1

Proiect IDEI cod ID_1077Proiectarea optimală cu ajutorul algoritmilor evolutivi a produselor

Etapa finală 2008:PSO. Implementare. Proiectarea optimală a sistemelor mecanice complexe

În sinteză, obiectivele ştiinţifice propuse şi atinse în cursul activi tăţii desfăşurate de echipade cercetare, în cadrul acestei etape a proiectului, se pot grupa în două categorii:

1. Conceperea şi realizarea a unor noi module, bazate pe Particle Swarm OptimizationAlgorithm (PSO), pentru up-datarea programului propriu de op timizare cu algoritmievolutivi (Cambrian ajuns la versiune 3.2).

2. Rezolvarea unor probleme de proiectare optimală a unor sisteme mecanice complexe .1. Particle Swarm Optimization Algorithm este un algoritm evolutiv introdus de Kennedy şiEberhart în 1995. De remarcat faptul că PSO este un algoritm de optimizare stocastic, independentde gradient. Ideea din spatele algoritmului este modalitatea cooperativă prin care roiurile de albineîşi găsesc hrana (atingerea obiectivului). Considerând un roi de p particule într-un spaţiu de căutaren-dimensional, vectorul de poziţie i

kx , al fiecărei particule i, este up-datat prin (fig. 1):ik

ik

ik vxx 11

unde:k – pseudo-increment de timp;

ikv 1 – vectorul viteză, obţinut prin aplicarea legii

vitezei:ik

ik

ik vvv ω1

ω – factorul de inerţie (număr real, din 0,4 ... 0,9;ikv – vectorul stocastic al vitezei şi este dat de:

cognitivfactorul

22

socialfactorul

11ik

ig

ik

ik

ik xpRcxpRcv

ikp – cel mai bun vector de poz iţie al particulei i (până la momentul k),gkp – cel mai bun vector de poziţie al întregului roi (până la momentul k).

Factorii de scalare c1 şi c2 pot fi înmulţiţi cu:• un număr aleator (PSO1) sau• cu o matrice aleatoare (PSO2).

Cu menţiunea că ambele variante au fost implementate în Cambrian v.3.2, se pot face următoareleobservaţii:

• la fiecare iteraţie, calitatea unei particule este evaluată prin intermediul funcţiei obiectiv.• memoria cognitivă a fiecărei particule îi permite să -şi reţină cea mai bună valoare a funcţiei

obiectiv, alături de poziţia corespunzătoare acesteia.• interacţiunea socială între particule le permite să reţină valorile cele mai bune ale funcţiei

obiectiv pe care întregul roi le -a atins de-a lungul timpului.• mişcarea particulelor poate fi într-un domeniu continuu, discret sau mixt .

Pentru creşterea performanţelor PSO şi, în special, pentru prevenirea sau întârzierea restrângeriitraiectoriilor particulelor la cele liniare (în spaţiul de căutare), se folosesc următ oarele euristici:

• folosirea celei mai bune vecinătăţi locale;• pornirea algoritmului cu viteze iniţiale nenule (întârzie căutările liniare în PSO1);• restricţionarea vitezei maxime sau minime;• restricţionarea poziţiei;• utilizarea aşa numitei craziness (care are rolul mutaţiei din GA);• folosirea unui factor de inerţie aleator unic.

În figura 2 sunt prezentate panourile de execuţie ale programului Cambrian (cu modulul deoptimizare PSO), iar în figura 3 sunt prezentate câteva capturi realizate în timpul rulări i.

particula i,la momentul k

particula i,la momentul k+1

vik

particula i,la momentul k

particula i,la momentul k+1

vik

Fig. 1 Up-datarea vectorului de poziţie (PSO)

ikx 1

ikx

2

Fig. 2 Panourile de execuţie ale programului Cambrian cu modulul PSO

Fig. 3 Rularea unei probleme de optimizare mono-obiectiv cu programulCambrian (modulul PSO)

3

2. Testarea programului Cambrian s-a realizat cu succes prin rezolvarea unor probleme deproiectare optimală a unor sisteme mecanice complexe, dintre care menţionăm :

2.1. Proiectarea optimală a suspensiei maşinii de erbic idat MET-2500R21HAcest tip de maşină de stropit (fig. 4) este o maşină de construcţie robustă, tractată de tractoare deuz general şi folosită cu precădere pe parcele mari în cultura cerealelor şi plantelor tehnice sau pesuprafeţe legumicole mari. Deschi derea rampei are o valoare foarte mare (21 m), ceea ce face foarteimportanta problema oscilaţiilor rampei.

Examinând modul constructiv de realizare al legăturii dintre şasiul maşinii de erbicidat şi rampă(suspensia ce se doreşte optimizată), se poate constata că rampa este legată prin intermediul a douătije articulate, de aceeaşi lungime, de un cadru care se poate considera fixat de şasiu (fig. 5), înipoteza în care acesta staţionează sau se deplasează cu o viteză mică.

Pentru studiul dinamic al suspensiei s -a considerat că maşina de erbicidat se deplasează cu viteza de4 km/h (ISO 5008/2002) de -a lungul pistei standardizate (ISO 5008/2002) ce conţine denivelărialeatorii (de fapt semnalul perturbator din sistem), dispuse din 80 în 80 cm.Mărimile care descriu comportamentul dinamic al suspensiei echipamentului de erbicidat sunt:ψ – unghiul de înclinare al rampei în raport cu orizontala, la momentul t;L – înălţimea arcurilor pneumatice (deformate ), la momentul t.Schematizarea adoptată în vederea calculul dinamic al su spensiei maşinii de erbicidat esteprezentată în figura 6.

1 2 3 4 5

Ansamblu centralAnsamblu central––33Arcuri pneumaticeArcuri pneumatice––22Rampă de erbicidatRampă de erbicidat––11

Ansamblu centralAnsamblu central––33Arcuri pneumaticeArcuri pneumatice––22Rampă de erbicidatRampă de erbicidat––11

Cadru fixCadru fix––55

SuspensieSuspensietrapezoidalătrapezoidală

––44

Cadru fixCadru fix––55

SuspensieSuspensietrapezoidalătrapezoidală

––44

Fig. 4 Maşina de erbicidat MET-2500R21H

Fig. 5 Schiţa echipamentuluide erbicidat

1 – cadrul fix;2 – ansamblul central;3 – rampa de erbicidat.

4

Principalele datele de intrare (de proiectare) sunt cele prezentate în tabelul 1.

Tabelul 1. Datele de intrareDenumire Simbol Valoare

Ecartamentul şasiului e 1,600 mDistanţa de la sol la punctele de prindere ale arcurilorpneumatice P1 şi P2 H 0,770 m

Distanţa de la centrul de greutate C 1 la dreapta S1S2 Δ 0,010 mSăgeata iniţială a arcuri lor pneumatice f 0,047 mÎnălţimea arcului pneumatic nedeformat L0 0,191 mDistanţa de la dreapta A 1A2 la dreapta S1S2 d1 0,390 mDistanţa de la centrul de greutate C 2 la dreapta B1B2 d2 0,205 mMasa ansamblului central m1 119,470 kgMomentul de inerţie al ansamblului central JC1 25,964 kg·m2

Masa rampei de erbicidat m2 405,060 kgMomentul de inerţie al rampei JC2 8489,345 kg·m2

Sistemul de ecuaţii diferenţiale dedus pe seama schematizării amintite este de forma:

444

333

ψ

ψ

QPLM

QPLM

unde M3, P3, Q3, M4, P4, Q4 sunt expresii dependente de datele de intrare ale problemei. Sistemul deecuaţii diferenţiale s-a rezolvat cu metoda Runge- Kutta (standard).Funcţia obiectiv: se doreşte găsirea unei configuraţii a mecanismului A 1B1A2B2 astfel încât valoareamaximă a unghiului ψ (de înclinare al rampei de erbicidat faţă de orizontală) să fie minimă:

minψmaxmax0

ttt

Genele definite pentru problema de optimizare sunt dimensiunile mecanismului A 1B1A2B2: a = A1A2/2; b = B1B2/2; l = A1B1.Restricţiile problemei sunt generate de o serie de condiţii geometrice. Aceste restricţii au fostînlăturate prin introducerea unei noi gene care reprezintă tipul de corespondenţă dintre b şi l.Rezultatele optimizării, în urma rulării softului Cambrian sunt prezentate în tabelul 2.

Fig. 6 Schematizarea adoptată în vederea calculul dinamic

5

Tabelul 2. Rezultatele optimizării

Denumire SimbolValoare după

optimizareValoareiniţială

Semilungimea distanţei dintre articulaţiile A1 şi A2 a 0,035 m 0,1745 mSemilungimea distanţei dintre articulaţiile B1 şi B2 b 0,3185 m 0,270 mLungimea balansierului A1B1 l 0,397 m 0,350 mValoarea maximă a unghiului de înclinare al rampei faţă de orizontală ψ 0,3° 2,8°Săgeata maximă a extremităţii rampei L 5 cm 50 cm

Variaţiile unghiului ψ şi a lungimii L sunt prezentate în figurile 7 şi 8 , atât pentru soluţia actuală, câtşi pentru soluţia optimală. Calitatea soluţiei optimale este evidentă.

2.1. Proiectarea optimală a unui reductor cu două trepte, cu roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi

În acest subcapitol se prezintă rezultatele optimizării unui reductor cilindric cu două trepte (cu roţidinţate cilindrice cu dinţi înclinaţia), având următoarele date principale de intrare:

Fig. 7 Variaţia înălţimii L a arcurilor pneumatice la parcurgerea pistei standardizate

Fig. 8 Variaţia unghiului ψ de înclinare al rampei la parcurgerea pistei standardizate

6

Puterea motorului electric de antrenare: P = 2,9 kW; Raportul de transmitere total: itotal = 7,6; Turaţia arborelui de intrare: n1 = rot/min; Durata minimă de funcţionare: 8000 ore; Materialul roţilor dinţate:

– Pinion treapta I şi II: 41MoCr11 îmbunătăţit, HB1,3 = 3000 MPa;– Roată dinţată treapta I şi II: 40Cr10 îmbunătăţit, HB2,4 = 2700 MPa.

Este demn de menţionat că abordarea propusă de acest proiect a cuprins două etape: Proiectarea optimală a angrenajelor ; Proiectarea optimală a subansamblelor formate din arbori, rulmenţi şi manşete de etanşare.

În prima etapă, obiectivul proiectării optimale a fost minimizarea volumului interior al carcaseireductorului. În acest scop s -au considerat 11 gene (treapata I: raportul de transmitere, distanţaaxială, coeficientul deplasării de profil în plan norma l, coeficientul raportului dintre lăţime şidistanţa axială, unghiul de înclinare al danturii pe cilindrul de divizare şi numărul de dinţi aipinionului, treapta II: distanţa axială, coeficientul deplasării de profil în plan normal, coeficientulraportului dintre lăţime şi distanţa axială , unghiul de înclinare al danturii pe cilindrul de divizare şinumărul de dinţi ai pinionului ) şi 36 restricţii (2 legate de rapoartele de transmitere, 6 legate derezistenţă – conform DIN 3990, 10 legate de deplasările de profil, 2 legate de continuitateaangrenării, 12 legate de elementele de control ale danturii, 2 legate de alegerea numărului de dinţi , 1legată de neintersecţia roţii conduse a trepetei rapide cu arborele de ieşire al reductorului şi 1 legatăde ungerea angrenajelor). Rezultatele optimizării din această primă etapă sunt prezentate sintetic întabelul 3.

Tabelul 3. Rezultatele optimizării angrenajelor

DenumireValoare dupăvarianta clasică

Valoare dupăoptimizare

Variaţie

Lungimea suprafeţei interioare a carcasei 390 mm 323 mm – 17,2%Lăţimea suprafeţei interioare a carcasei 158 mm 168 mm +5,9%Înălţimea suprafeţei interioare a carcasei 247 mm 211 mm – 4,6%Volumul suprafeţei interioare a carcasei 12.26· 10-3 9.96 · 10-3 – 18,9%

În cea de a doua etapă, plecând de la angrenajele obţinute prin proiectare optimală la etapa întâi, sedoreşte minimizarea masei subansamblelor formate din cei trei arbori, rulmenţi şi manşete deetanşare montate pe aceştia. Se face menţiunea că pentru toate organele de maşin i implicate în acestproiect, pentru soluţia optimală, au fost căutate soluţii standardizate (capete de arbori, pene paraleleetc.) sau soluţii ale unor firme cu reputaţie mondială (rulmenţii şi manşetele de etanşare sunt căutateîn catalogul firmei SKF).Pentru proiectarea optimală au fost alese 6 gene (toate, de fapt, organe de maşini – arborele I:capătul de arbore, tipul rulmenţilor, tipul manşetelor de rotaţ ie, arborele II: tipul rulmenţilor,arborele III: capătul de arbore, tipul rulmenţilor şi tipul manşetelor de rotaţie) şi s-au identificat 61restricţii (21 pentru verificarea arborilor la solicitări variabile , 12 constructive, 3 pentru verificareaarborilor la solicitări compuse, 11 legate de deformaţiile de încovoiere – săgeata respectiv unghiulde rotire al arborilor, 3 legate de verificarea arborilor la deformaţiile de torsiune , 3 legate verificarearulmenţilor radiali-axiali cu role conice şi 8 legate de verificarea penelor).Rezultatul optimizării din această a doua etapă sunt prezentate în tabe lul 4. Trebuie subliniat faptulcă masele trecute în tabelul 4 conţin şi masele angrenajelor.

Tabelul 4. Rezultatele optimizării subansamblelor arbori-roţi dinţate-rulmenţi-manşete

DenumireValoare dupăvarianta clasică

Valoare dupăoptimizare

Variaţie

Masa subansamblelor 22,6 kg 19,3 mm – 19,1%

În figura 9 sunt schiţate celor două soluţii ale proiectării: soluţia optimală şi cea obţinută în urmaproiectării clasice. Avantajele soluţiei optimale sunt evidente şi remarcabile.

7

În final, mai trebuie menţionate aici şi unele activităţi (planificate şi realizate) legate de diseminareacercetărilor din cadrul proiectului:

Up-datarea site-ului Centrului de Consultanţă şi Proiectare Optimală al UTCN(http://catomt.east.utcluj.ro/ccpo/index.html);

Up-datarea paginii web a proiectului de faţă (http://catomt.east.utcluj.ro/id1077/home.htm) ; Organizarea unor seminarii informative cu studenţii de elită ai Facultăţii Construcţii de

Maşini din Cluj-Napoca şi cu membrii Catedrei de Organe d e Maşini şi Tribologie.

Director de proiect,Prof. dr. ing. Lucian TUDOSE

Fig. 9 Varianta optimală şi cea clasică a reductorului cu două trepte

A fr

Varianta optim ala

Varianta clasic a

z 2z 1

z 3 z 4