Sorin PELIGRADIoan $ERDEAN

Adrian TURCANU

algGIrflUGOMGtIiG

Glasa a UFAedifia aY-a, revizuiti

matG 2000 - standaril

euprins

TESTE rNrTIALE.... ...................s

l.r,cnnnA

Capitolul I. DMZIBILITATEANUMERELORNATURALE

l. Operatii cu numere naturale. Reguli decalcul cu puteri ................................................. 8

2,Divizor, multiplu ..........;...... 1l3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2,5,3,9 ..134. hoprietfii ale relafiei de divizibilitatetn N .............. .......................... 16

5. Numere prime, numere compuse...,............ l86. Descompunerea uumerelor naturale lnprodus de puteri de numere prime..................207. Divizori comuni a doul sau mai multornumere naturale; c.m.m.d.c.,,,.,,,,,,,,,,,,,,,...,.,..228. Numere prime lntre ele ..................,.,,,,,,,.,,, 239. Multipli comuni a doui sau mai multornumere nanuale; c,m.m.m.c.; r€lafia dintrec.m.m.d.c. qi c.m.m.m.c.. .,,,,,,,,2510. Probleme simple care se rezolvlfolosind divizibilitatea. ............27I l. Recapitulare gi sistematizare prin teste.....2812. Probleme pentu pregetireaconoursurilor gcolare .......................,.............. 29

Capltolul II. OPERATII CU NUMERERATIONALE POZITM

1. Fraclii echivalente; fracfii ireductibile........ 302. Nofiunea de numlr rational; forme de

scriere a unui num6r rafional; N c Q .......,..., 33

3. Adunarea numerelor rationale pozitive......, 3 7

4. Sciderea numerelor raf ionale pozitive........ 405. lnmullirea numerelor ralionali pozitive,,,,, 42

6. Ridicarea la putere cu exporent natural aunui numir rafional po2itiv...,.,,....,,,,,,,,,.......,, 447, Reguli de calcul cu puteri ..................,........ 46

8, lmpl4irea numerelor rafionale pozitive,...,. 48

9, Ordinea efectulrii operatiilor.,...,.,.,.,.,,.,...,. 5 I10. Recapitulare gi sistematizare prin teste..... 53

11. Probleme pentu pregitireaconcursurilor gcolare .......,.,,.....,........,,..,...,.... 54

Capttolul III. ECUATII t\ Q+

1. Media aritmeticl ponderatE a unornumere rafionale pozitive ,.,.,.,.562. Ecuafii ln mullimea numerelor rafionalepozitive..,...,... ..,......,.......,........ 593. Probleme care se rezolvtr cu ajutorulecuafiilor,....... ,.....,..,....,...,....,..614. Reoapihrlue 9i eistematizare prin teste..,...,64

5. Probleme penfru pregdtirea concursurilorgcolare ........... .......................... 66

Capitolul IV. RAPOARTE $I PROPORTIIL Rapoarte ...,,,.672. Procente. Probleme ln care intervinprocente......... ..........................713. Proporfii; proprietatea firndamentaltr a

4. Aflarea unui termen necunoscut dint-oproporfie ........ .......................... 765. Proporfii derivate.......... .......786. M[rimi direct propo(iona1e..............,......... 8 I7. Mlrimi invers proporlionale .........,............, 848. Regula de tei simpl6. ..........869. Elemente de organizare a datelor;reprezeatarea datelor prin grafice;probabilitfii .............................8910. Recapif,rlare gi sistematizare prin teste..... 94I 1. Probleme pentm pregtrtirea

concursurilor gcolare ..........,..............,............ 95

Capttolul v. NUMERE Nfnncfl. Mulfimea numerelor lnfregi Z; opusul

unui numlr lntr€g; r€prezentarea pe axanumerelor, valoarea absoluttr a unui numlrlnteg; compararea gi ordonarea numerelorlntegi ............ ..........................962. Adunarea numerelor lnregi; propriet{i... 100

3. Sclderea numerelor lntregi ....................... I 024. inmu$irea numerelor lnffegi; proprietnfi.. 104

5. ImpE4irea numerelor intregi..................... I 066, Puterea unui num6r lnheg cu exponentnumtrr natural. ........................ 108

7. Reguli de caloul ou puteri............,........,.,. I l08. Ordinea efectuirii operafii1or,............,.,.... I I I9. Recapitulare qi sistematizare prin teste.,... 113

10. Probleme pentu preg[tireaconcursurilor gcolare ...,.,....,......,.,..........,..,.. I I 4

CapltoluM. ECUATII $I INECUATU lN Z1, Ecuafii ln Z ...,.,...,..., ...,.,., l152. Inecuafii h V, .,.,...,...,,, ..... I 17

3. Mu$imea divizorilor unui numlr lnheg;mulf imea multiplilor unui numlr 1nteg,.....,. I 204. Probleme care se rezolv& cu ajutorulecuafiilor......,. .,.,...............,....1225, Recapitulare pi sistematizaro prin teste,.... 123

6. Probleme pentu pregttirea ooncusurilorgeolare ,,,.....,.. ...................,.... 124

GEOMETRIE

Capitolul II. UNGHIURI1. Unghiul. C1asificare...... .....1422. M6surarea unghiurilor cu raportorul......... 145

3. Unghi drept, unghi asculit, unghi obtuz;unghiuri congruente..... .'........1474. Calcule cu misuri de unghiuri exprimatein grade gi minute sexagesimale...........'....... 150

5, Unghiuri adiacente; bisectoarea unuiunghi.............. .................'....'. 152

6. Unghiuri suplementare; unghiuricomplementare ............................................. 1 54

7. Unghiuri opuse la vdrf .. ....' 156

8. Unghiuri formate in jurul unui punct...'.'.. 158

9. Recapitulare qi sistematizare prin teste..... 160

10. Probleme penku pregdtireaconcursurilor gcolare ........... ......................... 162

Capitolul III. CONGRUENTATRIUNGHIURILOR

1. Triunghi, elemente; perimeku;clasificarea triunghiurilor ............ ................. L64

2. Constructia triunghiurilor: cazurileL.U.L., U.L.U., L.L.L................................... 168

3. Congruenla triunghiurilor oarecare......'..'. I 7 I4. Criterii de congruenfi a triunghiurilor:L.U.L., U.L.U., L.L.L................................... 173

5. Elemente de ralionament geometric .........1756. Metoda triunghiurilor congruente ............. 1 76

7. Recapitulare gi sistematizare prin teste..'.' 179

Capitolul IV. PERPENDICULARITATE1. Drepte perpendiculare; oblice; distanla de

la un punct la o dreap16...........................'..... 181

2. Criteriile de congruenfi a triunghiurilordreptunghice: I.C., I.U., C.C., C.U. ............. 184

3. Mediatoarea unui segment; proprietateamediatoarei; concurenla mediatoarelorlaturilor unui triunghi ............ 187

4. Simetria fa16 de o dreaptd......................... 190

5. inillimea in triunghi; concurenlaind[imilor intr-un triunghi.... ........................ 192

6. Aria triunghiului (intuitiv pe re{ele de

p[trate)........... .................'.'.'.. 194

7. Bisectoarea unui unghi; proprietateabisectoarei; concuren{a bisectoarelorunghiurilor unui triunghi .......197

8. Mediana in triunghi; concurenlamedianelor unui triunghi .......1999. Recapitulare qi sistematizare prin teste..... 200

10. Probleme pentru Pregitireaconcursurilor $colare ....,.'....,.......'...,...'..,..... 201

Capitolul V. PARALELISMl. Unghiuri determinate de dou6 drepte cu o

secanti........... ........................ 203

2. Drepte paralele; construirea dreptelorparalele; axioma paralelelor.......................... 206

3. Criterii de paralelism. .'......2094. Probleme recapitulative. ...........................21'25. Recapitulare qi sistematizare prin teste..... 214

Capitolul VI. PRoPRIETATILETRIT]NGHIURILOR

1. Suma miswilor unghiurilor unuitriunghi.......... ..............'.........2162. Unghi exterior unui triunghi; teorema

unghiului exterior.......... ...'.'..2183. Propriet6tile triunghiului isoscel........'...... 2204. Proprietdlile triunghiului echilateral.........2235. ProprietElile triunghiului dreptunghic....... 225

6. Probleme recapitulative. ........................... 227

7. Recapitulare gi sistematizare prin teste..... 228

8. Probleme pentru Preg6tireaconcursurilor gcolare ............................'....... 230

MODELE DE TEZE SEMESTRIALE......... 232

TESTE FINALE ......................237

TNDTCATII Sr R ISPIINSURr................ ....... 240

TESTE INITIATE,

@o Pentru toate testele se aeordd I punet din oJiciu.

* TESTUL T *Partea I. Scrlefl lltera corespunzltoare slngurulul rlspuns corcct.(0,5p) f . Rotuqjirea la sute a num6mlui 7324 este:

A,7400 8,7300 e,7200 D, 8000

(0,5p) Z. Fie I = {2016, 2601,21A6,2061,}, Cel mai mare element al mulfimii I este:

A.2016 8.260t C,2106 D.2061(0,5p) g. NumErul 2, rc3 + 3 . 102 + 7 . l0 * 5 se sorie lnbazazeee:

4.2735 8,2037 C.2375 D,2537(0'5p) n. Care dintre urm[toarele numere este ptrtat perfect?

4.47 B. 49 C. sl D, 53

(0,5p) S. Rezultatul calculului l0 + 10 : l0 este:

4.2 B. 10 C. ll D.20(0,5p) e. Lungimea laturii unui pEffat este 12 cm. Perimetrul pEffatului este:

A. 48 cm B. 36 cm C.24 cm D. 144 cm4

(0,5p) z. Fraclia ; scrisi ca fractie zecimalI este:)

A. 0,4 B. 0,5 C.1,25 D. 0,8(0,5p) 8. Lungimea unui teren de fotbal este de 108 m. Exprimati in dam, lungimea

terenului este:

A. 1080 dam B. 10,8 dam C. 1,08 dam D. 0,108 dam(0,5p) 9. Rezultatul calculului 3,25 : 0,25 + 7 este:

A. 20 B. 8,3 C.7,13 D. 137

Partea a II-a. La urmtrtoarele probleme se cer rezolviri complete.

l09p) ro. calculati (zt)o .2" : 42s + 50. rIr09p)'t{. Un om paxcurge I km in 10 minute. Cdfi kilometri va parcurge in doui ore :

6raoUlci.9.FoEq).Fo

=

mergAnd cu aceeagi vitezd?

r09p) t Z. Calculati media aritmeticd a numerelor *; O,t $i +10' 25

,09p) f S. Rezolvali ecualia: 2x - 0,3 : 1,7 .

nesp) tC. Determina{i elementele mulfimii: n={*. Nl+. N} .

I lx-2 )

oIl{

oovtoG)ci.goEq,

o

=

t rrsrul z tPartea I. Scriefi lltera corespunzltoare singurului rlspuns corect(0,5p) .1. Aproximarea prin lipsl pdn6 la zeci a num[rului 1372 este:

(0,5p) 2. Rezultatul calculului 102 + 103 + 23 este:

A. 1300 B. 1380

A.56 8.218(0,5p) t. Singurul numtu prim par este:

A.0 8.2

4.2(0,5p) t. Perimefrul

este:

A.9 cm

8.4

c.1370

c.22

c.4

c.6unui triunghi echilateral este 18 cm.

D. 1350

D. 1108

D.6

D.8Lungimea laturii triunghiului

D.6 cm

(0r5p) {. Fracfia ordinar[ caxe corespunde fracfiei zecimale 0,(36) este:

A.-3 e.2 c.4 D. I25 s -'ll -'25(0,5p) t. Cardinalul mulfimii divizorilor lui 8 este:

B. 54 cm C.3 cm(0,5p) 7. Media arihnetic6 a numerelor L,2,3,4 gi 5 este:

A.3 8.5 c.7,5 D. 15

(0,5p) t. Transformdnd o ori gi 15 minute in secunde, obfinem:A.615 secunde 8.3615 secunde C.4500 secunde D.5400 secunde

(0r5p) N. Transformend 1,25 ha in m2, obtinem:A.lzs nf 8.1250 m2 C. L25OOt* D. 125000 m2

Partea a II-a. La urmtrtoarele probleme se cer rezolviri complete.(0,9p) {Q. DouE pixuri qi ffei caiete costi 13 lei. Dacd trei pixuri costti cAt doui caiete,

aflali cdt costii un pix gi c6t costii un caiet.(0,9p) { {. Aflafi cel mai mare numir de 3 cifre care imp6r{it la37 dd,restul 19.

(0,9p) 17.. Ardtali cd2lw + 2r0t + 2rm este divizibil cu 7.

(0,9p)'lt. Un dreptunghi are perimetrul de 30 m, iar lElimea reprezintl un sfert dinlungime. Calcula{i aria dreptunghiului.

(0,9p) rlfi,Fie A = {1, 2,3, 4} 9i B = {x e N I r = ! * l, ! e A\. Calcalap. A a B qi A v B.

il resrul 3 tPartea I. Completafi cu rtrspunsul corect.(0,5p) l, Cifra sutelor numtrrului 3745 este ... .

(0,5p) t, Restul lmparfirii numirului I 05 la 13 este . . . .

(0,5p) !, Pdfratul numtrrului 25 este ... .

(0,5p) l. Cel mai mare numlr de forma olO aiririail cu 5 este ... .

(0r5p) f, Solu{ia ecua}iei 3x + 7 : 19 este ... .

(0,5p) 6. A7-azecimal[ a numirului 0,(215) este ... .

(0r5p) 7. Volumul unui cub cu muchia de 4 cm este ... cm3.

(0r5p) 8. Un elev caf,e s-a culcat la ora 22:15 qi s-a trezit a doua zi la 6:45 a dormit ...minute.

(0r5p) 9. Dac[ 1 euro valoreazd 4,6lei, atunci 5 euro valoreazd ... lei.

Partea a II-a. La urmtrtoarele probleme se cer rezolvtrri complete.(0,9p) 1o. Calculafi (2" . 3tu + 215 . 3117 : 616.

(0r9p){'1. Fie A= {x e N lx =3n* 1, n e N}. Calculafi sumaprimelor l0elementeale

mulfimii,4.(0,9p)12.AflaticAtulgirestulimplrfiriinumtrruluiN=1.2'3'... '10+2016Ia35.(0,9p) {3. Aflati elementele mullimiiA= {x e N I 15 <2x-7 <31).

(0,9p) {4. Un elev pleac6 intr-o excursie de 3 zile. in pima zi cheltuiegte jumltate din

suma pe care o are la el, a doua zi cheltuiegte jumitate din rest, iar a treia zi restul

de 30 de lei. Ce sumd a avut elevul?

* rrsruL 4 *Partea I. Completafi cu rtrspunsul corect.(0,5p) 1. Cel mai mare divizor propriu al numdrului 96 este ... .

(0,5p)2. Rezultatul calculului I +2+22 +23 +... +28 este... .

(0,5p) 3. Cel mai mare numdr care impdrfit la1 de cdtul 10 este ... .

(0,5p)4. Cardinalulmultimii A: {x e N 115 <x<201} este....

(0,5p) 5. Ultima cifrd anumirului 538 + 641 + 12e este ... .

(0,5p) 6. Scris cu cifre romane, numlrul 2016 este ... .

(0,5p)7. Solufiaecua]iei I +2+ 3 + ... + 10+ x=56 este... .

(0,5p)8. Rezultatulcalculului l,2dam+ 15 dmeste... m.

)(0,5p) 9. i din 60 este ... .

5

Partea a II-a. La urmtrtoarele probleme se cer rezolviri complete.

(0,9p){O. Fie A: {x lx este litsrd a cuvdntului ,,alfabet"} $i B: {y ly este literi a

cuvdntului ,,analfabet"). Calculati A\ B Si B \ A.

(0,9p){1, Determinalinumerele ab astfelinctt ab =Jq+7b.(0,9p) {2. Calculati 2,5 .13,4 -2 . (5,2 -2 . 2,5)7.

(0,9p) {3. Un dreptunghi are ana de 15 cm2. Aflati perimetrul dreptunghiului, gtiind c6,

dacl ii mirim cu cdte I cm lElimea gi lungimea, aria devine 24 cmz.

(0,9p) {4. Suma dinhe un numdr par gi un numir prim este 2016. Aflali numerele.

oIl{

oovtooxi.goEq)

o

=

AIgebrfr

oI

o(,la(,Ulci.9FoEq)+o=

Capitolul l. DIVIZIBILITATEANUMERELOR NATURALE

ffl Competenle specifice:O ldentificarea ln exemple, tn exercitii sau ln probleme a noliunilor: divizor,multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c.

O Aplicarea criteriilor de divizibilitate (cu 10, 2,5, 3, 9) pentru

descompunerea numerelor naturale tn produs de puteri de numere prime

a Exprimarea unor caracteristici ale relaliei de divizibilitate ln mullimeanumerelor naturale, tn exercitii gi probleme care se rezolvtr folosinddivizibilitateaa Deducerea unor reguli de calcul cu puteri gi a unor propriettrli ale

divizibilitltii ln mullimea numerelor naturale, tn exercilii gi probleme

r Se noteaz[ cu N = {0, l, 2, ..., n, ...1 mullimea numerelor naturale gi cu N- mullimea

numerelor naturale nenule.

rDac[ adunarea qi inmultirea sunt intotdeauna definite pe N, nu acelagi lucru putem

spune despre scddere gi impdrfire. Astfel:

1. V a,b e N+a+b e Ngia'b e N;

2. a-b e N<*a>b;

3. a:b e N<+b*0 $irestulimpE(irii luia lab este0.

Teorema implrtirii cu rest: Pentru orice numere naturale a Si b, b * 0, exist[ nume-

rele naturale q gi r (numite cAt gi rest) unic determinate astfel inc6t a = bq + r, unde r < D.

o Ridicarea la putere este o operalie derivatd pe N. Astfel:

I a. a...... a, pentru n > 2

| ' *''',':1r, pentru n=l

I

I t, pentru n =0, crtmenliunea cd 00 nu se definegte.t

o Adunarea gi sciderea sunt operalii de ordinul I, inmullirea gi impdrlirea sunt operalii de

ordinul al Il-lea, iar ridicarea la putere, de ordinul al III-lea.

c in calcule, ordinea operafiilor este urmetoarea: mai lntdi se efectueaz6 cele de ordinul:. III-lea, apoi cele de ordinul al Il-lea gi apoi cele de ordinul I; daci existd numai operatii dei;elagi ordin, le efectu[m in ordinea in care sunt scrise.

o Dacd in calcule exist6 gi pararrteze, ordinea efectu[rii acestora se face incepdnd cu cele:-rrunde, apoi cele drepte gi, la final, operaliile din acolade.

r Regulile de calcul cu puteri ale numerelor naturale cu exponent natural sunt urm[toarele:

a^ ,a' = a^*n

a*:an =a*-n rrndem2n;(a^)' : a^'n ;

a^ .b^ =1a.b)* i

a' :b^ = 1a:b\', cu condilia ca a sd se imparti exactla b;

penffu a calcula o*' seefectueazl maiirt*ii mn .

Probteme ?ezolvste{ R Calculafi:a) suma dintre cel mai mic gi cel mai mare numdr natural de cinci cifre, fiecare numdr

ar'6nd cifrele distincte;b) diferenta dintre cel mai mic numdr natural de cinci cifre distincte 9i

rumdr natural de patru cifre distincte;c) produsul dintre cel mai mic numdr natural de trei cifre distincte 9i

rumir natural de doul cifre.Rezolvare: a) l0 234 + 98 7 65 : 108 999; b) l0 234 - 9 87 6 : 358; c) 102' 99 : l0 098

cel mai mare

cel mai mare

oI

Hgotlo\)lci.9+oEq)I(,€

EB ,. Determinali cel mai mic numir natural de trei cifre care impirlit la 15 dd restul 7.

Rezolvare: Din teorema imparfirii cu rest avem oUr:tSq * 7, q e N qi 100 < obi <ggg , deci

100 < l5q +7 <999*93<l5q <992+ q e {7,8,...,65,66} .

in concluzie, onr:5.7 +7 = rt"=ttZ.EEI e* Ordonali crescdtor numerele :333,333,3", (3')'.

Rezolvare: ObservSm cd 333 < (3')', (3')' :213 < 333,333 . (3tt)t : 333. Ordinea va fi:333<(33)3<333<333.

EB +* Calculali a * b, a - b, a . b, b : a, ab qi bo dacd:

a:73e :1733 .7a1-(5'+3'8): 7 qib:72'82 -26'49.Rezolvare: Dup[ calcule a:7"'.lt' -1zs+z+1:7 =72 -49:7:42 qi b:(7'8)'? -(23'112:9.

Deci a + b--42,a*b:42,a.b:0,b: a:0,ab: I $i D':0.5R Calculali 8x + 9y * z dacd x + / : I qi y + z : 4.

Rezolvare: 8x + 9y * z : 8x + 8y + St + z) : 31t + i + O + z) : 3' 1 + 4 : 12.

6R Afla1i numdrul natural r din:a) 3'- 17 : 43; b) I +2+22 + ... +f:2roo- 1.

Rezolvare: a) 3' -17 : 43 s 3' : 64 + ll :> 3' : 8l = 3' : 3a > x : 4 ;

b) 1+2+22 +...+2x -2t00 -l)2'*1 *l:2t00 -l+x+1:100= x:99.7R Scriefi numErul v:32017 ca o sum6 de trei numere naturale consecutive.Rezolvare: Considerlm a - l, a gi a + I cele trei numere naturale consecutive. Atrinci:

a _ | + a + a + I : 320t1 ) 3a : 320r, ) q = J2016 = x : (3rotu _ 1) + 32016 + (32016 + l) .

9