Tripa Rm Cursii

7/15/2019 Tripa Rm Cursii

http://slidepdf.com/reader/full/tripa-rm-cursii 1/274

PAVEL TRIPA R

M

25T

A

E

Z

R E Z I S T E N Ţ A

MATERIALELOR

Solicitări compuse, deformaţii, stabilitate, şoc,oboseală, vase de rotaţie, tuburi cu pereţi groşi,

solicitări peste limita de elasticitate

M

O N O G R A F I I

R E Z M A T

Re

Ri pi

σr i = - pi

σt i

σt e

Editura MIRTONTimişoara, 2001



Referenţi ştiinţifici:

Prof. univ. dr. ing. Eur. Ing. Tiberiu BABEUMembru al Academiei de Ştiinţe Tehnice din România

Prof. univ. dr. ing. Constantin CRISTUINEA

Tehnoredactare computerizată: Prof. univ. dr. ing. Pavel TRIPA

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale

TRIPA, PAVEL

Rezistenţa materialelor / Pavel Tripa – Timişoara

Mirton, 1999-2001

2 vol; 24 cm.

ISBN 973-578-915-9

Vol. 2. – 2001 – 276 p. – Bibliogr. – ISBN 973-585-342-6

539.4



C U P R I N S

Prefaţă …...................................………………………………………………... 61. SOLICITĂRI COMPUSE …………………………………………………... 8

1.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 81.2 Tracţiunea – compresiunea excentrică ………………………………………… 91.3 Sâmburele central ……………………………………………………………… 14

1.3.1 Sâmburele central pentru suprafaţa dreptunghiular ă ………………… 151.3.2 Sâmburele central pentru suprafaţa circular ă ………………………. 161.3.3 Sâmburele central pentru suprafaţa I simetrică …………………….. 181.3.4 Tensiuni normale extreme în secţiune, exprimate funcţie de limitele

limitele sâmburelui central …………………………………………. 191.4 Teorii de rezistenţă. Încovoiere cu torsiune …………………………………… 21

1.4.1 Teorii de rezistenţă …………………………………………………. 211.4.2 Încovoierea cu torsiune …………………………………………….. 24

1.5 Aplicaţii ………………………………………………………………………... 27 2. METODE PENTRU CALCULUL DEPLASĂRILOR ………………….. 42 2.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 422.2 Metode clasice pentru calculul deplasărilor barelor drepte solicitate la

încovoiere ……………………………………………………………………… 432.2.1 Metoda dublei integr ări ……………………………………………… 432.2.2 Metoda parametrilor iniţiali …………………………………………. 472.2.3 Metoda grinzii conjugate ……………………………………………. 52

2.3 Metoda sarcinii unitare ………………………………………………………… 602.3.1 Procedeul Mohr – Maxwell ………………………………………….. 612.3.2 Regula de integrare Veresceaghin …………………………………… 66

2.4 Sisteme static nedeterminate …………………………………………………... 702.5 Aplicaţii ………………………………………………………………………... 74 3. STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC. FLAMBAJUL ………... 84 3.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 843.2 Calculul for ţei critice de flambaj la barele drepte zvelte solicitate la

compresiune axială …………………………………………………………….. 85

3.2.1 Bara articulată la ambele capete ……………………………………... 853.2.2 Bara înţepenită la un capăt şi liber ă la celălalt ………………………. 873.2.3 Bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt …………………... 883.2.4 Bara înţepenită la ambele capete …………………………………….. 91

3.3 Limitele de valabilitate ale formulei lui Euler. Flambajul elastic şi plastic …… 953.3.1 Flambajul elastic …………………………………………………….. 953.3.2 Flambajul plastic. Relaţiile Tetmajer – Iasinski ……………………... 96

3.4 Calculul la flambaj …………………………………………………………….. 983.4.1 Calculul în domeniul elastic şi plastic ……………………………….. 98

3.4.2 Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj ϕ ………... 1003.5 Flambajul barelor sub acţiunea for ţelor excentrice ……………………………. 101

3.6 Flambajul lateral al grinzilor subţiri solicitate la încovoiere …………………... 1043.7 Aplicaţii ………………………………………………………………………... 108

3



4. SOLICITĂRI DINAMICE ………………………………………………….. 112 4.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 1124.2 Solicitări prin for ţe de iner ţie ………………………………………………….. 112

4.2.1 Calculul cablului de ascensor sau de macara ………………………... 1144.2.2 Calculul volantului în mişcarea de rotaţie …………………………… 1154.2.3 Calculul barei în mişcarea de rotaţie în jurul unei axe perpendiculare

pe planul său …………………………………………………………. 1184.2.4 Calculul bielei motoare ……………………………………………… 121

4.3 Solicitări produse de variaţii rapide ale acceleraţiei …………………………… 1234.3.1 Consideraţii generale ………………………………………………… 1234.3.2 Întinderea (compresiunea) prin şoc ………………………………….. 1244.3.3 Încovoierea prin şoc …………………………………………………. 1274.3.4 Torsiunea prin şoc …………………………………………………… 1294.3.5 Calculul arcului elicoidal cu spire strânse solicitat la şoc …………… 131

4.3.6 Efectul masei corpului lovit asupra solicitării prin şoc ……………… 1334.4 Aplicaţii ………………………………………………………………………... 136 5. SOLICITĂRI VARIABILE ………………………………………………… 144 5.1 Cicluri ale solicitărilor variabile ……………………………………………….. 1445.2 Oboseala materialelor ………………………………………………………….. 1475.3 Rezistenţa la oboseală. Curba lui Wºhler

……………………………………...147

5.4 Diagramele rezistenţelor la oboseală ………………………………………….. 1505.5 Schematizarea diagramelor rezistenţelor la oboseală …………………………. 152

5.5.1 Schematizări ale diagramei Haigh …………………………………… 1535.5.2 Schematizarea diagramei Smith ……………………………………... 154

5.6 Factorii care influenţează rezistenţa la oboseală ………………………………. 1555.7 Calculul la oboseală. Calculul coeficientului de siguranţă ……………………. 158

5.7.1 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Soderberg,criteriul R = const. …………………………………………………… 161

5.7.2 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Serensen,criteriul R = const. …………………………………………………… 162

5.7.3 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile compuse … 1645.8 Calculul la durabilitate limitată ………………………………………………... 166

5.9 Aplicaţi ………………………………………………………………………… 168 6. CALCUL PLĂCILOR PLANE IZOTROPE …………………………….. 172 6.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 1726.2 Calculul la încovoiere al plăcilor circulare încărcate simetric ………………… 173

6.2.1 Relaţii între tensiuni şi deformaţii specifice …………………………. 1736.2.2 Echilibrul elementului de placă ……………………………………… 1766.2.3 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniform distribuită

şi încastrată pe contur ……………………………………………….. 1836.2.4 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniform distribuită şi

simplu rezemată pe contur …………………………………………… 1876.2.5 Calculul plăcii circulare încărcată cu o for ţă concentrată în centru şi

4



înţepenită pe contur ………………………………………………….. 1916.3 Calculul la încovoiere al plăcilor dreptunghiulare …………………………….. 1946.4 Calculul la şoc al plăcilor plane ……………………………………………….. 1966.5 Calculul aproximativ al plăcilor plane ………………………………………… 197

6.5.1 Calculul aproximativ al plăcii circulare simplu rezemată pe contur şi

încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe o suprafaţă circular ă în jurul centrului plăcii …………………………………………………. 198

6.5.2 Calculul aproximativ al plăcii dreptunghiulare simplu rezemată pecontur ………………………………………………………………… 200

7. VASE DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI ………………………. 202 7.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 2027.2 Calculul vaselor de revoluţie cu pereţi subţiri …………………………………. 203 8. TUBURI CU PEREŢI GROŞI …………………………………………….. 210

8.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 2108.2 Tubul cilindric cu perete gros supus la presiune interioar ă şi exterioar ă ……… 210

8.2.1 Tubul cilindric supus numai la presiune interioar ă ………………….. 2158.2.2 Tubul cilindric supus numai la presiune exterioar ă …………………. 217

8.3 Tuburi cilindrice fretate ……………………………………………………….. 2198.4 Tensiuni termice în tubul cu perete gros ………………………………………. 2238.5 Vase sferice cu pereţi groşi ……………………………………………………. 228 9. SOLICITĂRI PESTE LIMITA DE ELASTICITATE …………………. 234 9.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 2349.2 Schematizarea diagramelor caracteristice ……………………………………... 2389.3 Calculul în domeniul elasto – plastic ………………………………………….. 2429.4 Criterii de plasticitate ………………………………………………………….. 2489.5 Solicitări simple în domeniul elasto – plastic ………………………………….. 250

9.5.1 Tracţiunea sau compresiunea în domeniul elasto – plastic ………….. 2509.5.2 Încovoierea barelor drepte în domeniul elasto – plastic …………….. 2519.5.3 Tensiuni şi deformaţii remanente la încovoiere în domeniul elasto –

plastic ………………………………………………………………... 2579.5.4 Torsiunea barelor drepte circulare în domeniul elasto – plastic ……... 259

9.5.5 Tensiuni remanente în cazul r ăsucirii barei drepte circulare îndomeniul elasto – plastic …………………………………………….. 2619.5.6 R ăsucirea simplă a unei bare drepte de secţiune transversală oarecare

în domeniul elasto – plastic ………………………………………….. 2629.6 Tubul cu perete gros supus la presiune interioar ă, în domeniul elasto – plastic . 2659.7 Cedarea sistemelor alcătuite din bare drepte, solicitate la încovoiere …………. 269

BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………... 274

5



Prefaţă

Prezenta lucrare constituie, de fapt, volumul II, din Rezistenţa Materialelor, primul

volum apărând în anul 1999 la Editura “MIRTON” din Timişoara, prin contribuţia

aceluiaşi autor.

Primul volum de Rezistenţa Materialelor se întinde pe parcursul a nouă capitole:

Noţiuni introductive (Cap. 1), For ţe interioare. Diagrame de eforturi (Cap. 2),

Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane (Cap.3), Caracteristici mecanice ale

metalelor (Cap.4), Tracţiunea şi compresiunea barelor drepte (Cap.5), Forfecarea

pieselor de grosime mică (Cap. 6), Încovoierea barelor plane (Cap. 7), Torsiunea barelor drepte (Cap. 8), Noţiuni de teoria elasticităţii (Cap. 9).

Acest volum este structurat tot pe nouă capitole: Solicitări compuse (Cap. 1),

Metode pentru calculul deplasărilor (Cap. 2), Stabilitatea echilibrului elastic. Flambajul

(Cap. 3), Solicitări dinamice (Cap. 4), Solicitări variabile (Cap. 5), Calculul plăcilor plane

izotrope (Cap. 6), Vase de revoluţie cu pereţi subţiri (Cap.7), Tuburi cu pereţi groşi (Cap.

8), Solicitări peste limita de elasticitate (Cap. 9).

Prin apariţia acestei lucr

ări, autorul a reu

şit s

ăfinalizeze o lucrare, de mare

utilitate şi necesitate, în două volume în care sunt tratate toate noţiunile de bază

necesare a fi însuşite de către viitorii ingineri mecanici. Din acest punct de vedere, cele

două volume de Rezistenţa Materialelor, se adresează în primul rând studenţilor de la

facultăţile de inginerie mecanică. Ele pot fi însă consultate şi de către studenţii altor

facultăţi care studiază disciplina de Rezistenţa Materialelor, de către inginerii din

producţie, proiectare sau cercetare.

Lucrarea dacă nu umple un gol, cel puţin întregeşte numărul lucr ărilor de

Rezistenţa Materialelor, scoase în decursul anilor de către cadrele didactice de la

Catedra de Rezistenţa Materialelor de la Facultatea de Mecanică din Timişoara.

În vederea elabor ării lucr ării de Rezistenţa Materialelor, autorul s-a bazat pe

experienţa sa proprie din activitatea didactică desf ăşurată cu studenţii, precum şi pe

cele mai reprezentative lucr ări din domeniu, apărute în ţar ă la diferite edituri.

6



Noţiunile teoretice sunt prezentate simplu, în logica lor firească, f ăcând astfel

lucrarea accesibilă unui număr mare de persoane şi cu un nivel de pregătire nu prea

ridicat.

Aproape toate capitolele lucr ării se finalizează cu prezentarea unor aplicaţii

model, astfel încât cei care o parcurg pot să-şi verifice nivelul cunoştinţelor însuşite în

urma parcurgerii atente a lucr ării. În aceste aplicaţii, accentul nu s-a pus pe efectuarea

calculelor numerice, ci pe însuşirea modului de abordare a problemei şi a parcurgerii

etapelor de rezolvare în ordinea lor firească.

Autorul este conştient de faptul că lucrarea poate fi îmbunătăţită atât sub aspectul

conţinutului cât şi al prezentării grafice, motiv pentru care î şi exprimă mulţumirea faţă de

toţi cei care vor veni cu sugestii şi aprecieri critice, în vederea ridicarii nivelului lucr ării

sub toate aspectele sale într-o nouă ediţie.

Autorul

7



PAVEL TRIPA - REZISTENŢA MATERIALELOR –

1. SOLICITĂRI COMPUSE

1.1 CONSIDERAŢII GENERALE

Dacă în secţiunea transversală a unui element de rezistenţă acţionează unsingur efort, atunci în acea secţiune se realizează o solicitare simplă (axială,forfecare, încovoiere, torsiune). Deoarece, în cele mai multe cazuri for ţatăietoare se neglijează, se poate considera că încovoierea cu for ţă tăietoare(încovoierea simplă) este o solicitare simplă.

Dacă însă în secţiunea transversală a elementului de rezistenţă acţionează două sau mai multe eforturi, în acea secţiune se realizează o solicitare compusă.Solicitarea compusă apare din acţiunea simultană a mai multor componente aleeforturilor din secţiunea transversală în diferite combinaţii (două, trei, patru,cinci sau chiar şase componente). În Fig.1.1-1 se prezintă starea generală desolicitare compusă, când în secţiunea transversală acţionează toatecomponentele eforturilor.

Miz

Ty

Tz

N

MiyMt

Fig.1.1-1

După cum se constată, unele eforturi la solicitarea compusă productensiuni normale σ ( N, M iz , M iy) iar altele (T z , T y , M tt ) tensiuni tangenţiale τ.

Dacă în secţiunea transversală acţionează eforturi care produc numaitensiuni de acelaşi fel, solicitarea compusă este de categoria I , iar dacă produc

tensiuni normale şi tangenţiale, solicitarea este compusă de categoria a II-a. Încele de categoria I, se încadrează solicitarea axială cu cea de încovoiere sau de

8




forfecare cu cea de torsiune. În categoria a II-a, cea mai r ăspândită esteîncovoierea simplă cu torsiunea.

Calculul de rezistenţă la solicitarea compusă, impune calculul tensiunilor cele mai mari din secţiunea transversală, care se determină cu relaţiile de calcul

ale solicitărilor simple.În cazul general de solicitare compusă, pentru bara dreaptă, starea detensiune într-un punct al acesteia poate fi considerată ca o stare plană. În acestcaz, calculul de rezistenţă se efectuează după teoriile stărilor de tensiune limită.De asemenea pentru solicitarea compusă de categoria I, încovoiere oblică sautracţiune (compresiune) cu încovoiere, starea de tensiune poate fi considerată liniar ă dacă se neglijează for ţa tăietoare, care eventual ar putea exista. Aici,criteriul stării limită utilizat este cel de la solicitarea de întindere saucompresiune simplă. În cazurile ce se vor prezenta în continuare, se va consideravalabil principiul independen ţ ei ac ţ iunii for ţ elor , ceea ce înseamn

ăcă

tensiunileşi deformaţiile la solicitarea compusă de categoria I, se vor determina prinînsumarea geometrică a tensiunilor şi deformaţiilor produse de fiecare efortexistent în secţiunea respectivă. Acest mod de calcul simplificat, poate fiacceptat numai pentru barele rigide, la care deformaţiile mici produse deîncărcări nu modifică semnificativ forma iniţială a barelor.

Încovoierea oblică care este un caz simplu de solicitare compusă decategoria I, a fost prezentat în volumul anterior al lucr ării RezistenţaMaterialelor, motiv pentru care nu se mai prezintă în acest volum. De altfel,studiul încovoierii oblice este un caz particular al celui care se prezintă încontinuare.

1.2 TRACŢIUNEA-COMPRESIUNEA EXCENTRICĂ

Se consider ă o bar ă dreaptă solicitată de o for ţă F normală la planulsecţiunii transversale a cărei direcţie nu coincide cu axa longitudinală a barei(Fig.1.2-1a).

Fz

a)

zF

N

z

N Miy

Miz

b)

Fig.1.2-1

9




Faţă de centrul de greutate al secţiunii transversale, punctul de aplicaţie alfor ţei excentrice F , are coordonatele ( z F , y F ). Reducând for ţa excentrică F încentrul de greutate al secţiunii transversale în care ea acţionează, se obţinetorsorul format dintr-o for ţă axială ( N = F ) şi două cupluri ( M iz , M iy). Torsorul

for ţelor este prezentat în Fig.1.2-1a. Valoarea acestora este:

N = FMiz = F ⋅ yF 1.2-1Miy = F ⋅ zF

Diagramele de eforturi în lungul barei pentru această situaţie, sunt prezentate în Fig.1.2-2a,b.

Mi

Miz = F yF

Miy = F zF

σMiy

σMizσ N

N

+

F

F

c)b) a)

Fig.1.2-2

Cum bara are secţiunea constantă, iar eforturile au aceeaşi valoare înoricare secţiune, rezultă că secţiunea periculoasă poate fi oricare. Calculul derezistenţă se efectuează în această secţiune. Deci eforturile din secţiunea

periculoasă sunt:

N = F

Miz = F ⋅ yF 1.2-2Miz = F ⋅ zF

Fiecare efort produce în secţiunea transversală a barei tensiuni normale σ,rezultând astfel o solicitare compusă de categoria I. Pentru cele trei eforturitensiunile se calculează cu relaţiile cunoscute de la solicitările simple:

A

F

A

N N ==σ 1.2-3a

10




yI

yFy

I

M

z

F

z

izMiz ⋅

⋅=⋅=σ 1.2-3b

zIzFz

IM

y

F

y

iyMiy ⋅⋅=⋅=σ 1.2-3c

Variaţia tensiunilor normale produse de cele trei eforturi sunt prezentateîn Fig.1.2-2c. Fiind tensiuni de acelaşi fel şi având aceeaşi direcţie (normală lasecţiunea transversală), tensiunea rezultantă într-un punct al secţiuniitransversale, se obţine prin însumarea algebrică a tensiunii normale produsă defiecare efort:

zI

zFy

I

yF

A

F

zI

My

I

M

A

N

y

F

z

F

y

iy

z

izMiyMiz Nrez

⋅⋅

±⋅⋅

±±

=⋅±⋅±±=σ+σ+σ=σ

1.2-4

În relaţia 1.2-4 apare semnul ± deoarece într-un punct oarecare al secţiuniitransversale, cele trei eforturi pot produce tensiuni normale de întindere (semnul

+) sau de compresiune (semnul -).Se poate uşor constata că, variaţia tensiunii normale rezultante pe secţiuneeste una liniar ă. Rezultând atât tensiuni de întindere cât şi de compresiune,înseamnă că există puncte în secţiunea transversală în care tensiunea este nulă.Locul geometric al acestor puncte reprezintă axa neutr ă. Ecuaţia axei neutrerezultă din relaţia 1.2-4, ca fiind ecuaţia tensiunii rezultante nule:

0zI

zFy

I

yF

A

F0

y

F0

z

Frez =⋅

⋅+⋅

⋅+=σ 1.2-5

În relaţia 1.2-5, z0 şi y0 reprezintă coordonatele unui punct situat pe axaneutr ă.

Această ecuaţie reprezintă ecuaţia unei drepte, iar reprezentarea ei grafică poate fi f ăcută prin intersecţia cu direcţiile principale:

intersec ţ ia cu direc ţ ia Gz :

F

2y

F

y

0

0

z

i

zA

I

z

0y

−=⋅

−=⇒

=

1.2-6a

11




intersec ţ ia cu direc ţ ia principal ă Gy:

F

2z

F

z0

0

yi

yAIy

0z

−=⋅

−=⇒

=

1.2-6b

Se constată că intersecţia axei neutre cu direcţiile principale ale secţiuniitransversale, are loc pe sensurile negative ale acestora. Din acest motiv trebuiestabilite sensurile pozitive ale direcţiilor principale de iner ţie. Acestea pot fifixate de la început, ceea ce poate complica calculul tensiunii normalerezultante, sau se aleg astfel încât ele să fixeze cadranul în care tensiunile

produse de cele trei eforturi să aibă acelaşi semn, adică toate să fie de întinderesau toate de compresiune. În cazul nostru vom opta pentru cea de-a douavariantă. Pentru problema pusă în discuţie (Fig.1.2-1a), cadranul determinat desensurile pozitive ale direcţiilor principale (cadranul în care toate eforturile

produc tensiuni de întindere, vezi şi Fig.1.2-2c) coincide cu cadranul Itrigonometric.

Poziţia axei neutre pentru cazul studiat, este prezentată în Fig.1.2-3.

σmax,C

Ty

axa neutră

C+

-

z0

y0

z

cadranul I

σmax,t

Fig.1.2-3

Poziţia axei neutre poate rezulta din relaţia 1.2-4 în funcţie de eforturi:

0zI

My

I

M

A

N0

y

iy0

z

iz =⋅+⋅+ 1.2-7

Procedând ca mai înainte, se obţin coordonatele punctelor de intersecţieale axei neutre cu direcţiile principale:

intersec ţ ia cu direc ţ ia principal ă Gz :

12




iy

y

0

0

M

N

A

I

z

0y

⋅−=

=

1.2-8a

intersec ţ ia cu direc ţ ia principal ă Gy:

iz

z0

0

M

N

A

Iy

0z

⋅−=

=

1.2-8b

Analizând ecuaţia axei neutre precum şi coordonatele punctelor deintersecţia ale axei neutre cu direcţiile principale de iner ţie ale secţiuniitransversale, rezultă următoarele:

poziţia axei neutre nu depinde de valoarea for ţei F poziţia axei neutre depinde de poziţia iniţială a punctului de aplicaţie al

for ţei, astfel:¾ dacă punctul de aplicaţie al for ţei F se apropie de centrul de

greutate al secţiunii, axa neutr ă se îndepărtează de centrul degreutate. Când for ţa se aplică în centrul de greutate, axa neutr ă se

află la infinit.¾ dacă punctul de aplicaţie al for ţei F se depărtează de centrul de

greutate al secţiunii, axa neutr ă se apropie de centrul de greutate.Dacă axa neutr ă intersectează direcţiile principale ale secţiunii, în secţiune

există tensiuni atât de întindere cât şi de compresiune. În cazul în care axa neutr ă nu intersectează secţiunea, tensiunile normale din secţiune sunt de acelaşi fel, fiede întindere fie de compresiune.

Rezultă că există o suprafaţă în jurul centrului de greutate al secţiunii, încare dacă este situat punctul de aplicaţie al for ţei F , axa neutr ă nu intersectează

secţiunea sau este cel mult tangentă la aceasta. Această suprafaţă din jurulcentrului de greutate în care aplicând for ţa F axa neutr ă este cel mult tangentă lasecţiune, reprezintă aşa numitul sâmbure central. Studiul sâmburelui central

pentru câteva suprafeţe simple se face într-un paragraf separat.Dacă for ţa excentrică F este aplicată pe o axă principală de iner ţie a

secţiunii, unul din momente este nul iar axa neutr ă este paralelă cu acea direcţie principală.

Calculul de rezistenţă la solicitarea compusă de categoria I, solicitareaxială cu încovoiere, impune calculul tensiunii rezultante maxime la întindererespectiv, la compresiune.

13




Pentru cazul analizat, punctul cel mai solicitat la întindere este colţul dincadranul I trigonometric (punctul T din Fig.1.2-3), iar cel mai solicitat lacompresiune este colţul din cadranul III trigonometric (punctul C din Fig.1.2-3).În aceste puncte, toate cele trei eforturi produc valori maxime ale tensiunilor. În

punctul T, efortul axial produce tensiuni maxime de întindere (de altfel aceleaşivalori în toate punctele), iar momentele încovoietoare, de asemenea tensiunimaxime de întindere. În punctul C , efortul axial produce tensiuni maxime deîntindere, iar momentele încovoietoare, tensiuni maxime de compresiune.

În punctele cele mai solicitate şi acestea trebuie stabilite, se pune condiţiade rezistenţă cunoscută:

acCcmax,

atTtmax,

σ≤σ=σ

σ≤σ=σ1.2-9

unde:σat – tensiunea admisibilă la întindereσac – tensiunea admisibilă la compresiune

Relaţiile explicite pentru calculul de rezistenţă sunt:

acy

iy

z

iz

at

y

iy

z

iz

zI

My

I

M

A

N

z

I

My

I

M

A

N

σ≤⋅±⋅±±

σ≤⋅±⋅±±

1.2-10

unde, y respectiv z , reprezintă coordonatele punctului în care se calculează tensiunea normală.

Variaţia pe secţiune a tensiunii normale rezultante este prezentată înFig.1.2-3.

Arcul elicoidal cu pas mic se poate încadra în solicitarea compusă decategoria I, unde toate tensiunile sunt de acelaşi fel, dar tangenţiale. Acest caz afost prezentat în cadrul capitolului de torsiune din primul volum al lucr ării.

1.3 SÂMBURELE CENTRAL

În cazul elementelor de rezistenţă, mai ales din construcţii, realizate dinmateriale care au rezistenţă mică la întindere (betoane simple, piatr ă naturală,căr ămidă etc.), este foarte important pentru acestea ca pe întreaga secţiunetransversală să se producă numai tensiuni de compresiune. În aceste condiţii,

trebuie precizată poziţia punctului de aplicaţie al for ţei normale, astfel ca pe

14




secţiune, tensiunile normale să fie de acelaşi fel. Altfel spus, trebuie determinatsâmburele central.

La stabilirea mărimii sâmburelui central, se porneşte de la relaţiile caredau intersecţia axei neutre cu direcţiile principale de iner ţie ale suprafeţei

secţiunii transversale (relaţiile 1.2-6a,b), numai că în acest caz ne interesează coordonatele ( z F ; y F ) ale punctului de aplicaţie al for ţei, cunoscând intersecţiaaxei neutre cu direcţiile principale.

1.3.1 Sâmburele central pentru suprafaţa dreptunghiulară

Suprafaţa dreptunghiular ă a secţiunii transversale de dimensiunile b,respectiv h, este prezentată în Fig. 1.3.1-1.

Cazul III

h

Cazul IV

h/6

h/6Sâmburelecentral

z

b/3

bCazul ICazul II

Fig.1.3.1-1

Relaţiile de calcul utilizate sunt relaţiile 1.2-6a,b:

F

z0

F

y0

yA

Iy

zA

Iz

⋅−=

⋅−=

1.3.1-1

Cazul I : Punem condiţia ca axa neutr ă să fie tangentă la conturulsuprafeţei în partea dreaptă. În acest caz z 0 = b/2:

6

b

b bh

12

h b2

bA

I2z

zA

I

2

b

2

bz

3

yF

F

y0

−=

⋅

⋅⋅

−=

⋅

⋅−=⇒

⋅−=⇒=

1.3.1-2a

15




Cazul II : Punem condiţia ca axa neutr ă să fie tangentă la conturulsuprafeţei în partea stângă ( z 0 = - b/2):

6

b

b bh12

h b2

bA

I2z

zA

I

2

b

2

bz

3

yF

F

y

0

=⋅

⋅⋅

=⋅

⋅=⇒

⋅

−=−⇒−=

1.3.1-2b

Cazul III : Punem condiţia ca axa neutr ă să fie tangentă la conturulsuprafeţei în partea superioar ă ( y0 = h/2):

6

h

h bh12

h b2

hA

I2y

yA

I

2

h

2

hy

3

zF

F

z0

−=⋅

⋅⋅

−=⋅

⋅−=⇒

⋅−=⇒=

1.3.1-2c

Cazul IV : Punem condiţia ca axa neutr ă să fie tangentă la conturulsuprafeţei în partea inferioar ă ( y0 = - h/2):

6

h

h bh12

h b2

hA

I2y

yAI

2h

2hy

3

zF

F

z0

=⋅

⋅⋅

=⋅

⋅=⇒

⋅−=−⇒−=

1.3.1-2d

Punând condiţii ca axa neutr ă să fie tangentă la conturul suprafeţei şi înalte puncte se obţin alte coordonate pentru punctul de aplicaţie al for ţei F . Formaşi mărimea sâmburelui central obţinute pentru suprafaţa dreptunghiular ă sunt

prezentate în Fig.1.3.1-1.

1.3.2 Sâmburele central pentru suprafaţa circulară

Se vor studia aceleaşi cazuri ale poziţiei axei neutre faţă de conturulexterior a suprafeţei şi se utilizează aceleaşi relaţii care s-au folosit şi lasuprafaţa dreptunghiular ă.

Poziţiile axei neutre la suprafaţa circular ă de diametru d pentru cele patrucazuri sunt prezentate în Fig.1.3.2-1.

16




y

d/4

Cazul ICazul II

Cazul III

Cazul IV

Sâmburelecentral

z

d

Fig.1.3.2-1

Cazul I :

8

d

d4

d64

d2

dA

I2z

zA

I

2

d

2

dz

2

4

yF

F

y0

−=

⋅π

π⋅⋅

−=⋅

⋅−=⇒

⋅−=⇒=

1.3.2-1a

Cazul II :

8

d

d4

d64

d2

dA

I2z

zA

I

2

d

2

dz

2

4

yF

F

y0

=

⋅π

π⋅⋅

=⋅

⋅=⇒

⋅−=−⇒−=

1.3.2-1b

Cazul III :

8

d

d4

d64

d2

dA

I2y

yA

I

2

d

2

dy

2

4

zF

F

z0

−=

⋅π

π⋅⋅

−=⋅

⋅−=⇒

⋅−=⇒=

1.3.2-1c

Cazul IV :

17




8

d

d4

d64

d2

dA

I2y

yA

I

2

d

2

dy

2

4

zF

F

z0

=⋅

π

π⋅⋅

=⋅

⋅

=⇒

⋅−=−⇒−=

1.3.2-1d

Punând condiţia ca axa neutr ă să fie tangentă la suprafaţă şi în alte punctese obţin alte valori pentru coordonatele punctului de aplicaţie al for ţei F . Încazul secţiunii circulare se obţine tot valoarea d/8, ceea ce înseamnă că pentrusuprafaţa circular ă sâmburele central este o suprafaţă circular ă de diametru d/4 în jurul centrului de greutate. Forma şi mărimea sâmburelui central pentrusuprafaţa circular ă sunt prezentate în Fig.1.3.2-1.

1.3.3 Sâmburele central la suprafaţa I simetrică

Ca şi la suprafaţa dreptunghiular ă se pot considera patru tangente lacontur (Fig.1.3.3-1), rezultând patru cazuri.

1

y

z

Cazul III

Cazul II

Cazul IVCazul I

2’2

1’

h

b

Fig.1.3.3-1

Cazul I şi II :

bA

I2z

zA

I

2

b

2

bz y

FF

y0

⋅

⋅=⇒

⋅−=±⇒±= ∓ 1.3.3-1a

Punctele de aplicaţie ale for ţei F sunt punctele 2, respectiv 2’ (Fig.1.3.3-1).

Cazul III şi IV :

18




bA

I2y

yA

I

2

h

2

hy z

FF

z0

⋅

⋅=⇒

⋅−=±⇒±= ∓ 1.3.3-1b

Punctele de aplicaţie ale for ţei F sunt punctele 1, respectiv 1’ (Fig.1.3.3-1).Ca şi la secţiunea dreptunghiular ă, rezultă că forma sâmburelui central

este rombul 12’1’2 (Fig.1.3.3-1).

1.3.4 Tensiuni normale extreme în secţiune, exprimate funcţie delimitele sâmburelui central

Pentru anumite elemente de rezistenţă solicitate la compresiune cuîncovoiere, este avantajos ca tensiunile extreme (maxime, respectiv minime) să

fie determinate prin reducerea for ţei normale în raport cu limitele sâmbureluicentral al suprafeţei şi nu în raport cu centrul de greutate, aşa cum se procedează în mod curent.

Să consider ăm o suprafaţă simetrică în raport cu axa Gy, iar punctul deaplicaţie B al for ţei normale este situat pe această axă (Fig.1.3.4-1).

y

z

σmax

σmin

N/A B

Geh2

h1

y2

y1

Fig.1.3.4-1

Punctele extreme (limită) ale sâmburelui central al suprafeţei pe axa desimetrie Gy sunt la distanţele h1, respectiv h2 de axa Gz , iar for ţa normală areexcentricitatea GB = e (Fig.1.3.4-1)

For ţa normală F redusă în centrul de greutate al suprafeţei, conduce laeforturile:

N = ± F , Miz = F ⋅ e 1.3.4-1

Dacă se consider ă for ţa normală F de întindere (la compresiune se vaconsidera cu semnul -), tensiunile extreme se determină cu relaţiile cunoscute:

19




2z

izmin

1z

izmax

yI

M

A

N

yI

M

A

N

⋅−=σ

⋅+=σ

1.3.4-2

Ţinând seama de expresia momentului încovoietor Miz şi că I z = i z 2

A,tensiunile extreme (relaţiile 1.3.4-2) pot fi scrise şi sub forma:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅

⋅=

⋅⋅−

⋅=⋅+=σ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

⋅=

⋅⋅+

⋅=⋅+=σ

eyiI y NI ye NI i NyIMA N

ey

i

I

y N

I

ye N

I

i Ny

I

M

A

N

2

2

z

z

2

z

2

z

2

z2z

izmin

1

2z

z

1

z

1

z

2z

1z

izmax

1.3.4-3

Ţinând acum seama de relaţiile (1.2-6a,b) care conduc la stabilirealimitelor sâmburelui central (punctul de aplicaţie al for ţei) se poate scrie:

122z1

2

z2

212z

2

2z

1

yhiyih

yhiy

ih

⋅=⇒=

⋅=⇒=

1.3.4-4

care înlocuite în relaţiile 1.3.4-3 conduc la:

( ) ( )

( ) ( )eh

W

N eh

I

y N

ehW

N eh

I

y N

y z

y z

−⋅=−⋅⋅

=σ

+⋅=+⋅⋅

=σ

112

min

221

max

2

1

1.3.4-5

Dacă se notează:

( )

( eh N M

eh N M

h

h

−⋅= )

+⋅=

1

2

2

1

1.3.4-6

care sunt momentele for ţei normale F în raport cu punctele limită ale sâmbureluicentral al suprafeţei de pe axa de simetrie Gy, rezultă că tensiunile extreme dinsecţiune se pot calcula cu relaţiile:

20




2

2

1

1

y

hmin

y

hmax

W

M

W

M

=σ

=σ

1.3.4-7

Aceste relaţii sunt asemănătoare cu cele de la solicitarea de încovoiere.

1.4 TEORII DE REZISTENŢĂ. ÎNCOVOIERE CU TORSIUNE

1.4.1 Teorii de rezistenţă

La solicitarea simplă de întindere sau compresiune, tensiunea principală σ1 care poate avea teoretic orice valoare, conduce la rupere atunci când se atingestarea limită σ1 = σr (rezistenţa la rupere). La solicitarea pe două direcţii,tensiunile principale σ1 şi σ2, pot avea de asemenea o infinitate de valori. Esteutil de ştiut la ce valori sau la ce combinaţie ale celor două tensiuni principale,se atinge starea limită, se produce ruperea.

În decursul anilor, cercetătorii au încercat să dea un r ăspuns acestei probleme, care să poată fi confirmat şi de cercetarea experimentală. Astfel, între

tensiunile principale s-au stabilit o serie de relaţii matematice, corespunzătoareatingerii stării limită. Aceste relaţii sunt cunoscute sub diferite denumiri: teorii

de rupere, teorii de rezisten ţă , teorii ale st ărilor limit ă. Deoarece relaţiilerespective sunt stabilite pe baza Teoriei Elasticităţii, extinderea lor până larupere este incorectă. Din acest motiv denumirea de teorii de rupere esteimproprie, mai potrivite sunt denumirile de teorii de rezistenţă sau teorii alestărilor limită. Noi le vom numi teorii de rezisten ţă.

Ca stare limită se va considera atingerea unei anumite caracteristici dematerial: limita de elasticitate, limita de propor ţionalitate, limita de curgere saurezistenţa admisibilă, până la care se pot utiliza relaţiile teoriei elasticităţii. Ceamai utilizată limită este limita de elasticitate σe, care poate fi înlocuită după cazcu σ p, σc, σa.

Formularea teoriilor de rezistenţă se bazează pe observaţia că, laîntinderea simplă, atingerea limitei de elasticitate poate fi constatată cantitativ,

prin atingerea uneia dintre mărimile: tensiunea de întindere, σe alungirea, εe = σe / E tensiunea tangenţială pe secţiunea înclinată la 450 (tensiunea

tangenţială maximă),τ

e =σ

e / 2 energia specifică de deformaţie, U d = σe2 / 2E

21




energia specifică modificatoare de formă, U df = (1+ν )σe2 / 3E .

După cum se poate constata, teoriile de rezistenţă stabilesc relaţii între tensiunile principale σ1, σ2, σ3 care conduc la atingerea uneia sau alteia dintre cele cincimărimi ale stărilor limită. Cu aceste relaţii se stabileşte o tensiune echivalent ă

σech a stării de tensiune (plană sau spaţială), care permite compararea cutensiunea corespunzătoare stării limită de la solicitarea de întindere simplă, σe.

Pentru calculul de rezistenţă se utilizează criteriul stării limită:

aech σ≤σ 1.4.1-1

În funcţie de tensiunile principale, cele cinci teorii de rezistenţă prezintă următoarele relaţii:

¾ Teoria I (teoria tensiunii normale maxime)

Conform acestei teorii, starea limit ă se atinge atunci când tensiunea principal ă maximă din corp, atinge valoarea tensiunii corespunz ătoare st ării

limit ă de la solicitarea de întindere simpl ă:

1echI

e1

σ=σ⇒

σ=σ

1.4.1-2

¾ Teoria a II-a (teoria deformaţiei specifice maxime)Conform acestei teorii, starea limit ă se atinge atunci când lungirea

specifică (alungirea) maximă din corp, atinge valoarea lungirii specifice

(alungirii) corespunz ătoare st ării limit ă de la solicitarea de întindere simpl ă:

( )[ ] ee321max E

1

E

1ε=σ⋅=σ+σν−σ⋅=ε 1.4.1-3a

Tensiunea echivalentă pentru teoria a II-a de rezistenţă este:

( )321echII σ+σν−σ=σ 1.4.1-3b

¾ Teoria a III-a de rezisten ţă (teoria tensiunii tangenţiale maxime)Conform acestei teorii, starea limit ă se atinge atunci când tensiunea

tangen ţ ial ă maximă atinge valoarea tensiunii tangen ţ iale corespunz ătoare st ării

limit ă de la solicitarea de întindere simpl ă:

31echIII

e31max 22

σ−σ=σ⇒

σ=

σ−σ=τ

1.4.1-4

22




¾ Teoria a IV-a (teoria energiei specifice totale de deformaţie)Conform acestei teorii, starea limit ă se atinge atunci când energia

specifică de deforma ţ ie este egal ă cu energia de deforma ţ ie specifică

corespunz ătoare st ării limit ă de la întinderea simpl ă:

( ) ( )E2EE2

1 2e

13322123

22

21

σ=σσ+σσ+σσ

ν−σ+σ+σ 1.4.1-5a

de unde rezultă:

( ) ( )13322123

22

21echIV 2 σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ=σ 1.4.1-5b

¾ Teoria a V-a (teoria energiei specifice modificatoare de formă)Conform acestei teorii, starea limit ă se atinge atunci când energia de deforma ţ ie

specifică modificatoare de formă este egal ă cu energia de deforma ţ ie specifică

modificatoare de formă corespunz ătoare st ării limit ă de la solicitarea de

întindere simpl ă:

( ) ( ) ( )[ ] 2e

213

232

221 2

E6

1

E6

1σ⋅

ν+=σ−σ+σ−σ+σ−σ

ν+1.4.1-6a

de unde se obţine:

( ) ( ) ( ) ][2

1 213

232

221 σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ echV 1.4.1-6b

Pentru starea plană de tensiune (σ3 = 0), tensiunea echivalentă pentru celecinci teorii de rezistenţă, capătă următoarea formă:

2122

21

2122

21

21

21

1

2

σσ−σ+σ=σ

σσ⋅ν−σ+σ=σ

σ−σ=σ

σ⋅ν−σ=σσ=σ

echV

echIV

echIII

echII

echI

1.4.1-7

23




În cazul particular al elementelor de rezistenţă la care există numaitensiuni normale σ în lungul axei longitudinale şi tensiuni tangenţiale τ în planulsecţiunii, tensiunile principale σ1,2 au expresiile cunoscute:

222,1 4

21

2τ+σ⋅±σ=σ 1.4.1-8

care înlocuite în relaţiile 1.4.1-7, conduc pentru acestea la următoarea formă:

a22

echI 42

1

2σ≤τ⋅+σ⋅+

σ=σ 1.4.1-9a

aechII

σ≤τ⋅+σ⋅+σ⋅=σ 22 465,035,0 1.4.1-9b

a22

echIII 4 σ≤τ⋅+σ=σ 1.4.1-9c

a22

echIV 6,2 σ≤τ⋅+σ=σ 1.4.1-9d

a22

echV 3 σ≤τ⋅+σ=σ 1.4.1-9e

Cercetările experimentale au demonstrat că pentru materialele tenacerezultate mai apropiate de cele reale dau teoria a III-a şi a V-a de rezistenţă, iar

pentru materialele fragile, teoria a II-a de rezistenţă.Ca urmare, dintre relaţiile 1.4.1-9 utilizate în calculele de rezistenţă, se

vor alege cele mai potrivite materialului din care sunt realizate elementelerespective.

1.4.2 Încovoierea cu torsiune

Încovoierea cu torsiune este una dintre cele mai întâlnite solicităricompuse. În special este întâlnită în cazul arborilor. La această solicitare, celedouă eforturi produc tensiuni de natur ă diferită: momentul încovoietor tensiuninormale σ; momentul de torsiune tensiuni tangenţiale τ. Înseamnă că solicitareade încovoiere cu torsiune este o solicitare compusă de categoria a II-a.

Pentru acest tip de solicitare compusă, calculul de rezistenţă se face pe baza teoriilor de rezistenţă (relaţiile 1.4.1-9) care impun calculul tensiuniiechivalente.

Prima etapă de calcul impune determinarea separată a tensiunilor normale

σ, respectiv tangenţiale τ. Aceste tensiuni pot rezulta de la solicitări simple saude la solicitări compuse (de categoria I):

24




Tensiunile normale care pot apărea, sunt:

A

N=σ 1.4.2-1a

W

M i=σ 1.4.2-1b

W

M

A

N i+=σ 1.4.2-1c

iar cele tangenţiale:

I b

S T f

⋅⋅=τ 1.4.2-2a

t

t

p

t

t W

M sau

W

M =τ=τ 1.4.2-2b

t f rez τ+τ=τ 1.4.2-2c

În calculul care se efectuează se va ţine seama de orientarea şi sensul(semnul) tensiunilor din punctul considerat.

În cazul arborilor de secţiune circular ă, solicitaţi la încovoiere şi torsiune,introducând expresiile tensiunilor (relaţiile 1.4.2-1b, respectiv 1.4.2-2b) înexpresiile tensiunii echivalente pentru cele cinci teorii de rezistenţă (relaţiile1.4.1-9), acestea capătă forma (funcţie de eforturi):

(I) a

2t

2ii

W

MMM5,0σ≤

++⋅1.4.2-3a

(II) a

2t

2ii

W

MM65,0M35,0σ≤

+⋅+⋅1.4.2-3b

(III) a

2t

2i

W

MMσ≤

+1.4.2-3c

25




(IV) a

2t

2i

W

M65,0Mσ≤

⋅+1.4.2-3d

(V) a

2

t

2

i

WM75,0M σ≤⋅+ 1.4.2-3e

Relaţiile 1.4.2-3 utilizate pentru calculul de rezistenţă la solicitareacompusă de încovoiere cu torsiune, seamănă cu relaţia de la încovoiere simplă,dacă expresia de la număr ător care este o combinaţie între momentul încovoietor

M i şi cel de torsiune M t , poate fi considerată un moment echivalent (niciîncovoietor nici de torsiune).

Aşadar, calcul de rezistenţă pentru solicitarea compusă de încovoiere cutorsiune, poate fi f ăcut pe baza unei relaţii generale de forma:

a

ech

W

M σ≤

(...)1.4.2-4

unde: M ech(…) – reprezintă expresia momentului echivalent, corespunzător uneia

dintre teoriile de rezistenţă W – modulul de rezistenţă al secţiunii transversale (pentru secţiunile

circulare acesta poate fi oricare, inclusiv W z ).Din relaţiile 1.4.2-3 rezultă expresiile momentului echivalent

corespunzător celor cinci teorii de rezistenţă:

(I) 2t

2iiechI MMM5,0M ++⋅= 1.4.2-5a

(II) 2t

2iiechII MM65,0M35,0M +⋅+= 1.4.2-5b

(III) 2t

2iechIII MMM += 1.4.2-5c

(IV) 2t

2iechIII M65,0MM ⋅+= 1.4.2-5d

(V) 2t

2iechIII M75,0MM ⋅+= 1.4.2-5e

După cum se poate constata, în calculul arborilor de secţiune circular ă solicitaţi la încovoiere şi torsiune, efectul for ţei tăietoare a fost neglijat.

26




Calculul de dimensionare la solicitarea compusă: axială, încovoiere şitorsiune, este destul de dificil din punct de vedere al rezolvării ecuaţiei care seobţine. Din acest motiv, la aceste solicitări, calculul de dimensionare seefectuează pe baza solicitării de încovoiere şi torsiune, după care se efectuează

un calcul de verificare cu dimensiunea obţinută de data aceasta la solicitareacompusă iniţială. Dacă este nevoie se modifică dimensiunea obţinută iniţial, până când condiţia de verificare este îndeplinită.

1.5 APLICAŢII

Aplica ţ ia 1.5.1. Pentru bara de font ă din Fig.1.5.1-1 se cere:

a) for ţ a capabil ă pentru σ at = 30 MPa şi σ ac = -90 MPa, a = 200 mm

b) diagrama de varia ţ ie a tensiunii normale în sec ţ iunea periculoasă.

60

120

2aF

a

2F

Fig.1.5.1-1 Rezolvare:

Etapele de rezolvare a elementelor de rezistenţă supuse la solicităricompuse sunt prezentate într-o altă lucrare a autorului.

Mai întâi se reduc for ţele aplicate în centrul de greutate al secţiunii în care

ele acţionează şi torsorul de reducere obţinut se pune pe bara reprezentată numai prin axa sa geometrică (Fig.15.1-2).

2a

a

Miy = 2F 30F

2F

Miz = 2F 60

27




Cu încărcarea din Fig.1.5.1-2, se trasează diagramele de eforturi (toate în afaracelui tăietor care la astfel de bare se neglijează). Diagramele rezultate sunt

prezentate în Fig.1.5.1-3.

Fig.1.5.1-2

60F

400F

120F

2F

2F+

Mi N

Fig.1.5.1-3

Analizând diagramele de eforturi se constată că secţiunea periculoasă esteîn încastrare, unde acţionează eforturile:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

F60M

F520M

F2 N

iy

iz

Toate cele trei eforturi produc tensiuni normale, ceea ce înseamnă că însecţiunea periculoasă se realizează o solicitare compusă de categoria I.

Problema este de efort capabil şi trebuie determinate punctele cele maiîntinse, respectiv cele mai comprimate. Studiind semnul tensiunii normale

produsă de fiecare efort existent în secţiunea periculoasă, rezultă că punctul celmai solicitat la întindere este punctul T , iar cel mai solicitat la compresiune,

punctul C (Fig.1.5.1-4).

T

30 MPa

axa neutr ă

- 26,33 MPa

C

+

Fig.1.5.1-4

28




Relaţiile de calcul utilizate sunt cele de la solicitarea compusă decategoria I (relaţiile 1.2-10), care particularizate pentru punctul T , respectiv C ,au forma:

9030I

F6060

I

F520

A

F2

3030I

F6060

I

F520

A

F2

yzCcmax

yzTtmax

−=⋅⋅

−⋅⋅

−=σ=σ

=⋅⋅

+⋅⋅

+=σ=σ

Din relaţiile anterioare rezultă valorile pentru for ţa capabilă:

( ) KN32,6F,FminF

KN8,21FKN32.6F

''cap

'capcap

''cap

'

cap

==⇒

≈≈

Pentru punctul b), trebuie determinată poziţia axei neutre. Tăieturile axei neutrecu direcţiile principale de iner ţie ale secţiunii transversale, se calculează curelaţiile 1.2-8a,b:

mm6,4M

N

A

Iy

mm10M N

AIz

iz

z0

iy

y0

−=⋅−=

−=⋅−=

Caracteristicile geometrice ( A, I z , I y) pentru suprafaţa dreptunghiular ă suntdestul de uşor se determinat.

Poziţia axei neutre (atenţie la primul cadran) şi sensul pozitiv al direcţiilor

principale sunt prezentate în Fig.1.5.1-4. Ducând paralele la axa neutr ă prin punctele cele mai îndepărtate de aceasta (trec prin aceleaşi puncte T şi C ), se poate trasa diagrama de variaţie a tensiunii normale (vezi Fig.1.5.1-4). Lavaloarea for ţei capabile obţinute, trebuie determinată tensiunea maximă lacompresiune (cea din punctul C ):

MPa33,2630I

1032,66060

I

1032,6520

A

1032,62

y

3

z

33

Ccmax −=⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−⋅⋅

=σ=σ

29




Aplica ţ ia 1.5.2. Pentru bara cu forma, dimensiunile şi încărcarea din

Fig.1.5.2-1, se cere:

a) verificarea barei pentru σ a = 150 MPa


yG = 25 mm

20

F = 30 KN 40

20

40

Fig.1.5.2-1

Rezolvare:

Pentru a putea reduce for ţa F , trebuie determinată poziţia centrului degreutate al secţiunii transversale. Poziţia centrului de greutate yG este prezentată în Fig.1.5.2-1.

Componentele torsorului de reducere sunt prezentate în Fig.1.5.2-2a iar diagramele de eforturi pentru bar ă, în Fig.1.5.2-2b,c.

N

Miy = 20 F

Miz = 25 F

F

F

Miz = 25 F

Mi

+

Miy = 20 F

a) b) c)

Fig.1.5.2-2

30




Toate secţiunile sunt la fel de periculoase. În secţiunea periculoasă acţionează eforturile:

N = F

Miz = 25 FMiy = 20 F

deci, o solicitare compusă de categoria I. Analizând semnul tensiunii normale produsă de fiecare efort în secţiune, rezultă punctul T ca fiind cel mai solicitat laîntindere, respectiv C la compresiune (Fig.1.5.2-3).

y

C

T

σT = 146,7 MPa

axa neutr ă

σC = -79,35 MPa

z

Fig.1.5.2-3

Tensiunile extreme sunt:

ac

yz

Ccmax

atyz

Ttmax

MPa35,7910

I

F2035

I

F25

A

F

MPa7,14620I

F2025

I

F25

A

F

σ<−=⋅+⋅+=σ=σ

σ<=⋅+⋅+=σ=σ

iar condiţia de rezistenţă este satisf ăcută.În relaţiile anterioare s-a avut în vedere că: A = 1600 mm2, I z = 49,33 104

mm4, I y = 13,33 104 mm4.Tăieturile axei neutre cu direcţiile principale de iner ţie se calculează cu

relaţiile:

mm16,4M

I

A

Nz

iy

y0 −=⋅−=

31




mm33,12M

I

A

Ny

iz

z0 −=⋅−=

Poziţia axei neutre, variaţia tensiunii normale şi valorile extreme aleacesteia sunt prezentate în Fig.1.5.2-3.

Aplica ţ ia 1.5.3. Pentru grinda circular ă din Fig.1.5.3-1, se cere:

a) for ţ a capabil ă , pentru σ a = 150 MPa


Fa = 1 m

4a2a

d = 40 mm

Fig.1.5.3-1

Diagramele de eforturi (N şi Mi) sunt prezentate în Fig.1.5.3-2a,b.

a)

Fa/3

Fa/3

FN

Mi

2Fa/3

b)

Fig.1.5.3-2

Secţiunea periculoasă este la îmbinarea barei orizontale cu cea verticală.Eforturile din această secţiune sunt:

32




3

aF2M

F N

iz =

−=

deci, solicitare compusă categoria I, dar cu un singur moment încovoietor.Punctele cele mai solicitate sunt prezentate în Fig.1.5.3-3.

T

C

y0

z Axa neutr ă

σac

σt

Fig.1.5.3-3

Dintre cele două puncte, mai solicitat este punctul C , unde tensiuneanormală este:

acmax

z

max y

I

aF3

2

A

Fσ=⋅−−=σ

Dacă se are în vedere că A = 4 π⋅102 mm2, Iz = 4 π⋅104 mm4, ymax = 20mm, rezultă valoarea for ţei capabile:

Fcap = 1,4 KN

Axa neutr ă în acest caz, intersectează numai direcţia principală Gy (este paralelă cu Gz ) la distanţa:

mm15,0M

I

A

Ny

iz

z0 −=⋅−=

Poziţia axei neutre şi variaţia tensiunii normale pe secţiunea transversală a barei sunt prezentate în Fig.1.5.3-3.

33




Aplica ţ ia 1.5.4. Pentru bara de sec ţ iune dreptunghiular ă din Fig.1.5.4-1,

se cere:

a) tensiunile maxime la întindere, respectiv la compresiune


Se cunosc: F 1 = 10 KN, F 2 = 20 KN, F 3 = 30 KN, a = 100 mm, b = 200 mm, h =300 mm.

Rezolvare

Torsorul de reducere al for ţelor exterioare este prezentat în Fig.1.5.4-2a,iar diagramele de eforturi corespunzătoare în Fig.1.5.4-2b,c.

F2F3a/4

h

a b

Fig.1.5.4-1

F3 a/4 + F2 h

F3 a/4

F3 b/2 + F1 h

F3 b/2

F3

F3

F3

b/2

F3 a/4F3

F2

F1

F1

N Mi

c)a) b)

Fig.1.5.4-2

34




Secţiunea periculoasă este în înţepenire, unde eforturile au valorile:

hF4

aFM

hF2

b

FM

F N

23iy

13iz

3

⋅+⋅=

⋅+⋅=

=

Punctele cele mai solicitate din secţiunea periculoasă (T, respectiv C) suntindicate în Fig.1.5.4-3.

z

axa neutr ă

-90 MPa

75 MPay

T

C

Fig.1.5.4-3

Tensiunea normală din punctele T , respectiv C , se calculează cu relaţiile:

2a

IM

2 b

IM

A N

2

a

I

M

2

b

I

M

A

N

y

iy

z

izCcmax

y

iy

z

izTtmax

⋅−⋅−−=σ=σ

⋅+⋅+−=σ=σ

Ţinând seama de valoarea mărimilor din relaţiile anterioare şi că A = 200cm2, I z = 6666,6 cm4, I y = 1666,6 cm4 , pentru cele două puncte rezultă valorile:

MPa90

MPa75

Ccmax

Ttmax

−≈σ=σ

≈σ=σ

Tăieturile axei neutre sunt:

35




mm2,22M NAIy

mm7,3M

N

A

Iz

iz

z0

iy

y0

−≈⋅−=

−≈⋅−=

Poziţia axei neutre şi variaţia tensiunii pe secţiune sunt prezentate înFig.1.5.4-3.

Aplica ţ ia 1.5.5. Pentru bara de sec ţ iune inelar ă din Fig.1.5.5-1, se cere:

a) dimensiunile (d, D) ale sec ţ iunii transversale pentru σ a = 60 MPa şi k

= d/D = 0,8 unde: d – diametrul interior, D – diametrul exterior. Lanevoie se va utiliza teoria a V-a de rezisten ţă.

10 F

10 D

F = 12 KN

Fig.1.5.5-1

Rezolvare Torsorul de reducere al for ţelor exterioare şi diagramele de eforturi sunt

prezentate în Fig.1.5.5-2a, iar diagramele de eforturi aferente, în Fig.1.5.5-2b,c,d.

10 F

b)

NMt

F D/2

10 F

5 FD

Mi

F D/2

5 FD

10 F D/2F

F D/2

a) c)10 F

Fig.1.5.5-2

36




Sunt două secţiuni la fel de periculoase, iar eforturile din această secţiunesunt:

2

DFM

DF5M

KN120F10 N

t

iz

⋅=

=

==

Rezultă că în secţiunea periculoasă se realizează o solicitare compusă decategoria a II-a (tracţiune, încovoiere. torsiune). Calculul de rezistenţă impunedeterminarea unei tensiuni echivalente, care necesită o teorie de rezistenţă. Înenunţul problemei se indică teoria a V-a de rezistenţă. Se poate lucra în tensiunisau cu momentul echivalent ( M echV ). Optăm pentru prima variantă:

arez echV σ=τ+σ=σ 22 3

unde

p

t

z

izrez

W

M

W

M

A

N

=τ

+=σ

Condiţia de rezistenţă după teoria a V-a este atunci:

( ) ( ) ( )a

2

43

2

43

22

k 116

D2

DF

k 132

D

FD5

k 14

D

F10σ=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅π

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−⋅π

+

−⋅π

După rezolvarea ecuaţiei de mai sus şi ţinând seama de valoareamărimilor care intervin, se obţin dimensiunile secţiunii transversale:

D = 157 mmd = 125 mm

37




Aplica ţ ia 1.5.6. Două ro ţ i de greutate G1 şi G2 sunt montate pe un arbore

de sec ţ iune circular ă , ca în Fig.1.5.6-1a. Utilizând ipoteza tensiunilor

tangen ţ iale maxime, să se determine diametrul arborelui (d), cunoscând: σ a =

80 MPa şi G1 = G2 = 100 daN.

BA

37.500

G1 = 100 daN

F + G2

F D/2

F D/2G1

F

10.500

3.000F + G2 = 600 daN

7.50015.000

F = 500 daN

d

400400300

D = 1,5 mD

F

F = 500 daN

a)

b)

MiH c)

[daN cm]

MiV d)[daN cm]

[daN cm]

Mte)

Fig.1.5.6-1

Rezolvare

În Fig.1.5.6-1b se prezintă torsorul de reducere al for ţelor exterioare, iar în Fig.1.5.6-1c,d diagramele momentului încovoietor produs de for ţele careacţionează în plan orizontal, respectiv plan vertical. Diagrama momentului de

torsiune este prezentată în Fig.1.5.6-1e.

38




După o analiză a variaţiei eforturilor rezultă că secţiunea periculoasă esteîn reazemul A, unde momentul încovoietor rezultant are cea mai mare valoare.

În secţiunea periculoasă se realizează o solicitare compusă de categoria aII-a, de către eforturile:

cmdaN500.37M

cmdaN000.3M

cmdaN000.15M

t

iV

iH

⋅=

⋅=

⋅=

Momentul încovoietor rezultant din secţiunea A, este:

cmdaN300.15MMM 2iV

2iHiArez ⋅=+=

iar momentul echivalent din aceiaşi secţiune, după teoria a III-a de rezistenţă este:

cmdaN500.40MMM 2tiArezechIII ⋅=+=

Condiţia de rezistenţă după teoria a III-a de rezistenţă şi problemă dedimensionare este:

mm81M32

d

M

32

dMW

3

a

echIII

a

echIII3

a

echIIIznec

≈σ⋅π

⋅=⇒

σ=

⋅π⇒

σ=

Aplica ţ ia 1.5.7. S ă se dimensioneze bara cotit ă de sec ţ iune circular ă din

Fig.1.5.7-1 după teoria a V-a de rezisten ţă dacă se cunosc: σ a = 150 MPa, F =

15 KN, a = 200 mm.

F

2F

2a

a

a

Fig.1.5.7-1

39




Rezolvare

Pentru acest sistem nu este nevoie de nici o reducere a for ţelor exterioare,

deoarece ele sunt fixate pe axa longitudinală a barei cotite.Diagramele de eforturi sunt prezentate în Fig.1.5.7-2a,b,c.

Fa

Fa

Mt

Fa

2F

2F

N

Fa

Fa

Fa

Fa

2Fa

Mi

c)b)a)

Fig.1.5.7-2

Secţiunea periculoasă este în capetele barei de lungime 2a, undeacţionează eforturile:

a F M

a F M

a F M

F

t

iV

iH

=

=

==

22

Solicitarea din secţiunea periculoasă este compusă, de categoria a II-a.Pentru dimensionare se neglijează efortul axial N . Dimensionarea se face atuncinumai la încovoiere oblică şi torsiune unde se calculează o tensiune echivalentă.

Se impune în enunţ teoria a V-a de rezistenţă.Mai întâi se calculează momentul încovoietor rezultant maxim:

222iV

2iH

2irez aF5MMM =+=

iar momentul echivalent după teoria a V-a de rezistenţă este:

aF75.5M75,0MM 2t

2irezechV ⋅=⋅+=

Relaţia de dimensionare corespunzătoare acestui caz este:

40




mm80M32

d 3

a

echV ≈σ⋅π

⋅=

Deoarece la dimensionare s-a neglijat efortul axial, după determinarea prin rotunjire a dimensiunii secţiunii transversale, se impune o verificare acondiţiei de rezistenţă ţinând seama şi de efortul axial. Numai după îndeplinireacondiţiei de rezistenţă la toate eforturile se poate accepta dimensiuneadeterminată (eventual modificată).

Pentru cazul prezentat, dimensiunea obţinută satisface condiţia derezistenţă ţinând seama şi de efortul axial.

Observa ţ ie: La toate exemplele prezentate nu s-a pus un accent deosebit

pe calculul numeric. A interesat în mod deosebit însuşirea modului de abordareşi a etapelor ce trebuie parcurse în vederea rezolvării acestor tipuri de problemă.

Acest principiu va fi aplicat şi în cazul exemplelor care vor fi prezentateîn capitolele următoare.

41




42

2. METODE PENTRU CALCULUL DEPLASĂRILOR


Pentru un element de rezistenţă solicitat la încovoiere condiţia derezistenţă este primordială. De foarte multe ori satisfacerea acesteia nu estesuficientă pentru buna funcţionare a elementului (piesei) respectiv. În acest sens,este necesar şi un calcul al deformaţiilor acestuia.

În acest studiu se cercetează forma pe care o ia după încovoiere(deformare) axa geometrică a elementului de rezistenţă. Această axă (linie)

poartă numele de fibr ă medie deformat ă. În cazul încovoierii, o secţiune transversală, sufer ă o deplasare (Fig.2.1-

1), care în funcţie de sensul în care se produce, poartă diferite denumiri:

δx – deplasare axial ă, care fiind mică în general se neglijează δy = v – deplasare vertical ă (transversală) sau săgeată θ - deplasare unghiular ă (rotire)

Dacă deplasarea axială δx se neglijează, rezultă că θ = ϕ (Fig.2.1-2).

Deci, o secţiune a unei bare încovoiate sufer ă două deplasări:v – deplasare liniar ă numită şi să geat ă

θ

ϕ

δx

δy = v

1

1’

Fig.2.1-1

ϕ

ϕ v

Fig.2.1-2

fibra medie deformată

F

F




43

ϕ - deplasare unghiular ă numită şi rotire.Studiul deformaţiilor barei constă în a cunoaşte funcţiile:

v = f 1(x) şi ϕ = f 2(x) 2.1-1

pentru orice secţiune a acesteia.Într-un sistem de axe ca cel din Fig.2.1-3,

rezultă că

dx

dv=ϕ 2.1-2

Întrucât deformaţiile sunt mici se poate considera că tg ϕ ≈ ϕ . Această egalitate poate fi acceptată numai pentru barele cu deformaţii relativ mici, excluzându-secele cu deformaţii mari (arcul spiral, lamele elastice etc.).

2.2 METODE CLASICE PENTRU CALCULUL DEPLASĂRILOR BARELOR DREPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

Pentru calculul celor două deplasări produse la solicitarea de încovoiere a barelor drepte, s-au dezvoltat mai multe metode. În continuare se vor prezentacâteva dintre acestea, de fapt cele mai utilizate.

2.2.1 Metoda dublei integrări (Metoda ecuaţiei diferenţiale a fibreimedii deformate)

Se consider ă că într-o secţiune curentă x fibra medie deformată a barei areraza de curbur ă ρ (a se vedea încovoierea simplă), a cărei expresie în geometriadiferenţială este de forma următoare:

2

2

2

32

2

2

dx

vd

dx

dv

1

dx

vd1

±≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+

±=ρ 2.2.1-1

x

y Fig.2.1-3




44

De la studiul încovoierii pure s-a văzut că între raza de curbur ă a fibrei medii,momentul încovoietor M i şi rigiditatea barei EI există relaţia:

z

iz

iz

z

IEM1

MIE =

ρ⇒=ρ 2.2.1-2

Din relaţiile 2.2.1-1 şi 2.2.1-2 se obţine:

z

iz2

2

IE

M

dx

vd±= 2.2.1-3

Cu sistemul de axe din Fig.2.1-3 derivata de ordinul doi v’’ a săgeţii estenegativă, iar momentul încovoietor este pozitiv. Rezultă că relaţia 2.2.1-3 capătă forma finală:

z

iz2

2

IE

M

dx

vd−= 2.2.1-4

Derivând încă de două ori relaţia 2.2.1-4, se obţine:

z

y

z

iz3

3

IET

IEM

dxd

dxvd −=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −= 2.2.1-5a

zz

y

z

y

4

4

IE

p

IE

p

IE

T

dx

d

dx

vd=

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 2.2.1-5b

Integrând o dată ecuaţia fibrei medii deformate (relaţia 2.2.1-4) se obţine

rotirea secţiunii ϕ:

∫ +−==ϕ 1z

iz CdxIE

M

dx

dv2.2.1-6a

iar integrând din nou se obţine săgeata v:

∫ ∫ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −= 21

z

iz CxCdxdx

IE

Mv 2.2.1-6b




45

unde C 1 şi C 2 sunt două constante de integrare care se determină din condiţiilede rezemare şi de continuitate la trecerea de la un interval la altul. Astfel:

pe reazeme simple

0şi0v ≠ϕ= 2.2.1-7a

în în ţ epeniri

0şi0v =ϕ= 2.2.1-7b

Pentru calculul deplasărilor produse la încovoiere prin această metodă, seindică parcurgerea următoarelor etape:

¾ se scriu funcţiile momentului încovoietor pe fiecare interval

caracteristic al barei¾ se scrie ecuaţia fibrei medii deformate pentru fiecare interval¾ se integrează o dată această ecuaţie şi se obţine expresia rotirii ϕ ¾ se mai integrează o dată relaţia obţinută şi rezultă expresia pentru

săgeata v ¾ se pun toate condiţiile de rezemare şi de continuitate de la un interval

la altul şi se obţin constantele de integrare¾ se scriu expresiile finale pentru deplasări pe fiecare interval¾ se calculează deplasările cerute.

Aten ţ ie: Fiecare interval caracteristic introduce două constante de integrare.Acest lucru constituie un mare inconvenient pentru metoda dublei integr ări.

Aplica ţ ie: Pentru bara de rigiditate constant ă din Fig.2.2.1-1 să se

calculeze deplasarea (să geata) maximă şi rotirea (deplasarea unghiular ă ) pereazeme.

Rezolvare

Pentru această bar ă se delimitează două intervale caracteristice: 1-2 şi 2-3.

F

F/2 F/2

1 2 3

a/2 a/2

Fig.2.2.1-1

x1 x2




46

Se rezolvă problema în paralel pe cele două intervale, urmându-se etapele derezolvare recomandate la finalul prezentării acestei metode.

Intervalul 1-2 Intervalul 2-3

42322

3221

31

32221

21

21

22223112

CxCx8

aFx

12

FvIECxCx

12

FvIE

Cx4

aFx

4

FIECx

4

FIE

4

aFx

2

F''vIEx

2

F''vIE

4

aFx

2

FxFx

2

a

2

FMx

2

FM

++−=++−=

+−=ϕ+−=ϕ

−=−=

+−=−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +==

)2(0C0

)1(0C96aC48Fa2

0v0v0C0v0x

30x

433

2/ax321

2

2

=⇒=ϕ

=++−

⇒=⇒==⇒=⇒=

=

=

Condiţia de continuitate la trecerea de la un interval la altul (sec ţiunea 2)este:

00x2/ax 21=ϕ=ϕ ==

Din relaţia (1) ţinând seama de (2), se obţine:

48

aFC

3

4 =

iar condiţia de continuitate conduce la

16

aFC

2

1 =

Constantele de integrare fiind determinate, relaţiile pentru deplasăricorespunzătoare celor două intervale caracteristice au forma finală:

Pentru intervalul 1-2:




47

1

231

221

x

16

aFx

12

FvIE

16

aFx

4

FIE

+−=

+−=ϕ

iar pentru intervalul 2-3:

48

aFx

8

aFx

12

FvIE

x4

aFx

4

FIE

322

32

222

+−−=

−=ϕ

Acum se pot calcula deplasările solicitate:

z

2

2/ax0x31

z

3

0x2/axmax

IE16

aF

IE48

aFvvv

21

21

=ϕ−=ϕ=ϕ=ϕ

===

==

==

2.2.2 Metoda parametrilor iniţiali (metoda parametrilor în origine)

Când în lungul barei există mai multe intervale (multe expresii pentrumomentul încovoietor), metoda dublei integr ări devine dificilă, din cauza multor constante de integrare (două pentru fiecare interval). În continuare se prezintă ometodă universală pentru calculul deplasărilor unei bare drepte de rigiditateconstantă, numită metoda parametrilor ini ţ iali (metoda parametrilor în origine)sau metoda Macaulay. În această metodă intervin numai două constante deintegrare şi anume: valorile ini ţ iale (în origine) ale să ge ţ ii şi rotirii.

Se consider ă o bar ă dreaptă (Fig.2.2.2-1) la care nu se precizează modulde rezemare.

a

b

c

d

x

x

x

x

0 1 2 3

4

5 xM F

Fig.2.2.2-1




48

Grinda este încărcată cu un moment concentrat M , o for ţă concentrată F şio sarcină uniform distribuită p. Faţă de originea O a sistemului de referinţă for ţele exterioare au coordonatele a, b, respectiv c. Cu d s-a notat distanţa de laoriginea sistemului până la secţiunea în care se termină acţiunea sarcinii uniform

distribuite.Pe cele patru intervale funcţiile momentului încovoietor sunt:

0M 01 = 2.2.2-1a

( )012 axMM −−= 2.2.2-1b

( ) ( )1023 bxFaxMM −−−−= 2.2.2-1c

( ) ( )( )

2

cx p bxFaxMM

210

34

−−−−−−= 2.2.2-1d

( ) ( ) ( ) ( )2dx p

2cx p bxFaxMM

221045

−+−−−−−−= 2.2.2-1e

După secţiunea 4 unde sarcina uniform distribuită se termină, se consider ă că aceasta ar continua până la capătul barei. În plus se aplică o sarcină egală şide sens contrar cu ea, aşa că de fapt practic de la 4 spre dreapta nu maiacţionează nici o sarcină. Se poate constata că pe fiecare interval, ecuaţia demomente este cea de pe intervalul precedent plus un nou termen.

Se integrează relaţiile 2.2.2-1a,b,c,d,e ştiind că:

iM''vIE −= 2.2.2-2

Toate binoamele din relaţiile 2.2.2-1a,b,c,d,e se integrează sub formele:

( )

( )( )

∫

∫−

=−

−=−

2

bxdx bx

axdxax

2

0

2.2.2-3

ceea ce conduce numai la o schimbare a constantelor de integrare.Integrând o singur ă dată (relaţiile 2.2.2-1) se obţin expresiile rotirilor:

101 CEI =ϕ 2..2-4a( ) 212 CaxMEI +−=ϕ 2.2.2-4b

( )( )

3

2

23 C2

bxFaxMEI +

−+−=ϕ 2.2.2-4c

( )( ) ( )

4

32

34 C6

cx p2

bxFaxMEI +

−+

−+−=ϕ 2.2.2-4d




49

( )( ) ( ) ( )

5

332

45 C6

dx p

6

cx p

2

bxFaxMEI +

−−

−+

−+−=ϕ 2.2.2-4e

Integrând încă o dată relaţiile 2.2.2-4, se obţin expresiile pentru săgeţi:

1101 DxCvEI += 2.2.2-5a

( )22

2

12 DxC2

axMvEI ++

−= 2.2.2-5b

( ) ( )33

3

23 DxC6

bxF

2

axMvEI ++

−+

−= 2.2.2-5c

( ) ( ) ( )44

432

34 DxC24

cx p

6

bxF

2

axMvEI ++

−+

−+

−= 2.2.2-5d

( ) ( ) ( ) ( )55

4432

45 DxC24

dx

p24

cx

p6

bx

F2

ax

MvEI ++

−

−

−

+

−

+

−

= 2.2.2-5e

Se notează cu ϕ0 rotirea, respectiv cu v0 săgeata, în originea sistemului decoordonate. Scriind relaţia rotirii pentru origine ( x = 0), rezultă:

10 CEI =ϕ 2.2.2-6

Scriind prima relaţie şi a doua a rotirii în secţiunea 1 (pentru x = a) care suntegale (continuitate de la un interval la altul), se obţine:

( ) 2121 CCCaaMC =⇒+−= 2.2.2-7a

La fel, între a doua şi a treia pentru x = b:

( ) ( ) ( ) 3232

2 CCC b b2

Fa bMCaxM =⇒+−+−=+− 2.2.2-7b

Procedând mai departe la fel, se obţine o relaţie între constantele de integrare C :

54321 CCCCC ==== 2.2.2-7c

Urmând acelaşi raţionament pentru săgeţi, se obţine în final:

54321 DDDDD ==== 2.2.2-7d

Rezultă că relaţiile pentru deplasări se pot scrie sub o formă concentrată

(se începe cu constantele de integrare):




50

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )24

dx p

24

cx p

6

bxF

2

axMxEIEIvvEI

6

dx p

6

cx p

2

bxFaxMEIEI

4432

00

332

0

−−

−+

−+

−+ϕ+=

−−

−+

−+−+ϕ=ϕ

2.2.2-8

sau sub o altă formă:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−+

−+

−+ϕ+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−+

−+

−+ϕ=ϕ

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

!4

dx p

!4

cx p

!3

bxF

!2

axM

EI

1vv

!3

dx p

!3

cx p

!2

bxF

!1

axM

EI

1

4432

00

332

0

2.2.2-9

În relaţiile 2.2.2-8, respectiv 2.2.2-9, for ţele exterioare M, F, p intervin cusemn. Ele au semnul + dacă sunt orientate pe bar ă aşa cum sunt orientate pe baradin Fig.2.2.2-1 sau cum se mai prezintă în Fig.2.2.2-2.

Originea sistemului de referinţă se alege întotdeauna în secţiunea cea maidin stânga a barei.

Constantele de integrare ϕ0 şi v0 (care sunt numai două) se determină dincondiţiile de rezemare. După ce acestea au fost determinate şi relaţiile pentrudeplasări sunt în forma lor finală, se poate trece la calculul deplasărilor (săgeţisau rotiri) în orice secţiune a barei. Trebuie avut în vedere faptul că atunci cândse determină constantele de integrare sau se calculează deplasările, în relaţiile

finale intervin numai termenii care provin de la sarcinile situate strict în stângasecţiunii respective. De altfel pentru o secţiune situată unde acţionează o sarcină,termenii din relaţii au valori nule, iar pentru secţiuni situate după sarcini,termenii sunt negativi (nu se ia în considerare exponentul). Astfel de termeni seelimină (nu se iau în considerare).

Aplica ţ ie: Pentru bara dreapt ă din Fig.2.2.2-3 să se calculeze să geata şi

rotirea sec ţ iunii 2. Se cunoa şte EI = 1,4 KN m

2

.

x

y

M F p

Fig.2.2.2-2

O




51

Rezolvare

Se calculează reacţiunile:V

1= 2,5 KN

V2 = 17,5 KNOriginea sistemului de referinţă este în secţiunea 1. Nu există decât numaisarcini concentrate.

Relaţiile pentru deplasări (relaţiile 2.2.2-8) particularizate pentru problema dată sunt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )6n2xV

6nxF

60xVxEIvEIvEI

2

n2xV

2

nxF

2

0xVEIEI

3

2

33

100

2

2

22

10

−−−+−−ϕ+=

−−

−+

−−ϕ=ϕ

În relaţiile de mai sus, se avut în vedere că ϕ0 = ϕ1, v0 = v1 iar for ţa F dinsecţiunea 4 nu s-a luat în considerare deoarece la calculul deplasărilor nu vaavea efect (paranteza va avea valoarea zero).Condiţiile la limită pentru calculul parametrilor în origine sunt:

¾ pentru x = 0 ⇒ v1 = v0 = 0 ¾ pentru x = 2 n = 2 m ⇒ v3 = 0

Înlocuind aceste condiţii în relaţiile deplasărilor, rezultă:

( ) ( )6

nn2F

6

n2Vn2EI0

33

10

−+−⋅ϕ=

Din această relaţie se calculează rotirea în origine:rad592,010 =ϕ=ϕ

Cunoscându-se acum deplasările din origine (parametri iniţiali) se poatetrece la calculul săgeţii în secţiunea 2. Pentru aceasta în relaţia săgeţii se ia x = n = 1 m:

F = 10 KN F

V1 = 2,5 KN V2 = 17,5 KN

200

100n = 1 m n n/2

Fig.2.2.2-3

1 2 34




52

( ) ( ) ( )

( )

m2952,0v6

0n

VnEI

6

n2nV

6

nnF

6

0nVnEIvEI

2

3

10

3

2

33

102

=⇒

−

−ϕ=

=−

−−

+−

−ϕ=

Pentru calculul rotirii în secţiunea 3, în relaţia rotirii se consider ă x = 2n şise obţine:

rad297,02 =ϕ

2.2.3 Metoda grinzii conjugate (reciproce) sau metoda Mohr

Se consider ă o grindă simplu rezemată încărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare p(x) ca în Fig.2.2.3-1a. Sub acţiunea acesteia, grinda sedeformează la încovoiere.

Ne propunem să determinăm deplasările (săgeata şi rotirea) într-o secţiuneoarecare a acestei bare, secţiune poziţionată de coordonata x. Pentru grinda dată numită grind ă real ă, consider ăm că am trasat diagrama momentului încovoietor (Fig.2.2.3-1b). Înseamnă că se pot scrie următoarele relaţii (deja cunoscute):

p(x)

x

va)

b)

Mi(x)

pf = Mi(x)

x??c)

Fig.2.2.3-1




53

( )xMdx

vdEI i2

2

−= 2.2.3-1a

( )

( )xTdx

xdM i

= 2.2.3-1b

( )( )x p

dx

xdT−= 2.2.3-1c

( ) ( )( )x p

dx

xdT

dx

xMd2i

2

−== 2.2.3-1d

Se consider ă acum o altă grindă numită grind ă conjugat ă sau grind ă reciprocă al cărui mod de rezemare încă nu se precizează şi pe care o încărcămcu sarcina fictivă p f ce variază după aceeaşi lege ca şi momentul încovoietor

M i(x) al grinzii reale (Fig.2.2.3-1c):

( ) ( )xMx p if = 2.2.3-2

Toate mărimile care se vor referi la grinda conjugată vor purta de acumînainte indicele f .

Se poate scrie pentru grinda conjugată:

f f

2if

2

f f

f if

pdx

dT

dx

Md

pdx

dT;T

dx

dM

−==⇒

−==

2.2.3-3

Ţinând seama de relaţia 2.2.3-1a, rezultă:

( )

2if

2

2

2

f i2

2

dx

Md

dx

vdEI

pxMdx

vdEI

=⇒

−=−=

2.2.3-4

Integrând o dată relaţia 2.2.3-4 se obţine:

1if C

dx

dM

dx

dvEI += 2.2.3-5




54

Se pune acum condiţia ca grinda conjugată să fie astfel rezemată încât constantade integrare C 1 = 0. Cu această condiţie, relaţia 2.2.3-5 devine:

f if T

dx

dMEI

dx

dvEI ==ϕ= 2.2.3-6

de unde rezultă expresia pentru rotire:

z

f

IE

T=ϕ 2.2.3-7

Integrând încă o dată relaţia 2.2.3-4 (sau relaţia 2.2.3-6) se obţine expresiasăgeţii:

z

if if EI

MvMvEI =⇒= 2.2.3-8

Şi la această integrare se impun condiţii de rezemare astfel încât constanta deintegrare care apare să fie nulă.

Modurile de rezemare pentru grinzile conjugate ale câtorva grinzi reale,astfel încât constantele de integrare să fie nule sunt prezentate în Fig.2.2.3-2.

GRINDA REALĂ GRINDA CONJUGATĂ

ϕ = 0v = 0

ϕ ≠ 0v ≠ 0

ϕ ≠ 0v = 0

ϕ ≠ 0v = 0

ϕ ≠ 0v ≠ 0

ϕ ≠ 0v = 0

ϕ ≠ 0v = 0

Tf = 0Mif = 0

Tf ≠ 0M ≠ 0

Tf ≠ 0Mif = 0

Tf ≠ 0Mif = 0

Tf ≠ 0M ≠ 0 Tf ≠ 0

M = 0Tf ≠ 0Mif = 0

a)

b)

c)

Fig.2.2.3-2




55

În practică se întâlnesc multe situaţii când barele au secţiune variabilă (momentul de iner ţie I z al secţiunii transversale nu este constant în lungul barei).Metoda grinzii conjugate spre deosebire de celelalte metode care au fost

prezentate, poate fi utilizată şi pentru bare cu secţiune variabilă. La calculul

deplasărilor în acest caz se porneşte de la ecuaţia fibrei medii deformate, iar domeniile (intervalele) barei se stabilesc atât în funcţie de sarcinile aplicate câtşi de variaţia momentului de iner ţie I z (x).

Aplicând metoda dublei integr ări, ecuaţia fibrei medii deformate este:

( )( )xI

xM''vE

z

i−= 2.2.3-9

Prin două integr ări succesive se ajunge la expresia rotirii, respectiv a săgeţii:

( )( )∫ +−=ϕ 1

z

i CdxxI

xME 2.2.3-10a

( )( )∫ ∫ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 21

z

i CxCdxdxxI

xMvE 2.2.3-10b

Se introduce acum noţiunea de moment încovoietor redus (M ired ). Deasemenea, se fixează un moment de iner ţie I 0 faţă de care se efectuează

convenţional o reducere. Momentul de iner ţie I 0 este unul dintre momentele deiner ţie ale barei, de obicei de pe intervalul corespunzător momentuluiîncovoietor maxim sau cea mai mică valoare a momentului de iner ţie de pe bar ă.

Expresia fibrei medii deformate (relaţia 2.2.3-9) se înmulţeşte cu I 0 şirezultă:

( )( ) ired

z

0i0 M

xI

IxM''vEI −=−= 2.2.3-11

Integrând de două ori relaţia 2.2.3-11 se obţine:

∫ +−=ϕ 1ired0 CdxMEI 2.2.3-12a

( )∫ ∫ ++−= 21ired0 CxCdxdxMvEI 2.2.3-12b

În relaţiile 2.2.3-11, 2.2.3-12a,b, M ired este momentul încovoietor redus înraportul momentelor de iner ţie I 0 / I z (x):




56

( )( )xI

IxMM

z

0iired = 2.2.3-13

Acum deplasările se calculează cu relaţiile:

0

if

0

f

IE

Mv

IE

T

=

=ϕ

2.2.3-14

Pentru calculul deplasărilor în cazul barelor cu secţiune variabilă, se parcurgaceleaşi etape ca şi la bara de secţiune constantă, numai că după trasarea

diagramei momentului încovoietor se trasează diagrama momentului încovoietor redus Mired şi grinda conjugată se încarcă cu această diagramă.

Pentru calculul deplasărilor prin metoda grinzii conjugate la barele dreptede secţiune constantă, se parcurg următoarele etape:

¾ se trasează diagrama de moment încovoietor pentru grinda reală (grinda dată)

¾ se reprezintă grinda reală f ăr ă sarcini (dar cu reazeme)¾ se formează grinda conjugată a grinzii reale (vezi cazurile din

Fig.2.2.3-2)

¾ se încarcă grinda conjugată cu diagrama momentului încovoietor algrinzii reale (s-a obţinut astfel un sistem fictiv)¾ pentru calculul deplasărilor într-o secţiune, de pe sistemul fictiv se

determină după caz for ţa tăietoare fictivă (T f ) sau momentulîncovoietor fictiv ( M if ) şi se aplică relaţiile 2.2.3-7 sau 2.2.3-8.




57

Aplica ţ ia nr.1: Pentru grinda de rigiditate constant ă din Fig.2.2.3-3 să se

calculeze ϕ 1 şi v4.

Rezolvare

Diagrama momentului încovoietor pentru grinda reală este trasată prinsuprapunere de efecte şi este prezentată în Fig.2.2.3-3b.

În Fig.2.2.3-3c este prezentată grinda conjugată a grinzii reale. Grinda

conjugată este încărcată cu diagrama de moment încovoietor obţinându-sesistemul fictiv (Fig.2.2.3-d). Pentru calculul rotirii în secţiunea 1 (grinda reală)trebuie determinată for ţa tăietoare din secţiunea 1 f . Această for ţă tăietoare estetocmai reacţiunea V if din secţiunea 1 f . După calcul se obţine:

z z

f

if f

I E

a p

EI

T

paV T

31

1

3

1

2

2

⋅==ϕ⇒

==

2pa2 4pa p

a a a

2pa2

pa2/2

2pa2

2pa2

2pa2 pa2/2

V1f = pa3/2

1 2 34

1f 2f 3f 4f

1f 2f 3f 4f

a

b

c

d

Fig.2.2.3-3




58

Pentru calculul săgeţii din secţiunea 4 (grinda reală) se calculează momentul încovoietor fictiv din secţiunea 4 f ( M i4f ). Pentru exemplul studiat seobţine:

z

4

4

4

f 4i

IE8

a pv

8a pM

=⇒

=

Aplica ţ ia nr.2: S ă se calculeze rotirea şi deplasarea sec ţ iunii 2 pentrubara de rigiditate variabil ă din Fig.2.2.3-4.

RezolvareMai întâi se trasează diagrama momentului încovoietor. Şi de această

dată, diagrama momentului încovoietor se trasează prin suprapunere de efecte(Fig.2.2.3-5a).

4Fa F

Iz 2 Iz1

23

a a

Fig.2.2.3-4

4Fa

4Fa

2Fa

Fa/22Fa

Fa

Fa/2Fa/4

1f

2f

3f

a)

b)

c)




59

La acest tip de bar ă trebuie trasată diagrama de moment încovoietor redus.Momentul încovoietor redus se calculează în secţiunile caracteristice ale barei curela

ţia:

z

0iired I

IMM =

Pentru exemplul prezentat s-a considerat că I 0 = I (momentul de iner ţie al primului interval, intervalul 1-2). Înseamnă că pe acest interval diagrama reală amomentului încovoietor coincide cu cea redusă (nu se modifică), însă peintervalul 2-3 aceasta se reduce (se micşorează). Diagrama momentului

încovoietor redus M ired este prezentată în Fig.2.2.3-5b. Grinda conjugată agrinzii reale este prezentată în Fig.2.2.3-5c. Grinda conjugată încărcată cudiagrama momentului încovoietor redus se prezintă în Fig.2.2.3-5d, obţinându-se aşa numitul sistem fictiv.

Acum se pot calcula deplasările cerute. Pentru calculul acestora estenevoie de calculul cel puţin a unei reacţiuni. S-a calculat reacţiunea dinreazemul 3 f (Fig.2.2.3-5d).

For ţa tăietoare fictivă din secţiunea 2 f este:

z

2

0

22

22 EI

aF2411

EITFa

2411T f

f ==ϕ⇒=

iar momentul încovoietor fictiv din aceeaşi secţiune este:

z

3

0

2i

23

2i EI

aF

24

17

EI

MvFa

24

17M f

f −==⇒−=

4Fa

1f 2f

3f

Fa/2Fa/4

Fa2Fa

d)

Fig.2.2.3-5

V3f = 5 Fa2 / 6V1f




60

2.3 METODA SARCINII UNITARE (METODA MOHR-MAXWELL)

În domeniul elastic de solicitare, lucrul mecanic al for ţelor exterioare este

egal cu cel al for ţelor interioare (eforturilor). Acest principiu este cunoscut subnumele de principiul lui Clapeyron.

Le = Li 2.3-1

unde:

∑ ∑= =

ϕ+δ=n

1i

m

1 j j jiie M

2

1F

2

1L 2.3-2

cu F i – for ţele exterioare aplicate M j – momentele exterioare aplicateδi – deplasările secţiunilor în care acţionează for ţele exterioareϕ j – rotirile secţiunilor în care acţionează momentele exterioare.

Lucrul mecanic al for ţelor interioare (se neglijează efortul tăietor) este dat deexpresiile deja cunoscute:

∑∫=l

iN dx A E

N L

0

2

22.3-3a

∑ ∫=l

z

i

iM dx I E

M L

i

0

2

22.3-3b

∑ ∫=

l

p

t

iM dx I G

M

L t

0

2

2 2.3-3c

Metodele de calcul care se bazează pe energia de deformaţie sunt metode

energetice. În Rezistenţa Materialelor se cunosc mai multe metode energetice cu

ajutorul cărora se pot determina deplasările elementelor de rezistenţă.Metoda sarcinii unitare sau metoda Mohr - Maxwell este una dintre aceste

metode. Se va studia această metodă deoarece este o metodă relativ simplă şi se poate aplica f

ăr ă

restricţii deosebite. Ea poate fi aplicat

ăbarelor drepte, curbe cu

secţiune constantă sau variabilă.




61

2.3.1 Metoda Mohr – Maxwell (Metoda sarcinii unitare)

Demonstrarea acestui procedeu din metoda sarcinii unitare se face pentru

o bar ă dreaptă solicitată la încovoiere. Ne interesează pentru început săgeata δ produsă într-o secţiune curentă agrinzii (Fig.2.3.1-1a).

Asupra grinzii acţionează un sistem de for ţe transversale concentrate F 1 … F n care în dreptul lor produc barei deplasările δ1 … δn (Fig.2.3.1-1a). Înacelaşi timp, datorită deformării, în grindă a luat naştere un moment încovoietor

M iz . Conform principiului lui Clapeyron, se poate scrie:

∑ ∫∑=δ

l

z

iz

ii

dx I E

M F

0

2

22

1

2.3.1-1

Înlătur ăm acum toate for ţele exterioare aplicate, iar în secţiunea în caredorim să calculăm săgeata, aplicăm o for ţă transversală concentrată f (Fig.2.3.1-1b). Sub acţiunea acesteia grinda se deformează iar în aceasta se dezvoltă momentul încovoietor miz . În secţiunea în care acţionează sarcina f , săgeata esteδ’. Principiul lui Clapeyron în acest caz conduce la:

∑∫=δ′

l

z

iz dx I E

m f

0

2

22

12.3.1-2

F1 F2 Fn

f

F1 F2 Fnf

δ

δ’

δ1

δ2 δn

δ1 δ2 δ δn

δ’

a)

b)

c)

Fig.2.3.1-1




62

Menţinând for ţa f pe bar ă (Fig.2.3.1-1c) se aşează din nou sistemul de for ţe F 1 … F n situaţie în care în bar ă există momentele încovoietoare M iz + miz . Aplicând

principiul lui Clapeyron, se poate scrie:

( )∑ ∑∫

+=δ+δ′+δ

l

z

iz iz

ii dx I E

m M f f F

0

2

22

1

2

12.3.1-3

În relaţia 2.3.1-3 la termenul f ⋅δ nu apare 1 / 2 deoarece for ţa f parcurgedeplasarea δ cu întreaga sa intensitate, fiind deja pe bar ă când s-a aplicatsistemul de for ţe exterioare.Înlocuind termenii din stânga ai relaţiei 2.3.1-3 în funcţie de eforturi (relaţiile2.3.1-1, 2.3.1.2) se poate scrie:

∑∫ ∑∫ ∑∫ ∑∫∑ ∫ ++=δ++l

0

l

0

l

0

l

0 z

iziz

z

2iz

z

2iz

z

2iz

l

00 z

2iz

IE

mM2

2

1dx

EI

m

2

1dx

EI

M

2

1f dx

EI

m

2

1dx

EI

M

2

1

După reducerea termenilor, rezultă:

∑∫=δl

0 z

iziz

IE

mMf 2.3.1-4

Dacă lui f i se atribuie valoarea unitar ă (unu), relaţia 2.3.1-4 conduce la relaţiade calcul a săgeţii unei secţiuni:

∑∫=δl

0 z

iziz

IE

mM2.3.1-5

În relaţia 2.3.1-5:

M iz – funcţia momentului încovoietor pe fiecare interval, produs de for ţeleexterioare direct aplicatemiz – funcţia momentului încovoietor pe aceleaşi intervale, dar produs de

o sarcină unitar ă concentrată care acţionează în secţiunea în care se doreşte a secalcula săgeata. Această for ţă unitar ă trebuie să aibă aceeaşi direcţie cu direcţia

pe care se calculează săgeata.Dacă se doreşte a se determina rotirea unei secţiuni la solicitarea de

încovoiere se procedează analog cu observaţia că în secţiunea respectivă se puneun moment unitar concentrat. Atunci, rotirea secţiunii poate fi calculată cu

relaţia:




63

∑∫′

=ϕl

0 z

iziz

IE

mM2.3.1-6

unde:m’ iz – funcţia momentului încovoietor pe fiecare interval, produs de

momentul unitar concentrat pus în secţiunea în care se doreşte calculul rotirii.Dacă se ţine seama şi de alte eforturi, relaţiile 2.3.1-5, 2.3.1-6 se

completează cu termenii de la aceste eforturi:

∑ ∑∫ ∑∫

∑ ∑∫ ∑∫

′

+

′

+

′

=ϕ

++=δ

l

0

l

0 p

tt

z

iziz

l

0

l

0 p

tt

z

iziz

IG

mM

dxIE

mM

AE

n N

IG

mMdx

IE

mM

AE

n N

2.3.1-7

unde: N, M t – funcţiile efortului axial, respectiv a momentului de torsiune pe

fiecare interval al barei, produse de for ţele exterioare direct aplicaten, mt – funcţiile efortului axial, respectiv ale momentului de torsiune pe

fiecare interval, produse de for ţa unitar ă aşezată în secţiunea în care secalculează săgeata

n’, mt ’ - funcţiile efortului axial, respectiv ale momentului de torsiune pefiecare interval, produse de momentul unitar aşezat în secţiunea în care secalculează rotirea.

Observa ţ ie: Interval caracteristic este acel interval al barei pe care toateeforturile prezintă aceleaşi funcţii şi rigiditatea este constantă. La stabilireaintervalelor se are în vedere şi secţiunile în care urmează a se calcula deplasările.

Exemplele care vor urma ne vor elucida mai bine aceste aspecte.




64

Aplica ţ ie: Pentru bara de sec ţ iune variabil ă din Fig.2.3.1-2a să se

calculeze deplasarea pe orizontal ă şi vertical ă a sec ţ iunii 1 şi rotirea sec ţ iunii

2.

Rezolvare

Bara prezintă trei intervale: 1-2, 2-3, 3-4. Primele două au rigiditatea laîncovoiere EI, iar ultimul, 2EI .

Mai întâi se scriu funcţiile momentului încovoietor produs de sarcinileaplicate, pe cele trei intervale:

intervalul 1-2 Mi = px2/2 intervalul 2-3 Mi = 2pa2 intervalul 3-4 Mi = 2pa2 + 2pa x

Pentru calculul deplasării pe orizontală, pe bara eliberar ă de sarcinile aplicate, însecţiunea 1 se pune o for ţă unitar ă orientată pe orizontală (Fig.2.3.2-2b). Pentruacest sistem se scriu funcţiile momentului încovoietor:

intervalul 1-2 miH = 0 intervalul 2-3 miH = 1 x = x

intervalul 3-4 miH = 1 (a + x) = a + x

Se calculează acum deplasarea pe orizontală a secţiunii 1, cu relaţia:

( ) ( )

IE

a p

3

10

dxIE2

xax pa2 pa2dx

IE

x pa2dx

IE

02

px

dxIE

mM

4

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

iHiH1

⋅=

=+⋅+

+⋅

+⋅

=⋅

=δ ∑∫ ∫ ∫ ∫

Pentru calculul deplasării secţiunii 1 pe verticală, pe bara eliberată desarcinile aplicate, în secţiunea 1 se pune pe verticală o for ţă unitar ă (Fig.2.3.1-

2c). Pentru acest sistem, se scriu funcţiile momentului încovoietor:

2pa

p

2aa

a

12

3

4

11 1

I

2I

a) b) c) d)

Fig.2.3.1-2




65

intervalul 1-2 miV = 1 · x = x

intervalul 2-3 miV = 1 ·2a = 2a

intervalul 3-4 miV = 1 ·2a = 2a

Deplasarea pe verticală a secţiunii 1, se calculează cu relaţia:

( )

IE

a p9

dxIE2

a2x pa2 pa2dx

IE

a2 pa2dx

IE

x2

px

dxIE

mM

4

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

iViV1

=

=⋅+

+⋅

+⋅

=⋅

=δ ∑∫ ∫ ∫ ∫

Pentru calculul rotirii secţiunii 2, pe bara eliberată de sarcinile aplicate, însecţiunea 2 se pune un moment încovoietor unitar (Fig.2.3.1-2d). Pentru acestsistem se scriu funcţiile momentului încovoietor:

intervalul 1-2 m’ i = 0 intervalul 2-3 m’ i = 1

intervalul 3-4 m’ i = 1

Rotirea secţiunii 2 se calculează cu relaţia:

( )

IE

a p

2

7

dxIE2

1x pa2 pa2dx

IE

1 pa2dx

IE

02

px

dxIE

mM

3

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

ii2

⋅=

=⋅+

+⋅

+⋅

=′⋅

=ϕ ∑∫ ∫ ∫ ∫

Cunoscându-se deplasarea pe orizontală şi verticală a secţiunii 1, se poatedetermina deplasarea totală a acestei secţiuni. Deplasarea totală se calculează curelaţia:

21

211 V H tot δ+δ=δ




66

2.3.2 Regula de integrare Vereşceaghin (procedeul Vereşceaghin)

După cum se cunoaşte, pentru determinarea deplasărilor prin metodasarcinii unitare, trebuie efectuate integrale. Nu totdeauna, aceste integrale sunt

uşor de efectuat. Din acest motiv, Vereşceaghin a dezvoltat o metodă grafo-analitică folosind însă tot metoda sarcinii unitare. Această metodă îi poartă numele. Ca urmare este mai corect să se denumească procedeu şi nu metod ă,deoarece ce a stabilit el nu este o nouă metodă, metoda fiind aceea a sarciniiunitare. Din păcate acest procedeu nu la toate tipurile de bare poate fi utilizat.

Se consider ă o por ţiune dintr-o bar ă dreaptă care prezintă diagrama demoment încovoietor ca cea din Fig.2.3.2-1a. Prin înlăturarea sarcinilor directaplicate şi punerea sarcinii unitare în secţiunea în care urmează a se determinadeplasarea, pe acelaşi interval, va rezulta pentru acest sistem o variaţie liniar ă amomentului încovoietor (Fig.2.3.2-1b).

Punctul C reprezintă centrul de greutate al diagramei de moment încovoietor M iz

produs de sarcinile direct aplicate.Integralele de tip Mohr-Maxwell folosite pentru calculul deplasărilor în

metoda sarcinii unitare pot fi scrise astfel:

( ) ( )

( ) icMcMcMM

x

x

M

x

x

M

x

x

x

x

x

x

Miziziziz

mx bax ba

dx bdadx badxMmdxmM

iziziziz

2

1

iz

2

1

iz

2

1

2

1

2

1

iz

⋅Ω=+⋅Ω=⋅Ω+Ω=

=Ω⋅+Ω=Ω⋅+=⋅= ∫∫∫ ∫ ∫

Deci s-a obţinut:

x1

x2xc

x

x

x dx

xc

a + b x mic = a + b xc

a)

b)

Miz

dΩMiz ΩMizC

Fig.2.3.2-1




67

∑

∫⋅Ω

=δ⇒

⋅Ω=

z

icM

icMiz

x

x

iz

IE

m

mmM

iz

iz

2

1

2.3.2-1

În relaţia 2.3.2-1:ΩMiz – aria diagramei de moment încovoietor produs de sarcinile direct

aplicatemic – valoarea momentului încovoietor produs de for ţa unitar ă, din

secţiunea corespunzătoare centrului de greutate C al diagramei momentuluiîncovoietor al sarcinilor direct aplicate (al suprafeţei ΩMiz)

Analog, rotirea se poate determina cu relaţia:

∑

∫′⋅Ω

=ϕ⇒

′⋅Ω=′

z

ic M

ic M iz

x

x

iz

I E

m

mm M

iz

iz

2

1

2.3.2-2

unde:

m’ ic - valoarea momentului încovoietor produs de momentul unitar, dinsecţiunea corespunzătoare centrului de greutate C al diagramei momentuluiîncovoietor al sarcinilor direct aplicate (al suprafeţei ΩMiz)

Observaţie. După cum se poate constata, în acest procedeu nu se mairezolvă integrale, în schimb se trasează diagrame de eforturi. La suprafeţelediagramelor de eforturi trebuie cunoscută aria şi poziţia centrului de greutate alacestor suprafeţe. Din aceste considerente, este recomandat ca diagramele deeforturi să fie trasate prin suprapunere de efecte, astfel se obţin suprafeţe simplela care se cunoaşte aria şi poziţia centrului de greutate.

În Fig.2.3.2-2, se prezintă câteva suprafeţe des întâlnite în calcululdeplasărilor, cu relaţia ariei şi poziţia centrului de greutate.

b

h

b/2 b/2

b

h

b/3 2b/3

A = b h

A = b h / 2




68

Procedeul Vereşceaghin se poate utiliza numai pe intervalele drepte ale barei.

Aplica ţ ie: Pentru bara cotit ă de rigiditate constant ă , din Fig.2.3.2-3,aplicând procedeul Vere şceaghin, se cere:

a) deplasarea pe vertical ă şi orizontal ă a sec ţ iunii 1

b) rotirea sec ţ iunii 1

RezolvarePentru calculul deplasărilor, procedeul Vereşceaghin, impune trasarea

diagramelor de eforturi ale sarcinilor direct aplicate. Şi în acest caz se va lua înconsiderare numai momentele. Pentru acest exemplu, moment de torsiune nuexistă. Diagrama momentului încovoietor al for ţei aplicate este prezentată înFig.2.3.2-4a.

A = 2 b h / 3

h

b

3b/8 5b/8

A = b h / 3

b/43b/4

Fig.2.3.2-2

3 a

2 aa

F

12

Fig.2.3.2-3

2Fa

FaFa

Fa

Fa

2a

a

a

aa

2a

2a2a

1

1

1

1

1

1

11

a) b)

c) d)

Fig.2.3.2-4




69

Pentru calculul deplasării secţiunii 1 pe orizontală, în secţiunea 1 se puneo for ţă unitar ă pe orizontală şi se trasează diagrama momentului încovoietor (Fig.2.3.2-4b). Cu diagramele din Fig.2.3.2-4a de unde se ia suprafaţa Ω şi celedin Fig.2.3.2-4b de unde se ia momentul mic din secţiunea corespunzătoare

centrului de greutate al suprafeţei Ω, se calculează deplasarea pe orizontală asecţiunii 1:

IE

aF

aFa2a2Fa22

1a2aFa

2

1

2

a2a2Fa0aFa

2

1EI

3

H1

3H1

−=δ⇒

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

Pentru calcul deplasării secţiunii 1 pe verticală, în secţiunea 1 se pune ofor ţă unitar ă pe verticală şi se trasează diagrama momentului încovoietor (Fig.2.3.2-4c). Cu diagramele din Fig.2.3.2-4a de unde se ia suprafaţa Ω şi celedin Fig.2.3.2-4c de unde se ia momentul mic din secţiunea corespunzătoarecentrului de greutate al suprafeţei Ω, se calculează deplasarea pe verticală asecţiunii 1:

IE

aF

3

16

aF3

16a2

3

2a2Fa2

2

1a

3

2aFa

2

1aa2Faa

3

2aFa

2

1EI

3

V1

3V1

⋅=δ⇒

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

Pentru calcul rotirii secţiunii 1, în secţiunea 1 se pune un moment unitar şise trasează diagrama momentului încovoietor (Fig.2.3.2-4d). Cu diagramele dinFig.2.3.2-4a de unde se ia suprafaţa Ω şi cele din Fig.2.3.2-4d de unde se iamomentul m’ ic din secţiunea corespunzătoare centrului de greutate al suprafeţeiΩ, se calculează rotirea secţiunii 1:

IE

aFaF1a2Fa22

1

1aFa2

1

1a2Fa1aFa2

1

EI2

1

2

1

=ϕ⇒

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=ϕ

Observaţie: Pe intervalele unde diagramele momentului încovoietor alsarcinilor direct aplicate şi cel al sarcinilor unitare sunt pe păr ţi opuse, produsulΩMi mic este negativ (are semnul -). În diagramele sarcinilor unitare, momentelemic, respectiv m’ ic sunt îngroşate.




70

2.4. SISTEME STATIC NEDETERMINATE

Un sistem este static nedeterminat atunci când numărul necunoscutelor (reacţiuni şi eforturi) este mai mare decât numărul ecuaţiilor de echilibru care se

pot scrie pentru acel sistem. Diferenţa dintre numărul necunoscutelor şi cel alecuaţiilor de echilibru indică gradul de nedeterminare (n) al sistemului. Cândnecunoscutele sunt reacţiuni (Fig.2.4-1a) sistemul este static nedeterminat

exterior, când necunoscutele sunt eforturi (Fig.2.4-2b) sistemul este static

nedeterminat interior, iar când necunoscutele sunt atât reacţiuni cât şi eforturi(Fig.2.4-1c) sistemul este static nedeterminat exterior şi interior (3 ori interior şio dată exterior).

O articulaţie micşorează gradul de nedeterminare cu o unitate. Dacă într-oarticulaţie se întâlnesc trei bare, gradul de nedeterminare scade cu două unităţi.În general, dacă într-o articulaţie se întâlnesc s bare, faţă de cele cunoscute,gradul de nedeterminare scade cu s –1 unităţi.

Se consider ăm un sistem static nedeterminat de n ori. Înlăturând de pesistemul real (static nedeterminat) toate sarcinile aplicate şi legăturilesuplimentare (numărul lor este egal cu gradul de nedeterminare) se obţine aşanumitul sistem de baz ă (SB). Dacă de pe sistemul real se înlătur ă numai

legăturile suplimentare, şi acestea se înlocuiesc cu for ţele corespunzătoarelegăturilor înlăturate, se obţine un sistem echivalent (SE). Desigur, acest sistemeste echivalent cu cel real, numai dacă deplasările sistemului obţinut prinînlocuirea legăturilor suplimentare cu for ţele corespunzătoare sunt aceleaşi cucele ale sistemului real (static nedeterminat). Aşadar, în locul legăturilor suplimentare şi înlăturate, trebuie introduse for ţe de legătur ă sau eforturi (după caz) care să aibă o astfel de valoare încât împreună cu sarcinile direct aplicate să

producă sistemului aceleaşi deplasări (liniare sau rotaţii) ca în cazul sistemuluistatic nedeterminat (sistemul real). În general, aceste deplasări sunt nule.

La început se încarcă sistemul de bază (care este un sistem staticdeterminat şi neîncărcat) numai cu sarcinile direct aplicate. În secţiunile unde s-

n = 2 n = 3

n = 4

a) b)c)

Fig.2.4-1




71

au înlăturat legături, se produc deplasările: δ10, δ20 … δn0. Încărcând acum (perând) sistemul de bază cu for ţele de legătur ă X1, X2, … Xn , acestea vor produceîn secţiunile respective deplasările δiX1, δiX2 … δiXn. Suma deplasărilor for ţelor direct aplicate şi a celor de legătur ă trebuie să fie nulă:

0...

.

.

.

0...

0...

n21

n21

n21

nXnXnX0n

X2X2X220

X1X1X110

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ

2.4-1

Dacă se aplică nu for ţe X i ci for ţe unitare şi cunoscând că deplasările sunt propor ţionale cu for ţele unitare (sau cupluri unitare) aplicate:

jijiX X j

δ=δ 2.4-2

sistemul de ecuaţii (relaţiile 2.4-1) se poate scrie sub forma:

0X...XX

.

.

.

0X...XX

0X...XX

nnn22n11n0n

nn222212120

nn121211110

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ

2.4-3

unde:δij – deplasarea pe direcţia i produsă de for ţa unitar ă ce acţionează pe

direcţia j

δi 0 – deplasarea pe direcţia i produsă de sarcinile direct aplicate.Sistemul de ecuaţii (relaţiile 2.4-4) reprezintă sistemul de ecua ţ ii canonice

pentru sistemul static nedeterminat. Rezolvând acest sistem de ecuaţii, sedetermină for ţele de legătur ă suplimentare ale sistemului static nedeterminat.

Pentru determinarea coeficienţilor sistemului de ecuaţii canonice (caresunt deplasări) se recomandă parcurgerea următoarelor etape:




72

¾ se stabileşte gradul de nedeterminare n al sistemului real (SR)¾ se stabileşte tipul nedeterminării statice: exterior, interior sau interior-exterior

Pentru calculul deplasărilor se procedează în felul următor:¾ din SR se formează sistemul echivalent SE, cel mai convenabil

¾ din SE se formează sistemul de bază SB¾ corespunzător gradului de nedeterminare, se scrie sistemul de ecuaţiicanonice (relaţiile 2.4-3) Pentru cazul când n = 3, sistemul de ecuaţiicanonice (de condiţie) este de forma:

0XXX

0XXX

0XXX

33323213130

32322212120

31321211110

=δ+δ+δ+δ

=δ+δ+δ+δ

=δ+δ+δ+δ

¾ se ia SB şi se încarcă pe rând: mai întâi cu sarcinile direct aplicate şi în funcţie de procedeul ales (Mohr-

Maxwell sau Vereşceaghin) se scriu funcţiile de eforturi sau se trasează diagramele de eforturi, care se notează cu N 0 , M i0 , M t0

cu necunoscutele X 1 = 1, X 2 = 1 … X n = 1 şi pentru fiecare astfel deîncărcare, funcţie de procedeul ales, se scriu funcţiile de eforturi sau setrasează diagramele de eforturi, care se notează cu: (n1, mi1, mt1), (n2 , mi2 ,

mt2) … (nn , min , mtn)

cu N 0 , M i0 , M t0 şi (n1 , mi1 , mt1), (n2 , mi2 , mt2) … (nn , min , mtn) se calculează coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice. Indicii i0, ij ai acestor coeficienţi indică şi funcţiile sau diagramele care se utilizează pentrucalculul coeficienţilor

¾ cunoscându-se coeficienţii sistemului, acesta se rezolvă şi se obţinnecunoscutele X 1 , X 2 , … X n

¾ pe SE se înlocuiesc necunoscutele X 1 , X 2 , … X n cu valorile şi sensurile lor reale, obţinându-se astfel un sistem static determinat

¾ pentru sistemul static determinat astfel obţinut, se pot efectua calcule derezistenţă sau de deplasări

Rezolvarea unui sistem cu un grad mare de nedeterminare, este o operaţiedificilă, datorită atât unui număr mare de coeficienţi (deplasări) cât şi rezolvăriiunui sistem liniar care conţine un număr mare de ecuaţii. În aplicaţiile practicedin construcţia de maşini, se întâlnesc sisteme de bare cu un grad mare denedeterminare. De multe ori acestea prezintă simetrii, care încă de la început,

permit determinarea sau cunoaşterea unor necunoscute, fie că ele sunt nule, fiecă sunt egale pe perechi. Cunoaşterea acestor necunoscute reduce numărulecuaţiilor canonice şi simplifică mult calculul. Astfel pentru un element derezistenţă plan şi simetric: încărcat simetric, în secţiunile cuprinse în planul de simetrie se cunoaşte

efortul tăietor. Dacă în secţiunile din planul de simetrie nu există for ţe




73

tăietoare (transversale) concentrate, în aceste secţiuni, efortul tăietor este nulFig.2.4-2a), iar dacă există o for ţă tăietoare concentrată, atunci aceasta sedistribuie pe cele două feţe ale secţiunii, în mod egal (Fig.2.4-2b). Pentruelementele de rezistenţă simetrice încărcate simetric, efortul axial şi

momentul încovoietor sunt simetrice, iar efortul tăietor este antisimetric.

încărcat antisimetric, în secţiunile cuprinse în planul de simetrie, se cunoscefortul axial şi încovoietor. Dacă în aceste secţiuni nu există aplicate for ţă axială sau moment încovoietor, în aceste secţiuni efortul axial şi celîncovoietor sunt nule (Fig.2.4-3). Dacă însă în aceste secţiuni există for ţeaxiale sau momente concentrate, efortul axial şi momentul încovoietor dinaceste secţiuni se distribuie pe cele două feţe ale secţiunii din planul desimetrie, în mod egal. Pentru sistemele simetrice încărcate antisimetricdiagrama efortului axial şi a momentului încovoietor sunt antisimetrice, iar afor ţei tăietoare este simetrică.

Sistemele simetrice încărcate simetric sau antisimetric prezintă şiavantajul că se poate considera numai jumătate din sistem. La sistemele dublusimetrice, calculul se simplifică şi mai mult.

a) b)

Fig.2.4-2

F FX1

X2

Fig.2.4-3

F

X2=F/2

X3X1

F F F F

X1

SESR

SR SE




74

2.5 APLICAŢII

Aplica ţ ia 2.5.1. S ă se ridice nedeterminarea statică pentru bara de

rigiditate constant ă din Fig.2.5.1-1.

Rezolvare

Sistemul are 4 reacţiuni şi fiind plan se pot scrie 3 ecuaţii de echilibru.Rezultă că sistemul este o dată static nedeterminat exterior (legăturasuplimentar ă este o for ţă de legătur ă). O variantă a sistemului echivalent SE este

prezentată în Fig.2.5.1-2a, iar sistemul de bază SB se prezintă în Fig.2.5.1-2b.

Sistemul de ecuaţii canonice pentru acest caz conţine o singur ă ecuaţie:

11

101

10111

X

0X

δδ

−=⇒

=δ+δ

Pentru calculul coeficienţilor acestei ecuaţii se procedează astfel: sistemul de bază SB se încarcă cu sarcinile direct aplicate şi se trasează

diagrama de momente încovoietoare, notată cu M 0 (s-a optat pentru procedeul Vereşceaghin). Se obţine sistemul din Fig.2.5.1-3a

sistemul de bază SB se încarcă cu necunoscuta X 1 = 1 şi se trasează diagrama momentului încovoietor m1 (Fig.2.5.1-3b)

F

aa

2a

Fig.2.5.1-1

aa

2a

F X1

2a

2aSESB

a) b)

Fig.2.5.1-2




75

se calculează coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice. Pentru δ10 se

lucrează cu diagrama M 0 (de unde se ia suprafaţa Ω) şi cu diagrama m1 de unde se ia valoarea mic

z

3

10

3

10z

IE2

aF

2

aFa

3

1aa

2

aF

2

1a

3

2a

2

aF

2

1EI

−=δ⇒

−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⋅−⋅⋅−=δ

311

3

11z

a3

16a3

16

a23

2

a2a22

1

a23

2

a2a22

1

EI

=δ⇒

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

Cu valorile determinate pentru coeficienţi, rezultă valoarea necunoscutei:

F32

3X1 =

Sistemul static determinat rezultat, este prezentat în Fig.2.5.1-4.

a

2a

2a

2a

b)

aX1 = 1F

Fa/2

2a

2a

M0

m1

a)

Fig.2.5.1-3

aa

2a

F 3F / 32

SE

Fig.2.5.1.-4




76

Pentru acest sistem se poate efectua acum calculul de rezistenţă sau de deplasări,după regulile cunoscute.

Aplica ţ ia2.5.2. S ă se ridice nedeterminarea pentru bara de rigiditateconstant ă din Fig. 2.5.2-1.

Rezolvare

Sistemul este de 3 ori static nedeterminat exterior ( 6 reacţiuni şi 3 ecuaţiide echilibru). Sistemul echivalent SE şi cel de bază SB sunt prezentate înFig.2.5.2-2a,b.

Sistemul de ecuaţii canonice corespunzător gradului trei de nedeterminare este:

0XXX

0XXX

0XXX

30333232131

20323222121

10313212111

=δ+δ+δ+δ

=δ+δ+δ+δ

=δ+δ+δ+δ

Pentru calculul coeficienţilor sistemului, se trasează diagramele momentuluiîncovoietor pentru sistemul de bază încărcat cu sarcina distribuită (Fig.2.5.2-3a)şi cu necunoscutele X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1 (Fig.2.5.2-3b,c,d).

2a

a p

Fig.2.5.2-1

2a

a p

Fig.2.5.2-2

2aa

X1

X2X3

a) b)

2a

aa)b)

X1 = 12pa2

2a

M0 m1




77

Cu notaţiile din Fig.2.5.2-3 ale diagramelor momentului încovoietor,indicii coeficienţilor sistemului de ecuaţii canonice, indicând diagramele cu carese lucrează, se obţine:

3230

4220

2210

pa3

41a2 pa2

3

1EI

pa3

4aa2 pa2

3

1EI

pa2a24

3a2 pa2

3

1EI

−=⋅⋅−=δ

=⋅⋅=δ

−=⋅⋅−=δ

32112

3

11

a2aa2a22

1EIEI

a3

8

a23

2

a2a22

1

EI

−=⋅⋅−=δ=δ

=⋅⋅=δ

23113

322

a21a2a22

1EIEI

a3

7aa2aa

3

2aa

2

1EI

=⋅⋅=δ=δ

=⋅⋅+⋅⋅=δ

233

23223

a311a211aEI

a251a2a1aa

21EIEI

=⋅⋅+⋅⋅=δ

−=⋅⋅−⋅⋅−=δ=δ

Coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice fiind determinaţi, se poate calculamărimea necunoscutelor. Se obţin valorile:

pa9

1X pa

3

1X pa

12

11X 321 ===

2a

c) d)

a

X2 = 1X3 = 1

a

a

1

1 1 1

m2 m3

Fig.2.5.2-3




78

Sistemul static determinat este prezentat în Fig.2.5.2-4, care poate ficalculat mai departe.

Aplica ţ ia 2.5.3. S ă se ridice nedeterminarea pentru cadrul de rigiditateconstant ă din Fig.2.5.3-1.

Rezolvare

Sistemul este static nedeterminat interior de trei ori, dar este simetric,încărcat simetric. Înseamnă că în secţiunile cuprinse în axa de simetrie secunoaşte mărimea efortului tăietor. Pentru cadrul nostru, în aceste secţiuniefortul tăietor este nul (nu există for ţă tăietoare concentrată în aceste secţiuni).

Sistemul echivalent şi cel de bază sunt prezentate în Fig.2.5.3-2a,b.

2a

a p

11 pa / 12

a / 3 pa2 / 9

Fig.2.5.2-4

2a

2a

2a 2a

a a

a a

F F

F FFig.2.5.3-1

F F

F FX1

X2a) b)SE

Fig.2.5.3-2

SB




79

Sistemul de ecuaţii canonice pentru acest sistem (sunt numai două necunoscute) este:

0XX

0XX

20222121

10212111

=δ+δ+δ

=δ+δ+δ

Pentru determinarea coeficienţilor, se trasează diagramele momentuluiîncovoietor pentru sistemul de bază încărcat cu for ţele aplicate (Fig.2.5.3-3a),respectiv pentru necunoscutele X 1 = 1, X 2 = 1 (Fig.2.5.3-3b,c). Se utilizează numai o jumătate din sistemul de bază.

Cu diagramele din Fig.2.5.3-3, se pot determina coeficienţii sistemului de ecuaţii

canonice:

220

310

312

1121

2

1

4222

12

Faa Faa Faa Fa EI

Faaa Faaa Fa EI

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

=⋅⋅⋅+⋅⋅=δ

a61a211a211a21EI

a61a2a21a2a221EIEI

a3

32a2a2a2a2

3

2a2a2

2

1EI

22

22112

311

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

=⋅⋅+⋅⋅=δ=δ

=⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

După rezolvarea sistemului de ecuaţii canonice, se obţine:

2

aFX0X 21 −==

Valoarea nulă a efortului axial din secţiunea situată pe axa de simetrie (ceaconsiderată) putea fi anticipată.

F

F

Fa

Fa 2a 2a

1 1

1 1

X1 = 1X2 = 1M0 m1 m2

a)b)

c)

Fig.2.5.3-3




80

Sistemul static determinat are acum forma (Fig.2.5.3-4):

Aplica ţ ia 2.5.4. Pentru cadrul de rigiditate constant ă din Fig.2.5.4 -1 secere să se ridice nedeterminarea statică.

RezolvareCadrul este static nedeterminat de 6 ori (3 exterior şi 3 interior). Fiecare

contur plan închis introduce trei necunoscute (eforturi). După cum se observă,sistemul analizat este simetric încărcat antisimetric. În secţiunile cuprinse în

planul de simetrie se cunosc efortul axial şi momentul încovoietor. În acest caz,ele sunt nule. Se va considera numai o jumătate de cadru. Sistemul echivalentSE şi sistemul de bază SB utilizate sunt prezentate în Fig.2.5.4-2a,b.

F F

F F

Fa / 2

Fig.2.5.3-4

M M

aa

a

Fig.2.5.4-1

M X1

X2

a) b)

Fig.2.5.4-2

a

a

a/2

a/2

SBSE




81

Sistemul de ecuaţii canonice pentru gradul doi de nedeterminare este:

0XX

0XX

20222121

10212111

=δ+δ+δ

=δ+δ+δ

Diagramele sarcinilor aplicate şi a celor unitare se prezintă în Fig.2.5.4-3.

Cu diagramele din Fig.2.5.4-3 se determină coeficienţii sistemului deecuaţii canonice.

2

aM

2

aaMEI

aM2aa2MEI

2

20

210

−=⋅⋅−=δ

−=⋅⋅−=δ

322

3

2112

311

a24

7

2

aa

2

a

2

a

3

2

2

a

2

a

2

1EI

4

a

2

a

a2

a

EIEI

a24

13

2

aa2

2

a

2

a

3

2

2

a

2

a

2

1EI

=⋅⋅+⋅⋅=δ

=⋅⋅=δ=δ

=⋅⋅+⋅⋅=δ

Cu aceste valori determinate pentru coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţieşi după rezolvarea acestuia, pentru necunoscutele X 1 şi X 2 se obţin valorile:

a

M218,0X

a

M745,1X 21 ==

M

a

a

a/2

a/2

M0

X1 = 1

a/2

a/2

a/2

X2 = 1

a/2a/2

a/2

m1 m2

Fig.2.5.4-3




82

Sistemul static determinat rezultat este prezentat în Fig.2.5.4-4.

Este destul de uşor de trasat acum diagramele de eforturi pentru întregcadrul. Se trasează mai întâi pentru o jumătate de cadru. Pentru cealaltă jumătatese trasează prin simetrie, respectiv antisimetrie. Se ştie că la un sistem simetricîncărcat antisimetric, efortul tăietor este simetric, iar efortul axial şi momentulîncovoietor sunt antisimetrice.

Diagramele de eforturi pentru cadrul din Fig.2.5.4-1 sunt prezentate înFig.2.5.4-5.

M 1,745 M / a

0,218 M / a

Fig.2.5.4-4

a

a

a/2

a/2

1,745 M / a

1,963 M / a

1,745 M / a

0,218 M / a

0,872 M0,128 M

0,109 M

0,019 M

Fig.2.5.4-5

NT

Mi




83

Orice sistem poate fi descompus într-un sistem simetric şi unulantisimetric. Un exemplu simplu este ar ătat în Fig.2.5.4-6.

F F/2 F/2 F/2 F/2

Fig.2.5.4-6




3. STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC. FLAMBAJUL


Se consider ă o bar ă zveltă (lungime mare în raport cu dimensiuniletransversale) solicitată la compresiune de o for ţă axială F (Fig.3.1-1). La începutvaloarea for ţei F este relativ mică. Sub acţiunea acestei for ţe bara se scurtează dar r ămâne dreaptă. Dacă barei i se aplică lateral o for ţă F*, bara se deformează lateral, dar după înlăturarea for ţei ea revine imediat la poziţia dreaptă avută anterior.

F*F

Fig.3.1-1

În acest caz, se spune că bara este în echilibru elastic stabil. Se măreşte for ţa F

iar la un moment dat, la aplicarea for ţei laterale F* bara se deformează însă după înlăturarea acesteia, bara nu mai revine la forma ei dreaptă avută înainte deaplicarea for ţei axiale F . Bara se află în echilibru elastic nestabil . Valoareafor ţei F pentru care bara a trecut în echilibru nestabil, este o valoare critică, iar for ţa se numeşte for ţă critică şi se notează cu F cr .

Fenomenul de trecere al unei bare din echilibru stabil în unul nestabil,

poart ă numele de flambaj. La creşteri mici ale for ţei axiale aplicate peste F cr , deformarea laterală a

barei creşte foarte mult.

În cazul în care un element de rezistenţă şi-a pierdut stabilitatea, aceasta poate avea loc în trei domenii: domeniul elastic, când după înlăturarea sarcinii axiale F , bara revine la forma

ei iniţială, adică dreaptă domeniul elasto-plastic, situaţie în care, după înlăturarea sarcinii axiale F ,

bara îşi mai diminuează din deformare, dar nu revine la forma ei iniţială domeniul plastic, când bara r ămâne la forma deformată şi după înlăturarea

sarcinii axiale F .Pentru ca un element de rezistenţă să-şi îndeplinească rolul funcţional,

este necesar, pe lângă altele, să nu-şi piardă stabilitatea elastică. Pierdereastabilităţii elastice, reprezintă aşadar, o stare limită care nu trebuie atinsă într-un

84




element de rezistenţă. Dacă totuşi acest fenomen are loc, este de preferat să se producă în domeniul elastic, deoarece în acest caz, înlăturarea imediată a sarciniicare a provocat flambajul, conduce la refacerea formei iniţiale a elementului derezistenţă.

Pierderea stabilităţii elastice a elementelor de rezistenţă poate avea loc înmai multe situaţii, nu numai la o solicitare axială de compresiune. Se vor prezenta câteva astfel de cazuri, care se întâlnesc mai des în practică.

3.2 CALCULUL FOR ŢEI CRITICE DE FLAMBAJ LA BARELE DREPTE ZVELTESOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALĂ (FORMULA LUI EULER)

Pentru elementele de rezistenţă susceptibile de a îşi pierde stabilitatea,este deosebit de important să se cunoască valoarea for ţei critice de flambaj,

adică valoarea for ţei axiale de compresiune la care acesta îşi pierde stabilitatea.Se vor studia patru variante, avându-se în vedere faptul că for ţa critică deflambaj este în mare corelaţie cu modul de rezemare al barei.

3.2.1 Bara articulată la ambele capete

Se consider ă o bar ă dreaptă zveltă asupra căreia acţionează lacompresiune tocmai for ţa critică F cr (Fig.3.2.1-1).

21

y

v = y

x

l

Fcr x

Fig.3.2.1-1

Sub acţiunea for ţei F cr bara se deformează lateral. La o distanţă x de reazemul 1,for ţa critică F cr determină un moment încovoietor M i:

yFM cr i ⋅= 3.2.1-1

Ecuaţia fibrei medii deformate pentru acest caz conduce la :

yIE

F

IE

M

dx

yd cr iz

2

2

⋅−=−= 3.2.1-2

85




Notând cu

2cr aIE

F= 3.2.1-3

relaţia 3.2.1-2 devine:

0yadx

yd

yadx

yd

2

2

2

2

2

2

=+⇒

−=

3.2.1-4

care este o ecuaţie diferenţială Euler, a cărei soluţie este de forma:

axcosBaxsinAy += 3.2.1-5

Determinarea constantelor A, respectiv B, se face punând condiţiile de rezemare:

axsinAy0B0y0xPentru =⇒=⇒=⇒= 3.2.1-6

0alsinA0ylxPentru =⇒=⇒= 3.2.1-7

Cum A ≠ 0, rezultă că sin al = 0, de unde:

...)3,2,1k cu(k al =π=

sau

π=⋅ k lIE

Fcr

de unde rezultă expresia for ţei critice de flambaj:

2

22

cr l

IEk Fπ=

Deoarece din mulţimea posibilă a valorilor rezultate interesează valoareaminimă la care se produce flambajul, se va considera cazul pentru care k = 1 şi I = I min. Cu aceste precizări, for ţa minimă critică de flambaj este dată de relaţia:

86




2min

2

cr l

IEFπ= 3.2.1-8

În relaţia 3.2.1-8:

l=l f – lungimea barei articulate la ambele capete (lungimea de flambaj) I min – momentul de iner ţie minim al secţiunii transversale a barei.

3.2.2. Bara înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt

Sub acţiunea for ţei critice de flambaj bara se deformează şi ia forma şi poziţia din Fig.3.2.2-1.

y

l

x

Fcr

x

y

Fig.3.2.2-1

La distanţa x de capătul liber, sub acţiunea for ţei critice se realizează momentulîncovoietor:

yFM cr i =

iar ecuaţia fibrei medii deformate este:

0yIE

Fdx

yd

yIE

F

IE

M

dx

yd

cr 2

2

cr i2

2

=⋅+⇒

⋅−=−=

Notând şi aici

0

2

2

2

2

=+⇒

=

yadx

yd

a I E

F cr

3.2.2-1

87




Relaţia 3.2.2-1 este o ecuaţie diferenţială de tip Euler care admite soluţia:

axcosBaxsinAy +=

Constantele A, respectiv B se determină din condiţii de rezemare. Astfel:

axsinAy0B0axcosB0y0xPentru =⇒=⇒=⇒=⇒=

00 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =ϕ≠⇒=

==

l x

l xdx

dy şi yl x Pentru

de unde:

( ) ( )2

2

2

2

222

...2

3,

20coscos

l

I E F

l I E

F l

I E

F

l aal dx

dyaxa A

cr

cr cr π=⇒

π=⇒

π=⋅⇒

ππ=⇒=⇒=

De aici rezultă for ţa critică minimă:

( ) 2f

min2

2min

2

cr l

IE

l2

IEF π=π= 3.2.2-2

În relaţia 3.2.2-2 s-a notat

l2l f = 3.2.2-3

şi reprezintă lungimea de flambaj pentru bara înţepenită la un capăt şi liber ă la

celălalt.

3.2.3 Bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt

Bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt solicitată de for ţa critică este prezentată în Fig.3.2.3-1. În articulaţie datorită tendinţei de deplasare, apareşi o for ţă transversală V . La distanţa x de articulaţie, momentul încovoietor este:

xVyFM cr i −=

Ecuaţia fibrei medii deformate pentru acest caz are forma:

88




IE

xVyF

IE

M

dx

yd cr i2

2 +−=−=

sau

xIE

Vy

IE

F

dx

yd cr 2

2

=+

3.2.3-1

V y

x

l

Fcr

x

y

Fig.3.2.3-1

Ecuaţia 3.2.3-1 este o ecuaţie neomogenă. Partea omogenă a acesteia admitesoluţia:

axcosBaxsinAy +=

unde s-a notat

2cr aIE

F=

Partea neomogenă admite soluţia

xF

Vy

cr 1 =

Ecuaţia neomogenă 3.2.3-1 admite acum soluţia:

xF

VaxcosBaxsinAy

cr

++=3.2.3-2

89




Constantele A, B, şi V se determină din condiţiile rezemare şi deformare. Astfel:

0dx

dylx

0ylx

0y0xPentru

==ϕ⇒=

=⇒=

=⇒=

Prima condiţie conduce la B = 0 şi ecuaţia capătă forma:

cr

cr

FVaxcosaA

dxdy

xF

VaxsinAy

+=

+=

3.2.3-3

Ultima condiţie aplicată la rotirea ϕ, conduce la:

cr F

ValcosaA0 += 3.2.3-4

A doua condiţie conduce la următoarea expresie:

lF

VlasinA0

cr

+= 3.2.3-5

Relaţiile 3.2.3-4 şi 3.2.3-5 se pot scrie şi sub forma:

lFV

lasinA

F

VlacosaA

cr

cr

−=

−=

3.2.3-6

Împăr ţind relaţiile 3.2.3-6, rezultă:

laaltg = 3.2.3-7

Ecuaţia trigonometrică obţinută are ca primă soluţie:

90




IE

F

l

16,20a16,20la49,4la cr

2

222 ==⇒=⇒=

de unde se obţine expresia for ţei critice:

2cr l

IE16,20F =

iar valoarea minimă a for ţei critice este:

2min

cr l

IE16,20F = 3.2.3-8

Pentru a avea aceeaşi formă ca şi pentru cazul anterior prezentat, se poate scrie:

2f

min2

2min

2

cr

2min

2

2min

2

cr 22

l

IE

l22

IEF

2

l

IE

l

IE2F205,216,20

π=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π=⇒

π=

π≈⇒π≈π=

3.2.3-9

unde s-a notat

l l f ⋅= 2

2

3.2.4 Bara înţepenită la ambele capete

Bara dreaptă înţepenită la ambele capete este solicitată de for ţa critică F cr

(Fig.3.2.4-1). Având în vedere că în încastrare apar trei necunoscute ( F cr , V, M 0),momentul încovoietor la distanţa x are expresia:

0cr i MxVyFM ++= 3.2.4-1

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:

91




IE

Mx

IE

Vy

IE

F

dx

yd 0cr 2

2

−−=+ 3.2.4-2

sau dacă se notează:

IE

Fa cr 2 =

relaţia 3.2.4-2 se poate scrie sub forma:

IE

Mx

IE

Vya

dx

yd 02

2

2

−−=+3.2.4-3

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este de forma:

cr

0

cr F

Mx

F

VaxcosBaxsinAy −−+= 3.2.4-4

VM0

Fcr y

x

l

x

y

Fig.3.2.4-1

Derivând o dată relaţia 3.2.4-5, se obţine:

cr F

VaxcosBaaxsinAa

dx

dy−+= 3.2.4-6

După cum se poate constata au rezultat patru necunoscute: A, B, V/F cr şi M 0 /F cr .Pentru determinarea acestor constante necunoscute, se pun condiţiile la limită:

92




0dx

dyşi0ylxPentru

0dx

dyşi0y0xPentru

==⇒=

==⇒=

După înlocuiri se ajunge la sistemul omogen:

0

F

M

F

V

B

A

01alsinaalcosa

1lalcosalsin

010a

1010

cr

0

cr

=

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

−

3.2.4-7

Ecuaţia caracteristică rezultă din anularea determinantului principal:

( ) 0alsinalalcos12 =−− 3.2.4-8

Ecuaţia 3.2.4-8 admite o mulţime de soluţii:

...3,2,1k cuk 2la =π= 3.2.4-9

din care pentru prima valoare se obţine for ţa critică de flambaj:

2min

2

cr

min

cr

l

IE4F

2lIE

F

π=⇒

π=⋅

3.2.4-10

Expresia for ţei critice de flambaj poate fi scrisă şi sub forma:

2f

min2

2min

2

cr l

IE

2

l

IEF

π=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

π= 3.2.4-11

unde s-a notat cu:

2ll f = 3.2.4-12

93




şi reprezintă lungimea de flambaj.Din prezentarea celor patru cazuri de rezemare, se constată că for ţa critică

de flambaj depinde de modul de rezemare prin mărimea numită lungime de

flambaj. Pentru cele patru moduri de rezemare se poate considera pentru for ţacritică de flambaj o expresie generală, însă diferenţiată prin lungimea deflambaj:

Astfel, relaţia generală de calcul a for ţei critice de flambaj pentru cazurile prezentate este:

2f

min2

cr l

IEFπ= 3.2.4-13

unde: pentru bara articulată la ambele capete

ll f = 3.2.4-14a

pentru bara liber ă la un capăt şi înţepenită la celălalt

l2l f = 3.2.4-14b

pentru bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt

l707,02

2l f ⋅≈= 3.2.4-14c

pentru bara înţepenită la ambele capete

l2

1lf ⋅= 3.2.4-14d

unde prin l se înţelege lungimea geometrică a barei.Se menţionează că lungimea de flambaj l f reprezintă distanţa dintre două

puncte de inflexiune ale fibrei medii deformate a barei.Relaţiile de calcul ale for ţei critice de flambaj reprezintă formulele lui

Euler. Pentru alte cazuri de încărcare a barelor zvelte, expresiile for ţei critice de

flambaj se găsesc în literatura de specialitate.

94




3.3 LIMITELE DE VALABILITATE ALE FORMULEI LUI EULER.FLAMBAJUL ELASTIC ŞI PLASTIC

3.3.1 Flambajul elastic

La stabilirea formulei lui Euler s-a utilizat relaţia obţinută la deducereaformulei lui Navier:

IE

M1 i=ρ

3.3.1-1

La comportarea liniar elastică a materialului este necesar ca tensiunea critică σcr să fie cel mult egală cu limita de propor ţionalitate σ p.Tensiunea critică de flambaj se obţine împăr ţind for ţa critică de flambaj

(relaţia 3.2.4-13) la aria secţiunii transversale a barei:

p2f

min2

cr cr

Al

IE

A

Fσ≤

⋅

π==σ 3.3.1-2

Când tensiunea critică σcr ≥ σ p, relaţia lui Euler nu mai poate fi aplicată pentru

calculul for ţei critice de flambaj.Revenind la relaţia 3.3.1-2 şi exprimând momentul de iner ţie în funcţie de ariasecţiunii şi raza de giraţie, se obţine pentru tensiunea critică de flambaj relaţia:

p2

2

2

min

f

2

2f

2min

2

cr

E

i

l

E

Al

iAEσ≤

λπ=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π=

⋅

π=σ 3.3.1-3

unde s-a notat cu

min

f

i

l=λ 3.3.1-4

care se numeşte coeficient de zvelte ţ e sau coeficient de sub ţ irime al barei. Pentru ca relaţia lui Euler să poată fi aplicată, din relaţia 3.3.1-3, rezultă

condiţia:

p

E

σπ≥λ 3.3.1-5

95




Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe, notat cu λ0 , pentru care formulalui Euler este valabilă, corespunde limitei inferioare a flambajului elastic.Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe (relaţia 3.3.1-3) este o

hiperbolă, numită hiperbola lui Euler (Fig.3.3.1-1).

B

Flambaj plastic

O

σcr

σ p

λ0

Domeniul flambajuluielastic

λ

Fig.3.3.1-1

Punctul B, respectiv abscisa λ0 împarte domeniul valorilor lui λ în două domenii:

domeniul flambajului elastic, când σcr ≤ σ

p, respectiv λ ≥ λ

0

domeniul flambajului plastic, când σcr > σ p, respectiv λ < λ0 Calculul la flambaj utilizând formula lui Euler este permis numai pentrudomeniul elastic.În funcţie de valoarea acceptată pentru limita de propor ţionalitate (210 MPa,

240 MPa), pentru oţelul OL37 se poate considera λ0 = 105 sau λ0 = 100.

3.3.2 Flambajul plastic. Relaţiile Tetmajer-Iasinski

Pentru valori ale coeficientului de zvelteţe mai mici decât λ0, tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler. Se pune atunci

problema stabilirii unei relaţii între σcr şi λ şi pentru domeniul flambajului plastic. Pentru oţeluri, problema stabilirii unei astfel de relaţii devine destul decomplicată datorită traseului curbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de

propor ţionalitate. În acest domeniu se introduce modulul de elasticitate tangentcurent.

Flambajul plastic a fost studiat de mai mulţi cercetători, care au propusdiferite relaţii de calcul pentru tensiunea critică de flambaj, relaţii stabilite maiales pe baza cercetărilor experimentale. Pentru domeniul flambajului plastic

96




pentru tensiunea critică de flambaj s-au propus relaţii parabolice, eliptice,liniare.

Tetmajer şi Iasinski propun până la atingerea limitei de curgere o relaţieliniar ă între tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe (Fig.3.3.2-1):

λ⋅−=σ bacr 3.3.2-1

ce corespunde dreptei BD.

λ λ0

O

σ p B

σCD

λ1

σcr

Fig.3.3.2-1

Când tensiunea critică atinge valoarea limitei de curgere, coeficientul de

zvelteţe este λ1 (corespunzător punctului D). Pentru valori:

1λ<λ 3.3.2-2

se consider ă că bara nu mai flambează, iar calculul se face numai lacompresiune.

Coeficienţii a şi b din relaţia 3.3.2-1 depind de material, la fel cum depindşi λ0, respectiv λ1. În Tabelul 3.3.2-1 se prezintă pentru câteva materiale valorileacestor coeficienţi.

Tabelul 3.3.2-1Materialul a b λ0 λ1

OL 37 (σC = 240 MPa) 304 1,12 105 60Oţel cu 5% nichel 461 2,25 86 0Oţel crom-molibden 980 5,3 55 0Duraluminiu 372 2,14 50 0Lemn 28,7 0,19 100 0Fontă - - 80 0

97




Pentru bare realizate din fontă, expresia tensiunii critice este una parabolică:

3.3.2-32cr 053,012776 λ⋅+λ⋅−=σ

3.4 CALCULUL LA FLAMBAJ

După cum s-a mai spus la începutul acestui capitol, flambajul nu este unfenomen dorit pentru o structur ă de rezistenţă. Tensiunea critică sau for ţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase. Ca urmare, mărimea efortului axial din barasolicitată la compresiune trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu for ţacritică de flambaj.

Se defineşte atunci, coeficientul de siguran ţă la flambaj c f ca fiindraportul dintre for ţa critică de flambaj F cr şi efortul axial de compresiune efectiv N din bar ă:

af

cr

f c N

F c ≥= 3.4-1

unde:caf – coeficient de siguranţă admisibil la flambaj.

3.4.1 Calculul în domeniul elastic şi plastic

La flambaj se pot rezolva toate cele trei tipuri de problemă: verificare,dimensionare, încărcare capabilă, pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj.Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se înscriu în limitedestul de largi, neexistând prescripţii oficiale pentru acestea. În Tabelul 3.4.1-1se indică valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj pentru câteva

piese de maşini supuse pericolului de pierdere a stabilităţii.

Tabelul 3.4.1-1P i e s a caf

Maşini cu un cilindru 8 – 12Tija pistonului Maşini cu un cilindru şi contratijă; maşini cu

doi cilindri4 – 8

Maşini termice mari 14 – 28BielaMotoare de automobil 4 – 4,5

Pentru piese de maşini, valoarea minimă a coeficientului de siguranţă

admisibil la flambaj este 4.

98




Calculul la flambaj, indiferent de tipul problemei, se face pe baza rela ţiei3.4-1.

a) Probleme de verificare sau efort capabil . Trebuie determinat efortulaxial de compresiune din bar ă (numeric sau funcţie de sarcinile exterioare) şi

for ţa critică de flambaj.Pentru a putea determina for ţa critică de flambaj (are valoare numerică) trebuiestabilit domeniul de flambaj. Se calculează coeficientul de zvelteţe λ cu relaţia3.3.1-4, care se compar ă cu λ0 , respectiv λ1:

dacă

( ) A baAF

l

IEF

cr cr 01

2f

min2

cr 0

⋅λ⋅−=⋅σ=⇒λ≤λ<λ

π=⇒λ≥λ

3.4.1-2

Valorile astfel determinate se înlocuiesc în relaţia 3.4-1, de unde se faceverificarea sau se deduce sarcina capabilă.

b) Probleme de dimensionare . La acest tip de problemă, necunoscându-sedimensiunile secţiunii transversale ale barei, nu se poate determina coeficientulde zvelteţe, deci nici domeniul de flambaj. În această situaţie se consider ă că

bara flambează în domeniul elastic şi pentru for ţa critică de flambaj, se admiteformula lui Euler. Aceasta se înlocuieşte în relaţia 3.4-1, de unde rezultă:

E

lc NI 2

2

f af necmin, ⋅π

⋅⋅= 3.4.1-3

Din 3.4.1-3 se determină dimensiunea secţiunii transversale a barei. După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj. Pentru aceasta:

se calculează cu dimensiunea găsită, coeficientul de zvelteţe λ dacă λ ≥ λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă, verificându-se

domeniul de flambaj)

dacă λ < λ0, nu se verifică domeniul. În acest caz: ¾ se calculează for ţa critică de flambaj cu relaţia corespunzătoaredomeniului plastic (relaţia 3.4.1-2) şi apoi coeficientul de siguranţă la flambaj (relaţia 3.4.1-1). Dacă:

cf ≥ caf dimensiunea se acceptă (se verifică coeficientul desiguranţă dar nu şi domeniul de flambaj)

cf < caf dimensiunea nu se acceptă (nu se verifică nicicoeficientul de siguranţă, nici domeniul)

se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de lacalculul coeficientului de zvelteţe până când c

f ≥ c

af .

99




3.4.2 Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj ϕ

Procedeul prezentat pentru calculul for ţei critice de flambaj, după cum se poate constata, implică o serie de încercări, mai ales în domeniul flambajului plastic. Pentru valori bine precizate ale coeficientului de siguranţă admisibil laflambaj, s-a dezvoltat o metodă de calcul valabilă atât pentru domeniul elastic,cât şi plastic. Conform acestei metode, mai întâi se defineşte rezisten ţ a

admisibil ă la flambaj:

A

F

cA

F

cr

af

cr

af

cr af =

⋅=σ=σ 3.4.2-1

unde: F r – for ţa axială reală din bar ă

af

cr r c

FF = 3.4.2-2

A – aria secţiunii transversale a barei

Pe baza celor prezentate, calculul la flambaj poate fi transformat într-uncalcul de dimensionare la compresiune:

af

r nec

FAσ= 3.4.2-3

Se defineşte acum un coeficient de flambaj:

1a

af <σ

σ=ϕ 3.4.2-4

unde:σa – este rezistenţa admisibilă la compresiune

Acum, relaţia de dimensionare (relaţia 3.4.2-3) capătă forma:

a

r nec

FA

σ⋅ϕ= 3.4.2-5

100




Se poate efectua şi calculul de verificare, cu relaţia:

ar

ef A

Fσ<⋅ϕ=σ 3.4.2-6

După cum se poate constata, calculul la flambaj prin această metodă implică determinarea coeficientului de flambaj ϕ. Valoarea acestuia este funcţie denatura materialului şi de lungimea de flambaj λ. În literatura de specialitate segăsesc valorile coeficientului de flambaj ϕ pentru diferite materiale.

Calculul de dimensionare la flambaj prin coeficientului de flambaj ϕ,necesită parcurgerea următoarelor etape:

se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa se determină dimensiunea secţiunii transversale cu relaţia 3.4.2-3 cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λ din tabele se determină coeficientul de flambaj ϕ, funcţie de λ

determinat anterior se calculează o for ţă admisibilă

ef aaf AF ⋅σ⋅ϕ=

Dacă:¾

F af > N ⇒ dimensiunea este bună (acceptată)¾ F af < N ⇒ dimensiunea nu este corespunzătoare.În acest ultim caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi se reia

calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ. El se încheie atunci cândcondiţia de mai sus este verificată.

3.5 FLAMBAJUL BARELOR SUB ACŢIUNEA FOR ŢELOR EXCENTRICE

Se consider ă o bar ă dublu articulată solicitată chiar de for ţa critică F cr aplicată excentric, ca în Fig.3.5-1.

Fcr

x

e

Fcr

l

v = y

x

e

yFig.3.5-1

101




În secţiunea x se produce momentul încovoietor Mi

( )yeFM cr i += 3.5-1

iar ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:

eIE

Fy

IE

F

dx

yd

eIE

Fy

IE

F

dx

yd

cr cr 2

2

cr cr 2

2

−=+⇒

−−=

3.5-2

Se notează:

IE

Fa

IE

Fa cr cr 2 =⇒= 3.5-3

Cu această notaţie, relaţia 3.5-2 capătă forma:

eayadxyd 222

2

⋅−=⋅+ 3.5-4

care are ca soluţie pe:

eaxcosBaxsinAy −+= 3.5-5

Constantele din relaţia 3.5-5 se determină din condiţiile la limită:

eaxcoseaxsinAyeBeB00y0xPentru

−+=⇒ =⇒−=⇒=⇒= 3.5-6a

eaxcoseaxsin2

altgey

2

altge

alsin

alcos1eA

ealcosealsinA00ylxPentru

−+⋅⋅=⇒

⋅=−⋅=⇒

−+=⇒=⇒=

3.5-6b

sau sub altă formă, ecuaţia săgeţii este:

102




⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⋅⋅= )1axcosaxsin2

altgey 3.5-7

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⋅⋅=⇒

⇒==ϕ⇒=

12

alcos

2

alsin

2

alcos

2

alsin

e12

alcos

2

alsin

2

altgey

yysau02

lxPentru

max

max

2

alcos

2

alcos1

e

2

alcos

2

alcos

2

alcos

2

alsin

y

22

max

−⋅=

−+=⇒ 3.5-8

Pentru ca săgeata y să fie maximă, în relaţia 3.5-8 trebuie ca mărimea cos al/2 să fie minimă. Rezultă atunci:

lala0

2alcos π=⇒π=⇒=

Ţinând seama de relaţia 3.5-3, se obţine:

2

2cr cr

lIE

F

lIE

F π=⇒

π=

de unde se rezultă expresia for ţei critice minime de flambaj:

2f

min2

cr l

IEFπ= 3.5-9

Din studiul efectuat, se constată că s-a obţinut aceeaşi expresie pentrufor ţa critică de flambaj ca în cazul barei solicitată centric. Deci, se poate afirmacă excentricitatea sarcinii nu modifică mărimea for ţei critice de flambaj.

103




3.6 FLAMBAJUL LATERAL AL GRINZILOR SUBŢIRISOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

Este cunoscut faptul că rezistenţa unei grinzi este cu atât mai mare, cu câtgrinda are un moment de iner ţie mai mare. Există atunci tendinţa de a realizagrinzi cu secţiuni cât mai înalte şi înguste. Astfel de elemente de rezistenţă devininstabile, producându-se un flambaj lateral atunci când sunt solicitate chiar numai de un moment încovoietor. La atingerea valorii critice a sarcinii se produc

brusc deplasări laterale de încovoiere ( w ) şi de r ăsucire (ϕ ). Pentru prima dată,Prandtl a studiat analitic problema flambajului lateral.

Se consider ă o grindă de secţiune dreptunghiular ă înţepenită la un capătşi liber ă la celălalt, încărcată la capătul liber cu un cuplu M 0 (Fig.4.6-1a). Grindaare înălţime mare şi lăţime mică.

y

x

xM0

x

l

h

zM0=Mcr

y

x

x’

w

M0

M0 sinβ

M0 cosβ

x

b

ϕ

zM0

y’z’

M0 cos

M0 sinϕ a)

y

d)

b)

z’

c)

Fig.3.6-1

Pentru M 0 < M cr grinda se deformează numai în planul xOy, cu săgeţile y mici (Fig.3.6-1a)

Când M 0 = M cr poziţia de echilibru în planul xOy devine nestabilă şi bara

se deformează (Fig.3.6-1b). Consider ăm că la trecerea de la prima poziţie la cea

104




de-a doua, momentul aplicat M 0 r ămâne dirijat după axa Oz (Fig.3.6-1d). Înaceastă poziţie, pe direcţiile Oy’, respectiv Oz’ apar momentele: pe direcţia Oy’ ⇒ M y’ = M 0 sin ϕ ≈ M 0 ϕ 3.6-1a pe direcţia Oz’ ⇒ M z’ = M 0 cos ϕ 3.6-1b

Pentru deformarea grinzii în planul xOz cu componentele momentului pedirecţiile Ox’ , respectiv Oz’ (Fig.3.6-1c) se poate scrie:

dx

dwMtgMsinMM 000'x =β≈β= 3.6-2

Aproximările din relaţia 3.6-1a, respectiv 3.6-2, sunt permise deoarecedeplasările (liniare, unghiulare) sunt mici.

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate pe direcţia Oz sau Oz’ datorită momentului M y’ (vezi relaţia 3.6-1a) este:

ϕ−=−= 0'y2

2

y MMdx

wdIE 3.6-3

iar cea a r ăsucirii datorită momentului M x’ (vezi relaţia 3.6-2):

dx

dw

MMdx

d

IG 0'xt =−=

ϕ

3.6-4

Derivând relaţia 3.6-4 încă o dată, se obţine:

2

2

02

2

t dx

wdM

dx

dIG =ϕ

3.6-5

Din relaţiile 3.6-3 şi 3.6-5 rezultă:

y

20

y

002

2

t IE

M

IE

MM

dx

dIG

ϕ−=ϕ

−=ϕ

de unde:

0IGIE

M

dx

d

ty

20

2

2

=ϕ⋅⋅

+ϕ

3.6-6

Coeficientul lui ϕ din relaţia 3.6-6 se notează cu a2:

105




ty

202

IGIE

Ma⋅

= 3.6-7

după care relaţia 3.6-6 reprezintă o ecuaţie diferenţială de tip Euler:

0adx

d 2

2

2

=ϕ+ϕ

3.6-8

care admite o soluţie de forma:

axcosBaxsinA +=ϕ3.6-9

Constantele A şi B se determină din condiţiile de rezemare:

axsinA0B00xPentru =ϕ⇒=⇒=ϕ⇒= 3.6-10a

1alsin

alsinAlxPentru maxmax

=⇒

=ϕ⇒ϕ=ϕ⇒=3.6-10b

( )l2IGIE

Ml2

a2

laty

0 π=⋅

⇒π=⇒π=⇒

( ) ty2f

ty0 IGIEl

IGIEl2

M ⋅⋅π=⋅⋅

π=⇒ 3.6-11

Cum M 0 = M cr , relaţia 3.6-11 conduce la expresia încărcării critice la flambajullateral:

2f

tmincr

l

IGIEM

⋅⋅π= 3.6-12

Expresia EI minGI t (produsul rigidităţii minime la încovoiere cu cel detorsiune) este o caracteristică a flambajului lateral, indiferent de modul deîncărcare sau rezemare a barei.

În Tabelul 3.6-1 se prezintă expresiile sarcinii critice de flambaj lateral, pentru câteva cazuri de încărcare.

106




Tabelul 3.6-1

Modul de încărcare şi rezemare Sarcina critică de flambajBara simplu rezemată la capete, cu o sarcină uniform distribuită p, aplicată la înălţimeafibrei medii

( ) ty2cr IGIEl

3,28l p ⋅⋅=

Bara încastrată la un capăt, încărcată cu osarcină uniform distribuită, aplicată la înălţimeafibrei medii

l

p

( ) ty2cr IGIEl

85,12l p ⋅⋅=

l

Bara încastrată la capete, încărcată cu o for ţă Fîn mijloc, aplicată în centrul de greutate alsecţiunii

ty2cr IGIEl

6,26F ⋅⋅=

F

l/2 l/2

Bara simplu rezemată la capete, supusă laîncovoiere pur ă

tycr IGIEl

M ⋅⋅π=

M M

l

107




3.7 APLICAŢII

Aplica ţ ia 3.7.1. S ă se dimensioneze barele sistemului din Fig.3.6-2, pentru care se cunosc: p=24 KN/m, a1 = 1,2 m, a2 = 1,8 m, caf = 3, E = 2,1⋅ 105

MPa, σ cr = 310 - 1,14 λ . Bara orizontal ă are rigiditate foarte mare.

a2

p

0,4 m

0,3 m

1

0,8 m

2aa

2

a1d

Fig.3.6-2

Rezolvare

Calculul static conduce la următoarele valori pentru eforturile axiale din celedouă bare:

N 1 = 15,6 KN

N 2 = 6 KN şi sunt de compresiune. Rezultă că cele două bare sunt predispuse fenomenuluide flambaj. Bara 1 este articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt, iar bara 2 este articulată la ambele capete. Problema fiind de dimensionare, nu se poatecalcula coeficientul de zvelteţe λ şi ca urmare nici domeniul de flambaj. În acest

caz (vezi etapele de calcul), dimensionarea se face pentru domeniul elastic.Lungimile de flambaj ale barelor sunt:

l 1f = 0,7 a1 = 0,84 m l 2f = a2 = 1 ,8 m

Relaţia generală de dimensionare este:

E

c Nl

I 2

af 2f

necmin, ⋅π

⋅⋅

=

108




Particularizată pentru cele două bare, se obţine: pentru bara 1

mm24E

c Nl64d

64

d

E

c NlI

43

af 12f 1

4

2

af 12f 1

1necmin,

=⋅π⋅⋅⋅

=⇒

π=

⋅π

⋅⋅=

pentru bara 2

( )

mm21E

c Nl6a

6

a

12

a2a

E

c NlI

42

af 22

f 2

43

2af 2

2f 2

2necmin,

=⋅π⋅⋅⋅=⇒

=⋅

=⋅π⋅⋅

=

Se verifică domeniul de flambaj. Pentru bara 1

0f 1

1min

f 1 140

4

dl

i

lλ>===λ

Fiind verificat domeniul de flambaj, dimensiunea rezultată din calcul esteacceptată: d = 24 m

bara 2

02

f 2

2min

f 2 9,296

12

a

l

i

lλ>===λ

Şi pentru această bar ă se verifică domeniul de flambaj. Se acceptă atuncidimensiunea a = 21 mm.

Dimensiunile celor două bare sunt:d = 24 mma = 21 mm.

Observaţie: În calculul prezentat s-a neglijat calculul de rezistenţă al barelor. Înmod normal, la început se efectuează calculul de rezistenţă după care urmează cel la stabilitate.

109




Aplica ţ ia 3.7.2. S ă se determine încărcarea capabil ă pentru sistemul de

bare din Fig.3.6-3, dacă se cunosc: σ a = 150 MPa, caf = 3, σ cr =310 – 1,14λ , E

= 2,1⋅ 105

MPa, d 1 = 40 mm, d 2 = 60 mm.

F

3001

2

Fig.3.6-3

l2 l = 2 m

Rezolvare

Din condiţiile de stabilitate rezultă efortul axial de compresiune din bara 2: N 2 =

3F. Bara 1, este solicitată la încovoiere. Momentul maxim are valoarea M imax

= F l. Calcul de rezistenţă al barei 1, conduce la :

KN942,0

l

WFl'FWM 1min,za'

cap1min,zaicap =⋅σ=⇒⋅=σ=

Bara 2 este solicitată la compresiune. La început se efectuează calculul derezistenţă:

KN37,1413

A"F"F3A N 2a

2acap2 =σ=⇒=σ=

Calculul la stabilitate presupune stabilirea domeniului de flambaj. În acest

scop se calculează coeficientul de zvelteţe λ:

02min

f 2 3,153i

lλ>==λ

Valoarea coeficientului de zvelteţe indică domeniul elastic de stabilitate. Pentruacest domeniu, for ţa critică de flambaj se calculează cu relaţia lui Euler:

KN25,249l

IE

F 2f 2

2min,2

2,cr =

π

=

110




În expresia for ţei critice de flambaj s-a avut în vedere că lungimea de flambaj a barei 2 este egală cu lungimea ei geometrică (bara este articulată la ambelecapete).

Relaţia de calcul pentru încărcarea capabilă la flambaj a barei 2 este:

KN69,27c3

F'"Fc

'"F3

F

c N

F

af

2,cr af

2,cr

af 2

2,cr

=⋅=⇒=⇒

=

For ţa capabilă finală pentru sistemul analizat este:

( ) KN942,0'"F,"F,'FminFcap ==

Din calculul efectuat, rezultă că elementul periculos al sistemului estegrinda 1, care este solicitată la încovoiere.

111




4. SOLICITĂRI DINAMICE


În capitolele precedente s-a considerat că sarcinile acţionează asupraelementelor de rezistenţă cu intensitate crescândă de la zero la valoarea lor nominală. Sub acţiunea acestora, corpurile se deformează dar nu se mişcă.Există multe situaţii în practică unde elementele de rezistenţă se mişcă, iar mişcarea lor, prin for ţa de iner ţie, determină stări de solicitare. Solicitările astfel

produse poartă numele de solicit ări dinamice. Solicitările dinamice se pot clasifica în mai multe categorii:

Solicitări produse prin accelera ţ ii constante sau cu variaţie mică. În această categorie intr ă solicitările prin for ţe de iner ţie.

Solicitări produse prin varia ţ ia bruscă a accelera ţ iei. Se pot aminti aicisolicitările produse prin şocuri în urma ciocnirilor dintre corpuri.

Solicitări prin varia ţ ia periodică a accelera ţ iei. Din această categorie fac parte vibraţiile sistemelor elastice şi calculul de rezistenţă la oboseală prinsolicitări variabile periodic în timp.

Calculul de rezistenţă la oboseală face obiectul altui capitol.

4.2 SOLICITĂRI PRIN FOR ŢE DE INER ŢIE

Majoritatea organelor de maşini aflate în mişcare sunt solicitate dinamicdatorită for ţelor de iner ţie care apar şi care se suprapun peste cele direct aplicateşi de legătur ă. Pentru rezolvarea unor astfel de probleme, se aplică principiul luid’Alambert, care permite astfel tratarea unei probleme dinamice ca una statică.Se pot utiliza atunci metodele de calcul din statică. Această metodă de rezolvarea problemelor dinamice este cunoscută sub denumirea de metoda cineto-statică.

Metoda cineto-statică impune cunoaşterea acceleraţiei a pentru toate puncteleelementului aflat în mişcare.For ţa de iner ţie elementar ă dF i a fiecărui element de masă elementar ă dm

este dată de relaţia cunoscută:

idF a dm= ⋅ 4.2-1

şi are sens contrar acceleraţiei.Însumarea tuturor for ţelor de iner ţie şi reducerea acestora conduce la un

torsor format dintr-o for ţă rezultantă şi un moment rezultant.În mişcarea de translaţie toate punctele elementului au aceeaşi acceleraţie.

112




Prin reducerea for ţelor de iner ţie în centrul de greutate se obţine numai o for ţă de iner ţie rezultantă:

amFi ⋅= 4.2-2

unde,m – este masa întregului element.

În mi şcarea de rota ţ ie cu axă fixă, acceleraţia elementului de masă dm care seaflă la distanţa r de axa de rotaţie, depinde de viteza unghiular ă ω şi acceleraţiaunghiular ă ε a corpului. Unei acceleraţii normale (centripete)

4.2-32n r a ω⋅=

îi corespunde o for ţă centrifug ă:

4.2-4dmr dmadF 2nic ⋅ω⋅=⋅=

iar acceleraţiei tangenţiale

ε⋅= r a t 4.2-5

îi corespunde o for ţă de iner ţ ie tangen ţ ial ă:

dmr dmadF tit ⋅ε⋅=⋅= 4.2-6

Prin însumarea celor două for ţe de iner ţie (centrifugă şi tangenţială) caresunt normale ca direcţie, se obţine for ţa de iner ţie ce acţionează asupraelementului:

dmr dFdFdF 242it

2ici ε+ω⋅=+= 4.2-7

Dacă centrul de greutate (al maselor) este situat pe axa de rotaţie, for ţelede iner ţie elementare se reduc numai la un cuplu de iner ţ ie:

ε⋅= JC i 4.2-8

unde, J – momentul de iner ţie masic al corpului faţă de axa de rotaţie.

113




4.2.1 Calculul cablului de ascensor sau de macara

Schema de funcţionare a unui ascensor este prezentată în Fig.4.2.1-1.

a

Q

N

N

a

Fi

Fig.4.2.1-1

Cabina ascensorului (împreună cu persoanele dinăuntru) are greutatea Q iar greutatea cablului de susţinere se neglijează. Dintre toate poziţiile posibileale ascensorului, poziţia cea mai periculoasă este la pornirea acestuia înmişcarea de urcare. În această poziţie ascensorul are acceleraţia ascensională a.For ţa de iner ţie F i corespunzătoare acestei acceleraţii (orientată inversacceleraţiei) este dată de relaţia cunoscută:

ag

QamFi ⋅=⋅= 4.2.1-1

Punând condiţia de echilibru pentru cabină, se obţine efortul axial

dinamic N d din cablul ascensorului:

ψ⋅=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=+= Q

g

a1QFQ N id 4.2.1-2

unde

1

g

a1 >+=ψ 4.2.1-3

114




şi se numeşte coeficient dinamic. For ţa axială dinamică creează în cablu otensiune dinamică σd:

ψ⋅σ=ψ⋅==σst

d

d A

Q

A

N

4.2.1-4

Se constată că tensiunea dinamică este egală cu produsul dintre tensiunea statică σst şi coeficientul dinamic ψ. Tensiunea statică este tensiunea produsă atuncicând ascensorul se află într-o mişcare rectilinie sau este în repaus.

Condiţia de rezistenţă impune ca tensiunea dinamică să fie mai mică saucel mult egală cu tensiunea normală admisibilă:

astd σ≤ψ⋅σ=σ 4.2.1-5

4.2.2 Calculul volantului în mişcarea de rotaţie

Volanţii sunt organe de maşini frecvent întâlniţi în componenţa maşinilor şi ei au rolul de a înmagazina o mare cantitate de energie cinetică.Volanţii au formă de: roată cu obadă, spiţe şi butuc (Fig.4.2.2-1a) disc plin îngroşat în zona de fixare pe arbore şi în zona periferică (Fig.4.2.2-

1b).

A

Obadă

S i e

Butuc

A - AA

a)

Fig.4.2.2-1A

A A - A

b)

115




Volanţii efectuează o mişcare de rotaţie cu viteză unghiular ă ω de obiceiconstantă, în jurul unei axe fixe. Elementele discului sunt supuse astfel for ţelor de iner ţie (for ţelor centrifuge).

Determinarea tensiunilor se poate efectua prin mai multe metode: calculul aproximativ neglijează spiţele şi butucul, iar obada este considerată

un inel subţire în mişcare de rotaţie. Masa spiţelor se neglijează încomparaţie cu masa obadei, iar grosimea obadei este mică în comparaţie cudiametrul mediu 2R al volantului

calculul volantului ca un disc aflat în mişcare de rotaţie calculul volantului considerând şi spi ţ ele. În această ipoteză, volantul este un

sistem static nedeterminat.Dacă turaţia volantului n [rot/min] este constantă, atunci viteza unghiular ă ω a

acestuia este:

[ ]2s/rad30

n⋅π=ω 4.2.2-1

Se va prezenta calculul aproximativ al volantului. For ţele de iner ţiecentrifuge solicită secţiunile transversale ale obadei (Fig.4.2.2-2a). Pentrudeterminarea efortului axial din obadă se detaşează un element din aceasta(Fig.4.2.2-2a,b).

a)

dFi

ω

Odα

α 2 R

N

O

R

N

dα/2

dα/2

dα

dFi

b)

Fig.4.2.2-2

For ţa centrifugă ce revine elementului izolat este:

α⋅⋅ω⋅⋅γ

=⋅= dAR g

dmadF 22i 4.2.2-2

unde:

116




A – aria secţiunii transversale a obadeiγ - greutatea specifică a materialului

Pentru elementul izolat (Fig.4.2.2-2b), condiţia de echilibru conduce la relaţia:

α⋅≈α= d N2

dsin N2dFi 4.2.2-3

de unde se obţine expresia efortului axial din secţiunea obadei:

( ) 22i vAg

R Agd

dF N ⋅⋅

γ=ω⋅⋅⋅

γ=

α= 4.2.2-4

În relaţia 4.2.2-4

4.2.2-5ω⋅= R v şi reprezintă viteza medie a obadei.For ţa axială produce în secţiunea transversală a obadei tensiunea normală:

2vgA

N⋅

γ==σ 4.2.2-6

Din relaţia 4.2.2-6 se observă că tensiunea este independentă de mărimeasecţiunii transversale a obadei. Asta înseamnă că obada nu poate fi dimensionată din condiţia de rezistenţă.

În mişcarea de rotaţie obada înmagazinează energie cinetică şi ca urmaredimensionarea acesteia se va face pe baza acestui criteriu. Din relaţia 4.2.2-6 seva determina atunci viteza maximă admisă a obadei astfel încât tensiuneanormală rezultată să nu depăşească pe cea admisibilă. Rezultă atunci:

γ

⋅σ≤

gv

a

4.2.2-7

Viteza volantului depinde de natura materialului din care este confecţionatşi nicidecum de dimensiunile sale.

Pentru un volant realizat din fontă pentru care γ = 7,25 daN/dm3 şi σa = 67

daN/cm2 rezultă o viteză v ≤ 30 m/s.

Sub acţiunea for ţelor centrifuge (a efortului axial) obada se deformează,se lungeşte. Cantitatea cu care se lungeşte obada rezultă relativ uşor, deoarece

deformaţiile specifice ε sunt constante:

117




E

v

gR 2R 2R

gE

1l

Ell

222 ⋅

γ⋅π=⋅π⋅ω⋅

γ⋅=⋅

σ=⋅ε=Δ 4.2.2-8

Datorită acestei lungiri a obadei, raza medie a acesteia creşte cu cantitatea:

E

R v

gE

R

2

lR

2 ⋅⋅

γ=

⋅σ=

πΔ

=Δ 4.2.2-9

4.2.3 Calculul barei în mişcare de rotaţie în juriul unei axe

perpendiculare pe planul său

Se consider ă o bar ă de secţiune variabilă care se roteşte cu viteză unghiular ă ω constantă, în jurul unei axe perpendiculare pe planul său(Fig.4.2.3-1).

Ax

l

dx

ω = ct.

x

r

Fig.4.2.3-1

În timpul mişcării de rotaţie, în bar ă apar for ţe de iner ţie centrifugale, caresupun bara la întindere. Unui element de lungime dx din bar ă, îi corespundefor ţa de iner ţie elementar ă:

dxxAg

dxAg

xdmadF x2

x2

i ⋅γ

ω=γ

⋅ω== 4.2.3-1

În secţiunea situată la distanţa x de centrul de rotaţie, efortul axial dinsecţiunea transversală a barei este:

∫ωγ

=l

x

x2 dxxA

g

N 4.2.3-2

118




iar tensiunea normală rezultată are expresia:

∫⋅ω

⋅γ

==σl

x

xx

2

x

dxxAAgA

N4.2.3-3

Se pot întâlni două situaţii: bara are sec ţ iune constant ă. În această situaţie integrala relaţiei 4.2.3-

3 este uşor de rezolvat şi se obţine pentru tensiunea normală expresia:

( 222

xl2g

−⋅ω

⋅γ

=σ ) 4.2.3-4

Tensiunea maximă se obţine din relaţia 4.2.3-4 când x = r:

( 222

r l2g

−⋅ω

⋅γ

=σ ) 4.2.3-5

bara este de egal ă rezisten ţă (elicea de avion). Solicitarea elementuluiizolat din bar ă este prezentată în Fig.4.2.3-2.

σa σa

Ax + dAx

Ax

dFi

dx

Fig.4.2.3-2

Punând condiţia de echilibru pentru elementul din Fig.4.2.3-3, ca o sumă

de for ţe pe orizontală se obţine:

( )∑ =+σ++σ−⇒= 00)( x xai xa x

dA AdF A F

După înlocuirea for ţei de iner ţie elementare cu mărimea

dxxAg

dF x2

i ⋅⋅⋅ω⋅γ

=

şi efectuarea calculelor, rezultă următoarea expresie:

119




dxxgA

dA

a

2

x

x ⋅⋅σω

⋅γ

−=

iar după integrare se obţine ecuaţia:

C2

x

gAln

2

a

2

x +⋅σω

⋅γ

−= 4.2.3-6

Constanta de integrare C se determină impunând ca la x = r aria secţiuniitransversale a barei să fie A0. Atunci relaţia 4.2.3-6 devine:

C2r

gAln

2

a

2

0 +⋅σω⋅γ−=

de unde se obţine:

2

r

gAlnC

2

a

2

0 ⋅σω

⋅γ

+= 4.2.3-7

Înlocuind expresia constantei C în relaţia 4.2.3-6 şi efectuând calculele seajunge în final la expresia legii de variaţie a secţiunii transversale a barei:

( )22

a

2

r xg2

0x eAA−⋅

σ

ω⋅

γ−

⋅= 4.2.3-8

Se observă că la bara de egală rezistenţă care se roteşte în jurul unui ax perpendicular pe planul său, aria secţiunii transversale variază după o funcţieexponenţială. În Fig.4.2.3-1, s-a anticipat această variaţie şi bara a fost

reprezentată cu secţiune variabilă în această ipoteză.Secţiunea barei este maximă pentru x = r şi minimă pentru x = l .

120




4.2.4 Calculul bielei motoare

Biela motoare este o componentă a mecanismului bielă-manivelă. Acesttip de mecanism, are o mare r ăspândire în construcţia de maşini, transformând

mişcarea rectilinie în mişcare de rotaţie sau mişcarea de rotaţie în una rectilinie.În Fig.4.2.4-1 se prezintă schematic mecanismul bielă-manivelă. Manivelaexecută o mişcare de rotaţie în jurul unui ax de cele mai multe ori cu viteză unghiular ă ω constantă, iar biela execută o mişcare plană.

pmax

C

R

B

x

px

dx

l

ωO

Fig.4.2.4-1

Cea mai periculoasă poziţie este aceea când biela BC este perpendicular ă pe manivela OB. În această poziţie punctul B de articulaţie între bielă şimanivelă, are acceleraţia:

4.2.4-12R a ω⋅= Punctul C are în această poziţie o acceleraţie care poate fi considerată nulă şiconsiderând că acceleraţia secţiunilor transversale ale bielei între punctele C şi B este liniar ă, rezultă că la distanţa x de punctul C , acceleraţia este:

l

xR

l

xaa 2

x ⋅ω⋅=⋅= 4.2.4-2

For ţa de iner ţie repartizată pe elementul de lungime dx este atunci:

dxxl

R A

gl

xR dxA

gdmadF

22

xi ⋅ω

⋅⋅γ

=⋅ω⋅⋅γ

=⋅= 4.2.4-3

unde A – aria secţiunii transversale a bielei.

For ţa de iner ţie dF i acţionează ca o sarcină distribuită. Sarcina distribuită p x ceacţionează pe unitatea de lungime a bielei este atunci egală cu:

121




l

xR A

gdx

dF p 2i

x ⋅ω⋅⋅⋅γ

== 4.2.4-4

şi are o variaţie liniar ă în lungul bielei. Pentru x = 0 rezultă p x = 0 , iar pentru x= l se obţine valoarea maximă (Fig.4.2.4-1):

2max R A

g p ω⋅⋅⋅

γ= 4.2.4.5

Sarcina distribuită p supune biela la o solicitare de încovoiere (Fig.4.2.4-2).

0,577 l

31/2 pmax l2 / 27

l

pmax

T

Mi

Fig.4.2.4-2

Momentul încovoietor maxim se produce la distanţa x = 0,577 l şi arevaloarea:

222

maxmaxi l

g39AR

39l pM ⋅γ⋅

⋅⋅ω⋅=

⋅⋅= 4.2.4-6

iar tensiunea normală din secţiunea periculoasă este:

z

22

z

maximax W

l

g39

AR

W

M⋅

γ⋅

⋅

⋅ω⋅==σ 4.2.4-7

Tensiunea normală maximă depinde atât de viteza unghiular ă ω, aria secţiuniitransversale A, cât şi de modulul de rezistenţă W z .

122




4.3 SOLICITĂRI PRODUSE DE VARIAŢII RAPIDE ALEACCELERAŢIEI

4.3.1 Consideraţii generale

Asemenea solicitări sunt frecvente în practică şi ele apar în special atuncicând două corpuri se ciocnesc. În vecinătatea locului de contact corpurile sufer ă deformaţii elastice sau plastice. La solicitările prin şoc, starea de solicitare are ocomponentă locală în jurul zonei de contact şi una generală determinată de

propagarea efectului şocului în toată masa corpului lovit. Ca urmare, elementelecorpului se pun în mişcare efectuând o mişcare oscilatorie amortizată. Din acest

punct de vedere, solicitarea prin şoc este deosebit de complexă, motiv pentrucare în general problema şocului se abordează cu metode aproximative, care însă

conduc la valori ale tensiunilor mai mari decât cele reale.De cele mai multe ori, în practică ciocnirea se realizează între două corpuri,

unul aflat în mişcare (care loveşte) şi unul în repaus (cel lovit). Dacă cel lovit îlopreşte pe cel care loveşte, atunci o soluţionare aproximativă a şocului se obţine

pe baza legii conservării energiei. Înainte de ciocnire, corpul aflat în mişcare are o energie cinetică:

∫= m

2c dmv

2

1E 4.3.1-1

unde:v – viteza unui element al corpului aflat în mişcarem – masa elementului aflat în mişcare

Dacă acel corp de masă m se află în mişcare de translaţie, energia cinetică pecare o posedă este:

2c vm

2

1E = 4.3.1-2

iar dacă se află în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe

2c J

2

1E ω= 4.3.1-3

unde J – momentul de iner ţie masic al corpuluiω - viteza unghiular ă a corpului aflat în mişcare de rotaţie.

Când corpul de greutate Q cade, după parcurgerea unei distanţe (înălţime) h, energia lui cinetică este:

123




hQE c ⋅= 4.3.1-4

Metoda aproximativă cea mai utilizată în abordarea şocului se bazează pe legea

conservării energiei care precizează că în momentul ciocnirii, energia cinetică E c a corpului care loveşte se transformă integral în energie de deformaţie U d :

dc UE = 4.3.1-5

În urma ciocnirii ambele corpuri sufer ă deformaţii şi ca urmare, relaţia 4.3.1-5are forma:

2d1dc UUE += 4.3.1-6

undeU d1 – energia de deformaţie a corpului care loveşteU d2 – energia de deformaţie a corpului lovit.

În majoritatea cazurilor deformarea suferită de corpul care loveşte este mică încomparaţie cu cea a corpului lovit şi ca urmare energia U d1 se neglijează.

Elementele de rezistenţă care în timpul şocului sufer ă deformaţii mari, auo comportare la şoc mult mai bună decât cele care sunt rigide. De aceea,elementele de rezistenţă supuse posibilităţii solicitărilor prin şoc trebuie astfelconcepute încât deformarea lor să fie cât mai mare posibil.

4.3.2 Întinderea (compresiunea) prin şoc

Se consider ă o bar ă de lungime l, cu secţiune constantă, înţepenită la uncapăt, solicitată de o greutate Q care cade de la înălţimea h pe un opritor aşezatîn capătul liber al barei (Fig.4.3.2-1).

Opritor

Q = mgl

h

Δld = δd

Fig.4.3.2-1

124




Energia de deformaţie a greutăţii care cade se neglijează. În momentul şocului bara se deformează suferind o lungire dinamică Δl d = δ d . Energia cinetică pecare o are greutatea în momentul şocului se transformă în energie de deformaţiea barei:

( )AE2

l NhmgE

2d

dc

⋅=δ+⋅= 4.3.2-2

undem – masa greutăţii care cade

g – acceleraţia gravitaţională N d – efortul axial din bar ă în momentul şocului (efortul axial dinamic) A – aria secţiunii transversale a barei.

Dacă se înlocuieşte lungirea dinamică δ d

AE

l N dd

⋅=δ 4.3.2-3

în relaţia 4.3.2-3 se obţine:

0hgm

AE

l Ngm

AE2

l N d2d =−

⋅⋅−

⋅4.3.2-4

şi este o ecuaţie de gradul doi în raport cu efortul axial dinamic N d . Rezolvată această ecuaţie, rezultă pentru efortul axial din momentul şocului expresia:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⋅=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⋅=

lgm

hAE211Q

lgm

hAE211gm N d 4.3.2-5

Expresia

std

h211

EA

Qlh2

11

EA

lmgh2

11lgm

hAE211

δ++=++=++=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=ψ 4.3.2-6

poartă numele de multiplicator de şoc sau coeficient dinamic la şoc.Rezultă atunci că efortul axial dinamic din bara solicitată la şoc, are expresia:

dstdd NQ N ψ⋅=ψ= 4.3.2-7

125




În expresia 4.3.2-6:δst – este deplasarea (statică) secţiunii de impact sub acţiunea greutăţii

aplicată ca o for ţă statică în această secţiune N st – efortul axial din bar ă când greutatea este aplicată ca o for ţă statică în

secţiunea de impact.După cum se poate constata, multiplicatorul de şoc este supraunitar.Atunci când h = 0 (greutatea nu are înălţime de cădere ci se aplică ca un impuls

puternic), rezultă că valoarea minimă a multiplicatorului de şoc este ψ = 2, adică în momentul şocului efortul axial creşte de cel puţin două ori. De aici se vedeclar cât de periculos poate fi şocul pentru elementele de rezistenţă.De asemenea, din relaţia 4.3.2-6 se constată că micşorarea deplasării statice (δst)a secţiunii de impact conduce la o mărire semnificativă a multiplicatorului deşoc şi invers.

Tensiunea normală din momentul şocului (dinamică) din bar ă este dată derelaţia:

dstdstd

d A

N

A

Nψ⋅σ=ψ⋅==σ 4.3.2-8

adică tensiunea normală din momentul şocului este egală cu tensiunea statică (produsă de sarcina aplicată static) înmulţită cu multiplicatorul de şoc.

La fel se poate ar ăta că în momentul şocului şi deformaţiile se multiplică

cu valoarea multiplicatorului de şoc:

dstd ll ψ⋅Δ=Δ 4.3.2-9

În concluzie, în momentul şocului, efortul axial, tensiunea normală şi lungireasau scurtarea barei se obţin prin înmulţirea aceloraşi mărimi calculate în regimstatic cu multiplicatorul de şoc:

dstd

dstd

dstd

ll

N N

ψ⋅Δ=Δψ⋅σ=σ

ψ⋅=

4.3.2-10

Este foarte important de evidenţiat faptul că pentru toate mărimile dinrelaţia 4.3.2-10 există un singur multiplicator de şoc şi care se calculează curelaţia

st

d

h211

δ

++=ψ 4.3.2-11

126




Când înălţimea de cădere h este mare în raport cu deplasarea statică δst, se poate utiliza pentru multiplicatorul de şoc relaţia aproximativă:

std

h21

δ+≈ψ

4.3.2-12

Calculul de rezistenţă impune satisfacerea condiţiei:

admaxstmaxd σ≤ψ⋅σ=σ 4.3.2-13

Calculul la compresiune prin şoc se efectuează la fel ca şi pentrutracţiunea prin şoc.

4.3.3 Încovoierea prin şoc (încovoierea dinamică)

Fie o grindă de rigiditate constantă, pe capătul căreia de la înălţimea h cade o greutate Q de masă m (Fig.4.3.3-1).

x

Q = mg

δd

hl

Fig.4.3.3-1

Căderea greutăţii Q este echivalentă cu aplicarea unei for ţe dinamice F d pe capătul barei şi care la rândul ei, determină în bar ă un moment încovoietor

dinamic M id :

xFM did ⋅= 4.3.3-1

Egalăm şi în acest caz energia cinetică (egală cu lucrul mecanic efectuat)a greutăţii din momentul ciocnirii cu energia de deformaţie a grinzii:

( )z

32d

l

0 z

2id

d

IE3

lF

2

1dx

IE

M

2

1hmg

⋅⋅=⋅=δ+⋅ ∫ 4.3.3-2

127




Dacă se are în vedere că

z

3d

d IE3

lF ⋅=δ 4.3.3-3

relaţia 4.3.3-2 conduce la expresia:

z

32d

z

3d

IE6

lFmg

IE3

lFmgh

⋅=⋅

⋅+

de unde rezultă ecuaţia de gradul doi în F d :

0l

IEhgm6Fgm2F 3z

d2d =−⋅− 4.3.3-4

Rezolvând ecuaţia 4.3.3-4, se obţine expresia for ţei dinamice:

dst

z

3d Qh2

11Q

IE3

lmg

h211gmF ψ⋅=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

δ++⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++⋅= 4.3.3-5

undeψ d – multiplicator de şoc la încovoiere şi are aceiaşi expresie ca la

întinderea prin şoc. Mărimile din expresia multiplicatorului de şoc au aceiaşisemnificaţia ca la tracţiunea prin şoc.

For ţa dinamică în cazul încovoierii se determină prin înmulţirea celeistatice cu multiplicatorul de şoc.

Tensiunea normală dinamică pentru încovoierea cu şoc se determină cuajutorul relaţiei de la încovoiere:

dmaxstmaxd

dminz

ist

minz

dst

minz

d

minz

maxidmaxd W

M

W

lF

W

lF

W

M

ψ⋅σ=σ⇒

ψ⋅=ψ⋅⋅

=⋅

==σ4.3.3-6

şi este produsul dintre tensiunea statică şi multiplicatorul de şoc.La fel şi săgeata sau rotirea unei secţiuni în momentul şocului sunt egale

cu produsul dintre mărimile statice şi multiplicatorul de şoc.În final, pentru încovoierea prin şoc, în momentul impactului se produc

mărimile dinamice:

128




dstd

distid MM

ψ⋅σ=σ

ψ⋅=4.3.3-7a

dstd

dstd vv

ψ⋅ϕ=ϕ

ψ⋅=4.3.3-7b

unde.

ststd

h21

h211

δ+≈

δ++=ψ 4.3.3-8

Calculul de rezistenţă impune îndeplinirea condiţiei:

admaxstmaxd σ≤ψ⋅σ=σ 4.3.3-9

Tensiunea normală produsă în timpul şocului este cu atât mai mică cu câtvolumul corpului lovit este mai mare, adică cu cât corpul lovit are capacitateaînmagazinării unei cantităţi mai mari de energie de deformaţie.

Dacă masa corpului lovit este aproximativ de acelaşi ordin de mărime cu acorpului care loveşte, atât pentru întinderea cât şi pentru încovoierea prin şoc,este necesar ca în calcule să se ţină seama şi de iner ţia corpului lovit.

4.3.4 Torsiunea prin şoc (torsiunea dinamică)Se consider ă un arbore de secţiune circular ă pe care este situat un volant

de greutate Q şi diametru D (Fig.4.3.4-1).

Qv

a

D d

b cl

Frână

Fig.4.3.4-1

ω = ct.

Arborele se roteşte cu viteza unghiular ă ω constantă. La un moment dat,arborele este oprit brusc (în timp foarte scurt) cu ajutorul unei frâne montată pearbore. Energia cinetică a volantului se transformă în energie de deformaţie

pentru por ţiunea dintre volant şi frâna arborelui.

Energia cinetică a arborelui este:

129




2vc J

2

1E ω⋅= 4.3.4-2

unde J v – momentul de iner ţie masic al volantului şi care este:

2vv D

g8

QJ ⋅= 4.3.4-3

Egalând energia cinetică a volantului cu energia de deformaţie a arboreluise obţine momentul de torsiune dinamic M td :

l

JIGM

IG2

lMJ

2

1 v ptd

p

2td2

v ⋅ω=⇒⋅

=ω⋅ 4.3.4-4

Tensiunea tangenţială dinamică maximă din arbore se determină cu relaţiacunoscută:

a

vv

v2

v p

p p

tddmax

VJG2

lAJG2

l

JG

4

d

2

l

JIG

I2

d

2

d

I

M

⋅ω=⋅ω=

=⋅π

⋅ω=⋅ω

=⋅=τ=τ

4.3.4-5

unde,V a – volumul arborelui care a înmagazinat energia de deformaţie

Se poate observa că volumul arborelui influenţează mărimea tensiuniitangenţiale la oprirea rapidă a acestuia. Un volum mare (lungime sau diametrumare) conduce la o micşorare a valorii tensiunii tangenţiale dinamice.

Dacă se ţine seama de expresia momentului de iner ţie masic J v al

volantului (relaţia 4.3.4-3), expresia tensiunii tangenţiale dinamice maxime este:

l

QG

d

D

l

QG

d

DD

g8

Q

l4

d

G2

vmax

v2v2max

⋅π⋅⋅ω=τ⇒

⋅π⋅⋅ω=⋅⋅

⋅π

⋅ω=τ

4.3.4-6

130




4.3.5 Calculul arcului elicoidal cu spire strânse solicitat la şoc

Pe un arc elicoidal cu n spire strânse, raza de înf ăşurare R, diametrulsârmei de înf ăşurare d , cade o greutate Q de la înălţimea h (Fig.4.3.5-1). În

momentul şocului sârma arcului este solicitată la forfecare (vezi calculul arculuielicoidal cu spire strânse) şi torsiune. Pentru solicitarea prin şoc se neglijează forfecarea.

dR

h

f

Q

Fig.4.3.5-1

Energia cinetică a greutăţii Q în momentul şocului este egală cu:

( )f hQE c +⋅= 4.3.5-1

unde f – săgeata arcului ca urmare a ciocnirii.

For ţa dinamică F d care apare în arc în momentul şocului produce un moment detorsiune

R FM dtd ⋅= 4.3.5-2

Energia de deformaţie înmagazinată în arc se determină funcţie demomentul de torsiune:

k

F

dG

nR F32

IG2

lMU

2d

4

32d

p

2td

d =⋅⋅⋅

=⋅

= 4.3.5-3

unde s-a notat:

131




nR 32

dGk

3

4

⋅⋅

⋅= 4.3.5-4

Egalând energia cinetică a greutăţii (relaţia 4.3.5-1) cu energia de deformaţie aarcului (relaţia 4.3.5-3) şi ţinând seama de expresia săgeţii arcului

4

3d

dG

nR F64f

⋅

⋅⋅⋅= 4.3.5-5

se obţine relaţia:

k

F

k

F

2hQ

2dd

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅ 4.3.5-6

care este o ecuaţie de gradul doi în F d :

4.3.5-70hQk FQ2F d2d =⋅⋅−⋅−

Rezolvarea ecuaţiei 4.3.5-7, conduce pentru for ţa dinamică din arc la următoareaexpresie:

Qhk QQF 2d ⋅⋅++= 4.3.5-8

de unde momentul de torsiune dinamic este:

)Qhk QQ(R M 2td ⋅⋅++⋅= 4.3.5-9

care produce tensiunea tangenţială maximă:

( )Qhk QQd

R 16

d

M16

W

M 2

33td

p

tdmax ⋅⋅++⋅

⋅π

⋅=

⋅π

⋅==τ 4.3.5-10

Dacă înălţimea de cădere a greutăţii este mare în raport cu săgeata arcului,se poate considera că tensiunea tangenţială maximă din arc are expresia:

nR d

GQh8Qhk

d

R 16223max ⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅π

⋅≈τ 4.3.5-11

Şi în acest caz, tensiunea tangenţială scade cu creşterea volumului arcului.

132




4.3.6 Efectul masei corpului lovit asupra solicitării prin şoc

Dacă masa corpului lovit este de acelaşi ordin de mărime cu cea a

corpului care loveşte, atunci este necesar ca în calculele la şoc să se aibă învedere şi iner ţia corpului lovit.În toate cazurile prezentate anterior, la stabilirea multiplicatorului de şoc

s-a neglijat energia cinetică pe care o primeşte masa corpului lovit.Efectul masei corpului lovit asupra solicitării prin şoc se tratează pe un

caz particular şi anume al şocului axial de întindere.Corpul de greutate Q care cade pe bara de greutate Qb are înainte de şoc

viteza

hg2v = 4.3.6-1

iar după şoc viteza v1 < v, egală cu viteza capătului lovit al barei (Fig.4.3.6-1).

a)

Q

Q l

h

v1

vx = v1⋅x / l

x

b

Fig.4.3.6-1

Se poate considera că viteza diferitelor secţiuni creşte de la viteza v = 0 (înînţepenire) liniar până la viteza v1 (în capătul liber al barei). La distanţa x decapătul fix, viteza secţiunii este (din asemănarea triunghiurilor – vezi Fig.4.3.6-1b):

1x vl

xv ⋅= 4.3.6-2

iar energia cinetică a unui element de bar ă, de lungime dx, situat la distanţa x decapătul fix are expresia:

2

12x1c

l

xvdx

g

A

2

1vdm

2

1dE ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅⋅γ

⋅=⋅⋅= 4.3.6-3

133




Integrând relaţia 4.3.6-3 pe toată lungimea barei se obţine energia cinetică a barei:

2

1

bl

0

2

2

21

1c vg3

Q

2

1

dxxl

v

g

A

2

1

E ⋅⋅=⋅⋅

⋅γ

⋅= ∫ 4.3.6-4

undeQb = γ A l este greutatea proprie a barei.

Dacă se notează

3

QQ b

rb = 4.3.6-5

şi numită greutatea redusă a barei, atunci energia cinetică a barei (relaţia 4.3.6-4) poate fi scrisă sub forma:

21rb

21

rb1c vm

2

1v

g

Q

2

1E ⋅⋅=⋅⋅= 4.3.6-6

undemrb – masa redusă a barei.

Coeficientul

31k = 4.3.6-7

se numeşte coeficient de reducere a greut ăţ ii sau a masei barei. Se poate acum considera că întreaga masă a barei lovite este mr şi aceasta se află în punctul unde se produce şocul cu viteza v1 (deocamdată necunoscută).

Pentru a determina viteza v1 se scrie teorema conservării impulsuluiînainte şi după şoc:

1 b

1r v

gQk

gQv

gQ

gQv

gQ ⋅⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⋅+=⋅⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ += 4.3.6-8

de unde se obţine:

Q

Qk 1

hg2

Q

Qk 1

vv

Qk Q

Qv

b b b1 ⋅

+

⋅⋅=

⋅+

=⋅⋅+

= 4.3.6-9

134




Energia cinetică totală, a greutăţii Q şi a greutăţii reduse Qr imediat după şoc este:

( )( ) h

Qk Q

Qhg2

Qk Q

Q

g

Qk Q

2

1

vQk Q

Q

g

Qk Q

2

1

vg

Qk Q

2

1

E

b

22

2 b

2 b

2

2

b

b2

1

b

c

⋅+

=⋅+

⋅+

⋅=

=⋅⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+⋅

+

⋅=⋅

+

⋅= 4.3.6-10

Dacă la această energie se adaugă lucrul mecanic al greutăţii Q în timpuldeformaţiei dinamice δ a barei, se obţine energia totală care este cedată barei:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

δ++

⋅=δ⋅+⋅+

=

Q

Qk 1

hQQhQk Q

QE b b

2

t 4.3.6-11

Energia totală cedată barei este acum egalată cu energia de deformaţie a sa:

l2

AE

Q

Qk 1

hQ

2

b

δ⋅⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

δ+

+

⋅ 4.3.6-12

care este o ecuaţie de gradul doi în δ:

0

Q

Qk 1

h

2

1

b

2

st

=+

−δ−δ⋅δ 4.3.6-13

Rezolvarea ecuaţie 4.3.6-13 conduce pentru deplasarea dinamică a secţiunii deimpact la următoarea expresie:

r stst

r st

h211 ψ⋅δ=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

δ++⋅δ=δ 4.3.6-14

unde s-a notat:

AElQst ⋅⋅=δ - deplasarea statică a secţiunii de impact

135




Q

Qk 1

hh

br

+= - înălţimea de cădere redusă

st

r r

h211

δ

⋅++=ψ - multiplicator de şoc redus.

Se poate constata că au rezultat relaţii asemănătoare cu cele obţinute când s-aneglijat masa corpului lovit, cu deosebirea că atunci când se ţine seama şi demasa corpului lovit, în relaţiile obişnuite de calcul se introduc mărimile reduse.

Coeficientul de reducere k , depinde de solicitare şi de modul de rezemareal barei. Astfel:

pentru bara liber ă la un capăt şi înţepenită la celălalt, solicitată la şocaxial în capătul liber, k = 1/3

pentru grinda înţepenită la un capăt şi liber ă la celălalt, solicitată la şoctransversal în capătul liber, k = 33 /140

pentru bara simplu rezemată solicitată la încovoiere printr-un şoc însecţiunea de la mijlocul deschiderii, k = 17 /35.

Tensiunea produsă prin şoc pentru aceste cazuri se va calcula cu relaţia:

r std ψ⋅σ=σ 4.3.6-15

4.4 APLICAŢII

Aplica ţ ia 4.4.1. O greutate Q = 200 daN cade de la înăl ţ imea h = 1 cm pe

mijlocul unei grinzi cu deschiderea l = 1 m, confec ţ ionat ă dintr-un profil I 10. S ă se verifice grinda în două situa ţ ii:

a) grinda se sprijină pe două reazeme rigide (Fig.4.4.1-1a)

b) grinda se sprijină pe două arcuri elicoidale cu spire strânse, având

raza de înf ăşurare R = 64 mm, diametrul sârmei d = 16 mm, iar

numărul de spire este n = 4 (Fig.4.4.1-1b).

Se mai cunosc: σ a = 150 MPa, τ a = 400 MPa, E = 2,1 ⋅ 105

MPa, G = 8,5⋅ 104

MPa.

136




l/2 l/2l/2 l/2

b)a)

hh

QQ

Fig.4.4.1-1

Rezolvare:

a) Momentul încovoietor din secţiunea periculoasă este

4

lQM maxix

⋅=

iar deplasarea statică din secţiunea de impact este:

mm116,0IE48

lQ

z

3

st =⋅⋅

=δ

Multiplicatorul de şoc se calculează cu relaţia cunoscută

6,14h2

11st

=δ

++=ψ

Tensiunea normală statică maximă din grindă este:

MPa6,14W4

lQ

W

M

minzminz

maxizmaxst =

⋅==σ

iar cea dinamică maximă:

amaxstmaxd MPa207 σ>=ψ⋅σ=σ

Se constată că tensiunea normală maximă în momentul şocului este mai maredecât cea admisibilă. O soluţie practică pentru diminuarea tensiunii este mărireadeplasării secţiunii de impact. aceasta se poate realiza prin aşezarea unor elemente elastice de rezemare.

b) Tensiunea normală statică maximă r ămâne aceiaşi de la punctul a).

137




Se modifică deplasarea statică din secţiunea de impact. Deplasarea determinată de deformarea arcului este:

mmd G

n RQ

arc st 05,122

64

4

3

, =⋅

⋅⋅⋅

=δ

iar deplasarea statică totală este:

mmarc st st tot st 166,1205,12116,0,, =+=δ+δ=δ

Multiplicatorul de şoc în acest caz are valoarea

6,2211,

=δ

++=ψtot st

h

care conduce la o tensiune dinamică maximă:

amaxstmaxd MPa4,38 σ<=ψ⋅σ=σ

Tensiunea normală maximă pentru grinda cu reazeme elastice este mult mai

mică decât tensiunea normală maximă pentru grinda rezemată rigid.Arcul elicoidal este solicitat la torsiune, unde tensiunea tangenţială statică maximă este:

MPaW

RQ

W

M

p p

t

st 39,802max =

⋅==τ

care conduce la o valoare dinamică maximă:

MPa400MPa209maxstmaxd <=ψ⋅τ=τ

Aplica ţ ia 4.4.2. S ă se calculeze tensiunea maximă din obada unui volant

confec ţ ionat din o ţ el ( γ = 7,8 daN /dm3 ) având diametrul D = 2 m şi care se

rote şte cu o tura ţ ie n = 600 rot/min. S ă se calculeze şi cre şterea razei

volantului. Se cunoa şte E = 2,1⋅ 105

MPa.

138




RezolvareEfortul axial care ia naştere în obada volantului este:

g

R A N

22 ⋅ω⋅⋅γ=

iar tensiunea normală din obadă are expresia:

MPa29g

R 30

n

g

R

A

N2

2

22

=⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅π⋅γ

=⋅ω⋅γ

==σ

Creşterea razei se determină cu relaţia cunoscută:

mm138,0E

R R =

⋅σ=Δ

Aplica ţ ia 4.4.3. Asupra barei cotite din Fig.4.4.3-1a cade o greutate Q =50 daN pe capătul liber de la înăl ţ imea h = 1,2 cm. S ă se verifice grinda

cunoscând: σ a = 140 MPa, d = 6 cm, E = 2,1⋅ 105

MPa, G = 8,1⋅ 104

MPa. Se va

utiliza teoria a III-a de rezisten ţă.

Q a

Q a

Q b

b=800 mm

a=300 mm

Q

h

b)a)

Fig.4.4.3-1

Rezolvare

Diagrama de momente este prezentată în Fig.4.4.3-1b. Secţiunea periculoasă este în încastrare unde se întâlneşte o solicitare compusă de încovoiere cutorsiune. Momentul încovoietor echivalent din secţiunea periculoasă calculatdupă teoria a III-a de rezistenţă este:

( ) ( ) cmdaN4280 bQaQMMM222

t

2

iechIII ⋅=+=+=

139




iar tensiunea echivalentă are valoarea:

MPa2,20W

M

z

echIIImaxst ==σ

Deplasarea statică a secţiunii de impact poate fi calculată relativ uşor cu metodasarcinii unitare:

( )mm02,1

IG

baQ

IE3

baQ

p

2

z

33

st =⋅⋅

++⋅

=δ

iar multiplicatorul de şoc este:

6h2

11st

≈δ⋅

++=ψ

Tensiunea echivalentă dinamică maximă este acum:

a st d MPa σ<=ψ⋅σ=σ 2,121max,max

Solicitarea prin şoc a barei cotite analizate nu este periculoasă.

În capătul liber al barei se produce o deplasare dinamică maximă:

mm12,6stmaxd =ψ⋅δ=δ

140




Aplica ţ ia 4.4.4-1. S ă se determine înăl ţ imea maximă de la care poate

cădea o greutate Q = 100 daN pe platforma unei macarale a cărei schemă

constructivă este prezentat ă în Fig.4.4.4-1. Grinda este de sec ţ iune

dreptunghiular ă , iar cablul de sus ţ inere al platformei are diametrul d = 20 mm.

Ambele elemente sunt din o ţ el pentru care σ a = 150 MPa şi E = 2,1⋅ 105

MPa.Cilindrul hidraulic de ridicare a grinzii se consider ă rigid în momentul şocului.

H = 5 m

hQ

60

120

b = 5 ma = 7 m

Fig.4.4.4-1

Rezolvare

Sistemul are două elemente care trebuie calculate: grinda orizontal ă şicablul de sus ţ inere al platformei.

Cablul este solicitat la întindere. Tensiunea normală statică maximă dincablu este:

MPa18,3A

Q

A

N

cabcabstcab ===σ

Grinda este solicitată la încovoiere cu momentul maxim în secţiunea delegătur ă între grindă şi cilindrul hidraulic. Tensiunea normală statică maximă din grindă este:

stcabgr minzgr minz

maxizstgr MPa7,34

W

bQ

W

Mσ>=

⋅==σ

Pentru determinarea multiplicatorului de şoc se calculează deplasareasecţiunii de impact (secţiunea de pe platformă).

141




Deplasarea secţiunii de impact este formată din deplasarea capătului de jos alcablului de susţinere al platformei la care se adaogă deplasarea capătului liber algrinzii:

stgr cabst l δ+Δ=δ

Lungirea cablului de susţinere este:

mm075,0AE

HQl

cabcab =

⋅⋅

=Δ

Săgeata capătului liber al grinzii se poate determina cu metoda sarcinii unitare, procedeul Vereşceaghin. Diagramele pentru calculul deplasării sunt prezentateîn Fig.4.4.4-2.

ba

ba

b

Fig.4.4.4-2

1

Qb Q

Mi

m

Deplasarea capătului liber al grinzii este:

( )ab I E

bQ

babQbbbQ I E zgr zgr stgr +⋅=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 33

2

2

1

3

2

2

11 2

( )mm11,55

IE3

ba bQ

zgr

2

stgr =⋅⋅

+⋅⋅=δ

Acum deplasarea statică a secţiunii de impact este:

mm15,55l stgr cabst =δ+Δ=δ

142




Se pune condiţia de rezistenţă pentru elementul cel mai periculos, care estegrinda:

ast

stgr

astgr

h211 σ=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ⋅++⋅σ⇒

σ=ψ⋅σ

sau

mm277h

150185,55

h2117,34

≈⇒

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅++⋅

143




5. SOLICITĂRI VARIABILE

5.1 CICLURI ALE SOLICITĂRILOR VARIABILE

Variaţia for ţelor dacă se produce de un număr mare de ori are o influenţă defavorabilă asupra caracteristicilor mecanice ale materialelor. Solicitări cu for ţevariabile în timp se întâlnesc frecvent în construcţia de maşini: mişcarea derotaţie şi cea de du-te-vino a diferitelor piese etc. Solicitările variabile se potclasifica după mai multe criterii: Dup

ămodul cum variaz

ăîn timp pot fi:

¾ periodice, atunci când se reproduc după intervale de timp regulate¾ aleatoare, atunci când nu există o regulă de variaţie

La rândul lor, solicitările periodice pot fi:¾ sta ţ ionare, când tensiunile variază între o limită superioar ă σmax şi una

inferioar ă σmin ¾ nesta ţ ionare, când tensiunile îşi modifică amplitudinea în decursul

unei perioadeÎn cazul solicitărilor staţionare, variaţia tensiunii pornind de la o valoareoarecare şi până atinge din nou aceeaşi valoare şi semn, formează un ciclu al

solicit ării variabile. Într-un ciclu, tensiunea trece o singur ă dată prin valoareamaximă σmax (numită şi limita superioar ă a tensiunii) şi prin valoarea minimă σmin (numită şi limita inferioar ă a tensiunii). La fel se întâmplă într-un ciclu şi cutensiunile tangenţiale, for ţele sau cuplurile.

Se definesc: tensiunea medie a ciclului σ m , raportul:

2

minmaxm

σ+σ=σ 5.1-1

amplitudinea ciclului σ am , raportul:

mminmmaxminmax

am 2σ−σ=σ−σ=

σ−σ=σ 5.1-2

de unde rezultă:

ammminammmax şi σ−σ=σσ+σ=σ 5.1-3

coeficientul de asimetrie R al ciclului:

144




max

minR σ

σ= 5.1-4

perioada ciclului este intervalul de timp scurs între atingerea aceleiaşi

valori a tensiunii şi de acelaşi semn După mărimea coeficientului de asimetrie, ciclurile de solicitare pot fi:

¾ cicluri simetrice, pentru care:

1R ,,0, maxammminmax −=σ=σ=σσ−=σ 5.1-5a

¾ cicluri asimetrice, R ≠ -1 După semnul algebric al tensiunii, ciclurile sunt:

¾ alternante (tensiunile limită au semne contrare), R < 0 ¾ cicluri oscilante (tensiunea are un singur semn)

Ciclurile oscilante la rândul lor, pot fi: pozitive (ambele tensiuni limită sunt pozitive), 0 <R <+1 negative, (ambele tensiuni limită sunt negative), +1< R <+∞ pulsante, (una din tensiunile limită este nulă), R = 0

Dacă amplitudinea ciclului este mică şi se poate neglija, solicitarea este una statică ( σ max = σ min = σ m , σ am = 0, R = +1).

În Fig.5.1-1 se prezintă elementele unui ciclu de solicitare (unul alternant pozitiv. Celelalte cicluri rezultă uşor din acesta pe baza considerentelor

prezentate la clasificarea lor.

O

Perioadă (T)

Perioadă (T)

σmin

σmax

σmσam

σam

σ

t

Fig.5.1-1

145




5.2 OBOSEALA MATERIALELOR. RUPEREA PRIN OBOSEALĂ

Comparativ cu solicitările statice, solicitările variabile repetate de unnumăr mare de ori, au un efect nefavorabil asupra capacităţii de rezistenţă amaterialului din care sunt confecţionate elementele de rezistenţă. Aşa au apărutruperi neaşteptate la multe organe de maşini cum ar fi: arbori cotiţi, roţi dinţate,

bolţuri de piston, arcuri de supapă etc, cu toate că din punct de vedere alrezistenţei materialelor au fost calculate corect. Ruperile au avut loc la valorimult mai mici ale tensiunii corespunzătoare stărilor limită pentru solicitareastatică. Acest fenomen de rupere prematur ă, la tensiuni sub cele limită, estecunoscut sub numele de oboseala materialelor. Cercetările experimentaleefectuate timp îndelungat au scos în evidenţă că un organ de maşină care suportă static foarte bine o tensiune σmax, dacă este solicitată variabil repetat, cedează

după un timp la o tensiune mai mică decât cea maximă de la solicitarea statică (σ < σmax). Un caz clasic de astfel de organ de maşină este osia vagoanelor decale ferată. Acestea rotindu-se în timpul mersului, o fibr ă în timpul unei rotaţiicomplete trece de la o valoare maximă a tensiunii normale la una minimă. Îndecursul timpului, se efectuează un număr foarte mare de cicluri şi cuamplitudine diferită (vagonul nu este totdeauna la fel de încărcat).Cu cât tensiunea maximă din piesă este mai mare, cu atât ruperea prin oboseală are loc la un număr mai mic de cicluri. Dacă tensiunea are valori mici, nu se mai

produce ruperea prin oboseală oricât de multe cicluri de solicitare ar exista în

piesă. Ruperile prin oboseală confer ă secţiunii de rupere un aspect specific(Fig.5.2-1). Într-o secţiune ruptă prin oboseală se disting două zone: unalucioasă şi una gr ăunţoasă, cu cristale ascuţite rezultată în urma unei rupericasante.

Zona lucioasă

Zona r ăun oasă

Fig.5.2-1

Iniţierea ruperii prin oboseală are loc în zona tensiunilor mari, unde anumiţifactori, cum ar fi concentratorii de tensiune, sunt prezenţi şi care iniţiază microfisura. Apoi aceasta se măreşte şi ca urmare a frecărilor dintre suprafeţele

separate, apare zona lucioasă. Când secţiunea a slă bit suficient de mult, are loc

146




separarea bruscă a suprafeţelor, formându-se astfel cea de-a doua zonă, zonagr ăunţoasă..

Calculul de rezistenţă are în vedere la solicitările statice, ipoteza mediuluicontinuu omogen şi izotrop. Ori este bine cunoscut faptul că în structura

materialului există o serie de pori, incluziuni, microfisuri, orientări diferite alecristalelor etc., care constituie concentratori puternici de tensiuni, deosebit de periculoşi în cazul solicitărilor variabile. Pe baza acestor observaţii, pentrucalculul la oboseală s-au stabilit metode de calcul specifice.

5.3 REZISTENŢA LA OBOSEALĂ. CURBA LUI WHLER

La solicitarea variabilă caracteristica mecanică limită a materialului esterezisten ţ a la oboseal ă. Determinarea rezistenţei la oboseală este standardizată utilizându-se diferite tipuri de epruvete, cu forme şi dimensiuni specifice.

Schema unei instalaţii simple pentru determinarea rezistenţei la oboseală este prezentată în Fig.5.3-1a.

Fig.5.3-1

a)

x

d

ωEpruvetă Rulment

Bω

d

ϕ

b)

y

Q

Indicator derotaţii

Epruvetele sunt încastrate într-un capăt, iar în capătul liber se încarcă cu ogreutate Q. Încărcarea se face prin intermediul unui rulment pentru a da

posibilitate epruvetei să se rotească. De asemenea instalaţia este prevăzută cu unnumăr ător de turaţii (cicluri). În timpul rotirii epruvetei tensiunea normală dindreptul unui punct oarecare îşi modifică valoarea după un ciclu alternantsimetric.

Viteza unghiular ă ω constantă a epruvetei, într-o poziţie oarecare după untimp t , determină în punctul B, unghiul ϕ:

t⋅ω=ϕ 5.3-1

147




iar ordonata punctului B este:

tsin2

dsin

2

dy ω⋅=ϕ⋅= 5.3-2

În punctul B, tensiunea normală se calculează cu relaţia:

tsind

xQ32y

I

M3

z

i ω⋅⋅π

⋅=⋅=σ 5.3-3

ceea ce arată că în secţiunea transversală a epruvetei tensiunea variază sinusoidal, între valorile extreme:

0d

xQ32

m

3minmax,

=σ⇒⋅π

⋅±=σ

5.3-4

Epruveta se încearcă până la rupere şi se notează numărul de cicluri. Pentrudeterminarea rezistenţei la oboseală, se încearcă mai multe epruvete la diferitefor ţe de încărcare. Epruvetele încercate cu for ţe (tensiuni) mai mari se rup la un

număr mai mic de cicluri. La o tensiune σ1 aplicată, numărul de cicluri până larupere este N 1, la tensiunea σ2 corespunde N 2 , la σ3 corespunde N 3 etc.Tensiunea şi numărul de cicluri se înregistrează într-o diagramă, diagrama σmax = f(N). Această diagramă este cunoscută sub numele de curba W º hler (Fig.5.3-2).

N [rotaţii]

O N2 N1

σmax

σ0b

σ2σ1

Număr cicluri

Fig.5.3-2

148




Curba se apropie asimptotic de tensiunea σ0b, pentru care epruveta nu semai rupe indiferent de numărul de cicluri de solicitare.Valoarea σ0 = σ0b a tensiunii se numeşte rezisten ţă la oboseal ă. Altfel spus,rezisten ţ a la oboseal ă este acea valoare maximă a tensiunii la care epruveta nu

se mai rupe nici după un număr foarte mare de cicluri. De obicei, numărulmaxim de cicluri se limitează la 107 cicluri (2-3 zile de funcţionare continuă a

instalaţiei cu n = 3000 rot/min).Rezistenţa la oboseală depinde de mai mulţi factori, în special de natura

solicitării, prin coeficientul de asimetrie R şi ea se determină pe caleexperimentală.

Rezistenţa la oboseală se notează cu simbolul tensiunii produse la care seadaugă un indice care reprezintă tocmai valoarea coeficientului de asimetrie alciclului de solicitare:

¾ σ0,3 – rezistenţa la oboseală pentru un ciclu cu R = 0,3 ¾ σ -1 - rezistenţa la oboseală pentru un ciclu alternant simetric, R = -1

¾ τ -1 – rezistenţa la oboseală la torsiune pentru un ciclu alternant simetric, R=-1 În Tabelul 5.3 se prezintă valorile rezistenţei la oboseală pentru câteva mărci

de oţel.

Tabelul 5.3-1Oţel cuσr [MPa]

Tracţiune-compresiuneσ-1t [MPa]

Încovoiereσ-1 [MPa]

Torsiuneτ-1 [MPa]

320 – 420 120 – 150 160 – 220 80 – 120400 – 500 120 – 160 170 – 220 100 – 130480 – 600 170 – 210 200 – 270 110 – 140600 – 750 190 – 250 250 – 340 150 – 200700 – 850 - 310 – 380 170 – 230

850 – 1050 - 400 – 450 210 – 2601050 – 1250 - 450 – 590 250 – 3001250 - 1450 - 500 - 600 280 – 350

Pentru rezistenţa la oboseală se pot utiliza şi relaţii aproximative:¾ σ-1 ≈ (0,4 … 0,5) σr pentru oţel solicitat la încovoiere¾ σ-1 ≈ (0,25 … 0,5) σr pentru metale neferoase¾ σ-1t ≈ (0,7 … 0,8) σ-1 la tracţiune-compresiune¾ σ0 ≈ (1,5 … 1,6) σ-1 pentru oţel solicitat la ciclu pulsant¾ τ-1 ≈ 0,6 σ-1 pentru oţel solicitat la torsiune¾ τ0 ≈ (1,8 – 2) τ-1 pentru oţel solicitat la torsiune, ciclu pulsant.

Pentru a cunoaţte cât mai real modul de comportare al materialelor la solicitărivariabile, încercările experimentale se pot efectua şi pe elemente de construcţiisau direct pe piese, nu numai pe epruvete.

149




Dacă curba W º hler se reprezintă în coordonate semilogaritmice σmax – log N ,rezultă o diagramă liniar ă ca cea prezentată în Fig.5.3-3.

logN

σ0

σmax

log107

Fi .5.3-3

5.4 DIAGRAMELE REZISTENŢELOR LA OBOSEALĂ

S-a constatat că rezistenţa la oboseală depinde foarte mult de coeficientulde asimetrie R al ciclului de solicitare. Rezistenţa la oboseală este minimă pentru

R = -1 (ciclu alternant simetric) şi creşte dacă R variază de la –1 la +1. Rezultă

de aici, că orice material prezintă o infinitate de rezistenţe la oboseală. Deoareceun material poate avea o infinitate de rezistenţe la oboseală este necesar să secunoască dacă este posibil, întreaga infinitate de valori şi pentru fiecare tip desolicitare. Este de mare ajutor dacă infinitatea rezistenţelor la oboseală pentru oanumită solicitare, poate fi redată de o singur ă diagramă. Acest tip de diagramereprezintă diagramele de rezisten ţă la oboseal ă. Se cunosc mai multe tipuri dediagrame ale rezistenţelor la oboseală.

Faţă de un sistem de coordonate σm - σam un ciclu poate fi reprezentat printr-un singur punct M (Fig.5.4-1).

σam

O σm

σm σmL

Mϕ

L

σam

σamL

Fig.5.4-1

150




Între panta dreptei OM şi coeficientul de asimetrie al ciclului reprezentatde punctul M , se poate scrie următoarea relaţie:

.cttg1

tg1R

R 1

R 1

2

2tgminmax

minmax

m

am

=ϕ+ϕ−

=⇒

+−=σ+σ

σ−σ=σ

σ=ϕ

5.4-2

Relaţia 5.4-2 arată că toate ciclurile reprezentate de punctele situate pe dreaptaOML au acelaşi coeficient de asimetrie. Punctul L reprezintă un ciclu limită,

adică un ciclu la care tensiunea maximă este egală cu rezistenţa la oboseală pentru ciclul cu respectivul coeficient de asimetrie. Locul geometric al punctelor L, reprezintă diagrama rezistenţelor la oboseală sau curba ciclurilor limit ă,numită şi diagrama Haigh (Fig.5.4-2).

σ0/2

σ0/2

A

BL

M

450

σ-1

σr

C

σam

σm

Fig.5.4-2

Punctele particulare A,B,C ale diagramei Haigh, reprezintă trei cicluri particulare:

punctul A, cu σm = 0, σam = σ-1 corespunde unui ciclu alternant simetric punctul B (situat pe bisectoare) cu σm = σam = σ0/2 reprezintă un ciclu

pulsant punctul C cu σm = σr , σam = 0 reprezintă o solicitare statică.

Orice punct din interiorul diagramei (punctul M ) reprezintă un ciclu nepericulosla oboseală pe când punctul L sau alt punct situat în afara diagramei, conduce la

ruperea prin oboseală.

151




Trasarea diagramei rezistenţelor la oboseală de tip Haigh, necesită cunoaşterea multor valori experimentale. De obicei se determină rezistenţele laoboseală pentru cicluri alternate, pulsante, care împreună cu caracteristicilemecanice conduc la aşa zisele diagrame schematizate.

Alt tip de diagramă a rezistenţelor la oboseală este diagrama Smith,reprezentată în coordonate σm - σmax , σmin (Fig.5.4-3).

σmax,min

În diagrama Smith, un ciclu de solicitare este reprezentat de două puncte.Punctele A – A1 reprezintă un ciclu alternant simetric, punctele B – B1 un ciclu

pulsant, iar punctul C solicitarea statică. Ciclurile reprezentate prin punte situateîn interiorul diagramei (punctele M – M 1) sunt cicluri nepericuloase, iar cele careau cel puţin un punct pe diagramă sau în exteriorul acesteia sunt cicluri careconduc la ruperi prin oboseală. Trasarea acestor diagrame necesită foarte multeîncercări experimentale. Din acest motiv obţinerea diagramei Smith se face prin

determinarea unui număr redus de rezistenţe la oboseală, ceea ce conduce ladiagrame schematizate.

5.5 SCEMATIZAREA DIAGRAMELOR REZISTENŢELOR LA OBOSEALĂ

După cum s-a mai spus, obţinerea diagramelor rezistenţelor la oboseală necesită foarte multe încercări experimentale care conduc la un efort mare şi untimp îndelungat. În practică se utilizează diagrame schematizate (simplificate)

B M

M1

σmax

σmin

C

σr A

σ0σ-1

450

σmBB1

σ-1

σ0/2A1

Fig.5.4-3

152




ale rezistenţelor la oboseală, diagrame pentru care în vederea trasării lor trebuiedeterminate mai puţine mărimi. Astfel sunt cunoscute următoarele schematizăriale diagramelor rezistenţelor la oboseală:

5.5.1 Schematizări ale diagramei Haigh

Schematizarea Gerber . Diagrama rezistenţelor la oboseală este parabola ABC (Fig.5.5.1-1), de ecuaţie:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

σ−⋅σ=σ −

2

r

m1am 1 5.5.1-1

Pentru obţinerea acestei diagrame este necesar să se determine σ-1 şi σr . Schematizarea Goodman recomandată materialelor fragile, estereprezentată de dreapta AC (fig.5.5.1-1), de ecuaţie:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ−⋅σ=σ −

r

m1am 1 5.5.1-2

Pentru această diagramă sunt necesare σ-1 şi σr . Schematizarea Soderberg , pentru materiale care au limită de curgere,

este dreapta AD (Fig.5.5.1-1) de ecuaţie:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ−⋅σ=σ −

c

m1am 1 5.5.1-3

iar pentru trasarea ei este necesar σ-1 şi σc.

D

σr

σc

A

B

C

Gerber

Goodman

Soderberg

σ-1

σam

σm

Fig.5.5.1-1

153




Scematizarea Goodman şi Soderberg se abat destul de mult de ladiagrama reală, ceea ce duce la valori ale coeficienţilor de siguranţă mai micidecât cei reali. Din acest motiv aceste schematizări (mai ales schematizareaGoodman) se utilizează mai puţin pentru calculul la oboseală.

Schematizarea Ujik (Fig.5.5.1-2a) necesită pentru trasare cunoaşterealui σ-1, σc şi σr Schematizarea Serensen (Fig.5.5.1-2b) impune cunoaşterea lui σ-1, σ0

şi σc.

Schematizarea Ujik se abate mult de la forma diagramei reale, motiv pentru careeste utilizată mai puţin.

Cele mai utilizate schematizări pentru calculele la oboseală suntschematizarea Soderberg datorită mai ales simplităţii de obţinere şischematizarea Serensen, care este simplă şi mai apropiată de diagrama reală (diagrama Haigh).

5.5.2 Schematizarea diagramei Smith

Schematizarea diagramei Smith constă în limitarea ei superioar ă (atensiunii maxime) la nivelul limitei de curgere σc.

La acest tip de diagramă, pentru trasarea ei sunt necesare: rezistenţa laoboseală pentru ciclu alternant simetric σ-1, limita de curgere σc şi rezistenţa laoboseală pentru ciclul pulsant σ0. Toate aceste caracteristici de material necesaretrasării diagramei Smith sunt destul de uşor de obţinut, ceea ce face ca diagramaSmith să fie foarte mult utilizată în calculele de rezistenţă. Din aceste diagrame

se utilizează în calcule, în mod special, cele trei caracteristici de materialamintite anterior.

σr

450

σc

σ-1

σam

σr σ0/2

450

σ0/2

σc

σ-1

σam

σmσm

b)a)Fig.5.5.1-2

154




Forma diagramei Smith, schematizate pe baza celor afirmate mai înainte,este prezentată în Fig.5.5.2-1.

σmax,min

5.6 FACTORII CARE INFLUENŢEAZĂ REZISTENŢALA OBOSEALĂ

Rezistenţa la oboseală a diferitelor elemente de rezistenţă sau organe demaşini supuse solicitărilor variabile, depinde de foarte mulţi factori. Factoriicare influenţează rezistenţa la oboseală pot fi clasificaţi în mai multe categorii:

¾ Factori constructivi: concentratorii de tensiune mărimea piesei

¾ Factori tehnologici: calitatea suprafeţei piesei structura materialului tehnologia de elaborare a semifabricatului tensiunile remanente tratamentele termice

¾ Factori de exploatare: mediul de lucru (agenţii corozivi etc.) coeficientul de asimetrie al ciclului de solicitare

C

B

σm

σr σc A

σ0σ-1

450

BB1

σ-1

σ0/2A1

Fig.5.5.2-1

155




temperatura piesei tipul solicitării frecvenţa ciclului de solicitare

În cele ce urmează, se prezintă doar cei mai importanţi factori de influenţă

şi de care se ţine seama în mod direct în calculele de oboseală.Este cunoscut faptul că în locurile unde secţiunea transversală variază brusc (găuri, gâtuiri, renuri etc.) şi la contactul dintre corpuri apar concentr ări puternice de tensiuni. Tensiunile sunt cu atât mai mari cu cât variaţia secţiuniieste mai mare şi raza de racordare mai mică. În cazul solicitărilor statice sedefineşte un coeficient teoretic de concentrare, ca fiind raportul dintre tensiuneamaximă din concentrator şi tensiunea nominală (calculată neglijând existenţaconcentratorului):

n

maxk σσ=α 5.6-1

Coeficientul teoretic de concentrare nu poate fi neglijat în cazul materialelor fragile. La materialele tenace, concentratorii de tensiune nu sunt prea periculoşi.

La solicitările variabile coeficientul de concentrare are o valoare mai mică decât în cazul solicitărilor statice şi aceasta datorită unei uşoare egalizări atensiunilor prin variaţia solicitării. În calculul solicitărilor variabile se utilizează coeficientul efectiv de concentrare K σ , respectiv K τ , definit prin relaţia:

1K

1K

K 1

1

K 1

1

>τ

τ=

>σσ=

−

−τ

−

−σ

5.6-2

undeσ-1, τ-1 – rezistenţa la oboseală a epruvetei standardizateσ-1K , τ-1K – rezistenţa la oboseală a epruvetei cu concentrator

Coeficientul efectiv de concentrare se determină pe cale experimentală şi el se

găseşte în literatura de specialitate sub forma unor diagrame pentru diferitetipuri şi mărimi de concentratori.Concentratorii de tensiune reduc rezistenţa pieselor supuse solicitărilor

variabile. Din acest motiv, este necesar să se evite pe cât posibil variaţiile bruşteale secţiunilor transversale ale pieselor, mai ales în zona existenţei tensiunilor mari.

Dimensiunile piesei influenţează semnificativ rezistenţa la oboseală. Cucât dimensiunile piesei sunt mai mari cu atât rezistenţa la oboseală este maimică. Piesele de dimensiuni mici au o rezistenţă mai mare la oboseală. Aceastase poate explica prin aceea că piesele mari au un volum şi o suprafaţă mai marecare conţine mai multe incluziuni nemetalice, pori, cristale orientate diferit şi

156




care constituie puternici concentratori interni de tensiune. În calculele laoboseală, mărimea piesei se ia în considerare printr-un factor dimensional ε σ ,

respectiv ετ definit de raportul:

1

1

1

d1

1

d1

<ττ=ε

<σσ=ε

−

−τ

−

−σ

5.6-3

undeσ-1d, τ-1d – rezistenţa la oboseală a piesei cu dimensiunea oarecare d.

Factorul dimensional se găseşte în literatura de specialitate sub formă dediagrame pentru diferite materiale şi solicitări.

Starea suprafe ţ ei piesei este un alt factor care influenţează rezistenţa laoboseală. Piesele cu suprafaţa prelucrată fin au rezistenţa la oboseală mult maimare decât piesele cu suprafaţa prelucrată grosolan sau cu suprafaţa corodată.Influenţa stării suprafeţei este mult mai pronunţată la solicitarea de torsiune şiîncovoiere, la care tensiunile maxime apar la suprafaţa exterioar ă a piesei.Zgârieturile, asperităţile de la suprafaţa piesei constituie concentratori detensiuni adică centre de amorsare a fisurilor. Cu cât suprafaţa piesei este mai fin

prelucrată cu atât prezenţa concentratorilor de tensiune este mai puţin posibilă şirezistenţa la oboseală este mai mare.

Starea de prelucrare a suprafeţei se ia în considerare în calculul laoboseală prin coeficientul de calitate al suprafe ţ ei γ definit prin raportul:

11

1 <σ

σ=γ−

γ−5.6-4

undeσ-1γ - rezistenţa la oboseală a piesei cu un anumit grad de prelucrare a

suprafeţei.Valorile coeficientului de calitate al suprafeţei se găseşte în literatura de

specialitate sub formă de diagrame.Cei trei factori de influenţă ai rezistenţei la oboseală pot fi grupaţi într-un

factor global de influen ţă a rezistenţei la oboseală:

1K

K

1K

K

D

D

>γ⋅ε

=

>γ⋅ε

=

τ

ττ

σ

σσ

5.6-5

157




De ceilalţi factori de influenţă, în calculul la oboseală se ţine seama larezultatul final, printr-o ajustare corespunzătoare.

5.7

CALCULUL LA OBOSEALĂ. CALCULUL COEFICIENTULUIDE SIGURANŢĂ

Calculul de dimensionare la oboseală este dificil deoarece apar mai multenecunoscute. Din acest motiv, dimensionarea la oboseală se efectuează cuajutorul metodelor clasice de rezistenţă, stabilite pentru solicitările statice însă cu tensiuni admisibile mai mici. În literatura de specialitate se găsesc valorileadmisibile recomandate pentru calculul la solicitări variabile. În lipsa acestor date, între tensiunile admisibile se poate accepta următoarea relaţie:

1R a0R a1R a 32 −==+= σ⋅=σ⋅=σ 5.7-1

Calculul la oboseală este un calcul de verificare care se efectuează după calcululclasic de rezistenţă la solicitări statice. Verificarea la solicitarea variabilă

presupune determinarea coeficientului de siguran ţă în secţiunile periculoase,susceptibile la oboseală. Pentru ca piesa să satisfacă condiţia de rezistenţă laoboseală este necesar ca valoarea coeficientului de siguranţă la oboseală să fiemai mare decât o valoare admisă (coeficient de siguranţă admis). Coeficienţii desiguranţă admişi au valori în general mici.

Coeficientul de siguranţă la oboseală se defineşte ca fiind raportul:

max

Rpiesă

max

Rpiesă crespectivcτ

τ=

σ

σ= τσ 5.7-2

undeσRpiesă, τRpiesă – rezistenţa la oboseală a piesei la solicitarea variabilă σmax, τmax – tensiunea maximă produsă în piesă calculată cu relaţiile

cunoscute de la solicitările statice.În Tabelul 5.7-1 se prezintă valorile coeficienţilor de siguranţă pentrucâteva piese.

Tabelul 5.7-1F e l u l p i e s e l o r Coeficientul de

siguranţă Piese de maşini din oţel 1,5 … 1,7Piese uşoare de maşini, din oţel 1,3 … 1,4Piese din oţel turnat 1,4 … 2Piese din fontă 2 … 3

Piese din aliaje de cupru 2 … 2,7Piese din aliaje uşoare 2 … 2,5

158




După cum s-a mai afirmat, rezistenţa la oboseală se realizează pe epruvetedupă norme bine precizate (standarde). Rezistenţa la oboseală a piesei difer ă decea a epruvetei, deoarece piesa poate avea concentratori de tensiune, o anumită mărime diferită de a epruvetei, o stare de prelucrare a suprafeţei etc. Prin

urmare, rezistenţa la oboseală a piesei supusă unei solicitări variabile cucoeficientul de asimetrie R poate fi exprimată în funcţie de cea a epruvetei, pe baza factorilor de influenţă:

R R

Rpiesă

R R

Rpiesă

K K

K K

τ⋅γ⋅ε

=

γ⋅ε

τ=τ

σ⋅γ⋅ε

=

γ⋅ε

σ=σ

τ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

5.7-3

iar coeficientul de siguranţă la oboseală are expresia:

max

R

max

R

K c

K c

ττ⋅γ⋅ε

=

σσ⋅γ⋅ε

=

τ

ττ

σ

σσ

5.7-4

undeσR , τR – rezistenţa la oboseală determinată pe epruvete solicitate cu un

ciclu cu coeficientul de asimetrie R.Coeficientul de siguranţă are forme diferite, dependente de natura

solicitării: Pentru ciclul alternant-simetric. În acest caz, relaţiile 5.7-4 capătă

următoarea formă:

max

1

max

1

K c

K c

ττ⋅γ⋅ε

=

σσ⋅γ⋅ε=

−

τ

ττ

−

σ

σσ

5.7-5

Pentru cicluri cu coeficient de asimetrie oarecare. Pentru o solicitarevariabilă oarecare, coeficientul de siguranţă depinde de:

schematizarea diagramelor rezistenţelor la oboseală criteriul ales pentru calculul la oboseală.

159




Fie diagrama de tip Haigh a rezistenţelor la oboseală şi un ciclu oarecare desolicitare reprezentat de punctul M (Fig.5.7-1). De la punctul M la un ciclulimită se poate ajunge parcurgând mai multe trasee:

¾ dreapta M –L care reprezintă un criteriul R = oarecare

¾ dreapta M –L1 care reprezintă criteriul R = const. ¾ dreapta M –L2 care reprezintă criteriul σm = const. ¾ dreapta M –L3 care reprezintă criteriul σ min = const. ¾ dreapta M –L4 care reprezintă criteriul σ am = const.

O

σm450

ML4

L3L2

L1

L

σam

Fig.5.7-1

Cel mai utilizat criteriu pentru calculul coeficientului de siguranţă estecriteriul R = const.

Coeficientul de siguranţă poate fi definit şi pe baza stărilor limită, preluatedin diagrama rezistenţelor la oboseală, cunoscându-se faptul că punctele L, L1,

L2, L3, L4 reprezintă cicluri limită:

am

amL

am

amL

max

Lmax

max

Lmax

c;c

c;c

τ

τ=

σ

σ=

τ

τ=

σ

σ=

τσ

τσ

5.7-6

m

mL

m

mL c;cττ=

σσ= τσ

Calculul coeficientului de siguranţă la oboseală se va face în cele ceurmează pe baza criteriului R = const., pentru două schematizări ale diagramelor rezistenţelor la oboseală: schematizarea Soderberg, respectiv schematizareaSerensen.

160




5.7.1 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Soderberg,

criteriul R = const.

Fie un ciclu asimetric reprezentat de punctul N din schematizareaSoderberg (Fig.5.7.1-1). Ciclul limită corespunzător ciclului N pentru criteriul R= const. este ciclul reprezentat de punctul L.

Q’

L

σmϕ

O

N

σam

PP’SM

σm

σmL

σc/cσ

Fig.5.7.1-1

σc

σ-1

σam

σamL

σ-1/cσ

Din asemănarea triunghiurilor ONM şi OLS se poate constata că

ON

OLc =σ 5.7.1-1

de unde rezultă că toate ciclurile de pe segmentul Q’P’ paralel cu segmentul QP

au acelaşi coeficient de siguranţă faţă de ciclurile limită, pentru criteriul R =const .

De asemenea, din asemănarea triunghiurilor NMP’ şi Q’OP’ se poatescrie:

mc

am

c

1

cc

c

'MP

NM

'OP

'OQ

σ−σσ

=σ

σ

⇒=

σσ

σ

−

5.7.1-2

161




Din relaţia 5.7.1-2 rezultă expresia coeficientului de siguranţă pentru epruvetă:

c

m

1

am

1c

σ

σ+

σ

σ=

−

σ 5.7.1-3

Dacă se are în vedere că rezistenţa la oboseală a piesei are expresia (cunoscută deja):

γ⋅ε

σ=σ

σ

σ

−− K

1 piesă1 5.7.1-4

coeficientul de siguranţă pentru piesă devine:

c

m

1

am piesă K

1cc

σ

σ+

σ

σ⋅

γ⋅ε

==

−σ

σσσ 5.7.1-5

Pentru solicitarea de torsiune variabilă, coeficientul de siguranţă are expresia:

c

m

1

am piesă K

1cc

ττ

+τ

τ⋅

γ⋅ε

==

−τ

τττ 5.7.1-6

Relaţiile 5.7.1-5, respectiv 5.7.1-6 permit calculul coeficientului desiguranţă în cazul pieselor solicitate la încovoiere variabilă, respectiv torsiunevariabilă.

5.7.2 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Serensen,

criteriul R = const.

Toate ciclurile situate pe segmentul M’B’ paralel cu segmentul AB auacelaşi coeficient de siguranţă cσ (Fig.5.7.2-1).

Din asemănarea triunghiurilor MB’D’ şi ABD se poate scrie următoarearelaţie:

162




2

2

c2

c2

BD

AD

'D'B

'MD

0

01

m0

0am

σ

σ−σ

=σ−

⋅

σ⋅

σ−σ

⇒=−

σ

σ5.7.2-1

σ0/2cσ

450450

B’D’

M

BDM’

A

O σm

σc

σ0/2cσσ0/2

σ-1

σ0/2σ-1/cσ

σam

σam

σm

Fig.5.7.2-1

Din relaţia 5.7.2-1 se obţine o primă formă pentru expresia coeficientului de

siguranţă al epruvetei:

m0

01am

1

2c

σ⋅σ

σ−σ⋅+σ

σ=

−

−σ 5.7.2-2

Notând în relaţia 5.7.2-2 cu:

0

012 σ σ−σ⋅=ψ −σ 5.7.2-3

relaţia 5.7.2-2 capătă forma:

mam

1cσ⋅ψ+σ

σ=

σ

−σ 5.7.2-4

Dacă se are în vedere expresia rezistenţei la oboseală a piesei (relaţia

5.7.1-4), rezultă expresia coeficientului de siguranţă la oboseală a pieseisolicitată la încovoiere:

163




mam

1

K c

σ⋅ψ+σ⋅γ⋅ε

σ=

σσ

σ

−σ 5.7.2-5

Asemănător se poate ar ăta că la solicitarea de torsiune variabilă, pentruschematizarea Serensen, expresia coeficientului de siguranţă are expresia:

mam

1

K c

τ⋅ψ+τ⋅γ⋅ε

τ=

ττ

τ

−τ 5.7.2-6

unde

0

012

τ

τ−τ⋅=ψ −

τ 5.7.2-7

În concluzie, pentru solicitarea de încovoiere respectiv torsiune,coeficientul de siguranţă la oboseală, pentru schematizarea Serensen, secalculează cu relaţiile 5.7.2-5 şi 5.7.2-3, respectiv 5.7.2-6 şi 5.7.2-7.

5.7.3 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile

compuse

Pentru solicitările variabile compuse de încovoiere cu torsiune, ciclurialternant simetrice în fază, coeficientul de siguran ţă global c g se poatedetermina pornind de la expresia tensiunii echivalente, de exemplu,corespunzătoare teoriei a III-a de rezistenţă:

2

1

2

1

2

1

echIII222echIII

22echIII

44

4

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

στ

⋅+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

σ⇒τ+σ=σ⇒

τ+σ=σ

−−−

2

1

2

1

2

echIII

1

14

11

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ τ

σ⋅+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ

σ=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

σ⇒

−−−

5.7.3-1

Dacă se are în vedere că:

164




111

1 22 −−−

− τ⋅=σ⇒σ

=τ 5.7.3-2

atunci relaţia 5.7.3-1 conduce la:

2

1

2

1

2

echIII

1

2

1

2

1

2

echIII

1

111

2

14

11

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ τ

τ+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ

σ=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

σ⇒

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ τ

τ⋅⋅+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ

σ=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ

−−−

−−−

5.7.3-3

Se observă că numitorii relaţiei 5.7.3-3 reprezintă tocmai coeficienţii desiguranţă global, respectiv la încovoiere şi torsiune. Rezultă astfel următoareaexpresie:

222g c

1

c

1

c

1

τσ

+= 5.7.3-4

de unde se obţine expresia coeficientului de siguranţă global pentru solicitareacompusă de încovoiere şi torsiune variabile:

τσ

τσ

τσ <+

⋅= c,c

cc

ccc

22g 5.7.3-5

Aşadar, cunoscându-se coeficienţii de siguranţă la solicitarea deîncovoiere şi torsiune variabile, cu relaţia 5.7.3-5 se determină coeficientul desiguranţă global la solicitarea compusă de încovoiere cu torsiune.

165




5.8 CALCULUL LA DURABILITATE LIMITATĂ

Curba W º hler reprezentată în coordonate semilogaritmice (vezi Fig.5.3-3) se prezintă ca

în Fig.5.8-1.

σmax

NF N0 NL NO

C

AL1

LFBM

L2

σ-1

σ N

σL

F

σF

logN [cicluri]

Fig.5.8-1

Dacă într-o piesă se realizează o solicitare variabilă cu tensiunea σmax = σF produsă de un număr mare de ori N F > N 0 (numărul de cicluri corespunzător rezistenţei la oboseală), la starea limită se ajunge pe verticala FL F . Oriunde seaflă punctul L F pe por ţiunea BC , starea limită este tocmai rezistenţa la oboseală σ-1.

Punctul M reprezintă o stare care s-a aplicat de un număr N de ori, cu N <

N 0.În acest caz, tensiunea σ N din piesă poate fi mai mare decât rezistenţa laoboseală σ-1, f ăr ă ca aceasta să cedeze prin oboseală. De la punctul M se poateajunge la starea limită pe două direcţii:

¾ pe verticala ML1 unde tensiunea limită este σL şi reprezintă rezisten ţ a

de durat ă , corespunzătoare la N cicluri de solicitare¾ pe orizontala ML2 corespunzătoare tensiunii σ N şi numărului limită de

cicluri N L, numit durata de via ţă a piesei.Por ţiunea AB reprezintă curba de durabilitate limitat ă din diagrama W º hler .

De multe ori în practică, piesele trebuie să funcţioneze un anumit timp(durată limitată) mai mic decât cel care ar duce la atingerea rezisten ţei laoboseală, după care se scot din funcţionare. Pentru aceste piese nu se maicalculează coeficientul de siguranţă la oboseală, ci se face calculul ladurabilitate limitat ă.

Pentru starea reală din piesă definită de punctul M( σ N , N), se pot definiatunci doi coeficienţi de siguranţă:

coeficient de siguran ţă fa ţă de rezisten ţ a de durat ă limitat ă:

166




N

Lcσ

σ=σ 5.8-1

coeficient de siguran ţă la durabilitate:

N

Nc L

N = 5.8-2

Acest calcul este recomandat atunci când piesa are o durată de funcţionare maimică decât cea corespunzătoare atingerii rezistenţei la oboseală.

Problema durabilităţii limitate poate fi studiată şi pe cale analitică, dacă seacceptă că ecuaţia curbei W º hler este de forma:

m10

m

m

1

0

N N N

N−

− σ⋅=σ⋅⇒⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ

σ= 5.8-3

unde N, σ - coordonatele unui punct curent de pe linia de durabilitate limitată N 0 , σ -1 – coordonatele punctului B (numărul de cicluri corespunzător

rezistenţei la oboseală, respectiv rezistenţa la oboseală)

m – un coeficient.Pentru oţeluri se poate considera N 0 = 106

… 5⋅ 106 . Coeficientul m are o

dispersie mare (m = 2 … 9), dar pentru oţeluri el poate fi egal cu 9 sau 6 , (m = 9,m = 6).

Pentru un punct oarecare situat pe por ţiunea descendentă a curbeiW º hler , expresia tensiunii σ se poate determina cu relaţia:

Lm 0

1 N

Nσ=⋅σ=σ − 5.8-4

Prin urmare, pentru un număr de cicluri dat N , la o solicitare cuamplitudinea ciclului σ N, coeficientul de siguranţă faţă de rezistenţa de durată limitată este:

m 0

N

1

N

L

N

Nc ⋅

σ

σ=

σ

σ= −

σ 5.8-5

167




5.9 APLICAŢII

Aplica ţ ia 5.9.1 S ă se verifice arborele unei ma şini supus unei

solicit ări de încovoiere cu torsiune. Se cunosc: d = 40 mm, ca = 2, M imax = 50 KN cm, M imin = 14 KN cm, M tmax = 37 KN cm, M tmin = 9 KN cm, σ 0 = 350 MPa,

σ -1 = 230 MPa, τ 0 = 200 MPa, τ -1 = 140 MPa, K σ = 1,6, K τ = 1,3, ε σ = ε τ =

0,78, γ = 0,91.

Rezolvare

Calculul coeficientului de siguran ţă la încovoiereSe utilizează relaţia stabilită pentru schematizarea Serensen:

mam

1

K c

σ⋅ψ+σ⋅γ⋅ε

σ=

σσ

σ

−σ

unde

314,0350

35023022

0

01 =−⋅

=σ

σ−σ=ψ σ

MPa57,79

32

d

M

W

M3

maxi

z

maxi

max =⋅π==σ

MPa28,22

32

d

M

W

M3

mini

z

minimin =

⋅π==σ

MPa92,502

minmaxm =

σ+σ=σ

MPa645,28

2

minmaxam =

σ−σ=σ

85,292,50314,0645,28

91,078,0

6,1230

c =⋅+⋅

⋅

=σ

Calculul coeficientului de siguran ţă la torsiune

Coeficientul de siguranţă la solicitarea de torsiune se calculează cu relaţia:

168




mam

1

K c

τ⋅ψ+τ⋅γ⋅ε

τ=

ττ

τ

−τ

unde

4,0200

20014022

0

01 =−⋅

=τ

τ−τ⋅=ψ −

τ

MPa44,29

16

d

M

W

M3

maxt

p

maxmax =

⋅π==τ

MPa16,7

16

d

M

W

M3

mint

p

minmin =

⋅π==τ

MPa3,182

minmaxm =

τ+τ=τ

MPa17,112

minmaxam =

τ−τ=τ

04,53,184,017,11

91,078,0

3,1140

=⋅+⋅

⋅

=τc

Coeficientul de siguranţă global este:

2c48,204,585.2

04,585,2

cc

ccc a2222g =>=

+

⋅=

+

⋅=

τσ

τσ

Coeficientul de siguranţă global este mai mare decât cel minim admis,ceea ce înseamnă că arborele nu se va distruge prin rupere la oboseală. Se

poate constata că şi tensiunile maxime normale sau tangenţiale la solicitareastatică au valori sub cele admisibile.

169




Aplica ţ ia 5.9.2 Ansamblul prezentat în Fig.5.9.2-1 este confec ţ ionat

din OL50. For ţ a F 0 = 16 daN şi este statică , iar for ţ a F variaz ă după un

ciclu alternant simetric de la F max la F min cu F max = -F min . Se cere să se

determine for ţ a F max pentru ca = 2, dacă D = 80 mm, d = 40 mm, r = 2 mm, l

= 400 mm, a = 100 mm. Piesa are suprafa ţ a cu un polizaj mijlociu, lucreaz ă în aer şi nu a suferit nici un tratament termic superficial.

F0

a

r d

l

F

Fi .5.9.2-1

Rezolvare

Rezistenţele la oboseală pentru OL50 sunt:

2,0MPa150MPa200

143,0MPa240MPa420

10

10

=ψ=τ=τ

=ψ=σ=σ

τ−

σ−

iar factorii de influenţă au valorile:

78,05,1K

97,084,004,2K

=ε=

=γ=ε=

ττ

σσ

Pentru coeficientul de siguranţă la încovoiere:

( )max

z

max0max F625,010

W

lFF⋅+=

⋅+=σ

( )max

z

max0min F625,010

W

lFF⋅−=

⋅−=σ

maxam F625,0 ⋅=σ

MPa10m =σ

170




43,1F56,1

240c

max +⋅=σ

Pentru coeficientul de siguranţă la torsiune (ciclul este alternant simetric):

max p

maxmax F784,0

W

aF⋅=

⋅=τ

max p

maxmin F784,0

W

aF⋅−=

⋅−=τ

0

F784,0

m

maxam

=τ

⋅=τ

Coeficientul de siguranţă la torsiune, ciclu alternant simetric, este:

maxam

1

F015,0

150K

c⋅

=σ⋅

γ⋅ε

τ=

τ

τ

−τ

Relaţia de verificare a rezistenţei la oboseală este:

a2

max

2

max

maxmax

22g c

F015,0

150

43,1F56,1

240

F015,0150

43,1F56,1240

cc

ccc =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅

⋅⋅

+⋅=

+

⋅=

τσ

τσ

Din relaţia anterioar ă se obţine valoarea maximă admisă pentru for ţa F :

N760Fmax ≈

171




6. CALCULUL PLĂCILOR PLANE IZOTROPE


Plăcile sunt elemente care au două dimensiuni (lungimea şi lăţimea)relativ mari în comparaţie cu cea de-a treia (grosimea).În practică se întâlnesc multe elemente care intr ă în categoria plăcilor: cilindriimotoarelor, diferite rezervoare, supapele, pistoanele, conductele, planşeele,acoperişuri etc.

Studiul plăcilor este mult mai dificil decât cel al barelor şi acesta se face pe baza teoriei elasticit

ăţii.

Elementele geometrice ale unei plăci sunt: forma şi dimensiunile suprafe ţ ei mediane grosimea.

Suprafaţa mediană este locul geometric al punctelor egal depărtate desuprafeţele exterioare ale plăcii. După forma suprafeţei mediane, plăcile pot fi.

¾ pl ăci plane ¾ pl ăci curbe

¾ învelitori.Grosimea plăcii reprezintă distanţa dintre două puncte ale suprafeţelor exterioare, măsurată perpendicular pe suprafaţa mediană.

În funcţie de mărimea grosimii h a plăcii şi de dimensiunea l cea mai mică a conturului, plăcile pot fi:

membrane, plăci cu grosime foarte mică, h ≤ l/80. Aceste plăci au o rigiditate neglijabilă la încovoiere şi preiaunumai eforturi axiale,

pl ăci groase, plăci cu grosime relativ mare, h > l/5.Calculul acestor plăci se face cu teoria spaţială aelasticităţii, care este destul de dificilă.

După forma suprafeţei mediane, plăcile plane pot fi: circulare dreptunghiulare

eliptice

de alte forme.Calculul plăcilor curbe este mult mai complicat decât cel al plăcilor plane

şi acesta interesează mai mult specialistul din construcţii. Inginerul mecanic esteinteresat în special de plăcile plane şi învelitori, mai ales aceia care au

preocupări în domeniul rezervoarelor de diferite tipuri.

Din punct de vedere mecanic, se consider ă că plăcile rezistă oricăror sarcini.

172




Plăcile faţă de bare, prezintă anumite particularităţi cu privire la sarcini şieforturi. Astfel, sarcinile aplicate plăcilor pot fi:

concentrate [N] distribuite liniar [N/mm]

distribuite pe o suprafa ţă [N/mm2

].Deoarece secţiunea unei plăci este mare, eforturile N, T, M i , M t , variază înlungul secţiunii. Din acest motiv, eforturile se calculează pe unitatea de lungimea secţiunii, şi au următoarele unităţi de măsur ă:

efortul axial şi tăietor în [N/mm] momentul încovoietor şi de r ăsucire în [Nmm/mm] = [N].

În calculul plăcilor este valabilă ipoteza materialului izotrop şi legea lui Hooke.Plăcile plane care sunt simetrice din punct de vedere al formei, pot fi rezemate şiîncărcate simetric, ceea ce simplifică mult calculele. De asemenea ele pot fiînc

ărcate

şi nesimetric.

Pentru plăcile plane sistemul de referinţă xyz are axele x şi y în planulsuprafeţei mediane, iar axa z perpendicular ă pe acest plan.

6.2 CALCULUL LA ÎNCOVOIERE AL PLĂCILOR CIRCULAREÎNCĂRCATE SIMETRIC

6.2.1 Relaţii între tensiuni şi deformaţii specifice

În urma acţiunii sarcinilor, placa se deformează, iar suprafaţa mediană devine o suprafaţă curbă numită suprafa ţă mediană deformat ă. Deplasările w alesuprafeţei mediane sunt mici în comparaţie cu grosimea plăcii. Ipotezei luiBernoulli de la bare îi corespunde plăcilor ipoteza lui Kirchhof care precizează că toate punctele aflate, înainte de deforma ţ ie, pe o normal ă la planul median se

g ă sesc după deforma ţ ie pe o normal ă la suprafa ţ a mediană deformat ă. Această ipoteză permite ca în studiul deformaţiei plăcilor să se abordeze numaideformaţiile suprafeţei mediane.

În Fig.6.2.1-1 se consider ă suprafaţa mediană a unei plăci circulare.

Fig.6.2.1-1

y

r

r

R P

t

θ

x

173




În locul coordonatelor carteziene x, y se pot considera coordonatele polarer, θ. În acest mod, orice mărime este independentă de θ, fiind funcţie numai der . Într-un punct curent al plăcii P , trebuie considerate două axe ortogonale: axaradială Pr şi axa circumferenţială Pt .

Dacă se face o secţiune diametrală prin placa deformată se obţine o curbă,care reprezintă intersecţia suprafeţei mediane deformate cu planul secţiunii(Fig.6.2.1-2). Într-un punct situat la distanţa r de centrul plăcii, curba are săgeataw şi unghiul (rotirea) ϕ:

dr

dw−=ϕ 6.2.1-1

Semnul ( - ) apare deoarece r şi w sunt pozitive, iar ϕ este negativ.

T

x

z

r O w

Fig.6.2.1-2

Când r creşte, creşte şi ϕ, iar w scade, ceea ce impune semnul minus înrelaţia 6.2.1-1.

Fig.6.2.1-3 reprezintă o secţiune diametrală prin placă atât în starenedeformată cât şi deformată. AB şi CD sunt două normale la placă situate ladistanţa r de Oz , respectiv la distanţa r+dr . Fiind acceptată ipoteza lui Kirchhof,acestea devin normale şi pe suprafaţa mediană deformată A’B’, C’D’.

Se consider ă acum o fibr ă MN de lungime dr , situată la distanţa z desuprafaţa mediană care după deformaţie ajunge în poziţia M’’N’’ . Normala AB

s-a rotit cu unghiul ϕ, iar CD cu unghiul

dr dr

d⋅

ϕ+ϕ

Fibra MN care acum a ajuns în poziţia M’’N’’ s-a lungit cu o mărimeegală cu diferenţa deplasărilor extremităţilor sale:

( )

φ φφ φ

d ddr N'N'' M'M'' z dr z z dr

dr dr

⎛ ⎞Δ = − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠ 6.2.1-2

174




Lungirea specifică a fibrei în direcţie radială este:

( ) φεr

dr dz

dr dr

Δ= = ⋅ 6.2.1-3

CA

T

T’

C’

O’

w0

Dϕ+(dϕ/dr)⋅dr

S N

z

O

A’

ϕ

M

R

B

w

z

z M’D’

B’

N’’ N’S’R’

M’’

dr r

r

z

Fig.6.2.1-3

Cercul de rază TM = r are înainte de deformaţie lungimea:

r 2s ⋅π⋅=

iar după deformaţie raza cercului devine:

φ T 'M'' r z= + ⋅

astfel încât lungimea sa este:

( )π φs s 2 r z+ Δ = ⋅ + ⋅

Lungirea specifică în direcţia circumferenţială este acum:

( ) π π φ π

ε πt

s s s 2 r 2 z 2 r

zs 2 r

+ Δ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= = =⋅

φ

r⋅ 6.2.1-4

175




Din teoria elasticităţii (legea lui Hooke generalizată) sunt cunoscute relaţiiledintre tensiuni şi deformaţiile specifice:

( )

( )xy2y

yx2x

1

E1

E

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

care transpuse pentru cazul plăcii circulare capătă forma:

( )

( )r t2t

tr 2r

1E

1

E

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

6.2.1-5

Dacă se ţine seama de expresiile deformaţiilor specifice stabilite în cazul plăciicirculare, relaţiile 6.2.1-5 devin:

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ϕ⋅ν+ϕ⋅

ν−⋅=σ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅ν+

ϕ⋅

ν−⋅

=σ

dr d

r 1zE

r dr

d

1

zE

2t

2r

6.2.1-6

Relaţiile 6.2.1-6 permit calculul tensiunilor radiale şi circumferenţialedintr-un punct situat la distanţa z de planul median. Dar, pentru aceasta, trebuiecunoscută funcţia ϕ (r). Se poate constata că în planul median unde z = 0, atâttensiunea radială cât şi cea circumferenţială sunt nule.

6.2.2 Echilibrul elementului de placă

Din placa circular ă se detaşează un element de volum, cu ajutorul a două suprafeţe cilindrice, concentrice cu placa, de raze r şi r+dr şi două planediametrale normale pe placă, care fac între ele un unghi d θ (Fig.6.2.2-1).

Pe cele două suprafeţe plane normale la direcţia circumferenţială acţionează tensiunile circumferen ţ iale σt , iar pe suprafeţele cilindrice, tensiunile

radiale σr . Tensiunile circumferenţiale sunt egale pe cele două suprafeţe, iar tensiunea radială are valoarea σr la raza r şi valoarea σ r + (d σ r / dr)⋅ dr pe

suprafaţa de rază r + dr.

176




În Fig.6.2.2-1 tensiunile au fost reprezentate pe suprafaţa situată ladistanţa z de suprafaţa mediană N 1 N 2 N 3 N 4.Pe cele patru suprafeţe (două plane şi două cilindrice) iau naştere eforturile N, T,

M i , M t .

Dacă placa se încarcă numai cu sarcini normale pe planul ei, atunci asupraelementului acţionează numai efortul tăietor T şi momentul încovoietor M i = M (Fig.6.2.2-2).

dθ

r dr

hz

dz N2

N3

N1

N4

σt

σtσr

σt+(dσr /dr)⋅dr

z

Fig.6.2.2-1

T⋅r ⋅dθ

Mt⋅r ⋅dθ

p⋅dr ⋅r ⋅dθ

Mr ⋅dr

Mr ⋅dr

[T+(dT/dr)dr](r+dr)d

[Mt+(dMt/dr)dr](r+dr)dθ

h

z

Fig.6.2.2-2

Pe suprafeţele plane acţionează momente încovoietoare radiale distribuite

M r care se măsoar ă pe unitatea de lungime a razei. Pe întreaga faţă a elementuluimomentul încovoietor radial este M r ⋅ dr , care este acelaşi pe fiecare faţă plană (din considerente de simetrie). Pe aceste feţe nu există efort tăietor. Pe suprafaţacilindrică interioar ă acţionează momentul încovoietor circumferenţial M t ⋅ r ⋅ d θ ,iar pe suprafaţa cilindrică exterioar ă, momentul circumferenţial:

( ) θ⋅+⋅⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⋅+ ddr r dr dr

dM

M

t

t

177




Pe aceste suprafeţe există şi for ţe tăietoare.Pe suprafaţa superioar ă a elementului se aplică o sarcină normală egală cu

p⋅ dr ⋅ r ⋅ d θ . Momentele for ţelor elementare faţă de suprafaţa mediană sunt egale

cu momentele încovoietoare din secţiune. Astfel, pe suprafaţa cilindrică interioar ă de rază r , se poate scrie:

∫ ∫− −

⋅⋅θ⋅⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅ν+

ϕ⋅

ν−=⋅⋅σ=θ⋅

2

h

2

h

2

h

2

h2r t zdzdr

r dr

d

1

zEzdAdr M

unde s-a ţinut seama de expresia lui σr şi că dA=r d θ dz. Rezolvând relaţia demai sus se obţine:

( )φ φ φ φ

θ ν θ ν ν ν

h32

2t 2 2

h

2

E d Eh dM rd r d z dz r d

1 dr r dr r12 1−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ θ

)

Expresia

( 2

3

112

hED

ν−⋅= 6.2.2-1

se numeşte rigiditatea la încovoiere a pl ăcii. Rezultă atunci că expresia momentului încovoietor circumferenţial este:

φ φ νt

dM D

dr r

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜

⎝ ⎟

⎠6.2.2-2

Asemănător, dacă se scrie relaţia de echivalenţă în secţiunea radială, se obţine:

φ φσ ν

ν

h h

2 2

r r 2h h

2 2

Ez dM dr dA z dr dz z

1 r dr− −

⎛ ⎞⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∫ ∫

de unde după efectuarea calculelor rezultă expresia momentului încovoietor radial:

φ φ

νr

d

M D r dr

⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅⎜⎝ ⎠⎟ 6.2.2-3

178




S-au obţinut astfel relaţiile momentelor încovoietoare circumferenţiale, respectivradiale, în funcţie de funcţia ϕ. Din expresiile tensiunilor (relaţiile 6.2.1-6) şi amomentelor (relaţiile 6.2.2-2 şi 6.2.2-3) rezultă că acestea sunt funcţii de funcţianecunoscută ϕ (r). Eliminând funcţia ϕ între aceste mărimi, se obţin relaţiile

dintre tensiuni (radiale, respectiv circumferenţiale) şi momentele încovoietoare:

D

M

1

zED

M

1

zE

r 2t

t2r

⋅ν−

=σ

⋅ν−

=σ

6.2.2-4

sau dacă se ţine seama de expresia lui D (relaţia 6.2.2-1) rezultă:

zh

M12

zhM12

3r

t

3t

r

⋅=σ

⋅=σ

6.2.2-5

Relaţiile 6.2.2-5 arată că tensiunea variază liniar cu grosimea plăcii, obţinându-se aceeaşi concluzie că în suprafaţa mediană ( z = 0) ambele tensiuni sunt nule.Valorile maxime se ating în fibrele extreme unde z = z max =h/2:

W

M

6

h

M

W

M

6

h

M

r 2

r t

t2

tmaxr

==σ

==σ

6.2.2-6

Se poate constata că relaţiile 6.2.2-6 sunt asemănătoare cu cele de la solicitareade încovoiere, cu observaţia că momentele încovoietoare se măsoar ă în [ N ] iar modulul W în [mm

2].Pentru determinarea funcţiei ϕ (r) se pune condiţia ca elementul de placă

(Fig.6.2.2-2) să fie în echilibru sub acţiunea eforturilor care acţionează asupralor. Pentru aceasta, se va reprezenta elementul de volum prin două proiecţii(Fig.6.2.2-3). În prima proiecţie (Fig.6.2.2-3a) se reprezintă momenteleîncovoietoare şi for ţele tăietoare aplicate, considerând în mod simplificat că for ţele tăietoare sunt constante pe cele două suprafeţe opuse. În proiecţia dinFig.6.2.2-3b, se reprezintă toate momentele încovoietoare prin vectori, inclusiv

cuplul T ⋅ r d θ ⋅ dr al celor două for ţe tăietoare. Condiţia de echilibru se scrie cao sumă de for ţe pe tangenta la conturul cilindric al elementului:

179




hO

dθ O

Mt dMt/dr dr r+dr dθ

Mr dr

T r dθ dr

Mt r dθ

Mr dr

Mr dr

T r dθ T r dθ

[Mt (dMt/dr)dr](r+dr)dθ

a)

Mr dr z

b) r

Mt r dθ

Fig.6.2.2-3

( )

02

dr dr dr p

2

ddr M2

dr dr Tdr Mddr r dr dr

dMM

r

tt

t

=⋅⋅θ⋅+θ

⋅⋅−

−⋅θ⋅+θ⋅−θ+⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+

În relaţia de mai sus, s-a considerat că

2

d

dr

dsin

θ≈

θ

După efectuarea calculelor se ajunge la relaţia:

0dr dr

dMdar

0Mr Tdr dr

dM

r dr

dM

M

t

r

tt

t

≈⋅

=−+⋅+⋅+

de unde rezultă:

0Mr Tr dr

dMM r

tt =−+⋅+ 6.2.2-7

180




Dacă se înlocuiesc valorile momentelor încovoietoare (relaţiile 6.2.2-2 respectiv6.2.2-3), relaţia 6.2.2-7 se poate scrie:

φ φ φ φ φ φ ν ν νd d d dD rD Tr Ddr r dr dr r r dr

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + + ⋅ + − + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

Efectuând calculele rezultă:

φφ

φ φ φ φ φ ν ν ν

2

2 2

dr

d d ddrrdr r dr r r dr D

⎛ ⎞−⎜ ⎟ T r⋅+ + ⋅ + − − = −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

care în final conduc la:

φ φφ

2

2 2

d 1 d 1

dr r dr r D+ ⋅ − ⋅ = −

T6.2.2-8

Pentru plăcile circulare, for ţa tăietoare pe o secţiune cilindrică de rază r este egală cu suma proiecţiilor pe normala la suprafaţa mediană a for ţelor dininteriorul cercului de rază r .

Fie acum o placă circular ă încărcată simetric printr-o for ţă F aplicată încentru şi o sarcină uniform distribuită p. Pentru această placă, se poate scrie:

2

r p

r 2

FT

pr FTr 2 2

+π

=⇒

π+=π

iar ecuaţia diferenţială 6.2.2-8 devine:

φ φφ

π

2

2 2

d 1 d 1 1 F pr

dr r dr r D 2 r 2

⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ = − ⋅ +⎜

⎝ ⎠⎟ 6.2.2-9

Membrul întâi al expresiei de mai sus este tocmai derivata expresiei

φφ

1 dr

r d

⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠r

Ecuaţia diferenţială 6.2.2-9 poate fi scrisă acum sub forma:

181




φφ

π

d 1 d 1 F prr

dr r dr D 2 r 2

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⋅ = − ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

care integrată conduce la:

φφ

π

21 d 1 F prr lnr

r dr D 2 4

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

iar după înmulţire cu r

φφ

π

3d 1 F prr r lnrdr D 2 4

⎛ ⎞+ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + +

⎜ ⎟⎝ ⎠Ar

Se integrează din nou, observându-se că membrul întâi este derivata lui ϕ r , iar ∫ r lnr dr se face prin păr ţi:

∫∫ −⋅=⋅−⋅=4

r r ln

2

r

r

dr

2

r r ln

2

r dr r lnr

2222

B2

r A16

r p

4

r

2

Fr ln2

r

2

F

D

1r

2422

+⋅+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅π−⋅⋅π⋅−=ϕ

După împăr ţire cu r se obţine expresia funcţiei ϕ :

( )φπ

3pr Fr r B2lnr 1 A

16D 8 D 2 r= − − ⋅ − + ⋅ + 6.2.2-10

Dacă se mai integrează o dată ecuaţia 6.2.2-10 şi ţinând seama de relaţia 6.2.1-1după ce i s-a schimbat semnul se obţine expresia deplasării pe direcţia z :

( ) Cr lnB4

r Adr 1r ln2r

D8

F

D64

r pw

24

++⋅−⋅−⋅⋅π

+= ∫ 6.2.2-11

Dar cum integrala este:

( ) ( )∫ −⋅=−−=⋅− 1r lnr 2

r

2

r

r lnr dr r r lnr 2

222

2

182




ecuaţia 6.2.2-11 devine:

( ) Cr lnB4r A1r ln

D8r F

D64r pw

224

++⋅−−⋅π

+= 6.2.2-12

Cu ajutorul relaţiilor 6.2.2-10 şi 6.2.2-12 se pot calcula plăcile circulareîncărcate cu o for ţă concentrată în centru şi cu sarcină distribuită pe toată suprafaţa. Constantele de integrare A, B, C care intervin în aceste relaţii, sedetermină pentru fiecare caz în parte, punând condiţiile la limită.

6.2.3 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniformdistribuită şi încastrată pe contur

Pentru placa circular ă încastrată pe contur şi încărcată cu o sarcină distribuită pe toată suprafaţa sa (Fig.6.2.3-1), în relaţiile 6.2.2-10 şi 6.2.2.12 seia F = 0, iar forma lor devine:

φ3pr r B

A16D 2 r

= − + ⋅ + 6.2.3-1

Cr lnB4

r A

D64

r pw

24

++⋅−= 6.2.3-2

O

zR

p x

Fig.6.2.3-1

Constantele A,B şi C se determină punând condiţiile la limită:

pe contur, la r = R avem ϕ = 0 şi w = 0 în centrul plăcii, la r = 0 avem ϕ = 0.

183




Dacă se înlocuiesc aceste condiţii în relaţiile 6.2.3-1 şi 6.2.3-2, se obţinconstantele de integrare:

B = 0

D8

R pA

2

R A

D16

R p0

23

=⇒⋅+−=

D64

R pCC

4

R

D8

R p

D64

R p0

4224

=⇒+⋅−=

Cu valorile constantelor de integrare, relaţiile deplasării w şi a rotirii ϕ (relaţiile6.2.3-2 şi 6.2.3-1) devin:

( )

( )φ

2 2

2 2

pw R64D

prR r

16D

= ⋅ −

= ⋅ −

r

6.2.3-3

Relaţiile 6.2.3-3 permit calculul deformaţiilor în orice punct situat la distanţa r de centrul plăcii.

Săgeata maximă se obţine în centrul plăcii, acolo unde r = 0:

D64

R pw

4

max = 6.2.3-4

Săgeata w a plăcii (relaţia 6.2.3-3) poate fi exprimată funcţie de săgeata maximă wmax:

2

2

2

max2

2

4

44

R

r 1w

R

r 2

R

r 1

D64

R pw ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−+⋅= 6.2.3-5

Dacă se cunosc expresiile deformaţiilor w şi ϕ se pot determinamomentele din secţiunile plăcii (relaţiile 6.2.2-2 şi 6.2.2-3):

( )

( )

φ

φ

2 2

2 2

pR r

r 16D

d pR 3r

dr 16D

= ⋅ −

= ⋅ −

184




( ) ( ) ( ) ( )[ ]ν+⋅−ν+⋅⋅=−⋅ν+−⋅=⇒ 31r 1R 16

pr 3R

16

pr R

16

pM 222322

r 6.2.3-6a

respectiv,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ν+⋅−ν+⋅⋅=−⋅ν+−⋅=⇒ 3r 1R 16

pr R

16

pr 3R

16

pM 222322

t 6.2.3-6b

Dacă se consider ă ν = 0,3 ecuaţiile momentelor încovoietoare (relaţiile 6.2.3-6)au forma:

( )

( )22t

22r

r 3,3R 3,116 pM

r 9,1R 3,116

pM

−⋅=

−⋅=

6.2.3-7

Relaţiile 6.2.3-7 arată că momentele încovoietoare (radial, respectivcircumferenţoial) variază parabolic cu raza r . Astfel:

Momentul radial Mr ¾ În centrul plăcii are valoarea la r = 0

22'

r R p0812,0R p16

3,1

M ⋅=⋅=

¾ Pe contur la r = R

22''r R p0375,0R p

16

6,0M ⋅−=⋅−=

Se poate observa că există o distanţă de la centru pentru care acest moment seanulează. Din condiţia ca M r = 0 se obţine distanţa r la care momentul M r este

nul:R 827,0r 0r 9,1R 3.1 22 =⇒=−

Momentul circumferen ţ ial M t

¾ În centrul plăcii are valoarea

22'r

't R p0812,0R p

16

3,1MM ⋅=⋅==

¾ Pe conturul plăcii

185




22''t R p125,0R p

8

1M ⋅−=⋅−=

Acest moment se anulează când

R 628,0r 0r 3,,3R 3.1 22 =⇒=− Diagramele momentelor încovoietoare pentru această placă sunt prezentate înFig.6.2.3-2.

R R

0 0812 R 2

-0,125 pR 2 -0,125 pR 2

-0,0375 pR 2

Mr

-0,0375 pR 2

0,628 R 0,0812 pR 2

0,827 R

p

Mt

Fig.6.2.3-2

Dacă se cunosc acum momentele încovoietoare, cu ajutorul relaţiilor 6.2.2-6 se pot determina tensiunile normale din placă:

În centrul plăcii:

2

2

t2tr h

R p487.0M

h

6⋅=⋅=σ=σ 6.2.3-8

Pe conturul plăcii:

2

2

r 2t

2

2

2

2

t2r

h

R p225.0M

h

6

h

R p

4

3

h

R p125.06M

h

6

⋅=⋅=σ

⋅=⋅⋅=⋅=σ

6.2.3-9

Cea mai mare tensiune este tensiunea radială σ r şi se atinge pe conturul plăcii.Dacă se face un calcul de dimensionare după teoria I de rezistenţă, în cazul

plăcii studiate se ob

ţine pentru grosimea acesteia:

186




aa2

2

a

pR 866,0

4

p3R h

h

R p

4

3

σ≈

σ⋅=⇒⋅=σ 6.2.3-10

6.2.4 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniformdistribuită şi simplu rezemată pe contur

Pentru acest tip de placă raţionamentul este acelaşi, numai condiţiile lalimită sunt altele. Se porneşte de la relaţiile 6.2.3-1 şi 6.2.3-2:

Cr lnB4

r A

D64

r pw

24

++⋅−= 6.2.4-1a

r

B

2

r A

D16

r p 3

+⋅+−=ϕ 6.2.4-1b

Pentru determinarea constantelor din relaţiile de mai sus, în cazul acestei plăci,condiţiile la limită sunt: În centrul plăcii:

00r Pentru =ϕ⇒=

Pe conturul plăcii:

0wR r Pentru =⇒=

Se poate constata că cele două relaţii nu sunt suficiente pentru determinareacelor trei necunoscute. Ca urmare, mai este necesar ă încă o relaţie. Pentrugăsirea celei de-a treia relaţie, din placă se izolează o fâşie mică de lăţime Δ

(Fig.6.2.4-1), care poate fi asemuită cu o grindă simplu rezemată la capete.

z

r O

A B

Δ

Fig.6.2.4-1

R R

z

187




Aceasta prezintă pe reazeme, în direcţie radială, tensiune nulă σr = 0.După cum se ştie, tensiunea radială este produsă de către momentulcircumferenţial M t , ceea ce înseamnă că pe contur momentul M t = 0.

Dacă se înlocuiesc primele condiţii în relaţiile 6.2.4-1, se obţine:

C4

R A

D64

R p0;0B

24

−−== 6.2.4-2

Pentru a obţine ecuaţia suplimentar ă necesar ă, se scrie expresia momentuluicircumferenţial M t având în vedere că B = 0. Cunoscând:

2

A

D16

r p3

dr

d

2

A

D16

r p

r

2

r A

D16

r p

2

2

3

+−=ϕ

+−=ϕ

+−=ϕ

6.2.4-3

ecuaţia momentului circumferenţial are forma:

2

DA

2

DA

16

r p

16

r p3

r dr

dDM

22

t

⋅ν+

⋅+ν−−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕν+

ϕ⋅=

Punând condiţia ca la r = 0 să fie M t = 0 , se obţine o relaţie în constanta A şicare ataşată relaţiilor 6.2.4-2 conduce la determinarea constantelor de integrare:

( )ν+⋅⋅

+ν−−= 12

DA

16

R p

16

R p30

22

ν+ ν+⋅=ν+ ν+⋅=⇒ 15D64R pC;13D8R pA

42

6.2.4-4

Dacă se înlocuiesc acum constantele de integrare, se obţin pentru deformaţiile plăcii, următoarele expresii:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

ν+ν+

⋅−ν+ν+

⋅=4

4

2

24

R

r

1

3

R

r 2

1

5

D64

R pw 6.2.4-5a

188




⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

ν+ν+

⋅⋅=ϕ

−=ϕ 11

3

r

R

D16

r p

dr

d2

23

6.2.4-5b

Săgeata maximă are loc în centrul plăcii unde r = 0. Pentru oţeluri cu ν =0,3,săgeata maximă este:

D64

R p07.4

1

5

D64

R pw

44

max ⋅=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

ν+ν+

⋅= 6.2.4-6

La o analiză atentă se poate constata că săgeata maximă la placa simplurezemată, este de patru ori mai mare decât la aceeaşi placă dar încastrată pecontur.

Rotirea este maximă pe conturul plăcii, acolo unde r = R:

D16

R p54,11

1

3

D16

R p 33

max ⋅=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −ν+ν+

⋅=ϕ 6.2.4-7

Cunoscând expresiile deformaţiilor se poate trece acum la determinareamomentelor din secţiunile transversale ale plăcii. Înainte se calculează expresiile:

ν+ν+

⋅+−=ϕ

ν+ν+⋅+−=ϕ

1

3

D16

R p

D16

r p3

dr

d

13

D16R p

D16r p

r 22

22

care permit determinarea momentelor încovoietoare:

( ) ([ ]ν+⋅−ν+⋅=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ ϕ

ν+

ϕ

⋅= 31r 3R 16

p

dr

d

r DM

22

r ) 6.2.4-8

( ) ( 22t r R 3

16

p

r dr

dDM −⋅ν+⋅=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝

⎛ ϕν+

ϕ⋅= ) 6.2.4-9

Momentele, după cum se poate constata şi pentru această placă, au o variaţie parabolică cu raza. Valorile lor extreme este următoarea:

Momentul Mr. ¾

În centrul plăcii, la r = 0 şi pentru ν = 0,3

189




22'r R p206,0R p

16

3M =⋅

ν+=

¾ Pe contur, unde r = R

( ) 22

''r R p0875,0313

16

R pM =ν−−ν+⋅=

Momentul M t . ¾ În centru, unde r = 0

2'r

't R p206,0MM ==

¾ Pe conturul plăcii, la r = R

0M ''t =

Diagramele momentelor M r , M t sunt prezentate în Fig.6.2.4-2.

p

R R

0,206 pR 2

0,0875 pR 2

Mr

0,0875 pR 2

Mt

0,206 pR 2

Fig.6.2.4-2

Tensiunea maximă se produce în centrul plăcii unde momentele sunt egaleşi au valori maxime:

2

22

2max2maxh

R p237,1R p

16

3

h

6M

h

6⋅=⋅

ν+⋅=⋅=σ 6.2.4-10

Dimensionarea plăcii f ăcută pe baza teoriei I de rezistenţă, conduce la:

190




aa

pR 11,1

p237,1R h

σ=

σ⋅= 6.2.4-11

Făcând o comparaţie cu dimensiunea stabilită pentru aceeaşi placă dar încastrată pe contur, se constată că placa simplu rezemată are o grosime mai mare.

6.2.5 Calculul plăcii circulare încărcată cu o forţă concentrată încentru şi înţepenită pe contur

Şi în acest studiu se porneşte de la aceleaşi relaţii ale deformaţiilor plăcilor circulare (relaţiile 6.2.3-1, respectiv 6.2.3-2), în care de data aceasta se

face p = 0:

( )

( )

π

φπ

2 2Fr r

w lnr 1 A Blnr8 D 4

Fr r B2 lnr 1 A

8 D 2 r

= ⋅ − − ⋅ − +

= − ⋅ − + ⋅ +

C

6.2.5-1

Pentru determinarea constantelor de integrare se pun condiţiile la limită:

În centru, la r = 0

0w =

Pe contur, la r = R

φw 0 ; 0= =

Se înlocuiesc acum condiţiile la limită în ecuaţia lui ϕ având însă în vedere că:

( ) 0r lnr 0r ==

( ) ⋅+⋅+−π

−=R

B

2

R A1R ln2

D8

R F0

( )1R ln2D4

FAşi0B −⋅

π==⇒

Făcând substituţiile şi în deformaţia w, se obţine:

191




( ) ( ) C2

1

R

r ln

D8

r FC1R ln2

D16

r F1r ln

D8

r Fw

222

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅π

=+−⋅π

−−⋅π

=

Punând condiţia ca la r = R, să avem w = 0, rezultă:

D16

R FCC

2

10

D8

R F0

22

π=⇒+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅π

=

Cu valorile găsite pentru constantele de integrare, relaţiile deformaţiilor capătă forma:

( )

r

R ln

D4

r F

r

R ln2

D8

r F

r R D16

F

R

r lnD8

r Fw

2

22

2

⋅π

=⋅π

=ϕ

−⋅π+⋅π=6.2.5-2

Săgeata maximă se produce în centrul plăcii, la r = 0:

D16

R Fw

2

max π= 6.2.5-3

Pentru calculul momentelor încovoietoare, ca la exemplele precedente se ţineseama de expresia lui ϕ, a lui ϕ/r şi se calculează

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅π

=ϕ

1r

R ln

D4

F

dr

d

de unde apoi se obţine:

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅ν+π

=

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ ν−⋅ν+π=

1r

R ln1

4

FM

r R ln14FM

t

r

6.2.5-4

Pe contur, la r = R, momentele încovoietoare au valorile:

π

−=

π

ν−=

4

FM;

4

FM tr 6.2.5-5

192




Cu valorile momentelor încovoietoare găsite, se calculează acum tensiunilenormale pe contur:

22t2t

22t

2r

h

F144,0

h2

F3M

h

6h

F478,0

h2

F3M

h

6

⋅=π

ν=⋅=σ

⋅=π

=⋅=σ

6.2.5-6

În centrul plăcii, datorită aplicării locale a for ţei F , tensiunile au valoareinfinită. Totuşi, un calcul aproximativ al tensiunii în punctul central de pesuprafaţa opusă aplicării for ţei, conduce la valoarea tensiunii maxime:

( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅⋅ν+=σ 52,0hR ln485,0hF1 2

2

max 6.2.5-7

Se face acum ipoteza că placa este solicitată de o for ţă concentrată egală curezultanta sarcinii uniform distribuite:

pR F 2π= Cu această valoare pentru for ţa F , se obţin tensiunile pe contur:

2

2

2

2

t

2

2

2

2

r

h

R p45,0

h

pR 144,0

h

R p5,1

h

pR 478,0

⋅=π

⋅=σ

⋅=π

⋅=σ

6.2.5-8

Comparând aceste valori cu cele la placa încastrată pe contur încărcată cusarcina uniform distribuită p:

2

2

p,t

2

2

p,r

h

R p225,0

h

R p75,0

⋅=σ

⋅=σ

6.2.5-9

se constată că la placa încărcată cu aceeaşi sarcină rezultantă dar aplicată concentrat în centrul plăcii, tensiunile sunt de două ori mai mari. Rezultă de aicică pentru o placă circular ă este mai convenabil să se încarce cu o sarcină

distribuită pe toată suprafaţa decât cu o sarcină echivalentă aplicată concentrat încentrul plăcii.

193




6.3 CALCULUL LA ÎNCOVOIERE AL PLĂCILOR DREPTUNGHIULARE

La calculul plăcilor dreptunghiulare se consider ă că momentele

încovoietoare sunt distribuite în lungul axelor x şi y. Dacă pentru un punctoarecare al suprafeţei mediane deformate se definesc două raze de curbur ă

principale, ρ x şi ρ y, atunci momentele încovoietoare se pot scrie funcţie deaceste raze de curbur ă:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂⋅−=⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

ρ

ν+

ρ

⋅=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂⋅−=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρν+

ρ⋅=

2

2

2

2

yx

y

2

2

2

2

xyx

y

w

x

wD

11DM

x

w

y

wD

11DM

6.3-1

Ecuaţia generală a încovoierii plăcilor plane a fost stabilită de cătreSophie Germain şi ea are următoarea formă:

D

p

y

w

yx

w2

x

w4

4

22

4

4

4

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂6.3-2

Cu ajutorul operatorului nabla

2

2

2

22

yx ∂

∂+

∂

∂=∇ 6.3-3

ecuaţia Sophie Germain devine de forma:

( )D

pw22 =∇∇ 6.3-4

Ecuaţia 6.3-4 este foarte asemănătoare cu ecuaţia deplasării grinzilor:

IE

p

dx

wd4

4

= 6.3-5

Deosebirea dintre cele două relaţii constă în aceea că rigiditatea EI de la grinzi, pentru plăci se înlocuieşte cu rigiditatea D iar derivarea în cazul plăcilor se faceîn raport cu ambele variabile independente, x şi y.

Condi ţ iile pe contur rezultă dintr-o varietate de moduri de rezemare a plăcii dreptunghiulare: simplu rezemate, înţepenite, laturi nerezemate.

194




Astfel: Pe o latur ă încastrat ă, săgeata w şi rotirea sunt nule. Pentru placa

dreptunghiular ă din Fig.6.3-1, raportată la sistemul xOy se poate scrie:

y

O

a

x

b

Fig.6.3-1

¾ Pentru laturile paralele cu axa Oy, având x = a şi x =a, avem:

0x

w;0w =

∂∂

= 6.3-6

¾ Pentru laturile paralele cu axa Ox, având y = 0 şi y = 0, avem:

0xw;0w =∂∂= 6.3-7

Pe o latur ă simplu rezemat ă, săgeata şi momentul încovoietor suntnule.

¾ Pe laturile paralele cu axa Oy, unde x = 0 şi x = 0, pe bazarelaţiilor 6.3-1, rezultă:

0yw

xwDM

0w

2

2

2

2

y =⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂ν+

∂∂⋅−=

=

6.3-8

Deoarece în lungul unei laturi paralele cu axa Oy, săgeata w = 0, rezultă că şi

0x

w2

2

=∂

∂

r ămânând pentru latura simplu rezemată următoarele condiţii:

195




0x

w

0w

2

2

=∂∂

=

6.3-9

¾ În mod analog, pentru laturile paralele cu axa Ox, la y = 0 şi y =b, rezultă următoarele condiţii:

0y

w

0w

2

2

=∂∂

=

6.3-10

În continuare, calculul plăcilor dreptunghiulare urmează drumul prezentat la

calculul plăcilor circulare.În literatura de specialitate se găsesc relaţiile necesare calculului plăcilor sub diferite încărcări şi moduri de rezemare.

6.4 CALCULUL LA ŞOC AL PLĂCILOR PLANE

Dacă pe o placă plană cade o greutate Q de la înălţimea H , atunci placaeste solicitată dinamic, la şoc. Pentru calculul la şoc al plăcilor plane, se poateutiliza metoda prezentată în Capitolul 4 al acestei lucr ări, metodă bazată pecunoaşterea multiplicatorului de şoc.

Se consider ă că o greutate Q cade de la înălţimea H pe mijlocul unei plăcicirculare de rază R şi grosime h (Fig.6.4-1). Se pune problema determinăriifor ţei dinamice F d care apare în momentul şocului în mijlocul plăcii.

Q

R R

Hh

Fig.6.4-1

Multiplicatorul de şoc are expresia cunoscută:

stst

H2H211

δ≈

δ++=ψ 6.4-1

unde

196




δst – deplasarea statică a secţiunii de impact (săgeata statică a centrului plăcii sub acţiunea greutăţii Q).De la calculul plăcii circulare înţepenită pe contur şi încărcată în centru cu ofor ţă concentrată, se cunoaşte săgeata maximă din centrul plăcii (relaţia 6.2.5-3):

( )

3

2

2

3

22

maxst hE

R Q217,0

112

hE16

R Q

D16

R Qw ≈

ν−⋅⋅π

=π

==δ 6.4-2

Expresia multiplicatorului de şoc, are acum forma:

2

3

3

2

R Q

hEH2,9

hER Q217,0

H2 ⋅=

⋅≈ψ

6.4-3

iar for ţa dinamică din momentul şocului este:

3d hEHQ2,9

R

1QF ⋅⋅=⋅ψ= 6.4-4

Analog, pot fi tratate şi celelalte tipuri de plăci solicitate prin şoc.

6.5 CALCULUL APROXIMATIV AL PLĂCILOR PLANE

Dacă nu se dispune de relaţiile necesare calculului unei plăci, atunci se potutiliza metode aproximative de calcul. Aceste metode aproximative, se bazează în special pe relaţiile de calcul stabilite la barele drepte. Metoda aproximativă decalcul a plăcilor plane, este cunoscută sub numele de metoda lui Bach. Metoda

propusă de Bach, utilizează relaţia lui Navier de la încovoierea barelor drepte:

z

imax W

M=σ 6.5-1

Metoda aproximativă de calcul se va prezenta pentru plăcile simetrice încărcatesimetric. Această metodă este recomandată plăcilor simplu rezemate. Valoareatensiunilor obţinute prin metoda Bach, este una aproximativă şi mai mică decâttensiunea maximă calculată cu relaţiile exacte. Din acest motiv, pentru un

rezultat acoperitor, tensiunea admisibilă utilizată în calculul aproximativ, semicşorează cu 20 … 30 % faţă de cea obişnuită.

197




6.5.1 Calculul aproximativ al plăcii circulare simplu rezemată pecontur şi încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe o suprafaţă circulară în jurul centrului plăcii

Fie o placă circular ă de rază R şi grosime h simplu rezemată pe contur şiîncărcată cu o sarcină uniform distribuită pe o suprafaţă circular ă centrală derază r (Fig.6.5.1-1a).

p

R R 2r h

G2

G1

2R/π F/2=pπr 2/2

R

F/2=pπr 2/24r/3π

Secţiuneade rupere

F=pπr 2

4r/3π

G1G2

2R/π b)

a)

Fig.6.5.1-1

Cercetările experimentale au scos în evidenţă faptul că o astfel de placă serupe totdeauna după un diametru. Atunci se poate considera pentru calcule o

jumătate de placă încastrată în dreptul secţiunii de rupere (a unui diametru,Fig.6.5.1-1b). For ţa distribuită totală F = pπ r

2 se repartizează jumătăţii de placă

în valoare de F/2 şi se consider ă redusă în centrul de greutate G1 al suprafeţeisemicirculare de rază r situat la distanţa 4R/3π de la încastrare. Reacţiuneasarcinii de pe jumătate de placă este tot F/2 şi redusă acţionează în centrul degreutate G2 al conturului semicircular de rază R.

Momentul încovoietor în încastrare dat de cele două for ţe (sarcina aplicată şi reacţiunea, Fig.6.5.1-1b) este:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅π

=π

⋅−π

⋅=R

r

3

21

R F

3

r 4

2

FR 2

2

FM i 6.5.1-1

198




iar modulul de rezistenţă al secţiunii periculoase (diametrale) este:

3

hR

6

hR 2W

22

z =⋅

= 6.5.1-2

Pe baza relaţiei 6.5-1, tensiunea normală maximă din placă este:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⋅=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⋅π

==σR

r

3

21

h

r p3

R

r

3

21

h

F3

W

M2

2

2z

imax 6.5.1-3

Dacă sarcina este distribuită acum pe toată suprafaţa plăcii (r = R), tensiuneamaximă este:

2

2

2maxh

R p

h

F=

π=σ 6.5.1-4

iar dacă for ţa F este concentrată toată în centrul plăcii (r → 0) tensiunea maximă din placă este:

2

2

2max h

R p

3h

F3⋅=

π=σ

6.5.1-5

Se poate uşor constata că atunci când sarcina este aplicată concentrat în centrul plăcii, tensiunea normală maximă din placă este de trei ori mai mare decât încazul în care aceeaşi sarcină se aplică uniform pe toată suprafaţa plăcii.Concluzie asemănătoare a rezultat şi în urma calculului exact efectuat asupra

plăcii circulare.

199




6.5.2 Calculul aproximativ al plăcii dreptunghiulare simplu rezemată pe contur

Fie o placă dreptunghiular ă de grosime h simplu rezemată pe contur şi solicitată

atât de o for ţă concentrată centrală F cât şi de sarcină uniform distribuită p petoată suprafaţa sa (Fig.6.5.2-1a).Cercetările experimentale au ar ătat că o astfel de placă se rupe totdeauna

după o diagonală. Se poate atunci considera o jumătate de placă înţepenită de-alungul secţiunii diagonale şi încărcată ca în Fig.6.5.2-1b. For ţele rezultanteaplicate cât şi cele de legătur ă s-au redus în centrele de greutate ale suprafeţelor asupra cărora ele acţionează (Fig.6.5.2-1b). Diagonala împarte suprafaţadreptunghiular ă în două triunghiuri a căror înălţime este:

22

ba

bac

+

⋅= 6.5.2-1

F p

h

b

(a2+b2)1/2

900c

a

c/3

G1

c/2(F+pab)/2

c

ab/2

b)a)

Fig.6.5.2-1

For ţa uniform distribuită de pe o jumătate de placă se reduce la rezultantaei, pab/2 în centrul de greutate G1 al triunghiului (a jumătăţii de dreptunghi).Rezultanta reacţiunii, (F+pab)/2 de pe două laturi vecine se reduce în centrul degreutate G2 al conturului de sprijin. Centrul G2 este la distanţa c/2 de diagonală,iar centrul G1 la distanţa c/3 de diagonală.

Momentul încovoietor din secţiunea periculoasă (secţiunea diagonală)este:

( )( )

22i

ba12

ba ba pF3

3

c ba p

2

1

2

c ba pF

2

1M

+⋅

⋅+=⋅⋅−⋅+⋅= 6.5.2-2

200




iar modulul de rezistenţă al secţiunii este:

222

z ba6

hW +⋅= 6.5.2-3

Tensiunea normală maximă se determină cu relaţia lui Navier:

( )( )222

z

imax

bah2

ba ba pF3

W

M

+⋅

⋅+==σ 6.5.2-4

Pentru o placă patrată, când a = b, tensiunea maximă este:

2

2

max

h4

a pF3 +=σ 6.5.2-5

Şi pentru această placă, pot fi studiate cazurile: Placa încărcată numai cu sarcină uniform distribuită Placa încărcată cu o for ţă concentrată în centrul plăcii, egală cu sarcina

uniform distribuită pe toată suprafaţa plăcii.

201




7. VASE DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI


Vasele de revoluţie (de rotaţie) fac parte din categoria plăcilor curbe cugrosime mică. Astfel de elemente sunt des întâlnite în practică: în construcţii(cupole), în aviaţie, rezervoare etc. După cum este cunoscut, forma plăcii curbeeste definită de suprafaţa sa mediană. De cele mai multe ori, grosimea acestor

plăci este constantă.Pentru vasele de revoluţie, suprafeţele mediane sunt suprafeţe de rotaţie,

generate de drepte sau curbe care se rotesc în jurul unei axe. Astfel, o dreaptă

care se roteşte în jurul unei axe paralelă cu ea, generează un cilindru, o dreaptă care se roteşte şi întâlneşte axe generează, un con, o dreaptă care se roteşte în

jurul unei axe şi nu o întâlneşte generează un hiperboloid de rotaţie, iar cupolasferică este generată de un arc de cerc.

Fie un vas de revoluţie oarecare reprezentat numai prin suprafaţa mediană şi un punct B de pe suprafaţa sa (Fig.7.1-1).

O

r B

O’

Cerc paralel

Om

O p

ρ p=BO p

ρm=BOmMeridian

Axa derotaţie

Normală

Fig.7.1-1

Prin rotirea punctului B în jurul axei OO’ se obţine un cerc paralel . Meridianul este o curbă care prin rotirea ei generează suprafaţa de rotaţie. Petangenta la planul normal al suprafeţei mediane se găsesc centrele de curbur ă

principale. Curbura suprafeţei se caracterizează prin razele principale de

curbur ă ρ p şi ρ m orientate perpendicular pe paralelă, respectiv meridian. Centrulde curbur ă O p corespunzător paralelei este situat pe axa de rotaţie, iar cel al

meridianului Om poate fi situat oriunde pe normală. Razele de curbur ă ρ p şi ρ m determină forma şi dimensiunile vasului de revoluţie.

202




7.2 CALCULUL VASELOR DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI

În Fig.7.2-1 se consider ă un vas de revoluţie cu perete subţire de grosime h

supus la o presiune interioar ă p. Presiunea interioar ă poate fi creată fie de unlichid, fie de acţiunea unui agent gazos. În acest caz, starea de solicitare estesimetrică în raport cu axa de rotaţie OO’ .

σ p

σm OmO p

σ p

σm

ρ pρm

O

pO’

Fig.7.2-1

În cazul gazelor, presiunea acestuia este de obicei uniformă pe suprafaţainterioar ă, iar cea a lichidelor este propor ţională cu adâncimea. La un plan paralel, presiunea se consider ă constantă. Presiunea din interior supune vasul ladiferite solicitări. Dacă peretele vasului este subţire, acesta prezintă o rezistenţă

bună la întindere şi mai puţin la compresiune sau încovoiere. Ca urmare, pentruastfel de situaţii s-a dezvoltat teoria de membrană a vaselor de revoluţie cu

pereţi subţiri, prin care se consider ă că în peretele vasului apar tensiuni deîntindere, uniform repartizate pe grosimea peretelui. În realitate, vasul nefiindchiar atât de subţire, prezintă şi o anumită rezistenţă la compresiune sau

încovoiere.Se izolează acum un element mic din peretele vasului, delimitat de două meridiane şi două paralele (Fig.2.7-2). Presiunea de pe acest element, seechilibrează cu tensiunile normale din peretele vasului. Datorită stării simetricede solicitare în peretele vasului nu apar tensiuni tangenţiale. Absenţa tensiunilor tangenţiale, face ca direcţiile principale de solicitare să fie orientate de-a lungulmeridianului şi paralelei, iar tensiunile σm şi σ p orientate după aceste direcţii, să fie tensiuni principale. De asemenea, tensiunea normală de pe suprafaţa vasuluieste mică şi se neglijează.

Pentru determinarea celor două tensiuni principale, se pune condiţia deechilibru pentru elementul izolat din peretele vasului.

203




σ

ρ

Om

O ph

p

p

p

p

ρm

ρm

ρ p

σm

σm

σm

σm

σ p

σ pσ p

dsm

ds p

dαm

dαm

dα p

dα p

c)

b)

a)

Om

Om

Fig.7.2-2

Această condiţie se scrie ca o ecuaţie de proiecţii de for ţe pe direcţia normalei laelementul considerat:

pmm

pm p

m p dsds p2

dsindsh2

2

dsindsh2 =

ασ+

ασ 7.2-1

Dacă se ţine seama de faptul că:

2

d

2

dsin;dds;dds p p pmmm

α≈

ααρ=αρ=

şi după efectuarea calculelor, relaţia 7.2-1 devine de forma:

h

p

m

m

p

p =ρ

σ+

ρ

σ7.2-2

Relaţia 7.2-2 care exprimă legătura dintre tensiunile principale, razele decurbur ă principale şi presiunea interioar ă este cunoscută sub denumirea deecua ţ ia lui Laplace. După cum se poate constata, ecuaţia lui Laplace conţinedouă necunoscute: tensiunile normale principale. Pentru a determina cele două tensiuni normale mai este necesar ă încă o relaţie. În acest scop, vasul sesecţionează de-a lungul unei paralele ce trece prin punctul în care se doreşte a sedetermina tensiunile normale (Fig.7.2-3). Asupra păr ţii izolate acţionează for ţaQ, dată de proiecţia pe axa de simetrie a presiunilor interioare şi reacţiunea RV ,

dacă vasul se sprijină, în punctul O. Echilibrul este îndeplinit de tensiunile σm care sunt repartizate uniform de-a lungul paralelei.

204




O

xR V

O’

σm

ds

r H

yx

b)

ds

dx p

dx

a)

Fig.7.2-3

Punând condiţia de echilibru:

Vm R Qsinhr 2 −=ϕπσ 7.2-3

se obţine tensiunea normală principală:

ϕπ

−=σ

sinhr 2

R Q Vm 7.2-4

unde

ϕ - unghiul format de raza de curbur ă ρ p cu axa de rotaţie OO’ .Dacă se înlocuieşte relaţia 7.2-4 în ecuaţia lui Laplace (relaţia 7.2-2) se obţinecealaltă tensiune normală principală:

ϕρπ−

−ρ

=σsinh2

R Q

h

p

m

V p p 7.2-5

Prin procedeul prezentat, compresiunea şi încovoierea din zona de acţiune areacţiunii RV au fost neglijate. Dacă vasul este suspendat (nu este sprijinit),

reacţiunea RV = 0 (nu există).

205




Calculul tensiunilor normale principale, după cum rezultă din relaţiile 7.2-4, respectiv 7.2-5, impune cunoaşterea sarcinii Q. Pentru determinarea acesteisarcini se izolează un element din vas, corespunzător unei paralele oarecare derază x (Fig.7.2-3a). Elementul izolat are lungimea ds şi formează cu planul

paralelei unghiul ψ. Presiunea p pe care o exercită lichidul din vas asupraelementului izolat (Fig.7.2-3b), dă o rezultantă normală elementar ă, a cărei proiecţii pe axa de rotaţie este:

dx px2cosdsx2 pdQ π=ψπ= 7.2-6

unde s-a avut în vedere că

dxcos =ψ

Dacă se însumează for ţele elementare dQ pentru toate elementele inelare dincare este alcătuită por ţiunea detaşată a vasului, rezultă for ţa:

7.2-7∫π=r

0

dxx p2Q

Sarcina Q se determină pentru fiecare caz de vas în parte:

Vasul în pozi ţ ie vertical ă umplut cu un lichid de înăl ţ ime H şi greutate

specifică γ .Presiunea pe care o exercită lichidul asupra unui element situat la distanţa y de

punctul O (Fig.7.2-3a) este:

( )yH p −⋅γ=

iar sarcina Q (relaţia 7.2-7):

7.2-8( )∫ ∫⋅πγ−πγ=−γπ=

r

0

r

0

2 dxyx2Hr dxxyH2Q

În expresia 7.2-8, valoarea integralei este funcţie de variabila y, care la rândulsău depinde de forma vasului.

Vasul umplut cu un gaz (p = const.) Din relaţia 7.2-7, pentru acest caz, rezultă:

7.2-9 pr Q 2π=

Dacă reacţiunea RV = 0, tensiunile principale au expresiile:

206




⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

ρ

ρ⋅−⋅

ρ=σ

ρ=σ

m

p p p

pm

2

11

h

p

h2

p

7.2-10

Calculul de rezistenţă se efectuează pe baza teoriilor de rezistenţă, vasulaflându-se într-o stare plană de solicitare. Cum de cele mai multe ori, tensiunile

principale sunt de acelaşi semn, se recomandă satisfacerea relaţiei

amax σ≤σ

Acolo unde vasul prezintă o variaţie discontinuă a curburilor peretelui, de

exemplu în dreptul colţurilor, relaţia lui Laplace conduce la rezultate eronate.Spre exemplu acolo unde ρm ≅ 0, rezultă:

∞−→σ⇒=σ

+ρ

σ p

m

p

p

h

p

0

Teoria de membrană prezentată are marele dezavantaj că nu poate exprimastarea de tensiune din locurile cu discontinuităţi ale curburilor, acolo unde de

obicei apar for ţe tăietoare şi momente încovoietoare. Vasul sferic cu perete sub ţ ire umplut cu un gaz (Fig.7.2-4a)

b)

σ p

σ p

R

σm σm

a)

R

h

Fig.7.2-4

Pentru vasul sferic razele de curbur ă sunt egale:

R pm =ρ=ρ

şi din rela

ţiile tensiunilor normale principale (rela

ţiile7.2-10) rezult

ăcă şi

acestea sunt egale:

207




h2

R pm p =σ=σ 7.2-11

Vasul cilindric de grosime mică umplut cu un gaz (Fig.7.2-4b)În cazul vasului cilindric meridianul este o linie, rezultând că ρm = ∞. În

această situaţie, pentru tensiunile normale principale rezultă următoarele relaţii:

h2

R p

h

R p

m

p

=σ

=σ

7.2-12

Se constată că tensiunea σ p (circumferenţială) este de două ori tensiuneanormală σm (axială), ceea ce face ca un astfel de vas să se fisureze în lungul său,adică pe generatoare.

În comparaţie cu vasul sferic, se constată că tensiunea maximă din vasulcilindric este de două ori mai mare decât în cazul vasului sferic, ceea ce face cavasul sferic să fie mai economic decât cel cilindric. Cu toate acestea, datorită modului de rezemare şi realizare practică, vasul sferic este mai puţin utilizat.

Vasul conic vertical, de unghi 2α , înăl ţ ime H, umplut cu un lichid de

greutate specifică γ (Fig.7.2-5)

σm

r

2α

B

Oα

α

ρm

A

σm

y

H

Fig.7.2-5

La înălţimea y de la fundul vasului se realizează o secţiune, iar raza decurbur ă circumferenţială ρ p este:

α

α=

α

==ρ

cos

tgy

cos

ABOA p 7.2-13

208




La nivelul secţiunii f ăcute, presiunea este egală cu greutatea coloanei de lichidde deasupra acesteia:

( )yH p −⋅γ=

Având în vedere că ρm = ∞ şi înlocuind presiunea p şi ρm în relaţia 7.2-10 sedetermină tensiunea circumferenţială

( )( xHy

cosh

tg

h

yH

tgy

cos p

p −⋅⋅αα⋅γ

=σ⇒−⋅γ

=α

ασ) 7.2-14

În expresia lui σ p intr ă factorii y şi (H – y) a căror sumă este o constantă, egală cu H . Valoarea maximă a lui σ p se produce când aceşti factori sunt egali y = H –

y = H / 2:

4

H

cosh

tg 2

max p ⋅α

αγ=σ 7.2-15

Pentru tensiunea principală σm se va ţine seama atât de presiune cât şi degreutatea lichidului. Pentru aceasta se scrie relaţia de echilibru ca o sumă defor ţe pe verticală:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⋅απγ=ααπσ yH3

ytgycoshtgy2 22

m

După efectuarea calculelor, se obţine expresia:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⋅⋅α

αγ=σ y

3

2Hy

cosh2

tgm 7.2-16

Valoarea maximă a acestei tensiuni se determină anulând derivata de ordinulîntâi:

H4

3y0y

3

2y

3

2HC

dy

d m ⋅=⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=σ

α

αγ=σ⇒

cosh16

tgH3 2

max p 7.2-17

209




8. TUBURI CU PEREŢI GROŞI


Tuburile cu pereţi groşi au o mare r ăspândire în practică. Astfel deelemente, solicitate la presiune interioar ă sau exterioar ă uniformă , sunt utilizateca ţevi, cilindri, cazane etc. Sub acţiunea presiunii, în tuburi se creează tensiunicare pot duce la distrugerea lor. Prezenţa câmpului de temperatur ă simetric faţă de axa tubului dar variabil pe direcţia razei, produce în peretele acestuia tensiunitermice, care suprapuse peste cele create de presiune, pot conduce la valori mariale tensiunilor

şi implicit la scoaterea lor din func

ţionare. La calculul vaselor de

revoluţie cu pereţi subţiri, s-a considerat că tensiunea este constantă pe grosimea peretelui vasului. Cu cât peretele vasului este mai gros, cu atât metoda prezentată la vasele cu pereţi subţiri, conduce la erori mai mari. Calculultuburilor cu pereţi groşi consider ă că tensiunile din peretele tubului nu mai suntconstante pe direcţie radială. Starea de tensiune şi deformaţie într-un punctdepinde numai de distanţa de la axa tubului la punctul considerat. Punctelesituate la aceeaşi rază r prezintă aceeaşi tensiune şi deformaţie. Starea detensiune punctuală depinde atunci şi de variabila x, în lungul tubului. Dacă aceste mărimi nu variază cu x, atunci tensiunea în lungul cilindrului σx esteconstantă în toate punctele. În această situaţie r ămân ca necunoscute celelaltetensiuni: σr (tensiunea radială) şi σt (tensiunea circumferenţială). Se ajungeastfel la o stare plană de tensiune.

Calculul tuburilor cu pereţi groşi se abordează cu teoria elasticităţii încoordonate polare, care din cauza simetriei geometrice şi a solicitării tubului, nueste greu de aplicat. În modul de abordare, se consider ă că tubul are secţiuneconstantă şi este de lungime infinită. Calculul tuburilor cu pereţi groşi se atribuielui G. Lamé.

8.2 TUBUL CILINDRIC CU PERETE GROS SUPUS

LA PRESIUNE INTERIOAR Ă ŞI EXTERIOAR Ă

Fie un tub cilindric închis la capete, cu pereţi groşi de raze Ri şi Re şisecţiune constantă, supus unei presiuni interioare pi şi uneia exterioare pe (Fig.8.2-1a). Se pune probleme determinării tensiunilor din peretele tubuluiastfel solicitat. Se consider ă că materialul tubului satisface legea lui Hooke şi seneglijează efectul de încovoiere al capacelor de la capetele tubului.

210




În lungul tubului, presiunea interioar ă pi produce o for ţă de întindere, iar presiunea pe una de compresiune.

σt dr

B

D

σr r dϕ

d

C

A

σr r dϕ +[d(σr r dϕ) dr] dr

σt dr dr

r

pe

pi

σt

σtσr

R i

R e

b)

a)

Fig.8.2-1

Cele două for ţe, dau naştere în peretele tubului la o tensiune normală axială:

( )( )

( )2i

2e

e2eei

2i

2i

2e

2i

2ee

2ii

xR R

pR p pR

R R

R R pR p

−

−+⋅=

−π

−π−π=σ 8.2-1

care este repartizată uniform pe secţiunea transversală a tubului. Dacă tubul seconsider ă ca având lungime mare, atunci tensiunea normală axială (longitudinală) nu produce alungiri şi ea se poate neglija. R ămâne a se consideramai departe, tubul într-o stare plană de tensiune. Din cauza simetriei geometrice

şi a încărcării, se consider ă ca singura variabilă independentă pentru tensiuni şideformaţii, dimensiunea radială r (raza).Cu ajutorul a două plane care fac între ele unghiul d ϕ se detaşează din

peretele tubului un element de raze r şi r+dr (grosime dr ) aşa cum este prezentatîn Fig.8.2-2b. Pe feţele elementului nu există tensiuni tangenţiale şi ca urmaretensiunile de pe cele patru feţe sunt tensiuni normale principale (radiale σr ,respectiv circumferenţiale σt). Din considerente de simetrie, pe feţele AC şi BD tensiunea σt este aceeaşi, iar tensiunea σr variază de la faţa CD la faţa AB.

Pentru elementul izolat de grosime unitar ă (pe desen sunt reprezentate

direct for ţele de pe feţele de grosime unitar ă) se pune condiţia de echilibru, ca osumă de for ţe pe bisectoarea unghiului d ϕ :

211




( )φ

σ φ σ φ σ φ σr r r t

d dr d rd dr r d 2 dr sin 0

dr 2⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

Aproximândφ φd d

sin2 2

≈

şi înlocuind în relaţia anterioar ă, după efectuarea calculelor, se obţine:

( )

0dr

d

r

0r dr

d

tr r

tr

=σ−σ+σ

⋅⇒

=σ−⋅σ

8.2-2

Ecuaţia 8.2.2 conţine două necunoscute, tensiunile σr şi σt. Pentru a determinacele două tensiuni mai este necesar ă încă o relaţie. În acest scop, se va căuta orelaţie bazată pe deplasarea radială u a unui punct oarecare al tubului (Fig.8.2-2a).

Stareadeformată

u

r O

σt

σr

σt

r

O

dϕ dϕdr

u+du

σr

b)a)

Fig.8.2-2

Un punct situat la distanţa r de centru are deplasarea radial ă u, iar celsituat la distanţa u+ du are deplasarea u + (du/dr)⋅ dr. Lungirea segmentului dr este dată de diferenţa dintre cele două deplasări:

( ) dr dr

du

udr dr

du

udr ⋅=−+=Δ 8.2-3

212




iar lungirea specifică în direcţie radială este:

( )dr

dudr dr r =

Δ=ε 8.2-4

Ca urmare a deplasării u, raza r a unui cerc devine r + u, ceea ce face calungirea specifică circumferenţială să devină:

( )r

u

r 2

r 2ur 2t =

π

π−+⋅π=ε 8.2-5

Relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice (legea lui Hooke generalizată) pentru acest caz se scriu sub forma:

( )

( )r t2t

tr 2r

1

E1

E

εν+ε⋅ν−

=σ

εν+ε⋅ν−

=σ

sau ţinând seama de relaţiile 8.2-4 şi 8.2-5:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ν+⋅

ν−=σ

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ν+⋅

ν−=σ

dr

du

r

u

1

E

r u

dr du

1E

2t

2r

8.2-6

Relaţiile 8.2-6 se introduc în ecuaţia diferenţială 8.2-2, obţinându-se expresia:

0

dr

du

r

u

1

E

r

u

dr

du

1

E

r

u

dr

du

1

E

dr

dr

222=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ν+⋅

ν−

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ν+⋅

ν−

+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ν+⋅

ν−

⋅

care după simplificări devine:

0ur

1

dr

du

r

1

dr

ud22

2

=⋅−⋅+ 8.2-7

Relaţia 8.2-7 este o ecuaţie diferenţială de tip Euler, care admite o soluţie deforma:

r

B

r Au +⋅= 8.2-8

213




Se calculează la început

2

2

r BA

dr du

r

BA

r

u

−=

+=

care introduse în expresiile tensiunilor (relaţiile 8.2-6) conduc la:

( ) ( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−⋅−ν+⋅

ν−=σ 1

r

B1A

1

E22r ) 8.2-9a

( ) ( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ν−⋅+ν+⋅ν−=σ 1r B1A1 E 22t ) 8.2-9b

Constantele A şi B din relaţiile 8.2-9 se determină din condiţiile la limită, pecontur. Presiunile pi şi pe de la suprafeţele tubului produc tensiuni radiale decompresiune:

er e

ir i

pR r La

pR r La

−=σ⇒=

−=σ⇒=

Se înlocuiesc aceste condiţii în ecuaţia 8.2-9a şi rezultă:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ν−⋅−ν+⋅ν−

=− 1r

B1A

1

E p

22i 8.2-10a

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ν−⋅−ν+⋅ν−

=− 1r

B1A

1

E p

22e 8.2-10b

Rezolvând sistemul de ecuaţii 8.2-10, rezultă valoarea constantelor:

2i

2e

e2ei

2i

R R

pR pR

E

1A

−

+⋅

ν−= 8.2-11a

2i

2e

ei2e

2i

R R

) p p(R R

E

1B

−−

⋅ν+

= 8.2-11b

Cu aceste valori pentru constantele A, B, rezultă pentru tensiuni, expresiile:

214




( )22

i2e

2e

2iei

2i

2e

e2ei

2i

r r

1

R R

R R p p

R R

pR pR ⋅

−

⋅−−

−

−=σ 8.2-12a

( )22

i2e

2e

2iei

2i

2e

e2ei

2i

r r

1

R R

R R p p

R R

pR pR ⋅

−⋅−+

−−=σ 8.2-12b

Se poate constata că tensiunile normale (radiale şi circumferenţiale) variază după o hiperbolă de gradul doi cu r , iar suma lor este o constantă.

Procedând asemănător, se obţine expresia deplasării radiale a unui punctal tubului:

( )2i

2e

ei

2

e

2

i2i

2e

e

2

ei

2

i

R R p pR R

E1r

R R pR pR

E1u

− −⋅⋅ν++⋅−−⋅ν−= 8.2-13

Se pot studia acum diferite cazuri particulare de solicitare ale tubului cu peretegros.

8.2.1 Tubul cilindric supus numai la presiune interioară

Dacă tubul este supus numai la presiune interioar ă ( pe = 0), relaţiile pentru calculul tensiunilor normale (vezi relaţiile 8.2-12) sunt:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅

−=σ

2

2e

2i

2e

i2i

r r

R 1

R R

pR 8.2.1-1a

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

−=σ

2

2e

2i

2e

i2i

t r

R 1

R R

pR 8.2.1-1b

Este de mare utilitate practică să se cunoască variaţia acestor tensiuni pegrosimea peretelui tubului.

Tensiunea normal ă radial ă σr ¾ La suprafaţa interioar ă, unde r = Ri:

σri = - pi

¾ La suprafaţa exterioar ă, unde r = Re:

σre = 0

215




Tensiunea normal ă circumferen ţ ial ă σt ¾ La suprafaţa interioar ă, unde r = Ri:

( )2i

2e

i2e

2i

maxtti R R

pR R

−

⋅+

=σ=σ


2i

2e

i2i

mintte R R

pR 2

−=σ=σ

Variaţia tensiunilor normale pe grosimea peretelui tubului este prezentată în

Fig.8.2.1-1.

Fig.8.2.1-1

σte

σti

σri = - pi

pi

R e

R i

Cea mai mare valoare se obţine pentru tensiunea circumferenţială σt de lasuprafaţa interioar ă a tubului. Calculul de rezistenţă al tubului cu perete gros,după teoria I de rezistenţă, impune satisfacerea condiţiei:

( )a2

i2e

i2e

2i

maxt R R

pR R σ≤

−⋅+

=σ 8.2.1-2a

ia

iae p

pR R

−σ

+σ⋅=⇒ 8.2.1-2b

Relaţia 8.2.1-2b are soluţie numai dacă pi < σ a .

Raportul dintre valorile extreme ale tensiunii normale circumferenţiale este:

216




2i

2e

2i

te

ti

R 2

R R +=

σ

σ8.2.1-3

şi el creşte o dată cu creşterea diferenţei dintre pătratele razelor.Dacă R2 se apropie de R1, grosimea tubului scade foarte mult. În acest caz,relaţiile 8.2.1-1 arată că tensiunea radială devine nulă pe toată grosimea

peretelui, iar relaţia 8.2.1-3 arată că raportul tensiunilor circumferenţialeextreme devine egal cu unitatea, adică această tensiune este constantă. Această situaţie s-a întâlnit de fapt la vasele de revoluţie cilindrice cu pereţi subţiri.

Dacă se face un calcul de rezistenţă după teoria a III-a de rezistenţă,condiţia care se impune este:

a2i

2e

i2erimaxtmax

R R pR

2σ≤

−=σ−σ=τ 8.2.1-4

Pentru deplasări, interesează în mod deosebit deplasarea unui punct de pesuprafaţa interioar ă. În acest caz, în relaţia 8.2-13 se ia pe = 0 şi r = Ri. Seobţine:

E

pR

R R

R R u ii

2i

2e

2e

2i

R r i⋅

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ν+

−

+== 8.2.1-5

8.2.2 Tubul cilindric supus numai la presiune exterioară

Pentru acest caz de tub, în expresiile tensiunilor normale (relaţiile 8.2-12)se consider ă pi = 0 şi rezultă:

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−⋅−−=σ 2

2i

2i

2e

e2e

r r

R

1R R

pR

8.2.2-1

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

−−=σ

2

2e

2i

2e

e2e

t r

R 1

R R

pR 8.2.2-2

Se constată că ambele tensiuni sunt de compresiune, valori mai mari atingândtensiunea normală circumferenţială.

Tensiunea normal ă radial ă σr ¾ La suprafaţa interioar ă, unde r = Ri:

217




σri = 0


σre = - pe

Tensiunea normal ă circumferen ţ ial ă σt

¾ La suprafaţa interioar ă, unde r = Ri:

2i

2e

e2e

maxttiR R

pR 2

−−=σ=σ


e2i

2e

2e

2i

mintte pR R

R R ⋅

−

+−=σ=σ

Variaţia tensiunilor normale pentru tubul cilindric supus numai la presiune exterioar ă este prezentată în Fig.8.2.2-1.

pe

σti

σteσre = -pe

Fig.8.2.2-1

În ceea ce priveşte deplasările, pentru tubul cilindric supus numai la

presiune exterioar ă, interesează deplasarea unui punct de pe suprafaţa exterioar ă.Pentru aceasta, în relaţia 8.2-13 se consider ă pi = 0 şi r = Re:

E

pR

R R

R R u ee

2i

2e

2e

2i

R r e⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−

−

+−== 8.2.2-3

218




8.3 TUBURI CILINDRICE FRETATE

La studiul tubului supus numai la presiune interioar ă s-a văzut că pentru

dimensionarea tubului presiunea interioar ă nu poate depăşi tensiunea normală admisibilă. Asta însemnă că pentru tensiuni interioare mari, materialul din careeste confecţionat tubul trebuie să aibă tensiuni admisibile mari. O mărire arezistenţei tubului se poate realiza cu ajutorul fretajului. Fretajul este procedeul

de comprimare radial ă a unui tub solicitat la presiune interioar ă cu scopul mic şor ării tensiunii circumferen ţ iale maxime. În general, el se realizează prinintroducerea unor tuburi cilindrice unul în celălalt, concentric şi cu strângere(Fig.8.3-1). Deoarece diametrul interior al tubului exterior este mai mic decâtdiametrul exterior al tubului interior, tubul exterior trebuie încălzit, iar celinterior eventual r ăcit.

R 1

R 2

δ

1. Cilindrulinterior

2.Cilindru exterior

R 1e

R 2i

R 3

Fig.8.3-1

Fretajul poate fi realizat şi prin înf ăşurarea prin strângere, pe suprafaţaexterioar ă a tubului, a unui cablu în spirală sau prin introducerea cu joc a tubuluiîntr-un cilindru în care se realizează o presiune hidraulică.

Fie un tub fretat, format din două tuburi cilindrice, introduse unul încelălalt cu strângere. Temperatura tuburilor este aceeaşi. Diferenţa dintre razaexterioar ă a tubului interior şi raza interioar ă a tubului exterior înainte demontare, se numeşte seraj:

δ = R1e –R2i 8.3-1

După îmbinare, între cele două tuburi se realizează o presiune de fretaj p f . Prinfretaj, raza exterioar ă a tubului interior s-a micşorat cu u1, iar cea interioar ă a

tubului exterior s-a mărit cu u2. Se ajunge astfel la o rază R2 comună de contactîntre tuburi:

219




21

2i21e12

uu

uR uR R

+=δ⇒

+=−=8.3-2

Se adună relaţiile 8.2.1-5 şi 8.2.2-3 f ăcând pi = pe = p, iar în relaţia 8.2.1-5 se înlocuieşte R1 prin R2 şi R2 prin R3, rezultând:

δ=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν+

−

++ν−

−

+⋅

22

23

23

21

21

22

22

212f

R R

R R

R R

R R

E

R p

de unde se obţine valoarea presiunii de fretaj:

( ) ( )

( )21

23

32

22

23

21

22

f R R R 2

ER R R R

p −⋅

δ⋅−⋅−

= 8.3-3

Presiunea de fretaj, este o presiune exterioar ă pentru tubul interior şi interioar ă pentru tubul exterior. Cele două tuburi se pot studia separat, funcţie de presiuneade fretaj la care sunt supuse fiecare.

Pentru tubul interior , unde se utilizează relaţiile 8.2.2-1, cu notaţia pe

= p f ¾ Pe suprafaţa exterioar ă unde r = R2 se obţine:

f 21

22

22

21

t

f r

pR R

R R

p

⋅−

+−=σ

−=σ

8.3-4

¾ Pe suprafaţa interioar ă unde r = R1

f 21

22

22

maxtt

r

p2R R

R

0

⋅−−=σ=σ

=σ

8.3-5

Pentru tubul exterior , unde se utilizează relaţiile 8.2.1-1, cu notaţia pi

= p f ¾ Pe suprafaţa interioar ă unde r =R2

f 2223

23

22

maxtt

f r

pR R

R R

p

⋅−

+

=σ=σ

−=σ

8.3-6

220




¾ Pe suprafaţa exterioar ă unde r = R3

f 21

23

22

t

r

p2R R

R

0

⋅−=σ

=σ

8.3-7

După cum se poate constata, cele mai mari sunt tensiunile de pe faţainterioar ă a tubului exterior, tensiuni care trebuie să fie luate în consideraţie lacalculul de rezistenţă (dimensionare).

Studiul prezentat a luat în calcul numai presiunea de fretaj p f dintre tuburi.În general, tubul interior este supus şi unei presiuni interioare pi. La nivelulcelor trei raze R1 , R2 , R3 presiunea interioar ă pi produce următoarele tensiuni:

la suprafaţa interioar ă, unde r = R1

i21

23

23

21

t

ir

pR R

R R

p

⋅−

+=σ

−=σ

8.3-8

la suprafaţa de separaţie, unde r = R2

( )( ) i2

123

22

22

23

21

r pR R R

R R R

⋅−⋅

−⋅

−=σ 8.3-9a

( )( ) i2

123

22

23

22

21

t pR R R

R R R ⋅

−⋅

+⋅=σ 8.3-9b

la suprafaţa exterioar ă, unde r = R3

i21

23

21

t

r

p2R R

R

0

⋅−

=σ

=σ

8.3-10

Dacă se adună la nivelul razelor R1 , R2 , R3 tensiunile datorate presiunii defretaj p f şi a celei interioare pi, se obţin tensiunile rezultante din cele două tuburi.În Fig.8.3-2 se prezintă diagramele tensiunilor produse de presiunea de fretaj p f (Fig.8.3-2a), de presiunea interioar ă pi (Fig.8.3-2b) şi cea rezultantă (Fig.8.3-2c).

Pentru tensiunea normală radială σr fretajul nu are efect favorabil,

tensiunile maxime r ămânând aceleaşi. În schimb, asupra tensiunii normale

221




circumferenţiale σt, fretajul are un mare efect, micşorând valoarea maximă aacestei tensiuni, ceea ce permite creşterea presiunii interioare din tub.

a) c)b)

σr

σr σr

σt

σt

σt

Fig.8.3-2

Vârfurile valorilor pentru tensiunile rezultante prezentate în Fig.8.3-2 se pot obţine relativ uşor, motiv pentru care nu au mai fost trecute în diagramă. Elede altfel au fost calculate separat în cadrul acestui capitol.Pentru un calcul de rezistenţă după teoria a III-a de rezistenţă, rezultă că tensiunea tangenţială maximă de pe suprafaţa interioar ă a cilindrului exterior (acolo unde tensiunea este maximă), este:

f 2

2

2

3

23f

2

2

2

3

23

22r t

max p

R R

R

2

p1

R R

R R

2

⋅

−

=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

−

+=

σ−σ=τ 8.3-11

sau după înlocuirea presiunii de fretaj p f :

( )( )2

123

32

21

22

23

maxR R R 2

R R R E

−⋅

−⋅δ=τ 8.3-12

Pentru un inel fretat pe un arbore plin ( R1 = 0), tensiunea tangenţială maximă are expresia:

2max R 2

Eδ=τ 8.3-13

Pe baza celor prezentate, se pot studia acum o serie de montaje fretateîntre diferite organe de maşini.

222




8.4 TENSIUNI TERMICE ÎN TUBUL CU PERETE GROS

În practică, mai ales în centralele termoelectrice există tuburi (conductelede abur) cu perete gros, care sunt supuse, pe lângă presiunea interioar ă, la uncâmp termic axial simetric cu temperatur ă constantă în lungul tubului, dar variabilă pe grosimea peretelui. Datorită temperaturii neuniforme, în pereteletubului apar tensiuni, care se suprapun peste cele create de presiunea interioar ă.Pentru astfel de elemente, se poate considera că secţiunile transversale aflate ladistanţe mari de capetele tubului r ămân plane, iar lungirea specifică în lungultubului εx este constantă.

Relaţiile care exprimă tensiunile se deduc asemănător ca în cazul tuburilor solicitate de către presiunea interioar ă sau exterioar ă. Lungirile specifice(radiale, respectiv circumferenţiale) se exprimă atunci prin relaţiile cunoscute:

r

udr

du

t

r

=ε

=ε

8.4-1

iar ecuaţia de echilibru este:

( ) tr r dr

dσ=σ 8.4-2

dacă se ia în considerare şi tensiunea produsă de variaţia temperaturii, legea luiHooke se completează cu termenul corespunzător acestei tensiuni.

Dacă se notează cu θ creşterea de temperatur ă faţă de starea iniţială într-un element situat la distanţa r , cu α coeficientul de dilatare termică liniar ă amaterialului, cu σx tensiunea normală axială, expresiile lungirilor specifice

principale sunt:

( )[ θα+σ+σν−σ=ε txr r E

1] 8.4-3a

( )[ θα+σ+σν−σ=ε r xtt E

1] 8.4-3b

( )[ ] .constE

1

tr xx

=θα+σ+σν−σ=ε 8.4-3c

223




Din relaţiile 8.4-3 se obţin expresiile tensiunilor normale principale funcţie delungirile specifice principale:

( ) ( )( ) ( )[ ]θα⋅ν+−εν+εν+εν−⋅

ν−⋅ν+=σ 11

211

Extr r 8.4-4a

( ) ( )( ) ( )[ ]θα⋅ν+−εν+εν+εν−⋅

ν−⋅ν+=σ 11

211

Er xtt 8.4-4b

( ) ( )( ) ( )[ ]θα⋅ν+−εν+εν+εν−⋅

ν−⋅ν+=σ 11

211

Etr xx 8.4-4c

În cele ce urmează, se va admite ipoteza că modulul de elasticitate E almaterialului tubului nu variază cu temperatura.Ecuaţia diferenţială de echilibru (forma ei este cunoscută de la tuburile cu

pereţi groşi) pentru situaţia când se ia în considerare şi temperatura este deforma:

dr

d

1

1

r

u

dr

du

r

1

dx

ud2

2 θ⋅α⋅

ν−ν+

=−⋅+ 8.4-5

care poate fi scrisă sub formă integrabilă:

( )dr

d

1

1r u

dr

d

r

1

dr

d θ⋅α⋅

ν−ν+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

8.4-6

Integrând acum ecuaţia 8.4-6 se obţine expresia deplasării radiale u:

∫ ++θα⋅⋅ν−ν+

=r

R i

r

Br Adr r

r

1

1

1u 8.4-7

unde A, B – constante de integrare.

Constantele de integrare se determină din condiţiile la limită. Astfel pentru

0R r şiR r r ei =σ⇒== 8.4-8

Înlocuind relaţia 8.4-7 în 8.4-4a, expresia tensiunii radiale în funcţie şi de

constantele de integrare A şi B, este de forma:

224




⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ε⋅

ν−ν

+−ν−

+θα⋅⋅ν−ν+

−⋅ν+

=σ ∫r

R

x22r

i21r

B

21

Adr r

r

1

1

1

1

E8.4-9

Punând condiţiile 8.4-8 în relaţia 8.4-9 şi f ăcând calculele, se obţin cele două constante de integrare:

∫ ε⋅ν−θα⋅−

ν−⋅

ν−ν+

=e

i

R

R

x2i

2e

dr r R R

21

1

1A 8.4-10a

∫ θα⋅−

⋅ν−ν+

=e

i

R

R 2i

2e

2i dr r R R

R

1

1B 8.4-10b

Aceste valori ale constantelor de integrare se introduc în relaţia 8.4-7, apoi secalculează relaţiile 8.4-1, după care acestea se introduc în relaţiile 8.4-4 de undese obţin expresiile tensiunilor normale principale:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θα−θα⋅

−

−⋅⋅

ν−=σ ∫ ∫

e

i i

R

R

r

R 2i

2e

2i

2

2r dr r dr r R R

R r

r

1

1

E8.4-11a

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡ θα−θα+θα⋅

−+⋅⋅

ν−=σ ∫ ∫

e

i i

R

R

r

R

22i

2e

2i

2

2t r dr r dr r R R R r

r 1

1E 8.4-11b

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θα−ε⋅ν−+θα⋅

−ν

⋅ν−

=σ ∫e

i

R

R

x2i

2e

x 1dr r R R

2

1

E8.4-11c

După cum se observă, în expresia tensiunii normale axiale σx apare deformaţiaspecifică εx, care este necunoscută. Pentru determinarea acesteia, dilatarealongitudinală a tubului fiind liber ă, se consider ă că efortul axial din secţiuneatransversală este nul:

8.4-12∫∫ ∫ =σ⇒=ϕσ=π e

i

e

i

R

R

x

2

0

R

R

x 0dr r 0dr dr N

Ţinând seamă de relaţia 8.4-12, din 8.4-11c rezultă expresia lungirii specifice

∫θα⋅

−=ε

e

i

R

R 2i2exdr

R R

2

8.4-13

225




care conduce la tensiunea normală axială:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θα−θα⋅

−⋅

ν−=σ ∫

e

i

R

R 2i

2e

x dr r R R

2

1

E8.4-14

După cum se constată, pentru calculul tensiunilor normale principale şi adeplasării radiale trebuie cunoscută legea de distribuţie a temperaturii θ (r) pegrosimea peretelui tubului. Se cunosc mai multe legi de distribuţie a temperaturii

pe grosimea peretelui. Cea mai simplă este distribu ţ ia liniar ă:

( ) θΔ⋅−

−=θ

ie

e

R R

r R r 8.4-15

unde

ei θ−θ=θΔ

şi reprezintă diferenţa dintre temperatura la suprafaţa interioar ă şi cea exterioar ă a tubului.

Acceptând această distribuţie a temperaturii şi după efectuarea integr ărilor din relaţiile 8.4-11a,b şi 8.4-14, tensiunile normale principale capătă formafinală:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

++

−

−−⋅

−⋅ν−⋅θΔ⋅α

=σ2

ei

2e

2i

2i

2e

3i

3e

ier

r

1

R R

R R

R R

R R r

R R 13

E8.4-16a

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

++

−

−−⋅

−⋅ν−⋅θΔ⋅α

=σ2

ei

2e

2i

2i

2e

3i

3e

iet

r

1

R R

R R

R R

R R r 2

R R 13

E8.4.16b

( ) ( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

⋅−⋅−⋅ν−⋅

θΔ⋅α

=σ 2i

2e

3i

3e

iex R R

R R

2r 3R R 13

E

8.4-16c

Pe cele două suprafeţe ale tubului rezultă tensiunile: pe suprafaţa interioar ă, unde r = Ri:

( ) 2i

2e

2eei

2i

t

r

R R

R 2R R R

13

E

0

−

−+⋅

ν−⋅θΔ⋅α

=σ

=σ

8.4-17

pe suprafaţa exterioar ă, unde r = Re:

226




( ) 2

i

2

e

2iei

2e

t

r

R R

R 2R R R

13

E

0

−

−+⋅

ν−⋅θΔ⋅α

=σ

=σ

8.4-18

Dacă se anulează derivata tensiunii normale radiale σr , se obţine distanţa r la care tensiunea normală radială are valoare maximă:

3

ei

2e

2i

R R

R R 2r

+= 8.4-19

În Fig.8.4-1 se prezintă variaţia tensiunilor normale radiale, respectiv

circumferenţiale, pentru situaţia în care Re = 2 Ri , ν = 0,3 şi θi > θe (adică Δθ >0).

R e = 2 R i

1,39 R i

O

-0,12Eα⋅Δθ -0,793Eα⋅Δθ

σt

σxσr

Fig.8.4-1

0,635Eα⋅Δθ

R i

În acest caz, tensiunea normală circumferenţială maximă este de compresiune şiapare tot pe suprafaţa interioar ă a tubului.

Aplicaţie

O conduct ă de abur viu dintr-o central ă termoelectrică cu Ri = 120 mm,

Re = 160 mm, în timpul func ţ ionării normale are la interior temperatura θ i =

5400

C şi la exterior θ e = 4000

C. Considerând E = 2⋅ 105

MPa, ν = 0, 3, α

=12⋅ 10-6

şi acceptând o distribu ţ ie liniar ă a temperaturii pe grosimea peretelui

conductei, să se calculeze tensiunile termice circumferen ţ iale extreme.

Rezolvare

Diferenţa de temperatur ă pe grosimea peretelui conductei este:Δθ = 540 –400 = 1400

C

227




La suprafa ţ a interioar ă, tensiunea normală circumferenţială este:

( )

( )MPa240

120160

1602160120120

3,013

1401012102R R

R 2R R R

13

E

22

2265

2i2e

2eei

2i

ti

−=−

⋅−⋅+⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅

=

=−

−+⋅

ν−⋅

θΔ⋅α=σ

−

iar la suprafa ţ a exterioar ă:

( )

( )MPa57,228

1201601202160120160

3,0131401012102

R R

R 2R R R

13

E

22

2265

2i

2e

2iei

2e

te

=−

⋅−⋅+⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅=

=−

−+⋅

ν−⋅θΔ⋅α

=σ

−

Tensiunile produse ca urmare a variaţiei temperaturii în peretele conductei auvalori relativ mari. Suprapuse peste cele produse de presiunea interioar ă aaburului, pot conduce la avarierea conductei, lucru deosebit de periculos într-ocentrală termoelectrică.

Se poate constata uşor, că o izolare exterioar ă bună a conductei conducela micşorarea diferenţei de temperatur ă între suprafaţa interioar ă şi ceaexterioar ă, cu efect asupra micşor ării tensiunilor termice din conductă. Caurmare, izolarea exterioar ă a conductelor de abur nu este un moft ci o necesitateobiectivă şi trebuie să i se acorde mare importanţă. Nici o zonă a suprafeţeiexterioare de la conductele de abur din centralele termoelectrice, nu trebuie să fie neizolată.

8.5 VASE SFERICE CU PEREŢI GROŞI

Fie un vas sferic cu perete gros cu raza interioar ă Ri şi cea exterioar ă Re,realizat dintr-un material omogen şi izotrop şi care se supune legii lui Hooke(Fig.8.5-1a). Vasul este solicitat atât de o presiune interioar ă pi cât şi de unaexterioar ă pe. Într-un astfel de vas nu există tensiune normală σx.

Din vasul sferic se izolează un element, pe feţele căruia acţionează tensiunile normale radiale σr şi cele circumferenţiale σt (Fig.8.5-1b). Deoarecevasul este simetric după toate direcţiile, tensiunile normale care apar sunttensiuni principale, iar elementul se deplasează, păstrându-şi forma sferică şidupă deformare.

Deplasării radiale u îi corespunde o lungire specifică radială εr şi unacircumferenţială εt:

228




r

uşi

dr

dutr =ε=ε 8.5-1

pe

pi

O

R

R e

r

O

σr

σr +dσr

σt

σt

dϕ

σtσt

dϕ

dr

a) b)

Fig.8.5-1

Se pune condiţia de echilibru pentru elementul izolat, ca o sumă de proiecţii de for ţe pe bisectoarea unghiului d ϕ (Fig.8.5-1b):

( ) ( )φ

σ σ φ σ φ σ φ2 2 2 2

r r r t

dd r dr d r d 4 drrd sin 0

2+ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = 8.5-2

După efectuarea calculelor şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, seobţine ecuaţia diferenţială:

( ) 02dr

dr tr

r =σ−σ⋅+σ

8.5-3

Aplicând legea lui Hooke generalizată, deformaţiile specifice principale sunt:

( )

( )[ ]r tt

tr r

1E

1

2E

1

σν−σν−⋅=ε

σν−σ⋅=ε

8.5-4

cu ajutorul cărora, tensiunile normale principale au expresiile:

( )[ ] ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ ⋅ν−+ν⋅ν−ν−

=ε⋅ν−+εν⋅ν−ν−

=σdr du1

r u2

21E12

21E

2r t2r 8.5-5a

229




( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ν+⋅ν−ν−

=εν+ε⋅ν−ν−

=σdr

du

r

u

21

E

21

E2r t2t 8.5-5b

Înlocuind relaţiile 8.5-5 în 8.5-2, se obţine ecuaţia diferenţială a deplasăriiradiale:

0r

u2

dr

du

r

2

dr

ud22

2

=⋅−⋅+ 8.5-6

care poate fi restrânsă la forma integrabilă:

0r

u2dr

du

dr

d=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+

0r u2dr

dur

r

1

dr

d 2

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⋅

( ) 0r udr

d

r

1

dr

d 2

2=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅ 8.5-7

Integrând ecuaţia 8.5-7, rezultă:

( ) .constA3r udr

d

r

1 2

2==⋅

de unde se obţine:

2

r

Br Au += 8.5-8

unde A, B – constante de integrare, care se determină punând condiţiile la limită.

În funcţie de constantele de integrare, tensiunile normale principale auacum expresiile:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ν−⋅−ν+⋅⋅ν−ν−

=σ 21r

B21A

21

E32r 8.5-9a

( ) ( ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ ν−⋅+ν+⋅⋅ν−ν−

=σ 21r B21A

21E 32r ) 8.5-9b

230




Condiţiile la limită pentru determinarea constantelor de integrare care se pun,sunt:

er e

ir i

pR r Pentru

pR r Pentru

−=σ⇒=

−=σ⇒=

Cu aceste înlocuiri pentru tensiunea normală radială, rezultă:

( ) ( ) i32R r p21r

B21A

21

Ei

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ν−⋅−ν+⋅⋅ν−ν−

=σ =

( ) ( ) e32R r p21r

B21A

21

Ee

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ν−⋅−ν+⋅⋅ν−ν−

=σ =

de unde se obţin expresiile pentru cele două constante de integrare:

( ) 3i

3e

e3ei

3i

2

R R

pR pR

E1

21A

−

−⋅

ν+

ν−ν−=

( )( )

3i

3e

ei3e

3i

2

R R

p pR R

E212

21B

−

−⋅

ν−⋅

ν−ν−=

Expresia deplasării radiale este acum de forma:

( ) ( ) 3

3e

3ieie

3ei

3i

3i

3e

2

r

R R

212

p pr

1

pR pR

ER R

21u ⋅

ν−⋅

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

ν+

−⋅

−

ν−ν−= 8.5-10

iar cea a tensiunilor normale principale de forma:

( )33i3e

ei3e

3i

3i3e

e3ei

3i

r r

1

R R

p pR R

R R

pR pR ⋅

−

−⋅−

−

−=σ

8.5-11a

( )33

i3e

ei3e

3i

3i

3e

e3ei

3i

tr 2

1

R R

p pR R

R R

pR pR ⋅

−

−⋅+

−

−=σ 8.5-11b

Se constată că în cazul vasului sferic cu perete gros, tensiunile normale principale, radiale respectiv circumferenţiale, variază pe grosimea peretelui după o hiperbolă de gradul trei.

Se pot studia acum câteva cazuri particulare, care prezintă interes înactivitatea productivă:

231




vasul supus numai la presiune interioar ă (pe = 0) Tensiunile normale principale au expresiile:

0r

R 1

R R

pR

0r

R

1R R

pR

3e

3i

3e

i3i

t

3e

3i

3e

i3i

r

>⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

−=σ

<⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−⋅−=σ8.5-12

¾ La suprafaţa interioar ă, unde r = Ri

i3i

3e

3

e

3

iti

iri

p)R R (2 R R 2

p

⋅−⋅ +=σ

−=σ

8.5-13

¾ La suprafaţa exterioar ă, unde r = Re

i3i

3e

3i

te

re

p)R R (2

R 3

0

⋅−⋅

=σ

=σ

8.5-14

La suprafaţa interioar ă unde tensiunile au valorile cele mai mari, se realizează ostare spaţială de tensiune, iar calculul de rezistenţă trebuie f ăcut după una dinteoriile de rezistenţă. Astfel, după teoria a III-a de rezistenţă, trebuie satisf ăcută condiţia:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ≤+⋅

−⋅

+⋅=

σ−σ=τ

2 p p

R R 2

R R 2

2

1

2a

ii3i

3e

3e

3ir t

max 8.5-15

de unde pentru calculul de dimensionare, rezultă mărimea razei exterioare (seconsider ă că raza interioar ă se impune datorită necesităţilor):

3

ia

aie p32

2R R

−σ

σ⋅= 8.5-16

Din 8.5-16 rezultă că expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă, ceea ceconduce la condiţia impusă pentru dimensionare:

aiia 32 p0 p32 σ<⇒>−σ 8.5-17

232




vasul solicitat numai la presiune exterioar ă (pi = 0) Expresiile tensiunilor normale principale sunt:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

−−=σ

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −⋅

−−=σ

r

R 1

R R

pR

r R 1

R R pR

3i

3i

3e

e3e

t

3i

3i

3e

e3e

r

8.5-18

cu

r t σ>σ

¾ La suprafaţa interioar ă, unde r = Ri

( )3i

3e

e3e

ti

ri

R R 2

pR 3

0

−⋅−=σ

=σ

8.5-19

¾ La suprafaţa exterioar ă, unde r = Re

( ) e3i

3e

3e

3i

te

ere

pR R 2

R 2R

p

⋅−⋅

+−=σ

−=σ

8.5-20

Şi pentru vasul sferic solicitat numai la presiune exterioar ă, tensiunea maximă se produce tot la suprafaţa interioar ă. Pentru acest caz, condiţia de rezistenţă după teoria a III-a, este de forma:

( )3

ea

aiea3

i3e

e3e

p32

2R R

R R 2

pR 3

−σ

σ⋅=⇒σ≤

−⋅8.5-21

În cazul bilei pline ( Ri = 0) , se obţine pentru toate punctele

etr p−=σ=σ 8.5-22

iar dacă Ri → 0 la r = Ri datorită efectului de concentrare, se obţine:

et p5,1−=σ 8.5-23

233




9. SOLICITĂRI PESTE LIMITA DE ELASTICITATE


Diagrama caracteristică la întindere a unui material, caracterizează proprietăţile acelui material la solicitarea de întindere. Această curbă este însă una convenţională. Dacă pentru încărcări mici aria secţiunii transversale aepruvetei r ămâne practic constantă, la atingerea limitei de curgere, micşorareaacestei arii devine sensibilă. La început, contracţia transversală este uniformă peîntreaga lungime a epruvetei, iar dup

ăce rezisten

ţa la rupere este dep

ăşită,

contracţia transversală este accentuată şi capătă un caracter local. De aici rezultă că după atingerea limitei de curgere, ordonatele diagramei caracteristice suntmărimi convenţionale, deoarece for ţa din timpul solicitării s-a raportat la ariainiţială a secţiunii A

0 şi nu la cea reală. Atâta timp cât tensiunea nu depăşeşte

rezistenţa la rupere, alungirea materialului depinde exclusiv da natura acestuia.Dar, după producerea gâtuirii, alungirea depinde şi de raportul dintredimensiunile epruvetei (lungime şi diametru) şi astfel alungirea nu maiconstituie o caracteristică numai de material. Din aceste considerente, pentruobţinerea unei reprezentări grafice care să caracterizeze mai fidel proprietăţilematerialului, se trasează aşa numita diagramă caracteristică real ă la întindere.Aceasta ilustrează relaţia dintre tensiune şi deformaţiile din secţiunea epruveteiîn care se produce ruperea.

Pentru trasarea diagramei reale la întindere, este necesar să se noteze ladiferite momente ale solicitării, valoarea for ţei care întinde epruveta şi în acelaşitimp să se măsoare dimensiunile transversale ale epruvetei în por ţiunea cea maiîngustă. Cu aceste dimensiuni se calculează aria secţiunii reale a epruvetei

pentru fiecare moment în care se fac măsur ătorile.Coordonatele unui punct al diagramei reale se determină cu relaţiile:

- pentru abscisă:

0

t0t A

AA −=ψ 9.1-1

- pentru ordonată:

t

treal

A

F=σ 9.1-2

unde:

234




A0

- aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei At - aria minimă a secţiunii transversale a epruvetei în acel moment F

t - valoarea for ţei de întindere din momentul considerat.

În Fig.9.1-1 se prezintă forma diagramei reale la întindere pentru o epruvetă

realizată din oţel pentru şinele de cale ferată.

Ψt

800

600

200400

0,40,2

σreal

[MPa]

A

Fig.9.1-1

După cum se poate constata, în momentul ruperii, tensiunea calculată pe baza ariei reale a secţiunii, este mai mare decât cea calculată prin procedeulobişnuit. Punctul A, corespunde atingerii sarcinii maxime din timpul încercării.

Deoarece sarcina maximă la care rezistă epruveta nu corespundemomentului ruperii ci unui moment anterior, în calcule se utilizează tensiuneacorespunzătoare sarcinii maxime şi nu tensiunea reală maximă, care de fapt

corespunde momentului ruperii epruvetei.Diagrama caracteristică reală, permite stabilirea unor caracteristicimecanice noi pentru materialul respectiv.

Ordonatele diagramei caracteristice reale, caracterizează proprietăţilematerialului de a rezista la deformaţia plastică.

Pentru a mări deformaţia plastică (permanentă, remanentă), materialultrebuie supus la tensiuni tot mai mari. Pe măsur ă ce deformaţia plastică creşte,materialul îi opune o rezistenţă din ce în ce mai mare. Acest fenomen poartă numele de consolidare, ecruisare sau înt ărire. Proprietatea materialului de a seecruisa este caracterizată prin panta diagramei reale. Tensiunea pentru punctul

A, (Fig.9.1-1), corespunzător atingerii sarcinii maxime, se numeşte rezisten ţă

real ă de rupere, iar tensiunea punctului de la extremitatea curbei reale, senumeşte rezisten ţ a în momentul ruperii. Abscisele diagramei realecaracterizează proprietatea materialului de a se deforma plastic, exprimândaceasta în funcţie de contracţia specifică. Această contracţie până în punctul A,

poate fi considerată uniformă pe întreaga lungime a epruvetei, numindu-secontrac ţ ie uniformă şi caracterizează proprietatea materialului de a se deformaîn ansamblu. Diferenţa dintre contrac ţ ia total ă şi cea uniformă se numeştecontrac ţ ie local ă şi caracterizează proprietatea materialului de a suferi

deformaţii locale (gâtuiri). Diagramele caracteristice reale au totuşi uneledezavantaje. Spre exemplu, în cazul deformaţiilor mari, la calculul lungirii sau

235




contracţiei transversale specifice a epruvetei, nu mai poate fi neglijat faptul că dimensiunile iniţiale ale epruvetei la care se raportează de obicei creşterealungimii sau variaţia secţiunii, au variat considerabil în timpul deformării. Dinacest motiv, drept caracteristici ale deformaţiilor plastice mari se introduc aşa

numitele contrac ţ ii transversale şi alungiri reale. Alungirea reală A şi contracţia transversală reală Ψ raportate la lungirea şila aria reală a secţiunii epruvetei corespunzătoare unui moment dat al încercării,

pot fi calculate cu ajutorul relaţiilor:

∫ ==t

0

l

l 0

t

l

lln

l

dlA 9.1-3

∫ ==Ψ

0

t

A

A t

0AAlnAdA 9.1-4

Deoarece în cazul deformaţiei plastice a corpului, volumul acestuia poatefi considerat constant, V = ct., rezultă:

0dlAdAldV =⋅+⋅= 9.1-5

de unde:

ψ−=⇒= AA

dA

l

dl9.1-6

ceea ce înseamnă că cele două caracteristici diferite ale deformaţiei, (alungireareală şi contracţia transversală reală) sunt egale între ele, dar de sens opus.

Forma diagramei caracteristice reale depinde de: natura materialului temperatura de încercare viteza de deformare starea de tensiune.

Natura materialului (oţel, aluminiu, cupru), are influenţă asupra valoriiabsolute a ordonatelor diagramei şi asupra pantei acesteia, adică tocmai asupracapacităţii de ecruisare a materialului.

Temperatura de încercare a epruvetei are o mare influenţă asupra valoriirezistenţei la deformare plastică. Cu creşterea temperaturii, această rezistenţă scade.

Creşterea vitezei de deformare, măreşte rezistenţa la deformaţii plastice.

Diagramele caracteristice la întindere au panta cu atât mai mare cu cât creşteviteza de deformaţie.

236




Toate stările de tensiune în care tensiunile tangenţiale sunt mici,corespund unor valori ridicate ale rezistenţei la deformare plastică. Astfel,întinderea şi compresiunea uniformă după toate direcţiile, atât teoretic cât şiexperimental, exclud posibilitatea producerii unor astfel de deformaţii. La stări

de tensiune apropiate de întindere-compresiune uniformă după toate direcţiile,deformaţiile plastice se produc numai atunci când valorile tensiunilor principalesunt foarte mari.

Trecerile bruşte de la o secţiune la alta (crestăturile, variaţia formei piesei,etc.) creează un câmp de tensiune caracterizat de obicei prin trei tensiuninormale principale de acelaşi semn. Un astfel de câmp de tensiune poate măriîntr-o măsur ă foarte mare rezistenţa materialului la deformaţiile plastice din

jurul acestora.Rezistenţa la deformare plastică, studiată pe baza rezultatelor încercărilor

la întindere este cea mai r ăspândită. Totuşi, datele privitoare la rezistenţa ladeformare plastică, obţinute pe această cale, sunt insuficient de exacte, chiar dinmomentul producerii gâtuirii.

Distribuţia deformaţiilor şi a tensiunilor în gâtuitur ă devine foarteneuniformă, motiv pentru care orice caracteristică a deformaţiei poate ficonsiderată numai convenţional drept caracteristică obţinută într-o staremonoaxială de tensiune. Aceasta reduce considerabil valoarea rezultatelor încercărilor la întindere simplă.

Deoarece în cazul încercărilor la r ăsucire, deformaţia unor materiale chiar foarte plastice, r ămâne îndeajuns de uniformă pe întreaga lungime a epruvetei(f ăr ă a se produce gâtuirea) până în momentul ruperii, se fac încercări la r ăsucire

pentru obţinerea diagramelor reale la deformaţie plastică. Aceste diagrame realese construiesc în raport cu următoarele coordonate (Fig.9.1-2):

γmax

γ

τmax

τ

Fig.9.1-2

- ordonată: tensiunea tangen ţ ial ă real ă maximă

237




2minmax

max

σ−σ=τ 9.1-7

- abscisă: lunecarea maximă

minmaxmax ε−ε=γ 9.1-8

Şi acest procedeu de obţinere a diagramelor caracteristice reale are uneledezavantaje. Astfel, la r ăsucirea epruvetelor de secţiune plină este greu să se ţină seama de influenţa zonei centrale a barei care se deformează elastic iar lar ăsucirea epruvetelor tubulare, rezultatele încercărilor pot fi modificate datorită

pierderii stabilităţii.

9.2 SCHEMATIZAREA DIAGRAMELOR CARACTERISTICE

Pentru calculele peste limita de elasticitate (în domeniul elasto-plastic),este necesar ca diagramele caracteristice să fie schematizate, adică aduse la

forme care să fie cât mai apropiate de cele reale şi care să permită un calcul câtmai simplu.În acest sens, mai întâi se trasează diagrama caracteristică convenţională

la întindere a materialului, după care se adoptă o curbă caracteristică schematizată care are pe toate por ţiunile expresii analitice cât mai simple.Pe baza diagramelor schematizate, calculul de rezistenţă se poate face prin:metode analitice, grafo-analitice sau grafice.

Schematizarea diagramelor caracteristice poate fi f ăcută prin: linii drepte

linii curbe continue În cazul materialelor care în domeniul elastic satisfac legea lui Hooke

(diagrama caracteristică prezintă o por ţiune rectilinie) se utilizează schematizarea prin linii drepte. Pentru un calcul mai simplu se consider ă că limita de propor ţionalitate a materialului coincide cu limita de curgere.

Schematizarea printr-o linie curbă se utilizează în cazul materialelor carenu ascultă de legea lui Hooke.

În Fig.9.2-1 se prezintă o schematizare prin linii drepte a diagrameicaracteristice. Pentru materialele care satisfac legea lui Hooke, în zonadeformaţiilor liniar elastice, se consider ă că tensiunea normală creşte

238




propor ţional cu alungirea. În zona deformaţiilor plastice, schematizarea depindede forma diagramei reale şi de mărimea por ţiunii care trebuie schematizată.

εc

β0

σ = E ε

β1

σ = σc+E p⋅(ε - εc)

σc

σ

ε

Fig.9.2-1

De cele mai multe ori, diagrama caracteristică se schematizează prin două drepte a căror ecuaţii sunt:

c0 pentruE ε<ε<ε⋅=σ 9.2-1

( ) cc pc pentruE ε>εε−ε⋅+σ=σ 9.2-2

unde:εc - alungirea corespunz ătoare limitei de curgere

E p = tg β 1 - modul de plasticitate, egal cu panta dreptei adoptat e E = tg β 0 - modul de elasticitate longitudinal ini ţ ial .

Se poate constata că E p < E. Ţinând seama că:

cc E ε⋅=σ 9.2-3

relaţia pentru schematizarea zonei plastice devine:

ε⋅+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅σ=σ p

pc E

E

E1 9.2-4

Modul de schematizare prezentat, se utilizează pentru materiale care nu aulimită de curgere pronunţată sau prezintă un palier de curgere scurt.

Materialele a căror diagramă caracteristică poate fi schematizată ca înFig.9.2-1 se numesc materiale elasto - plastice.

239




Din diagrama prezentată în Fig.9.2-1, rezultă cazuri particulare deschematizare ale diagramelor caracteristice:

a) Dacă deformaţiile elastice sunt neglijabile în comparaţie cu cele plastice, curba caracteristică poate fi schematizată printr-o singur ă linie dreaptă

înclinată (Fig.9.2-2), de ecuaţie:

ε⋅+σ=σ pc E 9.2-5

Un astfel de material este considerat rigid până la limita de curgere, iar apoi plastic. Aceste materiale sunt numite rigido-plastice.

b) Dacă palierul de curgere are lungime mare, zona deformaţiilor plastice poate fi schematizată printr-o linie orizontală ( E p = 0), de ecuaţie (Fig.9.2-3):

cσ=σ 9.2-6

Această diagramă este de tip Prandtl şi este destul de exactă în cazuloţelurilor cu un conţinut mic de carbon şi al aluminiului.

ε

β1σc σc

σ = σc

σ = E⋅ε

ε β0

σ = σc +E p ⋅ ε

εc

σσ

Fig.9.2-2 Fig.9.2-3

Diagrama de tip Prandtl contribuie la o mare simplificare a calculelor în

acest domeniu. Diagrama corespunde materialelor care nu se ecruisează după depăşirea limitei de curgere, iar pentru calcule lungimea dreptei orizontale nueste limitată. Materialele care corespund unei astfel de schematizări suntmateriale ideal elasto - plastice.

c) Sunt situaţii când deformaţiile elastice pot fi neglijate faţă de cele plastice. În acest caz diagrama caracteristică se poate schematiza printr-osingur ă dreaptă orizontală (Fig.9.2-4), ce corespunde limitei de curgere. Unastfel de material este ideal plastic.

După cum s-a mai afirmat, există materiale a căror comportare nu satisfac

legea lui Hooke şi a căror curbă caracteristică este o curbă continuă începută

240




încă din originea sistemului de coordonate, (Fig.9.2-5). Aceasta poate fiasimilată cu aproximaţie, cu o curbă continuă de ecuaţie:

n

n

E E 00

⋅ε=σ⇒σ

=ε9.2-7

unde:n şi E

0- constante care se determină astfel ca funcţia adoptată să

reprezinte o curbă cât mai apropiată de cea reală, determinată experimental.

ε ε

σ = σcσc

ε2ε1

σ2

σ1

σσ

Fig.9.2-4 Fig.9.2-5

Introducând în relaţia 9.2-7 perechile de valori (ε1, σ1) şi (ε2, σ2) rezultă valorile constantelor n şi E

0:

1

2

1

2

log

log

n

σ

σε

ε

= 9.2-8

1

n10E

εσ= 9.2-9

Aceste relaţii, cu referire la starea liniar ă de tensiune, între tensiuneanormală şi alungire sunt valabile şi pentru starea de forfecare pur ă, adică întretensiunea tangenţială şi lunecarea specifică.

241




9.3 CALCULUL ÎN DOMENIUL ELASTO - PLASTIC

Calculele de rezistenţa materialelor presupun că materialul elementului

calculat satisface în întregime legea lui Hooke, adică tensiunile sunt propor ţionale cu deformaţiile specifice produse. De asemenea deformaţiile suntconsiderate elastice şi tensiunile mai mici decât tensiunea corespunzătoarelimitei de elasticitate a materialului.

În practică se întâlnesc destule cazuri la care legea lui Hooke nu mai estevalabilă, fie datorită depăşirii limitei de propor ţionalitate a materialului prinsolicitarea produsă, fie necomportării liniar elastice a acestuia. Din primacategorie fac parte unele procese tehnologice care produc deformaţii permanentemari, ca: forjarea, ambutisarea, laminarea, matriţarea etc. În aceste cazuri,deformaţiile plastice fiind mari în comparaţie cu cele elastice şi ruperea producându-se mult după depăşirea limitei de curgere, materialul trebuie să prezinte proprietăţi plastice foarte bune.

Din cea de a doua categorie, fac parte acele materiale a căror curbă caracteristică la tracţiune, nu prezintă nici o por ţiune rectilinie. La materialele cucomportare neliniar ă, principiul suprapunerii efectelor, valabil în domeniulelastic, nu mai poate fi aplicat odată cu depăşirea limitei de elasticitate. În cazuldeformaţiilor plastice, atunci când limita de elasticitate este depăşită, stareafinală de solicitare depinde de ordinea aplicării sarcinilor.

La operaţiile tehnologice de laminare, forjare, matriţare etc., deformaţiile

corpului sunt mari în comparaţie cu dimensiunile iniţiale ale acestuia şi caurmare, nu mai poate fi aplicată nici ipoteza micilor deformaţii, atât de utilă îndomeniul comportării liniar elastice.

Şi în domeniul nevalabilităţii legii lui Hooke, se pot stabili relaţii decalcul pentru corpurile solicitate.

Să presupunem că pentru un material dat, se cunoaşte diagramatensiunilor reale obţinută pe cale experimentală în urma solicitării de întindere(Fig.9.3-1).

Pentru ε > εc relaţia dintre tensiuni şi deformaţii specifice este complicată

şi neliniar ă.Sub forma ei generală, această legătur ă poate fi exprimată printr-o relaţie

de forma:

( )εΦ=σ 9.3-1

sau

9.3-2ε⋅=σ 1E

unde

242




β= tgE1 9.3-3

Coeficientul E 1 numit modul de elasticitate echivalent are pentru fiecare punct al curbei caracteristice, o altă valoare.

Oε

B

A

α

σiC

σ

ε

Fig.9.3-1

Din Fig.9.3-1 rezultă că:

i

itg

ε

σ=β 9.3-4

de unde

( )( )εΨ=

εεΦ

=1E 9.3-5

adică, E 1 este o funcţie de deformaţie cunoscută, deoarece curba caracteristică

este cunoscută.Astfel, pentru deformaţii mai mari decât cele corespunzătoare limitei de

elasticitate, legea deformaţiilor poate fi exprimată prin relaţia:

9.3-6ε⋅=σ 1i E

Acceptând o analogie cu comportarea elastică a materialului peste limitade elasticitate, relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice pot fi scrise subforma:

( mx

1

mx 1

E

ε−ε⋅ )ν+=σ−σ 9.3-7a

243




( my1

my 1

Eε−ε⋅

ν+=σ−σ ) 9.3-7b

( mz

1

mz 1

E

ε−ε⋅ν+=σ−σ ) 9.3-7c

zx1zxyz1yzxy1xy G;G;G γ⋅=τγ⋅=τγ⋅=τ 9.3-7d

unde:

( )ν+⋅=

12

EG 1

1 - modul de elasticitate transversal echivalent 9.3-8

3zyx

m

σ+σ+σ=σ - tensiune medie 9.3-9

3zyx

m

ε+ε+ε=ε - alungire medie 9.3-10

iar,

mm 21 E ε⋅ν−=σ 9.3-11

Deoarece în domeniul deformaţiilor plastice, volumul materialului nu semodifică (V = ct.), se poate considera coeficientul lui Poisson, ν = 0,5, de unde:

3

EG 1

1 = 9.3-12

sau ţinând seama de relaţia (9.3-6), relaţia (9.3-12) devine:

i

i1 3

Gε⋅

σ= 9.3-13

Înlocuind relaţia (9.3-13) în relaţiile (9.3-7), rezultă următoarea formă arelaţiilor dintre tensiuni şi deformaţii specifice în domeniul deformaţiilor

plastice:

( )mxi

imx 3

2

ε−ε⋅ε⋅

σ⋅

=σ−σ 9.3-14a

244




( )myi

imy 3

2ε−ε⋅

ε⋅σ⋅

=σ−σ 9.3-14b

( )mz

i

imz 3

2ε−ε⋅

ε⋅σ⋅

=σ−σ 9.3-14c

zxi

izxyz

i

iyzxy

i

ixy 3

;3

;3

γ⋅ε⋅

σ=τγ⋅

ε⋅σ

=τγ⋅ε⋅

σ=τ 9.3-14d

unde:

( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxi 6

2

2τ+τ+τ⋅+σ−σ+σ−σ+σ−σ⋅=σ

( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxi 6

22 γ+γ+γ⋅+ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅=ε

Dacă în Fig.9.3-1 por ţiunea dreaptă iniţială a diagramei caracteristice se prelungeşte până la intersecţia cu verticala care trece prin punctul în caretensiunea este σi se poate scrie:

ACtgii −α⋅ε=σ 9.3-15

Segmentul AC depinde de εi şi în general creşte cu creşterea acesteideformaţii.

Să presupunem că relaţia dintre segmentul AC şi εinu este cunoscută:

9.3-16( )iAC εϕ=

În acest caz, ştiind că E = tg α relaţia 9.3-15 poate fi scrisă astfel:

( )iii E εϕ−ε⋅=σ 9.3-17a

sau,

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ε⋅

εϕ−⋅ε⋅=σ

i

iii E

1E 9.3-17b

Notând( )

( )i

i

i

E

εω=

ε⋅

εϕ

245




relaţia 9.3-17b se poate scrie sub forma:

( )[ ]iii 1E εω−⋅ε⋅=σ 9.3-17c

unde funcţia ω(εi) este definită astfel:

( )

( )( )

eii

ii

eii

pentruE

pentru0

ε>εε⋅

εϕ=εω

ε<ε=εω

Comparând relaţia 9.3-17c cu relaţia 9.3-6, rezultă expresia pentrumodulul de elasticitate echivalent:

( )[ ]

( ω−⋅=⇒ )

εω−⋅=

1EE

1EE

1

i19.3-17d

La fel se poate deduce relaţia pentru modulul de elasticitate transversalechivalent G

1:

( )ω−⋅= 1GG 1 9.3-17e

Dacă curba caracteristică la tracţiune (Fig.9.3-1) se aproximează prindouă linii drepte oblice (Fig.9.3-2), pentru ε

i > εe= ε

crezultă:

( ) ccii EtgEDBCDABAC ε⋅−β⋅ε−ε−ε⋅=−−= 9.3-18

εi

σc

A

B

Fig.9.3-2

D

C β

α

εe

σi

Notând E 1

= tg β (modul de întărire) şi λ = (E - E 1

) / E (parametrulîntăririi), rezultă:

246




( )iii

c E1AC εϕ=ε⋅⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε

ε−⋅λ= 9.3-19

sau ţinând seama de expresia lui ω(εi), rezultă:

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε

ε−⋅λ=

ε⋅=εω

i

c

ii 1

E

AC9.3-20

Pentru cazul diagramei din Fig.9.3-2, relaţia 9.3-17a care exprimă valoarea tensiunii σ

i la o deformaţie momentană ε

idevine:

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ ⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ εε−⋅λ−⋅ε⋅=σ

i

cii 11E 9.3-21

În acest caz funcţia ω(εi), (relaţia 9.3-20) se defineşte astfel:

( )

( ) cii

ci

cii

pentru1

pentru0

ε>ε⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε

ε−⋅λ=εω

ε<ε=εω

Pentru anumite materiale, funcţia Φ(εi) poate fi aproximată uneori cu

ajutorul unei relaţii de forma:

m

c

ici ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε

ε⋅σ=σ 9.3-22

unde,

0 < m < 1.O curbă caracteristică exprimată prin relaţia 9.3-22 arată ca cea din Figura

9.3-3.Pentru m = 1, materialul are o comportare ideal elastică (valabilă legea

lui Hooke) iar pentru m = 0, materialul are o comportare ideal plastică.Din cercetarea experimentală rezultă şi alte variante de diagrame

caracteristice, exprimate prin alte forme ale funcţiei Φ(εi). Astfel, dacă în

diagrama caracteristică se ţine seama de trecerea lină (curbilinie) de la prima por ţiune rectilinie (elastică) la por ţiunea a treia (rectilinie-por ţiunea

corespunzătoare întăririi), f ăcând racordarea por ţiunilor amintite după o parabolă de gradul n (Fig.9.3-4), rezultă:

247




ε ε

σ p

σc

σσ

α1

α2

α

σc

εc

ε p

Fig.9.3-3

Fig.9.3-4

( ) ( )( )

( ) 1121 −ε−ε

ε−ε⋅−−ε−ε⋅−σ=σ

n pc

nic

icci E E E 9.3-23

unde,

12

12211 EE

EEn;tgE;tgE;tgE−

−=α=α=α= 9.3-24

9.4 CRITERII DE PLASTICITATE

Un criteriu de plasticitate exprimă o ipoteză cu privire la limitacomportării elastice a unui element de rezistenţă sub orice combinaţie posibilă de tensiuni. S-a constatat că o presiune hidrostatică σ

mnu modifică starea unui

corp în ceea ce priveşte comportarea sa plastică. Într-un punct sau într-un anumitdomeniu, starea de tensiune este caracterizată prin tensiunile principale σ

1, σ

2,

σ3, care conduc la acelaşi comportament plastic. Rezultă atunci că un criteriu de

plasticitate trebuie să fie exprimat printr-o funcţie de forma:

( 0,,f 133221 =σ−σσ−σσ−σ ) 9.4-1

248




Această funcţie r ămâne invariabilă şi dacă tensiunile normale principale seînlocuiesc cu:

m3m2m1 ;; σ+σσ+σσ+σ 9.4-2

Dacă σ1 > σ2 > σ3, funcţia 9.4-1 în forma ei cea mai simplă este:

.ct31 =σ−σ 9.4-3

Criteriul de plasticitate, definit prin relaţia 9.4-3 este cunoscut sub numelede criteriul Tresca. După cum se observă, acest criteriu face abstracţie detensiunea principală σ

2.

Huber şi von Mises, propun pentru criteriul de plasticitate o relaţie în careintervine şi tensiunea normală principală σ2, relaţie de forma:

( ) ( ) ( ) .ct213

232

221 =σ−σ+σ−σ+σ−σ 9.4-4

Pentru a se putea aplica relaţiile 9.4-3 şi 9.4-4, trebuie determinateconstantele care intervin în aceste relaţii.

În cazul solicitării simple de întindere, când σ1

= σc

; σ2

= σ3

= 0 , rezultă

că cele două constante sunt egale cu σc, respectiv 2σ

c

2.

Pentru solicitarea de r ăsucire, când σ1

= τc; σ

2= 0; σ

3= -τ

cconstantele

sunt egale cu 2τc , respectiv 6 τ

c

2.

Rezultă că cele două criterii de plasticitate pot fi scrise sub forma:

cc31 2 τ=σ=σ−σ 9.4-5a

( ) ( ) ( ) 2c

2c

213

232

221 62 τ=σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ 9.4-5b

După cum se poate observa, între σc şi τ

cpentru cele două criterii se stabilesc

următoarele relaţii: criteriul Tresca

CCc 5,02

1σ⋅=σ⋅=τ 9.4-6a

criteriul von Mises

CCc 577,03

3σ⋅=σ⋅=τ 9.4-6b

249




Aceste relaţii nu conduc la acelaşi rezultat, între ele existând o mică diferenţă.Cercetările experimentale au ar ătat că în general, la metale, criteriul von Miseseste mai apropiat de realitate.

9.5. SOLICITĂRI SIMPLE ÎN DOMENIUL ELASTO - PLASTIC

9.5.1 Tracţiunea sau compresiunea în domeniul elasto – plastic

Fie o bar ă dreaptă de lungime l şi aria secţiunii transversale constantă A,solicitată de o for ţă axială N .

Tensiunea normală din secţiunea barei, este dată de relaţia cunoscută:

A N=σ 9.5.1-1

Această valoare este valabilă chiar şi în domeniul elasto - plastic, deoarece estevalabilă ipoteza lui Bernoulli. Alungirea ε se obţine din diagrama caracteristică amaterialului pentru tensiunea normală σ, iar lungirea totală este Δ l =ε l.

Dacă se foloseşte o schematizare a curbei caracteristice prin două drepte(Fig.9.2-1), lungirea peste limita de curgere calculată cu relaţia 9.2-4, devine:

pc

c

p

cc E

l

A

N

E

ll

El ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−+⋅σ

=⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ+ε=Δ 9.5.1-2

Dacă se neglijează deformaţia elastică ( E → ∞), conform Fig.9.2-2, seobţine:

pc E

l

A

Nl ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−=Δ 9.5.1-3

iar dacă se neglijează modulul de elasticitate, ( E p → 0), conform Fig.9.2-4,lungirea plastică devine nedefinită, adică ea creşte dacă for ţa aplicată cecorespunde limitei de curgere σc se menţine constantă.

În cazul schematizării printr-o curbă continuă de ecuaţie 9.2-7, conformFig.9.2-5, lungirea totală este:

o

n

n

EA

l Nl

⋅

⋅=Δ 9.5.1-4

250




9.5.2 Încovoierea barelor drepte în domeniul elasto - plastic

Se consider ă o por ţiune dintr-o bar ă dreaptă solicitată la încovoiere plană pur ă (Fig.9.5.2-1).

Pentru simplificarea raţionamentului s-a ales o bar ă de secţiunedreptunghiular ă, iar materialul barei admite o curbă caracteristică decompresiune identică cu cea de la tracţiune. Momentul încovoietor M i aplicat

barei are o valoare suficient de mare ( M i >σ

c ⋅ W z ) pentru a produce în secţiune

şi deformaţii plastice.

A2

A1

Mi Mi

dA

ydyσ dA

yσ dA

dϕ

ρ

ε dxdx

Fig.9.5.2-1

Şi în domeniul deformaţiilor plastice, fiind valabilă ipoteza lui Bernoulli,alungirea în lungul unei fibre situată la distanţa y de axa neutr ă, poate fiexprimată în funcţie de raza de curbur ă ρ a fibrei medii deformate:

ρ=ε

y9.5.2-1

Acestor alungiri le corespund tensiuni normale orientate perpendicular pe

secţiune. Relaţia dintre alungire şi tensiunea normală este impusă de curbacaracteristică a materialului. Ţinând seama de relaţia 9.5.2-1, se obţine:

( )yf 1

⋅ρ

=σ 9.5.2-2

Relaţia 9.5.2-2, arată că tensiunile normale produse la încovoiere suntrepartizate faţă de axa neutr ă pe înălţimea secţiunii după o lege asemănătoare cucea exprimată de curba caracteristică a materialului.

Poziţia axei neutre se poate obţine din relaţia de echivalenţă a proiecţiilor efortului axial pe axa longitudinală a barei :

251




9.5.2-3∫ =⋅σ=A

0dA N

De asemenea, se poate scrie:

9.5.2-4∫ ⋅⋅σ=A

iz dAyM

Dacă se cunoaşte curba caracteristică a materialului şi forma secţiunii

transversale a barei, integrala din relaţiile 9.5.2-3 şi 9.5.2-4 se poate calcularelativ uşor.

Să consider ăm acum că materialul barei este ideal elasto - plastic, adică un material a cărui diagramă caracteristică este ca cea din Fig.9.2-3 . Pentru σ <σ

c, materialul are o comportare elastică, iar când σ = σ

c, materialul are

proprietăţi ideal plastice.Se pot distinge mai multe stadii: Stadiul elastic se caracterizează printr-o variaţie liniar ă a tensiunilor normale

pe secţiune (Fig.9.5.2-2a). Tensiunea maximă se poate calcula cu relaţia:

z

iz

max W

M

=σ 9.5.2-5

b

y1

y1

Zonă solicitată

yc

yc

y

σc σc σc

-σc -σc -σc

σ

-σmax

σmax

Mi

h1 h

plastic

Zonă solicitată elastic

c) d) b)a)

Fig.9.5.2-2

Stadiul elastic la limit ă, când tensiunea normală maximă atinge valoareatensiunii de curgere σ

c(Fig.9.5.2-2b). Relaţia pentru tensiunea maximă,

r ămâne valabilă dar egală cu tensiunea de curgere (σmax

= σc

). În acest

stadiu, momentul încovoietor capabil al secţiunii, este:

252




czic WM σ⋅= 9.5.2-6

Stadiul elasto - plastic, când secţiunea prezintă o zonă deformată elastic

(sâmbure elastic) în care tensiunea normală variază liniar şi două zone plastice în care tensiunea normală este constantă şi egală cu tensiunea decurgere σ

c şi cu -σ

cîn zona comprimată (Fig.9.5.2-2c). Relaţia lui Navier nu

mai poate fi aplicată, iar axa neutr ă nu trece prin centrul de greutate, decâtdacă ea este şi axă de simetrie a secţiunii. Zona plastică apare mai întâi în

punctele cele mai îndepărtate de axa neutr ă a secţiunii şi ea se deplasează spre axa neutr ă odată cu creşterea momentului încovoietor. Pentru o valoarea momentului încovoietor M

L , toată secţiunea este deformată plastic

(Fig.9.5.2-2d).

În stadiul elasto - plastic, când M ic< M i < M L , pe baza relaţiilor 9.2-1; 9.2-2;9.2-3; 9.5.2-1, tensiunile normale se pot exprima astfel :

pentru zona elastică:

ccy

yyEσ⋅=

ρ⋅

=σ 9.5.2-7a

pentru zona plastică:

cσ=σ 9.5.2-7b

la separarea zonei elastice de cea plastică:

ρ

⋅=σ=σ c

c

yE9.5.2-8

de unde rezultă raza de curbur ă a fibrei medii deformate:

c

cyE

σ

⋅=ρ 9.5.2-9

Ţinând seama de relaţiile 9.5.2-7a şi 9.5.2-7b, relaţia 9.5.2-3 se poate scrieastfel:

∫∫∫ =σ+σ⋅+σ−−

−

−

1

c

c

c

c

1

y

y

c

y

y

cc

y

y

c 0dAdAy

ydA 9.5.2-10

sau:

253




∫∫∫ =σ+σ

+σ−−

−

−

1

c

c

c

c

1

y

y

c

y

yc

c

y

y

c 0dAdAyy

dA

∫∫∫−−

=++c

c

1

c

c

1

y

y

y

y c

y

y

0dAyy1dAdA

01

=⋅++− ec

ip sp S y

A A

0=++−⋅ eip spc S A A y 9.5.2-11

unde: A sp

- aria suprafeţei superioare deformată plasticA

ip - aria suprafeţei inferioare deformată plastic

S e

- momentul static faţă de axa neutr ă al zonei centrale deformată elastic.Dacă secţiunea este solicitată numai plastic (Se = 0), rezultă:

9.5.2-12isp AA =

adică, aria suprafeţei întinse prin încovoiere este egală cu aria suprafeţeicomprimate.Procedând analog, relaţia 9.5.2-4 devine:

∫∫∫ ≠σ+σ⋅+σ−=−

−

−

1

1

0 y

y

c

y

y

cc

y

y

ci

c

c

c

c

dA ydA y y

ydA y M 9.5.2-13a

sau:

) peci SWM +⋅σ= 9.5.2-13b

unde:

∫−

=c

c

y

y

2

ce dAy

y

1W - modulul de rezistenţă al zonei elastice, calculat faţă

de axa neutr ă

- suma valorilor absolute ale momentelor statice

ale zonelor plastice, calculate faţă de axa neutr ă.

∫∫−

−

+−=1

c

c

1

y

y

y

y

p dAydAyS

254




Stadiul plastic, când întreaga secţiune se află deformată plastic. În acest caz,în zona întinsă, tensiunea normală σ este egală cu σc

iar în zona

comprimată, σ = -σc(Fig.9.5.2-2d).

Din relaţia 9.5.2-13, punând condiţia ca W e = 0, rezultă:

pcL SM ⋅σ= 9.5.2-14

În acest stadiu, secţiunea nu mai poate prelua nici o creştere de momentîncovoietor, ea epuizându-şi întreaga sa capacitate de rezistenţă. Secţiunealucrează ca o articulaţie (articulaţie plastică).

Aplicaţie

S ă consider ăm cazul barei drepte din figura de mai jos, de sec ţ iunedreptunghiular ă cu dimensiunile h şi b, solicitat ă la încovoiere.

h1

b

Zonă solicitată elastic

Zonă solicitată plastic

h

Rezultă :

6

h bW;

6

h bW

21

e

2

z == 9.5.2-15a

( )c1

21

2

p y2h;

4

hh bS =

−⋅= 9.5.2-15b

În cele trei stadii, momentele încovoietoare sunt: stadiul elastic la limit ă:

c

2

max

2

ic 6

h b

6

h bM σ⋅=σ⋅= 9.5.2-16

stadiul elasto-plastic:

255




( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅+⋅σ=

4

hh b

6

h bM

21

221

ci 9.5.2-17

stadiul plastic:

c

2

L 4

h bM σ⋅= 9.5.2-18

Se poate constata uşor că:

5,146

6

h b4

h b

MM

c

2

c

2

ic

L ==σ⋅

σ⋅

= 9.5.2-19

sau,

icL M5,1M ⋅= 9.5.2-20

adică, în cazul articulaţiei plastice se obţine un spor de capacitate de 50% faţă de

cazul când tensiunea maximă este egală cu cea de curgere (σmax = σc ).

9.5.3 Tensiuni şi deformaţii remanente la încovoierea în domeniulelasto – plastic

Se consider ă stadiul elasto - plastic pentru o secţiune solicitată laîncovoiere simplă (Fig.9.5.3-1a).

Dacă se presupune că momentul încovoietor dat de relaţia 9.5.2-17

încetează să mai acţioneze asupra secţiunii, tensiunile nu vor mai tinde cătrezero. Din cauza depăşirii limitei de curgere a materialului, vor r ămâne pesecţiune, tensiuni şi deformaţii diferite de zero. Aceste tensiuni şi deformaţii, senumesc tensiuni remanente respectiv, deforma ţ ii remanente (sau permanente).Este cunoscut faptul, că descărcarea unei epruvete solicitată la tracţiune pestelimita de elasticitate, se realizează liniar cu un modul de elasticitate longitudinal

E , egal cu cel de la încărcare, iar epruveta prezintă după descărcare o alungireremanentă ε

0. Analiza fenomenului de încărcare şi descărcare, permite

determinarea tensiunilor şi deformaţiilor remanente. La încărcarea grinzii peste

limita de curgere este necesar un moment încovoietor M i (Fig.9.5.3-1a):

256




( ) peci SWM +⋅σ= 9.5.3-1

Peste această stare se aplică pentru descărcare, un moment egal şi de sens

contrar, sub acţiunea căruia grinda se comportă elastic, producându-se tensiuneamaximă σ

0(Fig.9.5.3-1b):

z0i WM ⋅σ= 9.5.3-2

σ2

h1

σ

σ

σ0

σ0

σc

σc σ1

σ1

σ2

yc=h1/2

yc=h1/2

a) b) c)

Fig.9.5.3-1

h

Egalând relaţiile 9.5.3-1 şi 9.5.3-2, rezultă:

( ) z0 pec WSW σ=+⋅σ 9.5.3-3a

de unde:

cc

z

pe

W

S W σ>σ⋅

+=σ 0 9.5.3-3b

Tensiunile remanente rezultă ca diferenţa dintre tensiunea produsă laîncărcare şi cea produsă la descărcare.

Astfel:

cz

pe0c1 W

SW1 σ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=σ−σ=σ 9.5.3-4a

cz

pec0ccc2 W

SW

hy21hy2 σ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

+⋅−=σ⋅−σ=σ−σ=σ 9.5.3-4b

257




Procedând asemănător şi utilizând relaţia 9.5.2-4 se poate determina şiraza de curbur ă remanentă. Raza de curbur ă pentru starea elasto - plastică este :

c

c p yE

σ=ρ 9.5.3-5

iar pentru starea elastică:

iz

ze M

IE=ρ 9.5.3-6

unde: EI z - rigiditatea grinzii la încovoiere în domeniul elastic.

Raza de curbur ă remanentă se obţine prin diferenţa:

iz

z

c

ce pr M

IEyE−

σ=ρ−ρ=ρ 9.5.3-7

Aplicaţie S ă se determine tensiunile remanente pentru cazul unei bare drepte de

sec ţ iune dreptunghiular ă cu dimensiunile h şi b, solicitat ă la încovoiere pestelimita de curgere. Înăl ţ imea zonei solicitat ă elastic este h1 ( vezi Aplica ţ ia

anterioar ă ).Se determină:

( )c1

21

2

p

21

e

2

y2h;4

hh bS;

6

h bW;

6

h bW =

−⋅===

Relaţia 9.5.3-4, conduce la:

c

2

112 h

h

2

1

h

h

2

31 σ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−=σ

( )

21

h

h

6

h b4

hh b

6

h b

1 c

2

1c2

21

221

1

σ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =σ⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⋅+

−=σ

258




9.5.4 Torsiunea barelor drepte circulare în domeniul elasto - plastic

Se consider ă o bar ă dreaptă de secţiune circular ă cu raza R, solicitată la

torsiune, de momentul de torsiune M t (Fig.9.5.4-1).Secţiunea transversală are o zonă solicitată elastic de rază a şi o zonă plastică de formă inelar ă de grosime R - a. În acest caz, distribuţia tensiunilor este prezentată în Fig.9.5.4-1a. În domeniul elastic tensiunea este liniar ă, iar încel plastic, constantă, egală cu tensiunea de curgere, τc .

b)

τ2’R a

τ1’

Mt

R

τcτ

a r

Zona solicitată elastic

Zona solicitată plastic

a)

Fig.9.5.4-1

În zona elastică la distanţa r , tensiunea tangenţială τ se determină uşor:

cc

a

r

ar τ⋅=τ⇒

τ=

τ9.5.4-1

În zona plastică:

9.5.4-2cτ=τ

Această stare de solicitare este cauzată de acţiunea momentului de torsiune:

∫ ∫ ∫ τ+τ⋅=τ= A

a R

a

cct dAr dAa

r r dAr M

0

9.5.4-3

∫ ∫ ∫∫

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅τ=⋅τ+⋅τ

=a

0

R

a

R

a

a

0

2

cc2c

t dAr a

dAr

dAr dAr a

M 9.5.4-4a

unde:

259




p

a

0

2

Wa

dAr

=∫

- modulul de rezistenţă polar al zonei solicitată elastic

- momentul de iner ţie polar al zonei solicitată elastic∫ =a

0

p2 IdAr

iar,

(∫ ∫ ∫ −⋅π

=π=π⋅= R

a

R

a

R

a

a Rdr r dr r r dAr 332

3

222 ) 9.5.4-4b

Ţinând seama de relaţiile de mai sus, relaţia 9.5.4-4a devine:

( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅π

+⋅τ= 33 pct aR

3

2WM ) 9.5.4-5a

sau:

( ) ( 33c333

ct aR 46

aR 3

2

2

aM −⋅

τπ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

π+

π⋅τ= ) 9.5.4-5b

Când a = R (toată secţiunea este solicitată elastic), din relaţia 9.5.4-5b seobţine expresia momentului de torsiune pentru stadiul elastic la limită:

c

3

t 2

R M τ⋅

⋅π= 9.5.4-6

iar pentru a = 0 (articulaţie plastică) se obţine:

c

3

tL 3R 2M τ⋅⋅π= 9.5.4-7

Făcând raportul M tL

/ M t

rezultă:

33,13

4

2

R 3

R 2

M

M

c

3

c

3

t

tL ==

τ⋅π

τ⋅π

= 9.5.4-8a

sau:

260




9.5.4-8bttL M33,1M ⋅=

Din relaţia 9.5.4-8b reiese că, la r ăsucire în domeniul plastic, capacitatea

de rezistenţă a secţiunii circulare este cu 33% mai mare decât cea dată demetoda rezistenţelor admisibile.

9.5.5 Tensiuni remanente în cazul răsucirii barei drepte circulare îndomeniul elasto - plastic

După încetarea acţiunii momentului de torsiune M t (relaţia 9.5.4-5b) apar

tensiuni tangenţiale remanente. Acestea se determină ca şi la solicitarea deîncovoiere în domeniul elasto - plastic, având în vedere că descărcarea elastică

este liniar ă. La distanţa r de centrul secţiunii, tensiunea tangenţială τ1 sedetermină cu relaţia cunoscută:

( )

R

r

R

a4

3r

2

R

aR 46r

I

M3

c4

33c

p

t1 ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅τ

=⋅π

−⋅τπ

=⋅=τ 9.5.5-1

Tensiunea remanentă τre se obţine scăzând din tensiunea τ dată de

relaţia 9.5.4-1, tensiunea τ1 dată de relaţia 9.5.5-1. Se obţine astfel: în zona elastică (r < a):

c

4

1re a

r

R

a

3

1

R

a

3

41 τ⋅⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−=τ−τ=τ 9.5.5-2

în zona plastică (r > a):

c

43

ccre a

r

R

a

3

1

R

a

3

41

R

r

R

a4

3τ⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⋅−=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅τ

−τ=τ 9.5.5-3

Se poate constata că pe secţiune, tensiunea tangenţială remanentă variază liniar (Fig.9.5.4-1b).

Tensiunile tangenţiale remanente maxime, în valoare absolută sunt: pentru r = R (la suprafaţa exterioar ă):

3R a1 c

3

'1 τ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=τ 9.5.5-4a

261




pentru r = a (la nivelul de separare a zonei elastice de cea plastică):

c

4'

2 R

a

3

1

R

a

3

4

1 τ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⋅+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⋅−=τ 9.5.5-4b

9.5.6 R ăsucirea simplă a unei bare drepte de secţiune transversală oarecare, în domeniul elasto - plastic

Din teoria r ăsucirii elastice a unei bare drepte de secţiune transversală oarecare, se ştie că singurele tensiuni diferite de zero sunt τxy

şi τzx.

Aceste tensiuni pot fi determinate astfel:

y

F;

z

Fxzxy ∂

∂=τ

∂∂

=τ 9.5.6-1

unde: F - o funcţie constantă pe contur. În cazul secţiunilor dublu conexe, F = 0.

Ţinând seama că:

2xz

2xy τ+τ=τ 9.5.6-2

condiţia de plasticitate τ = τc , devine:

2c

22

y

F

z

Fτ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

9.5.6-3

Momentul de r ăsucire, pentru o secţiune transversală simplu conexă aflată într-o stare plastică, este:

( )∫∫ ∫∫ =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂

+∂∂

=τ−τ=D D

xzxyt dzdyy

Fy

z

FzdydzyzM

262




( ) ( )∫∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+∂∂

=D

dzdyF2Fyy

Fzz

( ) ( )∫ ∫∫Γ =⋅+−−= D dydzy,zF2Fdzydyz

( ) ( )∫ ∫∫Γ

⋅+−−=D

dydzy,zF2dzydyzF

9.5.6-4( )∫∫⋅=⇒D

t dydzy,zF2M

La determinarea relaţiei 9.5.6-4 s-a considerat F = ct. = 0.Aşadar, din relaţia 9.5.6-4, rezultă că determinarea momentului detorsiune în cazul unei bare drepte de secţiune transversală simplu conexă, sereduce la determinarea dublului volumului cuprins între planul xOy şi suprafaţa

z = F(z,y), unde funcţia F(z,y) satisface următoarele condiţii.: este nulă pe conturul secţiunii suprafaţa x = F(z,y) are pantă constantă şi egală cu τ

cîn raport cu

planul zOy.În practică se utilizează o altă funcţie Φ (z,y) nulă pe contur, în care suprafaţa x =

Φ (z,y) are panta constantă, egală cu unitatea (generatoarele ei fac unghiuri de450 cu planul zOy). În acest caz, momentul de r ăsucire corespunzător cazuluicând întreaga secţiune se află în stare plastică, se determină cu relaţia:

9.5.6-5V2M ct ⋅τ⋅=

unde:

τc- limita de curgere

V - domeniul cuprins între suprafaţa x = Φ (z,y) şi planul zOy.

Cazuri particulare: Cazul sec ţ iunii dreptunghiulare (Fig.9.5.6-1a) Suprafaţa x = Φ (z,y) este dată de planele înclinate la 450 faţă de planul

zOy, având forma unui acoperiş. Muchiile de discontinuitate sunt în plan, drepte,egal distanţate de laturi: AE egal distanţată de AB şi AD ; DE egal distanţată de

DA şi DC şi EF egal distanţată de AB şi CD. Volumul închis de această suprafaţă se poate descompune în volumul unei piramide cu baza un pătrat delatur ă b şi înălţime b/2 şi volumul unei prisme cu baza un triunghi isoscel cu

baza b şi înălţimea b/2, înălţimea prismei fiind a - b. Rezultă atunci că:

263




( )( )12

ba3 b ba

2

b b

2

1

2

b b

3

1V

22 −⋅

=−⋅⋅⋅−⋅⋅= 9.5.6-7

Momentul de torsiune capabil, determinat pe baza relaţiei 9.5.6-5 este:

( )c

2

td 12

ba3 bM τ⋅

−⋅= 9.5.6-8

E

DC

BA

a

aFE

BA

b

DC

a

O

R

c)a) b)

Fig.9.5.6-1

Cazul când a = b (secţiune pătrată), Fig.9.5.6-1b, rezultă:

c

3

tp 3aM τ⋅= 9.5.6-9

Sec ţ iune circular ă (Fig.9.5.6-1c)Suprafaţa x = Φ (z,y) este un con cu baza un cerc de rază R şi înălţime R.

Rezultă:

3

R R R

3

1V

32 ⋅π

=⋅π⋅= 9.5.6-10

iar:

c3

ctc R 3

2V2M τπ⋅=⋅τ= 9.5.6-11

După cum se poate constata, s-a regăsit relaţia 9.5.4-7.

264




9.6 Tubul cu perete gros supus la presiune interioară, în domeniulelasto - plastic

Se consider ă un tub cu pereţi groşi (Fig.9.6-1), supus la presiune

interioar ă pi şi una exterioar ă pe cu pi > pe. Pentru Ri < r <R, materialul estesolicitat plastic, iar pentru R < r < R

e, materialul este solicitat elastic. Cele

două zone sunt delimitate de dimensiunea R. Tubul fiind suficient de lung, seaflă într-o stare plană de deformaţie.

Zona solicitată elastic

pe

R

R e

R i

Zona solicitată plastic

pi

Fig.9.6-1

Între deformaţiile specifice şi deplasări, există relaţiile cunoscute:

0;r

u;

dr

duztr =ε=ε=ε 9.6-1

Ecuaţia de echilibru a unui element detaşat din peretele tubului proiectată pe direcţie radială, este:

0r r

tr r =σ−σ

+∂

σ∂9.6-2

Relaţiile 9.6-1 şi 9.6-2, sunt valabile atât în zona elastică, cât şi în cea plastică.

În zona elastică, tensiunile normale sunt cele cunoscute:

( t1r 21

1r

1

Eεν−ε⋅

ν−=σ ) 9.6-3a

265




( )r 1t21

1t 1

Eεν−ε⋅

ν−=σ 9.6-3b

( tr 1

1

z 1

E

ε−ε⋅ν− )ν

=σ 9.6-3c

unde:

ν−ν

=νν−

=1

;1

EE 121 9.6-4

Înlocuind în 9.6-3 pe εr şi εt

din relaţia 9.6-1, rezultă:

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ν+⋅

ν−=σ

r u

dr du

1E

121

1r 9.6-5a

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ν+⋅ν−

=σdr

du

r

u

1

E12

1

1t 9.6-5b

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅ν−

ν=σ

r

u

dr

du

1

E

1

1z 9.6-5c

Înlocuind relaţiile 9.6-5 în 9.6-2, rezultă ecuaţia diferenţială de tip Euler:

0ur

1

dr

du

r

1

dr

ud22

2

=⋅−⋅+ 9.6-6

care admite soluţia generală de forma:

r

B

r Au +⋅= 9.6-7

iar εr şi εt

devin:

2r r

BA

dr

du−==ε 9.6-8a

2t

r

BA

r

u+==ε 9.6-8b

266




unde, A şi B sunt constante de integrare. Constantele de integrare se determină punând condiţiile la limită. După determinarea constantelor de integrare (a sevedea tuburile cu pereţi groşi), expresiile tensiunilor normale sunt:

2ei

2i

2e

2e

2i

2i

2e

2ee

2ii

r r

p pR R

R R R R

R pR p −⋅−

−−−=σ 9.6-9a

2ei

2i

2e

2e

2i

2i

2e

2ee

2ii

t r

p p

R R

R R

R R

R pR p −⋅

−+

−

−=σ 9.6-10b

2i

2e

2ee

2ii

zR R

R pR p2

−

−⋅ν=σ 9.6-10c

Utilizând criteriul de plasticitate al lui Tresca, pentru σr şi σt

(σzse

neglijează, fiind mic)

cr t σ=σ−σ 9.6-11

relaţia 9.6-2, devine:

0r dr

dcr =

σ−

σ9.6-12

de unde după integrare se obţine:

Cr lncr +⋅σ=σ 9.6-13

Constanta de integrare C se determină punând condiţia: pentru r = Ri, σr = - pi. Deci:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ+−=σ−−⋅σ=−r

R ln pR ln pr ln p i

ciicici 9.6-14a

şi:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅σ+−=σr

R ln1 p i

cit 9.6-14b

Pentru r = R trebuie ca σr = - pi , de unde rezultă condiţia:

267




R

R ln p p i

ci σ+= 9.6-15

Ecuaţia 9.6-15 are două necunoscute: p şi R. Relaţia suplimentar ă rezultă din condiţia că, la limita dintre zona elastică şi cea plastică (r = R), tensiunileσr

şi σtsatisfac şi ele condiţia de plasticitate (relaţia 9.6-11).

Înlocuind atunci în relaţia 9.6-11 pe r cu R şi apoi expresiile obţinute pentru σ

t şi σ

r în relaţia 9.6-11, rezultă:

( ) cei2i

2e

2e p pR R

R 2 σ=−⋅

−⋅ 9.6-16

Din relaţiile 9.6-15 şi 9.6-16 se pot determina p şi R.Astfel, eliminând pe p, rezultă:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅⋅⋅σ=−

2

1

R

R

2

1

R

R ln p p

2e

2

icei 9.1-17

de unde se determină R (cea care stabileşte mărimea zonei plastice).Odată determinat R, din relaţia 9.6-15 se determină presiunea la limita

dintre zona elastică şi cea plastică. Având determinate p şi R, se pot determinatensiunile normale din cele două zone (relaţiile 9.6-10).Pe baza acestui caz general, se pot studia cazurile mai simple:

Tub supus numai la presiune interioar ă (pe = 0) Se obţin ecuaţiile:

R

R ln p p i

ci σ+= 9.6-18a

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅−⋅σ=

i2e

2

ci R

R ln

R

R

2

1

2

1 p 9.6-18b

Tub supus numai la presiune exterioar ă (pi = 0)

În acest caz, rezultă relaţiile:

R

R ln p i

cσ= 9.6-19a

268




⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅−⋅σ=−

i2e

2

ce R

R ln

R

R

2

1

2

1 p 9.6-19b

Când R = Re , întreaga secţiune este solicitată plastic. În acest caz, relaţiile 9.6-

18 şi 9.6-19, devin: Tub supus numai la presiune interioar ă:

e

ici R

R ln p p σ+= 9.6-20a

i

eci R

R ln p σ= 9.6-20b

Tub supus numai la presiune exterioar ă:

e

ic R

R ln p σ= 9.6-21a

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅−⋅σ=−

i

e2e

2

ce R

R ln

R

R

2

1

2

1 p 9.6-21b

Când R = Ri

, întreaga secţiune este solicitată elastic. În acest caz, seregăsesc relaţiile cunoscute din calculul tuburilor cu pereţi groşi, în domeniulelastic.

9.7 Cedarea sistemelor alcătuite din bare drepte, solicitate la

încovoiere

Studiul va fi f ăcut pentru solicitarea de încovoiere. Când într-un sistemstatic determinat, momentul încovoietor atinge valoarea M

L(relaţia 9.5.2-14),

sistemul şi-a epuizat capacitatea de rezistenţă. În acest moment s-a format primaarticulaţie plastică.

Din cauza deformaţiilor foarte mari ale sistemului static determinat,epuizarea capacităţii de rezistenţă apare la o valoare M

ic< M

L . Pentru o grindă

simplu rezemată (Fig.9.7-1) în starea elastică de solicitare, momentul

încovoietor maxim este în dreptul sarcinii concentrate F şi are valoarea:

269




F

l/2l/2

a)

F l / 4

b) F

Mc

Fig.9.7-1

4

lFM maxi =

Când acest moment atinge valoarea M ic grinda cedează, ea transformându-seîntr-un mecanism. Sarcina F la care are loc cedarea, rezultă din egalitatea:

icmaxi MM =

adică:

4

lFM ic = 9.7-1

de unde rezultă:

l

M4F ic= 9.7-2

iar sarcina admisă este:

c

FFa = 9.7-3

270




unde:c - coeficient de siguranţă.

Sistemele static nedeterminate, nu-şi epuizează capacitatea de rezistenţă înmomentul în care s-a format prima articulaţie plastică, ci când se formează

atâtea articulaţii plastice, încât sistemul să devină un mecanism. Astfel, pentrusistemul din Fig.9.7-2a (pentru o deschidere de margine) sunt necesare două articulaţii plastice, iar pentru cazul din Fig.9.7-2b (deschidere centrală), suntnecesare trei articulaţii plastice, pentru ca sistemul să se transforme înmecanism.

Să consider ăm acum un sistem static nedeterminat, alcătuit dintr-o grindă continuă cu două deschideri egale, solicitată de o for ţă concentrată F (Fig.9.7-3a).

F1

F2

Fig.9.7-2

F

0 1 2 3

l/2 l/2 l

Mi1=13 F l / 64

Mi2= -3 F l /32

ΔF

ΔMi2= - ΔF l / 2

Fig.9.7-3

a)

b)

a)

b)

271




După ridicarea nedeterminării statice, în secţiunile 1 şi 2 acţionează momentele încovoietoare:

32

lF3M;

64

lF13M 2i1i == 9.7-4

cu

2i1i MM >

Rezultă de aici, că prima articulaţie plastică se va forma în secţiunea 1.For ţa F care produce această articulaţie plastică se determină din relaţiacunoscută:

ic1i MM = 9.7-5

Deci:

64

lF13M ic = 9.7-6

de unde:

l13

M64F ic

⋅= 9.7-7

La această valoare a sarcinii F , momentul încovoietor din secţiunea 2 este:

icic

2i M13

6

l13

M64

32

l3M ⋅−=

⋅⋅

⋅−= 9.7-8

Considerând că for ţa F creşte cu Δ F şi ţinând seama că secţiunea 1 şi-a epuizatcapacitatea de rezistenţă, sistemul static nedeterminat sub acţiunea sarciniisuplimentare Δ F nu se va comporta ca o grindă continuă, ci ca o grindă cu oarticulaţie plastică în dreptul secţiunii 1. Diagrama de momente pe noul sistem,este prezentată în Fig.9.7-2b. În acest caz, în secţiunea 2, apare evident unmoment încovoietor suplimentar:

2

lFM

2i

⋅Δ−=Δ

9.7-9

272




Situaţia aceasta se menţine până când în secţiunea 2 va apare o articulaţie plastică, adică până când M

i2(relaţia 9.7-8) împreună cu Δ M

i2(relaţia 9.7-9)

egalează în valoare absolută pe M ic , adică:

ic2i2i MMM =Δ+ 9.7-10a

sau:

icic M2

lFM

13

6=

⋅Δ+⋅ 9.7-10b

Din relaţia 9.7-10b, rezultă:

icMl13

14F ⋅

⋅=Δ 9.7-11

Se poate determina acum sarcina care solicită sistemul:

l

M6M

l13

14M

l13

64FFF ic

icicr ⋅=⋅⋅

+⋅⋅

=Δ+= 9.7-12

Pe baza for ţei F r (relaţia 9.7-12) se determină for ţa capabilă (admisă) pentrusistemul static nedeterminat:

c

FF r

a = 9.7-13

unde:c - coeficient de siguranţă.

273



B I B L I O G R A F I E

Date post:	30-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	flaviu-opris
View:	87 times
Download:	0 times

Tripa Rm Cursii

Documents