Topografie-Onose

Topografie

- C.1 -

Cuprins 1. UTILIZAREA HRILOR I PLANURILOR TOPOGRAFICE ................................ 3

1.1. ELEMENTELE TOPOGRAFICE ALE TERENULUI .................................................................... 3 1.2. HRI I PLANURI ............................................................................................................. 9 1.3. CLASIFICAREA HRILOR I PLANURILOR ....................................................................... 12 1.4. CITIREA HRILOR I PLANURILOR ................................................................................. 13 1.5. PROBLEME CE POT FI REZOLVATE PE HRI I PE PLANURI.............................................. 14

1.5.1. Determinarea unor elemente de planimetrie ......................................................... 14 1.5.2. Determinarea unor elemente de altimetrie ............................................................ 17 1.5.3. Exemple .................................................................................................................. 21

2. RETELE DE SPRIJIN ....................................................................................................... 25

2.1. RETELE DE TRIANGULATIE LOCALA ................................................................................ 25 2.1.1. Operaii preliminare .............................................................................................. 25 2.1.2. Operaii de teren .................................................................................................... 31 2.1.3. Operaii de calcul (Compensarea msurtorilor) ................................................. 32

3. NDESIREA REELELOR DE TRIANGULAIE ....................................................... 34

3.1. PRINCIPIILE INTERSECIILOR .......................................................................................... 34 3.2. INTERSECIA NAINTE ..................................................................................................... 36

3.2.1. Procedeul analitic .................................................................................................. 37 3.2.2. Procedeul trigonometric ........................................................................................ 38

3.3. INTERSECIA NAPOI ....................................................................................................... 53 3.3.1. Procedeul Delambre .............................................................................................. 53 3.3.2. Procedeul Kstner .................................................................................................. 62 3.3.3. Procedeul Collins ................................................................................................... 64 3.3.4. Procedeul Hansen .................................................................................................. 65 3.3.5. Procedeul Cassini - Martinian ............................................................................... 72 3.3.6. Rezolvarea Marek .................................................................................................. 78 3.3.7. Procedeul interseciei generalizate napoi ............................................................. 79

3.4. INTERSECIA LATERAL ................................................................................................. 81 3.5. INTERSECIA LINIAR ..................................................................................................... 83 3.6. CTEVA ASPECTE PRIVIND PRECIZIA INTERIOAR I EXTERIOAR N REELELE DE SPRIJIN

.............................................................................................................................................. 84

4. TRANSMITEREA LA SOL A PUNCTELOR DE TRIANGULATIE SI INDESIRE 89

4.1. CAZUL CAND PUNCTUAL TRANSMIS LA SOL ESTE STATIONABIL ...................................... 89 4.1.1. Exemplu .................................................................................................................. 91

4.2. CAZUL CAND PUNCTUL TRANSMIS LA SOL ESTE NESTATIONABIL .................................... 94 4.2.1. Exemplu .................................................................................................................. 96

5. TRANSCALCULAREA COORDONATELOR ............................................................. 99

5.1. TRANSCALCULAREA GEOMETRIC ................................................................................. 99 5.1.1. Exemplu ................................................................................................................ 100

5.2. TRANSCALCULAREA TOPOGRAFIC .............................................................................. 102

MaximTypewriterDumitru OnoseTopografie Pret: 59 leiISBN:973-685-594-5

MaximTypewriter

MaximTypewriter

Topografie

- C.2 -

5.2.1. Exemplu ................................................................................................................ 105 5.3. TRANSCALCULAREA DIN SISTEM TOPOGRAFIC N SISTEM GEODEZIC PRIN UTILIZAREA

TEORIEI CELOR MAI MICI PTRATE ....................................................................................... 107 5.3.1. Exemplu ................................................................................................................ 110

6. RETELE DE RIDICARE ................................................................................................ 114

6.1. RETELE DE RIDICARE PLANIMETRICA ............................................................................ 114 6.1.1. Generaliti .......................................................................................................... 114 6.1.2. Drumuiri planimetrice .......................................................................................... 120 6.1.3. Ridicarea planimetric a detaliilor topografice .................................................. 155 6.1.4. Gsirea greelilor la o drumuire planimetric .................................................... 158

6.2. 6.2 RETELE DE RIDICARE ALTIMETRICA ........................................................................ 160 6.2.1. Drumuirea de nivelment geometric sprijinit la capete ....................................... 160 6.2.2. Drumuirea cu punct nodal ................................................................................... 164 6.2.3. Drumuirea de nivelment trigonometric sprijinit la capete pe puncte de cote cunoscute ........................................................................................................................ 172

7. BIBLIOGRAFIE .............................................................................................................. 174

Topografie

- C.3 -

11.. UUttiilliizzaarreeaa hhrriilloorr ii ppllaannuurriilloorr ttooppooggrraaffiiccee

1.1. Elementele topografice ale terenului F Definiii

a) PUNCTE TOPOGRAFICE: Sunt puncte din teren, materializate sau nu,

care caracterizeaz poziia i forma detaliilor topografice (obiecte naturale sau artificiale din teren), sau concur la determinarea poziiei altor puncte topografice.

b) GEOMETRIZAREA LINIILOR I SUPRAFEELOR DIN TEREN: Este operaia de selectare judicioas a unui numr minim de puncte topografice care s aproximeze cu suficient fidelitate liniile n cea mai mare parte sinuoase din teren, att n plan orizontal ct si n plan vertical, cu o linie poligonal, respectiv suprafeele ondulate ale terenului cu o suprafa poliedric (figura 1.1).

616

20

f> 0.2mm

19

21

7 9

8

22

18

f< 0.2mm

2

1 17

34

5

15

10 11

14

13 12

Figura 1.1 Geometrizarea liniilor n plan orizontal.

Geometrizare corect pentru punctele 1-15; necorespunztoare pentru punctele 16-22

Densitatea punctelor de detaliu este cu att mai mare cu ct scara planului, accidentaia i sinuozitatea terenului sunt mai mari. Condiia

care se impune este ca abaterea maxim f a liniei poligonale de la linia din teren s fie mai mic de 0,2 mm la scara planului. n plan vertical, pentru redarea reliefului, n funcie i de accidentaia

Topografie

- C.4 -

terenului, se aleg puncte la cel mult 3 - 4 cm la scara planului.

c) ALINIAMENT: Este urma interseciei suprafeei terenului cu un plan vertical ce trece prin dou puncte topografice A i B. Dac punctele A i B sunt apropiate (prin geometrizare n plan vertical), aliniamentul se poate aproxima cu dreapta ce unete aceste dou puncte.

d) DISTANA NCLINAT: Este lungimea dreptei din spaiu care unete dou

puncte topografice A i B; ABLAB

e) PROFIL TOPOGRAFIC: Este reprezentarea grafic n plan a liniei de intersecie ntre suprafaa terenului i o suprafa vertical ce trece prin dou sau mai multe puncte date. Se poate obine din msurtori n teren sau de pe plan.

f) SUPRAFAA DE NIVEL: Este o suprafa normal n orice punct al ei la direcia gravitii. Suprafaa de nivel zero este aproximativ suprafaa de echilibru a mrilor i oceanelor; se folosete ca suprafa de referin a altitudinilor (cotelor) n nivelment (figura 1.2).

a punctului

Suprafata de nivel

B

nivel zeroSuprafata de

a punctuluiSuprafata de nivel

A

Figura 1.2 Elemente topografice n plan vertical

n topografie, pe ntinderi limitate, suprafeele de nivel pot fi considerate plane paralele orizontale; pe suprafee mai mari se vor aproxima cu suprafete sferice concentrice.

g) ALTITUDINE (COTA): Este distana vertical ntre suprafaa de referin i suprafaa de nivel a punctului considerat (figura 1.2).

BBH

AAH

OB

OA

Topografie

- C.5 -

h) DIFERENA DE NIVEL: Este distana vertical ntre suprafeele de nivel

a dou puncte A i B (figura 1.2): ABAB HHBBH

Poate fi pozitiv sau negativ, n funcie de altitudinea punctelor si sensul considerat. Dac

0H-HH

0

BABA

ABABAB HHHHH

Cu H se noteaz de regul diferena de nivel determinat din valorile cotelor; diferenele de nivel msurate se noteaz H.

i) UNGHI VERTICAL: Este unghiul care msoar nclinarea dreptei ce trece

prin punctele A i B fa de orizontal (AB unghiul de pant) sau fa de vertical (zAB unghiul zenital) (figura 1.2).

Difer ca mrime sau semn n funcie de sensul considerat:

AB

G

BA

ABBA

zz

200

Relaia ntre cele dou tipuri de unghiuri este:

G

BABAABAB zz 100

j) DISTANA ORIZONTAL: Este lungimea proieciei ortogonale a dreptei

AB din spaiu pe un plan orizontal (figura 1.2): BABAD OOAB

Se poate msura direct sau determina prin calcul dac se cunosc (prin msurare) lungimea nclinat i unghiul vertical sau lungimea nclinat i diferena de nivel:

22

ABABAB

ABABABABAB

HLD

zLLD

sincos

k) PANTA TERENULUI: Este nclinarea dreptei ce unete dou puncte A i B fa de orizontal, exprimat prin raportul ntre diferena de nivel i distana orizontal a celor dou puncte.

AB

ABAB

D

H

BA

BBp

De regul, panta se mai exprim n procente i la mie:

ABAB

ABAB

pp

pp

1000

100

/

/

De fapt, panta este tangenta trigonometric a unghiului vertical :

Topografie

- C.6 -

AB

AB

AB

AB tgD

Hp

l) UNGHI ORIZONTAL: Este unghiul format de proieciile ortogonale a dou

drepte din teren SA i SB ntr-un plan orizontal; aadar unghiul diedru al planelor verticale ce trec prin SA i SB (figura 1.3).

Directiile sunt tot unghiuri orizontale care au toate o aceeai origine. Unghiurile orizontale se pot exprima ca diferene a cte dou direcii:

ABAB

Plan orizontal

Figura 1.3 Unghi orizontal. Direcie.

m) ORIENTARE: Pentru dou puncte A i B orientarea laturii este unghiul orizontal format ntre acea ax a sistemului de coordonate care are direcia spre nord i latura AB, msurat n sens topografic (orar) (figura 1.4).

Pe suprafee limitate ca ntindere, direciile nord ale diverselor puncte sunt practic paralele ntre ele, unghiul de convergen al meridianelor putnd fi neglijat.

Unghiul orizontal BA se numete orientarea invers a direciei AB i: G

ABBA 200 Punctele A i B din figur sunt de fapt proieciile ntr-un plan orizontal ale punctelor respective din spaiu.

n) COORDONATE RECTANGULARE: Individualizeaz poziia n plan or-izontal a punctelor topografice prin abscisa Y i ordonata X a proieciei punctelor n planul de referin. Orientarea axei OX din suprafaa de

Topografie

- C.7 -

referin este de regul direcia nord.

A

B

Figura 1.4 Orientare direct. Orientare invers.

B2

AB

X

Y

A

A A2

B1

A1

1

A0

A

ABDAB

D

B0

2

ABL

B

AB

AB

AB

B'AB

Figura 1.5 Coordonate rectangulare. Coordonate relative.

Coordonatele rectangulare XA i YA se mai numesc i coordonate absolute plane.

201

102

OAAAY

OAAAX

A

A

o) COORDONATE RELATIVE: Sunt lungimile proieciilor pe axele Ox i Oy

a distanei orizontale ntre dou puncte.

Topografie

- C.8 -

2ABAY

1ABAX

O22AB

O11AB

Se pot calcula din elemente msurate, cnd se noteaz X, Y, sau din coordonate absolute i se noteaz X, Y:

ABAB

ABABAB

XXX

DX

cos

ABAB

ABABAB

YYY

DY

sin

Cu ajutorul coordonatelor relative se pot calcula coordonatele

rectangulare ale unui punct dac se cunosc coordonatele altui punct:

ABABAABAB

ABABAABAB

DYYYY

DXXXX

sin

cos

p) COORDONATE POLARE: Sunt o distan orizontal DSP numit raza pola-

r i un unghi orizontal P numit unghiul polar care definesc poziia unui punct P fa de un alt punct S i o direcie de referin (SA) date (figura 1.6).

SA

P

SPD

S

P

A

Figura 1.6 Coordonate polare

Cunoscnd orientarea de referin SA i coordonatele rectangulare ale punctului S, se pot calcula coordonatele absolute ale lui P:

SPSPSP

SPSPSP

PSASP

DYY

DXX

sin

cos

q) COORDONATE ECHERICE: Sunt coordonate rectangulare ntr-un sistem

local n care axa absciselor este materializat n teren (de regul este o latur de drumuire). Elementele care individualizeaz poziia punctelor se msoar direct n valoare orizontal, ordonata fiind lungimea

Topografie

- C.9 -

perpendicularei, iar abscisa distana de la un capt al axei pn la piciorul perpendicularei.

Dac este necesar, coordonatele rectangulare ale punctelor echerice se vor calcula cu relaiile:

)cos(

cos

G

iii

ii

xXX

yXX

100202201

202201201

)sin(

sin

G

iii

ii

xYY

yYY

100202201

202201201

1x

3y2y 1y

x

x

2

3

203

202

201

Figura 1.7 Coordonate echerice

1.2. Hri i planuri F Definiii

a) PLANUL TOPOGRAFIC: Este o reprezentare grafic convenional a unor poriuni restrnse ale suprafeei topografice, proiectate pe un plan orizontal, micorat la o anumit scar i care prin detaliile pe care le conine red n mod fidel suprafaa topografic respectiv. La ntocmirea planurilor nu se ine cont de curbura pmntului.

b) HARTA: Este o reprezentare grafic convenional, micorat la o anumit scar, n care este reprezentat ntreaga suprafa a Pmntului sau numai poriuni din ea i n construcia creia se ine seama de curbura pmntului.

SCARA HRILOR I PLANURILOR

c) SCARA NUMERIC: Scara numeric a unui plan sau a unei hri este raportul constant dintre distana d de pe plan sau hart i omoloaga ei din teren, D, ambele fiind exprimate n aceleai uniti de msur.

Forma de exprimare a scrii numerice este 1/n sau 1:n.

Topografie

- C.10 -

Formula scrii numerice este:

T

P

nD

dSc

1

Cu aceast formul se pot rezolva urmtoarele probleme: 1. se d distana d de pe plan i scara 1:n a planului, i se cere D,

distana corespunztoare din teren Se folosete n lucrrile pe hri i planuri, la extragerea unor elemente din coninutul acestora. 2. se d distana D din teren i scara 1:n a planului i se cere distana

d de pe plan

n

Dd

3. se d distana d de pe plan i D, omoloaga sa din teren i se cere scara numeric 1:n

d

Dn

Se folosete n cazul n care se vrea s determinm scara la care s-a executat o reprezentare grafic. Pe hri i planuri, distana d se msoar de regul n milimetri, iar distana corespunztoare din teren, D, se exprim n metri. Regula n/1000

La scara 1:n, ,

de exemplu, la scara 1:25000, .

D = 1123 mBaza = 1 cm

AB

Figura 1.8 Scara grafic liniar (simpl)

d) SCARA GRAFIC: Fiecrei scri numerice i corespunde o scar grafic, ce constituie o reprezentare grafic a scrii numerice. Dup felul de construire a scrii grafice, se deosebesc:

1. scara grafic simpl sau liniar 2. scara grafic transversal sau compus

ndD

mn

mm1000

1

mmm 251000

250001

Topografie

- C.11 -

Scara grafic simpl (figura 1.8) asigur o precizie de 1/10 din baz. Mod de utilizare: se ia n compas distana de pe hart, ntre dou puncte A i B i se aeaz pe scara grafic, astfel nct un vrf al compasului s corespund cu un numr ntreg de baze, iar cellalt vrf s cad n interiorul talonului. Distana este egal cu numrul ntreg de baze la care se adaug partea fracionar citit pe talon. Scara grafic transversal (figura 1.9) asigur o precizie de 1/100 din baz, deoarece talonul este mprit n 10 uniti pe orizontal i n zece pri egale pe vertical, astfel c o unitate de pe orizontal reprezint 1/10 din baz, iar o unitate pe vertical reprezint 1/10 dintr-o unitate pe orizontal.

D = 1123 mBaza = 2 cm

AB

20

100

8

200

4

2

0

6

18

14

12

10

16

0 200 400 1200600 800 1000 1400

Figura 1.9 Scara grafic transversal (compus)

Mod de utilizare: se ia n compas distana de pe hart, ntre dou puncte A i B i se aaz pe scara grafic, astfel nct un vrf al compasului s corespund cu o diviziune ntreag din baz , iar cellalt vrf s cad n interiorul talonului scrii transversale. Se deplaseaz compasul astfel ca un vrf s rmn tot timpul pe o valoare ntreag din baz, iar cellalt s fie n talon, pn cnd vrful din talon atinge o intersecie a dou linii ce marcheaz diviziunile lui. Micarea compasului se face astfel nct vrfurile lui s fie tot timpul pe aceeai linie orizontal.Distana este egal cu numrul ntreg de baze la care se adaug partea fracionar citit pe talon.

Scrile grafice se folosesc att pentru determinarea distanei de pe hri i planuri, ct i n transpunerea unor distane msurate pe plan sau hart.

e) PRECIZIA GRAFIC A SCRII: Cnd se msoar o distan pe plan sau

Topografie

- C.12 -

hart, sau cnd se raporteaz un punct sau o distan pe plan sau hart se comit erori din cauza ochiului omenesc, care fr mijloace optice nu poate asigura o precizie mai mare de 0,1 - 0,2 mm. Se consider c eroarea medie de citire sau raportare a unei distane pe plan sau hart este de 0,2 0,3 mm. Aceast eroare, la transpunerea sau extragerea anumitor elemente liniare de pe plan sau hart, duce la denaturarea lungimilor reale din teren, care este cu att mai mare cu ct scara planului sau hrii este mai mic.

Precizia grafic reprezint deci valoarea corespondent din teren a valorii erorii de raportare sau citire de pe plan. Se exprim prin relaia:

1

,nePnP

eg

g

unde: e= eroarea grafic; Pg = precizia grafic; N = numitorul scrii Precizia grafic este un parametru care permite stabilirea scrii la care trebuie ntocmit un plan, n funcie de mrimea detaliilor care trebuie reprezentate.

1.3. Clasificarea hrilor i planurilor n funcie de scar i coninut, planurile i hrile se pot clasifica astfel:

PLANURI TOPOGRAFICE

Planul topografic de baz al rii, reprezentat prin planurile topografice la scrile 1:2000, 1:5000 i 1:10000, tiprit n trei culori i realizat ntr-un singur sistem de proiecie; Planul topografic special, care este ntocmit pentru anumite scopuri

economice. Scara sa poate varia de la 1:100 pn la 1:1000, coninutul lui fiind foarte variat, n funcie de scopul pentru care se ntocmete.

HRI toate reprezentrile grafice ntocmite la scara 1:25000 i mai mici

Hri topografice la scri mari 1:25000 pn la 1:100000 servesc pentru studii de detaliu i o serie de msurtori i calcule. Scara lor este considerat constant pentru fiecare foaie de hart. Hri topografice de ansamblu sunt hri la scri medii 1:200000 pn

la 1:1000000. Datorit gradului mare de generalizare i a variaiei scrii ele servesc pentru studii generale i nu sunt folosite pentru msurtori i calcule.

Hri geografice sunt hri la scri mici peste 1:1000000 i servesc pentru studierea general a unei ri sau zone geografice.

Topografie

- C.13 -

1.4. Citirea hrilor i planurilor F Definiii

a) CAROIAJUL GEOGRAFIC: Fiecare foaie de hart sau plan este mrginit de meridiane i paralele, care formeaz caroiajul geografic al seciunii respective. n colurile caroiajului geografic ce mrginete o seciune de

hart sau plan sunt trecute valorile coordonatelor geografice i , care reprezint valoarea paralelelor ncepnd de la Ecuator, respectiv valoarea meridianelor ncepnd de la meridianul de origine Greenwich care delimiteaz foaia de hart.

Intervalele dintre meridianele i paralelele care delimiteaz foaia de hart sunt mprite pe vertical n minute de latitudine i pe orizontal n minute de longitudine. Baza pentru cadrulgeografic este o linie de 0,1 mm

grosime, care se ngroa spre exterior pn la 0,5 mm pentru minutele impare.

b) CAROIAJUL RECTANGULAR: Caroiajul rectangular este format din

drepte trasate paralel la axele de coordonate rectangulare plane ale

sistemului de coordonate adoptat. Aceste paralele formeaz o reea de ptrate cu latura de 1 km sau un numr rotund de kilometri, denumit i reeaua kilometric. Pe planurile cu scara mai mare de 1:10000 aceast reea de ptrate se traseaz cu laturile de 10 cm la scara planului.

Pe un plan sau hart, liniile caroiajului rectangular nu sunt paralele cu liniile caroiajului geografic.

c) SEMNE CONVENIONALE: Semnele convenionale sunt semne grafice, simple, generalizate, alese astfel nct s sugereze imaginea detaliului din teren. Se pot clasifica astfel:

semne convenionale pentru planimetrie, care pot fi: Semne convenionale de scar se folosesc pentru reprezentarea pe hri

sau planuri a unor detalii importante din teren, dar care datorit dimensiunii lor reduse nu pot fi reprezentate la scara respectiv. Aceste semne indic precis poziia detaliului pe care l reprezint prin centrul lor sau al axei lor de simetrie. (De exemplu, reprezentarea punctelor

geodezice, a cilor ferate, a stlpilor, fntnilor, etc.) Semne convenionale de contur se folosesc pentru reprezentarea pe

hri sau planuri a detaliilor ce pot fi desenate la scara hrii (pduri, mlatini, lacuri, grdini, etc.). Ele nu redau poziia real a unui anumit detaliu din interiorul conturului.

Semne convenionale explicative sunt notrile convenionale care se folosesc pentru a da o caracteristic ct mai deplin detaliilor topografice. Se folosesc totdeauna combinat cu celelalte dou categorii de semne

Topografie

- C.14 -

pentru planimetrie (inscripiile de pe un pod, n interiorul conturului unei pduri, la cminele reelelor edilitare, etc.).

semne convenionale pentru relief (altimetrie). Relieful, ca un element principal din coninutul hrilor i al planurilor se reprezint de asemenea convenional. Se reprezint n general prin: Curbe de nivel reprezint poziia n plan a liniilor care unesc puncte de

aceeai cot de pe suprafaa topografic. Se mpart n urmtoarele categorii:

Curbe de nivel normale se traseaz la echidistana normal E, aleas n funcie de scara hrii sau a planului i n funcie de accidentaia terenului. Se reprezint printr-o linie subire i continu; Curbe de nivel principale sunt curbe de nivel normale ngroate care se

traseaz la cote rotunde. Pe ele se fac inscripiile care indic valoarea curbei de nivel;

Curbe de nivel ajuttoare se traseaz prin linii ntrerupte la echidistana E/2, ntre curbele normale; Curbe de nivel accidentale se traseaz cu linie punctat la echidistana

E/4, ntre curbele normale. Ultimele dou categorii de curbe de nivel se folosesc la reprezentarea reliefului, n teren plan, cu variaii altimetrice reduse ale suprafeei topografice.

Hauri se folosesc la reprezentarea terenurilor accidentate, cu panta peste 35, care nu pot fi reprezentate prin curbe de nivel. Aceste zone au indicat conturul, cotele lor la creast i la baz, iar n interiorul conturului apar hauri care sunt linii trasate pe direcia de cea mai mare pant, care prin lungime, densitate i grosime indic gradul de accidentaie al terenului. (Exemple: rpa, viroaga, ravena, movila, groapa, mal abrupt). Semnele convenionale pentru planimetrie i relief sunt cuprinse n

atlasele de semne convenionale pentru diverse scri, ele fiind n general identice ca form pentru diferite scri, deosebindu-se numai prin dimensiuni.

1.5. Probleme ce pot fi rezolvate pe hri i pe planuri

1.5.1. Determinarea unor elemente de planimetrie

1.5.1.a. Determinarea coordonatelor geografice

Coordonatele geografice ale punctelor se determin pe hart folosind caroiajul geografic al foii de hart.

- Se duc din punctul respectiv paralele la cadrul geografic pn ce acestea intersecteaz linia cadrului.

- Se stabilete valoarea minutului de latitudine i longitudine unde paralelele au intersectat cadrul geografic, n funcie de valorile arcelor de

Topografie

- C.15 -

paralel i de meridian care delimiteaz foaia de hart, nscrise n coltul de S V al hrii.

- Prin interpolare liniar se calculeaz secundele care trebuie adugate la valorile mai sus stabilite.

1.5.1.b. Determinarea coordonatelor rectangulare

Coordonatele rectangulare ale punctelor se determin pe hart folosind caroiajul rectangular al foii de hart.

- Se determin coordonatele rectangulare X,Y ale unui col de ptrat unde se afl punctul respectiv, folosind valorile nscrise n km pe cadrul hrii.

- Se coboar perpendiculare pe laturile alturate colului cruia i-au fost determinate coordonatele.

- Se citesc n milimetri distanele de la colul determinat pn la piciorul perpendicularelor i se transform folosind scara numeric a hrii. Se obin astfel creterile de coordonate ale punctului fa de colul cunoscut.

- Se calculeaz coordonatele punctului prin adunarea sau scderea, n funcie de sensul de cretere al coordonatelor, a creterilor de coordonate calculate.

Datorit unor condiii atmosferice (umiditate i temperatur), hrtia pe care sunt ntocmite hrile i planurile sufer deformaii (contracii sau dilatri). Pentru determinarea ct mai exact a unei mrimi de pe hart (n special lungimi), se recomand folosirea unui coeficient care s anuleze diferena.

Acest coeficient se poate determina folosind caroiajul rectangular al

hrii. Cunoscndu-se dimensiunea teoretic la care a fost trasat caroiajul rectangular, se poate verifica prin msurarea pe hart dac acest caroiaj

corespunde sau nu i se poate calcula un coeficient k dup relaia: reala

teoretica

l

lk

ntruct deformaia hrtiei este neuniform pe anumite direcii se vor calcula coeficieni de deformaie att pe direcia axei X, ct i pe direcia axei Y. De asemenea, deformaia hrtiei are valori diferite n anumite poriuni ale foii de hart. Din acest motiv se va stabili deformaia hrtiei n zona hrii n care se lucreaz.

1.5.1.c. Determinarea distanei

Distana se poate determina:

- folosind scara numeric a hrii 1000

nmmdmDAB ;

- folosind scara grafic a hrii (simpl i transversal);

- din coordonate: 22 ABABAB YYXXD . Precizia grafic pentru o eroare e=+/-2 mm este:

Topografie

- C.16 -

mDDmD

mn

mP

e

n

neP

AB

pe

AB

teren

AB

planpe

g

g

22

21000

20

20

1000

plan

,

,

1.5.1.d. Determinarea orientrii i a unghiurilor orizontale

Orientarea unei direcii reprezint unghiul format de direcia nordului geografic cu direcia respectiv, msurat n sens orar. Unghiul de orientare al unei direcii se poate determina pe hart prin dou procedee:

- folosind coordonatele rectangulare care definesc direcia respectiv:

AB

ABAB

XX

YYtg

- folosind raportorul circular gradat n grade centesimale. Pentru rspunde necesitilor topografiei, cercul trigonometric s-a

adaptat astfel:

- axa Ox este vertical, Oy este orizontal (vezi figura) - originea unghiurilor este axa Ox, iar sensul pozitiv, numit sens direct

topografic, este cel orar.

Definiiile i proprietile funciilor trigonometrice se pstreaz neschim-bate dac se construiete cercul topografic conform figurii 1.10.

+ X

+ Y

-X

+ Y

1

2

3

4

4

3

2

1

2

2

1

1

4

4

3

3

y

yy

x

xx

x

IV

I

II

III

y

Figura 1.10 Cerc topografic. Reprezentarea funciilor trigonometrice.

n vederea aflrii valorii i a semnului funciilor trigonometrice cnd se dau unghiuri n diferite cadrane sau calculului unghiurilor din ntreg cercul cnd cunoatem semnul i valoarea funciilor, este necesar s aplicm reducerea unghiurilor la primul cadran.(vezi tabelul 1.1).

Topografie

- C.17 -

Funcii trigonometrice

CADRAN

I

CADRAN

II

CADRAN

III

CADRAN

IV

0g

Topografie

- C.18 -

D

d

h

A

D d

A

Figura 1.11 Determinarea cotei unui punct

1.5.2.c. Determinarea unghiului vertical (de nclinare) al unei drepte de pe plan

Cunoscndu-se distana orizontal determinat prin una din metodele artate anterior i diferena de nivel, se poate calcula unghiul vertical (de nclinare) al dreptei respective:

AB

AB

D

Htg

BA

AB ABD

L ABB

AB'

Figura 1.12 Determinarea unghiului de pant

1.5.2.d. Determinarea pantei liniei ntre dou puncte de pe plan

Tangenta unghiului de nclinare reprezint chiar panta liniei ce unete cele dou puncte de pe plan:

AB

AB

D

Htgp

Poate fi exprimat n procente (la sut) i la mie:

Topografie

- C.19 -

tgptgp 1000100 /;/

sau se mai poate exprima n grade sexa sau cente.

Panta se mai poate exprima i pe cale grafic, folosind graficul de pant. Graficul de pant este o scar care permite determinarea grafic pe un plan sau hart a pantei unei linii numai ntre dou curbe de nivel. Graficul de pant se deseneaz pe marginea foii de plan sau hart, n funcie de echidistana E a curbelor de nivel i a numitorului scrii.

n construcia graficului de pant se pleac de la formula pantei, lundu-se un sistem de axe rectangulare, apoi pe una din axe la intervale arbitrare se

noteaz valorile pantei sau ale unghiului de pant . Din aceste puncte se ridic perpendiculare de lungime

p

ED

n

Dd

100

ale cror extreme se unesc, obinndu-se graficul de pant.

d i

0 1.51

d

2.5 32 654 10987 2015p%

Figura 1.13 Graficul de pant

Folosirea graficului de pant se face astfel: se ia ntre vrfurile compasului sau distanierului segmentul di ntre dou curbe de nivel pe direcia liniei creia dorim s-i aflm panta. Aceast distan di se transpune pe graficul de pant astfel ca o ghear a compasului s fie aezat pe axa pantei, iar cellalt vrf s fie pe grafic (vezi figura), citindu-se prin aproximare panta acestei linii pe axa pantei.

Graficul de pant se poate construi pentru orice form de exprimare a pantei unei linii ( ooop ,p oo, ), folosind una din axele sistemului rectangular

pentru forma de exprimare a pantei, iar cealalt ax pentru distane.

1.5.2.e. Trasarea pe plan a unei linii de pant dat

Trasarea pe plan a unei linii de pant constant (dat), apare de regul n lucrrile de studii, pentru trasarea axei unei ci de comunicaie, a axei unui

Topografie

- C.20 -

canal, etc.. Pentru trasarea unei linii de pant constant ntre dou puncte se folosesc curbele de nivel. n esen, aceast problem se reduce la gsirea unor distane di pe plan, astfel ca omoloagele lor Di din teren s aib panta p% egal cu cea impus.

Cnd punctele A i B se afl ntre dou curbe de nivel, se vor calcula distanele d1i d3 de la punctul respectiv pn la prima curb de nivel, iar ntre curbele de nivel se va calcula o distan d2, numit i pas de proiectare, toate corespunznd pantei p% impuse.

Se calculeaz d1, d2, d3 dup formulele de mai jos, avnd semnificaia: - d1 - distana de la punctul A la prima curb de nivel; - d2 - pasul de proiectare (distana ntre dou curbe de nivel consecutive); - d3 - distana de la ultima curb de nivel la punctul B.

np

Hd

np

Ed

np

Hd

oo

BC

oo

oo

CA 110011001100 21321

;;

Pentru a trasa linia de pant constant pe plan, se ia n compas distana d1, i, cu vrful compasului n A se descrie un arc de cerc care va intersecta prima curb de nivel n dou puncte. Aceste puncte unite cu punctul A dau direcii care respect condiia de pant impus.

Cu vrful compasului n aceste puncte i cu distana d2 se descriu dou arce de cerc care intersecteaz curba de nivel urmtoare n patru puncte, obinndu-se patru variante care respect condiia dat. Mergnd n continuare cu d2 n compas, variantele se dubleaz mereu, pn la ultima curb, din care, cu d3 n compas se face nchiderea pe punctul B.

n funcie de condiiile de proiectare se alege din aceste trasee varianta definitiv. Pentru a elimina nc de la nceput unele variante care devin neeconomice (se ndeprteaz mult de aliniamentul AB), este bine ca proiectarea liniei de pant constant impus s se porneasc din ambele puncte A i B, fcndu-se jonciunea lor pe traseul dintre A i B.

1.5.2.f. Construirea profilului topografic al terenului pe o anumit direcie

De multe ori, n lucrrile de studiu pe hart, se ridic problema reproducerii configuraiei naturale a terenului pe un anumit aliniament. Pe planuri sau hri cu curbe de nivel, aceast problem se rezolv construind profilul topografic al terenului pe o anumit direcie dorit.

Pentru a reprezenta ct mai sugestiv terenul dintre dou puncte, se ia de regul scara nlimilor de 10, 20, 25 de ori mai mare dect scara lungimilor.

- Se unesc punctele A i B cu o linie dreapt i se numeroteaz toate punctele unde linia taie curbele de nivel;

- Se consider scara lungimilor egal cu scara planului, iar scara nlimilor de 10 ori mai mare;

- Pe axa orizontal se alege o origine care se atribuie punctului A;

Topografie

- C.21 -

- Se iau n compas distanele ntre punctul A i punctele de intersecie ale dreptei AB cu curbele de nivel i se transpun pe axa orizontal, din aceste puncte ridicndu-se verticale;

- Pe axa vertical a profilului se aeaz cotele punctelor la scara nlimilor, pornind de la un plan de referin care s permit reprezentarea punctului de cea mai mic cot;

- Avnd pe aliniamentul AB toate punctele de cot cunoscut, se duc drepte orizontale din aceste valori reprezentate pe scara vertical, pn ce acestea intersecteaz verticalele ridicate din punctele corespondente;

- Unind punctele de intersecie obinute, rezult profilul topografic al terenului pe direcia AB.

n general, la ntocmirea profilului topografic nu se mai construiete scara nlimilor, valoarea cotelor raportndu-se direct pe verticalele ridicate din punctele caracteristice, eliminndu-se astfel ncrcarea nejustificat a graficului.

1.5.3. Exemple

Pe o hart la scara 1:25000 au fost amplasate dou puncte A i B. Pe poriunea de hart anexat se pot rezolva urmtoarele probleme:

1.5.3.a. Determinarea distanei orizontale dintre punctele A i B folosind scara grafic simpl a hrii, cu baza b=1cm

Baza = 1 cm

D = 2345 mAB

Figura 1.14 Utilizarea scrii grafice liniare

1.5.3.b. Determinarea distanei orizontale dintre punctele A i B folosind scara numeric a hrii:

DAB (m) = d (mm) . n / 1000 = 93.9mm

. 25000/1000 = 2345.0 m

Pg = e . n = 0.3 mm

. 25000 / 1000 = 7.5 m

1.5.3.c. Determinarea distanei orizontale dintre punctele A i B folosind

Topografie

- C.22 -

scara grafic transversal a hrii, cu baza b=2cm:

D = 2345 mBaza = 2 cm

AB

Precizia = 1/100 x baza = 5m50

250

20

500

10

5

0

15

45

35

30

25

40

0 500 1000 30001500 2000 2500 3500

Figura 1.15 Utilizarea scrii grafice transversale

1.5.3.d. Determinarea coordonatelor geografice ale punctelor A i B

Pentru punctul A:

A = 0 + = 45056

+ (29.2mm

. 60

/74 mm) = 45

056

+23,7 4505624

A = 0 + = 24

028

+ (12.3mm

. 60

/52 mm) = 24

028

+14,2 2402814

Pentru punctul B:

B = 0 + = 45055

+ (27.0mm

. 60

/74 mm) = 45

055

+21,9 4505522

B = 0 + = 24

027

+ (10.2mm

. 60

/52 mm) = 24

027

+11,8 2402712

1.5.3.e. Determinarea coordonatelor rectangulare ale punctelor A i B:

Pentru punctul A:

XNE = 5093 km

YNE = 5304 km

XA = XNE X = 5093 km (15.2mm . 25000 / 1000) =

= 5093 km 380 m = 5092620 m YA = YNE Y = 5304 km (6.1mm

. 25000 / 1000) =

= 5304 km 152.5 m = 5303847.5 m Pentru punctul B:

XNV = 5091 km

YNV = 5302 km

XB = XNV X = 5091 km (10.2mm . 25000 / 1000) =

= 5091 km 255 m = 5090745 m YB = YNV + Y = 5302 km + (17.9mm

. 25000 / 1000) =

= 5302 km 447.5 m = 5302447.5 m innd seama de contracia hrtiei hrii:

Pentru A: Pentru B:

Kx = 40/40.1 = 0.997506 Kx = 1

Topografie

- C.23 -

Ky = 40/40.2 = 0.995025 Ky = 40/40.3 = 0.992556

XA = 379.05 m; XA = 5092620.95 m YA = 151.74 m; YA = 5303848.26 m XB = 255.00 m; XB = 5090745.00 m YB = 444.17m; YB = 5302444.17 m

1.5.3.f. Determinarea distanei orizontale dintre punctele A i B folosind coordonatele rectangulare:

22 ABABAB YYXXD = 2343.22 m

1.5.3.g. Determinarea orientrii dintre punctele A i B:

AB

ABAB

XX

YYarctg

= 240g90c41cc

1.5.3.h. Determinarea cotelor punctelor A i B i a diferenei de nivel dintre acestea:

HA = 655 m + (0.8mm.5 m / 1.5 mm) = 655 m + 2.67 m = 657.67 m

HB = 515 m + (0.9mm.5 m / 1.8 mm) = 515 m + 2.50 m = 517.50 m

ABAB HHH = -140.17 m

1.5.3.i. Determinarea pantei liniei dintre punctele A i B:

AB

AB

D

Htgp

= - 0.059819

tg100/p = -5.9819%, tgp 1000/ = - 59.819 %o

AB

AB

D

Htg

; g = -3g80c37cc; o = -3o2524

1.5.3.j. Trasarea pe hart a unei linii de pant dat (constant) ntre punctele A i B:

mmm

d 1625000

1

5

677100

00

1 ..

mmm

d 02025000

1

5

25100

00

2 .

mmm

d 0625000

1

5

57100

00

3 ..

1.5.3.k. Construirea profilului topografic al terenului pe direcia punctelor A i B:

Topografie

- C.24 -

SC : 1:25000SC : 1:2500

D

H

Figura 1.16 Profilul topografic al terenului

Figura 1.17 Harta la scara 1:25 000. Zona de lucru

Topografie

- C.25 -

22.. RReeeellee ddee sspprriijjiinn

2.1. Reele de triangulaie local Aceste reele se proiecteaz i se execut n cazuri de excepie ca de

exemplu:

- cnd triangulaia geodezic nu exist pe suprafaa de ridicat; - cnd condiiile de precizie asigurate de reeaua geodezic de stat nu sunt

ndeplinite; - cnd se necesit o densitate de puncte de sprijin mai mare, determinate cu

o precizie ridicat. Triangulaia local poate fi privit ca o triangulaie geodezic pe o

ntindere redus (laturi de lungime maxim de 3 km).

Realizarea unei reele de triangulaie local comport n principal 3 etape:

- operaii preliminare - operaii de teren - operaii de calcul

2.1.1. Operaii preliminare

- ntocmirea formalitilor pentru nceperea lucrrii; - procurarea instrumentelor, materialelor i datelor necesare lucrrii; - proiectarea pe hart a triangulaiei locale.

2.1.1.a. Proiectarea pe hart a triangulaiei locale:

a) Pe o hart la scar mic, se delimiteaz suprafaa care constituie obiectul msurtorilor geodezice. Aceast suprafa este necesar pentru probleme de organizare, precum i pentru un antecalcul privind costul lucrrii;

b) Se aleg amplasamentele punctelor de triangulaie, funcie de densitatea dorit i asigurarea vizibilitii ntre puncte. Cnd vizibilitatea ntre puncte este incert se ntocmesc profile topografice ale terenului, pe baza curbelor de nivel ale hrii. n cazul cnd pe aliniamentul dintre dou puncte sunt obstacole (pduri, cldiri, etc.) se va cuta situaia ca viza s treac la minimum trei metri deasupra obstacolelor.

c) Se va prevedea modul de semnalizare a punctelor i condiiile de acces la aceste puncte.

Topografie

- C.26 -

d) Prin proiectare se va cuta ca triunghiurile s fie bine conformate, s fie pe ct posibil echilaterale. n acest caz, transmiterea erorilor de la un triunghi la altul va fi minim. Concomitent se va studia posibilitatea msurrii unei laturi care s constituie baza reelei de triangulaie topografic local sau eventual a unei baze auxiliare.

Semnal

S

d > 3m

topografic

Obstacol

A

B

Instrument de masurarea lungimilor

Suprafatafizica a terenului

Figura 2.1 Asigurarea vizibilitii ntre punctele reelei de triangulaie

Importana care revine conformaiei optime a triunghiurilor va fi ilustrat n cele ce urmeaz (figura 2.2)

Figura 2.2 Analiza propagrii erorilor

1.1.1.a-1. A, B, C notaia pentru unghiurile triunghiurilor

a, b, c notaia pentru laturile triunghiului , , erorile de msurare a ungiurilor A,B,C

x, y, z erorile corespunztoare laturilor Pentru a analiza propagarea erorilor vom considera dou cazuri:

I. Unghiuri neeronate i baza eronat cu eroarea x ( = = = 0; x 0).

Topografie

- C.27 -

Eroarea x va genera un triunghi de eroare A12, n care putem scrie:

C

z

B

y

A

x

sinsinsin => ;sin

sinB

A

xy C

A

xz sin

sin .

Triunghiurile ABC i A12 fiind asemenea putem scrie mai departe:

c

z

b

y

a

x , de unde: ;b

a

xy c

a

xz .

Se remarc din ambele relaii necesitatea ca a = b = c i sinA = sinB = sinC pentru ca erorile x,y,z s fie egale.

Dac b = 2a => y = 2x sau c = 3a => z = 3x, .a.m.d.

Laturile b i c constituind baze pentru triunghiurile alturate se remarc o amplificare a erorii bazei iniiale, dac triunghiurile sunt ru conformate.

II. Cnd baza este neeronat, iar unghiurile sunt afectate de erori: x = 0, 0, 0, 0.

.)sin()sin()sin(

C

zc

B

yb

A

a

)sin()()sin( AybBa

a sinB cos + a cosB sin = = b sinA cos + b cosA sin + y sinAcos + y cosA sin,

i valori mici de regul de ordinul secundelor => sin = cc sin1cc, cos 1; sin = cc sin1cc, cos 1

=> a sinB + a cosB cc sin1cc = b sinA + b cosA cc sin1cc + y sinA + y cosA cc sin1cc

ns: a sinB = b sinA, iar ultimul termen se neglijeaz fiind foarte mic. Rezult:

A

AbBay

cccccccc

sin

sincossincos 11

Msurndu-se cu acelai instrument se poate considera = = ca ordin de mrime.

ns = + sau = - 1. Cazul cnd = + =>

)cossin

cossin(sin A

A

bB

A

ay cccc 1

Din teorema sinusului tim c: AB

ba sin

sin i rezult:

)(sin

)cossin

cossinsin

sin(sin

ctgActgBb

AA

bB

AB

Aby

cccc

cccc

1

1

Topografie

- C.28 -

se observ c y = 0 numai cnd B = A i asemntor i pentru C 2. Cazul cnd = - =>

)cossin

cossin(sin A

A

bB

A

ay cccc 1 , dar A

B

ba sin

sin

)cossin

cossin(sin A

A

bB

A

ay cccc 1 ,

)(sin ctgActgBby cccc 1

Eroarea y poate deveni zero numai dac se anuleaz paranteza.

)]cos()[cos(

)sin(

sinsin

cossincossin

sin

cos

sin

cos

BABA

BA

BA

ABBA

A

A

B

BctgActgB

2

1

dar A+B = 200g C => CBA

C

cos)cos(

sin

2

Valoarea minim pentru se obine atunci cnd numitorul este maxim, adic cos(A-B) 1 i aceasta numai cnd A = B.

Se admit ca unghiuri normale n triunghiuri, unghiurile cuprinse ntre 40g 80g; Minim 30g.

e) Proiectarea punctelor de ndesire a reelei de triangulaie local; Se vor stabili punctele care vor fi determinate prin intersecie nainte

(antene, couri de fum, cruci de biserici, etc.), intersecie napoi sau intersecie combinat.

f) Recunoaterea terenului i definitivarea proiectului: - definitivarea proiectului de marcare i semnalizare a punctelor; - s fie asigurat accesul la puncte cu materiale i instrumente; - terenul din jurul punctelor s fie stabil; - terenul s nu fie cu vegetaie nalt care s mpiedice vizibilitatea ntre

puncte, eventual defriarea i curirea terenului din jurul punctelor i de pe traseul bazei.

n funcie de forma terenului i de obstacolele pe care trebuie s le evitm i n funcie de relieful terenului se aleg tipuri de reele de triangulaie local. n principiu, punctele de triangulaie se aleg pe locuri dominante ca s se asigure o ct mai bun vizibilitate n tur de orizont, la ct mai multe puncte de triangulaie vecine.

Tipurile principale de reele de triangulaie local sunt:

poligon cu punct central cu baza normal i baza scurt (figura 2.3) Reeaua de triunghiuri care formeaz un poligon cu punct central se

aplic n cazul terenurilor ntinse n toate direciile i cu suficient vizibilitate.

Topografie

- C.29 -

Se va msura o latur a unui triunghi care va fi considerat triunghiul I i apoi n sensul acelor de ceasornic se numeroteaz celelalte triunghiuri cu II, III, IV i V.

Poligonul va trebui s aib un numr de 5, cel mult 7 triunghiuri. Din fiecare punct de triangulaie se vor msura toate unghiurile

triunghiurilor i se vor nota cu i, i, i ca n figura 2.3.a). Cnd nu se poate msura o latur a triunghiului se va msura o aa-

numit baz scurt, care se va dezvolta printr-un patrulater pe latura triunghiului, ca n figura 2.3.b).

a) b)

b = baza normal b = baza scurt

Figura 2.3 Poligon cu punct central

lan de poligoane cu punct central (figura 2.4).

Figura 2.4 Lan de poligoane cu punct central

Se aplic n cazul suprafeelor alungite, dar destul de late. Poligoanele vor cuprinde cte 5-7 triunghiuri, cu laturile aproximativ egale, dup cum impune terenul, astfel ca triunghiurile s fie ct mai aproape de forma echilateral.

Topografie

- C.30 -

patrulater cu diagonalele observate cu baz normal i baz scurt (figura 2.5).

Se aplic n cazul terenurilor cu suprafa mic. Se msoar o latur i toate unghiurile formate de direciile diagonalelor i laturilor. n cazuri speciale se poate recurge la baze scurte.

Notarea triunghiurilor i a unghiurilor se poate face considernd tri-nghiurile suprapuse n parte: 1-2-3, 2-3-4, 3-4-1 i 4-1-2.

bS = baz scurt b = baz normal

Figura 2.5 Patrulatere cu ambele diagonale observate

lan de patrulatere (figura 2.6).

Figura 2.6 Lan de patrulatere

Se aplic tot pentru msurarea suprafeelor alungite. Elementele care se msoar sunt: toate unghiurile, dou laturi la extremitile lanului sau dou baze scurte i orientrile acestor baze.

lan de triunghiuri (figura 2.7).

Topografie

- C.31 -

Figura 2.7 Lan de triunghiuri

Se aplic n cazul suprafeelor alungite, n special al vilor nguste. Se msoar toate unghiurile din fiecare punct, dou laturi (una n primul triunghi i a doua n ultimul triunghi) sau dou baze scurte, sau o latur i o baz scurt, precum i orientrile acestor baze.

n cazul cnd numrul triunghiurilor lanului este mai mare de zece, se vor msura baze de control dup fiecare zece triunghiuri.

2.1.2. Operaii de teren

2.1.2.a. Marcarea i semnalizarea punctelor din reeaua de triangulaie local a punctelor de ndesire;

Marcarea n sol cu borne i n suprasol prin semnale se va face n puncte noi prin borne din piatr natural sau din beton armat i respectiv prin semnale simple cu fluture sau prin semnale cu picioare.

2.1.2.b. Efectuarea msurtorilor unghiulare:

- unghiurile orizontale vor fi msurate ntre orele 600 1100; 1630 1930; - unghiurile verticale vor fi msurate ntre orele 1100 1500; - se vor msura dimineaa punctele din partea de rsrit i dup-amiaza cele

de apus pentru a avea tot timpul soarele n spate; - se va ntocmi la nceput un tur de orizont informativ n puncte, pentru a

evita micri suplimentare n cutarea punctelor; - se vor msura unghiurile prin metoda seriilor, respectnd toate

recomandrile i restriciile prevzute. - se va stabili numrul de serii complete de msurare n fiecare punct i pe

baza acestora se va stabili intervalul dintre originile seriilor:

tqI

g

400 q numrul microscoapelor de citire (= 2)

t numrul seriilor

Topografie

- C.32 -

tI

g200

Pentru a se diminua erorile de perioada scurt ale gradaiilor limbului, se modific intervalele calculate cu 10c.

Exemplu: pentru un WILD T2 cu q = 2 i pentru t = 4 rezult originile pentru cele 4 serii:

gg

I 504

200

1. 0g 00

c

2. 0g 00

c + I + 10

c = 50

g 10

c

3. 0g 00

c + 2(I + 10

c) = 100

g 20

c

4. 0g 00

c + 3(I + 10

c) = 150

g 30

c

Direciile n punctele reelei vor fi msurate cu teodolite de precizie (Wild T2, Theo 010A sau B, Wild T3).

La fiecare direcie se va msura cu dou coincidene la micrometrul optic. Diferena ntre dou coincidene nu trebuie s depeasc 4cc.

nchiderea unui tur de orizont s nu depeasc scc6 , unde s =

numrul de puncte vizate; Variaia ntre diferitele direcii reduse la origine s nu depeasc 15

20 cc

Seriile fiind cicluri de observaii independente, este permis refacerea calrii instrumentului ntre serii dac este nevoie.

ntr-o serie se admit maximum 8 vize. Dac trebuie msurate mai mult de 8 direcii dintr-o staie se vor forma

dou grupe care s conin 2 3 direcii comune, de preferin direcia de origine s fie comun pentru cele 2 3 grupe.

Compensarea seriilor i stabilirea direciilor ce vor intra n compensare.

2.1.2.c. Efectuarea msurtorilor liniare asupra bazei reelei de triangulaie.

Determinarea mrimii liniare a bazei reelei de triangulaie se poate face prin:

- msurarea direct; - msurarea cu aparatur electrooptic; - nivelmentul bazei; - determinarea lungimii bazei.

2.1.3. Operaii de calcul (Compensarea msurtorilor)

n esen se urmrete o geometrizare a reelei de triangulaie, astfel nct figurile geometrice create s satisfac urmtoarele condiii:

- suma unghiurilor n triunghiuri s fie 200g;

Topografie

- C.33 -

- suma unghiurilor n jurul unui punct s fie 400g; - ntre laturi i sinusurile unghiurilor opuse s existe raporturi de perfect

egalitate.

Primele dou asigur condiii geometrice de baz, iar ultima asigur condiia de scar n reeaua creat. tiut fiind c msurtorile noastre unghiulare i liniare sunt afectate de erori, condiiile amintite mai sus, vor fi satisfcute numai aproximativ, ceea ce impune efectuarea unor calcule de compensare.

Uzual sunt folosite dou metode de compensare a msurtorilor: - metoda msurtorilor condiionate - metoda msurtorilor indirecte

Topografie

- C.34 -

33.. nnddeessiirreeaa rreeeelleelloorr ddee ttrriiaanngguullaaiiee

3.1. Principiile interseciilor Metoda de determinare a punctelor geodezice de ordin inferior este aceea

a interseciilor. Acestea sunt de trei feluri:

- intersecii nainte (directe) - intersecii napoi (retrointersecii) - intersecii laterale (combinate)

Toate aceste trei feluri de intersecii utilizate pentru determinarea punctelor de ordinul IV i V sunt intersecii analitice obinuite, adaptate la trei situaii diferite care se pot prezenta n teren.

Se tie din geometria analitic c avnd ecuaiile a dou drepte de orientare cunoscut 1 i 2, trecnd fiecare din ele prin cte un punct dat A i B (deci cu coordonate cunoscute) se gsesc coordonatele punctului nou P la intersecia celor dou drepte date, rezolvnd sistemul de ecuaii dat.

n practica topografic nu ne mulumim cu coordonatele gsite pentru P numai dintr-o singur combinaie de dou drepte i dou puncte date, ci se va aplica pentru control i asigurarea preciziei, aceeai problem la 2 3 combinaii de cte dou drepte i dou puncte date.

Figura 3.1 Triunghiul de eroare al interseciei topografice

Din cauza erorilor inerente fcute n determinrile coordonatelor punctelor A, B, C i n aceea a orientrilor 1, 2, i 3 nu va rezulta un punct

Topografie

- C.35 -

unic de intersecie P al direciilor AP, BP i CP ci trei puncte P1, P2 i P3 care mpreun formeaz aa-zisul triunghi de eroare al interseciei. Aria acestui triunghi este cu att mai mic cu ct determinrile sunt mai ngrijite i mai precise, dar niciodat nul.

Dac valorile coordonatelor punctelor P1, P2 i P3 sunt sensibil apropiate se va lua o valoare medie ntre ele i acestea vor constitui drept coordonate finale ale punctului cutat P.

Aceasta aste prima caracteristic general a interseciilor topografice. Ele se mai caracterizeaz i prin aceea c se mpart n:

a) intersecii nainte, dac au fost staionate numai punctele vechi A, B, C i s-au dat vize din ele spre punctul nou P necunoscndu-se unghiurile , , (figura 3.2);

b) intersecii napoi, dac nu a fost staionat dect punctul nou P din care s-au dat vize spre punctele vechi A, B, C msurndu-se unghiurile 1, 1, 1. (figura 3.3).

c) intersecii laterale dac a fost staionat punctul nou P i nc cel puin unul intre punctele vechi, de pild B, msurndu-se unghiurile 2, 2, 2 i unghiul (figura 3.4).

Oricare din cele trei variante se trateaz teoretic la fel ca principiu de rezolvare, cci din punct de vedere matematic problema este aceeai indiferent de felul cum s-au obinut orientrile 1, 2 i 3.

Figura 3.2 Intersecia nainte

Topografie

- C.36 -

Figura 3.3 Intersecia napoi

Figura 3.4 Intersecia lateral

3.2. Intersecia nainte

P

(X ,Y )

N

1

X

(X ,Y )

O

A 1

N

1

1'

''

'

C

'

(X ,Y )

(X,Y)

'

13

'

'

B''

'

2 2

N

2'

Y

Figura 3.5 Intersecia nainte. Elemente. Procedeul analitic

Topografie

- C.37 -

Fiind date punctele vechi de ordin superior sau inferior A(X1,Y1);

B(X2,Y2) i C(X3,Y3), ele se vor staiona cu teodolitul de precizie i se vor msura respectiv unghiurile , , .

3.2.1. Procedeul analitic

Putem scrie:

12

12

1

12

12

12

12

1X

Yarctg

XX

YY

X

Ytg

''

23

23

1

23

23

23

23

2X

Yarctg

XX

YY

X

Ytg

''

13

13

1

13

13

13

13

3X

Yarctg

XX

YY

X

Ytg

''

Se vede c:

AP = 1' + = 1 BP = 2' + = 2 CP = 3' + = 3

Ecuaiile analitice a dreptelor (n cazul nostru a vizelor orientate) AP, BP i CP sunt:

(AP) Y Y1 = tg1 (X X1) (BP) Y Y2 = tg2 (X X2) (CP) Y Y3 = tg3 (X X3)

Lund primele dou ecuaii din sistemul de mai sus avem un sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute X i Y care reprezint coordonatele punctului P.

Y Y1 = tg1 (X X1) Y Y2 = tg2 (X X2)

Se scad cele dou ecuaii i rezult: Y2 Y1 = X(tg1 tg2) + (X2 tg2 X1 tg1)

21

112212

tgtg

tgXtgXYYX

(99)

Introducnd valoarea obinut n relaia de mai sus obinem: Y = Y1 + tg1 (X X1) Y = Y2 + tg2 (X X2)

Ecuaiile (99) i (100) dau tocmai coordonatele punctului P (de fapt P1). Lund, n continuare, ecuaiile 2 i 3 din relaia (97), apoi ecuaiile 3 i 1

i procednd ca mai sus se vor gsi nc alte dou perechi de coordonate pentru P (de fapt pentru P2 i P3).

Dac cele trei rnduri de coordonate alctuiesc un ecart maxim de 15 cm atunci media aritmetic a valorilor obinute se consider ca i coordonate

Topografie

- C.38 -

definitive pentru punctul P:

3

'''''' XXXX

3

'''''' YYYY

3.2.2. Procedeul trigonometric

Problema se reduce la metoda radierii.

Figura 3.6 Intersecia nainte

3.2.2.a. Etape de rezolvare:

a) Calculul orientrii 1-2 din coordonatele punctelor vechi

12

12

21

12

12

21X

Yarctg

XX

YYtg

b) Calculul orientrilor 1-P i 2-P

1-P = 1-2 ; 2-P = 1-2 200g + ;

c) Calculul distanei d1-2 din coordonate:

2

12

2

1221 )()( YYXXd

d) Calculul distanelor d1-P i d2-P din teorema sinusurilor:

= 200g ( + )

sin

sinsinsinsin21

12121

dd

dddP

PP ;

sin

sin

21

2

dd P ; ;sin Md P1 sin Md P2

Topografie

- C.39 -

sin12dM i se numete modul

e) Calculul coordonatelor punctului P prin radiere:

XP=d1-P cos1 + X1 = X1 + X1-P XP=d2-P cos2 + X2 = X2 + X2-P YP=d1-P sin1 + Y1 = Y1 + Y1-P

YP=d2-P sin2 + Y2 = Y2 + Y2-P

dac TolerantaXX

TolerantaXX

PP

PP

'''

'''

, atunci

;'''

2

PP

P

XXX

;

'''

2

PPP

YYY

3.2.2.b. Condiii de aplicare n producie

Din punct de vedere practic sunt de adugat cteva reguli de lucru pentru ca rezultatele s fie ct mai bune.

- se vor folosi n calcul, pentru determinarea punctelor, vize ct mai scurte i n orice caz ct se poate mai egale ca lungime;

- se vor folosi cel puin trei vize venite din puncte vechi, lundu-se dou cte dou n toate combinaiile posibile;

- unghiurile optime sub care trebuie s se intersecteze vizele n punctul nou sunt ntre 30g 100g. Se exclud cu desvrire unghiurile obtuze sau prea ascuite.

Distribuie corect a Distribuie la limit a

vizelor la intersecia nainte vizelor la intersecia nainte

Figura 3.7.

- cele 3 - 4 vize din care se calculeaz un punct nou trebuie s fie rspndite ct mai uniform pe ntregul tur de orizont. Sunt slabe determinrile fcute

Topografie

- C.40 -

din vize care se grupeaz n dou cadrane i sunt excluse cele ce se grupeaz ntr-un singur cadran.

Figura 3.8 - Distribuie defectuoas a vizelor

3.2.2.c. Organizarea calculelor pentru intersecia nainte:

Pct. X tg Y Orientarea

A 1 8953,38 0,349434 20210,61 221g40

c13

cc

P 5130,21 18874,66 21

112212

tgtg

tgXtgXYYX

121 tgXXYY )(

121 tgXXYY )(

B 2 3544,17 -

0,910018 20317,99 352

g99

c69

cc

3.2.2.d. Exemple DETERMINAREA COORDONATELOR PUNCTELOR DE NDESIRE 913 I 926 PRIN

METODA INTERSECIEI NAINTE

Staia 55

a. Coordonatele punctelor vechi 55, 59, 63, 85, 56

Pct X Y

55 10133.111 6959.121

59 9507.900 8704.780

63 7794.871 7807.489

85 7536.629 6177.881

56 9648.995 5916.022

b. Direciile orizontale compensate n staia 55

PS PV Direcii msurate

55 59 382.7289

Topografie

- C.41 -

913 16.9764

63 38.6768

85 79.4409

56 133.1700

c. Schia vizelor

55

59

63

56

N

913

zero limb

55

55-59

55-6355-85

55-56

85

55-913

dir85

dir56

dir63

dir59

dir913

Figura 3.9 Schia vizelor n staia 55

1. Calculul orientrilor ctre punctele vechi:

x

yarctgij

8423177

8945121

6355

5955

.

.

60632188555 .

33712725655 .

2. Calculul distanelor de la punctul 55 la punctele vechi

Di j= 2ij2

ij yyxx

5955D = 2421854.

9671149

4672711

3872487

5655

8555

6355

.

.

.

D

D

D

3. Calculul unghiului 55

16561397289382400894512140059595555 ... GI dir

1655139676838842317763635555 ... dirII

Topografie

- C.42 -

1654139440979606321885855555 ... dirIII

16711391700133337127256565555 ... dirIV

4. Calculul mediei ponderate mediu55

pi = Dij(km) p1 = D55-59 = 1.854 km

p2 =D55-63 = 2.487 km

p3 = D55-85 = 2.711 km

p4 = D55-56 = 1.149 km

16571394321

554553552551

55 .

pppp

pppp IVIIIIIImediu

5. Calculul orientrii 91355

14211569135591355 . dirmed

STAIA 59 a) Cordonatele punctelor vechi 59,77,63,55

Pct X Y

59 9507.900 8704.780

77 7006.267 8873.495

63 7794.871 7807.489

55 10133.111 6959.121

b) Schia vizelor

55

59

63

N

913

zero limb

59

55-913

59-77

59-63

59-55

77

55-926

dir55

926

dir77

dir63


c) Direciile orizontale compensate n staia 59

PS PV Dir. msurate

59 926 274.3233

Topografie

- C.43 -

77 309.9136

913 333.8175

63 344.9188

55 36.0940

1. Calculul orientrilor ctre punctele vechi

8945321

7175230

7130195

5559

6359

7759

.

.

.

2. Calculul distanelor de la pct. 59 la punctele vechi

2421854780870412169599950711110133

804193378087044897807995078717794

3152507

22

5559

22

6359

7759

.....

.....

.

D

D

D

3. Calculul unghiului 59 (valori provizorii)

4. Calculul mediei ponderate med59

7995285321

593592591

59 .

ppp

ppp IIIIIImed

5. Calculul orientrii 9265991359 ,

1228160400

617219400

9265992659

9135991359

.

.

dir

dir

med

med

STAIA 63 a) Coordonatele punctelor vechi 63, 55, 59, 77

Pct X Y

63 7794.871 7807.489

55 10133.111 6359.121

kmDp

kmDp

kmDp

8541

9331

5072

55593

63592

77591

.

.

.

80052850940368945321

79872854009188344175230400

799428540091363097130195400

5555595559

6363596359

7777597759

...

...

...

dir

dir

dir

Topografie

- C.44 -

59 9507.900 8704.780

77 7006.267 8873.495

b) Direciile orizontale compensate n staia 63


63

55 284.0989

59 336.9735

913 351.9322

926 389.7671

77 46.8040

c) Schia vizelor 55

59

63

N

913

zero limb

63

77

926

dir77

dir55

dir59

63-55

63-77

63-59

63-913

63-926


1. Calculul orientrilor ctre punctele vechi:

5479140

717530

8423377

7763

5963

5563

.

.

.

2. Calculul distanelor de la pct. 63 la punctele vechi

9961325

8041933

3872487

7763

5963

5563

.

.

.

D

D

D


Topografie

- C.45 -

7439938040465479140

744934009735336717530400

74349309892848423377

77776363

59596363

55556363

...

...

...

dir

dir

dir

III

II

I

4. Calculul mediei ponderate med63

kmp

kmp

kmp

3251

9331

4872

3

2

1

.

.

.

743793321

633632631

63 .

ppp

ppp IIIIIImed

5. Calculul orientrilor 91363 92663

5108837671389743793

6759459322351743793

9266392663

9136391363

...

...

dir

dir

med

med

STAIA 77

a) Coordonatele punctelor vechi 77, 92, 63, 59

Pct X Y

77 7006.267 8873.495

92 6058.081 7560.912

63 7794.871 7807.489

59 9507.900 8704.780

b) Direciile orizontale compensate n staia 77


77

92 334.5030

63 14.8771

913 52.3590

59 70.0422

926 107.5675

Topografie

- C.46 -

c) Schia vizelor 59

N

913

77

926

63

92

zero limb

63-913

63-913

63

dir

dir

dir

63-77

63-77

63-77

92

59

63


1. Calculul orientrilor ctre punctele vechi

7130395

5479340

1737260

5977

6377

9277

.

.

.

2. Calculul distanelor de la punctul 63 la punctele vechi

3152507

9961325

2381619

5977

6377

9277

.

.

.

D

D

D


67083250422707130395

67083258771145479340

670732540050303341737260400

59597777

63637777

92927777

...

...

...

dir

dir

dir

III

II

I

4. Calculul mediei ponderate med

77

kmp

kmp

kmp

5072

3251

6191

3

2

1

.

.

.

6708325321

773772771

77 .

ppp

ppp IIIIIImed

5. Calculul orientrilor 91377 92677

23833356751076708325

02983783590526708325

9267792677

9137791377

...

...

dir

dir

med

med

Topografie

- C.47 -

A. Procedeul analitic . Intersecie nainte cu orientri Elemente necesare rezolvrii problemei

a. Coordonatele punctelor vechi 59, 63, 77, 55

Pct X Y

55 10133.111 6959.121

59 9507.900 8704.780

63 7794.871 7807.489

77 7006.267 8873.495

b. Orientrile din punctele staionate ctre punctul nou 913

675945

1421156

91363

91355

.

.

0298378

617219

91377

91359

.

.

c. Schia vizelor

55

59

77

63

913

N

N

N

N

55-913

59-913

77-913

63-913

I

IV

III

II

Figura 3.13 Intersecia nainte cu orientri

1.Calculul coordonatelor punctului nou 913, folosind relaiile

Pct X tg Y

59 9507.900 0.3182813 8704.780 219.617

913 8429.966 - 694.8361

694.8361 -

55 10133.111 -0.8235191 6959.121 156.1421

63 7794.871 0.872611043 7807.489 45.6759

913 8429.97 - 68370.8361

68377.8361 -

77 7006.267 -0.359493472 8873.495 378.0298

9135991355

913595991355555559

913

tgtg

tgXtgXYYX

Topografie

- C.48 -

Triunghiul 1

913595991359913 tgXXYY 913555591355913 tgXXYY

9136391377

913636391377777763

913

tgtg

tgXtgXYYX

Triunghiul 2

913636391363913 tgXXYY 913777791377913 tgXXYY

913X = 8429.96 913X = 8429.97

698361913 .Y 6838361913 .Y

698361913 .Y 6838361913 .Y

Calculul valorilor medii ale coordonatelor pct. 913

2

9784299668429

2913

..

IIII

XXX = 8429.968

4

913IIIIIIII YYYYY 8361.69

X913 = 8429.968 Y913 = 8361.69

B. Procedeul analitic. Intersecie nainte cu unghiuri ii Elemente necesare rezolvrii problemei

a) Schia vizelor

55

59

77

63

913

N

N

N

N

55-913

59-913

77-913

63-913

I

IV

III

II

1

4

1

2

2

3

3

4

Figura 3.14 Intersecia nainte cu unghiuri

Topografie

- C.49 -

b) Coordonatele punctelor vechi

Pct X Y

59 9507.900 8704.780

77 7006.267 8873.495

55 10133.111 6959.121

63 7794.871 7807.489

c) Unghiurile orizontale msurate n punctele cunoscute ii 90392391363098175333779132 ... dirdir

683217359052042270913592 ... dirdir

83336709892849322351559134 ... dirdir

700421976416676838913634 ... dirdir

Calculul coordonatelor punctului nou 913

Pct X ii

ctg Y ii ,

59 9507.900 2.53689 8704.780 23.9039

913 8429.949 - 8361.690 -

77 7006.267 3.50707 8873.495 17.6832

55 10133.111 2.81916 6959.121 21.7004

913 8429.983 - 8361.689 -

63 7794.871 0.553169 7807.489 67.8333

Triunghiul 2.

22

259775977

59913

22

259777759

59913

ctgctg

ctgYYXXYY

ctgctg

ctgXXYYXX

9498429913 .X

69048361913 .Y

Triunghiul 4.

44

463556355

63913

44

463555563

63913

ctgctg

ctgYYXXYY

ctgctg

ctgXXYYXX

6898361

9838429

913

913

.

.

Y

X

Topografie

- C.50 -

Calculul valorilor medii

X913 = 8429.966 Y913 = 8361.690

Calculul coordonatelor punctului 913

X913 = 8429.967 m Y913 = 8361.690 m

C. Procedeul trigonometric prin metoda radierii

Calculul coordonatelor punctului de ndesire 926 Elementele necesare rezolvrii problemei

Coordonatele punctelor vechi 59, 63, 77

Pct X Y

59 9507.900 8704.780

63 7794.871 7807.489

77 7006.267 8873.495

Schia vizelor

59

77

63

926

N

N

N

59-926

77-926

63-926

1 3

3

2

2

1

1

2 3

Figura 3.15 Intersecia nainte. Procedeul trigonometric

Unghiurile orizontale ii , calculate din direciile compensate n staiile 59,63,77

PS PV Dir. ms. PS PV Dir. ms. PS PV Dir. ms.

926 274.3233 59 336.9735 63 14.8771

59 77 309.91360 63 926 389.7671 77 59 70.0422

63 344.9188 77 46.8040 926 107.5675

1 = dir63 dir926 = 344.9188 309.9136 = 70.5955

1 = dir926 dir59 = 389.7671 336.9735 = 52.7936

2 = dir77 dir926 = 46.8040 389.7671 = -342.3631 + 400 = 57.0369

2 = dir926 dir63 = 107.5675 14.8771 =92.6904

Topografie

- C.51 -

3 = dir77 dir926 = 309.9136 274.3233 = 35.5903

3 = dir926 dir59 = 107.5675 70.0422 = 37.5253

Triunghiul 1

Etape de calcul


71752305963

59636359 .

XX

YYarctg

2. Calculul distanei 6359D

8041933259632

59636359 . YYXXD

3. Calculul orientrilor 9266392659 ,

511183

4007936522007175230400200

1221605955707175230

1635992663

1635992659

.

..

...

4. Calculul 1

610976793652595570200200 111 ...

5. Calculul distanelor 9266392659 rr ,

1

92663

1

92659

1

6359

1 sinsinsin

rrD

M , 0822072610976

80419331 .

.sin

.M

9571854

0471528

1192663

1192659

.sin

.sin

Mr

Mr

6. Calculul coordonatelor pct. 926 prin dubl radiere din pct. 59 i 63

5739600

9658269

926599265959926

926599265959926

.sin

.cos

'

'

rYY

rXX

5739600

9648269

926639266363926

926639266363926

.sin

.cos

"

"

rYY

rXX

Triunghiul 2

Etape de calcul


54791406377

63777763 .

XX

YYarctg


9961325263772

63777763 . YYXXD


Topografie

- C.52 -

23833340020051183

2776392677

2776392663

.

.


272750690492036957200200 222 ... G


26218672

92677

2

92663

2

77632 .

sinsinsin

rrDM

9431457

9651854

2292677

2292663

.sin

.sin

Mr

Mr

6. Calculul coordonatelor punctului 926 prin dubl radiere din punctele 63 i 77

5809600

9698269

926639266363926

926639266363926

.sin

.cos

'

'

rYY

rXX

5819600

9698269

926779267777926

926779267777926

.sin

.cos

"

"

rYY

rXX

Triunghiul 3

Etape de calcul


71319590095072677006

78087044958873

5977

5977

7759 ...

..

arctg

XX

YYarctg


3162507259772

59777759 . YYXXD


2383334002001227160

3775992677

3775992659

.

.


8844126200 333 . G


80127483

770926

3

92659

3

7759

3 .sinsinsin

rrDM

9151457

0601582

3392677

3392659

.sin

.sin

Mr

Mr

6. Calculul coordonatelor punctului 926 prin dubl radiere din punctele 59, 77

Topografie

- C.53 -

5679600

9458269

926599265959926

926599265959926

.sin

.cos

'

'

rYY

rXX

5679600

9458269

926779267777926

926779267777926

.cos

.cos

"

"

rYY

rXX

Calculul coordonatelor finale punctului 926

m

Y

m

X

5739000

6

567960056796005819600580960057396005739600

9598269

6

945826994582699698269969826996482699658269

926

926

.

......

.

......

3.3. Intersecia napoi

3.3.1. Procedeul Delambre

1

N

1

N

P(x,y)13

1

1

N

N

12

PA

A(x y ) y )

y )

B(x 2 2

C(x 3 3

Figura 3.16 Procedeul Delambre

Principial, problema este de a gsi coordonatele unui punct nou P (x,y) prin vize date exclusiv din acest punct nou P spre trei puncte vechi A (x1,y1), B

(x2,y2) i C (x3,y3) - date prin coordonatele lor. Din msurtorile de teren se determin unghiurile folosind metode precise de msurare.

Topografie

- C.54 -

Soluia acestei probleme a fost dat de Snellius n 1624 i perfectat de Pothenot n 1692. Se mai numete Problema Pothenot sau Problema hrii.

Sunt cunoscute mai multe soluii: Soluia analitic Pentru a rezolva problema sunt de parcurs dou etape: n prima etap, specific retrointerseciilor, se vor gsi orientrile 1, 2,

3 ale vizelor AP, BP, CP. n a doua etap avnd trei drepte de orientare cunoscut i trecnd

fiecare prin cte un punct dat, se vor rezolva nite intersecii obinuite (nainte). Deci, doar prima parte a problemei este nou pentru a crei rezolvare se

vor scrie cele trei ecuaii analitice, teoretice ale celor trei drepte care trec prin punctul P i respectiv A(x1,y1), B (x2,y2) i C (x3,y3)

y y1 = (x x1) tg1 y y2 = (x x2) tg2 (1)

y y3 = (x x3) tg3 Se observ c dac AP = 1 atunci

BP = 1 + = 2 (2) CP = 1 + =3

Se introduc relaiile (1) i (2) i obinem: y y1 = (x x1) tg1

y y2 = (x x2) tg(1 + ) (3) y y3 = (x x3) tg(1 + )

Sistemul (3) este un sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute tg, x i y

tgtg

tgtgtg

1

1

11

)( (4)

Se iau primele 2 ecuaii din (3) i avem: y y1 = (x x1) tg1

(y y2)(1-tg1tg) = (x x2) (tg1 + tg) (5) un sistem de 2 ecuaii cu 2 necunoscute; din prima ecuaie rezult

y = y1 + (x x1) tg1 (6) pe care o nlocuim n ecuaia a doua din sistemul (5)

(y1 + x tg1 x1 tg1 y2)(1 tg1 tg) = (x x2)(tg1 + tg) y1 + x tg1 x1 tg1 y2 y1 tg1 tg - x tg1

2tg + x1 tg1

2tg + y2 tg1 tg =

= x tg1 x2 tg1 + xtg x2 tg x(1+tg

21)tg = y1 y2 (y1 y2)tg1 tg + (x2 x1)tg1 (x2 + x1tg21)tg (7)

Se face i n ecuaia a treia aceeai substituie:

tgtg

tgtgtg

1

1

11

)( (8)

i apoi se iau ecuaia I i a III-a i se face substituia de mai sus va rezulta o ecuaie de acelai tip cu ecuaia (7)

Topografie

- C.55 -

x(1+tg21)tg = y1 y3 (y1 y3)tg1tg + (x3 x1)tg1 + (x3 + x1tg

21)tg (9) Se mparte ecuaia (7) la (9) rezult:

tgtgxxtgxxtgtgyyyy

tgtgxxtgxxtgtgyyyy

tgtgx

tgtgx

)()()(

)()()(

)(

)(

1

2

1311313131

1

2

1211212121

1

2

1

2

1

1

(10)

ctgtgtgyyctgyya 12121 )()(

ctgtgtgxxctgtgxxb )()( 12

12112

)()()()( 12

1311313131 tgxxctgtgxxtgyyctgyyc

c

ba 1 (11)

grupnd termenii dup tg1 vom avea

)()()()( 12

1311313131 tgxxctgtgxxtgyyctgyy =

= )()()()( 12

1211212121 tgxxctgtgxxtgyyctgyy

ctgtgxxctgtgxxtgyytgyy 112113131121 )()()()( =

= 323121 xxctgyyctgyy )()( (12)

231321

321321

1yyctgxxctgxx

xxctgyyctgyytg

)()(

)()( (13)

din relaia (13) se determin 1 i apoi 2 i 3. Urmeaz determinarea orientrilor inverse AP, BP i CP cu care se va

intra n calculele unor intersecii nainte normale gsind astfel coordonatele punctului nou P.

Caz particular de intersecie napoi Dac unghiul este aproximativ 100g i unghiul este aproximativ 200g

nu se poate aplica cu succes formula analitic de determinare a orientrii 1-P deoarece una dintre funciuni tg sau ctg (tg sau ctg) .

Pentru a rezolva aceast problem se va nota cu unghiul fcut de direciile P-2, P-3.

=1P2, =2P3 n acest caz se noteaz cu orientarea 2P

1P = ; 3P = + Cu aceste notaii, dezvoltnd, simplificnd i grupnd gsim:

133221

133221

xxctgyyctgyy

yyctgxxctgxxtg

)()(

)()( (14)

Topografie

- C.56 -

Figura 3.17 Caz particular al interseciei napoi

3.3.1.a. Cazuri de nedeterminare la intersecia napoi

a) Cazul cnd patrulaterul ABCP este inscriptibil

Figura 3.18 Caz de nedeterminare la intersecia napoi

Din figura de mai sus rezult c: + + + + = 400g (15)

Din ABP i BPC rezult:

sinsin

aBP ;

sinsin

bBP (16)

mprim cele dou relaii :

sin

sin

sin

sin

a

b (17)

Topografie

- C.57 -

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

ab

ab

=>

sin

sinsin

sin

b

ab

a

tg

tg

1

1

2

2 (18)

tg

tgtg

b

ab

a

tgtg

1

1

21

1

22

sin

sinsin

sin

(19)

unde

tg

b

a

sin

sin (20)

ntr-un patrulater inscriptibil avem: + + = 200g => + = 200g (21)

sin = sin(200 ) = sin (22)

din relaia (17) => 11

1

tg

tga

b

sin

sin (23)

011

11

2

200

2

tgtg

(24) =>caz de nedeterminare

Din cele artate rezult c dac pe teren se msoar n P dou unghiuri i care nsumate la unghiul dintre direciile vechi AB i BC totalizeaz 200g, patrulaterul ABCP este inscriptibil i problema este nedeterminat.

Unghiurile i sunt msurate n punctul P. Unghiul se afl din coordonatele punctelor vechi ABC din diferena

orientrilor. Deci nu se pot determina coordonate pentru punctul P pn cnd nu se schimb poziia punctului astfel ca + + = 200g.

b) Cazul cnd unghiurile i sunt prea mari Dac unul dintre cele dou unghiuri msurate n punctul nou P are o

valoare apropiat de 200g (ntre 180g i 210g) ctg i ctg variaz prin salturi mari i brute pentru variaii mici ale unghiurilor i . Aceasta nseamn c o foarte mic eroare (inevitabil) la msurarea unghiurilor se traduce printr-o mare diferen n valoarea ctg.

Se observ c imprecizia a lui se traduce printr-o imprecizie n de-terminarea lui P care se mrete artificial numai din cauza variaiei ctg unui unghi de cca. 200

g.

cc

cc

DDtg

(25)

Formulele de mai sus arat c ecartul liniar (eroarea n coordonate) a punctului nou P este funcie de mrimea lui care este eroarea de orientare a direciei D.

Topografie

- C.58 -

Figura 3.19 - Eroarea de orientare i ecartul liniar

Figura 3.20 Schimbarea referinei orientrilor la intersecia napoi

n cazul acesta se va schimba direcia de referin a orienttilor retro-interseciei i se vor msura n P unghiurile i la care din cauz c unghiul este 200g nu se va mai lua ca referin a orientrilor prima direcie AP, ci direcia din BP (de exemplu).

n relaia (13) n locul lui 1 se va trece 2, iar n locul valorilor i se vor lua ' i ' care vor trebui msurate.

Se va ine seama de acest lucru la calculul orientrilor pentru a se transforma intersecia napoi n intersecie nainte.

Topografie

- C.59 -

3.3.1.b. Exemplu

PROCEDEUL DELAMBRE

Calculul coordonatelor punctului 101

Cazul I Elemente necesare rezolvrii problemei

a) coordonatele punctelor vechi

Pct X Y

55 10133.111 6959.121

59 9507.9 8704.780

77 7006.267 8873.495

63 7794.871 7807.489

85 7536.629 6177.881

b) Unghiurile orizontale ii ,

calculate din direciile msurate i compensate n staia 101

PS PV Dir. ms

101

55 48.3523

59 139.0429

77 254.8690

63 293.4287

85 347.6241

55973886902544287293

826111504291398690254

77631

59771

...

...

dirdir

dirdir

72821006241347352348

19545442872936242347

85552

63852

...

...

dirdir

dirdir

c) Schia vizelor

55

59

77

63

101 N

N

N

N

55-101

59-101

77-101

85

N

63-101

85-101

1

2

1

2

Figura 3.21 Schia vizelor n punctul 101. Cazul I.

Topografie

- C.60 -

Etape de calcul:


59631637717759

59631637717759

10177YYXXctgXX

XXctgYYctgYYarctg

63552558538563

635528528563

10185

55

YYctgXXctgXX

XXctgYYctgYYarctg

977.16710177 738.26010185

2. Calculul orientrilor 101551016310159 ,,

46623617282100738260

5426206195454738260

5367206559738977167400

1509528261115977167

21018510155

21018510163

11017710163

11017710159

...

...

...

...

53972062

5426206536720610163 .

..

med

3. Calculul coordonatelor punctului 101 prin intersecie nainnte cu orientri

Pct X tg Y

59 9507.9 1.06996 8704.780 52.1509

101 8762.511 _

241.7907

241.7907 _

63 7794.871 0.103088 7807.489 206.5397

85 7536.629 1.410481 6177.881 260.738

101 8762.755 _

309.7907

309.7907 _

55 10133.111 - 0.691927 6959.121 361.4662

1018510155

101858510155555585

101

1015910163

101595910163636359

101

tgtg

tgXtgXYYX

tgtg

tgXtgXYYX

"

'

7558762

5118762

101

101

.

.

"

'

X

X mX 6338762101 .

2417907

2417907

101636310163101

101595910159101

.

.

"

'

tgXXYY

tgXXYY

Topografie

- C.61 -

3097907

3097907

101555510155101

101858510185101

.

."'

tgXXYY

tgXXYY

iv

mY 367907101 .

Cazul II Elemente necesare rezolvrii problemei

a) Coordonatele punctelor vechi 55, 59, 77

Pct X Y

55 10133.111 6959.121

59 9507.9 8704.78

77 7006.267 8873.495

b) Unghiurile i calculate din direcii compensate

PS PV Dir. ms

101

55 48.3523

59 139.0429

77 254.8690

516720635234886902545577

69069035234804291395559

...

...

dirdir

dirdir

c) Schia vizelor

55

59

63

101

N

N

N

55-101

59-101

63-101

Figura 3.22 Schia vizelor n punctul 101. Cazul II.

Etape de calcul


467236110155

597777555559

597777555559

10155

.

YYctgXXctgXX

XXctgYYctgYYarctg


Topografie

- C.62 -

983916751672064672361

1578526906904672361

1015510177

1015510159

...

...

3. Calculul coordonatelor punctului 101 prin intersecie nainte cu orientri

101595910159101

101555510155101

1015510159

101555510159595955

101

tgXXYY

tgXXYY

tgtg

tgXtgXYYX

'

'

'

2977907

2977907

7258762

101

101

101

.

.

.

"

'

'

Y

Y

X

101777710177101

101595910159101

1015910177

101595910177777759

101

tgXXYY

tgXXYY

tgtg

tgXtgXYYX

iv

'''

"

2967907

2967907

7248762

101

101

101

.

.

.

'''

"

ivY

Y

X

4. Calculul coordonatelor pct. 101

296579074

2296790722977907

724587622

7487627258762

101

101

...

...

Y

X

5. Calculul coordonatelor finale ale pct.101

32879072

29657907367907

67987622

724587626338762

101

101

...

...

Y

X

mX 6798762101 . mY 3287907101 .

3.3.2. Procedeul Kstner

Avnd date punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) se pot calcula orie

Date post:	09-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	ionerhedh-tmdgbdzr
View:	31 times
Download:	10 times

Topografie-Onose

Documents