Matematici speciale
Seminar 5
Martie 2017
ii
โExista vreo motivatie mai buna decat succesul ?.โ
Ion Tiriac
5Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti
constanti
Bungee jumping
Bungee jumping sau saritura cu coarda elastica este unul dintre cele maispectaculoase sporturi extreme, o sfidare a gravitatiei care necesita mult curaj,experienta si rezistenta. Practicantul sare de la o inaltime de zeci de metri, fiindasigurat cu o coarda elastica fixata de glezna.
1
Sa presupunem ca cel care dorestesa faca bungee jumping alege un podaflat la o distanta de 174 m de apa.Are legata de picioare o coarda culungimea 100 m. Consideram po-zitia pana unde ajunge coarda prinsade pod ca fiind 0 si masuram pozi-tia picioarelor in timpul sariturii prinintermediul functiei ๐ฅ(๐ก) care este ofunctie de timpul ๐ก. Evident in mo-mentul in care saritorul se afla pe podavem ๐ฅ(0) = โ100. Distanta cresteatunci cand e in cadere si deci vitezaeste pozitiva iar atunci cand e tras in-apoi de coarda viteza este negativa. Sestie ca acceleratia gravitationala ๐ esteconstanta. Astfel ca forta care ii im-pinge in jos corpul are valoarea ๐๐.
Atunci cand sari de pe pod forta de rezistenta a aerului creste proportionalcu viteza ta si reprezinta o forta de sens opus miscarii tale, de valoare ๐ฝ๐ฃ, unde๐ฝ este o constanta si ๐ฃ este viteza miscarii tale.
Conform legii lui Hooke referitoare la actiunea resorturilor coarda de bungeeva exercita o forta asupra saritorului proportionala cu distanta parcursa dincolode lungimea naturala a corzii. Astfel forta cu care coarda te impinge inapoi sepoate exprima ca:
๐(๐ฅ) =
{0, daca ๐ฅ โค 0,
โ๐๐ฅ, daca ๐ฅ > 0.
Numarul ๐ este constanta de elasticitate a corzii si reprezinta modul in carecoarda influenteaza ecuatia. E nevoie de o coarda cu o constanta ๐ suficientde mare care sa il opreasca pe cel care sare inainte de a atinge apa dar nudintr-odata pentru a nu-l vatama. Prin urmare esti interesat sa afli distanta lacare vei cadea dincolo de lungimea naturala a corzii ca functie de constanta deelasticitate a corzii.
Pentru a afla asta trebuie sa rezolvi ecuatia diferentiala obtinuta din celespuse mai sus. Forta ๐๐ฅ
โฒโฒcare apasa asupra asupra corpului tau este data de:
๐ ยท ๐ฅโฒโฒ(๐ก) = ๐ ยท ๐ + ๐(๐ฅ(๐ก)) โ ๐ฝ ยท ๐ฅโฒ(๐ก)
Aici ๐๐ este greutatea ta iar ๐ฅโฒ
este viteza ta. Constanta ๐ฝ a fortei derezistenta a aerului depinde de multi factori, incluzand hainele pe care le porti.
Aceasta este o ecuatie neliniare dar ascunde doua ecuatii liniare in interiorulei. Cand ๐ฅ(๐ก0) < 0 ecuatia devine:
๐ ยท ๐ฅโฒโฒ(๐ก) = ๐ ยท ๐ โ ๐ฝ ยท ๐ฅโฒ(๐ก)
si dupa punctul unde lungimea naturala a corzii se termina avem ecuatia:
2
๐ ยท ๐ฅโฒโฒ(๐ก) = ๐ ยท ๐ โ ๐ ยท ๐ฅ(๐ก) โ ๐ฝ ยท ๐ฅโฒ(๐ก)
Observatie: Sa stii putina matematica este periculos !! Toata modelareamatematica de mai sus este doar o aproximare a situatiei reale. De exemplupresupunerea ca forta de rezistenta a aerului este liniara se poate aplica doarvitezelor mici. Mai mult resorturile se pot comporta neliniar la oscilatii mariastfel ca legea lui Hooke este doar o aproximare. Nu-ti pune viata in pericolpentru o aproximare a unui tip care a trait acum 200 de ani !
3
Ecuatii diferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:
๐ฆ(๐) + ๐1๐ฆ(๐โ1) + . . . + ๐๐โ1๐ฆ
โฒ + ๐๐๐ฆ = 0
unde ๐๐ โ R, ๐ = 1, ๐.
Algoritm:โ se scrie polinomul caracteristic:
๐(๐) = ๐๐ + ๐1๐๐โ1 . . . + ๐๐โ1๐ + ๐๐
โ se afla radacinile reale sau complexe ale ecuatiei caracteristice ๐(๐) = 0.โ pentru fiecare radacina se obtine un element al sistemului fundamental de
solutii conform tabelului:
Radacina Solutia generata
๐ = ๐ ๐๐๐ฅ
๐1 = ๐2 = . . . = ๐๐ = ๐ ๐๐๐ฅ, ๐ฅ๐๐๐ฅ, ๐ฅ2๐๐๐ฅ. . . , ๐ฅ๐โ1๐๐๐ฅ
๐ = ๐ผ + ๐ฝ๐, ๐ = ๐ผโ ๐ฝ๐ ๐๐ผ๐ฅ sin๐ฝ๐ฅ, ๐๐ผ๐ฅ cos๐ฝ๐ฅ
๐1 = ๐2 = . . . = ๐๐ = ๐ผ + ๐ฝ๐ ๐๐ผ๐ฅ sin๐ฝ๐ฅ, ๐ฅ๐๐ผ๐ฅ sin๐ฝ๐ฅ. . . , ๐ฅ๐โ1๐๐ผ๐ฅ sin๐ฝ๐ฅ
๐๐+1 = ๐๐+2 = . . . = ๐2๐ = ๐ผโ ๐ฝ๐ ๐๐ผ๐ฅ cos๐ฝ๐ฅ, ๐ฅ๐๐ผ๐ฅ cos๐ฝ๐ฅ. . . , ๐ฅ๐โ1๐๐ผ๐ฅ cos๐ฝ๐ฅ
๐ = 0 1
๐1 = ๐2 = . . . = ๐๐ = 0 1, ๐ฅ, ๐ฅ2, . . . , ๐ฅ๐โ1
โ Solutia generala a ecuatiei liniare omogene este
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ยท ๐ฆ1(๐ฅ) + ๐ถ2 ยท ๐ฆ2(๐ฅ) + . . . + ๐ถ๐ ยท ๐ฆ๐(๐ฅ),
unde ๐ฆ1, ๐ฆ2, . . . , ๐ฆ๐ sunt cele ๐ solutii liniar independente ale sistemului funda-mental de solutii.
Ecuatii diferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:
๐ฆ(๐) + ๐1๐ฆ(๐โ1) + . . . + ๐๐โ1๐ฆ
โฒ + ๐๐๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Algoritm:โ se determina solutia generala ๐ฆ(๐ฅ) a ecuatiei omogene atasateโ solutia generala a ecuatiei neomogene este:
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฆ(๐ฅ) + ๐ฆ๐(๐ฅ)
4
unde ๐ฆ๐(๐ฅ) este o solutie particulara a ecuatiei neomogene care se afla cumetoda variatiei constantelor:
โ daca ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ถ1 ยท ๐ฆ1(๐ฅ) + ๐ถ2 ยท ๐ฆ2(๐ฅ) + . . . + ๐ถ๐ ยท ๐ฆ๐(๐ฅ) este solutia generalaa ecuatiei omogene atasate se cauta o solutie particulara de forma:
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ถ1(๐ฅ) ยท ๐ฆ1(๐ฅ) + ๐ถ2(๐ฅ) ยท ๐ฆ2(๐ฅ) + . . . + ๐ถ๐(๐ฅ) ยท ๐ฆ๐(๐ฅ)
โ functiile ๐ถ1(๐ฅ), ๐ถ2(๐ฅ), . . . , ๐ถ๐(๐ฅ) se obtin rezolvand sistemul de mai josapoi integrand:โงโชโชโชโชโชโชโชโชโจโชโชโชโชโชโชโชโชโฉ
๐ถโฒ
1(๐ฅ) ยท ๐ฆ1 + ๐ถโฒ
2(๐ฅ) ยท ๐ฆ2 + . . . + ๐ถโฒ
๐(๐ฅ) ยท ๐ฆ๐ = 0
๐ถโฒ
1(๐ฅ) ยท ๐ฆโฒ
1 + ๐ถโฒ
2(๐ฅ) ยท ๐ฆโฒ
2 + . . . + ๐ถโฒ
๐(๐ฅ) ยท ๐ฆโฒ
๐ = 0
๐ถโฒ
1(๐ฅ) ยท ๐ฆโฒโฒ
1 + ๐ถโฒ
2(๐ฅ) ยท ๐ฆโฒโฒ
2 + . . . + ๐ถโฒ
๐(๐ฅ) ยท ๐ฆโฒโฒ
๐ = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
๐ถโฒ
1(๐ฅ) ยท ๐ฆ(๐โ2)1 + ๐ถ
โฒ
2(๐ฅ) ยท ๐ฆ(๐โ2)2 + . . . + ๐ถ
โฒ
๐(๐ฅ) ยท ๐ฆ(๐โ2)๐ = 0
๐ถโฒ
1(๐ฅ) ยท ๐ฆ(๐โ1)1 + ๐ถ
โฒ
2(๐ฅ) ยท ๐ฆ(๐โ1)2 + . . . + ๐ถ
โฒ
๐(๐ฅ) ยท ๐ฆ(๐โ1)๐ = ๐(๐ฅ)
โ pentru anumite forme particulare ale lui ๐(๐ฅ) putem sa construim directo solutie particulara ๐ฆ๐(๐ฅ) respectand urmatoarele reguli:
1. daca ๐(๐ฅ) = ๐๐ผ๐ฅ๐๐(๐ฅ) unde ๐๐ este un polinom de grad ๐ iar ๐ผ nu esteo radacina a ecuatiei caracteristice atunci:
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐๐ผ๐ฅ๐๐(๐ฅ)
unde ๐๐ este un polinom de grad ๐ ce trebuie determinat2. daca ๐(๐ฅ) = ๐๐ผ๐ฅ๐๐(๐ฅ) iar ๐ผ este radacina multipla de ordinul ๐ a ecuatiei
caracteristice atunci cautam:
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐๐๐ผ๐ฅ๐๐(๐ฅ)
3. daca ๐(๐ฅ) = ๐๐ผ๐ฅ [๐๐(๐ฅ) cos๐ฝ๐ฅ + ๐๐ sin๐ฝ๐ฅ] iar ๐ผ + ๐๐ฝ nu este radacinaa ecuatiei caracteristice atunci cautam:
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐๐ผ๐ฅ [๐ ๐(๐ฅ) cos๐ฝ๐ฅ + ๐๐(๐ฅ) sin๐ฝ๐ฅ]
4. daca ๐(๐ฅ) = ๐๐ผ๐ฅ [๐๐(๐ฅ) cos๐ฝ๐ฅ + ๐๐ sin๐ฝ๐ฅ] iar ๐ผ + ๐๐ฝ este radacinamultipla de ordinul ๐ a ecuatiei caracteristice atunci cautam:
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐๐๐ผ๐ฅ [๐ ๐(๐ฅ) cos๐ฝ๐ฅ + ๐๐(๐ฅ) sin๐ฝ๐ฅ]
5
Probleme rezolvate
Problema 1. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoareleecuatii diferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:
a) ๐ฆ๐๐ฃ โ 5๐ฆโฒโฒ + 4๐ฆ = 0,
b) ๐ฆโฒโฒโฒ โ 6๐ฆโฒโฒ + 12๐ฆโฒ โ 8๐ฆ = 0,
c) ๐ฆ๐๐ฃ + 5๐ฆโฒโฒ + 4๐ฆ = 0.
Solutie: a) Pentru ecuatia omogena ๐ฆ๐๐ฃ โ 5๐ฆโฒโฒ + 4๐ฆ = 0 scriem ecuatiacaracteristica
๐4 โ 5๐2 + 4 = 0๐2=๐กโ ๐ก2 โ 5๐ก + 4 = 0
โ (๐กโ 1) (๐กโ 4) = 0
de unde rezulta
๐2 = 1, ๐2 = 4 โ๐1,2 = ยฑ1, ๐3,4 = ยฑ2.
Deoarece cele patru radacini sunt reale si diferite construim solutia generalaa ecuatiei de mai sus astfel
๐ฆ (๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ + ๐3๐2๐ฅ + ๐4๐
โ2๐ฅ.
b) Scriem ecuatia caracteristica
๐3 โ 6๐2 + 12๐ โ 8 = 0 โ (๐ โ 2)(๐2 โ 4๐ + 4
)= 0
โ (๐ โ 2)3
= 0
In acest exemplu obtinem o radacina reala tripla ceea ce implica urmatoareaforma a solutiei generale pentru ecutia data
๐ฆ (๐ฅ) = ๐1๐2๐ฅ + ๐2๐ฅ๐
2๐ฅ + ๐3๐ฅ2๐2๐ฅ =
=(๐1 + ๐2๐ฅ + ๐3๐ฅ
2)๐2๐ฅ.
c) Pentru aceasta ecuatie ๐ฆ๐๐ฃ + 5๐ฆโฒโฒ + 4๐ฆ = 0 obtinem ecuatia caracteristica
๐4 + 5๐2 + 4 = 0๐2=๐กโ ๐ก2 + 5๐ก + 4 = 0
โ (๐ก + 1) (๐ก + 4) = 0
de unde rezulta
๐2 = โ1, ๐2 = โ4 โ๐1,2 = ยฑ๐, ๐3,4 = ยฑ2๐.
6
Cele patru solutii gasite sunt diferite si complexe, deci vom avea urmatoareaforma a solutiei generale
๐ฆ (๐ฅ) = ๐1 cos๐ฅ + ๐2 sin๐ฅ + ๐3 cos 2๐ฅ + ๐4 sin 2๐ฅ.
Problema 2. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoareleecuatii diferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:
a) ๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = 3๐2๐ฅ,
b) ๐ฆโฒโฒโฒ + 2๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = 2 + ๐๐ฅ + sin๐ฅ.
Solutie: a) Scriem ecuatia omogena ๐ฆโฒโฒโ๐ฆโฒโ2๐ฆ = 0 la care ฤฑi atasam ecuatiacaracteristica
๐2 โ ๐ โ 2 = 0 โ(๐ โ 2) (๐ + 1) = 0 โ ๐1 = 2, ๐2 = โ1.
Obtinem solutia ecuatiei omogene
๐ฆ (๐ฅ) = ๐1๐2๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ.
Deoarece functia ๐ (๐ฅ) = 3๐2๐ฅ are ๐ = 2 solutie comuna cu una din radacinileecuatiei caracteristice (๐1 = 2) rezulta urmatoarea forma de solutie particulara
๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐ฅ1 ยท ๐2๐ฅ ยท ๐.
Ecuatia neomogena data are ordinul maxim al derivatei doi, prin urmarevom calcula cele doua derivate pentru solutia particulara si avem
๐ฆโฒ๐ (๐ฅ) = ๐ (1 + 2๐ฅ) ๐2๐ฅ,
๐ฆโฒโฒ๐ (๐ฅ) = 4๐ (1 + ๐ฅ) ๐2๐ฅ.
Inlocuim cele doua derivate ฤฑn ecuatia neomogena si rezulta
4๐ (1 + ๐ฅ) ๐2๐ฅ โ ๐ (1 + 2๐ฅ) ๐2๐ฅ โ 2๐๐ฅ๐2๐ฅ = 3๐2๐ฅ |: ๐2๐ฅ โ
4๐ (1 + ๐ฅ) โ ๐ (1 + 2๐ฅ) โ 2๐๐ฅ = 3
โ ๐ = 1 โ ๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐ฅ๐2๐ฅ
Din cele de mai sus construim solutia generala a ecuatiei liniare neomogenecu coeficienti constanti
๐ฆ (๐ฅ) = ๐ฆ (๐ฅ) + ๐ฆ๐ (๐ฅ)
= ๐1๐2๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ + ๐ฅ๐2๐ฅ.
b) Ecuatia omogena ๐ฆโฒโฒโฒ + 2๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = 0 are ecuatia caracteristica
๐3 + 2๐2 โ ๐ โ 2 = 0 โ (๐ โ 1) (๐ + 1) (๐ + 2) = 0
โ ๐1 = 1, ๐2 = โ1, ๐3 = โ2,
7
de unde rezulta solutia ecuatiei omogene:
๐ฆ (๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ + ๐3๐โ2๐ฅ.
Functia ๐ (๐ฅ) = 2 + ๐๐ฅ + sin๐ฅ ne da urmatoarele solutii
2 = 2 ยท ๐0ยท๐ฅ โ ๐ = 0
๐๐ฅ = ๐1ยท๐ฅ โ ๐ = 1
sin๐ฅ = ๐0ยท๐ฅ sin (1 ยท ๐ฅ) โ ๐ = 0 ยฑ 1 ยท ๐.
Observam ca una din solutii (๐ = 1) se afla printre solutiile ecuatiei carac-teristice (๐1 = 1), deci avem urmatoarea forma de solutie particulara
๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ๐๐ฅ + ๐ + ๐ผ cos๐ฅ + ๐ฝ sin๐ฅ.
In continuare vom calcula primele trei derivate ale solutiei particulare siavem
๐ฆโฒ๐ (๐ฅ) = ๐๐๐ฅ + ๐๐ฅ๐๐ฅ โ ๐ผ sin๐ฅ + ๐ฝ cos๐ฅ,
๐ฆโฒโฒ๐ (๐ฅ) = 2๐๐๐ฅ + ๐๐ฅ๐๐ฅ โ ๐ผ cos๐ฅโ ๐ฝ sin๐ฅ,
๐ฆโฒโฒโฒ๐ (๐ฅ) = 3๐๐๐ฅ + ๐๐ฅ๐๐ฅ + ๐ผ sin๐ฅโ ๐ฝ cos๐ฅ.
Dupa ฤฑnlocuirea lor ฤฑn ecuatia neomogena obtinem coeficientii
๐ =1
6, ๐ = โ1, ๐ฝ = โ1
5, ๐ผ =
1
10,
de unde rezulta solutia particulara
๐ฆ๐ (๐ฅ) =1
6๐ฅ๐๐ฅ โ 1 +
1
10cos๐ฅโ 1
5sin๐ฅ,
iar solutia generala a ecuatiei liniare neomogene cu coeficienti constanti este
๐ฆ (๐ฅ) = ๐ฆ (๐ฅ) + ๐ฆ๐ (๐ฅ) =
= ๐1๐๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ + ๐3๐โ2๐ฅ +
1
6๐ฅ๐๐ฅ โ 1 +
1
10cos๐ฅโ 1
5sin๐ฅ.
Problema 3. Rezolvati problema Cauchy:โงโจโฉ ๐ฆ๐๐ฃ โ ๐ฆ = ๐ฅ3 + ๐ฅ
๐ฆ (0) = ๐ฆโฒ (0) = ๐ฆโฒโฒ (0) = ๐ฆโฒโฒโฒ (0) = 0
Solutie: Pentru ecuatia omogena ๐ฆ๐๐ฃ โ ๐ฆ = 0 avem ecuatia caracteristica
๐4 โ 1 = 0 โ(๐2 โ 1
) (๐2 + 1
)= 0 โ (๐ โ 1) (๐ + 1) (๐ โ ๐) (๐ + ๐) = 0
de unde rezulta๐1 = 1, ๐2 = โ1, ๐3 = ๐, ๐4 = โ๐
8
si solutia ecuatiei omogene
๐ฆ (๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ + ๐3 cos๐ฅ + ๐4 sin๐ฅ.
Pentru functia ๐ (๐ฅ) = ๐ฅ3 + ๐ฅ = ๐0ยท๐ฅ(๐ฅ3 + ๐ฅ
)observam ca 0 nu se afla
printre radacinile ecuatiei caracteristice, deci vom lua cea mai simpla formapentru solutia particulara:
๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅ3 + ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐
si calculam derivatele pana la ordinul patru:
๐ฆโฒ๐ (๐ฅ) = 3๐๐ฅ2 + 2๐๐ฅ + ๐,
๐ฆโฒโฒ๐ (๐ฅ) = 6๐๐ฅ + 2๐, ๐ฆโฒโฒโฒ๐ (๐ฅ) = 6๐, ๐ฆ๐๐ฃ (๐ฅ) = 0.
Inlocuind ฤฑn ecuatia neomogena obtinem coeficientii
๐ = โ1, ๐ = 0, ๐ = โ1, ๐ = 0
si solutia particulara
๐ฆ๐ (๐ฅ) = โ1 ยท ๐ฅ3 + 0 ยท ๐ฅ2 โ 1 ยท ๐ฅ + 0
= โ๐ฅ3 โ ๐ฅ.
In concluzie avem solutia generala a ecuatiei liniare neomogene cu coeficienticonstanti
๐ฆ (๐ฅ) = ๐ฆ (๐ฅ) + ๐ฆ๐ (๐ฅ) =
= ๐1๐๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ + ๐3 cos๐ฅ + ๐4 sin๐ฅโ ๐ฅ3 โ ๐ฅ.
Pentru a rezolva problema Cauchy vom calcula valorea solutiei generale ฤฑn๐ฅ0 = 0 si a derivatelor pana la ordinul trei ฤฑn punctul ๐ฅ0 = 0 si avem:
๐ฆ (0) = ๐1 + ๐2 + ๐3,
๐ฆโฒ (๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ โ ๐2๐
โ๐ฅ โ ๐3 sin๐ฅ + ๐4 cos๐ฅโ 3๐ฅ2 โ 1 โ ๐ฆโฒ (0) = ๐1 โ ๐2 + ๐4 โ 1,
๐ฆโฒโฒ (๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐
โ๐ฅ โ ๐3 cos๐ฅโ ๐4 sin๐ฅโ 6๐ฅ โ ๐ฆโฒโฒ (0) = ๐1 + ๐2 โ ๐3,
๐ฆโฒโฒโฒ (๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ โ ๐2๐
โ๐ฅ + ๐3 sin๐ฅโ ๐4 cos๐ฅโ 6 โ ๐ฆโฒโฒโฒ (0) = ๐1 โ ๐2 โ ๐4 โ 6.
Impunem conditiile
๐ฆ (0) = ๐ฆโฒ (0) = ๐ฆโฒโฒ (0) = ๐ฆโฒโฒโฒ (0) = 0
si rezulta sistemul โงโชโชโชโชโชโชโจโชโชโชโชโชโชโฉ
๐1 + ๐2 + ๐3 = 0
๐1 โ ๐2 + ๐4 = 1
๐1 + ๐2 โ ๐3 = 0
๐1 โ ๐2 โ ๐4 = 6
de unde rezulta
๐1 =7
4, ๐2 = โ7
4, ๐3 = 0, ๐4 = โ5
2.
9
In final obtinem solutia problemei Cauchy:
๐ฆ (๐ฅ) =7
4๐๐ฅ โ 7
4๐โ๐ฅ โ 5
2sin๐ฅโ ๐ฅ3 โ ๐ฅ,
sau ฤฑn mod echivalent:
๐ฆ (๐ฅ) =7
2cosh๐ฅโ 5
2sin๐ฅโ ๐ฅ3 โ ๐ฅ.
10
Probleme propuse
Problema 1. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoarele ecuatiidiferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:
a) 64๐ฆ(8) + 48๐ฆ(6) + 12๐ฆ(4) + ๐ฆ(2) = 0,
b) ๐ฆ๐๐ฃ โ 3๐ฆโฒโฒโฒ + 5๐ฆโฒโฒ โ 3๐ฆโฒ + 4๐ฆ = 0.
Problema 2. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoarele ecuatiidiferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:
a) ๐ฆโฒโฒ โ 4๐ฆโฒ + 4๐ฆ = 1 + ๐๐ฅ + ๐2๐ฅ,
b) ๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆ = ๐ฅ๐๐ฅ sin๐ฅ,
c) ๐ฆ๐๐ฃ โ 4๐ฆโฒโฒ = 1,
d) ๐ฆโฒโฒโฒ โ ๐ฆโฒโฒ = ๐ฅ.
11
12