”Happiness is not a state of being. Happiness is a vector, it is move-ment.”

Neal Shusterman

5Vectori si valori proprii

Frecventa naturala a podurilor

Expresia ”canta de sparge geamurile vecinilor” nu este un mit, poate uneoridoar o exagerare, care are insa o explicatie fizica. Aproape toate obiectele, candsunt lovite, trase sau cumva deranjate vor vibra. Daca scapi un pix pe jos, vavibra, daca tragi de corzile unei chitare, vor vibra, daca lovesti un pahar cudegetul, va vibra. Orice obiect care vibreaza va crea un sunet. Acest sunetpoate fi muzical sau un simplu zgomot de fond. Frceventa sau frecventele lacare un obiect are tendinta de a vibra poarta numele de frecventa naturala aobiectului. Poti sa spargi un pahar de vin daca nimeresti frecventa sa naturala

1

atunci cand canti. Rezultatul consta in cresterea amplitudini de oscilatie panala spargerea paharului.

Rezonanta mecanica este tendinta unui sistem mecanic de a absorbi maimulta energie atunci cand frecventa lor de oscilatie este identica cu una din-tre frecventele naturale ale sistemului, spre deosebire de absorbtia de energie laalte frecvente. Acest fenomen poate conduce la vibratii dezastruoase, atat pen-tru utilaje statice sau dinamice, dar si pentru structuri sau constructii, cladiri.Frecventele naturale ale unui sistem nu se pot elimina, dar se pot atenua prindiferite metode. Evitarea rezonant,ei distructive este un obiectiv major pentruconstruirea oricarei structuri: poduri, turnuri s, i cladiri. Ca o contramasura,amortizoare pot fi amplasate ca sa absoarba frecvent,ele rezonante si astfel sadisipeze energia acumulata. Taipei 101, un zgarie-nori de 509 metri se bazeazape un pendul de 660 de tone ca sa amortizeze rezonanta. Mai mult, struc-turile sunt realizate astfel incat rezonant,ele se produc la frecvent,e greu de atins.Cladirile in zone seismice sunt in general construite astfel incat sa nu se producarezonante la frecvent,e de asteptat ın cazul unui cutremur.

In istorie avem cateva exemple de poduri care s-au prabusit datorita rezo-nantei. Podul Boroughton s-a prabusit ca urmare a mars,ului soldat, ilor carea creat oscilatii rezultand in rezonanta, la fel si in cazul Podului Angers. Incazul Podului Tacoma Narrows initial se credea ca oscilatiile au fost produse defrecventa vantului, care erau prea aproape de frecventa podului. Un vant de 60km/h a distrus un pod, in conditiile in care era construit sa reziste la vanturi cuintensitatatea de 200 km/h. In cele din urma s-a demonstrat ca nu rezonantaa distrus podul, ci unele erori de proiectare care au condus la o auto-oscilare apodului. Un eveniment asemanator, dar remediat la timp a fost in cazul Mil-lenium Bridge din Londra. Vibratiile laterale se pare ca au aparut din cauzanumarului mare de pasageri aflati pe pod. S-a produs un efect oarecum asem-anator marsului unei trupe de soldati. Problema este comuna podurilor relativusoare si are legatura cu numarul de persoane care il traverseaza si frecventalaterala a podului.

Frecventele naturale se mai numesc si frecvente proprii deoarece ele core-spund unor probleme de valori proprii. Spre exemplu, in descrierea unor sistemeoscilante, in lipsa unei forte de amortizare, se ajunge la ecuatia

𝑀 ¨𝑥 = 𝐾��

unde 𝑀 este matricea de masa si 𝐾 este matricea de rigiditate. Cautarea unorsolutii oscilante de tipul �� = 𝑣 · cos(𝜔𝑡) conduce la o problema generalizata devalori proprii

(𝐾 − 𝜆𝑀)𝑣 = 0

pentru 𝜆 = 𝜔2. Frecventele naturale sunt 𝑓𝑖 =√𝜆𝑖

2𝜋 , 𝑖 = 1, 2, . . . unde 𝜆𝑖 suntvalorile proprii ale problemei anterioare.

In practica, cele mai mici/mai mari frecvente naturale prezinta interes. Pen-tru estimarea acestora se folosesc algoritmi numerici de tipul algoritmului Lanc-zos, intrucat abordarea exacta esueaza, ca de obicei. Chiar si in cazul in care𝑀 = 𝐼, ecuatia caracteristica

𝑑𝑒𝑡(𝐾 − 𝜆𝐼) = 0

poate reprezenta o ecuatie polinomiala de grad 𝑛 ≥ 5, pentru care nu exista oformula de rezolvare prin radicali, precum in cazul celor de grad 2.

2

Vectori si valori proprii

∙ cand o matrice actioneaza asupra unui vector, prin inmultire, efectul nor-mal al transformarii liniare obtinute consta intr-o rotatie si eventual o scalare arespectivului vector

∙ exista anumiti vectori pe care 𝐴 nu ii roteste, doar ii scaleaza

Vectori si valori proprii

Daca 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) este o matrice patrata atunci un vector coloana nenul𝑣 se numeste vector propriu corespunzator valorii proprii 𝜆 daca 𝐴𝑣 esteun multiplu de 𝑣

𝐴𝑣 = 𝜆𝑣

Valoarea proprie 𝜆 poate fi considerata ca fiind factorul de scalare alvectorului 𝑣.

∙ de exemplu, pentru matricea 𝐴 =

⎛⎝3 0

8 −1

⎞⎠ vectorul 𝑣 =

⎛⎝1

2

⎞⎠este un vector propriu corespunzatorvalorii proprii 𝜆 = 3

𝐴𝑣 =

⎛⎝3 0

8 −1

⎞⎠⎛⎝1

2

⎞⎠ =

⎛⎝3

6

⎞⎠ = 3

⎛⎝1

2

⎞⎠ = 3𝑣

∙ deoarece 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 =⇒ (𝐴− 𝜆𝐼)𝑣 = 0, intrucat dorim sa obtinem solutii𝑣 nenule, sistemul liniar obtinut are astfel de solutii daca si numai daca

𝑑𝑒𝑡(𝐴− 𝜆𝐼) = 0 (ecuatia caracteristica a lui 𝐴)

asadar valorile proprii sunt radacinile ecuatiei caracteristice.∙ cu toate ecuatia caracteristica are coeficienti reali ea poate avea si radacini

complexe=⇒ valorile proprii pot fi numere complexe, la fel si componentele vectorilor

proprii pot fi numere complexe=⇒ daca 𝜆 ∈ C, atunci scalarea cu 𝜆 a unui vector 𝑣 din plan are ca efect o

rotatie a acestuia, din cauza structurii de spatiu vectorial complex a lui R2 ∼= C∙ ecuatia caracteristica va avea gradul 𝑛, cand 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R), iar unele radacini

se pot repeta=⇒ notam cu 𝑚𝜆𝑖 multiplicitatea algebrica a valorii proprii 𝜆𝑖 (numarul

care indica de cate ori se repeta radacina 𝜆𝑖)=⇒ spre exemplu, ecuatia

−𝜆3 + 5𝜆2 − 7𝜆 + 3 = 0

are radacinile 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 3 si 𝜆3 = 1, vom spune ca valorile proprii sunt𝜆1 = 1 cu 𝑚𝜆1

= 2 si 𝜆2 = 3 cu 𝑚𝜆2= 1

3

∙ pentru o valoare proprie 𝜆 gasita vom obtine o infinitate de vectori propriicorespunzatori ei si acesti vectori proprii formeaza un subspatiu vectorial

𝑆𝜆 = {𝑣 : 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣} (subspatiul propriu asociat lui 𝜆)

∙ putem obtine o localizare aproximativa a valorilor proprii cu ajutorul dis-curilor Gerschgorin

|𝑧 − 𝑎𝑘𝑘| ≤ min

⎧⎪⎨⎪⎩𝑛∑

𝑖=1

𝑖 =𝑘

|𝑎𝑘𝑖|,𝑛∑

𝑖=1

��=𝑘

|𝑎𝑖𝑘||

⎫⎪⎬⎪⎭ , 𝑧 ∈ C

unde 𝑎𝑘𝑘 sunt elementele de pe diagonala principala a matricei 𝐴∙ orice valoare proprie 𝜆 se afla localizata intr-unul dintre aceste discuri

conform teoremei lui Gerschgorin∙ cele doua expresii sunt de fapt suma modulelor elementelor de pe aceeasi

coloana cu 𝑎𝑘𝑘, respectiv aceasi linie, fara a contoriza pe |𝑎𝑘𝑘|

Pentru matricea

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎝5 1 1

0 6 1

1 0 −5

⎞⎟⎟⎟⎠se pot forma trei discuri Gerschgorin care ne vor da o localizare a valorilorproprii 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3. Sa incepem prin a observa ca pe diagonala principala seafla elementele 𝑎11 = 5, 𝑎22 = 6 si 𝑎33 = −5. Pentru primul element sumamodulelor elementelor de pe linie este |1|+ |1| = 2 (fara a contoriza |𝑎11|)iar de pe coloana este |0| + |1| = 1 asadar primul disc Gerschgorin este

|𝑧 − 5| ≤ min{2, 1} = 1

Tinand cont ca, in planul complex, ecuatia unui cerc cu centrul in punctul𝐶 de afix 𝑧0 si raza 𝑅 este |𝑧 − 𝑧0| = 𝑅, inecuatia de mai sus corespundediscului circular (cercul impreuna cu interiorul sau) centrat in 5 si avandraza egala cu 1. Prin aceeasi metoda se obtin celelalte doua discuri Ger-schgorin

|𝑧 − 6| ≤ min{|0| + |1|, |1| + |0|} = 1

si|𝑧 − (−5)| ≤ min{|1| + |0|, |1| + |1|} = 1

ultimul fiind un disc cu centrul in −5, de raza tot 1.

Discuri Gerschgorin

4

Asadar, conform teoremei lui Gerschgorin, valorile proprii vor fi situatein aceste discuri. Facand calculele, adica rezolvand ecuatia caracteristicamatricei 𝐴 se obtin valorile proprii{

5,1 +

√5

2,

1 −√

5

2

}≈ {5, 6.0902,−5.0902}

�

Diagonalizarea matricelor

∙ dorim sa construim o metoda prin care sa putem calcula mai usor puterileunei matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R).

=⇒ incepem prin cautarea unor cazuri particulare mai usor de rezolvat: incazul 𝐴 ∈ 𝑀3(R), o matrice diagonala

𝐷 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜆1 0 0

0 𝜆2 0

0 0 𝜆3

⎞⎟⎟⎟⎠se comporta bine la ridicarea la putere

𝐷𝑘 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜆𝑘1 0 0

0 𝜆𝑘2 0

0 0 𝜆𝑘3

⎞⎟⎟⎟⎠ , ∀ 𝑘 ∈ N*

=⇒ 𝐷 are o structura prea simpla, dorim sa rezolvam problema pentrumatrice cu structuri cat mai complexe, cat mai apropiate de forma generala

=⇒ o matrice de forma 𝑃𝐷𝑃−1 se comporta bine la ridicarea la putere dincauza urmatorului fenomen

(𝑃𝐷𝑃−1)𝑘 = 𝑃𝐷𝑃−1𝑃𝐷𝑃−1𝑃𝐷𝑃−1 · . . . 𝑃𝐷𝑃−1 = 𝑃𝐷𝑘𝑃−1

∙ in ce conditii am putea scrie orice matrice 𝐴 sub forma 𝑃𝐷𝑃−1 ?=⇒ daca 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 atunci 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷=⇒ vizualizam matricea 𝑃 ca pe o colectie de coloane

𝑃 =(𝑐1 | 𝑐2 | 𝑐3

)5

si atunci avem relatiile (verificati-le)

𝐴𝑃 =(𝐴𝑐1 | 𝐴𝑐2 | 𝐴𝑐3

)=

(𝜆1𝑐1 | 𝜆2𝑐2 | 𝜆3𝑐3

)= 𝑃𝐷

un exemplu de rationare cu blocuri de informatie=⇒ prin urmare determinarea matricelor 𝑃 si 𝐷 este strans legata de

rezolvarea ecuatiei

𝐴𝑣 = 𝜆𝑣, 𝑣 = 0

In final vom studia maxima generalitate a metodei. In ce conditii o matrice𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) poate fi descompusa sub forma 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 ? Prima observatieimportanta este ca, pentru a construi matricea diagonala 𝐷, avem nevoie de𝑛 valori reale 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑛 doarece am presupus ca respectiva descompunereare loc in 𝑀𝑛(R). Ecuatia caracteristica, fiind de grad 𝑛, va livra 𝑛 radacinidar nu obligatoriu reale (unele pot fi complexe). Apoi pentru a construi omatrice inversabila 𝑃 avem nevoie de 𝑛 vectori coloana liniar independeti (altfel𝑑𝑒𝑡 𝑃 = 0). A doua conditie pe care trebuie sa o impunem ne asigura ca cele 𝑛valori proprii vor genera 𝑛 vectori proprii liniar independenti

Teorema de diagonalizare

O matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) este diagonalizabila daca si numai daca toatevalorile proprii sunt reale si dimensiunile spatiilor proprii coincid cu mul-tiplicitatile algebrice ale valorilor proprii, adica

𝑑𝑖𝑚𝑆𝜆𝑖= 𝑚𝜆𝑖

, 𝑖 = 1, 𝑘

pentru cele 𝑘 valori proprii distincte.

=⇒ o consecinta rapida a teoremei de diagonalizare este ca orice matrice𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) cu 𝑛 valori proprii distincte este diagonalizabila

∙ de remarcat ca intotdeauna dimensiunea subspatiilor proprii este cel multegala cu multiplicitatea algebrica a valorilor proprii

𝑑𝑖𝑚𝑆𝜆𝑖≤ 𝑚𝜆𝑖

, 𝑖 = 1, 𝑘

din aceasta cauza daca nu avem egalitate nu se genereaza suficienti vectori pro-prii liniar independenti

Daca 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) este diagonalizabila putem calcula mai rapid 𝑓(𝐴), nudoar 𝐴𝑘, pentru orice functie 𝑓 care contine valorile proprii ale lui 𝐴 in

Remarca

6

domeniul sau de definitie

𝑓(𝐴) = 𝑃

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑓(𝜆1) 0 . . . 0

0 𝑓(𝜆2) . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 𝑓(𝜆𝑛)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑃−1

Ecuatii diferentiale liniare

∙ definitia vectorilor si valorilor proprii poate fi extinsa la nivelul transfor-marilor liniare, chiar si atunci cand acestea actioneaza pe spatii infinit dimen-sionale

∙ transfomarea liniara indusa prin derivare, prezentata in seminarul anterior

𝐷 : 𝐶∞(R) → 𝐶∞(R), (𝐷𝑓)(𝑡) = 𝑓 ′(𝑡)

admite vectori si valori proprii cu impact in studiul ecuatiilor diferentiale

𝐷𝑓 = 𝜆𝑓 ⇐⇒ 𝑓 ′(𝑡) = 𝜆 · 𝑓(𝑡), ∀ 𝑡 ∈ R

∙ rezolvand ecuatia diferentiala rezultata, obtinem usor pentru cazul 𝜆 ∈ R,ca orice vector propriu corespunzator valorii propriii 𝜆 va fi de forma

𝑓(𝑡) = 𝑐 · 𝑒𝜆𝑡, 𝑡 ∈ R, 𝑐 constanta

∙ investigam in continuare doar sistemele de ecuatii diferentiale de tipul⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑥′1(𝑡) = 𝑎11𝑥1(𝑡) + 𝑎12𝑥2(𝑡) + . . . + 𝑎1𝑛𝑥𝑛(𝑡)

𝑥′2(𝑡) = 𝑎21𝑥1(𝑡) + 𝑎22𝑥2(𝑡) + . . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛(𝑡)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑥′𝑛(𝑡) = 𝑎𝑛1𝑥1(𝑡) + 𝑎𝑛2𝑥2(𝑡) + . . . + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛(𝑡)

pentru care matricea coeficientilor

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛...

.... . .

...

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠este diagonalizabila

∙ ideea este sa notam ��(𝑡) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑥1(𝑡)

𝑥2(𝑡)...

𝑥𝑛(𝑡)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ pentru a rescrie sistemul de ecuatii

diferentiale sub forma��′(𝑡) = 𝐴 · ��(𝑡)

7

unde derivarea se face pentru fiecare componenta in parte∙ daca 𝐴 este diagonalizabila si 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 pentru

𝐷 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝜆1 0 . . . 0

0 𝜆2 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 𝜆𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ iar 𝑃 = (𝑣1 | 𝑣2 | . . . | 𝑣𝑛)

atunci ��′(𝑡) = 𝑃𝐷𝑃−1 · ��(𝑡) =⇒(𝑃−1��

)′= 𝐷 · 𝑃−1��

∙ facand substitutia 𝑦 = 𝑃−1�� obtinem sistemul de ecuatii diferentiale⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑦′1(𝑡) = 𝜆1 · 𝑦1(𝑡)

𝑦′2(𝑡) = 𝜆2 · 𝑦2(𝑡)

. . . . . . . . . . . . . . .

𝑦′𝑛(𝑡) = 𝜆𝑛 · 𝑦𝑛(𝑡)

cu solutia generala ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑦1(𝑡) = 𝑐1𝑒

𝜆1·𝑡

𝑦2(𝑡) = 𝑐2𝑒𝜆2·𝑡

. . . . . . . . . . . . . . .

𝑦𝑛(𝑡) = 𝑐𝑛𝑒𝜆𝑛·𝑡

∙ tinand cond ca �� = 𝑃𝑦 este solutia sistemului initial de ecuatii diferentiale,se obtine urmatoarea teorema

Sisteme de ecuatii diferentiale

Daca matricea coeficientilor sistemului ��′ = 𝐴�� este diagonalizabila,atunci o solutie generala a sistemului de ecuatii diferentiale poate fi ex-primata sub forma

��(𝑡) = 𝑐1𝑒𝜆1𝑡𝑣1 + 𝑐2𝑒

𝜆2𝑡𝑣2 + . . . + 𝑐𝑛𝑒𝜆𝑛𝑡𝑣𝑛

unde 𝜆𝑖 sunt valorile proprii si 𝑣𝑖 sunt vectorii proprii corespunzatori.

∙ in semestrul doi vom studia cazul general, cand 𝐴 este o matrice patrataoarecare, noutatea constand in introducerea cazurilor 𝜆𝑖 ∈ C si 𝑑𝑖𝑚𝑆𝜆𝑖 < 𝑚𝜆𝑖

∙ aplicam acest rezultat pentru un model matematic simplist

Consideram sistemul de ecuatii diferentiale provenit dintr-o modelare mate-matica a unei curse a inarmarii intre doua natiuni{

𝑥′(𝑡) = −2𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡)

𝑦′(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 2𝑦(𝑡)

unde 𝑥(𝑡) si 𝑦(𝑡) sunt rezervele de munitie detinute de catre cele doua

Sisteme liniare de ecuatii diferentiale

8

natiuni, in momentul 𝑡. Fiecare ecuatie descrie rata de schimbare a nivelu-lui inarmarii pentru respectiva tara.

Se observa ca daca notam ��(𝑡) =

⎛⎝𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡)

⎞⎠ sistemul devine in scriere

matriciala

��′(𝑡) =

⎛⎝−2 1

1 −2

⎞⎠ · ��(𝑡)

iar matricea 𝐴 va avea ecuatia caracteristica−2 − 𝜆 1

1 −2 − 𝜆

= 0 ⇐⇒ 𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0

cu solutiile 𝜆1 = −1 si 𝜆2 = −3. Subspatiul propriu corespunzator lui 𝜆1

𝑆𝜆1 = {𝑣 : 𝐴𝑣 = −𝑣}

conduce la un sistem liniar cu solutia 𝑣 =

⎛⎝𝛼

𝛼

⎞⎠ = 𝛼

⎛⎝1

1

⎞⎠, 𝛼 ∈ R adica

𝑆𝜆1 = 𝑠𝑝𝑎𝑛

⎧⎨⎩⎛⎝1

1

⎞⎠⎫⎬⎭Analog subspatiul propriu corespunzator lui 𝜆2

𝑆𝜆1= {𝑣 : 𝐴𝑣 = −3𝑣}

conduce la un sistem liniar cu solutia 𝑣 =

⎛⎝ 𝛼

−𝛼

⎞⎠ = 𝛼

⎛⎝ 1

−1

⎞⎠, 𝛼 ∈ R adica

𝑆𝜆2= 𝑠𝑝𝑎𝑛

⎧⎨⎩⎛⎝ 1

−1

⎞⎠⎫⎬⎭Cei doi vectori proprii care genereaza subspatiile proprii vor fi liniar inde-pendenti si prin urmare obtinem conform teoremei de mai sus urmatoaresolutie generala pentru sistemul de ecuatii diferentiale⎛⎝𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡)

⎞⎠ = 𝑐1𝑒−𝑡 ·

⎛⎝1

1

⎞⎠ + 𝑐2𝑒−3𝑡

⎛⎝ 1

−1

⎞⎠adica {

𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑡 − 𝑐2𝑒

−3𝑡

9

Se poate observa ca in timp, conform acestui model, se ajunge la o stare deechilibru in aceasta cursa a inarmarii, caci 𝑥(𝑡) → 𝑐1 + 𝑐2 si 𝑦(𝑡) → 𝑐1− 𝑐2atunci cand 𝑡 → ∞.

�

∙ o ecuatie diferentiala liniara de ordin 𝑛, cu coeficienti constanti

𝑎𝑛𝑥(𝑛)(𝑡) + 𝑎𝑛−1𝑥

(𝑛−1)(𝑡) + . . . + 𝑎1𝑥′(𝑡) + 𝑎0𝑥(𝑡) = 0

unde 𝑥(𝑘) inseamna a 𝑘-a derivata, poate fi redusa la cazul anterior prin trans-formarea ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑦1 = 𝑥

𝑦2 = 𝑦′1 = 𝑥′

𝑦3 = 𝑦′2 = 𝑥′′ . . . . . . . . . . . .

𝑦𝑛+1 = 𝑦′𝑛 = 𝑥(𝑛) = −𝑎𝑛−1

𝑎𝑛𝑦𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛𝑦𝑛−2 − . . . 𝑎1

𝑎𝑛𝑦1

in acest fel se obtine sistemul de ecuatii diferentiale⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑦′1 = 𝑦2

𝑦′2 = 𝑦3

. . . . . . . . . . . .

𝑦′𝑛 = −𝑎𝑛−1

𝑎𝑛𝑦𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛𝑦𝑛−2 − . . . 𝑎1

𝑎𝑛𝑦1

Probleme rezolvate

Problema 1

Rezolvati ecuatia diferentiala liniara

𝑥′′(𝑡) − 𝑥′(𝑡) − 6𝑥(𝑡) = 0

Solutie: Rescriem ecuatia diferentiala sub forma unui sistem diferential liniarcu coeficienti constanti⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥1 = 𝑥

𝑥2 = 𝑥′1 = 𝑥′

𝑥3 = 𝑥′2 = 𝑥′′ = 𝑥′ + 6𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥1

prin urmare se obtine sistemul liniar atasat{𝑥′1 = 𝑥2

𝑥′2 = 𝑥2 + 6𝑥1

cu matricea coeficientilor

𝐴 =

⎛⎝0 1

6 1

⎞⎠10

Ecuatia caracteristica corespunzatoare aceste ecuatii diferentiale, dar si ma-tricei 𝐴, este

𝜆2 − 𝜆− 6 = 0

cu solutiile 𝜆1 = −2 si 𝜆2 = 3. Deoarece are doua valori proprii distinctematricea 𝐴 va fi diagonalizabila si prin urmare solutia generala a sistemului deecuatii diferentiale atasat este

��(𝑡) = 𝑐1𝑒−2𝑡𝑣1 + 𝑐2𝑒

3𝑡𝑣2, 𝑐1, 𝑐2 ∈ R.

unde ��(𝑡) =

⎛⎝𝑥1(𝑡)

𝑥2(𝑡)

⎞⎠ =

⎛⎝𝑥(𝑡)

𝑥′(𝑡)

⎞⎠, iar 𝑣1 si 𝑣2 sunt vectorii proprii liniar inde-

pendenti, corespunzatori celor doua valori proprii.Prin calcul se obtine ca subspatiile proprii sunt

𝑆𝜆1=

⎧⎨⎩⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠ :

⎛⎝0 1

6 1

⎞⎠⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠ = −2

⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠⎫⎬⎭ = 𝑠𝑝𝑎𝑛

⎧⎨⎩⎛⎝ 1

−2

⎞⎠⎫⎬⎭si

𝑆𝜆2=

⎧⎨⎩⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠ :

⎛⎝0 1

6 1

⎞⎠⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠ = 3

⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠⎫⎬⎭ = 𝑠𝑝𝑎𝑛

⎧⎨⎩⎛⎝1

3

⎞⎠⎫⎬⎭asadar

⎛⎝𝑥(𝑡)

𝑥′(𝑡)

⎞⎠ = ��(𝑡) = 𝑐1𝑒−2𝑡

⎛⎝ 1

−2

⎞⎠ + 𝑐2𝑒3𝑡

⎛⎝1

3

⎞⎠ =

⎛⎝ 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

3𝑡

−2𝑐1𝑒−2𝑡 − 3𝑐2𝑒

3𝑡

⎞⎠Identificand componentele, se obtine solutia generala a ecuatiei diferentiale

din enuntul problemei

𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

3𝑡, 𝑐1, 𝑐2 constante.

Problema 2

Aflati matricea exponentiala 𝑒𝐴 corespunzatoare urmatoarei matrice

𝐴 =

⎛⎝0 1

6 1

⎞⎠Solutie: Exponentiala unei matrice este tot o matrice de acelasi ordin si este

definita prin

𝑒𝐴 = 𝐼 + 𝐴 +𝐴2

2!+ . . . +

𝐴𝑛

𝑛!+ . . .

unde elementele sale se calculeaza afland suma fiecarei serii corespunzatoare.Un sistem de ecuatii diferentiale de tipul

11

��′(𝑡) = 𝐴 · ��′(𝑡)

poate fi rezolvat, intr-o maniera similara cazului 1-dimensional, apeland la ex-ponentiala

��(𝑡) = 𝑒𝐴𝑡 · 𝑐

unde 𝑐 va fi un vector coloana format cu constante.In cazul in care 𝐴 este diagonalizabila, conform unei remarci anterioare,

avem urmatoarea formula pentru exponentiala

𝑒𝐴 = 𝑃

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑒𝜆1 0 . . . 0

0 𝑒𝜆2 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 𝑒𝜆𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑃−1

Stim din problema anterioara ca 𝐴 este diagonalizabila si 𝐷 =

⎛⎝−2 0

0 3

⎞⎠iar 𝑃 =

⎛⎝ 1 1

−2 3

⎞⎠, prin urmare

𝑒𝐴 =

⎛⎝ 1 1

−2 3

⎞⎠⎛⎝𝑒−2 0

0 𝑒3

⎞⎠⎛⎝ 1 1

−2 3

⎞⎠−1

=

⎛⎝ 3𝑒−2+2𝑒3

5−𝑒−2+𝑒3

5

−6𝑒−2+6𝑒3

52𝑒−2+3𝑒3

5

⎞⎠Daca luam acum in considerare sistemul

��′(𝑡) = 𝐴 · ��′(𝑡)

de la problema anterioara, solutia sa va fi sub forma⎛⎝𝑥(𝑡)

𝑥′(𝑡)

⎞⎠ = ��(𝑡) = 𝑒𝐴𝑡 · 𝑐 =

⎛⎝ 3𝑒−2𝑡+2𝑒3𝑡

5−𝑒−2𝑡+𝑒3𝑡

5

−6𝑒−2𝑡+6𝑒3𝑡

52𝑒−2𝑡+3𝑒3𝑡

5

⎞⎠⎛⎝𝑐1

𝑐2

⎞⎠iar daca identificam componentele

𝑥(𝑡) =3𝑐1 − 𝑐2

5𝑒−2𝑡 +

2𝑐1 + 𝑐25

𝑒3𝑡

Prin renotarea constantelor 𝑘1 = 3𝑐1−𝑐25 , 𝑘2 = 2𝑐1+𝑐2

5 se obtine formula dinproblema anterioara.

Problema 3 (Solutii oscilante)

Rezolvati ecuatia diferentiala liniara

𝑥′′(𝑡) + 𝑥(𝑡) = 0

12

Solutie: Pe parcursul acestei fise am incercat sa evitam discutarea cazuluivalorilor proprii complexe si al solutiilor generate de catre acestea. Acum avemoportunitatea sa arata ca astfel de valori proprii genereaza solutii oscilante aleunei ecuatii diferentiale. Pentru ecuatia diferentiala de mai sus, sistemul liniaratasat ⎧⎪⎨⎪⎩

𝑦1 = 𝑥

𝑦2 = 𝑦′1𝑦3 = 𝑦′2 = 𝑥′′ = −𝑦1

adica {𝑦′1 = 𝑦2

𝑦′2 = −𝑦1

are matricea atasata

𝐴 =

⎛⎝ 0 1

−1 0

⎞⎠cu ecuatia caracteristica

𝜆2 + 1 = 0

si solutiile 𝜆1 = 𝑖, 𝜆2 = −𝑖. Deoarece valorile proprii nu sunt reale, matricea nueste diagonalizabila in 𝑀𝑛(R).

Daca matricea 𝐴 este considerata in 𝑀2(K = C) atunci ea va fi diagona-lizabila caci admite doua valori proprii distincte din corpul K = C (criteriulgeneral de diagonalizare, vezi curs). Vectorii proprii vor avea componente totdin corpul C. Problema este ca in acest moment solutiile sunt complexe si auforma ⎛⎝𝑦1(𝑡)

𝑦2(𝑡)

⎞⎠ = 𝑐1𝑣1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝑣2𝑒

𝜆2𝑡

pentru doi vectori proprii liniar independenti. Se poate arata usor ca cei doivectori proprii se pot alege incat sa fie conjugati unul altuia, deoarece 𝜆1 = 𝜆2

𝐴𝑣1 = 𝜆1𝑣1 = 𝜆2𝑣1 =⇒ 𝐴𝑣1 = 𝜆2𝑣1 =⇒ 𝐴𝑣1 = 𝜆2𝑣1

adica si 𝑣1 este vector propriu a lui 𝜆2, deci poate fi ales in asa fel incat 𝑣1 = 𝑣2.Daca dorim sa obtinem solutii reale trebuie sa aplicam urmatorul trick: deoarece𝑣1 ∈ C2 se poate observa ca

Re 𝑣1 =1

2(𝑣1 + 𝑣1), si Im 𝑣1 =

1

2𝑖(𝑣1 − 𝑣1)

unde 𝑣 inseamna aici vectorul conjugat, sunt vectori cu componente reale careraman vectori proprii pentru 𝐴.

Inlocuind in 𝑣1 = Re 𝑣1 + 𝑖 · Im 𝑣1 in forma solutiilor⎛⎝𝑦1(𝑡)

𝑦2(𝑡)

⎞⎠ = 𝑐1𝑣1𝑒𝑖𝑡 +𝑐2𝑣1𝑒

−𝑖𝑡 = 𝑐1(Re 𝑣1 + 𝑖 · Im 𝑣1)𝑒𝑖𝑡 +𝑐2(Re 𝑣1− 𝑖 · Im 𝑣1)𝑒−𝑖𝑡

se obtine in final⎛⎝𝑦1(𝑡)

𝑦2(𝑡)

⎞⎠ = 𝑘1(Re 𝑣1 · cos 𝑡− Im 𝑣1 · sin 𝑡)𝑒𝑡+ 𝑖 ·𝑘2(Re 𝑣1 · sin 𝑡 + Im 𝑣1 · cos 𝑡)𝑒𝑡

13

dupa renotarea constantelor, caci 𝑒𝑖𝑡 = cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡. Se poate arata usor apoica cele doua functii⎛⎝𝑢1(𝑡)

𝑢2(𝑡)

⎞⎠ = (Re 𝑣1 · cos 𝑡− Im 𝑣1 · sin 𝑡)𝑒𝑡

si ⎛⎝𝑤1(𝑡)

𝑤2(𝑡)

⎞⎠ = (Re 𝑣1 · sin 𝑡 + Im 𝑣1 · cos 𝑡)𝑒𝑡

sunt solutii reale liniar independente ale sistemului liniar de ecuatii diferentiale.De aici se obtine apoi o solutie generala pentru ecuatia diferentiala, de forma

𝑥(𝑡) = 𝐶1 · cos 𝑡 · 𝑒𝑡 + 𝐶2 · sin 𝑡 · 𝑒𝑡

pentru 𝐶1, 𝐶2 constante.

Problema 4

valori proprii si spectrul luminii, in astronomie

Solutie:

Probleme propuse

A. Consolidare cunostinte

Problema A.1. Adevarat sau fals ?

i) o matrice singulara are valori proprii nenule

ii) daca 𝑝(𝜆) = 2𝜆2 +2𝜆−3 este polinomul caracteristic al matricei 𝐴, atunci𝐴 este inversabila

iii) daca 𝐴𝑣 = 0 pentru un vector 𝑣 nenul atunci 𝑣 nu poate fi vector propriu

iv) daca 𝐴𝑣 = 𝜆1𝑣, 𝐴𝑤 = 𝜆2𝑤 iar 𝜆1 = 𝜆2, atunci 𝑣1 si 𝑣2 sunt liniarindependenti

v) exista transformari liniare fara valori proprii

vi) orice transformare liniara 𝑇 : R𝑛 → R𝑛 poate deveni o scalare, posibilneuniforma, prin schimbarea sistemului de coordonate

vii) daca 𝐴2 = 𝑂 atunci toate valorile proprii sunt nule

Problema A.2. Dati un exemplu de transformare liniara 𝑇 : R2 → R2 cu osingura valoare proprie. Construiti apoi o transformare 𝑇 : R3 → R3 care areexact doua valori proprii distincte.

14

Problema A.3. Determinanti printr-o metoda grafica vectorii si valorile pro-prii corespunzatori unei rotatii 𝑅𝜃 : R2 → R2, de unghi 0 < 𝜃 < 90∘. Realizatiacelasi lucru pentru simetria 𝑆𝑑 : R2 → R2 fata de dreapta 𝑑 : 𝑦 = 3𝑥 sauforfecarea 𝐹 : R2 → R2 de-a lungul axei 𝑂𝑥 si de factor 𝑘 = 3.

B. Tehnica de calcul

Problema B.1. Sa se arate ca matricea 𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎝4 1 1

1 4 1

1 1 4

⎞⎟⎟⎟⎠ este similara cu

una diagonala. Sa se calculeze apoi 𝐴2020 si 𝐴−1 folosind aceasta proprietatede diagonalizare.

Problema B.2. Rezolvati sistemul{𝑥′1 = 𝑥1 + 4𝑥2

𝑥′2 = 2𝑥1 + 3𝑥2

Gasiti solutia particulara care satisface conditiile 𝑥1(0) = 0 si 𝑥2(0) = 0.

Problema B.3. O matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) se numeste strict diagonal dominantadaca |𝑎𝑖𝑖| >

∑𝑖 =𝑘 |𝑎𝑖𝑘| pentru fiecare linie. Aratati ca o matrice strict diagonal

dominanta este inversabila.

Problema B.4. Aflati vectorii si valorile proprii corespunzatori matricei

𝐴 =1

9

⎛⎜⎜⎜⎝7 −2 0

−2 6 2

0 2 5

⎞⎟⎟⎟⎠Problema B.5. O matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R) se numeste circulara daca elementelesale se obtin prin permutarea circulara a primei linii

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛

𝑎𝑛 𝑎1 . . . 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1

......

. . ....

...

𝑎3 𝑎4 . . . 𝑎1 𝑎2

𝑎2 𝑎3 . . . 𝑎𝑛 𝑎1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Unei astfel de matrice i se asociaza in mod natural functia

𝑓(𝑥) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥2 + . . . + 𝑎𝑛𝑥

𝑛−1

Notam cu 𝜀 = cos 2𝜋𝑛 + 𝑖 sin 2𝜋

𝑛 radacina primitiva a unitatii de ordin 𝑛. Aratatica

15

i) Orice valoare proprie este de tipul

𝜆𝑖 = 𝑓(𝜀𝑖) = 𝑎1 + 𝑎2𝜀𝑖 + 𝑎3𝜀

2𝑖 + . . . + +𝑎𝑛𝜀(𝑛−1)𝑖, 𝑖 = 0, 𝑛− 1

ii) Vectorii

𝑣𝑖 =1√𝑛

(1, 𝜀𝑖, 𝜀2𝑖, . . . , 𝜀(𝑛−1)𝑖), 𝑖 = 0, 𝑛− 1

sunt vectori proprii liniar independenti.

iii) Gasiti o conditie pe care 𝑎𝑖, 𝑖 = 0, 𝑛− 1, sa o satisfaca pentru ca 𝐴 safie singulara

Problema B.6. Transformarea liniara 𝑇 : R2 → R2 definita prin

𝑇 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, 𝑦)

realizeaza forfecari de factor 𝑘 = 2 de-a lungul axei 𝑂𝑥. Aratati ca printr-oschimbare a sistemului de coordonate transformarea nu poate deveni o scalareneuniforma relativ la noul sistem.

Indiciu: Versorii noului sistem formeaza o baza vectoriala a lui R2. Problemapoate fi rezolvata si intuitiv reprezentand-o grafic. Cum deformeaza transfor-marea 𝑇 patratul unitate?

Problema B.7. Aratati ca daca 𝜆 este valoare proprie a matricei inversabile𝐴, atunci 1

𝜆 este valoare proprie a matricei 𝐴−1.

C. Probleme cu caracter practic-aplicativ

Problema C.1.

16

Bibliografie

[1] H. Anton, C. Rorres. Elementary Linear Algebra. Applications Version Ed.Wiley, 2014.

[2] O. Bundau, A. Juratoni Exercitii si probleme de algebra liniara,

Ed. Politehnica, 2012.

[3] C. D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,

SIAM, 2000.

[4] D. Lay. Linear Algebra and its Applications,

Ed. Addison-Wesley, 2012.