilibru se gaseste din ecuatia
cinetica sau ecuatia de transport Boltzmann
ctfff
tf
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∇⋅+∇⋅+∂∂
krFvh
. (7)
In particular, in stare stationara, cand functia de distributie este independenta de timp,
, si in prezenta doar a fortei Lorentz 0/ =∂∂ tf )( BvEF ×+−= e , ecuatia cinetica
Boltzmann devine
ctffef ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∇⋅×+−∇⋅ kr BvEv )(h
. (8)
Pentru a gasi functia de distributie din ecuatia Boltzmann este necesar sa
cunoastem explicit termenul de ciocniri din partea dreapta. Aceasta este o problema dificila,
care poate fi simplificata prin introducerea timpului de relaxare
),,( tf rk
)(kτ , care descrie revenirea
la echilibru a functiei de distributie cand actiunea campurilor externe este intrerupta:
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 4
)(0
kτff
tf
c
−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ , (9)
sau
)](/exp[)( 000 kτtffff t −−=− = . (10)
Timpul de relaxare este deci intervalul in care abaterea functiei de distributie de la valoarea ei
la echilibru scade de e ori dupa ce campurile externe sunt indepartate. Introducerea timpului
de relaxare este posibila daca
• procesele de ciocnire sunt elastice (energia purtatorilor de sarcina nu se modifica la
imprastiere)
• ciocnirile sunt independente (nu exista interferenta a starilor electronice)
• ciocnirile sunt instantanee (timpul de ciocnire se poate neglija)
• campurile externe nu modifica spectrul energetic al electronilor din cristal; aceasta
conditie interzice, de exemplu, campuri magnetice intense, care ar duce la cuantizarea
nivelelor energetice ale electronului.
Natura cuantica a electronilor este aparenta doar in termenul de ciocnire, via principiul
Pauli pe care il satisfac starile electronice cuantice. Presupunand ca spinul electronului nu se
modifica in urma imprastierii, o luare in considerare detaliata a numarului de electroni in
starea/cu vector de unda k si a celor in starea ne conduce la termenul de ciocnire 'k
∑ −−∑ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
k'k'kkkkkkkk )]'(1)[()',()](1)['(),'( ffPffP
tf
c (11)
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 5
unde este probabilitatea de tranzitie electronica pe unitatea de timp din starea k in
starea . S-a considerat ca imprastierile de pe starea k ocupata cu probabilitatea pe
starea libera [cu probabilitatea
)',( kkP
'k )(kf
'k )'(1 kf− ] duc la descresterea functiei de distributie, pe
cand imprastierile de pe starea ocupata cu probabilitatea pe starea k libera [cu
probabilitatea ] duc la cresterea functiei de distributie.
'k )'(kf
)(1 kf−
La echilibru
)]'(1)[()',()](1)['(),'( 0000 kkkkkkkk ffPffP −=− . (12)
Consideram doar functii de distributie care pot fi aproximate ca perturbatii ale , deci
care pot fi exprimate ca
0f
)()()( 10 kk k fEff += , cu
)()()( 00
1 kkk
kχk EfEdEdff <<⋅−= , (13)
unde este o functie vectoriala, necunoscuta in acest moment (are forme specifice
pentru diferite procese de imprastiere). In aceste conditii termenul de ciocnire devine
)( kχ E
]')()([)](1)[()',(1)]'(1)[(
)]'(1)[()](1)['(
)](1)['()]'(1)[()',(
''00
000000
kχkχkk
kkkk
kkkkkkkk
kkk'
kk
k'
⋅−⋅∑ −−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−−
∑ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
EEEfEfPTk
ffff
ffffffP
tf
B
c (14)
daca se retin doar termenii liniari in si daca se foloseste identitatea 1f
[ ] )](1)[(1
002/)(
/)(0 EfEf
e
edEdfTk
TkEE
TkEEB
BF
BF
−=+
=−−
−. (15)
In acest caz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅
−∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=kkkk
kk k
k
k' k
k
)(')(1
)(1)(1)',(
)(1
)(1 '
0
'0
1 EE
EfEfP
tf
f c χχ
τ, (16)
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 6
sau ∑ −=k'
kkk )/'1)(',()(/1 χχτ kkP pentru ciocniri elastice, in care . Aici ,
sunt proiectiile lui k, pe vectorul χ. Calculul timpului de relaxare se poate efectua pentru
diferite mecanisme de imprastiere, dependenta de temperatura si energie a acestui parametru
putand fi in general exprimata ca
'kk EE = χ'k χk
'k
rETAE )()( =τ , (17)
unde este un coeficient independent de energie, si r este specific fiecarui tip de
ciocnire:
)(TA
2/3=r pentru ciocniri cu fononi acustici in metale,
2/1−=r pentru acelasi mecanism dar in semiconductori,
2/1=r pentru ciocniri cu fononi optici in semiconductori polari la temperaturi ridicate,
0=r pentru ciocniri cu impuritati neutre in metale,
2/3=r pentru ciocniri cu impuritati ionizate in semiconductori.
Daca mai multe mecanisme de imprastiere coexista,
∑=i i EE )(
1)(
1ττ
. (18)
Conductivitatea electrica De la cursul de electricitate stim ca proprietatile de transport ale unui material macroscopic
omogen cu lungime L si arie transversala A sunt caracterizate de rezistivitate ρ (sau
conductivitate σ), determinate din masuratori de rezistenta R (sau conductivitate G), astfel
incat, cel putin pentru tensiuni aplicate V mici, curentul I este proportional cu V (legea Ohm):
RIV = (sau ) cu GVI = ALR /ρ= (sau LAG /σ= ).
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 7
La aplicarea unui camp electric pe directia x
LV
dxdVEx −=−= (19)
electronii au o miscare aleatoare, cu o tendinta de deplasare neta pe directia campului electric
aplicat, forta asupra unui electron fiind xx eEF −= , si viteza medie avand expresia
xnd Ev μ−= , cu nμ mobilitatea electronilor. Acest tip de miscare este numit drift, viteza
medie fiind numita viteza de drift. Semnul „minus” in definitia mobilitatii indica faptul ca
deplasarea electronilor este opusa directiei campului electric aplicat.
In miscarea de drift a electronilor cu densitate n, densitatea curentului pe directia x,
, este data de AIjx /=
nnxnxndx neEEnenevj μσσμ =→==−= (20)
In prezenta unui gradient de densitate a electronilor datorat doparii neuniforme, care
duce la un gradient a cvasi-nivelului Fermi Fn, apare o contributie a difuziei la densitatea de
curent care, in apropiere de echilibru si la temperatura constanta, este
dxedFj n
nx/σ= (21)
astfel incat densitatea totala de curent devine
dxdneDEnej nxnx += μ (22)
cu eTkD B
nn μ= coeficientul de difuzie.
Similar, in prezenta unui gradient de temperatura pe directia x avem o contributie
aditionala la curent datorata coeficientului Seebeck :
dxdTSj nx σ−=
(23) unde S este coeficientul Seebeck.
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 8
In acest curs vom incerca sa gasim dependenta conductivitatii (sau a rezistivitatii) de
temperatura pentru diverse tipuri de materiale (metale, semiconductori, materiale pure,
impurificate, etc.). In acest fel, putem extrage informatii despre diverse materiale din
masuratori electrice facute la diferite temperaturi.
In general, conductivitatea electrica a unui cristal este caracterizata de un tensor σ̂ :
Ej σ̂= , (24)
sau, pe componente μ, ν = x, y, z
∑=ν
νμνμ σ Ej . (25)
Intr-un solid izotrop conductivitatea electrica este un parametru scalar si Ej σ= . Pe de alta
parte, pentru , densitatea curentului electric, definita ca , cu n
concentratia electronilor care participa la conductie, se gaseste estimand starile electronice
ocupate pe unitate de volum:
)()()( 10 kk k fEff += vj ne−=
kkvkkvkvkvjkkk
dfedfVVef
Vefe
V∫∑∑∑ −=−=−=−= )(
4)(
)2(2)(2)(1
13131, ππσ
(26)
In ecuatia (26) suma dupa numarul cunatic de spin σ, care ia doua valori (spin sus si jos),
aduce un factor 2, iar suma dupa vectorii k din prima zona Brillouin se poate transforma intr-o
integrala avand in vedere ca intr-un cristal finit cu volum V, in volumul din
spatiul k exista o singura stare permisa (vezi cursul de solid). Rezultatul final in (26) se
gaseste observand ca functia de distributie la echilibru nu aduce nici o contributie la
suma pe valorile pozitive si negative ale lui k din expresia lui j deoarece , ca si ,
este o functie para de k, in timp ce este o functie impara de k.
Vd /)2( 3π=k
)(0 kEf
)(0 kEf kE
Ekv ∇= −1h
Termenul de perturbatie a functiei de distributie de echilibru, , care intervine in
expresia densitatii de curent (26) se determina din ecuatia cinetica Boltzmann. In particular, in
conditii stationare pentru care
)(1 kf
0/ =∂∂ tf , daca nu exista gradient de temperatura sau densitate
de purtatori de sarcina, deci daca 0=∇ fr , si se aplica doar un camp electric E, ecuatia
cinetica Boltzmann (7) se poate scrie ca
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 9
0)()(1
10 =+∇⋅−∇⋅−kkEE kk τ
ffefehh
. (27)
Al doilea termen poate fi neglijat pentru campuri electrice mici, unde doar efectele liniare in
E sunt luate in considerare, caz in care conductivitatea electrica este independenta de campul
electric. Deoarece f0 depinde doar de E, deci EdEdff kk ∇⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∇ 0
0 , din ecuatia de mai sus
rezulta
dEdfe
dEdfEef
0
011
)(
)()(
vEk
Ekk k
⋅=
∇⋅= −
τ
τ h
(28)
astfel incat tensorul conductivitatii electrice se poate exprima ca
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= kk dvv
dEdfe
νμμν τπ
σ )(4
03
2
. (29)
In cristale izotrope, pentru un camp electric aplicat pe directia x, conductivitatea este scalara:
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−== kk dv
dEdfe
xxx20
3
2
)(4
τπ
σσ . (30)
Pentru suprafete izo-energetice sferice, unde , mkE 2/22h=k mkv /μμ h= , cu m masa
efectiva a electronului, si in coordonate sferice cu θ unghiul polar si ϕ cel azimutal avem
ϕθ cossinkk x = , ϕθ sinsinkk y = , θcoskk z = , , si ϕθθ dddkkd sin2=k
∫∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==
max
min
4022
222
0
2
0
34023
22)(
3cossin)(
4
k
kxx dkk
dEdf
medddkk
dEdf
me kk τ
πϕϕθθτ
πσσ
ππ hh .
(31)
In ecuatia de mai sus am folosit faptul ca πϕϕϕϕππ
=+= ∫∫2
0
2
0
2 )2cos1(21cos dd ,
34)1()(cos)cos1()(cossinsin
1
1
2
0
2
0
2
0
3 =−=−−=−= ∫∫∫∫−
dxxdddπππ
θθθθθθ .
Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 10
Deoarece si pentru ca timpul de
relaxare depinde de energie, astfel incat media sa statistica se defineste ca
52/32/3234 /)2()()2/1( hdEmEmkdkdkk ==
∫
∫∞
∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=⟩⟨
0
2/30
0
2/30 )()(
dEEdEdf
dEEEdEdf
Eτ
τ , (32)
conductivitatea electrica devine
⟩⟨= )(2
Em
ne τσ . (33)
In (33) am folosit faptul ca pentru metale, la echilibru, concentratia de electroni se scrie
∫∫
∫∫∑∑
∞∞∞
∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
+−=
+−====
0
2/3032
2/3
0
2/30
0
2/3
32
2/3
0
2/1
32
2/3003,
0
3)2(
32
1]/)exp[(32
2)2(
1]/)exp[(2)2()()(2)(
)2(2)(1
dEEdEdfmdEE
dEdf
TkEEEm
TkEEdEEmdEEDEfdEfV
VEf
Vn
BF
BF
hh
h
ππ
ππσk
kk
(34)
unde si pentru suprafete izo-energetice sferice
densitatea de stari este
dEEDEfdEf ∫∑ =− )()())(()2( 003 kk
kπ
32
2/12/3
3 4)2(
||)2(1)(
hππEm
EdSED
constE∫
==
∇=
k
(vezi cursul de solid). Relatii similare se obtin pentru toate axele principale ale unui cristal cu
suprafete izo-energetice eliptice.
Relatia intre conductivitatea electrica si mobilitate in aproximatia timpului de relaxare
este deci
μσ ne= , adica m
Ee ⟩⟨=
)(τμ . (35)
In cristale anizotrope mobilitatea si conductivitatea electrica sunt tensori.
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati
Imprastierea purtatorilor de sarcina (electroni sau goluri) pe impuritati este elastica, adica
pentru ca )'()( kk EE ≅
1) masa efectiva a electronilor sau golurilor, pnm , , este mult mai mica decat masa
impuritatilor, iM
2) ionii/atomii de impuritate sunt mult mai putin mobili decat purtatorii de sarcina liberi
astfel incat pot fi considerati statici
k
k’
Mi
Datorita 2) aproximatia timpului de relaxare este pe deplin justificata. Vom considera
timpul de relaxare, in conditiile in care se poate trece de la suma pe k in prima zona Brillouin,
adica (vezi formula (16) din capitolul precedent si discutiile care
urmeaza):
∫∑ → kk dV ])2(/[ 3π
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= '
'1)',(
)2()(1
3 kkkk χ
χ dkk
PVπτ
(1)
In continuare, presupun ca potentialul perturbator al ionului de impuritate poate fi
aproximat ca sferic-simetric, astfel incat pot exprima probabilitatea de imprastiere in cristal,
pe unitatea de timp printr-un produs de probabilitati:
)()',()',( 21 θPkkPP =kk (2)
unde este probabilitatea radiala de imprastiere a electronilor sau golurilor si )',(1 kkP )(2 θP
este probabilitatea unghiulara, care depinde de unghiul θ intre k si . 'k
Pentru imprastierile elastice consideram , astfel incat )'()2()',( 31 kkkkP −= δπ
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 2
1')'(')',()2(
100
13 =∫ −=∫∞∞
dkkkdkkkP δπ
(3)
adica, imprastierea in toate starile k’ este un eveniment cert.
Pentru a calcula timpul de relaxare, alegem vectorul k ca axa polara in spatiul iar
ca vector variabil. Atunci
'k
'k k
χ k’
θ
α β
ϕ
k'k Ω== dkddkd 22 'sin'' ϕθθ , (4)
cu ϕθθ ddd sin=Ωk' unghiul solid pe directia lui . 'k
Considerand geometria din figura din dreapta, avem egalitatea
ϕβθβθα cossinsincoscoscos += (5)
astfel incat
)cossintan(cos'coscos''
ϕθβθβα
+==kk
kk
kk
χ
χ (6)
si, deoarece , timpul de relaxare se poate exprima ca 0cos2
0=∫
πϕϕd
k
k
Ω−=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
∫
∫∫ ∫
dPkV
dPkVkkkkk
kkPddkV
)cos1)((
sin)cos1()(2cos'1)'(''sin)('2)(
1
22
02
22
02
θθ
θθθθπθδθθθπτ
ππ
(7)
Imprastierea unor particule care, in urma ciocnirii, se abat sub diferite unghiuri de la
directia de miscare initiala se poate caracteriza prin sectiunea diferentiala de imprastiere
)(θσ
timpacelasiinariedeunitateapenormalincidenteparticulenr.solidunghiulinunghiulcudeviateparticulenr.)( Ω
=Ωdd θ
θσ (8)
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 3
Presupunem ca in cristalul cu volum V exista un centru de imprastiere si un numar
de electroni (n este densitatea electronilor) care se misca in toate directiile cu viteza .
Fluxul de electroni care loveste acest centru de imprastiere in unitatea de timp (1 s) este
, astfel incat numarul total de electroni imprastiati in unitatea de timp sub unghiul θ, in
elementul de unghi solid Ωd ste
nV )(kv
)(knVv
k e kk ΩdnVv )()( σ θ . Daca exista N centri de imprastiere
independenti in unitatea de volum a cristalului, numarul total de electroni imprastiati in
unitatea de timp sub unghiul θ, in elementul de unghi solid
i
kΩd este
kk ΩdvnVNi )()(2 θσ . (9)
Deoarece acest numar poate fi exprimat si ca , obtinem kΩdkPnV 22
2 )(θ
θθθθσπθθστ
πdvNdvN ii sin)cos1()()(2)cos1)(()(
)(1
0−∫=Ω∫ −= kk
k k (10)
Introducand sectiunea eficace de transport prin
θθθθσπσ dc sin)cos1()(2 −∫= , (11)
timpul de relaxare are forma
cii vN σ
τ)(
1)(k
k = (12)
In cazul interactiei de tip Coulomb intre electroni si impuritatile ionizate, integrala dupa θ din
expresia sectiunii eficace de transport este divergenta din punct de vedere matematic pentru θ
= 0 pentru ca potentialul Coulomb descreste slab cu distanta si ∞→cσ . Din punct de vedere
experimental insa sectiunea eficace de transport este intotdeauna finita! Din acest motiv, in
general, integrala se face de la minθ la π, unde minθ este determinat de particularitatile
problemei studiate.
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 4
Imprastierea pe impuritati ionizate – tratare clasica
Ionii de impuritate, in numar , creaza in jurul lor un camp electric, sub actiunea caruia
purtatorii de sarcina in miscare spre centrul de imprastiere se abat de la directia initiala.
Abaterea este cu atat mai mare cu cat viteza purtatorilor de sarcina este mai mica si directia de
miscare este mai apropiata de impuritatea ionizata.
iN
+
electron hole
b b
θ -
k
k’ k
k’
Daca modelam purtatorii de sarcina ca particule clasice in campul Coulombian al
ionilor de impuritate de sarcina plasati intr-un mediu cu permitivitate relativa Ze rε , energia
potentiala de interactiune este
rZeV
r
14
)(0
2
επε±=r (13)
unde semnul negativ (pozitiv) corespunde electronilor (golurilor).
Notand cu b distanta minima intre ion si purtatorul de sarcina si cu θ unghiul de
imprastiere intre directia initiala si cea finala a purtatorului de sarcina, din calculul
imprastierii in camp Coulombian (vezi box) stim ca traiectoria purtatorilor de sarcina cu masa
efectiva m si viteza initiala v este hiperbolica, cu
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2cot
4 20
2 θεπε mv
Zebr
(14)
Demonstratia relatiei (14)
Daca centrul de imprastiere ramane imobil, impulsul si energia cinetica a electronului incident
raman neschimbate: , cu v modulul vitezei particulei incidente. mvfi == |||| pp
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 5
Din geometria de imprastiere reprezentata in figura de mai sus, notand if ppp −=Δ ,
obtinem
)2/sin(2 θmvp =Δ (15)
Notand cu φ unghiul intre si forta pΔ 30
2
4)(
rZe
r
rrFεπε
= intre electron si centrul de
imprastiere la un anumit moment, parametru ce variaza intre 2/)( θπ −− pentru particula
incidenta la distanta mare si 2/)( θπ − pentru particula imprastiata la distanta mare, avem
∫=Δ dtFp (16)
adica, deoarece componenta F pe directia pΔ este φcosF ,
φφ
φφθθπ
θπd
ddtFdtFmv ∫=∫=
−
−−
2/)(
2/)(coscos)2/sin(2 (17)
Tinand cont de conservarea impulsului unghiular vrL m×= la imprastiere, care ia valoarea
mvb la ±∞=r si ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dtdrrm φ la r finit, adica mvbr
dtdm =2φ , obtinem
)2/cos(2
sin4
1cos4
)2/sin(20
22/)(
2/)(0
22/)(
2/)(0
2θ
επεφ
επεφφ
επεθ θπ
θπ
θπ
θπ vbZe
vbZed
vbZemv
rrr==∫= −
−−
−
−− (18)
Din aceasta expresie rezulta ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2cot
4 20
2 θεπε mv
Zebr
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 6
In calculul timpului de relaxare τ se considera valoarea mediata dupa unghiul θ a sectiunii
diferentiale de imprastiere σ. Datorita simetriei axiale fata de centrul de imprastiere,
reprezentata in figura de mai jos, purtatorii de sarcina pentru care unghiul de imprastiere
variaza de la θ la θθ d+ se afla in unghul solid θθπ dd sin2=Ω si sunt incidenti la o
distanta intre b si . dbb +
Intr-un cristal cu volum V si concentratie n de purtatori de sarcina, numarul total de particule
deviate in unitate de timp in unghiul solid Ωd este egal cu fluxul de particule incidente pe
inelul de arie ||2 dbbdS π= , astfel incat (se ia pentru ca || db θd > 0 corespunde la < 0 si
vice-versa)
db
||2timpacelasiinariedeunitateapenormalincidenteparticulenr.
solidunghiulinunghiulcudeviateparticulenr.)( dbbnVv
nVvdSdd πθθσ ==Ω
=Ω
(19) Deoarece
θθεπε
dmv
Zedbr )2/(sin
18
|| 220
2= , (20)
avem
)2/(sin1
8sin||||2)( 4
2
20
2
θεπεθθπθσ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
Ω=
mvZe
ddbb
ddbb
r (21)
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 7
expresie cunoscuta si ca factorul lui Rutherford, obtinuta initial la imprastierea particulelor α
pe nucleele elementelor atomice.
In formula sectiunii eficace de transport, θθθθσπσ dc sin)cos1()(2 −∫= , integrala
devine divergenta daca limita inferioara de integrare este aleasa 0=θ , motiv pentru care
aceasta limita se alege ca fiind minθ , unghi de imprastiere ce corespunde la un care se
determina folosind faptul ca, pentru ioni de impuritate cu concentratia distribuiti uniform
in cristal, distanta medie intre ioni este . Considerand ca sfera de actiune a fiecarui
centru de imprastiere poate fi limitata la jumatate din distanta dintre ei, definesc
, astfel incat
maxb
iN
3/1−iN
3/1max )2/1( −= iNb
3/12
20
max2
20min 24
2cot
i
rr
NZemvb
Zemv επεεπεθ
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ (22)
Deoarece
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∫−
2sinln4
22
sin
2cos
8)2/(sin
2sin
2cos
2sin4
)2/(sinsin)cos1( min2
4
2
4minminmin
θθθ
θ
θθ
θθθ
θθ
θθ π
θ
π
θ
π
θddd
(23) (exprim rezultatul in functie de sin2 pentru ca sin poate fi si negativ!) obtinem
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−∫=
2
3/12
20
2
20
2
min2
2
20
2
21ln81
)2/(sin1ln
88sin)cos1()(2
min
i
r
r
rc
NZemv
mvZe
mvZed
επεεεπ
θεπεπθθθθσπσ
π
θ (24)
si deci
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==2
3/12
2042
3220
2
21ln
)(8)(
1)(
i
ri
r
cii
NZemvNeZ
vmvN
επε
εεπσ
τk
kk (25)
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 8
Aceasta expresie a timpului de relaxare este cunoscuta si ca formula Conwell-Weisskopf.
Pentru suprafete izoenergetice sferice, pentru care mEv /2= , avem
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
3/12042
2/3220
2/12/9
41ln
2)(
i
ri
ri
NZeENeZ
EmE
επε
εεπτ (26)
Pentru ca logaritmul din expresia de mai sus variaza lent cu energia, obtinem
2/32/3)()( EAETAE iii ≅≅τ (27)
ultima egalitate fiind satisfacuta deoarece factorul independent de energie, , depinde
foarte slab de temperatura, prin dependenta de T a masei efective a purtatorilor de sarcina.
)(TAi
Expresia timpului de relaxare indica faptul ca imprastierea pe impuritatile ionizate este
un proces ce dureaza cu atat mai mult cu cat energia purtatorilor de sarcina este mai mare.
Trebuie remarcat ca expresia timpului de relaxare obtinuta mai sus nu este valabila pentru
energii mici deoarece, daca , 0→E xx ≅+ )1ln( si
2/1
3/12 −= E
Nm
ii
πτ (28)
Timpul de relaxare la imprastierea pe atomii impuritatilor neutre
Imprastierea pe atomii impuritatilor neutre este un proces important la temperaturi joase, cand
impuritatile sunt doar partial ionizate. Acest mecanism de imprastiere se poate realiza fie prin
ciocnire elastica directa, fie prin schimbul dintre electronul incident cu un electron al atomului
de impuritate. Calculul timpului de relaxare, si in special calculul sectiunii eficace de
transport este dificil de obtinut in acest caz, dar putem estima timpul de relaxare din
imprastierea electronilor lenti pe atomul de hidrogen. Se obtine astfel formula Erginsoy
const.8020
)( 30
22≅==
nrBni
Nem
aNmE
hh επετ (29)
unde este concentratia atomilor de impuritati neutre si este raza
Bohr efectiva.
nN 220 /4 mea rB hεπε=
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 9
Imprastiere pe impuritati ionizate – tratare cuantica
Presupunem ca interactia elastica/Hamiltonianul de interactie intre electronii cu
masa efectiva m si impuritatile ionizate se poate exprima printr-un potential Coulomb ecranat:
ieH −
rrZerV
r
)exp(4
)(0
2 αεπε
−= (30)
unde α/1 este lungimea de ecranare, adica distanta pana la care potentialul scade de e ori.
Pentru a afla timpul de relaxare trebuie sa gasim intai probabilitatea de tranzitie
datorita imprastierii pe o impuritate ionizata
)(||)(|'|2)(|||'|2)',( '2
'2
kkkk kkkkkk EErVEEHP ie −⟩⟨=−⟩⟨= − δπδπhh
(31)
care exprima conservarea energiei la imprastierea elastica prin functia δ. In (31) s-a presupus
ca spinul electronilor nu se modifica in urma imprastierii, caz in care si reprezinta
starea cuantica a unui electron cu vector de unda k si, respectiv, .
⟩k| ⟩'| k
'k
Pentru fermioni, in cuantificarea a doua intre doua stari uniparticula cu acelasi spin,
elementul de matrice al oricarui operator in reprezentarea configuratiilor este ),(ˆ rr ∇− hiO
qrkrk rrrqrrrrkk OdiOiV
diOO =∇−⋅=∇−=⟩⟨ ∫∫ ),(ˆ)exp(1)(),(ˆ)(|ˆ|' *' hh ψψ (32)
unde s-au considerat functii de tip unda plana )exp()( 2/1 rkrk ⋅= − iVψ , cu , si s-a
notat cu transformata Fourier a operatorului .
'kkq −=
rrrq rq diOiVO ),(ˆ)exp(1 ∇−∫ ⋅= − h ),(ˆ rr ∇− hiO
In cazul potentialului Coulombian ecranat, , iar daca θ este
unghiul polar intre q si r, obtinem
qkkkk VVrV ==⟩⟨ − '|)(ˆ|'
220
21
10
2
2cos
0
2
0
2
1)exp(24
sin44
)(1
αεεαπ
επε
ϕθθεπεεπε
αθα
+=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
===
∫
∫∫∫
−
−−⋅⋅
qVZerdrre
iqrVZe
drddrr
eV
Zedr
eV
ZedrVeV
V
r
iqrx
r
riqr
r
ri
r
i rrrq
rqq
(33)
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 10
Observatie
Expresia (32) a elementului de matrice al unui operator oarecare O poate fi obtinuta si in ˆ
reprezentarea numerelor de ocupare a acestui operator:
kqkqk
qkkkk
kk ccOccOO +−
+ ∑∑ =⟩⟨=,
','
|ˆ|'ˆ (34)
unde si sunt operatorii de anihilare si, respectiv, creare a unui fermion cu vectorul de kc +kc
una k. Aceasta reprezentare, aplicata potentialului Coulombian ecranat, are ca rezultat
qkkkstskts
tststs
t kkkk VVccVccVV ==⟩⟨=⟩⟨=⟩⟨ −+−
+− ∑∑ ''
,,1||1||'|ˆ|' , (35)
daca starile si sunt identificate cu starile uniparticula si, respectiv, , in ⟩k| ⟩'| k ⟩k1| ⟩'1| k
care numarul electronilor este explicit indicat.
In cazul in care concentratia centrilor de imprastiere ionizati este si acestia produc
evenimente de imprastiere independente, probabilitatea totala de imprastiere se inmulteste cu
numarul centrilor de imprastiere din cristal, egal cu , si avem
iN
VNi
)('
1||2'1)',(
)(1
''
2'
'kk
χ
χ
kkk
χ
χ
kkk
kEE
kk
VVNkk
PVN ii −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∑=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∑= − δπ
τ h (36)
Trecand de la suma la integrala, alegand vectorii k, k’ si χ ca in cursul precedent, cu θ unghiul
intre k si k’, si tinand cont de faptul ca obtinem πϕπ
22
0=∫ d
'')(sincos'1])'[(
1)2(
4)(
1 2'222
2'
' 0 0
2
3
2 max
min
dkkEEdkk
VZeVVN k
k r
i
ikk
kkk−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−∫ ∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= θδθθ
αεεππ
τ
π
h
(37)
Pentru o relatie de dispersie parabolica: , cu ,
si folosind egalitatea , adica ,
mkE 2/22h=k222 'cos'2)'( kkkk +−=− θkk
)(||)( 1 xaax δδ −= )'()/2()]')(2/[( 222222 kkmkkm −=− δδ hh
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 11
( ) θθθαθεεπτ
πd
kkZemN
r
i
isincos1
])cos1(2[42
)(1
0222
2
0
2
3−∫
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
hk (38)
Schimband variabila x=− θcos1 , avem
∫+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
0 222
2
0
2
3 ])/2(2[2
42
)(1
αεεπτ xmExdxmEZemN
E r
i
i hhh)(
2 2/3220
2/9
42η
εεπF
EmNeZ
r
i= , (39)
unde
∫+
=2
0 2)/2()( dx
xxF
ηη (40)
este functia Brooks-Herring cu . 22/8 hαη mE=
Deoarece, in urma integrarii prin parti obtinem
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0 22ln
/2/2/2)/2()( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+−=
++
+−=
+= ∫∫
ηηηηηη x
xx
xdx
xx
xxdxF
ηηη+
−+=1
)1ln( ,
(41)
rezulta ca, in general, pentru 1>>η (conditie satisfacuta in majoritatea cazurilor de interes),
1ln)( −≅ ηηF este o functie cu variatie lenta cu energia.
Timpul de relaxare, dat de formula Brooks-Herring
)(
2)(
42
2/3220
2/9
η
εεπτ
FNeZ
EmE
i
ri = (42)
are astfel o dependenta a timpului de relaxare de energie similara cu cea din cazul clasic:
2/3EAii ≅τ (43)
Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 12
Pe de alta parte, la energii mici, daca 1<<η ,
2)/2()(
22
0 2η
ηη ∫ =≅
xdxF (44)
si
2/1−≅ EAiiτ (45)
expresie care este de asemenea in concordanta cu rezultatul clasic.
Faptul ca s-a obtinut aceeasi dependenta de energie in cazul clasic si cuantic se
datoreaza faptului ca interactiunea de tip Coulomb are raza lunga de actiune, astfel incat
aproximatia clasica poate fi justificata. Acesta nu este insa cazul in alte tipuri de imprastieri,
asa cum vom vedea in capitolele care urmeaza.
Imprastierea electronilor pe fononi acustici in cristale nepolare
Interactiunea electron-fonon in cristale nepolare
Prin fononi intelegem cvasiparticulele/cuantele oscilatiilor retelei cristaline compuse din ioni
(nuclee inconjurate doar de electronii de valenta de pe nivelele energetice inferioare).
Cristalele nepolare sunt cele cu legaturi covalente sau de tip van der Waals, in care nu exista
dipoli permanenti asociati atomilor diferiti din baza. In acest caz, intalnit in metale sau in unii
semiconductori, reteaua cristalina este formata din ioni cu sarcina pozitiva, electronii de
conductie cu sarcina negativa de pe nivelele energetice superioare miscandu-se (cvasi)liber in
material, deoarece sunt mai slab legati de nuclee decat electronii de valenta.
Intr-un cristal constand dintr-un numar N de ioni cu sarcina pozitiva, cu mase si
situati in pozitii , α = 1,..,N, inconjurati de si in interactiune cu electroni de conductie
cu mase m si plasati in pozitiile , i = 1,.., , Hamiltonianul total este
αM
αR elN
ir elN
∑∑∑∑∑ −+−+−+∇−+∇−=
++++=
≠≠
−
αα
βαβα
βαα
αα ,,,
22
22
)()(21)(
21
22 iiion
jiji
jieli
i
ionelionelionel
VUUMm
VVVTTH
RrRRrrhh (1)
unde primii doi termeni reprezinta energiile cinetice ale sistemului de electroni si ioni,
urmatorii doi interactiile electron-electron si ion-ion, interactiunea (imprastierea) electron-
fonon fiind descrisa de termenul
∑ −=−α
α,
)(i
ife VH Rr (2)
Deoarece deplasarile ionilor din pozitiile de echilibru sunt mici, astfel incat
, cu , putem dezvolta in serie Taylor potentialul de interactie:
0αR
ααα uRR += 0 0|| αα Ru <<
αα α
α
αα u
RRrRr ⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
−∂+−≅ ∑∑−
0,,
0 )()(i
i
iife
VVH (3)
Primul termen din partea dreapta se include sub forma de energie potentiala in Hamiltonianul
sistemului de electroni, in aproximatia adiabatica, si da nastere benzilor de energie datorita
Imprastierea electronilor pe fononi 2
periodicitatii. In procesul de imprastiere a electronilor pe fononi intervine doar termenul al
doilea din partea dreapta.
In aproximatia ionului rigid (modelul Nordheim), se presupune ca interactia
electron-fonon nu depinde de pozitia ionului: , astfel incat
Hamiltonianul interactiei devine
)()( 0αα RrRr −≅− ii VV
αα α
α uRrRr
⋅∑−∂
−∂−=−
, 0
0
)()(
i i
ife
VH (4)
Deoarece este o functie periodica, se poate descompune in serie Fourier: )( 0αRr −iV
)](exp[)( 00
αα RrtRrt
t −⋅∑=− ii iVV (5)
unde este transformata Fourier a potentialului de interactie. tV
Pentru un cristal din N ioni cu aceeasi masa M si cu s atomi in baza, deplasarile
normale corespunzand oscilatiilor cu frecvente λλ ωω ,)( qq = sunt
)exp( 0
,,
, αλλ
λα Rqeu qq
q ⋅∑= iA (6)
unde λ este indicele de polarizare, q este vectorul de unda al fononilor si si sunt
amplitudinea si directia de oscilatie (una longitudinala si doua transversale) a modului fononic
indexat de q,λ. In acest caz
λ,qA λ,qe
)exp()](exp[ 0
,,,,,,
0αλλ
λαα RqeRrtt qq
qtt ⋅∑ −⋅−=− iAiViH
iife (7)
Tinand seama de faptul ca in prima zona Brillouin avem
tqRtq ,0 ])(exp[1 δ
αα =∑ ⋅−i
N (8)
obtinem urmatoarea expresie pentru Hamiltonianul de interactiune electron-fonon:
∑ ⋅⋅∑−=⋅∑−=−i
iii
fe iiAVNiAViNH )exp()()exp( ,,,
,,,,
rqqerqeq qqq
qqqq
q λλλ
λλλ
(9)
Imprastierea electronilor pe fononi 3
Demonstratia relatiei (8)
Pentru stq =− , care este un vector din prima zona Brillouin, cu componente
)/(2 iiii aNps π= pe directia i = x,y,z pe care avem celule si numere intregi, si pentru iN ip
vectori din reteaua directa , cu intregi, 3322110 aaaR mmm ++=α im
0,0,11 1)/2exp(
1)2exp()/2exp(2exp1)exp(1ii
i
i
i
isp
ii
i
i
iiN
m i
ii
i
N
miii
i Npipi
NNpi
Nmpi
Namis
Nδδ
ππππ
==−
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑==
(10)
In continuare, consideram, ca si pana acum, imprastierea pe oscilatiile retelei a unui
singur electron in pozitia r, cu vector de unda initial k si vector de unda in urma
imprastierii, astfel incat spinul electronului sa nu se modifice ca rezultat al imprastierii. In
acest caz suma dupa i din (9) se inlocuieste cu operatorul
'k
)exp(ˆ rq ⋅= iO kkkk
krqk cci +⟩⋅⟨= ∑ '',
|)exp(|' (11)
in cuantificarea a doua, unde si c sunt operatori de creare si, respectiv, de anihilare a
electronilor. In plus, se inlocuieste amplitudinea oscilatiilor normale cu operatorul
+c
)ˆˆ(2
1ˆ,
,,
,,
+−+∑= λ
λλ
λλ ω q
qaa
NMAq
h (12)
exprimat in functie de operatorii de creare si anihilare a fononilor. Deoarece numarul
fononilor in starea initiala si finala a sistemului electron+fonon se modifica, dupa cum vom
vedea in continuare, este necesara exprimarea operatorilor in functie de operatori de creare si
anihilare.
Justificarea relatiei (12)
Amplitudinile oscilatiilor normale de tipul nu descriu deplasari )exp( 0,
,, αλ
λλα Rqeu q
qq ⋅∑= iA
reale in cristale finite; doar suprapuneri de unde plane reflectate de marginile cristalului duc la
deplasari reale. De exemplu, o solutie poate fi
Imprastierea electronilor pe fononi 4
)]exp()exp([ 0*,
*,
0,
,, αλλαλ
λλα RqeRqeu qqq
qq ⋅−+⋅∑= iAiA (13)
Daca se inlocuiesc si cu operatori de anihilare si creare a oscilatiilor retelei cu λ,qA *
,λqA
vector de unda k si polarizare λ, si presupunem ca , obtinem *,, λλ qq ee =
)ˆˆ)(exp(2
1
)]exp(ˆ)exp(ˆ[2
1ˆ
,,
,0
,,
0,
,
0,,
,
+−
+
+∑ ⋅=
⋅−+∑ ⋅=
λλ
λαλλ
αλλ
αλλλ
α
ω
ω
qqq
qqq
Rq
RqRq
aaieNM
iaiaeNM
u
h
h
(14)
Cu aceste substitutii, expresia Hamiltonianul de interactie electron-fonon devine
kkkk
qqq
qq krqkqe cciaaiVMNH
qfe
++−− ∑ ⟩⋅⟨+∑ ⋅−= '
',,,
,,
,|)exp(|'))((
2 λλλ
λλω
h (15)
Aceasta formula se poate simplifica pentru functii Bloch )(rkψ , care satisfac relatia
)()exp()( rRkRr kk ψψ αα ⋅=+ i , deoarece, in urma definirii variabilei pe celula
elementara, astfel incat , si in urma sumarii dupa toate celulele elementare de
volum Ω folosind relatia (8), obtinem
cr
αRrr += c
∫∑ ∫
∫
Ω+
Ω⋅=⋅⋅⋅−=
⋅=⟩⋅⟨
cccccccc diNdiii
dii
rrrqrrRkrrqRkr
rrrqrkrqk
kkqkkkk
kk
)()exp()()exp()()exp()'exp()(
)()exp()(|)exp(|'*
','*
'
*'
ψψδψψ
ψψ
ααα
(16) Din aceasta expresie rezulta ca 0|)exp(|' ≠⟩⋅⟨ krqk i doar daca qkk +=' . Rezultate similare
pentru arata ca interactiunea electron-fonon are loc cu conservarea cvasi-
impulsului total:
)exp( rq ⋅−i
qkk hhh ±=' (17)
semnul pozitiv (negativ) corespunzand procesului de anihilare/absorbtie (creare/emisie) a unui
fonon cu vector de unda q in urma imprastierii.
In urma imprastierii pe fononi si energia se conserva:
Imprastierea electronilor pe fononi 5
λω ,' qh±= EE (18) Daca nu ne limitam la prima zona Brillouin, conservarea cvasi-impulsului se scrie
Kqkk hhhh +±=' (19)
cu K un vector al retelei reciproce, expresie ce descrie anihilarea sau crearea unui fonon
simultan cu reflexia Bragg pe marginile primei zone Brillouin, ultimul proces implicand
transmisia unei parti a cvasi-impulsului intregii retele cristaline. Acest tip de procese se
numesc „U” (Umklapp, sau de rasturnare) pe cand cele in care legea de conservare este (17)
sunt procese „N” (normale).
In final, interactiunea electron-fonon cu anihilare de fononi (similar, si pentru procesul
cu creare de fononi) se poate exprima prin Hamiltonianul
kqkqqqk
q k ccaaFH fe+
++−− +∑= ))(( ,,
,,, λλ
λλ (20)
unde elementul de matrice este
⟩⋅+⟨⋅−= krqqkqek qqq |)exp(|)(2
)( ,,
, iiVMNF
qλ
λλ ω
h (21)
Factorul , care se anuleaza pentru oscilatii transversale, arata ca interactiunea
electron-fonon are loc doar pentru oscilatii/fononi longitudinali.
)( , qeq i⋅λ
In deducerea Hamiltonianului nu s-a tinut cont de interactiunea dintre electroni,
care ecraneaza interactia electron-fonon. Pentru a tine cont de acest efect, care apare in special
in metale, unde numarul elecronilor de conductie este mare, aproximam ecranarea cu un
potential exterior static si exprimam efectul acesteia prin introducerea unui element de
matrice al interactiunii efective
feH −
)()(
)( ,, q
kk q
q ελ
λF
F ef = (22)
unde )(qε este functia dielectrica statica. Hamiltonianul interactiunii ecranate devine
kqkqqq
q k ccaaFHk
efeffe
++
+−− +∑= ))(( ,,
,,, λλ
λλ (23)
Imprastierea electronilor pe fononi 6
astfel incat Hamiltonianul total al sistemului de electroni si fononi in interactiune poate fi
scris sub forma unui Hamiltonian Fröhlich
kqkqqq
qqqq
qk
kkk k ccaaFaaccEHk
ef ++
+−
++ +∑+∑+∑= ))(( ,,,,
,,,,
, λλλ
λλλλ
λωh (24)
in care primul si al doilea termen din partea dreapta descriu un sistem de electroni si,
respectiv, fononi liberi in cuantificarea a doua.
Calculul permitivitatii electrice ε(q)
Daca intr-un punct al unui sistem de electroni liberi exista o neomogenitate in distributia
sarcinii (surplus de sarcina pozitiva), electronii tind sa se aglomereze in aceasta regiune si
ecraneaza astfel influenta sarcinii suplimentare, restabilind neutralitatea electrica in jurul
neomogenitatii. Ecranarea este statica (ca in cazul nostru) daca sarcina pozitiva este fixa sau
dinamica daca este mobila. Daca sarcina pozitiva punctuala Q se considera in originea
sistemului de coordonate, un electron la distanta mare simte atat sarcina Q cat si sarcina de
polarizare indusa )(rneδ− , cu )(rnδ variatia concentratiei electronilor datorata sarcinii Q.
In cazul metalelor, relatia dintre concentratia electronilor si energia Fermi, dedusa la
cursul de solid: , este valabila local, energia Fermi putand varia 322/32/3 3/)2( hπFEmn = FE
spatial datorita introducerii sarcinii pozitive; mai precis, se modifica cu , ultimul FE )(reV
parametru fiind obtinut din ecuatia Poisson
)]()([)( 10
2 rrr neQV δδε −−=∇ − . (25)
Daca )()( 0 rr nnn δ+= este concentratia electronilor in urma redistribuirii acestora, fiind 0n
concentratia lor in absenta sarcinii Q, si daca notam cu energia Fermi in )()( 0 rr eVEE FF +=
prezenta Q ( fiind valoarea acestui parametru in absenta Q) astfel incat , 0FE 0)( FEeV <<r
00
2/3
000
0)(
231)(1)()]([)()(
FFFF
EeVn
EeVnEnEnnnn rrrrr ≅
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−=−=δ . (26)
Cu aceasta valoare a )(rnδ ecuatia Poisson
Imprastierea electronilor pe fononi 7
00
2
0
02 )()(23
εδ
εrr QV
Een
F
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∇ (27)
se rezolva usor trecand la transformata Fourier, cu ajutorul relatiilor
)exp()( rqr
qq ⋅∑= iVV , ∑ ⋅=
qrqr )exp()( iδ (28)
Solutia este
)(23 22
00
2
0
020
αεε
ε+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=q
Q
Eenq
QV
F
q (29)
unde 0
2
0
0
23
FEen
εα = este raza de ecranare Thomas-Fermi, ceea ce corespunde unui potential
Coulomb ecranat (vezi capitolul precedent)
rrQV )exp(
4)(
0
απε
−=r (30)
Alternativ, putem caracteriza ecranarea cu functia dielectrica )(qε care este o masura a
slabirii potentialului sarcinii externe. Daca in absenta ecranarii si in prezenta ei 20
0 / qQV ε=q
)(/0 qqq εVV = , avem
20
2
0
020
2
0
02
2 1231
2311)(
qEen
qEen
q FF εεαε ≅+=+=q (31)
ultima egalitate avand loc pentru un sistem de electroni puternic degenerat (cu mare, ca in 0n
metale)
Pentru a calcula elementul de matrice al interactiunii ecranate dintre electroni si fononi
longitudinali, putem renunta la indicele λ deoarece consideram doar fononi longitudinali, si
scriem si iqi =⋅ qeq λ, qωω λ =,q . Daca interactiunea dintre electroni cu sarcina si fononi
intr-un cristal cu ioni de sarcina asezati in punctele retelei Bravais este pur Coulombiana,
transformata Fourier a potentialului de interactiune este
e−
Ze
Imprastierea electronilor pe fononi 8
02
2
εVqZeV −=q . (32)
In acest caz, notand elementul de matrice in (16) cu
γ=⟩⋅+⟨ krqqk |)exp(| i (33)
obtinem
qMN
VqZeiqF
ωγ
ε 202
2 h=q , =efFq
q
F
q MNiqD
neqE
MN
VqZeiq
ωε
ωγ
ε 232
2 20
20
02
2 hh= (34)
cu , . NnV = 0)3/2( FEZD γ=
Observatie
Daca in loc de functii Bloch in (16), se folosesc unde plane )exp()( 2/1 rkrk ⋅≅ − iVψ , ceea ce
implica inlocuirea aranjamentului periodic de ioni in cristal cu un fond omogen de sarcina
pozitiva, obtinem pentru elementul de matrice ∫ ⋅=⟩⋅⟨ rrrqrkrqk kk dii )()exp()(|)exp(|' *' ψψ
qkkrrkrqrk +− =⋅⋅⋅−= ∫ ,'
1 )exp()exp()'exp( δdiiiV , adica 1|)exp(| =⟩⋅+⟨ krqqk i
Deoarece , Hamiltonianul interactiunii electron-fonon ecranate devine efef FF qq −=*)(
])([ *
,kqkqqkqkq
qkq ccaFccaFH efefef
fe+
−++
+− += ∑ (35)
relatie care se poate interpreta ca imprastiere in timpul careia electronul cu vector de unda k
trece intr-o stare cu vector de unda qkk ±=' , procesul fiind insotit de absorbtia (primul
termen) sau emisia (al doilea termen) fononilor cu vector de unda q.
Probabilitatea de tranzitie a electronului din starea initiala in care exista un singur
electron si un numar de fononi: qn ⟩⟩=⟩ kq 1||| ni , in starea finala ⟩⟩=⟩ '1|'|| kqnf este deci
)(||||2),( 2if
effe EEiHffiP −⟩⟨= − δπ
h, (36)
Imprastierea electronilor pe fononi 9
cu qqk nEEi ωh+= , qqk '' nEE f ωh+= .
Elementul de matrice al Hamiltonianului se poate scrie
]1||1||')(1||1||'[|| '*
',
⟩⟩⟨⟨+⟩⟩⟨⟨∑=⟩⟨ +−
+++− kstskqtqtkstskqtq
stt ccnanFccnanFiHf efefef
fe
(37) si, deoarece
1,',||' −=⟩⟨ qqqtqqtq nnnnan δδ , 1,',1||' ++ +=⟩⟨ qqqtqqtq nnnnan δδ (38a)
kstskkstsk ,,'' 1||1 δδ +++ =⟩⟨ cc , (38b) kstskkstsk ,,'' 1||1 δδ −
+− =⟩⟨ cc
obtinem
qkkqtqkkqq qqqq −++−− ++=⟩⟨ ,'1,'
*,'1,' 1)(|| δδδδ nn
efnn
efeffe nFnFiHf (39)
In ecuatiile de mai sus s-au folosit relatiile specifice operatorilor de creare si anihilare:
⟩++=⟩+ 1|1| nnna , ⟩−=⟩ 1|| nnna , unde , . ijji aa δ=+ ],[ 0],[],[ == ++jiji aaaa
Rezultatul obtinut tinand cont si de conservarea energiei, scrisa sub forma
)]''([ ' qqqkk nnEE −+− ωδ h , este ca probabilitatea de tranzitie din starea initiala in cea finala
contine doi termeni, care corespund proceselor insotite de absorbtie si emisie de fononi:
),(),(),( qkkqkk −++= emabs PPfiP (40a)
)(||2),( 2qkqkqqqkk ωδπ
hh
−−=+ + EEnFP efabs (40b)
)()1(||2),( 2qkqkqqqkk ωδπ
hh
+−+=− − EEnFP efem (40c)
Timpul de relaxare la imprastierea pe fononi acustici
In cristale nepolare imprastierea are loc in special pe
fononi acustici, proces care este insotit de o modificare
mult mai mica a energiei electronilor fata de imprastierea
de fononi optici (vezi relatiile de dispersie caracteristice
acestor fononi in figura din dreapta).
Imprastierea electronilor pe fononi 10
Ca si probabilitatile de tranzitie, si timpul de relaxare la imprastierea pe fononi acustici
contine doi termeni, corespunzand absorbtiei si emisiei de fononi:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
−⋅−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−∑ −+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
+⋅+−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−∑ +=
kχqkχ
qkk
kχqkχ
qkkk
q
q
)()()(
1)(1
)(1),(
)()()(
1)(1
)(1),(
)(1
0
0
0
0
EE
EfEf
P
EE
EfEf
P
em
abs
ac
ωω
ωωτ
hh
hh
(41)
In cazul fononilor acustici qvac=qω , si pentru o lege de dispersie parabolica pentru
electroni, legea de conservare a energiei devine k
χ q
θ
α β
ϕ
qvmm ach
hh±=
±22
)( 2222 kqk (42)
sau, notand θ unghiul dintre k si q,
hm /2cos2 acmvkq ±= θ . (43)
Din , pentru valori tipice = 2⋅103 m/s, obtinem o temperatura
caracteristica a fononilor acustici = 1 K, ceea ce inseamna ca pentru temperaturi mult mai
mari decat aceasta valoare energia fononului acustic poate fi neglijata fata de energia
electronului, astfel incat
2/2acacB mvTk = acv
acT
)()( EqvE ac χχ ≅± h si putem considera imprastierea ca fiind
practic elastica: )()( 00 EfqvEf ac ≅± h
χ
χ
qχ
χ
qqkkqkk
k kq
Pkq
P emabs
ac∑ −+∑ +−= ),(),(
)(1
τ (44)
Neglijand energia fononului acustic si in functiile delta din expresiile probabilitatilor
de tranzitie:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±≅−± θδδ cos
2)( 2 k
qkqh
mqvEE achmkqk (45)
si folosind faptul ca =efqF
qMNiqD
ω2h , obtinem
Imprastierea electronilor pe fononi 11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±=± θδπ cos
221
21),( 2
2,
kqn
kMNvmDP
ac
emabs mh
qqkk (46)
Trecand de la suma la integrala dupa q in expresia timpului de relaxare
( ) si folosind faptul ca in geometria de mai sus, similar cu cazul
imprastierii pe impuritati ionizate, ,
∑ ∫→q qdV ])2/([ 3π
ϕθθ ddqd sin2=q ϕβθβθα cossinsincoscoscos += ,
)cossintan(coscoscos ϕθβθ
βα
+==kq
kq
kq
χ
χ (47)
si, deoarece , 0cos2
0=∫
πϕϕd
⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−∫∫= θδθδθθθ
πτ
πcos
2)1(cos
2cossin
4)(1
0
322
2 max
min kqn
kqnddqq
kMNvmVD
k qqq
qacac h
(48)
Folosind in integrala dupa θ functia delta, obtinem
)]1([8)(
1 max
min
432
2++∫
Ω= qq
q
qacacnndqq
kMvmD
k hπτ (49)
cu Ω volumul celulei elementare. Limita inferioara de integrare este, de obicei, , iar
cea superioara este (din (43)), daca acesta valoare este mai mica decat limita
impusa de frecventa Debye
0min =q
kq 2max =
3 2 /6/ VNvq acDD πω == , si Dqq =max in caz contrar.
Pentru un gaz de fononi in echilibru termodinamic,
1)/exp(10
−=≅
Tkqvnn
Bacqq
h,
1)/exp()/exp(1−
=+Tkqv
TkqvnBac
Bacq
h
h . (50)
Imprastierea electronilor pe fononi 12
1) Metale
In cazul metalelor, deoarece electronii care participa la conductie sunt in imediata vecinatate a
nivelului Fermi ( ), considerand o lege de dispersie parabolica, obtinem FEE ≅ h/2mEk =
h/2 FmE≅ = 108 cm–1 pentru = 4 eV si FE 0mm ≅ , in timp ce 3 26 nqD π= = 8⋅107 cm–1
pentru o concentratie a ionilor n = 1022 cm–3, astfel incat Dqq =max . Introducand notatia
timpul de relaxare este dat de Tkqvx Bac /h=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ=
TI
ETC
ED
D
m
ac 2/35
5
)(1
τ (51)
unde este temperatura Debye, BDacD kqv /h=Θ
ac
Dm
vmM
qDC
π2/9
52
2
Ω=
h, ∫=
−+
∫=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ ΘΘ TTD DD
dxxxxxdxx
TI
/
0
4/
0
4 )2/coth(1)exp(1)exp( (52)
a) temperaturi inalte ( TD <<Θ , 1)exp( <<x ):
4/
0
3/
0
4
212
1)1(2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
=∫=∫−+
≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ ΘΘ
Tdxxdx
xx
TI DTTD DD
2/312/32)( ETETC
Em
Dac
−≈Θ
=τ (53)
b) temperaturi joase ( TD >>Θ ): .const)( ==∞≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ bI
TI D
2/352/35
5)( ETE
bTCE
m
Dac
−≈Θ
=τ (54)
2) Semiconductori
In semiconductori energia electronilor poate fi aproximata cu energia termica astfel incat, la T
= 300 K si pentru 0mm ≅ , hh /2/2 TmkmEk B≅= = 5⋅106 cm–1, in timp ce are
aproximativ aceeasi valoare ca si in cazul precedent: 8⋅107 cm–1. In consecinta si,
facand schimbarea de variabila , obtinem
Dq
kq 2max =
Tkqvx Bac /h=
Imprastierea electronilor pe fononi 13
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Tk
kvIkv
TkCk B
ac
ac
Bs
ac
h
h
22)(
1 5
τ, (55)
cu
2
224hacMvkmDC
πΩ
= (56)
Deoarece in acest caz (am vazut anterior ca energia fononilor acustici corespunde unei
temperaturi de 1 K), avem
1<<x42
212
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Tkkv
TkkvI
B
ac
B
ac hh
kTkmDMvk
B
acac
12)( 2
32
Ω=
hπτ (57)
relatie care, pentru o lege de dispersie parabolica devine
2/112/12/32
422)( −−− ≈Ω
= ETETkmD
MvEB
acac
hπτ (58)
Observatie: Timpul de relaxare pe fononi optici in cristale nepolare poate fi calculat similar,
folosind relatia de dispersie specifica. Acest mecanism, care nu mai poate fi aproximat cu un
proces elastic, devine semnificativ in conditii de temperaturi ridicate sau in cazul excitarii
optice sau electrice a materialului, situatie in care energia electronilor creste mult peste
valoarea la echilibru.
Imprastierea electronilor pe fononi 14
Imprastierea electronilor pe fononi optici in cristale polare
Interactiunea electron-fonon optic
In cristale polare, cu legatura ionica sau partial ionica, imprastierea electronilor pe fononi
optici este mai puternica decat cea pe fononi acustici deoarece in timpul oscilatiilor ionilor cu
polaritati diferite se formeaza un moment de dipol electric in fiecare celula, cu care electronii
interactioneaza Coulombian. Exemple de cristale polare sunt cristalele ionice, izolatoare din
punct de vedere electric, dar si semiconductori polari, cum ar fi compusii AIII-BV.
Si in acest caz putem folosi aproximatia ionului rigid (modelul Nordheim), potentialul
Coulombian referindu-se la sarcinile efective Q asociate ionilor:
||4)( 0
0
0±
±±
−=−
αα
πε RrRr
jj
eQV m (59)
Hamiltonianul de interactiunii a electronului cu cele doua tipuri de ioni este
∑∑⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
−
−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∂
−∂+
−∂
−∂−= −
−
−+
+
+−
−
−+
+
+
−α
αα
αα
α
α
αα
α
αα
α
α
πεu
RrRru
RrRru
RrRru
RrRr
30
0
30
0
00
0
0
0
||||4)()(
)()( eQVVH fe
(60)
unde deplasarile de la pozitiile de echilibru pentru oscilatiile normale ale retelei sunt
)exp(1 0,
,,
±±
±
± ⋅∑= αλλ
λα Rqeu qq
q iANM
(61)
astfel incat, modeland perechile de ioni adiacenti ca dipoli ale caror momente se anuleaza in
starea de echilibru, cand , obtinem −+ = 00αα RR
)(||4 30
0
0∑ −
−
−−= −+
+
+
−α
ααα
α
πεuu
RrRreQH fe (62)
unde
)( −+ −= ααα uuM Q (63)
este momentul de dipol. Polarizarea se defineste ca momentul de dipol pe unitatea de volum a
celulei elementare: Ω= /αMP .
Imprastierea electronilor pe fononi 15
Trebuie observat ca, desi in cristalele ionice exista sarcini localizate pozitive si
negative asociate ionilor in stare de echilibru, acestea nu contribuie la interactiunea electron-
fonon, ci determina structura de benzi a cristalului. In nu intervin decat deplasarile de la
pozitiile de echilibru. In acest sens momentele dipolare ale ionilor adiacenti se anuleaza la
echilibru!
αM
Tinand cont de faptul ca pentru oscilatii optice (vezi cursul de solid)
0,, =+ −−
++ λλ qq ee MM (64)
alegem vectorii de polarizare
λλ ,, ˆqq ee−+
±
+±=
MMM m (65)
cu un versor de polarizare, astfel incat, in termenii unei mase reduse definite prin λ,ˆqe
−++=
MMM r
111 (66)
si renuntand la indicele + in expresia Hamiltonianului, obtinem
αα α
α
πεu
RrRr ~
||4 30
0
0∑
−
−−=−
eQH fe (67)
unde
)exp(ˆ1~ 0,
,, αλ
λλα Rqeu
qq ⋅∑= iA
NMq
r (68)
este o deplasare de tipul (61) in care apare masa relativa in locul masei ionilor.
Hamiltonianul de interactie (67) este acelasi cu cel din cazul imprastierii electronilor
pe fononi acustici daca masa ionului M este inlocuita cu si daca sarcina pozitiva este
inlocuita cu Q. Ca urmare, transformata Fourier a potentialului de interactiune se scrie
rM Ze
02εVq
eQV −=q (69)
Imprastierea electronilor pe fononi 16
si in elementul de matrice al interactiunii electron-fonon nu se ia in considerare ecranarea
datorita electronilor, care este neglijabila in acest caz deoarece electronii sunt mult mai putin
mobili. In consecinta
qrMN
VqeQiF
ωε 20
h=q (70)
iar probabilitatea de tranzitie pe unitatea de timp cu absorbtia sau emisia unui fonon optic este
)(21
21||2),( 2,
qkqkqqkk ωδπhmm
hEEnFP q
emabs −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=± ± (71)
Sarcina Q este determinata de diferenta dintre sarcinile nucleelor si ale electronilor cat
si de deformarea sarcinii electronice ca rezultat al momentelor de dipol care se formeaza, si
poate fi in general legata de permitivitatea mediului polarizabil. Mai precis, daca se aplica un
camp electric exterior polarizarea totala va fi o suma a polarizarii P produsa de oscilatiile
retelei si polarizarea a paturilor electronice: elP
eltot PPP += (72)
Tinand cont de legatura dintre inductia electrica D si : totP
EPED εε =+= tot0 (73)
rezulta
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−=−=r
rtot ε
εεεε 10
0 DDDEDP , (74)
o relatie similara existand intre si permitivitatea optica relativa: elP
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=r
rel ε
ε~
1~DP (75)
In consecinta,
Imprastierea electronilor pe fononi 17
DPPP ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=
rreltot εε
1~1 (76)
Deoarece polarizarea unei perechi de ioni cu sarcina Q si masa redusa poate fi dedusa si
din conditia de egalitate a fortei externe in vid
rM
0/εDEF QQext == cu forta reactiva a
oscilatiilor retelei, , obtinem )(2 −+ −= ααω uuF optrreact M
DuuPΩ
=−Ω
= −+2
0
2)(
optrMQQ
ωεαα (77)
sau
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −Ω=
rroptrMQ
εεωε 1
~12
02 (78)
adica
220
22 1
~1
2||
VqC
qV
eF opt
rr
optq
ωεεε
ω=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
h (79)
Timpul de relaxare la imprastierea pe fononi optici
Introducerea unui timp de relaxare la imprastierea electronilor pe fononi optici longitudinali
cu frecventa optω nu este in general justificata deoarece imprastierea nu poate fi considerata
elastica sau cvasielastica, dar in cazul temperaturilor inalte si joase introducerea acestui
parametru este posibila.
Legea de conservare a energiei pentru un electron cu masa efectiva m este
optmk
mωhhh
±=±
22)( 2222 qk (80)
sau, daca θ este unghiul dintre k si q,
0cos2
222=± optm
kqmq ωθ hm
hh (81)
Imprastierea electronilor pe fononi 18
Rezolvand aceasta ecuatie in raport cu q obtinem doua solutii corespunzatoare procesele de
absorbtie si emisie de fononi, pe care le notam si respectiv : 1q 2q
222
1 coscos ηθθ +±−= kkq (de fapt, doar 2221 coscos ηθθ ++−= kkq ) (82a)
2222 coscos ηθθ −±= kkq (de fapt, doar 222
2 coscos ηθθ ++= kkq ) (82b)
unde 222 22
hh
h optBopt mkm Θ==
ωη . In realitate doar solutiile pozitive (cele din parenteze) sunt
relevante, deoarece ne referim la modulul vectorului de unda pentru fononi.
a) Temperaturi inalte: , optT Θ>> η>>k , astfel incat atat pentru emisia cat si pentru
absorbtia fononului avem , 0min =q kq 2max = . In acest regim de temperatura imprastierea
poate fi considerata elastica, astfel incat
χ
χ
qχ
χ
qqkkqkk
k kq
Pkq
P emabs
opt∑ −+∑ +−= ),(),(
)(1
τ (83)
cu
)(21
21||2),( 2,
optqemabs EEnFP ωδπ
hmmh
kqkqqkk −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±=± ± , (84)
)cossintan(cos ϕθβθ +=kq
kq
χ
χ (85)
si in functiile delta putem neglija energia fononului optic:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±≅−± θδωδ cos
2)( 2 k
qkqh
mEE opthmkqk (86)
Trecand de la suma la integrala in expresia timpului de relaxare, ca si in cazul fononilor
acustici
∫ +=kopt
optdqnq
k
mC 2
033 )12(
4)(1
qk hπ
ωτ
(87)
unde, la temperaturi ridicate putem aproxima numarul fononilor cu
Imprastierea electronilor pe fononi 19
11)/(1
11)/exp(
1>>
Θ==
−+≅
−=
optopt
B
BoptBoptq
TTkTkTk
nωωω hhh
(88)
Rezultatul este
opt
optk
opt
opt
opt
Tk
mCqdqT
k
mCΘ
=∫Θ
= 3
2
033
24)(
1hh π
ω
π
ωτ k
, (89)
2/112/122/12)( ETE
TmCE opt
optopt
−∝Θ
=ω
πτ h (90)
b) Temperaturi joase: , optT Θ<< η<<k . In acest caz imprastierea este inelastica,
introducerea timpului de relaxare nefiind posibila. Dar, daca optBTk ωh<< majoritatea
electronilor pot doar absoarbe fononi, proces in care electronii capata o energie situata intre
optωh si optωh2 . In urma absorbtiei, electronul emite un fonon deoarece raportul dintre
probabilitatea de emisie si absorbtie este foarte mare. Acest raport este dat de
1exp1
>>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≅
+Tkn
n
B
optωh
q
q (91)
pentru ca variatia energiei unui electron in urma absorbtiei si emisiei imediate a unui fonon
optic este foarte mica, fiind determinata doar de variatia slaba a frecventei fononului optic cu
q, imprastierea poate fi considerata elastica. (Variatia cvasi-impulsului electronului este foarte
mare in urma imprastierii!).
In calculul timpului de relaxare se iau in
considerare insa doar procesele asociate cu absorbtia
fononului (vezi figura din dreapta), descrise prin
probabilitatea de tranzitie
)(||2),( 2optq
abs EEnFP ωδπh
h−−=+ + kqkqqkk
E ωopt (92) cu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=−−+ θηδηθδωδ cos
22cos
2)(
22
2
22222
kqq
kqm
mmkq
mqEE opt
h
hhhhkqk (93)
Imprastierea electronilor pe fononi 20
iar limitele de integrare sunt
)0(22
min =−+= θη kkq (94a)
)(22max πθη =++= kkq (94b)
Procedand ca si in cazurile de mai sus, cu ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Θ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
TTkn opt
B
opt expexpωh
q
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
++
−+Θ−=
∫−
=++
−+
ηη
ηηη
ηη
π
ω
ηπ
ωτ
η
η
kk
kkkkT
k
mC
dqq
qnk
mC
optopt
kk
kk
opt
opt
2
2
2
2
22
2
33
22
33
1
1ln12)/exp(
4
4)(1
22
22
h
hqk
(95)
Pentru η<<k , 2
2
2
2
2111
ηηkk
+≅+ , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−±≅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛±+ 3
3
2
2
611ln
ηηηηkkkk , termenul din
paranteza mare este si )/)(3/4( 3 ηk
)/exp(3)(
13 T
mCopt
opt
optΘ−=
ηπ
ωτ hk
(96)
)/exp()/exp(3)(3
TTmC
E optoptopt
opt Θ∝Θ=ω
ηπτ h (97)
La temperaturi joase timpul de relaxare la imprastierea electronilor pe fononi optici in cristale
polare este independent de energia electronilor!
Observatie: In cristale polare piezoelectrice (in general compusi AIIBVI) imprastierea pe
fononi acustici este comparabila cu cea pe fononi optici deoarece oscilatiile acustice cu
lungime de unda mare produc forte elastice insotite de polarizarea electrica a cristalului. In
acest caz, la imprastierea pe fononi acustici, (ca la imprastierea pe fononi
optici in cristale polare nepiezoelectrice), iar la imprastierea pe fononi optici la temperaturi
joase, , ca in cristale polare nepiezoelectrice.
2/11ETpiezoac
−∝τ
)/exp( Toptpiezoopt Θ∝τ
Fenomene cinetice in solide. Conductivitatea electrica
La inceputul cursului am stabilit ca, pentru suprafete izoenergetice sferice: ,
tensorul conductivitatii, definit ca
mkE 2/22h=k
∑=ν
νμνμ σ Ej (1)
este izotrop: . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
σσ
σσ μν
000000
In plus, am gasit o relatie intre conductivitatea electrica si mobilitatea electronilor cu
concentratie n si masa efectiva m si media timpului de relaxare ca functie de energie:
μτσ neEm
ne=⟩⟨= )(
2,
mEe⟨
=⟩)(τμ ,
∫
∫∞⎛⎝=⟩⟨ 0)(Eτ
∞
⎟⎠⎞
⎜⎝−
⎟⎠⎞
⎜⎛−
0
2/30
2/30 )(
dEEdEdf
dEEEdEdf τ
(2)
Relatii similare cu (2) pot fi insa obtinute pentru relatii de dispersie diferite de cea
parabolica. De exemplu, in Ge si Si suprafetele izoenergetice sunt eliptice:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
3
23
2
22
1
21
2
2 mk
mk
mk
E hk (3)
ceasta situatie poate fi redusa la cazul suprafetelor izoenergetice sferice printr-o schimbare A
de variabila
3,2,1,''/ == μμμμ kmmk (4)
stfel incat a
'2')'''(
'2
2223
22
21
2' m
kkkkm
E hh=++=k . (5)
inand cont de faptul ca, si in acest caz tensorul conductivitatii este diagonal pentru ca
energia este o functie para de , cu
T
μk
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 2
∫ ⎟⎞
⎜⎛−=
∞ 022
22)( kkkdfe τσ μμ
h , ⎠⎝0
4
3d
dEmπ μ (6)
si de relatia
k'dmm 2/132 ) , obtinem k
mmdkdkdkd 2/3
1321
'(
==
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∞∞
0
2/302/1
3212/322 (2 me h
320
402/5
2/1321
2 )()3
)('
)(3
dEEEdEdf
mmmdkkk
dEdf
mmmmm τ
πτ
πσ
μμμμ
h
(7) Pe de alta parte, in mod analog,
∫ ⎟⎞
⎜⎛−= 0
32321 )(2 E
dEdfmmmn
⎠⎝
∞
0
2/32/12/3
3dE
hπ, (8)
astfel incat
⎝
=
zz
yy
σσσμν
000000
(9)
cu
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎛ xxσ
xxxσ neEmne μτ =⟩⟨= )(
1
2, yyy neE
mne μτσ =⟩⟨= )(
2
2, zzz neE
mne μτσ =⟩⟨= )(
3
2. (10)
Conductorul anizotrop poate fi caracterizat printr-o conductivitate si masa e
fectiva de
drift, definite ca
⟩⟨=++=++= σσσ yyxx(1 τμμμσd
zyxzz mnene
2)(
31)
3 (11a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=⊥mmmmmmd
2131111
311
||321
ultima egalitate avand loc in cazul r
masa efectiva longitudinala si una transversala.
(11b)
elatiei de dispersie de forma elipsoid de rotatie,
introducand o
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 3
Relatiile pot fi extinse si in cazul in care benzile de energie contin mai multi elipsoizi,
de exemplu cN elipsoizi echivalenti, fiecare cu in electroni si avand axele principale de-a
lungul axelor de coordonate x, y, si z. In acesta situatie, specifica Si (vezi figura de mai jos),
⟩⟨=++=
++= σσσσ cN )(
τμμμd
izyxi
c
zzyyxx
menenN 2
)(3
3 (12a)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=321
1113
1mmm
Nm
c
d (12b)
Masa efectiva de drift este diferita de masa efec
ele doua fiind egale doar cand exista un singur minim al benzii si cand conductorul este
izotrop
. Acesta este cazul compusilor
semico
tiva obtinuta din relatia de dispersie,
c
. De asemenea, tensorul conductivitatii poate avea componente nediagonale daca axele
elipsoizilor sunt dispuse dupa alta directii decat x, y, si z.
Un alt caz de importanta practica este cel in care energia depinde doar de modulul lui
k, dar dependenta, desi izotropa, nu este parabolica
nductori AIIIBV cu banda interzisa ingusta, de exemplu InSb, pentru care
⎥⎥⎤
⎢⎡
−⎟⎞
⎜⎛+=
22/122
g kE h
⎦⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
112 g
k mEE (13)
m fiind masa efectiva la ma
k ˆ)/(11 dkdEE −− =∇= hh , cu , si
rginea inferioara a benzii de conductie. In aceasta situatie,
k k/ˆ kk =
v
⎟⎞
2k∫
⎠⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∞
0
202
2)(
3dk
dkdEk
dEdfe τ
πσ
h∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∞2e2
0
30
2 )()()(
3dE
EmEkE
dEdf τ
π (14)
introdus o masa efectiva dependenta de energie prin )(
)( 2kunde amEmdk
kdE h= .
etalica sau semiconductoare a
cristalului. Metalele si semiconductorii, prin functia de distributie si prin mecanismele de
pras
Aceste relatii sunt valabile indiferent de natura m
im tiere specifice au comportari diferite la aplicarea unui camp electric, asa cum vom
vedea in cele ce urmeaza.
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 4
Rezistivitatea electrica a metalelor si aliajelor
Rezistivitatea elec
eoarece reteaua cristalina a metalelor este formata dintr-un singur tip de atomi, aceste
l incat conductivitatea unui metal pur, ideal si izotrop
trica a metalelor
D
materiale sunt cristale nepolare, astfe
este determinata de imprastierea electronilor pe fononi acustici. In acest caz
2/3528)( EMvmE Dac
ac ⎟⎞
⎜⎛ Θ=
πτ , 52 T
TIqD D
D⎠⎝⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ΘΩh
(15)
cu
1)exp(1)exp(/
0
4−+
∫=⎟⎠⎞
⎜⎛ΘI⎝
Θ
xxdxx
T
TD D (16)
In metale, la temperaturi joase, presupunem ca distributia electronilor este total
egenerata astfel incat )( 00FdE Fd EEdf
−=− δ , cu E valoarea nivelului Fermi la T = 0, si
0
)()(
)( 0
0
2/30
0
2/30df ⎞⎛∞
Fac
ac
ac EdEE
dEdf
dEEEdEE τ
ττ =
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∫ ⎟⎠
⎜⎝−
=⟩∞
, )( 02
Fac Em
ne τσ =⟨ , (17)
adica
5
05
52
2/3020 1
2)(28
)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΘΩ
==σσT
TIT
TIqmD
EMvneE D
D
D
DD
FacF
σπ
h
(18)
sau, in termeni de rezistivitate,
⎟⎞
⎜⎛ Θ⎟
⎞⎜⎛= IT D
5
02ρρ ⎠⎝⎠⎝ Θ TD
(19)
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 5
Observatie 1
Formula timpului de relaxare (15) a fost obtinuta in aproximatia imprastierii elastice a
electronilor pe fononii acustici. In cazul in care energia fononilor acustici, desi foarte mica,
este luata in considerare, se obtine o formula asemanatoare, functia ⎟⎠
⎜⎝ T
I fiind inlocuita ⎞⎛ΘD
cu dublul functiei
∫=⎟⎠
⎜⎝ T
J0
5[e −
⎞⎛Θ Θ TD Ddx
xxx/
2
5
]1)xp()exp( (20)
Ambele expresii dau aceeasi dependenta a timpului de relaxare in limita temperaturilor joase
si inalte. Ca functie de , dependenta rezistivitatii de temperatura, 5J
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
⎠⎞
⎝⎛Θ TT D
D5
5
0 ⎟⎜= J4ρρ (21)
este cunoscuta ca formula Bloch-Grüneisen.
bservatie 2 O
Aproximatia distributiei total degenerate a electronilor este justificata in cazul metalelor,
deoarece, altfel, pentru o functie de distributie Fermi-Dirac
]/)exp[(11)(0 TkEE
EfBF−+
= (22)
2/3Eputem exprima medierea pe termenul din expresia timpului de relaxare ca
)()()(2
322/30
00
002/3 FTk
dEEffdEEdEE =
∫+−=
∫ ⎟⎠
⎜⎝−
=⟩⟨)2/3()(
)(
2/12/1
00
03
0
23
0
2/30
30
yFy
dEEfEEf
EE
dEEdEdf
df
B
∫+−∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎞⎛
∞∞
∞∞
∞
∞
(23)
unde , TkEy BF /=
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 6
∫∞
+−=
0 1)exp()(
yxdxxyF
α
α (24)
este integrala Fermi-Dirac, si
)()(2
2/30 yFTkB ⎟
⎞⎜⎛
)(22/10 yFE
EF
F ⎟⎠
⎜⎝
= σσ . (25)
Deoarece la temperaturi scazute dar finite, , putem aproxima integralele 1/ >>= TkEy BF
Fermi Dirac cu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎛
=+1
1)( yyFα
α⎝
++
+ 2
2 )1(61 y
ααπα
, (26)
obtinem
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
0
20
431)(
F
BF E
TkE πσσ (27)
corectia fata de expresia (18) fiind de sub 1%.
Pornind de la formula rezistivitatii metalelor (19) sau de la formula Bloch-Grüneisen,
btinem aceleasi dependente de temperatura in regimul de temperaturi inalte si joase. o
a) Temperaturi inalte: DT Θ>> . Deoarece
4/
0 2 ⎠⎝∫
⎠⎝ TT3 12 ⎟
⎞⎜⎛ Θ=≅⎟
⎞⎜⎛Θ Θ
dxxI DTD D,
4/
0
35 4
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Θ=∫≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Θ Θ
Tdxx
TJ DTD D
D
TΘ
= 0ρρ (28)
Aceasta es , a rezistivita
mperatura camerei sau temperaturi mai inalte (vezi figura de mai sus).
te dependenta cunoscuta, liniara tii de temperatura valabila la
te
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 7
In cazul in care, pentru anumite metale DΘ = 300 – 400 K, aproximatia DT Θ>> nu
mai este valabila la temperatura camerei si este necesara retinerea termenilor s na uperiori, pa
la , in dezvoltarea in serie a exponentialelor: 3x62
1)exp(32 xxxx +++≅ , si
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎞⎛ Θ⎞⎛⎞⎛ Θ 4/ 2 11xTD⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ−⎟
⎠⎜⎝
=∫ ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝−≅⎟
⎠⎜⎝
Θ 2
0
3
91
2612
TTdxx
TI DDD ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Θ=∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Θ Θ 24/
0
23
5 1811
41
121
TTdxxx
TJ DDTD D
dependenta rezistivitatii de temperatura fiind usor diferita in cele doua cazuri
⎥⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛ Θ−=
2
011T Dρρ ,
⎥⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛ Θ−=
2
011T Dρρ
⎦⎢⎣ ⎠⎝Θ 18 TD ⎦⎢⎣ ⎠⎝Θ 18 TD (29)
b) Temperaturi joase: . In acest caz limita superioara a integralei se poate extinde la
finit si rezultatul integrarii este o constanta, b. In consecinta, in acest regim de temperatura
DT Θ<<
in
5
0' ⎟⎞
⎜⎛=
Tρρ (30) ⎠⎝ ΘD
dependenta con ,
n), trivalente (In), tetravalente (Sn, Pb), si la unele metale de tranzitie (Ti, Mo).
efectivi de
rcina ai benz
cu A, B constant
e temperatura a rezistivitatii arata ca in
firmata de experimente pentru metale monovalente (alcaline), bivalente (Cd
Z
Pe de alta parte la multe metale de tranzitie 2T∝ρ sub 10 K datorita unui alt
mecanism de imprastiere: electronii „usori” ai benzilor s, care sunt purtatori
sa , se imprastie pe electronii „grei”, practic imobili, ilor d. La aceste metale
52 BTAT +=ρ (31)
e. In general, dependenta
d
figura din dreapta.
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 8
Rezistivitatea reziduala a metalelor. Regula Matthiessen
upa cum reiese si din (30) si (31), rezistivitatea electrica datorata oscilatiilor retelei
arul de fononi devine zero (ionii
D
(imprastierii pe fononi) se anuleaza la T = 0 K deoarece num
retelei devin statici). Experimental, se constata insa ca valoarea rezistivitatii metalelor
normale (nu a celor supraconductoare!) tinde spre o valoare constanta, numita rezistivitate
reziduala, pe masura ce temperatura scade spre 0 K. Rezistivitatea reziduala este independenta
de temperatura si se datoreaza imprastierii electronilor de conductie pe imperfectiunile statice
ale retelei (impuritati, defecte, dislocatii), prezente intr-un metal real. La temperatura camerei
rezistivitatea reziduala este cu 2-3 ordine de marime mai mica decat cea a metalului ideal,
astfel incat devine semnificativa doar la temperaturi joase. Imprastierea electronilor pe
imperfectiunile statice este considerata elastica, timpul de relaxare putand fi exprimat ca
(similar cazului imprastierii pe impuritati)
cFirez vN σ
τ 1= (32)
unde este numarul impuritatilor statice, viteza Fermi (viteza electronilor la
peraturi scazute) si
iN Fv
tem cσ este sectiunea eficace de transport.
Deoarece procesul de imprastiere p
e impuritati statice si cel de imprastiere pe fononi
acustici sunt necorelate,
acrez τττ111
+= (33)
probabilitatile de imprastiere se aduna, si
5
5' T
+= ρρρ , (34a) 0D
rezΘ
irez
rez N (34b) en
m∝=
τρ 1
20
expresie denumita regula lui Matthiessen;
aceasta regula datorita impuritatilor care schimba spectrul fononic prin
0n reprezinta concentratia de electroni la T = 0 K.
Pot exista abateri de la
modificarea interactiunii electron-fonon. Masurarea rezistivitatii la temperaturi foarte scazute
este o metoda de a estima puritatea unui metal.
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 9
Rezistivitatea electrica a aliajelor. Regula Nordheim
general, rezistivitatea electrica creste in cazul aliajelor metalice, deoarece introducerea in
za reteaua cristalina a metalului A si
ales,
In
reteaua unui metal A a atomilor metalului B distorsionea
imprastierea electronilor creste. In plus, interactiunea chimica a componentilor poate duce la
cresterea rezistivitatii. Aliaje metalice se formeaza doar intre metale miscibile, in care mixtura
formata in stare lichida nu se separa in straturi/regiuni continand un singur element.
Intr-un aliaj binar dezordonat A-B, cu concentratii ale componentilor A si B egale cu c
si, respectiv, c−1 , daca structura aliajului nu se modifica pe intervalul de compozitii
1( ccrez −∝ )ρ , (35)
relatie numita
ediu al electronului in aliaj este (o tratare riguroasa este, desigur, mult mai complicata)
(36)
unde si su
ecinatatea atomilor de tip A si B devine, respectiv,
(37)
cu . In calculul timpului de
atratul elementului de matrice al potentialului de interactie intre starea initiala si finala,
te elemente d
⟩⟨=⟩− kkk ABB VcV . (38)
Intr-un aliaj contributia atomilor A si B este proportional cu
zistivitatea electrica, se obtine inmultind elementul de matrice corespunzator cu concentratia
|||'|)1(|||'|)1(|) ⟩⟨−=⟩⟨−+⟩− kkkk ABAB VccVccc . (39)
si regula Nordheim. Aceasta relatie se poate justifica considerand ca potentialul
m
BA VccVV )1( −+=
AV BV nt potentialele atomice ale atomilor A si B. In consecinta, potentialul in
v
ABA VcVV )1( −=− , ABB cVVV −=−
BAAB VVV −= relaxare, probabilitatea de imprastiere se obtine din
p
aces e matrice pentru atomii A si B fiind
222 |||'|)1(|||'| ⟩⟨−=⟩−⟨ kkkk ABA VcVV , |'| ⟨k V 222 |||'|||
la timpul de relaxare, care
re
c, respectiv c−1 , astfel incat
2 ||'|1(),( ⟨∝ kk ABVcfiP 2222
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 10
Regula Nordheim este confirmata de
zultatele experimentale pentru aliaje binare
dezord
u retea cristalina, in care rezistivitatea scade fata de compusii
dezord
re
onate, de exemplu Ag-Au (aliaj perfect
miscibil, vezi figura din dreapta), Ag-Cu, Au-Cu
(curba punctata din figura de mai jos, stanga), dar
unele abateri s-au observat la aliajele metalelor de
tranzitie cu metalele nobile.
In unele aliaje, de exemplu Au-Cu, se pot obtin
presiune compusi ordonati, c
e in anumite conditii de temperatura si
onati, in care atomii A si B nu sunt asezati periodic (linia continua in figura de mai jos
stanga). In astfel de cazuri rezistivitatea poate fi mai scazuta decat a metalelor componente.
De asemenea, in anumite situatii aliaje din metalele A si B se obtin doar in anumite
ale a eapta). In aceste intervale regula Nordheim
este va
ixtura de graunti de
metale
interv i sus, dr
Cu Cu3Au CuAu Au
de compozitie (vezi figura de m
labila.
Pentru aliaje metalice complet
nemiscibile, m
A si B poate fi considerata ca o
retea de rezistori conectati in serie si
paralel (vezi figura din dreapta).
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 11
Conductivitatea electrica a semiconductorilor
Spre deosebire de te determinata de
mbele tipuri de purtatori de sarcina: electroni si goluri, iar functia de distributie este de tip
metale, in semiconductori conductivitatea/rezistivitatea es
a
Maxwell-Boltzmann:
⎟⎠⎞
⎜⎛ −
=EEEf Fexp)(
⎝ TkB0 (40)
In acest caz, pentru un timp de relaxare rETAE )()( =τ ,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ
=
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎞⎛−
∞∞ 2/30 dEEEdf τ=
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∫ ⎟⎠
⎜⎝=⟩
∞
+
∞
25
25
))((exp
exp)(
)()(
0
2/3
0
23
0
2/30
0r
TkTAdEE
TkE
dEETk
E
TAdEE
dEdf
dEE rB
B
r
Bτ
(41) unde, pentru , functia Γ este definita ca
−
0
1) dxxx y (42)
Tinand cont ca pentru n intreg,
⟨
TkEx B/=
∫=Γ∞
exp()(y . −
, !)!12(22 4
1−=⎞⎛ +Γ nn π 35 π
=⎞⎛Γ)!1()( −=Γ nn ⎟⎠
⎜⎝ n , avem
2⎟⎠
⎜⎝
ectiva depinde slab de temperatura
si, pentru electroni, daca masa ef
⎟⎠⎞⎛ 5)(4 2neTA r ⎜
⎝+Γ=
2)(
3r
mTk
nBn
πσ , (43a)
rTTA )(∝ . (43b) rB
nn rTk
mTeAT
25)(
3)(4)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ=
πμ
La imprastierea pe fononi acustici: 2/1−=r
1
422)( −∝= TMvTA acac
hπ , 2/32/1)(3
)(4)( −∝= TTkm
TeATBn
acacn
πμ (44)
2/32 Ω TkmD Bn
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 12
La imprastierea pe fononi optici mperaturi inalte in semiconductori polari: la te 2/1=r
1
202)( −∝
Θ= T
TTA opt
optεπh ,
2/3
me noptω2/12/1)(
)(8)( −∝= TTk
TeAT B
optoptnμ 5
3 mnπ (4 )
La imprastierea pe fononi optici la temperaturi joase in semiconductori polari: 0=r
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ Θ
∝⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ Θ
=TA optoptopt expexp23)(
20επ h , ⎟⎟
⎞⎜⎜⎛ Θ
∝=TeA
T optoptn exp
)()(μ
⎠⎝⎠⎝ TTme optnω ⎠⎝ Tmopt
n
(46)
La imprastierea pe impuritati ionizate: r = 3/2
.const2
)(42
220 ≅=
mTA rn
iεεπ
, 2/12/9
KNeZ i
2/32/3)()(8)(inμ TTk
mTeAT Bn
i ∝=π
(47)
unde K este o functie care depinde te slab de energie:
foar
⎥⎥⎥
⎢⎢
⎟⎟
⎜⎜+=
3/12041ln)( r EEK επε in formula Conwell-Weissk
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎠
⎞
⎝
⎛2
iNZeopf (tratare clasica)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
228)(
hαEmFEK n in formu ranata)
La imprastierea pe
la Brooks-Herring (tratare cuantica, interactiune ec
impuritati neutre: r = 0
const.)(3
≅= ni
emTAεπε
, 80 0
22
nr Nh≅=
n
iin (μ
mTeAT )() const. (48)
mobilitatea fiind independenta d tura.
Trebuie remarcat ca in ultimele doua mecanisme mobilitatea este invers proportionala
in semiconductori puri. De asemenea, in
formul
e tempera
cu concentratia impuritatilor, fiind mai mare
ele de mai sus a fost neglijata dependenta (foarte slaba) de temperatura a masei
efective, constantei de cuplaj electron-fonon si frecventelor de oscilatie acustice si optice.
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 13
In plus, nu s-au luat in considerare mecanisme de
imprastiere ca imprastierea electron-electron, intervai, pe
disloca
l
T )(μ (49)
unde
la imprastierea pe fononi acustici,
la imprastierea pe fononi optici la temperaturi inalte,
s = 3/2 l
s = 0 la
prastierea golurilor se obtin inlocuind masa
ferentelor dintre structura
ne
tii, etc., intalnite in anumiti semiconductori sau in
conditii speciale. De exemplu, imprastierea intervai are loc
intre vaile din banda de conductie a Si, ilustrate in figura
din dreapta.
In concluzie, cu exceptia imprastierii pe fononi optici
a temperaturi joase,
sT∝ n
2/3−=s
2/1−=s
a imprastierea pe impuritati ionizate
imprastierea pe impuritati neutre.
La prima vedere, formulele pentru im
efectiva a electronilor cu cea a golurilor. Totusi, datorita di
energetica a benzilor de valenta si conductie, suprafetele izo-energetice pentru goluri nu sunt
in general sferice si mecanismele de imprastiere nu sunt intotdeauna aceleasi ca pentru
electroni. In particular, imprastierea pe fononi acustici este insotita de imprastierea intervai si
pe fononi optici. De aceea, pot aparea diferente intre parametrii s din (49) in cazul
semicondutorilor n si p din acelasi material.
Dupa cum am vazut si la seminar, in cazul conductiei ambipolare pn jjj += si
)pn p( μμσ + = (50)
Dependenta
mobilitatii cat si a concentratiei purtatorilor de sarcina. Pentru semiconductori intrinseci,
de temperatura a conductivitatii este determinata de dependenta de T atat
a
in si
pn ==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=+ μ=
TkE
NNeneB
gvcpnipni 2
exp)()( μμμσ , (51)
unde
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 14
2/333
2/3,
,4
)2(T
TkmN Bpn
vc ∝=hπ
π
nsitatile effective de stari in banda de conductie si valenta. Latimea benzii interzise se
poate determina din masuratori l
ezi laboratorul de solid!) si din fitarea ulterioara cu o linie dreapta a dependentei
(52)
sunt de
experimentale ale concentratiei intrinseci date de efectul Hal
(v
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛T
fT
ni 1ln2/3
.
In cazul in care mobilitatile electronilor si golurilor au aceeasi dependenta de
temperatura (acelasi s),
⎟⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛−+
TkE
B
gs
2exp2/3 (53)
⎠
∝ Tiσ
dica a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∝
TkE
TB
gi 2
exp2/3σ la imprastierea pe impuritati neutre, la temperaturi joase
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∝
TkE
TB
gi 2
exp3σ la imprastierea pe impuritati ionizate
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∝
TkE
TB
gi 2
expσ la im inalte prastierea pe fononi optici in semiconductori polari, la T
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∝
TkE
B
gi 2
expσ la im iconductori puri
Deoarece dependenta de temperatura a factorului exponential este dominanta, rezistenta
electrica a semicond
prastierea pe fononi acustici, in sem
uctorilor depinde de temperatura ca
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
TAR exp , (54)
B
asuratorile experimentale permitand gasirea mecanismului de imprastiere si a latimii benzii
interzise d
m
gE in dependenta ⎟⎞
⎜⎛= fR 1ln (vezi laboratorul de solid! Se reprezinta mai multe
⎠⎝T
mult de o linie dreapta sau cea pentru care este mai aproape de valoarea obtinuta din alte
tipuri de masuratori).
astfel de curbe pentru diferite valori ale s si se considera relevanta cea care se apropie mai
gE
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 15
Consideratiile de mai sus sunt valabile doar daca un singur mecanism de imprastiere
este dominant, situatie care nu corespunde i tdeauna realitatii. De exemplu, pentru n-Ge in
intervalul de temperat
nto
ura 100-280 K, , in timp ce pentru p-Ge in intervalul 66.1exp −∝Tnμ
300-400 K, 3.2exp −∝ Tpμ . In particular, daca imprastierea purtatorilor de sarcina (electroni
sau goluri) cu masa efectiva m pe fononi acustici si impuritati ionizate are loc simultan,
)(1
)(1
EEτ= , (55)
)(1
E iacef ττ+
)()()()( EEee iac ττ)(EEm
Em iac
ef τττμ
+=⟩⟨= . (56)
Deoarece si , la temperaturi inalte putem neglija imprastierea pe
impuritati ionizate, la temperat a
ecanisme actionand simultan doar la temperaturi intermediare, pentru care
ET iτ ,
2/3−∝Tacμ 2/3Ti ∝μ
uri joase neglijam imprastierea pe fononi acustici, cele dou
m2/1)( −= Aacacτ Ai= , 2/3)( ET
2/1)(3)(4)(
TkmTeAT
B
acac
πμ = , 2/3)()(8)( Tk
mTeAT B
ii
πμ = , 222 )()(6 TkTk
AA
BBi
ac
i
ac βμμ
==
22
2/3
22
2/3
22
2/3
)/()/(
43
)/()()(
)/()(
βμπ
βτ
+=
+=
+=
TkETkE
em
TkEE
TkTA
AAEEAE
B
Bac
BB
ac
iacacef
(57)
si
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ
=
∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
∫+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=⟩⟨=∞
∞
25
)(4
3
exp
)/()/(exp
43)(
0
2/3
022
2/32/3
βμπβμπτμ J
dEETk
E
dETkE
ETkETk
E
Eme
ac
B
B
B
Bacef (
sau
58)
)(βμμ Jac= (59)
, cu ,
TkEx B/=unde
∫+
−=∞
022
3 )exp()( dxx
xxJβ
β (60)
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 16
si tinand ∝cont ca Tβ se obtine dependenta de temperatura a mobilitatii pe intregul
terval de valori, incluzand cele inalte si joase. Intr-adevar, pentru
32 −
∞→iμ , 0→βin ,
( =−∞
dxx 1)2(exp)0(0
=Γ∫=→ xJ β , ac) μμ = (61)
∞→acμ , ∞→βiar daca ,
ac
idxxxJμμ
ββββ ==
Γ=∫ −=∞→
∞
220
32
6)4()exp(1)( , iμμ = (62)
In cazul concret al unui semiconductor cu impuritati ionizate donoare de concentratie
, de exemplu P in Si (vezi cursul/seminarul de statistica a purta )
te determinata de conditia de neutralitate electrica
N+ 0
e carora exista
lectroni localizati)
dN torilor de sarcina in solid!
concentratia electronilor es
d Npn += (63)
unde 0dN este concentratia impuritatilor neutre (pe nivele energetice al
d
e
Ev
Ed
Eg
Egd Ec
tratiei electronilor de temperatura se intalnesc trei cazuri
si pentru care electronii din banda de conductie
rovin prin excitarea termica a elec r localizati pe nivelele de impuritate. Avem o
In acest caz, in dependenta concen
1) temperaturi mici, pentru care pN d >>
p tronilo
concentratie mica de electroni, data de
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
TkENN
TkEENNn
B
gddc
B
cddc
2exp
22exp
2)2/exp(4/3 TkET Bgd−∝ (64)
Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 17
2) temperaturi intermediare, intre temperatura de
saturatie sT pentru care donorii sunt complet
nizati e nivelele donoare sunt libere) si
temperatura de incepere a conductiei intrinseci ,
entru care dar . In acest caz,
=
i n
io (toat
iT
p dNpn += id nN <<
al conductiei extrinseci (vezi figura din dreapta),
dNn = , di Nn /2 (65)
3) temperaturi mari, peste iT , in care donori su
intrinseca:
n
p
t complet ionizati si conductia este
⎟⎠
⎜⎝ TkB2 d⎟
⎞⎜⎛−==
ENNn g
vci exp (66)
ezi figura din partea dreapta), in
dominanta de temperatura de tip exponential,
din reprezentari
n N>>
In ceea ce priveste conductivitatea
electrica (v
regiunea 3) este de tip intrinsec, cu dependenta
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Tf 1lnσ putandu-se
termde ina latimea benzii interzise.
In domeniul de saturatie 2) dependenta conductiv
dependenta de T a mobilitatii pentru ca dNn
itatii de temperatura este dictata de
= = const. Avand in vedere prezenta unui num
mare de impuritati ionizate, putem presupune
dominant, si ca ∝σ
depinde din nou exponential de temp
ar
ca acesta este mecanismul de imprastiere
μ . La temperaturi mai joase, in regiunea 1), conductivitatea
eratura, si
2/3Ti ∝
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∝⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= +
TkE
TTk
ET
TkENNe
B
gd
B
gd
B
gddci 2
exp22
exp2
25.22/3μσ (67)
din reprezentari de
exp4/3
tipul ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
T1 gasindu-se energia de ionizare a impuritatii, E . = flnσ gd
T Ts Ti
extrinsec
1) 2) 3)
intrinsec
3) 2) 1)
Coeficienti fundamentali de transport
In conditii de neechilibru si in prezenta unui gradient de temperatura T∇ in cristal apare un
flux termic. Prin analogie cu densitatea curentului electric, densitatea fluxului termic in
unitatea de timp se poate defini ca
krkvrkvw kk
k dfEEfEE FF ),()(4
1),()( 3,∫ −=∑ −=
πσ (1)
In expresia de mai sus energia termica, adica FEE −k inlocuieste sarcina electrica din
expresia densitatii de curent, iar ),()(),( 10 rkrk k fEff += , cu 01 ff << . Avand in vedere
proprietatile de simetrie ale functiei de distributie de echilibru,
krkvj dfe ),(4
13 ∫−=π
(2)
krkvw k dfEE F ),()(4
113 ∫ −=
π (3)
Aceste relatii sunt valabile si in prezenta campului magnetic. In camp electric si in prezenta
unui gradient de temperatura ecuatia cinetica Boltzmann este
0)(0 =
−+∇⋅−∇⋅
kEv kr τ
fffefh
(4)
Pentru
vkkk h⋅=∇=∇≅∇dEdfE
dEdfff 00
0 (5a)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇
−+∇−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∇≅∇−
TT
EEEdEdf
TkEE
drdff F
FB
F 01
0 1)(exp rrr (5b)
obtinem
dEdfT
eTEEE
eef F
F0
11)(),( vEkrk ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇
−+∇+= τ . (6)
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 2
O comparatie cu conductivitatea electrica derivata in prezenta doar a campului electric intr-un
conductor uniform arata ca, in cazul general E se inlocuieste cu TeT
EEEe
FF ∇
−+∇+
1E
astfel incat densitatile de curent electric si flux termic devin
TT
Ee F ∇−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇+=
βσˆ1ˆ Ej (7)
TT
Ee F ∇−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇+=
χβˆ1ˆ Ew (8)
unde σ̂ , si β̂ χ̂ sunt tensorii fundamentali de transport. Pe componente, relatiile de mai sus
se scriu
TT
Ee
Ej F νμν
ννμνμβ
σ ∇−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇+=
1 (9)
TT
Ee
Ew F νμν
ννμνμχ
β ∇−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇+=
1 (10)
unde
kk dvvdEdfe
νμμν τπ
σ )(4
03
2
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= (11)
kk dvvEEdEdfe
F νμμν τπ
β )()(4
03 −∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−= (12)
kk dvvEEdEdf
F νμμν τπ
χ )()(4
1 203 −∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= (13)
In cazul izotrop, cand campul electric si gradientul de temperatura sunt aplicate pe directia
axei x,
dxdT
TdxdE
eEj xxF
xxxxβσ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1 , dxdT
TdxdE
eEw xxF
xxxxχβ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1 (14)
coeficientii fundamentali de transport σσ =xx , ββ =xx , χχ =xx calculandu-se analog
conductivitatii electrice de la inceputul cursului.
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 3
In particular, pentru suprafete izoenergetice sferice
⟩⟨= τσm
ne2 (15)
( ⟩⟨−⟩⟨−= ττβ FEEmne ) (16)
( ⟩⟨+⟩⟨−⟩⟨= τττχ 22 2 FF EEEEmn ) (17)
Conductivitatea termica a solidelor
Conductivitatea termica este determinata de transportul de energie atat prin purtatorii de
sarcina (electroni si/sau goluri) cat si prin oscilatiile retelei (fononi), fiind asociat cu procese
de imprastiere (ciocniri) caracterizate printr-un timp de relaxare.
Conductivitatea termica este caracterizata de proportionalitatea dintre densitatea
fluxului termic in unitatea de timp si gradientul de temperatura:
dxdTwx κ−= (18)
semnul negativ indicand scaderea fluxului de energie termica. Parametrul κ este
conductivitatea termica si, in general, este o suma a contributiilor electronice si fononice:
fe κκκ += . (19)
Conductivitatea termica a conductorilor In conductori (metale sau semiconductori), , astfel incat 210/ −≅ef κκ eκκ ≅ . Pentru a
determina expresia conductivitatii termice se foloseste de obicei un montaj experimental in
care fluxul sarcinii electrice pe directia considerata, de exemplu x, este nul, astfel incat
dxdT
TdxdE
eEj F
xxβσ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +==
10 (20)
dxdT
TdxdE
eEw F
xxχβ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1 (21)
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 4
de unde obtinem
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= χ
σβκ
21Te (22)
sau
⟩⟨⟩⟨−⟩⟩⟨⟨
=τ
τττκ22 EE
mTn
e (23)
Din aceasta expresie rezulta ca o valoare nula a conductivitatii termice se obtine cand τ =
const. sau cand gazul electronic este total degenerat, caz in care . )()()( 00F
nF
n EEEE ττ =⟩⟨
Din punct de vedere experimental coeficientii de transport satisfac relatia Wiedemann-
Franz
Te ∝σκ (24)
expresie ce poate fi pusa sub forma T
L e
σκ
= = const., unde L este numarul lui Lorentz.
Aceasta expresie este cunoscuta si sub numele de legea Wiedemann-Franz-Lorentz. Avem
2
22
221
⟩⟨
⟩⟨−⟩⟩⟨⟨==
ττττ
σκ EE
TeTL e (25)
Daca timpul de relaxare este dat de , rETAE )()( =τ
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=⟩⟨∞
∞++
0
2/30
0
2/30
)()(dEE
dEdf
dEEdEdf
TAEE
mnr
nmnτ
∫+−
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
=∞∞
∞++∞++
00
2/10
2/30
00
2/10
2/30
)(23
)(23
)(dEEfEEf
dEEfEmnrEfTA
mnrmnr
n (26)
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 5
)()(
23
32))((
)(
)(
23
32)(
2/1
2/1
00
2/1
00
2/1
yFyFmnrTkTA
dEEfE
dEEfEmnrTA mnrmnr
Bn
mnr
n +++∞
∞++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∫
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
unde
∫+−
=∞
0 1)exp()(
yxdxxyF
α
α (27)
cu , sunt integralele Fermi-Dirac. Cu aceste notatii obtinem TkEx B/= TkEy BF /=
[ ]
[ ]22/1
2
22/3
2
2/12/52
)(23
)(25)()(
23
27
yFr
yFryFyFrr
ekL
r
rrrB
+
+++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (28)
Metale
Folosind aproximatia ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+=
+
2
21 )1(6
11
)(y
yyF ααπα
α
α pentru integralele Fermi Dirac,
valabila pentru temperaturi scazute dar finite, 1/ >>= TkEy BF , si dependenta nivelului
Fermi de temperatura valabila in aceleasi conditii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
0
20
121
F
BFF
ETkEE π (29)
avem
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++=
++
+
2
0
212/
2/ 1226
112/
1)(F
Bsr
B
Fsr
ETksrsr
TkE
sryF π
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
++ 2
0
212/01
221
61
12/1
F
Bsr
B
F
ETksrsr
TkE
srπ (30)
astfel incat
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 6
222
2/1
2/3
2
2/1
2/52
3)()(
2325
)()(
2327
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+
+
+
+
ek
yFyF
r
r
yFyF
r
r
ekL B
r
r
r
rB π (31)
ultima parte a egalitatii de mai sus, care
reprezinta legea Wiedemann-Franz-
Lorentz la metale, obtinandu-se dupa
inlocuirile cu ajutorul relatiei (30).
Numarul Lorentz in cazul metalelor este
= 2.45×10–8 WΩ/K2. 0LL =
In figura din dreapta este aratata
dependenta de temperatura a numarului
Lorentz pentru Ni si compusul metalic
PrBa2Cu4O8.
Pentru metale, la o temperatura data, σκ ∝e , asa cum rezulta din figura de mai jos,
obtinuta pentru temperatura camerei.
Legea Wiedemann-Franz este verificata experimental doar la temperaturi inalte. La
temperaturi joase ar trebui ca in metale deoarece , dar din 4−∝= TTLe σκ 5T∝ρ
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 7
experimente rezulta . Aceasta dependenta se poate justifica prin faptul ca timpul de
relaxare se modifica datorita conductivitatii termice, astfel incat in locul dependentei
la metale la temperatura joasa, obtinuta pentru conductivitatea electrica, avem , si
deci . De asemenea, la temperaturi joase devine importanta si imprastierea pe
imperfectiunile statice, care aduce o contributie aditionala la conductivitatea termica
electronica, . Deoarece rezistenta reziduala este independenta de
temperatura, obtinem , si, prin analogie cu regula Matthiessen,
2−∝ Teκ
5−∝ Tτ
3−∝ Tτ2−∝ Teκ
rezreze TL ρκ /0=
Treze ∝κ
rezee κκκ111
+= , (32)
adica
21 BTTA+=
κ (33)
La temperaturi inalte, si 1−∝∝ Tτσ
eκ = const. (vezi figura din dreapta).
Relatia (33) arata ca, odata cu
scaderea temperaturii conductivitatea
termica electronica trece printr-un
maxim si apoi scade rapid la zero,
dependenta care este in acord cu
experienta, dupa cum se poate observa
din figura din stanga, pentru Au.
In general, din dependenta liniara
)( 3TfT=
κ se obtine coeficientul B din
panta dreptei si constanta A din
extrapolarea ordonatei la origine.
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 8
Semiconductori
In cazul unei distributii nedegenerate de purtatori de sarcina,
)1()exp()exp()(0
+Γ=∫ −≅∞
ααα ydxxxyyF (34)
unde . Folosind relatia de recurenta ∫ −=Γ∞
−
0
1)exp()( dxxx αα )()1( ααα Γ=+Γ , care se poate
demonstra usor prin integrare prin parti:
)1(1)exp()exp(1)exp()(000
1 +Γ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫ −+−=∫ −=Γ∞∞∞
− ααα
α ααα dxxxxxdxxx
obtinem
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
−ΓΓ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+
+
+
+
25
)()(
)()( 22
2/5
2/7
2/5
2/92
re
kyy
yy
ekL B
r
r
r
rB . (35)
Avem
2)/(2 ekL Bac = la imprastierea pe fononi acustici pentru care 2/1−=r
2)/(4 ekL Bi = la imprastierea pe impuritati ionizate pentru care 2/3=r
In cazul semiconductorilor exista doua tipuri de purtatori de sarcina: electroni si
goluri, expresia conductivitatii termice in acest caz fiind
)())(()(1 2
pn
pnpnpne T σσ
χχσσββκ
+++−+
−= , (36)
unde coeficientii fundamentali de transport pentru electroni si goluri sunt
⟩⟨= nn
n mne τσ
2, ⟩⟨= p
pp m
pe τσ2
, (37)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⟩⟨⟩⟨
−= Fn
nnn EE
e ττσβ , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⟩⟨⟩⟨
−= Fp
ppp E
Ee τ
τσβ (38)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⟩⟨⟩⟨
−⟩⟨⟩⟨
= 22
2 2 Fn
nF
n
nnn EEEE
e ττ
ττσχ ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⟩⟨⟩⟨
−⟩⟨⟩⟨
= 22
2 2 Fp
pF
p
ppp E
EE
E
e ττ
ττσ
χ (39)
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 9
Conductivitatea termica este
⎟⎟⎠
⎞
⟩⟩⟨⟨⟩⟩⟨⟨+⟩⟩⟨⟨+⟩⟩⟨⟨
+
⟩⟨
⟩⟨−⟩⟩⟨⟨+⎜
⎜⎝
⎛
⟩⟨
⟩⟨−⟩⟩⟨⟨
+=
pn
pnnppnpn
p
pppp
n
nnnn
pne
EEEE
EEEETe
ττττττττ
σσ
τ
τττσ
ττττσ
σσκ
2
)(1
22
2
222
2
222
2
(40)
si
2
222
)( ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
++
=eE
T
LLL F
n
n
p
p
pn
pn
pn
ppnn
σβ
σβ
σσ
σσσσσσ
(41)
unde numerele Lorentz pentru
electroni si goluri sunt
2
22
221
⟩⟨
⟩⟨−⟩⟩⟨⟨=
n
nnnn
EETe
Lτ
τττ ,
2
22
221
⟩⟨
⟩⟨−⟩⟩⟨⟨=
p
pppp
EE
TeL
τ
τττ
In semiconductorii puternic dopati dependenta de temperatura a conductivitatii termice
in regim extrinsec este similara cu cea din metale, deoarece concentratia purtatorilor de
sarcina este aproximativ constanta (vezi figura de mai sus).
In semiconductorii intrinseci,
concentratia purtatorilor de sarcina
depinde de temperatura, dependenta
de temperatura a conductivitatii
termice avand forma din figura din
dreapta.
Grupul de efecte in care
transportul purtatorilor de sarcina
intr-un conductor are loc in prezenta
unui gradient de temperatura ∇ sau T
creaza se numesc efecte termoelectrice. Cele mai importante sunt efectele Seebeck,
Peltier si Thomson, pe care le-ati studiat la seminar.
T∇
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 10
Conductivitatea termica a retelei cristaline Contributia fononilor (a oscilatiilor retelei cristaline) la transportul de energie termica este
determinant in materiale izolatoare din punct de vedere electric. Daca fluxul termic datorat
transportului de fononi are loc intre doua portiuni ale unui material intre care exista un
gradient de temperatura, presupunem ca acesti fononi sufera procese de imprastiere.
Definim fluxului termic in unitatea de timp al unui mod de vibratie fononica cu
energia λλ ω ,, qq h=E si numar de unda || q=q ca
gn vw q
qq λ
λλ ω ,
,, h∑= (42)
unde λλ ωω ,, qq −= si, in cazul fononilor acustici, q
vacgqv qq ),( ϕθ= este viteza de grup.
Avand in vedere ca la echilibru termic si densitatea fononilor depinde doar de 0,
0, λλ qq −= nn
λω ,q , deoarece viteza de grup este aceeasi ca marime dar opusa ca semn pentru q si
. In consecinta, un flux de energie termica diferit de zero apare doar daca densitatea
fononilor difera de valoarea la echilibru termic si nu mai are aceeasi valoare pentru
modurile q si . Aceasta situatie apare in prezenta unui gradient de temperatura, cand
densitatea fononilor variaza in timp in orice punct al cristalului.
0=w
q−
λ,qn
q−
Daca la un moment de timp t densitatea fononilor este , dupa un interval de timp
fononii se deplaseaza si numarul lor corespunde densitatii dintr-o regiune la distanta
, adica va fi
λ,qn
tΔ
tgΔv
Tn
Ttnntn gg∂∂
∇Δ−=∇Δ− λλλλ
,,,,
qqqq vv (43)
iar viteza de variatie a densitatii fononilor este
Tn
Tt
ng
drift ∂∂
∇−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂ λλ ,, qq v . (44)
O stare stationara se stabileste cand au loc procese de imprastiere care modifica
densitatea fononilor in sens opus variatiei sale datorita driftului:
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 11
0,, =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
ciocndrift tn
tn λλ qq . (45)
La fel ca in cazul imprastierii electronilor, introducem un timp de relaxare la imprastierea
fonon-fonon prin
)( ,
0,,,
λ
λλλ
ωτ q
qqq
fciocn
nn
tn −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂− . (46)
In aproximatia liniara, se presupune ca in prezenta gradientului de temperatura distributia
fononilor nu se abate puternic de la cea de echilibru, in termenul de drift se poate inlocui
Tn∂∂ λ,q cu
T
n
∂
∂ 0,λq , unde
1)/exp(1
,
0, −=
Tkn
Bλλ ωq
q h, astfel incat ecuatia cinetica Boltzmann
pentru fononi devine
T
nTg
∂
∂∇
0,λqv
)( ,
0,,
λ
λλ
ωτ q
f
nn −−= (47)
si densitatea fluxului termic in unitatea de timp se scrie
T
nTfgg
∂
∂∇∑−=
0,
,,,
)( λλλ
λωτω q
qqq
vvw h (48)
Conductivitatea termica fononica este deci data de
T
nfggf
∂
∂∑=
0,
,,,
)( λλλ
λωτωκ q
qqq
vvh (49)
Pentru un gradient termic pe directia x, de exemplu, inlocuind in relatia de mai sus
),(31
3)( 2
22 ϕθac
gxg v
vv == pentru moduri acustice si qvac ),(, ϕθω λ =q , obtinem
2,
,2
,0,
]1)/[exp(
)/exp(
−=
∂
∂
Tk
Tk
TkT
n
B
B
B λ
λλλ
ω
ωω
q
qqq
h
hh (50)
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 12
si
2,
,2
,,
,
2
]1)/[exp(
)/exp()(),(
3 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
Tk
TkTk
vk
B
B
Bfac
Bf
λ
λλλ
λ ω
ωωωτϕθκ
q
qqq
q h
hh (51)
Putem acum trece de la suma in spatiul q la integrala:
∑ ∫=∑=
3
1,,,
,, )()()(
λλλλ
λλ ωωωω qqq
qq dDFF (52)
folosind densitatea de stari/oscilatii
∫Ω
=∫Ω
=∫∇
==== const acconstconst v
dVdqd
dqVdSVDλλλ ω λ
ωλ
ω λ
ω
ω λ
ωλ
ϕθ
ω
πωπωπω
,,, ),()2(|/|)2(||)2()( 3
,
2,
3,
2
3,3,qqq
q
qqqq
(53)
adica
λλ
λλλ
ω
λ
ω ωω
ωωωτ
πϕθκ
ω
,2,
,4
,,
0
2
3
3
1 ]1)/[exp(
)/exp()(
)2(),(3 qq
qqq d
Tk
TkTk
TkVv
dk
B
B
Bf
B
ac
Bf
D
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∑ ∫Ω
== Ω h
hh
h
(54)
Considerand ca
acac vvd 3
),(41 3
1=∑ ∫
Ω
= Ωλ
ω
ω ϕθπ (55)
si tinand cont de expresia limitei superioara a integralei dupa frecvente: 3 2 /6 VNvacD πω = ,
in variabila Tkx B/ωh= avem
dxxCxv fT
facfD
)()(31 /
0
2 ∫=Θ
τκ (56)
cu BDD k/ωh=Θ si
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 13
4
43
)1(expexp9−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Θ
=x
xxTNkCD
Bf (57)
Pentru a gasi conductivitatea termica fononica trebuie cunoscuta dependenta )(xfτ . In cazul
in care timpul de relaxare fononic este constant,
ffacf Cv τκ 2
31
= (58)
unde
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Θ
=∫−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Θ
=Θ
TJTNkdx
xxxTNkC D
DB
T
DBf
D
4
3/
02
43
9]1)[exp()exp(9 (59)
cu
∫−
=y n
n dxx
xxyJ0
2]1)[exp()exp()( (60)
este caldura specifica fononica a retelei la volum constant in modelul Debye (valabila pentru
oscilatiile acustice).
Dependenta calitativa de temperatura a conductivitatii termice poate fi gasita in
urmatoarele cazuri:
a) Temperaturi inalte: DT Θ>>
In acest caz numarul fononilor din cristal este proportional cu temperatura:
λλλ ωω ,,
0, 1)/exp(
1qq
q hh
TkTk
n B
B≅
−= , (61)
frecventa ciocnirilor fonon-fonon ar trebui sa creasca proportional cu temperatura si timpul de
relaxare ar trebui sa scada proportional cu temperatura si, deoarece in acest regim 1<<x
NkdxxTNkC BT
DBf
D39
/
0
23
=∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Θ
=Θ
(62)
astfel incat
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 14
1−∝ Tfκ . (63)
In experimente se constata ca , γκ −∝ Tf 21 << γ , dependenta care poate fi justificata (dar
mult mai greu de demonstrat) prin faptul inlocuirea T
n∂∂ λ,q cu
T
n
∂
∂ 0,λq , in ecuatia cinetica
Boltzmann pentru fononi nu este decat o aproximatie a realitatii.
b) Temperaturi joase: DT Θ<<
In acest caz numarul de fononi este mic, frecventele acestora Dq ωω λ <<, si
3
02
43
]1)[exp()exp(9 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Θ
=∫−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Θ
≅∞
DDBf
Tadxx
xxTNkC (64)
cu a o constanta.
La temperaturi foarte joase (sub 10 K), situatie in care numarul fononilor este foarte
mic, rolul jucat de procesele de imprastiere este neglijabil si fononii se imprastie doar pe
suprafata cristalului, timpul de relaxare asociat fiind independent de temperatura. In acest caz
3Tf ∝κ (65)
valoarea conductivitatii termice fiind cu atat mai mare cu cat sectiunea transversala a
cristalului este mai mare.
La temperaturi mai ridicate, dar in continuare in aproximatia , numarul
mediu al fononilor care participa la imprastiere este
DT Θ<<
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
−=
TTkTkn D
BBexpexp
1)/exp(1 ,
,
0,
λ
λλ
ωω
q
h
h (66)
timpul de relaxare asociat fiind dat de
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
∝T
b Df expτ (67)
cu b un coeficient de ordinul unitatii, astfel incat
Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 15
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
∝T
bT Df exp3κ (68)
Dependenta dominanta de temperatura in
acest caz este exponentiala. Dependenta
de temperatura a conductivitatii termice
fononice pe intregul interval de
temparatura este ilustrata in figura din
dreapta.
In general, in experimente se constata o dependenta de temperatura a conductivitatii
termice de forma
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Θ
=T
bTa Dn
Df expκ (69)
constantele a, b si n determinandu-se empiric pentru un cristal dat si intr-un interval de
temperatura dat. In figurile de mai jos sunt prezentate dependentele conductivitatii termice
fononice de temperatura in cazul diamantului si al siliciului.