Matematici speciale

Seminar 5

Martie 2017

ii

“Exista vreo motivatie mai buna decat succesul ?.”

Ion Tiriac

5Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti

constanti

Bungee jumping

Bungee jumping sau saritura cu coarda elastica este unul dintre cele maispectaculoase sporturi extreme, o sfidare a gravitatiei care necesita mult curaj,experienta si rezistenta. Practicantul sare de la o inaltime de zeci de metri, fiindasigurat cu o coarda elastica fixata de glezna.

1

Sa presupunem ca cel care dorestesa faca bungee jumping alege un podaflat la o distanta de 174 m de apa.Are legata de picioare o coarda culungimea 100 m. Consideram po-zitia pana unde ajunge coarda prinsade pod ca fiind 0 si masuram pozi-tia picioarelor in timpul sariturii prinintermediul functiei 𝑥(𝑡) care este ofunctie de timpul 𝑡. Evident in mo-mentul in care saritorul se afla pe podavem 𝑥(0) = −100. Distanta cresteatunci cand e in cadere si deci vitezaeste pozitiva iar atunci cand e tras in-apoi de coarda viteza este negativa. Sestie ca acceleratia gravitationala 𝑔 esteconstanta. Astfel ca forta care ii im-pinge in jos corpul are valoarea 𝑚𝑔.

Atunci cand sari de pe pod forta de rezistenta a aerului creste proportionalcu viteza ta si reprezinta o forta de sens opus miscarii tale, de valoare 𝛽𝑣, unde𝛽 este o constanta si 𝑣 este viteza miscarii tale.

Conform legii lui Hooke referitoare la actiunea resorturilor coarda de bungeeva exercita o forta asupra saritorului proportionala cu distanta parcursa dincolode lungimea naturala a corzii. Astfel forta cu care coarda te impinge inapoi sepoate exprima ca:

𝑏(𝑥) =

{0, daca 𝑥 ≤ 0,

−𝑘𝑥, daca 𝑥 > 0.

Numarul 𝑘 este constanta de elasticitate a corzii si reprezinta modul in carecoarda influenteaza ecuatia. E nevoie de o coarda cu o constanta 𝑘 suficientde mare care sa il opreasca pe cel care sare inainte de a atinge apa dar nudintr-odata pentru a nu-l vatama. Prin urmare esti interesat sa afli distanta lacare vei cadea dincolo de lungimea naturala a corzii ca functie de constanta deelasticitate a corzii.

Pentru a afla asta trebuie sa rezolvi ecuatia diferentiala obtinuta din celespuse mai sus. Forta 𝑚𝑥

′′care apasa asupra asupra corpului tau este data de:

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 + 𝑏(𝑥(𝑡)) − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

Aici 𝑚𝑔 este greutatea ta iar 𝑥′

este viteza ta. Constanta 𝛽 a fortei derezistenta a aerului depinde de multi factori, incluzand hainele pe care le porti.

Aceasta este o ecuatie neliniare dar ascunde doua ecuatii liniare in interiorulei. Cand 𝑥(𝑡0) < 0 ecuatia devine:

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

si dupa punctul unde lungimea naturala a corzii se termina avem ecuatia:

2

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 − 𝑘 · 𝑥(𝑡) − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

Observatie: Sa stii putina matematica este periculos !! Toata modelareamatematica de mai sus este doar o aproximare a situatiei reale. De exemplupresupunerea ca forta de rezistenta a aerului este liniara se poate aplica doarvitezelor mici. Mai mult resorturile se pot comporta neliniar la oscilatii mariastfel ca legea lui Hooke este doar o aproximare. Nu-ti pune viata in pericolpentru o aproximare a unui tip care a trait acum 200 de ani !

3

Ecuatii diferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 0

unde 𝑎𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑛.

Algoritm:∙ se scrie polinomul caracteristic:

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 . . . + 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛

∙ se afla radacinile reale sau complexe ale ecuatiei caracteristice 𝑝(𝜆) = 0.∙ pentru fiecare radacina se obtine un element al sistemului fundamental de

solutii conform tabelului:

Radacina Solutia generata

𝜆 = 𝑎 𝑒𝑎𝑥

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 𝑎 𝑒𝑎𝑥, 𝑥𝑒𝑎𝑥, 𝑥2𝑒𝑎𝑥. . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝑎𝑥

𝜆 = 𝛼 + 𝛽𝑖, 𝜆 = 𝛼− 𝛽𝑖 𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 𝛼 + 𝛽𝑖 𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥. . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥

𝜆𝑘+1 = 𝜆𝑘+2 = . . . = 𝜆2𝑘 = 𝛼− 𝛽𝑖 𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥. . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥

𝜆 = 0 1

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 0 1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘−1

∙ Solutia generala a ecuatiei liniare omogene este

𝑦(𝑥) = 𝐶1 · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛 · 𝑦𝑛(𝑥),

unde 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 sunt cele 𝑛 solutii liniar independente ale sistemului funda-mental de solutii.

Ecuatii diferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥)

Algoritm:∙ se determina solutia generala 𝑦(𝑥) a ecuatiei omogene atasate∙ solutia generala a ecuatiei neomogene este:

𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)

4

unde 𝑦𝑝(𝑥) este o solutie particulara a ecuatiei neomogene care se afla cumetoda variatiei constantelor:

∙ daca 𝑦(𝑥) = 𝐶1 · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛 · 𝑦𝑛(𝑥) este solutia generalaa ecuatiei omogene atasate se cauta o solutie particulara de forma:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝐶1(𝑥) · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛(𝑥) · 𝑦𝑛(𝑥)

∙ functiile 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥), . . . , 𝐶𝑛(𝑥) se obtin rezolvand sistemul de mai josapoi integrand:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦′

1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦′

2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦′

𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦′′

1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦′′

2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦′′

𝑛 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)1 + 𝐶

′

2(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)2 + . . . + 𝐶

′

𝑛(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)1 + 𝐶

′

2(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)2 + . . . + 𝐶

′

𝑛(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)𝑛 = 𝑓(𝑥)

∙ pentru anumite forme particulare ale lui 𝑓(𝑥) putem sa construim directo solutie particulara 𝑦𝑝(𝑥) respectand urmatoarele reguli:

1. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑚(𝑥) unde 𝑃𝑚 este un polinom de grad 𝑚 iar 𝛼 nu esteo radacina a ecuatiei caracteristice atunci:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑄𝑚(𝑥)

unde 𝑄𝑚 este un polinom de grad 𝑚 ce trebuie determinat2. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑚(𝑥) iar 𝛼 este radacina multipla de ordinul 𝑘 a ecuatiei

caracteristice atunci cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥𝑄𝑚(𝑥)

3. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑃𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 sin𝛽𝑥] iar 𝛼 + 𝑖𝛽 nu este radacinaa ecuatiei caracteristice atunci cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑅𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑆𝑚(𝑥) sin𝛽𝑥]

4. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑃𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 sin𝛽𝑥] iar 𝛼 + 𝑖𝛽 este radacinamultipla de ordinul 𝑘 a ecuatiei caracteristice atunci cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥 [𝑅𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑆𝑚(𝑥) sin𝛽𝑥]

5

Probleme rezolvate

Problema 1. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoareleecuatii diferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:

a) 𝑦𝑖𝑣 − 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0,

b) 𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 12𝑦′ − 8𝑦 = 0,

c) 𝑦𝑖𝑣 + 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0.

Solutie: a) Pentru ecuatia omogena 𝑦𝑖𝑣 − 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0 scriem ecuatiacaracteristica

𝑟4 − 5𝑟2 + 4 = 0𝑟2=𝑡⇒ 𝑡2 − 5𝑡 + 4 = 0

⇒ (𝑡− 1) (𝑡− 4) = 0

de unde rezulta

𝑟2 = 1, 𝑟2 = 4 ⇔𝑟1,2 = ±1, 𝑟3,4 = ±2.

Deoarece cele patru radacini sunt reale si diferite construim solutia generalaa ecuatiei de mai sus astfel

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥 + 𝑐4𝑒

−2𝑥.

b) Scriem ecuatia caracteristica

𝑟3 − 6𝑟2 + 12𝑟 − 8 = 0 ⇔ (𝑟 − 2)(𝑟2 − 4𝑟 + 4

)= 0

⇔ (𝑟 − 2)3

= 0

In acest exemplu obtinem o radacina reala tripla ceea ce implica urmatoareaforma a solutiei generale pentru ecutia data

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒2𝑥 =

=(𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑥

2)𝑒2𝑥.

c) Pentru aceasta ecuatie 𝑦𝑖𝑣 + 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0 obtinem ecuatia caracteristica

𝑟4 + 5𝑟2 + 4 = 0𝑟2=𝑡⇒ 𝑡2 + 5𝑡 + 4 = 0

⇒ (𝑡 + 1) (𝑡 + 4) = 0

de unde rezulta

𝑟2 = −1, 𝑟2 = −4 ⇔𝑟1,2 = ±𝑖, 𝑟3,4 = ±2𝑖.

6

Cele patru solutii gasite sunt diferite si complexe, deci vom avea urmatoareaforma a solutiei generale

𝑦 (𝑥) = 𝑐1 cos𝑥 + 𝑐2 sin𝑥 + 𝑐3 cos 2𝑥 + 𝑐4 sin 2𝑥.

Problema 2. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoareleecuatii diferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:

a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 3𝑒2𝑥,

b) 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥.

Solutie: a) Scriem ecuatia omogena 𝑦′′−𝑦′−2𝑦 = 0 la care ıi atasam ecuatiacaracteristica

𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇔(𝑟 − 2) (𝑟 + 1) = 0 ⇒ 𝑟1 = 2, 𝑟2 = −1.

Obtinem solutia ecuatiei omogene

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥.

Deoarece functia 𝑓 (𝑥) = 3𝑒2𝑥 are 𝑟 = 2 solutie comuna cu una din radacinileecuatiei caracteristice (𝑟1 = 2) rezulta urmatoarea forma de solutie particulara

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑥1 · 𝑒2𝑥 · 𝑐.

Ecuatia neomogena data are ordinul maxim al derivatei doi, prin urmarevom calcula cele doua derivate pentru solutia particulara si avem

𝑦′𝑝 (𝑥) = 𝑐 (1 + 2𝑥) 𝑒2𝑥,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 4𝑐 (1 + 𝑥) 𝑒2𝑥.

Inlocuim cele doua derivate ın ecuatia neomogena si rezulta

4𝑐 (1 + 𝑥) 𝑒2𝑥 − 𝑐 (1 + 2𝑥) 𝑒2𝑥 − 2𝑐𝑥𝑒2𝑥 = 3𝑒2𝑥 |: 𝑒2𝑥 ⇔

4𝑐 (1 + 𝑥) − 𝑐 (1 + 2𝑥) − 2𝑐𝑥 = 3

⇒ 𝑐 = 1 ⇒ 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑥𝑒2𝑥

Din cele de mai sus construim solutia generala a ecuatiei liniare neomogenecu coeficienti constanti

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥)

= 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥.

b) Ecuatia omogena 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0 are ecuatia caracteristica

𝑟3 + 2𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇔ (𝑟 − 1) (𝑟 + 1) (𝑟 + 2) = 0

⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = −2,

7

de unde rezulta solutia ecuatiei omogene:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥.

Functia 𝑓 (𝑥) = 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥 ne da urmatoarele solutii

2 = 2 · 𝑒0·𝑥 ⇒ 𝑟 = 0

𝑒𝑥 = 𝑒1·𝑥 ⇒ 𝑟 = 1

sin𝑥 = 𝑒0·𝑥 sin (1 · 𝑥) ⇒ 𝑟 = 0 ± 1 · 𝑖.

Observam ca una din solutii (𝑟 = 1) se afla printre solutiile ecuatiei carac-teristice (𝑟1 = 1), deci avem urmatoarea forma de solutie particulara

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑐𝑥𝑒𝑥 + 𝑎 + 𝛼 cos𝑥 + 𝛽 sin𝑥.

In continuare vom calcula primele trei derivate ale solutiei particulare siavem

𝑦′𝑝 (𝑥) = 𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 − 𝛼 sin𝑥 + 𝛽 cos𝑥,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 2𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 − 𝛼 cos𝑥− 𝛽 sin𝑥,

𝑦′′′𝑝 (𝑥) = 3𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 + 𝛼 sin𝑥− 𝛽 cos𝑥.

Dupa ınlocuirea lor ın ecuatia neomogena obtinem coeficientii

𝑐 =1

6, 𝑎 = −1, 𝛽 = −1

5, 𝛼 =

1

10,

de unde rezulta solutia particulara

𝑦𝑝 (𝑥) =1

6𝑥𝑒𝑥 − 1 +

1

10cos𝑥− 1

5sin𝑥,

iar solutia generala a ecuatiei liniare neomogene cu coeficienti constanti este

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

= 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥 +

1

6𝑥𝑒𝑥 − 1 +

1

10cos𝑥− 1

5sin𝑥.

Problema 3. Rezolvati problema Cauchy:⎧⎨⎩ 𝑦𝑖𝑣 − 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥

𝑦 (0) = 𝑦′ (0) = 𝑦′′ (0) = 𝑦′′′ (0) = 0

Solutie: Pentru ecuatia omogena 𝑦𝑖𝑣 − 𝑦 = 0 avem ecuatia caracteristica

𝑟4 − 1 = 0 ⇔(𝑟2 − 1

) (𝑟2 + 1

)= 0 ⇔ (𝑟 − 1) (𝑟 + 1) (𝑟 − 𝑖) (𝑟 + 𝑖) = 0

de unde rezulta𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = 𝑖, 𝑟4 = −𝑖

8

si solutia ecuatiei omogene

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 cos𝑥 + 𝑐4 sin𝑥.

Pentru functia 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 = 𝑒0·𝑥(𝑥3 + 𝑥

)observam ca 0 nu se afla

printre radacinile ecuatiei caracteristice, deci vom lua cea mai simpla formapentru solutia particulara:

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

si calculam derivatele pana la ordinul patru:

𝑦′𝑝 (𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏, 𝑦′′′𝑝 (𝑥) = 6𝑎, 𝑦𝑖𝑣 (𝑥) = 0.

Inlocuind ın ecuatia neomogena obtinem coeficientii

𝑎 = −1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −1, 𝑑 = 0

si solutia particulara

𝑦𝑝 (𝑥) = −1 · 𝑥3 + 0 · 𝑥2 − 1 · 𝑥 + 0

= −𝑥3 − 𝑥.

In concluzie avem solutia generala a ecuatiei liniare neomogene cu coeficienticonstanti

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

= 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 cos𝑥 + 𝑐4 sin𝑥− 𝑥3 − 𝑥.

Pentru a rezolva problema Cauchy vom calcula valorea solutiei generale ın𝑥0 = 0 si a derivatelor pana la ordinul trei ın punctul 𝑥0 = 0 si avem:

𝑦 (0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3,

𝑦′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 − 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑐3 sin𝑥 + 𝑐4 cos𝑥− 3𝑥2 − 1 ⇒ 𝑦′ (0) = 𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐4 − 1,

𝑦′′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑐3 cos𝑥− 𝑐4 sin𝑥− 6𝑥 ⇒ 𝑦′′ (0) = 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3,

𝑦′′′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 − 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 sin𝑥− 𝑐4 cos𝑥− 6 ⇒ 𝑦′′′ (0) = 𝑐1 − 𝑐2 − 𝑐4 − 6.

Impunem conditiile

𝑦 (0) = 𝑦′ (0) = 𝑦′′ (0) = 𝑦′′′ (0) = 0

si rezulta sistemul ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 = 0

𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐4 = 1

𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 = 0

𝑐1 − 𝑐2 − 𝑐4 = 6

de unde rezulta

𝑐1 =7

4, 𝑐2 = −7

4, 𝑐3 = 0, 𝑐4 = −5

2.

9

In final obtinem solutia problemei Cauchy:

𝑦 (𝑥) =7

4𝑒𝑥 − 7

4𝑒−𝑥 − 5

2sin𝑥− 𝑥3 − 𝑥,

sau ın mod echivalent:

𝑦 (𝑥) =7

2cosh𝑥− 5

2sin𝑥− 𝑥3 − 𝑥.

10

Probleme propuse

Problema 1. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoarele ecuatiidiferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:

a) 64𝑦(8) + 48𝑦(6) + 12𝑦(4) + 𝑦(2) = 0,

b) 𝑦𝑖𝑣 − 3𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 3𝑦′ + 4𝑦 = 0.

Problema 2. Sa se determine solutiile generale pentru urmatoarele ecuatiidiferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:

a) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥,

b) 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 sin𝑥,

c) 𝑦𝑖𝑣 − 4𝑦′′ = 1,

d) 𝑦′′′ − 𝑦′′ = 𝑥.

11

12