Ref integrala L

8/7/2019 Ref integrala L

http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 1/17

UNIVERSITATEA „SPIRU HARET”FACULTATEA DE MATEMATICĂ – INFORMATICĂSPECIALIZAREA MATEMATICĂDISCIPLINA ANALIZĂ REALĂ

REFERAT CU TEMA:

INTEGRALA LEBESGUE

OCHIROŞI(STOICA) IULIAAnul III, Grupa 300

1



Analizând procedeul de integrare a lui Riemann, Lebesgue îşi

dă seama de unele din carenţele acestuia ( cum ar fi utilizarea

acelor diviziuni ale unui interval [a, b] ce presupun respectarea

ordinii punctelor din [a, b], precum şi a tipului de sume integralecorespunzătoare aestor diviziuni, a căror construcţie este

condiţionată de această ordine) şi propune un nou procedeu de

integrare, mai general, bazat pe teoria măsurii.

În acest material este prezentată :

integrala unei funcţii etajate şi nenegative;

integrala unei funcţii măsurabile nenegative definite pe unspaţiu oarecare cu măsură ( X , Α, µ);

integrala unei funcţii măsurabile reale.

1.Integrala unei funcţii etajate şi nenegative

Definiţia 1. Fie ( X , Α, µ) un spaţiu cu măsură şi fie ∑=

=n

iiAiaf

1

χ o

funcţieΑ- etajată

(pe scurt, etajată) şi nenegativă, unde

( )n

ii

a1=

şi ( ) niiA

1= au semnificaţiile cunosute: ai valori ale lui f distincte

între ele, respectiv mulţimile { } { }( )iii af axf xA 1)(; −=== .

I. Numim integrală a funcţiei f pe X ∑∫ =

=n

iii

X

Aafd 1

)(µ µ

II. Spunem că funcţia f este integrabilă pe X dacă

∫ ∞<X fd µ

Pentru integrala funcţiei f pe X se mai folosesc şi notaţiile ∫ X

fd

sau ∫ X

dxxf )( sau ∫ X

xd xf )()( µ .

2



Observaţii. I. Este evident că ∫ X

fd este un element din [0, +∞ ].

II.Definiţia de mai sus trebuie înţeleasă cu convenţia de

calcul din , 000 =∞⋅=⋅∞ ; în particular, dacă f(x) = ∞ pentru

orice

x Є X, iar µ(X) = 0 atunci ∫ X

fd = 0.

Def iniţia 2. Fie T Є Α şi ∑=

=n

iiAiaf

1

χ o funcţie etajată şi

nenegativă.

I. Numim integrală Lebesgue a funcţiei f pe mulţimea

măsurabilă T ∫ ∫ =X

T

T

d f fd µ χ µ .

II. Spunem că f este integrabilă pe mulţimea măsurabilă T

dacă ∫ T

fd < ∞ .

Pentru integrala funcţiei f pe T se mai folosesc şi notaţiile:

∫ T

dxxf )( şi ∫ T

xd xf )()( µ .

Observaţie. Din definiţia integralei se vede că ( )∫ ∑=

=T

n

iii T Aafd

1

µ µ

Exemplul 1. Fie T =[a, b] un interval compact al lui şi fie

= T d i ni r a t i o n axp e n t r u

T d i nr a t i o n a l xp e n t r u

xf .0

,1

)(

3



Atunci ( ) ( )∫ ∩−⋅+∩⋅=T

QT T QT fd )(01 µ µ µ , unde µ este măsura Lebesgue

pe ; cum µ(Q)=0, rezultă că µ(T∩Q)=0, de unde

∫ =∩−⋅+=T

QT T fd 0))((00 µ µ

Teoremă 1. Dacă f,g : X →[0, +∞] sunt funcţii etajate atunci:

I. ∫ ∫ ∫ +=+X X X

gd fd d g f µ µ µ )( ;

II. ∫ ∫ =X X

fd cd cf µ µ )( , c Є (0, ∞)

III. pentru orice şir de mulţimi mutual disjuncte ⊂∈ N k k T )( Α

are

loc:;

1

1∫ ∑∫ ∞

=

∞

=

=

k

k T k k T

fd fd µ µ

IV. f≤ g ∫ ∫ ≤⇒X X

gd fd µ µ .

Demonstraţie. Fie ∑=

=n

iiAiaf

1

χ şi g=∑=

m

jjBjb

1

χ unde atât mulţimile

( ) n

iiA1= cât şi mulţimile m

jB 1)( = sunt mutual disjuncte.

I. se observă că

II. este o conseinţă a definiţiei 1.

III. Fie ∞==1k

k T T .Atunci

∑ ∫ ∑∑

∑ ∑ ∑∫ ∑

∞

=

∞

= =

=

∞

= =

∞

==

=∩=

=∩=∩=∩=

11 1

1 1 1 11

(

)()()(

k k T k

n

ik ii

n

i k

n

i k k iik ii

T

n

iii

fd T Aa

T AaT AaAT afd

µ µ

µ µ µ µ

IV. Se observă că

4

∫∑ ∑∑ ∑∑ ∑

∑∑∫ ∫ ∑ ∑

+=∩+=∩+∩

=∩+∩=+=+

= == == =

= == == =

X

n

i

m

jjiji

m

j

n

iijj

n

i

m

jjii

m

j

n

iijj

n

i

m

jjii

X

n

i

m

jjjI i

d gf BAbaABbBAa

ABbBAaBbAag d f d

µµµµ

µµµµµ

)()()()()(

)()()()(

1 11 11 1

1 11 11 1



,

unde ci, j este valoarea lui f pe Ai ∩ Bj iar ci,j ≤bj . Atunci

∫ ∑∑ ∑ ∫ = = =

==∩=X

n

i

m

j

m

j X

jjjij gd BbBAbfd 1 1 1

) )(( µ µ µ µ

2.Integrala unei funcţii măsurabile

Fie (X, Α, µ) un spaţiu oarecare cu măsură şi fie f : X→ o funcţie

măsurabilă; asociem funcţiei f cele două funcţii nenegative f + , f -

, date prin: f +=sup {f , 0} , f - = inf { f ,0}, numite respectiv

parte pozitivă şi parte negativă a funcţiei f . Se ştie că f este

măsurabilă dacă şi numai dacă f + , f – sunt măsurabile.

5

∑∑∫ ∑= ==

∩==n

i

m

jjiji

X

n

iii BAcAafd

1 1,

1

)()( µ µ µ



Întrucât f măsurabilă implică f + , f - măsurabile , se poate

vorbi de existenţa integralelor ∫ ∫ −+

X X

d f d f µ µ , . Cu ajutorul acestor

integrale se defineşte integrala unei funcţii măsurabile şi

nenegative:

Definiţie. Fie f : X→ măsurabilă.

I. Dacă măcar una din integralele ∫ ∫ −+

X X

d f d f µ µ , este

finită, numim integrală Lebesgue a funcţiei f pe

X diferenţa dintre integrala părţii pozitive şi

integrala părţii negative, adică ∫ ∫ ∫ −+ −=X X X

d f d f fd µ µ µ

II. Spunem că f este integrabilă pe X dacă ambele

integrale ∫ ∫ −+

X X

d f d f µ µ , sunt finite.

Vom folosi notaţiile ∫ X

fd sau ∫ X

dxxf )( sau ∫ X

xd xf )()( µ pentru

integrala funcţiei pe X; de asemenea notăm prin L(X, Α, µ) sau

L(X) clasa tuturor funcţiilor integrabile pe X.

Observaţii.1. Dacă pentru funcţia f se poate defini integrala, spunem

că integrala există, în caz contrar spunând că integrala nu există.

2. Dacă f ≤ 0, rezultă că f + = 0 şi f - = -f şi atunci ∫ ∫ −−=X X

d f fd µ µ )( .

Teoremă 2.1. Funcţia măsurabilă f : X→ este integrabilă

pe X dacă şi numai dacă |f | este integrabilă pe X.

Demonstraţie. Dacă f Є L(X) atunci f + şi f - Є L(X) şi deci |f |=f +

+f - este funcţie măsurabilă şi nenegativă, este integrabilă pe X

întrucât

6



∞<+=∫ ∫ ∫ −+

X X X

d f d f d f µ µ µ .

Reciproc, dacă |f | Є L(X) atunci cum f + ≤ |f |şi f - ≤ |f |, atunci

∫ ∫ ∞<≤+

X X

d f d f µ µ

şi∫ ∫ ∞<≤−

X X

d f d f µ µ

, adică f +

şi f -

Є L(X),ceea ce implică f Є L(X).

Observaţie. Dacă X = N , mulţimea numerelor naturale, iar µ măsura pe P

(N) ; dacă f este o funcţie definită pe N cu valori reale atunci f reprezintă un

şir de numere reale f(n) = an , pentru orice n, număr natural. Integrala

Lebesgue a funcţiei f pe N, înzestrat în acest mod ca spaţiu cu măsură, se va

reduce la ∑∫ ∞

==

1nn

N

afd µ , unde seria este interpretată ca ∑ ∑∞

=

∞

=

−+ −1 1n n

nn aa dacă nu

este de forma ∞ - ∞, caz în care ∫ N

fd nu există. În realitate apar

următoarele situaţii:

1. ∑∑∞

=

−∞

=

+ ∞<∞<11

,n

nn

n aa . Seria este absolut convergentă şi integrala ∫ N

fd este

egală cu suma seriei.

2. ∑∑∞

=

−∞

=

+ ∞<∞=11

,n

nn

n aa . Seria ∑∞

=1nna diverge la + ∞ şi ∫

N

fd =+∞.

3. ∑∑∞

=

−∞

=

+ ∞=∞<11

,n

nn

n aa . Seria ∑∞

=1nna diverge la + ∞ şi ∫

N

fd = - ∞.

4. ∑∑∞

=

−∞

=

+ ∞==11 n

nn

n aa . Seria ∑∞

=1nna nu este absolut convergentă, putând fi ori

divergentă ori semiconvergent, dar ∫ N fd

nu există chiar dacă seria ∑

∞

=1nna

este semiconvergentă.

Deci dacă se utilizează sumarea din punctul de vedere ai integralei

Lebesgue, seriile semiconvergente sunt considerate ca divergente.

7



Prin urmare integrabilitatea Lebesgue coincide cu convergenţa absolută

a seriei, fapt care este de altfel firesc, întrucât ordinea termenilor şirului ( an)

nu joacă nici un rol în integrabilitate, seria trebuind să conveargă oricare ar fi

ordinea termenilor, ceea ce echivalează cu absoluta convergenţă.

Teoremă 2.2. Fie f : X→ o funcţie măsurabilă. Dacă ∫ X

fd

există

( în particular dacă f Є L(X)) şi c Є atunci ∫ X

cfd µ există (respectiv

c f Є L(X)) şi ∫ X

cfd µ =c ∫ X

fd .

Demonstraţie. Cazul c = 0 este banal.

a) Să presupunem c >0 ; atunci (cf) + =cf + , (cf) - =cf - , deci

∫ X

cfd µ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =−=−=−= −+−+−+

X X X X X X X

fd cd f cd f cd cf d cf d cf d cf µ µ µ µ µ µ µ )()( Cu

m ∫ X

fd există, rezultă din egalitatea de mai sus că şi

∫ X

cfd µ şi, în plus are loc ∫ X

cfd µ =c ∫ X

fd .

b) Dacă c < 0, atunci (cf) + =-cf - , (cf) - =-cf + , deci, obţinem

∫ X

cfd µ = ∫ ∫ ∫ ∫ =−−−=− +−−+

X X X X

d cf d cf d cf d cf µ µ µ µ )()()()(

=-c ∫ ∫ ∫ =−− +−

X X X

fd cd f cd f µ µ µ )( , cum ∫ X

fd există, din ultima

relaţie se vede că există şi ∫ X

cfd µ şi, în plus are loc

∫ X

cfd µ =c ∫ X

fd .

8



Teoremă 2.3. Fie f ,g : X→ măsurabile şi să presupunem

că f+g este bine definită. Dacă ∫ X

fd şi ∫ X

gd µ există iar ∫ X

fd +

∫ X

gd µ este bine definită (nu este de forma ∞- ∞sau - ∞+ ∞)

atunci

∫ +X

d g f µ )( = ∫ X

fd µ + ∫ X

gd µ .

În plus, dacă f Є L(X) şi g Є L(X) atunci f+g Є L(X).

Demonstraţie. 1

Teoremă 2.4. Fie f.g: X→ măsurabile. Dacă f=g (a.p.t.) iar

∫ X

fd există atunci există şi ∫ X

gd µ iar ∫ X

fd = ∫ X

gd µ .

Demonstraţie. Cum f=g (a.p.t.), rezultă că f + = g + (a.p.t.) ,

f - = g - (a.p.t.) , aplicând teorema 2.2 obţinem că

∫ ∫ ++ =X X

d g d f µ µ iar ∫ ∫ −− =X X

d g d f µ µ , de unde rezultatul teoremei.

Teoremă 2.5. Dacă f : X→ este nula a.p.t. pe X atunci:

I. ∫ X

fd = 0

II. Dacă f ≤ g a.p.t.atunci ∫ X

fd ≤ ∫ X

gd µ .

Demonstraţie. I. rezultă din teorema 4 ţinănd seama că

funcţiile nule (a.p.t.) sunt măsurabile.

II. Cum g=f +(g –f) rezultă conform teoremei 3 că

1 Vezi Anca Precupanu: Analiză matematică.Funcţii reale, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti,1976

9



∫ X

gd µ = ∫ X

fd + µ µ d f g d f g X X ∫ ∫

−+ −−− )()( . Dar ( g-f) - =0 a.p.t., de

unde, conform cu I. , rezultă că ∫ X

fd µ ≤ ∫ X

gd µ .

Observaţie. Teorema 2.5 este importantă întrucât ne arată că în procesul deintegrare de tip Lebesgue mulţimile de măsură nulă au un efect nul, nici

integrabilitatea, nici valoarea integralei nefiind afectate de schimbarea

valorilor funcţiei pe o mulţime de măsură nulă.

3.Integrala unei funcţii măsurabile reale

Integrala Lebesgue (L) constituie o extensiune a integralei

Riemann (R), bucurându-se de o proprietate remarcabilă, care o

face să fie superioară integralei Riemann, şi anume, proprietatea

de aditivitate numărabilă (vezi teorema 3), proprietate care

este mai generală decât aditivitatea finită faţă de interval ce

apare în cazul integralei (R). Integrala Lebesgue (L) esteconstruită pe clasa mulţimilor măsurabile (L) , în timp ce integrala

Riemann (R)este definită pe lasa intervalelor (compacte sau

eventual necompacte în cazul integralelor (R) generalizate sau

10



“improprii”) ale lui , care este cuprinsă în clasa mulţimilor

măsurabile Lebesgue.

Să amintim mai întâi unele rezultate din teoria integralei

Riemann.Fie [a,b] un interval compact al lui şi fie f : [a,b]→ o

funcţie mărginită pe [a,b]. Să considerăm o diviziune arbitrară a

intervalului [a,b], adică:

∆: a = x 0 < x 1 < ... <x n = b.

se observă că mulţimile

(1 ) Ei = [x 0 , x 1] , Ei = ( x i-1 , x i ) , pentru i = 1,2,3, ..., nformează o partiţie, prin mulţimi măsurabile, a intervalului [a,b].

Să notăm prin (2) Mi =iE x

xf ∈

)(sup , mi =iE x

xf ∈

)(inf , i = 1,2,3, ..., n

şi să considerăm următoarele sume

∑=

−∆ −=n

iiii xxM S

11)( , ∑

=−∆ −=

n

iiii xxms

11)( , numite respetiv sumă

Darboux superioară şi sumă Darboux inferioară corespunzătoare

diviziunii ∆.

Spunem că f este integrabilă Riemann pe [a,b] dacă ,

pentru orice >0, există o diviziune ∆ a intervalului [ a,b] astfel

încât

ε <− ∆∆ sS , ceea ce implicăDD

sS ∈∆

∆∈∆∆ =supinf , unde D reprezintă mulţimea

tuturor diviziunilor intervalului [a,b]; valoarea comună este tocmai

integrala Riemann a funcţiei f pe [a,b], notată prin

(R) ∫ b

a

dxxf )( .

11



Teoremă. 3.1.Dacă f : [a,b]→ o funcţie mărginită şi

integrabilă Riemann pe [a,b] atunci este integrabilă Lebesgue pe

[a,b] iar

(R) ∫ b

a

dxxf )( =(L) ∫ b

a

fd µ .

Demonstraţie. Cum f este integrabilă Riemann pe [a,b], rezultă

că există un şir de diviziuni { }N k k ∈∆ ale intervalului [a,b] astfel încât

k sS

k k

1<− ∆∆ , oricare k , număr natural.

Să notăm punctele diviziunii k ∆ prin k ix i = 1,2,3, ..., nk , prin k

iE

mulţimile de tip (1) iar prin k i

k i mM , numerele de tip (2).

Observăm că sumele k k sS ∆∆ , se pot scrie ca integralele unor funcţii

etajate pe care le vom nota respectiv prin k k f f , .

În adevăr, ∫ ∑∑ ==−===

−∆

b

a

k

k n

i

k i

k i

k n

i

k i

k i

k ik

d f LE M xxM S µ µ )()()(11

1 , iar

∫ ∑∑ ==−===

−∆

b

a

k

k n

i

k i

k i

k n

i

k i

k i

k ik

d f LE mxxms µ µ )()()(11

1

Se observă că k k f f f ≤≤ , oricare k, număr natural.

FieN k

k

N k k

f f f f ∈∈

== inf ,sup şi astfel f f f ≤≤ .

În continuare se arată ă ultima relaţie se transformă în

egalitate a.p.t. .

Se consideră mulţimile { } ∞=

>−∈=>−∈1

1)()(;0)()(;

j jxf xf X xxf xf X x

şi se arată că fiecare din mulţimile ce apar în membrul al doilea al

egalităţii de mai sus este de măsură Lebesgue nulă.

Fie

>−∈=j

xf xf X xA j

1)()(; , unde j este număr natural arbitrar

fixat şi se notează α µ =)( jA .

12



Atunci N k j

f f j

f f k k ∈∀>−⇒>− ,

11şi deci,

N k j

d f f d f f k

X k

jAk k k ∈∀≥>−≥−> ∫ ∫ ,0)()(

1 α µ µ , de unde rezultă =0

Cum j este număr natural arbitrar fixat şi se notează{ } 0)0)()(;(0)( =>−∈⇒= xf xf X xA j µ µ , deci f f f == (a.p.t.)

Cum k k f f , sunt funcţii măsurabile , fiind funcţii etajate, rezultă că

f este măsurabilă.

Dar prin ipoteză funcţia f este mărginită, ceea ce împreună

cu măsurabilitatea funcţiei antrenează integrabilitatea Lebesgue a

lui f pe [a,b].Observaţii. 3.1.Reciproca acestei teoreme nu este adevărată, aşa cum se

poate vedea analizând funcţia din exemplul 1 pag.3.

Am văzut deja că funcţia

[ ]

[ ]

= bad i ni r a t i o n a l xp e n t r u

bad i nr a t i o n a l xp e n t r uxf

,.0

,,1)( este integrabilă Lebesgue iar

(L) ∫ b

a

fd µ =0.

Observăm însă că această funcţie nu este integrabilă Riemann, întrucât

S∆=1 şi s∆=0 pentru orice ∆ Є D, decik

sS k k

1<− ∆∆ nu poate avea loc.

13



2. Există funcţii integrabile Riemann în sens generalizat 2 care nu sunt

integrabile Lebesgue, aşa cum se vede din exemplul următor.

Exemplul 3.1. Fie funcţia

=

∞∈=

0,1

),0(,s i n

)(xd a că

xd a căx

x

xf despre care se

ştie că este integrabilă (R) în sens generalizat pe [0,∞ ) dar pentru

care nu există (R) dxf ∫ ∞

0

. Pe de altă parte, f Є L ([0,∞ )) dacă şi

numai dacă |f | Є L ([0,∞ )) şi atunci, ţinând seama că [0,∞ )=

)[∞=1 ,0n

n iar funcţia ν(A)=∫ A

d f µ , pentru oricare A Є Α, este o

măsură pe Т, (clasa tuturor mulţimilor măsurabile Lebesque),

avem

(L) ∫ ∫ ∫ ∫ ∞

∞→∞→

∞

+∞====0000

)()(lim)(lim dxf Rdxf Rd f Ld f n

n

n

nµ µ , deci ∉f L ([0,∞ ))

În continuare este prezentat un caz în care integralitatea (R)

în sens generalizat antrenează integralitatea (L).

Teoremă 3.2. Dacă f: → este mărginită iar |f |este

integrabilă (R) pe ( -∞, +∞) atunci f Є L (( -∞, + ∞ )) şi

∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−= fdxRfdxL )()( .

2 Fie f: → , spunem că funcţia este integrabilă Riemann ( în sensgeneralizat ) pe ( -∞, +∞) dacă, pentru a şi b numere reale, f este mărginită

şi integrabilă Riemann pe [a, b ] iar ∫ −∞→∞→

b

aab

fdxlim există şi este finită.

14



Demonstraţie. Conform teoremei 3.1. avem

ℜ∈∀≤=∫ ∫ ∫ ∞

∞−

badxf Rdxf Rdxf Lb

a

b

a

,,)()()( , rezultă că |f | Є L( ) şi deci

f Є L( ) . Ţinând seama de faptul că teoremei 3.1. ne asigură că

(R) ∫ b

a

dxxf )( =(L) ∫ b

a

fdx , apoi aplicând definiţia integralei (R)

generalizate obţinem că ∫ ∫ +∞

∞−

+∞

∞−

= fdxRfdxL )()( .

S-a constatat că utilizarea unor proprietăţi ale integralei (L)

în cazul unor funcţii integrabile (R) oferă eleganţă şi uşurinţă înstabilirea unor proprietăţi ale integralei (R).

În aest sens este prezentat următorul exemplu.

Exemplul 3.2. (Funcţia lui Riemann) . Fie f : [-1,1]→ ,

definită prin

[ ] ( )

∈=

−ℜ∩−∈=

=N nş ie l eî n t r ep r i m eî n t r e g in u m e r es u n t nu n d e m

n

mxd a că

n

Qxs a uxd a că

xf ,

,,

1

1,10,0

)(

Funcţia f este continuă în orice punct iraţional din [-1,1], este

mărginită pe [-1,1] şi cum mulţimea discontinuităţilor sale,

Q∩[-1,1],este numărabilă, deci de măsură Lebesgue 0, rezultă căf ЄR([-1,1]) Recurgând la definiţia integralei (R) am putea calcula

(R) .)(1

1

∫ −

dxxf

15



Se poate obţine cu uşurinţă valoarea (R) ,)(1

1

∫ −

dxxf ţinând

seama că f Є L([-1,1]) ( teorema 3.1.).

În adevăr, cum f = 0 (µ-a.p.t.) rezultă că (L) 0)(1

1

=∫ −

dxxf , de

unde întrucât f ЄR([-1,1]) avem şi (R) 0)(1

1

=∫ −

dxxf .

Bibliografie:

Anca Precupanu: Analiză matematică.Funcţii reale, EdituraDidactică şi Pedagogică, Bucureşti,1976

Ion Chiţescu: Elemente de teoria măsurii şi integralei,Editura

Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 1999

16



E. Câmpu, I.Chiţesu, Gh.Sireţchi: Analiza matematică, Tipografia

Universităţii din Bucureşti

17

Date post:	08-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	agathetyche
View:	258 times
Download:	0 times

Ref integrala L

Documents