+ All Categories
Home > Documents > Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV...

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV...

Date post: 18-Jan-2020
Category:
Upload: others
View: 27 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
40
Transcript
Page 1: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Lectia IV

Produsul vectorial a doi vectori liberi

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 2: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Table of Contents

1 Orientarea spatiului E 3

2 De�nitia produsului vectorial. Proprietati

3 Rezolvari de ecuatii vectoriale

4 Schimbari de baze ortonormate in spatiu

5 Aplicatii

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 3: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Orientarea spatiului

Fie un triplet ordonat de vectori necoplanari (u, v ,w). Consideramurmatoarea conventie: daca un observator care priveste din pozitiaw vede unghiul α ∈ [0, π] de la u spre v in sensul opus acelor deceas, tripletul ordonat (u, v ,w) se numeste pozitiv, iar in cazcontrar, negativ.

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 4: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului

Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V sepoate imparti in doua clase. Fie (i , j , k) o baza ortonormata �xata

si (i′, j′, k

′) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i

′spre i si

comparam perechile (j , k) si (j′′, k

′′), unde (j

′′, k

′′) reprezinta

pozitia pe care a atins-o perechea (j′, k

′) dupa rotire. Aceste

perechi de vectori se a�a in acelasi plan, ortogonal pe i . Daca eleapartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale devectori (i

′, j′, k

′) si (i , j , k) vor � puse in aceeasi clasa. (In caz

contrar in clase diferite.)Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului,iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamnaaorienta spatiul.Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori suntschimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet seobtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasiorientare.

Page 5: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului

Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V sepoate imparti in doua clase. Fie (i , j , k) o baza ortonormata �xata

si (i′, j′, k

′) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i

′spre i si

comparam perechile (j , k) si (j′′, k

′′), unde (j

′′, k

′′) reprezinta

pozitia pe care a atins-o perechea (j′, k

′) dupa rotire. Aceste

perechi de vectori se a�a in acelasi plan, ortogonal pe i . Daca eleapartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale devectori (i

′, j′, k

′) si (i , j , k) vor � puse in aceeasi clasa. (In caz

contrar in clase diferite.)Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului,iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamnaaorienta spatiul.Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori suntschimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet seobtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasiorientare.

Page 6: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului

Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V sepoate imparti in doua clase. Fie (i , j , k) o baza ortonormata �xata

si (i′, j′, k

′) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i

′spre i si

comparam perechile (j , k) si (j′′, k

′′), unde (j

′′, k

′′) reprezinta

pozitia pe care a atins-o perechea (j′, k

′) dupa rotire. Aceste

perechi de vectori se a�a in acelasi plan, ortogonal pe i . Daca eleapartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale devectori (i

′, j′, k

′) si (i , j , k) vor � puse in aceeasi clasa. (In caz

contrar in clase diferite.)Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului,iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamnaaorienta spatiul.Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori suntschimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet seobtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasiorientare.

Page 7: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Produsul vectorial

De�nition

Produsul vectorial al vectorilor u, v este un vector notat u × v caresatisface conditiile:1) este perpendicular pe cei doi vectori (deci pe planul generat de u

si v);2) sensul este astfel incat tripletul (u, v , u × v) este pozitiv;3) marimea vectorului u × v este egala cu aria paralelogramuluiconstruit pe cei doi vectori:

|u × v | = |u||v | sin(u, v).

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 8: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Produsul vectorial

Theorem

Fie n vectorul unitar (versor) perpendicular pe planul generat de u

si v , astfel incat (u, v , n) este o baza pozitiva si θ unghiul orientat

intre u si v . Atunci

u × v = |u||v |(sin θ)n.

Page 9: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Unghi orientat

In propozitia anterioara a aparut notiunea de unghi orientat a doivectori. El se de�neste astfel:

De�nition

Fie u, v ∈ V. Consideram o baza pozitiva {i , j} in spatiul liniargenerat de cei doi vectori. Presupunem ca u = x1i + x2j siv = y1i + y2j . Unghiul orientat al vectorilor u, v este dat deformulele:

cosϕ =< u, v >

‖ u ‖‖ v ‖,

sinϕ =

∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣‖ u ‖‖ v ‖

,

ϕ ∈ [−π, π].

Se poate demonstra ca de�nitia anterioara nu depinde de bazapozitiva in raport cu care sunt descompusi vectorii.

Page 10: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Unghi orientat

In propozitia anterioara a aparut notiunea de unghi orientat a doivectori. El se de�neste astfel:

De�nition

Fie u, v ∈ V. Consideram o baza pozitiva {i , j} in spatiul liniargenerat de cei doi vectori. Presupunem ca u = x1i + x2j siv = y1i + y2j . Unghiul orientat al vectorilor u, v este dat deformulele:

cosϕ =< u, v >

‖ u ‖‖ v ‖,

sinϕ =

∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣‖ u ‖‖ v ‖

,

ϕ ∈ [−π, π].

Se poate demonstra ca de�nitia anterioara nu depinde de bazapozitiva in raport cu care sunt descompusi vectorii.

Page 11: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Proprietatile produsului vectorial

Theorem

Urmatoarele proprietati au loc pentru orice vectori si orice scalari

reali:

1) u × v = 0 ⇔ u, v sunt vectori coliniari;

2) v × u = −u × v ; (antisimetria sau anticomutativitatea)

3) × : V × V → V este aplicatie biliniara:

(αu + βv)× w = α(u × w) + β(v × w),

w × (αu + βv) = α(w × u) + β(w × v).

Page 12: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Expresia in coordonate a produsului vectorial

Theorem

Fie B = {i , j , k}o baza ortonormata, pozitiva. Daca

u = x1i + x2j + x3k si v = y1i + y2j + y3k , atunci

u × v =

∣∣∣∣∣∣i j k

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣ .

Observatie: Produsul scalar a doi vectori nu depinde de bazapozitiva in raport cu care sunt date coordonatele lor.

Page 13: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Expresia in coordonate a produsului vectorial

Theorem

Fie B = {i , j , k}o baza ortonormata, pozitiva. Daca

u = x1i + x2j + x3k si v = y1i + y2j + y3k , atunci

u × v =

∣∣∣∣∣∣i j k

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣ .

Observatie: Produsul scalar a doi vectori nu depinde de bazapozitiva in raport cu care sunt date coordonatele lor.

Page 14: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Proprietatile produsului vectorial

Theorem

(Formula dublului produs vectorial)

u × (v × w) =< u,w > v− < u, v > w .

Corollary

Produsul vectorial nu este asociativ.

Intr-adevar u × (v ×w) este un vector coplanar cu vectorii v , w , pecand (u × v)× w = −w × (u × v) este coplanar cu u, v .

Theorem

Are loc identitatea lui Jacobi:

u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0, ∀u, v , w ∈ V.

Page 15: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Proprietatile produsului vectorial

Theorem

(Formula dublului produs vectorial)

u × (v × w) =< u,w > v− < u, v > w .

Corollary

Produsul vectorial nu este asociativ.

Intr-adevar u × (v ×w) este un vector coplanar cu vectorii v , w , pecand (u × v)× w = −w × (u × v) este coplanar cu u, v .

Theorem

Are loc identitatea lui Jacobi:

u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0, ∀u, v , w ∈ V.

Page 16: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatie

AplicatieDeterminati vectorul liber u care satisface conditiile:i) este ortogonal pe vectorii a = 2i + 3j − k si b = i − j + 3k ;ii) formeaza un unghi obtuz cu i ;iii) ‖ u ‖=

√138.

Indicatii: Din conditiile u coliniar cu a × b, deci u = α(a × b),α ∈ R, < u, i >< 0, ‖ u ‖=

√138, se obtine

u = −a × b = −8i + 7j + 5k .

Page 17: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatie

AplicatieDeterminati vectorul liber u care satisface conditiile:i) este ortogonal pe vectorii a = 2i + 3j − k si b = i − j + 3k ;ii) formeaza un unghi obtuz cu i ;iii) ‖ u ‖=

√138.

Indicatii: Din conditiile u coliniar cu a × b, deci u = α(a × b),α ∈ R, < u, i >< 0, ‖ u ‖=

√138, se obtine

u = −a × b = −8i + 7j + 5k .

Page 18: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Ecuatia vectoriala < a, x >= m

Theorem

Ecuatia vectoriala < a, x >= m, a ∈ V, a 6= 0, m ∈ R are o

in�nitate de solutii.

Demonstratie: deoarece [a]⊕ [a]⊥ = V, vectorul �necunoscut� x sepoate descompune in mod unic sub forma

x = w + prax , w ∈ [a]⊥ ⇔ x = w + αa, α ∈ R.

Am notat cu [a] subspatiul liniar generat de a si cu [a]⊥

suplementul sau ortogonal in V. Din w ⊥ a⇒< x , a >= 0 + α ‖ a ‖2⇒ α = m

‖a‖2 . Deci solutia generala aecuatiei este

x = w +m

‖ a ‖2a, w ⊥ a.

w este nedeterminat in [a]⊥ ⇒ ecuatia are o in�nitate de solutii.Oana Constantinescu Lectia IV

Page 19: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Ecuatia vectoriala < a, x >= m

Theorem

Ecuatia vectoriala < a, x >= m, a ∈ V, a 6= 0, m ∈ R are o

in�nitate de solutii.

Demonstratie: deoarece [a]⊕ [a]⊥ = V, vectorul �necunoscut� x sepoate descompune in mod unic sub forma

x = w + prax , w ∈ [a]⊥ ⇔ x = w + αa, α ∈ R.

Am notat cu [a] subspatiul liniar generat de a si cu [a]⊥

suplementul sau ortogonal in V. Din w ⊥ a⇒< x , a >= 0 + α ‖ a ‖2⇒ α = m

‖a‖2 . Deci solutia generala aecuatiei este

x = w +m

‖ a ‖2a, w ⊥ a.

w este nedeterminat in [a]⊥ ⇒ ecuatia are o in�nitate de solutii.Oana Constantinescu Lectia IV

Page 20: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Ecuatia vectoriala a× x = b

Theorem

Dati vectorii ortogonali a ⊥ b, a 6= 0, ecuatia vectoriala a × x = b

are o in�nitate de solutii.

Demonstratie:Presupunem ca b 6= 0. Se stie ca {a, b, a× b} este o baza pozitiva.Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza

x = αa + βb + γa × b, α, β, γ ∈ R.

Deci a × (αa + βb + γa × b) = b ⇔βa × b + γ(< a, b >︸ ︷︷ ︸

=0

a− ‖ a ‖2 b) = b ⇔

βa × b − (γ ‖ a ‖2 +1) = 0. Deci β = 0 si γ = − 1

‖a‖2 .

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 21: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Ecuatia vectoriala a× x = b

Theorem

Dati vectorii ortogonali a ⊥ b, a 6= 0, ecuatia vectoriala a × x = b

are o in�nitate de solutii.

Demonstratie:Presupunem ca b 6= 0. Se stie ca {a, b, a× b} este o baza pozitiva.Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza

x = αa + βb + γa × b, α, β, γ ∈ R.

Deci a × (αa + βb + γa × b) = b ⇔βa × b + γ(< a, b >︸ ︷︷ ︸

=0

a− ‖ a ‖2 b) = b ⇔

βa × b − (γ ‖ a ‖2 +1) = 0. Deci β = 0 si γ = − 1

‖a‖2 .

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 22: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Ecuatia vectoriala a× x = b

Solutia generala a ecuatiei este:

x = αa − 1

‖ a ‖2a × b, α ∈ R.

Daca b = 0, atunci a × x = 0 ⇒ x = λa, λ ∈ R.

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 23: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Schimbari de baze ortonormate in spatiu

Date doua baze ortonormate in plan, {i , j} si {i ′, j ′}, am vazut caputem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta,elementele acesteia �ind functiile trigonometrice sin si cos aleunghiului orientat dintre i si i

′.

Daca B = {i , j , k} si B ′ = {i ′, j ′, k ′} sunt doua baze ortonormatein spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determinamatricea de trecere de la B la B ′ in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ,numite unghiurile lui Euler.Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata,nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe.Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed.Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa de�nirea intr-un cursulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice seobtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu.

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 24: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Schimbari de baze ortonormate in spatiu

Date doua baze ortonormate in plan, {i , j} si {i ′, j ′}, am vazut caputem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta,elementele acesteia �ind functiile trigonometrice sin si cos aleunghiului orientat dintre i si i

′.

Daca B = {i , j , k} si B ′ = {i ′, j ′, k ′} sunt doua baze ortonormatein spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determinamatricea de trecere de la B la B ′ in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ,numite unghiurile lui Euler.Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata,nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe.Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed.Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa de�nirea intr-un cursulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice seobtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu.

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 25: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Schimbari de baze ortonormate in spatiu

Date doua baze ortonormate in plan, {i , j} si {i ′, j ′}, am vazut caputem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta,elementele acesteia �ind functiile trigonometrice sin si cos aleunghiului orientat dintre i si i

′.

Daca B = {i , j , k} si B ′ = {i ′, j ′, k ′} sunt doua baze ortonormatein spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determinamatricea de trecere de la B la B ′ in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ,numite unghiurile lui Euler.Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata,nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe.Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed.Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa de�nirea intr-un cursulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice seobtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu.

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 26: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Unghiurile lui Euler

B = {i , j , k} si B ′ = {i ′, j ′, k ′} doua baze in V. Daca k este

coliniar cu k′atunci planele vectoriale generate de i , j , respectiv

i′, j′coincid, deci problema se reduce la schimbarea de baze

ortonormate in plan.

Vom trata in continuare cazul in care k si k′sunt necoliniare.

Page 27: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Unghiurile lui Euler

Aplicam planele generate de (i , j) si (i′, j′) intr-un acelasi punct.

Dreapta lor de intersectie se numeste linia nodurilor si notam cu n

versorul ei.

De�nition

Unghiurile lui Euler sunt:θ = ∠(k , k

′) ∈ [0, π], ϕ = ∠o(i , n) ∈ [−π, π], ψ = ∠o(n, i

′) ∈

[−π, π].

Observam ca doua dintre ele sunt unghiuri orientate, iar unulneorientat.

Page 28: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Unghiurile lui Euler

Vom determina aceste unghiuri astfel:

n ∈ [i , j ]⇒ n ⊥ k , n ∈ [i′, j′]⇒ n ⊥ k

′, deci n =

k × k′

‖ k × k′ ‖

=k × k

sin θ.

n ∈ [i , j ], ϕ = ∠o(i , n)⇒ n = i cosϕ+ j sinϕ.

n ∈ [i′, j′], −ψ = ∠o(i

′, n)⇒ n = i

′cosψ + j

′sinψ.

Pentru a determina θ folosim

cos θ =< k , k′> .

Pentru ϕ stim ca

cosϕ =< i , n >, sinϕ =‖ i × n ‖ .

Aceleasi formule le folosim pentru ψ, dar trebuie sa avem grija saexprimam n in functie de {i ′, j ′}.

Page 29: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Aplicatii

Example

Veri�cati identitatea Lagrange:‖ u × v ‖2 + < u, v >2=‖ u ‖2‖ v ‖2 .

Indicatii: Se utilizeaza relatiile ‖ u × v ‖=‖ u ‖‖ v ‖ sin(u, v),< u, v >=‖ u ‖‖ v ‖ cos(u, v).

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 30: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Aplicatii

Example

Veri�cati identitatea Lagrange:‖ u × v ‖2 + < u, v >2=‖ u ‖2‖ v ‖2 .

Indicatii: Se utilizeaza relatiile ‖ u × v ‖=‖ u ‖‖ v ‖ sin(u, v),< u, v >=‖ u ‖‖ v ‖ cos(u, v).

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 31: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Orientarea spatiului E3

De�nitia produsului vectorial. ProprietatiRezolvari de ecuatii vectoriale

Schimbari de baze ortonormate in spatiuAplicatii

Aplicatii

Example

Veri�cati identitatea Lagrange:‖ u × v ‖2 + < u, v >2=‖ u ‖2‖ v ‖2 .

Indicatii: Se utilizeaza relatiile ‖ u × v ‖=‖ u ‖‖ v ‖ sin(u, v),< u, v >=‖ u ‖‖ v ‖ cos(u, v).

Oana Constantinescu Lectia IV

Page 32: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii:a) a = 2u + 3v si b = u − 4v , unde u, v sunt vectori unitariperpendiculari intre ei;b) a = 2i + j − 3k si b = 4i + j + k , unde {i , j , k} este o bazaortonormata pozitiva in V.

Indicatii: a)a × b = −11u × v ⇒‖ a × b ‖= 11 ‖ u ‖‖ v ‖ sin(u, v) = 11.b) Se calculeaza a × b, apoi norma sa si se obtine rezultatul 2

√91.

Page 33: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii:a) a = 2u + 3v si b = u − 4v , unde u, v sunt vectori unitariperpendiculari intre ei;b) a = 2i + j − 3k si b = 4i + j + k , unde {i , j , k} este o bazaortonormata pozitiva in V.

Indicatii: a)a × b = −11u × v ⇒‖ a × b ‖= 11 ‖ u ‖‖ v ‖ sin(u, v) = 11.b) Se calculeaza a × b, apoi norma sa si se obtine rezultatul 2

√91.

Page 34: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Demonstrati pe cale vectoriala teorema sinusului intr-un triunghi.

Indicatii: Fie triunghiul ABC si notam ‖−→BA ‖= c , ‖

−→BC ‖= a,

‖−→AC ‖= b.

σ(ABC ) =‖−→BA×

−→BC ‖=‖

−→BA× (

−→BA +

−→AC ) ‖=‖

−→BA×

−→AC ‖ .

Rezulta ca ac sinB = cb sinA⇒ a

sinA= b

sinB.

Analog se demonstreaza ca a

sinA= c

sinC.

Page 35: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Demonstrati pe cale vectoriala teorema sinusului intr-un triunghi.

Indicatii: Fie triunghiul ABC si notam ‖−→BA ‖= c , ‖

−→BC ‖= a,

‖−→AC ‖= b.

σ(ABC ) =‖−→BA×

−→BC ‖=‖

−→BA× (

−→BA +

−→AC ) ‖=‖

−→BA×

−→AC ‖ .

Rezulta ca ac sinB = cb sinA⇒ a

sinA= b

sinB.

Analog se demonstreaza ca a

sinA= c

sinC.

Page 36: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Fie A(1, 2, 3) un punct in spatiu ale carui coordonate suntexprimate in raport cu un reper ortonormat pozitiv R = {O; i , j , k}si o dreapta (d) care trece prin B(1, 2, 1) si este paralela cua = 2i + j . Determinati distanta de la punctul A la dreapta (d).

Indicatii: Fie C pe dreapta d astfel incat a =−→BC si D astfel incat

ABCD este paralelogram. Scriind in doua moduri aria acestuia, se

obtine d(A, d) =√10

5.

Page 37: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Fie A(1, 2, 3) un punct in spatiu ale carui coordonate suntexprimate in raport cu un reper ortonormat pozitiv R = {O; i , j , k}si o dreapta (d) care trece prin B(1, 2, 1) si este paralela cua = 2i + j . Determinati distanta de la punctul A la dreapta (d).

Indicatii: Fie C pe dreapta d astfel incat a =−→BC si D astfel incat

ABCD este paralelogram. Scriind in doua moduri aria acestuia, se

obtine d(A, d) =√10

5.

Page 38: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Fie baza artonormata pozitiva B = {i , j , k} si vectoriii′

= 1

3(−i + 2j + 2k), j

′= 1

3(2i − j + 2k), k

′= 1

3(2i + 2j − k).

Veri�cati ca B ′ = {i ′, j ′, k ′} este o baza ortonormata sideterminati unghiurile lui Euler de trecere de la B la B ′.

Indicatii: Prin calcul direct se veri�ca ‖ i ‖=‖ j ‖=‖ k ‖= 1 si< i , j >< i , k >=< j , k >= 0.

θ = arccos(−1

3), n =

k × k′

‖ k × k′ ‖

=

√2

2(−i + j).

ϕ = ∠o(i , n)⇒ cosϕ = −√2

2, sinϕ =

√2

2⇒ ϕ =

4.

ψ = ∠o(n, i′).

Page 39: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Example

Fie baza artonormata pozitiva B = {i , j , k} si vectoriii′

= 1

3(−i + 2j + 2k), j

′= 1

3(2i − j + 2k), k

′= 1

3(2i + 2j − k).

Veri�cati ca B ′ = {i ′, j ′, k ′} este o baza ortonormata sideterminati unghiurile lui Euler de trecere de la B la B ′.

Indicatii: Prin calcul direct se veri�ca ‖ i ‖=‖ j ‖=‖ k ‖= 1 si< i , j >< i , k >=< j , k >= 0.

θ = arccos(−1

3), n =

k × k′

‖ k × k′ ‖

=

√2

2(−i + j).

ϕ = ∠o(i , n)⇒ cosϕ = −√2

2, sinϕ =

√2

2⇒ ϕ =

4.

ψ = ∠o(n, i′).

Page 40: Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberioanacon/depozit/CursI_IV...Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia

Aplicatii

Pentru a calcula < n, i′> si ‖ n × i

′ ‖ trebuie sa descompunem pe

n in baza (i′, j′).

Matricea de trecere de la B la B ′ este

S =1

3

−1 2 22 −1 22 2 −1

⇒ √22

−110

= S

x ′

y ′

z ′

,

unde n = x ′i′

+ y ′j′

+ z ′k′. Deci x ′

y ′

z ′

= S t√2

2

−110

=

√2

2

1−10

.

Deci n =√2

2(i′ − j

′). Calculele conduc la

cosψ =

√2

2, sinψ =

√2

2⇒ ψ =

π

4.


Recommended