7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

1/12

1. VECTORI(RECAPITULARE)

1.1. VECTORI. EGALITATEA A DOI VECTORI.

ADUNAREA A DOI VECTORI

Segmentul orientat AB este segmentul [AB] pentru careA este origine iBeste vrf (extremitate).

Definiia 1. Mulimea tuturor segmentelor orientate care au aceeai lungime,aceeai direcie i acelai sens cu ale unui segment orientat se numetevector. Lungimea segmentului [

AB] se numete lungimea sau modulul

vectorului AB i se noteaz || AB ||; || AB || =AB.

Doi vectori u i v se numesc egali dac au aceeai lungime, direciei acelai sens i se noteaz u = v .

DreaptaAB numit dreapta suport, sau orice dreapt paralel cu dreapta

AB, definete direcia vectorului AB .

Sensul vectorului este indicat printr-o sgeat la unul dintre capetelesegmentului [AB].

Un vector este nul dac modulul su este nul i scriem:v = 0 || v || = v = 0.

Definiia 2. Doi vectori se numesc egali, dac au acelai modul, aceeaidirecie i acelai sens.

Orice vector i de modul 1 este unitar. Vectorul i de aceeai direcie

i acelai sens cu axa xx' constituie un vector unitar al acestei axe(fig. 1).

Definiia 3. Fie doi vectori. Numim sum a vectorilor a i b un vector

notat a +b , obinut astfel: A fiind un punct oarecare din spaiu se

construiesc vectorii AB = a i BC = b . Vectorul sum este vectorul

AC (fig. 2).

5

x xO

fig. 1

A

+

fig. 2B

C

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

2/12

Relaia lui Chasles. Pentru orice puncteA, M, B are loc relaia:

AM + MB = AB . Proprietile adunrii. Adunarea vectorilor are urmtoarele proprieti:1. Asociativitatea: pentru orice vectori u , v , w avem:

(u + v )+ w = u +( v + w ).2. Vectorul nul este element neutru pentru adunarea cu orice vector : u

u + 0 = 0 +u = u .

3. Orice vector nul u admite un opus unic notat u astfel nct:

u + ( u ) = (u ) + u = 0 .

4. Comutativitatea: pentru orice vectori u , v avem:u + v = v + u .

Mulimea vectorilor liberi are o structur de grup abelian mpreun cuadunarea vectorilor.

Raportul a doi vectori de aceeai direcie AB i CD este numrulreal k a crui valoare absolut este raportul modulelorAB i CD i alcrui semn este + sau dup cum AB i CD sunt de acelai sens saunu.

Raportul dintre un vector AB i un vector unitar u al unei axe deaceeai direcie xx' , reprezint msura algebric AB a vectorului

AB pe axa xx' .

Raportul a doi vectori paraleli este egal cu raportul msurilor loralgebrice pe orice ax de aceeai direcie.

Msura algebric a unui vector pe o ax este egal cu abscisa extremitiiminus abscisa originii sale.

Fiind dat vectorul AB i numrul real k 1, este un unic punct Mal

drepteiAB care mparte vectorul AB n raportul k, adic:

kMB

MA= MBkMA =

k

kba

k

kOBOAOM

=

=

11.

6

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

3/12

1.2. NMULIREA VECTORILOR CU UN SCALAR.DIVIZIUNE ARMONIC

Definiie. Vectorul u , unde R, este vectorul care are: modulul | | || u ||; aceeai direcie cu vectorul u ; sensul lui u , cnd > 0 i sens contrar lui u , cnd < 0.

Operaia care asociaz oricrui vector i oricrui numr real produsul lorse numete nmulirea vectorilor cu scalari.

Produsul u = 0, dac i numai dac = 0 sau a = 0 .nmulirea vectorilor cu scalari are urmtoarele proprieti:1. 0 = 0 i 0 u = 0 , (),R, () u .2. ( u ) = ( u ) = ( ) u , (),R, ()u .3. ( + ) u = u + u , (),R, ()u .4. (u + v ) = u + v , ()R, ()u , v .

Doi vectori care au aceeai direcie, fr a avea neaprat acelai modul iacelai sens, se numesc vectori coliniari.

Doi vectori u , v sunt coliniari dac i numai dac exist ,Rastfel nct u = v sau v = u .

Doi vectori care au aceeai direcie, spunem, c sunt necoliniari.Fie punctele oarecareA, B i C.1. DacA, B, Csunt coliniare, atunci vectorii AB i AC sunt coliniari.

2. Dac vectorii AB i AC sunt coliniari, atunci punctele A, B i Csunt coliniare.

3. PuncteleA, B, Csunt coliniare dac exist Rastfel nct AC =

AB .FieA, B, C, D patru puncte distincte:1. Dac dreptele AB i CD sunt paralele, atunci vectorii AB i CD

sunt coliniari.2. Dac vectorii AB i DC sunt coliniari, atunci dreptele AB i DC

sunt paralele.

7

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

4/12

Fie segmentul [AB] iMun punct pe acest segment pentru care kMB

AM= ,

adic: MBkAM = . De aici deducem:

+

+=

+

+=

k

kyyy

k

kxxx

BAM

BAM

1

1

1.4. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Definiie. Se numete produs scalar a doi vectori u , v numrul real dat deprodusul modulelor (lungimilor) celor doi vectori prin cosinusul unghiului pecare l formeaz.

Produsul scalar se noteaz prin: u v i avem:u v = ||u || || v || cos .

Produsul scalar al vectorului u prin el nsui este ptratul scalar u 2,deci u 2 = u u = u2, unde u = ||u ||.

n particular, ptratul scalar al unui vector unitar este egal cu 1:

|| i || = 1 i 2 = 1.

Produsul scalar a doi vectori unitari este egal cu cosinusul unghiului lor.

|| i || = 1 i || j || = 1 i j = cos .

Pentru ca doi vectori nenuli s aib produsul scalar nul, este necesar isuficient ca aceti vectori s fie ortogonali.

Teorem. Produsul scalar a doi vectori este egal cu produsul msuriloralgebrice ale unuia din vectori prin proiecia ortogonal a celuilalt pe el.

Dac nlocuim unul din vectori prin proiecia sa ortogonal pe suportulceluilalt, nu se schimb produsul scalar.

Msura algebric a proieciei ortogonale a unui vector pe o ax esteprodusul scalar dintre acest vector i vectorul unitar al axei.

Proprietile produsului scalar:

8

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

5/12

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

6/12

Rezolvare. Se tie c cele dou triunghiuri ABCiDEFau acelai centru degreutate. Fie acesta punctul G. Deci, avem: MCMBMA ++ = 3 MG , MFMEMD ++ = 3 MG ,

de unde rezult egalitatea cerut.2. Fie segmentul [AB] i pe el un punct M care-l mparte n raportul

kMB

AM= . Considernd un punct arbitrarO, s se arate c:

( )OBkOAk

OM ++

=

1

1.

Soluie. Avem relaiile:

AMOAOM += (1)

MBkAM = (2)

OMOBMB = (3)

Deci: MBkOAOM += = ( )OMOBkOA +

OBkOAkOM +=+ )1( ( )OBkOAk

OM ++

=

1

1.

3. Fiind dat un triunghi oarecare ABCn care notm cu O centrul cercului

circumscris i cu H ortocentrul su, s se arate c: OA+OB +OC =OH .

Rezolvare. FieD mijlocul laturile [BC] i Osimetricul lui O fa deBC. Se observ c:

OB +OC = 'OO = 2OD .

DarOD =2

1AH , deci 'OO = AH , adic

OAHOeste un paralelogram. De aici rezult c:

OA+ 'OO =OH sau innd seama c'OO =OB +OC rezult c OA+OB +OC =OH .

4. Fiind dat triunghiul ABC, condiia necesar i suficient ca G s fiecentrul de greutate al triunghiului este ca 0=++ GCGBGA . (1)

Rezolvare. Cum G este centrul de greutate, atunci:

0=++ GCGBGA , GPGBGA 2=+ i

=+=++ GCGPGCGBGA 2

10

A

fig. 5

M

O

B

B

fig. 7

A

C

G

NP

M

B

OC

O

D

H

A

fig. 6

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

7/12

= =++ GCGBGA )(2

12 0=+ GCGC .

Avem 0=++ GCGBGA i CGGBGA =+ . Dar GPGBGA 2=+

, prin urmare CG este coliniar cu GP , adic G este situat pe medianaCP. Analog se arat c G este pe mediana AM, deci G este punctul deconcuren al medianelor.

5. Fie ABC un paralelogram, M un punct pe (AB) distinct de A i B, Nproiecia lui Mpe (BC) paralel cu (AC),Pproiecia lui Npe (CD) paralelcu (BD) i Q proiecia luiPpe (DA) paralel cu (AC).

Care este proiecia lui Q pe (AB) paralel cu (BD)?Presupunei un rezultat i-l demonstrai.

Rezolvare. S presupunem c proiecia lui Qpe (AB) paralel cu (BD) esteMi s demon-strm aceast afirmaie. Pentru aceasta estesuficient s demonstrm c: (MQ) || (BD) sau

AD

AQ

AB

AM= ,MA iMB, deciMN,NP,

PQ, QM. Aadar, drepteleMN, NP, PQ, QM

sunt definite. CB

CN

AB

AM=

conform teoremei lui Thales,cci MN || AC. Dar, deoarece NP || BD, conform teoremei lui Thales avem

CD

CP

CB

CN= . Pe de alt parte PQ || AC, deci conform teoremei lui Thales

avemAD

AQ

CD

CP= . Prin urmare MQ || BD conform teoremei lui Thales i

deci proiecia lui Q peAB paralel cuBD esteM. Rezult cMNPQ este un

paralelogram.6. Dac G este centrul de greutate al triunghiului ABCiMeste un punctoarecare al planului triunghiului, s se demonstreze c

MA + MB + MC = 3 MG .

Rezolvare. Avem MA = MG+GA , MB = MG+GB

i MC = MG+GC . Adunnd aceste relaii membru

cu membru, obinem c MA + MB + MC =

11

fig. 8

NP

Q M

B

A

D

C

Bfig. 9

AM

C

G

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

8/12

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

9/12

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

10/12

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

11/12

7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap

12/12

1. Care este condiia necesar i suficient pentru ca trei vectori a , b , c s formeze un triunghi?

2. PuncteleA(1, 2),B(2, 0), C(0, 1) sunt mijloacele laturilor unui triunghi.S se gseasc coordonatele vrfurilor.

3. Se d un paralelogramABCD i un punctMoarecare n spaiu. S se aflesuma MDMCMBMAs +++= .

4. Fiind dai vectorii a , b liniar independeni, care este condiia necesar

i suficient pentru ca vectorii u = a + b , v = a + b s fiecoliniari.

5. Fie urmtorii vectori din R3:1v (1, 0), 2v (0, 1), 3v (4, 2). S se

determine i astfel nct 3v = 1v + 2v .

16