Post on 30-Aug-2019
transcript
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a IV-a
PROBLEMA 1
Un gospodar are în curte găini și iepuri, în total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămânal, pentru
hrana unei păsări sunt folosite, în medie, 500 g de grăunțe, iar pentru hrana unui iepure de 4 ori mai mult.
Kilogramul de grăunțe costă 4 lei. Cât plătește gospodarul pe grăunțele consumate de animale în 4
săptămâni?
* * *
PROBLEMA 2
La un concurs de matematică au fost date 40 de probleme pentru care se acordau 10 puncte pentru
problema corectă și se penalizează cu 4 puncte problemele rezolvate greșit. Dacă Mihai obține 120 de
puncte, precizați câte probleme corecte a făcut.
Monica Dan şi Ancuţa Nechita
PROBLEMA 3
La începutul anului școlar, un elev sârguincios a împrumutat de la biblioteca Colegiului Naţional
,,Mihai Viteazul” 11 culegeri de matematică și 16 cărți de literatură. Săptămânal, el predă bibliotecii 2 cărți.
Dacă predă 2 cărți de același fel (ambele de literatură sau ambele de matematică) mai împrumută o carte de
literatură, iar dacă predă o culegere de matematică și o carte de literatură, împrumută o culegere de
matematică. Care este ultima carte cu care rămâne elevul?
Vasile Şerdean şi Monica Fodor
PROBLEMA 4
NUMERE CIVILIZATE
Un număr care nu se împarte exact la niciuna din cifrele sale se numește civilizat (precizăm că niciun
număr nu se împarte la 0).
a) Arătați că numerele 52 și 354 nu sunt civilizate.
b) Claudiu și Diana au găsit două numere civilizate care înmulțite dau tot un 23* ×
număr civilizat. Reconstituiți înmulțirea găsită de cei doi copii (steluțele *9
înlocuiesc cifre). ****
* * *
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a V-a
PROBLEMA 1
Să se arate că numărul: A = 4031 + 2 + 6 + 10 + … + 8058 se poate scrie ca sumă de două pătrate
perfecte consecutive de numere naturale.
Vasile Şerdean
PROBLEMA 2
Calculați (a-b)(a+b)2 știind că a,b ∈ ℕ∗ și
𝑎
𝑏+
𝑎+1
𝑏+1+
𝑎+2
𝑏+2+ ⋯ +
𝑎+2014
𝑏+2014= 2015.
Ioan Groza
PROBLEMA 3
a) Determinați cifrele a și b, știind că 𝑎𝑏3̅̅ ̅̅ ̅ = 3𝑎+𝑏−1.
b) Determinați cifrele a, b, c știind că: 𝑎𝑎0̅̅ ̅̅ ̅̅ + 3 ∙ 𝑏0̅̅ ̅ = 𝑐𝑐𝑐0̅̅ ̅̅ ̅̅ .
(Numerele sunt scrise în baza 10).
* * *
PROBLEMA 4
Mulţimea numerelor naturale se împarte în submulţimi astfel: {0}; {1, 2}; {3, 4, 5}; {6, 7, 8, 9}; …,
unde prima submulţine conţine primul număr natural, a doua submulțime conține următoarele două numere
naturale şi aşa mai departe. Determinaţi:
a) Cu ce număr natural începe cea de-a 50 – a submulţime;
b) Suma elementelor celei de-a 50 – a submulţimi;
c) Suma elementelor primelor 50 submulţimi.
* * *
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a VI-a
PROBLEMA 1
a) Suma a trei numere naturale nenule este 345. Dacă primele două valori sunt direct
proporționale cu 0,(3) respective 1,(6) iar ultimele două valori sunt invers proporționale cu 3
respectiv 9, să se determine numerele.
b) Se consideră numărul 𝑎 =1
1+2+
1
1+2+3+ ⋯ +
1
1+2+3+⋯+2015 .
Arătați că numărul a este subunitar și precizați valorile lui 𝑛 ∈ ℕ pentru care numărul
𝑏 = (1 − 𝑎)𝑛 ∙ 63𝑛 ∈ ℕ .
Monica Fodor şi Liana Jurcă
PROBLEMA 2
Să se afle numerele natural x și y, știind că 1𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + ⋯ + 3133𝑥 = 56𝑦 − 3
Vasile Şerdean şi Ioan Groza
PROBLEMA 3
Se consideră triunghiul ABC și punctul O mijlocul segmentului [BC], iar AB > AC. Fie (AD
bisectoarea unghiului A, 𝐷 𝜖 (𝐵𝐶) . Perpendiculara din O pe bisectoarea (AD intersectează laturile AC
și AB înpunctele E, respective F.
a) Demonstrați că [𝐵𝐹] ≡ [𝐶𝐸].
b) Calculați raportul dintre lungimile segmentelor AM și NE, unde punctele M și N sunt
mijloacele segmentelor [AB] respectiv [AC].
Dorin Andrica
PROBLEMA 4
Fie ABC un triunghi echilateral, M mijlocul laturii [BC] și 𝐷 ∈ (𝐴𝑀) astfel încât AM+MD=AB. Să
se determine unghiul 𝐷𝐵�̂�.
Ioan Groza
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a VII-a
PROBLEMA 1
Se consideră patru pătrate cu laturi de lungimi egale cu a, b, c, d. Să se demonstreze că media aritmetică
a celor patru valori este cel mult egală cu suma tuturor rapoartelor dintre suma ariilor şi suma
perimetrelor oricăror trei dintre pătrate.
Vasile Şerdean şi Monica Fodor
PROBLEMA 2
Numerele x, y, z sunt numere natural cu proprietatea că x<y<z. Dacă x, y, z sunt direct proporţionale cu
trei numere naturale consecutive în câte moduri diferite poate fi scris numărul 180 sub forma x + y + z?
* * *
PROBLEMA 3
În triunghiul ABC se consideră mediana [BB’], B’𝜖[AC]şi punctul E mijlocul medianei. Dreapta AE
intersectează pe [BC] în punctul D.
a) Calculaţi raportul 𝐵𝐷
𝐷𝐶 .
b) Demonstraţi că DG || AB, unde G este centrul de greutate al triunghiului.
c) Dacă aria triunghiului BDE este de 20 cm2 , calculaţi aria triunghiului ABC.
Ioan Groza şi Monica Fodor
PROBLEMA 4
Linia mijlocie a ∆𝐴𝐵𝐶 paralelă cu latura BC intersectează cercul circumscris triunghiului în B’ și C’. Să
se determine lungimea segmnetului B’C’ în funcție de laturile ∆𝐴𝐵𝐶.
Dorin Andrica
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a VIII-a
PROBLEMA 1
Se dau A ,B, C, D patru puncte necoplanare.
a) Fie 𝐿 ∈ [𝐴𝐷], 𝑀 ∈ [𝐵𝐷] și 𝑁 ∈ [𝐶𝐷] astfel încât (𝐿𝑀𝑁) ∦ (𝐴𝐵𝐶). Notând 𝐿𝑀 ∩ 𝐴𝐵 = {𝑃} ,
𝐿𝑁 ∩ 𝐴𝐶 = {𝑄} și 𝑀𝑁 ∩ 𝐵𝐶 = {𝑅} să se arate că punctele P, Q, R sunt coliniare.
b) Fie A’ , B’, C’ proiecțiile lui D pe dreptele BC, AC respective AB.
Să se arate că C’A2
+ A’B2
+ B’C2=C’B
2 + A’C
2 + B’A
2 .
c) Să se arate că proiecția lui D pe planul (ABC) este ortocentrul triunghiului ABC dacă și numai dacă
𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷 și 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐷 .
Gheorghe Lobonţ
PROBLEMA 2
Să se demonstreze că:
10
√1111+
11
√1212+ ⋯ +
2014
√20152015+
2015
√20162016>
1
10!−
1
2016! , unde 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ 𝑛.
Vasile Şerdean şi Ancuţa Nechita
PROBLEMA 3
Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată. Punctul M este mijlocul înălțimii [VO] a piramidei, punctul N
este mijlocul segmentului [BM] iar 𝑃 ∈ (𝐴𝑂) astfel încât AP=3PO și 𝐵𝑀 ∩ 𝑉𝐷 = {𝑅}.
a) Arătați că 𝐵𝑁
𝐵𝑅=
3
8 .
b) Arătatați că PN || (VDC) .
* * *
PROBLEMA 4
Să se demonstreze că pentru orice numere reale pozitive a, b, c are loc inegalitatea
𝑎
𝑏+𝑐+
𝑏
𝑎+𝑐+
𝑐
𝑎+𝑏+
𝑏+𝑐
𝑎+
𝑎+𝑐
𝑏+
𝑎+𝑏
𝑐≥
15
2.
În ce condiții are loc egalitatea?
* * *
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a IX-a
PROBLEMA 1
Fie n ∈ ℕ*şi xi > 2015, i = 1, 2, …, n, astfel încât
1
1 1
2015
n
ii
n
x
.
Să se arate că
1 1
2015.
n n
i i
i i
x x
Gheorghe Lobonţ
PROBLEMA 2
Fie ABC un triunghi oarecare, AA1, BB1, CC1 bisectoarele interioare ale triunghiului, AA2, BB2, CC2
medianele triunghiului. Notăm cu GA, GB, GC centrele de greutate ale triunghiurilor AA1A2, BB1B2, CC1C2,
G* centrul de greutate al triunghiului GAGBGC , G centrul de greutate al triunghiului ABC şi G1 centrul de
greutate al triunghiului A1B1C1. Să se demonstreze
a) 1
2 2 2 2 2 2(4 ) (4 ) (4 )
3(2 )(2 )(2 )
A B CG
a p a r b p b r c p c rr
p a p b p c
, unde p =
2
a b c .
b) Punctele G*, G şi G1 sunt coliniare.
Daniel Văcăreţu
PROBLEMA 3
Se consideră punctele M, N, P situate pe laturile (AB), (BC) respectiv (CA) ale triunghiului
echilateral ABC. Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a) M, N, P sunt mijloacele laturilor (AB), (BC) respectiv (CA);
b) Triunghiurile AMP, BMN, CNP şi MNP au acelaşi perimetru.
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
PROBLEMA 4
Fie m ∈ ℕ* . Determinaţi numărul funcţiilor crescătoare f: {1, 2, 3,…, m} → {1, 2, 3, … ,m} cu
proprietatea
| f(x) – f(y) | ≤ | x – y | , ∀ x, y ∈ {1, 2, 3,…, m}.
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a X-a
PROBLEMA 1
Să se determine funcţiile : * *f care satisfac relaţia
,
2
112
nf
nf
n
nfn
nforicare ar fi *n .
Cătălin Cristea
PROBLEMA 2
Se consideră numerele complexe 21 , zz şi 3z , distincte două câte două, cu proprietatea că
323121 ,max zzzzzz . Să se arate că 132231321 zzzzzzzzz .
Vladimir Cerbu
PROBLEMA 3
Fie numerele 0...,,, 201521 aaa şi funcţia 1 2 2015: , ...x x xf f x a a a . Dacă
201520152015 ff arătaţi că 2015,f x x .
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
PROBLEMA 4
Fie 21 , zz , 3z numere complexe cu proprietatea că 1321 zzz . Să se arate că
13 321
3
3
3
2
3
1 zzzzzz .
Dorin Andrica
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a XI-a
PROBLEMA 1
a) Să se găsească două matrice A, B ∈ ℳ2(ℝ) cu proprietatea că A2 + B
2 = (
2 33 2
).
b) Să se arate că orice două matrice A, B ∈ ℳ2(ℝ) cu proprietatea de la punctul a) nu comută.
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
PROBLEMA 2
Fie f : (0, ∞) →[0, ∞) o funcţie derivabilă cu proprietatea că x f ′(x) – f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0, ∞).
Demonstraţi că funcţia f poate fi prelungită prin derivabilitate în punctul x = 0.
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
PROBLEMA 3
Fie a > 0 şi f: [-a, a] →ℝ o funcţie derivabilă de două ori cu proprietatea că | f(x) | ≤ 1, ∀ x ∈ [-a, a].
Să se arate că pentru oricare numere naturale p, q ≥ 2 cu proprietatea că (f(0))p + (f
′(0))
q > 1 + (
2
𝑎)
𝑞
există un punct c ∈ (-a, a) astfel încât p (f(c))p-1
+ q (f ′(c))
q-2 f
′′(c) = 0.
Dorel I. Duca
PROBLEMA 4
Să se calculeze
2 2 2
1 21 1 1
lim
n
n
n
n n n
e
.
Dorin Andrica
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL” TURDA
Timp de lucru 3 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte.
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XV-a, 8– 9 MAI 2015
CLASA a XII-a
PROBLEMA 1
Fie 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = {𝑥2, 𝑥 ≤ 1,
1 + ln𝑥, 𝑥 > 1.Determinați funcția 𝐹: ℝ → ℝ, 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)d𝑡.
𝑥2
x2−1
Dorel I. Duca
PROBLEMA 2
Determinați numărul matricelor 𝐴 = (𝑎 𝑏 𝑐0̂ 𝑎 𝑑0̂ 0̂ 𝑎
) din ℳ3(ℤ2015) cu proprietatea că 𝐴2015 = Ι3.
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
PROBLEMA 3
Să se determine funcțiile integrabile f: [0,1]→ ℝ cu proprietatea că
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = (𝑓(𝑥))2015 + 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥𝜖 [0,1]𝑥
0 .
Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu
PROBLEMA 4
Fie (𝑅, +,∙) un inel. Perechea (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 × 𝑅 are proprietatea (P) dacă singura soluție a ecuației
𝑎𝑥𝑎 = 𝑏𝑥𝑏 este x = 0. Să se arate că dacă (a,b) are proprietatea (P) și a-b este inversabil, atunci ecuația
𝑎𝑥𝑎 − 𝑏𝑥𝑏 = 𝑎 + 𝑏 are soluție unică în R.
Dorin Andrica