Sorin Peligrad Adrian ]urcanuMarius Antonescu Florin Antohe Agnes Voica

Matematiciaritmetici, algeb td, geometrie

Caiet de lucru. Clasa a V-aSemestrul I

r' Modalitafi de lucru diferenfiatey' Pregitire suplimentari prin planuri individualizate

Soluliile testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa:

http://www.edituraparalela45.rolwp-content/uploads/2017/07/solutii_teste*de_autoevaluare_consolidare_clasa5 seml_2018.pdf

Editura Paralela 45

Ia.RGUMENT - NOUA MlffE 2000+! """""""' --!l

RECAPITULARE I

Capitolul I. NUMERE NATURALE - - I

1. Scrierea gi citirea numerelor naturale in sistemul de numerafie zecimal...' l1 I

2. $irul numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor l] I

ARGUMENT - NOUA MlffE 2000+! """"""""--l

RECAPITULARE

2. Modele de teste pentru evaluarea ini,tial5........ """""""""""'-t

Capitolul I. NUMERE NATURALE

2. $irul numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor """" 17

3. t)ompararea gi ordonarea numerelor naturale ""2t ,Jt vvurrwrer l

4. Aproximareanumerelor naturale. Rotunjiri. Probleme de estimare .'......X

5. Adunarea numerelor naturale; propriet[li """"i1"""" """".'32

7. lnmullirea numerelor naturale; proprietlfi.. """'41

f . imp[r{irea cu rest zero anumerelor naturale """"""""""""4t10. imp[rfirea cu rest a numerelor naturale """""53

11. Puterea cu exponent natural a unui numir natural; reguli de calcul cu puteri""' """"""""""""61

15. Scrierea inbaza 10; scrierea inbaza2.-.........'.'.................""' """""""'79

16. Metode di rezolvare a problemelor de aritmetici.......'..... """"""""""'87

IT.Divizor,multiplu; divizori comuni; multipli comuni..........";""""""' """""""""""9818. Criterii de divizibilitate ctr2,5,10', 3 9i 9 .....................'.!..."'!"" """' 103

19. Numere prime; numere compuse.........'.........:.... """"""" 107

Recapitulare Si sistematizare prin teste """""""'ll2

Capitolul II. FRACTII ORDINARE

2l.Fraciiisubunitare, echiunitare qi supraunitare """"""""" 119

23. Compararea fracfiilor cu acelaqi numitor/numlrdtor """"12724.Reprezentarea pe axa numerelor a unei fraclii ordinare """"""""""" 131

Recapitulare Si sistematizare prin teste .-......-.. "" 136

rRoBLEME rREGATIToARE PENTRU SLIMPIADE $I CoNCURSURI .'.'.'................141

Competenta:ldentifi carea numerelornaturale in contextevariate

\ N,r*"rele se scriu cu ajutorul unor simboluri numite cifre.Cele mai cunoscute scrieri sunt cele cu cifre arabe gi cu cifre romane.

0, 1 r2t 3, & 5, 5, 7,9,9cifrele arabe

\ D.ou..ce sunt folosite zece cifre gi zece unitdli de un anumit ordin formeazdo unitate de un ordinimediat superior, acest mod de scriere se numeqte scriere in baza 10 sau scriere in sistemul zecimal.Exerrnplu : Num drul 7 524 se car acterizeazd prin:

o cifra unitalilor este 4, cifra zecilor este 2, cifra sutelor este 5 qi cifra miilor este 7;o are $apte mii cinci sute doudzeci gi patru de unitAli, are gapte sute cincizeci gi doui zeci, gaptezeci gi

cinci sute gi gapte mii;. sepoate scrie 7 . 1000 + 5 . 100 + 2. l0 + 4.Un num[r de dou[ cifre se poate nota:.d, a + b, situalie in care cifrele sunt diferite;. ab, caz in care cele doul cifre pot fi diferite sau egale;. aa, cazin care cifrele sunt egale.

In plus, ab=a.10+b=lOa+ reprezintd scrierea descompusl a numirulfi ab in baza 10.

Obsewa[ie: Pentru numere care au multe cifre se folosegte nota{ia ,"r*r*pr.ao: cifra unitililor de ordinul 0 (simple),ar: cifraunitdlilor de ordinul 1 (zeci),a.r: cifraunitililor de ordinul 2 (sute),

a,: cifra unitIfilor de ordinul n. "

Inplus, anan_t...azatao = o,.19d * a,_t .1 9+9 + ...+ a2.100 + ar.l0 + aon cifre r-1 cifre

numirului anan_t...a1ao in baza 10.Pentru citirea numerelor scrise cu cifre arabe in baza 10 se grupeaz[ cifrele cflte 3, de la dreapta la stdn-

ga. Fiecare grup6 se numeqte clasi gi fiecare clasl se compune din uniti1i, zeci gi sute. Denumirile claselorse reglsesc in tabelul urmdtor:

clasa miliardelor clasa milioanelor clasa miilor clasa unitl{ilorsute zecr unitlti sute zecl unititi sute zect unitlti sute zecl unitflti

1 J 7 5 0 4 7 2 3 5 6 8

Exevaplu:Numdrul 137 504 723 568 se citeqte ,,o sut[ treizeci gi gapte de miliarde cinci sute patru mili-oane gapte sute doudzeci gi trei de mii cinci sute gaizeci qi opt".

reprezinti descompunerea

11

ilT

Romanii desfrgurau o bogat[ activitate comerci-al[, motiv pentru care aveau nevoie de numere prinintermediul clrora s[ m[soare cantit[lile de marfb.Sistemul numeric introdus de acegtia se foloseqte gi

in zilele noastre, fiind cunoscut ca scrierea cu cifreromane.

IVXLCDMcifrele romane

: d,:',,.i:...

hi,:r;

S i" tabelul urmitor sunt scrise cifrele romane gi valorile acestora in sistemul zecimal:

Cifra romanl I v x L c. D M

Valoare I 5 10 50 100 s00 1000

Pentru scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane trebuie sI finem cont de urmdtoarele reguli:1. Dacd la dreapta unei cifre este scrisd o cifrd cu o valoare mai micl sau egal6 cu ea, atunci cele doui

cifre se adun5.

2. Cifrelel,X, C,M pot fi scrise consecutiv de cel mult trei ori; cifrele V L, D nu pot fi scrise consecutiv.Exemple: XX = 10 * 10 = 20; GCXXXV: 100 + 100 + 10 + 10+ t0+ 5 =235;

DCLII = 500 + 100 + 50 + 1 + 1 = 652.3. Dac[ la st6nga unei cifre este scris[ o cifr[ cu o valoare mai mic[, se efectueazd diferen]a acestora; se

poate scldea cel mult o cifr[.4. Cifrele V L, D nu se pot scddea.

Sciderileposibilesunt: IV:5-1:4,IX:10-1.:9,X1-:50-10:40,XC:100-10:90,CD::500 - 100:400, cM: 1000 - 100:900.

5. O cifrd sau un grup de cifre marcate superior cu o linie se inmu[e$te cu 1000.Exemplez V: sooo, t : 5oooo, xL :40000.

Ludovic al XlVleaEmblema jocurilor olimpice

de la Los Angeles

Ceas cu cifre romane

/-- :l

*,i

12

I

Scrie cu cifre arabe gi cu cifre romane urmdtoarele

o mie trei sute dou[zeci gi gapte;doui mii $ase sute treizeci qi nou6;uei mii noud sute patruzeci qi doi;o sutl treizeci gi gapte de mii.ilutie: t) 1327, MCCCXXVU;2639, MMDCXXXIX; c) 3942, MMMCMXLII;137000, cxxx\ru.

Descompune fiecare din numerele urm[toare in10 gi indicl numirul gi cifra zecTlor, numdrul gi

Determin[ numerele

sutelor, numlru] gi cifra miilor: abc*bc+c:149.b) 31450; c)702316.

ie: $ 4521: 4 . 1000 + 5 . 100 + 2. 70 + l,I zecilor este 452, cifra zecilor este 2, numdrul

sutelor este 45, cifra sutelor este 5, numirulmiilor este 4,cifra miilor este 4;b) 31450: 3 . 100000+ 1 . 1000+4. 100 + 5 . 10,numdrul zecilor este 3145, cifra zecilor este 5, num6-rul sutelor este 314, cifra sutelor este 4, numdrul miiloreste 3 1, cifra miilor este 1 ;

c')702316:7. 100000+2. 1000+3 . 100+ 1 . 10+* 6, num[ru] zecilor este 70231, cifra zecilor este 1,

num6ru1 sutelor este7023, cifra sutelor este 3, numdrulmiilor este 702, cifra miilor este 2.

obc care verificd egalitatea

Solutie:Evident a : 1.. Egalitatea devine:

tO" + U" + c =749 * 2bc * c = 49 + 20b + 3c = 49 ==b:2,c:3= oUc:123.

1521;

Citegte urmltoarele numere naturale: Sf"o* fiecare dintre numerele de mai jos precizea-b) 31256;e) 4305086;

o mie trei sute patruzeci gi cinci;

cincisprezece mii gaptezeci gi doi;O trei sute doud mii cinci;

57056003; h) 459023045; i) 1405056344.

Scrie cu cifre arabe numerele:

z5,clfra gi numErul miilor:r)234O; b\r0207;c) 102455.

c) 20015;

0 3006307;

bCannumere naturale de trei cifre au cifra zecilor 5?

tincte?

$rentru fiecare dintre numerele de mai jos precizea- *:^:t::f-:X::le^naturale de dour cifre care se

zA cifragi numarul zecilor: pot tbrma tblosind doar cifrele 0' 1 pi 2'

t1254; b) 1237;c)4608; d) t2654.

ftrentru fiecare dintre numerele de mai jos precizea- 6=s-i: toate numerele naturale de trei cifre distincte

zicifragi num[ru] sutelor: - r-------- care se pot forma folosind doar cifrele 1,2 qi3.

b) 5143;d') 102077.

:) patru milioane qaptesprezece miittsei sute unu;

0 doud sute treizeci qi cinci de milioane patrusrte $apte mii trei sute noudzeci qi nou6.

r) 378;c) 35290;

13

ffi

6 ,"."o*Oune in baza l|fiecare dintre numerele demai jos, pundnd in eviden![ cifrele fiecIrui ordin:a) 237; b) 40t2; c)2070; d) 4s3ss. 6 t"ri" cu cifre romane numerele:

Exemplu: 4523 :4. 1000+5 . 100 +2. t0 +3

6 ,.r"o*r* einbazal0 fiecare dintre numerele demai jos, pundnd in evidenfi fiecare clas[:a)2t2t; b\35407;c) 143067; d) 23003103.Fxernplu: 4230t223: 42 . 1000000 + 301

6 S..i. cu cifre arabe numerele:

6 trn. cu cifre romane numerele: I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a-9, 10, 15, 19,S4,g9,4gO,gO4,l4g7. IEt Cifrele romane se folosesc pentru scrierea secole-

1or. Scrie cu cifre romane secolul corespurzdtor fiecd-ruia dintre anii: 602,1054, 1500, 160t,2014.

6 Aodr.i vede pe o etichet[ a unei haine a tat[lui s6u

mirimea XXL. Reprezinti aceastl scriere un num6rnatural scris cu cifre romane? Justific6.

b) cel mai mic aicifre distincte;c) cel mai mic qi cel mai rnare num[r de patru cifre cu

cifre consecutive; .........

d) cel mai mic qi cel mai mare numlr de trei cifre cu

suma cifrelor 10. ...........

fi s"'it cele mai mici 5 numere naturale care au suma b r"r"r inr numerel e de forma abcare verifica ega-

lit6tile:::..--1.'.................... .......,....,.,.....'..,...''....................

,!4:T; tlE :F;c) a3 : b3; d) 7a5 : ba5.

6 t"n" toate numerele naturale de trei cifre distincte 6 ,orr, scrie fiecare cifrd romani pe cdte un cartonag,

:i::::.::.T'i-..::.....:.....:...'......:........,trage un cartonag cu o valoare mai mare.

a) Dac[ Ionu{ a tras cartonagul pe care este scrisl cifraroman[ C, care sunt cartonagele pe care le poate trage

Andrei pentru a cdgtiga?....

b) Ce cartonaE ar trebui sd trag[ Ionu! pentru caAndreise aibe ganse egale si tragd un cartonaq cu o valoaremei micd sau unul cu o valoare mai mare?..

6 S"A" cele mai mici gapte numere naturale care au 4-suma cifrelor 3. EEi Determine:

a) 29;e) 634;i)2014.

b) 48;f) 999;

c) 107; d) 198;g) 1049; h'S 1902;

a) XIV;1000+223. d) XCV;

g) MXCVU;

b) LXrrr;e) CCXLN;h) MMCXLT;

c) XLIX;f) GMXC;D MCMLXXXU.

re)cel mai mare numdr natural de

6 t"ri. toate numerele naturale de doul cifre care auprodusul cifrelor 12.

Scrie:

a) cdte numere naturale de doui cifre existS;

b) cdte numere naturale de cel mult doui cifre exist5;c) c6te numere naturale de doud cifre care confin cifra Iexisti;d) cdte numere naturale de dou[ cifre distincte exist6.a) cel mai mic Ai

cifre;

14I

cel mai mare numir natural de trei

cdte numere naturale de trei cifre existd;cite numere naturale de forma ,2b3 exist6;site numere naturale de forma aaa exista;cite numere naturale de forma oob , o * b, existd.

Determini toate numerele naturale de doul cifreau proprietatea cd adunate cu risturnatele lor dau77.

M atetuati ca... la oftalmol ogie

Denis a mers la inceputul clasei a V-a s[-gi facd unI oftalmologic la medicul specialist, deoarece il

un nou an gcolar in care are mult de citit qi nusE intdmpine probleme la ochi.

Pentru a ajunge la cabinetul doctorului el a luat dinia din apropierea casei autobuzul cu numirul 321,

ce il va l6sa exact in fafa clinicii. Numdrul au-lui are n:urlritdli. Care este valoare-_a num6ru1ui r?

Ajuns la clinic[, primegte un bon de ordine cu nu-I aa. Dacd bonurile de ordine au fost date ince-cu num[ru] I gi incd patru persoane au mai primit

intea sa bonuri cu numere de forma celui primit deatunci indicl ce num6r are bonul de ordine primitDenis.

Cabinetul in care trebuie s[ intre la consulta,tieDenis are pe ugi un numEr de forma ib , cttsuma cifrelor13. Indic[ acest numdr, dac[ el este cel mai mic posibil.

t tnou, la consultalie, prima dat[ i se prezintd,un ta-bel cu numere. Pe un rdnd sunt in ordine crescdtoareIoate numerele incepind cu 23 qi termin6nd cu 74. CAtenumere sunt pe acel rdnd?

S performantS)

6 S"ri" toate numerele de forma obc care indepli-nesc simultan proprietiifile: b : a + c Ai cifra c estedublul cifrei a.

6CoaU de la interfonul unei clddiri este format din3 cifre.a) Cdte coduri care au pdma cifri 0 pot fi formate?b) Cdte coduri care au doui cifrre i<htice pot fi formate?c) Cite coduri cu cifre distincte pot fi formate?

6 S.A" cele rnai mici l0 numere naralc cile au

suma cifrelor 4.

IlilOeterrrrind cdte numere naturale de 3 cifre cmtin &exact doud ori cifra 5.

6n" ultimul rdnd sunt scrise numere foarte mici. Pri-mul dintre ele are suma cifrelor 37 . Care este numdrulminim de cifre pe care le poate avea acest num[r?

firu"uDenis a fost la consultalie in data de l0 sep-tembrie 2017, scie cu cifre romane numirul reprezen-tat de anul ce apare in scrierea acestei date.

fiOrrpa consulta{ie, Denis aflE c5 nu are nicio proble-m5la ochi, iar apoi se duce sd pl5teasc[ contravaloareaconsultaliei. El pl[teqte ab lei cu a * b : 77, a cifr6par6. Ce sumd a pl6tit?

6tufina1ul consultaliei, doctorul ii spune lui Deniscd va afla foarte multe lucruri interesante despre ochi incadrul orelor de biologie. Ce studiaz[ biologia?

6i, sala de agteptare a cabinetului oftalmologic, pri-virea lui Denis este atrasb deun pliant in care sunt ilustra-te mai multe aparate, printrecare qi un microscop opticprecum cel din imagine. Nu-megte componentele micro-scopului indicate in imagineaal6turat[.

v"

15I