of 190
Tony R. Kuphaldt
Introducere n circuite electrice i electroniceVol. 2 - Curent alternativ
V 2.0
www.circuiteelectrice.roi
Prefa
Cartea de fa reprezint varianta romneasc a volumului de Curent alternativ, al doilea din seria lucrrilor Lessons in Electric Circuits scrise de Tony R. Kuphaldt sub licena DESIGN SCIENCE LICENSE. Prezenta versiune se distribuie gratuit prin intermediul site-ului oficial. Ultimele nouti i varianta online se gsesc la adresa www.circuiteelectrice.ro. Orice comentarii sau sugestii de mbuntire sunt binevenite i pot fi trimise pe adresa [email protected]. Putei utiliza coninutul de fa n orice scop dorii respectnd condiiile impuse de licena DSL, n principal, menionarea sursei originale. Atenie, pe tot parcusul crii se va folosi notaia real de deplasare a electronilor prin circuit, i anume, dinspre borna negativ (-) spre borna pozitiv (+) !
17.07.2010
01 - BAZELE TEORIEI CURENTULUI ALTERNATIV ..................................................................................................................... 1 1. CE ESTE CURENTUL ALTERNATIV ..................................................................................................................................................... 1 2. FORME DE UND N CURENT ALTERNATIV ......................................................................................................................................... 5 3. AMPLITUDINEA CURENTULUI ALTERNATIV......................................................................................................................................... 7 4. REZOLVAREA CIRCUITELOR SIMPLE DE CURENT ALTERNATIV ................................................................................................................ 12 5. FAZELE CURENTULUI ALTERNATIV.................................................................................................................................................. 14 02 - NUMERE COMPLEXE ..................................................................................................................................................... 18 1. INTRODUCERE .......................................................................................................................................................................... 18 2. VECTORI I FORME DE UND N CURENT ALTERNATIV ........................................................................................................................ 19 3. ADUNAREA SIMPL A VECTORILOR ................................................................................................................................................ 21 4. ADUNAREA COMPLEX A VECTORILOR ........................................................................................................................................... 23 5. NOTAIA POLAR I RECTANGULAR A NUMERELOR COMPLEXE .......................................................................................................... 24 6. ARITMETICA NUMERELOR COMPLEXE ............................................................................................................................................ 28 03 - REACTANA I IMPEDANA INDUCTIV ........................................................................................................................ 30 1. CIRCUITE REZISTIVE .................................................................................................................................................................... 30 2. CIRCUITE INDUCTIVE. REACTANA ................................................................................................................................................ 31 3. CIRCUITE REZISTIV-INDUCTIVE SERIE. IMPEDANA ............................................................................................................................ 36 4. CIRCUITE REZISTIV-INDUCTIVE PARALEL .......................................................................................................................................... 41 04 - REACTANA I IMPEDANA CAPACITIV ....................................................................................................................... 44 1. CIRCUITE CAPACITIVE ................................................................................................................................................................. 44 2. CIRCUITE REZISTIV-CAPACITIVE SERIE ............................................................................................................................................. 47 3. CIRCUITE REZISTIV-CAPACITIVE PARALEL ......................................................................................................................................... 51 05 - REACTANA I IMPEDANA RLC .................................................................................................................................... 55 1. REZISTENA (R), REACTANA (X) I IMPEDANA (Z) - RECAPITULARE ................................................................................................... 55 2. CIRCUITE RLC SERIE................................................................................................................................................................... 57 3. CIRCUITE RLC PARALEL............................................................................................................................................................... 60 4. CIRCUITE RLC SERIE-PARALEL ...................................................................................................................................................... 62 5. SUSCEPTANA I ADMITANA....................................................................................................................................................... 68 06 - REZONANA .................................................................................................................................................................. 69 1. PENDULUL ELECTRIC .................................................................................................................................................................. 69 2. REZONANA PARALEL ................................................................................................................................................................. 74 3. REZONANA SERIE ..................................................................................................................................................................... 76 4. APLICAII ALE REZONANEI .......................................................................................................................................................... 78 5. REZONANA SERIE-PARALEL. ANTIREZONANA ................................................................................................................................ 79 07 - SEMNALE CU FRECVENE MULTIPLE .............................................................................................................................. 86 1. INTRODUCERE .......................................................................................................................................................................... 86 2. ANALIZA UNUI SEMNAL DREPTUNGHIULAR...................................................................................................................................... 89 3. ANALIZA SPECTRAL .................................................................................................................................................................. 93 4. EFECTE ASUPRA CIRCUITELOR ....................................................................................................................................................... 97 08 FILTRE ......................................................................................................................................................................... 101 1. CE ESTE UN FILTRU .................................................................................................................................................................. 101 2. FILTRU TRECE-JOS.................................................................................................................................................................... 102 3. FILTRU TRECE-SUS ................................................................................................................................................................... 106 4. FILTRU TRECE-BAND ............................................................................................................................................................... 109 5. FILTRU STOP-BAND ................................................................................................................................................................ 111 6. FILTRE REZONANTE .................................................................................................................................................................. 113 09 TRANSFORMATORUL .................................................................................................................................................. 119
i
1. TRANSFORMATORUL I INDUCTANA MUTUAL ............................................................................................................................. 119 2. EXEMPLU DE FUNCIONARE ....................................................................................................................................................... 125 3. TRANSFORMATORUL RIDICTOR I COBORTOR DE TENSIUNE ........................................................................................................... 128 4. TIPURI DE NFURRI; ATUTOTRANSFORMATORUL ........................................................................................................................ 131 10 - CIRCUITE POLIFAZATE ................................................................................................................................................. 135 1. SISTEME DE ALIMENTARE MONOFAZATE ....................................................................................................................................... 135 2. SISTEME DE ALIMENTARE TRIFAZATE............................................................................................................................................ 139 3. SECVENA FAZELOR ................................................................................................................................................................. 143 4. FUNCIONAREA MOTOARELOR ELECTRICE ..................................................................................................................................... 146 5. CONFIGURAII STEA I TRIUNGHI TRIFAZATE .................................................................................................................................. 150 6. TRANSFORMATORUL TRIFAZAT ................................................................................................................................................... 155 11 - FACTORUL DE PUTERE ................................................................................................................................................. 159 1. PUTEREA N CIRCUITELE REZISTIVE I REACTIVE .............................................................................................................................. 159 2. PUTEREA REAL, REACTIV I APARENT ...................................................................................................................................... 161 3. CALCULAREA I CORECTAREA FACTORULUI DE PUTERE ..................................................................................................................... 163 12 - LINII ELECTRICE LUNGI ................................................................................................................................................. 168 1. CIRCUITELE ELECTRICE I VITEZA LUMINII ...................................................................................................................................... 168 2. IMPEDANA CARACTERISTIC ..................................................................................................................................................... 169 3. LINII ELECTRICE FINITE .............................................................................................................................................................. 174 4. LINII ELECTRICE LUNGI I LINII ELECTRICE SCURTE ............................................................................................................................ 179 5. UNDE STAIONARE I REZONANA .............................................................................................................................................. 182
ii
01 - Bazele teoriei curentului alternativ
1. Ce este curentul alternativ
Curentul continuu menine tensiunea i curentul la o polaritate respectiv direcie constante n timp n curent alternativ, tensiunea i curentul i schimb polaritatea respectiv direcia n timp Generatoarele electromecanice n curent alternativ, cunoscute sub numele de alternatoare, sunt mult mai simplu de construit dect generatoarele de curent continuu. Acelai lucru este valabil i n cazul motoarelor electrice
Definiien primul capitol am luat n considerare doar curentul continuu, termen folosit n electricitate pentru a defini deplasarea electronilor ntr-o singur direcie constant i/sau calitatea tensiunii de a deine o singur polaritate. Curentul continuu este tipul de electricitate produs de o baterie, de exemplu. Pe ct de folosit i uor de neles este curentul continuu, acesta nu este tipul de electricitate folosit n general. Unele surse electrice, precum generatoarele electro-mecanice rotative, produc tensiuni a cror polaritate alterneaz, inversndu-se n acest caz polii pozitivi i negativi ntre ei. Fie c vorbim de modificarea polaritii unei tensiuni sau de modificarea direciei de deplasare a electronilor nainte i napoi, acest gen de electricitatea poart denumirea de curent alternativ. Dei simbolul bateriei este folosit pentru a reprezenta orice surs de curent continuu, n cazul curentului alternativ, simbolul unei surse de energie l reprezint o linie sinusoidal ntr-un cerc, precum n figura de mai sus.
ScopNe putem ntreba, pe bun dreptate, de ce ne-am bate capul i cu acest tip de electricitate. Este adevrat c n unele cazuri, curentul alternativ nu prezint niciun avantaj fa de cel continuu. n aplicaiile n care curentul electric este folosit doar pentru a genera energie sub form de cldur (reou, bec, etc.), polaritatea sau direcia curentului este irelevant atta timp ct tensiunea i curentul existente n circuit sunt suficiente pentru a disipa puterea necesar elementelor din circuit. Totui, cu ajutorul curentului alternativ se pot construi generatoare electrice, motoare electrice i sisteme de distribuie a energiei electrice mult superioare din punct de vedere al eficienei fa de curentul continuu.
1
Generarea curentului alternativn cazul n care construim o main ce rotete un cmp magnetic n jurul unui set de nfurri staionare prin intermediul unui ax, vom constata producerea curentului alternativ pe nfurri pe msur ce axul se rotete; principiul se bazeaz pe legea induciei electromagnetice a lui Faraday. Acesta este i principiul de baz a unui generator de curent alternativ, cunoscut i sub numele de alternator.
Putem observa c polaritatea tensiunii pe nfurare se inverseaz atunci cnd prin preajma acestea trece polul opus al magnetului. Conectat la o surs, aceast inversare a polaritii creaz un curent invers (n direcie opus) prin circuit. Cu ct viteza de rotaie a axului generatorului este mai mare, cu att mai repede se rotete i magnetul; rezultatul este o tensiune i curent alternativ ce-i modific direciile mult mai des n aceeai perioad de timp.
Generarea curentului continuuDei generatoarele de curent continuu funcioneaz pe baza aceluiai principiu al induciei electromagnetice ca i generatoarele de curent alternativ, construcia acestora nu este aa de simpl. La un generator de curent continuu, nfurarea este montat pe ax, acolo unde la generatorul de curent alternativ se afl magnetul permanent, iar contactul dintre nfurarea rotativ i circuitul exterior se realizeaz cu ajutorul unor contacte staionare de carbon, numite perii, ce vin n contact cu fii de carbon aflate pe nfurare.
2
Toate aceste elemente sunt necesare pentru schimbarea polaritii de ieire spre circuitul exterior, pentru ca acesta s vad o polaritate constant (curent continuu). Generatorul de mai sus produce dou pulsuri de tensiune la fiecare revoluie a axului, ambele pulsuri avnd aceeai direcie (polaritate). Pentru ca un generator de curent continuu s produc o tensiune constant i nu o tensiune intermitent, acesta trebuie echipat cu seturi multiple de nfurri pentru contactul cu periile. Diagrama de mai sus este prin urmare una simplificat. Problema ce se ivete n cazul nchiderii i deschiderii contactelor ntre nfurrile rotative i perii este dezvoltarea cldurii excesive i a scnteilor, n special la viteze mari. Dac mediul ambiant n care funcioneaz generatorul prezint vapori inflamabili sau explozivi, problema folosirii unui astfel de generator este i mai grav. Pe de alt parte, un generator de curent alternativ nu necesit perii i comutatoare pentru funcionarea sa, i este prin urmare imun la astfel de probleme. Avantajele curentului alternativ fa de cel continuu se regsesc i n cazul confecionrii motoarelor electrice.
TransformatorulUn alt domeniu de aplicare al curentului continuu se bazeaz pe un efect al
electromagnetismului cunoscut sub denumirea de inducie mutual: dou sau mai multe nfurri plasate una n vecintatea celeilalte, astfel nct cmpul magnetic variabil creat de o nfurare induce o tensiune electric n cealalt. Dac avem dou nfurri mutual inductive i alimentm una dintre ele n curent alternativ, cea de a doua nfurare va fi i ea strbtut de curent alternativ. O astfel de utilizare a nfurtorilor d natere unui dispozitiv numit transformator: Transformatorul este utilizat n principal pentru ridicarea sau coborrea valorii tensiunii de la nfurarea alimentat la cea nealimentat. Prima nfurare, cea care este alimentat n curent alternativ, poart denumirea de primar; cea de a doua nfurare, cea n care se induce un curent alternativ dinspre primar, poart denumirea de secundar. Valoarea tensiunii induse n secundar este egal cu produsul dintre valoarea tensiunii din primar i raportul dintre numrul de spire din secundar i numrul de nfurri din primar:
3
AnalogieAceast relaie poate fi reprezentat analogie pentru printr-o mecanic, reprezentarea
folosind cuplul i viteza tensiunii i respectiv a curentului.
Dac inversm raportul numrului de spire dintre primar i secundar, astfel nct primarul va avea mai puine spire dect secundarul, atunci transformatorul va ridica tensiune de la nivelul existent n primar la un nivel mai mare n secundar.
Reele de distribuie a energiei electrice
Abilitatea transformatoarelor de a ridica tensiunea sau de a o cobor este extrem de util n proiectare reelelor de distribuie a energiei electrice. Atunci cnd se transport energie electric pe distane lungi, este mult mai eficient dac aceasta se realizeaz la tensiuni nalte i cureni mici (diametrul conductorilor este mai mic, prin urmare i pierderile sunt mai mici), i coborrea acesteia pentru utilizarea de ctre consumatori. Tehnologia proiectrii transformatoarelor face posibil existena sistemelor de distribuie. Fr capacitatea de ridicare i coborre a tensiuni, sistemele de distribuie ar fi mult prea scumpe pentru a fi practice, dect poate, doar pe distane scurte, de civa kilometri.
ObservaiePe ct sunt de folositoare, transformatoarele funcioneaz doar n curent alternativ, deoarece fenomenul de inducie mutual se bazeaz pe cmpuri magnetice variabile, iar curentul continuu nu poate produce dect cmpuri
4
magnetice constante. Desigur, curentul continuu poate fi folosit sub form de impulsuri prin nfurarea primar pentru crearea unui cmp magnetic variabil, dar acest curent pulsatoriu nu este foarte diferit pn la urm de curentul alternativ.
2. Forme de und n curent alternativ
Graficul curentului alternativ produs de un generator (alternator) electromecanic este sinusoidal (form de und) Perioada reprezint timpul, luat din oricare punct al graficului formei de und pn n punctul n care acesta ncepe s se repete, msurat n secunde Frecvena este numrul perioadelor efectuate de o form de und ntr-un interval de o secund i se msoar n Hertz (Hz); 1 Hz este egal cu o perioad efectuat ntr-un interval de o secund f=1/T
Forme de und sinusoidaleDatorit modului de producere al energiei electrice, unda produs de modificarea continu a polaritii tensiunii, respectiv direciei curentului, are o form sinusoidal, precum n figura alturat.
Graficul tensiunii cu timpul pentru un generator electric electromecanic ne arat o modificare neted a polaritii (dinspre (+) spre (-) sau invers); nivelul tensiunii are cea mai rapid variaie n jurul valorii de zero, la intersecia cu axa timpului, i cea mai lent n jurul valorilor maxime. Dac lum funcia trigonometric sinus ntre 0 i 360 de grade i o desenm pe un grafic, aceasta va fi exact figurii considerate mai sus. Motivul pentru care generatorul produce curent alternativ se datoreaz modului su fizic de funcionare. Tensiunea produs de stator (nfurrile staionare) datorit micrii rotorului (magnetului rotativ) este proporional cu rata variaiei fluxului magnetic perpendicular pe nfurri (legea induciei electromagnetice). Aceast rat de variaie este maxim atunci cnd polii magnetului se afl n imediata apropiere a nfurrilor, iar valoarea ei este minim atunci cnd acetia se afl la distana maxim fa de nfurri. Matematic, rata variaiei fluxului magnetic datorit unui magnet rotativ, urmrete graficul funciei sinus, astfel c tensiunea produs de nfurri este descris de aceeai funcie.
5
Perioada unei funciiDac urmrim variaia tensiunii produs de nfurrile unui generator din oricare punct de pe graficul funciei (sinus n acest caz) pn n momentul n care graficul ncepe s se repete, spunem c s-a efectuat exact o perioad a acelei funcii. Matematic, perioada unei funcii se noteaz cu T. Acest concept este cel mai uor de vizualizat ntre valorile maxime ale funciei, dar poate la fel de bine s fie luat n considerare ntre oricare puncte ale acestuia. Valorile unghiurilor de pe axa orizontal desemneaz domeniul funciei trigonometrice sinus, dar i poziia unghiular a axului alternatorului aflat n micare. Din moment ce axa orizontal a graficului desemneaz trecerea timpului precum i poziia axului alternatorului n grade, unitatea de msur folosit pentru marcarea unei perioade este timpul, n majoritatea cazurilor msurat n secunde sau fraciuni de secund. Perioada unei unde, msurat n grade, este tot timpul 360, dar timpul ocupat de o singur perioad depinde de rata variaiei tensiunii de la o polaritate spre cealalt.
FrecvenaO metod i mai des folosit pentru a descrie alternana curentului alternativ este exact rata acestei oscilaii, denumit frecven, desemnat matematic prin f. Unitatea de msur pentru frecvent este Hertz-ul (prescurtat Hz), i reprezint numrul de perioade complete ntr-un interval de o secund. n Europa, frecvena standard folosit este de 50 Hz, ceea ce se traduce prin faptul c tensiunea alternativ oscileaz cu o rat de 50 de perioade la fiecare secund. O staie de transmisie radio ce folosete o frecven de 100 MH genereaz tensiune alternativ ce oscileaz cu o rat de 100 de milioane de perioade pe secund. Matematic, perioada i frecvena sunt mrimi reciproce, frecvena fiind egal cu inversul perioadei (f = 1 / T) De exemplu, pentru o perioad T = 16 ms, frecvena f = 1 / 16 = 62.5 Hz. Instrumentul folosit pentru vizualizarea formelor de und (a variaiei tensiunii sau curentului cu timpul) se numete osciloscop.
Alte forme de und
6
Dei generatoarele electromecanice i multe alte fenomene fizice produc n mod natural forme de und sinusoidale, acestea nu sunt singurele forme de unde alternative existente. Exist o varietate de unde alternative produse de circuitele electronice. Alturat sunt cteva exemple.
Acestea nu sunt ns singurele tipuri de forme de und existente, ci doar cteva dintre cele mai comune. Chiar i circuitele considerate sinusoidale, dreptunghiulare sau triunghiulare pure nu sunt perfecte n realitate. Unele forme de und sunt att de complexe nct nu pot fi clasificate. General vorbind, orice form de und ce se apropie de o form sinusoidal este denumit ca atare, toate celelalte fiind denumite ne-sinusoidale. Forma undei de tensiune sau curent are o importan crucial asupra comportamentului unui circuit i trebuie s fim prin urmare ateni la diferitele forme de und existente n practic.
3. Amplitudinea curentului alternativ
Amplitudinea unei unde alternative este valoarea sa pe grafic n funcie de timp, i poate nsemna valoare de vrf, vrf la vrf, medie sau efectiv Valoarea de vrf a unei forme de unde alternative se msoar de la intersecia acesteia cu axa orizontal (timp) pn la nivelul maxim pozitiv pe grafic, sau nivelul minim negativ Amplitudinea vrf la vrf reprezint nlimea total a unei forme de und alternative msurat pe grafic ntre valoarea sa maxim pozitiv i valoarea minim negativ Amplitudinea medie reprezint media aritmetic a valorilor tuturor punctelor de pe grafic n decurs de o perioad Valoarea efectiv (RMS) a unei forme de und alternative este un mod de exprimare a echivalenei dintre efectele curentului continuu i cel alternativ. RMS vine din englez, i nseamn Root Mean Square, adic metoda de calcul a acestei valori
Factorul de vrf a unei unde alternative este raportul dintre valoarea sa de vrf i cea efectiv Factorul de form a unei unde alternative este raportul dintre valoarea sa efectiv i cea medie
Amplitudinea sau valoarea de vrf a unui semnal
7
n curent continuu, unde valoarea tensiunii i a curentului sunt constante n timp, exprimarea cantitii acestora n orice moment este destul de uoar. Dar cum putem msura valoarea unei tensiuni sau a unui curent care variaz tot timpul? O metod de exprimare a intensitii, curentului alternativ, denumit i amplitudine, este msurarea nlimii formei de und de pe grafic. Aceasta este denumit valoarea de vrf a unei unde alternative.
Amplitudinea vrf la vrfO alt metod const n msurarea nlimii totale a forme de und, ntre cele dou vrfuri, valoare ce poart numele de amplitudine vrf la vrf.
UtilitateDin pcate, ambele modaliti de calcul ale amplitudinii undei alternative nu sunt foarte practice atunci cnd vrem s facem o comparaie ntre diferite tipuri de und. De exemplu, o und dreptunghiular cu valoarea de vrf de 10 V are evident o valoare a tensiunii mai mare pentru o perioad mai lung de timp fa de o und triunghiular cu aceeai valoare maxim de 10 V. Efectele acestor dou tipuri de und asupra unei sarcini sunt diferite.
Amplitudinea medie
8
O modalitate de exprimare a amplitudinilor diferitelor forme de und ntr-o form echivalent const n efectuarea mediei aritmetice a valorilor tuturor punctelor de pe grafic. Aceast mrime este cunoscut sub numele de valoarea medie a formei de und.
Dac lum media aritmetic a tuturor punctelor de pe grafic, lund n considerare i semnul (pozitiv sau negativ), valoarea medie pentru majoritatea undelor va fi zero, datorit anulrii reciproce dintre valorile pozitive i cele negative pe o perioad complet. Acest lucru este valabil pentru oricare form de und constituit din arii egale att deasupra ct i sub axa orizontal (zero) a graficului. Totui, practic, msurarea valorii medii a undei se efectueaz matematic prin considerarea valorilor absolute a tuturor punctelor dintr-o perioad. Cu alte cuvinte, valoarea medie practic a undei se calculeaz considernd toate punctele de pe grafic ca fiind pozitive, prin rsturnarea imaginar a tuturor punctelor de pe grafic aflate sub linia orizontal.
Valoarea efectiv a undei (RMS)O alt metod de aflare a valorii reale a amplitudinii unei unde se bazeaz pe capacitatea acesteia de a efectua lucru mecanic util atunci cnd este aplicat asupra unei sarcini (P = E2/R, and P = I2R).
AnalogieS considerm de exemplu un fierstru circular i unul pendular (vertical), ambele folosite pentru tierea lemnului. Ambele tipuri de fierstraie folosesc o lam metalic dinat acionat de un motor electric, dar cel circular folosete o micare continu a lamei pentru a tia, iar cel pendular folosete o micare nainte i napoi pentru a realiza aceeai operaie. Comparaia dintre cele dou tipuri de micri este analoag comparaiei dintre curentul continuu i cel alternativ.
9
Problema descrierii variaiei valorilor prezente n curent alternativ ntr-o singur component, este prezent i n acest caz al analogiei: cum putem exprima viteza lamei fierstrului? Lama fierstrului circular are o vitez constant, la fel ca n cazul curentului continuu ce mpinge electronii prin circuit cu o for constant. Lama fierstrului pendular, pe de alt parte, se deplaseaz nainte i napoi (curent alternativ), iar n acest caz valoarea vitezei acesteia variaz n fiecare clip. Care vitez este mai mare, care dintre fierstraie poate tia mai mult lemn n aceeai durat de timp? Mai mult dect att, micare nainte i napoi a unui fierstru se poate s nu fie de acelai tip cu micarea unui alt fierstru, n funcie de caracteristicile mecanice ale fiecruia. Unul dintre ele poate, de exemplu, s foloseasc o form de und sinusoidal n micarea sa, pe cnd un altul, o und triunghiular. O comparaie ntre viteza de vrf ntre dou fierstraie nu are avea aproape niciun rost (sau o comparaie ntre unul circular i unul pendular!). Cu toate c fiecare dintre aceste fierstraie are o micare diferit a lamei, toate sunt egale n cel puin un sens: toate taie lemn, iar o comparaia cantitativ asupra acestei funcii comune poate servi ca punct de plecare pentru determinarea valorii universale a vitezei oricrui fierstru. Dac ne cu imaginm lame dou fierstraie, unul circular i altul pendular, identice, capabile s taie acelai tip de lemn, cu aceeai grosime, n acelai interval de timp, am putea spune despre ele c sunt echivalente n ceea ce privete capacitatea lor de tiere, i totui, ele sunt foarte diferite n modul lor de funcionare. Aceast comparaie poate fi folosit pentru a desemna o vitez a fierstrului pendular echivalent cu cea a fierstrului circular, pentru a putea realiza o comparaie real ntre eficiena celor dou tipuri. Aceasta este i ideea folosiri unui procedeu de msur a echivalenei n curent continuu a oricrei mrimi din curent alternativ: valoarea curentului sau tensiunii n curent continuu ce ar produce aceeai cantitate de energie disipat pe o aceeai rezisten.
Definiien cele dou circuite de mai sus, avem aceeai valoare a sarcinii, respectiv 2 ce disip aceeai cantitate , de putere sub form de cldur, 50 W, unul dintre ele fiind alimentat n curent alternativ, cellalt n curent continuu. Deoarece sursa de tensiune alternativ este echivalent din punct de vedere al puterii transmise spre sarcin cu o baterie de 10 V n curent continuu, putem denumi aceasta o surs de 10 V. Mai precis, spunem c tensiunea efectiv este de 10 V. n limba englez notaia este de 10 V RMS, notaie ce o vedem adesea mai ales n sistemele audio. RMS nseamn Root Mean Square i se refer la modalitatea matematic de obinere a acestei valori, i anume,
10
ridicarea la ptrat a tuturor valorilor de pe graficul formei de und, att pozitive ct i negativa, calcularea valori medii a acestora i introducerea lor sub radical pentru obinerea valorii finale, efective. Msurarea valorii efective este cea mai bun modalitate de realizare a echivalenei dintre cele dou tipuri de electricitate, continu i alternativ, indiferent de natura formelor de und implicate, fie sinusoidale, triunghiulare sau de orice alt form.
Msurarea efectiv a valorilor de vrfMsurtorile vrf la vrf sunt cel mai bine efectuate cu ajutorul unui osciloscop, deoarece acesta poate indica vrful formei de und cu o acuratee maxim. Pentru msurarea valorilor efective, aparatele de msur analogice vor funciona doar dac au fost special calibrate pentru acest scop. Datorit ineriei mecanice i efectului de atenuare, deplasarea indicatorului electromecanic al aparatului de msur va fi n proporie cu valoarea medie a undei alternative, i nu valoare ei efectiv. Datorit acestui lucru, aparatele de msur analogice trebuiesc calibrate, iar acurateea acestei operaii depinde de natura formei de und presupuse, de obicei sinusoidal. Cele mai bune aparate de msur a valorilor efective sunt cele electronice, special concepute pentru acest tip de msurtori. O metod const n msurarea temperaturii unui element rezistiv pentru redarea precis a valorii efective fr alte calcule matematice, folosind doar legile fizici. Acurateea acestui tip de msurtoare este independent de natura formei de und.
Coeficienii formelor de und purePentru forme de und pure, exist nite coeficieni pentru calcularea relaiei dintre valorile de vrf, vrf la vrf, medii practice i valorii efective ale acestora. Pe lng aceti coeficieni, mai exist i alte modaliti de exprimare a proporionalitii ntre formele de und fundamentale.
11
Factorul de vrfFactorul de vrf a unei forme de und alternative este raportul dintre valoarea sa de vrf i valoarea efectiv.
Factorul de formFactorul de form reprezint raportul dintre valoarea efectiv a undei i valoarea sa medie.
ObservaiiFactorii de vrf i form ale undelor dreptunghiulare sunt ntotdeauna egali cu 1, din moment ce valoarea de vrf este egal cu cea medie (practic) i cea efectiv. Formele de und sinusoidale au o valoare efectiv de 0,707 (1 / 21/2) i un factor de form de 1,11 (0,707 / 0,636). Formele de und triunghiulare i dinte de fierstru a valorile efective de 0,577 (1 / 31/2) i factorii de form egali cu 1,15 (0.5777 / 0,5).
inei minte c aceste constate de conversie ntre valorile de vrf, vrf la vrf, medii i efective ale unei forme de und se pot folosi doar pentru formele de und pure. Relaiile dintre aceste valori, folosind aceste constante, nu se pot aplica n cazul formele de und distorsionate.
4. Rezolvarea circuitelor simple de curent alternativ
Toate regulile i legile circuitelor de curent continuu sunt valabile n cazul circuitelor de curent alternativ. Totui, pentru circuitele complexe, valorile folosite vor trebui exprimate ntr-o form matematic mai complex
Circuit pur rezistivRezolvarea circuitelor de curent alternativ se poate dovedi extrem de complex n unele cazuri datorit comportamentului condensatoarelor i a bobinelor n acest caz. Totui, n cazul circuitelor simple, constnd dintr-o surs de curent alternativ i
12
unul sau mai muli rezistori, putem aplica aceleai reguli ca i n cazul curentului continuu fr alte complicaii.
Formulele pentru rezolvarea circuitului de mai sus arat astfel:
Rezistenele serie se adun, cele n paralel se diminueaz, iar legea lui Ohm, legea lui Kirchhoff pentru tensiune i legea lui Kirchhoff pentru curent sunt i ele valabile. De fapt, dup cum vom vedea, aceste regului sunt tot timpul valabile, doar c trebuie s folosim forme matematice mai avansate pentru exprimarea tensiuni, curentului i a opoziiei fa de acesta. Pentru c acesta este ns un circuit pur rezistiv, complexitile circuitelor de curent alternativ nu afecteaz rezolvarea lui. Introduse ntr-un tabel, valorile de mai sus arat astfel: Mrime R1 R2 R3 Total Unitate E I R 1 5 4 10 V A 10m 10m 10m 10m 100 500 400 1k
ObservaieUn singur lucru foarte important trebuie inut minte: toate mrimile folosite n curent alternativ trebuiesc exprimate folosind aceeai termeni (valori de vrf, vrf la vrf, medii sau efective). Dac tensiunea sursei este dat ca valoare de vrf, atunci toi curenii i tensiunile calculate vor fi exprimate ca i valori de vrf. Acelai lucru este valabil i n cazul celorlalte tipuri de valori. Exceptnd cazurile speciale ce vor fi descrise explicit, toate valorile tensiunilor i curenilor din circuite se vor considera a fi valorile efective ale formelor de und alternative i nu cele de vrf, vrf la vrf sau medii.
13
5. Fazele curentului alternativ
Diferena de faz (defazajul) reprezint ne-sincronizarea a dou sau a mai multor forme de und ntre ele Valoarea defazajului dintre dou forme de und poate fi exprimat prin grade Dou sau mai multe forme de und pot fi defazate nainte, napoi sau se pot afla n faz (diferena de faz de 0 grade) Rezolvarea circuitelor de curent alternativ trebuie s ia n considerare att amplitudinea undei ct i diferenele de faz existente; matematic, acest lucru se realizeaz cu ajutorul numerelor complexe
Defazajul (diferena de faz)Lucrurile ncep s se complice atunci cnd trebuie s comparm dou sau mai multe forme de und alternative ce sunt defazate ntre ele. Prin aceast defazare se nelege faptul alturat ilustreaz acest lucru. Cele dou unde de mai sus (A i B) au aceeai amplitudine i frecven, dar sunt defazate ntre ele. n exemplele precedente am considerat faptul c funcia trigonometric sinus este reprezentat grafic pornind din punctul zero (zero grade), continund pn la valoarea sa maxim pozitiv la 90 de grade, din nou la zero la 180 de grade, minim negativ la 270 de grade i napoi la punctul de plecare la 360 de grade. c formele de und nu sunt sincronizate, valorile lor de vrf i punctele de intersecie cu axa orizontal nu sunt identice n timp. Figura
Putem folosi aceast scar pentru axa orizontal pentru a exprima valoarea defazajului dintre cele dou unde. Defazajul (diferena de faz) dintre cele dou forme de und este de 45 de grade, unda A fiind naintea undei B.
14
O comparaie ntre defazaje diferite ale undelor n graficele alturate ilustreaz mai bine acest concept. Deoarece formele de und de mai sus au aceeai frecven, defazajul dintre ele este acelai n oricare punct din timp. Din acest motiv, putem exprima defazajul dintre dou sau mai multe forme de und ce au aceeai frecven ca i o valoare constant pentru ntreag und, i nu doar ntre dou puncte particulare. Putem spune, prin urmare, c tensiunea A este defazat cu 45 de grade fa de tensiunea B, de exemplu. Forma de und ce este n fa se numete defazat nainte, iar cea care este n urm spunem c este defazat napoi. Defazajul, ca i tensiunea, este tot timpul o valoare relativ ntre dou lucruri. Nu putem spune c o form de und are o anumit faz absolut pentru c nu exist o referin universal pentru faz. n mod uzual, n analiza circuitelor de curent alternativ, forma de und a sursei de energie este folosit ca i referin de faz, sub form de x voli la 0 grade. Orice alt tensiune sau curent alternativ va fi n faz sau defazat nainte sau napoi fa de aceast und de referin.
ObservaieDin acest motiv, circuitele de curent alternativ sunt mult mai complicate dect cele de curent continuu. La aplicarea legilor lui Ohm i Kirchhoff, trebuiesc luate n considerare att amplitudinile ct i diferenele de faze ntre undele de tensiune sau curent. Operaiile de adunare, scdere, nmulire sau mprire trebuie s ia n considerare aceste lucruri, folosind sistemul numerelor complexe pentru reprezentarea amplitudinii i a fazei.
6. Principii ale undelor radioUna dintre cele mai fascinante aplicaii a energiei electrice const n generarea undelor invizibile de energie, i anume, a undelor radio. Dei subiectul este prea vast pentru a fi acoperit n acest scurt capitol, vom prezenta totui unele principii de baz.
15
Unde electromagneticeOdat cu descoperirea accidental a electromagnetismului de ctre Oersted, lumea tiinific a realizat legtura strns dintre electricitate i magnetism. La trecerea unui curent electric printr-un conductor, se genereaz un cmp magnetic perpendicular pe axa de curgere. Asemntor, dac un conductor este expus unui flux magnetic variabil perpendicular pe lungimea acestuia, se va produce o cdere de tensiune pe aceast poriune. Pn n acel moment, oamenii de tiin tiau c electricitatea i magnetismul erau strns legate prin aceste principii enumerate mai sus. Totui, o descoperire crucial se ascundea sub acest concept simplu al perpendicularitii celor dou cmpuri. Aceast descoperire reprezint un moment crucial n istoria tiinei. Cel responsabil de aceast revoluie conceptual n domeniul fizicii a fost James Clerk Maxwell (18311879), cel care a unificat studiul electricitii i a magnetismului sub forma unor ecuaii difereniale compacte (n numr de 4) ce-i poart numele (ecuaiile lui Maxwell). Acestea descriu practic ntreg comportamentul cmpurilor electrice i magnetice, dar, necesit un nivel nalt de abstractizare i pregtire matematic pentru a le putea nelege. Formal ns, descoperirea lui Maxwell poate fi rezumat astfel: un cmp electric variabil produce un cmp magnetic perpendicular, iar un cmp magnetic variabil produce un cmp electric perpendicular. Acest comportament poate avea loc n spaiu liber, cele dou cmpuri alternante meninndu-se unul pe cellalt pe msur ce parcurg spaiul cu viteza luminii (n vid). Aceast structur dinamic format din cmpuri electrice i magnetice este cunoscut sub numele de und electromagnetic. Exist multe tipuri de energie radiant natural compus din unde electromagnetice. Chiar i lumina este o und electromagnetic. La fel razele-X i radiaia gamma. Singura diferen dintre aceste tipuri de radiaie electromagnetic este frecvena lor de oscilaie (schimbarea polaritii cmpurilor electrice i magnetice).
Crearea undelor electromagnetice cu ajutorul antenelorFolosind o surs de tensiune de curent alternativ, i un dispozitiv special ce poart numele de anten, putem crea unde electromagnetice (cu o frecven mult mai mic dect cea a luminii) relativ uor. O anten nu este altceva dect un dispozitiv construit pentru a produce un cmp electric sau magnetic dispersiv. Cele dou tipuri fundamentale de antene sunt antena dipol i antena cadru, prezentate n figura de mai jos: Dei cele dou tipuri de antene nu sunt altceva dect un circuit deschis (dipol), respectiv un scurt-circuit (cadru), aceti conductori reprezint surse eficiente de cmpuri electromagnetice atunci cnd sunt conectate la surse de curent alternativ de o frecven corespunztoare.
16
Cei doi conductori ai antenei dipol joac rolul unui condensator (doi conductori separai de un dielectric). Dispersia cmpului electric este ns permis, spre deosebire de condensatoarele propriu-zise unde acesta este concentrat ntre cele dou armturi. Circuitul nchis al antenei cadru se comport precum o bobin cu miez (mare) de aer. Din nou, i n cazul acestei antene, dispersia cmpului este facilitat dinspre anten spre mediul nconjurtor. Acest lucru este n contradicie cu o bobin propriu-zis, unde cmpurile magnetice sunt concentrate n interior. Pe msur ce antena dipol radiaz un cmp electric n spaiu, va lua natere un cmp magnetic variabil la unghiuri drepte. n acest fel, cmpul electric este susinut mai departe n spaiu, iar unda electromagnetic se propag cu viteza luminii (n vid). Acelai lucru este valabil i pentru antena cadru, cu deosebirea c aceasta radiaz iniial un cmp magnetic i nu electric. Rezultatul final este ns acelai: producerea controlat a unui cmp electromagnetic.
Transmisia i recepia undelor electromagneticeAlimentat de o surs de curent alternativ de frecven nalt, o anten joac rolul unui dispozitiv de transmisie. Tensiunea i curentul alternativ sunt convertite n energie sub forma undelor electromagnetice. Antenele pot de asemenea s intercepteze undele electromagnetice i s transforme energia lor n tensiunea i curent alternativ. n acest mod de funcionare, antena joac rolul unui dispozitiv de recepie:
17
02 - Numere complexe
1. Introducere
Un numr scalar este un tip de obiect matematic uni-dimensional folosit pentru msurarea temperaturii, distanei, greutii, etc. Un numr complex este un tip de obiect matematic bi-dimensional (dou dimensiuni) folosit pentru a reprezenta valoarea ct i direcia Un vector, este reprezentarea grafic a unui numr complex, posednd direcie i sens. Cteodat, n aplicaiile electrice, mai este folosit i termenul de fazor, acolo unde unghiul vectorului reprezint diferena de faz ntre formele de und
ScopDac dorim de exemplu s descriem distana dintre dou orae, putem folosi o singur cifr, n kilometri, sau orice alt unitate de msur pentru distana liniar. Totui, dac vrem s descriem i modul de deplasare dintrun ora n altul, avem nevoie de mai mult informaie pe lng distan propriu-zis dintre orae; trebuie s indicm i direcia de mers n acest caz.
Mrimi scalareTipul de informaie ce exprim o singur dimensiune, precum distana liniar, poart denumirea de scalar n matematic. Numerele scalare sunt cele folosite pentru desemnarea valori tensiunii unei bateri, de exemplu, a rezistenei sau a curentului, dac vorbim de curent continuu. Totui, atunci cnd ncepem s analizm circuitele electrice n curent alternativ, descoperim c valorile tensiunii, curentului i chiar a rezistenei (denumit impedan n curent alternativ) nu sunt cantiti unidimensionale precum n cazul circuitelor de curent continuu, ci, aceste cantiti, fiind dinamice (alterneaz n direcie i amplitudine), posed alte dimensiuni ce trebuiesc luate n considerare. Frecvena i diferena de faz sunt dou dintre aceste dimensiuni adiionale.
Mrimi complexePentru a putea analiza cu succes circuitele de curent alternativ, trebuie s abandonm numerele scalare i s lum n considerare cele complexe, capabile s reprezinte att amplitudine ct i faza unei unde n acelai timp.
18
Numerele complexe sunt mai uor de neles dac sunt trecute pe un grafic. Dac desenm o linie cu o anumit lungime (amplitudine) i unghi (direcie), obinem o reprezentare grafic a unui numr complex, reprezentare cunoscut n fizica sub numele de vector.
Sistemul de referin al vectorilorPrecum n cazul distanelor i direciilor de pe o hart, trebuie s avem un sistem de referin pentru ca toate aceste valori s aib un sens. n acest caz, dreapta nseamn 0o, iar unghiurile sunt msurate n direcie pozitiv n sensul invers acelor de ceasornic.
2. Vectori i forme de und n curent alternativ
Cnd este folosit pentru descrierea valorilor n curent alternativ, lungimea unui vector reprezint amplitudinea undei iar unghiul su reprezint diferena de faz (defazajul) undei fa de unda de referin
19
Lungimea vectoruluiS lum cteva exemple de reprezentare a formelor de und n curent alternativ cu ajutorul vectorilor, unde lungimea vectorului reprezint amplitudinea undei.
Unghiul vectorului
Cu ct amplitudinea formei de und este mai mare, cu att lungimea vectorului corespunztor va fi mai mare. Pe de alt parte, unghiul vectorului reprezint diferena de faz (defazajul) dintre unda considerat i o alt form de und de referin. De obicei, atunci cnd exprimm faza unei forme de und, punctul de referin l
20
reprezint forma de und a sursei de alimentare, considerat a fi Oo. inei minte c faza este tot timpul o mrime relativ dintre dou unde i nu o proprietate absolut a undelor.
Cu ct defazajul dintre formele de und considerate este mai mare, cu att este mai mare unghiul dintre vectorii corespunztori.
3. Adunarea simpl a vectorilor
Vectorii ce au acelai unghi se adun precum oricare alt mrime scalar Vectorii ce se afl n opoziie de faz (defazaj de 1800) se scad la fel ca orice alt mrime scalar
Unghi identic (0o)
Operaiile ce pot fi efectuate asupra vectorilor sunt aceleai care sunt posibile asupra oricrei mrimi scalare: adunare, scdere, nmulire, mprire. Dintre toate acestea, adunarea este probabil cea mai uor de neles. Dac adunm doi vectori ce au acelai unghi, lungimile lor se adun precum o mrime scalar.
Surse de tensiuneSimilar, dac dou sau mai multe surse de curent alternativ cu aceeai faz sunt conectate n serie, tensiunile lor se adun asemenea tensiunilor bateriilor.
21
Observai notaia + i - la bornele surselor de alimentare n curent alternativ. Chiar dac noiunea de polaritate nu este aceeai precum n curent continuu, aceste notaii sunt eseniale pentru scoaterea n eviden a fazei undei de referin (tensiunea).
Opoziia de faz (180o)
Dac adunm doi vectori, a cror diferene de faz este de 180o, aflai prin urmare n opoziie, lungimile lor se scad, asemenea operaiei de adunare dintre doi scalari, unul pozitiv i cellalt negativ.
Surse de tensiunen mod similar, dac dou surse de curent alternativ aflate n anti-faz (defazaj de 180o) sunt conectate n serie, tensiunile lor se scad asemenea bateriilor de curent continuu conectate n opoziie.
Pentru a determina dac cele dou surse se afl n opoziie una fa de cealalt, este nevoie de o examinare atent att a polaritii (+ sau -) ct i a fazelor. Polaritile de mai sus tind s indice faptul c cele dou tensiuni sunt aditive (de la stnga spre dreapta: - i + la sursa de 6 V, - i + la sursa de 8 V). Chiar dac aceste notaii ar indica n mod normal un efect aditiv ntr-un circuit de curent continuu (cele dou tensiuni lucreaz mpreun pentru a produce o tensiune rezultat mai mare), n acest circuit de curent alternativ, cele dou tensiuni se scad pentru a da tensiunea final, deoarece faza uneia dintre ele este de 0o, iar a celeilalte de 180o. Rezultatul total este o tensiune de 2 V, la 180o, sau, -2 V la 0o.
Exemplu
22
Un alt exemplu n care tensiunile se scad este cel din figura alturat.
Dup ct am vzut mai sus, exist dou moduri de reprezentare a rezultatului final.
Inversarea fazeiO inversare a firelor sursei de curent alternativ este echivalent cu schimbarea fazei acelei surse cu 180 de grade.
4. Adunarea complex a vectorilor
Adunarea vectorilor cu unghiuri diferite se realizeaz trigonometric
Vectori cu unghiuri diferiteDac adunm doi vectori cu unghiuri diferite, lungimile lor se adun diferit fa de cele scalare.
23
Surse de tensiuneDac dou tensiuni alternative, defazate cu 90o ntre ele, sunt conectate n serie, amplitudinile lor nu se adun sau scad direct precum valorile scalare n cazul curentului continuu. n schimb, aceste tensiuni sunt valori complexe, i, precum n cazul vectorilor de mai sus a cror adunare se realizeaz trigonometric, o surs de 6 V la 0o adunat (conectat n serie) cu o surs de 8 V la 90o, rezult ntr-o tensiune de 10 V a crei faz este de 53.13o.
Prin comparaie cu circuitele de curent continuu, acest lucru poate prea ciudat la nceput. De exemplu, cu ajutorul unui voltmetru, putem citi indicaiile de 6 i respectiv 8 voli la bornele celor dou surse de curent alternativ, dar tensiunea total indicat de acesta va fi de doar 10 voli!
5. Notaia polar i rectangular a numerelor complexe
Notaia polar desemneaz un numr complex ca fiind compus din lungimea i direcia vectorului fa de punctul de plecare Notaia rectangular desemneaz un numr complex ca fiind compus din dimensiunile orizontale i verticale ale vectorului Transformarea din notaia polar n cea rectangular i invers, se face relativ uor
ScopPentru a putea lucra cu aceste numere complexe fr a fi nevoii s desenm tot timpul vectori, avem nevoie de o notaie matematic standard. Exist dou forme pentru notaia numerelor complexe: polar i rectangular.
Notaia polardimensiune, valoare absolut sau modul) i unghiul vectorului (desemnat de obicei prin simbolul ). Forma polar const n exprimarea unui numr complex prin lungimea (cunoscut i sub numele de
24
Alturat avem dou exemple de vectori mpreun cu notaia lor polar.
Orientarea standard pentru unghiurile vectorilor n curent alternativ definete unghiul de 00 (sau 3600) ca fiind n dreapta (axa orizontal), 90o sus, 180o stnga, 270o jos. Atenie, vectorii a cror unghi este n jos pot fi reprezentai cu ajutorul notaiei polare ca fiind vectori pozitivi cu un exemplu, putem spune c un vector cu unghiul 270o (direct n jos) are unghi de peste 180o, sau ca numere negative cu unghiuri sub 180o. De
230.19o) poate fi descris de asemenea prin 7,81 -129.81o.
unghiul de -90o (notaie echivalent). Vectorul de mai sus (7,81
Notaia rectangularForma rectangular const n reprezentarea vectorului prin componentele sale orizontale i verticale. n esen, vectorul unghiular este considerat a fi ipotenuza unui unghi drept i descris cu ajutorul lungimilor laturilor opuse respectiv adiacente. n loc s descrie lungimea i direcia unui vector prin precizarea lungimii i a unghiului, acesta este descris n termenii ct de departe n stnga/dreapta i ct de departe sus/jos.
Aceste dou valori dimensionale (orizontal i vertical) sunt simbolizate prin dou valori numerice. Pentru a putea face distincie ntre cele dou dimensiuni, cea vertical este nsoit de notaia i (n matematica pur) sau j (n domeniul electric). Aceste litere nu reprezint o variabil fizic (precum curentul instantaneu, simbolizat de
25
asemenea prin i), ci sunt operatori matematici folosii pentru a face distincia dintre componenta vertical i cea orizontal a unui vector. Ca i numr complex complet, valorile cele dou componente sunt scrise ca i sum.
Componenta real i componenta imaginarComponenta orizontal este denumit component real deoarece aceasta este compatibil cu numerele normale, scalare (reale). Componenta vertical este denumit componenta imaginar, deoarece aceast dimensiune se afl pe o alt direcie i nu are nicio legtur cu scara numerelor reale.
Axa real i axa imaginarCele dou axe poart denumirea de axa real respectiv axa imaginar.
Diferena dintre cele dou notaiiOricare dintre cele dou forme poate fi folosit pentru numerele complexe. Principalul motiv pentru care exist dou sisteme de notaie valide se datoreaz faptului c forma rectangular este uor de folosit pentru adunare i scdere, iar forma polar pentru nmulire i mprire.
Transformarea din form polar n form rectangular26
Conversia de la o form la alta se poate realiza pe cale trigonometric destul de uor. Pentru a transforma forma polar n forma rectangular, aflm mai nti componenta real prin nmulirea lungimii polare cu cosinusul unghiului, iar componenta imaginar prin nmulirea lungimii polare cu sinusul unghiului. Acest lucru poate fi neles mult mai uor dac desenm valorile ca i laturi ale unui triunghi dreptunghic, ipotenuza acestuia reprezentnd exact vectorul analizat (lungimea i unghiul su fa de orizontal reprezint forma sa polar), latura orizontal fiind componenta real, iar latura vertical reprezentnd componenta imaginar: Calculele de transformare arat astfel:
Transformarea din form rectangular n form polarPentru a realiza conversia de la forma rectangular la cea polar, gsim mai nti lungimea polar folosind teorema lui Pitagora, fiindc lungimea polar este ipotenuza unui triunghiu dreptunghic, iar componenta real i cea imaginar sunt reprezentate de latura adiacent respectiv cea opus. Gsim unghiul ca fiind raportul dintre arctangenta componentei imaginare i componenta real, astfel:
27
6. Aritmetica numerelor complexe
Asupra numerelor complexe se pot efectua toate operaiile aritmetice de adunare, scdere, nmulire i mprire
Adunarea numerelor complexePentru adunarea numerelor complexe, adunm pur i simplu componentele reale pentru a determina componenta real a sumei cele dou numere complexe; acelai lucru este valabil i pentru componenta imaginar.
Scderea numerelor complexePentru scderea numerelor complexe, se aplic acelai principiu de mai sus, doar cu scdere n loc de adunare.
nmulirea numerelor complexe
Pentru operaiile de nmulire i mprire forma preferat este cea polar. Atunci cnd efectum nmulirea numerelor complexe sub form polar, nmulim dimensiunile numerelor complexe pentru determinarea dimensiuni produsului i adunm unghiurile numerelor complexe pentru determinarea unghiului final al produsului.
mprirea numerelor complexe
28
Pentru efectuarea mpririi numerelor complexe, calculm pur i simplu raportul dintre dimensiunea primului numr complex cu dimensiunea celui de al doilea pentru aflarea dimensiunii final a raportului, i scdem unghiul celui de al doilea numr complex din primul pentru a afla unghiul final al raportului dintre cele dou numere complexe.
Reciproca (inversa) numerelor complexe
Pentru a obine reciproca (1/x), sau inversa unui numr complex, calculm raportul dintre valoarea scalar 1 (unghi zero) i numrul complex sub form polar.
29
03 - Reactana i impedana inductiv
1. Circuite rezistive
ntr-un circuit pur rezistiv, curentul i tensiunea sunt tot timpul n faz ntr-un circuit pur rezistiv, ntreaga putere este disipat sub form de cldur
Circuit pur rezistivS considerm un circuit de curent alternativ pur rezistiv (format doar din rezistori i surse de putere), caz n care tensiunea i curentul sunt n faz (unghiul de defazaj dintre ele este 0o).
Graficul formelor de undDac trecem curentul i tensiunea din circuitul de mai sus pe un grafic, acesta va arta aproximativ ca n figura alturat.
Deoarece rezistorul se opune pur i simplu deplasrii electronilor prin circuit n mod direct, n orice moment din timp, forma de und a cderii de tensiune pe rezistor este exact n faz cu forma de und a curentului prin acesta. Putem lua n considerare orice punct de pe axa orizontal a graficului i compara valorile curentului i ale tensiunii ntre ele (aceste puncte poart denumirea de valori instantanee). Astfel, atunci cnd valoarea instantanee a curentului este zero, valoarea instantanee a tensiunii este i ea zero. De asemenea, atunci cnd curentul prin rezistor atinge valoarea sa maxim pozitiv, tensiunea la bornele sale este i ea la valoarea sa maxim pozitiv. n orice punct de-a lungul formelor de und, putem aplica legea lui Ohm pentru valorile instantanee a curentului i tensiunii.
30
Calcularea puteriiPutem de asemenea s calculm puterea disipat de rezistor i s completm graficul alturat.
Se poate observa de pe grafic faptul c puterea nu are niciodat o valoarea negativ. Atunci cnd valoarea curentului este pozitiv, i tensiunea este pozitiv, produsul celor dou (p = ie) fiind prin urmare pozitiv. Atunci cnd curentul este negativ, i tensiunea este negativ, ceea ce se traduce din nou printr-un produs pozitiv ntre cele dou. Aceast polaritate unic ne spune de fapt c rezistorul disip tot timpul puterea generat de surs sub form de cldur. Indiferent de valoarea curentului, pozitiv sau negativ, un rezistor va disipa tot timpul energie.
2. Circuite inductive. Reactana
ntr-un circuit pur inductiv, tensiunea este defazat cu 90o naintea curentului, sau echivalent, curentul este defazat cu 90o n urma tensiunii Reactana inductiv reprezint opoziia bobinei fa de curentul alternativ datorat defazajului ce apare la stocarea i eliberarea energiei sub form de cmp magnetic. Simbolul reactanei este X, iar unitatea de msur este ohm-ul, exact ca n cazul rezistenei (R)
Matematic, reactana inductiv se calculeaz folosind formula: XL = 2fL Viteza unghiular a unui circuit electric n curent alternativ reprezint un alt mod de exprimare a frecvenei sale; unitatea de msur este radian electric per secund n loc de numrul de perioade per secund. Simbolul este litera greceasc omega,
Reactana inductiv crete odat cu creterea frecvenei, i invers. Cu alte cuvinte, cu ct frecvena este mai mare, cu att este mai mare opoziia fa de deplasarea electronilor (n curent alternativ)
ScopBobinele au un comportament diferit fa de cel al rezistorilor atunci cnd sunt introduse n circuit. Fa de rezistori, care doar se opun trecerii curentului prin acel punct din circuit n care acetia sunt conectai (prin dezvoltarea unei cderi de tensiune direct proporionale cu valoarea curentului), bobinele se opun variaiei curentului prin ele, prin dezvoltarea unei cderi de tensiune direct proporionale cu rata de variaie a curentului. n conformitate cu legea lui Lenz, polaritatea acestei tensiuni induse este astfel nct valoarea curentului s se menin la valoarea curent, i anume, dac valoarea curentului crete , tensiunea indus se va opune deplasrii electronilor; 31
n cazul descreterii curentului, polaritatea este invers pentru a putea mpinge electronii i a se opune descreterii curentului. Aceast opoziie la variaia curentului poart denumirea de reactan, n loc de rezisten.
Reactana (X)Opoziia unei bobine sau a unui condensator fa de variaia curentului se traduce printr-o opoziie fa de curentul alternativ n general, curent ce este prin definiie variabil n amplitudine instantanee i direcie (polaritate). Aceast opoziie fa de curentul alternativ este similar rezistenei, dar diferit prin faptul c rezult ntotdeauna ntr-o diferen de faz ntre curent i tensiune, iar puterea disipat este zero. Datorit acestei diferene, are i o denumire specific: reactan. Reactan n curent alternativ se exprim n ohmi (), la fel ca i rezistena, doar c simbolul matematic este X, n loc de R.
Relaia tensiune-curent a bobineiMatematic, relaia dintre cderea de tensiune pe o bobin i rata variaiei curentului prin aceasta, se exprim astfel:
Expresia di/dt reprezint derivata curentului cu timpul, adic rata de variaia a curentului instantaneu (i) cu timpul, n amperi per secund. L reprezint inductana n Henry, iar e este tensiunea instantanee. Cteodat n loc de e se mai folosete i v, dar cele dou notaii sunt echivalente (vezi i relaia tensiune-curent a bobinei).
Circuit pur inductivS analizm un circuit pur inductiv (format doar din bobine i surse de putere) simplu n curent alternativ. n acest caz, curentul este defazat n urma tensiunii cu 90o.
Graficul formelor de undGraficul tensiunii i al curentului n acest caz este cel din figura alturat.
32
Reinei faptul c valoarea cderii de tensiune pe bobin este n funcie de variaia curentului prin aceasta. Prin urmare, tensiunea instantanee este zero ori de cte ori curentul instantaneu este la valoarea maxim, de vrf (pozitiv sau negativ), deoarece n acest caz variaia, sau panta, este zero; tensiunea instantanee are o valoare maxim, de vrf, atunci cnd panta curentului instantaneu, sau variaia acestuia este maxim (intersecia formei de und cu axa orizontal a timpului). Datorit acestui fapt, formele de und sunt defazate cu 90 . Dac ne uitm pe grafic, observm c unda de tensiune are un mic avantaj faa de unda de curent; prin urmare, spunem c tensiunea este defazat cu 90o naintea curentului, sau echivalent, curentul este defazat cu 90o n urma tensiunii.o
Calcularea puteriiLucrurile devin i mai interesante atunci cnd introducem i forma de und a puterii pe grafic.
Puterea negativDeoarece puterea instantanee reprezint produsul dintre tensiunea i curentul instantaneu (p = ie), puterea este egal cu zero atunci cnd curentul sau tensiunea instantanee este zero. Ori de cte ori curentul i tensiunea instantanee sunt ambele pozitive sau ambele negative, puterea este i ea pozitiv. Dar, datorit faptului c cele dou unde de tensiune, respectiv curent, sunt defazate ntre ele cu 90o, exist momente n care una este pozitiv i cealalt negativ, rezultatul fiind o putere instantanee negativ. Dar ce nseamn putere negativ? nseamn c bobina elibereaz putere napoi n circuit, iar putere pozitiv nseamn c aceasta absoarbe putere din circuit. Acest lucru dovedete faptul c bobina nu consum putere precum o face un rezistor (ce o disip sub form de cldur), ci puterea absorbit din circuit este stocat sub form de cmp magnetic. n cazul de fa, datorit faptului c duratele de putere pozitiv i negativ sunt perfect egale, bobina genereaz aceeai cantitate de putere napoi n circuit pe care a absorbit-o ntr-o perioad complet de timp.
33
Practic, reactana (rezisten n curent continuu) bobinei nu disip energie, sau echivalent, energia disipat de aceasta este zero. Atenie, cazul de sus este cel al unei bobine ideale, cu rezisten zero.
Reactana inductivPentru a fi mai exaci, reactana asociata cu o bobin poart numele de reactan inductiv i este simbolizat prin XL. Din moment ce cderea de tensiune pe bobine este proporional cu rata de variaie a curentului, cderea de tensiune va fi mai mare pentru variaii mai rapide de curent, i mai mic pentru variaii mai lente. Acest lucru nseamn c reactan n ohmi pentru oricare bobin, este direct proporional cu frecven curentului alternativ. Matematic, acest lucru se exprim astfel:
unde, = viteza unghiularDac avem o bobin de 10 mH i o conectm ntr-un circuit cu frecvena variabil, astfel: 60, 120 i 2.500 Hz, reactana (inductiv) a acesteia n fiecare dintre cele trei cazuri este urmtoarea: Frecvena (Hertz) Reactan (Ohm) 60 3.7699 120 2500 7.5398 157.0796
Viteza unghiularn formula de calcul a reactanei inductive, termenul 2f are un neles aparte. Este numrul de radiani pe secund la care se rotete curentul alternativ, dac ne imaginm c o perioad a curentului alternativ reprezint o rotaie complet. Radianul este o unitate de msur unghiular: ntr-o rotaie complet exist 2 radiani, echivalentul a 360o ntr-un cerc complet. Dac generatorul ce produce curentul alternativ are doi poli, va produce o rotaie complet pentru fiecare rotaie complet a arborelui, adic la fiecare radiani, sau 360 2o
. Dac aceast
constant, 2, este nmulit cu frecvena n Hertz (numr de rotaii pe secund), rezultatul va reprezenta o valoare n radiani per secund, valoare cunoscut sub numele de viteza unghiular a sistemului de curent alternativ. Viteza unghiular poate fi reprezentat prin expresia f, sau poate fi reprezentat folosind propriul su 2 simbol, i anume, litera greceasc Omega, . Prin urmare, formula reactanei, XL = 2fL, poate fi rescris conform ecuaiei de mai sus (XL = L).
34
Trebuie neles faptul c aceast vitez unghiular este o expresie a vitezei de rotaie a formelor de und n curent alternativ, o rotaie complet fiind egal cu radiani, i nu este neaprat viteza actual a arborelui 2 generatorului ce produce curentul alternativ. Dac generatorul este format din mai mult de doi poli, viteza unghiular va fi multiplu de viteza arborelui. Din acest motiv, viteza unghiular este c teodat exprimata sub form de radiani electrici per secund, pentru a face diferen ntre aceasta i rotaia mecanic.
Legea lui OhmIndiferent de modul n care reprezentm viteza unghiular a sistemului, este tiut faptul c reactana bobinei este direct proporional cu aceasta. Odat cu creterea frecvenei sistemului de curent alternativ (creterea vitezei de rotaie a arborelui generatorului), opoziia bobinei fa de curgerea curentului va fi tot mai mare, i invers. Curentul alternativ ntr-un circuit inductiv simplu este egal cu raportul dintre tensiunea i reactana inductiv, asemntor modului de calcul n c.c., sau n circuitele rezistive n c.a.:
Unghiul de fazTotui, trebuie s fim ateni la faptul c tensiunea i curentul nu sunt n faz n acest caz. Dup cum am vzut, diferena de faz dintre cele dou unde este de 90o. Dac reprezentm aceste unghiuri de faz matematic, sub forma numerelor complexe, observm c opoziia unei bobine fa de curent posed i un unghi al fazei:
Diagrama fazorialMatematic, spunem c unghiul de faz a opoziiei bobinei fa de curent este de 90o, ceea ce nseamn o mrime imaginar pozitiv. Acest unghi de faz este foarte important n analiza circuitelor electrice, n special al celor complexe (n curent alternativ), unde exist o interaciune ntre
35
rezisten i reactan. Se va dovedi extrem de benefic reprezentarea opoziiei fa de curent a oricrei componente sub forma numerelor complexe i nu sub forma cantitilor scalare.
3. Circuite rezistiv-inductive serie. Impedana
Impedana reprezint valoarea total a opoziiei fa de curentul electric i este suma complex (vector) a rezistenei (reale) i a reactanei (imaginar). Simbolul este litera Z iar unitate sa de msur este Ohm-ul, la fel ca a rezistenei (R) i a reactanei (X)
n analiza circuitelor, impedanele (Z) serie se comport precum rezistenele (R) serie: se adun pentru a forma impedana total. inei minte s efectuai toate calculele sub form complex, nu scalar! ZTotal = Z1 + Z2 + . . . Zn O impedan pur rezistiv va avea tot timpul un unghi de faz de exact 0o (ZR = R 0o) Legea lui Ohm pentru circuitele de curent alternativ: E = IZ; I = E / Z; Z = E / I Curentul din circuit va avea un unghi de faz ntre 0o i -90o
O impedan pur inductiv va avea tot timpul un unghi de faz de exact +90o (ZL = XL 90o)
Cnd ntr-un circuit avem i rezistori i bobine, impedan total va avea un unghi de faz ntre 0o i +90o. Circuitele serie n curent alternativ posed aceleai proprieti fundamentale precum circuitele de curent continuu: curentul este acelai prin ntreg circuitul, cderile de tensiune se adun pentru a forma tensiunea total din circuit, iar impedanele se adun pentru a forma impedana total n seciunile precedente, am vzut ce se ntmpl ntr-un circuit electric de curent alternativ simplu pur
rezistiv, respectiv pur inductiv.
Circuit rezistiv-inductiv serieAcum vom considera ambele componente legate n serie i vom studia efectele lor. Lum aadar ca i exemplu un circuit rezistiv-inductiv (format din rezistori, bobine i surse de putere), caz n care curentul este defazat n urma tensiunii cu un unghi cuprins ntre 0 i 90 .o o
36
ImpedanaRezistorul impune o rezisten de 5 fa de curent, indiferent de valoarea frecvenei, iar bobina va oferi o este un numr real (5 0o, sau 5 + j0 ), iar reactana bobinei este un numr imaginar (3.7699 90o, sau 0 + reactan de 3,7699 fa de curentul alternativ la o valoare a frecvenei de 60 Hz. Deoarece rezistena rezistorului j3.7699 ), efectul total (combinat) al celor doucomponente va crea o opoziie fa de curent egal cu
suma
complex a celor dou numere. Aceast opoziie combinat va fi un vector. Pentru a putea exprima mai clar aceast opoziie, avem nevoie de un nou termen pentru opoziia fa de curent pe lng rezisten i reactan. Acest termen poart numele de impedan, iar simbolul lui este Z; unitatea de msur este de asemenea ohm-ul, la fel ca i a
rezistenei i a reactanei. n exemplul de mai sus, impedana total a circuitului este:
Legea lui Ohm pentru circuite n curent alternativRelaia dintre impedan, curent i tensiune este similar rezistenei din legea lui Ohm:
De fapt, aceast expresie este o form a legii lui Ohm mult mai cuprinztoarea (mai general) dect cea considerat n curent continuu (E = IR), la fel precum impedana este o expresie mult mai cuprinztoare a opoziiei fa de deplasarea electronilor dect rezistena. Orice rezisten i orice reactan, separate sau n combinaii serie/paralel, pot fi i trebuie exprimate ca i o singur impedan ntr-un circuit de curent alternativ.
Rezolvarea circuituluiCurentul total
37
Pentru aflarea valorii curentului n circuitul de mai sus, trebuie mai nti s impunem o referina pentru unghiul de faz a sursei de tensiune, iar n mod normal, aceasta se presupune a fi zero:
La fel ca i n cazul circuitelor pur inductive, curentul este defazat n urma tensiunii (sursei), cu toate c de data aceasta defazajul nu este att de mare, doar 37,0160, fa de 900 n cazul circuitului pur inductive.
Tensiunea pe rezistorRelaiile de faz pentru rezistor i bobin, luate individual, nu s-au modificat. Caderea de tensiune la bornele rezistorului i curentul prin acesta sunt in faz (defazaj de 00), iar defazajul dintre tensiune i curent n cazul bobinei este de +900. Putem verifica matematic acest lucru (unghiul de faz al lui ER este egal cu unghiul de faz al curentului):
n formula de mai sus ZR semnific impedana rezistiv, i este acelai lucru cu rezistena. Tensiunea i curentul prin rezistor sunt n faz, adic au acelai unghi de faz.
Tensiunea pe bobinTensiunea la bornele bobinei are un unghi de faz de 52,984o (fa de unghiul de faz de referin, 0o), iar curentul prin bobina are un unghiu de faz de -37,016o, o diferen de exact 90o ntre cele dou. Acest lucru ne spune c E i I sunt defazate ntre ele tot cu 90o (doar n cazul bobinei):
Putem observa c unghiul de faz a lui EL este mai mare cu exact 900 dect cel al curentului.
Tensiunea total
38
Putem de asemenea s demonstrm matematic c rezultatul sumei acestor valori complexe este tensiunea total, aa cum rezult din aplicarea legii lui Kirchhoff:
Aplicarea metodei tabeluluiCu toate aceste valori rezultate, chiar i pentru un circuit simplu precum este acesta, este mai uor s aplicm metoda tabelului.
Valorile iniialeMrime R E I Z 5 + j0 0 + j3,76 5 00 3,76 900 L Total Unitate 10 + j0 V 10 00 A Tabelul va conine valorile pentru tensiune (E), curent (I) i impedan (Z) pentru fiecare component n parte. Nu vom insera valorile propriuzise ale rezistenei i inductanei n ohm sau Henry, ci forma lor complex.
(x y) n fiecare tabel. Dac folosim un calculator pentru a realiza automat aceste calcule complexe fr a mai fi Dei nu este neaprat necesar, este folositor s trecem att forma rectangular (x + jy) ct i pe cea polar Totui, dac suntem nevoii s efectum calculele de mn, atunci scrierea ambelor forme n tabel se va dovedi ntr-adevr folositoare.
nevoii s facem conversia ntre cele dou forme, atunci aceast documentaie suplimentar nu este deloc necesar.
Impedana totalMrime R E I Z L Total 10 + j0 10 00 Unitate V A Dup ce am introdus n tabel toate datele cunoscute, putem trece la rezolvarea circuitului asemntor circuitelor de curent continuu: determinm impedana total din impedanele individuale. Din moment ce acesta este un circuit serie, tim c opoziia fa de curgerea electronilor (rezisten sau impedan) este aditiv, iar rezultatul l reprezint opoziia total.
5 + j0 0 + j3,76 5 + j3,76 5 00 3,76 900 6,26 37,010
39
Curentul totalMrime R E I Z L Total 10 + j0 10 00 Unitate V A Acum, dup ce tensiunea i impedana total ne sunt cunoscute, putem aplica legea lui Ohm (I = E / Z) pentru determinarea curentului total din circuit.
Curenii prin rezistor i bobinMrime E I Z R L 10 + j0 10 00 Total Unitate V A La fel ca n cazul circuitelor de curent continuu, curentul total ntr-un circuit de curent alternativ serie este acelai prin oricare din componentele circuitului. Acest lucru este n continuare adevrat, deoarece ntr-un circuit serie exist doar o singur cale pentru curgerea electronilor, prin urmare, rata lor de
5 + j0 0 + j3,76 5 + j3,76 5 00 3,76 900 6,26 37,010
1,27 - j0,96 1,59 -37,010
1,27 - j0,96 1,27 - j0,96 1,27 - j0,96 1,59 -37,010 1,59 -37,010 1,59 -37,010 5 + j0 5 00 0 + j3,76 3,76 900 5 + j3,76 6,26 37,010
deplasare trebuie s fie uniform n ntreg circuitul. Prin urmare, putem trece valorile curentului total pentru fiecare component n parte (rezistor i bobin) n tabel.
Cderile de tensiune pe rezistor i bobinMrime E I Z 6,37 - j4,8 3,62 + j4,8 7,98 -37,010 6,02 52,980 1,27 - j0,96 1,27 - j0,96 1,27 - j0,96 1,59 -37,010 1,59 -37,010 1,59 -37,010 5 + j0 5 00 0 + j3,76 3,76 900 5 + j3,76 6,26 37,010 R L Total 10 + j0 10 00 Unitate V A Acum, tot ceea ce mai avem de fcut este s completm cderea de tensiune pe rezistor i pe bobin. Aflarea acestor valori se realizeaz folosind legea lui Ohm (E = IZ), aplicat pe fiecare coloan a tabelului.
Tabelul este acum complet. De observat c am aplicat exact aceleai reguli ca i n analiza circuitelor electrice n curent continuu, cu diferena c toate valorile trebuie exprimate i calculate sub form complex i nu scalar precum era cazul n curent continuu. Atta timp ct diferena de faz este reprezentat corect, nu exist nicio diferen fundamental ntre analiza unui circuit de curent alternativ fa de unul n curent continuu.
Indicaia aparatelor de msurS lum acum n considerare relaia dintre valorile calculate mai sus i indicaia tensiunii i a curentului dat de instrumentele de msur. Valorile din tabel care corespund cu valorile citite de pe un instrument de msur sunt cele sub form polar, nu rectangular! Cu alte cuvinte, dac am conecta un voltmetru la bornele rezistorului
40
din circuit pentru aflarea cderii de tensiune, acesta va indica 7,9847 V (valoarea sub form polar), nu 6,3756 V (valoarea real sub form rectangular) i nici 4,8071 V (valoarea imaginar sub form rectangular). Pentru a exprima acest lucru grafic, aparatele de msur indic pur i simplu lungimea vectorului (pentru tensiune sau curent). Notaia rectangular, dei este mai uor de folosit pentru operaiile aritmetice de adunare i scdere, este o form de notaie mai abstract dect forma polar pentru msurtorile reale. Dac ar fi s folosim doar o singur notaie, cea mai bun alegere ar fi cea polar, pentru c este singura ce are legtur direct cu msurtorile reale.
Diagrama impedaneiImpedana (Z) unui circuit serie R-L poate fi calculat cunoscnd rezistena (R) i reactana inductiv (XL). Din moment ce E = IR, E = IXL i E = IZ, rezistena, reactana i impedana sunt proporionale cu tensiunea. Prin urmare, diagrama fazorial a tensiunii poate fi nlocuit cu o diagram similar a impedanei.
ProblemGsii impedan total a circuitului format dintr-un rezistor de 40 conectat n serie cu o bobin de 79.59 mH, la o frecven a sursei de alimentare de 60 Hz. Rspuns: Z = 40 + j30 = 5036.87o.
4. Circuite rezistiv-inductive paralel
n analiza circuitelor, impedanele paralel (Z) se comport precum rezistorii (R) paralel: impedana total este mai mic dect impedan fiecrei ramuri luat individual, folosind formula echivalent. Atenie, realizai toate calculele sub form complex, nu scalar! ZTotal = 1 / (1 / Z1 + 1 / Z2 + . . . 1 / Zn)
Legea lui Ohm pentru circuitele de curent alternativ: E = IZ ; I = E / Z ; Z = E / I Cnd rezistorii i bobinele sunt conectate n paralel, impedana total va avea un unghi de faz ntre 0o i +90o. Curentul din circuit va avea un unghi de faz ntre o i -90o Circuitele paralel n curent alternativ prezint aceleai proprieti ca i circuitele n curent continuu: cderile de tensiune sunt aceleai pe toate componentele circuitului, curenii de ramur se nsumeaz i dau natere curentului total, iar impedanele total este mai mic dect impedana fiecrei ramuri luate n parte
41
Circuit rezistiv-inductiv paralelS lum n considerare aceleai componente din circuitul serie, dar s le conectm de data aceasta n paralel.
Rezolvarea circuituluiValorile iniialeMrime R E I Z 5 + j0 0 + j3,76 5 00 3,76 900 L Total Unitate 10 + j0 V 10 00 A Deoarece sursa de tensiune are aceeai frecven ca i n cazul circuitului serie, iar rezistorul i bobina au aceleai valori ale rezistenei i inductanei, acestea trebuie sa aib aceleai valori ale impedanei. Prin urmare, ncepem completarea tabelului cu aceleai valori iniiale.
Cderile de tensiune pe rezistor i bobinMrime E I Z Total Unitate 10 + j0 10 + j0 10 + j0 V 10 00 10 00 10 00 A 5 + j0 0 + j3,76 5 00 3,76 900 R L Singura diferen fa de cazul precedent, este c de data aceasta vom aplica regulile circuitelor paralele, i nu cele ale circuitelor serie. Metoda de lucru este practic aceeai ca i n cazul circuitelor de curent continuu. Cunoatem faptul c tensiunea este aceeai pe toate componentele ntr-un circuit paralel, aa c putem completa toate coloanele cu aceeai valoare a tensiunii.
Curentul prin rezistor i bobinMrime E I Z 10 + j0 10 + j0 10 + j0 10 00 10 00 10 00 2 + j0 0 - j2,65 2 00 2,65 -900 5 + j0 0 + j3,76 5 00 3,76 900 R L Total Unitate V A Acum putem aplica legea lui Ohm (I = E / Z) vertical pentru cele dou coloane, calculnd curentul prin rezistor i curentul prin bobin.
Curentul total
42
Mrime E I Z
R L 10 + j0 10 + j0 10 00 10 00
2 + j0 0 + j2,65 2 - j2,65 2 00 -90 00 3,32 -52,980 5 + j0 0 + j3,76 5 00 3,76 900
Total 10 + j0 10 00
Unitate V A
La fel ca n cazul circuitelor de curent continuu, curenii de ramur n circuitele de curent alternativ se nsumeaz pentru a forma curentul total (legea lui Kirchhoff pentru curent este valabil i n acest caz).
Impedana totalMrime E I Z R L 10 + j0 10 + j0 10 00 10 00 Total 10 + j0 10 00 Unitate V A Impedana total poate fi calculat folosind legea lui Ohm (Z = E / I) vertical pe coloana Total.
2 + j0 0 + j2,65 2 - j2,65 2 00 -90 00 3,32 -52,980 5 + j0 0 + j3,76 1,81 + j2,4 5 00 3,76 900 3,01 52,980
Impedana paralelImpedana total poate fi calculat, de asemenea, folosind o formul echivalent celei folosite pentru calcularea rezistenei totale paralele:
Indiferent ce metod folosim, rezultatul este acelai.
43
04 - Reactana i impedana capacitiv
1. Circuite capacitive
Reactana capacitiva reprezint opoziia condensatorului fa de curentul alternativ datorit modului su defazat de stocare i eliberare a energiei sub forma cmpului electric Reactana capacitiv poate fi calculat folosind formula XC = 1/(2fC) Reactan capacitiv scade odat cu creterea frecvenei. Cu alte cuvinte, cu ct frecvena este mai mare, cu att opoziia fa de curent este mai mic
ScopComportamentul condensatoarelor este diferit fa de cel al rezistorilor. Pe cnd rezistorii opun o rezisten direct proporional cu cderea de tensiune n fa curgerii curentului, condensatoarele se opun variaiei de tensiune absorbind (ncrcare) sau elibernd (descrcare) curent n circuit. Curgerea curentului prin condensator este direct proporional cu rata de variaie a tensiunii la bornele acestuia. Aceast opoziie n calea variaiei tensiunii este o alt form de reactan, opus ns reactanei bobinei.
Relaia curent-tensiune a condensatoruluiMatematic, relaia dintre curentul condensatorului i rata de variaie a tensiunii la bornele acestuia, se exprim astfel:
Expresia de / dt exprim rata de variaie a tensiunii instantanee (e) n raport cu timpul, calculat n voli per secund. Capacitatea (C) este n Farazi, iar curentul instantaneu (i) n Amperi. O exprimare echivalent este i dv / dt, folosind v n loc de e pentru exprimarea tensiunii; cele dou notaii sunt ns echivalente.
Circuit pur capacitivS analizm un circuit simplu pur capacitiv. Tensiunea este defazat n urma curentului cu 90o.
44
Graficul formelor de undGraficul celor dou forme de und sunt cele din figura alturat.
Reinei, curentul printr-un condensator este rezultatul variaiei tensiunii la bornele acestuia. Prin urmare, curentul instantaneu este zero atunci cnd tensiunea instantanee este la valoarea sa maxim, pozitiv sau negativ, reprezentnd variaie zero sau pant zero; curentul instantaneu are valoarea maxim atunci cnd tensiunea instantanee are variaia maxim, adic zona n care variaia este maxim (intersecia cu axa orizontal a timpului).
Rezult o und a tensiunii defazat cu -90o fa de curent. Dac ne uitm pe grafic, curentul pare s aib un avantaj fa de tensiune; curentul este defazat naintea tensiunii, sau echivalent, tensiunea este defazat n urma curentului.
Calcularea puteriiForma de und pentru putere este asemntoare celei existente n cazul circuitului pur inductiv.
Defazajul de 90o dintre curent i tensiune duce la o form a undei de putere ce alterneaz n mod egal ntre pozitiv i negativ. Acest lucru nseamn c nu exist pierdere de putere (nu se disip putere) pe condensator ca urmare a variaiei tensiunii; acesta doar absoarbe putere i apoi o elibereaz din i nspre circuit, n mod alternativ.
45
Reactana capacitivOpoziia condensatorului la variaia tensiunii se traduce printr-o opoziie fa de tensiunea alternativ n general, care prin definiie i modific tot timpul amplitudinea instantanee i direcia. Oricare ar fi amplitudinea tensiunii alternative pentru o anumit frecven, un condensator va conduce o anumit valoare a curentului alternativ. La fel ca n cazul rezistorilor, unde curentul este o funcie de tensiune la bornele acestuia i rezistena sa, curentul alternativ printr-un condensator este o funcie de tensiune la bornele sale i reactana oferit de acesta. Ca i n cazul bobinelor, reactana este exprimat n ohmi, iar simbolul este X (sau mai exact, XC - reactana capacitiv). Din moment ce condensatoarele conduc curent n proporie direct cu variaia tensiunii, acestea vor conduce mai mult curent cu ct variaia tensiunii este mai mare (durata de ncrcare i descrcare la valorile de vrf este mai mic), i mai puin cu ct variaia tensiunii este mai mic. Acest lucru nseamn c reactana condensatoarelor este invers proporional cu frecven curentului alternativ. Formula de calcul a reactanei capacitive este urmtoarea:
unde, = 2f, i reprezint viteza unghiularFrecvena (Hertz) Reactana (Ohm) 60 26.5258 120 2500 13.2629 0.6366 Reactana unui condensator de 100 F, la diferite frecvene, este prezentat n tabelul alturat.
De observat c relaia dintre reactana capacitiv i frecven este exact opus fa de cea a reactanei inductive. Reactana capacitiv scade odat cu creterea frecvenei curentului alternativ, i invers. Bobinele se opun variaiei curentului prin producerea unor cderi de tensiune mai mari; condensatoarele se opun variaiei tensiunii prin trecerea unor cureni mai mari prin acetia.
Legea lui Ohm
46
Curentul alternativ ntr-un circuit pur capacitiv este egal cu raportul dintre tensiune i reactana capacitiv. S lum ca i exemplu circuitul alturat.
Calculul curentului total din circuit arat astfel:
Totui, trebuie s ne reamintim faptul c tensiunea i curentul nu sunt n faz n acest caz, curentul fiind defazat cu +90o fa de tensiune. Dac reprezentm unghiul de faz al tensiunii i al curentului sub form matematic, putem calcula unghiul de faz al opoziiei reactive a condensatorului fa de curent:
Diagrama fazorialDiagrama fazorial pentru un condensator, reprezentnd diferena de faz dintre tensiune i curent, este prezentat n figura alturat.
2. Circuite rezistiv-capacitive serie
Impedana (Z) este cantitatea total a opoziiei fa de curentul electric i este suma complex (vector) dintre rezisten (real) i reactana (imaginar) n circuitele serie, impedanele (Z) se comport precum rezistenele (R) serie: acestea se adun pentru a forma impedana total. Atenie, efectuai toate calculele sub form complex, nu scalar! ZTotal = Z1 + Z2 + . . . Zn
inei minte c impedanele se nsumeaz tot timpul atunci cnd sunt conectate n serie, indiferent de tipul componentelor, rezistive, inductive sau capacitive; din punct de vedere matematic, toate sunt echivalente
47
O impedan pur rezistiv va avea tot timpul un unghi de faz de exact 0o (ZR = R 0o) Legea lui Ohm pentru circuitele de curent alternativ: E = IZ ; I = E / Z ; Z = E / I va avea un unghi ntre 0o i -90o
O impedan pur capacitiv va avea tot timpul un unghi de faz de exact -90o (ZC = XC -90o)
Atunci cnd rezistorii i condensatoarele sunt conectate mpreun n circuite, impedana total a circuitului Circuitele serie de curent alternativ prezint aceleai proprieti fundamentale ca i n cazul circuitelor de curent continuu: curentul este acelai prin tot circuitul (prin toate componentele), cderile de tensiune se nsumeaz, iar suma lor este tensiunea total iar impedanele se adun rezultnd impedana total
Circuit rezistiv-capacitiv seriePn acum am vzut doar ce se ntmpl ntr-un circuit pur rezistiv, respectiv pur capacitiv. Acum vom analiza cele dou componente conectate mpreun ntr-un circuit serie.
Rezistorul va produce o rezisten de n circuit fa de curentul alternativ, indiferent de valoarea 5 numr imaginar (26,5258 -90o sau 0 - j26.5258 ), efectul celor dou componente luate mpreun (combinate) reactana. Hz. Deoarece rezistena rezistorului este un numr real (5 sau 5 + j0 ), iar reactana condensatorului este un frecvenei, iar condensatorul va produce o reactan de 26,5258 fa de curentul alternativ la o frecven de 60 va fi o opoziie fa de curent egal cu suma complex a celor dou numere. Termenul folosit pentru desemnarea
acestei opoziii fa de curent se numete impedan, simbolizat prin Z i exprimat n Ohm, la fel ca rezisten i
Impedana totaln circuitul de sus, impedana total a circuitului este:
48
Relaia impedan-curent-tensiuneToate mrimile sunt exprimate sub form complex, nu scalar:
Relaia dintre impedan, curent i tensiune este similar rezistenei din legea lui Ohm. De fapt, aceast expresie este o form a legii lui Ohm mult mai cuprinztoarea (mai general) dect cea considerat n curent continuu (E = IR), la fel precum impedana este o expresie mult mai cuprinztoare a opoziiei fa de deplasarea electronilor dect rezistena. Orice rezisten i orice reactan, separate sau n combinaii serie/paralel, pot fi i trebuie exprimate ca i o singur impedan ntr-un circuit de curent alternativ.
Curentul totalPentru a calcula curentul din circuitul de mai sus, trebuie s lum prima data o referin a unghiului de faz pentru sursa de tensiune; n mod normal, aceasta se consider zero:
DefazajulCa i n cazul circuitului pur capacitiv, curentul este defazat naintea tensiunii (sursei), cu toate c de data aceasta diferena este de 79.325o, nu 90o.
Analiza circuitului
49
S folosim din nou metoda tabelului pentru analiza circuitului de mai sus.
Valorile iniialeMrime R E I Z 5 + j0 0 - j26,52 5 00 26,52 -900 R C 10 + j0 10 00 Total Unitate V A Primul pas este introducerea tuturor cantitilor
cunoscute n tabel.
68,62m + j364,06m 370,5m 79,320 5 - j26,52 26,99 -79,320 C
Curentul totalMrime E I Z
rezistorului i a condensatorului.
68,62m + j364,06m 68,62m + j364,06m 68,62m + j364,06m 370,5m 79,320 370,5m 79,320 370,5m 79,320 5 + j0 0 - j26,52 5 - j26,52 0 0 5 0 26,52 -90 26,99 -79,320
Total 10 + j0 10 00
Unitate V A
ntr-un circuit serie, curentul total este acelai prin circuitului; toate prin
componentele
urmare, valorile curentului din coloana Total pot fi trecute i n celelalte dou coloane, a
Cderile de tensiune pe rezistor i condensatorMrime E I Z 343,11m + j364,06m 68,62m + j364,06m 370,5m
