Post on 21-Feb-2018
transcript
7/24/2019 Curs 6 ref
1/17
Consideratii energetice asuprapropagarii undei
Propagarea unei unde elastice intr-un anumit mediugenereaza o serie de miscari de oscilatie ale particulelormediului; punctele materiale isi incep miscarea oscilatorie, in
jurul pozitiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajungepana la ele. Calculam energia mecanica E primita de la undaelastica de catre un volum V din mediul de propagare.
pc EEE += energia mecanica2v
2
1mEc= energia cinetica
v viteza de oscilatie a particulelor mediului depropagare
( )kxtAdtd == cosv
asa volumului V este!Vm =
( )kxtVAEc = 222
cos2
1"#$
7/24/2019 Curs 6 ref
2/17
2
2
1kxEp= energia potentiala "energia elastica$
kxFe=
Con%orm legii lui &oo'e, %orta elastica se poate scrie si in %unctiede elongatia "alungirea relativa$ , unde l( reprezinta
lungimea in starea nede%ormata!0l
x=
0l
xESFe=
Egaland ultimele doua relatii, observam ca valoarea constanteielastice este !
0l
ESk=
)ntroducand acesta relatie in e*presia energiei potentiale
obtinem!2
2
0
22
0 2
1
2
1
2
1VE
l
xVEx
l
ESEp ===
unde!
0SlV=
7/24/2019 Curs 6 ref
3/17
xl
x
== 0
+eoarece mediul de propagare este solid, viteza undei este
data de relatia!Ec =2
Calculand derivata partiala a elongatiei in raport cu *obtinem!
)cos( kxtkAx
=
)nlocuind ultimele doua relatii in e*presia energiei potentialeobtinem!
)(cos2
1 2222 kxtAVkcEp =
inand cont de %aptul ca , energiapotentiala devine!
kc=
)(cos2
1 222 kxtVAEp = "$
7/24/2019 Curs 6 ref
4/17
+atorita acestui %apt energia potentiala si energia cinetica devinsimultan ma*ime sau nule.
)(cos222 kxtVAE = "/$
Energia unui volum V din mediul de propagare a undei elasticenu este constanta in timp, ea este primita de la o sursa,traverseaza mediul si se propaga mai departe. Energia undei nuse stocheaza in volumul considerat.+e0nim densitatea volumica de energie mecanica prinrelatia!
dV
dEw=
)(cos222 kxtAw = "1$
+ensitatea volumica medie de energie dintr-un punct estee ala cu!
Comparand relatiile "#$ si "$, constatam %aptul ca cele douacomponente ale energiei mecanice sunt!- egale
- %unctii periodice detimp
- oscilatiile lor sunt in%aza.
- energia mecanicadin volumul V
7/24/2019 Curs 6 ref
5/17
22
2
1Awm = "2$
arimile de0nite prin "1$ si "2$ caracterizeaza energia transmisa
de unda atunci cand traverseaza mediul de propagare. )n 0g! 3.#este reprezentata %unctia 4 5 %"t$, putandu-se observa si media eipe o perioada, 4m.
Fig: 6.1: Densitatea volumica de energie intr-un punct almediului de propagare si densitatea volumica medie de
energiePentru a descrie energia transportata de unda sunt utilizateurmatoarele marimi!a) Fluxul de energie reprezinta cantitatea de energie transmisa
printr-o supra%ata in unitatea de timp, 0ind dat de derivataener iei in %unctie de tim !
7/24/2019 Curs 6 ref
6/17
dt
dE=
6789)5 #: 5 #
7/24/2019 Curs 6 ref
7/17
Refexia si reractiaundelor
Cand o unda intalneste supra%ata de separare dintre doua medii
di%erite se produc simultam refexia "intoarcerea undei in mediuldin care a venit$ si reractia"transmisia undei in mediul al doilea$.9e constata de asemenea ca prin re=e*ie si re%ractie se schimbadirectia de propagare a undei.
Fig: 6.2: efexia si reractia undei plane
supra%ata de
separare
7/24/2019 Curs 6 ref
8/17
tri kkk ,, - reprezinta vectorii de unda corespunzatori undelor
incidenta, re=ectata si transmisa
tri rrr ,, - vectorii de pozitieai punctelor , > si P, unde e*primammarimile de unda
1
11c
E
=2
22c
E
=
+e0nim impedanta mediului de propagare prin produsul dintredensitatea mediului si viteza undei. )mpedanta e*prima vitezacu care se propaga energia undei prin mediul respectiv. Celedoua medii de propagare au impedantele!
111 c=Z
222 c=Z
Vitezele de propagare in cele doua medii sunt!
?unctiile de unda ale undelor incidenta, re=ectata si transmisasunt!
)sin(iiii
rktA
=
7/24/2019 Curs 6 ref
9/17
)sin( rrrr rktA = )sin(
tttt rktA =
Conditia de continuitate a %unctiilor de unda pe supra%ata deseparare se poate scrie!tri
=+Conditia de conservare a energiei undei este!
tri III +=
)i, )rsi )tsunt intensitatiile undelor incidenta, re=ectata sitransmisa
1
22
1 c2
1ii AI =
1
22
1 c2
1
rr AI
=
2
22
2 c2
1tt AI =
Punand conditia de continuitate a %unctiilor de unda si %olosind
conservarea energiei se obtin legile re=e*iei si re%ractiei.
7/24/2019 Curs 6 ref
10/17
1) !egea refexiei.@nghiul de incidenta si unghiul de re=e*iesunt egale.
ri =
$ !egea reractiei! raportul dintre sinusul unghiului deincidenta si viteza de propagare in primul mediu este egal curaportul dintre sinusul unghiului de re%ractie si viteza depropagare corespunzatoare celui de-al doilea mediu.
21 c
sin
c
sin ti =
@tilizand conditia de continuitate a %unctiilor de unda si conditia deconservare a energiei undei, se pot determina si amplitudinileundelor re=ectata si transmisa in %unctie de amplitudinea undeiincidente.
tri AAA =+
2
22
21
22
11
22
1 c2
1c
2
1c
2
1tri AAA +=
Aezolvand sistemul %ormat din cele doua ecuatii obtinem!
7/24/2019 Curs 6 ref
11/17
+=
21
21
ZZ
ZZAA
ir
+
=21
12
ZZ
ZAA
it
Bmplitudinea undei transmise, Btare acelasi semn cu amplitudinea
undei incidente, Bi, indi%erent de impedantele celor doua medii. +eaccea unda transmisa este totdeauna in %aza cu unda incidenta.
)n ceea ce priveste amplitudinea undei re=ectate putem intalnidoua cazuri!
a$ ediul "#$ este mai dens decat mediul "$, # D . )n acest
caz amplitudinea undei re=ectate, Br, are acelasi semn cuamplitudinea undei incidente, Bi. Cele doua unde sunt in %aza.
b$ ediul "#$ mai putin dens decat mediul "$, # . )n acest
caz amplitudinea undei re=ectate, Br, are semn opus %ata de
amplitudinea undei incidente, Bi. Cele doua unde sunt in
opozitie de %aza. @nda re%lectata este de%azata cu F radiani inurma undei incidente."oe#cientul de refexie este raportul dintre intensitatea undei
re=ectate si a undei incidente!2
21
21
2
+
=
==
ZZ
ZZ
A
A
I
IR
i
r
i
r
7/24/2019 Curs 6 ref
12/17
"oe#cientul de transmisie este raportul dintre intensitatea undeitransmise si a undei incidente!
2
21
21
2
21
1
1
2
)(
42
ZZ
ZZ
ZZ
Z
Z
Z
I
IT
i
t
+
=
+
==
Unde stationare
+aca in mediul de propagare al undei se suprapun unda incidentasi unda re=ectata, atunci se obtin unde stationare. ?enomenul decompunere a doua unde coerente se numeste inter%erenta.Compunerea undei incidente si a undei re=ectate constituie un cazinteresant de inter%erenta a undelor. Con%orm rezultatelor obtinutela re=e*ia undelor, se pot intalni doua cazuri, in %unctie de
impedantele celor doua medii.). +aca mediul al doilea este mai putin dens decat primul, #,
atiunci unda re=ectata este in %aza cu unda incidenta.Consideram o unda liniara ce se propaga in mediul "#$, pe odirectie perpendiculara pe supra%ata de separare dintre mediul"#$ si mediul "$, ca in 0g. 3./. )n punctul P se intalnesc undaincidenta si unda re=ectata.
7/24/2019 Curs 6 ref
13/17
Fig: 6.$: Formarea undelorstationare
?azele celor doua unde ce se intalnesc in punctul P depind dedistantele "l-*$ si respectiv "lG*$ pe care le-a parcurs 0ecare unda.
)](sin[ xlktAi = )](sin[ xlktA
r +=
Aezultatul suprapunerii celor doua unde este tot o unda, deecuatie!
)](sin[)](sin[ xlktAxlktAri ++=+= ]sin[]sin[ kxkltAkxkltA
ri ++=+=
)]cos(sincos)sin(
)cos(sincos)[sin(
kltkxkxklt
kltkxkxkltA
+
++=
7/24/2019 Curs 6 ref
14/17
Ecuatia undei rezultate in punctul P este!
)sin(cos2 kltkxA =
)sin()( kltxA =
ecuatia undeistationare
kxAxA cos2)( =
Bmplitudinea rezultanta B"*$ va avea valori di%erite indi%erite puncte!
a$ Bmplitudinea este ma*ima,
AxAA 22
cos2 =
=
in anumite puncte *, care indeplinesc conditia!
12
cos =
x
nx
=
2
2
v
nx =
9e obtin ma*ime de aplitudine in puncte numite ventreale undei,
a=ate la distanta *vunul de altul.
7/24/2019 Curs 6 ref
15/17
b$ )n anumite puncte amplitudinea este minima!
02
cos2 =
= xAA
)
2
1(
2+= nx
2
)21( += nxn
Bceste puncte in care nu se produce nici o perturbatie, se numescnoduri ale undei stationare. +istanta dintre doua noduri vecineeste *n. )n 0g. 3.1 este reprezentata o unda stationara cu noduri, H
si ventre, V.
)n lungimea l se cuprind un anumit numar de lungimi de unda, sianume!
Fig: 6.%: &nda stationara obtinuta in ca'ul(2 (1
7/24/2019 Curs 6 ref
16/17
4
5=l
+aca mediul al doilea este mai dens decat primul, D #, atunci
unda re=ectata este in opozitie de %aza cu unda incidenta. Btunci,
cele doua %unctii de unda ce se intalnesc in punctul P sunt de%orma!
"I$
)](sin[
)](sin[
xlktA
xlktA
r
i
+=
=
Aezultatul adunarii celor doua unde in punctul P este!
)cos(sin2 kltkxA =
)n acest caz ventrele se obtin in punctele situate la distanta!
2)
2
1(v
+= nx
iar nodurile se obtin la distanta!
2
nxn=
+esi distanta dintre sursa undei elastice si supra%ata de separareeste aceiasi, observam in 0g. 3.2 ca distributia nodurilor si
ventrelor este di%erita. Ja supra%ata de contact cu mediul mai dens
7/24/2019 Curs 6 ref
17/17
Bcest lucru se datoreaza schimbarii %azei undei re%lectate cu Fradiani. )n esenta, rezulta ca un alt numar de lungimi de unda secuprind in lungimea l!
2
3=l "K$
Fig:6.*: &nda stationara obtinuta in ca'ul (2+ (1
Bst%el, se observa ca intr-o coarda de lungime data, l, se pot %ormaunde stationare numai daca oscilatiile sursei au asemenea%recvente incat lungimile de unda corespunzatoare sunt date de!
- relatia "I$ in cazul in care coarda este libera;
- relatia "K$ in cazul in care coarda este legata la capete.