Conductia electrica in solide

Capitolul 2 Conductia electrica in solide.Purtători de sarcină

49

2. Conducţia electrică în solide. Purtători de sarcină

2.1 Introducere

Solidele sunt substanţele care au volum constant şi formă proprie.

Solidele au o structură cristalină formată printr-un aranjament ordonat

spaţial al atomilor şi moleculelor, o repetare periodică pe cele trei axe de

coordonate a unei celule elementare. La orice solid cristalin există trei

vectori primitivi a,b,c, care formează un paralelipiped, astfel încât structura

cristalină rămâne invariantă în urma unei translaţii cu un vector r definit

prin:

(2.1)

în care m, n, p, sunt numere întregi.

Reţeaua cristalină astfel construită se numeşte reţea Bravais. Toate

celulele reţelei sunt ocupate de atomi identici sau molecule identice şi sunt

echivalente între ele. Pentru a descrie celula elementară trebuie cunoscute

şase mărimi: laturile a, b, c şi unghiurile dintre ele α, β, γ, care se constituie

în parametrii acesteia. În fig.2.1. se prezintă un tip de reţea cristalină şi

celula elementară care stă la baza ei.

Fig. 2.1 a) Reţea cristalină; b) celula elementară

Solidele se împart în funcţie de modul în care conduc curentul

electric la temperatura normală (T≃300K), în trei grupe, după valoarea

conductivităţii electrice, mărime egală cu inversul rezistivităţii.

r = ma + nb + pc

FLORIN MIHAI TUFESCU DISPOZITIVE SI CIRCUITE ELECTRONICE (I)

50

(2.2)

ρ este rezistivitatea materialului , ρSI = Ωm

σ = 108 ÷10

6 (Ωm)

-1 conductoare,

σ = 105 ÷10

-9 (Ωm)

-1 semiconductoare,

σ ≤ 10-9

(Ωm)-1

izolatoare.

Analizând modelul benzilor energetice şi mecanismele conducţiei,

solidele pot fi împărţite în două clase:

conductoare, la care conductivitatea este ridicată într-o gamă largă de

temperatură şi scade cu temperatura.

semiconductoare şi izolatoare, la care conductivitatea are valori mici şi

creşte cu temperatura; diferenţa între semiconductoare şi izolatoare este că

la primele, conducţia are loc la temperaturi normale şi este influenţată de

doparea cu impurităţi şi aplicarea de radiaţii termice, luminoase şi de

modificarea temperaturii.

La conductoare (metale) prin reţeaua cristalină formată din ioni pozitivi

se deplasează electronii proveniţi de pe nivele de valenţă care pierzându-şi

individualitatea formează “gazul electronic” (teoria Lorentz–Sommerfeld).

Datorită numărului mare de electroni liberi (n0 ≃1023

cm-3

) metalele au

valori ridicate pentru conductivitate.

La semiconductoare şi izolatoare există deasemenea o reţea cristalină cu

atomii (ionii) fixaţi în nodurile reţelei, dar deosebirea constă în faptul că

electronii au o mişcare localizată în jurul unuia sau a doi atomi. Există două

cazuri extreme:

a) reţeaua cristalină este formată din două tipuri de atomi care diferă

puternic prin proprietăţi: unul are tendinţa să cedeze uşor electroni, celălalt

să-şi ataşeze aceşti electroni, apărând astfel ioni pozitivi şi ioni negativi care

conduc la crearea unei legături prin forţe electrostatice numită legătură

heteropolară sau ionică (exemplu NaCl).

b) reţeaua cristalină este constituită din atomi de acelaşi fel sau care diferă

foarte puţin. În acest caz doi electroni de valenţă, de spin opus, câte unul din

fiecare atom , devin comuni celor doi atomi având loc o dezindividualizare a

electronilor şi formându-se o legătură covalentă (ex. Si, Ge, Se, Pb, SiC,

CuO, InSb, GaAs, GaP).

ρ

1σ < σ >SI = (Ωm)

-1


51

2.2 Modelul benzilor energetice

Pentru a înţelege modul în care apar benzile energetice la un solid

cristalin, se consideră un model unidimensional în care iniţial este analizat

un atom izolat A cu sarcina pozitivă Q = qZ, unde Z este numărul atomic

iar q sarcina elementară. În acest caz potenţialul V şi energia potenţială a

electronului Wp = eV , variază invers proporţional cu distanţa faţă de nucleu,

ca în fig.2.2(a) unde s-au luat drept referinţă pentru potenţial şi energia

potenţială, valorile corespunzătoare unui electron aflat la infinit.

Fig. 2.2 Energia potenţială a electronului în câmpul electric al nucleului

(a)- a un singur atom,(b)-la doi atomi separaţi prin distanţa

interatomică a.

În fig. 2.2 liniile orizontale reprezintă nivele energetice discrete

determinate de numărul cuantic principal, lungimea lor fiind proporţională

cu raza orbitei pe care se mişcă electronul. Dacă lângă atomul A există un


52

atom B la distanţa a, (fig.2.2b) energia potenţială rezultantă în spaţiul dintre

cei doi atomi se obţine făcând suma algebrică a energiilor provenind de la

fiecare din cei doi atomi. Datorită interacţiunii între atomii A şi B nivelele

energetice discrete, mai ales cele superioare se desfac în două (efect Stark).

Se constată că distanţa dintre nivelele despicate creşte odată cu scăderea

distanţei interatomice a.

În cazul unui cristal real format din foarte mulţi atomi, nivelele

discrete sunt atât de numeroase şi de apropiate, încât se constituie în benzi

energetice permise. Acestea sunt separate de benzi interzise unde nu pot

exista electroni. Această teorie de formare a benzilor energetice în solide a

fost elaborată de către Bloch şi Brillouin.

Fig. 2.3 Obţinerea benzilor energetice prin desfacerea nivelelor discrete

(Bloch)

Modelul benzilor energetice la metale consideră că din nivelele de

excitaţie rezultă banda de conducţie, BC; din nivelele de valenţă rezultă

banda de valenţă, BV, şi are loc o suprapunere parţială a acestor două benzi.

La suprafaţa metalului se produce o variaţie importantă a energiei potenţiale

care se constituie într-o barieră de energie potenţială.


53

Fig. 2.4 Modelul benzilor energetice la metale.

2.3 Conducţia electrică în semiconductoare intrinseci.

Luând ca exemplu siliciul, care are o structură tetraedrică, la

temperaturi scăzute şi în absenţa unor factori energizanţi legăturile

covalente sunt satisfăcute acesta comportându-se ca un izolator ideal. La

temperatura normală (T=300K) un număr de electroni au statistic o energie

suficientă pentru a se desface din legăturile covalente devenind liberi şi

participând la conducţie dacă există un câmp electric extern. Legăturile

covalente rămase nesatisfăcute (vacanţele) se comportă ca nişte sarcini

pozitive numite goluri, şi participă la conducţie alături de electroni. În

semiconductoarele pure sau intrinseci numărul electronilor liberi este egal

cu numărul golurilor, formându-se perechi electron-gol.

Fig. 2.5 Reprezentare în plan a structurii cristalului de siliciu

(a) - la temperatură scăzută când se manifestă ca izolator,

(b)- la temperatura normală când apar perechi electron-gol.

În fig. 2.6 se reprezintă modelul benzilor energetice la

semiconductoare intrinseci. În banda de conducţie se pot găsi electroni a

căror energie a fost suficientă pentru a se desface din legăturile covalente şi


54

a trece prin banda interzisă cu lărgimea Wg. Aceşti electroni lasă în banda de

valenţă goluri care participă la conducţie.

Fig. 2.6 Modelul benzilor energetice la semiconductoare intrinseci.

În fig. 2.7 se prezintă modul în care apar benzile de interes pentru

conducţie la solide şi cum se face clasificarea acestora în baza acestui

criteriu. La metale banda de conducţie este ocupată parţial cu electroni şi

există o suprapunere parţială a acesteia cu banda de valenţă (fig 2.7a). În

cazul semiconductoarelor (fig.2.7b) şi al izolatorilor (fig.2.7c), între banda

de valenţă şi cea de conducţie există o bandă interzisă cu o lărgime specifică

fiecărei substanţe.

Fig. 2.7 Clasificarea solidelor după modelul benzilor energetice.

2.4 Conducţia electrică în semiconductoare extrinseci.

Semiconductoarele extrinseci sunt semiconductoare dopate cu

impurităţi. În reţeaua cristalină se introduc atomi străini trivalenţi sau

pentavalenţi care modifică tipul şi numărul purtătorilor participanţi la

conducţie. Într-un astfel de semiconductor vor exista un anumit tip de

purtători majoritari: electronii la semiconductorul tip n, dopat cu atomi


55

pentavalenţi, şi respectiv golurile la semiconductorul tip p dopat cu atomi

trivalenţi.

Ca şi la semiconductoarele intrinseci se păstrează mecanismele de

generare de perechi electron-gol ca urmare a excitării externe, dar numărul

acestora este mic în comparaţie cu purtătorii produşi de atomii străini.

Semiconductorul tip n se obţine prin doparea semiconductorului

pur cu atomi pentavalenţi, donori, de As, P, Sb, Bi. În fig.2.8 a se prezintă

cazul unei reţele cristaline din siliciu în care a fost introdus un atom de As.

Patru din electronii atomului de As satisfac legăturile covalente cu atomi

vecini de Si, al cincilea electron devine liber în semiconductor. Astfel atomii

donori, introduc nivele donoare WD în banda interzisă în apropierea limitei

inferioare a benzii de conducţie, WC. Trecând de pe nivele WD în banda de

conducţie cel de-al cincilea electron nu lasă în urma sa goluri, deoarece nu

este participant la legăturile covalente (fig. 2.8.b).

Fig. 2.8 Semiconductor tip n: a- structura cristalină;

b- modelul benzilor energetice.

După pierderea electronului atomii donori devin ioni pozitivi fixaţi

în reţeaua cristalină a siliciului.

La semiconductorul tip n electronii sunt purtători majoritari, iar

golurile purtători minoritari.

Semiconductorul tip p se obţine prin doparea semiconductorului

pur cu atomi trivalenţi, acceptori, de In, Ga, Al. În fig. 2.9 se prezintă cazul

unei reţele cristaline din siliciu în care a fost introdus un atom trivalent de

Al. Trei dintre electronii atomului de Al satisfac legături covalente cu atomii

vecini de Si, iar legătura covalentă rămasă nesatisfăcută numită vacanţă

constituie un gol slab legat de atom. Vacanţele pot fi satisfăcute de


56

electronii de valenţă ai atomilor de Si vecini. Astfel are loc o deplasare de

sarcină pozitivă apărând purtătorii numiţi goluri. Atomii acceptori trivalenţi

introduc nivele acceptoare WA situate în banda interzisă în imediata

apropiere a limitei superioare a benzii de valenţă, WV (fig. 2.9 b). Trecând

din banda de valenţă pe nivele WA electronii lasă în această bandă goluri

libere; astfel, impurităţile acceptoare injectează goluri în banda de valenţă.

Fig. 2.9 Semiconductor tip p; a- structura cristalină,

b- modelul benzilor energetice.

La semiconductorul de tip p golurile sunt purtători majoritari iar

electronii sunt purtători minoritari.

2.5 Concentraţiile şi distribuţiile energetice ale purtătorilor de

sarcină în solide.

În studiul proceselor de conducţie în metale şi semiconductoare se

urmăresc concentraţiile şi distribuţiile energetice ale purtătorilor de sarcină.

Se utilizează statistica Fermi–Dirac, care consideră electronii particule

indecelabile între ele având spinul 1/2 şi care respectă principiul lui Pauli.

Se definesc două mărimi importante :

2.5.1 Funcţia de distribuţie Fermi pentru electroni are expresia

(2.3) şi reprezintă probabilitatea ca la echilibru termodinamic, o stare

cuantică caracterizată prin energia W la temperatura T să fie ocupată de un

electron. WF se numeşte nivel Fermi, k este constanta lui Boltzman (k =

1,38054 10-23

JK-1

).

(2.3)

În cazul unui sistem de electroni liberi aflat la T=0K, electronii se

vor distribui succesiv pe nivele, conform principiului lui Pauli, de la nivelul

kT

WWnF

e1

1(W)f


57

zero până la nivelul WF0, nivelele superioare rămânând libere. La T=0K

nivelul Fermi separă stările ocupate de cele libere. La temperaturi diferite de

0K, nivelul Fermi reprezintă energia pentru care funcţia de distribuţie ia

valoarea 1/2. Nivelul Fermi se modifică cu temperatura dar pentru calcule

aproximative poate fi considerat constant WF≃WF0.

Funcţia de distribuţie Fermi pentru goluri, reprezentând

probabilitatea ca o stare cuantică să nu fie ocupată de electroni, este:

(2.4)

În fig. 2.10 se prezintă funcţiile de distribuţie fn(W) şi fp(W) la diferite

temperaturi.

Fig. 2.10 Funcţiile de distribuţie fn(W) şi fp(W)

2.5.2 Densitatea de stări se defineşte ca numărul de stări pe unitatea

de interval energetic:

(2.5)

dS(W) reprezintă numărul de stări cuprinse în intervalul energetic W şi

W+dW. Expresiile densităţii de stări sunt date de [1]:

a) metale:

(2.6)

b) semiconductoare:

(2.7)

kT

WWnpF

e1

1Wf1(W)f

dW

dS(W)g(W)

2/1

03

23

*

nWW

h

2m4πg(W)

2/1

3

23

*

nC

C

WWh

2m4π(W)g


58

(2.8)

unde: h = 6,62∙10-34

Js este constanta lui Planck,

W0 este adâncimea gropii de energie potenţială,

gC(W) reprezintă densitatea de stări pentru electronii din banda de

conducţie în apropierea nivelului WC,

gV(W) reprezintă densitatea de stări pentru electronii din banda de

valenţă în apropierea nivelului WV,

mn* este masa efectivă a electronului,

mp* este masa efectivă a golului,

mn* şi mp* sunt mărimi tensoriale, introduse pentru a descrie mişcarea

purtătorilor în potenţialul periodic al unei anumite reţele cristaline. În cazul

unui cristal omogen şi izotrop mn* şi mp* devin mărimi scalare.

2.5.3 Distribuţia energetică şi concentraţia electronilor în metale

Conform modelului Sommerfeld în metale electronii se află într-o

“groapă de potenţial”, care are ca limită inferioară marginea inferioară a

benzii de conducţie şi ca limită superioară nivelul de ionizare ca în fig. 2.11.

Fig. 2.11 Modelul “gropii de potenţial” la metale.

Numărul de electroni din intervalul energetic W şi W+dW pe

unitatea de volum poate fi scris:

(2.9)

Pentru a determina concentraţia se calculează integrala:

2/1

V3

23

*

p

V WWh

)(2m4(W)g

dW

e1

WW

h

)(2m4(W)dWg(W)fdn(W)

kT

WW

21

0

3

23

*

nn

F


59

(2.10)

La temperatura T=0K, fn(W)=1 pentru W < WF0 şi fn(W)=0 pentru

W > WF0, caz în care limitele integralei sunt clar definite.

La temperaturi T≠0K calculul mărimilor n0 şi WF este mai dificil şi

de aceea se presupune că gazul electronic este nedegenerat, condiţie pusă

prin W-WF≫kT sau TC≪T unde k

WT F

C este temperatura de degenerare.

Pentru gazul electronic nedegenerat funcţia de distribuţie Fermi este

înlocuită cu funcţia de distribuţie Boltzman:

(2.11)

În acest caz relaţia (2.9) devine:

(2.12)

După efectuarea calculelor se obţine concentraţia electronilor [4,6],

care se află în majoritate în apropierea lui W0 :

kT

WW

n

F

ekTmh

n

0

23

*

32

2 (2.13)

(2.14)

Nm se numeşte densitate efectivă a stărilor energetice în metal la

limita inferioară a gropii de energie potenţială. Distribuţia energetică a

electronilor η se obţine grafic făcând produsul curbelor fn(W) şi g(W).

Considerând forma densităţii de stări la metale ca în fig. 2.12 şi făcând

produsul menţionat, se obţine concentraţia electronilor n. Electronii care au

o energie peste nivelul W=0 părăsesc metalul.

0

W0

dn(W)n

kT

WW

n

F

e(W)f

dWe)W(Wh

)(2m4n

0

W

kT

WW

21

03

23

*

n

0

F

N 23

*

n3m πkT)(2mh

2


60

Fig. 2.12 Distribuţia energetică şi concentraţia electronilor în metale.

2.5.4 Distribuţiile energetice şi concentraţiile electronilor şi

golurilor în semiconductoare intrinseci.

Datorită concentraţiilor mici ale electronilor şi golurilor se poate

considera că în semiconductoarele intrinseci gazul electronic şi cel de goluri

sunt nedegenerate. Numărul electronilor din intervalul energetic W, W+dW

din banda de conducţie pe unitatea de volum este:

(2.15)

WFi este nivelul Fermi pentru semiconductorul intrinsec. Concentraţia

electronilor are expresia:

(2.16)

unde WL este un nivel din banda de conducţie care poate fi considerat

tinzând la infinit deoarece fn(W) scade foarte repede prin îndepărtarea de

WC. Efectuând integrarea se obţine:

KT

)W(W

23

*

n3i

FIC

eπkT)(2mh

2n N

kT

)W(W

C

FIC

e

(2.17)

dW

e

)W(W

h

)(2m4(W)dWf (W)gdn(W)

kT

WW

21

C

3

23

*n

nCFI

dWeWWh

2m4πn kT

WW21

W

W

C3

23

*

ni

FIL

C


61

unde:

(2.18)

reprezintă densitatea efectivă a stărilor energetice pentru electroni în banda

de conducţie în apropierea limitei sale inferioare.

Pentru goluri se procedează similar obţinându-se:

(2.19)

unde:

(2.20)

reprezintă densitatea efectivă a stărilor energetice din banda de valenţă

pentru goluri în apropierea lui WV.

Calcularea nivelului Fermi se face ştiind că în semiconductoarele

intrinseci ni=pi ,ceea ce conduce în urma logaritmării relaţiilor (2.17), (2.19)

şi a egalării acestora, la expresia:

(2.21)

La temperaturi apropiate de 0K se obţine:

(2.22)

adică nivelul Fermi este situat în mijlocul benzii interzise. Dacă se face

produsul relaţiilor (2.17) şi (2.19), rezultă:

(2.23)

Wg este lărgimea benzii interzise.

Expresia (2.23) arată că pătratul concentraţiei electronilor într-un

semiconductor intrinsec depinde numai de temperatură şi de lărgimea benzii

interzise.

N2

3*n3C πkT)(2m

h

2

kT

)W(W

23

*

p3i

VFI

eπkT)(2mh

2p P kT

)W(W

V

VFI

e

P 23

*p3V πkT)(2m

h

2

ln2

kT

2

WWW CV

FI

PV/N

2

WWW CV

FI

2

iii npn NCPV

kT

)W(W VC

e NCPVkT

Wg

e


62

În fig. 2.13 se prezintă distribuţiile energetice şi concentraţiile

electronilor şi golurilor în semiconductoarele intrinseci.

Fig. 2.13 Distribuţiile energetice şi concentraţiile electronilor şi

golurilor în semiconductoarele intrinseci.

Suprafaţele haşurate reprezintă concentraţiile electronilor (ni) şi

respectiv golurilor (pi).

2.5.5 Distribuţiile energetice şi concentraţiile electronilor şi

golurilor în semiconductoare extrinseci.

În semiconductoarele extrinseci procesele legate de purtătorii de

sarcină sunt puternic dependente de natura dopării şi de densitatea acestuia.

Dacă se presupune un semiconductor dopat cu impuriţăţi donoare cu

concentraţia ND şi cu impurităţi acceptoare având concentraţia NA condiţia

de neutralitate electrică cere ca:

(2.24)

unde : n este concentraţia electronilor în banda de conducţie,

p este concentraţia golurilor în banda de valenţă,

DN este concentraţia atomilor donori ionizaţi,

AN este concentraţia atomilor acceptori ionizaţi.

La temperatura normală (T=300K) şi pentru concentraţii de dopare

mici se consideră că toţi atomii de impurităţi sunt ionizaţi: DN ≃ND şi

AN ≃NA ceea ce conduce la:

DA NpNn


63

(2.25)

Relaţiile (2.17) şi (2.19) rămân valabile şi la semiconductoarele

extrinseci cu concentraţii mici de dopare astfel încât relaţia (2.25) devine:

(2.26)

Relaţiile (2.25) şi (2.26) permit aflarea concentraţiilor purtătorilor de

sarcină şi poziţia nivelului Fermi.

Semiconductor tip n. La acest semiconductor: NA= 0 , n = ND≫ni.

Ştiind că:

n

np

2

i [vezi relaţia (2.23)]

rezultă:

(2.27)

Indicele n specifică tipul semiconductorului. Nivelul Fermi se obţine

din relaţia (2.26) prin logaritmare după neglijarea lui p ştiind că nn ≫ pn:

(2.28)

Se constată că la semiconductorul tip n, nivelul Fermi se află între

mijlocul benzii interzise şi limita inferioară a benzii de conducţie.

În fig. 2.14 sunt prezentate distribuţiile energetice şi concentraţiile

purtătorilor la un semiconductor tip n.

DA NpNn

N

AkT

)W(W

c NeFC

P DkT

)W(W

V NeVF

D

2

i

n

2

i

nN

n

n

np

kTWW CFn ln(NC/ND)


64

Fig. 2.14 Distribuţiile energetice şi concentraţiile electronilor

şi golurilor la semiconductorul tip n.

Semiconductor tip p. La acest semiconductor ND=0, p = NA≫ ni.

Ştiind că:

rezultă:

(2.29)

Expresia nivelului Fermi rezultă din (2.26), ţinând cont că pp ≫ np:

(2.30)

În semiconductorul tip p, nivelul Fermi este situat între mijlocul

benzii interzise şi limita superioară a benzii de valenţă.

2.6 Ecuaţiile de bază ale electronicii semiconductoarelor

Pentru a putea descrie procesele care au loc în semiconductoare,

legate de comportarea statică şi dinamică a purtătorilor de sarcină în absenţa

sau în prezenţa câmpurilor externe şi a diferiţilor factori care produc

scoaterea sistemului din echilibru termodinamic, se utilizează o serie de

ecuaţii de bază.

p

nn

2

i

A

2

i

p

2

in

N

n

P

nn

kTWW VFp ln(PV/NA)


65

2.6.1 Ecuaţiile Maxwell

Pentru câmpul electromagnetic într-un material semiconductor

omogen şi izotrop se scriu în formă diferenţială astfel:

rot H = j + (∂D/∂t) (legea Maxwell–Ampere a circuitului magnetic) (2.31)

rot E = - (∂B/∂t) (legea Faraday a inducţiei electromagnetice) (2.32)

div D = (legea Gauss pentru fluxul electric) (2.33)

div B = 0 (legea Gauss pentru fluxul magnetic) (2.34)

unde: E ≡ vectorul câmp electric,

D ≡ vectorul inducţie electrică,

H ≡ vectorul câmp magnetic,

B ≡ vectorul inducţie magnetică,

j ≡ densitatea curentului de conducţie,

ρ ≡ densitatea de sarcini electrice.

Ecuaţiile Maxwell se completează cu relaţiile de material:

PED 0 (2.35)

MHB 0 (2.36)

unde: P ≡ vectorul polarizare,

M ≡ vectorul magnetizare.

Liniaritatea ecuaţiilor câmpului electromagnetic implică valabilitatea

principiului superpoziţiei câmpurilor electromagnetice care se aplică în

cazuri concrete.

2.6.2 Ecuaţiile densităţilor de curent

Într-un semiconductor apariţia curentului electric poate fi

determinată de: 1) acţiunea unui câmp electric extern; 2) concentraţia

neuniformă a purtătorilor de sarcină în interiorul său. Se analizează fiecare

din aceste situaţii separat.


66

1. Curenţii datoraţi câmpului electric extern.

Dacă se presupune un semiconductor intrinsec, omogen şi izotrop

aflat într-un câmp electric extern E şi având concentraţiile purtătorilor ni şi

pi, în interiorul acestuia se stabileşte o mişcare ordonată, peste cea de

agitaţie termică, care conduce la obţinerea unor viteze orientate pentru

purtători, (vezi fig.2.15) :

Ennv (2.37)

Eppv (2.38)

unde: μn ≡ mobilitatea electronilor

μp ≡ mobilitatea golurilor

< μ >SI = m2V

-1s

-1

Fig. 2.15 Curenţii de drift într-un semiconductor aflat

în câmp electric extern.

Prin mişcarea orientată a purtătorilor de sarcină se obţin curenţii de

drift:

Ej niEn qn (2.39)

Ej niEp qp (2.40)

Densitatea curentului total de drift este:

(2.41)

Se defineşte mărimea numită conductivitate electrică a

semiconductorului intrinsec:

jE = jnE + jpE = q(niμn+piμp)E


67

(2.42)

Conductivitatea unui semiconductor extrinsec oarecare, poate fi scrisă:

(2.43)

Pentru semiconductorul tip n (unde nn≫pn) se obţine:

(2.44)

Pentru semiconductorul tip p (unde pp≫np) se obţine:

(2.45)

2. Concentraţia neuniformă a purtătorilor de sarcină. Ecuaţii de

difuzie.

Dacă concentraţia purtătorilor este neuniformă, în interiorul

semiconductorului apare difuzia acestora din regiunile cu concentraţie

ridicată spre cele cu concentraţie redusă, obţinându-se curentul de difuzie, a

cărui densitate este proporţională cu gradientul de concentraţie al

purtătorilor. Dacă se consideră o creştere liniară a concentraţiei golurilor

într-un eşantion semiconductor după direcţia x, golurile vor avea o mişcare

de difuzie în sens contrar formând un curent:

(2.46)

Semnul minus indică sensul curentului de goluri.

Pentru o creştere similară a concentraţiei electronilor într-un

eşantion semiconductor după direcţia x, electronii vor avea o mişcare de

difuzie formând un curent:

)/( dxdnqDj nnD (2.47)

Semnul minus care ar trebui introdus dispare ca urmare a valorii negative a

sarcinii electronului.

Dn ≡ constanta de difuzie a electronilor,

Dp ≡ constanta de difuzie a golurilor,

<D>S I= m2 s

-1

σ = q(nμn+ pμp)

σi = q(niμn+ piμp)

σn=qnnμn≃qNDμn

σp=qppμp≃qNAμp

jpD = -qDp(dp/dx)


68

Constantele de difuzie se exprimă prin relaţiile lui Einstein:

nTn VD (2.48)

pTp VD (2.49)

unde VT este potenţialul termic.

Dacă în semiconductor sunt intrunite ambele surse de curent (drift şi

difuzie) se pot scrie pentru purtătorii de sarcină în cazul tridimensional

relaţiile:

(2.50)

(2.51)

jn + jp = jCOND (2.52)

unde jCOND este densitatea curentului total de conducţie.

Observaţii:

1. Câmpul E poate fi generat intern prin dopare neuniformă cu impurităţi.

2. La metale concentraţia electronilor liberi n0 este foarte ridicată, ceea ce

face ca σ să aibă valori mari, iar neuniformităţile de concentraţie să dispară

în timpi de ordinul 10-12

s, neexistând componenta de difuzie a densităţii de

curent:

2.6.3 Ecuaţiile de continuitate

În cazul în care în semiconductor concentraţiile purtătorilor sunt

dependente de coordonate şi de timp, se utilizează ecuaţiile de continuitate

care au la bază principiul conservării sarcinii în cazul generării,

recombinării şi deplasării acestora:

(2.53)

(2.54)

jn = jnE+jnD = qnμnE+qDn∇n

jp = jpE+jpD = qpμpE-qDp∇p

jn+ jp= jCOND

nj

q

1RG

t

nnn

pj

q

1RG

t

ppp


69

unde: Gn ≡ rata de generare pentru electroni

Gp ≡ rata de generare pentru goluri

<G>SI=m-3

s-1

Reprezintă numărul de purtători generaţi în unitatea de

timp pe unitatea de volum.

Rn ≡ rata de recombinare pentru electroni,

Rp ≡ rata de recombinare pentru goluri,

<R>SI=m-3

s-1

Reprezintă numărul de purtători recombinaţi în

unitatea de timp pe unitatea de volum.

La echilibru termodinamic un eşantion semiconductor are

concentraţiile purtătorilor n0 şi p0. Dacă acţionează factori externi

energizanţi concentraţiile devin n şi respectiv p şi în zona excitată iau

naştere purtători în exces:

0nnδn (2.55)

0ppδp (2.56)

Eşantionul semiconductor are tendinţa să revină la echilibru

termodinamic prin procese de recombinare. Acestea sunt caracterizate prin

timpii de viaţă ai purtătorilor n şi p. La nivele mici de injecţie (δn < n0,

δp < p0), ratele de recombinare sunt :

(2.57)

Înainte de a se recombina, purtătorii în exces participă la difuzie şi la

conducţie. Considerând un eşantion semiconductor iradiat la un capăt, ca în

fig.2.16, purtătorii generaţi vor difuza în volumul semiconductorului.

Fig. 2.16 Injecţia purtătorilor de sarcină în exces prin iradierea

eşantionului semiconductor la un capăt.

Rn=δn/τn


70

Dacă nu există câmp electric extern şi intensitatea radiaţiei variază,

ecuaţiile de continuitate în cazul unidimensional se scriu:

(2.58)

(2.59)

S-a considerat că în volumul eşantionului semiconductor Gn=0 şi

Gp=0.

Dacă radiaţia excitatoare este constantă atunci relaţiile (2.58) şi

(2.59), devin:

(2.60)

0L

pp

x

)p(p2

n

0

2

0

2

(2.61)

unde s-au introdus notaţiile:

21

nnn DL (2.62)

21

ppp DL (2.63)

Ln ≡ lungimea de difuzie a electronilor în exces,

Lp ≡ lungimea de difuzie a golurilor în exces.

Ln şi Lp reprezintă lungimea medie parcursă de electronii, respectiv de

golurile în exces până când concentraţia acestora scade prin recombinări de

e ori.

2

2

n

n

0

x

nD

τ

nn

t

n

2

2

p

p

0

x

pD

τ

pp

t

p

0L

nn

x

)n(n2

n

0

2

0

2

Date post:	28-Jan-2017
Category:	Documents
Upload:	buikiet
View:	227 times
Download:	0 times

Conductia electrica in solide

Documents