Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Clasa a IX-a - Etapa 2 - Problema 1

Enunt. Un ceas defect arat¼a ora 12.00. Din acest moment acul orar se deplaseaz¼a cu a� într-oor¼a, iar acul minutar cu b� într-o or¼a, unde a; b > 0.a) Dac¼a a; b 2 Q demonstrati c¼a exist¼a n 2 N� astfel încât cele dou¼a ace ale ceasului s¼a se

suprapun¼a exact dup¼a n ore.b) Dac¼a a 2 Q si b 2 RnQ s¼a se demonstreze c¼a oricare ar � n 2 N�; acele ceasului nu sunt

suprapuse dup¼a n ore.

Solutie. Unghiul descris de acul orar dup¼a n ore este de na�, iar cel descris de acul minutar este denb�. Pentru ca aceste dou¼a ace s¼a se suprapun¼a trebuie ca la un moment dat diferenta na� � nb�s¼a �e multiplu de 360�, adic¼a trebuie s¼a existe k 2 Z� astfel ca na� nb = 360k.a) Dac¼a a; b 2 Q, exist¼a p; q; r; s 2 N� astfel ca a = p

q; iar b = r

s. Atunci a � b = ps�qr

qs, deci

qs (a� b) 2 Z: De exemplu 360qs (a� b) este divizibil cu 360, deci am putea alege n = 360qs.b) Dac¼a a 2 Q si b 2 RnQ atunci egalitatea na�nb = 360k nu este posibila deoarece nb 2 RnQ

iar na si 360k sunt rationale. �

1